Numerické řešení transsonického proudění v mříži pomocí upwind

Transkript

České vysoké učení technické v Praze
Fakulta strojní
Diplomová práce
Numerické řešení transsonického proudění
v mříži pomocí upwind schématu na
nestrukturovaných sítích
Jiří Dobeš
2000
Praha
Vysoká škola: ČVUT v Praze 6, Technická 4
Ústav: technické matematiky
Fakulta: strojní
Školní rok: 1999/2000
ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE
(PROJEKTU, UMĚLECKÉHO DÍLA, UMĚLECKÉHO VÝKONU)
pro:
obor:
p.
Jiřího DOBEŠE
Aplikovaná mechanika
Název tématu:
Numerické řešení transsonického proudění v mříži pomocí upwind schématu na nestrukturovaných sítích
Pokyny pro vypracování:
1. Formulujte úlohu obtékání rovinné axiální a radiální mříže popsanou systémem Eulerových rovnic.
2. Vypracujte numerickou metodu řešení této úlohy založenou na použití obecné nestrukturované sítě konečných objemů a modifikovaného Roeho Riemann solveru 1. a 2. řádu
přesnosti včetně adaptace sítě. Odlaďte příslušné programy na dostupné výpočetní technice.
3. Ověřte numerické metody pro vybrané případy axiálních a radiálních mříží z technické
praxe.
4. Navrhněte vhodné rozšíření metody pro řešení vazkého transsonického proudění v mříži
s algebraickým modelem turbulence.
Rozsah grafických prací:
1. Zpracování výsledků numerického řešení.
2. Porovnání výsledků s jinými metodami a experimentem.
3. Dokumentovnání algoritmů adaptace sítě.
Rozsah práce: cca 40 stran textu.
Doporučená literatura:
1. Toro E. F.: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer
NY 1997.
2. Hirsch, Ch.: Numerical Computation of Internal and External Flow. J. Wiley 1993.
3. Sborníky z konferencí CFD dle doporučení vedoucího DP.
Vedoucí diplomové práce: Doc. Ing. Jaroslav Fořt, CSc.
Datum zadání diplomové práce:
Datum odevzdání diplomové práce:
.......................
Vedoucí ústavu U201
V Praze dne: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. 6. 2000
15. 12. 2000
.......................
Děkan
Pohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatně a uvedl jsem všechnu použitou
literaturu.
V Praze
12. prosince 2000
.......................
Jiří Dobeš
Obsah
Předmluva
v
Přehled užitého značení
1 Numerické metody typu upwind
1.1 Definice důležitých pojmů . . .
1.2 Lineární rovnice . . . . . . . . .
1.3 Nelineární rovnice . . . . . . .
1.4 TVD metody . . . . . . . . . .
1.5 Upwind metody . . . . . . . . .
vii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
3
5
6
2 Nevazké proudění ve 2D
2.1 Eulerovy rovnice v konzervativním tvaru . . . . . . .
2.2 Formulace úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Axiální lopatková mříž . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Radiální lopatková mříž . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Izoentropické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Numerické řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Bezrozměrný tvar Eulerových rovnic . . . . .
2.4.2 Metoda konečných objemů . . . . . . . . . .
2.4.3 2D Roeho aproximativní Riemann solver . .
2.4.4 Podmínka pro časový krok . . . . . . . . . . .
2.4.5 Numerická aproximace okrajových podmínek
2.5 Metoda vyššího řádu přesnosti . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Zvýšení řádu aproximace v prostoru . . . . .
2.5.2 Zvýšení řádu v čase . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Adaptace sítě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Adaptační kritéria . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 RG algoritmus adaptace . . . . . . . . . . . .
2.7 Numerické výsledky 1. řádu aproximace . . . . . . .
2.7.1 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 . . . . .
2.7.2 Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1 . . . . .
2.7.3 Radiální turbínová mříž . . . . . . . . . . . .
2.8 Numerické výsledky vyššího řádu aproximace . . . .
2.8.1 GAMM kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
9
11
11
11
12
12
13
14
17
17
18
18
20
20
21
22
23
23
25
25
28
28
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
ii
OBSAH
2.9
2.8.2 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050
Adaptace – numerické výsledky . . . . . . .
2.9.1 GAMM kanál . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Mříž DCA 8 % . . . . . . . . . . . .
2.9.3 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
28
31
31
31
31
3 Vazké proudění ve 2D
3.1 Navierovy-Stokesovy rovnice v konzervativním tvaru . . .
3.2 Formulace úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Zakřivený kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Numerické řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Bezrozměrný tvar Navierových-Stokesových rovnic
3.3.2 Metoda konečných objemů . . . . . . . . . . . . .
3.4 Numerické výsledky řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Zakřivený kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
37
37
38
38
38
38
40
41
41
42
4 Nevazké proudění ve 3D
4.1 Eulerovy rovnice v konzervativním tvaru . . . . . . .
4.2 Formulace úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Axiální statorová mříž . . . . . . . . . . . . .
4.3 Numerické řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Metoda konečných objemů . . . . . . . . . .
4.3.2 3D Riemann solver . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Numerická aproximace okrajových podmínek
4.4 Numerické výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
47
47
49
49
49
53
54
5 Algebraické modely turbulence
5.1 Reynoldsovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Základní algebraické modely . . . . . . . . . . .
5.2.1 Model Cebeciho a Smithe . . . . . . . .
5.2.2 Model Baldwina a Lomaxe . . . . . . .
5.2.3 Model Rostanda . . . . . . . . . . . . .
5.3 Model s diferenciální rovnicí . . . . . . . . . . .
5.3.1 Model Johnsona a Kinga . . . . . . . .
5.4 Rozšíření modelů na 3D . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Modifikace modelu Baldwina a Lomaxe
5.5 Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
59
61
61
63
65
66
66
69
70
71
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Závěr
73
Příloha
A
Některé používané matematické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B
Srovnání rychlostí některých počítačů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
75
76
Seznam obrázků
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
1. řád
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
10
11
11
13
14
19
21
23
24
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
Řešená oblast pro axiální lopatkové mříže . . . . . . . . . . . . . . . .
