zde

Kombinatorická minimalizace
Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho
lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího
Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny body a vrací se zpět do výchozího
bodu. Možností sice je velký počet, ale příliš mnoho na to, abychom je vyzkoušeli
20 !
18
≈10
všechny. Například pokud musí obchodní cestující projet 20 měst, máme 2
možností. Pro výpočet se používá Metropolisův algoritmus
● vygeneruje se počáteční cesta spojující města
N
●
počítá se minimum jisté funkce např. E=∑   x i −x i1 2 y i − y i1 2 , která
i=0
●
může vyjadřovat třeba vzdálenost měst (nebo cenu jízdenek)
generujeme náhodně nové konfigurace (cesty) a přijímáme je s jistou
pravděpodobností většinou danou p=exp−E /T  , rychlost konvergence
pak závisí na parametru T
Náhodné změny konfigurací
Reverse i−1, i , i1, , j−1, j , j1  i−1, j , j−1, , i1, i , j1
Transport i−1, i , i1, , j−1, j , j1,, k −1, k , k 1 
 i−1, j1, , k −1, k ,i , i1,, j−1, j , k 1
Lineární programování (simplexová metoda)
Nebudeme na cvičení dělat, materiály viz. slidy nebo Numerical Recipies.
Numerické integrování
b
V 1D se jedná o úlohu výpočtu integrálu I =∫ f  x  dx . Tato úloha je ekvivalentní
a
řešení počátečního problému pro obyčejnou diferenciální rovnici (ODE) dI
= f  x s
dx
počáteční podmínkou I a=0 , přičemž se hledá hodnota I b .
Metody řešení ODE obsahují adaptivní volba kroku, a proto převedení na úlohu ODE je
vhodné u funkcí, které mají proměnné měřítko (např. integrace spektra s úzkými
spektrálními čarami).
Pro integraci v 1D se používají:
●
●
●
integrace aproximace funkce (kubického splinu, Čebyševova polynomu, ...)
klasické kvadraturní vzorce, založené na integraci aproximace pomocí
Lagrangeových polynomů, také Rombergova integrace
Gaussovy kvadratury
Pro integraci ve více dimenzích se používá:
●
●
rozklad na opakované integrace v jedné proměnné (dimenzi)
metoda Monte Carlo
Klasické kvadraturní vzorce
Klasické kvadraturní vzorce se dají odvodit z interpolace funkce f  x  na intervalu
〈 x 1 , x n 〉 Lagrangeovým polynomem a integrace tohoto polynomu. Pro jednoduchost
uvažujme, že uvnitř intervalu  x 1 , x n  se nachází n−2 ekvidistantně rozložených
bodů s krokem h , tedy x i =x 1 i h , i=1,, n−2 . V bodech x 1 ,  , x n známe
funkční hodnoty funkce f  x  , f 1 , , f n .
Odvození vzorce pro integraci na dvou bodech – tzv. Lichoběžníkové pravidlo
:
x2
Funkce f  x  ­ integrál I =∫ f  x  dx=?
x1
Aproximace Lagrangeovým polynomem f  x ≈ L 1  x = f 1 x−x 2
 f 2 x 1−x 2
x−x 2
x−x 1
Označení délky intervalu h=x 2 −x 1 , f  x≈− f 1  f 2 h
h
Integrace
x2
x2
1
1

x2
x2
1
1
x−x 1
x 2 −x 1
1 I =∫ f  x  dx≈∫ L 1  x  dx=
− f 1 ∫  x−x 2  dx f 2 ∫  x−x 1  dx
h
x
x
x
x
 
 

x 22 x 12
x 22 x 12
1 I≈
− f 1 − − x 1 x 2  f 2  −x 1 x 2 =
h
2 2 2 2 =

1 h
2
 x 2 −x 1   f 1  f 2 =  f 1  f 2 
2h
2 h
 f  f 2  a z chyby pro aproximaci Lagrangeovým interpolačním
2 1 polynomem (nebo z Taylorova rozvoje) se dá vykoukat, že chyba integrace je řádu h 3 ,
h
3
tedy I= f 1 f 2 Oh  .
2
Tedy I ≈
Odvození vzorce pro integraci na třech bodech – tzv. Simpsonovo pravidlo
:
x3
Funkce f  x  ­ integrál I =∫ f  x  dx=?
x1
Aproximace Lagrangeovým polynomem
 x−x 2  x−x 3 
 x−x 1  x−x 3 
 x−x 1  x−x 2 
f  x ≈ L 2  x = f 1  f 2  f 3  x 1−x 2  x 1 −x 3 
 x 2 −x 1  x 2 −x 3 
 x 3−x 1  x 3−x 2 
Označení délky intervalu h=x 2 −x 1 =x 3 −x 2 ,
 x−x 2  x−x 3 
 x−x 1  x−x 3 
 x−x 1  x−x 2 
f  x ≈ f 1 
f

