1 Mechanické kmitání

Transkript

OBCHODNÍ AKADEMIE ORLOVÁ,
PŘÍSPĚVKOVÁ ORGANIZACE
KMITÁNÍ A OPTIKA
UČEBNÍ TEXT PRO DISTANČNÍ FORMU VZDĚLÁVÁNÍ
Mgr. MICHAELA MASNÁ
ORLOVÁ 2006
Obsah
1
Obsah:
Úvod ..................................................................................... 4
Používané symboly................................................................ 5
1 Mechanické kmitání............................................................ 6
1.1 Kmitavý pohyb............................................................................... 7
Úkol 1: ............................................................................................ 8
Úkol 2:............................................................................................ 8
1.2 Harmonický pohyb ........................................................................ 8
Řešený příklad: .............................................................................13
Řešený příklad: .............................................................................13
1.3 Dynamika mechanického oscilátoru ............................................14
Úkol 3:...........................................................................................15
Úkol 4:........................................................................................... 17
Úkol 5:........................................................................................... 17
1.4 Nucené kmitání ............................................................................18
Úkol 6:...........................................................................................19
Shrnutí: ..............................................................................................19
Řešení úkolů:..................................................................................... 20
Korespondenční úkol 1:......................................................................21
2 Mechanické vlnění ............................................................ 22
2.1 Popis vlnění ................................................................................. 23
Úkol 1 ........................................................................................... 25
Úkol 2........................................................................................... 25
Úkol 3........................................................................................... 25
2.2 Stojaté vlnění ............................................................................... 26
Úkol 4:.......................................................................................... 28
Úkol 5:.......................................................................................... 28
2.3 Šíření vlnění v prostoru ............................................................... 28
Shrnutí............................................................................................... 30
Řešení úkolů:......................................................................................31
3 Akustika............................................................................ 32
3.1 Co je to zvuk a jak se šíří? ............................................................ 33
2
Obsah
Úkol k zamyšlení:......................................................................... 35
Úkol 1: .......................................................................................... 35
Úkol 2:.......................................................................................... 35
3.2 Charakteristiky zvuku.................................................................. 36
3.3 Odraz zvuku ................................................................................. 38
Úkol 3:.......................................................................................... 39
Shrnutí:.............................................................................................. 39
Řešení úkolů:..................................................................................... 39
Korespondenční úkol 2: ....................................................................40
4 Světlo jako vlnění .............................................................. 41
4.1 Povaha světla ............................................................................... 42
Úkol 1: .......................................................................................... 43
4.2 Šíření světla.................................................................................. 43
4.3 Jevy na rozhraní dvou prostředí.................................................. 45
Úkol 2:.......................................................................................... 46
4.4 Vlnové vlastnosti světla ............................................................... 47
Úkol 3:.......................................................................................... 50
Úkol 4:.......................................................................................... 50
Úkol 5:.......................................................................................... 50
Úkol 6:.......................................................................................... 50
Úkol 7: .......................................................................................... 50
Shrnutí:...............................................................................................51
Řešení úkolů:......................................................................................51
Korespondenční úkol 3: .................................................................... 52
5 Optické zobrazení ............................................................. 53
5.1 Optický obraz ............................................................................... 54
5.2 Zobrazení zrcadlem ..................................................................... 55
Úkol k zamyšlení:......................................................................... 55
Úkol 1: .......................................................................................... 57
5.3 Zobrazení čočkou......................................................................... 58
Úkol 2:..........................................................................................60
5.4 Lidské oko .....................................................................................61
Úkol k zamyšlení:..........................................................................61
5.5 Optické přístroje .......................................................................... 63
Obsah
3
Úkol 3:.......................................................................................... 64
Úkol 4:.......................................................................................... 64
Úkol 5:.......................................................................................... 64
Úkol 6:.......................................................................................... 64
Úkol 7:.......................................................................................... 64
Shrnutí............................................................................................... 64
Řešení úkolů:..................................................................................... 65
Korespondenční úkol 4: .................................................................... 67
Literatura ........................................................................... 68
Úvod
4
Úvod
Dnešní doba klade na vědu stále větší důraz. Množství základních
poznatků, které by měl jedinec znát, se neustále zvyšuje. Nejde jen
o zvládnutí čtení, psaní a počítání, ale i o umění komunikace, schopnosti
řešit problémy, touhy po poznání, o kritický přístup k práci.
Během studia se naučíte uvědomit si a formulovat problém,
uvažovat o něm, navrhnete možná řešení, naučíte se provádět,
pozorování, shromažďovat údaje a nacházet správné odpovědi. Poznáte,
že vědeckou metodou se můžete dobrat k faktům.
Tento studijní text nenahrazuje učebnice fyziky, kterých existuje na
trhu dostatečné množství. Autoři studijní opory vycházeli ze svých
zkušeností získaných během výuky fyziky v prezenční formě a snažili se
přizpůsobit ji svým obsahem co nejvíce podmínkám distančního
vzdělání.
Studijní opora je rozdělena do 5 kapitol, ve kterých jsou studentům
přiblíženy jevy související s kmitáním, vlněním a optikou. Kapitoly
obsahují řešené příklady, úkoly, jejichž řešení najdete v závěru kapitoly
a korespondenční úkoly.
Î po prostudování opory budete vědět:
−
že kmitání je periodický pohyb;
−
že vlnění je jedním z nejdůležitějších jevů v přírodě;
−
že kolem nás existují zvuky příjemné i nepříjemné a jak tyto
zvuky vznikají;
−
že světlo je vlnění, ale i proud fotonů;
−
že používáme přístroje, které využívají optického zobrazení.
Î budete umět:
−
objevit v běžném životě fyzikální problém a formulovat ho;
−
ujasnit si hlavní a vedlejší otázky;
−
vysvětlovat a třídit údaje;
−
aplikovat výsledky v nových situacích.
Î čas potřebný k prostudování učiva předmětu:
−
13 hodin
Vzdělávání není výcvik, ale spíše proces, který člověku umožní, aby
zabavil sebe, přátele a své myšlení.
Přejeme Vám hodně radosti z poznávání!
Symboly
5
Používané symboly
Průvodce studiem – vstup autora, doplnění tetu
Informace – co se v kapitole dovíte
Klíčová slova
Čas potřebný ke studiu kapitoly
Důležité – pojmy nebo početní vztahy
Příklad – objasnění problematiky nebo řešený příklad
Úkol k zamyšlení
Otázky a úkoly – řešení najdete v rámci opory
Řešení úkolů – vážou se na konkrétní úkoly a otázky
Část pro zájemce – rozšíření látky, pasáže jsou
dobrovolné
Shrnutí – shrnutí látky, shrnutí kapitoly
Literatura
Korespondenční úkol
6
Příklady opakujících se pohybů jsou součástí našeho běžného
života. Pozorujeme houpání dětí na houpačkách, kývání větví
stromů za silného větru, pohupování ukotvených lodiček na
vodě.
Kmitání hlasivek nám umožňuje mluvit, díky chvění
bubínku v našem uchu zase slyšíme. Známe chvění membrány
v telefonním sluchátku a v reproduktoru, houpání
kostelních zvonů nebo chvění kytarových strun.
Kmitání není omezeno jen na látkové objekty, jako jsou
struny. Kmitání pozorujeme také u jevů spojených s šířením
světla, rádiových vln a některých typů záření.
Při studiu těchto jevů nám budou užitečné vědomosti spojené
s kmitáním mechanických systémů.
Î V této kapitole se dozvíte:
−
že kmitání je periodický pohyb;
−
že periodický pohyb konají různé mechanické oscilátory;
−
že potřebujeme znát dobu kmitu a počet kmitů;
−
jaký pohyb nazýváme harmonickým a co je jeho příčinou;
−
že se při kmitání mění potenciální energie oscilátoru na
kinetickou energii a naopak;
−
jaký je rozdíl mezi vlastním a nuceným kmitáním oscilátoru;
−
co je to rezonance.
Î Klíčová slova:
−
periodický pohyb; kmitavý pohyb; kmitání; mechanický
oscilátor; kyvadlo; výchylka; doba kmitu; perioda; kmitočet;
frekvence; amplituda; harmonické kmitání; vlastní kmitání;
nucené kmitání; rezonance.
Î Čas potřebný k prostudování kapitoly:
−
3,5 hodiny.
7
1.1 Kmitavý pohyb
Pohyb, při kterém se těleso pravidelně vrací po určité době do
stejného pohybového stavu, nazýváme periodický pohyb. Nazýváme
ho také kmitavý pohyb nebo zjednodušeně kmitání.
Zařízení, které volně kmitá bez vnějšího působení, nazýváme
mechanický oscilátor. Jeho kmitání způsobuje ve většině případů
buď tíhová síla, příkladem je pohyb kuličky zavěšené na niti, nebo síla
pružnosti, příkladem je pohyb tělesa zavěšeného na pružině.
Zavěsíme-li na pružinu závaží, ustálí se závaží v určité
rovnovážné poloze O, viz obr. 1.1.
Obr. 1.1: Kmitavý pohyb
Zatáhneme-li za závaží, pružina se prodlouží, závaží se dostane do
polohy C. Pustíme-li závaží, pružina se stahuje, závaží se vrací přes
obecnou polohu A do rovnovážné polohy, ale setrvačností přeběhne dále
a zastaví se v horní krajní poloze B. Pak se vrací zpět, přes
rovnovážnou polohu do spodní krajní polohy C. Znovu změní směr
pohybu a vrací se do polohy A.
Říkáme, že závaží vykonalo jeden kmit. Tento pohyb se
pravidelně opakuje, závaží na pružině kmitá.
Vzdálenost kmitajícího bodu od rovnovážné polohy se
nazývá okamžitá výchylka y. Největší (maximální) výchylka od
rovnovážné polohy, tzn. vzdálenost krajní polohy od rovnovážné polohy
je amplituda výchylky ym.
Kmitání mechanického oscilátoru charakterizuje doba, za
kterou vykoná jeden kmit. Je to doba kmitu neboli perioda T.
Můžeme také říct, že perioda je nejkratší doba, za kterou se periodický
děj opakuje. Jednotkou periody je sekunda s.
8
Někdy potřebujeme vyjádřit, kolik kmitů udělá oscilátor za
jednotku času. K vyjádření tohoto údaje zavedeme fyzikální veličinu
kmitočet nebo frekvence f. S periodou souvisí vztahem:
1
1
f =
T=
T
f
Jednotkou frekvence je hertz Hz.
1 Hz = 1s -1
Úkol 1:
Jaká je perioda procesoru počítače Intel Pentium 4, je-li jeho
frekvence 2,4 GHz?
Úkol 2:
Za 16 s vykonal jeden oscilátor 64 kmitů, druhý oscilátor 40 kmitů.
Určete jejich frekvenci a periodu.
(řešení najdete na konci kapitoly)
1.2 Harmonický pohyb
Možná jste na televizní obrazovce zahlédli vybavení televizních
přenosových vozů. A na některé z jejich obrazovek se míhaly
„vlnovky“ jako záznam zvukových signálů.
Podobné „vlnovky“ jste mohli vidět při sledování některého
válečného filmu, kdy jedna ponorka pomocí ultrazvukového
lokátoru sleduje jinou.
A v neposlední řadě jste podobný záznam mohli spatřit při
lékařské prohlídce v podobě vašeho kardiogramu.
Všechny tyhle „vlnovky“, přesně řečeno sinusoidy nám
zobrazují závislost výchylky kmitavého pohybu na čase.
Zobrazení závislosti výchylky kmitavého pohybu mechanického
oscilátoru na čase můžeme získat jednoduchým způsobem. Např. tak, že
kmitající závaží na pružině opatříme pisátkem a necháme je psát na
pruh papíru, který rovnoměrně posunujeme, viz obr. 1.2.
9
Obr. 1.2: Záznam výchylky kmitavého pohybu
Výsledkem zápisu nebo časovým rozvinutím pohybu tělesa na
pružině je křivka zvaná sinusoida. Udává závislost okamžité
výchylky na čase.
Matematicky vyjadřuje tuto závislost rovnice:
y = y m sin ωt ,
ym je amplituda výchylky.
Fyzikální veličinu ω známe z kapitoly o rovnoměrném
pohybu po kružnici jako úhlovou rychlost. Ve vztazích
týkajících se kmitavého pohybu ji budeme nazývat úhlová
frekvence. S frekvencí a periodou kmitavého pohybu souvisí vztahem:
2π
,
ω = 2π f =
T
její jednotkou je s-1, používáme také jednotku rad . s-1.
Fyzikální veličina ωt nám určuje, jak se výchylka kmitavého
pohybu mění v průběhu času. Nazýváme ji fáze kmitavého
pohybu.
Kmitavý pohyb, jehož výchylka závisí na čase funkcí sinus
nebo kosinus, se nazývá harmonický kmitavý pohyb nebo
harmonické kmitání.
Existují samozřejmě i neharmonické periodické děje, popsané jinými křivkami
než sinusoidami, např. křivkami s pilovitým nebo obdélníkovým průběhem. Sinusoidy
jsou ale nejdůležitější jak z teoretického, tak praktického hlediska.
Rychlost harmonického kmitavého pohybu
Pro její odvození vyjdeme ze souvislostí harmonického
kmitavého pohybu s rovnoměrným pohybem po kružnici.
Praktickým příkladem je strojní součástka ojnice, která např.
u automobilu přenáší kmitavý pohyb pístu motoru na kruhový pohyb
kol. Její model je na obr. 1.3.
10
Obr. 1.3: Model ojnice
Na obr. 1.4 kmitá na pružině těleso o hmotnosti m. Stejné
těleso se pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici.
Poloměr kružnice r je roven amplitudě výchylky ym. Frekvence
kmitajícího tělesa je stejná jako frekvence obíhajícího tělesa.
Představme si, že se na obíhající těleso díváme z boku.
Z tohoto pohledu nevnímáme kruhový pohyb tělesa, ale máme
pocit, že těleso kmitá obdobně jako těleso na pružině.
Obr. 1.4: Souvislost harmonického kmitání s kruhovým pohybem
V určitém časovém okamžiku má těleso na pružině výchylku y.
Této výchylce odpovídá poloha tělesa na kružnici. Jeho průvodič
opsal úhel ϕ. Ze znalostí vztahů pro pohyb po kružnici víme, že:
ϕ
ω=
⇒ ϕ = ωt .
t
11
Rychlost tělesa obíhajícího po kružnici je
vK = r ω = y mω .
