4 Analýza dluhopisových podílových fondů

Vysoká škola ekonomická v Praze
Fakulta informatiky a statistiky
VYUŽITÍ LINEÁRNÍCH A NELINEÁRNÍCH MODELŮ
VOLATILITY PŘI ANALÝZE ČESKÝCH PODÍLOVÝCH FONDŮ
A AKCIÍ
doktorská disertační práce
Doktorand:
Ing. Jan Popelka
Školitel:
doc. Ing. Jiří Trešl, CSc.
Obor:
Statistika
Praha, duben 2007
Prohlášení
Prohlašuji, že doktorskou práci na téma „Využití lineárních a nelineárních modelů volatility
při analýze českých podílových fondů a akcií“ jsem vypracoval samostatně. Použitou
literaturu a podkladové materiály uvádím v přiloženém seznamu literatury.
V Praze dne 22.4.2007
……………………………….
podpis
ABSTRAKT
Cílem této doktorské práce je analýza chování vybraných českých otevřených podílových
fondů a akcií. Podílové fondy si od druhé poloviny 90. let získávají v České republice stále
větší oblibu. Do konce roku 2006 dosáhl objem investic do podílových fondů 150 miliard
korun. Empirická studie se věnuje třem typům podílových fondů: akciovým, dluhopisovým a
peněžním a akcie. Denní hodnoty cen byly získány z internetových stránek správců fondů a
RM-systému. Sledované období začíná 1.1.2001 a končí 31.12.2005.
Akcie a podílové listy mají odlišné principy formování ceny. Zatímco ceny akcií se vytváří
interakcí nabídky a poptávky na akciovém trhu, u podílových listů je cena odvozena z celkové
hodnoty aktiv fondu. Vliv trhu není u podílových fondů významný, protože nabídka podílových listů je téměř neomezená. Navíc jsou aktiva podílového fondu tvořena řadou rozdílných
investičních nástrojů jako jsou české a zahraniční akcie, dluhopisy, pokladniční poukázky,
instrumenty peněžních trhů atd. Zjištění, zda časové řady fondů mají i za těchto předpokladů
stejné vlastnosti jako řady akcií a zda je pro jejich modelování vhodné použít modely vytvořené pro akcie, burzovní indexy nebo směnné kurzy, je hlavním tématem této práce.
Pozornost je věnována nepodmíněnému rozdělení výnosů logaritmů cen podílových listů.
Metodou maximální věrohodnosti jsou odhadnuty parametry teoretických rozdělení a poté je
testována jejich shoda s rozdělením výnosů. Další rozdělení zmiňovaná v souvislosti
s nepodmíněným rozdělením finančních časových řad jsou zmíněna v teoretické části. K modelování podmíněné střední hodnoty je využito modelů typu AR, k modelování podmíněného
rozptylu pak lineárních modelů ARCH, GARCH a GARCH-M a nelineárních modelů typu
GRJ-GARCH a EGARCH. Další modely volatility jsou popsány v jedné z úvodních kapitol.
Skupina nelineárních modelů je do analýzy zahrnuta za účelem hledání „pákového efektu“.
Lineární model GARCH-M popisuje přímé působení podmíněného rozptylu časové řady na
její podmíněnou střední hodnotu. Vzhledem k prokázané nenormalitě rozdělení reziduí, nejsou splněny počáteční podmínky modelů časových řad. Vhodnější modely lze získat změnou
předpokladu o rozdělení nesystematické složky na GED nebo Studentovo t rozdělení. Na základě porovnání prostřednictvím informačních kritérií a u příbuzných modelů testem
věrohodnostním poměrem je pro každou časovou řadu nalezen nejvhodnější model, který
slouží k popisu jejích vlastností a v praxi může být využit i k předpovědi dalšího vývoje,
v analýze Value at Risk nebo k popisu vývoje rizikovosti fondu. V závěru jsou popsány zjištěné společné a rozdílné vlastnosti podílových fondů a akcií a doporučení pro modelování
těchto časových řad.
Klíčová slova: časové řady, otevřené podílové fondy, lineární modely volatility, nelineární
modely volatility, nepodmíněné rozdělení výnosů, rozdělení nesystematické složky
RESUME
The aim of this PhD thesis is the analysis of selected open-end-funds pursuing in the Czech
Republic and Czech shares. The open-end-funds became very popular in the Czech Republic
during the second half of 90’s. The amount of investment reached the value of 150 billion
CZK in 2006. The empirical analysis focuses on three types of open-end-funds: share funds,
obligation funds and financial market funds. Only funds traded in Czech currency are included. The period of observation begins on 1.1.2001 and ends on 31.12.2005.
Shares and allotment certificates have different process of price determination. The share
prices are determined by bids and ask on stock exchange. The price of allotment certificates is
set by the value of fund assets. The market influence is thereby weak, because the bid of fund
shares is almost unlimited. Moreover the open-end-fund asset is a compact of different investment vehicles such as Czech and foreign stocks, bonds and money market instruments.
The question if the time series could be under these circumstances modeled using models derived for time series of assets, stock indices and exchange rates has to be answered in this
thesis. Attention is paid on unconditional distribution of logarithmic returns. Using maximum
likelihood method the parameters of theoretical distributions are estimated and Goodness-ofFit tests are evaluated. Other theoretical distributions related to financial time series are noticed in theoretical chapter.
AR models are used for conditional mean modeling and the conditional variance is modeled
using linear ARCH, GARCH and GARCH-M models and nonlinear EGARCH and GRJGARCH models. Other volatility models are described in theoretical chapter. The group of
nonlinear model is included to find the “leverage effect”. Linear model GARCH-M describes
the tradeoff between conditional variance and excess returns. With respect to discovered nonnormality of model residuals, the key model assumption is not met. Suitable models can be
obtained by changing the model distributional assumption of error term to Student’s t or Generalized Error Distribution. Using information criterions and likelihood ratio test for nested
models the most suitable model for each time series is selected. This model serves to show the
time series behavior and can be used for forecasting, Value at Risk analysis or risk description. Discovered similarities and differences between open-end-funds and shares are described
and recommendations for time series modeling are presented.
Key words: time series, open-end-funds, shares, linear volatility models, nonlinear volatility
models, unconditional distribution of returns, distribution of error term
KURZFASSUNG
Das Ziel der vorliegenden Dissertationsarbeit ist die Analyse von ausgewählten tschechischen
offenen Fonds und Börsenaktien. Die offenen Fonds erwerben seit den 90. Jahren in der
Tschechischen Republik fortwährend größere Popularität. Bis Ende des Jahres 2006 erwirkte
der Umfang von Investitionen in offene Fonds 150 Milliarden Kronen. Die empirische Studie
konzentriert sich an drei Fondstypen: Aktienfonds, Rentenfonds, Geldmarktfonds. Nur in
tschechischer Währung gehandelte Fonds sind in die Analyse aufgenommen. Der Beobachtungszeitraum beginnt am 1.1.2001 und endet am 31.12.2005.
Die Börsenaktien und Fonds-Anteile haben unterschiedliche Prinzipe des Wertansatzes. Bei
einem offenen Fonds bildet sich der Kurs nicht nach Angebot und Nachfrage, wie an der Aktienbörse, sondern entspricht dem tatsächlichen Anteil am Fondsvermögen. Der Markteinfluß
ist bei Fonds nicht bedeutend, weil das Angebot der Anteile fast unbegrenzt ist. Zusätzlich
bilden das Fondsvermögen verschiedene Anlagenwertpapiere wie tschechische und ausländische Aktien, Obligationen, Geldmarktinstrumente usw. Die Feststellung, ob die
Fondszeitreihen unter diesen Voraussetzungen dieselben Charakteristika wie die Aktienreihen
haben und ob die statistischen Modelle abgeleitet für Aktien, Börseindexe und Umwechslungskursen adäquat für Modellierung sind, ist das Schwerpunktthema dieser Arbeit.
Aufmerksamkeit ist der unbedingten Verteilung von logarithmischen Renditen gewidmet.
Mittels der Maximum-Likelihood-Methode sind die Parameter von ausgewählten theoretischen Verteilungen geschätzt und dann wird die Ähnlichkeit mit Ertragenverteilung geprüft.
Weitere Verteilungsfunktionen, die im Kontext mit Finanzzeitreihen erwähnt sind, sind im
theoretischen Kapitel präsentiert.
Die AR-Modelle werden für Modellierung des bedingten Erwartungswertes benutzt und zu
bedingten Volatilitätmodellen gehören lineare ARCH, GARCH und GARCH-M und nicht
lineare EGARCH und GRJ-GARCH-Modelle. Weitere Modelle für die Volatilität sind im
theoretischen Kapitel beschrieben. Die nicht linearen Modelle werden wegen asymmetrischen
Effekts von positiven und negativen Fehlern auf die Volatilität benutzt. Linear GARCH-MModell beschreibt Beziehung zwischen Risiko und Rendite. Weil die Modellresiduen keine
Normalverteilung haben, ist die Verteilungsannahme nicht erfüllt. Günstige Modelle kann
man unter Verwendung der GED oder t-Verteilung erhalten. Mit Hilfe der Informationskriterien wird das beste Modell ausgewählt. Dieses Modell kann man für Erklärung von Verhalten
der Zeitreihen, für Vorhersage, Value at Risk Analysis oder Risikoerklärung benutzt. Die entdeckte Ähnlichkeit und Verschiedenheit zwischen offenen Fonds und Börsenaktien werden
erklärt und Empfehlungen für die Modellanpassung präsentiert.
Schlüsselwörter: Zeitreihen, offene Fonds, Börsenaktien, lineare Modelle der Volatilität, nicht
lineare Modelle der Volatilität, unbedingten Verteilung von Renditen, Verteilungsannahmen.
OBSAH
ÚVOD ........................................................................................................................................1
1
2
3
Finanční časové řady ........................................................................................................4
1.1
Otevřené podílové fondy ............................................................................................4
1.2
Mechanismus tvorby ceny podílového listu ...............................................................8
1.3
Ekonomické indikátory při rozhodování investora.....................................................9
1.4
Nepodmíněné rozdělení finančních časových řad ....................................................11
1.5
Analýza Value at Risk ..............................................................................................13
1.6
Předpovídání v časových řadách...............................................................................14
Teoretické základy analýzy otevřených podílových fondů a akcií .............................16
2.1
Nepodmíněné rozdělení výnosů finančních časových řad........................................16
2.2
Modely volatility.......................................................................................................26
2.3
Analýza finančních časových řad .............................................................................43
Analýza akciových podílových fondů............................................................................50
3.1
Úvod..........................................................................................................................50
3.2
Popisné charakteristiky .............................................................................................51
3.3
Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů ...........................................................52
3.4
Modely akciových otevřených podílových fondů ....................................................54
3.4.1
ISČS Sporotrend ...............................................................................................54
3.4.2
Fond Pioneer Akciový ......................................................................................63
3.4.3
ING International Český akciový fond.............................................................66
3.4.4
ISČS Eurotrend .................................................................................................70
3.4.5
ISČS Globalstocks ............................................................................................73
3.5
4
Závěrečné shrnutí vlastností akciových podílových fondů.......................................76
Analýza dluhopisových podílových fondů ....................................................................78
4.1
Úvod..........................................................................................................................78
4.2
Popisné charakteristiky .............................................................................................78
4.3
Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů ...........................................................80
4.4
Modely dluhopisových otevřených podílových fondů .............................................80
4.4.1
ISČS Sporobond ...............................................................................................80
4.4.2
KBC Renta Czechrenta.....................................................................................84
4.4.3
IKS Dluhopisový ..............................................................................................87
4.4.4
ING International Český fond obligací.............................................................89
4.5
Závěrečné shrnutí vlastností dluhopisových podílových fondů ...............................91
5
Analýza podílových fondů peněžního trhu...................................................................94
5.1
Úvod..........................................................................................................................94
5.2
Popisné charakteristiky .............................................................................................94
5.3
Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů ...........................................................95
5.4
Modely otevřených podílových fondů peněžního trhu .............................................96
5.4.1
ISČS Sporoinvest..............................................................................................96
5.4.2
KBC Multicash ČSOB CZK.............................................................................98
5.4.3
Pioneer Sporokonto...........................................................................................99
5.4.4
IKS Peněžního trhu.........................................................................................101
5.4.5
ING International Český fond peněžního trhu................................................101
5.5
6
Analýza akciových časových řad .................................................................................104
6.1
Úvod........................................................................................................................104
6.2
Popisné charakteristiky ...........................................................................................104
6.3
Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů .........................................................105
6.4
Modely akcií ...........................................................................................................106
6.4.1
ČEZ.................................................................................................................106
6.4.2
Unipetrol .........................................................................................................109
6.4.3
Komerční banka..............................................................................................111
6.4.4
Český Telecom ...............................................................................................114
6.4.5
Philip Morris ...................................................................................................116
6.5
7
Závěrečné shrnutí vlastností podílových fondů peněžního trhu .............................102
Závěrečné shrnutí vlastností akciových časových řad............................................119
Závěrečné srovnání investičních nástrojů ..................................................................122
7.1
Nepodmíněné rozdělení výnosů..............................................................................122
7.2
Modely časových řad ..............................................................................................123
7.3
Vlastnosti reziduí modelů volatility........................................................................125
Závěr ......................................................................................................................................127
Seznam použité literatury ....................................................................................................130
Seznam použitých zkratek a symbolů.................................................................................135
Seznam příloh........................................................................................................................136
ÚVOD
Analýza rozdělení a modelování finančních časových řad jsou významným statistickým
oborem, který se neustále rozvíjí. Hledání principů chování a předpovídání cen cenných papírů, komodit, nemovitostí, měnových kurzů a dalších investičních nástrojů je stále lákavým
tématem pro řadu statistiků, ekonomů, manažerů i investorů. Zájem o tento obor se udržuje na
vysoké úrovni, protože možnosti jeho využití při správě a investování finančních prostředků
jsou velké. Svědčí o tom množství nově vznikajících monografií, které se vydávají nejen v
zahraničí, ale také v Čechách a to již dokonce i od českých autorů. Vliv na rozvoj a oblibu
modelování časových řad má i neustálý vývoj výpočetní techniky, který v současnosti umožňuje i na osobních počítačích odhadovat parametry stále složitějších modelů.
Ve své disertační práci jsem se rozhodl navázat na vlastní diplomovou práci z roku 2000 nazvanou „Využití předpovědních metod v manažerské praxi“. Práce byla součástí mého studia
na Fakultě managementu Vysoké školy ekonomické. Ve své podstatě se v ní objevily relativně jednoduché statistické metody předpovídání nejen finančních časových řad, jako je
dekompozice sezónních časových řad, vyrovnávací metody, autoregresní modely. Praktická
část se soustředila na finanční časové řady v zahraniční i české odborné literatuře často opomíjené – ceny podílových listů otevřených podílových fondů. I přes jednoduchost a z
odstupem času musím konstatovat i nedostatečnost a nevhodnost aplikovaných statistických
metod, byla práce oceněna cenou rektora za excelentní studentskou odbornou práci. Tato cena
mne ujistila, že podobná analýza má praktický význam, protože oblast mnou zkoumaných investičních nástrojů není doposud dostatečně popsána.
V disertační práci se vracím k problematice otevřených podílových fondů, které patří v zahraniční i u nás ke stále oblíbenějším formám investování a to i mezi drobnými investory. Jen v
samotném Německu působí v současné době již více než 3700 různě orientovaných podílových fondů. V České republice si podílové fondy získávají stále větší oblibu již od druhé
poloviny 90. let. Do konce roku 2006 dosáhl objem investic do podílových fondů 150 miliard
korun.
Cílem práce je provést podrobnou analýzu tří skupin českých podílových fondů, které se od
sebe odlišují mimo jiné výší výnosů, skladbou portfolia, rizikovostí investice, délkou investičního horizontu. Jde o akciové, dluhopisové a peněžní podílové fondy. V porovnáním
s ostatními finančními časovými řadami, patří podle mého názoru fondy mezi opomíjené investiční nástroje. Pro účely srovnání jsem do analýzy zapojil i české akcie. K jejich popisu
jsem použil naprosto stejné metody jako u podílových fondů. Akcie jsou tradičním a oblíbeným datovým zdrojem pro analyzování, modelování a předpovídání finančních časových řad.
1
Porovnání výsledků analýzy akcií s podílovými fondy by mělo poskytnout důležité závěry o
vhodnosti aplikace statistických metod a modelů a vést k pochopení chování časových řad
podílových fondů. V prezentované analýze jde především o nalezení shodných a rozdílných
prvků sledovaných časových řad, tedy nalezení podobností a rozdílů mezi jednotlivými investičními nástroji. Důvodem proč porovnávat časové řady podílových fondů a akcií mezi sebou
je rozdílnost mechanismů tvorby ceny zmíněných investičních nástrojů a různorodost struktury portfolií různých typů podílových fondů. Zjištění, zda časové řady fondů mají stejné
vlastnosti jako řady akcií a zda je pro jejich modelování a předpovídání vhodné použít modely
vytvořené pro akcie, burzovní indexy nebo směnné kurzy, je nejdůležitějším tématem této
práce. Závěry o vhodnosti určitých typů modelů je pak z této analýzy také možné odvodit. Na
praktické využití modelování a předpovídání budoucího vývoje cen a volatility pro investory
a manažery fondů upozorňuji v první kapitole práce.
Zmíněné modelování časových řad je v mé disertační práci důležitým nástrojem pro popis
chování finančních časových řad. Aplikoval jsem jednak autoregresní úrovňové modely (tedy
modely, kterými jsem se zabýval v práci diplomové) a k nim pak připojil modely volatility.
Důvodem jejich aplikace je u mnoha finančních časových řad popsaná vysoká špičatost a tlusté konce rozdělení výnosů, nekonstantnost rozptylu, výskyt shluků a asymetrie vlivu kladných
a záporných šoků na velikost podmíněného rozptylu. Vzhledem k tomu, že i v současné době
jsou popisovány stále nové a nové modely volatility, věnoval jsem druhou kapitolu přehledu
doposud publikovaných modelů. Studiem odborné literatury se mi podařilo nalézt přes 30
různých modelů volatility. Tento výčet však zcela jistě nepovažuji za konečný. Každému modelu je v práci věnován prostor, kde je popsán jeho tvar a základní vlastnosti. Více prostoru
dostaly modely konkrétně použité v disertační práci. Při výběru modelů aplikovatelných na
podílové fondy a akcie jsem byl omezen použitým statistickým softwarem. Vzhledem k mé
víře ve fundovanost autorů statistických programů jsem přesvědčen, že modely využité v analýze patří mezi nejvýznamnější a nejdůležitější. O jejich významu hovoří i časté praktické
aplikace a odkazy v odborných publikacích.
Důležitou podmínkou při tvorbě modelů finančních časových řad je znalost tvaru rozdělení
nesystematické složky. Vzhledem k tomu, že v poslední bodě se významně rozšiřuje nabídka
statistických programů umožňujících výstavbu modelů založených i na jiném než normálním
rozdělení, byla tato možnost využita i v mé analýzy. Porovnávány jsou nejen různé typy modelů volatility, ale i stejné modely založené na odlišném rozdělení nesystematické složky.
Účelem tohoto srovnání je zjištění, zda takovéto modely dokáží skutečně lépe popsat chování
sledovaných časových řad.
2
Analýza podílových fondů a akcií se soustředí i na nepodmíněné rozdělení výnosů. Jedním z
cílů práce je nalézt vhodné rozdělení, které by bylo základem pro výše zmíněné modely i pro
jiné analýzy (např. analýzu Value at Risk). Řada autorů upozorňuje na překonaný předpoklad
normality rozdělení výnosů finančních časových řad, vysokou špičatost, tlusté konce rozdělení a významné zešikmení. Detailně se věnuji i této problematice. U každé časové řady jsou
prozkoumány vlastnosti reziduí vybraného modelu za účelem zjištění, zda mají či nemají
předpokládané normální rozdělení. Pokud tomu tak není, snažím se zjistit, co je důvodem pro
zamítnutí hypotézy o jejich normalitě a jaké rozdělení by je lépe popisovalo. Teorii rozdělení
výnosů finančních časových řad jsem také věnoval část druhé kapitoly. Krátce jsem v ní popsal nejdůležitější rozdělení uvedená v odborné literatuře věnované finančním časovým
řadám a sám doplnil dvě rozdělení, o kterých se zdroje nezmiňují, ale u nichž se mi shodu s
analyzovanými časovými řadami podařilo prokázat.
Kapitoly 3 až 6 jsou věnovány empirické analýze českých finančních časových řad. Jsou analyzovány řady výnosů logaritmů cen podílových listů tří skupin podílových fondů – akciové,
dluhopisové a peněžní a také české akcie pro účel srovnání. Každá kapitola je zakončena nejdůležitějšími zjištěnými závěry platnými pro sledovanou skupinu.
Zhodnocení závěrů analýz všech podílových fondů je snahou nalézt shodné a rozdílné prvky
v chování časových řad, v jejich nepodmíněném rozdělení a v přístupu k vytváření jejich modelů. Jsou zde navrženy oblasti využití předkládané empirické analýzy v praxi a to jak na
straně manažerů fondů, tak i na straně investorů. Samozřejmě nechybí náměty dalšího výzkumu v této oblasti, které by měly odpovědět na otázky nezodpovězené v této práci.
3
1
Finanční časové řady
1.1 Otevřené podílové fondy
Otevřené podílové fondy jsou důležitým a v analýze finančních časových řad neprávem opomíjeným investičním nástrojem. Fenomén otevřených podílových fondů existuje v zahraničí
velmi dlouho, protože první fondy začaly vznikat již na přelomu 19. a 20. století v anglosaských zemích. V kontinentální Evropě, jako např. ve Francii, Švýcarsku nebo Německu
se tato kolektivní forma investování začala prosazovat výrazněji po II. světové válce.
K masivnímu rozšíření otevřených podílových fondů však dochází až na počátku devadesátých let 20. století. V posledním období dochází k velkému rozvoji této formy investování,
v USA předstihuje dokonce (spolu s penzijními a ostatními fondy) tradiční investice do termínovaných vkladů. Jen v samotném Německu působí v současné době již více než 3700
různě orientovaných podílových fondů.
První české podílové fondy byly zakládány v první polovině 90. let. Jejich rozvoj však nastává až po roce 1997. Vzhledem k jednoduchosti a výhodám kolektivního investování ve
fondech si tyto získávaly a získávají stále větší oblibu i u drobných investorů. „Jenom
v období od druhého kvartálu roku 1999 do poloviny roku 2000 stoupla souhrnná aktiva těch
fondů, které nevznikly z kupónové privatizace z 25 miliard Kč na 45 miliard Kč. V dubnu roku 2003 bylo v podílových fondech alokováno 100 miliard Kč, na konci roku 2006 pak 150
miliard Kč. Poslední údaj z internetových stránek Asociace fondů a asset managementu České
republiky (AFAM ČR) uvádí objem investic do českých fondů ve výši 150 miliard Kč
(AFAM ČR, 2006a). Vývoj investic v letech 1997 – 2003 je na obrázku 1.1.
Podílový fond definují Tepper a Kápl (1994) následovně: „Podílový fond tak shromažďuje
prostředky od veřejnosti prostřednictvím emise vlastních cenných papírů (podílových listů)
a takto získané prostředky investuje do účastí na podnikání jiných osob, tedy akcií, dále dluhopisů, finančních derivátů, movitých věcí a nemovitostí. Shromážděné prostředky
v podílovém fondu tvoří zvláštní majetek, který je oddělen jak od majetku investiční společnosti, tak i od majetku jiných fondů založených a spravovaných stejnou investiční společností.
Důležité je, aby podílové fondy byly dostatečně rozsáhlé, aby bylo možné najmout schopné
odborníky, kteří se ujmou managementu investic podílníků.“
Z hlediska možnosti vydávání nových podílových listů existují vedle otevřených také uzavřené podílové fondy. „Uzavřený podílový fond se vyznačuje tím, že má pevně stanovený počet
cenných papírů, který je vydáván do oběhu. Jejich majitelé je nemohou nabízet ke zpětnému
prodeji fondu, proto se s těmito cennými papíry obchoduje na veřejných trzích (v případě ČR
4
na Burze cenných papírů Praha nebo v RM-Systému). Kurs těchto cenných papírů je určován
nejen hodnotou majetku fondu, ale v konečné fázi vztahem mezi jejich nabídkou a poptávkou,“ popisuje tuto skupinu fondů Špička (1993). V této souvislosti je nutno podotknout, že
podle §35l Zákona o investičních společnostech a investičních fondech (zákon č. 248/1992
Sb.) musely být do 31. 12. 2002 všechny uzavřené fondy transformovány na otevřené a nelze
již zakládat nové.
Obr. 1.1 Vývoj objemu majetku korunových fondů členů UNIS ČR v letech 1997-2004
(zdroj: Dvořák, 2004)
Špička (1993) dále uvádí: „Na rozdíl od uzavřeného podílového fondu je u otevřeného neomezený počet jím emitovaných cenných papírů, tzv. podílových listů a každý majitel tohoto
listu má právo jej kdykoliv odprodat zpět investiční společnosti. Podílové listy OPF nejsou
obchodovatelné na veřejných trzích, to znamená, že se s nimi neobchoduje na burze cenných
papírů ani na mimoburzovním trhu. Cena podílového listu je denně vypočítávána jako čisté
obchodní jmění podílového fondu vydělené počtem emitovaných podílových listů. Tímto způsobem je stanovena cena, za kterou podílový fond odkupuje své podílové listy od jejich
majitelů.“ Právě jednoduchost obchodování s podílovými listy je základem oblíbenosti fondů
drobnými investory.
5
Jednotlivé typy fondů přesně vymezuje „Metodika klasifikace fondů závazná pro členy AFAM
ČR“ na internetových stránkách AFAM ČR (AFAM ČR, 2006b):
1) Akciové fondy: Fond trvale investuje na akciovém trhu minimálně 66% aktiv (tj. do akcií a
instrumentů nesoucích riziko akcií). Akciové fondy zahrnují i indexové a garantované
fondy vázané na akciové indexy. Doplňkově se stanovuje, zda fond patří do kategorie sektorových fondů, která zahrnuje akciové fondy investující výhradně do určitého
ekonomického sektoru. Geografická příslušnost je definována podle sídla emitenta akcií.
Investice do akcií mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu.
2) Dluhopisové fondy: Fond trvale investuje na trhu dluhopisů. Doplňkové investování do
akcií je možné, ale podíl akcií nesmí překročit 10% aktiv fondu. Dluhopisové fondy zahrnují i indexové a garantované fondy vázané na obligační indexy. Geografická příslušnost
je definována podle měny aktiv. Investice do měn zemí mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu. Při zařazení fondu je zohledněno zajištění proti pohybu kursu
jednotlivých měn.
3) Fondy peněžního trhu: Fond trvale investuje na trhu dluhopisů anebo na peněžním
trhu. Celková modifikovaná durace nesmí překročit hodnotu 1. (Při překročení tohoto limitu je fond klasifikován jako dluhopisový fond.) Geografická příslušnost je definována
podle měny aktiv. Investice do měn zemí mimo danou kategorii jsou vyloučeny. Při zařazení fondu je zohledněno zajištění proti pohybu kursu jednotlivých měn.
4) Smíšené fondy: Fond investuje do různých aktiv na různých trzích a nejsou stanoveny limity pro podíl akcií či dluhopisů. Geografická příslušnost je definována podle sídla
emitenta akcií a vzhledem k celkovému měnovému riziku. Investice do měn a akciových
trhů zemí mimo danou kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu.
5) Fondy fondů: Fond trvale investuje minimálně 66% aktiv do podílových listů a akcií fondů. Doplňkově se fondy fondů rozdělují podle toho, do jakých fondů investují,
na převážně akciové, převážně dluhopisové a smíšené. Geografická příslušnost je definována podle geografického rizika fondů. Investice do podílových listů a akcií mimo danou
kategorii nesmí překročit 10% aktiv fondu
Zařazení fondů mezi ostatní investiční nástroje z hlediska jejich rizikovosti a výnosnosti ukazuje obrázek 1.2.
6
Obr. 1.2 Vztah mezi výnosem a rizikem investičních nástrojů (zdroj: P. Popelka, 2003)
opce a termínované obchody
kmenové akcie
preferenční akcie, směnky, finanční spoluúčast
riziko
smíšené podílové fondy, fondy fondů
podnikové dluhopisy
výnosy
akciové podílové fondy
vkladové certifikáty, pojistky a renty, obligační fondy
státní a komunální dluhopisy
státní pokladniční poukázky, PF peněžního trhu
termínované vklady, vklady se státní zárukou
nemovitosti, drahé kovy, sbírky, starožitnosti
Do analýzy v disertační práci jsou zařazeny pouze akciové, dluhopisové a peněžní fondy. Aby
fondy mohly být zařazeny do analýzy musely splňovat několik důležitých podmínek:
1. Fondy musely být otevřené.
2. Podílové listy musely být obchodovatelné v české měně.
3. Muselo se jednat o fondy oceňované denně, tzn. že analyzovány jsou pouze denní časové řady.
4. Délka analyzované časové řady byla stanovena na 5 let, přičemž začátek sledovaného
období všech řad je 1.1.2001 a konec 31.12.2005. V případě prodloužení časových řad
směrem do minulosti, by muselo dojít ke snížení počtu analyzovaných fondů, protože
řada z nich nemá příliš dlouhou historii. Vymezené období je tak kompromisem mezi
délkou časových řad a jejich počtem. Pětiletým sledovacím obdobím byla zajištěna
dostatečná délka časových řad pro jejich analýzu a tvorbu modelů, aktuálnost i porovnatelnost, protože všechny kurzy se vyvíjely ve stejné době a tím i ve stejných
ekonomických podmínkách.
7
1.2 Mechanismus tvorby ceny podílového listu
Pohled na mechanismus tvorby ceny podílového listu dokazuje, jak rozdílný je tento investiční nástroj oproti akciím. Zatímco cena akcie je definována interakcí nabídky a poptávky
na akciovém trhu, stejný nástroj tvorby ceny podílových listů otevřených podílových fondů
nefunguje. Trh s podílovými listy je do značné míry omezen a je akciovému trhu velice vzdálen. Samotná podstata otevřeného fondu je taková, že pokrývá jakoukoliv poptávku investorů.
Otevřený fond vydává stále nové podílové listy a prostředky takto získané dále investuje.
Problematický vliv velkých investorů, kteří by měli zájem o masivní investice může fond
omezit stanovením maximálního objemu prodeje – tím i omezí pozdější zpětný odkup velkého množství podílových listů. Takovéto doporučení dává správcům fondů Asociace fondů
a asset managementu ČR v dokumentu „Doporučení pro členy AFAM ČR jak postupovat při
správě fondů kolektivního investování“ internetových stránkách AFAM ČR (AFAM ČR,
2006c): „Investiční společnost by měla zapracovat do statutu fondu ustanovení – notifikaci,
umožňující velkým investorů (např. nad 1 mil. EUR) nákup podílových listů pouze
se souhlasem investiční společnosti.“ Toto ustanovení umožňuje správci fondu odmítnout
prodej podílových listů velkým investorům v okamžiku, kdy by tato investice potenciálně
ohrožovala budoucí stabilitu fondu. Správce fondu je tak chráněn před neúměrně vysokými
vklady, které nemohou být okamžitě investovány a v budoucnu mohou znamenat neočekávaný jednorázový odliv prostředků z majetku fondu. Fond navíc nemůže podílové listy o své
vlastní vůli odkupovat zpět od svých investorů, ale ti je mohou bez omezení prodávat zpět
fondu. Právě téměř neomezená nabídka podílových listů na trhu degeneruje působení tržního
principu nabídky a poptávky na cenu.
Cena jednoho podílového listu otevřeného podílového fondu je odvozena jako podíl celkové
hodnoty majetku v držení fondu a počtu podílových listů, které mají v držení jeho investoři.
Hodnota majetku je určována zpravidla denně podle hodnoty portfolia podílového fondu. Jak
již bylo uvedeno v kapitole o jednotlivých typech fondů, podílové fondy mají předem stanovena pravidla pro tvorbu portfolia. Zákon číslo 189/2004 Sb. o kolektivním investování navíc
omezuje riziko ztrát investorů tím, že stanovuje limity pro držbu cenných papírů od jednoho
subjektu (firma, obec, stát, centrální banka) v portfoliu fondu. Manažer fondu jakožto správce
portfolia je tak do jisté míry omezen ve svém rozhodování kam alokovat finanční prostředky
získané prodejem podílových listů fondu.
Výše uvedený princip tvorby ceny dokazuje, jak rozdílný je způsob oceňování investice
do podílového listu a akcie. Vliv tržního mechanismu však do jisté míry na cenu podílových
listů působí. Portfolio některých fondů je z části tvořeno právě akciemi. V závislosti na podílu
8
akcií v portfoliu je cena podílového listu nepřímo formována i nabídkou a poptávkou na akciovém trhu. Vliv tržního mechanismu bude jistě významný u akciových fondů, kde podíl akcií
musí být minimálně 66%, menší však u fondu dluhopisového (akcie se na celkových aktivech
smějí podílet maximálně z 10%). U fondů peněžního trhu je tento vliv naopak zanedbatelný,
protože fond do akciových trhů nesmí vůbec investovat. Jeho investice jsou však namířeny
do trhů měnových, kde je cena definována také vlivem nabídky a poptávky.
Modelování a předpovědi časových řad podílových fondů se navíc nesoustředí na cenu jediného investičního prostředku (akcie, měnový kurz, cena komodity), ale na cenu portfolia,
které obsahuje desítky těchto prostředků z různých oblastí investování a různých trhů. To je
v odborné literatuře věnované modelování finančních časových řad daleko méně časté.
Tyto specifické vlastnosti definování cen podílových listů vybízejí k řadě otázek. Lze aplikovat modely primárně vytvořené pro akciové časové řady i na investiční nástroje, jejichž cena
je definována jiným než tržním způsobem? Mají takové časové řady podílových fondů nějaké
společné prvky s řadami akcií, které by použití statistických modelů ospravedlňovaly? Dokáží
uvažované modely popsat a předpovídat vývoj rozsáhlého portfolia namísto jediného investičního prostředku? Aplikace modelů na tento typ finančních časových řad by měla nalézt
odpovědi na tyto otázky.
1.3 Ekonomické indikátory při rozhodování investora
Řada ekonomických studií je věnována srovnávání nejrůznějších investičních nástrojů. Cílem
je řadit investiční nástroje podle různých kritérií, nalézat vhodné strategie investování apod.
V této souvislosti jsou jmenovány tři základní indikátory: výnosnost resp. výkonnost, rizikovost a likvidita investice. Tyto indikátory sehrávají významnou úlohu při rozhodování
investora. Nejsou zdaleka jedinými indikátory, které jsou v souvislosti s podílovými fondy
zmiňovány. Mezi další indikátory patří velikost fondu, délka existence, renomé investiční
společnosti, jméno a zkušenosti manažera fondu, investiční strategie, daňový domicil a další.
Jak je patrné z výčtu, nelze některé z nich vůbec kvantifikovat. Výkonnost, rizikovost a likvidita jsou důležité i pro manažery fondů při rozhodování o skladbě portfolia fondu.
Indikátorů výkonnosti investice je odvozeno velké množství. Správci fondů nejčastěji prezentují relativní výkonnost za určité období - od jednodenní, přes měsíční, roční až po výkonnost
fondu od okamžiku jeho založení. Všechny tyto ukazatele slouží k popisu historického vývoje
a fungování fondu. Zájmem investorů i manažerů může být i předpověď výkonnosti směrem
do budoucnosti. Z tohoto důvodu docházelo a dochází k aplikaci statistických metod modelování výnosů finančních časových řad. Přestože řada empirických studií upozorňuje na
nepredikovatelnost budoucího vývoje výnosů investic v delším časovém horizontu, jedno této
9
metodě upřít nelze. Napomáhá k pochopení zákonitostí chování časové řady a přináší dynamický pohled na historickou výkonnost investice. Významnou skupinou v této oblasti
modelování jsou klasické lineární modely podmíněné střední hodnoty, tedy modely typu
ARMA a ARIMA (Box-Jenkinsova metodologie). Časovou řadu generuje stochastický proces, tedy soubor náhodných veličin Xt uspořádaných v čase t. Podle těchto modelů závisí
podmíněná střední hodnota náhodné veličiny na čase. Je funkcí podmínky, že náhodné veličiny v časech předchozích nabyly konkrétních hodnot a je nazývána funkcí regresní. Např.
u procesu AR(1) vyjádřeného tvarem Xt = φXt-1 + εt je touto podmínkou hodnota náhodné veličiny v čase t-1. Detailně o modelech podmíněné střední hodnoty pojednávají např. Arlt
a Arltová (2003), včetně problémů spojených s jejich aplikací na finanční časové řady.
Je popsáno velké množství typů investičního rizika (inflační, finanční, měnové, systémové).
Mimořádné postavení mezi nimi zaujímá riziko kurzových změn neboli volatilita (Steigauf,
1999). Na trhu otevřených podílových fondů představuje jednu z největších hrozeb pro investora. Tomuto riziku se nelze vyhnout ani výběrem renomovaného investičního fondu
s dobrým jménem a dlouhou tradicí. Klasickým způsobem popisu volatility je směrodatná odchylka výnosů investice za sledované období. Přestože není možné klást rovnítko mezi
historickou volatilitou a budoucím rizikem investice, zůstává tento jednoduchý ukazatel základním ekonomickým indikátorem rizika. Sami manažeři fondů jej nejčastěji zmiňují
ve zprávách o svých fondech.
Z analýzy akciových časových řad, časových řad měnových kurzů a cen komodit je již dlouhou dobu známa skutečnost, že volatilita finančních časových řad se v čase mění. Interpretace
míry rizika investice prostřednictvím směrodatné odchylky tedy není dostatečná. Řešením tohoto problému je koncepce modelů volatility navržená v roce 1984 R. Englem a rozvíjená
novými modely i v současné době. Funkce skedastická je obdobou funkce regresní. Vyjadřuje
měnlivost (rozptyl) náhodné veličiny v závislosti na hodnotách náhodných veličin v časech
předchozích. Také podmíněný rozptyl časové řady je podle tohoto konceptu závislý na čase,
nejen podmíněná střední hodnota. Modelů navazujících na Engleho model typu ARCH je veliké množství. O tom, že se jedná o stále živou oblast statistického výzkumu svědčí i to, že
i v současné době jsou odvozovány další modely. Snahou o vytvoření co nejaktuálnějšího přehledu těchto modelů je kapitola 2.2 této práce.
Likvidita je vyjádřením rychlosti s jakou je investor schopen proměnit svou investici zpět
na peněžní prostředky při malém riziku ztráty na její hodnotě. Likvidita vyplývá ze způsobu
obchodování s investičním nástrojem. Na rozdíl od výkonnosti a rizika se s časem příliš nemění. Vzhledem k povinnosti fondů odkupovat zpět své podílové listy, je likvidita takovéto
10
investice velice vysoká. Cílem této práce není zabývat se likviditou investice do podílových
fondů, protože za sledované období nedošlo v oblasti podílových fondů k žádným významným změnám.
1.4 Nepodmíněné rozdělení finančních časových řad
Sledování nepodmíněného rozdělení je snahou o řešení řadu let známého problému časových
řad, kterým je jejich nenormalita. Normalita náhodné složky je přitom základní podmínkou lineárních modelů podmíněné střední hodnoty třídy ARMA a ARIMA. V historii modelů
časových řad lze vypozorovat tři směry, jak se s vlastnostmi rozdělení finančních časových
řad vypořádat.
Historicky první směr se zbývá přímo typem nepodmíněného rozdělení finančních časových
řad. Na nesplnění podmínky normality poprvé upozornil B. Mandelbrot v roce 1963. Všímal
si vlastností výnosů cen bavlny z přelomu 19. a 20. století. Poukázal především na výskyt
velkých změn v cenách (ať již kladných nebo záporných) – autor hovoří o „přemrštěné špičatosti“ cen. Rozdělení výnosů finančních řad má podle autora tlustší konce než rozdělení
normální. Výkyvy v cenách se navíc objevují častěji, než je popsáno normálním rozdělením,
takže
je
autor
nepovažuje
za
stochastické.
Mandelbrot
navrhl
použití skupiny
L-stabilních rozdělení (viz. kapitola 2.1) k popisu těchto nenormálních vlastností rozdělení
časových řad. Navíc prokázal, že po sobě jdoucí výnosy nejsou nezávislé a že rozptyl není
konstantní.
Navazující empirické studie prokázaly ve finančních časových řadách výskyt tzv. shluků oblastí s vyšším rozptylem než v okolí shluku. Jiní autoři doplňují výčet „nenormálních“
vlastností časových řad o významné zešikmení, které symetrické normální rozdělení není
schopno zachytit (Degiannakis, 2004; Theodossiou, 1998 a 2001). V odborné literatuře je tedy cítit jasná potřeba nalézt vhodné rozdělení, které by normální nahradilo a co možná nejlépe
popsalo chování časových řad. Nejvýznamnějším návrhům je věnována kapitola 2.1. Pohled
na grafy vývoje cen a výnosů logaritmů cen podílových listů dokazuje, že některé z výše uvedených „nenormálních vlastností“ finančních časových řad jsou přítomny i v této práci
analyzovaných časových řadách (viz přílohy 1 – 4).
Druhý směr je charakterizován snahou problém nenormality časových řad řešit prostřednictvím nových modelů. Engle (1984) navrhl model ARCH, který dokáže zachytit jednak
proměnlivou variabilitu časových řad a zároveň i jejich leptokurtické1 rozdělení. Doplnil tak
nedostatečné lineární modely typu ARMA a ARIMA, které popisují jen proměnlivou střední
1
Špičatost rozdělení je vyšší než normální (tedy 3).
11
hodnotu a variabilitu považují za konstantní. Nová třída modelů vycházející z modelu ARCH
je nazývána modely volatility nebo též modely podmíněného rozptylu. Jejich důležitou vlastností je, že podmínka normality zůstává zachována. Tím se odlišují od přístupu navrženého
Mandelbrotem.
Řada empirických studií prokázala, že časové řady simulované prostřednictvím procesů podmíněného rozptylu mají skutečně tlustší konce a jsou špičatější něž je tomu u normálního
rozdělení. Z českých prací jsou to především Arlt a Radkovský (1999) a Arlt a Arltová
(2003). Jiné studie, však ukázaly, že ani tyto modely nejsou schopny tvar rozdělení finančních
časových řad schopny plně zachytit.
Řešení spočívající ve spojení obou uvedených směrů dohromady navrhl D.B. Nelson (1991)
v článku „Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: a New Approach“ z roku 1991.
Nelson navrhl model volatility třídy EGARCH, který dokáže popsat proměnlivou variabilitu,
leptokurtické rozdělení výnosů a navíc vychází z předpokladu, že náhodná veličina modelu
nemá normální, ale Generalized Error rozdělení (GED). Tedy rozdělení v porovnání s normálním rozdělením špičatější a s tlustšími konci. Na základě tohoto přístupu lze odhadovat
parametry modelů volatility založené na jiném než normálním rozdělení nesystematické složky.
O významu a aktuálnosti tohoto přístupu svědčí i pohled na období a rozsah první implementace tohoto řešení do významných komerčních statistických programů orientovaných
na finanční časové řady.
Verze programu SAS 8.0 z roku 1999 umožňuje odhadovat parametry modelů volatility nejen
s normálním, ale i Studentovým t-rozdělením nesystematické složky. Modul G@RCH 2.0
programu Ox nabízí modifikace modelů volatility s GED, Studentovým t a zešikmeným Studentovým t rozdělením (Laurent a Peters, 2002). Tento modul byl vydán v květnu roku 2001.
Modul programu S-Plus vydaný společností Insightful v květnu roku 2002 pod názvem
S+FinMetrics 1.0 umožňuje vedle Studentova t a GED rozdělení použít navíc i dvojité exponenciální neboli Laplaceovo rozdělení nesystematické složky (Insightful, 2002). Společnost
StatSoft zařadila v srpnu 2004 do svého programu EViews 5.0 možnost odhadovat parametry
modelů volatility s GED a Studentovým t rozdělením.
Implementace jiných než normálních rozdělení do statistického software je důležitým krokem
pro využití vědeckých metod v ekonomické praxi. Umožnila i vznik této práce. Cílem tohoto
empirického výzkumu je vzájemné srovnání modelů založených na rozdílném rozdělení nesystematické složky. Myšlenka tohoto srovnávání je při tom v celku jednoduchá. Snahou je
nalézt odpovědi na následující otázky: Vedou nové předpoklady o nenormálním rozdělení nesystematické složky skutečně ke zlepšení odhadů
12
parametrů modelů? Jaké jsou rozdíly
v takto získaných odhadech? Je v konečném důsledku použití nového software skutečně potřebné pro analýzu finančních nástrojů?
1.5 Analýza Value at Risk
Value at Risk (VaR) analýza je nástrojem používaným od počátku 80. let minulého století řadou finančních institucí. Jde o statistickou metodu měření míry tržního rizika investic.
V jednoduchosti slouží tato metoda k odhadování velikosti ztráty (hodnoty VaR), které může
za na trhu nezměněných podmínek dosáhnout investor s určitou pravděpodobností v předem
stanoveném období. Analýzu VaR může jednak využít investor – majitel podílových listů k odhadu možné ztráty své investice. Jednak je užitečným nástrojem i pro samotné manažery
fondů k měření ztrát portfolia a stanovení hraničních propadů hodnoty portfolia pro případné
zásahy do jeho struktury. Odborná literatura jmenuje řadu modelů VaR – historická metoda,
VCV model (variančně-kovarianční), simulace Monte Carlo, metodologie RiskMetrics, ekonometrický model. V návaznosti na předmět zkoumání této práce má smysl podrobněji
se věnovat dvěma VaR metodám.
Historická metoda je nejjednodušší a nejtransparentnější metodou výpočtu hodnoty VaR.
Předpokládá, že budoucí rozdělení výnosů z investice je stejné jako nepodmíněné rozdělení
výnosů za určité období v minulosti časové řady. Jinými slovy předpokládá, že historie se
z pohledu rizika bude opakovat. K odhadu kvantilů není pak ani nutné znát konkrétní formu –
hustotu pravděpodobnosti resp. distribuční funkci rozdělení. Lze je odvodit i z histogramu.
Pokud je však navíc znám i konkrétní tvar nepodmíněného rozdělení v historii včetně jeho parametrů, lze podle této metody předpovídat hodnoty požadovaných kvantilů známého
rozdělení a na jejich základě pak vypočítat s požadovanou pravděpodobností ztrátu investice.
Z principu modelu vyplývá důležitá vlastnost rozdělení použitého pro předpověď. Důraz je
kladen především na jeho konce – v případě počítání ztráty pak konkrétně na jeho levý konec.
Vzhledem k již dlouhou dobu známým vlastnostem rozdělení finančních časových je zjevné,
že modely s normálním rozdělením vedou k podhodnocení odhadnutých ztrát. Hledání vhodného nepodmíněného rozdělení výnosů podílových fondů, které dobře popisuje chování
„problematických konců“ a odhad jeho parametrů je užitečné právě pro aplikaci historické
metody VaR. To je také jeden z důvodů, proč se řada autorů snaží o přejímání rozdělení z jiných oborů nebo o odvození nových rozdělení.
Jiný přístup k počítání hodnoty VaR uvádí Tsay (2002) pod názvem ekonometrický přístup
(econometric approach). Pro výpočet hodnoty VaR používá modely podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu (viz kapitola 2.2). Pokud je podmíněné rozdělení výnosů rt
13
investice v budoucím období normální se střední hodnotou rˆt (1) odhadnutou modelem podmíněné střední hodnoty a rozptylem σˆt2 (1) odhadnutým pomocí modelu podmíněného rozptylu tedy N [rt (1); σˆ t2 (1)] , pak lze s pomocí těchto parametrů vypočítat odpovídající kvantil
a stanovit míru tržního rizika spojenou s portfoliem na jedno období dopředu poměrně jednoduchým způsobem. Např. 5%-ní kvantil se vypočte podle jednoduchého vzorce
rˆt (1) − 1, 65σˆ t (1) . Stejně tak lze vypočítat p%-ní hodnotu VaR na jedno období dopředu pro jiné rozdělení. Např. pro Studentovo t rozdělení podle tvaru: rˆt (1) −
tv ( p)σˆ t (1)
, kde tv(p) je p%
v /(v − 2)
kvantil Studentova t rozdělení s v stupni volnosti. Výpočet hodnoty VaR pro delší období
(v praxi se využívá např. 10ti denní předpověď) je obdobný. Předpovědi podmíněné střední
hodnoty rˆt (h) a podmíněného rozptylu σˆt2 (h) v časovém horizontu h na základě odpovídajících modelů jsou však složitější. Více na problémy předpovědí upozorňuje kapitola 2.2.
Uvedený výčet je pouhým naznačením využití dvou oblastí výzkumu této disertační práce
v analýze VaR. Jak konkrétní formy nepodmíněného rozdělení výnosů podílových fondů, tak
i hledání vhodných modelů podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu mají v této
analýze využití na straně investorů i manažerů fondů.
1.6 Předpovídání v časových řadách
O využití předpovědí budoucího vývoje cen investičních nástrojů již bylo detailně pojednáno
v předchozích kapitolách včetně upozornění na studie dokazující nepredikovatelnost budoucího vývoje cen investičních nástrojů a neslučitelnost minulého a budoucího vývoje finančních
časových řad. Krátkodobé předpovědi však mají široké ekonomické uplatnění, např. jednodenní v analýze VaR. Přesnost předpovědi je závislá na variabilitě procesu, neboli rizikovosti
investice. Čím je rizikovost investice (volatilita časové řady) vyšší, tím jsou předpovědi méně
přesné a naopak. Vzhledem k tomu, že samotná časová řada neobsahuje informace o vlivech
působících na cenu akcie nebo podílového listu (vlivů je velké množství a všechny není možné pospat), bylo by krátkozraké předpovídat jen budoucí hodnoty bez předpovídání volatility
časové řady. V praxi má daleko větší význam konstrukce předpovědních intervalů. Předpovědní interval je vlastně rozmezím, ve kterém se s určitou pravděpodobností (např. 95%)
budou podmíněné střední hodnoty pohybovat. Výskyt jakékoliv ceny podílového listu uvnitř
tohoto intervalu je stejně pravděpodobný. K odhadování předpovědních intervalů je nutná
znalost budoucího podmíněného rozptylu, který lze předpovídat s pomocí modelů volatility.
Tzv. statická předpověď slouží ke stanovení předpovědních intervalů v minulosti a je imple14
mentována v komerčních statistických programech. Grafy historického vývoje cen nebo výnosů podílových listů patří mezi standardní nástroje informování investorů o výsledcích
hospodaření fondu. Doplnění o předpovědní meze získané statickou předpovědí, by mohlo investorům více napovědět i o rizikovosti investice. S využitím nových statistických programů
by podobné informace mohly být již brzy k dispozici.
Konstrukce předpovědních intervalů je významným nástrojem i pro správce nebo manažera
fondu. Ve svém důsledku může být podpůrným nástrojem pro tvorbu portfolia fondu. Jakýkoliv pokles mimo hranice předpovědního intervalu naznačuje manažerovi statisticky významný
výkyv ceny portfolia a může být signálem pro nutnost přijmout nápravná opatření. Nejvýznamnějším je změna části portfolia za účelem návratu k vyšší hladině ceny podílového listu.
V tomto bodě se jedná o širší pohled na VaR analýzu.
15
2 Teoretické základy analýzy otevřených podílových fondů
a akcií
2.1 Nepodmíněné rozdělení výnosů finančních časových řad
V této kapitole bude věnován prostor vybraným teoretickým rozdělením. Cílem není odvodit
nové rozdělení pro popis chování analyzovaných časových řad, ale vytvořit přehled nejvýznamnějších doposud aplikovaných rozdělení. Tradiční předpoklad analýzy finančních
časových řad říká, že výnosy jsou nezávislé a identicky normálně rozdělené s konstantní
střední hodnotou µ a rozptylem σ2, jak udává např. Tsay (2002). Valná většina modelů finančních časových řad byla vystavěna právě na tomto předpokladu. Předpoklad normality
rozdělení je základním stavebním kamenem teorie finančních časových řad.
Na nesplnění podmínky normality poprvé upozornili Mandelbrot (1963) a Fama (1965) a po
nich řada dalších autorů v empirických studiích. Řada autorů se v odborných publikacích
a monografiích snaží nalézt vhodné rozdělení, které by normální nahradilo a co možná nejlépe
popsalo chování časových řad. Nejde přitom jen o popis, ale také o vytvoření základů ke konstrukci modelů finančních řad, ať již jde o modely podmíněné střední hodnoty (úrovně) nebo
podmíněného rozptylu (volatility).
Následující výčet se snaží zachytit nejvýznamnější rozdělení, která jsou v souvislosti s finančnímu časovými řadami zmiňována. Některá z nich (Studentovo t rozdělení, GED
rozdělení, Laplaceovo, zešikmené Studentovo t rozdělení) již byla implementována do statistických programů sloužících k analýze finančních časových řad. Další (především zešikmená
rozdělení) na svou širší implementaci stále čekají a některá již byla překonána
(L-stabilní rozdělení). Ve výčtu jsou uvedeny i příklady aplikací rozdělení na konkrétní časové řady, tak jak se objevily v odborné literatuře.
Dvě rozdělení byla doplněna přímo v souvislosti s touto prací. Jde o logaritmicko-logistické
a zobecněné logistické rozdělení se třemi parametry. Jejich aplikaci v oblasti finančních časových řad se v literatuře nepodařilo nalézt. V této práci se však podařilo prokázat shodu
s nepodmíněným rozdělením výnosů některých časových řad a tedy jejich vhodnost pro popis
jejich vlastností.
Zdaleka ne všechna v této kapitole uvedená rozdělení bylo možno využít pro potřeby této práce. Pro analýzu výnosů českých podílových fondů a akcií byla použita jen taková rozdělení,
jejichž parametry bylo možné odhadnout pomocí programu Statgraphics Centurion XV. Jejich
výčet je uveden v této kapitole a podle názoru autora dobře pokryla potřeby zde uvedené analýzy.
16
2.1.1 Normální rozdělení (Normal Distribution)
Základním, tradičním předpokladem při tvorbě modelů podmíněné střední hodnoty a podmíněného rozptylu finančních časových řad je, že logaritmy výnosů mají normální (někdy též
nazývané Gaussovo) rozdělení s konstantní střední hodnotou µ a konstantním rozptylem σ2.
Většina modelu finančních časových řad byla na tomto předpokladu vystavěna. Hustota pravděpodobnosti normálního rozdělení má tvar (StatPoint, 2005):
−
1
f ( x; µ , σ ) =
e
2πσ
( x − µ )2
2σ 2
.
(2.1)
V tomto tvaru platí pro parametr směrodatné odchylky podmínka σ > 0. Aplikace tohoto rozdělení na finanční časové řady je obsáhlá. Z nepřeberného množství článků a publikací je
nutno uvést významnou českou prací v této oblasti, knihu „Finanční časové řady“ (Arlt a Arltová, 2003).
2.1.2 Logaritmicko-normální rozdělení se třemi parametry (Lognormal
Distribution – 3-parameter)
Toto rozdělení je doplněné logaritmicko-normální rozdělení o parametr prahu θ (StatPoint,
2005). Díky této úpravě popisuje rozdělení všechny reálné hodnoty náhodné veličiny x (tedy
narozdíl od základního logaritmicko-normálního i záporné hodnoty výnosů). Rozdělení je navíc schopno popsat i kladně zešikmená data. Toto rozdělení je prostřednictvím hustoty
pravděpodobnosti f(x) definované následovně:
−
1
f ( x; µ , σ ,θ ) =
e
( x − θ ) 2πσ
(ln( x −θ ) − µ )2
2σ 2
.
(2.2)
O logaritmicko-normálním rozdělení píše v souvislosti s analýzou finančních časových řad
např. Tsay (2002) v první kapitole: „Jiný běžně používaný předpoklad je, že výnosy logaritmů
cen rt jsou nezávislé a mají normální rozdělení. Výnosy pak mají logaritmicko-normální rozdělení.“
2.1.3 Logaritmicko-logistické rozdělení se třemi parametry (Loglogistic
Distribution – 3-parameter)
Obdobně jako výše uvedené logaritmicko-normální rozdělení je toto rozšířeným tvarem logaritmicko-logistického rozdělení o parametr prahu θ. Popisuje rozdělení všech reálných hodnot
náhodné veličiny x (StatPoint, 2005):
f ( x; µ , σ ,θ ) =
1
exp( z )
ln( x − θ ) − µ
, kde z =
.
2
σ x [1 + exp( z )]
σ
17
(2.3) a (2.4)
Toto rozdělení je stejně jako logaritmicko-normální (2.2) kladně zešikmené. Jeho využití
k popisu finančních časových řad se v odborné literatuře nepodařilo nalézt. Důvodem je patrně i skutečnost, že popisuje právě jen kladnou šikmost. Vzhledem k tomu, že v této práci
se aplikace logaritmicko-logistického rozdělení ukázala být jednou z vhodných alternativ pro
většinu řad otevřených podílových fondů a akcií (testy shody vycházely statisticky významné), bylo nutné zde toto rozdělení také jmenovat.
2.1.4 Zobecněné logistické rozdělení (Generalized Logistic Distribution)
Toto rozdělení se třemi parametry µ, κ, γ je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru
(StatPoint, 2005):
f ( x; µ , γ , κ ) =
γ
exp(−( x − µ ) / κ )
.
κ [1 + exp(− ( x − µ ) / κ )]1+γ
(2.5)
Parametr µ je parametrem polohy. Pro parametr měřítka κ platí κ > 0 a podmínka pro parametr tvaru rozdělení γ je γ > 0. Parametr γ ovlivňuje zešikmení rozdělení, pro hodnotu γ = 1 je
rozdělení symetrické. Pokud je γ > 1 jde o kladné zešikmení a pokud 0 > γ > 1 jedná se o zešikmení záporné.
Stejně jako v případě logaritmicko-logistického rozdělení není ani u tohoto rozdělení využití v
analýze finančních časových řad příliš veliké. Nepodařilo se nalézt článek nebo monografii,
kde by bylo v takovém kontextu zmíněno. Přesto se zdá být pro tuto oblast vhodnější než
předchozí rozdělení právě proto, že je schopno popsat jak kladně, tak i záporně zešikmené
výnosy. Z důvodů zjištěné a popsané shody s rozdělením analyzovaných řad českých podílových fondů a akcií, je zde i toto rozdělení zmíněno.
2.1.5 Laplaceovo rozdělení (Laplace Distribution)
Laplaceovo (dvojité exponenciální) rozdělení s parametry střední hodnoty µ a měřítka λ > 0 je
symetrickým rozdělením, se špičatostí vyšší než má normální rozdělení i výše uvedené formy
logistického rozdělení (2.6) a (2.5). Tvar jeho hustoty pravděpodobnosti je (StatPoint, 2005):
f ( x; µ , λ ) =
λ −λ x−µ
e
.
2
(2.7)
Laplaceovo rozdělení se v literatuře objevuje často jako jedna z forem obecnějších rozdělení2
doporučovaných pro popis chování finančních časových řad.
2
Exponential Power (2.8), zobecněné t rozdělení (2.12), zešikmené zobecněné t rozdělení (2.16).
18
2.1.6 Exponenciální mocninné rozdělení (Exponential Power
Distribution)
Jde o symetrické tříparametrické rozdělení, ve kterém parametr tvaru β ovlivňuje špičatost
rozdělení. Je také někdy nazýváno zobecněným rozdělením chyb (Generalized Error Distribution zkráceně GED) (2.32). Tvar uvedený v (StatPoint, 2005) je:
 1 x−µ
1
exp  −
f ( x; β , µ , φ ) =
 2 φ
 1 + β  1+(1+ β ) / 2

Γ 1 +
φ
2
2 

2 /(1+ β )

.


