METODIKA IV M - Kuželosečky

!
&
"
'
#
(
) * +) , -
$%#
INDIVIDUÁLNÍ VÝUKA MATEMATIKA
METODIKA Kuželose ky
Mgr. Petra Dunovská
b ezen 2009
Obtížnost této kapitoly matematiky je dána tím, že se p i výkladu i ešení úloh
komplexn využívají v domosti a dovednosti z matematiky získané v nižších
ro nících.
Pro zvládnutí u iva by m li studenti um t upravovat výrazy, ešit rovnice a jejich
soustavy v etn iracionálních rovnic a rovnic s absolutní hodnotou, lineární a
kvadratické rovnice s parametrem, funkce – hlavn lineární, kvadratické a lineárn
lomené. Dále je pot ebná znalost analytické geometrie v rovin , zejména operace
s vektory a rovnice p ímky v rovin .
Vhodnými pom ckami pro výuku jsou matematické tabulky pro SŠ, kalkula ka,
modely kuželu a válce pro p edstavu pojmu „kuželose ka“, po íta , promíta ka,
internet, polystyrenová deska pokrytá papírem s provázkem, špendlíky a tužka pro
konstrukci kuželose ky.
1
I.kapitola Pojem KUŽELOSE KA a její rovnice
Kuželose ky jsou množiny bod v rovin , které lze získat jako pr nik rota ní
kuželové plochy a roviny.
Protínáme-li kužel rovinou kolmou na osu symetrie rota ního kuželu, výslednou
kuželose kou je kružnice.Protínáme-li kužel rovinou rovnob žnou práv s jednou z
povrchových p ímek plášt kuželu, výslednou kuželose kou je parabola.Protínáme-li
kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rota ního kuželu úhel menší než 90° a
v tší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželose kou je elipsa.
Rovina p itom protíná všechny povrchové p ímky plášt kužele a není tedy s žádnou
z nich rovnob žná. Protínáme-li kužel rovinou, která svírá s osou symetrie rota ního
kuželu úhel menší než polovina vrcholového úhlu kuželu, výslednou kuželose kou je
hyperbola; p itom rovina je rovnob žná práv se dv ma povrchovými p ímkami
kuželu.
K vysv tlení pojm je vhodné použít model kuželu a následující obrázky:
Definice kuželose ek:
Kružnice je množina všech bod roviny, které mají od daného bodu, st edu
kružnice, danou vzdálenost, polom r kružnice.
Elipsa je množina všech bod X roviny, pro které se sou et |XE| + |XF|, vzdáleností
bodu X od daných bod E, F této roviny, rovná danému íslu v tšímu než |EF|. Body
E a F se nazývají ohniska elipsy.
Hyperbola je množina všech bod X roviny, pro které se ||XE| - |XF|| rovná danému
kladnému íslu, které je menší než |EF|. Body E, F jsou dva r zné body roviny a
nazývají se ohniska hyperboly.
Parabola je množina všech bod roviny, které mají stejnou vzdálenost od bodu
roviny F a od p ímky q, která bodem F neprochází. Bod F se nazývá ohnisko,
p ímka q ídicí p ímka paraboly.
Ke konstrukci kuželose ek podle jejich definic je možné použít polystyrenovou desku
s papírem, špendlíky, tužkou a provázkem. Tyto konstrukce je možné také vid t na
internetu a je možné je promítat:
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/Deskriptiva/Cviceni/Kuzelosecky/Kuzelosecky.html
Kuželose ky zadáváme pomocí obecné rovnice, st edové rovnice (kružnice, elipsa,
hyperbola) i vrcholové rovnice (parabola).
2
Všechny typy rovnic kuželose ek, sou adnice st ed , vrchol , ohnisek a pot ebné
nákresy kuželose ek také nalezneme v Matematických tabulkách pro SŠ, které lze
použít i p i výkladu, nebo je možné obrázky a rovnice promítat – viz uvád né odkazy:
http://mdg.vsb.cz/jdolezal/Deskriptiva/Cviceni/Kuzelosecky/Kuzelosecky.html
http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/kuzelosecky.php
ešené p íklady na jednotlivé kuželose ky:
1) Ur ete st ed a polom r kružnice dané rovnicí x2 - 2x + y2 + 4y - 11 = 0.
ešení:
Doplníme výrazy x2 - 2x a y2 + 4y na druhé mocniny dvoj len (x – 1) a (y + 2):
x2 - 2x + 1 + y2 + 4y + 4 - 1 - 4 - 11 = 0
(x - 1)2 + (y + 2)2 - 16 = 0
(x - 1)2 + (y + 2)2 = 16 St ed zadané kružnice je bod S[1; -2] a její polom r r = 4.
