Transformace – skládání rotací

Transformace – skládání rotací
1. Bod T je dán geodetickou délkou λ a geodetickou šířkou ϕ . Topocentrická (lokální)
soustava souřadnic má počátek T. Osa zt je určena normálovým vektorem elipsoidu a
směřuje vně elipsoidu (k zenitu). Osa xt je určena tečným vektorem poledníku a
směřuje k severu. Osa yt směřuje k východu. Topocentrická soustava souřadnic je
levotočivá, v té je měřen azimut A od osy xt v rovině xt yt a výškový úhel
v jednotkového mezistaničního vektoru TP. Určete jeho geocentrické souřadnice.
Situaci nakreslete.
Bod T volte v 1., resp. 2., resp. 3., resp. 4., resp. 5., resp. 6., resp. 7., resp. 8. oktantu.
2. Bod T je dán geodetickou délkou λ a geodetickou šířkou ϕ . Topocentrická (lokální)
soustava souřadnic má počátek T. Osa zt je určena normálovým vektorem elipsoidu a
směřuje vně elipsoidu (k zenitu). Osa yt je určena tečným vektorem poledníku a
směřuje k severu. Osa xt směřuje k východu. Topocentrická soustava souřadnic je
pravotočivá, v té je měřen azimut A od osy xt v rovině xt yt a výškový úhel
v jednotkového mezistaničního vektoru TP. Určete jeho geocentrické souřadnice.
Situaci nakreslete.
Bod T volte v 1., resp. 2., resp. 3., resp. 4., resp. 5., resp. 6., resp. 7., resp. 8. oktantu.
3. Bod T je dán geodetickou délkou λ a geodetickou šířkou ϕ . Topocentrická (lokální)
soustava souřadnic má počátek T. Osa zt je určena normálovým vektorem elipsoidu a
směřuje vně elipsoidu (k zenitu). Osa xt je určena tečným vektorem poledníku a
směřuje k severu. Osa yt směřuje k východu. Je dán jednotkový vektor v globální
geocentrické soustavě souřadnic, azimutem A od osy x v rovině xy a výškovým úhlem
v. Určete jeho topocentrické souřadnice. Situaci nakreslete.
Bod T volte v 1., resp. 2., resp. 3., resp. 4., resp. 5., resp. 6., resp. 7., resp. 8. oktantu.
4. Bod T je dán geodetickou délkou λ a geodetickou šířkou ϕ . Topocentrická (lokální)
soustava souřadnic má počátek T. Osa zt je určena normálovým vektorem elipsoidu a
směřuje vně elipsoidu (k zenitu). Osa yt je určena tečným vektorem poledníku a
směřuje k severu. Osa xt směřuje k východu. Je dán jednotkový vektor v globální
geocentrické soustavě souřadnic, azimutem A od osy x v rovině xy a výškovým úhlem
v. Určete jeho topocentrické souřadnice. Situaci nakreslete.
Bod T volte v 1., resp. 2., resp. 3., resp. 4., resp. 5., resp. 6., resp. 7., resp. 8. oktantu.
5. Poloha roviny eliptické dráhy satelitu vzhledem k rovině Oxy rovníku je dána úhlem
Ω osy x a uzlové přímky xu (průsečnice obou rovin) a odchylkou ι roviny dráhy od
roviny rovníku. Pravotočivou soustavu souřadnic v rovině dráhy, x' v hlavní ose
dráhy a y ' ve vedlejší ose dráhy, doplňuje normála roviny dráhy na prostorovou
soustavu O x' , y ' , z ' . Odchylka x' , xu je argument pericentra ω . Určete geocentrické
souřadnice satelitu, jehož poloha na dráze je dána vzdáleností r od ohniska O a
pravou anomálií ν ∈ 0,2π , r = a (1 − e 2 ) /(1 + e cosν ) . Volte Ω,ι ∈ (0, π / 2) . Situaci
nakreslete.
6. Kolem hlavního bodu O kamery je opsána sféra poloměru f-ohnisková vzdálenost
kamery. Bod dotyku F snímku se sférou má sférickou délku α a šířku δ .
