NMAI058 Lineární algebra II

Transkript

Lin. algebra – determinanty, polynomy, vlast. čísla a vektory, charakteristický mnohočlen, skalární součin, pos.def. matice, bilineární a kvadratické formy
Lineární algebra II
látka z
II. semestru informatiky MFF UK
dle přednášek Jiřího Fialy
Zpracovali:
Jan „Zaantar“ Štětina,
Ondřej „Keddie“ Profant
Obsah
Determinanty...............................................................................................................................................................................................2
Geometrický význam determinantu.......................................................................................................................................................4
Polynomy.....................................................................................................................................................................................................4
Vlastní čísla a vlastní vektory......................................................................................................................................................................6
Charakteristický mnohočlen........................................................................................................................................................................6
Prostory se skalárním součinem................................................................................................................................................................10
Ortogonalita..........................................................................................................................................................................................11
Ortogonální doplněk............................................................................................................................................................................12
Pozitivně definitní matice....................................................................................................................................................................13
Bilineární a kvadratické formy..................................................................................................................................................................14
1
Determinanty
Opakování:
Permutace na n prvcích je zobrazení p : {1,... , n} {1,... , n} , které je prosté a na.
S n značí množinu všech permitací na n prvcích.
S n ,° tvoří grupu (existují neutrální prvek, identita a všechny inverzní permutace).
Inverze v permutaci je dvojice i,j taková, že i j a p i p  j  .
Znaménko permutace p je sgn p=−1 # inverzí v p .
Sudé permutace tvoří normální podgrupu S n ; Faktorgrupa je izomorfní grupě {1,−1 },⋅ .
Def:
Nechť A je čtvercová matice řádu n nad tělesem K,
potom determinant matice A je dán výrazem
n
det  A:= ∑ sgn p⋅∏ ai , p i  .
p∈S n
i=1
Formálně jde o zobrazení K m×n  K .
Determinanty matic se značí
☼:
∣ ∣ místo det    .
0 1
1 0
0 1
1 0
T
det  A =det  A
n
Důkaz:
n
n
−1
det  AT = ∑ sgn p⋅∏  AT i , p  i= ∑ sgn p⋅∏  AT  
p i ,i = ∑  sgn  p ⋅∏ a j , p
−1
p ∈S n
i=1
p ∈S n
j=1
p ∈S n
*
j=1
 j
=det  A
(*) víme, že j= p i; i= p−1  j a sgn p= sgn p−1  . Q.E.D.
Důsl.:
☼:
Pokud řádková úprava nemění determinant, pak ani stejná sloupcová úprava jej nezmění.
Přerovnání sloupců matice A podle permutace q
(a) nezmění determinant, pokud sgnq=1
(b) změní znaménko determinantu, pokud sgnq=−1
Důkaz:
Budiž
A původní matice,
B přerovnaná matice.
n
n
det B = ∑  sgn  p⋅∏ bi , p  i= ∑ sgn  p⋅∏ a i ,q
p ∈S n
i =1
p ∈S n
i=1
−1
 p i 
 , protože b i ,q  j =a i , j ; bi , j=a i ,q
−1
j
, a dále se rovná
n
∑  sgn q⋅sgn q−1 ⋅sgn  p⋅∏ a i ,q
p ∈Sn
i=1
−1
 p i 
 , kde vždy sgn q⋅sgn q−1 =1 a sgn q−1⋅sgn p= sgn q−1 ° p , takže
n
sgn q⋅ ∑ sgn q−1 ° p ⋅∏ a i ,q
−1
p ∈S n
Důsl.:
i=1
 p i 
= sgn q⋅det A . Q.E.D.
(a) záměna dvou řádků změní znaménko,
(b) jsou-li dva řádky matice A shodné, potom det  A=0 .
Tvrz.: Determinant matice je lineárně závislý na každém řádku matice.
Důkaz:
Na i-tém řádku provedeme
(a) skalární násobek řádku
(b) součet dvou řádků
(a) Linearita vůči násobku.
Budiž
A původní matice,
A' pozměněná matice (i-tý řádek vynásobený t∈ K ).
Pak
det  A' = ∑ sgn  p ⋅a ' 1, p 1 ⋅...⋅a'
t⋅ai , p i ⋅...⋅a n , p  n =t⋅det  A .

i , p i ⋅...
 ⋅a ' n , p  n = ∑  sgn p⋅a 1, p 1 ⋅...⋅

p ∈S n
(b) Linearita vůči sčítání.
Budiž
A původní matice.
Zkonstruujeme B,C předpisem
p∈S n
∀ j ∀ k ≠i:a k , j =bk , j =ck , j ,
∀ j : a i , j =bi , jc i , j .
Pak
det  A= ∑  sgn  p⋅a 1, p 1 ⋅...⋅a

i , p i⋅...⋅a n , p n = ∑ sgn  p ⋅a 1, p 1⋅...⋅bi , p  ic i , p i ⋅...⋅a n , p n =
p∈S n
p ∈S n
= ∑ sgn  p⋅a1, p 1⋅...⋅b i , p i ⋅...
 ⋅a n , p n  ∑ sgn  p⋅a1, p 1⋅...⋅c i , p i⋅...⋅a n , p n =det B det C . Q.E.D.
p ∈S n
Důsl.:
p ∈S n
Přičtení t-násobku j-tého řádku k i-tému (pro i≠ j ) nemění determinant matice.
Důkaz:
obrázkem
Postup: Výpočet determinantu
Převedením na odstupňovaný tvar přičtením násobků ostatních řádků,
ale nesmíme prohazovat řádky ani násobit t∈ K ,
zato můžeme provádět úpravy i na sloupcích.
(přednáška 2.3.09)
2
Věta:
Nechť A a B jsou čtvercové matice stejného řádu nad K, potom platí det  A⋅B=det  A⋅det  B .
Důkaz:
(a) E 1 odpovídá vynásobení i-tého řádku t≠0
Je-li A nebo B singulární, pak A⋅B je singulární.
1
´
Některý řádek singulární matice lze složit lineární kombinací ostatních,
⇒ determinant součinu t-krát vzroste: det E 1= ´
odečtením této kombinace získáme matici s nulovým řádkem a stejným
´
0
determinantem =0 .
Je-li A regulární, lze ji rozložit na součin elementárních matic
(b) E 1 odpovídá přičtení j-tého řádku k i-tému.
A=E 1⋅...⋅E k .
1 ´
∣ ∣
∣ ∣
*
⇒ determinant součinu se nezmění: det E 1=
Potom platí det  A⋅B =det  E ⋅...⋅E ⋅B=det E ⋅ E ⋅...⋅E ⋅B  
=
1
k
1
2
k
*
= det E 1 ⋅det E 2⋅...⋅E k⋅B  .

Ad. *, máme dvě možnosti.
Důsl.:
´
⋱
´
´
´
´ ´ 0
´ ´ ´
t ´ ´ =t
´ ⋱ ´
´ ´ 1
´ ´ 0
´ ⋱ ´ 1 ´
´ ´ ⋱ ´ ´ =1
´ ´ ´ ⋱ ´
0 ´ ´ ´ 1
Tedy det E 1⋅...⋅det E k ⋅det B =det E 1⋅...⋅E k ⋅det B=det A⋅det B  .
Q.E.D.
(a) Čtvercová matice A je regulární, právě když det  A≠0 .
(b) det  A− 1=det a −1 , respektive det  A⋅det  A−1 =1 .
Značení: Ai , j značí matici, která vznikne z matice A vypuštěním i-tého řádku a j-tého sloupce.
Tvrz.: Rozvoj determinantu podle i-tého řádku.
Pro
libovolnou matici A řádu n≥2 a
libovolné i ∈{1 , ... , n}
n
platí det  A=
∑ a i , j⋅−1i j⋅det  Ai , j  .
j =1
Pozn.,
toto je efektivní pro řádky s n−1 nulami.
Důkaz:
(a) Vytýkání prvků a i , j z předpisu pro determinant – nebudeme dokazovat
(b) Využití linearity: zapíšeme i-tý řádek jako vhodnou lineární kombinaci:
T
e1
a i,1 , ..., a i , n=a

i,1⋅1,0 ,... , 0a i ,2⋅0,1 , ..., 0...a i , n⋅0,0 ,... , 1
∣ ∣
∣ ∣
∣∣
det  ai ,1
...
ai , n
=a i ,1⋅det  1
... 0
∣ ∣
∣∣  ∣∣
 ...a i , n⋅det
Zbývá určit:
det  0
... 1 ... 0
i1
= −1
 ⋅det 
permutace řádků
0 ... 1 ... 0