Řešená oblast pro radiální lopatkové mříže . . . . . . . . . . . . . . . .
Řešená oblast pro GAMM kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konečný objem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schéma k výpočtu f na hraně konečného objemu . . . . . . . . . . . .
Uspořádání pro obecnou síť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Algoritmus adaptace RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SE1050 – experiment ÚT ČSAV Ma2 = 1,18, α = 19,3◦ . . . . . . . . .
Turbínová mříž SE1050 – Ma2 = 1,18, α = 19,3◦ , 1. řád aproximace .
Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1, Ma1 = 0,6180, p2 /p1 = 1,1221,
aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Radiální turbínová mříž, 1. řád aproximace . . . . . . . . . . . . . . .
GAMM kanál Ma1 = 0,675 – výsledky 1. a vyššího řádu aproximace .
Turbínová mříž SE1050 – Ma2 = 1,18, α = 19,3◦ , vyšší řád aproximace
GAMM kanál Ma1 = 0,675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mříž DCA 8 % Ma1 = 0,946, 1. řád aproximace . . . . . . . . . . . . .
Turbínová mříž SE1050 – Ma2 = 1,18, α = 19,3◦ . 2x adaptovaná síť . .
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Konečný objem pro vazký výpočet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Řešená oblast pro vazké proudění v zakřiveném kanále . . . . . . . . . . . . .
Zakřivený kanál – výpočetní síť 6109 elementů. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zakřivený kanál – Izočáry Machova čísla pro různé hodnoty Reynoldsova čísla
Turbínová mříž SE1050 – síť pro vazký výpočet . . . . . . . . . . . . . . . . .
SE1050 vazký výpočet. Re = 2,6.105 , Ma2 = 1,204. . . . . . . . . . . . . . . .
37
39
42
43
44
45
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
Řešená oblast – 3D statorová mříž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Turbínová statorová mříž SE-3D1 – rozložení veličin na vstupu a výstupu . .
Turbínová statorová mříž SE-3D1 – pole Machova čísla . . . . . . . . . . . . .
Turbínová statorová mříž SE-3D1 – izočáry tlaku . . . . . . . . . . . . . . . .
Turbínová statorová mříž SE-3D1 – průběh Machova čísla na vstupu a výstupu
48
54
55
56
57
iii
26
27
29
30
32
33
35
iv
SEZNAM OBRÁZKŮ
Předmluva
Současný stav výpočtových metod v aerodynamice neumožňuje zachytit veškeré jevy, které
probíhají v tak složitých dějích, jako je proudění stlačitelných tekutin. Intenzivní rozvoj výpočetní techniky v posledních letech umožnil značný pokrok ve využití numerických metod
matematického modelování. Ověření nebo predikce vlastností lopatkových mříží, ke kterým je
tato práce nejvíce směrována, spolu s experimentálním měřením v aerodynamických tunelech
umožňuje lepší návrh a případnou lepší účinnost těchto energeticky velice důležitých zařízení.
Nedílnou součástí této diplomové práce je vyvinutí a naprogramování numerických metod.
Tyto numerické metody patří mezi moderní metody využitelné ve dvou a trojrozměrném proudění stlačitelných tekutin, zvláště při transsonických rychlostech a v uspořádání s komplexní
geometrií. Použití nestrukturované sítě s možností adaptace zvyšuje možnost přesnějšího zachycení probíhajících dějů.
Úvodní kapitola je věnována některým důležitým vlastnostem rovnic, které jsou podstatné
pro pochopení numerického řešení a objasnění chování tohoto řešení. Jsou zde věty týkající
se TVD vlastností, stability řešení atd.
Druhá a třetí kapitola se zabývá Eulerovými a Navierovými-Stokesovými rovnicemi, implementací řešení, diskretizací, zvýšením řádu přesnosti s ohledem na TVD vlastnosti atd.
Dále je detailně popsán způsob výpočtu v jednotlivých případech buněk. Jsou zde uvedeny
numerické výsledky a jejich srovnání s jinými dostupnými numerickými metodami a s experimentem.
Čtvrtá kapitola se týká řešení trojrozměrného proudění na nestrukturované síti. Bohužel
nebyl dostupný vhodný software pro generaci sítě, a tak je proudění řešeno na strukturované
síti, na kterou se ovšem v programu pohlíží jako na nestrukturovanou.
Pátá, závěrečná kapitola je věnována některým algebraickým modelům turbulence. Jsou
zde uvedeny modely Cebeciho a Smithe, úprava Baldwina a Lomaxe, úprava navržená Rostandem a model Johnsona a Kinga. Dále je uvažováno rozšíření na trojrozměrné případy geometrie a s tím i modifikace B-L modelu Yershovem a Rusanovem pro použití v lopatkových
strojích.