Z našeho bočního pohledu vnímáme pouze její svislou složku
v = vK cosϕ .
Tato složka je hledanou rychlostí harmonického pohybu.
Matematickou úpravou dostaneme pro rychlost harmonického
pohybu vztah:
v = y m ω cos ϕ = y m ω cos ωt
Velikost rychlosti harmonického pohybu se v průběhu času
mění. V krajních polohách je nulová, při pokračování pohybu
narůstá. Největší hodnoty dosahuje při průchodu tělesa
rovnovážnou polohou.
Zrychlení harmonického kmitavého pohybu
Vztah pro zrychlení harmonického kmitání můžeme odvodit
podobným způsobem jako vztah pro rychlost z analogie s rovnoměrným
pohybem po kružnici.
Z obrázku 1.4 zjistíme, že zrychlení harmonického pohybu a
je svislou složkou dostředivého zrychlení ad.
a = a d sin ωt
Vztah pro dostředivé zrychlení rovnoměrného kruhového
pohybu známe:
ad = r ω 2 = y mω 2
Po matematických úpravách získáme vztah pro zrychlení
harmonického kmitavého pohybu:
a = − y m ω 2 sin ωt = − y ω 2
Znaménko mínus ve vztahu znamená, že zrychlení kmitajícího
tělesa má vždy opačný směr než je směr výchylky.
Ještě bychom si měli něco říct k fázi kmitavého pohybu.
Zatím jsme předpokládali kmitavý pohyb, při němž bylo těleso
v počátečním okamžiku, tj. v čase t = 0, v rovnovážné poloze.
V tomto případě je na počátku fáze kmitavého pohybu ωt = 0.
Často se stává, že oscilátor je v počátečním okamžiku v jiné
poloze, např. v některé z krajních poloh. Počáteční polohu pak
určíme pomocí úhlu ϕ0, který odpovídá počáteční výchylce. Tento
úhel nazýváme počáteční fáze.
12
Rovnice pro výchylku, rychlost a zrychlení harmonického pohybu
potom píšeme ve tvaru:
y = y m sin (ωt + ϕ 0 ) v = y m cos(ωt + ϕ 0 ) a = − y m ω 2 sin (ωt + ϕ 0 ) .
Následující obrázky zobrazují těleso na pružině, jeho odpovídající
polohu při kruhovém pohybu a závislost okamžité výchylky na čase.
Obrázek 1.5 znázorňuje situaci, kdy harmonický pohyb začíná
v rovnovážné poloze.
Počáteční fáze ϕ0 = 0, rovnice výchylky: y = ym sin ωt .
Obr. 1.5: Nulová počáteční fáze
Na obrázku 1.6 má harmonický pohyb začátek v horní
krajní poloze.
Počáteční fáze ϕ0 = π/2, rovnice výchylky: y = y m sin (ωt + π / 2) .
Obr. 1.6: Počáteční fáze π/2
Na obrázku 1.7 má harmonický pohyb začátek v dolní krajní
poloze.
Počáteční fáze ϕ0 = - π/2, rovnice výchylky: y = y m sin (ωt − π / 2) .
Obr. 1.7: Počáteční fáze - π/2
13
Řešený příklad:
Těleso koná harmonický kmitavý pohyb popsaný rovnicí
y = 3 sin( 2t − π / 4) . Výchylka je uvedena v metrech, čas v sekundách.
Napište rovnici pro zrychlení tělesa. Určete, kde se nachází těleso
v počátečním okamžiku, nad rovnovážnou polohou nebo pod
rovnovážnou polohou.
Ze zadané rovnice si určíme hodnoty amplitudy, úhlové
frekvence, fáze a počáteční fáze srovnáním s obecnou rovnicí pro
výchylku. Hodnoty dosadíme do rovnice pro zrychlení tělesa:
výchylka kmitavého pohybu: y = y m sin (ωt + ϕ 0 ) ⇒
amplituda tělesa: y m = 3 m ; úhlová frekvence: ω = 2 rad ⋅ s -1
fáze kmitavého pohybu: ωt = 2t − π / 4 ; počáteční fáze: ϕ 0 = −π / 4 .
Dosazením do rovnice pro zrychlení: a = − ymω 2 sin (ωt + ϕ 0 )
dostaneme rovnici zrychlení našeho pohybu:
a = −3 ⋅ 2 2 sin (2t − π / 4 ) = −12 sin (2t − π / 4 )
Počáteční fáze je -π/4, odpovídající počáteční poloha
y0 = ym sin (ϕ0 ) = 3sin ( −π / 4 ) < 0 ⇒ těleso se v počátečním okamžiku
nachází pod rovnovážnou polohou.
Řešený příklad:
Těleso koná harmonický kmitavý pohyb. Jeho pohyb můžeme
popsat rovnicí y = 0,003 sin 250π t . Určete, jakou dráhu těleso urazí
během doby 0,4 s.
Protože je počáteční fáze ϕ0=0, začíná těleso svůj pohyb
v rovnovážné poloze. Určíme periodu kmitání. Z tohoto údaje pak
zjistíme celkovou dráhu pomocí jednoduché úvahy.
Ze zadané rovnice pro okamžitou výchylku plyne ω = 2π = 250π ,
T
π
odkud.
T = 2 = 0,008s
250π
Těleso urazí za dobu periody dráhu rovnou čtyřnásobku amplitudy,
tj. 4 . 0,003 = 0,012 m.
0,4
Časový úsek 0,4 s odpovídá přesně
= 50 periodám, proto
0,008
celková dráha je
{s} = 0, 012 ⋅ 50, s = 0, 6 m .
14
1.3 Dynamika mechanického oscilátoru
V této kapitole se budeme zabývat tím, jaké síly způsobují
harmonické kmitání mechanického oscilátoru.
Jistě jste ve svém životě zkusili někdy natáhnout nějakou
pružinu, třeba při cvičení s posilovači svalů. A vaše zkušenost
vedla k těmto závěrům:
− některé pružiny jdou snadněji natáhnout než jiné;
− čím více pružinu natahuji, tím větší sílu musím
vynaložit;
− natažená pružina má snahu se „smrsknout“,
stlačená pružina naopak natáhnout.
V úvodu kapitoly o kmitání jsme si řekli, že těleso zavěšené na
pružině je příkladem mechanického oscilátoru, jehož kmitání
způsobuje síla pružnosti.
Pokud je oscilátor v klidu, nachází se těleso v rovnovážné
poloze. Na těleso působí svislým směrem dolů konstantní tíhová
síla FG, opačným směrem síla pružnosti FP, jejíž velikost závisí
na natažení pružiny.
Obr. 1.8: Síly působící na těleso na pružině
V rovnovážné poloze mají obě síly stejnou velikost, ale
opačný směr, viz obr. 1.8 (a). Výsledná síla F, která působí na
oscilátor, je nulová.
Když těleso vychýlíme směrem dolů, síla pružnosti se
v důsledku prodloužení pružiny zvětší. Výsledná síla F působící na
těleso směřuje nahoru do rovnovážné polohy, viz obr. 1.8 (b).
Pokud těleso vychýlíme směrem nahoru, tak se síla pružnosti
zmenší. Výsledná síla F směřuje dolů, opět do rovnovážné
polohy, viz obr. 1.8 (c).
15
Harmonické kmitání mechanického oscilátoru je
způsobeno silou F, jejíž velikost přímo úměrná výchylce
a v každém okamžiku směřuje do rovnovážné polohy.
Matematický vztah pro určení síly způsobující harmonické kmitání
zní:
F = −k y ,
kde konstanta úměrnosti k je tuhost pružiny a je skutečně
mírou toho, jak pružina „tuhá“. Její jednotkou je N.m-1.
Znaménko mínus vyjadřuje skutečnost, že směr výsledné síly
je vždy opačný ke směru výchylky.
K určení frekvence a periody pružinového oscilátoru využijeme
druhý Newtonův pohybový zákon. Dosadíme-li za zrychlení
harmonického pohybu, získáme pro sílu F vztah:
F = m a = −m y ω 2
Porovnáním obou vztahů a matematickou úpravou dojdeme
k vyjádření frekvence a periody pružinového oscilátoru:
k
k
k
− m y ω 2 = −k y ⇒ ω 2 =
⇒ ω=
⇒ 2π f =
m
m
m
f =
1
2π
k
m
T = 2π
m
k
Frekvence a perioda pružinového oscilátoru závisí na
hmotnosti kmitajícího tělesa a na tuhosti pružiny, nezávisí na
amplitudě výchylky.
Úkol 3:
Nenaložený nákladní automobil má hmotnost 800 kg. Naložením
nákladu o hmotnosti 2,5 t klesne karoserie o 50 cm. Určete periodu
kmitání pružin tlumiče prázdného i naloženého automobilu.
Upevníme dlouhé vlákno na nosník a na jeho konec zavěsíme
kuličku. Když ji slabě vychýlíme, začne se periodicky pohybovat.
Získáme další příklad mechanického oscilátoru, kyvadlo.
Při zkoumání mechanického kmitání používáme modelové
kyvadlo. Tvoří ho bodová částice o hmotnosti m, zavěšená na
nehmotném závěsu délky l. Tento model nazýváme matematické
kyvadlo.
16
Na závaží kyvadla působí dvě síly, tíhová síla FG = mg a tahová
síla závěsu FN, viz obr. 1.9.
Tíhovou sílu můžeme rozložit na dvě složky: mg cos α a tečnou
složku mg sin α .
Tečná složka představuje vratnou sílu F, která působí vždy
proti výchylce kyvadla a snaží se vrátit ho do rovnovážné polohy.
F = − mg sin α
Budeme předpokládat, že výchylka kyvadla je velmi malá,
α < 5° . Kruhový oblouk můžeme považovat za úsečku.
V obrázku 1.9 je tato úsečka označena y.
Obr. 1.9: Matematické kyvadlo
Vratnou sílu můžeme napsat ve tvaru:
y
mg
F = − mg sin α = − mg = −
y,
l
l
mg
kde výraz
má stejný význam jako tuhost pružiny k.
l
Dosazením do vztahu pro frekvenci a periodu kmitavého pohybu
pružiny, získáme vztah pro frekvenci a periodu kyvadla:
mg
1 k
1
m
1
m
1 l
l = 1 g
f =
=
T = 2π
=
=
2π m 2π m
2π l
k 2π mg 2π g
l
Perioda kmitavého pohybu kyvadla nezávisí na hmotnosti
závaží ani na velikosti výchylky. Je závislá na délce závěsu
kyvadla.
17
Kmitání mechanického oscilátoru lze zkoumat také
z hlediska časového vývoje jeho energie. V počátečním
okamžiku, kdy oscilátor vychýlíme z rovnovážné polohy, mu
dodáme energii. Během jedné periody se hodnoty kinetické
a potenciální energie oscilátoru mění, přecházejí střídavě jedna
v druhou, celková mechanická energie je zachována (v ideálním
případě).
Pokud se mechanický oscilátor nachází v rovnovážné poloze, má
největší rychlost a tudíž maximální kinetickou energii. Potenciální
energie je minimální a můžeme ji volit rovnou nule. Jeho celková
energie pak dána pouze energií kinetickou.
V obou krajních polohách je naopak rychlost oscilátoru nulová
a kinetická energie rovna nule. Celková energie je rovna energii
potenciální, která zde nabývá maximální hodnoty.
Kmitání mechanického oscilátoru, při kterém je oscilátoru dodána
energie jen v počátečním okamžiku, nazýváme vlastní kmitání
oscilátoru.
U skutečného mechanického oscilátoru dochází k přeměně
mechanické energie kmitavého pohybu na jiné druhy energie.
Dochází k tomu vlivem třecí síly nebo odporové síly prostředí.
Díky těmto vlivům se amplituda kmitání postupně zmenšuje,
až kmitání zanikne. Vlivy označujeme jako tlumení kmitavého
pohybu.
Vlastní kmitání reálného mechanického oscilátoru je vždy
tlumené.
Úkol 4:
Na pružině s tuhostí 20 N.m-1 kmitá závaží o hmotnosti 500 g.
Určete délku kyvadla se stejnou periodou.
Úkol 5:
Na pružinu zavěsíme těleso o hmotnosti 960 g. V rovnovážné
poloze je prodloužení pružiny 6,4 cm. Amplituda výchylky je 4 cm.
− Určete periodu kmitu.
− Vypočítejte frekvenci pohybu.
− Napište rovnici harmonického kmitání tělesa.
18
1.4 Nucené kmitání
V reálném světě je obvykle kmitání tlumené. Třecí síly
postupně přeměňují mechanickou energii na teplo. Kmitavý
pohyb ustává.
Tyto ztráty mechanické energie nemůžeme nikdy úplně
vyloučit, ale můžeme energii dodávat z vhodného zdroje.
Např. děti na houpačce dokážou švihnout nohama nebo
je skrčit podle pohybu houpačky. Tím udržují kmitání
houpačky.
Jestliže oscilátor kmitá v důsledku časově proměnného,
zpravidla periodického vnějšího silového působení, vzniká nucené
kmitání oscilátoru. Např. situace, kdy další osoba periodicky tahá
nebo tlačí houpačku.
V případě nuceného kmitání oscilátoru musíme brát
v úvahu dvě úhlové frekvence: vlastní úhlovou frekvenci
oscilátoru ω a frekvenci vnější budicí síly ωB. Amplituda oscilátoru
je pro každou frekvenci jiná.
Největší amplitudy výchylky dosáhneme, když se
frekvence vnějšího působení rovná vlastní frekvenci
oscilátoru. Tento případ nuceného kmitání se nazývá rezonance
oscilátoru.
V případě naší houpačky k tomu velmi rychle dospějeme metodou
zkoušek a omylů. Jestliže budeme strkat s jinou frekvencí, vyšší, nebo
nižší, amplitudy výchylky budou malé.
Význam rezonance spočívá v tom, že malou, periodicky
působící silou můžeme v oscilátoru vzbudit kmitání o velké
amplitudě.
Rezonance se využívá k zesílení zvuku hudebních nástrojů,
v elektrotechnice a ve sdělovací technice.
V technické praxi se setkáváme i s nežádoucí rezonancí,
např. při činnosti strojních zařízení konajících otáčivý pohyb, nebo
u mechanizmů, které obsahují pružné prvky, např. pérování
automobilu.