f
2 3 2 h2
−h 2
2 h2
Integrace
x3
x3
x1
x1
I =∫ f  x  dx≈∫ L 2  x dx
Výsledný vzorec po integraci bude I ≈
h
 f 4 f 2  f 3 a chyba bude řádu h 5 ,
3 1 h
f 1 4 f 2 f 3 Oh5 .
3
O výsledku integrace se můžete rychle přesvědčit v Maplu kfe/~klimo/nm/kvadr.mws .
tedy I=
Podobně integrace na čtyřech bodech – 3/8 pravidlo
3h
I=
f 3 f 2 3 f 3 f 4 Oh5.
8 1
Simpsonovy vzorce jsou přesné pro integraci polynomů do třetího stupně včetně,
lichoběžníkové pravidlo je přesné pro polynomy do prvního stupně včetně.
Těmto vzorcům se obecně nazývají Newton­Cotesovy a vznikly Lagrangeovou
interpolací na bodech x 1 , , x n a integrací s mezemi x 1 , x n . Říká se jim proto
uzavřen é, obsahují totiž i krajní body intervalu. Pokud bychom udělali interpolaci na
bodech x 1 , , x n ale pak integrovali s mezemi x 0 , x n1 , dostali bychom tzv.
otevř ené Newton­Cotesovy vzorce. Příkladem takové vzorce je
x5
I=∫ f xdx=
x0
5h
11 f 1 f 2 f 3 11 f 4 Oh5.
24
Někdy se při integraci využívá také extrapolace (hodí se na okrajích intervalu). Integrál se
počítá pomocí funkčních hodnot v bodech, ležících na hranicích intervalu a mimo něj
(tyto vzorce se opět dají získat integrací Lagrangeových polynomů).
x2
∫ f xdx= h f 2 Oh 
2
x2
, x1
∫ f xdx= h
x1


