Pasivní lineární obvody 1. a 2. řádu (RC, RL a RLC články)

ELEKTROTECHNIKA 2
(BEL2)
Pasivní lineární obvody 1. a 2. řádu
(RC, RL a RLC články)
doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc.
doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.
doc. Ing. Petr Drexler, Ph.D.
UTEE FEKT VUT v Brně
1
Dvojbrany
I1
U1
Opakování BEL1
I2
Admitanční rovnice dvojbranu:
 I1   y11 y12   U1 
=
⋅ 
I   y

U2
 2   21 y 22   U 2 
Impedanční rovnice dvojbranu:
 U1   z11 z12  I1 
=
⋅ 
U  z

 2   21 z 22  I 2 
Hybridní rovnice dvojbranu:
 U1   h11 h12  I1 
=
⋅ 
 I  h

 2   21 h 22   U 2 
Dvojbran:
• Má vstupní bránu a výstupní bránu
• Lze chápat jako „černou krabičku“ s dvěma dvojicemi svorek
• Dvojbran je popsán vztahy mezi U a I na branách, popisuje se maticovou
rovnicí (např. admitanční Y, impedanční Z,…)
2
Výpočet pomocí MUN
Výpočet přenosu napětí naprázdno KU0:
Opakování BEL1
U VÝST
KU =
U VST
∆2
U 20
∆ ∆2
=
=
K=
U0
U10 ∆1 ∆1
∆
U10 =
∆1
∆
U 20 =
∆2
∆
K U0 =
∆2
∆1
Výpočet vstupní impedance naprázdno Zvst0:
Z VST =
U VST
I VST
Z VST0 =
U10
I
U10 =
∆1
∆
Z VST0=
U10 1 ∆1
= ⋅
I
I ∆
1 ∆1
Z VST0= ⋅
I ∆
3
Pasivní lineární setrvačné obvody
Setrvačné obvody
Vložené
Setrvačné obvody (dvojbrany)
Parazitní
1. řádu
Použití: Úprava signálu
(kmitočtově závislé děliče)
RC
PRO
C
R
u1
u2
vyšších řádů
(dáno počtem akumulačních prvků, tedy řádem dif. rovnice)
CR
R
2. řádu
u1
R
L
C
u
u2
C
LR
u1
RL
L
R
u2
u1
SRO
R
L
u2
u1
R
L
u2
C
4
Vlastnosti základních pasivních
lineárních obvodů 1. řádu (RC, RL)
5
Setrvačný (integrační) článek RC
R
u1(t)
i1(t)
Z rovnice pro kapacitor:
C
u2(t)
1
u2 ( t ) =
u1 ( t ) dt
∫
RC
τ= R ⋅ C
časová konstanta
1
u2 ( t ) = ∫ i1 ( t ) dt
C
u1 ( t ) − u2 ( t )
i1 ( t ) =
R
u2 ( t ) << u1 ( t )
u1 ( t )
i1 ( t ) =
R
Použití:
- získání integrálu časového průběhu
- odstranění šumu ze signálu (vyhlazení)
6
Setrvačný (integrační) článek RC
u2 ( t ) =
Harmonický průběh
u2 << u1
u1(t)
u2(t)
1
u ( t ) dt
∫
τ
1
Neharmonický průběh
u1(t)
u2 << u1
Není-li u2 << u1, je u2(t) nutno řešit pomocí diferenciální rovnice.
Analýza je jednoduchá jen pro harmonický ustálený stav.
u2(t)
R
u1(t)
C
u2(t)
7
Vlastnosti článku RC pro HUS
R
u1(t)
I1
i1(t)
C
u2(t)
U1
R
U
U2
u1 ( t ) = U1m sin (ωt )
ZC
=
u2 ( t ) U 2m sin (ωt + ψ u )
=
i ( t ) I m sin (ωt + ψ i )
I1 =
U1
R + ZC
=
U 2 Z=
C I1
ZC
U1
R + ZC
Napěťový přenos RC článku:
1
U 2 (ω )
ZC
1
jω C
ω
K=
=
=
=
U ( )
U1 (ω ) R + Z C R + 1
1 + jω RC
jω C
K U (ω ) =
1
1 + jωτ
U
=
K U (ω ) ⋅ U1 (ω )
2 (ω )
8
Fázorový diagram RC článku
R
U1
U
I
=
U2=UC
I
ZC
U1
U1
=
R + ZC R + 1
jω C
U1 = U R + U C = R ⋅ I +
1
I
jω C
I
I
ϕ
UR
UC
ϕ U1
ϕ → −90°
UC
ω→0
U1
UR
Oblast přenosu
ω→∞
Oblast „kvaziintegrace“
9
Hodograf RC článku
R
U1
U
I1
U2
0,5
K U (ω = 0 )
ω=0
1
Im
K U (ω = ωmez )ωmez
ω →∞
Re
ω
-j0,5
U 2 (ω )
1
=
U1 (ω ) 1 + jω RC
ZC
K U (ω → ∞ )
0
K=
U (ω )
K U (ωmez
=
)
=
ω ω=
mez
⇒ KU = 1
⇒ K U =0
1
1
=
RC τ
1
1− j
= = =
1 + jωmez RC 1 + j
2
1
( 0,5 − j0,5)
10
Pracovní oblasti RC článku
OBLAST INTEGRACE
OBLAST PŘENOSU
K U (ω = 0 )
K U (ω → ∞ )
0
0,5
1
Re
ω
-j0,5
Im
K U (ω >> ωmez )
ωmez
K U (ω = ωmez )
ωmez
=
1
1
=
RC τ
K U (ω << ωmez )
1 1
K Umez = − j  =K Umez ⋅ e jϕ
2 2
2
2
1
1 1
0, 707
K Umez =  +   = =
2
2
2
   