19
Smyčcem houslí rozkmitáme strunu, která vydá zvuk
sotva slyšitelný. Kmitání se přenáší na tělo houslí, jehož
dřevěné části způsobí rezonanční zesílení zvuku.
Naopak letečtí konstruktéři musí zajistit, aby se vlastní
frekvence křídel lišila od frekvence pístů při otáčkách
motoru. Bylo by nebezpečné, kdyby se při určitých otáčkách začalo
křídlo třepat
K potlačení nežádoucí rezonance se používá změna vlastní
frekvence, použití tlumičů kmitů nebo zvětšení tření
mechanizmu.
Úkol 6:
V kterých případech je pro nás rezonance příznivá a kdy se ji
snažíme omezit?
− vibrování ždímačky;
− rozhoupávání těžkých zvonů;
− pochod vojenské jednotky po mostě;
− hudba;
− výkyvy výškových budov při silném větru.
Shrnutí:
−
Kmitání je periodický pohyb, který vykonávají mechanické
oscilátory.
−
Mechanický oscilátor je zařízení, které volně kmitá bez
vnějšího působení. Jeho kmitání způsobuje síla pružnosti nebo
tíhová síla. Příkladem mechanického oscilátoru je těleso
zavěšené na pružině nebo kyvadlo.
−
Doba kmitu neboli perioda je doba, za kterou vykoná
oscilátor jeden kmit. Počet kmitů za jednotku času je
frekvence.
−
Harmonický kmitavý pohyb je kmitavý pohyb, jehož výchylka
závisí na čase podle funkce sinus nebo kosinus. Harmonické
kmitání je způsobeno silou, která je přímo úměrná výchylce
a v každém okamžiku směřuje do rovnovážné polohy.
−
Během jedné periody se mění hodnoty potenciální a kinetické
energie oscilátoru. Kmitání oscilátoru, při kterém je dodána
energie jen na počátku děje, nazýváme vlastní kmitání
oscilátoru.
20
−
Frekvence a perioda vlastního kmitání je určena vlastnostmi
oscilátoru. U pružinového oscilátoru závisí na hmotnosti
kmitajícího tělesa a na tuhosti pružiny. V případě kyvadla
závisí na délce závěsu.
−
Vlastní kmitání reálného oscilátoru je tlumené. Periodickým
působením vnější budicí síly vzniká kmitání nucené.
Amplituda nuceného kmitání je nejvyšší, když je vlastní
frekvence oscilátoru shodná s frekvencí budící síly, při tzv.
rezonanci.
Řešení úkolů:
1. Perioda kmitavého pohybu
f = 2,4 GHz = 2,4 ⋅ 10 9 Hz; T = ? s
1
{T } = 1 9
T=
T = 4,2 ⋅ 10 −10 s = 0,42 ns
f
2,4 ⋅ 10
2. Frekvence určuje počet kmitů za sekundu
t = 16 s; pk1 = 64 kmitů; pk2 = 40 kmitů; T1 = ? s; T2 = ? s;
{ f1 } = 64 f1 = 4 Hz T1 = 1 {T1 } = 1 T1 = 0,25 s
16
f1
4
{ f 2 } = 40 f 2 = 2,5 Hz T2 = 1 {T2 } = 1 T2 = 0,4 s
16
f2
2,5
3. Nejdříve si vypočítáme tuhost pružiny, potom periodu kmitání
m1 = 800 kg; m2 = 2,5 t = 2 500 kg; y = 50 cm = 0,5 m; TP = ? s; TN = ? s
tuhost pružiny:
F m g
{k } = 2500 ⋅ 10 k = 50 000 N ⋅ m -1
F =ky ⇒ k= = 2
y
y
0,5
perioda kmitání prázdného automobilu:
m1
{TP } = 2π 800
TP = 2π
TP = 0,79 s
k
50 000
perioda kmitání naloženého automobilu:
m1 + m2
{TN } = 2π 800 + 2 500
TN = 2π
TN = 1,61 s
k
50 000
4. Vycházíme z toho, že periody obou oscilátorů jsou shodné:
k = 20 N ⋅ m -1 ; m = 500 g = 0,5 kg; l = ? m
2π
l
m
= 2π
g
k
⇒
l m
=
g k
⇒ l=
m⋅ g
k
{l} = 0,5 ⋅ 10
20
l = 0,25 m
5. Opět si nejprve vypočítáme tuhost pružiny, pak ostatní veličiny
m = 960 g = 0,96 kg; y = 6,4 cm = 0,064 m; y m = 4 cm = 0,04 m
m⋅ g
{k } = 0,96 ⋅ 10 k = 150 N ⋅ m -1
tuhost pružiny: k =
y
0,064
perioda: T = 2π
m
k
{T } = 2π
0,96
150
21
T = 0,5 s
1
{ f } = 1 f = 2 Hz
T
0,5
rovnice výchylky: y = y m sin 2π ft ⇒ y = 0,04 sin 4π t
frekvence: f =
6. Rezonance
− vibrování ždímačky – nepříznivá;
− rozhoupávání těžkých zvonů – příznivá;
− pochod vojenské jednotky po mostě – nepříznivá;
− hudba – příznivá;
− výkyvy výškových budov při silném větru – nepříznivá.
Korespondenční úkol 1:
Víte, kde se nachází oscilátor v daném okamžiku?
Harmonické kmitání oscilátoru je popsáno rovnicí:
2
y = 0,05 sin π t m
3
− V jaké poloze se nachází závaží na začátku pohybu, v čase
t = 0 s?
− Vypočítejte periodu daného kmitavého pohybu.
− Načrtněte graf závislosti okamžité výchylky na čase pro dobu
dvou period.
− V grafu vyznačte amplitudu výchylky a periodu pohybu.
− Vypočítejte časy, ve kterých se oscilátor nachází v rovnovážné
poloze, v horní krajní poloze a v dolní krajní poloze.
− Za jak dlouho od začátku pohybu bude okamžitá výchylka
závaží 0,04 m?
− Vyznačte polohu v grafu.
− Kolik takových poloh najdete během jedné periody a jaká doba
mezi nimi uplyne?
2 Mechanické vlnění
22
Vlnění je jedním z nejdůležitějších jevů v přírodě i v praktickém
životě.
Každý z nás téměř denně používá telefon k předávání a získávání
informací od jiných lidí. Při telefonování vlny přenášejí informaci
z místa na místo. Nejprve zvukové vlny předají naši zprávu od
hlasivek k mikrofonu telefonu.
Pak se informace zmocní elektromagnetické vlny a přenášejí
ji měděným nebo optickým kabelem nebo atmosférou, případně
vakuem přes družici. Na konci je informace znovu předána zvukovým
vlnám a doputuje do ucha účastníka na opačném konci telefonního
spojení.
Informace je předána, ale neputují s ní žádné hmotné objekty.
Už Leonardo da Vinci napsal: „Větrem vytvořené vlny běží
přes obilné pole, zatímco jednotlivé klasy zůstávají na
místě.“
−
že mechanické vlnění je děj, při němž se kmitání šíří do okolí
kmitajícího oscilátoru;
−
že existuje postupné vlnění podélné a postupné vlnění příčné;
−
že při vlnění nedochází k přenosu látky, ale energie;
−
že vlnění charakterizuje vlnová délka;
−
že stojaté vlnění vzniká skládáním dvou stejných postupných
vlnění, šířících se v opačných směrech;
−
že se vlnění šíří v prostoru v podobě vlnoploch;
−
že šíření vlnění včetně odrazu, lomu a ohybu vysvětluje
Huygensův princip.
−
mechanické vlnění; postupné vlnění; vlnová délka; postupné
vlnění podélné; postupné vlnění příčné; stojaté vlnění;
interference vlnění; paprsek, vlnoplocha; Huygensův princip;
odraz vlnění.
−
2,5 hodiny.
23
2.1 Popis vlnění
Částice a vlna jsou dva důležité pojmy fyziky. Jeden i druhý
nachází uplatnění v různých oborech fyziky.
Pojem částice vyvolává představu hmotného objektu o malém
objemu, který přenáší energii.
Naopak vlna nebo vlnění dává představu energie rozložené do
velké plochy, přes kterou vlna putuje.
Vlnění je děj, při němž se kmitání šíří do okolí kmitajícího
oscilátoru.
Můžeme se setkat se třemi druhy vln.
Vlny mechanické
Jsou nejznámější, protože je potkáváme v běžném životě docela
často. Mohou to být zvukové vlny, vlny na vodní hladině, vlnící se obilí
nebo prádlo ve větru, seizmické vlny.
Mechanické vlny mohou existovat
látkovém prostředí, např. vodě, vzduchu.
pouze
v nějakém
Vlny elektromagnetické
Jsou méně známé, přestože je používáme téměř neustále. Např.
viditelné světlo, rádiové a televizní vlny, infračervené záření.
Elektromagnetické vlny pro svou existenci nevyžadují
látkové prostředí.
Vlny hmoty
Tento druh vln není příliš znám. Elektrony, protony, atomy
i molekuly se projevují jako vlny. Protože tyto částice považujeme za
stavební kameny hmoty, nazýváme vlny vlnami hmoty nebo
de Broglieho vlny.
V této kapitole se budeme věnovat problematice mechanických
vln, ale většina tvrzení platí pro všechny druhy vln.
Nejjednodušší příklad mechanické vlny je na obr. 2.1.
Když rychle škubneme lanem, které je napnuté a na jednom konci
upevněné, jednou nahoru a dolů, začne se podél lana šířit vlna.
Proč k tomu dochází?
Při pohybu ruky nahoru přesouváme první kousek lana. Díky napětí
lana se nahoru posunuje i následující kousek, ten opět táhne nahoru
další kousek a tak to pokračuje dále.
24
Mezitím však rukou táhneme první kousek dolů, ten stahuje další
kousky lana. Výsledek vzájemného působení jednotlivých kousků vede
k pohybu změny tvaru podél lana určitou rychlostí v.
Obr. 2.1 Mechanické vlnění
V naší modelové představě nebereme v úvahu třecí síly
a předpokládáme, že lano je dostatečně dlouhé, zatím se tedy
nebudeme zabývat odrazem vln na upevněném konci lana.
Když budeme rukou pohybovat harmonicky nahoru a dolů, vzniká
postupné vlnění. Vlna má při malých výchylkách sinusový tvar.
Na obr. 2.1 je také znázorněn pohyb pevně zvolené částice lana.,
kmitá nahoru a dolů. Výchylka jejího kmitání je kolmá na směr šíření
vlny. Pohyb částice je příčný a vlnění nazýváme postupné vlnění
příčné.
Jiná modelová představa postupného vlnění je na obr. 2.2. Řada
kyvadel spojených vzájemnou vazbou. Když vychýlíme první kyvadlo ve
směru osy y, začnou postupně v tomto směru kmitat i další kyvadla.
Jednotlivá kyvadla kmitají kolmo na směr, kterým se vlnění šíří.
Také v tomto případě se jedná o postupné vlnění příčné.
Obr. 2.2 Postupné vlnění příčné
25
V pevných, kapalných, plynných látkách, které jsou pružné při
změně objemu, se vlnění šíří jiným způsobem. Částice látky kmitají
ve stejném směru, kterým se vlnění šíří. Vlnění se šíří v podobě
pravidelného zhušťování a zřeďování molekul látky. Takový druh
mechanického vlnění označujeme jako postupné vlnění podélné.
Modelovou představou může být stlačení jednoho konce pružiny ve
vodorovném směru, viz obr. 2.3
Obr. 2.3 Postupné vlnění podélné
Typickým příkladem podélného vlnění je zvuk. Zvukové vlny se
používají při hledání ropy v zemské kůře, v lékařství k výzkumu lidského
těla, ponorky využívají zvukových vln při hledání překážek.
Vlnová délka
Důležitou charakteristikou vlnění je vlnová délka. Vrátíme se
k obr. 2.2.
Za dobu periody kmitů T vykoná první kyvadlo, tj. zdroj vlnění
jeden kmit a vlnění dorazí do vzdálenosti vT. Tuto vzdálenost
označujeme vlnová délka λ
Vlnová délka je určena vzdáleností, do které vlnění
dospěje za periodu kmitání zdroje vlnění.
v
λ = v T nebo λ = ,
f
kde v je rychlost vlnění, f je frekvence kmitání zdroje vlnění.
Úkol 1
Cihlovou zdí se od šíří mechanické vlnění rychlostí 3 600 m.s-1.
Perioda vlnění je 4 ms. Určete vlnovou délku vlnění.
Úkol 2
Určete, jakou rychlost má vlnění s vlnovou délkou 25 mm, je-li
frekvence budícího zdroje 5 kHz.
Úkol 3
Na mořských vlnách o malé amplitudě, které se přibližují k břehu,
vznikají pěnivé hřebeny. Čím jsou způsobeny?
26
2.2 Stojaté vlnění
Hodíme kámen na vodní hladinu.
Od místa dopadu kamene se šíří vlny, které
mají tvar kružnice.
Hodíme dva kameny blízko sebe.
Vlnění se bude šířit ze dvou zdrojů
nezávisle na sobě. V místech, kde se vlny
setkávají, se může amplituda vlnění zvětšit
a jinde zase vlnění zmizí.
Mechanické vlnění z více zdrojů se šíří navzájem nezávisle. Tam,
kde se vlny setkávají, dochází k jejich skládání neboli superpozici.
Jev se projevuje změnou amplitudy.
Dvě vlny y1 a y2 o stejné vlnové délce postupují jedním směrem.
Jestliže se obě vlny setkají jako na obr. 2.4 (a), říkáme, že vlny jsou ve
fázi. Výchylky bodů vln se sčítají. Vznikne vlna y, její výchylka je rovna
součtu výchylek obou vln. Hovoříme o konstruktivní interferenci,
vlnění se zesiluje a vzniká interferenční maximum.
Když jsou vlny v postavení jako na obr. 2.4 (b), jsou v opačné fázi.
Výchylky vln se odčítají. Hovoříme o destruktivní interferenci,
výsledné vlnění je zeslabeno. V případě stejných amplitud výchylek
může vlnění zaniknout. Vznikne interferenční minimum.
Obr. 2.4 Interference vlnění
Co se stane, když vlny se stejnou vlnovou délkou, postupují
proti sobě?
