Sborníček - Pikomat MFF UK

Sborník přednášek
tábor Pikomatu MFF UK
11.–25. 7. 2014, Tři Studně
Analytická geometrie
Aneta Mirová
Analytická geometrie vznikla v 17. století a za její zakladatele jsou považováni René Descartes a Pierre de Fermat. Podstatou této matematické disciplíny je převedení geometrické úlohy
na algebraickou, často na soustavu rovnic.
Kartézská soustava souřadnic je klasická soustava souřadnic, se kterou se běžně setkáváme
ve školách.
Body v rovině jsou určeny dvěmi souřadnicemi [x; y]. Například bod A[3; 1] je bod prvního
kvadrantu.
Mějme body A[2; 8], B[4; 2] v kartézském souřadném systému. Vzdálenost těchto bodů Spočítáme pomocí doplnění na pravoúhlý trojúhelník a Pythagorovy věty. Velikost jedné odvěsny
je rozdíl x-ových souřadnic a velikost druhé odvěsny je rozdíl y-ových souřadnic, potom
√
√
|AB| = 22 + 62 = 2 10.
Střed úsečky půlí úsečku na dvě stejně velké části. Pokud známe dva krajní body úsečky,
není problém střed spočítat. Střed úsečky AB, kde A[ax ; ay ], B[bx ; by ], má souřadnice
ax + bx ay + by
;
.
2
2
Příklad 1. Máme trojúhelník ABC. Bod A má souřadnice [1; 1], bod B má souřadnice [6; 0]
a bod C má souřadnice [4; 2]. Vypočtete velikost těžnice ta .
Vektor je orientovaná úsečka, jejíž souřadnice na rozdíl od bodů budeme zapisovat do kulatých závorek. Dvě orientované úsečky mohou znázorňovat stejný vektor, pokud jsou stejné
−→
délky a stejného směru. Souřadnice vektoru u = AB, který je určen body A[ax ; ay ], B[bx ; by ]
−→
jsou (bx − ax ; by − ay ). Souřadnice tzv. opačného vektoru u = BA, který je určen body A[ax ; ay ],
B[bx ; by ] jsou (ax − bx ; ay − by ).
Vektory můžeme bez problému sčítat, odčítat a násobit číslem.
Příklad 2. Příklad ABCO je rovnoběžník. A[2; 6], C[4; 0], O[0; 0]. Bod M je středem úsečky
CB a bod P je středem úsečky AB. Spočítejte souřadnice bodů B, M , P a dokažte, že úsečka
P M je rovnoběžná s úsečkou AC a je poloviční délky.
Přímka p může být určena jedním svým bodem A[ax ; ay ] a směrovým vektorem u[ux ; uy ].
Potom parametrická rovnice přímky p se dá rozepsat pro jednotlivé souřadnice takto
x = ax + t · ux ,
y = ay + t · u y .
Přímka p může být také zadána tzv. obecnou rovnicí tvaru
ax + by + c = 0.
Každá přímka má normálový vektor. Tento vektor je kolmý ke směrovému vektoru. Normálový vektor přímky p je (a; b).
Dvě přímkou mohou být navzájem totožné, rovnoběžné nebo různoběžné. Přímky jsou totožné, pokud mají stejný směrový vektor a společný jeden bod. Přímky jsou rovnoběžné, pokud
mají stejný směrový vektor a nemají společný žádný bod. Přímky jsou různoběžné, pokud nejsou
totožné ani různoběžné.
Desková tektonika & VV
Petra Zahajská
Doplňková večerní přednáška plná obrázků. Povíme si, co by to mohla být teorie deskové
tektoniky, a také příčiny 5 největších Velkých Vymírání v historii Země. Takže přednáška je pro
všechny zvědavce, kteří chtějí vědět, jak to tu vypadalo dříve a třeba jak to tu bude vypadat
za 50 tisíc let. Příklady k přednášce nejsou, neznamená to ale, že by se v této vědní disciplníně
nic nepočítalo.
Egyptská matematika
Martin Smolík
Na tejto prednáške sa pozrieme na to ako sa počítalo v starovekom Egypte, pozrieme sa na
to, čo Egypťanom išlo, s čím mali naopak problémy.
Číselná sústava
Egypťania používali nepozičnú desiatkovú sústavu. To znamená že čísla 1, 10, 100 atd. mali
každé svoj vlastný znak ktorý sa prípadne zapisoval viackrát.
Základné operácie
S takouto sústavou je sčítanie a odčítanie jednoduché, násobenie a delenie však už nie.
Preto to egyptskí matematici prevádzali na sčítanie. Sčítanie funguje triviálne, spočítaš znaky
pre každý rád v oboch číslach a potom ich toľko nakreslíš. Pozor na prechod cez rády. Odčítanie
funguje tiež intuitívne.
Pri násobení boli iba dve prípustné operácie: dvojnásobenie, zdesaťnásobenie a sčítanie
viacero medzivýsledkov. Takže ak by matematik mal spočítať 6 · 19 tak si najskôr nájde dvojnásobok 19, to je 38. Potom dvojnásobok 38, to je 76 (= 4 · 19). Teraz pozná štvornásobok 19,
teda k tomu pripočíta jeho dvojnásobok a má výsledok. My by sme písali
6 · 19 = (2 + 4) · 19 = 2 · 19 + 4 · 19 = 38 + 76 = 114.
Úlohy na delenie prevádzali na úlohy násobiace, teda ak by matematik dostal príklad
tak by zdvojnásoboval deviatku až kým by nenašiel súčet 126.
9 · 2 = 18
9 · 4 = 36
126
9
9 · 8 = 72
18 + 36 + 72 = 126
9 · (2 + 4 + 8) = 126
126
= 14
9
Zlomky
V Egypte poznali iba veľmi málo zlomkov – iba zlomky v tvare n1 a 23 , z toho zjavne plynulo
veľa ťažkostí, hlavne pri násobení a delení. Na zdvojnásobovanie zlomkov používali rozsiahle
tabuľky. Pri násobení a delení zlomkov sa často používalo aj „zpolovičnenieÿ alebo vypočítanie
n-tiny, tie sa ale používali zriedka keďže to bolo často veľmi namáhavé.
Příklad 1. Spočítaj 7 · 14, 5 · 11, 9 · 14 .
Příklad 2. Počítaj s 8 kým nenájdeš 10 (tj.
Příklad 3. Množstvo ku ktorému jeho
1
4
10
),
8
počítaj s 13 kým nenájdeš 221 (tj.
221
).
8
pridaná dáva 15.
Ekologie a evoluce
Petra Zahajská
Ekologie a evoluce jsou dva vědní obory, které kráčí ruku v ruce. O čem bychom se na takové
přednášce měli bavit? Můžeme začít evolucí, tedy tím jak se organismy vyvíjejí.
Trocha historie neuškodí, takže to vezmeme od Lamarcka přes Linného, Darwina až k Dawkinsovi. Nebude to jen historie, ale hlavně budeme hovořit o populacích a o sobeckém genu.
Příklady na tuto přednášku by mohly být například z populační biologie, kde se dá spočítat
kde co. Ale to už si necháme na přednášku.
Základní pojmy, které si na přednášce doplníme:
gen –
chromozóm –
alela –
lokus –
populace –
genetický drift –
genetický draft –
Alleho efekt –
Fraktály
Barbora Šmídová
Na přednášce si řekneme, kdo to byl Benoit B. Mandelbrot, seznámíme se s pojmem fraktál,
ukážeme si jeho nejdůležitější vlastnosti a naučíme se vypočítat jeho dimenzi. Následně si
fraktály rozdělíme na různé typy a těmi se budeme dále zabývat.
Co je to fraktál?
Fraktál je nekonečně členitý útvar. Je to útvar, při jehož zvětšení dostaneme útvar stejný.