1 0 ... ...
x
x
=−1i1⋅−1 j1⋅det 
permutace sloupců
1 je na [i,j]
Def.:
0 ... 1
1 je na[1,j]
0
=−1i j⋅det  A i j 
, Q.E.D.
x - nikdy nevyužijeme
Pro čtvercovo matici A definujeme adjungovanou matici adj  A
změna pořadí indexů!
předpisem
Věta:

A
i j
j,i
adj  Ai , j=−1 ⋅det 
Pro každou regulární matici A platí
−1
A =

.
1
⋅adj  A .
det  A
Důkaz: z rozvoje podle i-tého řádku:
A i⋅adj  A i=det  A

a pro j≠i :
i-tý řádek
A j⋅adj  Ai= rozvoj podle i-tého řádku v matici, která vznikne z A nahrazením i-tého řádku j-tým řádkem =0
   
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
⋅
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Věta:
0
⋱
=

A
det  A
⋱
⋱
0

⇒ A⋅
det  A
1
 A⋅adj  A =I n
det

, Q.E.D.
A−1
adj  A
Cramerovo pravidlo
Nechť A je regulární matice, potom
řešení každé soustavy A⋅x=b lze spočítat po složkách výrazem
x i=
det  Ai  b 
,
det  A
kde Ai  b znamená matici, která vznikne z A nahrazením i-tého sloupce vektorem pravých stran b
Důkaz (1):
1
⋅adj  A⋅b
det  A
n
1
1
X i=
⋅adj  A⋅bi=
⋅∑ adj  Ai , j⋅b j =
det  A
det  A j=1
Důkaz (2):
Označme I i x matici, která vznikne z I n nahrazením i-tého sloupce
vektorem x.
−1
X = A ⋅b=
A⋅I i x= A⋅e 1, A⋅e 2, ... , 
A⋅x ,... = Ai b
Provedeme rozvoj podle i-tého sloupce v Ai b
1
=
⋅det  Ai b  , Q.E.D.
det A
=b
Víme det  I i  x=x i a tedy det  A⋅x i =det A ib  , Q.E.D
3
Postup: Výpočet determinantu (ze cvičení)
∣
∣
a1
I)
V odstupňovaném tvaru stačí součin diagonály:
∣ ∣∣
1 3 5
IV) n= 3 ⇒
an
i= 1
∣
3
5
1
3
5
−6 −6 ≃ −6 ⋅0
1
1 = −6⋅−16=96
0 −11 −27
0 −11 −27
6 7 3
⇒
0
n
=∏ ai
∣ ∣
1
II) Vytýkání z řádku: 2 0 4 ≃ 0
III) n=2
⋱
⋱
∣ac db∣=a⋅d −b⋅c
Sarrusovo pravidlo:
∣ ∣∣ ∣
1 2
1 2 3
4 5
4 5 6⇒ 7 8
7 8 9
1 2
4 5
3
6
9 =1⋅5⋅94⋅8⋅37⋅2⋅6−7⋅5⋅3−1⋅8⋅6− 4⋅2⋅6=225−225=0
3
6
1 2 5
1 3 3
i j
i,j
1 2
3 3 = −6⋅1 1 =−6⋅2 = 12
≃
2
0
4
2 0 0 = −1 ⋅2⋅
⋅−1

⋅det

A

;
př:
j
7 9
7 9
6 7 3
6 7 9
{
n
V) Rozvoj dle i-tého řádku det  A=∑ a i ,
j =1
}
∣ ∣∣ ∣
∣ ∣
Geometrický význam determinantu
Pozn., Známe různé druhy obalů
(1)
L X  Lineární obal
X ∈ℝn , X ={x 1 , ... , x k }
nejmenší vektorový prostor obsahující X.
k
L  X ={∑ a i⋅xi ; x i ∈ X , a i ∈ℝ}
(2)
i= 1
A X  Afinní obal
nejmenší afinní prostor obsahující X.
k
k
i =1
i=1
A  X ={∑ ai⋅x i ; x i ∈ X , a i ℝ , ∑ a i =1}
(3)
K X  Konvexní obal nejmenší konvexní množina obsahující X.
k
k
i =1
i =1
K  X ={∑ a i⋅xi ; xi ∈ X , a i ∈ℝ , ∑ ai =1,∀ i : a i ∈[ 0,1]}
(4)
R X  Rovnoběžnostěn vymezený X.
k
R  X ={∑ a i⋅xi ; xi ∈ X , a i ∈ℝ , ∀ i : a i ∈[ 0,1]}
i =1
Věta:
Pro vektory x1 , ... , x n udává ∣det A∣ , kde A sestává z x1 , ... , x n (po řádcích anebo po sloupcích),
objem rovnoběžnostěnu určeného x1 , ... , x n .
Důkaz (idea): Protože přičítání jiných řádků nemění ani determinant, ale ani objem.
Důsl.:
f lineární zobrazení ℝn ℝ n a
A=[ f ] KK je matice tohoto zobrazení,
 f  v=∣det  A∣⋅vol v

 .
tak platí, že objem vol
Je-li
objem obrazu
těleso
Polynomy
Def.:
Polynom (též mnohočlen) stupně n v proměnné x nad tělesem K je výraz
n
n−1
p  x=a n⋅x a n −1⋅x ...a1⋅xa 0 ,
kde a n ... a 0∈ K , a n≠0 .
Značení p∈ K  x  .
Operace s polynomy
n
m
i
i
p , q∈ K  x  : p  x= ∑ ai⋅x a q  x =∑ b i⋅x , BÚNO n≥m .
i =0
i =0
Sčítání a odčítání
n
a ±b pro i ∈{0 ,... , m}
i
 p±q  x=∑ ci⋅x , kde ci = i i
ai jinak
i =0
Násobení skalárem
n
t ∈ K , pak t⋅p x= ∑ t⋅a i ⋅x
i
i= 0
Násobení mezi sebou
mn
i
 p⋅q x= ∑ ci⋅x , kde ci =
i =0
mini ,n 
∑
a j⋅b i − j
j = max 0,i −m
4
∣ ∣
Dělení se zbytkem
∃r ,t ∈K  X : deg
tdeg q ∧ p=r⋅qt

stupeň t
a
p  x − 1⋅x n−m⋅q  x 
Konstrukce řešení:
má stupeň nižší než p  x .
b1

první člen r
Pozn., Typicky za x volíme prvky z tělesa K, ale lze i jiné struktury, např. čtvercové matice nad K.
n
0
p  x=a n⋅x ...a 1⋅xa 0⋅x
n
p  A=a n⋅A ...a 1⋅Aa0⋅I n
☼:
Pro p∈ℝ  x  platí, že p  x=0 (tj. p  x=0  x =0 ), právě když a 0=...=a n=0 .
Věta:
Malá Fermatova
Pro každé a ∈ℤ p , a≠0 platí a p− 1=1 .
Důkaz:
Zafixuji a, uvážím zobrazení f : i  a⋅i .
Tedy f : {1,..., p−1}{1, ... , p−1} je prosté a f je permutací na {1,... , p−1} .
p −1
p −1
p −1
i =1
i =1
i= 1
∏ i= ∏ a⋅i=a p −1⋅∏ i ⇒1=a p−1 , Q.E.D.
p
Důsl.:
V ℤ p : x − x=0 .
∀ q ∈ℤ p  x ∃ r ∈Z p  x  , deg r  ≤ p−1 : ∀ x ∈ℤ p : q  x = r  x 
Def.:
Kořen polynomu p∈ K  x  je takové a ∈K , že p a=0 .
Např. polynom p  x= x 21
(1) má kořen i v
K =ℂ
(2) nemá kořen v
K =ℝ
(3) nemá kořen v
K =ℤ 3
(4) má kořen 2 v
K =ℤ 5 .
Def.:
Tělesa, kde všechny polynomy mají kořen, se nazývají algebraicky uzavřená.
Věta:
Základní věta algebry
Každý mnohočlen stupně alespoň 1 nad ℂ má kořen.
Důsl.:
Každý mnohočlen stupně alespoň 1 nad ℂ lze rozložit jakou součin n monomů
p  x = a n⋅ x − x1⋅...⋅ x− x n , kde x1 , ... , x n jsou kořeny.
Důkaz (idea): Základní věta algebry:
p x=a n⋅x n...a 1⋅x a 0 …...
Otázka: Reprezentace polynomů p  x stupně n.
– pomocí koeficientů a 0 a n ∈K (+ def.);
– na algebraicky uzavřeném tělese pomocí n kořenů a a 0 ;
– hodnotami p  x v n+1 různých bodech.
snadné
n
 x ,... , x
p  x =∑ a i⋅x i 
n1

i=0
 1
???
–
jakým způsobem lze užít koeficienty a 0 a n polynomu p  x ,
x ; y 
známe-li dvojice i i pro n+1 různých bodů x 1  x n 1 ?