(2.8)
Ve výše uvedeném tvaru je Γ(.) gama funkcí3, µ je parametrem střední hodnoty a φ > 0 je parametrem měřítka. Pro parametr tvaru β platí -1 ≤ β ≤ 1. Pokud β = 1, jde o Laplaceovo
rozdělení (2.7), pokud β = 0 jedná se o normální rozdělení (2.1) a když β = -1, pak jde o rovnoměrné rozdělení.
Řada autorů se věnovala modelování rozdělení finančních časových řad pomocí Exponential
Power (zkráceně EP) rozdělení. Mezi jinými to byl Nelson (1991), který na řady amerických
akcií aplikoval svůj asymetrický exponenciální GARCH model. Hsieh (1998), Theodossiou
(1994), Koutmos a Theodossiou (1994) tímto rozdělením popsali rozdělení zahraničních měnových kurzů. Akgiray a kol. (1991) ukázali, že EP rozdělení mají i časové řady cen drahých
kovů.
2.1.7 L-Stabilní rozdělení (L-Stable Distribution)
Aplikace skupiny stabilních rozdělení je jedním z historicky prvních pokusů o zachycení rozdělení finančních časových řad, které je špičatější má tlustší konce než rozdělení normální.
Použití tohoto rozdělení navrhl Mandelbrot (1963) ve své práci „The Variation of Certain
Speculative Prices“. Použil rozdělení vytvořené Paulem Lévym (1924) ve 30. letech 20. století a po něm jej také označil jako L-stabilní. Hustota pravděpodobnosti a distribuční funkce
rozdělení není známá, při praktických aplikacích se často používá parametrizace s charakteristickou funkcí ve formě (Arlt a Radovský, 1999):



α 
1−α
 απ 
signu u − 1   pro α ≠ 1
exp  − u 1 + i β tan 

 2 




E [exp(iuX )] = 
,

2

α



exp  − u 1 + iβ signu ln u   pro α = 1

π




(
3
Gama funkci Γ(.) popisuje mj. Čermák (1993) na straně 98.
19
)
(2.9)
−1 pro u < 0

kde signu =  0 pro u = 0 .
 1 pro > 0

Právě parametr α ovlivňuje tloušťku konců rozdělení a jeho hodnota se pohybuje v rozmezí
0 < α ≤ 2. Parametr β je parametrem zešikmení a platí pro něj -1 ≤ β ≤ 1. Je-li jeho hodnota
β = 0, pak je L-stabilní rozdělení symetrické. Pokud pro parametry platí α = 2 a β = 0, pak
se rozdělení redukuje na normální (2.1). Pokud α = 1 a β = 0 jedná se o Cauchyho rozdělení
(2.10). Různé tvary rozdělení jsou dobře patrné z následujících grafů.
Obr. 2.1 L-stabilní rozdělení. Tvar v závislosti na jednotlivých parametrech (Dottorato, 2006)
Problémem, který zabránil používání tohoto rozdělení při analýze finančních časových řad, je
diskutabilní vlastnost jeho rozptylu a momentů vyššího řádu. Arlt a Arltová (2003) k tomuto
uvádějí: „Výběrový rozptyl a výběrová charakteristika špičatosti dat generovaných nenormálním stabilním rozdělením s rostoucím rozsahem datového souboru (výběru) nekonvergují,
nýbrž rostou do nekonečna. Odpůrci stabilního rozdělení argumentují empirickými studiemi,
ve kterých se snaží prokázat, že v praktických situacích rozptyl konverguje a že s rostoucím
časovým horizontem se logaritmus výnosu blíží k normálnímu rozdělení.“
20
2.1.8 Cauchyho rozdělení (Cauchy Distribution)
Toto rozdělení má také delší a tlustší konce než rozdělení normální. Jedná se o velice známý
případ L-stabilního rozdělení (2.9). Hustota pravděpodobnosti je definována funkčním předpisem (StatPoint, 2005):
−1
1
f ( x;θ , β ) =
πβ
 x − θ  2 

 + 1 .
 β 

(2.10)
Parametr θ je modem rozdělení a β je parametrem měřítka. Střední hodnota tohoto rozdělení
není definována a rozptyl je nekonečný, což je obecná vlastnost této skupiny rozdělení.
2.1.9 Studentovo t rozdělení (Student’s t Distribution)
Aplikace t rozdělení a jeho zobecnění pro finanční časové řady je v současné praxi velice častá. Diskuze o vhodnosti či nevhodnosti L-stabilního rozdělení vedla podle Arlta a Arltové
(2003) k hledání jiných rozdělení, které by zachycovaly vlastnosti finančních časových řad
lépe než normální rozdělení, ale měla by konečný rozptyl a momenty vyššího řádu. V této
souvislosti hovoří autoři právě o Studentovu t rozdělení. Hustota pravděpodobnosti má tvar
(StatPoint, 2005):
 v +1 
− ( v +1)
Γ
2
 
2

 2  1+  x 
,
f ( x; v) =


 
1
v    v  
2 
(vπ ) Γ  
2
(2.11)
kde v ≥ 1 a jde o stupně volnosti a x je náhodná veličina, pro kterou platí -∞ < x < ∞. Je li parametr rozdělení v = 1, pak se jedná o Cauchyho rozdělení (2.10), je-li v → ∞, jde o normální
rozdělení.
Praktické aplikace v oblasti finančních časových řad přinesl např. Bollerslev (1987) a Baillie
a Bollerslev (1989). V obou případech bylo pomocí Studentova t rozdělení modelováno rozdělení zahraničních měnových kurzů. T rozdělení je nejčastěji implementovaným rozdělením
v aplikacích určených pro modelování časových řad.
2.1.10 Zobecněné t rozdělení (Generalized t Distribution)
V současné odborné literatuře se dále objevují různá zobecnění Studentova t rozdělení. Zdá
se, že toto je vhodná cesta k nalezení obecného rozdělení vhodného pro popis finančních řad.
Podle Wanga a Romagnoliho (2005) má zobecněné t rozdělení hustotu pravděpodobnosti:
f ( x; σ , p, q) =
p
p
x 

1/ 2  1
2σ q B  , q  1 +

p
 p   qσ 
21
q +1/ p
(2.12)
Význam parametrů a tvar rozdělení popisují autoři následovně: “σ je směrodatná odchylka,
parametry p a q definují tvar rozdělení. Rozdělení je symetrické a unimodální. Čím vyšší jsou
hodnoty parametrů p a q, tím má rozdělení tenčí konce. Čím nižší jsou hodnoty parametrů p
a q, tím má rozdělení tlustší konce.“
Toto rozdělení zastřešuje podle autorů skupinu jednodušších rozdělení. Pokud platí q = ∞ jde
o Exponential Power rozdělení (2.8). Pokud p = 2 a σ = α 2 jedná se o původní Studentovo
t rozdělení (2.11). Zobecněné t rozdělení s parametry q = ∞, p = 1 je Laplaceovým rozdělením
(2.7). Pro q = ∞, p = 2, σ = α 2 se jedná o normální rozdělení (2.1). V případě, že q = 1/2
a p = 2, σ = α 2 jde o rozdělení Cauchyho (2.10).
Toto rozdělení bylo aplikováno např. na časové řady amerických burzovních indexů (Bollerslev, Engle a Neslon, 1994).
2.1.11 Zešikmené t rozdělení (Skewed t Distribution)
Autoři Lambert a Laurent (2000, 2001) na základě článku „On Bayesian modeling of fat tails
and skewness“ Fernándeze a Steely (1998) navrhli aplikaci zešikmeného t rozdělení při analýze finančních časových řad. Podle autorů nejsou logaritmy výnosů jen leptokurtické4, ale také
asymetrické. Zmíněné rozdělení má hustotu pravděpodobnosti definovanou funkčním předpisem:
Γ ((v + 1) / 2)  2 s   sx + m − dt 
f ( x; v, g ) =
1+
g 

−1 
v−2
Γ(v / 2) π (v − 2)  g + g  

− ( v +1) / 2
.
(2.13)
V tomto tvaru je g parametrem asymetrie a v > 2 reprezentuje stupně volnosti. Pro exponent dt
platí: dt = 1 pokud x ≥ –m/s a jinak je dt = -1. Dále platí:
m = Γ((v − 1) / 2) (v − 2)(Γ(v / 2) π ) −1 ( g − g −1 ) a
(2.14)
s = g 2 + g −2 − m 2 − 1 .
(2.15)
Praktickou aplikaci tohoto rozdělení ve spojení s modely volatility publikoval mj. Degiannakis (2004). Na časové řady burzovních indexů CAC40, DAX30 a FTSE100 aplikoval
FIAPARCH model založený na zešikmeném t rozdělení nesystematické složky.
2.1.12 Zešikmené zobecněné t rozdělení (Skewed Generalized t
Distribution)
P. Theodossiou (1998) zjišťoval vhodnost zobecněného zešikmeného t rozdělení pro analýzu
finančních časových řad a aplikoval jej na burzovní indexy S&P500 (USA), TSE300 (Kanada), Topix (Japonsko) a na měnové kurzy japonského jenu a kanadského dolaru vůči
4
Špičatost rozdělení je vyšší než normální (tedy 3).
22
americkému dolaru. Toto rozdělení má podle autora dvě funkce hustoty pravděpodobnosti
v závislosti na znaménku náhodné veličiny x:
f ( x; k , v, λ , σ 2 ) =
(
C (1 + (k /(v − 2))θ
C 1 + (k /(v − 2))θ − k (1 − λ )− k x / σ
−k
(1 + λ )
−k
x /σ
)
)
k − ( v +1) / k
k
− ( v +1) / k
pro x < 0
(2.16)
pro x ≥ 0
kde:
−3
1
 1 v  2  3 v − 2 2
−1
C = 0,5kB  ,  B  ,
 S (λ )σ ,
k k
k k 
1
1
(2.17)
−1
 k k  1 v 2  3 v − 2  2
−1
θ =
 B ,  B ,
 S (λ ) ,
v−2  k k   k k 
(2.18)
1
2
−1
−1 2

 2 v −1   1 v 
3 v−2 
S (λ ) =  1 + 3λ 2 − 4λ 2 B  ,
B
,
B
,
 


  .

k
k
k
k
k
k





 

(2.19)
Ve výše uvedených tvarech je B(.) beta funkcí5.Vlastnosti parametrů uvádí autor následovně:
„Parametry k a v kontrolují výšku a konce rozdělení. Parametr zešikmení λ kontroluje rychlost poklesu hustoty pravděpodobnosti kolem hodnoty x = 0.“ Na parametry jsou kladeny
následující omezující podmínky: k > 0, v > 2 a -1 < λ < 1.
Toto rozdělení zastřešuje dle autora řadu příbuzných rozdělení, mezi jinými i Studentovo t
(λ = 0 a k = 2), Exponential Power (λ = 0 a v = ∞), Laplaceovo (λ = 0, k = 1 a v = ∞), Cauchyho (λ = 0, k = 2 a v = 1), normální (λ = 0, k = 2 a v = ∞) a rovnoměrné rozdělení (λ = 0,
k = ∞ a v = ∞),
Odhad parametrů zešikmeného zobecněného t rozdělení se provádí maximalizací věrohodnostní funkce (2.20). Její tvar lze použít k odvození věrohodnostní funkce libovolného
modelu volatility. Odhad parametrů modelu při znalosti jeho věrohodnostní funkce nabízí
i program EViews prostřednictvím objektu „Log Likelihood (LogL)“. Stavba modelů založených na takovémto rozdělení však vyžaduje detailnější studium dané problematiky
a překračuje rámec této disertační práce. Každopádně se jedná o zajímavý námět pro další výzkum v oblasti finančních časových řad.
− ( v +1) / k
T
 

k
−k
k 
L(k , v, λ , σ ) = ∑ log  C  1 +
θ − k (1 + sign( xt )λ ) xt / σ 

  v−2

t =1


5
Beta funkci B(.) popisuje mj. Čermák (1993) na straně 110.
23
(2.20)
V rovnici věrohodnostní funkce (2.20) je C definováno vztahem (2.17) a θ vztahem (2.18).
T je délka časové řady, xt = zt + µ , kde µ je střední hodnota rozdělení6, zt = yt − y a y je
výběrový průměr hodnot časové řady.
2.1.13 Zešikmené Generalized error distribution (Skewed Generalized
Error Distribution)
Toto rozdělení odvodil P. Theodossiou (2001) a aplikoval jej na různé finanční časové řady
mj. na akcie firmy Boeing, Dow-Jonesův index, burzovní indexy S&P500 a S&P100 a také na
měnové kurzy britské libry a japonského jenu vůči americkému dolaru. Svou prací prokázal,
že výnosy logaritmů cen těchto časových řad jsou leptokurtické a zešikmené a řídí se právě
tímto rozdělením. Hustotní funkce má tvar:
f ( x; µ , σ , k , λ ) =

C
1
x − µ + δσ
exp  −
k
k k

σ
sign
x
µ
δσ
λ
θ
σ
1
−
(
−
+
)
[
]

k

 , (2.21)


kde platí:
−1
k 1
C=
Γ  ,
2θ  k 
1
(2.22)
−1
 1 2  3  2
θ = Γ   Γ   S ( λ ) −1 ,
k k
(2.23)
δ = 2λ AS (λ )−1 ,
(2.24)
S (λ )−1 = 1 + 3λ 2 − 4 A2 λ 2 ,
(2.25)
−1
−1
 2 1 2  3 2
A = Γ Γ  Γ  .
k k
k
(2.26)
Autor dále uvádí náležitosti jednotlivých parametrů a jejich vliv na tvar rozdělení. „Pro parametry měřítka tohoto rozdělení platí: k > 0 a -1 < λ < 1. Záporná hodnota parametru λ značí
záporné zešikmení a kladná zešikmení kladné. Parametr k kontroluje výšku a tloušťku konců
rozdělení. Pokud λ = 0 a k = 1 jde o Laplaceovo rozdělení. Je-li λ = 0 a k = 2 pak jde o normální rozdělení a když λ = 0 a k = ∞ jedná se o rovnoměrné rozdělení.“
Ve stejném článku je uveden i tvar věrohodnostní funkce tohoto rozdělení (2.27). Odhad parametrů zešikmeného GED rozdělení však není v nabídce žádného statistického programu,
které byly pro tuto disertační práci k dispozici7. S pomocí uvedené věrohodnostní funkce
6
Autor uvádí, že střední hodnota rozdělení je:
µ ≡ E ( x ) = 2λ S (λ ) −1 B(2 / k , (v − 1) / k )B(1/ k , v / k ) −1/ 2 B(3 / k , (v − 2) / k ) −1/ 2 σ 3 .
7
Statgraphics Centurion XV, S-Plus 4.5, EViews 5.0
24
(2.27) však je možné odhadovat nejen parametry rozdělení a po její úpravě i celých modelů
finančních časových řad založených na zešikmeném GED rozdělení. K odhadu lze využít
např. program EViews.
1
L(k , λ , µ , σ ) = T ln C − T ln σ − k k
θ σ
T
yt − µ + δσ
t =1
(1 + sign( yt − µ + δσ )λ )
∑
k
k
(2.27)
V tomto tvaru je C, θ a δ dáno tvary (2.22), (2.23) a (2.24), T je délka časové řady a yt jsou
hodnoty časové řady v čase t.
2.1.14 Směs rozdělení (Mixture of Distributions)
Mimo uvedená rozdělení se objevují i návrhy na použití směsice rozdělení. Tsay (2003) jmenuje směs normálních rozdělení, ve které jsou logaritmy výnosů rt normálně rozděleny se
střední hodnotou µ a rozptylem σ2. Navíc je však rozptyl σ2 popsán nějakým kladným rozdělením (např. Gama rozdělením). Autor uvádí jednoduchý příklad konečné směsi dvou
normálních rozdělení:
rt : (1 − α ) N ( µ ; σ 12 ) + α N (µ ;σ 22 ) ,
(2.28)
kde 0 ≤ α ≤ 1, σ12 je relativně nízký a σ22 je relativně vysoký rozptyl. Pokud je pak například
α = 0,05, popisuje toto rozdělení situaci, kdy 95% výnosů má rozdělení N(µ;σ12) a zbylých
5% výnosů má N(µ;σ22). Valná většina výnosů má tedy jednoduše normální rozdělení. Relativně vysoká hodnota rozptylu σ22 zajišťuje, že toto rozdělení má tlustší konce než klasické
normální rozdělení. Směsi rozdělení mají konečný rozptyl i vyšší momenty a zároveň dokáží
popsat vyšší špičatost. Problémem je odhad parametrů takových rozdělení, např. parametru α
u konečné směsi rozdělení.
25
2.2 Modely volatility
V této kapitole je uveden přehled modelů finančních časových řad. Jedná se o tzv. modely volatility, tedy modely popisující variabilitu finančních časových řad. Narozdíl od modelů
podmíněné střední hodnoty, jejichž nejznámějším zástupcem je třída modelů ARMA,
se modely volatility zabývají modelováním podmíněného rozptylu.
Základem rozsáhlé skupiny modelů volatility je model ARCH, který v roce 1982 sestavil R.F.
Engle (1982). Jeho model dokázal jako první popsat měnící se variabilitu časových řad, která
je odrazem nejistoty a rizika vyskytujícího se ve finančních časových řadách.
Vzhledem k faktu, že modely volatility charakterizují vývoj podmíněného rozptylu stochastického procesu, jedná se vlastně o modely nelineární. Přesto se v této skupině modelů
rozlišují lineární a nelineární modely. Lineární modely vycházejí z jednoduchého funkčního
vztahu, kdy je podmíněný rozptyl lineární funkcí zpožděných čtverců reziduí stacionárního
autoregresního procesu. Mezi nejznámější lineární modely volatility patří vedle již zmíněného
ARCH modelu také modely GARCH (Bollerslev, 1986), GARCH-M (Engle, Lilien a Robins,
1983) a (Engle a Lee, 1993). Tyto modely byly také zahrnuty do komerčního statistického
software.
Pokud je funkce podmíněného rozptylu a zpožděných čtverců reziduí stacionárního autoregresního procesu nelineární, jde o tzv. nelineární modely volatility. Ty jsou schopny zachytit
empiricky popsanou vlastnost některých finančních časových, která spočívá v přítomnosti
různých asymetrických efektů. Nejznámější popsal Black (1976) jako „leverage efect“ tedy
česky „pákový efekt“, při kterém se kladné a záporné šoky nepromítají do podmíněného rozptylu časové řady symetricky, jak to popisují lineární modely volatility. Lineární modely
nejsou takovouto asymetrii schopny popsat, protože jimi popsaný podmíněný rozptyl je závislý na čtverci šoků a nerozlišuje tedy, zda je hodnota šoků kladná nebo záporná. Mezi
nejvýznamnější nelineární modely patří modely EGARCH (Nelson, 1991), GRJ-GARCH
(Glosten, Jaganathan a Runkle, 1993) a APARCH (Ding a spol., 1993). Přičemž poslední
jmenovaný v sobě zahrnuje jak nelineární, tak i lineární modely. Tato trojice modelů byla
uvedena také z toho důvodu, že odhady jejich parametrů jsou analytikům dostupné díky programu EViews, který byl hlavním nástrojem pro modelování v této disertační práci.
Další skupinou, kterou je v množině modelů podmíněného rozptylu možné vymezit, jsou integrované a frakcionálně integrované modely (I a FI). Z historického pohledu jsou tyto
modely jakousi nadstavbou nad lineárními a nelineárními modely volatility, ze kterých byly
konec konců odvozeny. Účel tvorby takových modelů je zjednodušeně řečeno popsat perzistenci rozptylu. Tedy situaci, kdy vliv šoků na podmíněný rozptyl přetrvává velice dlouho
26
a dlouhodobá předpověď rozptylu časové řady zůstává ve všech horizontech citlivá
na počáteční podmínky. Cílem této práce není aplikace integrovaných nebo frakcionálně integrovaných modelů na analyzované časové řady. Žádný z těchto modelů není ani v nabídce
programu EViews (jiné aplikace některé takovéto modely nabízejí). Z tohoto důvody jsou
zmíněny pouze v této kapitole a dále se s nimi nepracuje. Nejznámějšími modely jsou lineární
IGARCH (Engle a Bollerslev, 1986) a FIGARCH (Baillie, Bollerslev a Mikkelsen, 1996).
Přestože je v této kapitole popsáno 33 různých modelů volatility, není jejich výčet úplný. Řada nově vznikajících modelů nebyla zatím dostatečně popsána a publikována. Navíc je
v literatuře zřejmá tendence zobecňovat již popsané modely a vytvářet nové zastřešující modely. Ještě jednou je důležité připomenout, že do praktické analýzy finančních časových řad
českých podílových fondů a akcií byl vybrán jen zlomek těchto modelů, které jsou implementovány v programu EViews 5.0.
2.2.1 Modely ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Tento model popsal poprvé R.F. Engle (1982) ve své práci „Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of U.K. Inflation“. Jde o základní stavební
kámen modelů podmíněného rozptylu (volatility) časových řad. Model ARCH (2.30) je založen na předpokladu, že podmíněný rozptyl σt2 je lineární funkcí zpožděných čtverců reziduí
stacionárního
autoregresního
procesu (2.29) (modelu podmíněné střední hodnoty)
ε2t-1,ε2t-2,.., ε2t-i. Pro proces εt platí εt = etσt, kde σt je podmíněná směrodatná odchylka
a et ~ N(0;1). Veličiny procesu et jsou navíc nezávislé. Podmíněná střední hodnota procesu εt
je nulová a podmíněný rozptyl je σt2.
p
X t = φ0 + ∑ φi X t −i + ε t .
(2.29)
i =1
q
σ t 2 = ω + α1ε t2−1 + α 2ε t2−2 + ... + α qε t2− q = ω + ∑ α iε t2−i .
(2.30)
i =1
Pokud jsou parametry αi ve tvaru (2.30) statisticky nevýznamné, znamená to, že podmíněný
rozptyl σt2 je v čase konstantní. Kladnost podmíněného rozptylu zajišťují následující podmínky: ω > 0, αi ≥ 0 pro i = 1, 2, ..., q. Nepodmíněný rozptyl procesu εt je konstantní v čase a má
tvar:
D (ε t ) =
ω
.
1 − α1 − ... − α q
(2.31)
O vlastnostech a schopnostech tohoto modelu více pojednávají Arlt a Arltová (2003): „Model
ARCH je charakteristický tím, že jeho prostřednictvím lze zachytit shluky volatility v časové
řadě výnosů.“ Dále se autor věnuje špičatosti náhodné veličiny εt. „Tento model umožňuje
27
rovněž zachytit vyšší špičatost pravděpodobnostního rozdělení výnosů. Špičatost Kε je vždy
vyšší než špičatost normálního rozdělení, tj. 3.“
Odhad parametrů tohoto modelu je možný pomocí programu EViews 5.0 a bude v této práci
využit k popisu analyzovaných časových řad. Vedle klasického modelu, který vychází
z podmínky, že náhodná veličina et má podmíněné8 normální rozdělení se střední hodnotou
nula a rozptylem jedna9, jsou v programu k dispozici i dohady založené na jiných podmíněných rozděleních procesu εt. Je jím buď Studentovo t rozdělení s funkcí hustoty
pravděpodobnosti (2.11). Toto rozdělení je špičatější než normální rozdělení.
Nesystematická složka modelu může mít i GED (Generalized Error Distribution) rozdělení,
které je též známé jako rozdělení Exponential Power (2.8) (Box a Tiao, 1973), s parametrem
r > 0 a hustotou pravděpodobnosti pro náhodnou veličinu -∞ < x < ∞ ve tvaru (Quantitative, 2004b):
r
1


2
3


 3 2




rΓ  
 Γ r   

r
r
f ( x, r ) =   3 exp  − x      .
 Γ 1   

 1 2
 r 
2Γ  

  
r


(2.32)
Narozdíl od tvaru (2.8) má toto rozdělení jen jediný parametr r, proto je jeho zápis poněkud
odlišný. Navíc tento parametr nabývá jiných hodnot než původní parametr tvaru β. Podle Nelsona (1991) zahrnuje toto rozdělení normální rozdělení jako jeden ze svých speciálních
případů. Narozdíl od Studentova t rozdělení umí zachytit nejen vysokou špičatost, ale
i špičatost nižší než má normální rozdělení. Pokud je hodnota parametru r = 2, pak se jedná
o normální rozdělení. Je-li r = 1 jde o dvojité exponenciální, neboli Laplaceovo rozdělení.
Pokud 0 < r < 2, má toto rozdělení tlustší konce nežli rozdělení normální a pokud r > 2 pak
má naopak konce užší než normální rozdělení.
2.2.2
Modely GARCH (Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity)
Autorem modelu GARCH je T. Bollerslev (1986). Model GARCH je rozšířením modelu
ARCH o zpožděný podmíněný rozptyl. Nahrazuje jednodušší model tam, kde by bylo nutné
odhadovat velké množství parametrů αi (model ARCH s vysokým stupněm q).
8
9
„Za podmínky informace, která je k dispozici v čase t-1, tedy et ~ Nt-1(0;1),“ (Arlt a Arltová, 2003).
Za těchto podmínek má veličina εt ~ Nt-1(0; σt2).
28
Podmíněný rozptyl procesu je tedy lineární funkcí čtverců reziduí modelu a zpožděného podmíněného rozptylu:
σ t 2 = ω + α1ε t2−1 + ... + α q ε t2− q + β1σ t2−1 + ... + β pσ t2− p ,
(2.33)
neboli:
q
p
i =1
j =1
σ t 2 = ω + ∑ α iε t2−i + ∑ β jσ t2− j .
(2.34)
Kladné hodnoty nepodmíněného rozptylu je dosaženo, když ω > 0, αi > 0 pro i = 1, 2, ..., q
a βj ≥ 0 pro j = 1, 2, ..., p. Nepodmíněný rozptyl procesu εt je konstantní a má tvar (Arlt
a Arltová, 2003):
D (ε t ) =
ω
.
1 − α (1) − β (1)
(2.35)
Také tento model dokáže podchytit zvýšenou špičatost časové řady jak uvádí např. Arlt a Arltová (2003). Také parametry modelů GARCH lze odhadovat pomocí programu EViews 5.0.
Ten je odhaduje prostřednictvím maximalizace věrohodnostní funkce. Uživatelská příručka
programu (Quantitative, 2004) uvádí tvary logaritmů této funkce pro tři alternativy rozdělení
nesystematické složky. Pro model založený na předpokladu normality nesystematické složky
má tvar:
lt =
1
1
1
log(2π ) − log σ t2 − ( yt − X t'θ )2 / σ t2 .
2
2
2
(2.36)
V případě, že nesystematická složka modelu má Studentovo t rozdělení s hustotou pravděpodobnosti (2.11) a v stupni volnosti, je tvar věrohodnostní funkce následující.
 ( yt − X t'θ )2 
 π (v − 2)Γ(v / 2) 2  1
1
(v + 1)
2
lt = log 
log  1 + 2
.
 − log σ t −
2
2
((
1)
/
2)
2
2
(
2)
Γ
v
+
σ
v
−


t


(2.37)
Zmiňovaný software odhaduje i parametry modelu založeného na GED (2.32) rozdělení nesystematické složky s parametrem r. V takovém případě má věrohodnostní funkce následující
podobu:
 Γ(3/ r )( yt − X t'θ )2 
 Γ (1/ r )3  1
1
2
lt = log 
− log σ t − 

2 
2
σ t2Γ(1/ r )
 Γ(3 / r )(r / 2)  2


r/2
.
(2.38)
Ve všech výše uvedených případech je θ vektorem parametrů modelu volatility.
Bodová předpověď podmíněné střední hodnoty úrovňového modelu AR(p) konstruovaná v
čase T s předpovědním horizontem h se vypočte jako:
X T (h) = α1 X T (h − 1) + ... + α p X T (h − p ) .
29
(2.39)
Předpověď podmíněného rozptylu konstruovaná v čase T s horizontem h je podle modelu
GARCH(1,1), který je stacionární v kovarinacích10:
σ T2 (h) = σ ε2 + (α1 + β1 )h −1 (σ T2+1 − σ ε2 )
(2.40)
Bodová předpověď podmíněného rozptylu je v praxi využitelná např. ke konstrukci předpovědních intervalů (statická nebo dynamická předpověď) nebo v analýze Value at Risk. Při
počítání intervalů je však nutno brát v úvahu i podmíněné rozdělení předpovědních chyb. Pokud toto rozdělení není normální, je konstrukce intervalů problematická.
2.2.3
Modely IGARCH (Integrated Generalized Autoregressive
Conditional)
Model byl navržen v roce 1986 autory R.F. Englem a T. Bollerslevem (1986). Cílem autorů
bylo popsat vysokofrekvenční časové řady u nichž se součet odhadnutých parametrů α1 a β1
modelu GARCH(1,1) blížil jedné. V případě modelu IGARCH(1,1) se jedná zpřesnění modelu GARCH(1,1) o podmínku α1 + β1 = 1. Model podmíněného rozptylu má v tomto případě
tvar:
ε t2 = ω + ε t2−1 + ν t − β1ν t −1 ,
(2.41)
kde vt = εt2 - σt2. Jde o tzv. proces integrovaný v rozptylu. Model IGARCH(p,q) lze zapsat
i pomocí operátoru zpětného posunutí B (2.42), který představuje zpoždění o jedno posunutí
takže platí: BXt = Xt-1 a BsXt = Xt-s. Více o operátoru viz. Arlt a Arltová (2003).
φ ( B )(1 − B ) ε t2 = ω + (1 − β ( B) ) vt .
(2.42)
Parametry modelu nelze programem EViews odhadovat a proto nebyl model IGARCH
do analýzy zahrnut. Odhady parametrů lze provádět jinými programy (SAS, G@RCH). Zde
se tedy otevírá prostor pro případné další analýzy. Vzhledem k faktu, že tento model byl navržen pro vysokofrekvenční data, nemusela by být jeho absence v této práci nijak výrazná.
2.2.4
Modely FIGARCH (Fractionally Integrated Generalized
Autoregressive Conditional)
Frakcionálně integrovaný model navržený R.T. Bailliem, T. Bollerslevem a H.O. Mikkelsenem (1996) je také nazýván modelem s dlouhou pamětí. „Model lze jednoduše získat, když
do modelu IGARCH (2.42) vložíme namísto první diference parametr diferencování d, který
nemusí být celé číslo a pro nějž platí 0 ≤ d ≤ 1,“ (Degiannakis a Xekalaki, 2004). Zápis modelu FIGARCH(p,d,q) pomocí zpětného operátoru posunutí B má tvar:
φ ( B )(1 − B ) ε t2 = ω + (1 − β ( B) ) vt .
d
10
(2.43)
Model GARCH(1,1) je stacionární v kovariancích pokud platí podmínky (2.35) a podmínka α1+β1<1.
30
Po dosazení vt = εt2 - σt2 do rovnice (2.43) a má tvar vymezující podmíněný rozptyl podobu:
(
)
σ t2 = ω + 1 − β ( B) − φ ( B )(1 − B ) ε t2 + β ( B)σ t2 .
d
(2.44)
Arlt a Arltová (2003) upozorňují na důležitou vlastnost této třídy modelů: „Narozdíl od kovariančně stacionárního modelu GARCH(1,1) nebo modelu IGARCH(1,1), kde se šoky
do podmíněného rozptylu exponenciálně zmenšují, resp. přetrvávají do nekonečna,
se v modelu
FIGARCH(1,d,0)
šoky
do
podmíněného
rozptylu
zmenšují
pomalu
a hyperbolicky.“
2.2.5
Modely HYGARCH (Hyperbolic Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity)
HYGARCH je modelem, který dle autora (Davidson, 2003): „Zobecňuje FIGARCH model
a je
stacionární
v kovariancích
pokud
popisuje
hyperbolickou
paměť.“
Model
HYGARCH(1,d,1) má tvar:
( (
))
 1 − δ1 B

d
σ t2 = ω + 1 −
1 + α (1 − B ) − 1  ε t2
 1 − β1 B

(2.45)
Pokud α = 1, pak se tento model redukuje na FIGARCH (2.44) a pokud α = 0, pak jde
o GARCH model (2.34).
2.2.6
Modely GARCH-M (Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity in Mean)
Trojice autorů R.F. Engle, D.M. Lilien a R.P. Robins (1983) představila ve své práci „Estimating Time Varying Risk Premia in the Term Structure: ARCH-M Model“ z roku 1983 model,
který popisuje přímý vliv podmíněného rozptylu na podmíněnou střední hodnotu finanční časové řady prostřednictvím obecné funkce g(σt2). Jinými slovy se autoři pokusili zachytit
situaci, kdy na sobě závisejí úroveň a variabilita výnosů. Podmíněný rozptyl je popsán modelem GARCH. Úrovňový model má však změněný tvar:
X t = φ0 + φ1 X t −1 + ... + φ p X t − p + λ g (σ t2 ) + ε t .
(2.46)
Konkrétní tvary úrovňového modelu, které je možno odhadovat pomocí programu EViews
jsou (Quantitative, 2004):
p
X t = ϕ0 + ∑ ϕi X t −i + λσ t + ε t ,
(2.47)
i =1
p
X t = ϕ0 + ∑ ϕi X t −i + λσ t2 + ε t ,
(2.48)
i =1
p
X t = ϕ0 + ∑ ϕi X t −i + log σ t2 + ε t .
(2.49)
i =1
31
Ve tvaru (2.47) vstupuje do úrovňového modelu podmíněná směrodatná odchylka, v (2.48)
podmíněný rozptyl a v posledním modelu (2.49) logaritmus podmíněného rozptylu. Samotný
model podmíněného rozptylu je modelem GARCH (2.34). Tyto modely budou také využity
jako jedna z možných alternativ pro popis chování časových řad výnosů akcií a otevřených
podílových fondů.
V porovnání s modelem neobsahujícím vliv podmíněného rozptylu je podmíněná střední hodnota procesu E(Xt) různá od nuly a podmíněný rozptyl D(Xt) má vyšší hodnotu, uvádí
o vlastnostech Arlt a Arltová (2003).
2.2.7
Modely AGARCH (Absolute Generalized Autoregressive
Conditional Heteroskedasticity)
Autoři S.J. Taylor (1986) a G.W. Schwert (1989a,b) popisují pomocí tohoto modelu závislost
podmíněné směrodatné odchylky σt na zpožděných absolutních hodnotách procesu εt-i a směrodatné odchylky σt-i,
q
p
i =1
j =1
σ t = ω + ∑ α i ε t −i + ∑ β jσ t − j .
2.2.8
(2.50)
Modely Log-GARCH (Log-Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity)
Návrh autorů J. Gewekeho (1986), S.G. Pantuly (1986) a A. Milhǿje (1987) je založen
na předpokladu, že logaritmus podmíněného rozptylu je závislý na logaritmu čtverců zpožděných hodnot procesu εt-i a logaritmů předchozích hodnot podmíněného rozptylu σt2-i, takže
tvar modelu je následující:
q
p
i =1
j =1
log(σ t 2 ) = ω + ∑ α i log(ε t2−i ) + ∑ β j log(σ t2− j ) .
(2.51)
Odlogaritmováním tohoto tvaru vznikne multiplikativní model.
2.2.9
Modely NARCH (Non-linear Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity)
V roce 1986 navrhli autoři R.F. Engle a T. Bollerslev (1986) jednoduchý nelineární model volatility11 založený na modelu GARCH(1,1), ve kterém je podmíněný rozptyl závislý na δ-té
mocnině absolutní hodnoty prvního zpoždění procesu εt-1.
δ
σ t 2 = ω + α1 ε t −1 + β1σ t2−1 .
(2.52)
11
Nelineární model v tom smyslu, že model není lineární v parametrech. Není tímto tedy myšleno, že by model
popisoval asymetrický vliv šoků na podmíněný rozptyl.
32
V článku „A Class of Nonlinear ARCH models“ prezentovali autoři M.L. Higgins a A.K. Bera
(1992) složitější nelineární model GARCH, ve kterém je modelována δ-tá mocnina podmíněné směrodatné odchylky podle zápisu:
δ /2
q
σ t = ω + ∑αi ε
δ
i =1
2
t −i
p
+ ∑ β jσ tδ− j .
(2.53)
j =1
2.2.10 Modely R-GARCH (Randomized Generalized Autoregressive
Conditional Heteroskedasticity
J. Nowicka-Zagrajek a A. Weron (2001) nahradili absolutní člen modelu GARCH lineární
funkcí identicky rozdělených stabilních náhodných veličin, takže:
r
q
p
i *=1
i =1
j =1
σ t 2 = ∑ (ci*η t−i* ) + ∑ αi ε t2−i + ∑ β jσ t2− j ,
(2.54)
kde kromě standardních podmínek kladených na hodnoty parametrů modelu GARCH platí
ci* ≥ 0 pro i* = 1, 2, ..., r. Rozdělení náhodné veličiny ηt je definováno charakteristickou
funkcí (Degiannakis a Xekalaki, 2004):


t
a
ϕ (t , a, β , σ , µ ) = exp  iµ t − σ t 1 − iβ ω ( t , a )   ,


t



(2.55)
kde 0 < a ≤ 2 je exponent charakteristické rovnice, -1 ≤ β ≤ 1 je parametr šikmosti, σ > 0 je
parametr míry, µ ∈ R je parametrem polohy. Pro funkci ω ( t , a ) platí:
πa