Na závěr bych chtěl poděkovat panu doc. Jaroslavu Fořtovi za obětavé odborné vedení mé
práce a veškerý čas, který mi věnoval. Panu prof. Karlu Kozlovi za podporu a za vytváření
výborných pracovních podmínek v našem ústavu a též spolupracovníkům, kteří mi pomáhali
při studiu a v odborné práci.
v
vi
PŘEDMLUVA
A
Ã
C1
C01
H
Ln
Ma
Pr
R
R
R
Re
S
a
c
cp
cv
e
f ,g,h
l
m
mi
p
r
t
(u,v,w)
v
w
(x,y,z)
Γ
Λ
Ω
α
γ
δ+
δ−
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
Jacobiho matice
Roeho matice
prostor funkcí se spojitými prvními derivacemi
prostor funkcí z C 1 s kompaktním nosičem
celková entalpie
prostor funkcí integrovatelných s n-tou mocninou
Machovo číslo
Prandtlovo číslo
měrná plynová konstanta
matice pravostranných vlastních vektorů Roeho matice
prostor reálných čísel
Reynoldsovo číslo
entropie
rychlost zvuku
charakteristický rozměr
měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku
měrná tepelná kapacita při konstantním objemu
energie vztažená na jednotku objemu (def. vztah (2.2))
vektory toků
délka hrany
vektor charakteristických proměnných
i-tá složka vektoru charakteristických proměnných
tlak
proměnná slope limiteru
čas
složky rychlosti v kartézské souřadné soustavě
vektor rychlosti v kartézské souřadné soustavě
vektor konzervativních proměnných
složky kartézského souřadného systému
hranice oblasti
matice vlastních čísel Roeho matice
kontrolní objem
úhel náběhu
adiabatický koeficient
operátor dopředné diference
operátor zpětné diference
vii
viii
η
λi
ρ
µ(Ω)
∂Ω
–
–
–
–
–
dynamická vazkost
i-té vlastní číslo Roeho matice
hustota
velikost oblasti Ω
hranice oblasti Ω
Horní indexy
˜· –
(tilda) veličina vážená odmocninou z hustoty
Dolní indexy
0
1
2
L
R
–
–
–
–
–
klidový stav
veličina na vstupu
veličina na výstupu
stav nalevo od rozhraní
stav napravo od rozhraní
Označení ke kapitole 5
F,G
M
R
R,S
Pr
Re
U ,V
T
W
W
a
c
cp
e
h
k
l
p
qx ,qy
u,v
uτ
t
(x,y)
δ
δ2
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
vektory toků v souřadné soustavě (x,y)
Machovo číslo
měrná plynová konstanta
vazké toky
Prandtlovo číslo
Reynoldsovo číslo
střední hodnoty rychlostí
teplota
vektor konzervativních proměnných
velikost rychlosti
rychlost zvuku
charakteristický rozměr
měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku
hustota energie
entropie
turbulentní kinetická energie
délkové měřítko
statický tlak
složky vektoru tepelného toku
složky rychlosti v souřadné soustavě (x,y)
třecí rychlost
čas
souřadný systém
tloušťka mezní vrstvy
impulzová tloušťka mezní vrstvy
ix
–
–
–
–
–
–
–
–
–
δW
γ
η
ν
κ
λ
τxx ,τxy ,τyy
ρ
ω
tloušťka mezní vrstvy v úplavu
adiabatický koeficient
dynamická vazkost
kinematická vazkost
Kármánova konstanta
součinitel tepelné vodivosti tekutiny
složky tenzoru napětí
hustota
vířivost
Horní indexy
∗
·
˜·
˜·
·0
·00
–
–
–
–
–
–
veličina zahrnující vazkost i turbulenci
střední hodnota v čase
střední hodnota vážená hustotou
fyzikální veličina
fluktuace k časové střední hodnotě
fluktuace ke střední hodnotě vážené hustotou
Dolní indexy
e
i
i
w
m, max
o
t
–
–
–
–
–
–
–
vnější hranice mezní vrstvy
složky v souřadné soustavě (x,y)
vnitřní oblast odpovídající nestlačitelnému proudění
stěna
maximální
vnější oblast
turbulentní
x
Kapitola 1
Numerické metody typu upwind
pro řešení hyperbolických rovnic
V této kapitole budou stručně nastíněny některé pojmy týkající se numerického řešení
diferenciálních rovnic. Nejprve se budeme věnovat lineárním skalárním případům pro více
prostorových proměnných. Definujeme některé základní pojmy (aproximace, stabilita) a uvedeme Laxovu větu týkající se konvergence. Dále budeme uvažovat nelineární skalární problémy
v jedné prostorové proměnné. Uvedeme některé další pojmy (konzistence, konzervativita) a
Laxovu-Wendroffovu větu, týkající se konvergence v nelineárním případě. Na závěr se zmíníme
o TVD metodách (do kterých patří v této práci vyvinutá metoda).
1.1
Definice důležitých pojmů
Uvažujme základní diferenciální úlohu ve tvaru
AU (x) − F (x) = 0,
BU (x) − Φ(x) = 0,
x = (x1 ,x2 , . . . ,xn ) ∈ Ω
x ∈ ∂Ω,
(1.1)
(1.2)
kde Ω je oblast řešení. Úloha je zapsána v operátorové formě – A je určitý diferenciální
operátor, operátor B vyjadřuje počáteční a okrajové podmínky.