= p  xi 
–
řešíme soustavu o neznámých a 0 a n
a n x n1   a1 x 1  a 0 = y 1
⋮
⋮
⋮
a n x nn1a1 x n1a 0= y n1
Maticově:

   
1 x 1 ⋯ xn1
a0
y1
⋮ ⋮ ⋱
⋮ ⋅⋮ = ⋮
1 x n1 ⋯ x nn1 an
y n1

Vandermondova matice
5
Věta:
Vandermondova matice je regulární, právě když hodnoty x1  xn1 jsou navzájem různé.
Důkaz:
∣
n
1
1
⋮
1
První řádek
odečteme od
ostatních
∣
x1 ⋯ x
⋮ ⋱ ⋮
xn 1 ⋯ xnn1

=
∣
1
0
⋮
0
x1
x2 −x1
⋮
xn 1− x 1
∣
⋯
xn1
n
n
⋯ x 2− x 1
⋱
⋮
⋯ x nn1 −x n1
i−2
i −1
Provedeme rozvoj dle prvního sloupce a vytkneme x ik − xi1=x k −x i  x i−1
k x k ⋅x 1 x 1 
∣
∣
1 x 1 x 1
x 22 x 2⋅x 1 x 21
 n
Vandermantova matice na =

x
−
x

⋅
⋮
⋮
⋮
⋱ =∏ x j− x1 ⋅
∏
∏  x j− xi 
j
1
proměnných x 2 x n1
j= 2
j =2
1≤ i j≤ n1
2
2
1 x n 1 x1 x n1 x n 1⋅x 1 x 1 
n
∣
∣
produkt nenulový ( ⇒ matice regulární) ⇔∀ x i různé. Q.E.D.
Postup: Lagrangerova interpolace - alternativní postup, jak proložit polynom stupně n body x i , yi , i∈{1 n} .
Pro i ∈{1 n1} označme
P i x =
x−x 1 x−x 2 ⋅⋅x−x i−1 x−x i1 ⋅⋅x−x n1
x i−x 1x i −x 2⋅⋅ x i−x i−1 xi− x i1⋅⋅ xi−x n1
Platí Pi  xi  = 1 a pro j ≠ i : Pi x j  = 0 (někde máme x− x j =0 ... nenulový čitatel).
Položíme Px  = y1⋅P1  x  y n1 Pn 1 x  .
Úloha: Jakým způsobem sestavit m klíčů, aby libovolný nm klíčů dokázalo odemknout kód, ale libovolných méně než n nikoliv?
polynom stupně n−1 a určíme jeho hodnoty
v m různých bodech.
Sestavme 

kód
klíč
Vlastní čísla a vlastní vektory
Úvod: Jednoduchý abstraktní model dynamického systému.
Systém
… reprezentován vektorovým prostorem V nad K
Dynamika
… reprezentována lineárním zobrazením f : V  V
Stabilní stavy
(a) pevné body zobrazení f čili f u = u
(b) body jejichž obraz je skalárním násobkem vzoru: f u = a⋅u , a ∈K
Př:
Osová souměrnost v ℝ2
Def:
Nechť V je vektorový prostor nad K a f : V  V je lin. zobrazení.
Vlastním číslem zobrazení f je takové λ ∈K pro které existuje netriviální u ∈V takový, že f u = ⋅u .
Vlastním vektorem příslušný vlastnímu číslu λ je libovolné u ∈V , tž. f u = ⋅u .
(Pozn: Zdvojená definice, abychom obešli u=0 .)
Je-li V konečně generovaný, tj. dim V  = n ∈ℕ ,
potom lze f reprezentovat maticí zobrazení A = [ f ]VV a rozšířit definici na matice:
n
Vlastní číslo matice A je libovolné  ∈ K takové, že A⋅x = ⋅x pro x ∈K , x ≠ 0 .
Vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ je takové x ∈K n , že Ax = λ⋅x
Množina všech vlastních čísel matice se nazývá spektrum matice.
Charakteristický mnohočlen
Úvod:
f u = λ⋅u , u ≠ 0
A⋅x = ⋅x ⇒ A⋅x− λ⋅x = 0 ⇒ A⋅x− λ⋅I⋅x = 0 ⇒  A−λ⋅I ⋅x = 0
Def:
Charakteristickým mnohočlenem matice A nazveme polynom p a t  , který je určen výrazem: p a t  = det  A−t⋅I 
Věta:
Pro každou čtvercovou matici A platí, že λ je jejím vlastním číslem,
právě když je λ kořenem charakteristického mnohočlenu p A t  , čili p A  = 0
Důkaz: viz. úvod...  A− I x=0
Př:
A− I je singulární ⇔
⇔
det  A−t⋅I =0 , x netriviální! Q.E.D.
Viz slidy.
Tvrz.: Jsou-li A, B čtvercové matice stejného řádu nad stejným tělesem, potom A⋅B a B⋅A mají stejná vlastní čísla.
Důkaz: ☼ Pro násobení blokových matic platí:
C
R
R

AB 0 ⋅
I A =

B
Def:
☼:
0
  
0
I
AB
B
   
I
K
J ⋅ P
L R
Q = IPJR IQJS
S
KP LR KQ LS
D
ABA = 
I A ⋅
0 0
BA
0 I
B BA
  

Platí: C⋅R= R⋅D , říkáme, že C a D jsou podobné.
Podobné matice mají shodné charakteristické mnohočleny.
6

C= R⋅D⋅R−1
pC t=det C−t⋅I =det  R⋅D⋅R−1 −t⋅I =det  R⋅D⋅R−1 −t⋅ R⋅I⋅R−1 =det R D −t − I ⋅R−1 =det
 R⋅det  D−t⋅I ⋅det
 R−1  =P d t 


(*)
Podobné matice mají tedy shodná i vlastní čísla.
A⋅B−t⋅I
0
−t⋅I
=∣A⋅B−t⋅I ∣⋅∣−t⋅I∣= p AB t= p BA t=∣−t⋅I ∣⋅∣B⋅A−t⋅I∣=
Čili
B
−t⋅I
B
Stejné charakteristické mnohočleny ⇒ stejná charakteristická čísla, Q.E.D.
∣
Věta:
∣
∣
*⋅toto=1
∣
0
B⋅A−t⋅I
Cayley-Hamilton
Nechť p A t  je charakteristický mnohočlen matice A. Potom platí p A  A = 0 .