 tan 2 , a ≠ 1
.
ω ( t , a) = 
− 2 log t , a = 1
 π
(2.56)
2.2.11 Modely CGARCH (Component Generalized Autoregressive
Conditional Heteroskedasticity)
Engle a Lee (1993) publikovali model CGARCH, který slouží ke zkoumání krátkodobých
a dlouhodobých pohybů volatility časové řady. Model je složen ze dvou rovnic:
σ t2 = qt + α1 (ε t2−1 − qt ) + β1 (σ t2−1 − qt )
(2.57)
qt = ω + pqt + φ (ε t2−1 − σ t2−1 ).
„V tomto modelu představuje qt dlouhodobou časově proměnnou volatilitu a rozdíl σt2- qt popisuje dočasnou nebo krátkodobou komponentu podmíněného rozptylu. Spojením krátkodobé
a dlouhodobé volatility do jediného tvaru a jeho úpravou vznikne nelineární GARCH(2,2)
model,“ (Degiannakis a Xekalaki, 2004).
33
„Krátkodobá komponenta σt2- qt konverguje k nule v závislosti na α1+β1, dlouhodobá volatilita modelu konverguje k hodnotě ω v závislosti na hodnotě parametru p. Vzhledem k tomu, že
hodnota parametru p se nejčastěji pohybuje v rozmezí 0,99 až 1, je tato konvergence velice
pomalá,“ (Quantitative, 2004).
Také tento model lze odhadovat pomocí programu EViews 5.0. Vzhledem k rozsahu této práce však nebyl do analýzy zahrnut.
2.2.12 Modely EGARCH (Exponential Generalized Autoregressive
Conditional Heteroskedasticity)
Model je jedním z nejvýznamnějších nelineárních modelů volatility. Byl publikován v roce
1991 D.B. Nelsonem (1991) v časopise Econometrica v článku „Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: a New Approach“. Cílem modelu EGARCH bylo zachytit tzv.
asymetrické efekty ve finančních časových řadách. Nejznámějším je „pákový efekt“, při kterém je vliv záporných šoků na hodnotu podmíněného rozptylu výrazně vyšší nežli vliv šoků
kladných. Pákový efekt pojmenoval F. Black (1976).
Model podmíněného rozptylu má podle autora následující tvar:
q
p
j =1
i =1
log(σ t 2 ) = ω + ∑ β j log(σ t2− j ) + ∑ α i
ε  r
ε t −i
ε
− E  t −i  + ∑ γ k t − k .
σ t −i
 σ t −i  k =1 σ t − k
(2.58)
Vzhledem k faktu, že model popisuje vztah mezi logaritmem podmíněného rozptylu
a minulými šoky a ne samotný podmíněný rozptyl, není nutno klást na parametry modelu
omezující podmínky, které by zajistily kladnou hodnotu podmíněného rozptylu. Tento tvar
zároveň zajišťuje, že šoky mají na podmíněný rozptyl exponenciální vliv. Autor založil svůj
model na předpokladu, že náhodná veličina εt má Generalized Error rozdělení (GED). Statistický software EViews 5.0 odhaduje parametry upraveného EGARCH modelu ve tvaru
(Quantitative, 2004):
q
p
j =1
i =1
log(σ 2 ) = ω + ∑ β j log(σ t2− j ) + ∑ α i
r
ε t −i
ε
+ ∑ γ k t −k .
σ t −i k =1 σ t − k
(2.59)
„Odhad tohoto modelu poskytuje stejné hodnoty jako původní model (2.58) až na konstantu
ω, která se mění v závislosti na předpokladu rozdělení a stupni p. Například v modelu
se stupněm p = 1 a normálním rozdělením, bude tento rozdíl α1 2 / π ,“ (Quantitative, 2004).
Pro oba modely platí, že pro popis případné asymetrie je důležitá hodnota parametrů γi. Je-li
tato různá od nuly, asymetrie se v modelu vyskytuje. Je-li hodnota parametru záporná, existuje v časové řadě pákový efekt, tedy vyšší vliv záporných šoků než šoků kladných. Je-li
34
hodnota γi kladná, je asymetrický efekt opačný. Kladné šoky v takovém případě zvyšují volatilitu časové řady více než šoky záporné.
2.2.13 Modely GRJ-GARCH (Glosten, Jaganathan, Runkle Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
V článku „On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Normal Excess Return on Stocks” popsali autoři L.R. Glosten, R. Jaganathan a D. Runkle (1993)
nelineární model volatility pojmenovaný prvními jmény jejich příjmení GRJ-GARCH. Jde
o jiný pohled na popis rozdílného působení šoků než u modelu EGARCH. Model podmíněného rozptylu má obecný tvar (Quantitative, 2004):
p
q
r
j =1
i =1
k =1
σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ α iε t2−i + ∑ γ k ε t2−k It−− k .
(2.60)
kde I-t-k = 1 pokud εt-k < 0 a I-t-k = 0 pokud εt-k > 0. „Parametry αi vyjadřují vliv kladných šoků
a jejich výše, součet parametrů αi+γi vyjadřuje vliv šoků záporných a jejich výše. Pokud
γi > 0, zvyšují záporné šoky volatilitu a je přítomen pákový efekt i-tého stupně. Pokud γi ≠ 0 je
vliv šoků asymetrický. Je-li hodnota parametrů γi = 0, pak je model redukován na GARCH,
který je speciálním případem modelu GRJ-GARCH,“ (Quantitative, 2004).
Z tohoto plyne, že NIC12 funkce modelu GRJ-GARCH(1,1) má tvar:
NIC (ε t σ t2 = σ ε2 ) = ϖ + β1σ ε2 + α1ε t2
pro ε t > 0,
NIC (ε t σ = σ ) = ϖ + β1σ + (α1 + γ 1 )ε
2
t
2
ε
2
ε
2
t
pro ε t < 0.
(2.61)
Ve tvaru (2.61) je σε2 nepodmíněným rozptylem procesu εt. Jako jedna z mála je u tohoto modelu uvedena i funkce NIC, protože její odvození nebylo složité a bude využita při
posuzování asymetrie volatility u analyzovaných časových řad akcií a podílových fondů. Parametry tohoto modelu lze odhadovat pomocí programu EViews 5.0. Model se skrývá pod
poněkud jiným názvem. Je označen jako TGARCH.
Předpověď podmíněné střední hodnoty konstruovaná v čase T s horizontem h se vypočte podle tvaru (2.39). Pro stejný horizont je předpověď podmíněného rozptylu založená na modelu
GRJ-GARCH(1,1) (za podmínky, že rozdělení veličiny et je symetrické kolem 0):
σ T2 (h) = ω +
α1 + γ 1
+ β1σ T2 +1 (h − 1) .
2
(2.62)
12
Funkce NIC neboli „News Impact Curve“ se používá k měření způsobu promítnutí nové informace do odhadu
volatility. Graf funkce slouží k porovnání schopnosti nelineárních modelů volatility zachytit různé efekty kladných a záporných šoků (Engle a Ng, 1991). Arlt a Arltová (2003) upřesňují: „Ukazuje vztah mezi šokem εt a
podmíněným rozptylem σt2+1 za předpokladu, že ostatní minulé a přítomné informace jsou konstantní.“
35
2.2.14 TGARCH (Threshold Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity)
Model je podobný výše uvedenému modelu GRJ-GARCH. Vytvořil jej J.M. Zakoian (1990),
dále jej dopracoval spolu R. Rabemananjarem (1993) do tvaru:
p
q
q
j =1
i =1
i =1
σ t = ω + ∑ β jσ t − j + ∑ α iε t+−i − ∑ γ k ε t−−i ,
(2.63)
ve kterém ε+t ≡ εt pokud εt > 0, jinak ε+t ≡ 0 a opačně. Podmíněný rozptyl procesu popsaného
modelem je nezáporný, pokud platí podmínky ω > 0, (αi + γk)/2 ≥ 0 pro i = 1, 2, ..., q
a k = 1, 2, ..., r a βj > 0 pro j = 1, 2, ..., p. Vliv kladných šoků je popsán parametry αi a vliv
šoků záporných parametry γk. Pákový efekt se v řadě vyskytuje pokud platí nerovnost αi < γk.
2.2.15 Modely AGARCH (Asymmetric Generalized Autoregressive
Conditional Heteroskedasticity)
Tento Engleův model (1990) patří mezi jednodušší asymetrické modely volatility. Jeho tvar je
následující:
p
q
j =1
i =1
σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ (α iε t2−i + γ iε t −i ) .
(2.64)
Záporná hodnota γi parametru znamená, že kladné šoky zvyšují podmíněný rozptyl více než
šoky kladné.
2.2.16 Modely NGARCH (Non-linear Asymmetric Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Svůj model AGARCH (2.64) upravil R.F. Engle spolu s V.K. Ngem (1993) do dvou verzí tak,
aby postihovaly rozdílný vliv kladných a záporných šoků nelineárním způsobem, takže má
tvar:
p
q
j =1
i =1
σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ (α iε t −i + γ iσ t −i )2 .
(2.65)
Z výše uvedeného tvaru je patrné, že na podmíněný rozptyl mají vliv i zpožděné podmíněné
směrodatné odchylky σt-i. „Tento model umožňuje, aby bylo minimum křivky NIC závislé
na hodnotě směrodatné odchylky,“ (Engle a Ng, 1993) což je rozdíl oproti předchozím modelům majícím minimum v bodě εt = 0.
36
2.2.17 Modely VGARCH (V13 Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity)
Model byl publikován ve stejné práci jako model NGARCH (Engle a Ng, 1993) a je mu velice podobný.
p
q
j =1
i =1
σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ αi (ε t −i / σ t −i + γ i ) 2 .
(2.66)
Autoři ke tvaru asymetrie tohoto modelu uvádějí: „Minimum NIC křivky tohoto modelu je
stejné jako u modelu NGARCH, ale její sklon je jiný.“
2.2.18 Modely APARCH (Asymmetric Power Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity)
„Model Z. Dinga a dalších autorů (1993) zastřešuje hned několik výše uvedených modelů, jako jeho speciální případy. Jde o modely ARCH (2.30), GARCH (2.34), AGARCH (2.64),
GJR-GARCH (2.60), TGARCH (2.63), NGARCH (2.65) a Log-GARCH (2.51). Model využívá Boxovu-Coxovu transformaci (1964) procesu podmíněné směrodatné odchylky
a kombinuje ji s asymetrickým vlivem šoků na tento proces. Jeho tvar je:
q
(
σ t = ω + ∑ α i ε t −i − γ iε t −i
δ
i =1
δ
) +∑β σ
p
j =1
j
δ
t− j
,
(2.67)
kde parametry musejí odpovídat těmto podmínkám: ω > 0, δ ≥ 0, βj ≥ 0 pro j = 1, 2, ..., p,
-1 < γi < 1 a αi ≥ 0 pro i = 1, 2, ..., q, aby byla zajištěna nezáporná hodnota podmíněného rozptylu,“ (Degiannakis a Xekalaki, 2004).
Model popisuje asymetrii působení šoků pokud γi ≠ 0. Je-li γi = 0 pro všechna i a δ = 2, pak
jde o klasický GARCH model.
Parametry modelu APARCH lze také odhadovat pomocí programu EViews. Vzhledem
k tomu, že zahrnuje jiné, v této analýze použité modely (ARCH, GARCH, GRJ-GARCH), je
jeho použití vhodnější než aplikace dílčích modelů. V této práci se však nakonec jeho odhady
neobjevují. Důvodem je snaha o použití jednodušších modelů pro popis chování časových řad
a také to, že s dalším obecnějším modelem by se neúměrně rozrostl počet srovnávaných modelů nad meze vytyčené pro tuto práci. Aplikace modelu APARCH na časové řady výnosů
podílových fondů by mohla být zajímavým doplňkem této disertační práce, která by mohla
doplnit zde uvedené závěry o symetrii či asymetrii volatility analyzovaných časových řad.
13
„Název VGARCH je odvozen od tvaru ε/σ = v,“ (Engle a Ng, 1993).
37
2.2.19 Modely QGARCH (Quadratic Generalized Autoregressive
Conditional Heteroskedasticity)
Model je jiným pokusem o zachycení vlivu šoků na podmíněný rozptyl. Jeho autorem je Sentana (1995). Model je schopen popsat i vliv síly šoku.
q
q
p
i =1
i =1
j =1
σ t 2 = ω + ∑ α iε t2−i ∑ γ iε t −i + ∑ β jσ t2− j
(2.68)
Arlt a Arltová (2003) popisují, jak šoky působí: „Vliv šoku v modelu QGARCH(1,1) je dán
vztahem γ1/εt-1 + α1. Je-li γ1 < 0, je vliv záporného šoku na podmíněný rozptyl větší než vliv
šoku kladného.“
2.2.20 Modely ST-GARCH (Smooth Transition Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
ST-GARCH modely zastřešují celou skupinu modelů. Přechod mezi působením kladných
a záporných šoků je popsán pomocí spojité přechodové funkce F(εt-i), takže přechod je plynulý a vliv šoků „neskáče“, jako tomu bylo u předchozích modelů.
Obecný tvar modelu ST-GARCH je (Hagerud, 1996):
p
σ t = ω + ∑ β jσ
2
j =1
q
2
t− j
+ ∑ (αi + γ i F (ε t −i ))ε t2−i .
(2.69)
i =1
Různí autoři pak použili odlišné přechodové funkce F(εt-i) a podle nich nazvali své modely.
2.2.21 Modely LST-GARCH (Logistic Smooth Transition Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Model publikoval G.E. Hagerud poprvé v roce 1996 a o rok později jej využil ve své disertační práci. Jako přechodovou funkci modelu ST-GARCH (2.69) použil logistickou funkci, tedy:
F (ε t −i ) =
1
pro θ > 0.
1 + exp(−θε t −i )
(2.70)
„Logistická přechodová funkce nabývá hodnot 0 ≤ F(εt-i) ≤ 1 a popisuje závislost podmíněného rozptylu na znaménku šoku. S rostoucím parametrem θ se logistická funkce přibližuje
skokové funkci, která nabývá hodnoty 0 pro εt-i < 0 a hodnoty 1 pro εt-i > 0,“ (Arlt a Arltová,
2003).
2.2.22 Modely EST-GARCH (Exponential Smooth Transition Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Sejný autor (Hagerud, 1996) použil i funkci, která zachycuje asymetrický vliv velkých a malých šoků. Pro tento účel zvolil exponenciální přechodovou funkci:
F (ε t −i ) = 1 − exp(−θε t2−i ) pro θ > 0.
(2.71)
38
Přechodová funkce se blíží jedné pro vysoké hodnoty εt-i, ať již kladné nebo záporné a je nula
pro εt-i = 0.
2.2.23 Modely GLST-GARCH (Generalized Logistic Smooth Transition
Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Lubrano (1998) navrhl v modelu ST-GARCH použití zobecnění přechodové logistické funkce
přidáním parametru prahu c:
F (ε t −i ) =
1 − exp(−θε t2−i )
.
1 + exp(−θ (ε t2−i − c 2 ))
(2.72)
2.2.24 Modely GEST-GARCH (Generalized Exponential Smooth
Transition Generalized Autoregressive Conditional
Heteroskedasticity)
Stejný autor navrhl použití i zobecněné exponenciální přechodové funkce (Lubrano, 1998)
přidáním parametru prahu c:
F (ε t −i ) = 1 + exp ( −θ (ε t2−i − c 2 ) ) .
(2.73)
2.2.25 Modely VS-GARCH (Volatility Switching Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Přínos F. Fornariho a A. Meleho (1997) do sledované problematiky je v tom směru, že jejich
model popisuje nejen rozdílný vliv kladných a záporných, ale i velkých a malých šoků14. Podle autorů popisuje model situaci, kdy vysoké kladné šoky ovlivňují podmíněný rozptyl více
než záporné šoky ve stejné výši. Jejich model má tvar:
p
q
j =1
i =1
σ t2 = ω + ∑ β jσ t2− j + ∑ α iε t2−i + γ St −1
ε t2−1
,
σ t2−1
(2.74)
kde St = 1 pokud εt > 0a St = -1 pokud εt < 0 a podíl εt2/σt2 měří rozdíl mezi odhadem podmíněného rozptylu σt2 založeného na informaci v čase t-1 a zjištěnou hodnotou εt2. Pro konkrétní
parametrizaci ukázali a Arlt a Arltová (2003), že NIC křivka modelu není spojitá v bodě
εi = 0.
14
Obdobné schopnosti má i model QGARCH (2.68).
39
2.2.26 Modely AVS-GARCH (Asymmetric Volatility Switching
Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Fornari a Mele (1996) upravili svůj model AVS-GARCH jako mix modelů GRJ-GARCH
a VS-GARCH a pro parametry p = q = 1 odvodili jeho tvar:
 ε 2 

σ t2 = ω + α1ε t2−1 + β1σ t2−1 + γ St −1ε t2−1 + δ   t2−1  − k  St −1 ,
 σ

  t −1 

(2.75)
kde umělá proměnná St nabývá stejných hodnot (1 resp. -1) jako v případě modelu
VS-GARCH (2.74). Podle autorů je špičatost procesu εt generovaného modelem vyšší než
u modelu GARCH(1,1).
2.2.27 Modely ANST-GARCH (Asymmetric Nonlinear Smooth Transition
Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Arlt a Arltová (2003) uvádějí modifikaci modelu VS-GARCH (2.74) s logistickou přechodovou funkcí F(εt-i) (2.70), která umožňuje hladký přechod z jednoho režimu do druhého. Tvar
modelu ANST-GARCH je:
σ t2 = (ω + α1ε t2−1 + β1σ t2−1 )(1 − F (ε t −1 )) +
(2.76)
+(ξ + γ 1ε t2−1 + τ 1σ t2−1 )(1 − F (ε t −1 )).
Ve stejné publikaci je i graf NIC křivky, ze kterého je patrné, že pro parametrizaci ω > ξ,
α1 < γ1, β1 > τ1 je NIC křivka asymetrická a nemá minimum v bodě εt = 0. „S rostoucí hodnotou nepodmíněného rozptylu hc se minimum posouvá směrem doprava, což znamená,
že úroveň šoků, které působí na podmíněný rozptyl relativně nejméně, se zvyšuje.“
2.2.28 Modely MSW-GARCH (Markov-Switching Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Jiným pokusem o popsání rozdílů v působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl je model volatility s různými režimy chování. Modifikace modelu GARCH(1,1) (2.34)
se dvěma proměnlivými režimy určenými nepozorovatelným Markovovým stochastickým
procesem st má podle (Arlt a Arltová, 2003) následující tvar:
σ t2 = (ω + α1ε t2−1 + β1σ t2−1 ) I (st = 1) + (ξ + γ 1ε t2−1 + τ 1σ t2−1 ) I ( st = 2) .
40
(2.77)
Právě Hamilton (1989) navrhl použití Markovova procesu prvního řádu15. Autor předpokládá,
že režim má pouze dva stavy 1 a 2 a že stav st je závislý pouze na stavu v čase t-1. Pravděpodobnosti přechodu s jednoho stavu do druhého jsou dány:
P( st = 1 st −1 = 1) = p11 ,
P( st = 2 st −1 = 1) = p12 ,
(2.78)
P( st = 1 st −1 = 2) = p21 ,
P( st = 2 st −1 = 2) = p22 .
Rozvinutí Markovova procesu na m režimů, nabízí další, složitější alternativy tohoto modelu.
2.2.29 Modely ACGARCH (Asymmetric Component Generalized
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
R.F. Engle a G.G.J. Lee (1993) rozvinuli svůj vlastní lineární model volatility CGARCH
(2.57), tak aby byl schopen zachytit asymetrii působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl. Stejně jako lineární model, popisuje i tento krátkodobé a dlouhodobé pohyby
volatility časové řady.
σ t2 = qt + α1 (ε t2−1 − qt ) + γ 1 (d (ε t −1 < 0)ε t2−1 − 0,5qt −1 ) + β1 (σ t2−1 − qt )
qt = ω + pqt + φ (ε t2−1 − σ t2−1 ) + γ 2 (d (ε t −1 < 0)ε t2−1 − 0,5σ t2−1 ),
(2.79)
kde funkce d(εt-1 < 0) = 1 pro εt-1 < 0 a jinak je d(εt-1 < 0) = 0.
2.2.30 Modely FIEGARCH (Fractionally Integrated Exponential
Generalized Autoregressive Conditional)
Model z roku 1996 je aplikací myšlenky frakcionální integrace na nelineární model volatility
EGARCH (2.58). Autoři modelu T. Bollerslev a H.O. Mikkelsen definovali jeho tvar pomocí
operátoru zpětného posunutí B:
log(σ t2 ) = ω + φ ( B )
−1
(1 − B )− d (1 + α ( B ) ) g ( zt −1 ) .
(2.80)
2.2.31 Modely FIAPARCH (Fractionally Integrated Asymmetric Power
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Y.K. Tse (1998) aplikoval stejnou myšlenku na model APARCH (2.67) a vytvořil model
FIAPARCH(p,d,q) ve tvaru:
(
σ tδ = ω + 1 − (1 − β ( B) ) φ ( B)(1 − B)− d
15
−1
)( ε
− γε t ) .
δ
t
Tento návrh byl původně použit pro autoregresní modely podmíněné střední hodnoty.
41
(2.81)
2.2.32 Modely ASYMM FIFGARCH (Asymmetric Fractionally Integrated
Family Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Frakcionálně
integrované
asymetrické
modely
zastřešuje
obecný
model
ASYMM FIFGARCH(1,d,1), který definoval Y. Hwang (2001) následovně:
 (1 − ϕ B )(1 − B ) d
k
σ =
+ 1 −
1 − δ 
1− δ B
ε

ε
f (ε t ) = t − b − c  t − b  ,
σt
 σt

λ
t
 v
 f (ε t )σ tλ ,


(2.82)
kde pro parametr c platí |c| ≤ 1. Autor uvádí i typy modelů, které lze pomocí
ASYMM FIFGARCH popsat. Pokud parametry nabývají hodnot
λ = 0, v = 1, pak jde
o model FIEGARCH (2.80). Pokud λ = 2, v = 2 jde o model FIGARCH (2.43). Model
se změní na frakcionálně integrovaný TGARCH (2.63), pokud λ = 1, v = 1 a pokud λ = v jde
o frakcionálně integrovaný NGARCH.
2.2.33 Modely HY-A-PARCH (Hyperbolic Asymmetric Power
Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Model O. Schoffera (2003) kombinuje asymetrický model APARCH (2.67) s frakcionálně integrovaným procesem HYGARCH (2.45), takže jeho tvar je:
(1 − α ( B) − β ( B) ) ( (1 − τ ) + τ (1 − B) d ) ({ zt } ) = ω + (1 − β ( L) ) ({vt }) ,
(2.83)
kde zt = ( yt − η yt ) a vt = zt - σtδ. Tento model se změní na HYGARCH (2.45) pokud paraδ
metry δ = 2 a η = 0. Pokud je τ = 0, pak jde o model APARCH (2.67), uvádí k vlastnostem
modelu autor.
42
2.3 Analýza finančních časových řad
Postup analýzy časových řad českých podílových fondů a akcií je autorem disertační práce
rozdělen do několika kroků:
1. Pro každou časovou řadu je vyhotoven graf vývoje ceny podílových listů nebo akcií Pt
a graf logaritmů výnosů rt podle tvaru rt = ln Pt – ln Pt-1, kde Pt je cena podílového listu
v čase t a Pt-1 je cena podílového listu v čase t-1. Pohled na graficky zobrazený vývoj časové řady by mohl napovědět, v čem si jsou analyzované řady podobné a v čem se naopak
liší. Takováto shoda ve vývoji by mohla být patrná u časových řad stejného typu (např.
akciové podílové fondy). Naopak rozdíly by pak mohly existovat mezi jednotlivými skupinami investičních nástrojů (např. akcie vs. dluhopisové podílové fondy). Zároveň
naznačí, zda časové řady podílových fondů mají stejné „neduhy“ jako jiné finanční řady,
tedy častější výkyvy v cenách než jak popisuje normální rozdělení, nekonstantní rozptyl,
výskyt shluků.
2. Jsou vypočteny a okomentovány popisné charakteristiky pro jednotlivé časové řady.
Zvláštní důraz je kladen na charakteristiky tvaru rozdělení časových řad (šikmost S a špičatost K) a na ukazatele variability, které reflektují riziko spojené s investováním
do podílových fondů nebo akcií. Cílem tohoto kroku je nalézt společné nebo odlišné
vlastnosti časových řad jednotlivých investičních nástrojů. Výpočet charakteristik tvaru
rozdělení je podle (Quantitative, 2004) následující:
1 T y −y
S = ∑ i
 ,
T i =1  σˆ 
(2.84)
1 T y −y
K = ∑ i
,
T i =1  σˆ 
(2.85)
3
4
kde je σˆ = s (T − 1) / T odhad směrodatné odchylky, T je délka časové řady a s je výběrová směrodatná odchylka souboru.
3. Tradičním předpokladem při tvorbě modelů podmíněné střední hodnoty a podmíněného
rozptylu finančních časových řad je, že rozdělení cen nebo výnosů je normální (někdy též
nazývané Gaussovo) s konstantní střední hodnotou µ a konstantním rozptylem σ2. Proto
se posuzuje normalita časových řad s cílem zjistit, zda je tato tradiční podmínka splněna.
K tomu jsou zvoleny dva nástroje: Jarqueův-Berův test (2.86) (dále JB test)
a Kolmogorovův-Smirnovův test (2.88) (dále KS test). Pro provedení výpočtů obou testů
bylo použito programů EViews 5.0 a Statgraphics Centurion XV. Způsob výpočtu obou
43
testů je uveden v dokumentaci k programům (Quantitative, 2004) a (StatPoint, 2005). Testová statistika Jarqueova-Berova testu je v EViews počítána:
JB =
T − k  2 ( K − 3) 2 
S +
,
6 
4

(2.86)
kde T je počet pozorování v časové řadě, S je charakteristika šikmosti (2.84), K je charakteristika špičatosti (2.85) a k je počet odhadnutých parametrů použitých k vytvoření
modelu časové řady. Statistika JB má chi-kvadrát rozdělení se dvěma stupni volnosti.
4. Vedle testování shody nepodmíněného rozdělení časových řad s normálním rozdělením
jsou v programu Statgraphics Centurion XV odhadnuty parametry alternativních hypotetických rozdělení. Odhad parametrů je vyhotoven metodou maximalizace věrohodnostní
funkce odpovídajícího rozdělení. Jako alternativy jsou zvolena následující rozdělení: tříparametrické logaritmicko-normální (2.2), tříparametrické logaritmicko-logistické (2.3),
Laplaceovo (2.7), Exponential Power (2.8), tříparametrické zobecněné logistické (2.5)
a Cauchyho rozdělení (2.10). Tímto výběrem jsou zastoupeny všechny jmenované skupiny teoretických rozdělení, které jsou v souvislosti s finančními časovými řadami
zmiňovány. Laplaceovo a Exponential Power rozdělení jsou rozdělení vysoce špičatá,
Cauchyho rozdělení je zástupcem skupiny špičatých L-stabilních rozdělení. Zobecněné
logistické rozdělení je jediným rozdělením, které popisuje jak kladnou, tak i zápornou
šikmost. Ve výčtu chybí Studentovo t rozdělení resp. jeho zobecněné formy. Zatímco parametry zešikmeného a zobecněného t rozdělení program neodhaduje, odhadu stupňů
volnosti t rozdělení se s pomocí uvedeného software nepodařilo provést. Studentovo t
rozdělení však nezůstane opomenuto při další analýze, kdy bude použito při konstrukci
modelů volatility.
5. Po vyhotovení odhadů parametrů teoretických rozdělení jsou provedeny testy shody
s nepodmíněným rozdělením analyzovaných řad. Byly využity takové testy shody, které
nabízí program Statgraphics Centurion XV. Konstrukce testů a tvary testových kritérií
jsou podle uživatelské příručky (StatPoint, 2005) následující:
a) Chi-kvadrát test dobré shody (Chi-Squared Test)
k
χ =∑
2
j =1
(O
j
− Ej )
2
(2.87)
Ej
Velmi dobře známý test, jehož jednoduchý princip spočívá v tom, že hodnoty neznámého rozdělení jsou rozděleny do k stejně širokých intervalů a pozorované absolutní
četnosti těchto intervalů Oj (j je pořadí intervalu j = 1, 2, ..., k) se porovnávají s očekávanými četnostmi Ej, které jsou dány hypotetickým rozdělením.Testové kritérium
44
(2.87) má chi-kvadrát rozdělení s k-p+1 stupni volnosti, kde k je počet intervalů a p je
počet parametrů hypotetického rozdělení.
b) Kolmogorovův – Smirnovův test (Kolmogorov-Smirnov Test)
Jedná se o velice známý a v praxi často používaný test shody. Porovnává kumulativní
distribuční funkce empirického a hypotetického rozdělení a měří maximální vzdálenost mezi těmito dvěma funkcemi.

i − 1 
i


D = max  D + = max  − z(i )  , D − = max  z(i ) −

i
i
n  
n



(2.88)
V tomto vzorci je z(i) = F(x(i)) hodnotou hypotetické kumulativní distribuční funkce
vypočtenou pro i-tý prvek souboru a n je počet prvků souboru. V této práci je použita
pouze modifikovaná forma tohoto testu, ve které je testové kritérium přizpůsobeno
hypotetickému rozdělení.
c) Kuiperův test (Kuiper Test)
V = D+ + D−
(2.89)
Testové kritérium V je odvozeno z Kolmogorova–Smirnova testu (2.88) a využívá
obou statistik D+ a D-.
d) Cramerův-Von Miesesův test (Cramer-Von Mises Test)
Tento test shody má testovou statistiku:
2i − 1 
1

W = ∑  z( i ) −
,
 +
2n  12n
i =1 
2
n
2
(2.90)
kde z(i) = F(x(i)) a její význam je stejný jako u (2.88) a n je počet prvků souboru. Testová statistika popisuje plochu mezi empirickou a hypotetickou kumulativní distribuční
funkcí.
e) Watsonův test (Watson Test)
Test je modifikací Cramerovy-Von Miesesovy W2 statistiky (2.90), kde namísto hypotetické kumulativní distribuční funkce figuruje aritmetický průměr z vypočtený
z hodnot z(i). Testové kritérium má podle stejného zdroje (StatPoint, 2005) tvar:
U 2 = W 2 − n( z − 0, 5)2
(2.91)
f) Andersonův-Darlingův test (Anderson-Darling Test)
Testová statistika testu A2 je vážená hodnota z plochy mezi empirickou a hypotetickou
kumulativní distribuční funkcí:
∑ ( (2i − 1) ln( z
n
A = −n −
2
i =1
(i )
) + (2n + 1 − 2i ) ln(1 − z(i ) ) )
(2.92)
n
45
6. Vhodnost rozdělení pro časovou řadu se posuzuje pomocí Akaikeho informačního kritéria
AIC = −2lnL + 2q,
(2.93)
kde L je hodnota logaritmu věrohodnostní funkce odhadnutého hypotetického rozdělení
a q je počet parametrů rozdělení. Přičemž platí, že vhodnější je takové rozdělení, jehož
hodnota AIC je nižší. Shodu rozdělení lze posuzovat i podle grafů zobrazujících histogramy empirického rozdělení a hustotní funkce vybraných hypotetických rozdělení.
7. Je odhadován vhodný model časové řady. Postupuje se od jednodušších modelů
k modelům složitějším, od úrovňových modelů k modelům volatility, od lineárních modelů k nelineárním.
a) Začíná se autoregresními modely typu AR. Detailně se těmito modely zabývají např.
Arlt a Arltová (2003). Vhodný model je hledán podle tvaru autokorelační funkce ACF
a parciální autokorelační funkce PACF. Důraz je v tomto kroku kladen na vlastnosti
reziduí. Nástrojem pro zjištění, zda jsou nebo nejsou rezidua vzájemně korelována
(autokorelována) je vedle grafu autokorelační (2.94) a parciální autokorelační funkce
(2.95) i hodnota Ljungovy-Boxovy Q (2.96) statistiky, které se v programu EViews
počítají (Quantitative, 2004) podle:
∑ ((Y − Y )(Y
T
τk =
t = k +1
t −k
t
)
− Y ) / (T − K )
∑ (Y − Y )
T
t =1
t
,
2
/T
pro k = 1
τ1