3
1
f 2 − f 3 Oh2 .
2
2
Nejjednodušší možností integrace je pak obdélníkové pravidlo, kdy celou funkci
f  x  na intervalu 〈 x 1 , x 2 〉 nahradíme konstantou (rovnou funkční hodnotě v
prostředku intervalu f 3 ) 2
x2
∫ f xdx= h f 3 Oh3 
x1
.
2
Složené vzorce
K výpočtu integrálu přes celý zadaný interval není při rovnoměrné (ekvidistantní) síťi
vhodné použít jeden mnohabodový vzorec s vysokým řádem přesnosti (interpolace
Lagrangeovým polynomem řádu většího než 7 se v praxi nepoužívá, protože může mezi
uzly oscilovat). Je lepší interval rozdělit na více bodů a využít některého složeného
pravidla.
Uzavřené Newton­ Cotesovy vzorce a obdélníkové pravidlo se dají velmi dobře skládat a
použít pro integraci na intervalu, obsahujícím mnohem více než 1,2,3,4 ... body. Složené lichoběžníkové pravidlo
xN
∫ f xdx= h
x1
[
]  
1
1
1
f f f f N−1 f N O 2
2 1 2 3
2
N
Složené Simpsonovo pravidlo
xN
∫ f xdx= h
x1
[
]  
1
4
2
4
4
1
1
f 1  f 2  f 3  f 4  f N−1 f N O 4
3
3
3
3
3
3
N
Praktická implementace lichoběžníkového pravidla:
Postupné zpřesňování při jednotlivých voláních odpovídá půlení podintervalů. Přitom se
využívá znalosti předchozích bodů (hodnot v nich).
Odhad chyby můžeme získat porovnáním výsledků dvou volání (tedy s délkami intervalů
h a h /2 ).
Konečný výsledek možno zpřesnit z posledních dvou integrací jako
4
1
I= Ih − I2h Oh4  . Tento výsledek je identický se složeným Simpsonovým
3
3
pravidlem.
Rombergova integrace
Výsledky numerické integrace například pomocí lichoběžníkového pravidla lze chápat
jako funkci veličiny h 2 !!! Protože s h  0 klesá chyba k 0 , je hodnota integrálu
v bodě h=0 přesná. Tu samozřejmě nemůžeme spočítat přímo, ale pokud zavedeme funkci f h 2 =I h ( f h=I  h ) , můžeme funkci f po vypočtení
několika jejích hodnot interpolovat a vzorec použít k extrapolaci v bodě h 2 =0 .
Rombergova metoda tedy často výrazně sníží počet bodů, ve kterých musíme funkci
počítat, abychom dosáhli zadané přesnosti.
Např. pokud provedeme polynomiální extrapolaci na h 2 =0 a použijeme pro výpočet
integrálů složené lichoběžníkové pravidlo, které má přesnost 2. řádu, získáme extrapolací
ze 2 výsledků metodu 4. řádu
3 výsledků metodu 6. řádu
4 výsledků metodu 8. řádu
...
Ze 7. integrací s různým h lze získat metodu 14. řádu, tedy velmi přesnou. Více
integrací se již nepoužívá, protože pro výšší řády není polynomiální extrapolace vhodná.
Příklady v PASCALU VYPINTM.PAS , QROMZKM.PAS , QROMINFM.PAS .
Integrály se singularitami
Singularity :
● na okraji má f  x  konečnou limitu, ale nelze tam přímo počítat, např.
sin x
v bodě 0
x
● krajní bod integrálu je ∞ nebo −∞ nebo oboje
● integrál je integrabilní, ale má singularitu na okraji
● integrál má integrabilní singularitu ve známém bodě uprostřed (uvnitř)
intervalu
● integrál má integrabilní singularitu v neznámém bodě uprostřed (uvnitř)
intervalu, řešíme vždy jako ODE
Neexistující nebo nekonečný integrál se neřeší, je to nekorektní úloha.
Konečná limita na kraji­ nelze přímo počítat
xN
Použije se složené obdélníkové pravidlo ∫ f xdx= h [ f 3 f 5 f N− 1 ] .
x1
2
2
2
Pokud bychom interval půlili, nelze využít předchozí body. Proto se krok zmenšuje jako
h /3 . Pak je implementace obdobná jako u lichoběžníkového pravidla. I zde se dá
využít Rombergova metoda.
Nekonečné meze
Integrál transformujeme na integrál s konečnými mezemi a na ten použijeme složené
z
1 obdélníkové pravidlo. Např. ∫ f  x dx transformujeme substitucí t= na integrál x
−∞
1 z
1 
1 dt . Tato substituce je samozřejmě možná pouze, pokud interval integrace
t
0
neobsahoval 0 . Jinak je třeba integrál rozdělit na více integrálů a integrovat zvlášť.
∫ t 2 f
Gaussovy kvadratury
Pokud chceme vypočítat integrál s minimálním počtem vyčíslení funkce, hodí se
Gaussovy kvadratury. Volí se optimální poloha bodů a jejich váhy tak, že Gaussova
metoda pro N bodů dává přesný výsledek až pro polynomy řádu 2 N −1 , tedy téměř
dvojnásobek přesnosti integrace s ekvidistantními body. Polohy bodů a váhy lze nalézt
např.
http://mathworld.wolfram.com/GaussianQuadrature.html
http://pathfinder.scar.utoronto.ca/~dyer/csca57/book_P/node44.html
další informace v Numerical Recipies a na slidech.
Příklady v PASCALU GAULEG.PAS , QGAUS.PAS .
Integrace ve více dimenzích
Počet bodů vyčíslení funkce roste s počtem dimenzí mocnině, tedy v N dimenzích je
třeba n N vyčíslení funkce. Pro 30 bodů ve třech dimenzích je tedy třeba výpočet
funkce ve 27000 bodech.
Hranice integrálu je N­1 dimenzionální nadplocha, proto přechod k 1D integrálům může
být obtížný. Pro hledání mezí může být třeba řešit nelineární rovnice.
Metody:
●
●
snížení počtu dimenzí ze symetrie úlohy – např. integrace sféricky symetrické
funkce přes kouli
posloupnost opakovaných 1D integrací – oblast přes kterou integrujeme musí
mít jednoduchou hranici a funkce musí být hladká, můžeme získat poměrně
dobrou přesnost, pokud má funkce v oblasti ostrá maxima, je třeba je najít a
počítat v nich integrál přesněji, jinak je výpočet integrálu beznadějný
Příklad v PASCALU QUAD3D.PAS .
Metoda Monte Carlo
Při integraci uzavřeme oblast integrace V do co nejmenší oblasti se známým objemem
V ' , ve které umíme snadno generovat náhodné body. Zavedeme funkci definovanou na oblasti V ' . Generujeme N náhodných bodů v oblasti V ' a
integrál vypočteme jako
Přesnost metody je řádu 1 , kde N je počet bodů v MC metodě.
N