„Fraktál je útvar, jehož Hausdorffova dimenze je ostře větší než dimenze topologická.ÿ –
Benoit B. Mandelbrot
Genetika
Barbora Šmídová
Na přednášce se budeme zabývat strukturou a vlastnostmi nukleových kyselin a různými
typy dědičnosti. Seznámíme se s pojmy, jako jsou replikace, translace, alela, fenotyp, genotyp,
a s mnoha dalšími.
Příklad 1. V polynukleotidovém řetězci DNA je adenin zastoupen 30%. Kolika procenty je
zastoupen cytosin?
Příklad 2. Jaké bude pořadí AK v polypeptidickém řetězci pokud víme, že polynukleotidový
řetězec DNA má následující složení . . . AAT CCG TGC ACC AAG. . . ?
Příklad 3. Při křížení rostlin s červenými květy je potomstvo vždy červené, při křížení rostlin s
bílými květy má vždy bílou barvu. Při křížení červených rostlin s rostlinami bílými je výsledkem
růžová barva. Jakou barvu a s jakou pravděpodobnosti budou mít kříženci červených a růžových
rostlin?
Grafické řešení kubických rovnic
Tereza Ptáčková
Vyřešit libovolnou kubickou rovnici jen pomocí pravítka a kružítka neumíme, nejspíš to
totiž ani nejde. Na přednášce si ukážeme, jak lze vyřešit kubickou rovnici pomocí tří pravítek.
Mějme tedy kubickou rovnici ax3 + bx2 + cx + d = 0, kde a 6= 0. Vyznačme si v soustavě
souřadnic body A = [b; a], B = [d; c]. Teď se pokusíme nalézt cestu z bodu A do bodu B
takovou, aby cesta vytvořila lomenou křivku. Ta se lámala na ose x i y v bodech M , N pod
úhlem 90◦ .
Číslo
x0 =
xM − b
,
a
kde xM je x-ová souřadnice bodu M , je reálným kořenem kubické rovnice.
Na přednášce si ukážeme, jak se dá poznat, kolik má rovnice reálných a kolik má komplexních
kořenů (tj. kdy má rovnice trojnásobný či dvojnásobný reálný kořen) a jak se dají všechny reálné
kořeny nalézt. Ukážeme si také důkaz správnosti tohoto postupu.
Jak správně sepisovat vyřešené úlohy
Anna Steinhauserová
Přednáška bude pojatá formou diskuze. Řekneme si o nejčastějších chybách při sepisování
úloh. Poté si povíme o nejčastějších metodách dokazování a jakých chyb se při nich vyvarovat.
V první části přednášky budeme vycházet z textu „Jak řešit úlohy korespondenčního semináře?ÿ semináře PraSe. (http://mks.mff.cuni.cz/info/Jak.pdf) V druhé části se podíváme na
důkazy. Probereme nejzákladnější druhy důkazů (především z hlediska nejčastějších chyb):
Přímý důkaz:
Přímý důkaz tvrzení (a > 1) → (a2 > 1) můžeme provést následovně:
Protože a > 1, je také a > 0.
Protože a > 0, získáme přenásobením nerovnosti a > 1 nerovnost a2 > a.
Protože a2 > a a a > 1, je také a2 > 1.
Nepřímý důkaz:
Nepřímý důkaz tvrzení Pro každá dvě celá čísla a, b, pokud a · b = 0, pak a = 0 nebo b = 0 lze
provést následovně:
Nechť platí negace závěru, tj. a i b jsou nenulové.
Pak |a| i |b| jsou > 0.
Tedy |a · b| = |a| · |b| > 0.
A proto a · b 6= 0.
Důkaz sporem:
Důkaz tvrzení (a > 1) → (a2 > 1) můžeme provést následovně:
Předpokládejme, že platí negace výroku, tedy (a > 1) ∧ (a2 ≤ 1).
Protože a > 1, je také a > 0.
Protože a > 0, získáme přenásobením nerovnosti a > 1 nerovnost a2 > a.
Protože a2 > a a a > 1, je také a2 > 1, což nemůže, protože má být ≤ 1.
Dostáváme SPOR, takže negace výroku nemůže nikdy platit.
Když nikdy neplatí negace, tak vždy platí výrok.
Matematická indukce:
Typický důkaz indukcí se skládá ze dvou kroků:
První krok: V tomto kroku se dokáže, že tvrzení platí pro nejmenší přirozené číslo n, většinou
pro n = 1.
Indukční krok: Ukážeme, že pokud tvrzení platí pro n = m, pak platí i pro n = m + 1.
Kuželosečky
Aneta Mirová
Je dána kružnice k a bod V neležící v rovině kružnice. Sjednocení všech přímek procházejících bodem V a každým bodem kružnice k je kuželová plocha. Bod V nazýváme vrchol kuželové
plochy. Jednotlivé přímky kuželové plochy se nazývají povrchovými přímkami.
Kuželosečka je rovinná křivka na kuželové ploše. Kuželosečky dělíme na tzv. singulární
a regulární. Singulární kuželosečky leží v tzv. vrcholových rovinách, tj. rovinách procházející vrcholem. Singulární kuželosečky jsou bod, přímka, dvojice přímek. Mnohem zajímavější
kuželosečky jsou kuželosečky regulární – kružnice, elipsa, parabola, hyperbola.
Elipsa
Elipsu lze definovat několika způsoby. Jednak jako řez na kuželové ploše, ale také jako
množinu bodů s konstantním součtem vzdáleností od dvou pevných bodů. Máme-li eliptické
zrcadlo a v jednom ohnisku zdroj světla, všechny paprsky se podle zákona odrazu odrazí do
jediného bodu – druhého ohniska. Žádná jiná křivka nemá tuto vlastnost, takže ji lze použít jako
alternativní definici elipsy. Elipsa může být také definována jako množina všech bodů roviny,
které mají poměr vzdáleností od bodu F a přímky d (která jím neprochází) rovný danému
kladnému číslu ε < 1.
Parabola
Parabola řez kuželové plochy rovinou rovnoběžnou s libovolnou povrchovou přímkou. S parabolou se můžeme také setkat jako s grafem kvadratické funkce. Nechť je dána přímka d a bod
F , který na ní neleží. Parabolou budeme rozumět množinu všech bodů, jejichž vzdálenost od
bodu F je rovna vzdálenosti od přímky d.
Hyperbola
Hyperbolu podobně jako elipsu lze definovat pomocí řezu na kuželové ploše nebo pomocí
ohnisek. Hyperbolou rozumíme množinu všech bodů, které mají konstantní absolutní hodnotu
rozdílu vzdáleností od dvou různých bodů. Hyperbola může být také definována jako množina
všech bodů roviny, které mají poměr vzdáleností od bodu F a přímky d (která jím neprochází)
rovný danému kladnému číslu ε > 1.
Lineární programování
Jan Foniok
Skotská firma Scottporridge vyrábí konzervy nejmenovaného tradičního skotského jídla v několika příchutích. Znáte-li poptávku v jednotlivých měsících v roce, cenu práce, cenu skladování
hotových konzerv a kapacitu linky, dokážete rozhodnout, kolik má firma vyrobit v kterém měsíci, aby minimalizovala své náklady? Ne? Tak přijďte na přednášku o lineárním programování!
Příklad 1. Graficky znázorněte řešení soustavy nerovnic:
x + y ≥ 0,
x ≤ 8,
y ≥ 5.
Vypište souřadnice všech vrcholů. Pro které hodnoty x, y splňující tyto nerovnice nabývá maxima funkce z = 3x + 2y?
Příklad 2. V červnu 1948 zablokoval Sovětský svaz všechny pozemní cesty do Berlína. Američané a Britové zorganizovali letecký most pro dodávky jídla a oblečení. Každé americké letadlo
mělo kapacitu 900m3 a každé britské letadlo 600m3 . Američané a Britové chtěli maximalizovat
celkovou kapacitu přepravy, byli ale omezeni následujícími podmínkami:
1. Celkový počet letadel nesměl překročit 44.
2. Každé americké letadlo vyžadovalo 16člennou posádku, zatímco britské jen 8člennou. K dispozici bylo celkem 512 členů posádky.