V praktickém životě je to častý případ a dojde k němu tehdy, když
vlnění narazí na překážku a od ní se odrazí zpět ke zdroji vlnění. Např.
když rozkmitáme jeden konec provazu, který je na druhém konci
upevněn.
27
Postupují proti sobě dvě vlny, přímá a odražená. Obě vlny mají
stejnou frekvenci i amplitudu. Vlny se skládají a výsledné vlnění je
charakteristické tím, že některé body zůstávají v klidu a jiné kmitají
s největší amplitudou. Celkově se nám vlna jeví, jako by stála na místě.
Mechanické vlnění vzniklé skládáním dvou stejných
vlnění postupujících proti sobě, nazýváme stojaté vlnění.
Jeho body kmitají současně, ale s různou amplitudou. V bodě, který
kmitá s největší amplitudou, je kmitna vlnění. V bodě, který je trvale
v klidu je uzel vlnění.
Stojaté vlnění je charakteristické pro pružná tělesa, která jsou na
obou koncích upevněná, např. struny hudebních nástrojů.
Rozkmitáním struny vznikne stojaté vlnění, které má uprostřed
kmitnu a uzly na koncích. Na délce struny vznikne polovina stojaté
vlny. Mohou vznikat i stojaté vlny kratších vlnových délek. Musí být
splněna podmínka, že délce struny odpovídá celistvý násobek půlvln
stojatého vlnění, viz obr. 2.5.
Obr. 2.5 Stojaté vlnění
Čím je struna delší, tím větší je i vlnová délka. Rychlost šíření
vlnění je stále stejná. Delší struna vydává proto zvuk o nižší
frekvenci, hlubší tón.
Rychlost šíření vlnění ovlivňuje hmotnost struny a velikost
síly, kterou strunu napínáme. Při ladění hudebního nástroje změnou
síly, kterou napínáme strunu, naladíme požadovaný tón.
Podobně jako stojaté vlnění strun nebo upevněných pružných tyčí
vzniká i stojaté vlnění vzduchových sloupců, např. v dechových
hudebních nástrojích.
28
Úkol 4:
Jakou vlnovou délku má vlna na obr. 2.6. Délka každého úseku je d.
Obr. 2.6 Úkol 4
Úkol 5:
Vlnu (a) na obr. 2.7 tvoří dva pulzy. První má výšku 4d a šířku d,
druhý má hloubku 2d a šířku d. Vlna postupuje vodorovně doprava.
Podobně jsou vytvořeny vlny (b), (c), (d). Tyto vlny postupují doleva.
Uvažujeme interferenci vlny (a) jednotlivě s ostatními vlnami
v určitém bodě. Při které kombinaci vln vznikne v tomto bodě:
− nulový signál;
− jeden pulz výšky a šířky 2d;
− nejhlubší pulz.
Obr. 2.7 Úkol 5
2.3 Šíření vlnění v prostoru
Jako příklad vlnění, které se šíří v prostoru, můžeme uvést zvuk.
Pokud se vlnění šíří ze zdroje zanedbatelných rozměrů, nazýváme tento
zdroj bodovým zdrojem.
Směr šíření a rozložení zvukových vln znázorňujeme pomocí
vlnoploch a paprsků.
Vlnoplocha je plocha, na které leží částice vzduchu se stejnou
výchylkou. Na dvojrozměrném obrázku znázorňujeme vlnoplochy
nejčastěji pomocí kružnic nebo oblouků, viz obr. 2.8. Paprsky jsou
čáry kolmé k vlnoplochám a určují směr šíření vlnění.
29
V blízkosti bodového zdroje jsou vlnoplochy kulové. S rostoucí
vzdáleností od zdroje se zakřivení zmenšuje a velmi daleko od zdroje
můžeme vlnoplochy považovat za rovinné vlnoplochy.
Obr. 2.8 Vlnění v prostoru
Vlnoplochy nemusí být vždy kulové plochy a paprsky nemusí být vždy přímky.
Např. v nehomogenním prostředí, kde je rychlost šíření vlnění různá v různých
bodech, mohou být paprsky zakřivenými oblouky. V tzv. anizotropních prostředích,
kde rychlost šíření vlnění závisí na směru, zase běžně vznikají vlnoplochy ve tvaru
rotačních elipsoidů
Holandský fyzik Christian Huygens (1629 – 1695) zkoumal
mechanismus vlnění v prostoru. Dospěl k poznatkům, které uveřejnil
v roce 1678 a které dnes označujeme jako Huygensův princip.
Tento princip umožňuje konstrukci vlnoplochy v určitém okamžiku,
jestliže známe její polohu a tvar v některém předcházejícím
okamžiku.
Podle tohoto principu můžeme každý bod vlnoplochy, do něhož
dospělo vlnění v určitém časovém okamžiku, považovat za zdroj
elementárního vlnění. Vlnění se z něho šíří v elementárních
vlnoplochách. Vlnoplocha v dalším okamžiku je vnější obal všech
elementárních vlnoploch, viz obr. 2.9.
Obr. 2.9 Huygensův princip
30
Huygensův princip uplatníme např. při odrazu vodní vlny od
svislé stěny přístavního mola. Jakmile se vlna dotkne stěny, stává se bod
dotyku zdrojem elementárního vlnění. Postupně se stávají zdroji
i další body stěny, do kterých dorazí vlnění. Výsledné odražené vlnění
dostaneme jako obal těchto elementárních vlnění, viz obr. 2.10.
Obr. 2.10 Odraz vlnění
Huygensův princip dokáže snadno vysvětlit také lom vlnění na
rozhraní různých prostředí a šíření vlnění za překážku nebo-li ohyb
vlnění
Shrnutí
−
Vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří do okolí kmitajícího
zdroje.
−
Při mechanickém vlnění nedochází k přenosu částic prostředí,
kterým se vlnění šíří.
−
Vlnění je děj, při kterém se prostorem přenáší energie
kmitavého pohybu.
−
Je-li výchylka kmitající částice kolmá ke směru šíření vlny,
hovoříme o vlnění příčném. Když částice kmitají ve směru
rovnoběžném se směrem šíření vlnění, jedná se o vlnění
podélné.
−
Důležitou charakteristikou vlnění je vlnová délka. Je určena
vzdáleností, do které dospěje vlnění za periodu kmitání
zdroje.
−
Stojaté vlnění vzniká skládáním dvou stejných vlnění
postupujících proti sobě. Body kmitající s největší výchylkou
označujeme jako kmitny vlnění, body trvale v klidu jsou uzly
vlnění.
−
Vlnění se v prostoru šíří v podobě vlnoploch. Směr šíření
určuje paprsek. Paprsek je kolmý k vlnoploše.
−
Způsob šíření vlnění v prostoru objasňuje Huygensův princip.
31
Řešení úkolů:
1. vlnová délka vlnění
v = 3600 m ⋅ s −1 ; T = 4 ms = 4 ⋅ 10 −3 s; λ = ?
λ = vT
{λ} = 3600 ⋅ 4 ⋅ 10 −3
λ = 14,4 m
2. frekvence vlnění
λ = 25 mm = 25 ⋅ 10 −3 m; f = 5 kHz = 5 ⋅ 10 3 Hz; v = ? m ⋅ s −1
λ=
v
⇒v=λ f
f
{v} = 25 ⋅ 10 −3 ⋅ 5 ⋅ 10 3
v = 125 m ⋅ s -1
3. spodní vrstvy vodní vlny se na mělčině zpomalují třením o dno,
horní vrstvy si zachovají rychlost a setrvačností se předběhnou.
4. vlnová délka
λ = 7d
5. interference vlnění
− nulový signál – (a) – (d);
− jeden pulz výšky a šířky 2d – (a) – (c);
− nejhlubší pulz – (a) – (b).
3 Akustika
32
3 Akustika
Zvuk je pro člověka i jiné živočichy mimořádně důležitý.
Existuje mnoho různorodých zvuků, některé jsou příjemné, jiné
nepříjemné. Hudba má rytmus a většinou jí rádi nasloucháme.
Zvuk, který nás dráždí a rozlaďuje, nazýváme hlukem a někdy
i „kraválem“.
Výrazové možnosti řeči a hudby mají obrovský rozsah a dělají ze
zvuku velmi účinný sdělovací prostředek.
Vlastnosti a šíření zvuku studuje jeden z oborů fyziky, akustika.
Zabývá se třeba přenosem zvuku v kinech, koncertních sálech,
přednáškových sálech.
−
že zvuk je mechanické vlnění a vzniká chvěním těles;
−
že k svému šíření potřebuje látkové prostředí;
−
že lidské ucho zachytí tóny jen v jistém rozmezí frekvencí;
−
že zvuky s periodickým nebo přibližně periodickým průběhem
nazýváme hudební zvuky nebo tóny;
−
že tón charakterizuje výška, barva a hlasitost;
−
že šíření zvuku je ovlivněno překážkami;
−
že je důležitá ochrana před nadměrným hlukem.
−
akustika; zvuk; zdroj zvuku; zvukové vlnění; látkové
prostředí; tón; hluk; výška tónu; barva tónu; hlasitost;
ultrazvuk; infrazvuk; rezonance; odraz zvuku; ozvěna; práh
slyšení.
−
1,5 hodiny.
3 Akustika
33
3.1 Co je to zvuk a jak se šíří?
Tenký ocelový plech nebo tenkou dřevěnou destičku na jednom
konci upevníme a druhý konec vychýlíme. Destička i plátek se
rozkmitají a my uslyšíme zvuk. Podobně slyšíme zvuk struny
upevněné na obou koncích.
Zvuk havarujícího auta vzniká vibrací povrchů vozidel, která
se srazila. Hovor a zpěv jsou vyvolány vibracemi hlasivek.
Zvuk vzniká kmitáním pružných těles, např. chvěním
vzduchového sloupce v píšťale, struny u kytary, našich hlasivek. Za
jistých okolností může být vnímán naším sluchem.
Mechanické vlnění, které vyvolá v sluchovém orgánu
sluchový vjem, označujeme jako zvuk.
Jestliže zvuk vzniká nepravidelným chvěním tělesa, má
nepravidelný neperiodický průběh. Takový zvuk vnímáme jako hluk,
např. hukot, vrzání, praskot, škrábání, šustění.
Je-li kmitání zdroje zvuku pravidelné, vnímáme hudební zvuk
nebo tón. V nejjednodušším případě má tón harmonický průběh,
hovoříme o jednoduchém tónu. Zdrojem jednoduchého tónu je třeba
ladička, která se rozechvěje úderem kladívka a vydává zvuk s přesnou
frekvencí, viz obr. 3.1.
Obr. 3.1 Ladička a průběh jejího kmitání
U většiny přirozených zdrojů zvuku se setkáváme se složeným
tónem, jehož průběh je periodický nebo alespoň přibližně periodický,
ale není harmonický. Nejrůznější tóny vydávají hudební nástroje,
píšťaly, strunné nástroje, bubny.
34
3 Akustika
Hudební tón se vytváří mnoha způsoby. Kovový zvon
rozezvučí údery těžkého kladiva nebo-li srdce, které bývá umístěno
uprostřed zvonu.
Stáří nejstaršího zvonu, nalezeného u Babylónu, se odhaduje
na více než 3 000 let. Největším zvonem na světě je Car kolokol
v moskevském Kremlu. Byl ulit roku 1734, má hmotnost 220 tun.
Je poškozený. Známý je anglický zvon Big Ben v Londýně.
Nejstarší zvon v Čechách je v Havlíčkově Brodě, pochází
z roku 1313. Největší je zvon Zikmund, který je zavěšen na věži
chrámu Sv. Víta v Praze. Je vysoký 2,03 m, váží 15 120 kg
a pochází z roku 1549.
I lidská řeč je složena z hudebních zvuků. Samohlásky mají
složitý, ale periodický časový průběh, viz obr. 3.2. Průběh souhlásek
je neperiodický.
Obr. 3.2 Samohlásky lidské řeči
A jak se zvuk šíří?
Zvuk potřebuje k svému šíření látkové prostředí. Zvukový
rozruch se šíří pružnými pevnými, kapalnými i plynnými látkami.
Nemůže se šířit ve vakuu.
V praxi nejvýznamnějším látkovým prostředím, kterým se šíří
zvuk, je vzduch. Ovšem i jiné látky mohou tvořit prostředí pro šíření
zvuku.
Pod vodou slyšíme zvuky motorového člunu nebo nárazy
padajících kamenů. Zvuk jedoucího vlaku slyšíme již z velké dálky,
přenáší se prostřednictvím kovových kolejnic.
3 Akustika
35
Vibrující předmět nutí kmitat sousední molekuly látkového
prostředí. Předává jim část své kinetické energie. Kmity se šíří
prostředím a tvoří zvukovou vlnu.
V plynném prostředí nejsou částice vázány na rovnovážné polohy,
zvuk se zde šíří jako tlaková vlna. Když v nějakém místě vzroste počet
molekul, vznikne tam vyšší tlak. Když se počet molekul zmenší,
vede to ke snížení tlaku. Oblasti s vyšším a nižším tlakem se při
průchodu zvukové vlny střídají.
Tímto opakujícím se dějem se přenáší kinetická energie i na
vzdálenější molekuly prostředí. Nakonec se uvede do pohybu i ušní
bubínek a slyšíme zvuk.
Rychlost zvuku je důležitou fyzikální veličinou. Její velikost
je ovlivněna vlastnostmi prostředí.
Rychlost šíření zvuku ve vzduchu při teplotě 0 °C je asi
332 m/s. Se stoupající teplotou vzduchu roste i rychlost šíření
zvuku. Při teplotě vzduchu 20 °C je rychlost šíření zvuku asi 340
m/s.
V jiných prostředích je rychlost šíření zvuku při stejné teplotě
vyšší: ve vodě je rychlost šíření zvuku asi 1 500 m/s; v ledu asi
3 200 m/s; v oceli 5 000 m/s; ve skle 5 200 m/s apod.
Úkol k zamyšlení:
Navrhněte pokus, který by nám dokázal, že zvuk potřebuje k svému
šíření látkové prostředí.
Úkol 1:
Při bouřce bylo slyšet hřmění za 12 s po zahlédnutí blesku. Určete
vzdálenost místa, nad nímž se zablesklo, od pozorovatele.