ϕ =−45°
U
K Umez(dB) = 20 log  2
 U1

 = −3, 0103 (dB)

11
Modulová a fázová charakteristika RC článku
R
U1
U
U 2 (ω )
1
jϕ ( ω )
K
e
K=
=
=
⋅
ω
ω
(
)
(
)
U
U
U1 (ω ) 1 + jω RC
U2
I1
ZC
Modulová
kmitočtová
charakteristika
Hodograf komplexní
kmitočtová
charakteristika
K U (ω ) =
0
K u (ω ) =
1
1 + jω RC
0,5
1
ω
-j0,5
Im
ωmez
1
1 + (ω RC ) 2
ϕ (ω ) arctan(−ω RC )
=
1
Re
ϕ (ω )
K u (ω )
Argumentová
(fázová)
kmitočtová
charakteristika
K u (ω )
ϕ (ω )
0.9
0
-10
0.8
-20
0.7
-30
0.6
-40
0.5
-50
0.4
-60
0.3
0.2
ω
ωmez
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
-70
ω
ωmez
-80
4
-90
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
12
Logaritmické charakteristiky RC článku
R
U1
U
I1
 U (ω ) 
K U(dB) (ω ) 20
log ( K U (ω ) ) 20 log  2
=
=

U2
ω
U
(
)
 1

(dB)
ZC
0
K u( dB) (ω )
-5
Bodeho asymptoty
−3 dB
-10
-15
-20
Log. modulová
kmitočtová
charakteristika
-25
-30
-20 dB/dek
-35
 ω 
log 

 ωmez 
-40
-45
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
13
Logaritmické charakteristiky RC článku
R
U1
U
I1
 U (ω ) 
K U(dB) (ω ) 20
log ( K U (ω ) ) 20 log  2
=
=

U2
ω
U
(
)
 1

(dB)
ZC
0
ϕ (ω )
Log. argumentová
-10
kmitočtová
charakteristika
-20
-30
-40
−45°
-50
-60
-70
Bodeho asymptoty
 ω 
log 