2) Ur ete st ed, ohniska a hlavní poloosu elipsy dané rovnicí
25x2 + 9y2 + 150x - 36y + 36 = 0.
ešení:
Nejprve obecnou rovnici upravíme na rovnici st edovou:
25x2 + 9y2 + 150x - 36y + 36 = 0
25x2 + 150x + 9y2 - 36y + 36 = 0
25(x2 + 6x) + 9(y2 - 4y) + 36 = 0
25(x2 + 6x + 9 - 9) + 9(y2 - 4y + 4 - 4) + 36 = 0
25(x + 3)2 - 225 + 9(y - 2)2 - 36 + 36 = 0
2
x 3
( y 2) 2
2
2
1
25(x + 3) + 9(y - 2) = 225 tedy
9
25
Ze st edové rovnice snadno ur íme jak st ed elipsy, tak její hlavní osu a vedlejší
poloosu. Navíc rozpoznáme i orientaci její hlavní osy viz obrázek:
3) Najd te st ed, ohniska a hlavní vrcholy hyperboly, dané rovnicí: 9x2 - 90x 16y2 - 96y + 225 = 0.
ešení:
3
Podobn jako u p edchozích p íklad upravíme obecnou rovnici na st edovou, ze
které dokážeme celou adu údaj p ímo vy íst.
2
2
x 5
y 3
2
2
9(x - 5) - 16(y + 3) = -144 p evedeme na tvar
1.
16
9
Z této rovnice ur íme sou adnice st edu hyperboly, její hlavní a vedlejší poloosu.
St ed S má sou adnice S[5; -3], hlavní poloosa a = 4, vedlejší poloosa b = 3. Z a a b
dopo ítáme výst ednost e = 5. Tvar st edové rovnice odpovídá hyperbole, jejíž hlavní
osa je rovnob žná s osou y. To nám sta í k ur ení sou adnic ohnisek E, F a hlavních
vrchol A, B; E[5; 2], F[5; -8], A[5; 0] a B[5; -6].
4) Najd te vrcholovou rovnici paraboly ur ené ohniskem E[2; 4] a ídicí p ímkou
q: y = - 2.
ešení:
Vrchol V hledané paraboly leží mezi bodem E a p ímkou q. Platí, že V
o,
2|EV| = 2|Vq| = p. Ze vzdálenosti E a q a jejich polohy m žeme ur it jeho sou adnice.
Protože |Eq| = 6, m žeme íci, že sou adnice vrcholu V jsou [2; 1]. Z toho už
jednoduše vyjád íme vrcholovou rovnici: (x - 2)2 = 12(y - 1)
Metodické poznámky k ešeným p íklad m i k p íklad m na další procvi ování:
a)Vysv tlit, jaký je rozdíl v obecných rovnicích jednotlivých kuželose ek, jak se
z obecné rovnice odhadne, o jakou kuželose ku se m že jednat, pokud rovnice
kuželose ku p edstavuje.
b)Vysv tlit postup p evád ní obecné rovnice na st edovou nebo vrcholovou a
obrácen . Ze st edové rovnice (u paraboly z vrcholové rovnice) kuželose ku
bezpe n poznáme.
c)Všechny kuželose ky je vhodné znázornit a popisovat pomocí obrázku.
d)Je t eba um t pracovat s obrázky a vztahy v tabulkách, rozum t pojm m hlavní a
vedlejší vrcholy, ohniska, st ed, výst ednost ( excentricita), hlavní a vedlejší poloosy,
asymptoty hyperboly, vrchol a ídící p ímka paraboly.
Další p íklady k procvi ení:
1) Najd te st edovou a obecnou rovnici kružnice se st edem S[3; 5] a polom rem
r = 2.
ešení: (x - 3)2 + (y - 5)2 = 22, x2 - 6x + y2 - 10y + 30 = 0.