Úkol 2:
Na jednom konci ocelové kolejnice o délce 1 000 m udeříme
kladivem. Pozorovatel na druhém konci uslyší zvuk šířící se kolejnicí
o 2,8 s dříve než vzduchem. Určete rychlost šíření zvuku v kolejnici,
teplota vzduchu je 0°C.
3 Akustika
36
3.2 Charakteristiky zvuku
Periodický zvuk nebo-li tón charakterizujeme z hlediska toho, jak
ho vnímáme. Mezi nejdůležitější charakteristiky patří hlasitost, výška
tónu a barva tónu.
Hlasitost zvuku závisí na tom, jak silně bylo rozechvěno
těleso, které je zdrojem zvukového rozruchu. Např. když uhodíme
kladívkem do ladičky slabě, uslyšíme slabý tón. Při silnějším úderu za
jinak stejných okolností slyšíme tón podstatně hlasitější, přenáší se více
energie, protože amplituda zvukového vlnění je větší.
Zvuk vnímáme také jako více nebo méně hlasitý podle vzdálenosti
zdroje od našeho ucha a podle prostředí, kterým se zvuk šíří.
Hlasitost vnímaného zvuku závisí dále na našem sluchovém
ústrojí. Zvuky o velké hlasitosti mohou vyvolat pocit bolesti, může
dokonce dojít k poškození sluchu. Hranici nazýváme práh bolesti.
Naproti tomu existuje určitá nejmenší hlasitost zvuku, při které
ještě vzniká sluchový vjem. Tuto hranici označujeme jako práh
slyšení.
Objektivně vyjadřuje hlasitost zvuku hladina intenzity zvuku.
Měříme ji v jednotkách zvaných decibely, dB. Prahu slyšení odpovídá
hladina intenzity zvuku 0 dB, prahu bolesti přísluší hladina intenzity
přibližně 120 dB. Příklady zvuků a hladin intenzity jsou uvedeny
v tab. 3.1.
Druh zvuku
práh slyšení
tikot hodinek
šumění listí
šepot
hlasitý hovor ve
vzdálenosti 1 m
Hladina
zvuku v dB
0
10
20
30
50
Druh zvuku
hlasitá hudba
pouliční hluk
motocykl
sbíječka
letecký motor
práh bolesti
Hladina
zvuku v dB
80
až 80
90
100
110
120
Tab. 3.1 Hladina intenzity některých zvuků
Výška tónu je určena frekvencí kmitání zdroje zvuku. Je to
počet tlakových změn za sekundu. Udává se v hertzích, Hz. Čím vyšší
je frekvence, tím vyšší je tón.
Průměrné lidské ucho může zachytit tóny je v určitém rozmezí
frekvencí, od 16 Hz, dolní hranice slyšitelnosti, do 20 kHz, horní
hranice slyšitelnosti. Lidské ucho nevnímá všechny frekvence stejně.
Nízký tón vnímá jako méně hlasitý než vysoký tón téže intenzity.
3 Akustika
37
V hudbě se výška tónu vyjadřuje relativní výškou. Určíme ji
jako poměr frekvence daného tónu a frekvence tónu braného za
základ. Základem je tón a‘, komorní a o absolutní výšce 440 Hz.
V technické praxi se jako základní tón používá tón o frekvenci
1 kHz, tzv. referenční tón.
Příklad:
Zvuková vlna na obr. 3.3 se skládá z tlakových rozdílů. Tmavý pruh
ukazuje zvýšený tlak, světlý pruh snížený tlak. Graf znázorňuje časový
průběh vlny se stálou frekvencí a měnící se intenzitou.
Uslyšíme stejně vysoký tón s měnící se hlasitostí.
Obr. 3.3 Stejná frekvence, měnící se intenzita
Na obr. 3.4 znázorněn tón se stálou intenzitou, ale se snižující se
frekvencí.
Uslyšíme stejně hlasitý snižující se tón.
Obr. 3.4 Stejná intenzita, měnící se frekvence
38
3 Akustika
Tóny, které mají frekvenci nižší než 16 Hz, označujeme jako
infrazvuk. Naopak tóny, které mají frekvenci vyšší než 20 kHz,
představují ultrazvuk.
Ultrazvuk má v současném praktickém životě široké uplatnění.
Jeho charakteristickou vlastností je, že se silně pohlcuje v plynech,
ale dobře šíří v kapalinách a pevných látkách.
Využívá se k určování hloubky moří, v defektoskopii k určování
trhlin v materiálu. Při pohlcování ultrazvuku živočišnou tkání dochází
k jejímu zahřívání. Ultrazvukem je možno provádět hloubkovou masáž.
V lékařství se používá jako šetrný diagnostický prostředek. Jako radaru
užívají ultrazvuku netopýři, delfíni a velryby.
Barva tónu charakterizuje zdroj zvuku. Chvějící se těleso
nevysílá zpravidla nikdy zvuk, který by odpovídal jen jediné
frekvenci. Vibrující struny, tyče, vzduchové sloupce vysílají základní
tón nejnižší frekvence, který slyšíme nejsilněji. Spolu s ním ale
těleso vysílá i další tóny s vyššími frekvencemi. Tyto tóny slyšíme
slaběji. Dodávají základnímu tónu barvu.
Proto rozeznáme zvuk vydávaný strunou houslí od zvuku
vydávaného strunou kytary, i když obě mají stejný základní tón.
3.3 Odraz zvuku
Pokud se zvuková vlna, která se šíří vzduchem, setká s překážkou,
mohou nastat různé jevy. Překážka zvuk částečně pohltí, zčásti
odráží a zvuk se šíří vzduchem zpět. Při nevelké překážce se zvuk šíří
i za ni, nastává ohyb.
Ozvěna je způsobena odrazem zvuku na pevné překážce.
Naše ucho rozezná dva zvukové signály, které po sobě odděleně
následují, uplyne-li mezi nimi doba minimálně 0,1 s.
Při rychlosti šíření zvuku 340 m/s musí urazit zvuk od zdroje
k překážce a zpět dráhu minimálně 34 m. Naše vzdálenost nesmí být
tedy menší než 17 m.
Při menších vzdálenostech slyšíme odražený zvuk jen jako
prodloužení původního zvuku, slyšíme dozvuk. Odráží-li se zvuk
postupně od několika překážek různě vzdálených od nás, slyšíme
několikanásobnou ozvěnu.
3 Akustika
39
V uzavřených místnostech, např. při přednášení nebo zpěvu,
se zvuk odráží od všech stěn i od stropu.
Následuje-li dozvuk rychle za původním zvukem, dodává hlasu
plnosti a zlepšuje poslech. Přednáškové nebo divadelní sály,
kina a koncertní síně se upravují tak, aby dozvuk přispíval ke
zlepšení poslechu.
Smíchává-li se dozvuk se zvukem následujícím, vnímáme zvuky
nezřetelně, řeč nebo hudbu slyšíme zkresleně. S tímto jevem se
většinou setkáváme na nádražních halách, stadionech.
Příklad:
Akustika jedné londýnské koncertní síně musely být opravena, když
se zjistilo, že doba dozvuku je příliš krátká pro nízké frekvence, tzn.
hluboké tóny. Na strop byly namontovány elektronické rezonátory,
které přesně v potřebném rozsahu zesilovaly odraz zvuku.
Úkol 3:
Jak vysvětlíme dobrou slyšitelnost zvuků nad hladinou vody
v jezeře nebo řece?
Shrnutí:
−
Akustika zkoumá vlastnosti zvukového vlnění.
−
Zvuk vzniká kmitáním pružných těles. Je to mechanické
vlnění, které vyvolá v sluchovém orgánu sluchový vjem.
−
Zvuk s harmonickým průběhem je jednoduchý tón. Při
periodickém kmitání skutečných zdrojů vznikají složené tóny.
Nepravidelné zvuky označujeme jako hluk.
−
Základními charakteristikami tónu jsou hlasitost, výška a
barva.
−
Průměrné lidské ucho zachytí tóny v rozmezí frekvencí od 16
Hz do 20 kHz.
−
Ozvěna je způsobena odrazem zvuku od překážky.
Řešení úkolů:
1. vzdálenost bouřky:
t = 12 s; v = 340 m/s; s = ? m
s = v t {s} = 12 ⋅ 340 s = 4 080 m
2. rychlost zvuku v ocelové kolejnici:
3 Akustika
40
s = 1000 m; vV = 332 m/s; Δt = 2,8 s; vK = ? m/s
doba šíření zvukového rozruchu na vzduchu:
tV =
s
vV
{t } = 1000
V
332
t V = 3s
doba šíření zvukového rozruchu v kolejnici:
{t } = 3 − 2,8
t K = t V − Δt
K
t K = 0,2 s
rychlost šíření zvuku v kolejnici:
vK =
s
tK
{v } = 1000
K
0,2
vK = 5000 m/s
3. Zvuk se od vodní hladiny odráží. Dozvuk následuje velmi rychle za
původním zvukem a zlepšuje poslech.
Zamyšlení:
Například budík umístíme pod zvon vývěvy a nařídíme na zvonění.
Pod zvonem snižujeme tlak zvuku. Můžeme pozorovat, že zvuk budíku
slábne, až ho v úplném vyčerpání neslyšíme vůbec.
Netopýr vyšle zvukový signál, který se odrazí od překážky
a vrátí se k němu. Zachycení signálu umožní netopýrovi
vyhnout se překážce.
− Nakreslete obrázek s netopýrem, překážkou a vyslaným
zvukovým signálem.
− V obrázku vyznačte dráhu, kterou netopýr uletí, než zachytí
odražený zvukový signál.
− V obrázku vyznačte dráhu, kterou urazí zvukový signál vyslaný
netopýrem do okamžiku jeho zachycení.
− Vypočítejte, v jaké vzdálenosti před překážkou se nacházel
netopýr v okamžiku vyslání signálu. Rychlost netopýra je
5 m/s, zvukový signál se vrátil za 0,15 s.
− V jaké vzdálenosti před překážkou se nacházel netopýr
v okamžiku zachycení zvukového signálu?
− Kolik času má netopýr na to, aby se překážce vyhnul?
4 Světlo jako vlnění
41
Člověk má pět smyslů, ale prostřednictvím zraku získává
o okolním světě nejvíce informací. Lidé proto odjakživa zkoumali
podstatu světla a jevy spojené s jeho šířením.
Část fyziky zkoumající zákonitosti světelných jevů se nazývá
optika. Patří k nejstarším oborům.
Optika zahrnuje více názorů na podstatu světla. Světlo je
vlnění, ale současně existují jevy svědčící o tom, že světlo tvoří
proud částic – fotonů. Hovoříme o dvojaké povaze světla
Optika se většinou dělí na tři části. Vlnová optika, která
zkoumá jevy související s vlnovou povahou světla. Paprsková
(geometrická) optika se zabývá zobrazením optickými soustavami.
Kvantová optika objasňuje částicovou povahu světla.
−
co je to světlo, jak se šíří;
−
že barva světla souvisí s jeho frekvencí;
−
přibližnou velikost rychlosti světla;
−
kdy nastává lom a odraz světla;
−
že vlnové vlastnosti světla jsou příčinou interference a
difrakce;
−
jaký je rozdíl mezi polarizovaným a nepolarizovaným
světlem.
−
světlo, elektromagnetické vlnění; frekvence; vlnová délka;
rychlost světla; optické prostředí; paprsek; zdroj světla; lom
světla; odraz světla; interference, difrakce; polarizace světla.
−
2,5 hodiny.
42
4.1 Povaha světla
Mezi největší objevy 19. století patří zjištění britského fyzika
Jamese Clerka Maxwella, že světlo je druh elektromagnetických
vln. K nim patří i rentgenové paprsky, ultrafialové a infračervené
záření, rádiové vlny a paprsky gama, viz obr. 4.1.
Obr. 4.1 Druhy elektromagnetického vlnění
Elektromagnetické vlnění je charakterizováno frekvencí f, tj.
počtem kmitů za sekundu. Převrácená hodnota frekvence T=1/f se
nazývá perioda a udává dobu trvání jednoho kmitu. Jednotlivé druhy
elektromagnetického vlnění se také vzájemně liší vlnovou délkou λ, tj.
vzdáleností, kterou vlna urazí za dobu jedné periody.
Světlo je elektromagnetické vlnění s vysokou frekvencí
přibližně od 400 THz do 750 THz. Tomu odpovídá malá vlnová délka
od 800 nm do 400 nm. Světlo vyvolává na sítnici oka vjem, který
označujeme jako barvu světla. Každé frekvenci světla odpovídá jedna
barva, viz obr. 4.2.
Obr. 4.2 Spektrum světla
Další důležitou charakteristikou světla je jeho rychlost c. Rychlost
světla ve vakuu je přesně 299 792 458 m/s.
Při výpočtech používáme přibližnou hodnotu
c = 300 000 000 m/s = 3.108 m/s = 300 000 km/s.
V látkovém prostředí je rychlost světla menší. Ve vodě je to
225 000 km/s, ve skle kolem 200 000 km/s, záleží na druhu skla.
43
Úkol 1:
Světelný rok je jednotka, která se používá pro měření velkých
vzdáleností v astronomii a astrofyzice. Je to dráha, kterou světlo urazí za
jeden rok ve vakuu. Spočítejte si jak je dlouhá.
Mezi rychlostí světla, vlnovou délkou a frekvencí platí vztah:
c=λ f
Protože se v látkovém prostředí mění rychlost světla, mění se i jeho
vlnová délka. Frekvence světla se při průchodu látkovým prostředím
nemění. Barva světla je určena frekvencí. Při přechodu z jednoho
prostředí do druhého se barva světla tedy také nemění.
V každodenním životě málokdy pozorujeme světlo jedné barvy,
tzv. monochromatické světlo. Většinou se setkáváme se světlem
složeným z vlnění různých frekvencí a tedy i různých barev. Světlo, které
označujeme jako bílé, je složeno z vlnění celého viditelného
spektra. Jeho jednotlivé složky můžeme pozorovat při rozložení
světla hranolem, viz obr. 4.3.
Obr. 4.3 Rozklad světla
4.2 Šíření světla
V předcházející kapitole jsme si řekli, že světlo je druh
elektromagnetického vlnění. A jako každé vlnění se šíří látkou
a vakuem – optickým prostředím. Vlastnosti prostředí, kterým
světlo prochází, ovlivňují jeho šíření. Uvedeme si několik příkladů.