 ωmez 
-80
-90
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
14
RC článek - shrnutí
R
U1
I1
U
Filtr typu dolní propust (DP)
U2
0
K u( dB) (ω )
ZC
-5
KU(dB) (ω)
−3 dB
-10
-15
-20
U 2 (ω )
1
K U ( ω ) ⋅ e jϕ ( ω )
ω
K=
=
=
(
)
U
U1 (ω ) 1 + jωτ
K U(dB) (ω ) = 20 log ( K U (ω ) )
τ= R ⋅ C
u1(t)
i1(t)
C
-35
-45
-2
10
(dB)
ω >> ωmez
u2(t)
-30
 ω 
log 

 ωmez 
-40
1
1
=
=
ω ω=
mez
RC τ
R
-25
Pásmo
propustnosti
u2 ( t ) =
1
τ
∫ u1 ( t ) dt
u2 ( t ) << u1 ( t )
-1
10
0
10
1
10
2
10
0
ϕ (ω )
ϕ (ω)
-10
-20
-30
-40
−45°
-50
-60
-70
 ω 
log 

 ωmez 
-80
-90
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
15
Vazební (derivační) článek CR
u2 ( t )= R ⋅ i1 ( t )
C
u1(t)
i1(t)
R
u2(t)
Z rovnice pro kapacitor:
i1 ( t ) = C
d u1 ( t )
u2 ( t ) = RC
dt
d ( u1 ( t ) − u2 ( t ) )
d u1 ( t )
i1 ( t ) = C
dt
dt
u2 ( t ) << u1 ( t )
τ= R ⋅ C
časová konstanta
Použití:
- získání derivace časového průběhu
- odstranění stejnosměrné složky signálu
16
Vazební (derivační) článek CR
d u1 ( t )
u2 ( t ) = τ
dt
Harmonický průběh
u2 << u1
u1(t)
Neharmonický průběh
u1(t)
u2 << u1
u2(t)
u2(t)
Není-li u2 << u1, je u2(t) nutno řešit pomocí diferenciální rovnice.
Analýza je jednoduchá jen pro harmonický ustálený stav.
C
u1(t)
R
u2(t)
17
Vlastnosti CR článku pro HUS
C
u1(t)
i1(t)
R
ZC
I1
u2(t)
U1
U
R
u1 ( t ) = U1m sin (ωt )
U2
=
u2 ( t ) U 2m sin (ωt + ψ u )
=
i ( t ) I m sin (ωt + ψ i )
I1 =
U1
R + ZC
=
U
R=
I1
2
R
U1
R + ΖC
Napěťový přenos CR článku:
U 2 (ω )
R
R
jω RC
K=
= =
=
U (ω )
U1 (ω ) R + Z C R + 1
1 + jω RC
jω C
K U (ω ) =
jωτ
1 + jωτ
U
=
K U (ω ) ⋅ U1 (ω )
2 (ω )
18
Fázorový diagram CR článku
ZC
U1
U
I
=
R
I
U2=UR
U1
U1
=
R + ZC R + 1
jω C
U1 = U C + U R =
1
I + R⋅I
jω C
I
ϕ
ω→0
ϕ
U1
U1
UC
I
UR
UR
UC
ϕ → +90°
ω→∞
Oblast přenosu
Oblast „kvaziderivace“
19
Hodograf CR článku
ZC
U1
U
Im
I1
U2
R
K=
U (ω )
U 2 (ω )
jω RC
=
U1 (ω ) 1 + jω RC
K U (ω = ωmez )
ω=0
ωmez
ω
j0,5
⇒ KU = 0
ω →∞
⇒ K U =1
=
ω ω=
mez
1
1
=
RC τ
K U (ω → ∞ )
0
K U (ω = 0 )
0,5
Re
1
j (1 − j)
jωmez RC
j
K U (ωmez
=
= =
=
)
1 + jωmez RC 1 + j
2
( 0,5 + j0,5 )
20
Pracovní oblasti CR článku
OBLAST DERIVACE
Im
ω
j0,5
OBLAST PŘENOSU
ωmez
K U (ω << ωmez )
K U (ω >> ωmez )
K U (ω = ωmez )
K U (ω → ∞ )
0
K U (ω = 0 )
0,5
Re
1
1 1
K Umez = + j  =K Umez ⋅ e jϕ
2 2
2
1
1
ωmez
= =
RC τ
2
1
1 1
0, 707
K Umez =  +   = =
2
2
2
   