3. Jeden let amerického letadla přišel na 9 000$, britského na 5 000$. Celkové týdenní náklady
nesměly překročit 300 000$.
Kolik britských a kolik amerických letadel je třeba použít, aby se maximalizovala kapacita?
Linearni soustavy rovnic
Aneta Mirová
V praxi často narážíme na příklady, kdy neřešíme jednu rovnici, ale hned dvě nebo více
rovnic o více neznámých.
Můžeme mít buď méně rovnic než neznámých (v tomto případě nebudeme mít pouze jedno
řešení, ale vždy nekonečně mnoho řešení určitého tvaru, řešení je závislé na parametrech), stejně
rovnic než neznámých, nebo více rovnic než neznámých.
Dosazovací metoda
Z jedné rovnice si osamostatníme neznámou a dosadíme do zbylých rovnic, tím nám vznikne
soustava o jedna méně rovnic. Tento postup opakujeme, pokud nemáme jednu rovnici. Tato
metoda je pracná a často se v ní udělá numerická chyba.
Sčítací metoda
Rovnice se snažíme od sebe navzájem odečíst, abychom eliminovali nějakou proměnou. Tato
metoda je velmi účinná, pokud se jedná o soustavu dvou rovnic.
Cramerovo pravidlo
Cramerovo pravidlo využívá determinanty k nalezení řešení.
Příklad. Řešte soustavu rovnic:
2x + y = 3,
x − y = 9.
Determinant matice soustavy je
2 1
det A = 1 −1
= −3.
Poněvadž je det A 6= 0, lze použít Cramerovo pravidlo.
Dále určíme
3 1 = −12,
det X = 9 −1 2 3 = 15.
det Y = 1 9 Řešení má tedy tvar
−12
det X
=
= 4,
det A
−3
det Y
15
y=
=
= −5.
det A
−3
Zkouškou se přesvědčíme, že se skutečně jedná o řešení uvedené soustavy.
x=
Logické úlohy
Martin Smolík
Cieľom tejto prednášky nie je niečo sa naučiť, ale skôr porozmýšľať nad zaujímavými logickými úlohami.
Příklad 1. Dostali jste devět na pohled stejných mincí, jedna je falešná – lehčí. K dispozici
máte rovnoramenné váhy. Jak zjistíte, která je falešná na co nejméně tahů vážení?
Příklad 2. Máte dva provazy. Každý z nich hoří hodinu. Hoří však nerovnoměrně, tzn. že půlka
může shořet během dvaceti minut a druhá hořet minut čtyřicet. K tomu máte krabičku zápalek.
Odměřte čtvrt hodiny!
Příklad 3. V klášteře řádí smrtelná choroba. Její jediným viditelným příznakem jsou začervenané oči. Mniši však nesmí nikomu nijak naznačit, že je nemocný, on na to musí přijít sám.
Jestliže mnich zjistí, že je nemocný, tak si v noci sbalí věci a tiše odejde. Aby mniši mohli
zjistit, zda jsom nemocní, se každý večer sejdou a dívají se na své kolegy. Jestliže jsou nemocní
čtyři mniši, jak dlouho jim potrvá, než to zjistí a odejdou?
Metriky
Martin Smolík
Geometria v New Yorku
Možno viete ako v New Yorku vyzerajú ulice: tvoria takú obdĺžnikovú sieť. Teda z jednej
križovatky na ďalšiu sa často nedá prejsť priamou cestou. Teda nemá zmysel počítať ich vzdialenosť priamou čiarou, budeme to teda počítať ako počet ulíc ktoré musíme prejsť aby sme sa
dostali do druhého bodu.
Toto počítanie vzdialenosti sa nazýva metrika. Vzdialenosť dvoch bodov a, bp
sa často zapisuje ako ρ(a, b), v našom prípade ρ(a, b) = x + y, v klasickej geometrii ρ(a, b) = x2 + y 2 .
Definice. Metrika je funkcia ktorá každým dvom bodom priradí ich „vzdialenosťÿ. Aby niečo
bola metrika, musia byť splnené tieto podmienky:
* ρ(a, a) = 0 (úsečka s jedným bodom nemá dĺžku),
* ρ(a, b) > 0 (každé dva rôzne body sú od seba nejako vzdialené),
* ρ(a, b) = ρ(b, a) (vzdialenosť dvoch bodov je rovnaká nezávisle od toho z ktorého bodu začíname),
* ρ(a, b) + ρ(b, c) ≥ ρ(a, c) (trojuholníková nerovnosť).
Teraz keď vieme ako počítame vzdialenosti v New Yorku, môžeme sa pozrieť ako tam vyzerá
kružnica (množina bodov s rovnakou vzdialenosťou od stredu).
Elipsa (množina bodov s rovnakým súčtom vzdialeností od oboch ohnísk).
Příklad 1. Ak ρ(a, b) =„geometria do kopcaÿ:
1. Ako vyzerá kružnica?
2. Ako vyzerá elipsa?
3. Ako vyzerá parabola? (rovnaký rozdiel vzdialeností od bodu a priamky)
Příklad 2. Ak ρ(a, b) je väčšie číslo z x a y:
1. Ako vyzerá kružnica?
2. Ako vyzerá elipsa?
3. Ako vyzerá parabola?
Množiny
Martin Smolík
Dneska sa všetka matematika odvíja od teórie množín. Na tejto prednáške si povieme nejaké
základy teórie množín, ako sa množiny správajú a čo všetko môže množinou byť.
Čo je množina?
Podla „naivnejÿ definície sú to nejaké prvky ktoré sú spojené nejakou vlastnosťou. Tieto
prvky môžu byť hocičo, napríklad existuje množina ktorá obsahuje auto, číslo 1, písmeno ý
a môjho škrečka Ninju. Tá vlastnosť ktorá ich spojuje je to, že sú tu napísané. Táto definícia
nie je veľmi dobrá, ale pre začiatok nám bude stačiť.
Prázdna množina
Prázdna množina je množina ktorá nemá žiaden prvok.
Podmnožina a potenčná množina
Povieme, že množina A je podmnožinou množiny B, ak všetky prvky z A sú aj v množine
B. Potenčná množina množiny B je množina všetkých podmnožín B.
Prienik a zjednotenie
Prienik (∩) dvoch množín je množina všetkých prvkov ktoré sú v oboch množinách. Zjednotenie (∪) je množina všetkých prvkov ktoré sú aspoň v jednej z množín.
Příklad 1. A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7}, C = {1, 3, 4, 7, 8}. Určte:
1. (A ∩ B) ∩ C,
2. A ∪ (B ∩ C),
3. (A ∪ B) ∩ C,
4. A ∪ B ∪ C.
Zápis množiny
Množiny niekedy zapisujeme ako výpis všetkých prvkov. Ak však má množina veľa prvkov
tak je lepšie ju zapísať je pomocou charakteristickej vlastnosti. Napríklad všetky párne čísla sa
dajú zapísať takto: P = {x ∈ N ; 2|n}.
Příklad 2. Zapíšte:
1. mocniny dvojky,
2. interval h0, 1i,
3. nepárne čísla delitelné 3,
4. pythagorejské trojice čísel.
Russelov paradox
Ako sme si na začiatku povedali, táto jednoduchá definícia množiny nie je dobrá pre zložitejšiu matematiku. Ukázal to napríklad pán Russel tým, že vytvoril množinu takú, ktorá
obsahuje všetky množiny, ktoré neobsahujú sami seba. Ale takáto množina nie je možná, skúste
si rozhodnúť, či táto množina do seba patrí alebo nie. Kvôli tomuto a ďalším paradoxom bola
celá teória množín od základu prerobená, teraz stojí na 8 axiómoch.
