Prezentace

Kryptografie
Doc. Ing. Cyril Klimeš, CSc.
1
Proč kryptografie již pro žáky
základních a středních škol?
• Současná informatika se bez kryptografie
neobejde.
• Základní znalosti jsou použitelné i v jiných
oblastech.
• Jsou to mnohdy
hd zábavné
b
teorie
i a jejich
j ji h
využití v praxi.
• Správné využití umožní bezpečnější provoz
počítačových systémů a jejich aplikací.
aplikací
2
Kurz
Zákl d kryptografie
Základy
k
t
fi
pro učitele
Seznámení s obsahem kurzu, zopakování matematických
základů, potřebných pro objasnění algoritmů šifrování.
Historické algoritmy,
g
y, jjednoduché ppříkladyy šifrování
Moderní algoritmy šifrování
Šifrování s veřejnými klíči – metoda RSA
Kryptografie v bezpečnosti informačních systémů
Využití kryptografie
Ukázky kryptografických aplikací z běžného života a
prezentace praktického využití ve výuce,
výuce diskuse
3
Základní pojmy
• Kryptologie = Kryptografie + Kryptoanalýza
• Kryptografie - nauka o metodách šifrování
yp
ý - metodyy luštění šifer
• Kryptoanalýza
kryptologie
kryptografie
zabývá se návrhem
šifrovacích systémů
kryptoanalýza
zabývá se odhalováním 4
slabin v šifrovacích systémech
Základní schema
Klíč
(způsob šifrování)
Odesilatel
zpráva
Posel
Šifrovací
algoritmus
( t d )
(metoda)
Komunikační kanál
Alskdôlalkjda
Adkljhalkdjlkj
Adlkjlakdj
Kldjalkj
Adôj
Dadae dasf
deŠifrovací
algoritmus
Alskdôlalkjda
Adkljhalkdjlkj
Adlkjlakdj
Kldjalkj
Adôj
Dadae dasf
Odposlech
Příjemce
zpráva
5
Cíle kryptografie
• důvěrnost
dů
(confidentiality)
(
id i li ) -
též bezpečnost - jedná se o udržení obsahu
zprávy v tajnosti.
• celistvost dat (data integrity) - též integrita - jedná se o zamezení
neoprávněné modifikace dat. Tato modifikace může být smazání části dat, vložení
nových
ý h ddat, nebo
b substituce
b i
čá
částii stávajících
á jí í h dat
d jinými
ji ý i daty.
d
Se
S zamezením
í
neoprávněné modifikace souvisí i schopnost tuto modifikaci detekovat.
• autentizace (authentication) - též identifikace
identifikace, neboli ztotožnění znamená prokazování totožnosti, tj. ověření, že ten, s kým komunikujeme, je
skutečně ten, se kterým si myslíme, že komunikujeme. Autentizace může probíhat
na základě znalosti (heslo), vlastnictví (klíče od bytu, kreditní karta) nebo
charakteristických vlastností (biometrické informace - např. otisky prstů).
• autorizace (authorization) - je
j potvrzení
t
í původu
ů d ((původnosti)
ů d ti) dat.
d t Tedy
T d
prokázání, že data vytvořil (je jejich autorem) skutečně ten, o němž si myslíme, že je
autorem.
• nepopiratelnost (non-repudiation) - souvisí s autorizací - jedná 6se
o jistotu, že autor dat nemůže své autorství popřít (např. bankovní transakci).
Kerckhoffsův princip
• Bezpečnost šifrovacího systému nesmí
záviset na utajení algoritmu, ale pouze na
j klíče.
utajení
7
Příklad doručení balíčku
• Odesílatel chce poslat balíček zabezpečený
v kufru klíčem, ale nedůvěřuje nikomu a
y klíč ((ani ppříjemci).
j
) Dále
nechce dát z ruky
neexistuje druhý klíč a kufr je nerozbitný.
• Existuje nějaké jednoduché řešení?