k −1
τ k − ∑ φk −1, jτ k − j
pro k >1 ,
φk = 
j =1
k −1

 1 − ∑ φk −1, jτ k − j

j =1
k
QLB = T (T + 2)∑
j =1
τ 2j
T−j
(2.94)
(2.95)
,
(2.96)
kde T je počet pozorování v časové řadě, k je počet zpoždění a Yt −k = ∑ Yt − k /(T − k ) .
Výpočet autokorelační funkce je jiný než uvádí literatura. U základních autoregresních
modelů se zjišťuje, zda jsou pro dané řady vhodné nebo zda vykazují tzv. ARCH
efekt, neboli zda v časové řadě existuje podmíněná heteroskedasticita. K tomu slouží
dva typy testů – ARCH test založený na principu Lagrangeových multiplikátorů (Engle, 1982) pro různá zpoždění (v této práci není použit) a Ljungova-Boxova Q statistika
počítaná pro druhé mocniny reziduí odhadnutého úrovňového modelu (Ljung a Box,
1979; Harvey, 1990, 1993).
46
b) Prokáže-li se přítomnost podmíněné heteroskedasticity, odhadují se parametry modelu
ARCH (2.30), pomocí metody maximalizace věrohodnostní funkce a to především
Marquardtovou metodou nebo v případě, že odhady ani při vysokém počtu iterací
(nad 2000) nekonvergují, BHHH metodou (Bernt a kol, 1974). O obou metodách také
detailně pojednávají Arlt a Arltová (2003).
Opět se zjišťuje, zda se i v tomto modelu vyskytuje podmíněná heteroskedasticita stejnými nástroji jako v bodě 7a. Provede se další diagnostická kontrola – test
autokorelace nesystematické složky modelu (Ljungova-Boxova Q statistika)
a Jarqueův-Berův test normality standardizovaných reziduí (2.86).
c) Prokáže-li se i v tomto modelu přítomnost podmíněné heteroskedasticity, odhadují
se parametry složitějšího modelu GARCH (2.34) a provede se diagnostická kontrola
modelu prostřednictvím reziduí stejně jako v bodě 7a.
d) Odhadují se parametry GARCH modelů vycházejících z předpokladu, že nesystematická složka časové řady má jiné než normální rozdělení. V tomto případě jsou
alternativami Studentovo t rozdělení (2.11) a GED rozdělení (2.32). Je provedena jejich diagnostická kontrola. Volba rozdělení je ovlivněna nabídkou programu EViews.
Tvary věrohodnostních funkcí pro model GARCH s alternativnímu rozděleními jsou
(2.37) resp. (2.38).
e) Odhadují se parametry lineárního modelu volatility typu GARCH-M (2.46) jako alternativa k modelu GARCH a je provedena jeho diagnostická kontrola. Není-li statisticky
významný parametr λ v úrovňovém modelu v jednom ze tří tvarů (2.47), (2.48)
a (2.49), pak tento model není zařazen do dalšího srovnání, protože podmíněný rozptyl
nemá podle modelu přímý vliv na podmíněnou střední hodnotu časové řady.
f) Pomocí testů asymetrie podmíněné heteroskedasticity SB (Sign Bias Test), NSB (Negative Size Bias Test) a PSB (Positive Size Bias Test) počítaných podle autorů Arlta
a Arltové (2003) se zjišťuje, zda časová řada vykazuje asymetrii vlivu kladných a záporných výnosů na podmíněný rozptyl. Důvodem pro použití testů je zjištění, zda má
vůbec smysl nelineární modely volatility odhadovat.
g) Odhadují se parametry nelineárních modelů volatility typu EGARCH (2.59) a GRJGARCH (2.60) a je provedena jejich diagnostická kontrola. Pomocí odhadu jejich parametrů se usuzuje, zda časová řada vykazuje asymetrii vlivu kladných a záporných
výnosů na podmíněný rozptyl.
h) U všech modelů volatility se parametry a směrodatné chyby odhadů odhadují vedle
metody maximalizace věrohodnostní funkce i quasi metodou maximální věrohodnosti
47
(Bollerslev a Wooldridge, 1992) nebo (Arlt a Arltová, 2003), protože u žádné řady nebyla splněna podmínka normality procesu a právě tato metoda nebere ohled
na rozdělení výnosů. Odhad asymptotické kovarianční matice založený na quasi metodě maximální věrohodnosti umožňuje provádět přesnější t-testy odhadnutých
parametrů. Závěry t-testů o statistické významnosti parametrů jsou porovnány s cílem
zjistit, zda t-testy založené quasi-metodě vedou ke stejným výsledkům jako t-testy založené na maximalizaci věrohodnostní funkce odvozené od jiného než normálního
rozdělení.
i) Pomocí informačních kritérií AIC (Akaikeho informační kritérium) (2.97) a SBC
(Schwartzovo bayesovské kritérium) (2.98) a testů věrohodnostním poměrem (2.99)
se srovnávají odhadnuté lineární a nelineární modely volatility s variantami alternativních rozdělení (normální, t a GED). Snahou tohoto srovnání je nalézt nejhodnější
model pro popis chování časových řad a pro případnou předpověď.
AIC = −2l / T + 2k / T ,
(2.97)
SBC = −2l / T + (k log T ) / T ,
(2.98)
G = 2 [l (1) − l (0)] .
(2.99)
Ve výše uvedených vzorcích informačních kritérií přejatých z (Quantitative, 2004) je
T počet pozorování v časové řadě, k počet parametrů modelu a l je hodnota věrohodnostní funkce použité při odhadu parametrů odpovídajícího modelu.
Testová statistika testu věrohodnostním poměrem G (2.99) je založena na rozdílu logaritmů věrohodnostní funkce l(1) a l(0) dvou srovnávaných modelů s nestejným počtem
parametrů. Statistika má chi-kvadrát rozdělení s p-q stupni volnosti, kde p je počet parametrů rozšířeného modelu (1) a q je počet parametrů základního modelu (0) a platí
p > q (Cox, 1972)16. Poslední podmínka naznačuje, že aplikace testu na dva modely
se stejným počtem parametrů je nesmyslná, protože testová statistika by měla chikvadrát rozdělení s 0 stupni volnosti. Test je použit ke zjištění, zda přidáním jednoho
resp. více parametrů do modelu přinese statisticky významné zlepšení kvality modelu
a zda má smysl se složitějším modelem zabývat. Tímto testem jsou srovnávány modely GARCH oproti modelům ARCH - testované hypotézy jsou H0: βp = 0 vs.
HA: βp ≠ 0, kde βp je vektor parametrů β1 … βp modelu GARCH(q,p); modely
GARCH-M oproti modelům GARCH - H0: λ = 0 vs. HA: λ ≠ 0, kde λ je dodatečný parametr modelu GARCH-M. Dále pak lineární modely GARCH s nelineárními modely
GRJ-GARCH - H0: γk = 0 vs. HA: γk ≠ 0, kde γk je vektor parametrů γ1 … γk popisují16
Cox nepoužívá tento test v souvislosti se srovnáním modelů volatility.
48
cích asymetrii volatility časové řady. Informační kritéria AIC a SBC jsou využita
pro srovnání modelů, u kterých není možné test věrohodnostním poměrem použít
(modely s odlišným rozdělením nesystematické složky, modely se stejným počtem parametrů, modely EGARCH).
8. U standardizovaných reziduí nejvhodnějšího z modelů jsou znovu posuzovány vlastnosti
rozdělení. Vedle reziduí vycházející z předpokladu normálního rozdělení nesystematické
složky se zkoumají vlastnosti reziduí modelu předpokládajících Studentovo t a GED rozdělení. Jde především o to, zda rezidua mají hypotetické rozdělení s odhadnutými
parametry. K tomu je použit Kolmogorovův-Smirnovův test (2.88), Q-Q graf a graf porovnávající histogramy empirického a hypotetického rozdělení. Hodnoty náhodných
veličin hypotetických rozdělení s předem danými parametry (v pro t rozdělení resp. r
pro GED rozdělení) jsou generovány programem EViews pomocí funkcí qtdist a qged
(viz. Quantitative, 2004b). Tento postup byl přejat od autorů programu (Quantitative,
2004).
9. Detailně jsou prozkoumány vlastnosti standardizovaných reziduí tradičního modelu založeného na předpokladu normálního rozdělení. Jsou vypočteny popisné charakteristiky
reziduí a odhadnuty parametry různých rozdělení. Pro posouzení špičatosti a případné
šikmosti jsou to Laplaceovo, Exponenciální, Studentovo t, zobecněné logistické
a tříparametrické log-logistické rozdělení. Pomocí testů shody vyjmenovaných v bodě 5
a informačního kritéria AIC počítaného podle (2.93) se hledá nejvhodnější rozdělení.
K posouzení tvaru rozdělení standardizovaných reziduí je vyhotoven i graf zobrazující
histogram empirického rozdělení a křivek hustot pravděpodobností vybraných hypotetických rozdělení. Cílem tohoto kroku je detailně prostudovat z jakého důvodu není splněna
podmínka normality procesu. Závěry touto cestou získané mohou být využity při volbě
vhodného rozdělení nesystematické složky modelů volatility.
49
3 Analýza akciových podílových fondů
3.1 Úvod
Tato část textu se věnuje analýze časových řad denních kurzů českých akciových podílových
fondů. Pozornost je věnována pěti fondům, které patří mezi nejstarší české fondy na českém
trhu (viz tabulka 3.1).
Tab. 3.1 Základní informace o analyzovaných fondech
Akciové podílové fondy
AKRO akciový fond nových ekonomik
Správce
1
AKRO
Založení
Zdroj dat
29.2.1996
-
ING International Český akciový fond
ING
27.10.1997
www.ing.cz
ISČS-SPOROTREND
ISČS
31.3.1998
www.iscs.cz
ČSOB Akciový Mix
ČSOB
1.11.1999
-
ISČS-EUROTREND
ISČS
4.9.2000
www.iscs.cz
ISČS-Globalstocks FF
ISČS
1.9.2000
www.iscs.cz
1
Pioneer - akciový fond
Pioneer
20.11.2000
www.pioneer.cz
1
tyto časové řady byly z analýzy vynechány, protože nesplňovaly některou z podmínek na str. 7
Velká většina českých otevřených podílových fondů nesplňovala především čtvrtou podmínku pro zařazení do analýzy. Časové řady byly příliš krátké, protože řada z nich vznikla až po
roce 2001. Proto jsou, nejen v případě akciových fondů, analyzovány opravdu fondy, které
patří na českém trhu mezi nejstarší. Ze sedmi nejstarších akciových fondů byly vynechány
pouze dva. Fond AKRO je jediným fondem z vybraných, který je oceňován pouze týdně (nesplňuje 3. podmínku) a fond ČSOB Akciový Mix, prošel v roce 2003 významnými změnami
(stejně jako ostatní fondy skupiny ČSOB), které zcela změnily kurzové hodnoty. Sama společnost ČSOB, která je správcem fondu, nedoporučila společně analyzovat starší a novější
hodnoty časové řady. Data byla získána z internetových stránek jednotlivých správců podílových fondů (tab. 3.1).
Analyzované časové řady byly transformovány podle tvaru rt = lnPt – lnPt-1, kde Pt je cena
podílového listu v čase t a Pt-1 je cena podílového listu v čase t-1. Analyzovány jsou tedy namísto kurzů podílových listů výnosy logaritmů cen podílových listů. Dále v textu je místy ve
stejném významu použity pojmy logaritmické výnosy nebo jen výnosy.
Grafy v příloze 1 ukazují průběh původních časových řad a transformovaných časových řad.
Na všech řadách je patrný podobný vývoj. Pokles nebo stagnace převládající od počátku sledování do druhé poloviny roku 2002 a následný růst hodnoty podílových listů, který přetrvává
až do konce roku 2005. Grafy výnosů logaritmů vykazují proměnlivost variability v čase, vyskytují se v nich extrémně nízké a extrémně vysoké hodnoty a shluky.
50
3.2 Popisné charakteristiky
Délka časových řad je pět let. Vzhledem k faktu, že otevřené podílové fondy nejsou obchodovány o víkendech ani o státních svátcích, pohybuje se délka řad kolem 1260 hodnot. Některé
časové řady jsou kratší, což je dáno tím, že správci neohodnocují podílové fondy ve stejných
termínech. Například po novém roce začínají někteří až ve druhém lednovém týdnu. V roce
2002 zveřejnila společnost Pioneer první cenu podílového listu až 9. ledna, zatímco zbylí dva
správci (ISČS a ING) již 2. ledna. Obdobným způsobem jsou hodnoty podílových kurzů zveřejňovány i po dalších svátcích.
Střední hodnoty – průměr a medián transformovaných řad se blíží nule. Až na fond ISČS Sporotrend, který má hodnotu kladnou, vykazují ostatní časové řady zápornou hodnotu aritmetického průměru. Všechny vypočtené průměry jsou však v absolutní hodnotě velice nízké.
Tab. 3.2 Popisné charakteristiky časových řad výnosů logaritmů akciových otevřených podílových fondů
Charakteristika
Počet
Průměr
Medián
Maximum
Minimum
Rozpětí
Směrodatná odchylka
Šikmost
Špičatost
Jarqueův-Berův test
p-hodnota testu
Kolmogorovův-Smirnovův
p-hodnota testu
ISČS
Sporotrend
1264
0,000556
0,000585
0,044158
-0,047636
0,091794
0,011456
-0,334603
4,573652
ING
International
Český akciový
fond
1260
-0,000909
-0,001375
0,071377
-0,064911
0,136288
0,009742
0,546780
8,077889
154,008700
0,000000
0,050526
0,008870
ISČS
Eurotrend
Pioneer –
akciový fond
ISČS
Globalstocks
FF
1243
-0,000387
0,000000
0,061803
-0,062589
0,124392
0,014369
0,023544
5,411417
1226
-0,000122
0,000134
0,046708
-0,061995
0,108703
0,009629
-0,007342
6,602159
1264
-0,000353
0,000000
0,039556
-0,084064
0,123620
0,009929
-0,705609
8,460713
1416,493773
0,000000
301,279900
0,000000
662,845300
0,000000
1675,375000
0,000000
0,054311
0,00118269
0,069009
0,0000144
0,065101
0,000061
0,59919
0,000229
Hodnoty maxima, minima a variačního rozpětí ukazují, že výkyvy výnosů akciových podílových fondů jsou velice podobné. Minima se pohybují od -0,0841 (ISČS Globalstocks FF) do
-0,0476 (ISČS SPOROTREND), maxima pak od 0,0396 (ISČS Globalstocks FF) do 0,0714
(ING International Český akciový fond). Rozdíly jsou patrné až na úrovních setin. Nejvyšší
variační rozpětí měl ve sledovaném období ING International Český akciový fond (0,1363) a
nejmenší ISČS Sporotrend (0,0928).
Směrodatná odchylka časových řad se ve všech případech pohybuje v okolí hodnoty 0,01.
Pokud by byla použita jako míra rizikovosti investice, tak ze všech skupin fondů je tato hod51
nota nejvyšší (např. otevřené podílové fondy peněžního trhu vykazují tuto hodnotu v rozmezí
0,0002 – 0,0003). U českých akcií15, jejichž rizikovost je v porovnání s fondy vyšší se volatilita pohybuje kolem hodnoty 0,02.
Ukazatel zešikmení časových řad nabývá někdy kladné a někdy záporné hodnoty. Všechny
hodnoty jsou blízké nule a není tedy zcela jednoznačné, zda jsou časové řady významně zešikmené. Špičatost rozdělení je vyšší než u normálního rozdělení. Nejnižší má ISČS SPOROTREND (4,5736), nejvyšší ISČS Globalstocks FF (8,4607). Také tento ukazatel se mění
v porovnání s jinými typy fondů a akciemi. Nejšpičatější jsou fondy peněžního trhu, které
dosahují hodnoty charakteristiky špičatosti až 94. České akcie vykazují špičatost od 5 do 13.
3.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů
Dva testy (Jarqueův-Berův test a Kolmogorovův-Smirnovův test) prokazují, že ani jedna
z analyzovaných časových řad nemá normální rozdělení. Důležitý předpoklad pro tvorbu autoregresních modelů časových řad tedy není splněn ani v jednom případě.
Z tabulek 5.1 až 5.5 uvedených v příloze 5 a histogramů rozdělení výnosů s křivkami hustot
pravděpodobností vybraných hypotetických rozdělení v příloze 11 je patrné, že právě špičatá
rozdělení se nejlépe shodují s nepodmíněným rozdělením časových řad. Nejvíce Laplaceovo a
Exponential Power (dále jen EP) rozdělení a také zobecněné logaritmicko-logistické rozdělení
(LL3) a tříparametrické logistické rozdělení (GL3). Normální a Cauchyho rozdělení se ukázala být nevhodná stejně jako zešikmené logaritmicko-normální. Hodnoty Akaikeho informačního kritéria (AIC) jsou u těchto rozdělení vysoké a testy neprokazují shodu.
Fondy Pioneer a ISČS Eurotrend vykazují velkou podobnost průběhu Laplaceova a EP rozdělení. Parametr EP rozdělení určující špičatost se v obou případech se blíží jedné (viz. tabulka
9.1 v příloze 9). V takovém případě jsou EP a Laplaceovo rozdělení totožná. Zbylé fondy
(ING, Sporotrend, Globalstocks) mají sledovaný parametr EP rozdělení nižší než jedna. Hodnota AIC je přitom nižší než u Laplaceova rozdělení. Nepodmíněné rozdělení těchto řad má
nižší špičatost než Laplaceovo rozdělení.
Průběh zobecněného logistického a tříparametrického logistického rozdělení je u všech fondů
velmi podobný. V případě fondu Pioneer se parametr zešikmení zobecněného logistického
rozdělení blíží jedné, takže GL3 rozdělení je v tomto případě symetrické. U časových řad společnosti ISČS je hodnota parametru zešikmení GL3 rozdělení menší než jedna, což by mohlo
naznačovat záporné zešikmení analyzovaných časových řad. Tomu odpovídá i vypočtená
šikmost v tabulce 3.2, která je u fondů Sporotrend a Globalstocks záporná. Naopak fond Eu15
ČEZ, Komerční Banka, Philip Morris, Český Telekom, Unipetrol
52
rotrend má hodnotu šikmosti kladnou, ale blízkou nule a také odhadnutý parametr zešikmení
GL3 rozdělení je ze všech tří porovnávaných fondů nejblíže jedné. Vzhledem k tomu, že u
žádné doposud jmenované časové řady není podle AIC rozdělení GL3 výrazně lepší než alternativní symetrická rozdělení, lze tvrdit, že zešikmení výnosů žádné ze zmíněných časových
řad není významné.
Jedinou výjimkou je fond ING. Šikmost tohoto fondu je kladná (0,55) což naznačuje, že ve
sledovaném období převládají kladné výnosy nad zápornými. Jde o jediný fond, kde je podle
informačního kritéria vhodnější LL3 a GL3 rozdělení s odhadnutým parametrem zešikmení
1,29, před skupinou exponenciálních rozdělení. Z průběhu časové řady přitom není patrné, že
by šikmost mohla být způsobena jediným odlehlým pozorováním. Nepodmíněné rozdělení
výnosů fondu ING je mírně kladně zešikmené.
Zjištění o tvaru rozdělení je důležité pro konstrukci modelů časových řad. Použitý program
EViews 5.0 odhady parametrů založené na předpokladu zešikmeného rozdělení nesystematické složky prozatím neumožňuje, jiné programy však ano (např. G@RCH). Závěr je též významný pro testování statistické významnosti odhadnutých parametrů modelů a konstrukci
intervalů předpovědí.
Potvrdilo se, že žádná z řad nemá normální rozdělení. Ve všech případech je špičatost vyšší
než u normálního rozdělení, což nejlépe postihuje právě Laplaceovo a EP rozdělení. Pro konstrukci modelů podmíněné volatility tak bude vhodnější používat špičatá rozdělení jako je
Studentovo t rozdělení nebo GED rozdělení.
53
3.4 Modely akciových otevřených podílových fondů
V této kapitole jsou prezentovány postupy modelování výnosů rt akciových podílových fondů
a závěry z odhadnutých modelů plynoucí. Postupy jsou v souladu s kapitolou 2.4. Detailně je
postup modelování zpracován na příkladu fondu ISČS Sporotrend. U všech ostatních fondů je
míra detailnosti nižší, především co do rozsahu prezentovaných výstupů. Důležité grafy a
tabulky jsou uvedeny v odpovídajících přílohách.
3.4.1 ISČS Sporotrend
V prvním kroku modelování je odhadnut jednoduchý autoregresní model časové řady (typu
AR(p)). Jeho stupeň p je vybrán na základě tvaru autokorelační (ACF) a parciální autokorelační funkce (PACF) časové řady výnosů logaritmů cen (příloha 14). Vzhledem k tomu, že
statisticky významné hodnoty má ACF podle Ljungovy-Boxovy Q statistiky až od 4. zpoždění, byl navržen autoregresní model ve tvaru AR(4). Konstanta modelu nebyla narozdíl od autoregresního parametru φ4 statisticky významná, a proto nebyla do modelu zahrnuta.
Podle grafu ACF a PACF reziduí modelu AR(4) (obr. 3.1) i podle hodnot Ljungovy-Boxovy
Q statistiky nevykazuje náhodná složka modelu autokorelaci a zvolený model podmíněné
střední hodnoty by tedy mohl být pro sledovanou řadu vhodný. Dále se však ukazuje, že model obsahuje významnou podmíněnou heteroskedasticitu v prvním i ve vyšších zpožděních.
K tomuto závěru vede graf ACF a PACF druhých mocnin reziduí (obr. 3.2).
S ohledem na existenci podmíněné heteroskedasticity v autoregresním modelu, bude k popisu
vlastností časové řady výnosů vhodnější použít model volatility typu ARCH nebo GARCH.
Z kategorie ARCH modelů se jako nejvhodnější ukázal být model typu AR(4)-ARCH(1,1).
Další v úvahu připadající modely neměly statisticky významné parametry. I tento model vykazoval významnou podmíněnou heteroskedasticitu (obr. 3.3), a proto byly odhadnuty parametry modelu GARCH. S ohledem na statistickou významnost parametrů je vhodný model
GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu. Parametry úrovňového modelu pro první
nebo čtvrté zpoždění φ1 a φ4 nebyly statisticky významné. Vhodnější jsou modely GARCH
s GED a Studentovým t rozdělením nesystematické složky. Toto bylo zjištěno z hodnot informačních kritérií AIC a SBC a z testu věrohodnostním poměrem (tabulky 3.3 a 3.4). Model
s GED rozdělením nevykazuje přítomnost autokorelace ani podmíněné heteroskedasticity.
Parametr r rozdělení GED má hodnotu 1,5, což je menší než 2 a naznačuje špičatější rozdělení
s tlustšími konci než má rozdělení normální.
Ve všech třech alternativních tvarech (viz. kapitola 2.3) lineárního modelu GARCH-M(1,1) je
hodnota parametru λ statisticky významná. Porovnáním tří alternativních modelů bylo zjiště54
no, že nejvhodnějším je model s logaritmem podmíněného rozptylu v úrovňovém modelu,
hodnoty AIC a SBC kritérií jsou u tohoto modelu nejnižší (tabulka 3.6). Hodnota odhadnutého parametru λ modelu s GED16 rozdělením (tabulka 3.7) je sice nízká (-0,014), ale přesto
statisticky
významná.
Také ostatní parametry jsou
statisticky
významné.
Model
GARCH-M(1,1) nevykazuje autokorelaci nesystematické složky ani heteroskedasticitu (obr
3.4 a 3.5).
Odhadu parametrů nelineárních modelů volatility předcházejí jednoduché testy podmíněné
heteroskedasticity nelineárního typu - SB test, NSB test, PSB test a obecný test sdružující
předchozí testy do jednoho. V tabulce 3.8 jsou uvedeny výsledky testů vycházejících z reziduí
modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky. Testy dokazují významný
vliv záporných výnosů na podmíněnou heteroskedasticitu (NSB test). Spolu s obecným testem
toto zjištění vede k závěru, že se podmíněná heteroskedasticita nelineárního typu v časové
řadě vyskytuje a že vliv šoků na podmíněný rozptyl časové řady není symetrický.
Všechny parametry nelineárního modelu volatility EGARCH s GED rozdělením nesystematické složky (tabulka 3.9) jsou statisticky významné. Hodnota parametru γ1 je -0,053, tedy
poměrně nízká. Tento model přináší důkaz, že časová řada vykazuje asymetrii podmíněného
rozptylu (tzv. pákový efekt), ne však příliš významnou. Na hladině významnosti 0,01 vykazuje model autokorelaci nesystematické složky ve vyšších zpožděních a nevykazuje heteroskedasticitu.
Parametry modelu GRJ-GARCH s GED rozdělením nesystematické složky (tabulka 3.10)
jsou statisticky významné a blízké hodnotám ostatních modelů s alternativním rozdělením.
Hodnoty parametrů α1 (0,057) a γ1 (0,067) potvrzují přítomnost pákového efektu, takže je opět
potvrzena podmíněná heteroskedasticita nelineárního typu. Parametr γ1 je stejně jako u modelu EGARCH(1,1) nízký. Asymetrii vlivu šoků znázorňuje graf funkce NIC (obr. 3.6). I z grafu je patrné, že popsaná asymetrie není příliš výrazná. Diagnostická kontrola modelu došla
k následujícím závěrům: i tento modelu vykazuje na hladině významnosti 0,01 autokorelaci a
rezidua jsou homoskedastická. Parametry modelu s t rozdělením nesystematické složky se
nepodařilo odhadnout ani jedním z iteračních algoritmů.
Z porovnání informačních kritérií i z testů věrohodnostním poměrem (tabulky 3.3 a 3.4) jednak vyplynulo, že model GARCH-M(1,1) je pro řadu výnosů logaritmů fondu ISČS Sporotrend vhodnější než GARCH(1,1) a že modely s GED rozdělením jsou vhodnější než modely
s normálním rozdělením nesystematické složky. Stejný závěr o rozdělení nesystematické
16
Stejně jako u modelu GARCH(1,1) je model s GED rozdělením nejvhodnější ze tří alternativ rozdělení nesystematické složky.
55
složky je platný i pro nelineární modely volatility. Informační kritéria modelů s GED rozdělením jsou vyšší oproti modelům s rozdělením normálním i Studentovým t rozdělením. Nelineární model GRJ-GARCH však nepřináší v porovnání s lineárními modely výraznější zlepšení
(viz. výsledky testu věrohodnostním poměrem). Proto lze závěrem konstatovat, že časová
řada sice vykazuje asymetrii vlivu kladného a záporného výnosu na budoucí podmíněný rozptyl, ale tento vliv není příliš velký. Navíc nelineární modely nesplnily podmínku neautkorelovanosti nesystematické složky modelu. Nejvhodnějším modelem časové řady je model
GARCH-M(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky.
Detailní pohled je věnován reziduím vybraného modelu. Z každého ze tří alternativních modelů byla vypočtena standardizovaná rezidua a Kolmogorovy-Smirnovy testy (dále KS test)
(tabulka 3.11) a grafy (obr. 3.7, 3.8 a 3.9) ukazují, že jejich rozdělení je shodné s rozdělením
teoretickým. Výsledek KS testu u reziduí modelu s normálním rozdělením však není v souladu s Jarqueovým-Berovým testem (dále JB test), jehož p-hodnota je 0,000 (obr. 3.10). Rezidua tohoto modelu mají vyšší než normální špičatost (3,68) a podle testů shody se nejlépe
shodují s Exponential Power (odhadnutý parametr špičatosti je 0,33) a zobecněným logistickým rozdělením (parametr zešikmení je 0,93). Výsledky testů shody jsou v tabulce 3.12 a v
histogramu 3.11. Rozdělení standardizovaných reziduí je špičatější než normální a je symetrické.
Model GARCH-M(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky splňuje veškeré podmínky
diagnostické kontroly a lze jej doporučit pro ekonomické aplikace jako je např. analýza VaR
nebo pro konstrukci předpovědních intervalů za účelem zobrazení vývoje rizika v historii časové řady. Model vyjadřuje důležitou vlastnost chování výnosů fondu ISČS Sporotrend –
s rostoucí podmíněnou variabilitou klesá podmíněná střední hodnota, takže po významných
výkyvech cen oběma směry lze očekávat následný pokles průměrné ceny podílového listu.
56
Tab. 3.3 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
model
GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
GARCH(1,1)
s t rozdělením
GARCH(1,1)
s GED rozdělením
GARCH-M(1,1)
s normálním rozdělením
GARCH-M(1,1)
s t rozdělením
GARCH-M(1,1)
s GED rozdělením
EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
EGARCH(1,1)
s t rozdělením
EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
GRJ-GARCH s
normálním rozdělením
GRJ-GARCH
s GED rozdělením
AIC
SBC
4
3945,645
-6,236780
-6,220507
5
3955,517
-6,254083
-6,230477
5
3957,581
-6,233743
-6,233743
5
3949,255
-6,240911
-6,220570
6
3959,225
-6,255103
-6,230695
6
3961,314
-6,258408
-6,233999
5
3946,786
-6,237004
-6,216663
6
3956,612
-6,250969
-6,226560
6
3958,642
-6,254180
-6,229771
5
3949,686
-6,241591
-6,221251
6
3960,759
-6,257530
-6,233122
Tab. 3.4 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
GARCH-M(1,1) s GED rozdělením
GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
test věr.
poměrem
df.
p-hodnota
7,466
1
0,0063
6,356
1
0,0417
Tab. 3.5 Parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED rozdělením
nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
0,001172
0,000273
ω
3,09E-06
1,29E-06
α1
0,092496
0,018509
β1
0,884712
0,022816
v1
1,501441
0,091718
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
4,292537
2,387336
4,997408
38,77538
16,37023
0,0000
0,0170
0,0000
0,0000
0,0000
57
Obr. 3.1 ACF a PACF modelu AR(4), hodnoty
testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 3.2 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu AR(4), hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti
Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 3.3 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu AR(4)-ARCH(1), hodnoty
testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 3.4 ACF a PACF modelu GARCHM(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu,
hodnoty testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 3.5 ACF a PACF druhých mocnin nesystematické složky modelu GARCH-M(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace
58
Tab. 3.6 Porovnání alternativních modelů GARCH-M(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky lišících se členem charakterizujícím podmíněný rozptyl v úrovňovém modelu
GARCH-M(1,1)
st.deviation
var
log(var)
log-věrohodnostní
funkce
3948,684
3947,921
3949,255
AIC
SBC
-6,240006
-6,238799
-6,240911
-6,219666
-6,218459
-6,220570
Tab. 3.7 Odhadnuté parametry modelu GARCH-M(1,1) s konstantou a logaritmem podmíněného rozptylu v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
-0,012221
0,005598
λ
-0,001438
0,000598
ω
2,90E-06
1,21E-06
α1
0,090639
0,018297
β1
0,887935
0,022141
v1
1,496130
0,091282
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
-2,182878
-2,403470
2,390080
4,953647
40,10358
16,39027
0,0290
0,0162
0,0168
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 3.8 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
2,3994
0,0164
-4,9745
0,0000
-0,1919
0,8478
24,8772
0,0000
Tab. 3.9 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a
GED rozdělení
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
0,001077
0,000276
ω
-0,511338
0,122642
α1
0,175695
0,032577
γ1
-0,053092
0,018494
β1
0,958746
0,012616
v1
1,502159
0,091391
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
3,899296
-4,169372
5,393176
-2,870787
75,99401
16,43655
0,0001
0,0000
0,0000
0,0041
0,0000
0,0000
Tab. 3.10 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a
GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
0,001048
0,000277
ω
4,42E-06
1,44E-06
α1
0,056588
0,021961
γ1
0,066727
0,026781
β1
0,873389
0,023753
v1
1,514538
0,092709
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
3,788297
3,073018
2,576822
2,491603
36,76913
16,33651
0,0002
0,0021
0,0100
0,0127
0,0000
0,0000
59
Obr. 3.6 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
0,0007
0,0006
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
NIC GARCH
0,0001
NIC GRJ
0
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
εt
Tab. 3.11 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua
modelu GARCH-M(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Hypotetické rozdělení (parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (9,23)
GED (1,49)
Normální
Studentovo t
GED
KolmogorovůvSmirnovův test
p-hodnota tesu
0,0365
0,0559
0,0311
0,0690
0,0353
0,5510
Obr. 3.7 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s normálním rozdělením
a normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCHM(1,1) se Studentovým t rozdělením a Studentova t rozdělení s 9,225017 stupni volnosti.
Theoretical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
4
3
3
SPOROTREND_TDIST
4
Normal Quantile
2
1
0
-1
-2
-3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4
SPOROTREND_RESID
-3
-2
-1
0
1
2
SPOROTREND_RESID_T
60
3
4
Obr. 3.8 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s GED rozdělením a GED
rozdělení s 1,496130 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
4
3
SPOROTREND_GED
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
SPOROTREND_RESID_GED
Obr. 3.9 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s GED rozdělením a
histogram GED rozdělení s 1,496130 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 9,225017 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
Histogram for standardized residuals
440
320
220
frequency
frequency
240
120
20
80
40
160
180
360
280
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
-11
8
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Obr. 3.10 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu GARCH-M(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky
160
Series: Standardized Residuals
Sample 1/03/2001 12/30/2005
Observations 1264
140
120
100
80
60
40
20
0
-2.50
-1.25
0.00
1.25
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.023101
-0.011384
3.356603
-3.426306
0.997545
-0.130351
3.675866
Jarque-Bera
Probability
27.63739
0.000001
2.50
61
Tab. 3.12 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu GARCH-M(1,1)
s normálním rozdělením nesystematické složky
CramerChi-squared Modified Kuiper
Watson
AndersonKolmogo- V
Von Mises U^2
Darling
rovW^2
A^2
Smirnov D
Exponential Power
3 3563,06 6,9070*** 0,0167*** 0,0329*** 0,0518*** 0,0505*** 0,3498***
Generalized Logistic 3 3565,50 5,4079*** 0,0216*** 0,0358*** 0,0597*** 0,0597*** 0,3483***
Loglogistic (3-Par.)
3 3566,38 8,6128*** 0,0192*** 0,0317*** 0,0505*** 0,0505*** 0,3478***
Student's t
1 3576,84 24,1558
0,0372**
0,0650
0,4819*
0,4156
2,8642*
Laplace
2 3607,66 42,9338
0,0428*
0,0819
0,5125*
0,5022
3,0429*
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Par. AIC
Distribution
Obr. 3.11 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH-M(1,1) s normálním
rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic
(3-Parameter)
600
frequency
500
400
300
200
100
0
-3,8
-1,8
0,2
2,2
Standardized residuals
62
4,2
3.4.2 Fond Pioneer Akciový
Jako nejvhodnější úrovňový model se ukázal být autoregresní model AR(1) se statisticky nevýznamnou konstantou φ0 a autoregresním parametrem φ1 = 0,065 (p-hodnota = 0,0206). Nevykazuje sice autokorelaci nesystematické složky, ovšem vyskytla se v něm heteroskedasticita. Náhodná složka modelu navíc nemá normální rozdělení. Stejné závěry diagnostické kontroly vykazuje i model volatility AR(1)-ARCH(1), kde se heteroskedasticita nesystematické
složky vyskytuje již od druhého zpoždění.
Až model GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu (autoregresní parametry φi nejsou
statisticky významné) žádnou heteroskedasticitu nevykazuje a není v něm významná autokorelace nesystematické složky. Předpoklad o normalitě náhodné složky však podle JarqueovaBerova testu (p-hodnota = 0,0000) splněn není. Odhady parametrů modelu jsou v příloze 18.
Modely GARCH s alternativním rozdělením náhodné složky mají stejně jako model
s normálním rozdělením nevýznamné konstanty jak v modelu podmíněné střední hodnoty, tak
i v modelu podmíněné volatility. Oba modely nevykazují autokorelaci ani heteroskedasticitu a
podle informačních kritérií jsou vhodnější než model s normálním rozdělením nesystematické
složky. Modely s t rozdělením(AIC = -6,787940, SBC = -6,767093) a GED rozdělením
(AIC = -6,785544, SBC = -6,764697) jsou přibližně stejné, model se Studentovým t rozdělením je jen o málo vhodnější.
V případě GARCH-M modelu neměl ani jeden z alternativních modelů statisticky významný
parametr λ v úrovňovém modelu (parametr charakterizující vliv podmíněného rozptylu). Tento model se pro analyzovanou řadu ukázal být nevhodný.
Při testování podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu pomocí SB, PSB, NSB a obecného testu se prokázal významný vliv záporných výnosů a jejich velikosti na podmíněnou
volatilitu (statisticky významný NSB test). Také SB test a obecný test vedou k závěru, že se
podmíněná heteroskedasticita nelineárního typu v modelu vyskytuje (viz. tabulka 18.1 přílohy
18).
Modely EGARCH vykazovaly při diagnostické kontrole podmíněnou heteroskedasticitu nesystematické složky již od prvního zpoždění, a proto byly z další analýzy vynechány. Modely
typu GRJ-GARCH s alternativním rozdělením nesystematické složky jsou dle informačních
kritérií vhodnější než model s normálním rozdělením, vzájemně si jsou téměř rovnocenné.
Model vycházející z předpokladu, že náhodná složka má Studentovo t-rozdělení je trochu
lepší, ovšem i tento model vykazuje přítomnost heteroskedasticity náhodné složky. Z tohoto
důvodu bude do srovnání zahrnut pouze model s GED rozdělením, ve kterém se nevyskytuje
autokorelace ani podmíněná heteroskedasticita.
63
Z tabulek 3.13 a 3.14 plyne, že nejvhodnějším modelem pro řadu výnosů logaritmů fondu
Pioneer Akciový je GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky. Standardně
byla pro podporu tohoto tvrzení použita informační kritéria a test věrohodnostním poměrem.
Parametr φ0 úrovňového modelu GRJ-GARCH(1,1) (tabulka 3.15) je stejně jako v případě
GARCH modelu statisticky nevýznamný. Parametr α1 vyjadřující vliv kladných šoků statisticky významný není (p-hodnota = 0,58). Hodnota parametru γ1 (0,117) je významně odlišná
od nuly a kladná. To znamená, že v časové řadě je významný vliv záporných šoků na podmíněný rozptyl, zatímco vliv kladných je statisticky nevýznamný. Významný pokles hodnoty
podílového listu, vyvolává následné zvýšení volatility. Závěr je v souladu s testy podmíněné
heteroskedasticity nelineárního typu. Parametr r GED rozdělení má hodnotu 1,54. Potvrzuje
tak předpoklad, že rozdělení výnosů logaritmů má tlustší konce a je špičatější než rozdělení
normální.
Kolmogorovův-Smirnovův test, Q-Q graf i histogramy potvrzují (tab. 18.4 a obr. 18.3 až 18.5
přílohy 18), že standardizovaná rezidua modelu mají skutečně předpokládané GED rozdělení.
Testové kritérium KS testu je 0,04 a p-hodnota = 0,2659. Rezidua modelu s t rozdělením mají
podle stejného testu i grafů skutečně t rozdělení (p-hodnota = 0,2024). Rezidua modelu založeného na normálním rozdělení jsou špičatá (špičatost je 4,12), ne však tolik jako Laplaceovo
rozdělení ovšem více než normální rozdělení. Testy shody označují významnou shodu s GL3
a LL3 rozděleními. Nejvhodnější je rozdělení GL3. Neznamená to však, že by šlo o zešikmená rezidua, protože odhad parametru zešikmení je 1,01 (viz. tab. 18.5 a obr. 18.7).
Tab. 3.13 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
Model
GARCH(1,1) s normálním
rozdělením
GARCH(1,1)
s t rozdělením
GARCH(1,1)
s GED rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
AIC
SBC
4
4148,905
-6,761673
-6,744996
5
4166,007
-6,787940
-6,767093
5
4164,538
-6,785544
-6,764697
5
4172,427
-6,798413
-6,777566
6
4185,202
-6,817622
-6,792606
6
4183,210
-6,814372
-6,789357
64
Tab. 3.14 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
test věr.
poměrem
df.
p-hodnota
37,344
1
0,0000
Tab. 3.15 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a
GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
7,71E-05
0,000189
ω
4,53E-07
2,07E-07
α1
-0,003772
0,006826
γ1
0,116701
0,020547
β1
0,940341
0,010887
v1
1,534949
0,075048
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
0,408786
2,187409
-0,552546
5,679679
86,37116
20,45291
0,6827
0,0287
0,5806
0,0000
0,0000
0,0000
65
3.4.3 ING International Český akciový fond
Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce (příloha 14) nevykazují statisticky významné hodnoty. Jednoduchý model AR(1) s konstantou má autoregresní parametr φ1 statisticky nevýznamný a konstantu φ0 blízkou nule, přesto však statisticky významnou. Model,
stejně jako model volatility ARCH(1), vykazuje přítomnost podmíněné heteroskedasticity v
nesystematické složce.
Model GARCH(1,1) neobsahuje autokorelaci ani podmíněnou heteroskedasticitu nesystematické složky. Všechny parametry modelu jsou statisticky významné. Konstanta ω v modelu
volatility je však blízká nule. Model předpokládající normalitu náhodné složky však tento
předpoklad podle JB testu nesplňuje (p-hodnota testu je 0,0000). Na vině je špičatost rozdělení standardizovaných reziduí, která je vyšší než u normálního rozdělení (5,95) a kladná šikmost (0,57). Hodnota charakteristiky šikmosti může být ovlivněna vysokou hodnotou rezidua
z 26. ledna 2001, která nabývá hodnoty 7,3. V tento den totiž došlo k razantnímu poklesu ceny podílových listů o 72 Kč z 1 045 Kč na 973 Kč a v zápětí se 29. ledna 2001 cena vrátila
zpět na 1 039 Kč. V průběhu sledovaného období již podobně významná změna nikdy nenastala. Po provedení pokusu, který spočíval v odstranění tohoto rezidua, klesla hodnota šikmosti na 0,3. Ani tehdy však JB test normalitu reziduí nepotvrdil, pro přetrvávající vysokou
špičatost.
Modely GARCH založené na jiném než normálním rozdělní se podle informačních kritérií
jeví jako vhodnější než model s normálním rozdělením náhodné složky. Oba alternativní modely splňují podmínky neautokorelovanosti a homoskedasticity náhodné složky a jsou si
téměř rovnocenné. Model s t rozdělením má AIC i SBC jen nepatrně nižší (tabulka 3.16).
Nejvhodnějším tvarem symetrického modelu volatility GARCH-M je podle AIC a SBC model s logaritmem podmíněného rozptylu v úrovňovém modelu (tab. 19.2 přílohy 19). Hodnota
parametru λ je hodně nízká (0,0017), přesto však statisticky významná. Jako v předchozích
srovnáních i zde vyhovují modely se Studentovým t rozdělením a GED rozdělením lépe než
základní model s rozdělením normálním. Srovnání je zobrazeno v tabulce 3.16. Ani jeden z
modelů GARCH-M(1,1) nevykazuje autokorelaci nebo heteroskedasticitu reziduí.
Testy potvrzují přítomnost podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu a také to, že podmíněný rozptyl závisí na výši kladných výnosů (p-hodnota PSB test je 0,0000) a ne záporných, jak tomu bylo u předchozích dvou fondů (p-hodnota NSB testu je 0,1050). Výsledky
testů jsou v příloze 19 (tab.19.5).
66
Diagnostická kontrola nelineárních modelů volatility typu GRJ-GARCH a EGARCH neprokázala autokorelovanost ani heteroskedasticitu v nesystematické složce. Nejvhodnější se opět
ukázaly být modely založené na předpokladu Studentova t rozdělení a GED rozdělení nesystematické složky.
Ze srovnání výše uvedených modelů vyplývá (tabulky 3.16 a 3.17), že lineární model volatility GARCH-M je vhodnější než model GARCH a dále pak, že nelineární modely volatility
jsou ekvivalentní tomuto modelu. Při detailním pohledu na hodnoty AIC a SBC modelů
GARCH-M, GRJ-GARCH a EGARCH je patrné, že rozdíly jsou až na místech setin.
Nejvhodnějším modelem pro časovou řadu výnosů logaritmů fondu ING akciový je v konečném důsledku model EGARCH se Studentovým t rozdělením (hodnota informačních kritérií
je absolutně nejnižší). Rezidua modelu však podle KS testu takové rozdělení na hladině významnosti 0,1 nemají (tab. 19.6 přílohy). Důvodem je jejich vyšší špičatost (obr. 19.3 přílohy). Naproti rezidua modelu s GED rozdělením jsou s tímto shodná (p-hodnota KS testu je
0,7896). Z tohoto pohledu se jako vhodnější jeví modely založené na GED rozdělení.
Odhadnuté parametry nelineárních modelů volatility odpovídají na otázku, zda časová řada
skutečně obsahuje asymetrii v působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl.
Parametry α1 a γ1 GRJ-GARCH modelu jsou statisticky významné a mají opačná znaménka.
Jejich hodnoty jsou α1 = 0,13 a γ1 = -0,1. Vliv kladných šoků (vyjádřený parametrem α1) je
tedy podle modelu vyšší než vliv šoků záporných, který je dán součtem obou parametrů. Graf
NIC funkce modelu byl vypracován pro znázornění popisované asymetrie (obr. 3.12).
V modelu EGARCH(1,1) nabývá parametr α1 hodnoty 0,18 a γ1 hodnotu -0,07 (tabulka 3.18).
Kladná hodnota druhého parametru potvrzuje, že vliv kladných šoků je v této časové řadě
větší než vliv šoků záporných. Oba modely tedy potvrzují závěry plynoucí z výsledků NSB a
PSB testů. Významný nárůst ceny podílového listu vyvolává zvýšení volatility, tedy rizikovosti investice a v konečném důsledku i možnost velikého propadu nebo i nárůstu ceny.
Odhadnutý parametr r GED rozdělení má v modelu EGARCH hodnotu 1,4 a v ostatních modelech časové řady se této hodnotě přibližuje. Rozdělení je špičatější a má tlustší konce než
rozdělení normální. Tento závěr je shodný se závěry předchozích modelů. Parametr je však
v porovnání s předchozími dvěma fondy nižší a také špičatost výnosů logaritmů časové řady
ING akciový je ze všech fondů druhá nejvyšší, jak bylo zmíněno v úvodní analýze tvaru rozdělení akciových podílových fondů. Tuto špičatost však model dokázal zachytit.
Detailnější pohled je věnován standardizovaným reziduím modelu EGARCH založeného na
předpokladu normálního rozdělení nesystematické složky (příloha 19). Normalitu reziduí vyvrátily hned dva testy (JB test a KS test). Srovnání s dalšími rozděleními ukazuje, že špičatá
67
rozdělení jako je Laplaceovo a EP nejsou v tomto případě příliš vhodná. Podle informačního
kritéria je nejvhodnější asymetrické LL3 rozdělení. Parametr zešikmení GL3 rozdělení je
kladný s hodnotou 1,24. Kladné zešikmení je dáno vlivem odlehlé kladné hodnoty, která již
byla komentována v souvislosti s rezidui modelu GARCH. Více informací o shodě s teoretickými rozděleními je v tabulce 19.8 a grafu 19.5 v příloze 19. Tato zjištění lze použít ke konstrukci vhodnějšího modelu časové řady založeného na asymetrickém rozdělení nesystematické složky.
Tab. 3.16 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
Model
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
GARCH(1,1) s normálním
rozdělením
GARCH(1,1)
s t rozdělením
GARCH(1,1)
s GED rozdělením
GARCH-M(1,1)
s normálním rozdělením
GARCH-M(1,1)
s t rozdělením
GARCH-M(1,1)
s GED rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
EGARCH(1,1)
s t rozdělením
EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
AIC
SBC
4
4114,302
-6,524289
-6,507975
5
4148,008
-6,576204
-6,555812
5
4142,714
-6,567800
-6,547408
5
4118,863
-6,529941
-6,509549
6
4151,152
-6,579606
-6,555135
6
4147,146
-6,573248
-6,548777
5
4118,316
-6,529072
-6,508680
6
4152,854
-6,582308
-6,557837
6
4146,598
-6,572378
-6,547907
5
4124,263
-6,538513
-6,518120
6
4154,981
-6,585684
-6,561213
6
4149,690
-6,577286
-6,552815
Tabulka 3.17 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
GARCH(1,1) s t rozdělení
vs.
GARCH-M(1,1) s t rozdělením
GARCH(1,1) s t rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením
test věr.
poměrem
df
p-hodnota
6,288
1
0,0122
9,692
1
0,0019
68
Obr. 3.12 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky
0,0007
0,0006
0,0005
0,0004
0,0003
0,0002
NIC GARCH
0,0001
NIC GRJ
0
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
εt
Tab. 3.18 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a
GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
-0,001453
0,000230
ω
-0,851156
0,214017
α1
0,183478
0,040738
γ1
0,072561
0,023689
β1
0,924697
0,022133
v1
1,406596
0,051734
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
-6,328604
-3,977048
4,503812
3,063067
41,78003
27,18895
0,0000
0,0001
0,0000
0,0022
0,0000
0,0000
69
3.4.4 ISČS Eurotrend
Analýzou autokorelační a parciální autokorelační funkce časové řady výnosů logaritmů fondu
ISČS Eurotrend byla zjištěna významná autokorelace až od pátého zpoždění (příloha 14). Nalezení jednoduchého úrovňového modelu tedy nebylo snadné. Statisticky významné autoregresní parametry mají například modely AR(5) nebo AR(3,5), ovšem ani jeden z nich nesplňuje podmínku neautokorelované nesystematické složky. Tuto podmínku splňuje až model
AR(5,10). Každopádně všechny navržené modely vykazují přítomnost podmíněné heteroskedasticity.
Neautokorelovanou nesystematickou složku vykazuje model volatility ARCH(1), ve kterém je
konstanta úrovňového modelu nulová. Tento model však také obsahuje heteroskedasticitu.
Rezidua modelů typu GARCH(1,1) jsou neautokorelovaná a homoskedastická. U příslušného
modelu však nemají normální rozdělení (p-hodnota JB testu je 0,0003). Rozdělení reziduí
není zešikmené (-0,18) a jen mírně špičatější než normální rozdělení (3,42). Podle srovnání
jsou modely s t rozdělením a GED rozdělením vhodnější, ale rozdíly hodnot informačních
kritérií jsou menší než tomu bylo u předchozích fondů (tab. 3.19).
Model GARCH-M není pro tuto časovou řadu vhodný v žádné ze svých forem. Podmíněná
střední hodnota časové řady fondu ISČS Eurotrend tedy není přímo ovlivněna variabilitou
výnosů.
Podle testů vykazuje časová řada heteroskedasticitu nelineárního typu (tab. 20.4 přílohy 20).
Statisticky významný NSB test naznačuje významné působení záporných reziduí a jejich výše. Vliv kladných reziduí na podmíněný rozptyl nebyl na hladině významnosti 0,01 podle
PSB testu významný.
Až na úrovňovou konstantu jsou všechny parametry modelu EGARCH(1,1) významné. Rezidua všech tří modelů lišících se rozdělením náhodné složky jsou neautokorelovaná a homoskedastická. Rezidua modelu s normálním rozdělením vykazují podle JB testu toto rozdělení
na
hladině
významnosti
0,01
(p-hodnota
=
0,0188)
a
podle
KS
testu
také
(p-hodnota = 0,6708). Špičatost rozdělení reziduí je 3,28 a šikmost -0,14. Stupně volnosti t
rozdělení byly odhadnuty nebývale vysoké (16,54) a jsou statisticky nevýznamné (p-hodnota
= 0,0150). Parametr GED rozdělení r se blíží hodnotě 2, při které je rozdělení totožné s rozdělením normálním. Jeho hodnota 1,88. Rozdíly mezi informačními kritérii jsou velice nízké.
Všechny tři modely typu EGARCH jsou si tedy rovnocenné. Takováto shoda se u předchozích časových řad neobjevila ani u lineárních ani nelineárních modelů volatility.
Stejné závěry jako u EGARCH modelů platí i pro modely typu GRJ-GARCH. Rozdělení reziduí je dle JB testu normální (p-hodnota = 0,0103). Stupeň volnosti t rozdělení byl odhadnuty
70
ve výši 374,7035, ale tento parametr modelu je statisticky nevýznamný. Parametr GED rozdělení je statisticky významný a nabývá hodnoty 1,81, opět hodně blízké hodnotě 2.
Protože lineární model GARCH je v porovnání s nelineárními modely volatility EGARCH a
GRJ-GARCH méně vhodný, je to signál přítomnosti asymetrie volatility. Ke jejímu popisu
bude použito nelineárních modelů vycházejících z normality náhodné složky. Parametr γ1
modelu EGARCH(1,1) v tabulce odhadů 3.21 je statisticky významný a má zápornou hodnotu
-0,1. Parametr α1 byl odhadnut na 0,08. Podle tohoto modelu je v časové řadě přítomen pákový efekt a záporná rezidua mají větší vliv na volatilitu časové řady než rezidua kladná. Toto
tvrzení podporují i parametry modelu GRJ-GARCH(1,1). Parametr α1 není statisticky významný a parametr γ1 je kladný s hodnotou 0,14 (tab. 20.2 přílohy 20). Závěry jsou v souladu
s výsledky PSB a NSB testů.
Vzhledem k potvrzené normalitě reziduí modelu EGARCH (obr. 3.13) nebude dále detailněji
zkoumána shoda s jinými rozděleními, jako tomu bylo u předchozích časových řad.
Tab. 3.19 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
Model
GARCH(1,1) s normálním
rozdělením
GARCH(1,1)
s t rozdělením
GARCH(1,1)
s GED rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
EGARCH(1,1)
s t rozdělením
EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
AIC
SBC
4
3765,151
-6,051731
-6,035238
5
3768,866
-6,056100
-6,035483
5
3769,237
-6,056696
-6,036079
5
3786,152
-6,083913
-6,063297
6
3786,373
-6,082659
-6,057919
6
3787,434
-6,084367
-6,059627
5
3789,519
-6,089331
-6,068715
6
3790,764
-6,089725
-6,064985
6
3790,514
-6,089322
-6,064582
Tab. 3.20 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
GARCH(1,1) s normálním rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením
test věr.
poměrem
df.
p-hodnota
42,002
1
0,0000
71
Tab. 3.21 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s
normálním rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
0,0002661
φ0
-0,000161
0,0002612
0,0293891
ω
-0,171158
0,0406512
0,0163971
α1
0,079460
0,0230292
0,0146311
γ1
-0,101351
0,0143222
0,0027811
β1
0,988074
0,0031672
1) odhady metodou maximální věrohodnosti
2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti
t-test
p-hodnota
-0,606073
-0,616590
-5,823862
-4,210400
4,845991
3,450486
-6,927107
-7,076710
355,2851
312,0259
0,5445
0,5375
0,0000
0,0000
0,0000
0,0006
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Obr. 3.13 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením
nesystematické složky
160
Series: Standardized Residuals
Sample 1/03/2001 11/30/2005
Observations 1243
140
120
100
80
60
40
20
0
-5.00
-3.75
-2.50
-1.25
0.00
1.25
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.015979
0.013434
3.188597
-4.845082
1.001778
-0.135659
3.282473
Jarque-Bera
Probability
7.945076
0.018826
2.50
72
3.4.5 ISČS Globalstocks
Jednoduchý model podmíněné střední hodnoty časové řady se nalézt nepodařilo. Model
AR(1) má statisticky nevýznamnou konstantu a funkce ACF a PACF reziduí vykazují autokorelaci náhodné složky ve vyšších zpožděních a navíc i heteroskedasticitu. Lineární model volatility AR(1)-ARCH(1) také vykazuje autokorelaci reziduí a jejich heteroskedasticitu.
Až model AR(1)-GARCH(1,1) vykazuje neautokorelovanou a homoskedastickou nesystematickou složku, která však není normálně rozdělena. P-hodnota JB testu je 0,000. Rozdělení
reziduí modelu je záporně zešikmené (parametr šikmosti -0,92) a špičaté 9,58. Na charakteristiky tvaru rozdělení může mít vliv odlehlá hodnota rezidua z 21. září 2001. V tento den došlo
k významnému propadu ceny z 0,649 Kč na 0,597 Kč. Po pokusu, při kterém byla tato jediná
hodnota z reziduí odstraněna, klesla šikmost na -0,32 a špičatost na hodnotu 3,94. Oba ukazatele tedy byly významně ovlivněny nalezenou odlehlou hodnotou. Ani její odstranění však
nezměnilo výsledek JB testu, standardizovaná rezidua nadále neměla normální rozdělení.
S ohledem na vlastnosti rozdělení reziduí modelu se jako logický jeví závěr, že modely s alternativním rozdělením nesystematické složky jsou vhodnější. Potvrzují to informační kritéria
(tabulky 3.22 a 3.23).
Odhad parametru λ modelů typu GARCH-M nebyl ani v jednom případě statisticky významný, takže podmíněná střední hodnota časové řady není ovlivněna podmíněným rozptylem.
Již tradiční posouzení rozdílného působení kladných a záporných šoků na volatilitu časové
řady prostřednictvím PSB a NSB testů naznačuje (viz. tabulka 21.4 přílohy 21), že by se
v modelu mohla vyskytovat asymetrie. Testy odhalují přítomnost pákového efektu (PSB test
p-hodnota = 0,8377 a NSB test p-hodnota = 0,0124).
Nelineární modely AR(1)-EGARCH(1,1) resp. AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) jsou vhodnější než
modely lineární. Modely s t rozdělením mají nepatrně nižší hodnoty informačních kritérií než
modely s rozdělením GED (tabulky 3.22 a 3.23). Absolutně nejnižší hodnoty informačních
kritérií má model AR(1)-EGARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky
Odhadnutý parametr γ1 modelu typu EGARCH má hodnotu -0,07 (tab. 3.24). Záporná hodnota naznačuje přítomnost pákového efektu. Tomu nasvědčují i dohady parametrů modelu
GRJ-GARCH (příloha 21). Parametr α1 statisticky významný není, ale parametr γ1 již ano,
navíc je jeho odhadnutá hodnota kladná. Kladné šoky tedy podle modelu nemají na podmíněný rozptyl žádný vliv, záporné ano. V obou nelineárních modelech jsou ovšem odhadnuté
parametry poměrně nízké, takže asymetrie vlivu záporných šoků nebude příliš výrazná. To
může být také důvod výsledku NSB testu, který na hladině významnosti 0,01 přítomnost
asymetrie zamítá.
73
Podle KS testu splňuje nesystematická složka modelu AR(1)-EGARCH(1,1) předpoklady
rozdělení ve všech třech případech. Stejný závěr plyne pro GED a t rozdělení i z Q-Q grafů a
histogramů (tab. 21.5 a obr. 21.4 až 21.6 v příloze 21). JB test normality však shodu u modelu
s normálním rozdělením nepotvrdil. Příčinou takového výsledku je vysoká šikmost rozdělení
standardizovaných reziduí, která je 6,28 (obr. 21.1).
Rezidua modelu založeného na předpokladu normálního rozdělení mají velice podobné vlastnosti jako v ostatních modelech. Nemají normální rozdělení a nejsou ani tak špičatá jako Laplaceovo rozdělení. Podle informačních kritérií jsou nejvhodnější LL3 a GL3 rozdělení (tabulka 21.6). Odhadnutý parametr zešikmení GL3 rozdělení je blízký hodnotě 1 (jeho odhad je
1,00703), takže rozdělení reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) lze považovat symetrické.
Tab. 3.22 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
AR(1)-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1)-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1)-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(1)-EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1)-EGARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1)-EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
AIC
SBC
4
4167,412
-6,592892
-6,576610
5
4216,714
-6,669381
-6,649028
5
4207,304
-6,654480
-6,634126
5
4188,251
-6,624310
-6,603956
6
4222,485
-6,676936
-6,652512
6
4215,522
-6,665910
-6,641486
5
4204,423
-6,649918
-6,629565
6
4234,328
-6,671266
-6,695690
6
4226,966
-6,684032
-6,659608
Tab. 3.23 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
test věr. poměrem
df.
p-hodnota
16,436
1
0,0001
11,542
1
0,0007
AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
AR(1)-GARCH(1,1) s t rozdělením
vs.
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením
74
Tab. 3.24 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) a t rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ1
0,180395
0,027455
ω
-0,220460
0,049377
α1
0,094014
0,024759
γ1
-0,076783
0,017102
β1
0,984810
0,004316
v1
7,990155
1,319250
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
6,570523
-4,464845