Důkaz: Využijeme faktu, že M ⋅adj M =det M ⋅I n , a dosadíme M := A−t⋅I ⇒
p A t
0
⋮
0
0
p At 
⋱
0

0
0
0
0
.
⋱
⋱
0 p A t
adj  A−t⋅I  Má na každém místě polynom proměnné t.
Můžeme zapsat adj  A−t⋅I =t n− 1⋅B n −1...t⋅B 1B 0 , tedy  A−t⋅I ⋅t n− 1⋅B n− 1...t⋅B1 B 0 = p A t⋅I =a n⋅t n⋅I ...a1⋅t⋅I a 0⋅I .
Koeficient u t n :
−I⋅B n −1=a n⋅I
∣⋅A n
ut :
A⋅Bi −I⋅B i− 1=a i⋅I
∣⋅A i
u t0 :
A⋅B 0=a 0⋅I
∣nic
i
Provedeme úpravy (násobení jsou zleva) a sečteme. Pravá strana je a n⋅a n ...a 1⋅Aa0⋅I = p A A
−A n⋅B n −1 A n− 1⋅ A⋅B n−1 −B n −2  An −2⋅ A⋅B n −2 −B n− 3... A 2⋅ A⋅B 2 −B 1  A⋅ A⋅B 1− B 0 A⋅B 0 =0 , Q.E.D.
☼:
(1) Každá matice řádu n má nejvýše n vlastních čísel.
(2) Každá komplexní matice řádu n má „právě“ n vlastních čísel (některá mohou být vícenásobná):
k
p A t=1−t⋅...⋅n −t p A t =1−tr ⋅...⋅k −tr ; ∑ r i=n
1
k
i=1
(3) a 0 = det  A dosazením t = 0
∣
p A t=an⋅t n...a1⋅ta 0=det  A−t⋅I =
a 1,1−t
a 2,2−t
⋱
a n ,n −t
∣
n
(4) a n = −1
(5) a 0 = 1⋅...⋅ n dosazením t = 0 do p A t  =  1−t ⋅...⋅ n−t 
(6)
n
n
i=1
i =1
a n−1=−1n−1⋅∑ ai ,i =−1n −1⋅∑ i
Úloha: (ze cvičení) Ve městě Pupákově jsou tři strany: Asketičtí, Bohatí a Chudí. Podrobným výzkumem se zjistilo, že 75% z těch,
co volilo Askety, je bude volit opět, 5% bude volit Bohaté a 20% chudé. Podobně z těch co volili Bohaté zvolí 60% Bohaté,
20% Askety a 20% Chudé. 80% voličů chudých je bude volit i v následujícím období, o zbylé hlasy se podělí 10% Asketi a
20% Bohatí. Jak bude vypadat limitní rozložení sil v místním (stočlenném) zastupitelstvu?
A
B
C
15 4 2
Ax = x
A= A 0,75 0,20 0,10 ⇒
⇒ 20 A = A' := 1 12 2
20 Ax =20 x
B 0,05 0,60 0,10
4 4 16
C 0,20 0,30 0,80
☼ Rozdělení dle popisků okolo matice, např. na diagonále jsou ti co volí stejně.
☼ Součet sloupců matice dá vždy 1 (100%)

∣
15−t
: 1
4
x  p  :
⇒



∣

4
2
= 15−t 12−t 16−t832−8 12−t – 8 15−t−416−t  =
12−t 2
=  20−t 12−t 11−t  ⇒
4
16−t


−5 4
2
0 9 −3
1 1 −1
1 −8 2 ≃ 0 −9 3 ≃ 0 −3 1
4
4 −4
1 1 −1
0 0
0
2p p
 p = 1 ⇒
3 3
p=
1
2
⇒


1 =11
1 3
=
10 5
11
3 =
20
2 =
x3 = p
2 1
⇒ −3 p=0⇒ x 2 = p /3 ⇒ x = p ; ;1
3 3
x 1 =−2p



1 1 1

x11 = ; ;
, kde každá složka je zastoupení přislušné strany.
3 6 2
☼ Pokud bychom dosadili jiné vlastní číslo příklad by nevyšel smysluplně.
Věta:
Nechť x1 , ... , x k jsou vlastní vektory příslušné navzájem různým vlastním číslům 1 , ... ,  k lineárního zobrazení f.
7
Potom x1 , ... , x k jsou lineárně nezávislé.
Důkaz: indukcí a sporem.
k
Nechť x1 x n tvoří nejmenší protipříklad, tj. ∃a 1 ,... , a k ≠0 : ∑ a i⋅x i=0
i=1
∑ 
k
0 = f 0 = f
i =1
k
k
k
k
i =1
i =1
i= 1
a i⋅x i = ∑ a ⋅f
 xi = ∑ a ⋅
i i = ∑ a ⋅
i k⋅x i
i
i i⋅x i a 0 = k⋅0 = k⋅∑ a ⋅x
i= 1
k
k
k−1
i=1
i=1
i= 1
0 = 0−0 = ∑ a i⋅i⋅x i − ∑ ai⋅k⋅x i = ∑ 
i −k ⋅a

i⋅xi ⇒ x 1 x k−1 jsou lineárně závislé, SPOR s minimalitou protipříkladu. Q.E.D.
≠0
≠0
Def:
Čtvercové matice A, B nazveme podobné, pokud existuje regulární matice R taková, že platí: A = R− 1⋅B⋅R
Věta:
Nechť matice A, B jsou si podobné a  ,x jsou vlastní číslo a příslušný vlastní vektor matice A,
potom y = R⋅x je vlastní vektor matice B příslušný vlastnímu číslu  .
Důkaz: B⋅y = R⋅A⋅R−1 ⋅ R⋅
x =R⋅A⋅x
x=⋅R⋅
x=⋅y
 =R⋅⋅
A=R−1⋅B⋅R ⇒ B=R−1⋅A⋅R , Q.E.D.
☼:
Vlastní čísla diagonální matice jsou prvky na diagonále a kanonická báze dává vlastní vektory.
Def:
Matice A je diagonalizovatelná, pokud je podobná nějaké diagonální matici.
−1
(a) A = R ⋅D⋅R ;  =  Dii je i-té vlastní číslo a j-tý sloupec R− 1 je vlastní vektor A.
k
−1
k
k
k
(b) mocnění matic A = R ⋅D ⋅R ⇒  D i ,i = D i , i
Aplikace:
Tvrz.: Matice A řádu n je diagonalizovatelná, právě když má n lineárně nezávislých vlastních vektorů.
Důkaz:
Má-li platit R−1⋅A⋅R= D , pak sloupce R jednoznačně odpovídají vlastním vektorům.
Důsl:
(1) Má-li matice A řádu n, n různých čísel potom je diagonalizovatelná.
(2) Platí, že A ∈ℂn×n má vlastní čísla 1 , ... ,  k násobnosti r 1 , ... , r k a navíc ∀ i ∈{1 , ..., k} : rank  A−⋅I  = n−r i ,
právě když A je diagonalizovatelná.
Fakt:
Každá čtvercová komplexní matice A je podobná matici v tzv. Jordanově normálním tvaru, což je
...
Tento tvar je dán jednoznačně až na pořadí bloků.
Př:
☼:
  není diagonalizovatelná.
1 1
0 1
 
Nechť A =
 1
0
⋱ ⋱
⋱ 1
0

má vlastní číslo  s příslušným vlastním vektorem x.
  
0
Pak
A⋅x=⋅x ⇔  A−⋅I ⋅x=0 , tedy
1
0
⋱ ⋱
 x n=
⋱ 1
0
0

*
0
⋮
0
(* značí „cokoliv“)
 A−⋅I 
a lze nalézt posloupnost vektor, tzv. zobecněné vektory, takovou, že  A−⋅I ⋅x i = xi 1 .
Def.:
Komplexní čtvercová matice A je hermitovská, pokud platí a i , j = a j ,i (komplexně sdružené číslo).
Def.:
 j ,i
Hermitovská transpozice A je A H , kde  A i , j =  A
H
Jinými slovy:
hermitovská
⇔A = A
T
analogie:
symetrická
⇔A = A
Def.:
Komplexní čtvercová matice A se nazývá unitární, pokud platí A H⋅A = I .
☼:
Součin unitárních matic je unitární: A H⋅A = I , B H⋅B = I ⇒  ABH⋅ AB = B H⋅A H⋅A⋅B = I .
Př.:
☼:
☼
Věta:
H
A=


