Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou

Komentáře

Transkript

Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Periodický pohyb obecného oscilátoru
ve dvou dimenzı́ch
Autor: Šárka Petřı́čková (A05221, [email protected])
Vedoucı́: Ing. Petr Nečesal, Ph.D.
Matematické metody v aplikovaných vědách a ve vzdělávánı́,
Fakulta aplikovaných věd, Západočeská univerzita v Plzni
Matematické modelovánı́, 7. 2. 2008
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
1 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Program prezentace
1
Motivace
2
Harmonický oscilátor
3
Speciálnı́ typ obecného oscilátoru
Popis systému
Analytické řešenı́
Postup zı́skánı́ periodických řešenı́
Vizualizace
4
Dalšı́ cı́le
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
2 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Definice úlohy
I
Systém dvou nelineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic druhého řádu s
po částech konstantnı́mi funkcemi k(x, y) and l(x, y)
x00 + k(x, y)x = 0,
y 00 + l(x, y)y = 0,
I
Cı́lem je pro speciálnı́ volbu funkcı́ k(x, y) a l(x, y) zformulovat
podmı́nky pro existenci periodických řešenı́.
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
3 / 14
Motivace
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Motivace
I
I
Mechanika, elektrotechnika (LC obvody), optika, kvantová fyzika,
chemie, biologie
Dvourozměrný mechanický oscilátor s tuhostı́ pružin měnı́cı́ se v
závislosti na znaménku souřadnic x, y okamžité výchylky (tyč
kmitajı́cı́ mezi čtyřmi stěnami různých tuhostı́)
l1
k1
k2
l2
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
4 / 14
oscilátor
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Harmonický oscilátor
I
Popis systému
I
I
I
Netlumený oscilátor jednotkové hmotnosti bez přidané budı́cı́ sı́ly
Oscilace okolo stabilnı́ rovnovážné pozice
Hookův zákon
x00 + kx = 0
y 00 + ly = 0
√
x(t) = A sin(√kt)
y(t) = B sin( lt − ϕ)
I
Lissajousovy obrazce
I
J. A. Lissajous (FR, 1822-1880), N. Bowditch (USA, 1773-1838)
Trajektorie je uzavřená právě tehdy, když platı́
podmı́nkách.
Šárka Petřı́čková
√
√k
l
∈ Q, nezávisle na počátečnı́ch
7.2.2008
5 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Speciálnı́ typ obecného oscilátoru
I
Systém dvou nelineárnı́ch diferenciálnı́ch rovnic druhého řádu se
speciálnı́mi, po částech konstantnı́mi, funkcemi k(x) and l(x)
x00 + k(x)x = 0,
y 00 + l(x)y = 0,
k1
k2
pro x > 0,
pro x ≤ 0,
l1
l2
pro x > 0,
pro x ≤ 0.
k(x) =
l(x) =
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
6 / 14
oscilátoru
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Speciálnı́ typ obecného oscilátoru
I
Systém může být přepsán jako
y 00
x00 + k1 x+ − k2 x− = 0,
+ l1 χ(x+ )y − l2 χ(x− )y = 0,
x+ := max{x, 0},
x− := max{−x, 0},
I
+
χ(x ) =
1
0
pro x > 0,
pro x ≤ 0,
(1)
(2)
−
χ(x ) =
1
0
pro x < 0,
pro x ≥ 0.
Vlastnosti
I
I
I
Šárka Petřı́čková
(1) - nezávislá na y and pozitivně homogennı́ (Fučı́kova rovnice)
(2) - lineárnı́ (Meissnerova rovnice [E. MEISSNER, Über Schüttel-schwingungen in Systemen
mit
Periodisch Veranderlicher Elastizität; Schweizer Bauzeitung, 72, No. 10 (1918), pp. 95-98.])
(1)+(2) - autonomnı́
7.2.2008
7 / 14
oscilátoru
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro x
I S. Fučı́k (CR, 1944-1979)[ S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D.
Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331.]
I E. N. Dancer (AUS, 1946 - )[E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial
differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300.]
I Analytická metoda střelby, lepenı́ půlvln
I Autonomnı́ a pozitivně homogennı́ systém =⇒ x(0) = 0, x0 (0) = 1
(
x(t) =
T0 =
T =
√1
k1
√1
k2
√
sin( k1 t)
√
sin( k2 ( √πk − t))
1
for
for
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T )
√π
k1
nπ
√
k1
+
nπ
√
k2
n∈N
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
8 / 14
oscilátoru
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro x
I S. Fučı́k (CR, 1944-1979)[ S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D.
Reidel Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331.]
I E. N. Dancer (AUS, 1946 - )[E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial
differential equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300.]
I Analytická metoda střelby, lepenı́ půlvln
I Autonomnı́ a pozitivně homogennı́ systém =⇒ x(0) = 0, x0 (0) = 1
(
x(t) =
T0 =
T =
√1
k1
√1
k2
√
sin( k1 t)
√
sin( k2 ( √πk − t))
1
for
for
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T )
√π
k1
nπ
√
k1
+
nπ
√
k2
n∈N
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
8 / 14
oscilátoru
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro y
I Výběr prvnı́ Fučı́kovy křivky (n = 1)
I Řešenı́ pro y (pro l1 > 0, l2 > 0)
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
y2 (t) = C sin( l2 (t − T )) + D cos( l2 (t − T )),
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
I Periodické podmı́nky
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l1 ,l2
I Eliminace A,B,C,D
I Implicitnı́ předpis F (l1 , l2 ) = 0 křivek
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
Šárka Petřı́čková
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro y
I Výběr prvnı́ Fučı́kovy křivky (n = 1)
I Řešenı́ pro y (pro l1 > 0, l2 > 0)
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
y2 (t) = C sin( l2 (t − T )) + D cos( l2 (t − T )),
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
I Periodické podmı́nky
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l1 ,l2
I Eliminace A,B,C,D
I Implicitnı́ předpis F (l1 , l2 ) = 0 křivek