• Pozn. Kufr lze zamknout větším počtem
zámků ale ke každému je jen jeden klíč.
zámků,
klíč
8
Příjemce zamkne
kufřík svým
vlastním zámkem
a vyjme klíč
Odesilatel umístí
balíček do kufru,
ten zamkne svým
zámkem a vyjme
klíč
Klíč 1
Balíček
vložen
do kufru
Klíč 2
K příjemci
Balíček
v kufru
Zpět k odesilateli
Příjemce pomocí
svého klíče sejme
z kufříku svůj
zámek a vyndá
balíček
Odesilatel
pomocí svého
klíče sejme z
kufříku svůj
zámek
K příjemci
Balíček
B
líč k
v kufru
Balíček
yj
vyjmut
z kufru
9
Prolomení šifry
• Způsob nalezení dešifrovacího klíče
• Útok hrubou silou
– Zkoumání všech dešifrovacích klíčů
– Získat tak smysluplný text
10
Kryptoanalytické metody - typy útoků na šifru
• útok se známou šifrou (Ciphertext Only Atack) e znám
á plaintext
p a e - nejobtížnější
ejob
ějš
není
kryptoanalytická metoda. K výsledku lze dospět
na základě rozborů pravidelností v textu šifry
• útok se známým původním textem (Known
Plaintext Atack) - jsou známy text původní a
jjeho šifra. Rozborem lze odvodit klíč a šifrovací
algoritmus
• útok s vybraným otevřeným textem (Chosen
Plaintext Atack) - lze zvolit vstupní text a získat
jeho šifru. Vhodným výběrem vstupního textu11
mohou být odhalena slabá místa šifrovače.
Kryptografické
yp g
systémy
y
y
• symetrická kryprografie (SK) s tajným klíčem
• asymetrická kryptografie (AK) s veřejným a soukromým klíčem
• jjednocestné hash funkce (HF)
( ) - vstupní
p data libovolné délkyy
jsou transformována do výstupních bloků pevné délky
(charakteristika/výtah/hash)
– s klíčem
– bez klíče
• Kryptografické systémy zabezpečují autentičnost, integritu,
důvěrnost, nepopiratelnost zodpovědnosti
12
Symetrická
y
kryptografie
yp g
((SK)) s tajným
j ý klíčem
Princip
p symetrické
y
kryptografie
yp g
Distribuce
klíče
Tajný klíč X
Tajný klíč X
Šifra
Původní
text
Šifrování
Odesílatel dokumentu
Dešifrování
Původní
Pů
d í
text
Příjemce dokumentu
13
Princip asymetrické kryptografie
soukromý klíč
A
Distribuce
klíče
veřejný klíč
A
Šifra
Původní
text
Šifrování
Odesílatel dokumentu - A
veřejný
ř j ý klíč
B
Dešifrován
í
Původní
text
Příjemce dokumentu - B
soukromý klíč
B
14
Rozdíly
• Symetrická kryptografie: menší výpočetní náročnost - vyšší
výpočetní rychlost,
hl
problematické
bl
i k šíření kl
klíče, ddvě kopie
k i
tajemství (obě strany), pro komunikaci s n partnery je třeba
mít n klíčů,
klíčů pro komunikaci s neznámým partnerem je
obtížné ověřit jeho identitu
• Asymetrická kryptografie: značná výpočetní náročnost - až
1000 x nižší výpočetní rychlost než u předchozího, pouze
jedna kopie tajemství (pod vlastní kontrolou), snadné šíření
klíčů (možnost uložit VK na veřejně dostupném místě), při
komunikaci s neznámým partnerem lze poměrně snadno
ověřit
ěřit jeho
j h identitu.
