Střední škola stavební Jihlava Sada 2 – Matematika
Transkript
Střední škola stavební Jihlava Sada 2 – Matematika
Střední škola stavební Jihlava Sada 2 – Matematika 19. Logaritmy Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava – šablony registrační číslo projektu:CZ.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Mgr. Ondřej Bachr © 2012 Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Praktické využití logaritmu: Tabulky logaritmu poskládal v 16. stol. skotský matematik John Neper (Napier). Vymyslel efektivní způsob jak převést aritmetické operace (+, -, ·, : ) při počítání s velkými hodnotami (tzv. Neperovy kosti). Iniciovaly vznik logaritmických tabulek a logaritmického pravítka. Efektivní řešení exponenciálních rovnice (tzv. pomoci zlogaritmování). Při počítání s logaritmy využíváme vztahy mezi logaritmy a exponenty. Logaritmické funkce Def.: Logaritmus je matematická funkce, která je INVERZNÍ k funkci EXPONENCIÁLNÍ! Logaritmus + ( a ∈ R / 1) kladného reálného čísla x při základu a je takové reálné číslo pro které platí: y = log a x a =x y V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a. Pomocí výše uvedených rovností lze složité operace převádět na jednodušší (často se k tomu používalo i logaritmické pravítko a logaritmické tabulky). Př. 1: Řešte pomocí logaritmů 17300 ⋅ 15478 = ??? - Rovnici zlogaritmujeme: a upravíme: 1 2 1 2 log 17300 ⋅ log 15478 = log 17300 ⋅ log 15478 = 1 = log 17300 + log 15478 = ... 2 - Nyní použijeme tabulku s logaritmy: log 17300 = 4,238 log 15478 = log15480 = 4,189 1 - A dořešíme: 4,238 + ⋅ 4,189 = 6,3329 2 log10 x = 6,3329 ⇒ 106,3329 = x ⇒ x = 2152000 * Řešení pomocí kalkulačky: 2152303,56 Logaritmická funkce: y = log a x • Je to funkce prostá a ∈ R+ , a f 1 • Df ∈ (0, ∞ + ) • Hf ∈ R • Pro a platí: a ∈ R+ , a f 1 ROSTOUCÍ a ∈ R + ,0 p a p 1 KLESAJÍCÍ • Funkční hodnota: f (1) = 0 → [1,0] • Osa y = ASYMPTOTA a ∈ R + ,0 p a p 1 Základní věty pro použití logaritmu: y = log a x a =x y Základní pravidlo pro počítání s logaritmy a loga x = loga a x = x Logaritmus je funkcí inverzní k funkci exponenciální log a ( x ⋅ y) = loga x + log a y log a x = loga x − loga y y Logaritmus součinu je součet logaritmů jednotlivých činitelů Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a jmenovatele 1 Logaritmus mocniny je roven n log a x = y ⋅ loga x tzn. log a x = log a x exponent krát logaritmus základu n log a 1 = 0 y log a a = 1 Další (užitečné) věty o logaritmech: log b x log a x = log b a log x log a x = log a a=a log a b log a b ( ax = b ) 1 log a b log b a = a 1 log b a = log a b x log a b Tyto dvě věty jsou velmi důležité!! Používá se při výpočtech na kalkulačkách, když máme základ jiný než desítkový (nebo e). Počítáme jako podíl dvou logaritmů! = b x logb a =b 1 log a b Užití logaritmů v praxi: Př. 2: Z m0 gramů radioaktivní látky zbylo po t sekundách m gramů radioaktivní látky. Určete odtud poločas přeměny této látky, když vzorec pro výpočet je: 1 m = m0 2 t T Našim úkolem je vyjádřit z tohoto vzorce T. Výrazy na obou stranách jsou kladná čísla, tudíž existují i logaritmy k jejich řešení. Musíme ZLOGARITMOVAT ROVNICI a pak vyjádřit T. a) Zlogaritmujeme (logaritmem o základu deset „desítkovým log.“): t T 1 log m = log m0 2 b)Použijeme větu o součinu logaritmu log a (x ⋅ y ) = log a x + log a y t t T T 1 1 log m = log m0 ⇒ log m = log m0 + log 2 2 c) Použijme větu o mocninách v logaritmech log a x y = y ⋅ log a x t 1 log m − log m0 = log T 2 d) Upravujeme * log 0,5 = −0,30103 − 0,30103t log m − log m0 = T e) Dále to jsou jen „aritmetické“ operace: − 0,30103t log m − log m0 = /⋅ T T T ⋅ (log m − log m0 ) = −0,3013t / : (log m − log m0 ) − 0,3013t T= log m − log m0 Poločas přeměny uvažované radioaktivní látky je tudíž roven − 0,3013t Hodnotě log m − log m . 0 Seznam použité literatury Literatura: RNDr. CALDA Emil, CSc. a kolektiv, Matematika pro Střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť – 3. část, Prometheus 2002 RNDr. HUDCOVÁ Milada a Mgr. KUBÍČKOVÁ Libuše, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Prometheus 2004 (druhý dotisk) Státní maturitní testy (CERMAT) 2002 - 2012 Materiál je určen k bezplatnému používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je : Mgr. Ondřej Bachr……………. Pokud není uvedeno jinak, byly při tvorbě použity volně přístupné internetové zdroje. Autor souhlasí se sdílením vytvořených materiálů a jejich umístěním na www.ssstavji.cz.