Tuto úlohu (1.1) budeme numericky řešit na síti s krokem h, budeme řešit soustavu síťových rovnic
Ah uh (x) − fh (x) = 0,
Bh uh (x) − Φh (x) = 0,
x ∈ Ωh
(1.3)
x ∈ ∂Ωh ,
(1.4)
kde Ωh je množina síťových bodů. Označme dále
DhA (x) = (AU − F ) − (Ah uh − fh ),
DhB (x)
x ∈ Ωh
= (BU − Φ) − (Bh uh − Φh ),
x ∈ ∂Ωh .
(1.5)
(1.6)
Definice 1 (Aproximace) Diferenční úloha (1.3 – 1.4) aproximuje diferenciální úlohu (1.1
– 1.2) na jejím řešení u(x), jestliže
kDhA k → 0,
kDhB k → 0
(1.7)
při khk → 0.
1
2
KAPITOLA 1. NUMERICKÉ METODY TYPU UPWIND
Aproximace má řád p, jestliže
kAh U − fh k = O(hp )
(1.8)
p
kBh U − Φh k = O(h )
(1.9)
jestliže khk → 0.
Definice 2 (Stabilita) Diferenční úloha (1.3 – 1.4) je stabilní, jestliže je jednoznačně řešitelná a ke každému ε > 0 existuje δ(ε) > 0 (nezávislé na hi ) a h0 > 0 takové, že při
kf˜h − fh k < δ,
kΦ̃h − Φh k < δ
(1.10)
bude pro řešení ũh úlohy
Ah ũh (x) − f˜h (x) = 0,
Bh ũh (x) − Φ̃h (x) = 0,
x ∈ Ωh
(1.11)
x ∈ ∂Ωh
(1.12)
x ∈ Ωh
(1.13)
a úlohy
Ah uh (x) − fh (x) = 0,
Bh uh (x) − Φh (x) = 0,
x ∈ ∂Ωh
(1.14)
platit
(1.15)
kũh − uh k ≤ ε
pro všechna hi < h0 .
Definice 3 (Konvergence) Řešení diferenční úlohy (1.3 – 1.4) uk konverguje k řešení diferenciální úlohy (1.1 – 1.2) U , jestliže
kU − uh k → 0
pro khk → 0.
(1.16)
Jestliže při khk → 0 platí
kU − uh k → O(hp ),
(1.17)
řekneme, že diferenční řešení uh má řád konvergence rovný p.
1.2
Lineární rovnice
O konvergenci lineárních rovnic mluví Laxova věta:
Věta 1 (Lax) Řešení diferenční úlohy (1.3 – 1.4) uh konverguje k řešení lineární diferenciální úlohy (1.1 – 1.2) U , jestliže diferenční úloha (1.3 – 1.4) aproximuje diferenciální úlohu
(1.1 – 1.2) a je stabilní.
Tato věta nám dává možnost dokázat konvergenci řešení numerické metody pro lineární
úlohy. Pro nelineární případ je situace mnohem složitější.
1.3. Nelineární rovnice
1.3
3
Nelineární rovnice v jedné prostorové proměnné
Uvažujme nelineární úlohu s počátečními podmínkami
∂u ∂f (u)
+
= 0
∂t
∂x
u|t=0 = u0 ,
(1.18)
(1.19)
kde f ∈ C 1 (R), u0 ∈ C 1 (R).
Definice 4 (Klasické řešení) Funkce u ∈ C 1 (R × R+ ) splňující pro každé x ∈ R a t ∈ R+
rovnici (1.18) a pro každé x ∈ R vztah
lim u(x,t) = u0 (x)
(1.20)
t→0+
se nazývá klasické řešení úlohy (1.18 – 1.19).
Bohužel u nelineárních rovnic klasické řešení často neexistuje. Proto je třeba zavést pojem
slabé řešení a v další části budeme vždy uvažovat slabé řešení.
Definice 5 (Slabé řešení) Nechť f ∈ L∞ (R) a u0 ∈ L∞ (R). Funkce u ∈ L∞ (R × R+ ) se
nazývá slabé řešení úlohy (1.18 – 1.19), jestliže pro každou testovací funkci φ ∈ C 01 (R × R+ )
s kompaktním nosičem vyhovuje rovnici
Z
Z
Z
∂φ
∂φ
φ(x,0)u0 (x) dx
(1.21)
u dx dt +
f (u) dx dt =
R×R+ ∂t
R×R+ ∂x
R
Teď uvedeme Laxovu-Wendroffovu větu, která mluví o konvergenci nelineárních úloh pro
skalární rovnice. K tomu budeme potřebovat zavést ještě několik pojmů.
Definice 6 (Konzervativní tvar) Řekneme, že metoda je v konzervativním tvaru, jestliže
existuje funkce F p + q + 1 proměnných taková, že
Uin+1 = Uin −
¤
∆t £
n
n
n
n
n
n
F (Ui−p
,Ui−p+1
, . . . ,Ui+q
) − F (Ui−p−1
,Ui−p
, . . . ,Ui+q−1
)
∆x
(1.22)
Funkci F nazveme numerickým tokem.
Definice 7 (Konzistence) Metodu (1.22) nazveme konzistentní s původním zákonem zachování (1.18 – 1.19) jestliže
F (u,u, . . . ,u) = f (u),
(1.23)
∀u.