id tit
15
Princip digitálního podpisu
16
Matematické základy
kryptografie
yp g
Modulární aritmetika
• Pro čísla x a n, je x mod n zbytek po dělení
12
x číslem n
11
1
• Příklady
10
2
• 7 mod 6 = 1
„hodinová
9
3
aritmetika“
• 33 mod 5 = 3
• 33 mod 6 = 3
8
4
• 51 mod 17 = 0
7
5
6
• 17 mod 6 = 5
Základní operace v modulární aritmetice
• Sčítání
3 + 5 ≡22 mod 6
2 + 4 ≡0 mod 6
3 + 3 ≡0
0 mod
d6
(7 + 12) mod 6 ≡19 mod 6 ≡1 mod 6
(7 + 12) mod 6 ≡(1 + 0) mod 6 ≡1 mod 6
• Odčítání je definováno jako sčítání pomocí aditivní
inverze mod n a -b mod n = a+ (-b)mod n
8 –5 ≡8+(-5)
8 ( ) ≡33 mod
d9
5 –8 ≡5+(-8) = -3 ≡6 mod 9
Základní operace v modulární aritmetice
• Násobení
– násobení může být nula i když žádný z činitelů není
roven nule
– odvozeno z opakovaného sčítání
• Příklad:
2 . 4 ≡ 2 (mod 6)
5 . 5 ≡ 1 (mod 6)
3 . 4 ≡ 0 (mod 6)
(7 . 4) modd 6 ≡ 28
28mod
d 6 ≡ 4 mod
d6
(7 . 4) mod 6 ≡ (1 . 4) mod 6 ≡ 4 mod 6
Základní operace v modulární aritmetice
• Dělení je definováno jako násobení pomocí
u p a v inverzí
ve mod
od n
multiplikativní
• Příklad:
3 :5 mod 7
≡
3 · 5-1 mod 7
≡
3 · 3 mod 7
≡
9 mod 7
≡
2 modd 7
• Podíl dvou celých čísel v modulární aritmetice mod
n je vždy celé číslo (v případě, že lze dělení
provést)
Umocňování
• lze realizovat pomocí opakovaného násobení se
( ) ((tzn. n5 = n·n·n·n·n))
složitostí O(n)
• efektivnější metoda je algoritmus „square and
multiply
multiply“
• rekurzivní výpočet mocniny xn pro celé kladné číslo
n
– Mocnina (x,n)
(x n) = x pro n=1
n 1
– Mocnina (x,n) = Mocnina (x2,n/2) pro n sudé
– Mocnina
M i (x,n)
( ) = x.Mocnina
M i (x
( 2,(n-1)/2)
( 1)/2) pro n liché
li hé
Malá Fermatova věta
• Je-li p prvočíslo a gcd(a,p)=1, pak ap-1 ≡ 1 (mod p)
• Je-li p prvočíslo pak ap ≡ a (mod p)
• Je-li
Je li p prvočíslo a gcd(a,p)=1,
gcd(a p) 1 pak ap-2≡ a-1(mod p)
gcd –(Greatest Common Divisor) –Největší společný dělitel
1) Určete multiplikativní inverzi 18 mod 31
1829 mod
d 31 ≡ 19 mod
d 31
18*19 mod 31 ≡ 1 mod 31
2) Spočtěte mocninu 4961mod 479:
4961 ≡ (4478)2 * 45 ≡ 256 mod
d 479 , protože
ž 4478 ≡ 1
(mod 479)
Výpočet
ýp
GCD
• Výpočet GCD pomocí Euklidova algoritmu - Algoritmus
spočívá v opakovaném dělení dělitele zbytkem dokud
zbytek není nula. a = n*b+r. Největší společný dělitel je
poslední nenulový zbytek v tomto algoritmu. V okamžiku,
kdy r=0 výpočet končí. Př. Výpočet gcd(4864,3458)
4864=1 3458+1406
4864=1.3458+1406
3458=2.1406+646
1406=2.646+114
646=5.114+76
114=1.76+38
76=2 38+0
76=2.38+0
gcd(4864,3548)=38
Operace XOR ⊕
•
•
•
•
•
•
•
•
Někdy označovaná jako sčítání mod 2
y = a XOR b y=a ⊕b
a b
y
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
0
Název pochází z anglického eXclusive OR, tedy
výlučné nebo.
Příklad XOR
• Půjdu do kina, nebo do divadla (znamená to, že
s a nepůjdu,
epůjdu, půjdu je
jen naa jedno
jed o z nich).
c ).
naa obě místa
Rozdíl mezi klasickým OR a výlučným XOR
vnímá tedy i česká (slovenská) gramatika
gramatika, která
rozlišuje nebo ve významu slučovacím (OR)
• Jako jednoduchá šifra: C = M
K.
• Díky symetrii operace je pak M = C K.
K
M=1101101
K= 1001010
C= 0100111
Prvočísla
• Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze
zbytku dělitelné právě dvěma různými
čísly a to číslem jedna a sebou samým
čísly,
(tedy 1 není prvočíslo). Přirozená čísla
různá
ů á odd jedné,
j d é která
k á nejsou
j
prvočísla,
čí l se
nazývají složená čísla.
• Každé složené číslo lze jednoznačně
vyjádřit jako součin prvočísel.
prvočísel Proces
rozkladu čísla na jeho prvočíselné činitele
(
(prvočinitele)
či it l ) se nazývá
ý á faktorizace.
f kt i
Příklady
• Začátek řady prvočísel:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 …
• Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1,
1 při
dělení 3 zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3
atd.
d Beze zbytku
b k jje dělitelné
d li l pouze 1 a 13.