ϕ =+45°
U
K Umez(dB) = 20 log  2
 U1

 = −3, 0103 (dB)

21
Modulová a fázová charakteristika CR článku
ZC
U1
U
I1
U 2 (ω )
jω RC
jϕ ( ω )
K=
K
e
=
=
⋅
ω
ω
(
)
(
)
U
U
U1 (ω ) 1 + jω RC
U2
R
Modulová
kmitočtová
charakteristika
Hodograf komplexní
kmitočtová
charakteristika
K u (ω ) =
jω RC
K U (ω ) =
1 + jω RC
Argumentová
(fázová)
kmitočtová
charakteristika
ω RC
 1 

 ω RC 
ϕ (ω ) = arctan 
1 + (ω RC ) 2
90
K u (ω )
ϕ (ω )
1
80
0.9
ω
j0,5
70
ωmez
0.8
1
2
60
0.7
0.6
50
+45°
0.5
40
0.4
Ku(ω)
30
0.3
0.2
20
ω
ωmez
0.1
0
ϕ (ω )
0,5
1
0
Re
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
ω
ωmez
10
4
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
22
Logaritmické charakteristiky CR článku
ZC
U1
U
I1
R
U2
 U (ω ) 
K U(dB) (ω ) 20
log ( K U (ω ) ) 20 log  2
=
=

ω
U
(
)
 1

(dB)
0
K u( dB) (ω )
-5
−3 dB
Bodeho asymptoty
-10
-15
Log. modulová
kmitočtová
charakteristika
-20
-25
-30
-35
+20 dB/dek
 ω 
log 

 ωmez 
-40
-45
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
23
Logaritmické charakteristiky CR článku
ZC
U1
U
I1
R
U2
 U (ω ) 
K U(dB) (ω ) 20
log ( K U (ω ) ) 20 log  2
=
=

ω
U
(
)
 1

(dB)
90
ϕ (ω )
Log. argumentová
80
kmitočtová
charakteristika
70
60
50
+45°
40
30
20
Bodeho asymptoty
 ω 
log 

 ωmez 
10
0
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
24
CR článek – shrnutí
Filtr typu horní propust (HP)
ZC
U1
U
I1
U2
R
0
K u( dB) (ω )
-5
KU(dB) (ω)
−3 dB
-10
-15
Pásmo
propustnosti
-20
U 2 (ω )
jω RC
ω
K=
=
= K U ( ω ) ⋅ e jϕ ( ω )
(
)
U
U1 (ω ) 1 + jω RC
K U(dB) (ω ) = 20 log ( K U (ω ) )
τ= R ⋅ C
u1(t)
ω << ωmez
i1(t)
R
u2(t)
-30
-35
d u1 ( t )
u2 ( t ) = τ
dt
u2 ( t ) << u1 ( t )
 ω 
log 

 ωmez 
-40
-45
-2
10
(dB)
1
1
=
ω ω=
=
mez
RC τ
C
-25
-1
10
0
10
1
10
2
10
90
ϕ (ω )
ϕ (ω)
80
70
60
50
+45°
40
30
20
 ω 
log 