Mocnost bodu ke kružnici
Anna Steinhauserová
Na přednášce si řekneme, co je to mocnost bodu ke kružnici a naučíme se ji používat na
příkladech. Přednáška bude zaměřená na olympiádní matematiku.
Definice. Je dán bod M a kružnice k se středem O a poloměrem r. Mocností bodu M ke
kružnici k rozumíme číslo p(M, k) = |M O|2 − r2 .
Tvrzení. Nechť přímka p vedená bodem M protne kružnici k v bodech A, B. Pak platí
|M A| · |M B|,
leží-li M vně k,
p(M, k) =
−|M A| · |M B|, leží-li M uvnitř k.
Jestliže speciálně M leží vně kružnice k a označíme T bod dotyku tečny ke kružnici k vedené
bodem M , pak p(M, k) = |M T |2 .
Tvrzení. Nechť ABCD je čtyřúhelník a M = AD ∩ BC. Pak ABCD je tětivový, právě když
|M A| · |M D| = |M B| · |M C|.
Příklad 1. Kružnice k, l se středy K, L se protínají v bodech A, B. Přímka AB protne
společnou tečnu kružnic k, l, která se jich dotýká v bodech T , U , v bodě P . Pak |P T | = |P U |.
Příklad 2. Na prodloužení tětivy KL kružnice k se středem O leží bod A. Tečny z bodu A ke
kružnici k se jí dotýkají v bodech T , U . Označme M střed úsečky T U . Ukažte, že čtyřúhelník
KLM O je tětivový.
Příklad 3. Mějme pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB. Na jeho odvěsně AC zvolme
bod D. Nyní sestrojme kružnici k1 , která se dotýká AB v bodě A a prochází bodem D. Dále též
kružnici k2 , která se dotýká AB v bodě B a též prochází bodem D. Označme E druhý průsečík
kružnic k1 a k2 . Dokažte, že úhly BAC a DEC jsou shodné.
Příklad 4. Je dána kružnice k a bod A různý od jejího středu. Ukažte, že středy kružnic
opsaných všem trojúhelníkům ABC, jejichž strana BC je průměrem kružnice k, leží na jedné
přímce.
Polynomy
Aneta Mirová
Příkladem jednoduchého polynomu může být tento polynom 2x3 + 4x2 − x + 5. Obecně
bychom polynom zapsali
an y n + an−1 y n−1 + · · · + a1 y + a0 .
Sčítání a odečítání mnohočlenů je celkem jednoduchá záležitost. Vždy jen sčítáme nebo
odečítáme koeficienty u členů se stejným exponentem.
Při násobení mnohočlenů násobíme každý člen prvního mnohočlenu každým členem druhého
mnohočlenu. Koeficienty násobíme normálně, jako klasická reálná čísla. Exponenty u proměnných naopak pouze sčítáme podle pravidel počítání s mocninami.
Dělení mnohočlenů si ukážeme na příkladě.
Příklad. Řešte:
8x7 + 6x5 − 4x2 + x
.
2x2 + x
Kořen polynomu je takové reálné číslo, které po dosazení za x polynom tzv. nuluje.
Reciproký polynom
Reciproký polynom je mnohočlen vyznačující se symetrií svých koeficientů (i kořenů). Tato
vlastnost pak pomáhá určit některé jeho kořeny.
Reciproký mnohočlen může být 1. druhu (kladně reciproký), jestliže ak = an−k , nebo 2. druhu (záporně reciproký), jestliže ak = −an−k .
Reciproký polynom 2. druhu má vždy kořen 1, reciproký polynom 1. druhu lichého stupně
má kořen −1.
U polynomu prvního druhu sudého stupně se používá substituce:
1
y =x+ .
x
Řadící algoritmy
Stanislav Veverka
Přednáška je o tom, jak fungují různé řadící algoritmy, o jejich efektivitě a časové složitosti.
Pojmy: select-sort, insert-sort, bubble-sort, quick-sort, heap-sort (haldou), merge-sort (sléváním).
Select-sort
Algoritmus :
opakuj pro i:=1 až n-1
min:=i;
opakuj pro j := i+1 až n
// na tyto pozice budeme vybírat minumum
// nastavení pozice minima
// hledání menšího prvku než nastavené
minimum v dalších prvcích pole
je-li P[j]< P[min] pak min := j
// záměna P[i] za P[min]
je-li P[min]<P[i] pak ZAMENA (i,j)
// nejmenší z prvků P[i+1] až P[n]
se zamění s P[i], pokud je menší než P[i]
procedura ZAMENA (i,j)
POM := P[i]
P[i] := P[j]
P[j] := POM
//výměna prvků pole P[i] a P[j]
Příklad. Do prvního řádku si napište náhodně celá čísla. V následujících řádcích postupujte
podle algoritmu select-sortu.
Řešení kvadratických rovnic pomocí pravítka a kružítka
Tereza Ptáčková
V hodinách matematiky se často pokoušíme vyřešit příklad graficky, například různé nerovnice nebo soustavy rovnic. Kvadratickou rovnici bychom vlastně také dokázali vyřešit graficky,
stačí sestrojit parabolu. Problém je, že parabola se opravdu špatně rýsuje, museli bychom vynést
bod po bodu. My si ale ukážeme jiný, méně pracný způsob, jak graficky vyřešit kvadratickou
rovnici za pomoci pravítka a kružítka.
Příklad. Pomocí reálných koeficientů a, b, c kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 nalezněte
poloměr a souřadnice středu kružnice, která protíná osu x v bodech, jejichž x-ové souřadnice
jsou kořeny dané rovnice.
Označme si tyto body B[x1 ; 0], C[x2 ; 0], x1 , x2 jsou pak kořeny rovnice.
Po krátké úvaze jistě přijdete na to, že takovýchto kružnic může být nekonečně mnoho.
Zvolme tedy bod A[0, 1], kterým bude daná kružnice procházet.
Z přednášky mocnost bodu ke kružnici víme, že platí |OC| · |OB| = |OE| · |OA|, kde O je
počátek soustavy souřadnic a E je druhý průsečík hledané kružnice s osou y. Odtud plyne
|OE| =
c
|OB| · |OC|
= x 1 · x2 = .
|OA|
a
Označme si F a K středy tětiv AE a BC. Těmito body vedeme kolmice k daným tětivám,
jejich průsečíkem bude hledaný střed kružnice.
Na obrázku je vidět kružnice pro rovnici x2 + x − 2 = 0.
Odtud plyne způsob nalezení kořenů kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0 pomocí kružítka
a pravítka.
Na přednášce si ukážeme, jak vyjádříme souřadnice středu kružnice, jak se dá snadno poznat,
kolik má rovnice reálných kořenů a jakých znamének, jak zjistíme kořeny komplexní, a třeba si
i ukážeme geometrický důkaz Viètových vztahů.
Řešení rovnic pomocí Archimédova zákona
Tereza Ptáčková
V roce 1903 vyšel v časopise Věštník experimentální fyziky a elementární matematiky článek
o využítí tzv. Meslinova přístroje pro řešení algebraických rovnic. Pan Meslin přišel na to, jak
se dají nalézt kořeny rovnice
an y n + an−1 y n−1 + · · · + a1 y + a0 = 0
pomocí Archimédova zákona.
Meslinův přístroj je tvořen rovnoramennými vahami, kádinkou a speciálními závažími. Závaží musí mít takový tvar, aby objem jimi vytlačené vody byl číselně roven hloubce jejich
ponoření umocněné na 1, 2, 3, · · · podle toho, který člen mají představovat.
Na přednášce zkusíme přijít na to, jaké tvary a jaké hmotnosti by měla závaží mít, aby
postup skutečně fungoval a rozebereme si nějaké příklady.