2) Zjist te, zda body A[2; 1], B[2; 5], C[4; 5] a D[-1; 2] leží na stejné kružnici.
4
ešení: st edová rovnice kružnice, ur ená body A, B a C, je: (x - 3)2 + (y - 3)2 = 5.
Zkusíme-li dosadit sou adnice bodu D, zjistíme, že získaná rovnost neplatí, to
znamená, že bod D neleží na stejné kružnici jako body A, B a C.
3) Ur ete výst ednost elipsy s hlavním vrcholem A[-1; 1], vedlejším vrcholem
B[4; -2] a st edem S[4; 1].
ešení: ze vztahu a2 = b2 + e2 dopo ítáme výst ednost e = 4.
4) Najd te st edovou rovnici elipsy se st edem S[2; 2], výst edností e = 4 a
hlavním vrcholem A[-3; 2].
ešení: vedlejší poloosu b vypo ítáme ze vztahu b2 = a2 – e2, b = 3.
5) Najd te obecnou rovnici elipsy, která má st ed S[2; 1], hlavní vrchol A[2; 6] a
ohnisko E[2; -3].
ešení: 25x2 + 9y2 - 100x - 18y - 116 = 0.
6) Ur ete obecnou rovnici paraboly s vrcholem V[2; -1], jejíž ídicí p ímkou je osa
y.
ešení: y2 - 8x + 2y + 17 = 0.
7) Najd te ohnisko, vrchol a ídicí p ímku paraboly, která je dána rovnicí x2 - 4x 4y + 12 = 0.
ešení: z vrcholové rovnice (x - 2)2 = 4(y - 2) ur íme sou adnice vrcholu V[2; 2],
ohnisko E má sou adnice E[2; 3] a ídicí p ímka q dané paraboly má rovnici y = 1.
8) Ur ete st edovou rovnici a asymptoty hyperboly se st edem S[2; -1], ohniskem
E[7; -1] a vrcholem A[5; -1].
ešení: a = |SA| = 3, e = |SE| = 5, b = 4, asymptoty: 4x - 3y - 11 = 0, 4x + 3y - 5 = 0.
9) Napište obecnou rovnici hyperboly s asymptotami a1: 3x + 2y - 9 = 0, a2: 3x 2y - 9 = 0 a vrcholem A[3; 3].
ešení: 9x2 - 4y2 - 54x + 117 = 0.
5
II.kapitola
Kuželose ka a p ímka
P ímka m že mít s kuželose kou 0, 1, nebo 2 spole né body. Jednotlivé možnosti
jsou uvedeny v tabulce. V rovnici p ímky se asto vyskytuje ur itý parametr, jehož
hodnotu ur ujeme nej ast ji pomocí diskriminantu kvadratické rovnice.
kuželose ka
kružnice
0 spol. bod
P ímka vn
kružnice (D<0).
elipsa
P ímka vn elipsy
(D<0).
hyperbola
P ímka vn v tví
hyperboly(D<0),
nebo p ímo
asymptota
hyperboly.
parabola
P ímka vn
paraboly(D<0).
1 spol. bod
P ímka je te nou
kružnice
(D = 0).
P ímka je te nou
elipsy
(D = 0).
P ímka je te nou
hyperboly
(D = 0), nebo je
rovnob žná
s asymptotou
hyperboly.
P ímka je te nou
paraboly
(D = 0), nebo
rovnob žná s osou
paraboly.
2 spol. body
P ímka je se nou
kružnice (D>0).
P ímka je se nou
elipsy (D>0).
P ímka je se nou
hyperboly (D>0).
P ímka je se nou
paraboly (D>0).
D… diskriminant kvadratické rovnice ( ešíme kvadratickou rovnici s parametrem)
Z rovnice p ímky vyjád íme jednu neznámou, dosadíme do rovnice kuželose ky a
po ítáme diskriminant kvadratické rovnice. Vzájemné polohy hyperboly a paraboly
s p ímkou, které nejdou ešit pomocí diskriminantu, ešíme jako vzájemnou polohu
p ímek pomocí vektor ( rovnob žnost vektor ).