3,797230
-4,489852
228,1844
6,056587
0,0000
0,0000
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
75
3.5 Závěrečné shrnutí vlastností akciových podílových fondů
Co mají akciové podílové fondy společného a co je od sebe naopak odlišuje? Odlišují se nějakým způsobem od jiných fondů? Až porovnání s výsledky ostatních fondů (dluhopisové a
peněžního trhu) a akcií, přinese komplexní dopovědi na výše uvedené otázky. Dílčí závěry
analýzy však mohou být uvedeny již nyní.
1. Analyzované časové řady výnosů logaritmů cen podílových listů nemají normální rozdělení. Jejich rozdělení je symetrické a špičatější než rozdělení normální. V tomto
ohledu se řady nijak neliší od ostatních finančních řad. Podařilo se prokázat shodu s
Laplaceovým a Exponential Power rozdělením a také se zobecněným logaritmickologistickým rozdělením a tříparametrickým logistickým rozdělením. Zjištěný má velký
význam jak pro případnou analýzu VaR, tak i pro stavbu modelů volatility.
2. Žádnou z časových řad nebylo možné popsat jen pomocí modelu podmíněné střední
hodnoty typu AR, protože vykazují přítomnost heteroskedasticity nesystematické složky.
3. Ani v jednom případě nebyl k popisu postačující model typu ARCH. Tyto modely nedokázaly dostatečně zachytit volatilitu časové řady a obsahovaly heteroskedasticitu
nesystematické složky stejně jako modely podmíněné střední hodnoty.
4. Modely GARCH(1,1) se ukázaly být schopné odstranit heteroskedasticitu nesystematické složky u všech analyzovaných fondů. Složitosti časových řad však přesto plně
nevyhovovaly a byly vždy nahrazeny modely složitějšími.
5. U některých časových řad je podmíněná střední hodnota přímo ovlivněna podmíněným rozptylem. To popisují modely GARCH-M, které byly využity pro popis časových řad fondů ING International Český akciový fond a ISČS Sporotrend. U ostatních
časových řad se přítomnost tohoto efektu prokázat nepodařilo. Jedná se tedy o vlastnost, která se liší fond od fondu.
6. Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (NSB a PSB a další) odhalily
ve všech případech rozdílné vlivy působení kladných a záporných šoků na podmíněný
rozptyl časové řady. Pouze jediný fond má podle těchto testů statisticky významný
vliv kladných šoků a jejich výše (ING International Český akciový fond). Ostatní fondy vykazují tzv. pákový efekt, tedy vyšší vliv záporných šoků a jejich výše na podmíněný rozptyl časové řady.
76
7. Až na jedinou výjimku jsou nelineární modely volatility (ať již modely typu
EGARCH nebo GRJ-GARCH) vhodnější pro popis časových řad akciových fondů než
modely lineární. Rozdíly mezi oběma typy modelů jsou malé. Modely jsou tedy pro
analyzovaná data ekvivalentní. Tou výjimkou je fond ISČS Sporotrend, pro který byl
nejvhodnější lineární model typu GARCH-M.
8. Analýza odhadnutých parametrů nelineárních modelů volatility potvrdila závěry testů
podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu. V časových řadách se skutečně vyskytuje pákový efekt, který byl popsán na časových řadách akcií. Vysoký propad ceny
podílového listu způsobuje vyšší volatilitu časové řady než stejně velký cenový nárůst.
Odhady odpovídajících parametrů jsou však nízké, takže asymetrie je poměrně slabá.
Výjimkou je fond ING International Český akciový fond, ve kterém mají naopak větší
vliv šoky kladné.
9. Není možné jednoznačně říci, který z nelineárních modelů volatility (EGARCH resp.
GRJ-GARCH) je vhodnější pro popis akciových fondů. Blízké hodnoty informačních
kritérií ve všech případech naznačují, že oba modely jsou ekvivalentní.
10. Odhady parametrů alternativních rozdělení (Studentovo t a GED) potvrzují předpoklad, že časové řady výnosů logaritmů akciových podílových fondů mají rozdělení
špičatější a s tlustšími konci než je rozdělení normální. Modely založené na alternativních rozděleních byly, až na fond ISČS Eurotrend, vhodnější než modely vycházející z
předpokladu normality nesystematické složky. Jen u nelineárních modelů volatility
fondu ISČS Eurotrend nebyl rozdíl v rozděleních náhodné složky statisticky významný. Tyto modely tedy dokázaly zachytit vyšší špičatost analyzované časové řady.
11. Rezidua odhadnutých modelů založených na předpokladu GED rozdělení měla ve
všech případech skutečně toto rozdělení. U reziduí odhadnutých modelů založených
na předpokladu Studentova t rozdělení se nepodařilo vždy potvrdit, že toto rozdělení
skutečně mají. Příčinou je jejich vyšší špičatost oproti teoretickému rozdělení.
12. U modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se až na výjimku (ISČS Eurotrend) nepodařilo tento předpoklad splnit. Rozdělení standardizovaných reziduí je
špičaté a u některých fondů i zešikmené vlivem odlehlých pozorování. Porovnání
s teoretickými rozděleními odhalilo, že jsou shodná jednak s tříparametrickým logaritmicko-logistickým a zobecněným logistickým rozdělením, ale i s rozdělením Exponential Power. Neprokázala se naopak shoda s Laplaceovým rozdělením, které je špičatější než testovaná rozdělení.
77
4 Analýza dluhopisových podílových fondů
4.1 Úvod
Dalším analyzovaným investičním nástrojem jsou otevřené podílové fondy dluhopisové. Stejně jako na předchozí časové řady byly i na ně kladeny podmínky uvedené v kapitole 1, aby
byla zajištěna jejich porovnatelnost. V tabulce jsou uvedeny nejstarší dluhopisové fondy
v České republice. Některé z nich nebyly do analýzy zahrnuty, protože buď nebylo možné
získat jejich hodnoty (IKS Plus Bondový) nebo nebyla jejich analýza doporučena samotným
správcem fondu. To je případ fondu ČSOB Bond Mix, který prošel v roce 2003 významnými
změnami (stejně jako ostatní fondy skupiny ČSOB), které zcela změnily ceny.
Tab. 4.1 Základní informace o analyzovaných fondech
Akciové podílové fondy
Správce
Založení
Zdroj dat
1
ČSOB Bond mix
ČSOB IS
1.12.1990
ISČS Bondinvest1
ISČS
20.2.1995
IKS Dluhopisový
IKS KB
22.9.1997 www.iks-kb.cz
ING International Český fond obligací
ING
27.10.1997
www.ing.cz
ISČS Sporobond
ISČS
31.3.1998
www.iscs.cz
KBC Renta Czechrenta
KBC
7.4.1999 www.csob.cz
IKS Plus Bondový1
IKS KB
14.3.2000
1
tyto časové řady byly z analýzy vynechány, protože nesplňovaly některou z podmínek na str. 7
Z grafů cen podílových listů všech fondů (příloha 2) je jasně viditelné, jak podobné si tyto
řady jsou. V některých případech je jen těžko postřehnutelný rozdíl mezi jednotlivými řadami.
Přitom některé časové řady mají podílové listy ohodnoceny v řádu korun (IKS Dluhopisový,
ISČS Sporobond), jiné v řádu tisíců korun (KBC Renta Czechrenta, ING International Český
fond obligací). Hodnota podílových listů ve sledovaném období neustále rostla. Výrazný propad nastal u šech fondů v polovině roku 2004. Patrná je i stagnace v roce 2005. Grafy výnosů
logaritmů vykazují proměnlivost variability v čase, nalezneme v nich alespoň jednu extrémně
nízkou hodnotu. Ve všech časových řadách je dobře patrný výskyt shluků.
4.2 Popisné charakteristiky
Délka období sledování fondů je pět let (2001-2005). Vzhledem k rozdílům v oceňování portfolia fondů není délka časových řad úplně stejná. Stejné rozdíly se objevily i u analýzy akciových podílových fondů. Délka se tedy liší podle správce fondu. Například všechny fondy společnosti ISČS mají 1264 hodnot a společnosti ING 1260 hodnot.
Střední hodnoty časových řad vyjádřené průměrem a mediánem jsou ve všech případech kladné a velice blízké nule. Oba ukazatele jsou si velice blízké. Z porovnání zjištěných minim a
78
maxim je zřejmé, že v extrémních hodnotách jsou řady vyrovnané, protože tyto si jsou
v absolutní hodnotě velice blízké. Fond KBC Renta jako jediný vykazuje variační rozpětí o
řád vyšší než zbylé dluhopisové fondy.
Jeden z ukazatelů rizika investice do podílových fondů, směrodatná odchylka, se pohybuje
kolem hodnoty 0,001 a u KBC Renta je 0,002. Pro připomenutí riskantnější investiční nástroje
dosahovaly vyšších hodnot tohoto ukazatele. Směrodatná odchylka akcií se pohybovala kolem hodnoty 0,02 a stejný ukazatel u akciových podílových fondů nabýval hodnot v okolí
0,01.
Tab. 4.2 Popisné charakteristiky časových řad výnosů logaritmů dluhopisových otevřených podílových fondů
Charakteristika
Počet
Průměr
Medián
Maximum
Minimum
Rozpětí
Směrodatná odchylka
Šikmost
Špičatost
Jarqueův-Berův test
p-hodnota testu
Kolmogorovův-Smirnovův
p-hodnota testu
ISČS
ING
IKS
KBC Renta
SPOROBOND International dluhopisový
Czechrenta
Český fond
obligací
1264
1260
1232
1145
0,000199
0,000225
0,000182
0,000259
0,000196
0,000188
0,000201
0,000194
0,005575
0,007321
0,006049
0,033309
-0,005920
-0,007424
-0,007259
-0,024438
0,011495
0,014745
0,013308
0,057747
0,001348
0,001488
0,001331
0,002009
-0,096934
0,081974
0,015444
2,256141
5,109526
5,352975
5,993415
86,670060
236,351400
0,000000
292,077000
0,000000
0,769960
0,000001
0,064301
0,000060
460,022900 334962,100000
0,000000
0,000000
0,077335
0,000001
0,109019
0,000000
Ukazatel zešikmení časových řad je velice blízký nule, ať již kladný nebo záporný. Výjimkou
je opět fond společnosti KBC, jehož šikmost je kladná s hodnotou 2. Takto vysoké hodnoty se
v analýze vyskytují pouze u podílových fondů peněžního trhu, u dluhopisových fondů jde o
výjimku.
Špičatost kolem hodnoty 5 je blízká akciovým fondům. Nejšpičatější jsou fondy peněžního
trhu, které dosahují hodnoty ukazatele až 94. České akcie vykazují špičatost od 5 do 13. Extrémně vysoká špičatost fondu KBC Renta je dána extrémními výkyvy výnosů fondu ve druhé
polovině roku 2001, které jsou dobře viditelné na obrázku 2.4 v příloze 2.
79
4.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů
Aby bylo zjištěno více o tvaru rozdělení výnosů logaritmů cen podílových listů rt, byly metodou maximální věrohodnosti odhadnuty parametry teoretických rozdělení. Pro účely srovnání
s těmito rozděleními byly vypracovány testy shody rozdělení.
Ani jedna z časových řad nemá normální rozdělení. Z grafů (příloha 13) je patrné, že normální
rozdělení není tak špičaté jako nepodmíněné rozdělení výnosů. Vysoká špičatost je důvodem
pro vysoké hodnoty testového kritéria Jarqueova-Berova testu. Podle informačního kritéria
AIC (příloha 6) je nejbližším Laplaceovo rozdělení a EP rozdělení jehož parametr špičatosti je
1 (příloha 9), takže je toto rozdělení shodné s Laplaceovým rozdělením (v grafech se překrývají). Pouze u fondu ISČS Sporobond je vhodnější EP rozdělení s parametrem špičatosti 0,82,
takže toto rozdělení není tak špičaté jako Laplaceovo rozdělení. Jako nevhodná se jeví rozdělení s nižší špičatostí jako jsou LL3 a GL3 rozdělení, stejně jako zešikmené logaritmickonormální rozdělení. Kladná šikmost výnosů fondu KBC Renta se neodrazila ve shodě se zešikmeným rozdělením. Parametr zešikmení GL3 rozdělení je 0,95, což asymetrii rozdělení
příliš nenasvědčuje. Výnosy fondů jsou špičaté a symetrické. K jejich popisu prostřednictvím
modelů volatility bude tedy nutno použít alternativních rozdělení, jako tomu bylo u předchozích časových řad.
4.4 Modely dluhopisových otevřených podílových fondů
V této kapitole jsou prezentovány závěry modelování časových řad výnosů dluhopisových
fondů. Postup je v souladu s postupem popsaným v kapitole 2.4. Důležité grafy a tabulky jsou
uvedeny v odpovídajících přílohách věnovaných jednotlivým fondům. Grafy autokorelační a
parciální autokorelační funkce pro jednotlivé fondy jsou v příloze 15.
4.4.1 ISČS Sporobond
Všechny modely volatility časové řady musejí mít model podmíněné střední hodnoty ve tvaru
AR(1) s konstantou, jinak rezidua neplní podmínku neautokorelovanosti. V analýzách akciových podílových fondů se v několika případech ukázalo, že stačí zahrnout do úrovňového
modelu pouze konstantu ϕ0. To v tomto případě neplatí.
Podmínku homoskedasticity splňuje již model AR(1)-ARCH(1). Ljungova-Boxova Q statistika však odhalila statisticky významnou autokorelaci čtverců reziduí v 15. a vyšším zpoždění,
tedy přítomnost heteroskedasticity. Zvýšením stupně ARCH procesu se tento efekt nepodařilo
odstranit. Modely AR(1)-GARCH(1,1) podobný problém s heteroskedasticitou reziduí již
neobsahují.
80
Z nelineárních modelů volatility je s ohledem na vlastnosti reziduí v pořádku model
AR(1)-EGARCH(1,1), ale modely AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) (parametry obou v příloze 22)
vykazují podle Ljungova-Boxova testu autokorelace čtverců reziduí stejný problém jako u
ARCH modelů. Zvýšením stupně asymetrie modelu GRJ-GARCH na 2 se heteroskedasticitu
reziduí podařilo odstranit. Proto byl tento neobvyklý model17, jehož parametry jsou statisticky
významné, také zařazen do porovnání.
Zajímavé je zjištění spojené s odhadnutými parametry rozdělení nesystematické složky modelů. Zatímco hodnota odhadnutého parametru GED rozdělení r se pohybuje kolem hodnoty
1,1, je stupeň volnosti v Studentova t rozdělení nezvykle vysoký, u některých modelů18 přesahuje i hodnotu 40. U modelů typu EGARCH je hodnota odhadu tohoto parametru pro změnu
pouze 4. Takovéto výrazné rozdíly se u žádné z doposud analyzovaných časových řad nevyskytovaly.
Ze srovnání pomocí informačních kritérií AIC a SBC a testů věrohodnostním poměrem (tab.
4.3 a 4.5) plynou následující závěry:
1. Modely s GED rozdělením nesystematické složky jsou vhodnější než modely
s normálním nebo Studentovým rozdělením.
2. Nelineární modely EGARCH jsou vhodnější než lineární modely GARCH.
3. Nelineární modely GRJ-GARCH nejsou výrazně vhodnější než lineární modely
GARCH.
4. Ani nelineární modely GRJ-GARCH s vyšším stupněm asymetrie nejsou na hladině
významnosti 0,01 vhodnější než lineární modely GARCH (p-hodnota testu pro model
s GED rozdělením je 0,039) i než nelineární modely GRJ-GARCH se stupněm asymetrie 1 (p-hodnota testu je 0,057).
5. Nejvhodnějším je model EGARCH s GED rozdělením nesystematické složky.
Testy heteroskedasticity nelineárního typu odhalují nevýznamné působení kladných i záporných reziduí a jejich výše na podmíněný rozptyl (příloha 22). Modely EGARCH jsou podle
informačních kritérií vhodnější než modely lineární. Parametr γ1 však není statisticky významný (viz. tab. 22.2). Podle tohoto modelu je působení kladných a záporných šoků na
podmíněný rozptyl stejné. Parametr γ1 je u modelu GRJ-GARCH statisticky významný a
kladný. U modelu s GED rozdělením (tab. 4.4) je jeho hodnota γ1 = 0,09. Model
GRJ(2)-GARCH(1,1) má statisticky významné parametry α1, γ1 a γ2 (tab. 22.4). Jejich odhadnuté hodnoty jsou α1 = 0,05, γ1 = 0,20 a γ2 = -0,19. Asymetrie volatility tohoto modelu je níz-
17
18
Neobvyklý z toho důvodu, že v předchozích analýzách nebyl doposud použit.
U modelu GRJ-GARCH je tento odhad 40 a u modelu GRJ-GARCH se stupněm asymetrie 2 dokonce 44.
81
ká. Záporné šoky sice působí více než šoky kladné, ale jejich vliv je snížen o šok v prvním
zpoždění, protože parametr γ2 je záporný a přitom v absolutní hodnotě téměř stejně vysoký
jako parametr γ1. Závěrem lze tedy konstatovat, že nelineární modely nejsou u tohoto fondu
jednotné v popisu asymetrie volatility. Pokud časová řada výnosů logaritmů dluhopisového
fondu skutečně vykazuje statisticky významnou asymetrii volatility a přítomnost pákového
efektu, pak jde o efekt jen velice slabý.
Vzhledem k tomu, že model GRJ(2)-GARCH nebyl doposud ani v jedné z předchozích analýz
použit, budou detailně prozkoumána jeho rezidua. Standardizovaná rezidua modelu s GED
rozdělením nesystematické složky mají podle KS testu i podle grafů (Q-Q graf a histogramy)
opravdu toto rozdělení. Ostatní modely podmínku předpokládaného rozdělení nesplňují. Studentovo t rozdělení a normálního rozdělení jsou méně špičatá než rozdělení standardizovaných reziduí (tab. 22.6 a obr. 22.3 až 22.5 v příloze 22).
Podle vypočtených charakteristik je rozdělení reziduí modelu založeného na předpokladu
normality nesystematické složky symetrické a špičatější než rozdělení normální (špičatost je
5,12). Při srovnání s teoretickými rozděleními se potvrzuje, že rozdělení standardizovaných
reziduí je symetrické a špičaté. Nejvhodnějším rozdělením je podle informačního kritéria AIC
rozdělení Exponential Power, jehož parametr špičatosti byl odhadnut na hodnotu 0,72. Špičatost je tedy nižší než u Laplaceova rozdělení (viz. tab. 22.7 a obr. 22.7).
Tab. 4.3 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
test věr. df.
poměrem
p-hodnota
2,896
1
0,0888
3,61
1
0,0574
6,506
2
0,0387
Tab. 4.4 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
0,000172
3,41E-05
φ1
0,154210
0,025384
ω
1,46E-07
4,99E-08
α1
0,077843
0,029461
γ1
0,093657
0,051138
β1
0,804755
0,044881
v1
1,143183
0,060994
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
5,060041
6,075126
2,917494
2,642213
1,831457
17,93071
18,74248
0,0000
0,0000
0,0035
0,0082
0,0670
0,0000
0,0000
82
Tab. 4.5 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
AR(1)-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1)-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1)-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(1)-EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1)-EGARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1)-EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
počet parametrů
logvěrohodnostní
funkce
AIC
SBC
5
6602,216
-10,44690
-10,42654
6
6608,748
-10,45566
-10,43123
6
6658,225
-10,53401
-10,50958
6
6606,786
-10,45255
-10,42813
7
6661,528
-10,53765
-10,50916
7
6663,373
-10,54058
-10,51208
6
6603,208
-10,44689
-10,42246
7
6617,297
-10,46761
-10,43912
7
6659,673
-10,53472
-10,50622
7
6607,663
-10,45236
-10,42386
8
6619,142
-10,46895
10,43638
8
6661,478
-10,53599
-10,50343
83
4.4.2 KBC Renta Czechrenta
Podle grafů ACF, PACF a podle Ljungovy-Boxovy Q statistiky se v této časové řadě nevyskytuje významná autokorelace (příloha 15). Odhadnutý úrovňový model AR(1) má statisticky nevýznamný autoregresní parametr φ1. Modely volatility však parametr φ1 v úrovňovém
modelu obsahovat musejí. Ani v případě nelineárních modelů není přípustné zjednodušení
modelu podmíněné střední hodnoty na pouhou konstantu. Rezidua jsou v takovém případě
vzájemně korelována. Všechny modely i přesto vykazují významnou autokorelaci reziduí ve
22. zpoždění. Předpoklad, že příčinou tohoto neobvyklého jevu jsou významné výkyvy ceny
podílových listů v srpnu roku 200119, se ukázal být mylným. Pokus založený na zkrácení časové řady naopak ukázal, že příčina se nachází mezi nejnovějšími pozorováními, nikoliv
v roce 2001. Modely odhadnuté z dat za roky 2001 – 2004 žádnou autokorelaci totiž neobsahují. Rezidua všech modelů jsou pro taková data homoskedastická.
Ze srovnání modelů plyne (tabulky 4.6 a 4.7), že nejvhodnější jsou modely založené na Studentovu t rozdělení a za nimi pak modely s GED rozdělením. Podle grafů v příloze 23, posuzujících shodu rozdělení, a KS testu nemají však rezidua t rozdělení (jsou špičatější než teoretické rozdělení). Stejnými nástroji byly prokázána shoda s GED rozdělením (tab. 23.6 a
obr. 23.4-23.6 přílohy 23). Proto jsou do srovnání zahrnuty právě modely s GED rozdělením.
Srovnáním ARCH a GARCH modelů vyplynulo, že modely GARCH nejsou významně vhodnější. Model GRJ-GARCH je vhodnějším modelem ve srovnání s ARCH, ale toto již neplatí
při srovnání s GARCH. Nejvhodnějším modelem je model ve tvaru AR(1)-EGARCH(1,1)
s GED rozdělením (tab. 4.8). Odhady parametrů ostatních zmíněných modelů jsou v příloze
23.
Vyskytuje se v modelu asymetrie působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl? Zde jsou závěry založené na testech a odhadnutých parametrech nelineárních modelů
volatility.
1. Podle výsledků PSB a NSB testů je v časové řadě významný vliv kladných šoků a jejich výše.
2. Parametr γ1 modelu EGARCH je statisticky významný pouze na hladině významnosti
0,1. Jeho hodnota je kladná. Takže tento model závěr PSB testu potvrzuje.
3. Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH jsou α1 = 0,44, γ1 = -0,29 a oba jsou statisticky významné. Záporná hodnota parametru naznačuje stejně jako v předchozím
19
16.8.2001 vzrostal cena o 778 Kč a následující oceňovací den tj. 24.8.2001 klesla zpět o 573 Kč. Podobný
extrémní výkyv se od té doby nikdy neopakoval.
84
modelu, že vliv kladných šoků je významný. To potvrzuje i graf NIC funkce
(obr. 4.1).
4. Oba modely i testy tedy vedou k závěru, že v časové řadě se vyskytuje statisticky významný vliv kladných šoků na podmíněný rozptyl.
Rozdělení standardizovaných reziduí modelu s normálním rozdělením nesystematické složky
je natolik špičaté (špičatost je 10,44), že se shoduje s Laplaceovým nebo EP rozdělením
s parametrem špičatosti 0,95. V žádném případě tedy není normální. Přehled výsledků testů
shody je v tabulce 23.7 přílohy. Histogram rozdělení standardizovaných reziduí a hustotních
funkcí vybraných teoretických rozdělení je zobrazen v grafu 23.7 přílohy.
Tab. 4.6 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
počet parametrů
logvěrohodnostní
funkce
AIC
SBC
AR(1)-ARCH(1)
s normálním rozdělením
4
5718,754
-9,990828
-9,973197
AR(1)-ARCH(1)
s t rozdělením
5
5862,417
-10,24024
-10,21820
AR(1)-ARCH(1)
s GED rozdělením
5
5848,219
-10,21542
-10,19338
AR(1)-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
5
5724,009
-9,998267
-9,976229
AR(1)-GARCH(1,1)
s t rozdělením
6
5864,511
-10,24215
-10,21571
AR(1)-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
6
5850,420
-10,21752
-10,19107
AR(1)-EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
6
5740,606
-10,02553
-9,999089
AR(1)-EGARCH(1,1)
s t rozdělením
7
5873,021
-10,25528
-10,22443
AR(1)-EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
7
5856,646
-10,22665
-10,19580
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
6
5736,735
-10,01877
-9,992322
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
7
5866,420
-10,24374
-10,21289
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
7
5852,550
-10,21949
-10,18864
85
Tab. 4.7 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
test věr. df.
poměrem
AR(1)-ARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
p-hodnota
4,402
1
0,0359
4,26
1
0,0390
Tab. 4.8 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
0,000195
4,11E-05
φ1
0,236325
0,026546
ω
-5,747357
1,390312
α1
0,466551
0,074010
γ1
0,084673
0,049161
β1
0,581454
0,106151
v1
1,004245
0,045853
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
4,740167
8,902569
-4,133862
6,303894
1,722352
5,477590
21,90156
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0850
0,0000
0,0000
Obr. 4.1 Funkce NIC modelu AR(1)-GARCH(1,1) a modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED
rozdělením nesystematické složky
0,00003
0,000025
0,00002
0,000015
0,00001
NIC GARCH
0,000005
NIC GRJ
0
-0,01
-0,008
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
εt
86
0,004
0,006
0,008
0,01
4.4.3 IKS Dluhopisový
Z grafů ACF, PACF je patrná silná autokorelace časové řady v 1. zpoždění (příloha 15). Model podmíněné stření hodnoty AR(1,8) nemá autokorelovaná, ale zato heteroskedastická rezidua. Jednodušší úrovňové modely AR(1) a AR(8) nesplňovaly podmínku neautokorelovanosti
reziduí. Ani pokus se zkrácením časové řady nepřinesl důkaz o tom, že by autoregresní parametr φ8 byl v modelu nadbytečný.
Heteroskedasticita reziduí již není patrná i u modelu AR(1,8)-ARCH(1). Tento model splňuje
podmínky kladené na nesystematickou složku modelu. Stejné závěry plynou i z modelu
AR(1,8)-GARCH(1). Zjednodušení úrovňového modelu na pouhou konstantu nepřipadá
v úvahu z důvodu autokorelace reziduí a všechny modely volatility tak byly odhadnuty společně s modelem podmíněné střední hodnoty ve tvaru AR(1,8) (příloha 24).
Lineární modely GARCH-M nebyly do srovnání zahrnuty, protože pro tuto časovou řadu
nejsou vhodné. Statisticky významný rozdíl v testu věrohodnostním poměrem (tab. 4.11) je
mezi lineárními modely ARCH a GARCH. Model GRJ-GARCH není pro daná data podle
stejného testu vhodnější než jednodušší GARCH.
Nejvhodnějším modelem je model AR(1,8)-EGARCH(1,1), rozdíly v hodnotách informačních kritérií AIC a SBC mezi modely s GED a Studentovým rozdělením jsou minimální
(tab. 4.10). U druhého rozdělení jsou hodnoty informačních kritérií absolutně nejnižší. Podle
Kolmogorova-Smirnova testu i z histogramů je však zjevné, že rozdělení reziduí modelu
se Studentovým t rozdělením nesystematické složky je špičatější a nemá tlusté konce jako
teoretické t rozdělení. Shoda naopak existuje u GED rozdělení. Detaily jsou v příloze 24 na
obrázcích 24.2 až 24.4.
Testy heteroskedasticity nelineárního typu (NSB, PSB v tab. 24.5 přílohy 24) neodhalily
asymetrii v působení šoků. Ani jeden z nelineárních modelů volatility také nepotvrzuje, že by
v časové řadě existovala asymetrie podmíněné heteroskedasticity. Parametry γ1 jsou v obou
případech statisticky nevýznamné. V časové řadě se nevyskytuje ani pákový efekt, ani vliv
kladných šoků na podmíněný rozptyl. Křivky NIC modelů AR(1,8)-GARCH(1,1) a
AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) jsou téměř shodné (obr. 24.1. v příloze 24).
Rezidua modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) založeného na předpokladu normálního rozdělení
nesystematické složky toto rozdělení nemají. Rozdělení reziduí není sice zešikmené (charakteristika šikmosti je pouhých 0,04), ale je špičatější než rozdělení normální (obr. 24.5). To
potvrzují i testy shody s alternativními teoretickými rozdělením, kde největší shoda je
s Laplaceovým a EP rozdělením. Parametr špičatosti EP rozdělení byl odhadnut na 0,91, takže
se toto rozdělení svou špičatostí blíží rozdělení Laplaceovu (viz. příloha 24).
87
Tab. 4.9 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
0,000191
3,03E-05
φ1
0,123705
0,025608
φ8
0,066526
0,022520
ω
-0,934916
0,267525
α1
0,295663
0,049565
γ1
-0,001204
0,026320
β1
0,946202
0,018702
v1
1,078079
0,052294
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
6,320540
4,830743
2,954132
-3,494682
5,965114
-0,045751
50,59453
20,61592
0,0000
0,0000
0,0031
0,0005
0,0000
0,9635
0,0000
0,0000
Tab. 4.10 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
AR(1,8)-ARCH(1)
s normálním rozdělením
AR(1,8)-ARCH(1)
s t rozdělením
AR(1,8)-ARCH(1)
s GED rozdělením
AR(1,8)-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1,8)-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1,8)-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(1,8)-EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1,8)-EGARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1,8)-EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
počet parametrů
logvěrohodnostní
funkce
AIC
SBC
7
6428,467
-10,49586
-10,47499
6
6501,807
-10,61406
-10,58901
6
6508,376
-10,62480
-10,59975
6
6441,224
-10,51507
-10,49002
7
6521,978
-10,64539
-10,61617
7
6521,523
-10,64464
-10,61542
7
6456,419
-10,53827
-10,50904
8
6532,997
-10,66176
-10,62836
8
6532,453
-10,66087
-10,62747
7
6441,432
-10,51378
-10,48455
8
6522,224
-10,64416
-10,61076
8
6521,740
-10,64337
-10,60997
Tab. 4.11 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
AR(1,8)-ARCH(1) s GED rozdělením
vs.
AR(1,8)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
AR(1,8)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
test věr. df.
poměrem
p-hodnota
26,294
1
0,0000
0,434
1
0,5100
88
4.4.4 ING International Český fond obligací
V příloze 15 je graf ACF a PACF řady výnosů logaritmů fondu ING. Úrovňový model AR(1)
je dostatečný z toho důvodu, že zajišťuje neautokorelovanost reziduí. Rezidua však jsou tradičně heteroskedastická. U ARCH modelů volatility však již poměrně jednoduchý model
podmíněné střední hodnoty nefunguje a nepopisuje dobře chování časové řady. Analýzou
ACF a PACF standardizovaných reziduí spolu s porovnáním statistické významnosti odhadnutých parametrů se jako nejvhodnější model podmíněné střední hodnoty ukázal být model
AR(1,4). Jeho rezidua jsou však heteroskedastická.
Modely AR(1,4)-GARCH(1,1) heteroskedasticitu nesystematické složky odstraňují. Zjednodušení úrovňového modelu však není možné. Tento závěr platí i pro nelineární modely volatility. Opět platí, že modely s alternativním rozdělením jsou vhodnější než modely s rozdělením
normálním.
Nejvhodnějším
modelem
je
podle
informačních
kritérií
model
AR(1,4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky. Rozdíl mezi hodnotami
věrohodnostní funkce modelu GARCH a GRJ-GARCH není natolik velký, aby byl statisticky
významný. Modely s GED rozdělením jsou vhodnější než modely se Studentovým t rozdělením (tabulky 4.13 a 4.14). Podle KS testu (p-hodnota = 0,005) nesplňují rezidua modelu
EGARCH podmínku t rozdělení. Teoretické rozdělení není tak špičaté jako standardizovaná
rezidua a má tlustší konce, což plyne z porovnání histogramů (obr. 25.2-25.4 a tab. 25.5 přílohy 25).
Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu odhalují v časové řadě významný vliv
působení záporných šoků (statisticky významný NSB test a obecný test v tab. 25.4). Odhady
nelineárních modelů volatility však nic takového nepotvrzují. Parametr γ1 modelu
GRJ-GARCH není statisticky významný, takže podle tohoto modelu je působení kladných a
záporných šoků na podmíněný rozptyl stejné. Dobře je toto patrné i z grafu NIC funkce, kde
se hodnoty nelineárního a lineárního modelu téměř překrývají (obr. 25.1 v příloze 25).
V souvislosti s tímto je nutno připomenout, že model nebyl výrazně vhodnější než lineární
model GARCH. Odhadnutý parametr γ1 modelu EGARCH je stejně jako v předchozím případě statisticky nevýznamný, ani v tomto případě se asymetrie v časové řadě nepotvrdila. K
popisu časové řady stačí lineární model AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky (tab. 4.12). Odhadnuté parametry ostatních modelů jsou uvedeny v příloze 25.
Špičatost rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s normálním
rozdělením nesystematické složky je opět vyšší než normální (5,16). Rozdělení reziduí se
podle testů shoduje s EP rozdělením (tab. 25.6), protože jeho špičatost je nižší než u Laplaceova rozdělení. Parametr špičatosti EP rozdělení byl odhadnut na 0,65. Je symetrické, což
89
plyne z vypočteného ukazatele šikmosti, jehož hodnota je -0,003. Tvrzení lze podložit i odhadnutou hodnotou zešikmení GL3 rozdělení, která je blízká jedné, konkrétně nabývá hodnoty 0,96.
Tab. 4.12 Odhadnuté parametry modelu AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
0,000189
4,51E-05
φ1
0,218311
0,024735
φ4
0,066900
0,024449
ω
1,47E-07
6,38E-08
α1
0,086902
0,024871
β1
0,843402
0,046315
v1
1,174465
0,059392
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
4,200753
8,825939
2,736322
2,299155
3,494124
18,21022
19,77472
0,0000
0,0000
0,0062
0,0215
0,0005
0,0000
0,0000
Tab. 4.13 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
AR(1,4)-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1,4)-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1,4)-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(1,4)-EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1,4)-EGARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1,4)-EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
počet parametrů
logvěrohodnostní
funkce
AIC
SBC
6
6475,410
-10,30161
-10,27707
7
6518,612
-10,36881
-10,34019
7
6523,543
-10,37666
-10,34804
7
6478,296
-10,30461
-10,27599
8
6520,774
-10,37066
-10,33795
8
6525,834
-10,37872
-10,34601
7
6475,481
-10,30013
-10,27151
8
6518,617
-10,36722
-10,33451
8
6523,553
-10,37508
-10,34237
Tab. 4.14 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
test věr. df.
poměrem
AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
0,02
90
1
p-hodnota
0,8875
4.5 Závěrečné shrnutí vlastností dluhopisových podílových fondů
Dílčí závěry analýzy časových řad výnosů logaritmů cen podílových listů dluhopisových fondů mohou být uvedeny již nyní s tím, že kompletní porovnání všech skupin investičních nástrojů bude provedeno v samotném závěru této práce.
1. Analyzované výnosy rt dluhopisových podílových fondů nemají normální rozdělení.
Jejich rozdělení je sice symetrické, ale zároveň špičatější než rozdělení normální. Nejvhodnějším rozdělením pro popis chování výnosů je Laplaceovo rozdělení.
2. Žádnou z časových řad není možné popsat pouze pomocí modelu podmíněné střední
hodnoty typu AR, protože vykazují přítomnost heteroskedasticity nesystematické
složky.
3. U žádné časové řady není při tvorbě modelů volatility možné zjednodušit úrovňový
model na konstantu jako tomu bylo u fondů akciových. Rezidua modelů pak totiž vykazují autokorelaci. Vhodný úrovňový model má jeden nebo dva autoregresní parametry.
4. U fondů KBC Renta Czechrenta a IKS Dluhopisový stačí k popisu chování časové řady model typu ARCH. Již tento lineární model dokáže dostatečně zachytit volatilitu
časové řady a rezidua nevykazují heteroskedasticitu. Zároveň je však nutno připomenout, že model GARCH je podle informačních kritérií i testu věrohodnostním poměrem vhodnější než model ARCH u všech analyzovaných dluhopisových fondů.
5. Modely GARCH(1,1) jsou schopné odstranit heteroskedasticitu nesystematické složky
u všech časových řad.
6. U žádné z časových řad není podmíněná střední hodnota přímo ovlivněna podmíněným rozptylem, jak popisují modely GARCH-M. Ani v jednom případě nejsou odpovídající parametry takového modelu statisticky významné. Zvýšení variability časové
řady tedy nemá přímý vliv na průměrnou cenu podílových listů analyzovaných dluhopisových fondů.
7. Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu není možné zobecnit,
protože se fond od fondu liší. U některých řad neodhalily asymetrii vůbec (ISČS Sporotrend a IKS Dluhopisový). U fondu KBC Renta odhalily významný vliv kladných
šoků a jejich výše na podmíněný rozptyl a u fondu ING naopak upozornily na přítomnost pákového efektu.
91
8. Nelineární modely volatility typu GRJ-GARCH se podle testů a informačních kritérií
liší od lineárních modelů GARCH jen velice málo. Na hladině významnosti 0,01 byl u
všech fondů rozdíl mezi oběma modely statisticky nevýznamný.
9. U fondu ISČS Sporobond byl navržen neobvyklý model GRJ-GARCH se stupněm
asymetrie 2. Tento model odstranil problémy s heteroskedasticitou reziduí modelu
GRJ-GARCH. Na hladině významnosti 0,01 však nebyl podle testu věrohodnostním
poměrem lepší než lineární model GARCH.
10. Nelineární modely volatility typu EGARCH jsou vhodnější pro popis časových řad
dluhopisových fondů než modely lineární a podle informačních kritérií jsou nejvhodnějšími modely pro všechny fondy bez rozdílu.
11. Analýza odhadnutých parametrů nelineárních modelů volatility došla k závěru, že v
časových řadách výnosů logaritmů není přítomen ani pákový efekt ani významný vliv
kladných šoků na podmíněný rozptyl, nebo je tento vliv jen velice slabý. Výjimkou je
fond KBC Renta, ve kterém mají větší vliv šoky kladné než šoky záporné. Zvýšení volatility je vyvoláno významným nárůstem ceny podílového listu. Tento může
v konečném důsledku znamenat velký propad nebo růst budoucích cen.
12. Odhady parametrů alternativních rozdělení (Studentovo t a GED) potvrzují předpoklad, že časové řady výnosů logaritmů dluhopisových podílových fondů mají rozdělení špičatější a s tlustšími konci než je rozdělení normální. Modely založené na alternativních rozděleních jsou vždy vhodnější než modely vycházející z předpokladu normality nesystematické složky.
13. Odhady parametrů GED rozdělení se pohybují kolem hodnoty 1. Odhady tohoto parametru reflektují vyšší špičatost nepodmíněného rozdělení výnosů a jsou odrazem
zjištěné shody s Laplaceovým rozdělením20.
14. Testy shody neprokázaly, že by standardizovaná rezidua modelů založených na Studentovu t rozdělení nesystematické složky měla skutečně toto rozdělení. Detailní pohled na histogramy standardizovaných reziduí odhalil, že jejich rozdělení jsou špičatější a mají užší konce než Studentovo t rozdělení. Aplikaci modelů s t rozdělením nesystematické složky nelze pro modelování a předpovídání dluhopisových podílových
fondů doporučit.
20
Pro připomenutí je GED rozdělení shodné s Laplaceovým pokud parametr r = 1 (více viz. kapitola 2.2.1).
92
15. Testy shody naopak prokázaly, že standardizovaná rezidua modelů založených na
GED rozdělení nesystematické složky mají skutečně toto rozdělení.
16. U modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se bez výjimky nepodařilo
tento předpoklad splnit. Rozdělení standardizovaných reziduí je špičaté a je symetrické. Porovnání s teoretickými rozděleními odhalilo, že svým tvarem se nejvíce blíží
rozdělení Exponential Power a v některých případech (KBC Renta a IKS Dluhopisový) se dokonce blíží i Laplaceovu rozdělení. Toto zjištění je potvrzením vhodnosti použití modelu s GED rozdělením nesystematické složky.
93
5 Analýza podílových fondů peněžního trhu
5.1 Úvod
Pouze pět českých otevřených fondů peněžního trhu splnilo podmínky pro zařazení do analýzy (viz. kapitola 1). Jedná se o nejstarší, stále udržované české fondy. Jejich výčet je uveden
v tabulce 5.1.
Tab. 5.1 Základní informace o analyzovaných fondech
Akciové podílové fondy
Správce
Založení
Zdroj dat
ISČS Sporoinvest
ISČS
1.7.1996
www.iscs.cz
IKS Peněžní trh
IKS KB
26.5.1997
www.iks-kb.cz
Pioneer - Sporokonto
Pioneer
15.9.1997 www.pioneer.cz
ING český peněžní trh
ING
27.10.1997
www.ing.cz
KBC MultiCash ČSOB CZK
KBC
4.3.2000
www.csob.cz
Pohled na průběh časových řad cen podílových listů ukazuje (příloha 3), jak odlišné jsou peněžní fondy od ostatních fondů. Křivka časové řady je u všech pěti fondů hladká, výkyvy jsou
minimální. Všechny fondy mají velice podobný vývoj, pozvolný růst během celého sledovaného období, který mírně ztrácí tempo. Co se výnosů logaritmů týká, opět lze rozlišit tzv.
shluky, které však nejsou natolik výrazné jako u jiných fondů. Patrné je malé množství extrémně vysokých a nízkých hodnot. Odlehlé hodnoty mají zásadní vliv na tvar rozdělení výnosů, které bude komentováno dále v textu.
5.2 Popisné charakteristiky
Stejně jako u ostatních podílových fondů se i u peněžních délka časových řad mění. Data nepocházejí ze stejného zdroje a správci neoceňují fondy ve stejných termínech.
Střední hodnota výnosů logaritmů cen akcií je velice nízká, stejně jako medián. Tyto charakteristiky se nijak významně neliší od ostatních skupin fondů a akcií. Hodnoty se rozcházejí až
na místech desetitisícin.
Zatímco míry úrovně jsou u všech typů fondů stejné, významné odlišnosti lze nalézt ve variabilitě časových řad. Hodnoty variačního rozpětí se u fondů peněžního trhu pohybují v rozmezí
0,004 – 0,008. U akciových fondů je tato charakteristika kolem hodnoty 0,1 a u dluhopisových pak 0,01 (s jednou výjimkou 0,05 u fondu KBC Renta Czechrenta). Stejné závěry platí i
pro výběrovou směrodatnou odchylku, která je nejnižší ze všech pozorovaných investičních
nástrojů (fondy a akcie) a pohybuje se kolem hodnoty 0,0003. Oproti akciovým fondům je o
94
dva řády nižší a oproti fondům dluhopisovým o jeden řád. Tato zjištění odpovídají rizikovosti
investice, která je i peněžních fondů nejnižší.
Tab. 5.2 Popisné charakteristiky časových řad výnosů logaritmů dluhopisových otevřených podílových fondů
Charakteristika
Počet
Průměr
Medián
Maximum
Minimum
Rozpětí
Směrodatná odchylka
Šikmost
Špičatost
Jarqueův-Berův test
p-hodnota testu
ISČS
Sporoinvest
1264
0,000105
0,000105
0,001546
-0,002193
0,003739
0,000305
-0,895977
12,730070
KBC
ING Intl. (II)
Multicash
Český fond
peněžního trhu ČSOB CZK
1260
0,000092
0,000063
0,004732
-0,003494
0,008226
0,000306
1,749138
93,958790
5155,294000 435001,400000
0,000000
0,000000
IKS peněžní
trh
1139
0,000119
8,76E-05
0,003549
-0,000798
0,004347
0,000231
4,307643
54,77479
1231
0,000124
0,000073
0,002155
-0,002619
0,004774
0,000271
0,043278
17,997040
Pioneer Sporokonto
1223
0,000106
0,000072
0,002263
-0,002568
0,004831
0,000287
-1,049697
24,736170
130740,7 11536,450000 24300,430000
0,000000
0,000000
0,000000
Kolmogorovův-Smirnovův
0,128959
0,247226
0,176653
0,107554
0,189904
p-hodnota testu
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
0,000000
Co se šikmosti týká, nelze nalézt společný charakter pro všechny fondy. Rozdělení dvou fondů jsou záporné (ISČS Sporoinvest a Pioneer) a dvou kladně (ING a KBC), přičemž u druhého jmenovaného je šikmost 4,3, což je hodnota velice vysoká a u jiných fondů doposud nepozorovaná. Také charakteristiky špičatosti jsou vyšší než u ostatních časových řad. Minimální
špičatost má ISČS Sporoinvest (12,7) a maximální dosahuje fond ING (93,9). Extrémně vysoká špičatost je dána malým množstvím odlehlých pozorování.
5.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů
Již z vlastností tvaru rozdělení je jasné, že rozdělení výnosů rt fondů peněžního trhu není normální. Potvrzují to Jarqueův-Berův i Kolmogorovův-Smirnovův test. Charakteristický tvar
extrémně špičatého rozdělení je patrný i histogramů rozdělení v příloze 13. Rozdělení je natolik špičaté, že dokonce ani Laplaceovo nebo Exponential Power rozdělení se s ním neshodují.
Testy shody v příloze 7 nenalezly ani žádné jiné vhodné rozdělení k popisu takto špičatých
rozdělení. Kromě toho nabývají odhadnuté parametry teoretických rozdělení nezvyklých hodnot. Např. parametr měřítka λ Laplaceova rozdělení je u všech fondů peněžního trhu extrémně
vysoký (v rozmezí 5000 – 7600). Odhadnuté EP rozdělení se ve všech případech shoduje
s Laplaceovým, parametr tvaru je 1. Významné kladné zešikmení naznačují odhady parametrů
zešikmení u zobecněného logistického rozdělení. U fondu KBC je tento parametr 1,8 a u IKS
95
1,3. Neznamená to však, že by toto rozdělení bylo pro řady vhodné. Ani jeden z testů jej neoznačil jako shodné s empirickým rozdělením.
Zjištěné vlastnosti rozdělení časových řad výnosů logaritmů podílových fondů mohou přinést
problémy při odhadování parametrů modelů volatility. Tyto modely sice dokáží popsat špičatá
rozdělení, avšak je otázka, zda v takovém rozsahu. Některé výnosy jsou navíc kladně zešikmené. Pro odhad parametrů by bylo vhodné použít nějaké zešikmené rozdělení, to v této práci
použitý program EViews 5.0 neumožňuje. Pro tento účel by tedy bylo vhodné použít např.
aplikaci G@RCH 2.0.
5.4 Modely otevřených podílových fondů peněžního trhu
Tradičně budou odhadnuty modely podmíněné střední hodnoty a lineární a nelineární modely
volatility, ve snaze popsat co nejlépe chování řad a nalézt vhodný nástroj pro případné předpovídání a použití v analýze investic a portfolia.
5.4.1 ISČS Sporoinvest
Z grafu autokorelační a parciální autokorelační funkce výnosů logaritmů fondu ISČS Sporoinvest (příloha 16) lze vypozorovat, že se významná autokorelace vyskytuje v pátém a ve vyšších zpožděních. Tento efekt se někdy vyskytuje ve finančních časových řadách, kde jsou
výrazné změny cen investičních nástrojů po víkendu, kdy se neobchoduje. Vhodnou autokorelační strukturu reziduí má model AR(5) s konstantou. Vykazuje však přítomnost heteroskedasticity a nenormality standardizovaných reziduí.
Heteroskedasticitu reziduí vykazuje i model ARCH, model GARCH však již ne. Zatímco u
modelu založeného na normálním rozdělení nesystematické složky je nutné, aby úrovňový
model obsahoval autoregresní parametr ϕ5, jinak jsou rezidua vzájemně korelována, u modelů
s alternativními rozděleními (t a GED) lze redukovat úrovňový model pouze na konstantu.
Model s normálním rozdělením nesplňuje podmínku normality reziduí, takže nebude do srovnání zahrnut. Zbylé dva modely ano. Ani jedna z variant modelu GARCH-M není pro časovou řadu vhodná, parametr λ není statisticky významný.
Nelineární modely volatility GRJ-GARCH a EGARCH nejsou významně vhodnější než lineární model GARCH. Dokazuje to jednak test věrohodnostním poměrem (tab.5.4) pro modely
s t i GED rozdělením a zároveň informační kritéria AIC a SBC v tabulce 5.3. Klíčové parametry nelineárních modelů γ1 nejsou statisticky významné (viz. příloha 26), takže tyto modely
nepotvrzují závěr testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (statisticky významný
96
NSB test – viz. tabulka 26.1 přílohy 26) o přítomnosti pákového efektu. K popisu časové řady
stačí lineární model GARCH(1,1) jehož odhadnuté parametry jsou v tabulce 5.5.
U všech srovnávaných modelů jsou modely s t rozdělením nesystematické složky vhodnější
než modely s GED rozdělením. Kolmogorovův-Smirnovův test a grafy však ukazují, že rezidua nemají t rozdělení, protože jsou špičatější (tab. 26.5 a obr. 26.3 a 26.4 v příloze 26). Rezidua alternativního modelu jsou shodná s GED rozdělením jen na hladině významnosti 0,01.
Vzhledem k autokorelovanosti reziduí modelu GARCH s normálním rozdělením nesystematické složky nebude analyzováno rozdělení jeho reziduí.
Tab. 5.3 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
GARCH(1,1)
s t rozdělením
GARCH(1,1)
s GED rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
EGARCH(1,1)
s t rozdělením
EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
AIC
SBC
5
8606,684
-13,61026
-13,58992
5
8585,130
-13,57615
-13,55581
6
8606,788
-13,60884
-13,58443
6
8585,248
-13,57476
-13,55035
6
8608,852
-13,61211
-13,58770
6
8585,562
-13,57526
-13,55085
Tab. 5.4 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
GARCH(1,1) s t rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením
GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
test věr.
poměrem
df.
p-hodnota
0,208
1
0,6483
0,236
1
0,6271
Tab. 5.5 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
9,83E-05
6,14E-06
ω
3,41E-09
1,37E-09
α1
0,038905
0,010424
β1
0,918592
0,021578
v1
1,099195
0,038160
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
16,00122
2,482916
3,732206
42,57115
28,80472
0,0000
0,0130
0,0002
0,0000
0,0000
97
5.4.2 KBC Multicash ČSOB CZK
Nalezení vhodného autoregresního úrovňového modelu není vůbec jednoduché. Z grafu ACF
a PACF je patrná silná autokorelace v čtvrtém a pátém zpoždění (viz. příloha 16). Přesto modely AR(4) resp. AR(5) mají autokorelovaná rezidua. Tento nedostatek se podařilo odstranit
až pomocí složitého autoregresního modelu AR(4,5,8), který má všechny parametry včetně
konstanty statisticky významné (tab. 5.6). Překvapivě jsou rezidua homoskedastická
(obr. 27.2 přílohy 27). Není tedy důvod pro hledání modelů volatility. Jediným nedostatkem
takového modelu je nesplnění podmínky normality reziduí. Program EViews neumožňuje
založit odhady modelu podmíněné střední hodnoty na alternativních rozděleních jako u modelů volatility, odhady směrodatných chyb odhadů založené na quasi metodě maximální věrohodnosti však potvrzují statistickou významnost všech parametrů.
Rozdělení reziduí modelu AR(4,5,8) je velice špičaté. Charakteristika špičatosti je 5,85 a navíc je šikmost 4,36. Tvar rozdělení ovlivňuje malé množství extrémních hodnot. Zatímco minimum je -0,00084, maximum dosahuje hodnoty o řád vyšší 0,0034. Pokusem byla odstraněna maximální hodnota a špičatost klesla na 18,86 a šikmost na 1,97. Důkazy o nenormalitě
rozdělení standardizovaných reziduí modelu poskytuje Jarqueův-Berův test (obr. 27.3 přílohy) i Q-Q diagram (obr. 27.4. přílohy). Testy neprokazují shodu ani s jinými teoretickými
rozděleními. Na vině jsou právě těžké konce rozdělení reziduí, jak je vidět z tabulky testů
shody s vybranými teoretickými rozděleními a histogramu (vše v příloze 27).
Tab. 5.6 Odhadnuté parametry modelu AR(4,5,8) s konstantou v úrovňovém
t-test
Odhad směrodatné chyby
odhadu
1,05E-051
11,30490
φ0
0,000119
1,06E-052
11,28489
0,0292071
3,059241
φ4
0,089353
0,0378102
2,363208
0,0290811
5,516717
φ5
0,160431
0,0369512
4,341750
0,0292161
3,935348
φ8
0,114973
0,0281912
4,078441
1) odhady metodou maximální věrohodnosti
2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti
Parametr
Odhad
98
p-hodnota
0,0000
0,0000
0,0023
0,0183
0,0000
0,0000
0,0001
0,0000
5.4.3 Pioneer Sporokonto
Rezidua modelů podmíněné střední hodnoty vykazují autokorelaci, heteroskedasticitu a
nejsou normálně rozdělená. Nepodařilo se nalézt vhodný model, který by byl schopen odstranit alespoň vzájemnou korelaci reziduí.
Modely volatility založené na t rozdělení se jako jediné dokázaly vypořádat se složitou korelační strukturou časové řady a zároveň odstranit její heteroskedasticitu. Naproti tomu modely
založené na normálním nebo GED rozdělení neplnily podmínku neautokorelovanosti reziduí.
Všechny modely s t rozdělením jsou spojeny s velice složitým úrovňovým modelem ve tvaru
AR(2,4,5,20). Snahy o zredukování počtu autoregresních parametrů byly marné. Podle Ljungovy-Boxovy Q statistiky se při vypuštění byť jen jediného parametru objevila významná
autokorelace reziduí.
Vedle modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) je vhodný i model AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1)
(příloha 28). Podle informačních kritérií je model se směrodatnou odchylkou v úrovňovém
modelu nepatrně vhodnější než model s rozptylem. Třetí alternativní GARCH-M model s logaritmem rozptylu měl korelovaná rezidua.
Podmínky reziduí plní i nelineární modely volatility AR(2,4,5,20)-GRJ-GARCH(1,1) a
AR(2,4,5,20)-EGARCH(1,1). Odhady parametrů obou modelů jsou v příloze 28. Porovnání
čtyř alternativ ukazuje, že nastejno jsou modely GARCH a GRJ-GARCH a vhodnější jsou
modely GARCH-M a EGARCH (tab. 5.7 a 5.8).
To, že se v časové řadě pravděpodobně nevyskytuje asymetrický efekt lze vyčíst z odhadů
parametrů nelineárních modelů volatility. Jak u modelu GRJ-GARCH, tak i u EGARCH není
statisticky významný parametr γ1. Takový závěr potvrzují i výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (tab. 28.4. přílohy 28).
Při analýze vlastností standardizovaných reziduí se však zjistilo, že tato nemají předpokládané
t rozdělení s odhadnutými stupni volnosti. P-hodnota KS testu pro rezidua modelu
GARCH-M je 0, stejně jako u modelu GARCH. Ze srovnání histogramů je patrné, že rozdělení standardizovaných reziduí je špičatější než t rozdělení (příloha 28 obr. 28.1 – 28.4). Charakteristika špičatosti je extrémně vysoká a je 47,5. Testy shody s vybranými rozděleními
nenaznačují podobnost se žádným z navržených rozdělení.
Ideální model splňující veškeré podmínky diagnostické kontroly se tedy nepodařilo nalézt.
Pro analýzu takové řady bude třeba použít jiné, složitější modely, než ty uvažované v této
disertační práci, nebo modely založit na velice špičatém rozdělení.
99
Tab. 5.7 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
logpočet parametrů věrohodnostní
funkce
AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1)
s t rozdělením
AR(2,4,5,20)-GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(2,4,5,20)-EGARCH(1,1)
s t rozdělením
AIC
SBC
9
8666,214
-14,39271
-14,35461
10
8672,908
-14,40218
-14,35984
10
8666,231
-14,39107
-14,34874
10
8672,179
-14,40096
-14,35863
Tab. 5.8 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením
vs.
AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t rozdělením
AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením
vs.
AR(2,4,5,20)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením
test věr.
poměrem
df.
p-hodnota
13,388
1
0,0003
0,034
1
0,8537
100
5.4.4 IKS Peněžního trhu
U časové řady výnosů logaritmů fondu IKS Peněžního trhu (ACF a PACF jsou v příloze 16)
se nepodařilo vůbec nalézt vhodný model typu AR. Všechny navrhované modely od jednoduchého AR(1) až po velice komplikovaný AR(1,4,5,20) mají podle Ljungovy-Boxovy Q statistiky autokorelovaná rezidua ve vysokých zpožděních (19. nebo 20. a vyšší zpoždění). Rezidua
jsou zároveň heteroskedastická. Nekonstantnost rozptylu sice odstraňuje model volatility
GARCH, ale i takovýto model vykazuje autokorelaci reziduí. Model se nepodařilo odhadnout
ani po provedení pokusu založeného na zkrácení časové řady.
Model GARCH-M se směrodatnou odchylkou nebo rozptylem v úrovňovém modelu sice poněkud zlepšil vlastnosti reziduí ve smyslu jejich korelace, ale zase se v něm objevila heteroskedasticita. Stejné závěry platí pro nelineární modely volatility GRJ-GARCH a EGARCH.
Rezidua vykazují heteroskedasticitu a významnou autokorelovanost ve vyšších zpožděních.
5.4.5 ING International Český fond peněžního trhu
Složitá autokorelační struktura neumožňuje odhadnout jednoduchý úrovňový model. Jakékoliv pokusy selhávají, protože rezidua jsou významně korelována ve vyšších zpožděních.
V případě modelů volatility ARCH, GARCH, GARCH-M, GRJ-GARCH, EGARCH je problém stejný. Tyto modely odstraňují pouze heteroskedasticitu časové řady. Jde tedy již o třetí
řadu otevřených fondů peněžního trhu, kde se nepodařilo nalézt model postupem použitým
pro jiné typy fondů a akcií.
101
5.5 Závěrečné shrnutí vlastností podílových fondů peněžního trhu
Navržený postup analýzy výnosů časových řad byl u podílových fondů peněžního trhu jen
zčásti úspěšný. Z původního počtu pěti fondů se podařilo nalézt vhodný statistický model
popisující chování časové řady jen u dvou fondů. Proto je nutno brát některé z následujících
závěrů s rezervou.
1. Analyzované časové řady výnosů logaritmů cen podílových listů nemají normální rozdělení. Jejich rozdělení je extrémně špičaté. Špičatost je absolutně nejvyšší ze všech
analyzovaných investičních nástrojů. V některých případech je rozdělení navíc kladně
zešikmené (fondy KBC a IKS). Vůbec se nepodařilo nalézt teoretické rozdělení, které
by se shodovalo s nepodmíněným rozdělením výnosů logaritmů těchto časových řad.
2. Fondy peněžního trhu jsou ze všech porovnávaných skupin investičních nástrojů
nejméně rizikové. Směrodatná odchylka, jako jeden z ukazatelů rizikovosti, je pouhých 0,0003, což je nejméně ze všech.
3. Fondy mají složitou autokorelační strukturu. Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce ukazují statisticky významnou korelaci ve vyšších zpožděních. Korelace
v 10. nebo 20. zpoždění není výjimkou.
4. Nalezení jednoduchého úrovňového modelu není pro tyto řady jednoduché. Ve většině
případů nepostačuje model s konstantou a jedním parametrem. U fondu KBC byl odhadnut model se třemi a u fondu Pioneer dokonce se čtyřmi autoregresními parametry.
Jedině s těmito statisticky významnými parametry nejsou rezidua modelů vzájemně
korelována. Redukce počtu parametrů není ani aplikaci modelů volatility možná.
5. Fond KBC Multicash je jediným ze všech fondů, k jehož popisu stačí úrovňový model
AR. Ten totiž nevykazuje autokorelaci a heteroskedasticitu náhodné složky, a proto je
odhadování modelů volatility zbytečné.
6. Lineární a nelineární modely volatility se ukázaly být schopné odstranit heteroskedasticitu nesystematické složky časových řad, ale nedokázaly zajistit neautokorelovanost
reziduí. Z tohoto důvodu se nepodařilo nalézt ani jeden vhodný model pro fondy společností ING a IKS. Vlastnosti těchto časových řad se pomocí vybraných statistických
modelů nepodařilo vůbec popsat. Neúspěch tak snižuje váhu závěrů celé analýzy fondů peněžního trhu, protože počet analyzovaných fondů se redukuje na tři.
102
7. V jednom případě se ukázalo, že by podmíněný rozptyl mohl mít vliv na podmíněnou
střední hodnotu časové řady. U fondu Pioneer Sporokonto se podařilo odhadnout statisticky významné parametry modelu GARCH-M. Pouze u dvou alternativ modelu se
však podařilo získat neautokorelovaná rezidua. Forma vlivu podmíněného rozptylu
podle tohoto zjištění ovlivňovala autokorelační strukturu modelu.
8. Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (NSB a PSB a další) odhalily
přítomnost pákového efektu u fondu ISČS Sporokonto, jejich závěr se však po odhadu
parametrů nelineárních modelů volatility nepotvrdil.
