MBT1 – 4. týden

Komentáře

Transkript

MBT1 – 4. týden
MBT1 – 4. týden
1
L’Hospitalovo pravidlo
1. Spočtěte limity:
a) lim
x→0
2
tg x − x
,
x − sin x
b) limπ
x→ 2
tg(3x)
,
tg x
c) lim
x→0
ln(cos(ax))
,
ln(cos(bx))
d) lim xx .
x→0
Derivace funkce
2. Nalezněte derivace funkce f všude, kde tato derivace existuje:
q
p
√
2x
a) f (x) = 1−x2 ,
b) f (x) = x + x + x,
c) f (x) = ln(tg x2 ),
√ ,
d) f (x) = arccos 1−x
2
e) f (x) =
√
x
x, x > 0,
f) f (x) = (sin x)cos x + (cos x)sin x .
√
3. Napište rovnici tečny ke křivce y = (x + 1) 3 3 − x procházejı́cı́ bodem
a) [−1, 0],
b) [2, 3],
c) [3, 0].
4. Pod jakým úhlem se protı́najı́ křivky y = x2 a x = y 2 ?
5. Rozhodněte, zda existujı́ lokálnı́ nebo globálnı́ extrémy funkce na dané množině. Pokud
ano, určete body těchto extrémů.
a) x2 sin x, x ∈ [− π2 , π/ 2],
b) x2 e−2x , x ∈ (0, +∞),
x ∈ (−3, 3).
1
c) |x2 + x − 2| − |x2 − 3x + 2|,
Výsledky:
1. 2, 1/3, (a/b)2 , 1;
2. a) 2(1 + x2 )/(1 − x2 )2 , |x| =
6 1,
√
√
√
√
1+2 x+4 x x+ x
b) √ √ √ q √ √ , x > 0,
8 x
x+ x
x+
x+ x
c) 1/(sin x), x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z,
√
√
d) 1/ 1 + 2x − x2 , |x − 1| < 2,
e) x1/x−2 (1 − ln x), x > 0,
f) [(sin x)1+cos x ][cotg2 x − ln sin x] − [(cos x)1+sin x ][tg2 x − ln cos x], x ∈ (2kπ, 2kπ + π/2),
k ∈ Z.
3. a) y =
√
3
4(x + 1), b) y = 3, c) y = 3.
4. 1. průsečı́k [0, 0] – úhel π/2, 2. průsečı́k [1, 1] – úhel π/2 − 2 arctg 12 .
5. a) maximum v bodě π/2, minimum v bodě −π/2, lokálnı́ extrémy nejsou,
b) lokálnı́ i globálnı́ maximum v bodě 1, minimum neexistuje lokálnı́ ani globálnı́,
c) lokálnı́ minimum v bodě 1, lokálnı́ maximum v bodě 1/2, globálnı́ extrémy nejsou.
2

Podobné dokumenty

Ukázka zápočtového testu č. 2 (jde o 2 varianty) 1) Nalezněte

Ukázka zápočtového testu č. 2 (jde o 2 varianty) 1) Nalezněte je limita −∞, zleva +∞, vodorovná asymptota y = 1, v +∞ se funkce blíží k asymptotě shora, v −∞ zdola. 1b) Svislá asymptota x = 2, zprava i zleva je limita +∞; vodorovná asymptota y = 3, v +∞ se fu...

Více

A + B

A + B 9. Exponenciála a logaritmus. Předpokládejme, že a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Potom ay = x 10y = x ey = x

Více

str. 41, př. 1 Nakreslete grafy funkcí y=sinx, y=sin(x/2)

str. 41, př. 1 Nakreslete grafy funkcí y=sinx, y=sin(x/2) str. 41, př. 1 Nakreslete grafy funkcí y=sinx, y=sin(x/2), y=2sinx, y=sin(x+pi/6)

Více

KMA-MMAN1

KMA-MMAN1 a) y = x5 − 10x2 + x + 3, b) y = 2 , c) y = tg x, x −1 d) y = cos x, e) y = sh x, f ) y = arctg x, g) y = x3 − 27x2 . 5. Určete asymptoty funkce:

Více

1. Urcete definicn´ı obory následuj´ıc´ıch funkc´ı:

1. Urcete definicn´ı obory následuj´ıc´ıch funkc´ı: Z prvnı́ podmı́nky plyne log2 (x + 4) 6= 3 ⇒ log2 (x + 4) 6= log2 8. Odlogaritmovánı́m obou stran nerovnosti dostáváme x + 4 6= 8 ⇒ x 6= 4. Z druhé podmı́nky plyne x > −4. Celkově tedy Df = (−...

Více

POMNˇENKA

POMNˇENKA Značení v Pomněnce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Více

Zadání 2A BC

Zadání 2A BC 20. Máme 3 kontejnery s mraženými kuřaty. Ve druhém z nich je 45 % z celkového počtu kuřat. Průměrné hmotnosti kuřat v jednotlivých kontejnerech jsou po řadě 1,2 kg, 1 kg a 1,5 kg. P...

Více

Test č.9

Test č.9 Jestliže jedním kořenem rovnice x2 − m2 x − m + 1 = 0 (s neznámou x) je číslo x1 = 1, pak pro její druhý kořen x2 platí a) • x2 = 0 ∨ x2 = 3, d) x2 = 0,

Více

Stáhnout

Stáhnout je dráha bodu A při šroubovém pohybu, kde ω je úhel otočenı́ a p posunutı́ bodu A. Definice 5. Výška závitu v je velikost posunutı́ bodu při otočenı́ o 2π radiánů. Jestliže otočı́me ...

Více

KMA-MMAN1

KMA-MMAN1 4. Užitím definice monotonnosti na množině dokažte, že k a) funkce y = je na intervalech (−∞; 0), (0, +∞) pro k > 0 klesající a pro k < 0 x rostoucí. 5. Rozhodněte o paritě funkce x3 sin x x cos x a...

Více