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
Šárka Petřı́čková
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro y
I Výběr prvnı́ Fučı́kovy křivky (n = 1)
I Řešenı́ pro y (pro l1 > 0, l2 > 0)
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
y2 (t) = C sin( l2 (t − T )) + D cos( l2 (t − T )),
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
I Periodické podmı́nky
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l1 ,l2
I Eliminace A,B,C,D
I Implicitnı́ předpis F (l1 , l2 ) = 0 křivek
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
Šárka Petřı́čková
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro y
I Výběr prvnı́ Fučı́kovy křivky (n = 1)
I Řešenı́ pro y (pro l1 > 0, l2 > 0)
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
y2 (t) = C sin( l2 (t − T )) + D cos( l2 (t − T )),
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
I Periodické podmı́nky
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l1 ,l2
I Eliminace A,B,C,D
I Implicitnı́ předpis F (l1 , l2 ) = 0 křivek
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
Šárka Petřı́čková
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro y
I Výběr prvnı́ Fučı́kovy křivky (n = 1)
I Řešenı́ pro y (pro l1 > 0, l2 > 0)
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
y2 (t) = C sin( l2 (t − T )) + D cos( l2 (t − T )),
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
I Periodické podmı́nky
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l1 ,l2
I Eliminace A,B,C,D
I Implicitnı́ předpis F (l1 , l2 ) = 0 křivek
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
Šárka Petřı́čková
2
7.2.2008
9 / 14
oscilátoru
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
www.KMA.zcu.cz
Analytické řešenı́ pro y
I Výběr prvnı́ Fučı́kovy křivky (n = 1)
I Řešenı́ pro y (pro l1 > 0, l2 > 0)
y(t) =
√
√
y1 (t) = A sin( √l1 t) + B cos( l1 t), √
y2 (t) = C sin( l2 (t − T )) + D cos( l2 (t − T )),
t ∈ (0, T0 )
t ∈ (T0 , T ).
I Periodické podmı́nky
y(0) = y(T )
y 0 (0) = y 0 (T )
y(T0 −) = y(T0 +)
y 0 (T0 −) = y 0 (T0 +)
I Systém čtyř rovnic o neznámých A,B,C,D a l1 ,l2
I Eliminace A,B,C,D
I Implicitnı́ předpis F (l1 , l2 ) = 0 křivek
√
√
√
√
√2
2 − sin( l1 T0 ) sin( l2 (T0 − T )) √l1l +l
− 2 cos( l2 (T0 − T )) cos( l1 T0 ) = 0
l
1
Šárka Petřı́čková
2
7.2.2008
9 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Postup zı́skánı́ periodických řešenı́
1) Volba n-té křivky Fučı́kova spektra a
jednoho z parametrů k1 , k2 pro danou
periodu
2) Určenı́ druhého parametru použitı́m
předpisu pro Fučı́kovo spektrum
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
10 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Postup zı́skánı́ periodických řešenı́
1) Volba n-té křivky Fučı́kova spektra a
jednoho z parametrů k1 , k2 pro danou
periodu
2) Určenı́ druhého parametru použitı́m
předpisu pro Fučı́kovo spektrum
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
10 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Postup zı́skánı́ periodických řešenı́
1) Volba n-té křivky Fučı́kova spektra a
jednoho z parametrů k1 , k2 pro danou
periodu
2) Určenı́ druhého parametru použitı́m
předpisu pro Fučı́kovo spektrum
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
10 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Postup zı́skánı́ periodických řešenı́
1) Volba n-té křivky Fučı́kova spektra a
jednoho z parametrů k1 , k2 pro danou
periodu
3) Výběr bodu na křivce zadané
implicitně F (l1 , l2 ) = 0
v (l1 , l2 )-rovině
2) Určenı́ druhého parametru použitı́m
předpisu pro Fučı́kovo spektrum
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
10 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Postup zı́skánı́ periodických řešenı́
1) Volba n-té křivky Fučı́kova spektra a
jednoho z parametrů k1 , k2 pro danou
periodu
3) Výběr bodu na křivce zadané
implicitně F (l1 , l2 ) = 0
v (l1 , l2 )-rovině
2) Určenı́ druhého parametru použitı́m
předpisu pro Fučı́kovo spektrum
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
10 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Postup zı́skánı́ periodických řešenı́
4) Určenı́ počátečnı́ch podmı́nek pro proměnnou y
5) Vytvořenı́ grafů
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
11 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
oscilátoru
www.KMA.zcu.cz
Vizualizace
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
12 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
Dalšı́
cı́le
www.KMA.zcu.cz
Dalšı́ cı́le
I
Vytvořenı́ obecného řešiče úlohy pro libovolnou křivku Fučı́kova
spektra
I
Přidánı́ tlumenı́ a budicı́ sı́ly
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
13 / 14
Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzı́ch
Dalšı́
cı́le
www.KMA.zcu.cz
Reference
I E. A. Coddington, N. Levinson, Theory od Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill
Inc., 1955, Chpt. 1., pp. 1 - 41.
I E. N. DANCER, On the Dirichlet problem for weakly nonlinear elliptic partial differential
equations, Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 76A (1977), pp. 283-300.
I S. FUČÍK; Solvability of Nonlinear Equations and Boundary Value Problems, D. Reidel
Publishing Company, Dordrecht (1980), Chpt. 40-43, pp. 304-331.
I E. MEISSNER, Über Schüttel-schwingungen in Systemen mit Periodisch Veranderlicher
Elastizität; Schweizer Bauzeitung, 72, No. 10 (1918), pp. 95-98.
I P. NEČESAL, Nonlinear boundary value problems with asymmetric nonlinearities - periodic
solutions and the Fučı́k spectrum, Ph.D. thesis, University of West Bohemia, Pilsen, 2003.
Šárka Petřı́čková
7.2.2008
14 / 14