Schizofrénia
Martin Smolík
Na tejto prednáške si povieme čo to o schizofrénii. Čo to je, ako sa to prejavuje a čo s tým
vieme robiť.
O tejto chorobe nanešťastie vieme veľmi málo čo sa pôvodu týka. Vieme celkom dobre ako
vyzerá a čo od týchto ľudí očakávať, ale nie moc ako ju vyliečiť.
Slovo schizofrénia pochádza z gréckych slov skinzein (rozdelená) a phrén (myseľ). To však
neznamená poruchu rozštiepenej osobnosti (tá je len jedna z podôb tejto choroby). Všeobecne
sa táto choroba vyznačuje poruchami vnímania a spracovávania informácií. Najčastejšie človek
trpiaci touto chorobou nedokáže dôjsť ku správnemu vyhodnoteniu údajov z okolia a pevne
verí nejakému „svojmuÿ vysvetleniu danej situácie, akokoľvek nelogické sa to zdravému človeku
môže zdať.
Napríklad ak sa zdravá žena ráno zobudí a zistí že jej na pančuchách pustilo očko tak si
pravdepodobne pomyslí „ juj, asi som si tie pančuchy o niečo zachytila a nevšimla som si toÿ.
Zatiaľčo žena trpiaca touto chorobou si môže pomyslieť že si suseda kúpila špeciálny laser
ktorým to očko vypálila len aby jej uškodila. Ale tejto žene príde toto vysvetlenie s laserom
rovnako logické ako nám to prvé vysvetlenie.
Ďalším z častých prejavov schizofrénie sú halucinácie, často sluchové (počutie hlasov). Ľudia
s touto chorobou môžu vidieť alebo počuť nereálne veci, niekedy si dokonca uvedomujú ich
nereálnosť. Tieto hlasy im môžu niečo prikazovať, radiť, komentovať alebo sa vysmievať. Bývajú
dokonca tak jasné a zreteľné ako pri obyčajnej konverzácii.
Slavné matematické problémy
Zbyněk Pawlas
Na přednášce předvedeme několik matematických problémů, které se dají jednoduše zformulovat, ale jejich vyřešení odolávalo nebo odolává po velmi dlouho dobu. Tím, že se dají
jednoduše vysvětlit a přitom nebylo známo jejich řešení, přitáhly pozornost širší veřejnosti.
Velká Fermatova věta
Patrně nejslavnějším takovým problémem se stala tzv. Velká Fermatova věta. Ta tvrdí, že
neexistují žádná přirozená čísla a, b, c a n > 2 splňující rovnici an + bn = cn . Znění věty si
v 17. století poznamenal na okraj knihy francouzský matematik Pierre de Fermat. Domníval
se, že zná důkaz, ale ví se pouze, že ho našel pro n = 4. Definitivní důkaz v celé obecnosti získal
až britský matematik Andrew Wiles v roce 1994.
Catalanova domněnka
Dalším problém z teorie čísel vyslovil v roce 1844 Eugène Charles Catalan. Čísla 8 = 23
a 9 = 32 jsou jediná dvě po sobě jdoucí čísla, která lze vyjádřit jako mocniny přirozených čísel.
Domněnku dokázal v roce 2002 Preda Mihăilescu a je tak podle něho někdy označována jako
Mihăilescova věta.
Fermatova-Catalanova domněnka
Kombinací nápadu Velké Fermatovy věty a Catalanovy domněnky dostaneme domněnku, která říká, že rovnice am + bn = ck má pouze konečný počet řešení s různými trojicemi
(am , bn , ck ), přičemž a, b, c jsou nesoudělná přirozená čísla a m, n, k jsou přirozená čísla splňující
1/m + 1/n + 1/k < 1. Podle Mihăilescovy věty existuje jediné řešení, kde jedno z čísel a, b, c
je rovno jedné, a to 1m + 23 = 32 . Za m můžeme vzít libovolné číslo větší než 6, ale pokaždé dostaneme stejnou trojici (am , bn , ck ) tvaru (1, 8, 9). V současné době je známo 10 řešení.
Nejjednodušší z nich jsou 25 + 72 = 34 , 132 + 73 = 29 a 27 + 173 = 712 .
Goldbachova hypotéza
Jeden z nejstarších a nejslavnějších dosud nevyřešených problémů teorie čísel je Goldbachova
hypotéza. Poprvé byla zformulována v roce 1742 v korespondenci mezi Christianem Goldbachem
a Leonhardem Eulerem. Jedná se o hypotézu, že každé sudé číslo větší než 2 lze vyjádřit jako
součet dvou prvočísel. Pro malá čísla to není problém ověřit, např. 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3,
8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7 atd. Zatím ale není známo, jestli to funguje pro každé sudé číslo.
S tímto problémem souvisí domněnka, že každé liché číslo větší než 5 lze napsat jako součet
tří prvočísel, která rovněž nese název Goldbachova hypotéza. Pokud bychom dokázali, že každé
sudé číslo větší než 2 lze vyjádřit ve tvaru součtu dvou prvočísel, pak libovolné liché číslo větší
než 5 můžeme psát ve tvaru 3 + n, kde n je sudé větší než 2, a proto by šlo vyjádřit ve tvaru
součtu tří prvočísel. Tuto doměnku dokázal v roce 2013 Harald Helfgott.
Keplerova domněnka
Kromě teorie čísel pochází řada slavných problémů z oblasti vyplňování roviny nebo prostoru. Německý matematik a astronom Johannes Kepler studoval mimo jiné uspořádání stejně
velkých koulí. V roce 1611 zformuloval domněnku, že nejúspornější uspořádání je pravoúhlé
tvořící pyramidu, kdy další vrstva „zapadneÿ do předešlé. Ukazuje se, že stejnou hustotu zaplnění prostoru dává i šestiúhelníkové uspořádání. Žádné úspornější uspořádání neexistuje, což
dokázal v roce 1998 Thomas Hales za použití složitých počítačových výpočtů, který zahrnovaly
prověření mnoha možných případů.
Problém čtyř barev
Jiný slavný problém, k jehož vyřešení byla významně použita síla počítačů, pochází z teorie
grafů. Jednoduše řečeno říká, že na obarvení libovolné politické mapy stačí čtyři barvy. Chceme, aby žádné dva sousedící státy (mají společnou hranici, tj. nesousedí spolu jen v jednom
bodě) nebyly obarveny stejnou barvou. Věta byla dokázána v roce 1976 Kennethem Appelem
a Wolfgangem Hakenem prozkoumáním 1936 možných konfigurací, které pokrývají všechny
možnosti.
Problémy pro třetí tisíciletí
Na začátku tohoto tisíciletí vybrala skupina vědců celkem sedm slavných nevyřešených
matematických problémů. Za vyřešení kteréhokoli z nich bude vyplacen jeden milion amerických
dolarů. Jeden z problémů (Poincarého domněnku) vyřešil v roce 2003 ruský matematik Grigori
Perelman, ale finanční odměnu odmítl.
Teorie grafů
Stanislav Veverka
Přednáška bude obsahovat základní pojmy, které se grafů týkají. Řekneme si, co slovo graf
vůbec znamená, a jak je graf reprezentován v počítači.
Pojmy graf, uzel, hrana, orientace, smyčka, stupeň uzlu, cesta, Hamiltonův cyklus, Eulerův
cyklus, tah, sled, souvislost, podgraf, hranový faktor, artikulace, most, úplnost, rovinnost, obarvení grafu, chromatické číslo, klika, klikové číslo, kostra, incidenční matice, matice sousednosti.
Definice. Grafem G = (U, H) rozumíme uspořádanou dvojici konečných množin; množina
U = {U1 , U2 , . . . , Un } je množinou uzlů (vrcholů) a množina H = {H1 , H2 , . . . , Hn } je množinou
hran.
Příklad. Uvažujme graf o čtyřech uzlech U = {1, 2, 3, 4}. Hranou spojíme uzly 1 a 2, uzly 1
a 3, uzly 3 a 4 a konečně uzly 4 a 1.