Proto je 13 prvočíslo.
• Číslo 24 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12,
24 – proto není prvočíslem
prvočíslem.
Historie kryptografie
Starověké šifrování
Historicky nejstarší je steganografie ... skrytá komunikace
ƒ Histiaeus napsal zprávu sluhovi na oholenou hlavu a poslal jej do Míletu, aby
zprávou pomohl v koordinaci boje proti Peršanům
ƒ Demaratus zjistil kdy Peršané vytáhnou proti Řekům, použil dřevěné psací destičky
pokryté voskem
ƒ
Sparťané v 5. století př. n. l. používali transpozici. Pisatel zprávy nejprve omotal proužek
kůže kolem dřevěné tyče.
Starověké šifrování
• Řecký spisovatel Polybius (přibližně 203–120 př. n.
.) vytvořil
vy vo šifru,
š u, kde
de abecedu napsal
apsa do čtverce
č ve ce
l.)
o pěti sloupcích a pěti řádcích. Každé písmeno pak
bylo možné interpretovat jako kombinaci dvou čísel,
čísel
přičemž první představovalo číslo řádku, druhé číslo
sloupce.
l
1
2
3
4
5
1
A
F
L
Q
V
2
B
G
M
R
W
3
C
H
N
S
X
4
D
IJ
O
T
Y
5
E
K
P
U
Z
ř ký spisovatel
řecký
i
l
„42
42 15 13 25 54 43 35 24 43 34 51 11 44 15 31
31“
Transpoziční šifry
•
•
•
•
Jednoduchá transpozice
Šifrovací kříže
Tabulky
Transpozice dle klíče
Jednoduchá transpozice
• psaní pozpátku
– mění pouze pořadí písmen, nikoli jejich vzhled
• zepředu/zezadu
– vypisuje vždy jedno písmeno zepředu, jedno písmeno zezadu
• prolnutí
p
– Text se rozdělí na dvě poloviny. Do šifrového textu se nejprve na liché pozice
napíší písmena první poloviny a poté na sudé pozice písmena druhé poloviny
t t
textu.
• podle plotu
– Text se rozdělí na dvě skupiny – první bude obsahovat všechna lichá písmena a
druhá všechna sudá písmena. Šifrový text se vytvoří spojením první a druhé
skupiny
p y za sebe.
Šifrovací kříže
• Šifru je se buď pomocí jednoduchého (+) nebo
d jitéh (#) kříže.
dvojitého
kříž Pí
Písmena se rozdělí
dělí do
d skupin
k i po
čtyřech, nebo po osmi a ty se pak zapíší kolem
křížů. Zpráva se poté přepíše po řádcích.
Tabulky
• Text se různým
způsobem zapíše do
tabulky a poté se
přepíše po řádcích
Transpozice dle klíče
• Š
Šifrovanou zprávu si napíšeme do sloupců tabulky a
p
klíčové slovo. Poté sloupce
p
nad tabulku si napíšeme
seřadíme podle abecedního pořadí písmen v
klíčovém slově a šifrový text se vypíše po řádcích
Substituční šifry
y
• Substituce, neboli záměna nahrazuje písmeno zprávy jiným
písmenem nebo znakem,
písmenem,
znakem podle šifrové abecedy.
abecedy
– Monoalfabetická substituční šifra – celý text se šifruje jednou
šifrovou abecedou, tedy každé písmeno se nahrazuje stále stejným
znakem.
– Homofonní substituční šifra – některá ppísmena ((zpravidla
p
tyy
nejčenější) se dají šifrovat více než jedním znakem.
– Polyalfabetická substituční šifra – každé písmeno se šifruje jinou
šifrovou abecedou podle určitého klíče.
– Bigramová (trigramová, polygramová...) substituční šifra –
skupina písmen z textu (bigram – dva znaky) se nahradí jinou
skupinou písmen šifrového textu o stejném počtu písmen.
– Digrafická
Di fi ká substituční
b tit č í šifra
šif – každé
k ždé písmeno
í
se nahradí
h dí dvojicí
d ji í
znaků.