V levotočivé souřadnicové soustavě S = {F , x s , y s , z s } snímku je osa z s optickou
osou kamery (normála sféry), osa x s směřuje k severu (je v tečně poledníku). Globální
soustava souřadnic G = {O, x, y, z} je pravotočivá. Ke snímkovým souřadnicím určete
globální souřadnice. Situaci nakreslete.
Bod F volte v 1., resp. 2., resp. 3., resp. 4., resp. 5., resp. 6., resp. 7., resp. 8. oktantu.
7. Obzorníková soustava souřadnic je pravotočivou kartézskou soustavou souřadnic.
Osa xo směřuje k jižnímu bodu S, osa yo směřuje k východnímu bodu E, osa zo směřuje
k zenitu. Obzorníkovými sférickými souřadnicemi jsou azimut a ∈ 0,2π měřený od
xo k západu, tj. v záporném smyslu, a výška nad obzorem h ∈ − π / 2, π / 2 .
1. rovníková soustava souřadnic je pravotočivou kartézskou soustavou souřadnic.
Osa x1 je průsečíkem místního poledníku s rovníkem, osa y1 směřuje k východnímu
bodu, osa z1 směřuje k severnímu pólu. První rovníkové sférické souřadnice jsou
hodinový úhel t ∈ 0 h,24 h a deklinace δ ∈ − π / 2, π / 2 . 2. rovníková soustava
souřadnic je pravotočivou kartézskou soustavou souřadnic. Osa x2 směřuje k jarnímu
bodu (průsečík ekliptiky s rovníkem), z2 směřuje k severnímu pólu. Druhé rovníkové
sférické souřadnice jsou rektascenze α ∈ 0 ,2π a deklinace δ ∈ − π / 2, π / 2 .
Situaci nakreslete.
a) Určete k obzorníkovým souřadnicím hvězdy druhé rovníkové souřadnice.
b) Určete k druhým rovníkovým souřadnicím hvězdy obzorníkové souřadnice.
8. Vlivem gravitačního působení Slunce, Měsíce a planet na Zemi se pohybuje zemská
osa. Je to dlouhoperiodický pohyb zemské osy po kuželové ploše, nazývaný precese.
Perioda precese je 25 725 roků (platónský rok). V epoše t 0 , resp. t1 uvažujme
pravotočivou kartézskou s.s. x0 , y 0 , z 0 , resp. x1 , y1 , z1 , kde z 0 , resp. z1 je totožná se
zemskou osou, x0 , resp. x1 prochází jarním bodem, průsečíkem rovníku a ekliptiky
v příslušné epoše. Oba rovníky mají společný průměr AB. Rovina, jdoucí počátkem
kolmo k AB, protíná rovníky v bodě M 0 , M 1 . Obloukovou vzdálenost M 0 M 1
označíme Θ , vzdálenost (po příslušném rovníku) jarního bodu od M 0 pak ζ 0 a
vzdálenost bodu M 1 od jarního bodu ζ 1 . Úhly Θ, ζ 0 , ζ 1 se nazývají precesní
parametry. Situaci nakreslete.
Napište matici transformace z epochy t 0 do epochy t1 , tzv. precesní matici.
9. Vlivem gravitačního působení Slunce, Měsíce a planet na Zemi se mění poloha
zemské osy vzhledem k ose ekliptiky. Tento pohyb, nazývaný nutace, je periodický
pohyb zemské osy s periodou 18.62 roků. Nutace ovlivňuje rovníkové souřadnice.
Uvažujme proto jednak střední rovníkovou pravotočivou kartézskou s.s. x1 , y1 , z1 , kde
z1 je totožná se zemskou osou a x1 prochází jarním bodem, průsečíkem rovníku a
ekliptiky. Dále druhou rovníkovou s.s. x,y,z, kde z je totožná se změněnou zemskou
osou a x prochází posunutým jarním bodem. Obloukovou vzdálenost od jarního bodu
na x k jarnímu bodu na x1 , tj. nutaci v ekliptikální délce, označíme ∆ψ . Odchylka
ekliptiky od rovníku r je ε a odchylka středního rovníku r1 od ekliptiky je ε 1 . Situaci
nakreslete.
Napište matici transformace ze střední rovníkové soustavy do rovníkové soustavy,
tzv. nutační matici.