Definice 8 (Lipschitzovská spojitost numerického toku) Řekněme, že F je lipschitzovn ,U n
n
ská v bodě u, jestliže existuje konstanta K ≥ 0 taková, že pro všechna Ui−p
i−p+1 , . . . ,Ui+q
dostatečně blízká u platí
n
n
|F (Ui−p
, . . . ,Ui+q
) − f (u)| ≤ K
max kUi+j − uk
−p≤j≤q
Řekneme, že F je lipschitzovsky spojitá, je-li lipschitzovská v každém bodě.
(1.24)
4
Definice 9 (Totální variace) Totální variací T V (u) funkce u(x) nazveme číslo
T V (u) = sup
N
X
j=1
|u(ξj ) − u(ξj−1 )|,
(1.25)
když supremum provádíme přes všechna dělení reálné osy −∞ < ξ0 < ξ1 < . . . < ξn < ∞.
Věta 2 (Lax-Wendroff ) Nechť je dána posloupnost sítí s indexy l = 1,2, . . . a se síťovými
parametry ∆tl ,∆xl → 0 pro l → ∞. Označme Ul (x,t) numerické řešení získané pomocí
konzistentní konzervativní metody na l-té síti. Nechť Ul konverguje k funkci u pro l → ∞
v tomto smyslu:
1. pro každou množinu ha,bi × h0,T i v rovině x-t platí
ZT Zb
0
a
|Ul (x,t) − u(x,t)| dx dt → 0
pro l → ∞,
(1.26)
l = 1,2, . . .
(1.27)
2. pro každé T existuje R > 0 tak, že
T V (Ul (.,t)) < R
pro ∀t ∈ h0,T i,
Pak u(x,t) je slabé řešení zákona zachování.
Laxova-Wendroffova věta nám říká, že pokud metoda konverguje, tak konverguje ke slabému řešení. Neříká však, kdy konverguje. K tomu je potřeba ještě určitá forma stability –
TV-stabilita.
Definujme ještě totální variaci funkce dvou proměnných:
Definice 10 (Totální variace funkce u(x,t)) Totální variace funkce u(x,t) je číslo
1
T VT (u) = lim sup
ε→0
ε
1
+ lim sup
ε→0
ε
+∞
ZT Z
|u(x + ε,t) − u(x,t)| dx dt +
(1.28)
0 −∞
+∞
ZT Z
|u(x,t + ε) − u(x,t)| dx dt.
0 −∞
Definice 11 (TV-stabilita) Numerická metoda je TV-stabilní, jestliže všechny aproximace
U∆t pro ∆t < ∆t0 leží v pevné množině
K = {u ∈ L∞ : T VT (u|R×h0,T i ) ≤ R a supp(u(·,t)) ⊂ h−M ,M i
∀t ∈ h0,T i},
(1.29)
kde R,M ∈ R nezávisí na ∆t.
Pomocí této definice se ovšem TV-stabilita ověřuje obtížně. Je však možné užít následující
větu.
1.4. TVD metody
5
Věta 3 Nechť je dána numerická metoda s konzervativním numerickým tokem F . Nechť pro
každá počáteční data u0 existují ∆t0 ,R > 0 tak, že
T V (U n ) ≤ R
∀n,∆t,∆t0 < t0 ,
n∆t ≤ T.
(1.30)
Pak je metoda TV-stabilní.
Věta 4 Nechť U∆t je řešení, získané numerickou metodou v konzervativním tvaru s lipschitzovsky spojitým numerickým tokem, konzistentní s nějakým skalárním zákonem zachování.
Nechť je metoda TV-stabilní. Pak metoda konverguje pro ∆t → 0 ke slabému řešení problému
(1.18 – 1.19).
Nyní jsme schopni u skalárních metod určit konvergenci ke slabému řešení úlohy (1.18
– 1.19). Slabé řešení však nebývá jednoznačné. Hledáme proto řešení, které odpovídá fyzikálnímu významu rovnice (1.18 – 1.19), t.j. řešení, při němž neklesá entropie. Toto fyzikální
řešení lze získat jako limitní případ řešení uε pro lim ε → 0 modifikované rovnice
∂u ∂f (u)
+
= εuxx .
∂t
∂x
(1.31)
Tuto rovnici parabolického typu můžeme ve shodě s jejím fyzikálním významem nazývat
rovnicí konvekce – difuze (rovnicí vazkého problému) (viz. Le Veque 1990 [15]).
Poznámka 1 Matematický pojem „entropické slabé řešeníÿ lze obecně zavést pomocí nerovnice pro entropickou dvojici (viz. např. Le Veque 1990 [15]).
1.4
TVD metody
Jeden ze způsobů, jak zajistit TV–stabilitu je požadavek, aby totální variace s časem
nenarůstala.
Definice 12 (TVD metoda) Numerickou metodu Uin+1 = H(U n ; i) nazveme TVD (Total
Variation Diminishing) metodou, jestliže platí
T V (U n+1 ) ≤ T V (U n )
(1.32)
pro všechny síťové funkce U n .
TVD metody obecně nekonvergují k entropickému řešení, ale existuje podtřída TVD metod tzv. monotónní metody, které k němu konvergují.
Definice 13 (Monotónní metody) Numerickou metodu Uin+1 = H(U n ; i) nazveme monotónní metodou, jestliže
(∀i : uni ≥ vin ) ⇒ (∀i : H(un ; i) ≥ H(v n ; i))
(1.33)
pro všechny síťové funkce U n .
Poznámka 2 Monotónní metoda Uin+1 = H(U n ; i) je metoda, pro kterou platí:
Jestliže pro libovolné dvě síťové funkce u a v, pro které platí ui ≥ vi pro všechna i, platí
také H(un ; i) ≥ H(v n ; i), pak je metoda monotónní.