Pokud máme napsat rovnici te ny k dané kuželose ce v bod , který na kuželose ce
leží, použijeme obecné rovnice te en, které najdeme v tabulkách. Zde nemusíme
ešit rovnici s parametrem.
Pokud píšeme rovnici te ny z bodu, který na kuželose ce neleží, postupujeme takto:
a)U kružnice m žeme využít rovnici poláry, tj. p ímky spojující body dotyku.
(P ímka daná rovnicí (x - m)(x1 - m) + (y - n)(y1 - n) = r2 se nazývá polára
bodu X1[x1; y1] vzhledem ke kružnici k se st edem S[m; n] a polom rem r.)
Pr se íky poláry s kružnicí jsou body, které na kružnici leží a ty již lze použít k zápisu
rovnic te en podle tabulek. Rovnice poláry je rovn ž v tabulkách.
b)U všech kuželose ek ur íme pomocí soustavy rovnic nejprve body dotyku
kuželose ky a p ímky a pak m žeme napsat rovnice te en.
6
Vzájemnou polohu kuželose ek a p ímky ilustrují obrázky:
(kružnice a p ímka)
(elipsa a p ímka)
(hyperbola a p ímka)
7
(parabola a p ímka)
P íklady ešené nebo s náznakem ešení:
1) Najd te pr se íky p ímky p(A, u) a kružnice (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4, je-li A[-1; 4]
a u = (1; -1).
ešení: parametricky vyjád íme p ímku p: x = -1 + t, y = 4 - t; t
. Do st edové
rovnice kružnice dosadíme sou adnice x a y z parametrické rovnice p ímky p.
Získáme kvadratickou rovnici t2 - 6t + 8 = 0.
Podle diskriminantu D této rovnice, lze rozhodnout, jaká je vzájemná poloha dané
p ímky a kružnice.
Je-li D < 0, rovnice nemá v
ešení a p ímka p je vn jší p ímkou kružnice.
Je-li D = 0, rovnice má jedno (dvojnásobné ešení) a p ímka p je te nou kružnice.
Nakonec, je-li D > 0, rovnice má dv ešení a p ímka p je se nou kružnice. V našem
p ípad je D = 4 a rovnice má dv ešení: t1 = 4 a t2 = 2. Tyto dv hodnoty parametru
dosadíme do parametrické rovnice p ímky p a získáme sou adnice bod P1[3; 0] a
P2[1; 2], které jsou hledanými pr se íky.
2) Najd te rovnici te ny kružnice x2 - 2x + y2 - 4y - 20 = 0 v jejím bod T[4; -2].
ešení:
St edová rovnice kružnice je (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25. Rovnice te ny t v bod T[x0; y0]
má tvar: (x - 1)(x0 - 1) + (y - 2)(y0 - 2) = 25. Po dosazení bodu T do této rovnice te ny
a po úprav na obecnou rovnici p ímky dostaneme t: 3x - 4y - 20 = 0.
3) Najd te spole né body p ímky 2x - y + 5 = 0 a paraboly (y - 3)2 = 2(x - 1).
ešení:
ešíme soustavu rovnic. Z rovnice p ímky nejprve vyjád íme nap . y = 2x + 5 a
dosadíme do rovnice paraboly. Hledáme ešení kvadratické rovnice. Po et ešení
ur í vzájemnou polohu p ímky a paraboly. Navíc získáme jednu ze sou adnic
hledaných pr se ík . Kvadratická rovnice 2x2 + 3x + 3 = 0 nemá žádné ešení, a
proto m žeme íci, že zadaná p ímka a parabola nemají žádný spole ný bod, p ímka
je vn jší p ímkou paraboly.
4) Najd te te ny ke kružnici k: x2 - 2x + y2 + 6y - 6 = 0, které procházejí bodem
B[5; 1].
ešení:
Nejprve ur íme st edovou rovnici kružnice k: (x - 1)2 + (y + 3)2 = 16, bod B na kružnici
neleží. Ur íme rovnici poláry: (x - 1)(5 - 1) + (y + 3)(1 + 3) = 16, tedy x + y - 2 = 0.
Pr se íky poláry a kružnice body T1[1; 1] a T2[5; -3] jsou body dotyku. Obecná
rovnice te ny kružnice k v bod T1 je: (x - 1)(1 - 1) + (y + 3)(1+ 3) = 16, tedy y = 1.