9. Nelineární modely EGARCH a GRJ-GARCH nepopsaly ani v jednom případě rozdílné vlivy působení kladných a záporných šoků na podmíněný rozptyl časové řady. Klíčový parametr γ1, byl vždy odhadnut jako statisticky nevýznamný.
10. Modely založené na alternativních rozděleních (Studentovo t resp. GED) jsou vhodnější než modely vycházející z předpokladu normality nesystematické složky. Tento
předpoklad nebyl navíc u žádného z modelů splněn.
11. V souvislosti s rozdělením nesystematické složky se objevil další, doposud nepozorovaný jev. Autokorelační struktura reziduí je závislá na jejich rozdělení. Zatímco rezidua modelů fondu Pioneer Sporokonto s t rozdělením nevykazovala autokorelaci, rezidua stejných modelů s normálním a GED rozdělením již ano.
12. Zatímco standardizovaná rezidua modelů jsou podle KS testu, analýzy Q-Q grafů a
histogramů shodná s hypotetickým GED rozdělením s odhadnutým parametrem r, u
Studentova t rozdělení toto neplatí. U časových řad ISČS Sporoinvest a Pioneer Sporokonto se ukázalo, že rozdělení reziduí modelu je ve skutečnosti špičatější než Studentovo t rozdělení s odhadnutými stupni volnosti v.
13. U modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se nepodařilo tento předpoklad splnit ani v jednom případě. Rozdělení standardizovaných reziduí je extrémně
špičaté a u některých fondů i zešikmené vlivem odlehlých pozorování. Shodu s vybranými teoretickými rozděleními se nepodařilo nalézt.
103
6 Analýza akciových časových řad
6.1 Úvod
Časové řady akcií se od ostatních v této části analyzovaných časových řad liší. Nesplňují hned
první podmínku pro zařazení do analýzy, protože se nejedná o otevřené podílové fondy. Jde
o zcela odlišné investiční nástroje než jsou podílové fondy. Do práce byly zahrnuty z jediného
důvodu. Slouží ke srovnání s analyzovanými podílovými fondy a ke zjištění, jak se časové
řady podílových fondů shodují nebo naopak odlišují od akciových časových řad. Vzhledem
k tomu, že především akciové podílové fondy jsou založeny na investování do podnikových
akcií, má toto srovnání smysl. Podobnost s jinými typy fondů (dluhopisové, peněžního trhu)
je jednou z otázek, na kterou se tato práce snaží nalézt odpověď. Zahraniční autoři využívají
modely volatility především k popisu akciových časových řad. Popis zahraničních a českých
otevřených podílových fondů nebyl zatím dostatečně publikován. Případná podobnost mezi
oběma investičními nástroji odhalená v této práci může rozšířit používání modelů volatility i
na jiné finanční časové řady. Nesmíme totiž zapomínat na to, že ceny podílových listů jsou
utvářeny jiným způsobem, než je vzájemná interakce nabídky a poptávky na burze a že tento
způsob se výrazně liší podle typu fondu. Blíže o tomto pojednává kapitola 1.
Do analýzy byly zahrnuty časové řady pěti společností (ČEZ, Komerční banka, Philip Morris,
Český Telecom a Unipetrol). Data byla získána z RM systému. Stejně jako u otevřených podílových fondů se jedná o denní časové řady za období 1.1.2001 až 31.12.2005. Průběh časových řad by v tomto období mohl být podobný akciovým podílovým fondům, kde byl patrný
podobný vývoj. Pokles nebo stagnace převládající od počátku sledování do druhé poloviny
roku 2002 a následný růst hodnoty podílových listů, který přetrvává až do konce roku 2005.
Některé akciové časové řady dodržují tento vývoj také. Jedná se o společnosti ČEZ a Unipetrol, které do druhé poloviny roku 2002 vykazují stagnaci a společnost Český Telecom, kde je
do stejného období významný pokles ceny akcií. Akcie Philip Morris a Komerční banky vykazují nárůst ceny akcií v celém období. Grafy výnosů logaritmů zobrazují proměnlivost variability v čase, vyskytují se v nich alespoň jedna extrémně nízká hodnota. Ve všech časových
řadách je dobře patrný výskyt shluků. Grafy jsou uvedeny v příloze 4.
6.2 Popisné charakteristiky
Vzhledem k tomu, že data pocházejí z jednoho zdroje, je délka všech časových řad stejná.
V tomto případě 1255 dní. Sledovací období je stejné jako u všech ostatních časových řad,
aby byla možná porovnatelnost s fondy. Střední hodnoty – průměr a medián transformova104
ných časových řad se blíží nule a mají kladnou hodnotu, v tomto směru si jsou všechny řady
podobné.
Minimální hodnoty jsou ve všech případech v absolutní hodnotě vyšší než maxima. U společnosti ČEZ je záporná hodnota dokonce téměř třikrát vyšší než hodnota maxima. Maximální
záporné výnosy akcií dosáhly ve sledovaném období vyšších hodnot než maximální výnosy
kladné. Tento závěr je patrný i z grafů výnosů logaritmů, kde má každá řada alespoň jeden
výrazný propad. Velký počet v propadů je patrný na časové řadě Philip Morris. Nejnižší variační rozpětí dosahuje Komerční Banka (0,19), nejvyšší pak Unipetrol (0,35).
Směrodatná odchylka je jedním z ukazatelů rizika investice do akcií. Ve vybraných titulech se
pohybuje okolo hodnoty 0,02. Směrodatná odchylka časových řad akciových podílových fondů pohybuje v okolí hodnoty 0,01 a u podílových fondů peněžního trhu 0,0002 – 0,0003. Pohled na směrodatnou odchylku potvrzuje předpoklad, že akcie jsou ze všech porovnávaných
investic nejrizikovější a fondy peněžního trhu nesou riziko nejnižší.
Tab. 6.1 Popisné charakteristiky časových řad výnosů logaritmů akciových otevřených podílových fondů
Charakteristika
ČEZ
Počet
Průměr
Medián
Maximum
Minimum
Rozpětí
Směrodatná odchylka
Šikmost
Špičatost
1255
0,001593
0,002227
0,070796
-0,198337
0,269133
0,019903
-1,011774
12,056100
1255
0,001064
0,001020
0,089445
-0,107459
0,196904
0,019825
-0,183925
4,992664
1255
0,000900
0,000000
0,091304
-0,134556
0,225860
0,018756
-0,638428
9,541780
1255
0,000033
0,000000
0,100521
-0,161663
0,262184
0,023940
-0,300660
7,308421
1255
0,001052
0,001026
0,141117
-0,212868
0,353985
0,024336
-0,583821
12,661190
4502,713000
0,000000
214,710800
0,000000
2323,070000
0,000000
989,571300
0,000000
4952,123000
0,000000
0,069686
0,000010
0,043579
0,017015
0,083327
0,000000
0,082926
0,000001
0,109984
0,000000
Jarqueův-Berův test
p-hodnota testu
Kolmogorovův-Smirnovův
p-hodnota testu
Komerční
banka
Philip Morris
Český
Telecom
Unipetrol
Špičatost časových řad se pohybuje v rozmezí 9 až 12 (jedinou výjimkou je Komerční banka
se špičatostí 5). V porovnání s akciovými fondy jsou hodnoty vyšší, ukazatel se u vybraných
fondů pohybuje v rozmezí 4,5 – 8,5.
6.3 Vlastnosti nepodmíněného rozdělení výnosů
Ve všech případech je šikmost záporná. Potvrzuje se tak vliv vysokých záporných výnosů.
Nejvyšší šikmosti dosahuje ČEZ (-1), nejnižší pak Komerční banka (-0,18).
105
Metodou maximální věrohodnosti byly odhadnuty parametry teoretických rozdělení (příloha
9) a pomocí testů dobré shody je posuzována jejich shoda s rozdělením časových řad (příloha
8). Opět se prokázalo, že rozdělení ani jedné časové řady není normální. Zcela nevhodná jsou
i logaritmicko-normální a Cauchyho rozdělení. Podle informačního kritéria AIC se jako nejvhodnější jeví u většiny časových řad Laplaceovo nebo Exponential Power rozdělení. Tedy
symetrická a velmi špičatá rozdělení. Odhadnutý parametr EP rozdělení se ve většině případů
blíží jedné, takže tato dvě rozdělení jsou téměř totožná. Tento závěr lze vypozorovat i z grafů
hustotních funkcí, které jsou spolu s hustotními funkcemi jmenovaných rozdělení zobrazeny v
příloze 10.
Výjimkou je časová řada výnosů logaritmů akcií Komerční banky. Její špičatost je ze všech
akcií nejnižší (4,99) a podle informačního kritéria je nejvhodnější zobecněné logistické rozdělení. Odhad parametru zešikmení tohoto rozdělení je však blízký 1, konkrétně je 0,92. Takže i
toto rozdělení lze považovat za symetrické (charakteristika šikmosti časové řady nabývá hodnoty -0,18) a méně špičaté než by popisovalo Laplaceovo rozdělení. GL3 rozdělení není u
žádné další časové řady výnosů akcií vhodnější než špičatá exponenciální rozdělení.
6.4 Modely akcií
Postup pro nalezení vhodného modelu časových řad výnosů akcií, popis jejich vlastností a
vlastností reziduí odhadnutých modelů je stejný jako v předchozích studiích. Detailně jsou
jeho kroky rozepsány v kapitole 2.4. V příloze 17 jsou grafy autokorelačních (ACF) a parciálních autokorelačních funkcí (PACF) časových řad.
6.4.1 ČEZ
Vhodný úrovňový model pro časovou řadu akcí společnosti ČEZ je model AR(2) s konstantou. Rezidua modelu sice nejsou autokorelovaná, ale vyskytuje se v nich heteroskedasticita.
Nejlepším modelem typu ARCH je model ARCH(1) s konstantou v úrovňovém modelu. Model AR(2)-ARCH(1) má statisticky významné parametry φ0 a φ2, rezidua však vykazují autokorelaci. Model ARCH(1) neobsahuje autokorelovanou náhodnou složku, ale opět se zde vyskytuje heteroskedasticita.
Podmínku homoskedasticity reziduí splňují až modely typu GARCH, pro tuto řadu konkrétně
GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu. Nejvhodnějším modelem je ten, který je
založen na Studentovu t rozdělení. Hodnoty informačních kritérií jsou u něj ze všech tří modelů alternativního rozdělení nesystematické složky nejnižší, i když rozdíl oproti modelu
s GED rozdělením je až na místě setin (tab. 6.3). KS testy potvrdily shodu rozdělení standardizovaných reziduí s GED rozdělením. Stejné tvrzení však neplatí pro Studentovo t rozdělení.
106
Z histogramů obou rozdělení je patrné, že rozdělení reziduí modelu je špičatější než Studentovo rozdělení s odhadnutými stupni volnosti (grafy příloze 29).
Modely typu GARCH-M jsou pro popis řady nevhodné. Parametr λ zachycující vliv podmíněného rozptylu na podmíněnou střední hodnotu není statisticky významný.
Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního
typu vycházejí z reziduí modelu
GARCH(1,1) s GED rozdělením (odhady parametrů v tab. 6.2). Odhalují významný vliv záporných reziduí na podmíněný rozptyl, tedy tzv. pákový efekt (viz. tab. 29.4 přílohy 29).
Odhadnuté parametry nelineárních modelů volatility (příloha 29) naznačují, že asymetrie
v modelu není příliš velká. Parametr γ1 modelu EGARCH(1,1) není ani v jednom z modelů
s alternativním rozdělením na hladině významnosti 0,05 staticky významný. Pokud tedy tento
model naznačuje přítomnost pákového efektu (odhad parametru má záporné znaménko a je
velmi nízký), je tento vliv pouze slabý. Stejně tak není statisticky významný parametr γ1 u
modelů typu GRJ-GARCH(1,1). Parametr α1 významný je, takže vliv kladných šoků je podle
tohoto modelu stejný jako vliv šoků záporných, což potvrzuje i grafické zobrazení funkce
NIC (obr. 29.3 přílohy 29). Odhady parametrů asymetrických modelů volatility tedy nesouhlasí se závěry NSB a příbuzných testů. Navíc porovnání dle informačních kritérií nenaznačuje, že by nelineární modely byly vhodnější než modely lineární (především modely typu GRJGARCH). Test věrohodnostním poměrem toto potvrzuje (tabulky 6.3 a 6.4). Nejvhodnějším
modelem pro popis chování časové řady zůstává GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu a GED rozdělením nesystematické složky.
Detailní pohled na standardizovaná rezidua modelu GARCH(1,1) založeného na normalitě
nesystematické složky ukazuje, že díky jejich vysoké špičatosti (12,76) a záporné šikmosti
(-1,08) podmínku normality nesplňují. To potvrzuje i KS test jehož p-hodnota je 0,0015. Záporná šikmost rozdělení reziduí se již vyskytla v předchozích studiích. Většinou tuto charakteristiku ovlivňovalo jedno odlehlé reziduum, které bylo způsobeno extrémním výkyvem
v časové řadě. I zde se zdá, že by jím mohla být hodnota z 16.7.2001. Po jejím odstranění
klesla hodnota šikmosti na -0,25 a špičatost na 4,39. JB test však nadále potvrzuje nenormalitu, takže výsledek testu nebyl touto odlehlou hodnotou ovlivněn, zatímco tvar rozdělení ano.
Podle informačního kritéria AIC je pro popis rozdělení standardizovaných reziduí nejvhodnější zešikmené rozdělení GL3. Parametr zešikmení byl odhadnut na 0,79, takže se potvrzuje
že rozdělení reziduí modelu je záporně zešikmené. Doposud žádný z odhadnutých modelů
takovéto výrazné zešikmení nevykazoval. Příčina zešikmení byla již odhalena. Shoda byla
prokázána i s EP a LL3 rozdělením. Nebyla prokázána shoda s t rozdělením s 13,2 stupni vol-
107
nosti (tab. 29.6 a obr. 29.7 přílohy), což je hodnota získaná maximalizací věrohodnostní funkce.
Tab. 6.2 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
0,002259
0,000414
ω
2,31E-05
8,32E-06
α1
0,121260
0,028870
β1
0,824338
0,034181
v1
1,168328
0,041527
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
5,453806
2,773037
4,200177
24,11677
28,13385
0,0000
0,0056
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 6.3 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
GARCH(1,1) s normálním
rozdělením
GARCH(1,1)
s t rozdělením
GARCH(1,1)
s GED rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
EGARCH(1,1)
s t rozdělením
EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
AIC
SBC
4
3192,120
-5,080669
-5,064303
5
3268,955
-5,201521
-5,181063
5
3262,915
-5,191897
-5,171439
5
3195,971
-5,085212
-5,064755
6
3270,149
-5,201831
-5,177282
6
3264,064
-5,192134
-5,167585
5
3201,620
-5,094215
-5,073758
6
3272,097
-5,204936
-5,180386
6
3266,865
-5,196597
-5,172048
Tab. 6.4 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
GARCH(1,1) s t rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením
test věr.
poměrem
df.
p-hodnota
2,298
1
0,1295
2,388
1
0,1223
108
6.4.2 Unipetrol
Pouhý autoregresní model podmíněné střední hodnoty není pro popis časové řady vhodný.
Rezidua modelu AR(1) nejsou vzájemně korelovaná, ale vykazují heteroskedasticitu. Stejnou
vlastnost mají i rezidua modelů typu ARCH. S ohledem na významnost parametrů a tvar ACF
a PACF je nejlepší model ARCH(1) s konstantou v úrovňovém modelu, která je ovšem statisticky nevýznamná.
Až model AR(1)-GARCH(1,1) splňuje předpoklad homoskedasticity a neautokorelovanosti
nesystematické složky (viz. obr. 30.1 a 30.2 přílohy 30). Odhad směrodatné chyby odhadu
autoregresního parametru φ1 založené na quasi metodě maximální věrohodnosti je však příliš
vysoký, takže t test založený na tomto odhadu dochází k závěru, že parametr je statisticky
nevýznamný. U modelu však není splněna podmínka normality reziduí. Modely GARCH
s GED a Studentovým t rozdělením překvapivě nesplňují podmínku neautokorelovanosti.
Autoregresní parametr φ1 není v obou případech staticky významný. Autokorelovaná rezidua
mají i modely, ve kterých byl autoregresní parametr nahrazen konstantou. Ta je sice statisticky významná, ovšem Ljungův-Boxův test odhaluje na hladině významnosti 0,01 autokorelaci
až do třetího zpoždění. Ani zvýšení stupně procesu AR nepřineslo hledané zlepšení.
Modely EGARCH(1,1) s konstantou a autoregresním parametrem φ1 mají tento parametr nevýznamný a opět vykazují autokorelaci nesystematické složky. Stejný závěr poskytují i modely GRJ-GARCH(1,1). Žádný z uvažovaných nelineárních modelů tedy není optimální a nedokáže řádně popsat autokorelační strukturu řady časové řady.
Jediný model AR(1)-GARCH(1,1) (tab. 6.5) splňuje, až na předpoklad normality reziduí, podmínky kladené na nesystematickou složku modelu. Rozdělení reziduí je špičaté, charakteristika špičatosti standardizovaných reziduí je 10,7. Podle kritéria AIC se rozdělení reziduí nejvíce shodují s Laplaceovým a EP rozdělením (s parametrem špičatosti 0,99). Méně špičatá rozdělení nebyla tolik vhodná, přestože se shodu s takovými také podařilo prokázat. Šikmost
rozdělení reziduí je poměrně nízká (-0,29), takže je lze považovat za symetrická (obr. 30.3 a
tab. 30.2 přílohy 30).
Situace s volbou modelu pro popis výnosů logaritmů časové řady akcií společnosti Unipetrol
je v porovnání s ostatními výsledky této práce unikátní. Pouze u některých fondů peněžního
trhu se nedařilo nalézt vhodné modely. U jiných časových řad, vždy existovala skupina modelů, která diagnostickou kontrolou prošla. Důvodem může být specifické chování řady, které je
buďto nutné popsat jinými modely volatility nebo stávající modely založit na jiném podmíněném rozdělení nesystematické složky.
109
Tab. 6.5 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s
normálním rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrot-test
datné chyby
odhadu
0,0005501
2,557123
φ0
0,001407
0,0005102
2,760278
0,0297581
1,657424
φ1
0,049322
0,0479822
1,027923
2,25E-061
7,675523
ω
1,73E-05
6,72E-062
2,571985
0,0141371
11,32744
α1
0,160139
0,0370362
4,323865
0,0127641
65,10949
β1
0,831053
0,0314802
26,39927
1) odhady metodou maximální věrohodnosti
2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti
110
p-hodnota
0,0106
0,0058
0,0974
0,3040
0,0000
0,0101
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
6.4.3 Komerční banka
ACF a PACF časové řady výnosů logaritmů cen akcií společnosti Komerční banka vykazují
významnou autokorelaci až od čtvrtého zpoždění (příloha 17). Úrovňový model AR(1) nevykazuje autokorelaci náhodné složky na hladině významnosti 0,01, model AR(4) pak ani na
hladině významnosti 0,1. Rezidua ani jednoho modelu však nejsou homoskedastická. Náhodná složka modelu volatility AR(4)-ARCH(1) také není homoskedastická. Tento model má
jako jeden z mála všechny parametry statisticky významné.
Až modely volatility AR(4)-GARCH(1,1) nevykazují autokorelaci ani heteroskedasticitu ve
všech třech alternativách hypotetického rozdělení nesystematické složky. Model založený na
předpokladu normality tuto podmínku nesplňuje. Skupina lineárních modelů typu GARCH-M
není pro analyzovanou řadu vhodná.
Asymetrické modely volatility splňují podmínky neautokorelovanosti a homoskedasticity
reziduí. Ljungův-Boxův test autokorelace druhých mocnin reziduí však odhalil statisticky
významnou autokorelaci od 15. zpoždění, a to jak u modelů GRJ-GARCH, tak i EGARCH.
Na působení pákového efektu v časové řadě poukazuje statisticky významný výsledek NSB
testu a obecného testu podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu. Parametru α1 modelu
AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) popisuje vliv kladných šoků a hodnota jeho odhadu není statisticky
významná. Odhad parametru γ1 nabývá hodnoty 0,17. To potvrzuje, že v časové řadě je významný vliv záporných šoků na podmíněný rozptyl, zatímco vliv šoků kladných statisticky
významný není. Podle modelu GRJ-GARCH tak časová řada vykazuje působení pákového
efektu na podmíněný rozptyl (viz. NIC funkce na obr. 6.1). Parametr γ1 modelu
EGARCH(1,1) je statisticky významný a má zápornou hodnotu -0,11. Parametr α1 byl odhadnut na 0,21 a je taktéž významný (tab. 31.2 v příloze 31). Také podle tohoto modelu je přítomen pákový efekt a záporná rezidua mají větší vliv na volatilitu časové řady než rezidua kladná. Závěry obou modelů jsou v souladu s výsledky předchozích testů asymetrie. Podle informačních kritérií a testu věrohodnostním poměrem je pro analyzovaná data nejvhodnější model AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) se Studentovým t rozdělením nesystematické složky (odhadnuté parametry jsou v tabulce 6.8).
Rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) bylo podrobeno detailnímu zkoumání (obr. 31.4 – 31.6 a tab. 31.5). KS test potvrzuje shodu rozdělení reziduí
odpovídajícího modelu s normálním a GED rozdělením. Shoda se Studentovým t rozdělením
se potvrdila pouze na nižší hladině významnosti (p-hodnota testu je 0,0145). Výsledky KS
testu pro normální rozdělení jsou v rozporu s JB testem normality, který tuto skutečnost vyvrací.
111
Rozdělení standardizovaných reziduí modelu založeného na předpokladu normality dosahuje,
obdobně jako v dalších doposud zkoumaných modelech, vysoké špičatosti (5,07) a nízké hodnoty zešikmení (-0,2). Detailní srovnání s alternativními rozděleními napoví více o tvaru rozdělení těchto reziduí. Nejvhodnějším rozdělením je podle informačních kritérií GL3 rozdělení. Neznamená to však, že by rozdělení reziduí bylo zešikmené, protože odhadnutý parametr
zešikmení je 1. Jedná se tedy o rozdělení symetrické s nižší špičatostí než popisuje Laplaceovo rozdělení, ale stále vyšší než má rozdělení Studentovo s 15,9 stupni volnosti (odhadnuto
metodou maximální věrohodnosti). Zmíněné Laplaceovo rozdělení se podle testů neshoduje
s rozdělením reziduí, důvodem je jeho vysoká špičatost. Detaily jsou uvedeny v příloze 31.
Tab. 6.6 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
AR(4)-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(4)-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(4)-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(4)-GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(4)-GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(4)-GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
AR(4)-EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
AR(4)-EGARCH(1,1)
s t rozdělením
AR(4)-EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
AIC
SBC
5
3172,507
-5,063960
-5,043450
6
3206,136
-5,116124
-5,091512
6
3200,650
-5,107354
-5,082742
6
3184,492
-5,081522
-5,056910
7
3214,482
-5,127869
-5,099155
7
3208,938
-5,119006
-5,090291
6
3185,075
-5,082454
-5,057841
7
3214,231
-5,127468
-5,098753
7
3208,997
-5,119100
-5,090386
Tab. 6.7 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
AR(4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
AR(4)-GARCH(1,1) s t rozdělením
vs.
AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením
test věr. poměrem df. p-hodnota
16,576 1
0,0000
16,692 1
0,0000
112
Tab. 6.8 Odhadnuté parametry modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu s t rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
0,000965
0,000537
φ4
0,088475
0,027556
ω
4,11E-05
1,28E-05
α1
0,030121
0,029044
γ1
0,168470
0,051929
β1
0,782769
0,050618
v1
6,910096
1,171873
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
1,796839
3,210777
3,207972
1,037115
3,244205
15,46437
5,896625
0,0724
0,0013
0,0013
0,2997
0,0012
0,0000
0,0000
Obr. 6.1 Funkce NIC modelu AR(4)-GARCH(1,1) a modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky
0,0015
0,0013
0,0011
0,0009
0,0007
0,0005
NIC GARCH
0,0003
NIC GRJ
0,0001
-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
εt
113
0,04
0,06
0,08
0,1
6.4.4 Český Telecom
Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce nevykazují významnou autokorelaci
(viz. příloha 17). Jednoduché úrovňové modely mají nevýznamné parametry, a to jak konstantu, tak i parametry autoregresní. Rezidua modelů jsou heteroskedastická.
Ani model ARCH(1) s konstantou v úrovňovém modelu (ta je ovšem statisticky nevýznamná)
není pro popis časové řady vhodný. Heteroskedasticita reziduí ve vyšších zpožděních je stále
přítomna. Až model GARCH(1,1) heteroskedasticitu reziduí odstraňuje. Konstanta
v úrovňovém modelu není ani v jednom případě statisticky významná. Jako nejvhodnější se
opět jeví model založený na t rozdělení náhodné složky. Spolu s GED rozdělením je vhodnější než model s rozdělením normálním, jehož rezidua podle JB testu toto rozdělení nemají (phodnota = 0,0000). KS test potvrdil GED rozdělení standardizovaných reziduí (p-hodnota
0,0998). P-hodnota tohoto testu pro standardizovaná rezidua s t rozdělením je nulová a shoda
s hypotetickým t rozdělením prokázána nebyla (obr. 32.4 - 32.6 a tab. 32.4 přílohy 32). Příčinou je opět vysoká špičatost rozdělení reziduí.
Modely typu GARCH-M nejsou vhodné. Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního
typu odhalují vliv jak kladných, tak i záporných šoků a jejich výše (viz. příloha 32).
Všechny nelineární modely volatility mají neautokorelovaná a homoskedastická rezidua. Modely typu GRJ-GARCH nejsou podle informačních kritérií vhodnější než lineární modely
GARCH. Hodnoty kritéria SBC jsou dokonce u nelineárního modelu vyšší než u modelu lineárního. Modely EGARCH vhodnější jsou, ze všech sledovaných variant mají nejnižší hodnoty
informačních kritérií. Nejvhodnější jsou pak ty s GED a t rozdělením (tab. 6.9 a 6.10).
Hodnota parametru γ1 modelu EGARCH je však statisticky nevýznamná (tab. 32.3 přílohy
32). Tento model je sice vhodnější než modely lineární, ale žádnou asymetrii nenaznačuje.
Závěry plynoucí z odhadu parametrů modelu jsou v souladu s výsledky NSB a PSB testů. Ty
totiž odhalily významný vliv jak kladných, tak i záporných šoků na hodnotu podmíněného
rozptylu časové řady (tab. 32.3 přílohy 32).
Nelineární modely volatility neprokázaly přítomnost podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu. Podle grafu NIC funkce (příloha 32) modelu GRJ-GARCH (odhad parametrů modelu je v tab. 32.2) je sice patrný vliv záporných šoků, ale podle testu věrohodnostním poměrem není tento model vhodnější než lineární model GARCH. Parametr γ1 modelu EGARCH
statisticky významný není. U této časové řady není nutné popisovat chování složitějšími nelineárními modely. Postačuje model GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky.
Rezidua modelu GARCH(1,1) vycházejícího z normality nesystematické složky normální
nejsou. Jsou symetrická, neboť vypočtená hodnota parametru špičatosti je velice blízká nule
114
(0,05) a odhadnutý parametr zešikmení GL3 rozdělení je blízký jedné (0,99). Navíc je toto
rozdělení méně vhodné, než alternativní symetrická rozdělení. Špičatost rozdělení reziduí je
tradičně vysoká (8,8). Odhadnutý parametr špičatosti EP rozdělení (podle AIC nejvhodnější
pro popis rozdělení reziduí – viz. tab. 32.5) je 0,83, takže rozdělení se špičatostí blíží Laplaceovu rozdělení.
Tab. 6.9 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
GARCH(1,1) s normálním
rozdělením
GARCH(1,1)
s t rozdělením
GARCH(1,1)
s GED rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
EGARCH(1,1)
s t rozdělením
EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
AIC
SBC
4
3089,798
-4,917606
-4,901240
5
3194,359
-5,082644
-5,062187
5
3183,238
-5,064921
-5,044463
5
3090,026
-4,916376
-4,895918
6
3197,239
-5,085640
-5,061091
6
3184,735
-5,065713
-5,041164
5
3109,411
-4,947268
-4,926810
6
3205,400
-5,098645
-5,074096
6
3191,720
-5,076845
-5,052295
Tab. 6.10 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
test věr.
poměrem
df.
p-hodnota
2,994
1
0,0836
Tab. 6.11 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
2,08E-06
0,000270
ω
6,96E-07
3,04E-07
α1
0,180621
0,025827
β1
0,851116
0,015961
v1
1,085703
0,042801
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
0,007729
2,292056
6,993503
53,32541
25,36618
0,9938
0,0219
0,0000
0,0000
0,0000
115
6.4.5 Philip Morris
Pro časovou řadu Philip Morris byl po analýze ACF a PACF (příloha 17) navržen úrovňový
model AR(2) s konstantou, kde jsou oba parametry statisticky významné. Rezidua modelu
nevykazují autokorelaci, ale heteroskedasticitu již ano. Stejně jako v ostatních případech není
úrovňový model dostatečný k úplnému popisu chování výnosů v čase.
Model volatility ve tvaru AR(2)–ARCH(1) má statisticky významné parametry včetně obou
konstant, nevykazuje autokorelaci ani heteroskedasticitu nesystematické složky. Jedná se o
jediný model akciových časových řad, kde již model ARCH dokázal podmíněnou heteroskedasticitu reziduí odstranit. Rozdělení nesystematické složky modelu však není normální.
Stejné vlastnosti reziduí má i jednodušší model ARCH s konstantou v úrovňovém modelu.
Podle informačních kritérií je navíc tento model vhodnější než model AR(4)-ARCH(1). Toto
platí pro modely založené na GED a t rozdělení nesystematické složky.
Je model GARCH v tomto případě nutný? Podle testu věrohodnostním poměrem jsou všechny
tři modely GARCH vhodnější než modely ARCH s odpovídajícím rozdělením nesystematické
složky. Modely GARCH také vykazují neautokorelovaná a homoskedastická rezidua (obr.
33.1 a 33.2 přílohy 33). Modely alternativních rozdělení jsou vhodnější než model
s normálním rozdělením nesystematické složky (tab. 6.12). Jako v předchozích případech je
model se Studentovým t rozdělením nepatrně vhodnější než model s GED rozdělením. Podle
KS testu jsou však pouze rezidua modelu s GED rozdělením s tímto rozdělením shodná
(p-hodnota = 0,0846). Rezidua zbylých dvou modelů toto rozdělení nemají. Studentovo t rozdělení je méně špičaté než standardizovaná rezidua odpovídajícího modelu, jak je vidět
z histogramu (obr. 33.6 přílohy 33).
Působení přímého vlivu podmíněného rozptylu na podmíněnou střední hodnotu se prokázat
nepodařilo, model GARCH-M(1,1) nemá statisticky významné odpovídající parametry.
Podle testů se v modelu vyskytuje podmíněná heteroskedasticita nelineárního typu. Test NSB
poukazuje na významný vliv záporných šoků, tedy na přítomnost pákového efektu.
Hodnota parametru γ1 modelu EGARCH(1,1) je u všech modelů alternativního rozdělení statisticky nevýznamná (tab. 33.3 přílohy). Stejně tak je odhadnutý parametr γ1 modelu
GRJ-GARCH(1,1) statisticky nevýznamný a parametr α1 velice nízký. Pro model založený na
GED rozdělení je hodnota α1 = 0,066 statisticky významná (tab. 33.2 přílohy). Vlivy kladných
a záporných šoků jsou tedy v časové řadě stejné, což potvrzují oba nelineární modely volatility. Závěry plynoucí z obou modelů nejsou v souladu s výsledky NSB a PSB testů.
Nejvhodnějším modelem pro analyzovanou časovou řadu je tedy lineární model GARCH(1,1)
s GED rozdělením (tab. 6.13).
116
Rozdělení reziduí modelu GARCH založeného na normalitě náhodné složky je špičatější
(10,9) než normální rozdělení. To je důvodem, proč se shoduje s rozdělením Laplaceovým.
Zároveň jsou i záporně zešikmená (-0,94). V souboru převládá více záporných reziduí s velice
nízkou hodnotou. Šikmost rozdělení však není příliš významná, rozdíly v AIC zešikmeného
GL3 rozdělení a symetrických Laplaceova a EP rozdělení jsou vysoké a navíc je parametr
zešikmení GL3 rozdělení blízký jedné (0,98). Rozdělení standardizovaných reziduí tedy nelze
považovat za zešikmené, ale za špičaté ano. Závěry o reziduích plynou z tab. 33.6 v příloze
33.
Tab. 6.12 Porovnání alternativních lineárních a nelineárních modelů volatility podle informačních kritérií
model
počet
logparamet- věrohodnostní
rů
funkce
ARCH(1)
s normálním rozdělením
ARCH(1)
s t rozdělením
ARCH(1)
s GED rozdělením
GARCH(1,1) s normálním
rozdělením
GARCH(1,1)
s t rozdělením
GARCH(1,1)
s GED rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s normálním rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením
GRJ-GARCH(1,1)
s GED rozdělením
EGARCH(1,1)
s normálním rozdělením
EGARCH(1,1)
s t rozdělením
EGARCH(1,1)
s GED rozdělením
AIC
SBC
3
3229,456
-5,141762
-5,129487
4
3348,415
-5,329745
-5,313379
4
3349,347
-5,331231
-5,314864
4
3250,525
-5,173745
-5,157379
5
3372,852
-5,367095
-5,346638
5
3367,955
-5,359291
-5,338833
5
3251,525
-5,173744
-5,153287
6
3373,005
-5,365745
-5,341196
6
3368,297
-5,358243
-5,333694
5
3258,382
-5,184672
-5,164214
6
3376,378
-5,371120
-5,346571
6
3371,793
-5,363814
-5,339265
Tab. 6.13 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad směrodatné chyby
odhadu
φ0
-6,30E-08
0,000347
ω
2,06E-05
7,96E-06
α1
0,083539
0,025110
β1
0,858606
0,037663
v1
0,989078
0,039318
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
t-test
p-hodnota
-0,000182
2,586223
3,326934
22,79695
25,15616
0,9999
0,0097
0,0009
0,0000
0,0000
117
Tab. 6.14 Srovnání alternativních modelů prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem
Srovnávané modely
ARCH(1) s GED rozdělením
vs.
GARCH(1,1) s GED rozdělením
ARCH(1,1) s t rozdělením
vs.
GARCH(1,1) s t rozdělením
GARCH(1,1) s GED rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
GARCH(1,1) s t rozdělením
vs.
GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením
test věr.
poměrem
df.
p-hodnota
37,216
1
0,0000
48,874
1
0,0000
0,684
1
0,4082
0,306
1
0,5801
118
6.5 Závěrečné shrnutí vlastností akciových časových řad
Co mají akciové časové řady společného a co je od sebe naopak odlišuje? Závěry jsou sestaveny podle stejného klíče jako u podílových fondů.
1. Analyzované časové řady výnosů logaritmů cen akcií nemají normální rozdělení. Jejich nepodmíněné rozdělení je symetrické a špičatější než rozdělení normální. Špičatost ve většině případů postihuje nejlépe Laplaceovo rozdělení, se kterým se podařilo
prokázat statisticky významnou shodu.
2. Akcie jsou ze všech porovnávaných skupin investičních nástrojů nejrizikovější. Směrodatná odchylka výnosů se pohybuje v okolí hodnoty 0,02. V tomto ohledu jsou akcie
nejvíce příbuzné akciovým podílovým fondům, u kterých se hodnota ukazatele pohybuje kolem hodnoty 0,01.
3. Žádnou z časových řad nebylo možné popsat jen pomocí modelu podmíněné střední
hodnoty typu AR, protože vykazují přítomnost heteroskedasticity nesystematické složky.
4. Jen v jednom případě stačil k popisu volatility časové řady model typu ARCH. Jde o
časovou řadu akcií Philip Morris. V ostatních případech tato skupina modelů nedokázala dostatečně zachytit volatilitu časové řady a obsahovala heteroskedasticitu nesystematické složky stejně jako modely podmíněné střední hodnoty.
5. Modely GARCH(1,1) se ukázaly být schopné odstranit heteroskedasticitu nesystematické složky ve všech případech. A u čtyř z pěti řad jsou nejvhodnějším modelem pro
popis chování časové řady.
6. U žádné časové řady se nepodařilo prokázat, že by podmíněná střední hodnota přímo
ovlivňovala podmíněný rozptyl, jak to popisují modely GARCH-M.
7. Testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu (NSB a PSB a další) odhalily
ve všech případech rozdílné vlivy působení kladných a záporných šoků na podmíněný
rozptyl časové řady a přítomnost pákového efektu. Prokázaly vyšší vliv záporných šoků a jejich výše na podmíněný rozptyl časové řady. Pouze u řady akcií společnosti
Český Telecom je podle testů významný vliv jak záporných, tak i kladných šoků.
8. Až na řadu společnosti Komerční banka se však předpoklad o přítomnosti pákového
efektu ani jiného typu asymetrie volatility nepotvrdil. Analýza odhadnutých parametrů
119
nelineárních modelů volatility nevedla k závěrům o její přítomnosti. Odpovídající odhady parametrů byly buď statisticky nevýznamné (modely EGARCH) nebo nebyl nelineární model podle testu věrohodnostním poměrem vhodnější než model lineární
(model GRJ-GARCH). Pouze výnosy akcií Komerční banky vykazují pákový efekt,
což potvrdily odhady parametrů jak modelu EGARCH, tak i GRJ-GARCH. Závěr je
v porovnání se zahraničními akciemi zvláštní, protože právě kvůli snaze popsat pákový efekt u akcií byly nelineární modely navrženy. Nesoulad mezi tvrzením odvozeným z modelů volatility a testy podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu může
být dán i tím, že asymetrie volatility akciových časových řad může mít jiný charakter
než jaký popisují použité modely.
9. Modely založené na alternativních rozděleních (Studentovo t a GED) jsou vhodnější
než modely vycházející z předpokladu normality nesystematické složky. Předpoklad
normality nebyl navíc u žádného z odhadnutých modelů splněn. Podle informačních
kritérií jsou modely s t rozdělením nepatrně vhodnější než modely s GED rozdělením
nesystematické složky.
10. Odhady parametrů alternativních rozdělení (Studentovo t a GED) potvrzují předpoklad, že časové řady výnosů rt mají rozdělení špičatější a s tlustšími konci než je rozdělení normální. Odhady parametrů r GED rozdělení se pohybují kolem hodnoty 1,
což je nižší hodnota než u akciových podílových fondů (zde se hodnota pohybuje kolem 1,5). Hodnota odhadu reflektuje vyšší špičatost výnosů akciových časových řad a
jejich statisticky významnou shodu s Laplaceovým rozdělením.
11. Zatímco standardizovaná rezidua modelů jsou podle KS testu a z analýzy Q-Q grafu a
histogramu shodná s hypotetickým GED rozdělením, u Studentova t rozdělení toto
vždy neplatí. U časových řad ČEZ, Český Telecom a Philip Morris se ukázalo, že rezidua modelu jsou ve skutečnosti špičatější než Studentovo t rozdělení s odhadnutými
stupni volnosti.
12. U modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se nepodařilo tento předpoklad splnit ani v jednom případě. Rozdělení standardizovaných reziduí je špičaté a u
některých fondů i záporně zešikmené vlivem odlehlých pozorování. Porovnání
s teoretickými rozděleními neodhalilo jednoznačnou shodu s některým typem rozdělení. U některých časových řad jsou rezidua natolik špičatá, že se shodují
s Laplaceovým rozdělením (Unipetrol, Philip Morris, Český Telecom). Takovéto zjištění je potvrzením vhodnosti použití modelů s GED rozdělením nesystematické slož120
ky. U akcií ČEZ a Komerční banky je špičatost nižší, takže shoda s Laplaceovým rozdělením prokázána nebyla. Standardizovaná rezidua modelu ČEZ jsou navíc záporně
zešikmena. Nejvhodnějším teoretickým rozdělením je zde zobecněné logistické rozdělení. To je signál k hledání jiného rozdělení náhodné složky pro výstavbu modelů volatility.
121
7 Závěrečné srovnání investičních nástrojů
Po detailním prostudování 19 finančních časových řad otevřených podílových fondů a akcií,
je nyní možné shrnout dílčích závěry. Hlavním cílem bylo najít společné a rozdílné prvky ve
vlastnostech jednotlivých skupin investičních nástrojů. Během práce se objevila další zajímavá zjištění týkající se modelů časových řad, jejich nepodmíněného a podmíněného rozdělení
nebo aplikovaných statistických metod. Ta jsou v následujícím textu také zahrnuta.
7.1 Nepodmíněné rozdělení výnosů
1. Charakteristiky míry výnosnosti (aritmetický průměr a medián) jsou nulové u všech
analyzovaných časových řad.
2. Směrodatná odchylka je jedním z ukazatelů rizikovosti investice. Otevřené podílové
fondy peněžního trhu vykazují její hodnotu v rozmezí 0,0002 – 0,0003, u dluhopisových podílových fondů se pohybuje mezi 0,001 a 0,002 a u akciových fondů pak kolem 0,01. U českých akcií, jejichž rizikovost je v porovnání s fondy vyšší, nabývá
směrodatná odchylka hodnoty kolem 0,02. Akciové podílové fondy se svou rizikovostí
blíží více akciím, než ostatním podílovým fondům. Což je logické zjištění s ohledem
na skladbu jejich portfolia, kde právě akcie musejí tvořit nejméně 2/3 z celkové hodnoty aktiv.
3. Ani v jednom případě se nepotvrdil předpoklad, že by nepodmíněné rozdělení výnosů
bylo normální. Na vině je především vysoká špičatost a tloušťka konců empirického
rozdělení. Hodnoty špičatosti se mění podle typu investičního nástroje. Velice blízké
si jsou akciové a dluhopisové podílové fondy, které mají charakteristiky špičatosti ze
všech porovnávaných skupin nejnižší. Mírně vyšší je špičatost akcií a extrémně vysoké jsou v porovnání s ostatními charakteristiky špičatosti fondů peněžního trhu.
4. Ve většině případů jsou charakteristiky šikmosti blízké nule, takže empirická rozdělení jsou symetrická. Vypočtené hodnoty jsou v rámci jedné skupiny kladné i záporné,
pouze u akcií byly všechny záporné, ovšem velice blízké nule. Vysoké hodnoty zešikmení se výjimečně objevily u dvou fondů peněžního trhu a jednoho dluhopisového
a všechny byly kladné. Tato rozdělené nejsou symetrická, převládají v nich nižší hodnoty výnosů a obsahují malý počet extrémně vysokých výnosů. Významně záporně
zešikmené výnosy se nalézt nepodařilo.
5. K popisu vlastností tvaru rozdělení byly použity odhady parametrů teoretických rozdělení a testy shody. Rozdělení podílových fondů akciových, dluhopisových a akcií se
122
nejvíce shodovalo s Laplaceovým a Exponential Power rozdělením. Důvodem shody
je vyšší než normální špičatost. U řad s vyšší špičatostí vyhovovalo více Laplaceovo, u
řad s nižší špičatostí pak Exponential Power rozdělení s parametrem špičatosti menším
než 1. U akcií a akciových fondů byla ve všech případech navíc zjištěna významná
shoda se zobecněným logistickým a logaritmicko-logistickým rozdělením. Vzhledem
k tomu, že se o těchto rozděleních v souvislosti s finančními časovými řadami příliš
nehovoří, jde jistě o zajímavé zjištění. Odhadnuté parametry těchto rozdělení však neodhalily významné zešikmení časových řad. Tato zjištění mají význam např. pro analýzu VaR nebo jako podklad při volbě rozdělení nesystematické složky modelů volatility. Jako mylný se ukázal předpoklad o podobnosti s Cauchyho nebo logaritmickonormálním rozdělením. U podílových fondů peněžního trhu se nepotvrdila shoda s vyjmenovanými hypotetickými rozděleními ani v jednom případě. To významně ovlivňuje mj. výstavbu modelů volatility této skupiny investičních nástrojů. Pro jejich popis
bude nutno použít jiné, velice špičaté rozdělení.
7.2 Modely časových řad
1. Jen v jednom jediném případě stačil k popisu výnosů autoregresní model AR, protože
tento splnil podmínku neautokorelovanosti a homoskedasticity reziduí. Šlo o fond peněžního trhu KBC Multicash. Všechny ostatní modely vykazovaly přítomnost heteroskedasticity reziduí a tedy vhodnost aplikace modelů volatility.
2. Odhadnuté modely typu ARCH vykazovaly heteroskedasticitu reziduí u valné většiny
fondů. Výjimkou je dluhopisový fond ING a akcie Philip Morris, ale i u nich byl podle
informačních kritérií vhodnější model GARCH. Ve všech ostatních případech muselo
dojít k následnému odhadu modelů typu GARCH, které heteroskedasticitu reziduí odstranily. Stačily jednoduché modely GARCH(1,1).
3. Přímé působení podmíněného rozptylu na podmíněnou střední hodnotu ve formě, jak
jej popisují modely GARCH-M, se objevuje zřídka kdy. Vůbec nebylo pozorováno u
akcií a dluhopisových fondů. Významné parametry modelu byly odhadnuty u dvou
fondů akciových a jednoho peněžního. Každý model měl navíc jinou formu vlivu
podmíněného rozptylu, takže pro zobecnění závěrů ohledně výskytu této vlastnosti ve
finančních časových řadách není dostatek důkazů.
4. Nelineární modely volatility nalezly uplatnění především u akciových fondů. Zde se
podařilo potvrdit výskyt pákového efektu, tedy významný vliv záporných reziduí na
podmíněný rozptyl a v jednom případě vliv opačný. U ostatních fondů a akcií byl vý123
skyt podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu sporadický. Vždy se však našel
jeden fond, který jej alespoň v malé míře obsahoval, ať již šlo o pákový efekt nebo
významný vliv kladných reziduí. Ve většině časových řad byla asymetrie volatility relativně malá. Pro investory do podílových listů akciových fondů je to signál, že významné poklesy ceny vedou ke zvýšení rizika ve větší míře než v případě cenového
nárůstu. U fondů s významným vlivem kladných šoků je tento proces opačný. Výskyt
takových efektů lze však očekávat i u jiných fondů.
5. Závěry testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu, tedy SB, NSB, PSB a
obecného testu, byly především u akcií mylné. Jimi odhalenou asymetrii se pomocí
nelineárních modelů buď nepodařilo prokázat nebo naopak modely popsaly asymetrii
testy předem neodhalenou. Takové zjištění nemusí znamenat, že testy na analyzované
časové řady „nefungují“, ale spíše, že popisují jiný typ asymetrie než modely
EGARCH a GRJ-GARCH. Cílem analýzy nebylo věnovat se schopnostem testů heteroskedasticity nelineárního typu. Tato zjištění se objevila až během samotné práce.
Nelze tedy doporučit spoléhat se pouze na závěry těchto testů. K testování lze navíc
využít porovnání modelu GARCH a GRJ-GARCH prostřednictvím testu věrohodnostním poměrem.
6. Lineární a nelineární modely volatility umožňují redukci modelu podmíněné střední
hodnoty na pouhou konstantu. Takovýto závěr platí pro akcie a akciové fondy. V krajním případě je pro splnění podmínky neautokorelovanosti reziduí nutno do úrovňového modelu zahrnout i další parametr. Doplněním úrovňového modelu o model volatility, lze tento velice zjednodušit. U dluhopisových a peněžních fondů však již takové
zjednodušení není možné, rezidua pak byla vzájemně korelována. Vedle konstanty bylo v úrovňovém modelu nutno použít minimálně jeden nebo dva autoregresní parametry (dluhopisové fondy), někdy i tři či čtyři (peněžní fondy). Ani v takovém případě se
někdy vhodné modely podmíněné střední hodnoty nalézt nepodařilo, což platí právě
pro peněžní podílové fondy.
7. K odstranění heteroskedasticity postačují lineární a nelineární modely volatility s parametry v prvním zpoždění, tedy typu (1,1).
8. Modely založené na předpokladu Studentova t rozdělení a GED rozdělení nesystematické složky jsou vhodnější než modely s normálním rozdělením. Vyplynulo to ze
srovnání modelů pomocí testu věrohodnostním poměrem. Odráží se tak vyšší špičatost
nepodmíněného rozdělení výnosů analyzovaných časových řad, se kterou si tato roz124
dělení umějí poradit lépe než klasické normální rozdělení. Pokud byly oba modely
vhodné a splňovaly nároky na rezidua, byly podle informačních kritérií modely s t
rozdělením většinou vhodnější, rozdíly mezi modely však byly velice malé.
9. Testy o statistické významnosti parametrů modelů volatility založené na směrodatných chybách získaných pomocí quasi metody maximální věrohodnosti zamítají nulovou hypotézu stejně nebo více jak testy založené na směrodatných chybách odhadů v
modelech se Studentovým t nebo GED rozdělením nesystematické složky. Pokud se
prokáže nesplnění podmínky normality reziduí, nejsou podle tohoto zjištění odhady
quasi metodou dostatečné pro popis chování analyzovaných časových řad. V některých případech testy založené na quasi odhadech kovarianční matice zamítly přítomnost asymetrie podmíněné volatility tam, kde ji modely s alternativním rozdělením
odhalily. I z tohoto pohledu má modelování s pomocí jiného než normálního rozdělení
nesystematické složky význam, protože vede k získání přesnějších informací o chování časových řad. Tvorba takových modelů není samoúčelná a statistický software, který takové odhady modelů provádí, lze k analýze podílových fondů skutečně doporučit.
7.3 Vlastnosti reziduí modelů volatility
1. Až na jedinou výjimku se neprokázalo, že by rezidua modelu založeného na normalitě
nesystematické složky byla skutečně normální. Rezidua jsou ve skutečnosti špičatější
než normální rozdělení a v některých případech i zešikmená vlivem malého počtu extrémně vysokých nebo nízkých reziduí (někdy i jen jednoho jediného). Výjimkou je
akciový fond ISČS Eurotrend, jehož standardizovaná rezidua podmínku normality
splnila a aplikace složitějších modelů s nenormálním rozdělením nesystematické složky nebyla nutná.
2. Hodnoty odhadů parametru r GED rozdělení a stupňů volnosti v Studentova t rozdělení potvrzují vyšší špičatost a tlustší konce nesystematické složky modelů volatility.
3. U všech modelů s GED rozdělením se podařilo prokázat, že standardizovaná rezidua
mají GED rozdělení s odhadnutým parametrem r. Potvrdil to KolmogorovůvSmirnovův test i grafy histogramů a Q-Q grafy.
4. Závěry o reziduích modelů se Studentovým t rozdělením již nejsou tak jasné. U některých modelů s ukázalo, že standardizovaná rezidua nemají t rozdělení s odhadnutými
stupni volnosti v. Analýzou histogramů se následně ukázalo, že rozdělení reziduí je
špičatější než rozdělení hypotetické. U dluhopisových podílových fondů se tento jev
125
projevil ve všech případech. Z tohoto důvodu se jeví jako vhodnější upřednostňovat
při odhadování parametrů lineárních a nelineárních modelů volatility GED před t rozdělením. Jak již bylo uvedeno výše, jsou podle informačních kritérií rozdíly mezi modely obou rozdělení minimální.
5. Doporučení o výstavbě modelů s GED rozdělením nesystematické složky nevede jen
ve zvýšení kvality odhadovaných parametrů a směrodatných chyb odhadů. Je též stěžejním bodem konstrukce předpovědních intervalů, založených na odhadnutých modelech.
6. Při detailní analýze standardizovaných reziduí modelů s normálním rozdělením nesystematické složky se potvrdilo, že jejich špičatost je vysoká. Při hledání vhodného rozdělení, které by se s nimi shodovalo, se ukázaly významné rozdíly mezi jednotlivými
investičními nástroji. U akcií a dluhopisových fondů byla významná shoda s Laplaceovým nebo Exponential Power rozdělením. To je důkaz vhodnosti aplikace modelů
s GED rozdělením, které je obecnou formou zmiňovaných rozdělení. Rezidua akciových podílových fondů mají špičatost nejnižší a pro jejich popis se nejlépe hodí logaritmicko-logistické nebo zobecněné logistické rozdělení. Zlepšení odhadů parametrů a
jejich směrodatných chyb by v takových případech mohly přinést modely volatility s
asymetrickými rozděleními nesystematické složky. Extrémně špičatá jsou rezidua fondů peněžního trhu, takže významnou shodu s vybranými rozděleními se nepodařilo nalézt vůbec.
126
Závěr
Cílem práce je empirická analýza chování časových řad českých otevřených podílových fondů
a akcií. Práce se zaměřila na zkoumání vlastností nepodmíněného rozdělení výnosů českých
otevřených podílových fondů a akcií, jejich modelování prostřednictvím modelů podmíněné
střední hodnoty a podmíněného rozptylu. Sledovány byly i vlastnosti rozdělení reziduí odhadnutých modelů za účelem nalezení nejvhodnějšího modelu časové řady.
V první kapitole je vedle popisu analyzovaných investičních nástrojů navrženo i několik oblastí využití závěrů modelování časových řad v ekonomické praxi a to jak na straně manažerů
fondů, tak i na straně investorů.
Ve druhé kapitole je zpracován přehled rozdělení, která jsou v souvislosti s finančními časovými řadami nejvíce zmiňována. Navíc se v empirické části práce podařilo nalézt i další dvě
vhodná rozdělení, která se v souvislosti s nepodmíněným rozdělením finančních časových řad
v literatuře neobjevují. Výčet rozdělení jistě není konečný, protože téma popisu nepodmíněného rozdělení finančních časových řad je stále aktuální a snaha po nalezení ideálního teoretického rozdělení přetrvává. Vzhledem k tomu, že ne všechna popsaná rozdělení jsou implementována do statistických programů, je nutno na jejich širší praktické využití ještě počkat.
Jde především o nesymetrická rozdělení jako je například zešikmené Generalized Error Distribution (GED) rozdělení, které by uplatnění jistě nalezlo. Už i vzhledem k tomu, že ze závěrů této práce jasně vyplývá doporučení, používat modely se symetrickým GED rozdělením
nesystematické složky. To sice dobře popisuje špičatost a tlusté konce, ale se šikmostí rozdělení reziduí modelů některých časových řad si poradit nedokáže.
V teoretické části disertační práce se podařilo vytvořit rozsáhlý přehled lineárních a nelineárních modelů volatility. Celkem jich bylo v odborné literatuře nalezeno 33. Popis některých z
nich je poměrně strohý, ale u každého je čtenáři k dispozici minimálně jeden odkaz na publikaci, která o modelech poskytuje detailnější informace a to včetně jejich aplikací v oblasti
finančních časových řad.
Empirické části práce jsou věnovány kapitoly 3. až 7. Je v nich popsána většinu významných
a historicky nejstarších českých otevřených podílových fondů. Ukázalo se, že modely volatility lze s úspěchem aplikovat i na otevřené podílové fondy a s jejich pomocí popsat jejich chování. Překážkou nebyla ani rozdílná forma tvorby cen srovnávaných investičních nástrojů, ani
odlišná struktura portfolií jednotlivých podílových fondů. Za neúspěšné považuji modelování
výnosů peněžních podílových fondů. Kvůli neschopnosti nalézt vhodné nepodmíněné rozdělení výnosů a následně pak i modely pro některé fondy z této skupiny, nebylo možno dosáhnout obecnějších závěrů o jejich vlastnostech. Důležitým zjištěním však zůstává, že modelo127
vání peněžních podílových fondů není jednoduché a že použité modely podmíněné střední
hodnoty a podmíněného rozptylu nejsou schopny chování takových časových řad řádně popsat. Významným důvodem je vysoká špičatost rozdělení výnosů, takže po vyřešení tohoto
problému bude možné parametry modelů řad peněžních podílových fondů také odhadovat.
Předkládaná práce přináší potvrzení, že vlastnosti řad podílových fondů se významně neliší
od ostatních finančních časových řad. Navrhuje jak využít současné statistické programy k
řešení některých problémů z toho plynoucích. Práce může být inspirací pro manažery fondů a
investory, protože naznačuje, jak aplikovat statistické modely jako podporu při rozhodování o
skladbě portfolia fondu nebo na druhé straně o investici do podílového fondu. Modely zároveň popisují chování cen podílových listů a přinášejí informace o vývoji rizika v historii fondu. Bodové a intervalové odhady podmíněného rozptylu jsou vhodné pro zobrazení volatility
časové řady, tedy vyjádření rizikovosti investice. Využití mají i při konstrukci předpovědních
intervalů, které mohou posloužit ke kontrole vývoje výkonnosti fondů a výnosnosti investice.
Využití modelů v analýze Value at Risk naznačuje první kapitola.
Zde publikované zvěry o chování podílových fondů mohou být porovnány se stejnými časovými řadami v zahraničí s cílem zjistit, jak se tyto vyvíjejí v podmínkách jiných ekonomik.
Pro investory se pak může jednat o další možný návod, jak zvolit vhodnou investici, protože
dostupnost zahraničních podílových fondů (a to nejen evropských) je v současné době velice
dobrá i pro české investory..
Během práce se objevilo několik námětů pro další statistický výzkum ve sledované oblasti.
Byly uvedeny v samotném textu a nyní připomínám ty nejdůležitější z nich.
1. Do srovnání by bylo vhodné zahrnout i skupinu integrovaných a frakcionálně integrovaných modelů volatility typu IGARCH a FIGARCH. Takovéto modely by mohly
pomoci k odhalení případné perzistence rozptylu, tedy míru citlivosti dlouhodobé
předpovědi podmíněného rozptylu ve všech horizontech na počáteční podmínky. Zároveň by mohly napomoci v oblastech, kde se vhodné modely volatility nepodařilo nalézt. K odhadu parametrů modelů bude však nutno použít jiný program než je EViews,
např. SAS nebo PCGive.
2. Do srovnání navrhuji navíc zahrnout model typu CGARCH a prozkoumat tak krátkodobé a dlouhodobé pohyby volatility časových řad. Odhady parametrů provádí program EViews 5.0.
3. Doporučuji založit již aplikované modely volatility na předpokladu asymetrie nesystematické složky, která se u některých modelů zdála být významně zešikmená. Takovými rozděleními by mohly být zešikmené Studentovo t rozdělení, zešikmené zobec128
něné Studentovo t rozdělení, zešikmené GED rozdělení nebo i zobecněné logistické
rozdělení. K odhadu parametrů by mohl posloužit program EViews 5.0, nebo jiné programy umožňující odhad parametrů modelu založeného na libovolné věrohodnostní
funkci. K tomu je ale nutné znát nebo odvodit tvary věrohodnostních funkcí nových
modelů. Jednodušší alternativou by mohlo být hledání jiného statistického programu,
který by použití takových rozdělení umožňoval (např. již několikrát zmiňovaný modul
G@RCH 2.0 se zešikmeným t rozdělením). Právě implementace v komerčních programech je cestou k využití nových modelů v manažerské praxi.
4. Pro výnosy podílových fondů peněžního trhu je třeba nalézt vhodné nepodmíněné rozdělení, které by bylo schopno popsat jejich extrémní špičatost. Hledání se nemusí soustředit pouze na oblast financí, ale např. na fyziku nebo jiné přírodní vědy.
5. Pro časové řady podílových fondů peněžního trhu je nutné nalézt vhodný úrovňový
model, který by zajistil neautokorelovanost reziduí a tím i následnou analýzu pomocí
modelů volatility.
6. Vhodné by též bylo posouzení proměnlivosti odhadnutých parametrů v čase. Oblast
diagnostické kontroly, která překročila meze pro tuto práci vytyčené, je významná pro
zobecnění závěrů o chování finančních časových řad. Zda zjištěné vlastnosti přetrvávají, nebo zda jsou typické jen pro sledované období počátku 21. století.
Všechny výše uvedené návrhy by měly vést ke zlepšení kvality odhadovaných modelů časových řad a tím i k lepšímu pochopení jejich chování, ke srovnání s jinými investičními nástroji i mezi sebou a možná i k predikci budoucího vývoje.