Čirým sklem prochází světlo beze změn. Barevným sklem
projde jen světlo určitých vlnových délek. Zbývající světlo prostředí
pohltí. Dochází k částečnému pohlcení – absorpci světla. Toto optické
prostředí nazýváme průhledné.
Matné sklo změní nepravidelně směr šíření světla. Hovoříme
o rozptylu světla. Optické prostředí nazýváme průsvitné.
Zrcadla světlo odrážejí. Jev se nazývá odraz světla. V tomto
případě se jedná o neprůhledné prostředí. Neprůhledným prostředím
jsou i takové objekty, které světlo silně pohltí.
44
Prostředí opticky homogenní má v celém objemu stejné
vlastnosti. Pokud se světlo šíří ve všech směrech stejnou
rychlostí, hovoříme o izotropním optickém prostředí. Je-li
rychlost šíření světla v různých směrech různá, jedná se
o anizotropní prostředí. Takovým prostředím jsou některé krystaly.
Světelné vlnění vzniká ve zdroji světla a šíří se ve vlnoplochách
všemi směry přímočaře od zdroje. Šíření světla v homogenním optickém
prostředí můžeme popsat Huygensovým principem. Každý bod
vlnoplochy je zdrojem dalšího vlnění, viz obr. 4.4.
Jsou-li rozměry zdroje zanedbatelné vzhledem k vzdálenosti
šíření světla, zdroj označujeme jako bodový. Vlnoplochy mají tvar
soustředných koulí. Ve velké vzdálenosti od zdroje můžeme části
kulových vlnoploch považovat za rovinné vlnoplochy, viz obr. 4.5.
Směr šíření světla nám udávají přímky kolmé na vlnoplochu , paprsky.
Obr. 4.4 Šíření vlnění
Obr. 4.5 Kulové a rovinné vlnoplochy
Zdroje světla, se kterými se běžně setkáváme – žárovky, zářivky,
nemůžeme považovat za bodové zdroje. Pro zjednodušení si
představíme, že se skládají z mnoha bodů. Z každého bodu vycházejí
všemi směry paprsky, které se navzájem protínají, postupují nezávisle
na sobě a neovlivňují se. Tuto skutečnost vyjadřuje princip
nezávislosti chodu světelných paprsků.
45
4.3 Jevy na rozhraní dvou prostředí
Vložíme-li tužku do sklenice s vodou, bude se nám z určitého
pohledu jevit ohnutá. Rybář vidí rybu, ale zdá se mu, že je mnohem
dál od břehu než ve skutečnosti.
Díváme-li se na vodní hladinu ze břehu, můžeme v ní vidět obraz
okolní krajiny. Při jízdě ve vlaku v noci můžeme pozorovat svůj obraz
v okně.
Světlo dopadá na rozhraní dvou prostředí, např. na skleněnou
desku. Jedním prostředím je vzduch, druhým prostředím je sklo.
V každém prostředí se světlo šíří jinou rychlostí. Mohou nastat dva
případy.
Odraz světla.
Paprsek světla dopadá na rozhraní pod úhlem dopadu α. Úhel
měříme od kolmice dopadu. Paprsek dopadajícího světla a kolmice
dopadu leží v rovině zvané rovina dopadu. Odražený paprsek se šíří
od rozhraní pod úhlem odrazu α‘, viz obr. 4.6.
Pro úhel dopadu a úhel odrazu platí zákon odrazu světla.
Velikost úhlu odrazu se rovná velikosti úhlu dopadu, tj.
α = α′ .
Odražený paprsek leží v rovině dopadu.
Obr. 4.6 Odraz světla
Lom světla
Paprsek světla projde z jednoho optického prostředí do druhého.
Jeho rychlost a směr se změní, nastává lom světla.
Rychlost šíření světla v daném optickém prostředí vyjadřujeme
pomocí indexu lomu n. Definujeme jej jako poměr rychlosti světla
ve vakuu a rychlosti světla v daném optickém prostředí.
c
c je rychlost světla ve vakuu, v je rychlost světla v jiném
n=
v
prostředí.
46
Dopadne-li světlo na rozhraní vzduch a sklo, je úhel dopadu α
větší než úhel lomu β. Nastává lom ke kolmici.
V případě, že světlo projde nejprve sklem a potom vzduchem, bude
úhel dopadu α menší než úhel lomu β. Nastane lom od kolmice,
viz obr. 4.7.
Obr. 4.7 Lom světla
Závislost mezi úhlem dopadu a úhlem lomu vyjadřuje zákon
lomu.
sin α n2
=
n1, n2 jsou indexy lomu daných dvou
sin β n1
prostředí
Nejdůležitější je případ, kdy světlo přechází z vakua nebo přibližně
ze vzduchu do jiného prostředí. V tomto případě platí
sin α c
= =n
sin β v
Čím větší je index lomu prostředí, do kterého přechází světlo
z vakua, tím více se světlo láme a úhel lomu (měřený od kolmice
dopadu!) je menší.
Při porovnávání dvou optických prostředí označíme prostředí
s menším indexem lomu jako opticky řidší, prostředí s vyšším
indexem lomu označíme jako opticky hustší.
Lom světla ke kolmici nastane při přechodu světla z prostředí
opticky řidšího do prostředí opticky hustšího. Lom světla od
kolmice nastane při přechodu světla z prostředí opticky hustšího
do prostředí opticky řidšího.
Úkol 2:
Do sklenice s vodou, kterou budete držet v ruce ve výši pasu,
vhoďte minci. Pozorujte ji shora a druhou rukou vyznačte na sklenici
místo, kde se mince podle vašeho názoru nalézá. Vaše značka bude
s určitostí výš, než je skutečná poloha mince. Vysvětlete proč.
47
Při přechodu světla z prostředí opticky hustšího do prostředí
opticky řidšího nastane někdy zvláštní případ lomu světla. Světlo se
láme od kolmice a při určitém úhlu dopadu αmax dosáhne úhel lomu
největší možné hodnoty β = 90°. Při větších úhlech dopadu se
světlo od rozhraní jen odráží, lom světla už nemůže nastat.
Jev nazýváme úplný odraz a úhel dopadu αmax je mezní úhel,
viz obr. 4.8.
Obr. 4.8 Mezní úhel
4.4 Vlnové vlastnosti světla
Když se zadíváme na tenkou vrstvu oleje na louži po dešti
nebo na mýdlovou bublinu, uvidíme mnoho barev. Přitom
dopadající světlo vypadá jako bílé. Příčinou jsou vlnové
vlastnosti světla a s nimi spojené světelné jevy.
Jevy, jejichž příčinou jsou vlnové vlastnosti světla, můžeme
pozorovat kolem sebe. Např. oblouk duhy, který vytvářejí sluneční
paprsky, když dopadají na tisíce kapek deště.
Světlo je elektromagnetické vlnění, ale jeho vlnová délka je
mnohem menší než např. vlnová délka zvukové vlnění. Z tohoto
důvodu jsou vlnové projevy světla odlišné.
Příčinou krásného zbarvení olejové skvrny nebo mýdlové bubliny
je sčítání světelných vlnění, přesněji interference.
48
Sčítání (skládání, superpozice) vlnění je sčítání okamžitých hodnot amplitud
jednotlivých vlnění. O interferenci hovoříme v případě skládání dvou nebo více tzv.
koheretních vlnění. Koherentními vlněními rozumíme vlnění s konstantním
vzájemným fázovým posunem. Jedině v tomto případě vzniká interferenční
obrazec, který je časově stálý.
Při dopadu světelných vln mohou nastat dvě základní možnosti.
Setkají-li se v místě dopadu vrchy vln, výsledné vlnění se zesiluje.
Zvětší se amplituda kmitání, objeví se světlý interferenční proužek,
tj. interferenční maximum, viz obr. 4.9.
Obr. 4.9 Interferenční maximum
Setkají-li se v místě dopadu vrch s důlem vln, výsledné vlnění se
zeslabuje. Zmenší se amplituda kmitání, objeví se tmavý
interferenční proužek, interferenční minimum, viz obr. 4.10.
Obr. 4.10 Interferenční minimum
Barvy, které vidíme na olejové skvrně, jsou důsledkem
interference světelných vln odražených od přední a zadní plochy
tenké průhledné vrstvy.
Kolem rozsvícené žárovky někdy vidíme barevné kruhy,
které vznikají ohybem světla na prachových částicích. Ohyb
světla nebo difrakce je další jev, jehož příčinou jsou vlnové
vlastnosti světla.
49
Tyto vlastnosti způsobují, že se světlo nešíří přímočaře, ale
proniká částečně i za překážku, dochází k ohybu světla. Nejčastěji
pozorujeme ohyb světla na překážkách velmi malých rozměrů, jako
jsou štěrbiny nebo prachové částice.
Polarizace světla je jiným projevem vlnových vlastností světla.
Tento jev navíc dokazuje, že světlo je vlněním příčným. Světlo jako
elektromagnetické vlnění se skládá ze dvou složek, magnetické
a elektrické. Elektrická složka způsobuje zrakový vjem v oku.
Elektrickou složku tvoří intenzita elektrického pole E, její
vektor je kolmý na směr šíření světla. U světla pocházejícího
z přirozeného zdroje světla, např. žárovky, je vektor intenzity
elektrického pole E kolmý ke směru šíření, ale jeho směr je nahodilý.
Světlo z přirozeného zdroje je nepolarizované, viz obr. 4.11.
Polarizované světlo se vyznačuje tím, že vektor intenzity
elektrického pole E má stálý směr, viz obr. 4.12.
Obr. 4.11 Nepolarizované vlnění
Obr. 4.12 Polarizované vlnění
Kromě výše uvedeného typu polarizace, zvaného lineární polarizace, existují
ještě dva v praxi důležité druhy: polarizace kruhová a polarizace eliptická, kdy při
pohledu ve směru paprsku koncový bod vektoru elektrické intenzity opisuje kružnici,
resp. elipsu.
Polarizované světlo je možné získat řadou způsobů. Nejjednodušší
je polarizace světla odrazem, k polarizaci dochází také při lomu
světla.
Míra polarizace v těchto případech závisí na úhlu dopadu a indexech lomu obou
prostředí. Odrazem světla dopadajícího pod tzv. Brewsterovým úhlem, jehož
velikost závisí na poměru indexů lomů obou prostředí, lze získat lineárně polarizované
světlo, kdy vektor elektrické intenzity kmitá rovnoběžně s optickým rozhraním.
V současnosti se k získání polarizovaného světla používají
polarizační filtry, tzv. polaroidy. Jejich základem jsou materiály
tvořené úzkými molekulami sestavenými do rovnoběžných řad. Při
průchodu světla projde jen ta část vlnění, která kmitá v určitém směru.
Zbytek vlnění je pohlcen.
50
Polarizační filtry využíváme při fotografování, když chceme fotit
skrz sklo výlohy, auta apod. Filtr nám pomůže zbavit se odlesků, viz
obr. 4.13 a 4.14.
Obr. 4.13 Focení bez filtru
Obr. 4.14 Focení s filtrem
Úkol 3:
Vzdálenost planety Neptun od Slunce je asi 4 502 . 106 km. Určete,
za jakou dobu dorazí světlo ze Slunce k Neptunu.
Úkol 4:
Jakou frekvenci mají ve vakuu vlny o vlnové délce 0,001 m?
Úkol 5:
Modré světlo má ve vzduchu vlnovou délku 450 nm. Jaká je jeho
vlnová délka ve vodě? Index lomu vody je 1,3; index lomu vzduchu
je 1,00.
Úkol 6:
Světelný paprsek se láme ze skla do vzduchu. Určete:
− úhel lomu, je-li úhel dopadu 31°;
− úhel dopadu, je-li úhel lomu 23°;
− mezní úhel.
Index lomu skla je 1,5; index lomu vzduchu 1.
Úkol 7:
Infračervené záření vyzařují téměř všechny tělesa. Vysvětlete, jak je
tato vlastnost využita při použití přístrojů pro noční vidění.
51
Shrnutí:
−
Světlo je elektromagnetické vlnění s vysokou frekvencí a
malou vlnovou délkou. Jeho rychlost je přibližně
c = 300 000 km/s.
−
Světlo se šíří optickým prostředím. V každém prostředí má
světlo různou rychlost. Podíl těchto rychlostí je konstantní
a nazýváme (absolutním) indexem lomu prostředí.
−
Ze zdroje světla se světelné vlnění šíří ve vlnoplochách. Směr
šíření udává paprsek kolmý na vlnoplochu. V homogenním
prostředí se světlo šíří přímočaře.
−
Na rozhraní dvou prostředí může nastat odraz a lom světla.
Pro odraz platí zákon odrazu, pro lom světla platí zákon
lomu.
−
Vlnové vlastnosti světla jsou příčinou důležitých optických
jevů.
−
Při interferenci světla pozorujeme interferenční maxima
v podobě světlých proužků a interferenční minima v podobě
tmavých proužků.
−
Při difrakci proniká světlo i za překážku. Nešíří se přímočaře.
−
Odrazem nebo lomem můžeme měnit nepolarizované světlo
z přirozeného zdroje na světlo částečně nebo i zcela
polarizované.
Řešení úkolů:
1. Světelný rok: 9 . 1O15 m
2. Mince: příčinou je lom světelného paprsku odraženého od mince
do oka. Oko vidí obraz, jako kdyby se odražený paprsek šířil
přímočaře.
3. Světlo se šíří rovnoměrným přímočarým pohybem.
s = 4 502 . 106 km, c = 3 . 105 km/s, t =?
6
s
{t} = 4502 ⋅ 10
≅ 1,5 ⋅ 10 4 s ≅ 4,2 h
t=
5
c
3 ⋅ 10
4. Mezi vlnovou délkou a frekvencí vlnění platí vztah
8
c
{ f } = 3 ⋅ 10−3 f = 3 ⋅ 1011 Hz = 300 GHz
f =
λ
10
5. Při přechodu z jednoho prostředí do druhého se frekvence světla
nemění. Mění se jeho rychlost a vlnová délka.
Vzduch: λ1 = 450nm, n1 = 1, v1 . Voda: λ2 = ?, n2 = 1,33, v2 .