Obrázek 1: Graf
Obrázek 2: Matice sousednosti
Obrázek 3: Incidenční matice
Teorie her
Jan Foniok
Přiznat se k vraždě, či zapírat? Kámen, nůžky, nebo papír: znáte nejlepší strategii? Pomůže
někdy hrát náhodně? A proč za tyto hračičky dostal někdo Nobelovu cenu? Dozvíte se na této
přednášce!
Tvorba jízdního řádu na železnici
Jan Foniok
Zajímalo vás někdy, jak se dělá jízdní řád? Jaké podmínky musí splňovat? Je možné, aby
lidem při tomto nelehkém úkolu pomohl počítač? A jak se to dělá v zemi železnic zaslíbené, ve
Švýcarsku?
Příklad. Dostanete periodický jízdní řád s příjezdy a odjezdy vlaků v jedné větší stanici. Určete
nejmenší možný počet nástupišť potřebný k zajištění provozu.
Úpravy výrazů
Petra Zahajská
Základní předníška pro další přežití v matematice. Jak ze složitého udělat jednoduchý? No
přece úpravou výrazu. O co jde? Krácení, používání kouzelných vzorečků, rozšiřování. Jdeme
se na to podívat.
Nejdůležitejší vzorečky jak si zjednodušit výraz:
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
Pro vyšší mocniny použijeme Pascalův trojúhelník.
Na přednášce budeme uparvovat a upravovat a upravovat . . . až to uplně upravíme.
Příklad 1. Upravte výraz
x2 −y 2
x2 +2xy+y 2
.
x−y
x+y
Příklad 2. Upravte výraz
p+q
p−q
− p−q
p+q
1−
p2 +q 2
p2 −q 2
.
Příklad 3. Upravte výraz
x2 −y 2
3x2 y 2
2y−1 .
1−2x
−
x
y
Základy kombinatoriky
Jan Foniok
Příklad 1. Kolik je různých možností, jak se může šestičlenná posádka kolem stolu se šesti
židlemi usadit, jestliže nás zajímá pouze vzájemné rozmístění lidí, nikoli kdo sedí na které židli?
Příklad 2. Na začátku každé cesty musí mít šerpa přesně sedm čokolád. Z toho musí být pět
mléčných, šest oříškových a čtyři musí být s rozinkami. Každá čokoláda může mít více vlastností,
takže existuje např. čokoláda oříšková mléčná (bez rozinek), čokoláda rozinková (bez oříšků, bez
mléka). Xof má (celkem pochopitelně) nejraději mléčné čokolády s oříšky a s rozinkami. Xof
svých oblíbených čokolád vzal co nejvíce. Kolik to bylo?
Na přednášce si ukážeme, jak se řeší tyto a podobné úlohy, naučíme se všelijaké triky a každý
si odnese malý sborníček kombinatorických úloh s vzorovými řešeními.
Dělitelnost
Daniel Šafka
V Rozumu do Kapsy se dočteme, že dělitelnost 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 a 10 je velice jednoduchá ke
zjištěnı́. Sedmička a dalšı́ vyššı́ prvočı́sla jsou prý těžká. Existujı́ naštěstı́ triky, kterými můžeme
zjistit dělitelnost 7, 11 a 13 najednou, ale ukážeme si i co se dá dělat se 17 a 19 a nakonec
se posluchači dozvı́ návod na takzvanou minutovou hru, pro kterou jsou potřeba jen digitálnı́
hodiny. Když zbyde čas, ukážeme si dalšı́ metody hledánı́ prvočı́selných dělitelů.
Přı́klad 1. Rozložte na prvočı́sla 469 a 323.
Přı́klad 2. Najděte prvočı́selného dělitele čı́sel: 2009, 1911, 1037, 1729.
Důkazy
Daniel Šafka
Aby se matematika mohla bez problémů vystavět až k šı́lenostem jako důkaz Velké Fermatovy Věty, musı́ mı́t dobré základy. K nim patřı́ dobré porozuměnı́ tomu, jak funguje důkaz a
proč vlastně funguje důkaz sporem. Také si ukážeme úžasnou matematickou indukci a na závěr
přednášky dokážu, že jsou si všechna čı́sla rovna. Schválně, jestli najdete chybu!
Přı́klad 1. Rodiče řekli dı́těti: Jestli budeš zlobit, nedostanes zmrzlinu“. Dı́tě nezlobilo a zmrz”
linu stejně nedostalo. Porušili rodiče slib?
Přı́klad 2. Napovı́m-li, že vzorec pro výpočet součtu 1+2+3+. . .+n je ve tvaru a·n2 +b·n+c,
zjistěte a, b, c a dokážte, že vzorec platı́ pro všechna n.
Funkce
Daniel Šafka
2+x
? A jak nakreslit graf
Nakreslit funkci x1 by neměl být problém, ale jak může vypadat 3x−2
2
2
funkce sin(x )? Na závěr přednášky si nakreslı́me krásnou křivku se vzorcem e( − x2 ).
Přı́klad 1. Nakreslete graf funkce
7−x
.
2x + 1
Přı́klad 2. Nakreslete graf funkce
1
cos( ).
x
Permutace
Daniel Šafka
Zajı́mat nás bude hlavně úžasná Rubikova kostka. Jak mi řekl Erno Rubik, v jednoduchosti
je sı́la. Tak proč, když jdeme nahoru, doleva, dolů, doprava nenı́ zpátky v původnı́m stavu?
A jakto, že když jakýkoli tah na Rubikovce opakujeme pořád dokola, za čas jsme zpátky ve
výchozı́m bodě?
Přı́klad. 8 hracı́ch karet bylo původně v pořadı́ 7, 8, 9, 10, spodek, svršek, král, eso. Prohodili
jsme postupně prvnı́ s třetı́, druhou s pátou, třetı́ s pátou, pátou s šestou a sedmou s druhou.
V jakém pořadı́ jsou karty nynı́? Šlo by je přeházet zpět méně tahy?
Teorie grafů II
Daniel Šafka
Na začátku se podı́váme na schémata a plánky a jejich grafické znázorněnı́. Dokážeme si, že
každý rovinný plánek (graf) se dá nakreslit pouze přı́mými čarami a trošku si tı́m zjednodušı́me
mapu, aniž bychom ztratili practické informace. Dokážeme si, že každá mapa se dá obarvit
nejvýše pěti barvami, tak, že sousednı́ kraje nemajı́ stejnou barvu. (Ono to dokonce jde nejvýše
čtyřmi, ale důkaz byl v roce 1971 nazván nejošklivějšı́m důkazem 20. stoletı́).
Přı́klad. Máme tři domy. Každý dům chceme připojit ke zdroji vody, plynu a elektřiny, aniž
by se kabely křı́žily. Jde to?
Grupy
Vı́t Strádal
Definice. Grupa G(·,0 , e) je množina G s binárnı́ operacı́, neutrálnı́m prvkem a inverznı́m
prvkem.
Axiomy grupy:
* Uzavřenost (a · b ∈ G).
* Asociativita (a · (b · c) = (a · b) · c).
* Neutrálnı́ prvek (∃e∀a : a · e = e · a = a).
* Inverznı́ prvek (∀a∃a0 : a · a0 = a0 · a = e).
* Pro abelovské (komutativnı́) grupy komutativita: (a · b = b · a).
Přı́klad 1. Celá čı́sla a sčı́tánı́. Neutrálnı́ prvek je 0, inverznı́ k a je −a.
Přı́klad 2. Racionálnı́ bez nuly a násobenı́. Neutrálnı́ prvek je 1, inverznı́ k a je a1 .
Věta. Existuje právě jedno e.
Důkaz. e1 , e2 jsou dva neutrálnı́ prvky, pak e1 = e1 · e2 = e2 .