 ωmez 
10
0
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
25
Články LR a RL
Derivační RL článek
Integrační LR článek
ZL
U1
U
I1
R
R
U2
R
1
=
K U (ω ) =
R + jω L 1 + jωτ
časová konstanta
U1
U
I1
ZL
U2
jω L
jωτ
=
K U (ω ) =
R + jω L 1 + jωτ
L
τ=
R
Problémy s reálnou cívkou - omezené Q, parazitní C
26
Shrnutí vlastností základních článků 1.řádu
Vazební (derivační)
článek CR
Setrvačný (integrační)
článek RC
R
U1
I1
ZC
U2
U1
ZC
I1
R
U2
U 2 (ω )
jϕ ( ω )
ω
ω
K=
=
K
⋅
e
(
)
(
)
U
U
U1 (ω )
27
Shrnutí vlastností základních článků 1.řádu
Setrvačný (integrační)
článek RC
I1
U1
K=
U (ω )
Z1
U
U2
Z2
K U (ω ) =
ωmez =
1 + jω RC
OBLAST
PŘENOSU
0,5
U 2 (ω )
Z2
=
U1 (ω ) Z1 + Z 2
1
Re
ω
U1
Im
ωmez
U
Z2
K U (ω ) =
1
RC
ω << ωmez
Im
U2
jω RC
1 + jω RC
ωmez
ω
j0,5
ω >> ωmez
0
-j0,5
Z1
I1
U
=
2 ( ω ) K U ( ω ) ⋅ U1 ( ω )
1
OBLAST
INTEGRACE
0
Vazební (derivační)
článek CR
OBLAST
DERIVACE
0,5
Re
1
OBLAST
PŘENOSU
28
Setrvačný (integrační)
článek RC
0
0,5
1
HODOGRAF - komplexní
Re
ϕ (ω )
Vazební (derivační)
článek CR
kmitočtová charakteristika
ω
K u (ω )
-j0,5
ωmez
Im
K u( dB) (ω )
K U (ω ) =
−3 dB
-20 dB/dek
-10
-15
1 + jω RC
K U (ω ) =
Ku(ω)
jω RC
1 + jω RC
Log. modulová
kmitočtová
charakteristika
0
-5
1
ωmez
ω
j0,5
ϕ (ω )
0
K U (ω ) =
K U(dB) (ω ) = 20 log ( K U (ω ) ) (dB)
1
1 + (ω RC )
-35
-40
-45
-2
10
-1
10
0
10
Re
ω RC
1 + (ω RC )
2
 ω 
log 

 ωmez 
2
1
10
2
10
0º → -90º
Log. argumentová
kmitočtová
charakteristika
ϕ (ω )
K U (ω ) =
-30
1
+20 dB/dek
-20
-25
0,5
90
80
+90º → 0º
70
60
=
ϕ (ω ) arctan ( −ω RC )
+45°
50
40
30
 1 