129
Seznam použité literatury
AFAM ČR (2006a): Tisková zpráva - Aktuality AFAM ČR - říjen 2006 [online]. 2006, [cit.
2006-12-20]. Dostupné z: < http://www.afamcr.cz/public/vypisZpravy.do>.
AFAM ČR (2006b): Metodika klasifikace [online]. 2006, [cit. 2006-12-20]. Dostupné z:
<http://www.afamcr.cz/public/vypisUniversal.do?typZpravy=3>.
AFAM ČR (2006c): Doporučení pro členy AFAM ČR jak postupovat při správě fondů kolektivního investování období [online]. 2006, [cit. 2006-12-20]. Dostupné z:
<http://www.afamcr.cz/public/vypisUniversal.do?typZpravy=3 >.
AKGIRAY, V. - BOOTH, G.G. - HATEM, J.J. - MUSTAFA, C. (1991): Conditional dependence in precious metal prices. Financial Review, 1991, vol. 26, s.367-386.
ARLT, J. - RADKOVSKÝ, Š. (1999): Význam modelování a předpovídání volatility časových řad pro tvorbu měnové politiky centrální banky. Výzkumné práce, 1999, č.13, Praha,
ČNB.
ARLT, J. - ARLTOVÁ, M. (2003): Finanční časové řady. Vlastnosti, metody modelování,
příklady a aplikace. 1. vyd., Praha: Grada Publishing, 2003. ISBN 80-247-0330-0.
BAILLIE, R.T. – BOLLERSLEV, T. (1989): The Message in Daily Exchange Rates: A Conditional Variance Tale. Journal of Business and Economic Statistics, 1989, vol. 7, s. 297-305.
BAILLIE, R.T. – BOLLERSLEV, T. – MIKKELSEN, H.O. (1996): Fractionally Integrated
Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity. Journal of Econometrics, 1996,
vol. 74, iss. 1, s. 3-30.
BERNDT, E.R. - HALL, B.H. - HALL, R.E. - HAUSMAN, J.A. (1974): Estimating an Inference in Nonlinear Statistical Models. Annals of Economic and Social Measurement, 1974,
vol. 3, s. 653-665.
BLACK, F. (1976): Studies of Stock Market Volatility Changes. Proceedings of the American
Statistical Association, Business and Economic Statistics Section, 1976, s. 177-181.
BOLLERSLEV, T. (1986): Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.
Journal of Econometrics, 1986, vol. 31, iss. 3, s. 307–327.
BOLLERSLEV, T. (1987): A Conditional Heteroskedastic Time Series Model for Speculative
Prices and Rates of Return. Review of Economics and Statistics, 1978, vol. 69, no. 3, s. 542–
547.
BOLLERSLEV, T. - Wooldridge, J.M. (1992): Quasi-Maximum Likelihood Estimation and
Inference in Dynamic Models with Time Varying Covariances. Econometric Reviews, 1992,
vol. 11, no. 2, s.143–172.
BOLLERSLEV, T. - ENGLE, R.F. - NELSON, D.B. (1994): ARCH Models. Handbook of
Econometrics, 1994, vol. 4, chap. 49, s. 2959-3038.
130
BOLLERSLEV, T. – MIKKELSEN, H.O. (1996): Modeling and Pricing Long-Memory in
Stock Market Volatility. Journal of Econometrics, 1996, vol. 73, iss. 1, s. 151-184.
BOX, G.E.P. – COX, D.R. (1964): An Analysis of Transformations. Journal of the Royal
Statistical Society, 1964, Series B, vol. 26, s. 211-243.
BOX, G.E.P. – TIAO, G.C. (1973): Bayesian inference in statistical analysis. MA: AddisonWesley, 1973. ISBN 0201006227.
COX, D.R. (1972): Regression Models and Life Tables. Journal of the Royal Statistical Society, 1972, Series B, vol. 34, no. 2, s. 187-220.
ČERMÁK, V. (1993): Diskrétní a spojitá rozdělení. Vzorce, grafy, tabulky. Praha, VŠE (Fakulta informatiky a statistiky), 1993. ISBN 80-7079-711-8.
DAVIDSON J. (2004): Moment and Memory Properties of Linear Conditional Heteroscedasticity Models, and a New Model. Journal of Business & Economic Statistics, 2004, vol. 22,
iss. 1, s. 16-29.
DEGINANNAKIS, S.A. (2004): Volatility forecasting: evidence from a fractional integrated
asymmetric power ARCH skewed-t model. Applied Financial Economics, 2004, vol. 14, issue
18, s. 1333-1342.
DEGIANNAKIS, S.A. – XEKALAKI, E. (2004): Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) models: A Review. Quality Technology and Quantitative Management, 2004,
vol. 1, no. 2, s 271-324.
DING, Z. - GRANGER, C.W. J. - ENGLE, R.F. (1993): A Long Memory Property of Stock
Market Returns and a New Model. Journal of Empirical Finance, 1993, vol. 1, iss. 1, s. 83–
106.
DOTTORATO, S. (2006): On Internet Traffic Measurements, Characterization and Modelling. Torino: Politecnico Di Torino, 2006. PhD Thesis.
DVOŘÁK, V. (2004): Kolektivní investování v České republice a Evropě Regulace subjektů
kolektivního investování v České republice a Evropě. Univerzita Karlova, Fakulta sociálních
věd, 2004. Diplomová práce.
ENGLE, R.F. (1982): Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the
Variance of U.K. Inflation. Econometrica, 1982, vol. 50, no. 4, s. 987–1008.
ENGLE, R.F. (1990): Discussion: Stock Market Volatility and the Crash of ’87. Review of
Financial Studies, vol. 3, no. 1, s. 103-106.
ENGLE, R.F. - BOLLERSLEV, T. (1986): Modeling the Persistence of Conditional Variances. Econometric Reviews, 1986, vol. 5, iss. 1, s. 1-50.
ENGLE, R.F. - LEE, G.G.J. (1993): A Permanent and Transitory Component Model of Stock
Return Volatility. San Diego: University of California (Department of Economics), 1993, Discussion Paper, no. 92-44r.
ENGLE, R.F. - NG, V.K. (1993): Measuring and Testing the Impact of News on Volatility.
Journal of Finance, 1993, vol. 48, no. 5, s. 1749-1778.
131
FAMA, E.F. (1963): The Behavior of Stock Market Prices. Journal of Business, 1963, vol.
38, no. 1, s. 34-105.
FERNÁNDEZ, C. - STEEL, M. (1998): On Bayesian modeling of fat tails and skewness,
Journal of the American Statistical Association, 1998, vol. 93, no. 441, s. 359–71.
FORNARI, F. - MELE A. (1996): Modeling the Changing Asymmetry of Conditional Variances. Economics Letters, 1996, vol. 50, no. 2, s. 197-203.
FORNARI, F. - MELE A. (1997): Sign- and Volatility-Switching ARCH Models: Theory and
Applications to International Stock Markets. Journal of Applied Econometrics, 1997, vol. 12,
iss. 1, s. 49-65.
GEWEKE, J. (1986): Modeling the Persistence of Conditional Variances: A Comment. Econometric Reviews, 1986, vol. 5, s. 57-61.
GLOSTEN, L. - JAGANNATHAN, R. - RUNKLE D. (1993): On the Relation between the
Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks. Journal of Finance, 1993, vol. 48, no. 5, s. 1779–1801.
GONZÁLEZ-RIVERA, G. (1996): Smooth Transition GARCH Models. Riverside: University
of California (Department of Economics), 1996. Working Paper.
HAGERUD, G.E. (1996): A Smooth Transition Arch Model for Asset Returns. Working Paper Series in Economics and Finance, 1996, vol. 162.
HAMILTON, J. D. (1989): A New Approach to the Economic Analysis of Nonstationary
Time Series Subject to Changes in Regime. Econometrica, 1989, vol. 57, no. 2, s. 357-385.
HAMILTON, J. D. (1994): Time Series Analysis. Princeton: Princeton University Press, 1994.
ISBN 978-0691042893.
HSIEH, D. (1989): Modeling Heteroskedasticity in Daily Foreign Exchange Rates. Journal of
Business and Economic Statistics, 1989, vol. 7, no. 3, s. 307-317.
HWANG, Y. (2001): Asymmetric Long Memory GARCH in Exchange Return. Economics
Letters, 2001, vol. 73, no. 1, s. 1-5.
INSIGHTFUL (2002): S+FinMetrics Reference Manual, [CD-ROM]. USA: Insightful Corporation, Seattle, 2002.
KOUTMOS, G. - THEODOSSIOU, P. (1994): Time-Series Properties and Predictability of
Exhange Rates. Managerial and Decision Economics, 1994, vol. 15, s. 159-167.
LAMBERT, P. - LAURENT, S. (2000): Modeling skewness dynamics in series of financial
data. Louvainla-Neuve: Institut de Statistique, 2000. Discussion Paper.
LAMBERT, P. - LAURENT, S. (2001): Modeling financial time series using GARCH-type
models and a skewed student density. Mimeo: Universite de Liege, 2001. Discussion Paper.
LAURENT, S. - PETERS, J.-P. (2002) : G@RCH 2.2: an ox package for estimating and forecasting various arch models. Journal of economic surveys, 2002, vol. 16(3), p. 447-85.
132
LEVY, P. (1924): Théorie des Erreurs. La Loi des Gauss et Les Lois Exceptionelles. Bull.
Soc. Math, vol. 52, s. 49-85.
MANDELBROT, B. (1963): The Variation of Certain Speculative Prices. Journal of Business, vol. 36, no. 4, s. 394-419.
MILHǿJ, A. (1987): A Multiplicative Parameterization of ARCH Models. Mimeo Econometrica, 1987. University of Copenhagen, Department of Statistics.
NELSON, D.B. (1991): Conditional heteroskedasticity in asset returns: A new approach.
Econometrica, 1991, 59:2, s. 347-370.
NOWICKA-ZAGRAJEK, J. – WERON, A. (2001): Dependence Structure of Stable RGARCH Processes. Probability and Mathematical Statistics, 2001, vol. 21, s. 371-380
PANTULA, S.G. (1986): Modeling the Persistence of Conditional Variances: A Comment.
Econometric Reviews, 1986, vol. 5, s. 71-73.
QUANTITATIVE (2004a): EViews 5 User’s Guide [CD-ROM]. USA: Quantitative, 2004.
QUANTITATIVE (2004b): EViews 5 Command and Programming Reference [CD-ROM].
USA: Quantitative, 2004.
POPELKA, J. (2000): Využití předpovědních metod v manažerské praxi. Jindřichův Hradec:
Vysoká škola ekonomická, Fakulta managementu, 2000. Diplomová práce.
POPELKA, P. (2003): Komparace ekonomických indikátorů vybraných otevřených podílových fondů v ČR. Liberec: Technická univerzita v Liberci, Hospodářská fakulta, 2003. Diplomová práce.
RABEMANANJARA, R. – ZAKOIAN, J.M. (1993): Threshold ARCH Models and Asymmetries in Volatility. Journal of Applied Econometrics, 1993, vol. 8, iss. 1, s. 31-49.
SENTANA, E. (1995): Quadratic ARCH Models. Review of Economic Studies, 1995, vol. 62,
iss. 4, s. 639-661.
SCHWERT, G.W. (1989a): Why Does Stock Market Volatility Changes Over Time. Journal
of Finance, 1989, vol. 44, no. 5, s. 1115-1153.
SCHWERT, G.W. (1989b): Business Cycles, Financial Crisis, and Stock Volatility. In Carnegie Rochester Conferecne Series on Public Policy, 1989, no. 39, s. 83-126.
STATPOINT (2005): Probability Distributions [CD-ROM]. USA: StatPoint, 2005.
STEGAUF, S. (1999): Investiční matematika. 1. vyd., Praha: Grada Publishing, 1999. ISBN
80-7169-429-0.
ŠPIČKA, J. (1993): Investiční společnosti a investiční fondy. Praha: Management Press, 1993.
TAYLOR, S.J. (1986): Modeling Financial Time Series. New York: Wiley, 1986. ISBN 9780471909934.
TEPPER, T. - KÁPL, M. (1994): Peníze a Vy. 2. vyd., Praha: Prospektrum, 1994. ISBN 8085431-96-3.
133
THEODOSSIOU, P. (1994): The Stochastic Properties of Major Canadian Exchange Rates.
The Financial Review, 1994, vol. 29, iss. 2, s.193 – 221.
THEODOSSIOU, P. (1998): Financial Data and the Skewed Generalized t Distribution. Management Science, 1998, vol. 44, no. 12-1, s. 1650-1661.
THEODOSSIOU, P. (2001): Distribution of Financial Asset Prices, the Skewed Generalized
Error Distribution, and the Pricing of Options. Rutgers University, School of Business, 2001.
Working Paper.
TSAY, R.S. (2002): Analysis of Financial Time Series. New York: Wiley, 2002. ISBN 9780471415442.
TSE, Y.K. (1998): The Conditional Heteroskedasticity of the Yen-Dollar Exchange Rate.
Journal of Applied Econometrics, 1989, vol. 193, s. 49-55.
ZAKOIAN, J.M. (1990): Threshold Heteroskedastic Models. Paris: CREST, INSEE, 1998.
Manuscript.
134
Seznam použitých zkratek a symbolů
AFAM ČR
Asociace fondů a asset managementu České republiky
ČSOB
Československá obchodní banka
df.
degrees of freedom – stupně volnosti
EP
Exponential Power rozdělení
GED
Generalized Error Distribution rozdělení
GL3
tříparametrické zobecněné logistické rozdělení
ISČS
Investiční společnost České spořitelny
JB test
Jarqueův-Berův test
kap.
kapitola
KB
Komerční banka
KS test
Kolmogorovův-Smirnovův test
LL3
tříparametrické logaritmicko-logistické rozdělení
obr.
obrázek
OPF
otevřený podílový fond
PF
podílový fond
PL
podílový list
str.
strana
tab.
tabulka
135
Seznam příloh
Příloha č.1 Grafy časových řad cen akciových podílových fondů a logaritmických výnosů
akciových podílových fondů
Příloha č.2 Grafy časových řad cen dluhopisových podílových fondů a logaritmických
výnosů dluhopisových podílových fondů
Příloha č.3 Grafy časových řad cen podílových fondů peněžního trhu a logaritmických
výnosů podílových fondů peněžního trhu
Příloha č.4 Grafy časových řad cen akcií a logaritmických výnosů akcií
Příloha č.5 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů akciových podílových fondů
Příloha č.6 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů
Příloha č.7 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu
Příloha č.8 Testy shody rozdělení pro logaritmické výnosy akcií
Příloha č.9 Odhady parametrů významných rozdělení pro časové řady logaritmických
výnosů
Příloha č.10 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů akcií a hustoty pravděpodobnosti
vybraných rozdělení
Příloha č.11 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů akciových podílových fondů a
hustoty pravděpodobnosti vybraných rozdělení
Příloha č.12 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů dluhopisových podílových fondů a
hustoty pravděpodobnosti vybraných rozdělení
Příloha č.13 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů podílových fondů peněžního trhu a
hustoty pravděpodobnosti vybraných rozdělení
Příloha č.14 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů
akciových podílových fondů
Příloha č.15 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů
dluhopisových podílových fondů
Příloha č.16 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů
podílových fondů peněžního trhu
Příloha č.17 Grafy autokorelační a parciální autokorelační funkce logaritmických výnosů
akcií
Příloha č.18 Analýza fondu Pioneer Akciový
Příloha č.19 Analýza fondu ING International Český akciový fond
Příloha č.20 Analýza fondu ISČS Eurotrend
Příloha č.21 Analýza fondu ISČS Globalstocks
Příloha č.22 Analýza fondu ISČS Sporobond
Příloha č.23 Analýza fondu KBC Renta
Příloha č.24 Analýza fondu IKS Dluhopisový
Příloha č.25 Analýza fondu ING International Český fond obligací
Příloha č.26 Analýza fondu ISČS Sporoinvest
136
Příloha č.27 Analýza fondu KBC Multicash ČSOB CZK
Příloha č.28 Analýza fondu Pioneer Sporokonto
Příloha č.29 Analýza akcií ČEZ
Příloha č.30 Analýza akcií Unipetrol
Příloha č.31 Analýza akcií Komerční banka
Příloha č.32 Analýza akcií Český Telecom
Příloha č.33 Analýza akcií Philip Morris
137
Příloha č.1 Grafy časových řad cen akciových podílových
fondů a logaritmických výnosů akciových podílových fondů
Obr. 1.1 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Sporotrend
2.0
1.6
1.2
0.8
0.4
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 1.2 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Sporotrend
.06
.04
.02
.00
-.02
-.04
-.06
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 1.3 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Globalstocks FF
.9
.8
.7
.6
.5
.4
.3
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 1.4 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Globalstocks FF
.05
.00
-.05
-.10
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 1.5 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Eurotrend
.9
.8
.7
.6
.5
.4
.3
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 1.6 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Eurotrend
.08
.04
.00
-.04
-.08
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 1.7 Denní časová řada ceny podílových listů fondu Pioneer akciový
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
2001
2002
2003
2004
2005
Obr.1.8 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu Pioneer akciový
.08
.04
.00
-.04
-.08
2001
2002
2003
2004
2005
Obr.1.9 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ING International Český akciový fond
4000
3000
2000
1000
0
2001
2002
2003
2004
2005
Obr.1.10 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS ING International Český akciový fond
.08
.04
.00
-.04
-.08
2001
2002
2003
2004
2005
Příloha č.2 Grafy časových řad cen dluhopisových podílových
fondů a logaritmických výnosů dluhopisových podílových
fondů
Obr. 2.1 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Sporobond
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 2.2 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Sporobond
.008
.004
.000
-.004
-.008
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 2.3 Denní časová řada ceny podílových listů fondu KBC Renta Czechrenta
32000
30000
28000
26000
24000
22000
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 2.4 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu KBC Renta Czechrenta
.04
.02
.00
-.02
-.04
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 2.5 Denní časová řada ceny podílových listů fondu IKS Dluhopisový
1.7
1.6
1.5
1.4
1.3
1.2
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 2.6 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu IKS Dluhopisový
.008
.004
.000
-.004
-.008
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 2.7 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ING International Český fond obligací
2200
2000
1800
1600
1400
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 2.8 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ING International Český fond obligací
.008
.004
.000
-.004
-.008
2001
2002
2003
2004
2005
Příloha č.3 Grafy časových řad cen podílových fondů
peněžního trhu a logaritmických výnosů podílových fondů
peněžního trhu
Obr. 3.1 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ISČS Sporoinvest
1.76
1.72
1.68
1.64
1.60
1.56
1.52
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 3.2 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ISČS Sporoinvest
.002
.001
.000
-.001
-.002
-.003
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 3.3 Denní časová řada ceny podílových listů fondu KBC Multicash ČSOB CZK
120
116
112
108
104
100
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 3.4 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu KBC Multicash ČSOB CZK
.004
.003
.002
.001
.000
-.001
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 3.5 Denní časová řada ceny podílových listů fondu IKS peněžní trh
1.60
1.55
1.50
1.45
1.40
1.35
1.30
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 3.6 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu IKS peněžní trh
.003
.002
.001
.000
-.001
-.002
-.003
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 3.7 Denní časová řada ceny podílových listů fondu Pioneer - Sporokonto
1.48
1.44
1.40
1.36
1.32
1.28
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 3.8 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu Pioneer - Sporokonto
.003
.002
.001
.000
-.001
-.002
-.003
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 3.9 Denní časová řada ceny podílových listů fondu ING International Český fond peněžního trhu
1500
1450
1400
1350
1300
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 3.10 Denní časová řada logaritmických výnosů fondu ING International Český fond peněžního
trhu
.006
.004
.002
.000
-.002
-.004
2001
2002
2003
2004
2005
Příloha č.4 Grafy časových řad cen akcií a logaritmických
výnosů akcií
Obr. 4.1 Denní časová řada ceny akcí ČEZ
800
600
400
200
0
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 4.2 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií ČEZ
.2
.1
.0
-.1
-.2
-.3
2001
2002
2003
2004
2005
2004
2005
Obr. 4.3 Denní časová řada ceny akcí Unipetrol
300
250
200
150
100
50
0
2001
2002
2003
Obr. 4.4 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií Unipetrol
.1
.0
-.1
-.2
-.3
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 4.5 Denní časová řada ceny akcí Komerční banka
4000
3000
2000
1000
0
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 4.6 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií Komerční banka
.10
.05
.00
-.05
-.10
-.15
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 4.7 Denní časová řada ceny akcí Český Telecom
600
500
400
300
200
100
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 4.8 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií Český Telecom
.2
.1
.0
-.1
-.2
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 4.9 Denní časová řada ceny akcí Philip Morris
24000
20000
16000
12000
8000
4000
2001
2002
2003
2004
2005
Obr. 4.10 Denní časová řada logaritmických výnosů akcií Philip Morris
.10
.05
.00
-.05
-.10
-.15
2001
2002
2003
2004
2005
Příloha č.5 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů
akciových podílových fondů
Tab. 5.1 Testy shody rozdělení pro časovou řadu ISČS Sporotrend
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Exponential Power
3 -7790,42 11,5930** 0,0274*** 0,0376*** 0,0909*** 0,0692*** 0,6435***
Generalized Logistic 3 -7784,66 10,4646** 0,0280*** 0,0488
0,1728*** 0,1723**
0,9444***
Laplace
2 -7780,14 17,2368*
0,0426**
0,0601
0,2376*** 0,2056*
1,4489***
Loglogistic (3-Par.)
3 -7775,96 19,1713
0,0240*** 0,0464
0,1752*** 0,1746**
1,2449***
Normal
2 -7708,36 72,9218
0,0553
0,0937
1,0719
1,0315
6,2733
Lognormal (3-Par.)
2 -7705,38 72,9862
0,0564
0,0944
1,1028
1,0536
6,4668
Cauchy
2 -7510,96 178,9160
0,0605
0,1112
0,7601
0,7599
10,3048
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Tab. 5.2 Testy shody rozdělení pro časovou řadu ING International Český akciový fond
Distribution
Par. AIC
Kolmogorov Modified
Kuiper
CramerWatson
Anderson-Smirnov Kolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Loglogistic (3-Par.)
3 -8218,76 4,2590*** 0,0160*** 0,0308*** 0,0636*** 0,0635*** 0,3903***
Generalized Logistic 3 -8216,32 5,5140**
0,0171*** 0,0337*** 0,0786*** 0,0785*** 0,4977***
Exponential Power
3 -8205,02 11,6762
0,0206*** 0,0402*** 0,1042*** 0,0902*** 0,9448***
Laplace
2 -8190,24 14,4951
0,0381**
0,0629
0,3553**
0,3097
2,3556**
Normal
2 -8092,26 56,1941
0,0543
0,0959
1,1364
1,0711
6,7744
Cauchy
2 -7933,64 144,6750
0,0673
0,1204
1,0274
0,9302
12,3773
Lognormal (3-Par.)
2 2,52E+12 0,0513
0,0942
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Tab. 5.3 Testy shody rozdělení pro časovou řadu ISČS Eurotrend
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Laplace
2 -7185,58 3,3588*** 0,0205*** 0,0354*** 0,0998*** 0,0490*** 0,6793***
Exponential Power
3 -7183,56 3,3604*** 0,0212*** 0,0360*** 0,0998*** 0,0481*** 0,6817***
Generalized Logistic 3 -7135,44 49,5069
0,0364**
0,0716
0,4852**
0,4843
2,8726**
Loglogistic (3- Par.)
3 -7131,86 47,0882
0,0380**
0,0727
0,5461**
0,5459
3,2640**
Normal
2 -7016,94 103,8400
0,0690
0,1342
2,1622
2,1606
12,1134
Lognormal (3-Par.)
3 -6974,84 138,0740
0,0752
0,1451
2,5153
2,5090
14,4765
Cauchy
2 -6966,20 134,6650
0,0480
0,0931
0,5295
0,4919
7,5984
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Tab. 5.4 Testy shody rozdělení pro časovou řadu Pioneer - akciový fond
Distribution
Par. AIC
Kolmogorov Modified
Kuiper
CramerWatson
Anderson-Smirnov Kolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Laplace
2 -8082,56 2,1356*** 0,0233*** 0,0286*** 0,1301*** 0,0570*** 0,8591***
Exponential Power
3 -8080,04 2,1278*** 0,01971*** 0,0386*** 0,0693*** 0,0693*** 0,4693***
Generalized Logistic 3 -8039,12 34,5734
0,0334*** 0,0611
0,4781*
0,4610
2,9156*
Loglogistic (3-Par.)
3 -8038,80 31,7761
0,0316*** 0,0606
0,4413**
0,4413
2,8232*
Normal
2 -7902,26 72,3423
0,0651
0,1270
2,1936
2,1935
12,6689
Lognormal (3-Par.)
3 -7900,04 72,5241
0,0688
0,1264
2,1864
2,1689
12,6606
Cauchy
2 -7875,52 131,4580
0,0480
0,0934
0,5577*
0,5549
7,8765
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Tab. 5.5 Testy shody rozdělení pro časovou řadu ISČS Globalstocks FF
Distribution
Par. AIC
Exponential Power
Laplace
Generalized Logistic
Loglogistic (3-Par.)
Normal
Lognormal (3-Par.)
Cauchy
3
2
3
3
2
3
2
ChiSquared
Modified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
-8214,52 6,2711*** 0,0207*** 0,0404*** 0,1107*** 0,0997*** 0,8547***
-8213,52 7,4425*** 0,0271*** 0,0516*
0,1829*** 0,1731**
1,2550***
-8205,44 5,4458*** 0,0274*** 0,0515*
0,1758*** 0,1745**
0,9644***
-8192,56 9,4101
0,0340*** 0,0558*
0,2695*** 0,2694
1,6747***
-8070,00 38,0410
0,0599
0,1073
-8066,38 42,5521
0,0576
0,1036
-7958,82 133,8890
0,0580
0,1072
0,8034
0,7229
10,3429
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Příloha č.6 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů
dluhopisových podílových fondů
Tab. 6.1 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu ISČS Sporobond
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Exponential Power
3 -13246,0 10,7842** 0,0368**
0,0666
Laplace
2 -13245,0 14,8996*
0,0422*
0,0703
Generalized Logistic 3 -13215,2 21,7339
0,0490
0,0943
Loglogistic (3-Par.)
3 -13207,0 23,8040
0,0607
0,0953
Normal
2 -13119,8 56,0609
0,0770
0,1367
Lognormal (3-Par.)
3 -13117,7 133,1010
0,0778
0,1372
Cauchy
2 -13006,6 221,5350
0,0524
0,1022
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
AndersonVon Mises U^2
Darling
W^2
A^2
0,1378*** 0,1372*** 0,6884***
0,1634*** 0,1629
0,8285***
0,4808*
0,4805
2,5802*
0,5656*
0,5363
3,1019*
1,7621
1,7611
9,5337
1,7765
1,7739
9,6016
0,6401*
0,6320
8,6039
Tab. 6.2 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu KBC Renta Czechrenta
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Laplace
2 -11567,1 4,28141*** 0,0269*** 0,0349*** 0,1684*** 0,0806
1,2215***
Exponential Power
3 -11565,1 4,1824*** 0,0264*** 0,0346*** 0,1602*** 0,0807*** 1,1702***
Loglogistic (3-Par.)
3 -11494,5 18,5757
0,0473*
0,0867
0,6859*
0,6855
3,7937*
Generalized Logistic 3 -11492,6 16,8900
0,0474*
0,0858
0,6885*
0,6882
Cauchy
2 -11442,1 69,0223
0,0538
0,0980
0,5375*
0,4874
7,2622
Lognormal (3-Par.)
3 -10988,1 146,4320
0,1055
0,2077
Normal
2 -10969,3 153,1530
0,1090
0,2109
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Tab. 6.3 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu IKS Dluhopisový
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Laplace
2 -13022,4 10,1908*** 0,0257*** 0,0357*** 0,0802*** 0,0424*** 0,4609***
Exponential Power
3 -13020,4 10,1955*** 0,025733
0,035714
0,080805
0,042527
0,463796
Generalized Logistic 3 -12953,7 65,2204
0,0461*
0,0884
0,7196*
0,7191
4,0139
Loglogistic (3-Par.)
3 -12952,0 67,0000
1,0469
0,0883
0,7398*
0,7398
4,0865
Cauchy
2 -12824,7 128,4770
0,0435*
0,0843
0,3758
0,3744
6,2724
Normal
2 -12817,1 191,9210
0,0773
0,1523
2,6234
2,6230
14,4692
Lognormal (3-Par.)
3 -12815,1 192,2100
0,0779
0,1523
2,6196
2,6180
14,4459
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Tab. 6.4 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu ING International
Český fond obligací
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Exponential Power
3 -13020,4 10,1955*** 0,0257*** 0,0357*** 0,0808*** 0,0424*** 0,4609***
Laplace
2 -12961,2 10,1908*** 0,0193*** 0,0280*** 0,0924*** 0,0535*** 0,6532***
Loglogistic (3-Par.)
3 -12922,8 67,7870
0,0381**
0,0751
0,4873*
0,4872
2,4411**
Generalized Logistic 3 -12922,5 65,2204
0,0382*
0,0760
0,5022*
0,5022
2,5141*
Normal
2 -12827,5 191,9210
0,0643
0,1285
1,7267
1,7231
8,9711
Lognormal (3-Par.)
3 -12826,1 207,7560
0,0646
0,1278
1,7075
1,7051
8,8630
Cauchy
2 -12718,1 128,4770
0,0549
0,1043
0,5045*
0,4792
7,9356
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Příloha č.7 Testy shody rozdělení logaritmických výnosů
podílových fondů peněžního trhu
Tab. 7.1 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu KBC Multicash ČSOB
CZK
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Laplace
2 -16428,1 76,4573
0,1354
0,2363
Exponential Power
3 -16426,1 76,5048
0,1349
0,2357
Loglogistic (3-Par.)
3 -16377,6 61,2707
0,1374
0,2719
Generalized Logistic 3 -16336,2 74,4616
0,1421
0,2779
Cauchy
2 -16282,0 150,773
0,1498
0,2557
Lognormal (3-Par.)
3 -16125,3 0,1716
0,3189
Normal
2 -15841,7 71,0038
0,1766
0,3481
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
3,5704
3,0625
3,5677
3,0633
3,4033
3,4032
3,6284
3,5797
4,4637
3,5233
5,8363
5,7796
8,9983
8,5913
AndersonDarling
A^2
20,6594
20,6550
17,5030
18,4143
27,0924
-
Tab. 7.2 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu IKS peněžní trh
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Laplace
2 -17120,2 66,6158
0,1442
0,1481
Exponential Power
3 -17118,2 66,6272
0,1442
0,1480
Generalized Logistic 3 -17044,2 80,0849
0,1056
0,1981
Loglogistic (3-Par.
3 -17041,7 86,5732
0,1076
0,1970
Cauchy
2 -17001,5 90,6589
0,0954
0,1563
Normal
2 -16743,1 224,8450
0,1340
0,2610
Lognormal (3-Par.
3 -16741,1 0,1347
0,2609
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
4,8543
1,4462
4,8562
1,4466
2,0764
2,0683
2,0376
2,0370
2,0820
1,4980
-
AndersonDarling
A^2
26,2745
26,2835
11,1358
11,3531
14,7078
-
Tab. 7.3 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu Pioneer - Sporokonto
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Cauchy
2 -17232,9 105,0790
0,1284
0,2141
Laplace
2 -17224,8 139,4350
0,1724
0,2191
Exponential Power
3 -17222,8 139,4320
0,1724
0,2191
Generalized Logistic 3 -17008,1 288,1980
0,1370
0,2506
Loglogistic (3-Par.
3 -17005,5 215,9100
0,1352
0,2483
Normal
2 -16479,2 534,0090
0,1899
0,3461
Lognormal (3-Par)
3 -16477,1 534,3950
0,1889
0,3459
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
2,9797
2,3023
5,1952
2,6509
5,1952
2,6509
4,3509
4,3470
4,2307
4,2302
-
AndersonDarling
A^2
17,1429
27,6299
27,6300
24,2857
23,4146
-
Tab. 7.4 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu ISČS Sporoinvest
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Laplace
2 -17179,1 164,697
0,0981
0,1938
Exponential Power
3 -17177,0 165,299
0,0985
0,1947
Generalized Logistic 3 -17107,3 152,506
0,1033
0,1938
Loglogistic (3-Par.)
3 -17105,1 139,316
0,1029
0,1938
Cauchy
2 -16936,2 178,305
0,1062
0,2018
Normal
2 -16876,6 239,702
0,1286
0,2547
Lognormal (3-Par.)
3 -16874,6 149,415
0,1287
0,2550
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
2,0789
2,0613
2,10965
2,09225
2,0915
2,0910
2,0644
2,0634
2,6691
2,6254
4,1152
4,1150
4,1330
4,1327
AndersonDarling
A^2
10,4462
10,5829
10,8841
10,5940
18,7280
22,9166
23,0215
Tab. 7.5 Testy shody rozdělení pro časovou řadu logaritmických výnosů fondu ING International
Český fond peněžního trhu
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Cauchy
2 -18610,9 70,3326
0,0978
0,1155
Laplace
2 -18272,0 177,8140
0,1662
0,1889
Exponential Power
3 -18270,0 177,7190
0,1661
0,1888
Loglogistic (3-Par.)
3 -17944,9 233,2540
0,1540
0,2596
Generalized Logistic 3 -17943,4 260,2560
0,1586
0,2612
Lognormal (3-Par.)
3 -16821,7 0,2477
0,4477
Normal
2 -16811,8 546,9320
0,2472
0,4495
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
3,0319
0,9059
5,7079
3,7365
5,7001
3,7357
7,4624
7,4598
7,5755
7,5735
-
AndersonDarling
A^2
18,9589
33,0975
33,0058
22,9166
23,0215
Příloha č.8 Testy shody rozdělení pro logaritmické výnosy akcií
Tab. 8.1 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií ČEZ
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Exponential Power
3 -6442,62 1,8498*** 0,0189*** 0,0288*** 0,0001*** Laplace
2 -6442,30 2,9065*** 0,0232*** 0,0385*** 0,0849*** 0,0663*** 0,5774***
Generalized Logistic 3 -6425,36 21,9582
0,0283*** 0,0525*
0,2763*** 0,2742
1,6839***
Loglogistic (3-Par.)
3 -6415,52 22,0485
0,0301*** 0,0570
0,3128*** 0,3127
1,9266***
Normal
2 -6266,80 86,0305
0,0697
0,1243
Lognormal (3-Par.)
3 -6264,78 85,9586
0,0698
0,1245
Cauchy
2 -6213,14 124,4120
0,0520
0,0989
0,6051
0,5962
8,7090
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Tab. 8.2 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií Komerční banka
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Generalized Logistic 3 -6340,62 5,9981*** 0,0211*** 0,0370*** 0,0642*** 0,0642*** 0,3765***
Loglogistic (3-Par.)
3 -6339,18 8,9470**
0,0187*** 0,0339*** 0,0481*** 0,0481*** 0,3138***
Exponential Power
3 -6338,82 7,7523*** 0,0155*** 0,0304*** 0,0439*** 0,0394*** 0,3455***
Laplace
2 -6314,88 22,0741
0,0336*** 0,0601
0,3306*** 0,3268
2,0406**
Normal
2 -6276,74 16,2577
0,0436*
0,0746
0,6068*
0,6030
3,6709*
Lognormal (3-Par.)
3 -6272,90 17,7391
0,0411*
0,0748
0,6073*
0,6069
3,6923*
Cauchy
2 -6033,40 182,3280
0,0616
0,1225
0,9269
0,9135
11,9928
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Tab. 8.3 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií Philip Morris
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Laplace
2 -6676,26 6,2160*** 0,0418*
0,0503*
Exponential Power
3 -6674,26 6,2073*
0,0418*
0,0503*
Generalized Logistic 3 -6620,52 29,434
0,0412*
0,0804
Loglogistic (3-Par.)
3 -6615,78 26,6992
0,0397*
0,0744
Cauchy
2 -6474,60 110,7800
0,0491
0,0960
Normal
2 -6415,84 66,2974
0,0833
0,1485
Lognormal (3-Par.)
3 -6413,68 66,9295
0,0825
0,1479
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
AndersonVon Mises U^2
Darling
W^2
A^2
0,5271*
0,1272*** 3,0700*
0,5272*
0,1271*** 3,0668*
0,5928*
0,5910
3,4929*
0,5525*
0,5504
3,2301*
0,7113*
0,6218
8,8142
2,8124
2,8053
16,2358
2,7810
2,7764
16,0574
Tab. 8.4 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií Český Telecom
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Laplace
2 -6059,22 8,4647*** 0,0243*** 0,0405*** 0,1081*** 0,1009*** 0,6446***
Exponential Power
3 -6057,12 8,4228**
8,4228**
0,0237*** 0,0403*** 0,1051*** 0,0997***
Generalized Logistic 3 -5964,66 54,4828
0,0521
0,0999
1,0497
1,0479
5,8430
Loglogistic (3-Par.)
3 -5960,20 52,0969
0,0521
0,0994
1,0928
1,0925
6,0437
Cauchy
2 -5872,70 123,0510
0,0420**
0,0812
0,3021*** 0,2982
5,3955
Normal
2 -5803,26 134,4970
0,0829
0,1596
3,3951
3,3942
17,9897
Lognormal (3-Par.)
3 -5801,26 134,6290
0,0830
0,1595
3,3892
3,3880
17,9600
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Tab. 8.5 Testy shody rozdělení pro časovou řadu akcií Unipetrol
Distribution
Par. AIC
ChiSquared
Modified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Laplace
2 -6191,00 16,6196
0,0362**
0,0624
Exponential Power
3 -6189,00 15,6200
0,0362**
0,0624
Cauchy
2 -6085,86 88,4287
0,0349**
0,0672
Generalized Logistic 3 -6052,54 66,6637
0,0682
0,1290
Loglogistic (3-Par.)
3 -6044,50 91,0523
0,0672
0,1304
Normal
2 -5762,12 116,0900
0,1100
0,2072
Lognormal (3-Par.)
3 -5760,08 116,8490
0,1109
0,2076
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
0,3174*** 0,3096
0,3174*** 0,3096
0,2331
0,2099
1,8079
1,7995
1,8463
1,8460
-
AndersonDarling
A^2
1,8504***
1,8503***
4,1424
9,9079
9,9856
17,9897
17,9600
Příloha č.9 Odhady parametrů významných rozdělení pro
časové řady logaritmických výnosů
Tab. 9.1 Odhady parametrů významných rozdělení logaritmických výnosů akciových podílových
fondů
Rozdělení Parametr
Lapalce
Exponential
Power (EP)
Generalized
Logistic
(GL3)
3 Param.
Loglogistic
(LL3)
mean
scale
mean
scale
shape
location
scale
shape
median
shape
lower thrs.
ISČS
Sporotrend
0,0006
118,1930
0,0006
0,0061
0,6457
0,0029
0,0056
0,7855
1,7183
0,0036
-1,7175
ING
International
Český akciový
fond
-0,0014
140,4470
-0,00128344
0,0051607
0,633126
-0,0032
0,0056
1,2931
0,1465
0,0351
-0,14782
ISČS
Eurotrend
Pioneer ISČS
akciový fond Globalstocks FF
0,0000
0,0001
98,0207
147,0970
0,0001 -0,0000741184
0,0051
0,00363083
0,9976
0,935
0,0013
-0,0002
0,0071
0,0050
0,8575
0,9944
1,3959
0,8076
0,0054
0,0062
-1,3963
-0,8077
0,0000
140,2950
0,0001
0,0043
0,8229
0,0021
0,0046
0,7398
2,7429
0,0019
-2,7431
Tab. 9.2 Odhady parametrů významných rozdělení logaritmických výnosů dluhopisových podílových
fondů
Rozdělení Parametr
Lapalce
Exponential
Power (EP)
Generalized
Logistic
(GL3)
3 Param.
Loglogistic
(LL3)
mean
scale
mean
scale
shape
location
scale
shape
median
shape
lower thrs.
ISČS
Sporobond
0,0002
1026,6400
0,0002
0,0006
0,8207
0,0003
0,0007
0,8990
0,0278
0,0257
-0,0276
ING
International
Český fond
obligací
0,0002
932,6870
0,0002
0,0005
1,0000
0,0002
0,0008
0,9908
0,0657
0,0120
-0,0655
IKS
dluhopisový
0,0002
1074,7500
0,0002
0,0005
1,0000
0,0003
0,0007
0,9097
0,0780
0,0088
-0,0778
KBC
Renta
Czechrenta
0,0002
850,6650
0,0002
0,0006
1,0000
0,0003
0,0008
0,9509
0,1162
0,0074
-0,1160
Tab. 9.3 Odhady parametrů významných rozdělení logaritmických výnosů podílových fondů
peněžního trhu
Rozdělení Parametr
Laplace
Exponential
Power (EP)
Generalized
Logistic
(GL3)
3 Param.
Loglogistic
(LL3)
ISČS
ING International
Sporoinvest
Český fond
peněžního trhu
0,0001
mean
0,0001
7673,5400
scale
4867,1500
0,0001
mean
0,0001
0,0001
scale
0,0001
1,0000
shape
0,9999
0,0001
location
0,0001
0,0001
scale
0,0001
0,9377
shape
0,9204
0,0229
median
0,0519
0,0043
shape
0,0029
-0,0228
lower thrs.
0,0000
KBC
IKS
Multicash
peněžní trh
ČSOB CZK
0,0001
0,0001
7380,0400
5669,7600
0,0001
0,0001
0,0001
0,00001
1,0000
1,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
1,8853
1,2640
0,0013
0,0077
0,0754
0,0166
-0,0012
-0,0076
Pioneer Sporokonto
0,0001
6228,0800
0,0001
0,0001
1,0000
0,0001
0,0001
0,9184
0,0584
0,0021
-0,0583
Tab. 9.4 Odhady parametrů významných rozdělení logaritmických výnosů akcií
Rozdělení Parametr
Laplace
Exponential
Power (EP)
Generalized
Logistic
(GL3)
3 Param.
Loglogistic
(LL3)
mean
scale
mean
scale
shape
location
scale
shape
median
shape
lower thrs.
ČEZ
0,0022
70,9089
0,0022
0,0082
0,8524
0,0057
0,0093
0,7717
12,323
0,0008
-12,3217
Komerční
banka
0,0010
67,3991
0,0010
0,0120
0,5159
0,0024
0,0104
0,9224
2,4577
0,0044
-2,4565
Philip Morris
0,0000
77,83620
0,0000
0,0064
0,9999
0,0029
0,0089
0,8640
2,6413
0,0036
-2,6403
Český
Telecom
0,0000
60,8781
0,0000
0,0082
1,0000
0,0027
0,0115
0,8599
2,4557
0,0050
-2,4556
Unipetrol
0,0010
64,1535
0,0010
0,0078
1,0000
0,0044
0,0108
0,8178
7,9318
0,0015
-7,9305
Příloha č.10 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů akcií
a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Český Telecom
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
400
frequency
300
200
100
0
-0,18
-0,13
-0,08
-0,03
rt
0,02
Histogram for Philip Morris
0,12
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
500
400
frequency
0,07
300
200
100
0
-0,15
-0,1
-0,05
0
rt
Histogram for Unipetrol
0,1
0,15
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
600
500
frequency
0,05
400
300
200
100
0
-0,24
-0,14
-0,04
rt
0,06
0,16
Histogram for ČEZ
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
600
frequency
500
400
300
200
100
0
-0,22
-0,12
-0,02
0,08
0,18
rt
Histogram for Komerční banka
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
frequency
400
300
200
100
0
-0,12
-0,08
-0,04
0
rt
0,04
0,08
0,12
Příloha č.11 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů
akciových podílových fondů a hustoty pravděpodobností
vybraných rozdělení
Histogram for ISČS Globalstocks
1200
frequency
1000
800
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
600
400
200
0
-0,1
-0,07
-0,04
-0,01
0,02
0,05
rt
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
Histogram for ISČS Sporotrend
frequency
800
600
400
200
0
-0,06 -0,04 -0,02
0
rt
0,02
0,04
Histogram for Pioneer – akciový
1200
frequency
1000
800
0,06
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
600
400
200
0
-0,08
-0,04
0
rt
0,04
0,08
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
Histogram for ING akciový
1200
frequency
1000
800
600
400
200
0
-0,08
-0,04
0
rt
0,04
Histogram for ISČS Eurotrend
frequency
800
600
0,0
8
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
400
200
0
-0,08
-0,04
0
rt
0,04
0,08
Příloha č.12 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů
dluhopisových podílových fondů a hustoty pravděpodobností
vybraných rozdělení
frequency
Histogram for ISČS Sporobond
Distribution
400
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
300
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
200
100
0
-8
1200
-4
0
rt
4
Histogram for KBC Renta
Czechrenta
frequency
1000
800
8
(X 0,001)
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
600
400
200
0
-29
-9
11
31
rt
51
71
(X 0,001)
Histogram for ING International
Český fond obligací
frequency
400
300
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
200
100
0
frequency
-9
-6
-3
0
rt
3
6
9
(X 0,001)
Histogram for IKS Dluhopisový
Distribution
400
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
300
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
200
100
0
-8
-4
0
rt
4
8
(X 0,001)
frequency
Příloha č.13 Histogramy rozdělení logaritmických výnosů
podílových fondů peněžního trhu a hustoty pravděpodobností
vybraných rozdělení
Histogram for ISČS Sporoinvest
Distribution
600
Exponential Power
Generalized Logistic
500
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
400
Normal
300
200
100
0
-24
-14
-4
6
16
rt
26
(X 0,0001)
Histogram for IKS peněžní trh
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
600
frequency
500
400
300
200
100
0
-29
-19
-9
1
rt
11
21
31
(X 0,0001)
Histogram for KBC Multicash
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
frequency
800
600
400
200
0
-11
-1
9
19
rt
29
39
(X 0,0001)
Histogram for ING Intl. (II)
Český fond peněžního trhu
1500
frequency
1200
900
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
600
300
0
frequency
-4
-2
0
rt
2
4
6
(X 0,001)
Histogram for Pioneer Sporokonto
Distribution
800
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
600
Loglogistic (3-Parameter)
Normal
400
200
0
-29
-19
-9
1
rt
11
21
31
(X 0,0001)
Příloha č.14 Grafy autokorelační a parciální autokorelační
funkce logaritmických výnosů akciových podílových fondů
Obr. 14.1 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu ISČS Sporotrend a hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 14.2 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu ISČS Globalstocks FF a hodnoty
testových kritérií a odhady hladin významnosti
Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 14.3 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu ISČS Eurotrend a hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 14.4 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu Pioneer akciový a hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 14.5 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ING International Český akciový fond a
hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace
Příloha č.15 Grafy autokorelační a parciální autokorelační
funkce logaritmických výnosů dluhopisových podílových
fondů
Obr. 15.1 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu ISČS Sporobond a hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 15.2 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu KBC Renta Czechrenta a hodnoty
testových kritérií a odhady hladin významnosti
Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 15.3 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu IKS Dluhopisový a hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 15.4 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu ING International Český fond obligací a
hodnoty testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Příloha č.16 Grafy ACF a PACF logaritmických výnosů
podílových fondů peněžního trhu
Obr. 16.1 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu ISČS Sporoinvest a hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 16.2 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu KBC Multicash ČSOB CZK a hodnoty
testových kritérií a odhady hladin významnosti
Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 16.3 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu IKS peněžní trh a hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 16.4 ACF a PACF logaritmických výnosů
fondu Pioneer - Sporokonto a hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 16.5 ACF a PACF logaritmických výnosů fondu ING International Český fond peněžního trhu
a hodnoty testových kritérií a odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace
Příloha č.17 Grafy autokorelační a parciální autokorelační
funkce logaritmických výnosů akcií
Obr. 17.1 ACF a PACF logaritmických výnosů
akcií ČEZ a hodnoty testových kritérií a odhady
hladin významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 17.2 ACF a PACF logaritmických výnosů
akcií Unipetrol a hodnoty testových kritérií a
odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova
testu autokorelace
Obr. 17.3 ACF a PACF logaritmických výnosů
akcií Komerční banka a hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 17.4 ACF a PACF logaritmických výnosů
akcií Český Telecom a hodnoty testových kritérií a
odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova
testu autokorelace
Obr. 17.5 ACF a PACF logaritmických výnosů akcií Philip Morris a hodnoty testových kritérií a
odhady hladin významnosti Ljungova-Boxova testu autokorelace
Příloha č.18 Analýza fondu Pioneer Akciový
Tab. 18.1 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
3,91366
0,0001
-6,79615
0,0000
-0,02709
0,9784
51,5770
0,0000
Tab. 18.2 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000189
3,32E-07
0,015737
0,015836
0,070420
t-test
p-hodnota
φ0
0,000272
1,441089
ω
5,56E-07
1,675607
α1
0,081928
5,205991
β1
0,914556
57,75019
v1
1,462157
20,76348
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,1496
0,0938
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 18.3 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000189
2,07E-07
0,006826
0,020547
0,010887
0,075048
t-test
p-hodnota
φ0
7,71E-05
0,408786
ω
4,53E-07
2,187409
α1
-0,003772
-0,552546
γ1
0,116701
5,679679
β1
0,940341
86,37116
v1
1,534949
20,45291
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,6827
0,0287
0,5806
0,0000
0,0000
0,0000
Obr. 18.1 ACF a PACF modelu GRJGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu s GED rozdělením nesystematické
složky, hodnoty testových kritérií a odhady
hladin významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 18.2 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu GRJGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu s GED rozdělením nesystematické
složky, hodnoty testových kritérií a odhady
hladin významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 18.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED
rozdělení s 1,534949 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1)
s t rozdělením a t rozdělení s 9,649730 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
6
4
4
2
2
TDIST
GED_POINEER
Empirical Quantile-Quantile
6
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
-4
-2
RESID_GED
0
2
4
6
RESID01
Obr. 18.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením a
normovaného normálního rozdělení
Theoretical Quantile-Quantile
6
Normal Quantile
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
RESID_N
Obr. 18.5 Histogram standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením a
histogram GED rozdělení s 1,534949 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu
GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 9,649730 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
330
300
230
200
130
100
frequency
frequency
Histogram for standardized residuals
30
70
0
100
200
170
300
270
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
-8
-5
-2
1
4
7
Histogram for t distribution
10
Obr. 18.6 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu GRJ-GARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky
160
Series: Standardized Residuals
Sample 1/05/2001 12/30/2005
Observations 1226
140
120
100
80
60
40
20
0
-2.5
0.0
2.5
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.011371
0.024102
5.250237
-4.316417
0.999422
-0.050308
4.126800
Jarque-Bera
Probability
65.37658
0.000000
5.0
Tab. 18.4 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua
modelu GRJ-GARCH(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení
(parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (9,65)
GED (1,53)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0282
0,1070
0,0400
0,2846
0,2024
0,2659
Tab. 18.5 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu GRJ-GARCH(1,1) s normálním
rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Generalized Logistic 3 3461,34 8,6682**
0,0223*** 0,0367*** 0,0922*** 0,0869*** 0,5105***
Loglogistic (3-Par.)
3 3461,90 9,2086**
0,0192*** 0,0366*** 0,0836*** 0,0834*** 0,5396***
Exponential Power
3 3462,22 6,7799*** 0,0204*** 0,0343*** 0,0812*** 0,0765*** 0,4404***
Student's t
1 3467,12 12,9596*
0,0293*** 0,0584
0,3061*** 0,3039
1,9674**
Laplace
2 3515,78 36,3209
0,0506
0,0778
0,6243*
0,5577
4,0249
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Obr. 18.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s normálním
rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
frequency
800
600
400
200
0
-5
-2
1
4
7
Standardized residuals
10
Příloha č.19 Analýza fondu ING International Český akciový
fond
Tab. 19.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000229
1,47E-06
0,019479
0,026752
0,054204
t-test
p-hodnota
φ0
-0,001538
-6,716397
ω
3,76E-06
2,562555
α1
0,089311
4,585094
β1
0,870735
32,54887
v1
1,377980
25,42189
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0104
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 19.2 Porovnání alternativních modelů GARCH-M(1,1) lišících se členem charakterizujícím
podmíněný rozptyl v úrovňovém modelu
GARCH-M(1,1)
st.deviation
var
log(var)
log-věrohodnostní
funkce
4117,232
4115,622
4118,863
AIC
SBC
-6,527353
-6,524797
-6,529941
-6,506961
-6,504404
-6,509549
Tab. 19.3 Odhadnuté parametry modelu GARCH-M(1,1) s konstantou a logaritmem podmíněného
rozptylu v úrovňovém modelu s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000620
0,005936
1,31E-06
0,019758
0,024337
0,054872
t-test
p-hodnota
φ0
0,001600
2,580867
λ
0,013738
2,314310
ω
3,37E-06
2,579149
α1
0,095556
4,836237
β1
0,870094
35,75119
v1
1,365298
24,88128
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0099
0,0207
0,0099
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 19.4 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000230
0,214017
0,040738
0,023689
0,022133
0,051734
t-test
p-hodnota
φ0
-0,001453
-6,328604
ω
-0,851156
-3,977048
α1
0,183478
4,503812
γ1
0,072561
3,063067
β1
0,924697
41,78003
v1
1,406596
27,18895
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0001
0,0000
0,0022
0,0000
0,0000
Tab. 19.5 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
-3,1550
0,0016
1,5980
0,1100
7,1113
0,0000
50,4252
0,0000
Tab. 19.6 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua
modelu EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Hypotetické
rozdělení
(parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (7,55)
GED (1,41)
Normální
Studentovo t
GED
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0416
0,0506
0,0304
0,0256
0,0793
0,6056
Tab. 19.7 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000231
2,02E-06
0,029080
0,034168
0,035087
0,051083
t-test
p-hodnota
φ0
-0,001436
-6,220092
ω
6,49E-06
3,221351
α1
0,131342
4,516618
γ1
-0,096409
-2,821639
β1
0,839109
23,91511
v1
1,387794
27,16716
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0013
0,0000
0,0048
0,0000
0,0000
Obr. 19.1 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a
normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu
EGARCH(1,1) se Studentovým t rozdělením a Studentova t rozdělení s 7,548220 stupni volnosti
Theoretical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
8
12
8
4
TDIST_ING
Normal Quantile
6
2
0
4
0
-4
-2
-4
-8
-4
-2
0
2
4
6
8
RESID_EGARCH_NORM
-4
-2
0
2
4
6
8
RESID05
Obr. 19.2 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s GED rozdělením a GED
rozdělení s 1,406596 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
8
6
GED_ING
4
2
0
-2
-4
-6
-4
-2
0
2
RESID04
4
6
8
Obr. 19.3 Histogram standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s GED rozdělením a
histogram GED rozdělení s 1,406596 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu
EGARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 7,548220 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
310
300
210
200
110
100
frequency
frequency
Histogram for standardized residuals
10
90
190
0
100
200
290
300
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
-8
-4
0
4
Histogram for t distribution
8
Obr. 19.4 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením
nesystematické složky
300
Series: Standardized Residuals
Sample 1/04/2001 12/30/2005
Observations 1260
250
200
150
100
50
0
-2
0
2
4
6
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
0.028924
-0.002281
7.735911
-3.106341
1.001546
0.539057
6.267140
Jarque-Bera
Probability
621.4179
0.000000
8
Tab. 19.8 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu EGARCH(1,1) s normálním
rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Loglogistic (3-Par.)
3 3521,52 8,0442*
0,0171*** 0,0330*** 0,0448*** 0,0448*** 0,3582***
Generalized Logistic 3 3524,34 8,1863*
0,0185*** 0,0339*** 0,0469*** 0,0468*** 0,3344***
Exponential Power
3 3535,16 6,3921*
0,0250*** 0,0395*** 0,0714*** 0,0703*** Student's t
1 3546,82 12,1820*
0,0446*
0,0719
0,6322*
0,6110
3,9759
Laplace
2 3575,38 30,2812
0,0401*
0,0760
0,4925*
0,4737
3,0309*
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Obr. 19.5 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s normálním
rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
1000
frequency
800
600
400
200
0
-4
-1
2
5
8
Standardized residuals
11
Příloha č.20 Analýza fondu ISČS Eurotrend
Tab. 20.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s normálním
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
t-test
směrodatné
chyby odhadu
0,0002731
0,636869
φ0
0,000174
0,0002642
0,659065
1,909137
3,09E-071
ω
5,90E-07
2,78E-072
2,118793
0,0099001
7,001780
γ1
0,069319
0,0168272
4,119491
99,37592
0,0093451
β1
0,928641
59,46009
0,0156182
1) odhady metodou maximální věrohodnosti
2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti
p-hodnota
0,5242
0,5099
0,0562
0,0341
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 20.2 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s
normálním rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
t-test
směrodatné
chyby odhadu
-0,792659
0,0002751
φ0
-0,000218
0,0002542
-0,860440
3,40E-071
4,153280
ω
1,41E-06
2,90E-072
4,865985
-0,988025
0,0116281
α1
-0,011489
0,0139112
-0,825840
6,011078
0,0226541
γ1
0,136174
0,0228562
5,957920
0,0095651
97,52062
β1
0,932782
0,0146552
63,64764
1) odhady metodou maximální věrohodnosti
2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti
p-hodnota
0,4280
0,3895
0,0000
0,0000
0,3231
0,4089
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 20.3 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s
normálním rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
t-test
směrodatné
chyby odhadu
0,0002661
-0,606073
φ0
-0,000161
0,0002612
-0,616590
0,0293891
-5,823862
ω
-0,171158
0,0406512
-4,210400
0,0163971
4,845991
α1
0,079460
0,0230292
3,450486
0,0146311
-6,927107
γ1
-0,101351
0,0143222
-7,076710
0,0027811
355,2851
β1
0,988074
0,0031672
312,0259
1) odhady metodou maximální věrohodnosti
2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti
p-hodnota
0,5445
0,5375
0,0000
0,0000
0,0000
0,0006
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 20.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
1,0808
0,2798
-5,9355
0,0000
2,4620
0,0138
56,7863
0,0000
Tab. 20.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua
modelu EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
GED
Hypotetické
rozdělení
(parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
GED (1,83)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0205
0,0259
0,6708
0,7684
Obr. 20.1 ACF a PACF modelu
EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu s normálním rozdělením
nesystematické složky, hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti
Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 20.2 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu EGARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu
s normálním rozdělením nesystematické
složky, hodnoty testových kritérií a odhady
hladin významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr 20.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu EGARCH(1,1) s normálním rozdělením a
normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu
EGARCH(1,1) se GED rozdělením a GED s 1,831579 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
4
4
3
3
2
2
GED_EGARCH_EURO
Normal Quantile
Theoretical Quantile-Quantile
1
0
-1
-2
-3
-4
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
EURO_RESID_EGARCH_N
3
4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
EURO_RESID_EGARCH_GED
4
Příloha č.21 Analýza fondu ISČS Globalstocks
Tab. 21.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,027728
2,90E-07
0,013920
0,013201
0,915489
t-test
p-hodnota
φ1
0,178993
6,455359
ω
5,52E-07
1,899219
α1
0,059548
4,277909
β1
0,934605
70,80031
v1
6,882262
7,517579
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0575
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 21.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,028227
3,34E-07
0,017608
0,023267
0,014277
1,149083
t-test
p-hodnota
φ1
0,180357
6,389510
ω
8,98E-07
2,689244
α1
0,020294
1,152564
γ1
0,075854
3,260155
β1
0,928193
65,01254
v1
7,439272
6,474092
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0072
0,2491
0,0011
0,0000
0,0000
Tab. 21.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) a t rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,027455
0,049377
0,024759
0,017102
0,004316
1,319250
t-test
p-hodnota
φ1
0,180395
6,570523
ω
-0,220460
-4,464845
α1
0,094014
3,797230
γ1
-0,076783
-4,489852
β1
0,984810
228,1844
v1
7,990155
6,056587
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
Obr. 21.1 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky
300
Series: Standardized Residuals
Sample 1/04/2001 12/30/2005
Observations 1263
250
200
150
100
50
0
-8
-6
-4
-2
0
2
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.024437
0.000000
2.829207
-7.883991
0.994823
-0.583909
6.283927
Jarque-Bera
Probability
639.2873
0.000000
Tab. 21.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
2,04442
0,0409
-2,4997
0,0124
-0,2048
0,8377
4,4204
0,2195
Obr. 21.3 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu AR(1)EGARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické
složky, hodnoty testových kritérií a odhady
hladin významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 21.2 ACF a PACF modelu AR(1)EGARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické
složky, hodnoty testových kritérií a odhady
hladin významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Tab. 21.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rezidua
modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení
(parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (7,99)
GED (1,42)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0303
1,2137
0,8954
0,1922
0,1051
0,4041
Obr. 21.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením
a normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu
AR(1)-EGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 7,990155 stupni volnosti
Theoretical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
4
8
4
0
-2
TDIST
Normal Quantile
2
-4
0
-4
-6
-8
-8
-10
-8
-6
-4
-2
0
GLOB_RESID_EGARCH
2
4
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
GLOB_RESID_EGARCH_T
4
Obr. 21.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a
GED rozdělení s 1,416750 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
4
2
GED
0
-2
-4
-6
-8
-10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
GLOB_RESID_EGARCH_GED
Obr. 21.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením a
histogram GED rozdělení s 1,416750 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu
GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 7,990155 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
460
430
260
230
frequency
frequency
Histogram for standardized residuals
60
30
170
140
370
340
-8
-5
-2
1
4
7
Histogram for GED distribution
10
-11
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Tab. 21.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua modelu EGARCH(1,1) s normálním
rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Loglogistic (3-Par.)
3 3528,00 6,4884**
0,0185*** 0,0355*** 0,0739*** 0,0737*** 0,5607***
Generalized Logistic 3 3528,26 7,0189**
0,0263*** 0,0390*** 0,1573*** 0,1109*** 0,8415***
Exponential Power
3 3533,74 6,3645*
0,0193*** 0,0367*** 0,0001*** Student's t
1 3543,20 27,0718
0,0367**
0,0637
0,5078*
0,5040
3,5642*
Laplace
2 3573,34 25,0001
0,0401*
0,0785
0,5825*
0,5816
3,6668*
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Obr. 21.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním
rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
(X 1000,0)
1
frequency
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-9
-5
-1
3
Standardized residuals
7
Příloha č.22 Analýza fondu ISČS Sporobond
Tab. 22.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
3,40E-05
0,024821
2,81E-08
0,021566
0,028758
0,060156
t-test
p-hodnota
φ0
0,000176
5,175085
φ1
0,152860
6,158442
ω
7,38E-08
2,630797
α1
0,087527
4,058508
β1
0,875624
30,44800
v1
1,145731
19,04607
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0085
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 22.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
3,37E-05
0,024775
0,262533
0,039396
0,024639
0,018652
0,060282
t-test
p-hodnota
φ0
0,000168
4,987672
φ1
0,155935
6,293999
ω
-0,895675
-3,411671
α1
0,201219
5,107665
γ1
-0,017312
-0,702614
β1
0,943683
50,59358
v1
1,148718
19,05572
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0006
0,0000
0,4823
0,0000
0,0000
Tab. 22.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
3,41E-05
0,025384
4,99E-08
0,029461
0,051138
0,044881
0,060994
t-test
p-hodnota
φ0
0,000172
5,060041
φ1
0,154210
6,075126
ω
1,46E-07
2,917494
α1
0,077843
2,642213
γ1
0,093657
1,831457
β1
0,804755
17,93071
v1
1,143183
18,74248
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0035
0,0082
0,0670
0,0000
0,0000
Tab. 22.4 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
3,42E-05
0,025640
2,12E-08
0,019569
0,091605
0,087371
0,026067
0,061553
t-test
p-hodnota
φ0
0,000172
5,032336
φ1
0,147248
5,742820
ω
4,40E-08
2,081046
α1
0,055245
2,823065
γ1
0,204880
2,236558
γ2
-0,187852
-2,150048
β1
0,915497
35,12142
v1
1,154923
18,76316
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0374
0,0048
0,0253
0,0316
0,0000
0,0000
Tab. 22.5 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
1,5145
0,1299
-17,4496
0,0000
26,1501
0,0000
2,2903
0,5144
Tab. 22.6 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení
modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení (parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (44,25)
GED (1,15)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0479
0,0620
0,0229
0,0058
0,0155
0,8954
Obr. 22.1 ACF a PACF modelu AR(1)GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky, hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti
Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 22.2 AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 22.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED rozdělením
a GED rozdělení s 1,154923 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)GRJ(2)-GARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 44,25844 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
6
4
4
TDIST_SPOROBOND
GED_SPOROBOND
Empirical Quantile-Quantile
6
2
0
-2
-4
2
0
-2
-4
-6
-6
-6
-4
-2
0
2
4
RESID_SPOROBOND_GED
6
-6
-4
-2
0
2
4
RESID_SPOROBOND_T
6
Obr. 22.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s normálním
rozdělením a normovaného normálního rozdělení
Theoretical Quantile-Quantile
6
4
Normal Quantile
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
RESID_SPOROBOND_N
Obr. 22.5 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s GED
rozdělením a histogram GED rozdělení s 1,154923 stupni volnosti a histogram standardizovaných
reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 44,25844 stupni
volnosti
Histogram for standardized residuals
Histogram for standardized residuals
570
480
370
frequency
frequency
280
80
120
170
30
230
430
320
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
-11
8
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Obr. 22.6 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky
200
Series: Standardized Residuals
Sample 1/04/2001 12/30/2005
Observations 1263
160
120
80
40
0
-5.0
-2.5
0.0
2.5
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
0.000331
-0.031323
3.973976
-5.080216
1.000079
0.001559
5.119045
Jarque-Bera
Probability
236.3052
0.000000
Tab. 22.7 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s
normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Exponential Power
3 3483,92 16,6088*** 0,0179*** 0,0339*** 0,0842*** 0,0469*** 0,5192***
Laplace
2 3489,62 22,4181*** 0,0319*** 0,0478*** 0,1934*** 0,1198*** 1,1618***
Loglogistic (3-Par.)
3 3503,18 27,5372*
0,0303*** 0,0565
0,2519*** 0,2516*
1,3466***
Generalized Logistic 3 3503,24 28,9979*
0,0289*** 0,0572
0,2639*** 0,2634*
1,4279***
Student's t
1 3548,26 77,9221
0,0540
0,1053
1,6399
1,6366
9,1960
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Obr. 22.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1)-GRJ(2)-GARCH(1,1) s
normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
frequency
400
300
200
100
0
-6
-3
0
3
6
Standardized residuals
9
Příloha č.23 Analýza fondu KBC Renta
Tab. 23.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-ARCH(1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
4,04E-05
0,026156
1,56E-07
0,062790
0,042173
t-test
p-hodnota
φ0
0,000183
4,533102
φ1
0,225990
8,639979
ω
1,93E-06
12,41826
α1
0,313960
5,000161
v1
0,981319
23,26865
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 23.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
4,03E-05
0,026925
2,37E-07
0,061919
0,101963
0,042311
t-test
p-hodnota
φ0
0,000185
4,585576
φ1
0,224948
8,354741
ω
1,14E-06
4,813282
α1
0,319922
5,166743
β1
0,298092
2,923521
v1
0,991406
23,43116
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0035
0,0000
Tab. 23.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
4,11E-05
0,026546
1,390312
0,074010
0,049161
0,106151
0,045853
t-test
p-hodnota
φ0
0,000195
4,740167
φ1
0,236325
8,902569
ω
-5,747357
-4,133862
α1
0,466551
6,303894
γ1
0,084673
1,722352
β1
0,581454
5,477590
v1
1,004245
21,90156
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0850
0,0000
0,0000
Tab. 23.4 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
4,08E-05
0,026396
2,58E-07
0,087377
0,104782
0,108892
0,046091
t-test
p-hodnota
φ0
0,000191
4,670240
φ1
0,224741
8,514316
ω
1,35E-06
5,222834
α1
0,442020
5,058748
γ1
-0,288443
-2,752782
β1
0,227340
2,087754
v1
0,997743
21,64704
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0059
0,0368
0,0000
Tab. 23.5 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu AR(1)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
-1,47826
0,1393
-0,0429347
0,9657
21,6898
0,0000
388,2800
0,0000
Obr. 23.1 ACF a PACF modelu AR(1)EGARCH(1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky, hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti
Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 23.2 AR(1)-EGARCH(1,1) s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Tab. 23.6 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení
modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Hypotetické
rozdělení (parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (3,48)
GED (1,00)
Normální
Studentovo t
GED
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0750
0,1052
0,0425
0,0000
0,0000
0,2525
Obr. 23.3 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky
350
Series: Standardized Residuals
Sample 1/03/2001 12/30/2005
Observations 1144
300
250
200
150
100
50
0
-4
-2
0
2
4
6
8
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.015971
-0.043950
8.374914
-4.745076
1.000477
0.537300
10.44369
Jarque-Bera
Probability
2696.184
0.000000
Obr. 23.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a
GED rozdělení s 1,004245 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)EGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 3,476410 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
15
20
15
TDIST_KBC
GED_KBC
10
5
10
5
0
0
-5
-5
-10
-5
0
5
10
15
-5
RESID_EGRACH_GED
0
5
10
15
RESID_EGARCH_T
Obr. 23.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením
a normovaného normálního rozdělení
Theoretical Quantile-Quantile
10
8
Normal Quantile
6
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
RESID_EGARCH_N
Obr. 23.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a
histogram GED rozdělení s 1,004245 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu
AR(1,8)-EGARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,476410 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
Histogram for standardized residuals
490
580
380
frequency
frequency
290
90
110
180
20
220
310
420
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
-11
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Tab. 23.7 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s
normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Laplace
2 3033,12 36,3483
0,0349*** 0,0502*** 0,2486*** 0,1887*** 1,5016***
Exponential Power
3 3034,88 36,7657
0,0326*** 0,0469*** 0,2265*** 0,1707*** 1,4068***
Loglogistic (3-Par.)
3 3061,18 63,6344
0,0386**
0,0656
0,3329*** 0,3329
2,2886**
Generalized Logistic 3 3062,7 62,7232
0,0406*
0,0651
0,3382*** 0,3324
2,2819***
Student's t
1 3143,72 141,2590
0,0814
0,1624
3,1399
3,0932
19,1437
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Obr. 23.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1)-EGARCH(1,1) s normálním
rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
500
frequency
400
300
200
100
0
-7
-4
-1
2
5
Standardized residuals
8
11
Příloha č.24 Analýza fondu IKS Dluhopisový
Tab. 24.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-ARCH(1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
3,20E-05
0,026872
0,019684
9,28E-08
0,082750
0,054696
t-test
p-hodnota
φ0
0,000205
6,405177
φ1
0,122760
4,568342
φ8
0,074641
3,792040
ω
1,21E-06
13,01405
α1
0,345319
4,173020
v1
1,033662
18,89845
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0001
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 24.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
3,10E-05
0,025291
0,022472
2,61E-08
0,032287
0,033565
0,051469
t-test
p-hodnota
φ0
0,000198
6,378094
φ1
0,124079
4,906000
φ8
0,072975
3,247347
ω
7,12E-08
2,728963
α1
0,147078
4,555389
β1
0,826938
24,63658
v1
1,055005
20,49776
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0012
0,0064
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 24.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
3,03E-05
0,025608
0,022520
0,267525
0,049565
0,026320
0,018702
0,052294
t-test
p-hodnota
φ0
0,000191
6,320540
φ1
0,123705
4,830743
φ8
0,066526
2,954132
ω
-0,934916
-3,494682
α1
0,295663
5,965114
γ1
-0,001204
-0,045751
β1
0,946202
50,59453
v1
1,078079
20,61592
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0031
0,0005
0,0000
0,9635
0,0000
0,0000
Tab. 24.4 Odhadnuté parametry modelu AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
3,11E-05
0,025303
0,022418
2,76E-08
0,037140
0,043283
0,034802
0,051725
t-test
p-hodnota
φ0
0,000197
6,317514
φ1
0,124428
4,917472
φ8
0,073001
3,256357
ω
7,53E-08
2,726251
α1
0,134039
3,609075
γ1
0,029374
0,678664
β1
0,823118
23,65117
v1
1,054672
20,39007
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0011
0,0064
0,0003
0,4974
0,0000
0,0000
Tab. 24.5 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu AR(1,8)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
0,3204
0,7487
-4,6019
0,0000
3,5352
0,0004
49,2860
0,0000
Obr. 24.1 Funkce NIC modelu AR(1,8)-GARCH(1,1) a modelu AR(1,8)-GRJ-GARCH(1,1) s GED
rozdělením nesystematické složky
0,00001
0,000009
0,000008
0,000007
0,000006
0,000005
0,000004
0,000003
0,000002
NIC GARCH
0,000001
NIC GRJ
0
-0,01
-0,008
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
εt
Obr. 24.2 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a
GED rozdělení s 1,078079 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)EGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 3,927485 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
6
8
TDIST_DLUHOPISOVY
GED_DLUHOPISOVY
4
2
0
-2
-4
-6
4
0
-4
-8
-12
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
-4
RESID_DLUHOPISOVY_GED
-2
0
2
4
6
RESID_DLUHOPISOVY_T
Tab. 24.6 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení
modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení (parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (3,93)
GED (1,08)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0549
0,0899
0,0413
0,0012
0,0000
0,2456
Obr. 24.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s normálním
rozdělením a normovaného normálního rozdělení
Theoretical Quantile-Quantile
6
4
Normal Quantile
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
RESID_DLUHOPISOVY_N
Obr. 24.4 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a
histogram GED rozdělení s 1,078079 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu
AR(1,8)-EGARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,927485 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
300
560
200
360
100
frequency
frequency
Histogram for standardized residuals
0
100
160
40
240
200
440
300
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
-11
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Obr. 24.5 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky
320
Series: Standardized Residuals
Sample 1/18/2001 12/29/2005
Observations 1224
280
240
200
160
120
80
40
0
-6
-4
-2
0
2
4
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.003220
0.000340
4.823144
-5.704718
1.000598
0.040469
6.390640
Jarque-Bera
Probability
586.6525
0.000000
Obr. 24.6 ACF a PACF modelu AR(1,8)EGARCH(1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky, hodnoty testových
kritérií a odhady hladin významnosti
Ljungova-Boxova testu autokorelace
Obr. 24.7 AR(1,8)-EGARCH(1,1) s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin významnosti
Ljungova-Boxova testu autokorelace
Tab. 24.7 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s
normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Laplace
2 3300,22 42,8048
0,0364**
0,0539*
Exponential Power
3 3301,26 43,4144
0,0329*** 0,0476**
Loglogistic (3-Par.)
3 3322,98 67,5349
0,0351**
0,0610
Generalized Logistic 3 3324,28 65,1071
0,0380**
0,0616
Student's t
1 3418,62 154,805
0,0811
0,1622
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
0,2971*** 0,2313*
0,2564*** 0,1893*
0,2962*** 0,2957
0,3147*** 0,3101
3,39104
3,34396
AndersonDarling
A^2
1,7781***
1,6050***
2,1164**
2,1737**
20,9055
Obr. 24.8 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1,8)-EGARCH(1,1) s
normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
500
frequency
400
300
200
100
0
-7
-4
-1
2
5
Standardized residuals
8
11
Příloha č.25 Analýza fondu ING International Český fond
obligací
Tab. 25.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
4,51E-05
0,024735
0,024449
6,38E-08
0,024871
0,046315
0,059392
t-test
p-hodnota
φ0
0,000189
4,200753
φ1
0,218311
8,825939
φ4
0,066900
2,736322
ω
1,47E-07
2,299155
α1
0,086902
3,494124
β1
0,843402
18,21022
v1
1,174465
19,77472
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0062
0,0215
0,0005
0,0000
0,0000
Tab. 25.2 Odhadnuté parametry modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické
složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
4,44E-05
0,024303
0,024157
0,261536
0,035568
0,018794
0,019025
0,059990
t-test
p-hodnota
φ0
0,000184
4,141993
φ1
0,215139
8,852228
φ4
0,061934
2,563772
ω
-0,672010
-2,569478
α1
0,146103
4,107667
γ1
0,019660
1,046070
β1
0,957163
50,31152
v1
1,179312
19,65838
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0104
0,0102
0,0000
0,2955
0,0000
0,0000
Tab. 25.3 Odhadnuté parametry modelu AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
4,51E-05
0,024837
0,024462
6,73E-08
0,031150
0,034613
0,048634
0,059688
t-test
p-hodnota
φ0
0,000189
4,179700
φ1
0,218273
8,788343
φ4
0,067179
2,746246
ω
1,55E-07
2,306014
α1
0,087223
2,800080
γ1
0,005577
0,161133
β1
0,836428
17,19860
v1
1,174440
19,67636
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0000
0,0060
0,0211
0,0051
0,8720
0,0000
0,0000
Tab. 25.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu AR(1,4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
-1,29867
0,1941
-1,57511
0,1152
4,53802
0,0000
31,8966
0,0000
Tab. 25.5 Výsledky Kolmogorovova-Smirnovova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení
modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení (parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (4,92)
GED (1,18)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0528
0,0689
0,0493
0,0017
0,0050
0,0932
Obr. 25.1 Funkce NIC modelu AR(1,4)-GARCH(1,1) a modelu AR(1,4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED
rozdělením nesystematické složky
0,000008
0,000007
0,000006
0,000005
0,000004
0,000003
0,000002
NIC GARCH
0,000001
NIC GRJ
0
-0,01
-0,008
-0,006
-0,004
-0,002
0
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
εt
Obr. 25.2 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a
GED rozdělení s 1,179312 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)EGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 4,923303 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
6
8
6
4
4
TDIST_ING
GED_ING
2
0
-2
2
0
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-6
-4
-2
0
2
RESID_ING_OBL_GED
4
6
-6
-4
-2
0
2
RESID_ING_OBL_T
4
6
Obr. 25.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s normálním
rozdělením a normovaného normálního rozdělení
Theoretical Quantile-Quantile
6
4
Normal Quantile
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
RESID_ING_OBL_N
Obr. 25.4 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s GED rozdělením a
histogram GED rozdělení s 1,179312 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu
AR(1,4)-EGARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 4,923303 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
Histogram for standardized residuals
480
560
360
frequency
frequency
280
80
120
160
40
240
320
440
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
-11
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Obr. 25.5 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s normálním rozdělením nesystematické složky
320
Series: Standardized Residuals
Sample 1/10/2001 12/30/2005
Observations 1256
280
240
200
160
120
80
40
0
-4
-2
0
2
4
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
0.007964
-0.007381
5.398656
-4.869420
1.000591
-0.004368
5.158041
Jarque-Bera
Probability
243.7277
0.000000
Tab. 25.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s
normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Exponential Power
3 3480,28 10,4245*** 0,0149*** 0,0253*** 0,0284*** 0,0219*** 0,1882***
Laplace
2 3490,22 22,9966*** 0,0298*** 0,0427*** 0,1509*** 0,1274*** 0,9810***
Generalized Logistic 3 3493,32 19,0170*** 0,0254*** 0,0496*
0,1826*** 0,1826**
0,9158***
Loglogistic (3-Par.)
3 3493,70 18,6220*** 0,0261*** 0,0491*
0,1807*** 0,1807**
0,9075***
Student's t
1 3532,00 55,6327
0,0569
0,1015
1,3375
1,3319
7,5182
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Obr. 25.6 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(1,4)-EGARCH(1,1) s
normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
frequency
400
300
200
100
0
-7
-4
-1
2
5
Standardized residuals
8
Příloha č.26 Analýza fondu ISČS Sporoinvest
Tab. 26.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
6,14E-06
1,37E-09
0,010424
0,021578
0,038160
t-test
p-hodnota
φ0
9,83E-05
16,00122
ω
3,41E-09
2,482916
α1
0,038905
3,732206
β1
0,918592
42,57115
v1
1,099195
28,80472
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0130
0,0002
0,0000
0,0000
Tab. 26.2 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
6,13E-06
0,254727
0,025047
0,016371
0,015159
0,037535
t-test
p-hodnota
φ0
9,57E-05
15,60698
ω
-0,573156
-2,250082
α1
0,102994
4,111964
γ1
0,007389
0,451327
β1
0,969521
63,95780
v1
1,094612
29,16234
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0244
0,0000
0,6518
0,0000
0,0000
Tab. 26.3 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
6,15E-06
1,33E-09
0,017853
0,018113
0,021857
0,038342
t-test
p-hodnota
φ0
9,81E-05
15,95413
ω
3,27E-09
2,459055
α1
0,043153
2,417128
γ1
-0,008850
-0,488629
β1
0,920418
42,11085
v1
1,099443
28,67472
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0139
0,0156
0,6251
0,0000
0,0000
Tab. 26.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
2,4798
0,0131
-2,7012
0,0069
0,148119
0,8822
12,8225
0,0050
Tab. 26.5 Výsledky Kolmogorovova-Smirnovova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení
modelu GARCH(1,1) s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení (parametry
rozdělení)
Studentovo t (3,77)
GED (1,10)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,1122
0,0605
0,0000
0,0197
Obr. 26.1 ACF a PACF modelu
GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu s GED rozdělením nesystematické
složky, hodnoty testových kritérií a
odhady hladin významnosti LjungovaBoxova testu autokorelace
Obr. 26.2 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu GARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 26.3 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram
GED rozdělení s 1,099195 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1)
s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,773493 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
12
4
8
TDIST_SPOROINVEST
GED_SPOROINVEST
Empirical Quantile-Quantile
6
2
0
-2
-4
-6
4
0
-4
-8
-12
-8
-10
-12
-8
-4
0
4
-16
-10
8
SPOROINVEST_RESID_GED
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
SPOROINVEST_RESID_T
Obr. 26.4 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram
GED rozdělení s 1,099195 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1)
s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,773493 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
Histogram for standardized residuals
470
580
380
frequency
frequency
270
70
130
180
20
220
330
420
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
-11
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Příloha č.27 Analýza fondu KBC Multicash ČSOB CZK
Tab. 27.1 Odhadnuté parametry modelu AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
t-test
směrodatné
chyby odhadu
1,05E-051
11,30490
φ0
0,000119
1,06E-052
11,28489
0,0292071
3,059241
φ4
0,089353
0,0378102
2,363208
5,516717
0,0290811
φ5
0,160431
0,0369512
4,341750
0,0292161
3,935348
φ8
0,114973
0,0281912
4,078441
1) odhady metodou maximální věrohodnosti
2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti
Obr. 27.1 ACF a PACF modelu AR(4,5,8)
s normálním rozdělením nesystematické
složky, hodnoty testových kritérií a odhady
hladin významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
p-hodnota
0,0000
0,0000
0,0023
0,0183
0,0000
0,0000
0,0001
0,0000
Obr. 27.2 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu AR(4,5,8)
s normálním rozdělením nesystematické
složky, hodnoty testových kritérií a odhady
hladin významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 27.3 Histogram reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické složky modelu AR(4,5,8)
s normálním rozdělením nesystematické složky
600
Series: Residuals
Sample 2/14/2001 12/30/2005
Observations 1131
500
400
300
200
100
0
0.00000
0.00125
0.00250
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
1.25e-17
-1.96e-05
0.003374
-0.000839
0.000225
4.367917
56.85058
Jarque-Bera
Probability
140253.4
0.000000
Obr. 27.4 Q-Q graf reziduí modelu AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky a
normovaného normálního rozdělení
Theoretical Quantile-Quantile
20
Normal Quantile
16
12
8
4
0
-4
-8
-.001
.000
.001
.002
.003
.004
RESID_AR
Tab. 27.2Testy shody rozdělení pro rezidua AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Laplace
2 -16331,1 27,3002
0,0451*
0,0762
Loglogistic (3-Par.)
3 -16317,0 52,0980
0,0566
0,0991
Exponential Power
3 -16300,6 37,5734
0,0833
0,1119
Generalized Logistic 3 -16238,2 90,8273
0,0791
0,1227
Student's t
1 2080,64 0,4997
0,9983
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
0,4290*
0,3594
0,7554
0,7554
2,2529
1,3140
1,9768
1,5696
94,202
94,2024
AndersonDarling
A^2
3,8213*
4,5594
10,590
10,2848
436,7090
Obr. 27.5 Histogram rozdělení reziduí modelu AR(4,5,8) s normálním rozdělením nesystematické
složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
frequency
800
600
400
200
0
-11
-1
9
19
29
Standardized residuals
39
(X 0,0001)
Příloha č.28 Analýza fondu Pioneer Sporokonto
Tab. 28.1 Odhadnuté parametry modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické
složky
Parametr
φ0
φ2
φ4
φ5
φ20
ω
α1
β1
v1
Odhad
7,28E-05
0,061731
0,087910
0,167989
0,081367
3,45E-10
0,063849
0,942117
2,741336
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
5,68E-06
0,023283
0,022599
0,022177
0,020707
1,39E-10
0,016171
0,008564
0,214764
t-test
p-hodnota
12,83161
2,651339
3,890068
7,575027
3,929328
2,488126
3,948286
110,0145
12,76441
0,0000
0,0080
0,0001
0,0000
0,0001
0,0128
0,0001
0,0000
0,0000
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
Tab. 28.2 Odhadnuté parametry modelu AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s podmíněnou směrodatnou
odchylkou v úrovňovém modelu a t rozdělením nesystematické složky
Parametr
φ0
φ2
φ4
φ5
φ20
λ
ω
α1
β1
v1
Odhad
5,60E-05
0,048520
0,074848
0,157816
0,073599
0,157143
2,79E-10
0,059906
0,945491
2,760140
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
7,63E-06
0,023438
0,022610
0,022295
0,020853
0,049083
1,16E-10
0,014429
0,007558
0,216873
t-test
p-hodnota
7,341340
2,070176
3,310470
7,078496
3,529497
3,201589
2,415800
4,151679
125,1023
12,72701
0,0000
0,0384
0,0009
0,0000
0,0004
0,0014
0,0157
0,0000
0,0000
0,0000
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
Tab. 28.3 Odhadnuté parametry modelu AR(2,4,5,20)-GRJ-GARCH s t rozdělením nesystematické
složky
Parametr
φ0
φ2
φ4
φ5
φ20
ω
α1
γ1
β1
v1
Odhad
7,27E-05
0,062092
0,088312
0,168206
0,081516
3,43E-10
0,062601
0,003711
0,941931
2,742793
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
5,69E-06
0,023296
0,022607
0,022179
0,020712
1,41E-10
0,018515
0,019953
0,008640
0,214958
t-test
p-hodnota
12,77385
2,665376
3,906486
7,583979
3,935613
2,436379
3,381172
0,186005
109,0149
12,75965
0,0000
0,0077
0,0001
0,0000
0,0001
0,0148
0,0007
0,8524
0,0000
0,0000
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
Tab. 28.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
2,4798
0,0131
-2,7012
0,0069
0,148119
0,8822
12,8225
0,0050
Tab. 28.5 Odhadnuté parametry modelu AR(2,4,5,20)-EGARCH s t rozdělením nesystematické složky
Parametr
φ0
φ2
φ4
φ5
φ20
ω
α1
γ1
β1
v1
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
5,68E-06
0,023440
0,022863
0,021981
0,020182
0,084645
0,029029
0,016205
0,004610
0,218627
7,18E-05
0,058022
0,084054
0,167619
0,080215
-0,315767
0,181683
-0,017400
0,987729
2,753682
t-test
p-hodnota
12,65236
2,475318
3,676383
7,625786
3,974617
-3,730491
6,258765
-1,073711
214,2446
12,59535
0,0000
0,0133
0,0002
0,0000
0,0001
0,0002
0,0000
0,2830
0,0000
0,0000
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
Obr. 28.1 Q-Q graf standardizovaných
reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCHM(1,1) s t rozdělením a t rozdělení
s 2,760140 stupni volnosti
Obr. 28.2 Histogram standardizovaných reziduí
modelu AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t rozdělením
a histogram t rozdělení s 2,760140 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
Empirical Quantile-Quantile
20
600
400
frequency
TDIST_RSPOR
10
0
-10
200
0
200
400
-20
600
-30
-15
-11
-10
-5
0
5
10
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
RESID01
Obr. 28.3 Q-Q graf standardizovaných
reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s
t rozdělením a t rozdělení s 2,753682 stupni
volnosti
Obr. 28.4 Histogram standardizovaných reziduí
modelu AR(2,4,5,20)-GARCH(1,1) s t rozdělením a
histogram t rozdělení s 2,753682 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
Empirical Quantile-Quantile
20
600
400
frequency
TDIST_RSPOR
10
0
-10
200
0
200
400
-20
600
-30
-15
-11
-10
-5
0
RESID_GARCH_T
5
10
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Obr. 28.5 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t rozdělením
nesystematické složky
600
Series: Standardized Residuals
Sample 2/02/2001 12/30/2005
Observations 1203
500
400
300
200
100
0
-15
-10
-5
0
5
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.036342
-0.078497
9.032277
-14.03710
1.042159
-2.220719
47.51675
Jarque-Bera
Probability
100323.6
0.000000
10
Tab. 28.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rezidua AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t
rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Laplace
2 -1444,36 33,0355
0,0493
0,0563*
Exponential Power
3 -1444,37 33,0687
0,0495
0,0564*
Generalized Logistic 3 -1492,91 77,7940
0,0551
0,1092
Loglogistic (3-Par.)
3 -1493,9 52,6104
0,0535
0,1059
Student's t
1 -1575,87 147,3290
0,1197
0,2341
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
0,3687**
0,2009*
0,0001*** 1,0691
1,0674
1,0219
1,0217
7,7867
7,6147
AndersonDarling
A^2
3,1048*
6,7803
6,3851
45,394
Obr. 28.6 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(2,4,5,20)-GARCH-M(1,1) s t
rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
1000
frequency
800
600
400
200
0
-16
-6
4
14
Standardized residuals
24
Příloha č.29 Analýza akcií ČEZ
Tab. 29.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000414
8,32E-06
0,028870
0,034181
0,041527
t-test
p-hodnota
φ0
0,002259
5,453806
ω
2,31E-05
2,773037
α1
0,121260
4,200177
β1
0,824338
24,11677
v1
1,168328
28,13385
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0056
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 29.2 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000419
9,50E-06
0,034240
0,046650
0,036857
0,044723
t-test
p-hodnota
φ0
0,002199
5,253543
ω
2,86E-05
3,009368
α1
0,089122
2,602887
γ1
0,065638
1,407023
β1
0,805941
21,86655
v1
1,172621
26,21980
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0026
0,0092
0,1594
0,0000
0,0000
Tab. 29.3 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000419
0,243352
0,048699
0,029807
0,029035
0,045509
t-test
p-hodnota
φ0
0,002222
5,299537
ω
-0,894768
-3,676854
α1
0,243016
4,990146
γ1
-0,056454
-1,894019
β1
0,910570
31,36063
v1
1,182712
25,98848
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0000
0,0002
0,0000
0,0582
0,0000
0,0000
Tab. 29.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
1,93917
0,0525
-4,56706
0,0000
0,18864
0,8504
24,0794
0,0000
Tab. 29.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení
modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení
(parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (4,93)
GED (1,16)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0534
0,0779
0,0265
0,0015
0,0009
0,7708
Obr. 29.1 ACF a PACF modelu GARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 29.2 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu GARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 29.3 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH (1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky
0,0015
0,0013
0,0011
0,0009
0,0007
0,0005
0,0003
NIC GARCH
0,0001
NIC GRJ
-0,0001-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
εt
Obr. 29.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED
rozdělení s 1,168328 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s t
rozdělením a t rozdělení s 4,937872 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
8
10
6
5
TDIST_RCEZ
GED_RCEZ
4
2
0
-2
-4
0
-5
-6
-8
-10
-8
-4
0
4
RTEL_RESID_GED
8
-8
-4
0
RTEL_RESID_T
4
8
Obr. 29.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s normálním rozdělením a
normovaného normálního rozdělení
Theoretical Quantile-Quantile
4
2
Normal Quantile
0
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-12 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
RESID_CEZ_N
Obr. 29.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram
GED rozdělení s 1,168328 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1)
s t rozdělením a histogram t rozdělení s 4,937872 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
Histogram for standardized residuals
270
370
frequency
570
frequency
470
70
130
170
30
230
330
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
430
-11
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Obr. 29.7 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením
nesystematické složky
300
Series: Standardized Residuals
Sample 1/03/2001 12/30/2005
Observations 1255
250
200
150
100
50
0
-10.0
-7.5
-5.0
-2.5
0.0
2.5
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.037360
-0.005186
3.235799
-10.35456
0.998555
-1.080652
12.76250
Jarque-Bera
Probability
5227.997
0.000000
Tab. 29.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou
v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
Kolmogorov V
Von Mises U^2
-Smirnov D
W^2
Generalized Logistic
3
0,04745*** 0,1262***
0,1256***
3423,52 2,4416*** 0,0247***
Exponential Power
3
0,0155***
0,02912*** 0,0001***
3425,14 4,6628**
Loglogistic (3-Parameter) 3
0,0246***
0,0434***
0,1471***
0,1471***
3432,3 6,1277*
Laplace
2
0,0272***
0,0504*
0,1899***
0,1715*
3433,2 1,4785**
Student's t
1
0,0598
0,1165
1,6955
1,6578
3479,38 19,0079
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
AndersonDarling
A^2
0,7730***
0,9656***
1,2641***
10,1234
Obr. 29.7 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s konstantou
v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností
vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
1200
frequency
1000
800
600
400
200
0
-13
-10
-7
-4
-1
2
Standardized residuals
5
Příloha č.30 Analýza akcií Unipetrol
Tab. 30.1 Odhadnuté parametry modelu AR(1)-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s
normálním rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
t-test
směrodatné
chyby odhadu
0,0005501
2,557123
φ0
0,001407
0,0005102
2,760278
1,657424
0,0297581
φ1
0,049322
0,0479822
1,027923
2,25E-061
7,675523
ω
1,73E-05
6,72E-062
2,571985
11,32744
0,0141371
α1
0,160139
4,323865
0,0370362
0,0127641
65,10949
β1
0,831053
0,0314802
26,39927
1) odhady metodou maximální věrohodnosti
2) odhady quasi metodou maximální věrohodnosti
Obr. 30.1 ACF a PACF modelu AR(1)GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu s t rozdělením nesystematické složky,
hodnoty testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
p-hodnota
0,0106
0,0058
0,0974
0,3040
0,0000
0,0101
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
Obr. 30.2 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu AR(1)GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu s t rozdělením nesystematické složky,
hodnoty testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 30.3 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu AR(1)-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením
nesystematické složky
360
Series: Standardized Residuals
Sample 1/04/2001 12/30/2005
Observations 1254
320
280
240
200
160
120
80
40
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.020958
-0.022749
7.405197
-7.321412
1.000363
-0.288401
10.71747
Jarque-Bera
Probability
3129.359
0.000000
Tab. 30.2 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou
v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Laplace
3 3268,62 4,9637*** 0,0174*** 0,0293*** 0,0432*** 0,0393*** 0,4136***
Exponential Power
3 3271,00 5,2993**
0,0186*** 0,0340*** 0,0718*** 0,0625*** 0,4966***
Generalized Logistic 3 3337,16 24,5393
0,0452*
0,0887
0,7149*
0,7126
4,0663
Loglogistic (3-Par.)
2 3341,44 31,5564
0,0441*
0,0880
0,7002*
0,7001
3,9259
Student's t
1 3436,24 46,5460
0,0845
0,1627
4,1800
4,1565
23,8980
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Obr. 30.4 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s konstantou
v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností
vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
1500
frequency
1200
900
600
300
0
-9
-6
-3
0
3
6
Standardized residuals
9
Příloha č.31 Analýza akcií Komerční banka
Tab. 31.1 Odhadnuté parametry modelu AR(4)-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a t
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000533
0,027774
1,29E-05
0,032041
0,051357
1,064678
t-test
p-hodnota
φ0
0,001316
2,470073
φ4
0,089200
3,211609
ω
3,47E-05
2,699978
α1
0,123109
3,842192
β1
0,792407
15,42949
v1
6,485694
6,091695
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0135
0,0013
0,0069
0,0001
0,0000
0,0000
Tab. 31.2 Odhadnuté parametry modelu AR(4)-EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a t
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000531
0,027871
0,254907
0,049599
0,028884
0,029881
1,206057
t-test
p-hodnota
φ0
0,000841
1,583842
φ4
0,087287
3,131845
ω
-0,908296
-3,563248
α1
0,211762
4,269463
γ1
-0,109201
-3,780740
β1
0,905876
30,31592
v1
6,992088
5,797477
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,1132
0,0017
0,0004
0,0000
0,0002
0,0000
0,0000
Tab. 31.3 Odhadnuté parametry modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu
s t rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000537
0,027556
1,28E-05
0,029044
0,051929
0,050618
1,171873
t-test
p-hodnota
φ0
0,000965
1,796839
φ4
0,088475
3,210777
ω
4,11E-05
3,207972
α1
0,030121
1,037115
γ1
0,168470
3,244205
β1
0,782769
15,46437
v1
6,910096
5,896625
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,0724
0,0013
0,0013
0,2997
0,0012
0,0000
0,0000
Tab. 31.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu AR(4)-GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
1,2352
0,2168
-4,37422
0,0000
-0,1037
0,9174
22,6394
0,0000
Obr. 31.1 ACF a PACF modelu AR(4)-GRJGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu s t rozdělením nesystematické složky,
hodnoty testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 31.2 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu AR(4)-GRJGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém
modelu s t rozdělením nesystematické složky,
hodnoty testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 31.3 Funkce NIC modelu AR(4)-GARCH(1,1) a modelu AR(4)-GRJ-GARCH (1,1) s GED
rozdělením nesystematické složky
0,0015
0,0013
0,0011
0,0009
0,0007
0,0005
NIC GARCH
0,0003
NIC GRJ
0,0001
-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
εt
Tab. 31.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení
modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení
(parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (6,91)
GED (1,39)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0313
1,5698
0,8981
0,1696
0,0145
0,4000
Obr. 31.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením a
GED rozdělení s 1,391827 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJGARCH(1,1) s t rozdělením a t rozdělení s 6,910096 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
6
8
4
4
TDIST
GED
2
0
0
-4
-2
-8
-4
-6
-12
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
-4
-2
RESID
0
2
4
6
RESID
Obr. 31.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s normálním
rozdělením a normovaného normálního rozdělení
Theoretical Quantile-Quantile
6
Normal Quantile
4
2
0
-2
-4
-6
-6
-4
-2
0
2
4
6
RESID
Obr. 31.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s GED rozdělením
a histogram GED rozdělení s 1,391827 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu
AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s t rozdělením a histogram t rozdělení s 6,910096 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
310
310
210
210
110
110
frequency
frequency
Histogram for standardized residuals
10
90
190
10
90
190
290
290
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
-8
-5
-2
1
4
7
Histogram for t distribution
10
Obr. 31.7 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením
nesystematické složky
300
Series: Standardized Residuals
Sample 1/09/2001 12/30/2005
Observations 1251
250
200
150
100
50
0
-6
-4
-2
0
2
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.000420
-0.006684
5.106845
-5.689244
1.000910
-0.202217
5.074666
Jarque-Bera
Probability
232.8844
0.000000
4
Tab. 31.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Generalized Logistic 3 3502,8 7,4076**
0,0190*** 0,0298*** 0,0425*** 0,0381*** 0,3197***
Loglogistic (3-Par.)
3 3503,08 7,9462*
0,0169*** 0,0305*** 0,0384*** 0,0384*** 0,2951***
Exponential Power
3 3509,82 12,6866
0,0211*** 0,0320*** 0,0605*** 0,0569*** 0,5102***
Student's t
1 3524,6 29,4712
0,0363**
0,0649
0,554*
0,5508
3,8985
Laplace
2 3545,72 39,2828
0,0392*
0,0664
0,5049*
0,4910
3,2202*
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Obr. 31.8 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu AR(4)-GRJ-GARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty
pravděpodobností vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
1200
frequency
1000
800
600
400
200
0
-8
-4
0
4
Standardized residuals
8
Příloha č.32 Analýza akcií Český Telecom
Tab. 32.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000270
3,04E-07
0,025827
0,015961
0,042801
t-test
p-hodnota
φ0
2,08E-06
0,007729
ω
6,96E-07
2,292056
α1
0,180621
6,993503
β1
0,851116
53,32541
v1
1,085703
25,36618
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,9938
0,0219
0,0000
0,0000
0,0000
Tab. 32.2 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000284
4,42E-07
0,027757
0,050936
0,016276
0,042891
t-test
p-hodnota
φ0
6,39E-06
0,022515
ω
1,02E-06
2,316433
α1
0,147442
5,311804
γ1
0,090166
1,770157
β1
0,843783
51,84203
v1
1,103442
25,72639
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,9820
0,0205
0,0000
0,0767
0,0000
0,0000
Tab. 32.3 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000299
0,064455
0,035912
0,028956
0,006112
0,047413
t-test
p-hodnota
φ0
2,46E-06
0,008236
ω
-0,398974
-6,190007
α1
0,317123
8,830672
γ1
-0,043256
-1,493860
β1
0,978538
160,1126
v1
1,099015
23,17957
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,9934
0,0000
0,0000
0,1352
0,0000
0,0000
Tab. 32.3 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
-0,24112
0,8095
-3,65783
0,0003
4,09545
0,0000
43,2577
0,0000
Tab. 32.4 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení
modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení
(parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (3,91)
GED (1,08)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0641
0,0970
0,0346
0,0000
0,0000
0,4482
Obr. 32.1 ACF a PACF modelu GARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 32.2 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu GARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 32.3 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH (1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky
0,0015
0,0013
0,0011
0,0009
0,0007
NIC GARCH
0,0005
NIC GRJ
0,0003
-0,1
-0,08
-0,06
-0,04
-0,02
0
εt
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
Obr. 32.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED
rozdělení s 1,085703 stupni volnosti a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s t
rozdělením a t rozdělení s 3,908461 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
8
12
6
8
TDIST_RTEL
GED_RTEL
4
2
0
-2
4
0
-4
-4
-8
-6
-8
-12
-8
-4
0
4
8
-8
-4
RTEL_RESID_GED
0
4
8
RTEL_RESID_T
Obr. 32.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s normálním rozdělením a
normovaného normálního rozdělení
Theoretical Quantile-Quantile
8
6
Normal Quantile
4
2
0
-2
-4
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
RTEL_RESID_N
Obr. 32.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram
GED rozdělení s 1,085703 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1)
s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,908461 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
Histogram for standardized residuals
570
480
370
frequency
frequency
280
80
170
30
120
230
320
430
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
-11
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Obr. 32.7 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením
nesystematické složky
350
Series: Standardized Residuals
Sample 1/03/2001 12/30/2005
Observations 1255
300
250
200
150
100
50
0
-6
-4
-2
0
2
4
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.008592
-0.026433
5.827912
-7.443858
0.998710
0.051135
8.797154
Jarque-Bera
Probability
1757.913
0.000000
6
Tab. 32.5 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou
v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
CramerWatson
AndersonKolmogorov V
Von Mises U^2
Darling
-Smirnov D
W^2
A^2
Exponential Power
0,0201*** 0,0368*** 0,1098*** 0,1054*** 0,9755***
3 3381,48 24,0567
Laplace
0,0273*** 0,0494*
0,2098*** 0,2020*
1,4961***
2 3382,68 22,9108
Loglogistic (3-Par.)
0,0223*** 0,0404*** 0,1281*** 0,1281*** 1,0159***
3 3392,58 30,1498
Generalized Logistic 3 3393,3 37,9011
0,0233*** 0,0416*** 0,1347*** 0,1343*** 1,1021***
Student's t
83,6217
0,0710
0,1298
2,3645
2,3293
15,2693
1 3465,3
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
Obr. 32.8Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s konstantou
v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností
vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
1200
frequency
1000
800
600
400
200
0
-9
-5
-1
3
Standardized residuals
7
Příloha č.33 Analýza akcií Philip Morris
Tab. 33.1 Odhadnuté parametry modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000347
7,96E-06
0,025110
0,037663
0,039318
t-test
p-hodnota
φ0
-6,30E-08
-0,000182
ω
2,06E-05
2,586223
α1
0,083539
3,326934
β1
0,858606
22,79695
v1
0,989078
25,15616
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,9999
0,0097
0,0009
0,0000
0,0000
Tab. 33.2 Odhadnuté parametry modelu GRJ-GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000347
7,61E-06
0,027497
0,037479
0,036258
0,039956
t-test
p-hodnota
φ0
1,44E-06
0,004151
ω
2,04E-05
2,682937
α1
0,066623
2,422946
γ1
0,033043
0,881628
β1
0,858762
23,68444
v1
1,006675
25,19466
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,9967
0,0073
0,0154
0,3780
0,0000
0,0000
Tab. 33.3 Odhadnuté parametry modelu EGARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a GED
rozdělením nesystematické složky
Parametr
Odhad
Odhad
směrodatné
chyby odhadu
0,000339
0,205359
0,046248
0,028559
0,023452
0,040686
t-test
p-hodnota
φ0
1,01E-06
0,002994
ω
-0,616411
-3,001631
α1
0,196721
4,253631
γ1
-0,027198
-0,952345
β1
0,940707
40,11163
v1
0,997934
24,52777
1) v je parametr odpovídajícího rozdělení
0,9976
0,0027
0,0000
0,3409
0,0000
0,0000
Tab. 33.4 Výsledky testů podmíněné heteroskedasticity nelineárního typu založených na reziduích
modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením nesystematické složky
Typ testu
SB Test
NSB test
PSB test
Obecný test
testové kritérium p-hodnota
0,59145
0,5542
-3,84863
0,0001
0,33321
0,7390
18,5316
0,0003
Obr. 33.1 ACF a PACF modelu GARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 33.2 ACF a PACF druhých mocnin
nesystematické složky modelu GARCH(1,1)
s konstantou v úrovňovém modelu s GED
rozdělením nesystematické složky, hodnoty
testových kritérií a odhady hladin
významnosti Ljungova-Boxova testu
autokorelace
Obr. 33.3 Funkce NIC modelu GARCH(1,1) a modelu GRJ-GARCH (1,1) s GED rozdělením
nesystematické složky
0,0015
0,0013
0,0011
0,0009
0,0007
0,0005
NIC GARCH
0,0003
NIC GRJ
0,0001
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
εt
Tab. 33.5 Výsledky Kolmogorova-Smirnova testu shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení
modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu s alternativními rozděleními
Předpokládané
rozdělení modelu
Normální
Studentovo t
GED
Hypotetické
rozdělení
(parametry
rozdělení)
Normální (0;1)
Studentovo t (3,61)
GED (0,99)
KolmogorovSmirnovův test
p-hodnota
0,0704
0,1018
0,0498
0,0000
0,0000
0,0888
Obr. 33.4 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s normálním rozdělením a
normovaného normálního rozdělení a Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu
GARCH(1,1) se t rozdělením a t rozdělení s 3,610320 stupni volnosti
Theoretical Quantile-Quantile
Empirical Quantile-Quantile
6
10
4
5
0
TDIST_RPM
Normal Quantile
2
-2
-4
0
-5
-10
-6
-15
-8
-10
-20
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
-8
-6
RESID
-4
-2
0
2
4
6
RESID
Obr. 33.5 Q-Q graf standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a GED
rozdělení s 0,989078 stupni volnosti
Empirical Quantile-Quantile
6
4
GED_RPM
2
0
-2
-4
-6
-8
-10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
RESID
Obr. 33.6 Histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s GED rozdělením a histogram
GED rozdělení s 0,989078 stupni volnosti a histogram standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1)
s t rozdělením a histogram t rozdělení s 3,610320 stupni volnosti
Histogram for standardized residuals
480
550
280
350
frequency
frequency
Histogram for standardized residuals
80
120
150
50
250
320
-8
-4
0
4
Histogram for GED distribution
8
450
-11
-7
-3
1
5
Histogram for t distribution
9
Obr. 33.7 Histogram standardizovaných reziduí a Jarqueův-Berův test normality nesystematické
složky modelu GARCH(1,1) s konstantou v úrovňovém modelu a normálním rozdělením
nesystematické složky
400
Series: Standardized Residuals
Sample 1/03/2001 12/30/2005
Observations 1255
300
200
100
0
-8
-6
-4
-2
0
2
Mean
Median
Maximum
Minimum
Std. Dev.
Skewness
Kurtosis
-0.003575
-0.049065
4.427874
-7.762184
1.000318
-0.940584
10.89106
Jarque-Bera
Probability
3441.186
0.000000
4
Tab. 33.6 Testy shody rozdělení pro standardizovaná rozdělení modelu GARCH(1,1) s konstantou
v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky
Distribution
Par. AIC
Chi-squaredModified
Kuiper
Kolmogorov V
-Smirnov D
Laplace
2 3332,66 12,7666*
0,0410*
0,0465**
Exponential Power
3 3340,38 6,18114*** 0,0383*
0,0597
Generalized Logistic 3 3371,54 15,7452
0,0380**
0,0644
Loglogistic (3-Par)
3 3372
15,0607
0,0337*** 0,0656
Student's t
1 3449,92 58,2980
0,0780
0,1427
Testy shody rozdělení (*** P>0,1, ** P>0,05, * P>0,01)
CramerWatson
Von Mises U^2
W^2
0,5026*
0,1433**
0,1711*** 0,1712**
0,4135**
0,3741
0,3872**
0,3871
3,0136
3,0108
AndersonDarling
A^2
3,0159*
1,0527***
2,5563*
2,2943**
18,0848
Obr. 33.8 Histogram rozdělení standardizovaných reziduí modelu GARCH(1,1) s konstantou
v úrovňovém modelu a normálním rozdělením nesystematické složky a hustoty pravděpodobností
vybraných rozdělení
Histogram for Standardized residuals
Distribution
Exponential Power
Generalized Logistic
Laplace
Loglogistic (3-Parameter)
Student's t
1200
frequency
1000
800
600
400
200
0
-9
-5
-1
3
Standardized residuals
7