6
Věta 5 Nechť u0 ∈ L1 (R)∩L∞ (R) a un+1
= H(U n ; i) je monotónní metoda v konzervativním
i
tvaru s konzistentním a lipschitzovsky spojitým numerickým tokem. Potom numerické řešení
konverguje k entropickému řešení problému (1.18 – 1.19), když ∆x,∆t → 0.
Věta 6 Monotónní metody jsou maximálně prvního řádu přesnosti.
Cíl návrhu všech numerických metod je navrhnout metodu vyššího než prvního řádu přesnosti. Možnost konstrukce numerické metody pouze prvního řádu přesnosti činí monotónní
numerické metody v podstatě nepoužitelné. (Přesto, že je to třída, o které bezpečně víme, že
konverguje k entropickému řešení.)
Věta 7 (Harten, 1983) Nechť obecná jednodimenzionální numerická metoda je ve tvaru
un+1
= uni − Ci− 1 (uni − uni−1 ) + Di+ 1 (uni+ 1 − uni ).
i
2
2
(1.34)
2
Jestliže pro ∀i platí
Ci− 1
2
Di+ 1
2
Ci− 1 + Di+ 1 ≤ 1,
2
≥ 0
≥ 0
2
(1.35)
(1.36)
(1.37)
pak metoda (1.34) je TVD.
Tato věta nám umožňuje zkonstruovat jednodimenzionální TVD metodu. Až doposud
jsme se u nelineárních případů věnovali pouze metodám v jedné prostorové proměnné. Ve
více prostorových proměnných lze zkonstruovat také TVD metodu, ale my se omezíme na
numerickou metodu konstruovanou pomocí jednodimenzionální TVD metody. Bylo dokázáno
(Harten, Le Veque) že jakákoliv TVD metoda ve dvou prostorových proměnných je maximálně
prvního řádu přesnosti (mimo určitých jednoduchých případů). Vyvíjená metoda tedy nebude
TVD, ale bude založena na jednodimenzionální TVD metodě a bude vyššího řádu přesnosti.
1.5
Upwind metody
V této části bude popsána diskretizace pro jednoduchý případ lineární skalární rovnice.
Mějme rovnici
ut + aux = 0.
(1.38)
Úloha bude řešena na síti s krokem ∆x = xi+1 − xi . Označme ui = u(xi ). Nyní můžeme
nahradit diferenciální operátory diferenčními a rovnici řešit. Naskýtá se ovšem otázka vhodné
volby diferenčních operátorů. Nejpřímější náhrada centrálními diferencemi
ui+1 − ui−1
(1.39)
2∆x
vede na nestabilní schéma. Toto schéma by nekonvergovalo, výpočet by se rozkmital a zhroutil.
Jestliže člen ux nahradíme tímto způsobem:
ux =
ux =
ux =
ui − ui−1
∆x
ui+1 − ui
∆x
pro a > 0
(1.40)
pro a < 0,
(1.41)
1.5. Upwind metody
7
ui je pak řekneme, že toto schéma je typu upwind.
Volba tohoto schématu může být vhodná z hlediska, že operátor upwind diskretizace již
v sobě obsahuje tlumení. Rovnici (1.38) postupně přepíšeme takto:
a − |a| ui+1 − ui a + |a| ui − ui−1
+
= 0
2
∆x
2
∆x ¶
µ
¶
µ
a ui+1 − ui ui − ui−1
|a| ui+1 − ui ui − ui−1
ut +
+
−
−
= 0
2
∆x
∆x
2
∆x
∆x
¯
µ
¶
¯
ui+1 − ui−1
|a| ui+1 − 2ui + ui−1
|a|
3
ut + a
= ∆x
= ∆x uxx ¯¯ + O(∆x )
2∆x
2
∆x2
2
i
ut +
(1.42)
(1.43)
(1.44)
což je modifikovaná rovnice pro rovnici (1.38). Člen odpovídající ∆x|a|uxx /2 představuje
tlumení.
Řešení získané pomocí upwind metody lze chápat jako řešení rovnice vazkého problému
(1.31). Při náhradě časové derivace
ut =
un+1 − un
∆t
(1.45)
je schéma stabilní pro časový krok
∆t ≤
∆x
.
|a|
(1.46)
Všechny výše uvedené věty se týkaly pouze jedné skalární rovnice. Teorie zabývající se
soustavami rovnic dosud nezná podobné věty. Dá se však očekávat, že kvalitní numerická
metoda pro řešení soustav rovnic vznikne spíše rozšířením kvalitní metody pro řešení skalární
rovnice, než metody, která nemá tak dobré vlastnosti ve skalárním případě.
8
Kapitola 2
Dvojrozměrné nevazké proudění
2.1
Eulerovy rovnice v konzervativním tvaru
Obecné nevazké proudění je popsáno systémem Eulerových rovnic. Eulerovy rovnice v konzervativní formě lze pro 2D proudění bez uvažování vnějších sil zapsat ve tvaru:
wt + fx + gy = 0,

ρ
 ρu 

w=
 ρv  ,
e

(2.1)

ρv
 ρu v 

g=
 ρv 2 + p  ,
(e + p)v

ρu
 ρu2 + p 

f =
 ρu v  ,
(e + p)u


kde w je vektor neznámých, ρ je hustota, (u,v) jsou složky rychlosti v kartézském souřadném
systému, p je tlak, e je hustota celkové energie vztažená na jednotku objemu a f a g jsou
vektory toků. Systém Eulerových rovnic je uzavřen vztahem pro celkovou energii ideálního
plynu
e =
p
1
+ ρ(u2 + v 2 ),
γ−1 2
(2.2)
kde γ je adiabatický koeficient.