 ω RC 
ϕ (ω ) = arctan 
20
 ω 
log 

 ωmez 
10
0
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
10
29
Článek RC – souvislost KU a časových průběhů
R
u2
u1
C
oblast přenosu
ω << ωmez
1
= 0,707
2
ϕ = -45°
K=
U
KU(dB) (ω)
ω = ωmez
oblast integrace
ω >> ωmez
ϕ (ω)
30
Článek CR – souvislost KU a časových průběhů
C
u1
R
u2
oblast přenosu
ω >> ωmez
KU(dB) (ω)
1
= 0,707
2
ϕ = +45°
K=
U
ω = ωmez
oblast derivace
ω << ωmez
ϕ (ω)
31
Fourierova harmonická analýza
(rozklad na harmonické složky)
Periodický signál:
Opakování BEL1
SPEKTRUM periodického signálu
f ( t )= f ( t + k ⋅ T )
k = 0, ± 1, ± 2,...
ω1 = 2πf1
f (t )
∞
∑ (c
k =0
k
sin ( kω1t + ϕ k ) )
32 32
Přenos neharmonického signálu
Obdélníkový signál
u1(t)
ω1
1. harmonická
Výstupní signál
R
U1 (ωk ) ⋅
0
u2(t)
C
1
1 + jωk RC
ω1
=
U 2 ( ωk )
0
t
t
R
ω3
3. harmonická
U1
0
C
ω3
U2
0
t
t
ω5
5. harmonická
ω5
0
0
t
další harmonické
ωn
t
ωn
33
Neharmonické signály v setrvačných obvodech
RC (integrační)článek
R
u1(t)
C
oblast přenosu
u2(t)
t
ω << ωmez
ω = ωmez
oblast integrace
ω >> ωmez
34
Neharmonické signály v setrvačných obvodech
CR (derivační) článek
C
u1(t)
R
oblast derivace
t
u2(t)
ω << ωmez
ω = ωmez
oblast přenosu
ω >> ωmez
35
Všepropustný článek
U1/2
U1
U
U1/2
R1
U2
R
UR
UR
R1
1
jω RC
R
1=
jω C
U
U
=
U
=
U C U=
U
R
1
1
1
1
1
1 + jω RC
1
1 + jω RC
R+
R+
jω C
jω C
U2 = UC −
U2
U1/2
C UC
ω roste
UC
U2
U1/2
UR
U2
U1
U
U 1 − jω RC
1
= U1
− 1 = 1⋅
=
2
1 + jω RC 2
2 1 + jω RC
2
− j⋅arctan (ω RC )
U1 1 + (ω RC ) ⋅ e
U1 −2 j⋅arctan (ω RC )
=
⋅
=
⋅e
2
2
2
j⋅arctan (ω RC )
1 + (ω RC ) ⋅ e
U 2 (ω )
j −2 arctan (ω RC ) )
K U (ω=
= 0,5 ⋅ e (
)
U1 (ω )
UC
Použití: Jako tzv. „fázovací článek“
36
Využití CR článku
Unap
R1
R3
R2
U
T2
C1
T1
U1
U2
R4
Vazební článek (oddělení ss složky)
Derivační článek
(získání krátkého spouštěcího impulsu)
37
Využití CR článku
Zapojení 3stupňového zesilovače
s vazebními články
Totéž zapojení, výpočtové schéma
pro střídavé signály
38
Využití CR a RC článků
CR jako vazební článek
resp. filtr HP
RC jako filtr DP
Kaskádní řazení článků
Oddělovač synchronizačních impulzů v televizoru Salermo
39
Vlastnosti základních pasivních
lineárních obvodů 2. řádu
(rezonanční obvody RLC)
40
Kmitavý obvod LC a RLC
• Kmitavý obvod LC: Energie se přelévá z elektrického pole C
do magnetického pole L a zpět  kmitavý děj (harmonický)
• Vložením R vznikne exponenciálně tlumený kmitavý děj
(část energie se umořuje v R ve formě tepla)
41
Kmitavý obvod LC a RLC
• Kmitavý obvod LC: Energie se přelévá z elektrického pole C
do magnetického pole L a zpět  kmitavý děj (harmonický)
• Vložením R vznikne exponenciálně tlumený kmitavý děj
(část energie se umořuje v R ve formě tepla)
R
L
I
C
42
Sériový rezonanční obvod RLC (SRO)
L
R
U
U
I
C
Z=
Z (ω ) e
jϕ (ω )

1
1 
=+
R jω L +
=+
R j ω L −

C
ω
jω C


Impedance
Z (ω ) =
Z (ω )
R 2 + (ω L − 1/ ωC )
2
 ω L − 1/ ωC 

R


ϕ (ω ) = arctan 
0
+90°
ϕ (ω ) 0
Z ( ωr ) = R
ω

1 
1
L
0
−
=
ω
L
=
ω
 r

r
C
ω
ωr C

r 
REZONANCE
(Thomsonův vzorec)
ϕ ( ωr ) = 0
=
ωr
−90°
ωr
1
1
, fr
=
LC
2π LC
43
Sériový rezonanční obvod RLC (SRO)
U
U
I (ω )
=
L
R
I
C
Rezonanční
křivka
Ir = U / R
I (ω )
Ir
2
ψ I (ω )
1
= I (ω ) e
1 

R + j ω L −

ω
C


Při rezonanci =0
proud je maximální
ωmd
ωmh
ω
ω
j0,5
jΨ I ( ω )
U
Ir =
R
I (ω )
Ir
B
Mezní kmitočty
+45°
ωmd
Im
B ωmh − ωmd
=
+90°
U
= U
Z (ω )
0
ψi
0,5
U
1
Re
0
−45°
−90°
ωr
šířka pásma propustnosti B (rad/s, Hz)
-j0,5
ωmh
Hodograf
44
Sériový rezonanční obvod RLC (SRO)
=
I (ω )
U
=
Z (ω )
1
U
U/R
ωr ==
I (ω ) =
1 