1 1i ; P t =t 2 – 3t ⇒  =3 , =0
a
1
2
1−i
t
 
1i
3
R= −1
3
1
3
1−i
3
 
1−i
−1
H
 R = R = 13
3
−1
3
1i
3
 
R−1⋅A⋅R= 0 0
0 3
A je diagonizovatelná: A⋅R = R⋅D
A je podobná J : A⋅R = R⋅J
Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná a existuje unitární matice R, že R⋅A⋅R−1 je diagonální.
8
Důkaz: Indukcí podle řádu matice A n := A∈C n×n .
z indukce existuje R n−1 unitární tž. R−1
.
n−1⋅A n−1⋅Rn −1= D n −1
Základní věta algebry ⇒ existuje vlastní číslo 
1 0  0
0
R := P
=S n
n ⋅ ⋮
R n −1
Definujme: n
unitární
unitární
0

a k němu vlastní vektor x
1
 
⋮
Fakt: x 1 lze doplnit dalšími vektory na unitární matici P n = x 1 ⋯
⋮
(Důkaz: Gran-Schmidtova ortogonizace)
Nyní máme matici z které jsme vyšli, její vlastní vektor a unitární
matici.
H

unitární
H
H
H
R−1
n ⋅A⋅R n =R n ⋅A n⋅Rn =S n ⋅P n ⋅A n⋅P n⋅S n =


H
H
H
P Hn  = 
P nH⋅A⋅P n
 P nH⋅A⋅P n  =
 P n ⋅A⋅
☼
z def.
2x na H
Def.:
n−2

1 0  0  0
0
0
⋅
⋮
⋮
R nH−1
0
0
=

0

0
 0
IP
0
0
=

⋮
⋮ R Hn−1 ⋅A n−1⋅ R n−1
0
0
hermitovská
T
P Hn ⋅A⋅P n má v prvním sloupci  ,0 ,... ,0 ⇒ ∈ℝ
(z ☼, je hermitovská)
A n−1 je hermitovská matice řádu n−1 ,

=
A⋅P n má v prvním sloupci vektor ⋅x1 .
Opak.:  K n = n


A n− 1
0
⋅

1 0
0
⋮
0

R n −1


0
=
0

D n−1
, Q.E.D.
je počet koster úplného grafu.
Laplaceova matice grafu G na n vrcholech v 1 ,, v n je matice Q taková,
q i , j=−1⇔ v i , v j ∈E G ; i≠ j
0 jinak
q i , i=deg v i 
že
Qi , j je matice vyniklá y Q vyškrtnutím i-tého řádku a j-tého sloupce.
Věta:
Pro každý graf G platí K G  = detQ 11
Poznámka – důkaz:
∣
∣
n−1 −1 ⋯
n−1 −1 ⋯ −1
−n
n 0
−1 n−1 ⋱
⋮
Q=
 det Q11 = ⋮
0 n
⋮
⋱
⋱ −1
⋮
⋮ ⋱
−1
⋯
−1
n−1

−n
0 ⋯
∣
∣
n
Věta:
⋯ −1
⋯ 0
n− 2
⋱ ⋮ =n
⋱ 0
0 n
Bimet-Cauchyho


T
T
{1 n}
Pro A , B∈K m ×n platí ∣A ⋅B∣= ∑ ∣A I ⋅B I∣; * : I ∈
.
m
*
Důkaz věty o  G :
že w i je list ve zbylém stromu w i1 , ..., wn .
 ,
Zvolíme orientaci G
zavedeme orientovanou matici incidence
{
1
n×m
D∈ℝ ; n=∣V G ∣, m=∣E G∣; d i , j= −1
0
Přeuspořádáme sloupce D 1I podle pořadí w 1 ,... , w n .
v i začátek e j
vi konec e j
jinak

}
D 1I =
☼: D⋅DT =Q . Zavedeme D 1= D bey prvního řádku.
Platí D ⋅D =Q
1
1T
1,1
a dle Bimet-Cauchyho:
∑ ∣D1I⋅D1TI ∣= ∑ ∣D1I 2∣ =
I = {1 ,... ,m}
I = {1 ,... ,m}
 n−1 
 n −1 



⋱
⋱

0
0
0
⋮
0
±1
...determinant ±1 .
lemma
det Q 1,1=det  D 1⋅D 1T =
0  
±1 0 
⋱ 0
⋱
±1
 G 
(2) {e i ; i∈ I } neindukují strom, pak existuje cyklus.
v1 ∉cyklus ⇒ sloupce hran, které jsou LZ ⇒ det=0 .
Lemma 1: ∣D1I∣=±1 , právě když {ei ; i∈ I } indukují strom.
 má komponentu, která obsahuje v 1 :
e1 e 2
Lemma 2: ∣D1I∣=0 , právě když {ei ; i∈ I } neindukují strom.
Stačí již jen dokázat lemmátka.
(1) {e i ; i∈ I } indukují strom, spořádáme vrcholy w 1 ,... , w n tak,

v2 0
9
0
1
1
−1 −1

, Q.E.D.
 LZ
Prostory se skalárním součinem
Úvod: Vektory můžeme násobit jako matici:
∀ a ∈ℂ : i  aa ∈ℝ ii  a⋅a ∈ℝ
Def.:
x⋅y = xy∈ℝ
iii ∣a∣∈ℝ
Nechť je V vektorový prostor nad ℂ . Zobrazení, které dvěma vektorům 
u,
v ∈V přiřadí číslo 〈u∣
v 〉 ∈ℂ ,
se nazývá skalární součin (ss), pokud splňuje axiomy:
N 
 L1
 L2
 KS 
 P
〈
u∣
u 〉=0 ⇔ 
u =0
〈 a⋅u∣v 〉 = a⋅〈u∣v 〉
〈 u v∣w
 〉 = 〈 u∣w
 〉〈 v∣w
〉
〈 v∣u 〉 = 〈 u∣v 〉
〈
u∣
u〉 ≥ 0
∀ u ∈V :
∀ a ∈ℂ , ∀ 
u , v ∈V :
∀ u , v , w
∈V
:

∀ u , v ∈V :
∀ u ∈V :
Pozn., (1) Formálně: 〈∣〉: V ×V  ℂ
(2) Pro prostory nad ℝ se skalární součin definuje stejně, (KS) se interpretuje jako ∀ u , 
v ∈V : 〈 
v∣
u 〉 = 〈
u∣v 〉 .
☼
SS pro ℝ stejné až na axiom (KS):
Př.:
(1) Standardní SS pro aritmetické vektorové prostory:
KS  ∀ u ,v ∈V : 〈 
v∣
u 〉 = 〈
v∣u 〉
n
V = ℂ n : 〈 u∣v 〉 = ∑ u i 
v i = v H⋅u ≠ u H⋅v
i=1
n
n
T
T
V = ℝ : 〈
u∣v 〉 = ∑ u i vi = v ⋅u = u ⋅v
i =1
☼ 〈u∣a⋅
v 〉 = 〈a⋅v∣u 〉 = a⋅〈 
v∣
u 〉 = a⋅〈v∣
u 〉 = a⋅〈
u∣v 〉
(2) SS na ℝ n definovaný pomocí regulární matice A :〈 u∣v 〉 := uT⋅AT⋅A⋅v ,
 