Podobné dokumenty

Petrickova-Obecny oscilator ve dvou dimenzich

Petrickova-Obecny oscilator ve dvou dimenzich • Kmitánı́ se vyskytuje v různých oblastech vědy. Pravděpodobně nejznámějšı́ je mechanické kmitánı́ (též kmitavý pohyb, oscilačnı́ pohyb nebo vibrace), což je takový mechanický po...

Více

Experimentální stanovení kritických otáček rotoru RotorKitu.

Experimentální stanovení kritických otáček rotoru RotorKitu. kolmé na osu nedeformovaného hřı́dele, jež se nenaklápı́, a můžeme tedy přejı́t od prostorového problému k problému rovinnému (v rovině xy). Geometrický střed průřezu hřı́dele ozn...

Více

Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů

Počítačové simulace vybraných fyzikálních jevů podařilo s využitím Huygensova principu a interference popsat také difrakční jevy. Proto se v této souvislosti v literatuře často hovoří o Huygens-Fresnelově principu. Přesnou matematickou podobu d...

Více

Apollo TM Defektoskop CZ

Apollo TM Defektoskop CZ Uživatel definuje název označení, spojené tři v písmenný kód pro každou indikaci, která údaje může vyžadovat pro sekundární hodnocení, stejně jako tyto údaje pouze v případě informace (tři písmenné...

Více

to get the file

to get the file (použitı́ při indentaci konstantnı́ silou). Osa je vybavena indukčnı́mi (bezkontaktnı́mi) koncovými spı́nači a indukčnı́m spı́načem polohy pro indikaci kontaktu indentoru s povrchem vzorku....

Více

dynamical model of a flexible tube

dynamical model of a flexible tube Pro tyto a dalšı́ účely byl navržen systém pro převáděnı́ stavebnı́ vody, viz [Vořechovský 1980]. Systém se skládá z fólie uzavřené do tvaru trubky, která je plněna pod tlakem vod...

Více

ABSOLVENTSK´A PR´ACE

ABSOLVENTSK´A PR´ACE elektrárna Dlouhé Stráně nebo i tradičnı́ vodojemy u většiny obcı́ a měst. Podle doporučenı́ vedoucı́ho absolventské práce se jako základ modelu vzal již fungujı́cı́ model na ČVUT v P...

Více

Viscous-elastic elements optimization of rheological models

Viscous-elastic elements optimization of rheological models Ing. Lubomı́r Klimeš, [email protected] Ing. Tomáš Mauder, Ph.D. [email protected] Prof. Ing. Václav Pı́štěk, DrSc., [email protected]

Více

INTERFERENCE SVĚTLA

INTERFERENCE SVĚTLA což op t nepat í do viditelné oblasti. Z viditelného zá ení se tedy zesiluje nejvíce fialové sv tlo o vlnové délce 400 nm. Nyní ješt musíme ur it, které sv tlo se zesiluje nejmén . Vyjdeme z podmín...

Více

Přečtěte si celý článek

Přečtěte si celý článek Dovolte mi, abych v těchto chladných dnech krátce zavzpomínal na svůj pobyt v Centru pro rozvoj fyzikálního vzdělávání (Center for Development of Physics Education – CDPE) na University of Rajastha...

Více