Věta. a = (a0 )0 .
Důkaz. e = a0 · a, pak (a0 )0 = (a0 )0 · e = (a0 )0 · a0 · a = a.
Věta. a · b = a · c, pak b = c.
Důkaz. a0 · a · b = a0 · a · c, a tedy b = c.
Věta. (a · b)0 = a0 · b0 .
Mocnina: an = a · a · . . . · a (a je v součinu“ n-krát).
”
Přı́klad.
* Z(+) celá čı́sla sčı́tánı́.
* ZN (+) čı́sla < 0, N − 1 > celá čı́sla modulo N .
* ZN0 (·) čı́sla < 1, N − cel >.
* Z(−).
* Q+ (·) racionálnı́ čı́sla p/q, p ∈ Z, q ∈ Z + .
* grupa symetrických zobrazenı́ (bodová osová symetrie, rotace).
* grupa permutacı́.
* kvaterniony.
* prostor funkcı́ lineárnı́ch.
* množina podmnožin a sjednocenı́.
* hledánı́ konečných grup.
Komplexnı́ čı́sla
Vı́t Strádal
Komplexnı́ rovina
Body na přı́mce můžeme chápat jako reálná čı́sla. Mohou být čı́sla i rovině? Ano, jsou to
čı́sla komplexnı́. Majı́ některé vlastnosti reálných čı́sel (sčı́tanı́, násobenı́, asociativitu, komutativnost), a některé vlastnosti nemajı́ (nejde je smysluplně uspořádat).
Snažı́me se, aby zachovalo co nejvı́ce vlastnostı́, které známe s reálných čı́sel, ale vlastně
jediné co musı́me vyřešit, čemu se bude rovnat i · i. Musı́ to být opět komplexnı́ čı́slo, mělo být
mı́t vlastnost jednotky (viz nı́že). Bez dalšı́ho otálenı́ volı́me:
i2 = −1
. . . brzy uvidı́me, že je to dobrá volba.
Algebraický zápis
x = xr + ixi
Sčı́tánı́:
x=a+b
x r = ar + br
x i = ai + bi
Jinými slovy:
a + b = (ar + ar ) + i(ai + bi )
A z toho hned vidı́me, že všechny důležité vlastnosti sčı́tánı́ jsou zachovány – komutativita,
asociativita, záporné čı́slo.
Násobenı́:
a · b = (ar + iai ) · (br + ibi ) = ar br + iiai bi + iar bi + iai br = ar br − ai bi + i(ar bi + ai br )
Dělenı́
Máme násobenı́, potřebujeme jen převrácenou hodnotu a.
∀a ∃b : a · b = 1
ar br − ai bi + i(ar bi + ai br )
ar br − ai bi = 1
ar b i + ai br = 0
−ai br
ar
bi =
ar br − ai
−ai br
=1
ar
br (ar +
a2i
)=1
ar
ar ar + a2i
=1
ar
ar
br = 2
|a|
ar −ai
bi = 2
|a| ar
−ai
bi =
|a|2
br
Zkouška:
ab = (ar + iai )
1
1
1 2
2
(a
−
ia
)
=
(a
+
a
+
i(−a
a
+
a
a
))
=
(|a|2 ) = 1
r
i
r
i
r
i
r
r
2
2
2
|a|
|a|
|a|
Čı́slo komplexně sdružené (novinka):
a = ar − iai
5 + 7i = 5 − 7i
1/a =
Kořeny kvadratické rovnice
Pro připomenutı́:
a
|a|2
√
b2 − 4ac
2a
2
Pokud je diskriminant D = b − 4ac záporný, můžeme psát:
√
−b ± i b2 − 4ac
x1,2 =
2a
Polárnı́ souřadnice
x1,2 =
−b ±
Bod v rovině můžeme určit i pomocı́ polárnı́ch souřadnic, neboli vzdálenostı́ od počátku |x|,
a azimutem“, neboli úhlem φ, který svı́rá s reálnou osou.
”
x = [|x|, φ]
Poznámka: pokud je bod ve čtvrtém kvadrantu (má zápornou imaginárnı́, ale kladnou
reálnou složku), bereme tento úhel jako záporný, nebo tak velký jako by procházel celým
prvnı́m, druhým, třetı́m a částı́ čtvrtého kvadrantu. Podobně i pro jiné kvadranty.
Převod polárnı́ch souřadnic na algebraický tvar:
x = |x|(cos(φx ) + i sin(φy ))
Exponenciálnı́ tvar (bonus)
x = |x|eiφ
K tomuto tvaru se může dojı́t přes rozklad daných funkcı́ do mocninných řad. Následujı́cı́m
třem řádkům prostě musı́te uvěřit, ale poté ocenı́te jak krásně jsou provázány funkce, které
spolu zdánlivě vůbec nesouvisı́:
x3 x 5 x7
+
−
+ ...
sin(x) = x −
3!
5!
7!
cos(x) = 1 −
ex = 1 +
x2 x4 x 6
+
−
+ ...
2!
4!
6!
x
x2 x3 x4 x5 x6 x7
+
+
+
+
+
+
+ ...
1!
2!
3!
4!
5!
6!
7!
Na přednášce budeme dále zkoumat jak vypadá výraz eiφ .
Přı́klad. Je dán pravidelný pětiúhelnı́k se středem v počátku soustavy souřadnic. Jeden jeho
vrchol je obrazem komplexnı́ho čı́sla i. Určete komplexnı́ čı́sla v goniometrickém tvaru, jejichž
obrazy jsou zbývajı́cı́ vrcholy pětiúhelnı́ka.
Logika
Vı́t Strádal
Definice. Logické operátory (A= Horymı́r má zuby“, B= Vit’as má rád masalu“):
”
”
* implikace, jestliže A, pak B“, A → B
”
* ekvivalence A pravě když B“, A ↔ B
”
* konjunkce A a zároveň B“, A ∧ B,
”
* disjunkce A nebo B“, A ∨ B,
”
* negace neplatı́“ , že A0 6 A,
”
* tautologie >, kontradikce ⊥,
* Shefferovo lomı́tko neboli NAND (↑), Piersova šipka neboli NOR (↓).
Následujı́cı́ tabulka obsahuje všechny myslitelné logické binárnı́ (a vlastně i unárnı́ a nulárnı́)
operátory:
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
0
3
0
0
1
1
4
0
1
0
0
0
1
2
3
4
5
⊥
A∧B
¬(A → B)
A
¬(B → A)
B
5
0
1
0
1
6
7
8
9
10
11
6
0
1
1
0
7
0
1
1
1
8
1
0
0
0
9
1
0
0
1
¬(A ↔ B)
A∨B
A↓B
A↔B
¬B
B→A
10 11 12 13 14 15
1 1 1 1 1
1
0 0 1 1 1
1
1 1 0 0 1
1
0 1 0 1 0
1
12
13
14
15
¬A
A→B
A ↑ B)
A ↑ B)
Přı́klad. Které binárnı́ operátory nám stačı́, abychom pomocı́ nich vyjádřili všechny ostatnı́?
Pravidla pro úpravu logických výrazů:
Komutativita A ∨ B = B ∨ A; A ∧ B = B ∧ A.
Distributivita: A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C); A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C).
Distribuce negace:
¬(B ∧ C) = ¬A ∨ ¬B;
¬(B ∨ C) = ¬A ∧ ¬B.
Závorky a priorita: abychom se netopili v závorkách je možné určit těžšı́ a lehčı́ operátory.
Jistě nikdo nespočı́tá špatně 1 + 4 · 3, násobenı́ je těžšı́ a spočı́tá se dřı́ve, i když tam nejsou
závorky. Obdobná konvence je u logických operátorů – od nejtěžšı́ch k nejlehčı́m: ¬, ∧, ∨, →,
↔. Tedy ¬A ∨ B → C ∧ D ∨ E, je třeba čı́st jako: ((¬A) ∨ B) → ((C ∧ D) ∨ E).