 
T
A := 10 12
〈
u∣
v 〉=u 10 21 
v = u1⋅v 12⋅u1⋅v 12⋅u2⋅v 15⋅u2⋅v 2
(3) SS na prostoru spojitých funkcí integrovatelných na intervalu [ a , b ] :
například V := ℝ
2
b
〈 f ∣ g 〉 = ∫ f  x⋅g  x⋅dx
a
Def.:
Nechť V je vektorový prostor se SS.
Potom norma určená tímto SS je zobrazení ∥∥: V  ℝ dané předpisem ∥u∥ = 〈u∣
u〉 .
Pozn:
Význam:
☼
Na ℝn : 〈u∣
v 〉 = ∥u∥⋅∥v∥⋅cos , kde  je úhel sevřený vektory u a v.
☼
Plyne z cosinové věty: c 2 = a 2b 2−2ab⋅cos 
〈u −v∣
u −
v 〉 = 〈u∣
u 〉〈 
v∣v 〉−2⋅∥
u∥⋅∥
v∥⋅cos 
〈u∣u〉 
−〈u∣v〉−〈 v∣u 〉〈u∣u〉=〈u∣u〉〈v∣v 〉−2⋅∥u∥⋅∥v∥⋅cos 
a=∥
u∥
b=∥v∥
c =∥u −v∥
∥u∥ délka vektoru 
u
∥u⋅
v ∥ vzdálenost vektorů u a v
〈u∣
v 〉  určuje úhel mezi 
u a v
=−2⋅〈 u∣v〉
Věta:
Cauchy-Schwarzova nerovnost
〈u∣
v 〉∣≤ ∥
u∥⋅∥
v∥
Nechť V je vektorový prostor se SS a normou z něj odvozenou, potom platí ∀ u , v ∈V : ∣
.
kvůli ℂ
Důkaz: Je-li u=0 nebo v =0 ⇒ 0≤0 platí.
a ∈ℂ :∥ua⋅v∥ ≥ 0 a tedy 0 ≤∥ua⋅v∥2 = 〈ua⋅v∣ua⋅v 〉 = 〈 u∣u 〉a⋅〈v ∣u〉 
a⋅〈 u∣v 〉a⋅
a⋅〈 v∣v 〉 .
〈 u∣v 〉
Zvolíme a := − ∣ ⇒ eliminuje poslední dva členy.
〈v v〉
〈 v∣u 〉⋅〈u∣v 〉
2
0 ≤ 〈u∣u〉−
⇒ 〈
v∣u〉⋅〈 u∣v 〉 ≤ 〈u∣u〉 〈 v∣v 〉 ⇒ ∣〈 u∣v 〉∣ ≤∥u∥2⋅∥v∥2 
= ∣〈 u∣v 〉∣ ≤ ∥u∥⋅∥v∥
, Q.E.D.
〈v∣v 〉

BÚNO
∣〈 u∣ v〉 2∣
≠0
Důsl.:
n
(1) Nerovnost mezi aritmetickým a kvadratickým průměrem:
Důkaz: Zvolíme v =1 , ,1 ∈ℝ
T
n

u ∈ℝn :
1
∑u ≤
n i =1 i
n
n
∑ u i = 〈 u∣v 〉 ≤ ∥u∥⋅∥v∥ = ∑ u2i⋅ n , Q.E.D.
i=1
i=1
(2) Norma odvozená ze SS splňuje trojúhelníkovou nerovnost: ∥uv∥ ≤ ∥u∥  ∥v∥
10

n
1
2
ui
n∑
i=1
∥uv∥=  〈uv ∣uv 〉 =  〈u∣u〉〈 u∣v 〉〈 v∣u〉〈 v∣v 〉 ≤ ∥u∥22∣〈 u∣v 〉∣∥v∥2 ≤
Důkaz:
≤ ∥u∥22⋅∥u∥⋅∥v∥∥v∥2 = ∥u∥∥v∥2 = ∥u∥∥v∥ Q.E.D.
Odbočka do analýzy
Obecně je norma nad prostorem zobrazení V ℝ
1)
∀ u ∈V :
∥u∥ ≥ 0
2)
∀ u ∈V :
∥u∥ = 0 ⇔ u = 0
3)
∀ u ∈V , a ∈ℂ : ∥a⋅u∥ = ∣a∣⋅∥u∥
4)
∀ u , v ∈V :
∥uv∥≤∥u∥∥v∥
Př.:

p
L p normy na ℝn : ∥u∥ p =
jiných norem:
stat. norma odpovídá p =2.
pozitivnost
jednoznačnost nuly
linearita (?)
trojúhelníková nerovnost
n
∑∣u i p∣
i=1
n
p=1∥u∥1 = ∑ u i
i =1
p=∞∥u∥∞ = 
max u i
i= 1 ,, n
Ortogonalita
Def.:
Dva vektory 
ua
v v prostoru se SS jsou navzájem kolmé (značíme 
u ⊥v ), pokud platí, že 〈u∣
v〉=0 .
☼:
Každý systém vzájemně kolmých vektorů je lineárně nezávislý.
n
Máme: u 1 , ,u n : ∀u i ⊥ u j ∧ ∀ i ≠ j, ale LZ ⇒ u i= ∑ a i u i
Důkaz sporem:
i=2
〈∣ 〉
n
0  〈u i∣u j 〉 = u 1 ∑ a i u i = ∑ a i 〈 u 1∣u i〉 = 0
⇒ SPOR
Q.E.D.
i= 2
Def.:
Nechť Z je báze prostoru V se SS taková, že ∀ v ∈Z : ∥v∥ = 1 a navíc ∀ v , v ' ∈Z : 
v ≠
v' ⇒ 
v ⊥v ' .
Potom takovou bázi nazveme ortonormální bází prostoru V.
☼:
Mějme Z ortonormální bázi prostoru ℝ n .
Pak


⋱  ⋱
T
A= v 1  v n ⇒ A ⋅A=I ⇒ A je ortogonální.
⋱  ⋱
n
H
(analogicky ℂ : A ⋅A = I n ⇒ A je unitární)
(27. 4. 2009)
Tvrz:
Nechť Z =v 1 ,… , v n  je ortonormální báze prostoru V,
n
potom
∀ u ∈V : 
u =∑ 〈
u∣v1 〉⋅v 1〈 
u∣v2 〉⋅v 2...〈
u∣vn 〉⋅v n .
i=1
n
Důkaz: v1 , … , vn je báze, vyjádříme: 
v=
〈u∣vi 〉 =
〈
∣〉
n
∑ a j vj vi
j =1
∑ a i vi , chceme ukázat:
i =1
a i = 〈
u∣
vi 〉
n
= ∑ a j 〈
v j∣v i 〉 = a i ; možnosti: a) „<> = 0“ pro i ≠ j
j=1
, b) „<>= 1“ pro i = j
Q. E. D.
2 možnosti
∈V se koeficientům 〈 u∣vi 〉 říká Fourierovy koeficienty.
Def:
Pro ortonormální bázi v1 ,… , v n  a vektor 
u
Tvrz:
Parsevalova rovnost: Je-li Z =v 1 ,… , v n  ortogonální báze prostoru V, potom ∀ u , w
 ∈V : 〈 
u∣
w 〉 = [ w ] Z [ u] Z
H
n
n
u = ∑ 〈 u∣v i 〉 v i ; w

 = ∑ 〈 w∣vi 〉 vi
Důkaz:
i =1
〈u∣w 〉 =
〈
n
i =1
∣
n
∑ 〈u∣vi 〉 vi ∑ 〈 w∣v j 〉 v j
i =1
j=1
〉
n
n
n
H
= ∑ ∑ 〈u∣vi 〉〈 w∣v j 〉〈 vi∣v j 〉 = ∑ 〈u∣vi 〉 〈w ∣v i 〉 = [ w ] Z [ u] Z Q. E. D.
i =1 j =1
i=1
Def:
Lineární zobrazení f : V  W mezi prostory s SS se nazývá unitární, pokud f zachovává SS.
∀ u , v ∈V : 〈
u∣v 〉 = 〈 f 
u ∣f 
v 〉
Tvrz:
Zobrazení f : V  W je unitární právě když pro normy odvozené se SS platí:
∀ u ∈V : ∥u∥ = ∥ f u ∥
Důkaz:
„=>“
∥u∥= 〈u∣u〉 = 〈 f u∣f u〉=∥ f u ∥
„<=“
Jako u CS nerovnosti.
∥va⋅w∥ = ∥w∥ =
11
Def:
Unitární isomorfismus prostorů s SS se nazývá ISOMETRIE.
Věta:
Nechť V a W jsou prostory s ortogonálními bázemi X=Y, stejné konečné dimenze,
potom platí, že f : V  W je isometrie právě když [ f ]XY je unitární.
Def:
Nechť W je prostor se SS, V ⊆W , a Z =v1 , … , v n je ortonormální báze V.
n
Zobrazení
p :W V je definováno předpisem: p u := ∑ 〈 u∣vi 〉 vi se nazývá ortogonální projekcí prostoru W na V.
i=1
Lemma:Nechť p je ortogonální projekcí W na V, potom 
u – pu  ⊥ vi pro ∀ vi ∈Z
Důkaz:
〈
∣〉
n
n
〈u − p 
u ∣v i 〉 = 
u − ∑ 〈 u∣v i 〉 v i = 〈u∣v i 〉− ∑ 〈 u∣v j 〉 〈v j∣vi 〉 = 〈u∣v i 〉−〈u∣v i 〉 = 0 Q. E. D.
i=1
j=1
Gram-Schmidtova ortogonalizace
Vstup:
Libovolná váze u1 , ... , u n prostoru V se SS.
Výstup:
Ortonormální báze v1 ,… , v n 
Algoritmus:
pro i:=1 do n opakuj
{
i−1
1)
w i := u i−∑ 〈 u i∣v j 〉v j
2)
1
vi =
w
∥wi∥ i
j=1
}
Korektnost:
1)
2)
=>
w i ⊥ v j pro j=i z …
1
1
∥w i∥=
w =
∥w ∥= 1
∥wi∥ i
∥wi∥ i
3)
Pozn,
☼:
u
a