2.2
2.2.1
Formulace úlohy
Axiální lopatková mříž
Mříž je tvořena nekonečným množstvím periodických profilů. Řešená oblast Ω je jedna
perioda. Rozdělme její hranici ∂Ω na vstupní řez Γ1 , výstupní řez Γ2 , periodickou okrajovou
podmínku ΓP a profil ΓS (stěnu) (viz. obr. 2.1).
Volba okrajových podmínek na řezech Γ1 a Γ2 je založena na analogii s jednorozměrnou
úlohou v libovolném směru – příslušná soustava rovnic vznikne násobením rovnic (2.1) jednotkovým vektorem ve směru ᾱ. Matice soustavy má potom čtyři vlastní čísla wᾱ , wᾱ , wᾱ + a,
wᾱ − a, kde wᾱ je průmět vektoru rychlosti do směru ᾱ. Na vstupu při wᾱ |Γ1 < a|Γ1 1 by
měly být předepsány tři podmínky (do oblasti vstupují tři charakteristiky), na výstupu při
1
Složka rychlosti ve směru normály je menší než místní rychlost zvuku.
9
10
KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D
PERIODICITA
STENA
VSTUP
PERIODICITA
VYSTUP
Obrázek 2.1: Řešená oblast pro axiální lopatkové mříže
wᾱ |Γ2 < a|Γ2 jedna podmínka, v případě wᾱ |Γ2 > a|Γ2 (výstupní rychlost ve směru kolmém na
Γ2 nadzvuková) pak žádná podmínka. V případě, že hledáme stacionární řešení rovnice (2.1),
můžeme na vstupu nebo na výstupu zadat i větší množství podmínek, než vychází z této
úvahy a čas t může mít význam pouze iteračního času. Okrajové podmínky proto můžeme již
od počátku iteračního řešení volit pevně podle známého výsledného průběhu řešení na Γ 1 a
Γ2 v ustáleném stavu.
Úlohou je najít funkci w(x,y,t) na oblasti Ω ∈ R2 × R+ , která má tyto vlastnosti:
• w ∈ C 1 (Ω \ B), kde B je množina konečného počtu křivek (rázových vln) míry 0.
• w na křivkách nespojitosti B splňuje Rankien-Huginotovy podmínky.
• w vyhovuje rovnici
Z t2 Z Z
wt + fx + gy dx dy dt = 0
t1
(2.3)
D
pro libovolné t2 > t1 a libovolnou oblast D ⊂ Ω s dostatečně hladkou hranicí ∂Ω.
• w|t=0 splňuje počáteční podmínky w|t0 = w0 .
• w splňuje tyto okrajové podmínky (předpokládáme podzvukovou složku rychlosti ve
směru normály na hranici).
– vstup – jsou zadány tři veličiny (klidová hustota ρ0 , klidový tlak p0 , úhel náběhu
α).
– výstup – je zadána jedna veličina (p2 /p0 ).
– stěna – podmínka neprostupnosti. Normálová složka rychlosti je nulová.
– periodicita – hodnota funkce w je rovna hodnotě funkce na odpovídající periodické
hranici.
2.3. Izoentropické vztahy
11
VSTUP
PERIODICITA
PERIODICITA
STENA
VYSTUP
Obrázek 2.2: Řešená oblast pro radiální lopatkové mříže
STENA
VSTUP
VYSTUP
STENA
Obrázek 2.3: Řešená oblast pro GAMM kanál
2.2.2
Radiální lopatková mříž
Pro radiální lopatkovou mříž je úloha v podstatě stejná. Odlišnost spočívá v tom, že na
periodické okrajové podmínce je třeba vhodně otočit odpovídající vektory rychlosti. Oblast
řešení je vyznačena na obr. 2.2.
2.2.3
Kanál
Jako testovací případ pro testování vlastností numerické metody je v této práci pro svoji
jednoduchost a názornost zvolen tzv. GAMM kanál. Řešená úloha je opět velmi podobná, jen
se zde nevyskytují periodické podmínky. Řešená oblast je vyznačena na obr. 2.3.
2.3
Izoentropické vztahy
V některých případech je nutné umět přepočítat veličiny charakterizující plyn mezi sebou.
Vychází se z předpokladu, že se změny dějí izoentropicky.
Mějme několik základních vztahů:
• Vztah pro rychlost zvuku v adiabaticky zbrzděném plynu:
a20 = a2 +
γ−1 2
v
2
(2.4)
12
• Rovnice charakterizující izoentropickou změnu:
p · ρ−γ
= konst.
(2.5)
• Vztah pro rychlost zvuku:
γp
ρ
a2 = γrT =
(2.6)
Rovnici (2.5) upravíme takto:
p · ρ−γ
µ ¶1
p γ
p0
= p0 · ρ−γ
0
(2.7)
ρ
ρ0
(2.8)
=
Rovnici (2.6) podělím stejnou rovnicí, vyjádřenou pro klidový stav:
a20
p0 ρ
=
2
a
p ρ0
Rovnici (2.4) podělím a (Machovo číslo Ma = v/a):
a20
γ−1
= 1+
Ma2
a2
2
Dosazením (2.8) do (2.9) a odečtením (2.9) a (2.10) dostaneme
µ ¶1
γ−1
p0 p γ
= 1+
Ma2
p p0
2
(2.9)
(2.10)
(2.11)
odkud
p
p0
=
µ
γ−1
1+
Ma2
2
¶
γ
1−γ
(2.12)
Podobně můžeme dostat vztahy
µ
¶ 1
1−γ
ρ
γ−1
2
=
1+
Ma
ρ0
2
¶− 1
µ
2
a
γ−1
2
.