R + j ω L −
ωC 

LC
1+ j
Rezonanční křivka
I (ω )
I (ω ) =
Ir
2
Ir
1 + QS2 F 2
ωr L  ω ωr 
 − 
R  ωr ω 
Ir
1 + jQS F
činitel jakosti SRO
=
QS
ωr L
1
1 L
=
=
R
ωrCR R C
činitel rozladění
F=
QS roste
B klesá s QS
ω
ω ωr f f r
−
= −
ωr ω f r f
fr
B =
QS
Empirický vztah,
platí pro QS > cca 5
šířka pásma
45
Fázorový diagram SRO
L
R
U
U
Z =+
R jω L +
I
C
1
1 

R j ω L −
=+
ωC 
jω C

UR + UC + UL − U = 0
U
=
I
=
,
U R U,
r
Rezonance:
R
ωr L I r j =
=
U Lrez j=
U j QS U
UL+UC
R
1
1
U Crez =
⋅ Ir =
−j
⋅U =
− jQS U
jω r C
ωr RC
I
U Crez = − jQS U
UL
Napětí na C a L
je při rezonanci
maximální a je
Q-násobkem U!
Praktické důsledky – využití jevu rezonance
U
UL
ω > ωr
I
UR
UC
U Lrez = jQS U
U = UR + UC + UL
1
UR =
R ⋅ I , UL =
jω L ⋅ I , U C = ⋅ I
jω C
ωr L
UR = U
⇒
UR
I
UL+UC
UC
RL
ω < ωr
RC
U
46
Paralelní rezonanční obvod RLC (PRO)
G
I
I
L
C
U
Y=
Y (ω ) e
jϕ ( ω )
G jω C +
=+
Admitance
1 

G j  ωC −
=+
ω L 
jω L

1
Y (ω ) =
Y (ω )
G 2 + (ωC − 1/ ω L )
2
 ωC − 1/ ω L 

G


ϕ (ω ) = arctan 
0
+90°
ϕ (ω )
0
Y ( ωr ) = G
ω

1 
1
C
0
−
=
ω
C
=
ω
 r

r
L
ω
ωr L

r 
REZONANCE
(Thomsonův vzorec)
ϕ ( ωr ) = 0
=
ωr
−90°
ωr
1
1
, fr
=
LC
2π LC
47
Paralelní rezonanční obvod RLC (PRO)
G
I
I
L
U
=
(ω )
U
C
Rezonanční
křivka
Ur = I / G
U (ω )
Ur
2
ψ U (ω )
1
= U (ω ) e
1 

G + j  ωC −

ω
L


Při rezonanci =0
napětí je maximální
ωmd
ωmh
ω
jΨ U ( ω )
I
Ur =
G
U (ω )
ω
j0,5
Ur
B
Mezní kmitočty
+45°
ωmd
Im
B ωmh − ωmd
=
+90°
I
= I
Y (ω )
0
ψU
0,5
I
1
Re
0
−45°
−90°
ωr
šířka pásma propustnosti B (rad/s, Hz)
-j0,5
ωmh
Hodograf
48
Paralelní rezonanční obvod RLC (PRO)
U
=
(ω )
I
=
Y (ω )
1
I
I/G
ωr ==
U (ω ) =
1 

G + j  ωC −
ω L 

LC
1+ j
Rezonanční křivka
U (ω )
U (ω ) =
Ur
2
ωr C  ω ωr 
 − 
G  ωr ω 
činitel jakosti PRO
ωr C
1
1 C
=
=
G
ωr LG G L
=
QP
Ur
Ur
1 + jQP F
1 + QP2 F 2
činitel rozladění
F=
QP roste
ω ωr f
f
−
= − r
ωr ω f r f
B =
B klesá s QP
ω
fr
QP
Empirický vztah,
platí pro QP > cca 5
šířka pásma
49
Fázorový diagram PRO
G
I
I
L
G
Y =+
U
C
1 