Konjunktivnı́ a disjunktivnı́ forma: každý logický výraz je možné převést do tvaru kon”
junkce disjunkcı́ atomických výroků nebo jejich negacı́“ .
A ↔ B = (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B).
Měřı́me vesmı́r
Vı́t Strádal
Vesmı́r je nesmı́rně obrovský. Naše mı́stnı́ galaxie je v průměru velká zhruba 100 světelných
let. Pozorujeme však i objekty ve vzdálenosti vı́ce než 13 miliard světelných let. Jak se tyto
vzdálenosti měřı́?
Hvězdná paralaxa
Nejbližšı́ hvězdy je možné měřit pomocı́ hvězdné paralaxy, hvězda se zdánlivě pohybuje vůči
vzdálenějšı́m hvězdám v průběhu roku, kdy Země obı́há kolem Slunce. Ve vzniklém trojúhelnı́ku
známe dva úhly a jeden stranu (vzdálenost Slunce-Země) a můžeme dopočı́tat vzdálenost. Takto
je možné měřit s poměrně slušnou přesnostı́ do 200 světelných let, přibližný odhad až do 10000
světelných let.
Besselovi roku 1838 změřil poprvé hvězdnou paralaxu hvězdy 61 cyg, má paralaxu 0,62712”
(== 6.5km 1 cm), je vzdálená 10.4 lyr.
Dále budeme potřebovat nějaké pojmy:
Zářivost I (jinak též zářivý výkon nebo také svı́tivost) je celkové množstvı́ energie, kterou
hvězda vyzářı́ do prostoru za jednotku času. Z jejı́ hodnoty můžeme určit kolik fotonů hvězda
”
výzářı́ za sekundu“.
Jasnost (zdánlivá jasnost nebo zdánlivá magnituda) nám jen řı́ká, jak moc jasně se nám
jevı́ na obloze. Tato hodnota je v pevném vztahu s J kolik fotonů z hvězdy projde u nás m2
”
za sekundu“.
Čı́m je hvězda dál tı́m je jejı́ jasnost pochopitelně menšı́. Protože plocha koule o poloměru
d je:
Sd = 4πd2
Vidı́me, že jasnost klesá s druhou mocninou vzdálenosti:
J∼
I
d2
Problém měřenı́ vzdálenosti se nám tı́mto měnı́ na problém hledánı́ standardnı́ svı́čky, pokud
bychom znali absolutnı́ svı́tivost I, na Zemi bez problému změřı́me J a dopočı́táme d. Na tomto
principu pracujı́ všechny ostatnı́ metody určenı́ vzdálenosti, jen se lišı́ fintou jakou zjistı́ I.
Hertzsprung-Russelův diagram
Nenı́ foton jako foton, fotony se lišı́ vlnovou délkou a podle toho jakou majı́, takovou majı́
barvu. Existuje který řı́ká, jak moc jsou zastoupeny vlnové délky u vyzařovánı́ jinak černého
tělesa o dané teplotě.
To vysvětluje napřı́klad, že zahřı́váme kus železa, nejprve zčervená a postupně zežloutne a
nakonec je rozžhavený doběla.
Tı́mto způsobem je možné určit povrchovou teplotu vzdálené hvězdy: Musı́me roztřı́dit
fotony, které z nı́ dorazı́ a spočı́tat četnost s jakou jsou zastoupeny jednotlivé vlnové délky.
Tomu se řı́ká spektrálnı́ analýza.
Většina hvězd se nacházı́ na tzv. hlavnı́ posloupnosti. Nynı́ můžeme udělat opačný obrat:
pokud vı́me, že hvězda je na hlavnı́ posloupnosti, a známe jejı́ povrchovou teplotu, určı́me jejı́
absolutnı́ jasnost I a ze zdánlivé jasnosti J dopočı́táme vzdálenost.
Tato metoda je použitelná do vzdálenosti 250 tisı́c světelných let (galaxie má v průměru
tak 100 tisı́c).
Když vezmeme hvězdy u kterých známe vzdálenost, a vyneseme teploty a jejich absolutnı́
jasnost I, dostaneme takovýto diagram:
Proměnné hvězdy
Gravitace přitahuje veškerou hmotu směrem do středu hvězdy, zatı́mco termonukleárnı́ fúze
uvnitř jádra zas vytvářı́ tlak, jenž hvězdu naopak zvětšuje. Cefeidy majı́ jednu zvláštnı́ vlastnost, a to, že tyto dvě sı́ly u nich nejsou v rovnováze - hvězda se tak střı́davě smršt’uje a rozpı́ná,
čı́mž pravidelně měnı́ svou jasnost. Když je gravitace silnějšı́, hvězda se smršt’uje a vydává méně
světla, jakmile ale uvnitř začne narůstat tlak, hvězda se nafoukne a opět tak zvýšı́ svou zářivost.
Tato pulzace se odehrává v řádu několika dnı́ či měsı́ců.
Astronomka Henrietta Leavitt přesně před sto lety pozorovala cefeidy a všimla si závislosti
mezi měnı́cı́ se zdánlivou jasnostı́ a dobou periody. Jak taková závislost vypadá u čtyř různých
cefeid, si můžete prohlédnout na následujı́cı́m obrázku.
Dalšı́ kandidát na standardnı́ svı́čku jsou binárnı́ hvězdy. Tedy dvojice hvězd obı́hajı́cı́ kolem
sebe. Pokud docházı́ k zakrytu, docházı́ u těchto hvězd k poklesu svı́tivosti, z periody a poměru
poklesu svı́tivosti se opět dá spočı́tat absolutnı́ svı́tivost.
Supernovy typu Ia
Pokud je hvězda těžšı́ než 1.5 hmotnosti Slunce a spálı́ svůj materiál dojde ke kolapsu a který
je doprovázený velkým a jasným výbuchem, který se nazývá Supernova. To nám k určovánı́
vzdálenostı́ moc nepomůže, protože nevı́me jak velká hvězda byla a jaká byla tedy absolutnı́
svı́tivost. S jednou specifickou výjimkou, jde o supernovy typu Ia. Které vznikajı́ v systému
dvojhvězd zhruba takto: červeného obra a bı́lého trpaslı́ka, trpaslı́k odsává obra, až dosáhne
kritické hmotnosti a poté exploduje. Výhoda je právě v tom, že exploze nastane vždy se stejnou
hmotnostı́ a tudı́ž zhruba ze stejnou absolutnı́ jasnostı́. Že jde o výbuch supernovy typu Ia se
pozná podle průběhu a spektra.
Rudý posuv
Ve světelném spektru (o kterém jsme hovořili výše), jsou absorpčnı́ čáry – některé vlnové
délky jako by chyběli nebo jich je méně. Jsou to vlastně podpisy prvků, tvořı́cı́ch obal hvězdy.
Pokud se od náš hvězda vzdaluje, jsou tyto čáry posunuty k červenému konci, pokud se
přibližuje jsou posunuty k modrému. Erwin Hubble přišel na to, že se od nás všechny galaxie
vzdalujı́, a čı́m je vzdálenějšı́ tı́m se vzdaluje rychleji. Objevil tedy že se vesmı́r rozpı́ná. Jeho
zákon vyjadřuje vztah:
v = H0 D
H0 = 67.80 ± 0.77(km/s)/M pc
H0orig ∼ 50 − 90(km/s)/M pc
Tedy pokud máme dobře ověřený tento vztah pomocı́ jiných metod, můžeme v přiblı́ženı́
použı́t pro určenı́ vzdálenostı́ dalekých objektů. Pro určovánı́ vzdálenosti hvězd v našı́ galaxii
ani v našı́ grupě galaxii se tento vztah nehodı́, protože vzájemná rychlost galaxiı́ je ovlivňována
jejich gravitačnı́m působenı́m.