Caesarova posunová šifra (nebo
posunutá abeceda)
• V prvním řádku je celá abeceda, v druhém
řádku je abeceda posunutá (v našem případě
podle klíče A=T).
p
)
Ahoj lidi - Hovq spkp
Posun s p
pomocným
ý slovem
• V prvním řádku je normální abeceda. Do druhého
napíšeme
íš
napřed
ř d klíčové
klíč é slovo,
l
které
kt é nesmíí
obsahovat žádné písmeno dvakrát (například
SIFRA) a doplníme zbývající písmena abecedy. Čím
Č
delší jje klíčové slovo,, tím více budou ppísmena
zpřeházená.
Pomocné slovo - Rqoqgpi anqvq
Převrácená abeceda
• Šifrová abeceda je proti otevřené abecedě
obrácená tak, že A=Z a Z=A, B=Y a Y=B
atd.
Převrácená abeceda - Kiveizxvmz zyvxvwz
Numerická abeceda
• Každé písmeno je nahrazeno číslem podle
pořadí v abecedě
Numerická
Nu
e c abeceda
beced - 14;21;13;5;18;9;3;11;1;1;2;5;3;5;4;1;
; ; 3;5; 8;9;3; ; ; ; ;5;3;5; ; ;
Tabulkové kříže
• Velký polský kříž
– Při šifrování se podle tabulky nakreslí rámeček, ve
kterém se písmeno nachází a pozice se určí tečkou.
Tabulkové kříže
• Malý polský kříž
Zlomky
y
při šifrování se zapíší souřadnice
písmene jako zlomek číslo
číslosloupce/číslořádku,
Jednoduché zlomky 5/2;5/1;4/1;4/3;5/3;4/1;5/4;3/1;3/2;5/1;5/5;2/3;5/3;3/3;1/3;4/5;
Šifra ADFGVX
• mřížka 6x6 je náhodně vyplněna 26 písmeny a
10 čísly
Playfairova šifra
• Playfairova šifra nahrazuje každou dvojici písmen v
ootevřeném
ev e é textu
e u jinou
j ou dvojicí
dvoj c písmen.
p s e . Odesílatel
Odes a e i
příjemce si nejprve musí určit klíčové slovo,
například SIFRA
SIFRA. Šifruje se podle tabulky 5x5,
5x5
první se zapíše klíčové slovo a potom se pokračuje
podle
dl abecedy,
b d písmena
í
I a J se spojí
jí v jediný
j di ý prvekk
Posuvná šifra: zaměňuje každé písmeno otevřeného textu
písmenem,
í
které
kt é je
j v abecedě
b
dě o k míst
í t dále.
dál
Číslo k,
k které může nabývat hodnot 0
0,1,2,….,25,
12
25 je klíč.
klíč
Substituční tabulka pro klíč k = 7:
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
hijklmnopqrstuvwxyzabcdefg
Nevýhoda: příliš málo (malý prostor) klíčů, lze je všechny
vyzkoušet.
y
cvidw vgvio zkjmo vn
dwjex whwjp alknp wo
exkfy xixkq bmloq xp
fylgz yjylr cnmpr yq
gzmha
h zkzms
k
donqs
d
zr
hanib alant eport as
Řešení
Ř
š í hrubou
h b silou
il
(exhaustive search)
Jednoduchá substituce
Nahrazuje každé písmeno otevřeného textu nějakým jiným
písmenem abecedy
p
y
Klíčem je substituční tabulka, ve které je pod každým
písmenem abecedy ve spodním řádku písmeno
písmeno, které jej
v šifrovém textu nahrazuje:
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
elqdxbpkyrwvamoiuszcfhntjg
Spodní řádek tabulky je vlastně nějakou permutací písmen
abecedy
Prostor klíčů je dostatečně velký – 26! – nelze řešit hrubou silou.
Slabina: zachovává statistické vlastnosti otevřeného textu.
Vigenérova šifra
Používá periodicky několik různých posunutí abecedy. Klíčem
je nějaké slovo, které udávalo délku posunutí podle
následující
á l d jí í tabulky.
b lk
Princip
p
• Nejvrchnější řádek čtverce reprezentuje otevřený
text Každé písmeno lze zašifrovat kteroukoliv z 26
text.
šifrových abeced.
• Pokud například použijeme abecedu 6, pak písmeno
j
jako
j
G,, ppři abecedě 16 bude písmeno
p
a
a šifrujeme
jako M atd.