8
Obecná rovnice te ny kružnice k v bod T2 je (x - 1)(5 - 1) + (y + 3)(-3 + 3) = 16, tedy
x = 5.
5) Ur ete délku t tivy, kterou vytíná p ímka p na kuželose ce k.
p:x
y
0 ; k : 2x 2
2x
y2
2y 1 0
ešení:
3 3
;
; P2
3 3
P1
Pr se íky jsou
3
;
3
3
, délka t tivy je vzdálenost
3
pr se ík , pro vzdálenosti dvou bod (resp. délku úse ky) platí:
P1 P2
x2
x1
2
3
3
P1 P2
4.
3
9
y2
2
3
3
4.
2
y1
3
9
3
3
24
9
2
3
3
3
2.
3
2
3
2.
3
2
8
3
6) Ur ete te nu kuželose ky
p : 2x 3y
, tedy
x2
9y2
5
0 , která je rovnob žná s p ímkou
0.
ešení: rovnice hledané te ny t : ax
její rovnice je tedy t : 2 x
3y
c
by
c
0.
0 , te na je rovnob žná s p ímkou p,
x2 9 y2 5 0
ešíme soustavu
2x 3y
c
0
.
Z lineární rovnice vyjád íme jednu neznámou (nap . x), dosadíme ji do kvadratické
rovnice, a pak ešíme kvadratickou rovnici s parametrem c. Jelikož se jedná o te nu,
musí být D = 0.
9 y2
6cy c 2
45 y 2
D
b2
36 y 2
20
0
6cy 20 c 2
0
4ac´
6c
D
144c 2 3600
t : 2x 3y 5 0
2
0
4.45.
c2
20 c 2
36c 2
25
5 , tedy existují dv hledané te ny:
c
Metodické poznámky k uvedeným úlohám:
9
3600 180c 2
a)P i hledání spole ných bod kuželose ky a p ímky ešíme vždy soustavu rovnic,
z rovnice p ímky dosazujeme do rovnice kuželose ky. Z po tu ešení soustavy
ur íme po et spole ných bod , vypo teme ob sou adnice pr se ík .
b) P ipomeneme ešení kvadratické rovnice s parametrem a vliv diskriminantu na
po et ešení rovnice. Zapisujeme všechna ešení (nap . všechny te ny).
c) Pokud píšeme rovnici te ny, která prochází daným bodem, vždy ov íme, zda bod
na dané kuželose ce leží nebo neleží.
d) Pro lepší p edstavu situace kreslíme obrázky a používáme tabulky s konkrétními
obrázky.
Další p íklady k procvi ení:
1) Ur ete vzájemnou polohu p ímky p a kuželose ky k.
p : 2x
y 1 0 ; k : x2
y2
2) Ur ete te nu kuželose ky 2 x
bod T
2
4
0 ( ešení: se na kuželose ky)
3x
y
2 0 , která se jí dotýká v te ném
2; yT . ( ešení: rovnice te ny: t : 5 x y 10 0 )
3) Ur ete te nu kuželose ky, pro kterou platí
a) te na je vedena bodem M
kuželose ka má rovnici x
2
y2
b) te na je kolmá na p ímku p : x
x
2
4y
2
3;0 (nejedná se o te ný bod!) a
2 y 0 ( ešení: t : 3x 4 y 9 0 )
y
0 a kuželose ka má rovnici
12 ( ešení: t : x y 3 0 )
4) Napište rovnici te ny ke kružnici x2 - 6x + y2 - 4y - 5 = 0, která je rovnob žná s
p ímkou p: x + y + 4 = 0. ( ešení: t1: x + y - 11 = 0, t2: x + y + 1 = 0)
Test na záv r
Je možné použít tento test:
http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/testy.php?kapitola=ku
zelosecky
10
Použitá literatura a ostatní materiál:
Matematické tabulky pro SŠ - r zné
Nad žda Kubešová, Eva Cibulková : Matematika – p ehled st edoškolského u iva, 2.
vyd.,T ebí : Petra Velanová, 2007, edice Maturita
http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Kuzelosecky.png
http://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Conic_sections_2n.png
http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/kuzelosecky.php
www.sosik.cz
V p íloze na dalších stránkách jsou uvedeny p íklady z p edchozích stránek tak, aby
mohly být v p ípad pot eby kopírovány pro práci student p i hodinách individuální
výuky.