52
c
K určení vlnové délky ve vodě vyjdeme ze vztahů: n = , v = λ f
v
c
c
c
c
n1 = =
⇒ c = n1 λ1 f
n2 =
=
⇒ c = n2 λ2 f
v1 λ1 f
v2 λ2 f
porovnáním obou vztahů dostaneme:
n λ
n1 λ1 = n2 λ 2 ⇒ λ2 = 1 1
n2
{λ2 } = 1 ⋅ 450
λ ≅ 338 nm
1,33
6. Při výpočtu vyjdeme ze zákona lomu
− α = 31°, n1 = 1,5, n2 = 1, β = ?
n
1,5
sin β = 1 sin α sin β =
sin 31° = 0,773
β = 50° 35′
n2
1
− β = 23°, n1 = 1,5, n2 = 1, α = ?
n
1
sin α = 2 sin β sin α =
α = 40°18′
sin 76° = 0,647
n1
1,5
− β = 90°, n1 = 1,5, n2 = 1, α max= ?
n
1
sin α max = 2 sin β
sin α max =
sin 90° = 0,667
1,5
n1
α max = 41°48′
7. Přístroje snímají infračervené záření, které tělesa vyzařují. Toto
záření převádějí na viditelné světlo. Pozorovatel vybavený tímto
přístrojem vidí i za tmy.
Při přechodu světelného vlnění z jednoho prostředí do
druhého se změní rychlost jeho pohybu
− Vyjádřete vztah mezi vlnovou délkou světla, rychlostí jeho
pohybu
a jeho frekvencí rovnicí. Rovnici popište.
− Které veličiny mění svoji velikost při přechodu světelného
vlnění z jednoho prostředí do druhého? Svoje tvrzení
zdůvodněte.
− Jakou rychlostí se šíří světelné vlnění ve vakuu a také přibližně
ve vzduchu?
− Vypočítejte frekvenci vlnění, které se šíří ve vzduchu s vlnovou
délkou 240 m. O jaký druh vlnění se jedná?
− Vlnová délka modrého světla ve vzduchu je 500 nm. Jak se
změní při přechodu do vody, ve které je rychlost světla
2,25.108 m/s? Dojde ke změně barvy světla? Zdůvodněte.
5 Optické zobrazení
53
Každý z nás se podívá alespoň jednou denně do zrcadla. Lidé
s různými poruchami zraku vnímají okolí prostřednictvím brýlí nebo
kontaktních čoček. Kamery, fotoaparáty, dalekohledy a mikroskopy
nám přibližují okolní svět jinak a lépe než naše oči.
Všechny tyto přístroje používají zrcadla a čočky. Využívají
fyzikální zákony optického zobrazení.
−
jak vzniká optický obraz;
−
jaké jsou vlastnosti optického obrazu;
−
jak zobrazuje předměty zrcadlo;
−
jaké jsou druhy zrcadel;
−
jak zobrazuje předměty čočka;
−
jaké jsou druhy čoček;
−
jak zobrazuje
a mikroskop.
předměty
lidské
oko,
lupa,
dalekohled
−
paprsková optika, optický obraz, optická soustava, odraz
světla, zrcadlo, rovinné zrcadlo, kulové zrcadlo, ohnisko,
ohnisková vzdálenost, poloměr křivosti, střed křivosti,
význačné paprsky, lom světla, čočka, spojka, rozptylka, lidské
oko, dalekozrakost, krátkozrakost, lupa, dalekohled,
mikroskop.
−
3 hodiny.
54
5.1 Optický obraz
Při pozorování mnoha optických jevů není nutno uvažovat
vlnový charakter světla. Část optiky, která zanedbává vlnovou
podstatu světla, se nazývá paprsková optika nebo geometrická
optika. Je postavena na přímočarém šíření světla a na principu
nezávislosti chodu paprsků. Jejím hlavním úkolem je zobrazit
předmět do formy obrazu.
Důsledkem přímočarého šíření světla je vznik stínu. Stín
vzniká za neprůhledným tělesem, které vložíme před zdroj světla.
Přímočaré šíření světla je také příčinou řady astronomických jevů,
např. zatmění Slunce, zatmění Měsíce, Měsíční fáze.
Zatmění může nastat tehdy, nalézá-li se Měsíc blízko roviny
dráhy Země kolem Slunce. K zatmění Měsíce dojde, je-li Měsíc
v úplňku. Země je mezi Sluncem a Měsícem. Při zatmění Slunce je
Měsíc mezi Zemí a Sluncem. Měsíc je v novu
Osvětlený předmět odráží do všech směrů světelné paprsky.
Jejich směr můžeme měnit vhodnou optickou soustavou, kterou
může být lidské oko, dalekohled nebo fotoaparát.
Optický obraz vzniká zobrazením předmětu optickou soustavou.
Optické soustavy jsou složeny z různých jednoduchých prvků, které
využívají odrazu světla, např. zrcadla, nebo lomu světla, např.
čočky.
Jestliže se paprsky vycházející z určitého bodu předmětu po
průchodu optickou soustavou protnou v daném bodu obrazu, vytvoří
sbíhavý svazek paprsků. Vzniká skutečný obraz předmětu, viz
obr. 5.1. Skutečný obraz můžeme zachytit na stínítku, např. na
promítacím plátně, stěně, papíru.
Pokud se paprsky vycházející z určitého bodu po průchodu optickou
soustavou neprotnou, vzniká rozbíhavý svazek paprsků. V jejich
zdánlivém průsečíku vznikne neskutečný obraz předmětu, viz
obr. 5.2. Neskutečný obraz na stínítku nezachytíme.
O
O
O‘
O‘
Obr. 5.1 Skutečný obraz
Obr. 5.2 Neskutečný obraz
Skutečný obraz získáme např. při promítání projektorem, svůj
neskutečný obraz můžeme vidět při pohledu do zrcadla.
55
5.2 Zobrazení zrcadlem
Zrcadlo zobrazuje na základě odrazu světelných paprsků na
rozhraní dvou prostředí. Rozhraní tvoří plocha, která je přirozeně
lesklá, např. povrch skla, nebo vyleštěná, např. kovové desky,
drahokamy, nebo opatřena vrstvou kovu.
Nejjednodušším optickým prvkem je rovinné zrcadlo. Paprsky
vycházející z každého bodu předmětu dopadají na zrcadlo a odrážejí se
podle zákona odrazu. Vstupují do našeho oka, jako by vycházely
z obrazu za zrcadlem, viz obr. 5.3.
a
a‘
Obr. 5.3 Zobrazení rovinným zrcadlem
Obraz vytvořený rovinným zrcadlem je neskutečný, stejně
velký a stranově převrácený. Vzdálenost obrazu a‘ od zrcadla
je stejná jako vzdálenost předmětu a od zrcadla, a = a ′ .
Proč jsou nápisy na přední kapotě hasičských nebo záchranných
vozů psány zrcadlově?
Leonardo da Vinci (1452 – 1519), italský malíř, sochař,
architekt a vynálezce byl známý svou dovedností psát
zrcadlovým písmem. Historikové nevědí, jestli da Vinci psal tímto
způsobem proto, aby se bavil, nebo proto, že nechtěl, aby mu lidé
četli přes rameno a vzali jeho myšlenky.
Rozluštíte myšlenku na dnešní den?
56
U kulových zrcadel tvoří odraznou plochu část kulové plochy.
Jestliže se paprsky odrážejí na vnitřní části kulové plochy, jedná se
o duté zrcadlo. Zrcadlí-li vnější část kulové plochy, hovoříme
o vypuklém zrcadle.
Pro zobrazení kulovými zrcadly jsou důležité některé body
a vzdálenosti. Jejich popis je na obr. 5.4.
f
V – vrchol zrcadla
S – střed křivosti zrcadla
r
optická osa
F – ohnisko zrcadla
S
r – poloměr křivosti zrcadla
V
F
f – ohnisková vzdálenost zrcadla
r
f =
2
Obr. 5.4 Popis kulového zrcadla
Zobrazení kulovými zrcadly je složitější než rovinnými zrcadly.
Nejjednodušší je využít při zobrazení tzv. význačných paprsků. Jde
o tyto:
Paprsek jdoucí středem křivosti kulového zrcadla se
odráží v téže přímce zpět do původního směru, je opačně
orientován (1).
Paprsek dopadající na kulové zrcadlo
s optickou osou se odráží do ohniska (2).
rovnoběžně
Paprsek procházející ohniskem kulového zrcadla se
odráží rovnoběžně s optickou osou (3).
Uvedená pravidla platí jak pro zrcadlo duté, viz obr. 5.5, tak pro
zrcadlo vypuklé, viz obr. 5.6. U dutého zrcadla paprsky ohniskem
skutečně procházejí, u vypuklého zrcadla je průchod paprsků ohniskem
myšlený.
2
2
3
F
S
V
1
3
V
F
S
1
Obr. 5.5 Duté zrcadlo
Obr. 5.6 Vypuklé zrcadlo
57
Úkol 1:
Nakreslete si chod paprsků pro situace uvedené v tabulce 5.1.
Doplňte polohu a vlastnosti obrazu. Vzorem je řádek týkající se
vypuklého zrcadla. Pomocí nákresu si ověřte, že je řádek vyplněn
správně.
Duté zrcadlo
Poloha
předmětu
a > 2f
a = 2f
2f > a > f
a <f
libovolná
Poloha
obrazu
Vlastnosti
obrazu
Vypuklé zrcadlo
za zrcadlem
neskutečný, zmenšený, vzpřímený
Tab. 5.1 Zobrazení kulovými zrcadly
Obrovská dutá zrcadla soustřeďují světlo ze vzdálených těles do
jednoho bodu. Této skutečnosti využívají velké astronomické
dalekohledy. Lepších výsledků se dosahuje, když zrcadlo nemá tvar části
kulové plochy, ale vypadají jako vnitřek vaječné skořápky.
Jedná se o parabolická zrcadla. Taková zrcadla díky svému
tvaru soustředí všechny světelné paprsky, jdoucí rovnoběžně s osou
zrcadla, přesně do ohniska. U kulových zrcadel to platí přesně vzato
pouze v blízkosti jejich osy, v tzv. paraxiálním prostoru.
Dutými zrcadly jsou vybaveny reflektory aut. S dutými zrcátky se
setkáme při návštěvě zubního lékaře.
Vypuklá zrcadla se využívají všude, kde potřebuje přehlédnout
větší prostor. Používají se jako zpětná zrcátka automobilů a autobusů,
umisťují se v nepřehledných křižovatkách. Najdeme je u pokladen
supermarketů, kde slouží jako ochrana proti případným zlodějům.
58
5.3 Zobrazení čočkou
Čočky jsou obvykle skleněná tělesa nebo tělesa z jiné průhledné
látky. Jsou omezeny dvěma kulovými plochami nebo jednou
kulovou a jednou rovinnou plochou, viz obr. 5.7.
Obr. 5.7 Druhy čoček
Zobrazení čočkou je založeno na zákonu lomu. Při průchodu
čočkou se světelný paprsek láme dvakrát. Kdy světlo prochází ze
vzduchu do skla, láme se ke kolmici. Když světlo vychází z čočky
ven, láme se směrem od kolmice.
Pro zjednodušení zobrazení a výpočtů se zavádí pojem tenká
čočka. Je to čočka, jejíž tloušťka je vzhledem k poloměru křivosti
malá a můžeme ji zanedbat. Světlo se při průchodu tenkou čočkou láme
jen jednou.
Dráha světelných paprsků závisí na druhu čočky. Rozeznáváme
dva základní druhy čoček, spojky a rozptylky. Rovnoběžné paprsky se
po průchodu spojkou sbíhají do jednoho bodu zvaného ohnisko
čočky, přesněji obrazové ohnisko. Po průchodu rozptylkou se
rovnoběžné paprsky rozbíhají, zdánlivě vycházejí z obrazového
ohniska, které je nyní před čočkou, viz obr. 5. 8.
Obr. 5.8 Průchod paprsků spojkou a rozptylkou
Pro zjednodušení se v optických schématech čočky zakreslují
úsečkou, viz obr. 5.9.
59
Obr. 5.9 Schéma spojky a rozptylky
Stejně jako pro zobrazení zrcadly jsou i při zobrazení čočkami
důležité některé body a vzdálenosti. Jejich popis je na obr. 5. 10.
O – optický střed čočky
F – předmětové ohnisko
F‘ – obrazové ohnisko
f – předmětová ohnisková
vzdálenost
Obr. 5.10 Popis čočky
Optické vlastnosti čočky charakterizuje veličina zvaná optická
mohutnost čočky ϕ. Je určena převrácenou hodnotou ohniskové
vzdálenosti.
ϕ=
1
f
Jednotkou ohniskové vzdálenosti je metr m, jednotkou optické
mohutnosti je 1/m. Často se tato jednotka označuje jako dioptrie D.
Pro spojky je ϕ 〉 0 , pro rozptylky je ϕ 〈 0 .
Při zobrazování čočkou využíváme význačné paprsky podobně
jako u zrcadel.
Paprsek procházející optickým středem čočky se neláme
(1).
Paprsek rovnoběžný s optickou
obrazového ohniska F‘ (2).
osou
se
láme
do
Paprsek procházející předmětovým ohniskem F se láme
rovnoběžně s optickou osou (3).
60
Význačné paprsky procházející spojkou a rozptylkou jsou na
obr. 5.11.
2
2
1
1
F′
3
F′
F
F
3
Obr. 5.11 Význačné paprsky čočky
Poloha obrazu a‘ a jeho vlastnosti závisí na vzdálenosti
předmětu a od čočky. Základní možnosti zobrazení tenkou čočkou
jsou uvedeny v tabulce 5.2.
Spojka
Poloha
předmětu
a > 2f
a = 2f
2f > a > f
a <f
libovolná
Poloha
obrazu
f < a‘ < 2f
a‘ = 2f
a‘ >2F
před čočkou
Vlastnosti
obrazu
skutečný, zmenšený, převrácený
skutečný, stejně velký, převrácený
skutečný, zvětšený, převrácený
neskutečný, zvětšený, vzpřímený
Rozptylka
před čočkou
Tab. 5.2 Zobrazení čočkami
Úkol 2:
Nakreslete si chod paprsků pro situace uvedené v tabulce 5.2.
Pomocí nákresu si ověřte, že je tabulka vyplněna správně.
Polohu a vlastnosti obrazu můžeme také zjistit výpočtem za
použití zobrazovací rovnice tenké čočky:
1 1 1
+ =
a a′ f
Při výpočtu musíme používat znaménkovou konvenci:
Vzdálenost předmětu a je kladná, je-li předmět před čočkou,
a záporná, je-li předmět za čočkou.