• Abychom
Ab h
využili
žili sílu
íl Vigenerovy
Vi
šifry,
šif tak
t k každé
k ždé
písmeno zašifrujeme pomocí jiného řádku.
Příklad
Zašifrujte text
Zlato je ulozeno v jeskyni
klíčové slovo - poklad.
P O K L A D P O K L A D P O K L A D P O K L
z l
a t
o j
e u l
O Z K E O M T I
o z e n o v j
e s k y n i
V Z Z H C C F U E V Z M X T
Polyalfabetická
y
šifra
Podobná Vigenérově
g
šifře,, místo různých
ý p
posunutí ale p
používá
různé obecné jednoduché substituce.
Každé písmeno otevřeného textu šifruje pomocí jiné permutace.
permutace
Ideální je, pokud se žádná permutace nepoužívá dvakrát.
abcdefghijklmnopqrstuvwxyz
1:gkqwhrjvoisnazcubdxplfytme
2:cintzuhsymjabvoelxwpkfqgrd
3:ekrwxpavqbslcfitudgjmhnyzo
4:dqcuimhvrelnwgofjkztysabpx
Šifrujeme:
koza
s ood
Transpoziční
p
šifry
y
Spočívají v přeházení pořadí (permutaci) písmen v otevřeném
textu.
textu
Permutace bývala definována pomocí nějakého slova – klíče.
Například pomocí klíče nezny se šifrovalo následovně:
21534
nezny
tanco
valab
ychja
azset
rasu
aacza tvyar cajeu obatn lhss
Jednoduchá transpozice
Šifrovací algoritmus RSA
• Vygenerujeme dvě dostatečně velká prvočísla p a q (každé má
délku 1024 bitů) a spočteme n=pq.
• Čí
Číslo
l n je
j parametrem
t
šifrovacího
šif
íh systému
té
(šifrovací
(šif
í modul)
d l) a
zveřejňuje se spolu s veřejným klíčem.
• Spočítá
S čítá se Eulerova
E l
funkce
f k
Φ(n)= (p-1)(q-1)
udává počet přirozených čísel menších než n, která jsou
nesoudělná s číslem n
(protože n je součinem dvou prvočísel, je takových čísel právě (p-1)(q-1))
Šifrovací algoritmus RSA
• Zvolíme privátní klíč e z množiny {1,..,n}
{1 n} nesoudělný s číslem (p(p
1)(q-1)
• K privátnímu
i át í
klíči e vypočteme
čt
Eulerovým
E l
ý algoritmem
l it
veřejný
ř j ý
klíč d podle vztahu
d⋅e modd (p-1)(q-1)=
( 1)( 1) d⋅e modd Φ(n)=
( ) 1
• Tato rovnice má jediné řešení d
• Zakódování zprávy z se provede dle vztahu ze mod n =s
• Dekódování zprávy se provede dle vztahu sd mod n =zz
• Korektnost šifry je dána vztahem:
z=sd mod n = zde mod n = zkΦ(n)+1 mod n =1⋅z mod n=z
Příklad
•
•
•
•
•
•
p=7, q=13
N=91, Φ(N)=6.12=72
t=7
s.7 mod 72 = 1, s=31
Veřejný klíč s=31, N=91, y=x31mod 91
T j ý klíč t=7,
Tajný
t 7 p=7,
7 q=13,
13 Φ(N)=72,
Φ(N) 72
x=y7 mod 91
Příklad
• x=24
• y= x31mod 91= 2431mod 91 =
((2416mod 91).
) ((248mod 91).
) ((244mod 91).
)
(242mod 91). (241mod 91) =
24.30.81.9.81mod 91= 42515280 mod 91 =
80
• x = 807 mod 91
91= (801 mod 91)
91). (802 mod
91). (804 mod 91) = 80.30.81 mod 91 = 24
Použití kryptografických
yp g
ý metod
• E-commerce ((E-business)) - bezpečnost
p
obchodních transakcí
– E-tailingg na webových
ý stránkách ((nákup
p zboží))
• Bankovnictví
– otevřený
ř ý standard
d d pro obchodování
b h d á í
– byl vyvinut společnostmi Visa a MasterCard
– pro bezpečné platby kartami přes Internet
• Bezpečnostní mechanismy informačních
systémů
• ……
58
59
Děkuji za pozornost
[email protected]
60