11
I.kapitola Pojem KUŽELOSE KA a její rovnice
ešené p íklady na jednotlivé kuželose ky:
1) Ur ete st ed a polom r kružnice dané rovnicí x2 - 2x + y2 + 4y - 11 = 0.
2) Ur ete st ed, ohniska a hlavní poloosu elipsy dané rovnicí 25x2 + 9y2 + 150x 36y + 36 = 0.
3) Najd te st ed, ohniska a hlavní vrcholy hyperboly, dané rovnicí: 9x2 - 90x 16y2 - 96y + 225 = 0.
4) Najd te vrcholovou rovnici paraboly ur ené ohniskem E[2; 4] a ídicí p ímkou
q: y = - 2.
Další p íklady k procvi ení:
1) Najd te st edovou a obecnou rovnici kružnice se st edem S[3; 5] a polom rem
r = 2.
2) Zjist te, zda body A[2; 1], B[2; 5], C[4; 5] a D[-1; 2] leží na stejné kružnici.
3) Ur ete výst ednost elipsy s hlavním vrcholem A[-1; 1], vedlejším vrcholem B[4;
-2] a st edem S[4; 1].
4) Najd te st edovou rovnici elipsy se st edem S[2; 2], výst edností e = 4 a
hlavním vrcholem A[-3; 2].
5) Najd te obecnou rovnici elipsy, která má st ed S[2; 1], hlavní vrchol A[2; 6] a
ohnisko E[2; -3].
6) Ur ete obecnou rovnici paraboly s vrcholem V[2; -1], jejíž ídicí p ímkou je osa
y.
7) Najd te ohnisko, vrchol a ídicí p ímku paraboly, která je dána rovnicí x2 - 4x 4y + 12 = 0.
8) Ur ete st edovou rovnici a asymptoty hyperboly se st edem S[2; -1], ohniskem
E[7; -1] a vrcholem A[5; -1].
9) Napište obecnou rovnici hyperboly s asymptotami a1: 3x + 2y - 9 = 0, a2: 3x 2y - 9 = 0 a vrcholem A[3; 3].
II.kapitola
Kuželose ka a p ímka
P íklady ešené nebo s náznakem ešení:
1) Najd te pr se íky p ímky p(A, u) a kružnice (x - 3)2 + (y - 2)2 = 4, je-li A[-1; 4]
a u = (1; -1).
2) Najd te rovnici te ny kružnice x2 - 2x + y2 - 4y - 20 = 0 v jejím bod T[4; -2].
3) Najd te spole né body p ímky 2x - y + 5 = 0 a paraboly (y - 3)2 = 2(x - 1).
4) Najd te te ny ke kružnici k: x2 - 2x + y2 + 6y - 6 = 0, které procházejí bodem
B[5; 1].
5) Ur ete délku t tivy, kterou vytíná p ímka p na kuželose ce k.
p:x
y
0 ; k : 2x 2
6) Ur ete te nu kuželose ky x
p : 2x 3y
y2
2x
2
2y 1 0
9y2
0.
12
5
0 , která je rovnob žná s p ímkou
Další p íklady k procvi ení:
1) Ur ete vzájemnou polohu p ímky p a kuželose ky k.
p : 2x
y 1 0 ; k : x2
y2
2) Ur ete te nu kuželose ky 2 x
bod T
2
4
3x
0
y
2
0 , která se jí dotýká v te ném
2; yT .
3) Ur ete te nu kuželose ky, pro kterou platí:
3;0 (nejedná se o te ný bod!) a kuželose ka
a) te na je vedena bodem M
má rovnici x
2
y2
2y
0
b) te na je kolmá na p ímku p : x
x 2 4 y 2 12
y
0 a kuželose ka má rovnici
4) Napište rovnici te ny ke kružnici x2 - 6x + y2 - 4y - 5 = 0, která je rovnob žná s
p ímkou p: x + y + 4 = 0. ( ešení: t1: x + y - 11 = 0, t2: x + y + 1 = 0)
13