Vzdálenost obrazu a‘ je kladná za čočkou, obraz je
skutečný, a záporná před čočkou, obraz je neskutečný.
61
Pro zvětšení Z čočky platí vztah:
y′
a′
Z = =− ,
y
a
kde y je výška předmětu, y‘ je výška obrazu
Je-li Z 〉 0 , vznikne obraz vzpřímený, je-li Z 〈 0 , pak je obraz
převrácený.
Dosazením ze zobrazovací rovnice tenké čočky dostaneme pro
zvětšení Z vztah:
a′ − f
f
=−
Z =−
f
a− f
5.4 Lidské oko
Lidské oko představuje optickou soustavu tvořenou spojnou
čočkou, oční čočkou. Čočka vytváří na sítnici skutečný, zmenšený
a převrácený obraz předmětu. Náš mozek dokáže vnímat obraz jako
nepřevrácený.
Vznik ostrého obrazu různě vzdáleného předmětu umožňuje změna
ohniskové vzdálenosti oční čočky. Pomocí očních svalů se mění její
zakřivení, říkáme tomu akomodace čočky. Akomodace má dva
hraniční body.
Blízký bod je nejkratší vzdálenost, kdy oko vidí ostře.
Blízký bod je asi 15 cm od oka, s rostoucím věkem se jeho vzdálenost
zvětšuje.
Daleký bod je nejdelší vzdálenost, na kterou oko vidí ostře.
U normálního oka je daleký bod v nekonečnu.
Odhadněte nebo výpočtem zjistěte, jaká je optická mohutnost
průměrné lidské oční čočky, když víte, že průměr oční bulvy je přibližně
2 cm.
Při pozorování blízkých předmětů je oko velmi namáháno.
Nejvhodnější vzdálenost pro čtení nebo pozorování malých předmětů je
25 cm. Tato délka je označována jako konvenční zraková
vzdálenost.
Řada lidí trpí očními vadami, které znesnadňují ostré vidění. Mezi
neznámější vady patří krátkozrakost a dalekozrakost.
62
Dalekozraké oko je zploštělé. Obraz blízkých předmětů vzniká za
sítnicí, proto oko vidí blízké předměty nezřetelně. Vada se odstraňuje
brýlemi se spojkami, viz obr. 5.12.
Obr. 5.12 Dalekozraké oko
Krátkozraké oko je protáhlé. Obraz vzdálených předmětů
vzniká před sítnicí, proto je oko vidí nezřetelně. Vadu lze odstranit
brýlemi s rozptylkami. Tím se obraz posune na sítnici, viz obr. 5.13.
Obr. 5.13 Krátkozraké oko
Vidění je velmi složitý proces. Orgány citlivé na světlo čípky
a tyčinky jsou na sítnici. Čípky vnímáme barvu, tyčinkami vnímáme
pouze rozdíl světlosti.
Abychom daný předmět viděli zřetelně, musí být splněny určité
podmínky:
− předmět musí být přiměřeně osvětlen;
− zrakový vjem musí trvat určitou dobu;
− obraz na sítnici musí být dostatečně velký.
Oko posuzuje velikost předmětu podle zorného úhlu. Zorný
úhel τ je úhel sevřený paprsky, které přicházejí do oka z krajních bodů
tělesa, viz obr. 5.14. Nejmenší zorný úhel, kdy oko rozezná dva body,
je jedna úhlová minuta.
τ
Obr. 5.14 Zorný úhel
63
5.5 Optické přístroje
Chceme-li vidět malý předmět, přibližujeme ho k oku.
Zvětšujeme tak zorný úhel pozorovaného předmětu. Předmět se nám
jeví zdánlivě větší. Předmět nemůžeme přiblížit na vzdálenost menší
než 25 cm, protože bychom ho viděli rozmazaně.
Ke zvětšení hodně malého předmětu nebo k přiblížení hodně
vzdáleného předmětu nám slouží optické přístroje, mikroskopy
a dalekohledy.
Nejjednodušším přístrojem pro zvětšení zorného úhlu je lupa.
Lupa je spojka o ohniskové vzdálenosti menší než konvenční
zraková vzdálenost. Lupu držíme blízko oka a předmět umístíme mezi
lupu a její předmětové ohnisko. Vidíme neskutečný, zvětšený a
vzpřímený obraz předmětu. Lupu používáme jen pro poměrně malá
zvětšení.
Lupy tvořené jednou spojnou čočkou se vyrábějí pro maximálně šestinásobné zvětšení.
Pro větší zvětšení by totiž poloměry křivosti čočky musely být velmi malé, což by vedlo
k tak malému průměru lupy, že by nebyla prakticky použitelná.
Mikroskop podobně jako lupa slouží ke zvětšení zorného úhlu při
pozorování malých, blízkých předmětů.
Mikroskop se skládá z objektivu a z okuláru umístěných na
konci tubusu. Objektiv je spojka s malou ohniskovou vzdáleností
Okulár je také spojka, ale s větší ohniskovou vzdáleností.
Pozorovaný předmět umisťujeme pod objektiv, jeho obraz vzniká
uvnitř tubusu. Obraz je zvětšený a skutečný. Tento obraz pak
pozorujeme okulárem jako lupou. Výsledný obraz je zvětšený,
neskutečný a převrácený.
Dalekohledy jsou optické přístroje určené k pozorování
vzdálených předmětů. Zvětšujeme jím zorný úhel, pod kterým předměty
pozorujeme. Dalekohled se stejně jako mikroskop skládá z objektivu
a okuláru.
Kolem roku 1610 zhotovil italský fyzik Galileo Galilei
dalekohled, který zvětšoval 33krát. Dodnes je nazývaný Galileiho
dalekohled.
Jeho dalekohled měl vpředu spojku zvanou objektiv. Okulárem
byla rozptylka. Uspořádání čoček dávalo vzpřímený, zvětšený, ale
neskutečný obraz.
Galilei prováděl se svým dalekohledem astronomická
pozorování. Objevil s ním měsíce Jupitera, pohoří a údolí na Měsíci.
64
Dnes se většinou používá dalekohled, který se podle svého
vynálezce nazývá Keplerův. Je vybaven dvěma spojkami. Objektiv
vytváří obraz v ohnisku mezi nimi. Obrazové ohnisko objektivu je
zároveň předmětovým ohniskem okuláru. Druhá spojka, okulár, obraz
zvětšuje.
Vzniká převrácený obraz. V astronomii to nevadí a dalekohledy se
používají k pozorování planet a hvězd.
Úkol 3:
Proč je v kapesní svítilně duté zrcadlo a kde musí být umístěno
vlákno žárovky?
Úkol 4:
Archimédes při obraně Syrakus zapaloval lodi Římanů pomocí
dutého zrcadla o poloměru křivosti 1 m. Zakládá se legenda na
pravdě?
Úkol 5:
Při pohledu na člověka se „silnými“ brýlemi se nám jeho oči jeví
zvětšené. Je člověk krátkozraký nebo dalekozraký?
Úkol 6:
Čočka má optickou mohutnost -50 D. Předmět vysoký 8 cm
umístíme ve vzdálenosti 6 cm před čočkou. Určete druh čočky
a výpočtem vlastnosti obrazu. Zdůvodněte.
Úkol 7:
Objektiv projekčního přístroje má ohniskovou vzdálenost 25 cm.
Promítáme na stěnu vzdálenou 10 m. Kolikrát jsou obrázky
zvětšené?
Shrnutí
−
Obraz předmětu vzniká zobrazením optickou soustavou.
Zobrazování předmětů je postaveno na přímočarém šíření
světla a na principu nezávislosti chodu paprsků.
−
Optickou soustavu tvoří jednoduché optické prvky, které
využívají k zobrazení buď zákon odrazu světla, zrcadla, nebo
zákon lomu světla, čočky.
−
Rovinné zrcadlo vytváří neskutečný, stejně velký a stranově
převrácený obraz. Jeho vzdálenost od zrcadla je stejná jako
vzdálenost předmětu.
65
−
Kulová zrcadla jsou dutá a vypuklá. Vlastnosti obrazu
vytvořeného dutým zrcadlem záleží na poloze předmětu
vzhledem k zrcadlu. Obraz vytvořený dutým zrcadlem je vždy
stejného druhu.
−
Ke geometrické konstrukci obrazu
využíváme chodu význačných paprsků.
−
Čočky můžeme rozdělit na dva druhy, spojky a rozptylky.
Velikost a polohu obrazu můžeme najít buď použitím
význačných paprsků, nebo výpočtem pomocí zobrazovací
rovnice
−
Při zobrazování spojkou mohou nastat různé případy
v závislosti na poloze předmětu vzhledem k čočce. Obraz
vytvořený rozptylkou má vždy stejné vlastnosti.
−
Lidské oko je soustava se spojkou, jejíž ohniskovou vzdálenost
můžeme měnit. Oko se přizpůsobuje, akomoduje na
vzdálenost předmětu. Na sítnici vzniká jeho ostrý obraz.
−
Mezi vady oka patří krátkozrakost a
Krátkozrakost
se
koriguje
brýlemi
dalekozrakost brýlemi se spojkami.
−
Optické přístroje slouží ke zvětšení zorného úhlu, pod kterým
vidíme pozorovaný předmět. Lupa a mikroskop nám zvětšují
malé předměty, dalekohled přibližuje vzdálené předměty.
kulovými
zrcadly
dalekozrakost.
s rozptylkami,
Řešení úkolů:
Duté zrcadlo
Poloha
Vlastnosti
obrazu
obrazu
f < a‘ < 2f
skutečný, zmenšený, převrácený
a‘ = 2f
skutečný, stejně velký, převrácený
a‘ > 2f
skutečný, zvětšený, převrácený
za zrcadlem
neskutečný, zvětšený, vzpřímený
Vypuklé zrcadlo
za zrcadlem
Poloha
předmětu
a > 2f
a = 2f
2f > a > f
a <f
libovolná
3. Chceme získat rovnoběžný svazek světelných paprsků. Proto je ve
svítilně duté zrcadlo a vlákno žárovky musí být umístěno v jeho
ohnisku.
4. Na zrcadlo dopadal svazek rovnoběžných slunečních paprsků, které
se odrážely do ohniska vzdáleného pouhého 0,5 m. Římské lodě byly
zcela určitě ve větší vzdálenosti.
66
5. Protože vidíme jeho oči zvětšené, slouží nám čočky jeho brýlí jako
lupa. Používá tedy brýle se spojkami, je dalekozraký.
6.
ϕ = −50 D, f =
1
ϕ
= −0,02 m = −2 cm, y = 8 cm, a = 6 cm,
a ′ = ? cm , y ′ = ? cm
Při výpočtu vyjdeme ze zobrazovací rovnice čočky
1 1 1
= +
a pomocí matematických úprav si vyjádříme a′
f a a′
fa
{a ′} = − 2 ⋅ 6 = − 12
a′ =
a ′ = −1,5 cm
a− f
6 − (− 2)
8
Ze vztahu pro zvětšení čočky si vyjádříme y ′
a′
y′
a′
= − ⇒ y′ = − y
{y ′} = − − 1,5 ⋅ 8 = 12
y
a
a
6
6
Zvětšení čočky Z =
y′
y
{Z } = 2
8
y ′ = 2 cm
Z = 0,25
Zdůvodnění:
ϕ 〈 0 - jedná se o rozptylku; a ′ 〈 0 – obraz vznikne před čočkou,
obraz je neskutečný; y ′ 〈 y – obraz je zmenšený; Z 〉 0 – obraz je
vzpřímený.
7.
f = 25 cm, a ′ = 10 m = 1000 cm, Z = ?
Z=
y′
a′
a′ − f
=− =−
y
a
f
{Z } = − 1000 − 25 = − 975
25
25
Z = −39
Obrázky budou zvětšené 39krát. Znaménko – vyjadřuje, že jsou
vzpřímené.
Řidič automobilu jedoucího před těmito vozy vidí ve zpětném
zrcátku nápis správně.
Myšlenka na tento den:
Je velmi málo toho, co známe, a velmi mnoho toho, co neznáme.
Úkol k zamyšlení (optická mohutnost oční čočky):
Optická mohutnost průměrné oční čočky je zhruba 50 až 60
dioptrií podle stupně její akomodace. Při výpočtu dosaďte do
zobrazovací rovnice tenké čočky a′ = 0, 02 m a a = ∞ (pro
neakomodované oko), resp. a = 0,15 m (pro oko akomodované na blízký
bod).
67
Víte co to je diaprojektor? A že patří mezi optické
projekční přístroje, jejichž součástí je soustava spojek,
objektiv?
− Co je v případě diaprojektoru předmět, jehož obraz přístroj
vytvoří?
− Nakreslete náčrt situace při promítání a v obrázku vyznačte
předmětovou a obrazovou vzdálenost.
− Vypočítejte v jaké vzdálenosti od objektivu diaprojektoru je
třeba umístit projekční plátno, aby obraz předmětu byl 50krát
zvětšený. Ohnisková vzdálenost objektivu je 10 cm.
− Jaké vlastnosti má obraz předmětu vytvořený diaprojektorem?
Nakreslete náčrt.
− Jak musíme do přístroje vkládat diasnímky, abychom viděli
správný obraz?
68
Literatura
Literatura
LEPIL, O., BEDNAŘÍK, M., HÝBLOVÁ, R. Fyzika pro střední školy I.
Praha: PROMETHEUS, 2002.
LEPIL, O., BEDNAŘÍK, M., HÝBLOVÁ, R. Fyzika pro střední školy II.
MIKLASOVÁ, V. Sbírka úloh z fyziky pro SOŠ a SOU.
HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fyzika, část 1 až 5.
Brno: VUTIUM a Praha: PROMETHEUS, 2000.
BEŇUŠKA, J. Zbierka úloh z fyziky. Martin: 1997

1 Mechanické kmitání

Transkript

Podobné dokumenty

Vlnění, optika

prezentace - Fyzika GJVJ

HaroluxBlackLine - artprotect pro restauro pro arte

5IS06F9 Vlnění a užití v praxi.notebook

Vyšetřovací svítidlo D isis – nástěnné

3 Vlny

angel wings

Španělsko - Základní škola Pěnčín