∥
w i ⊥ v j pro i≠ j
∥
span v 1 … v i−1 , ui , v i1 … v n  z lemmatu o výměně
toto je využito ve větě o diagonalizovatelnosti hermitovských matic – potřebujeme G-S algoritmus.
p(u) je nejbližší bod z u v prostoru V.
a = u − p 
u  a ⊥ 
b

b = u − p 
u
a b

∥a −b∥ = 〈 a−b∣a−b〉 = 〈 a∣a 〉−〈
a∣b 〉−〈 b∣a 〉〈
b∣b 〉  ∥a∥
w

p 
u

V
=0
0
(4. 5. 2009)
Ortogonální doplněk
Def:
Nechť V je množina vektorů ve vektorovém prostoru W se SS. Ortogonální doplněk množiny V je množina:
⊥
V := {
u ∈W : u ⊥
v ∀
v ∈V }
Př:
Když hledáme řešení homogení soustavy, tak hledáme Ax =0 <=> hledáme r a ⊥ vůči std. SS.
☼:
U ⊆V ⇒ U ⊥ ⊇V ⊥
Důkaz:
Věta:
u ∈V ⊥ ⇔ u ⊥v ∀ v ∈V ⇒ u ⊥v ∀ v ∈U ⇔ u ∈U ⊥ Q. E. D.
Nechť V je podprostorem W se SS, potom platí:
(a)
V ⊥ je podprostorem W
(b)
V ∩V ⊥ ={
0}
Je-li navíc W konečné dimenze:
(c)
dimV dimV ⊥ =dimW 
⊥
(d)
V ⊥  = V
Důkaz:
(a)
(b)
u , v ∈V ⊥ , ∀ w∈W : 〈uv∣w 〉 = 〈u∣w〉〈 v∣w〉 = 00 = 0 ⇒  uv  ∈V ⊥
II.
u ∈V ⊥ 〈 a⋅u∣w〉 = a⋅〈u∣w 〉 = a⋅0 = 0 ⇒ a⋅u ∈V ⊥
⇒ I.∧II. ⇒ je podprostorem
0  u u
 =0 spor.
sporem: kdyby u ∈V ∩V ⊥ , v ≠ 0
I.
〈∣ 〉
∈V ∈V ⊥
Příprava na (c) a (d):
Vezmeme ortonormální bázi X prostoru V a rozšíříme ji na ON bázi Z prostoru W.
X ={x 1  x n }
Y =Z ∖ X
Cíl: Chceme ukázat, že
Y ={ y 1 y n }
⊥
V = span Y 
12
k
∀ x i ∈ X a ∀ y j ∈Y : xi ⊥ y j ⇒ y j ⊥
1)
l
〈w∣z 〉 =
j=1
l
〈∑ ∣∑ 〉
l
k
 j yj
j=1
i =1
2) Libovolné w ∈V
vyjádříme jako
i =1
k
j =1 i =1
k
∑  j y j∑ i x i
j=1
0 = 〈w∣xi 〉 = i
k
∀ z∈V : Z = ∑ i x i
 i x i = ∑ ∑  j i 〈 y j∣xi 〉 = 0 ⇒ span Y ⊆V ⊥
l
⊥
⇒ Y⊆V ⊥
i=1
∑ j yj
navíc: w ∈ span W  ⇒ w =
∑ i x i
i=1
⇒ w∈span Y  ⇒ V ⊥ ⊆ span Y 
Z je ON báze V
– konec přípravy –
(c)
dimV  = ∣X ∣ ; dim V ⊥  = ∣Y ∣ ; dimW  = ∣X ∣∣Y∣
V ⊥ 
(d)
⊥
Q. E. D.
= span  Z ∖Y  = span  X  = V
Pozitivně definitní matice
Tvrz.: Nechť V prostor se SS a X =  y1 , , y n je jeho báze, potom pro matici
A definovanou: ai , j := 〈 xi∣x j 〉 platí, že ∀ u , v ∈V : 〈 u∣w〉 = [w]HX⋅A⋅[ u ]X
Pozn.: Je-li X ON báze, je A jednotková.
n
Důkaz:
[u] X =  1 ,... ,n  u = ∑ i xi
i =1
n
[w ]X =  1 ,... , n  w = ∑ i x i
i =1
〈∑ ∣∑ 〉
n
〈u∣w〉 =
n
i x i
i =1
j =1
n
n
 j x j = ∑ ∑ i  j 〈 x i∣x j 〉 = [w] HX ⋅A⋅[u] X
Q. E. D.
i=1 j =1
Jaké vlastnosti musí mít A?
1) a ij = 〈 x j∣xi 〉 = 〈 xi∣x j 〉 = a ij ⇒ A je hermitovská
H
2) musí zaručit, že 〈u∣u〉 = [ u ] X⋅A⋅[ u]X  0 pro u ≠ 0
Def:
Hermitovská matice A řádu n se nazývá pozitivně definitní, pokud ∀ x ∈ℂn ∖{∅} platí:
H
x ⋅A⋅x  0 .
Užití:
V MA vyšetřování lokálních a globálních extrémů funkcí více proměnných.
Věta:
Pro hermitovskou matici A řádu n jsou následující podmínky ekvivalentní:
a)
A je pozitivně definetní
b)
A má všechna vlastní čísla kladná
c)
existuje regulární matice U taková, že A = U H⋅U
Důkaz:
(a=>b)
A hermitovská,  vlastní číslo A ⇒  ∈ℝ , vezmeme vlastní vektor x, aby A x =  x
0  x H⋅A⋅x = ⋅x H⋅x
H
(b=>c)
(c=>a)
Tvrz:
⇒ 0
x ⋅x  0 ze součinu na ℂ: a⋅a ≥ 0
A hermitovská => ∃ regulární R, tž. A = R H⋅D⋅R , D diagonální
 : dij =  d ij
 H⋅D⋅R
 = U H⋅U
D
A = R H⋅D
x H⋅A⋅x = x H⋅U H⋅U⋅x =  UxH⋅Ux  0 ⇔ U je regulární ax≠0
Pro pozitivně definitní matice existuje jednoznačná trojúhelníková matice U s kladnými prvky na diagonále taková,
že A = U H⋅U , matici U se říká Choleskeho rozklad.
Důkaz: algoritmem:
Vstup:
hermitovská matice A
Výstup: choleského rozklad, nebo odpověď, že A není poz. definetní.
Pro i:=1 do V proveď:
{
1)

k−1
U ii := aii – ∑ U ki U ki
k=1
2) není-li u ii ∈ℝ , u ii  0
3) pro j = (i + 1) do u proveď:
{
}
u ij :=

⇒ STOP, A není pozitivně definetní
i−1

1
a −∑ U ⋅U }
uii ij k=1 ki kj
Q. E. D.
 