G j  ωC −
+ jωC =+
jω L
ω L 

1
IG + IC + IL − I = 0
⇒
I = IG + IC + IL
1
G ⋅ U , IC =
jω C ⋅ U , I L = ⋅ U
IG =
I
rezonance : =
jω L
Ur =
, IG I
G
IC
ωr C
I
I Crez jω=
U
I jQP I
=
C
=
j
IL+IC
r
r
ω >ω
G
I Lrez
1
1
= ⋅ Ur =
−j
Ir =
− jQP I
jω r L
ωr LG
U
IG
IL
r
RC
I Crez = jQP I
U
IG = I
I Lrez = − jQP I
IC
Proud procházející C a L
je při rezonanci
IL+IC
maximální a je
Q-násobkem proudu I!
IG
IL
U
ω < ωr
RL
I
50
Paralelní rezonanční obvod RLC
Teoretická varianta zapojení
G
I
I
L
Praktická varianta zapojení
U
C
1
jω C I
Z=
1
R + jω L +
jωC
( R + jω L )
L
U
C
I
R
Ideální induktor!
U (ω ) = I
1/ G
1 + jQP F
CR
G=
L
Reálná cívka (ztrátová)
Porovnáním
Přepočet z praktické
varianty zapojení
1
L
R
+
jω C
C jω C
U (ω ) =I ⋅ Z =I
=I
1
1 

R + jω L +
R + j ω L −
jω C
ωC 

( R + jω L )
L
1
+
CR jωC
U (ω ) = I
1 + jQP F
V praxi je ω >>
R
L
51
Použití RLC v zapojení jako dvojbran
jako kmitočtové filtry 2. řádu typů: DP, HP, PP, PZ (podle zapojení a parametrů)
DP – dolní propust
U1
R
L
U2
U 2 (ω )
Z2
ω
K=
=
(
)
U
U1 (ω ) Z1 + Z 2
HP – horní propust
KU (db)
40
Q=20
20
Q=3
0
Q=20
20
± 40 dB/dek
Q=3
0
Q=1
U2
C
L
Logaritmická modulová
KU (db)
kmitočtová charakteristika
40
-20
Q=1
-20
-40
0.1
ϕ (°)
0
1
Q=3
-30
ω / ωr
10
-40
0.1
ϕ (°)
Q=3
150
120
Semilogaritmická argumentová
90
kmitočtová charakteristika
60
-90
-120
1
180
Q=20
Q=1
-60
-150
-180
R
U1
C
ω / ωr
10
ω / ωr
10
Q=20
Q=1
30
0.1
1
ω / ωr
10
0
0.1
1
52
Použití RLC v zapojení jako dvojbran
PP – pásmová propust
L
C
U1
R
U2
PZ – pásmová zádrž
K=
U (ω )
U 2 (ω )
Z2
=
U1 (ω ) Z1 + Z 2
R
U1
L
U2
C
KU (db)
10
0
Logaritmická modulová
KU (db)
kmitočtová charakteristika
10
Q=3
-20
Q=20
-40
Q=200
-60
0.1
ϕ (°)
90
Q=20
60
Q=200
Q=3
30
ω / ωr
1
10
-60
0.1
ϕ (°)
Semilogaritmická argumentová
90
kmitočtová charakteristika
60
30
0
0
-30
-30
-60
-60
0.1
1
Q=20
Q=1
-20
-40
-90
Q=5
0
ω / ωr
10
-90
1
ω / ωr
10
1
ω / ωr
10
Q=20
Q=5
Q=1
0.1
53
Praktické případy použití rezonančních obvodů
Příklad využití DP a HP
Reproduktorové výhybky (zde dvoupásmová soustava)
54
Praktické případy rezonančních obvodů
Příklad PZ-pásmové zádrže
Příklad PP-pásmové propusti
Příklad PRO - kompenzace účiníku
55
Praktické případy rezonančních obvodů
Příklad laděných PP-pásmových propustí
56
Praktické případy rezonančních obvodů
Typické zapojení dvoustupňového mf zesilovače
57
Praktické případy rezonančních obvodů
Rezonance sériová
Ideální případ DP 2. řádu
L
Rezonance paralelní
C
U1
U2
Technická cívka
Rp
L
C
U1
U2
Cp
58
Konec
Kolejní 2906/4
612 00 Brno
Czech Republic
Tel.: 541 149 521
Fax: 541 149 512
e-mail: [email protected]
59