H
Tvrz.: Bloková matice
A=
 a je positivně definitní, právě když 0 a zároveň A−
 1 ⋅a⋅a H je positivně definitní.


a A
13
 

 aH =
Pozn., Gaussovou eliminací sloupce pod  dostaneme

0
a A
∈ℂ
x1 ∈ℂ n .
Důkaz: ⇐ Nechť x ∈ℂ n , x ≠0 , značme x= 
x

  
 a H x1
 x1 =
x H⋅A⋅x = x1, xH ⋅
⋅
=x 1⋅ xH⋅a , x1⋅a H  xH⋅A⋅
a A
x
x
1 H
1 H
H
H
H
H
H



=x1⋅⋅x 1 x 1⋅x ⋅ax 1⋅a ⋅x  x ⋅A⋅x − ⋅x ⋅a⋅a ⋅x  ⋅x ⋅a⋅a ⋅x =




=0
1
1 H
1 H
H
H
= x ⋅ A− ⋅a⋅a ⋅x   ⋅x 1 ⋅x ⋅a ⋅  ⋅x 1  ⋅a ⋅x 0







≥0
y∈ℂ
y ∈ℂ

aH
.
 − 1 ⋅a⋅a H
A

protože alespoň na jedné straně bude ostrá nerovnost, jinak by muselo
platit
zároveň x 1=0∧ x =0 .
⇒ Položíme =eH1 ⋅A⋅e 1, e 1=1,0 , ... , 0T
1 H
Pro libovolné x ∈ℂ n−1 zvolíme x 1 :=− ⋅a ⋅x , potom platí:

H
H
 − 1 ⋅a⋅a H ...
0x ⋅A⋅x= x ⋅ A
⋅...


=0
0
 1⋅a⋅a H je positivně definitní, Q.E.D.
⇒ A−

,
≥0
Důsl.:
(1) Positivně definitní matice lze rozeznat Gaussovou eliminací.
(2) Jacobiho podmínka: Hermitovská matice A řádu n je positivně definitní,
právě když mají matice An , ... , A1 kladný determinant, kde
Ai vznikne z A umazáním posledních n−i řádků a sloupců.
Důkaz: Aplikujeme předchozí tvrzení rekurentně a převedeme do odstupňovaných tvarů …
Bilineární a kvadratické formy
Def:
1.
2.
3.
4.
Nechť V je vektorový prostor nad K a f je zobrazení V ×V  K splňující axiomy:
f
f
f
f
∀ u , v , w ∈V :
∀ u , v∈V ∀ ∈ K :
∀ u , v , w∈V :
∀ u , v∈V ∀ ∈ K :
uv , w= f u , w f  v , w
⋅u , v=⋅ f u , v 
u , v w= f u , v  f u , w
u , ⋅v=⋅ f u , v 
Potom se f nazývá bilineární formou V.
Bilineární forma je symetrická, platí-li ∀ u , v ∈V : f u , v = f v ,u  .
Zobrazení g :V  K se nazývá kvadratická forma,
pokud existuje bilineární forma taková, že ∀ u ∈V : g u  = f u , u .
Def.:
☼:
☼:
Nechť V je vektorový prostor a X = v 1 ,... , v n je jeho báze, pak
matice bilineární formy f vůči bázi X je B, kde platí b i , j = f v i , v j  a
matice kvadratické formy g je matice symetrické bilineární formy, která g vytvořuje, pokud taková existuje.
1
b i , j = f v i , v j  = ⋅ g v iv j −g vi − g v j  ⇒ matice kvadratické formy existuje vždy,
2
je-li K charakteristiky ≠ 2 .
Počítání s maticemi formy:
T
f u , w =[u ] X⋅B⋅[w ]X , protože
f  ∑ a i⋅v i , ∑ b j⋅v j =∑ ∑ ai⋅bj ⋅
f  vi , v j 
i
j
i
j
[ u] X [ w]X
,
B
g  u=[u]TX⋅B⋅[u ] X
Def.:
Pro bilineární formu f na
n
n
K je její analytické vyjádření polynom f  x 1 , ... , x n  , y 1 , ... , y n  =∑ ∑ x i⋅y j⋅b i , j .
T
n
T
i=1 j =1
Podobně analytické vyjádření kvadratické formy vůči dané bázi.
Věta:
Sylvesterův zákon o setrvačnosti kvadratických forem
Nechť V je prostor konečné dimenze nad ℝ a g :V ℝ je kvadratická forma.
Potom existuje báze X taková, že matice g vůči X je diagonální a prvky na diagonále jsou 1, -1 nebo 0,
navíc počet 1, -1, 0 nezávisí na X a je pro všechny vhodné báze stejný.
Důkaz: (a) existence
Zvolíme libovolnou bázi Y, sestavíme matici B ' formy g vůči Y.
Tedy existuje R, že R−1⋅B '⋅R=R T⋅B '⋅R= D ' .
Víme, že pro B matici g vůči X a B ' vůči Y platí B=[id ]TXY⋅B '⋅[id ]XY .
Zvolíme B, S diagonální matice, že:
Víme, že B ' je reálná symetrická.
Platí, že každá symetrická matice A má vlastní čísla reálná a existuje
ortogonální matice R, že A=R⋅D⋅R −1 (známe v „hermitovské“ verzi).
d i ,i0 ⇒b i ,i =1, si , i=  d i ,i
14
Zbývá již jen hranice 1/-1.
Označme n '=rank B =# 1#−1 .
Analytické vyjádření formy g je
d i ,i0 ⇒b i ,i =−1, si ,i = −d i ,i

d i ,i=0 ⇒b i ,i =0, si ,i=1
d i,i
0
 
1
⋱
⋱
0
−1
⋅
0
d i,i
0
⋱
⋅
⋱

d i ,i
=
0
⋱
⋱

g u=
[u] X = x1 , ... , x nT , r=#1 v B
0
⋱
0
0
0
d
d 
d



i ,i
S
i,i
B
T
S
i ,i
y 21 y 22... y 2s − y2s1 −...− y 2n ' , kde
D= DT
Čili platí RT ⋅B '⋅R= S T⋅B⋅S , S, R regulární.
⇒ B=S  ⋅R ⋅B '⋅R⋅S , čili pro bázi X: [id ]XY =R⋅S platí,
že matice B formy g vůči X je diagonální a dle znění věty „(1, -1, 0)“.
Pozn., sloupce [id ]XY jsou tvořeny souřadnicemi vektorů hledané báze X
vůči bázi Y.
(b) jednoznačnost:
Značení: g :V ℝ , X =v 1 , ... , v n  ,Y =w 1 , ... , w n dvě báze takové,
že matice formy g vůči X, Y jsou B, B' diagonální ve tvaru
T −1

T
1
⋱
1
0
−1
⋱
−1
0
−1
−1
0
⋱

x 21 x 22... x2r − x 2r1 −...−x 2n ' , kde
[u]Y = y 1 ,... , y n T , s=# 1 v B'
Pro spor ať r s .
L{v1 , ..., v r }∪ 
L{w s1 , ... , w n } ,
Zvolíme netriviální z∈ 
L1
dim U dim V =dim LU ∪V dim LU ∩V  .
z∈L{v 1 ,... , vr }∖ {0 }⇒ pro [z ]X = x1 , ..., xr T je
alespoň jedno z x 1 , ..., xr ≠0 a zároveň xr1 , ... , x n=0⇒ g z 0 .
(odlišné jen délkou úseků).
z∈L{w s1 , ... , w n}∖ {
0 }⇒ pro [z ]Y = y s 1 , ... , yn T je
alespoň jedno z y s1 ,... , y n≠0 ; y1, ... , ys =0 , čili
0
Pozorování: #0 v B=n−rank B 
=

g z = 
y 21... y 2s − y 2s1−...− y 2n' ≤0 , SPOR. Q.E.D.
n−rank  B '= #0 v B'.
=0
B =RT⋅B '⋅R
Def:
L2
dim  L1 =r , dim L2 =n− s .
Víme, že pro U, V platí
Vektoru # 1,# −1, # 0 se říká signatura formy, respektive signatura symetrické matice, a
příslušná báze se nazývá polární báze.
Úloha: Na závěr, kolik lze v ℝd nalézt nejvíce přímek, aby každé dvě svíraly stejný úhel?
(pokud někdo chce, abych přepsal i tuto úlohu, nechť se mi ozve)
15

NMAI058 Lineární algebra II

Transkript

Podobné dokumenty

1.1 Permutace

1 Operace s OBDD

jjmax

Reprezentace Booleovských funkcí

OES bakalářský - OES | Otevřené Elektronické Systémy

Pdf skripta - Studiumchemie.cz

Jak to ve vesmíru chodí