=
1+
Ma
a0
2
2.4
2.4.1
(2.13)
(2.14)
Numerické řešení
Bezrozměrný tvar Eulerových rovnic
Pro numerické řešení je užito bezrozměrných veličin, tzn. všechny veličiny byly normovány.
Jako normovací veličiny byly zvoleny klidová hustota ρ0 , klidový tlak p0 a charakteristický
rozměr c. Fyzikální veličiny jsou označeny indexem f :
1
−1
2
ρ0f2 ), p → pf /p0f , e → ef /p0f
ρ → ρf /ρ0f , (u,v) → (uf ,vf )/(p0f
1
−1
2
ρ0f2 cf ), (x,y) → (xf ,yf )/cf
t → tf /(p0f
Po dosazení do systému Eulerových rovnic (2.1) a rozepsání (je třeba derivovat jako složené
funkce), vyjde systém v tom samém tvaru, jen neobsahuje fyzikální veličiny, ale normované.
2.4. Numerické řešení
13
fj
Wi
Obrázek 2.4: Konečný objem
2.4.2
Metoda konečných objemů
Úloha je řešena explicitní metodou ustalování. Pro diskretizaci v prostoru je užito metody
konečných objemů typu „cell centeredÿ. V metodě ustalování hledáme stacionární řešení jako
limitu nestacionárního řešení pro t → ∞ (při stacionárních okrajových podmínkách).
Vyjděme ze systému rovnic (2.1). Pro každý časový úsek ∆t = t(n+1) − t(n) a každý
libovolný objem Ωi ⊂ Ω musí platit
Z Z Z t(n+1)
Z Z Z t(n+1)
wt dt dx dy = −
f (w)x + g(w)y dt dx dy.
(2.15)
Ωi
t(n)
Ωi
t(n)
Tuto rovnici můžeme aproximovat prvním řádem přesnosti v čase (za použití věty o střední
hodnotě)
ZZ
win+1 − win
f (wn )x + g(wn )y dx dy.
(2.16)
=−
µ(Ωi )
∆t
Ωi
Užitím Greenovy věty dostáváme
I
∆t
win+1 − win = −
f (wn ) dy − g(wn ) dx.
µ(Ωi )
(2.17)
∂Ωi
Numerické toky na pravé straně aproximujeme jejich střední hodnotou a tím dostaneme
N
win+1 − win = −
i
∆t X
f (wn )j ∆yj − g(wn )j ∆xj .
µ(Ωi )
(2.18)
j=1
Tuto rovnici lze díky invariantnosti Eulerových rovnic vůči otočení přepsat jako
N
win+1 − win = −
i
∆t X
f (wn )nj lj ~nj ,
µ(Ωi )
(2.19)
j=1
kde f (wn )nj je numerický tok ve směru vnější normály k hraně j (viz obr. 2.4).
Hodnota numerického toku závisí pouze na hodnotě na jedné a druhé straně hrany konečného objemu.
14
y
1
f
2
x
Obrázek 2.5: Schéma k výpočtu f na hraně konečného objemu
2.4.3
2D Roeho aproximativní Riemann solver
Nyní je třeba vypočítat hodnotu numerického toku ve směru kolmém na hranu konečného
objemu.
Na hranici konečného objemu je interpolován vektor proměnných w z buňky 1 (w l ) a
z buňky 2 (wr ) (viz obr. 2.5). Zvolme souřadný systém tak, že osa x je ve směru kolmém na
hranu konečného objemu a osa y je ve směru tečném na hranu konečného objemu. Protože se
řeší problém na hraně buňky rovnoběžné s osou y, vycházíme z rovnice:
wt + f (w)x = 0,
(2.20)
w = (ρ,ρu,ρv,e)T
¡
¢T
f = ρu,ρu2 + p,ρu v,(e + p)u
(2.21)
kde
(2.22)
Rovnice se upraví na tvar
∂w
∂w
+A
∂t
∂x
= 0,
(2.23)
kde
A =
∂f
∂w
(2.24)
Pro Riemannův problém je potřeba najít takovou matici Ã, aby závisela pouze na wL a
wR a měla následující vlastnosti:
1. fi+1 − fi = Ã(wi ,wi+1 ) · (wi+1 − wi )
2. Pro wi = wi+1 = w musí být Ã(w,w) = A(w) =
∂f
∂w (w)
3. Ã má reálná vlastní čísla a lineárně nezávislé vlastní vektory
Těmto požadavkům vyhovuje Roeho matice, což je Jacobián
vážené odmocninou z hustoty.
∂f
∂w ,
kde prvky jsou průměry
ũ
=
ṽ
=
w̃ =
H̃ =
ã2 =
15
√
√
ρL uL + ρR uR
√
√
ρL + ρR
√
√
ρ L vL + ρ R vR
√
√
ρL + ρR
√
√
ρ L wL + ρ R wR
√
√
ρL + ρR
√
√
ρL HL + ρR HR
√
√
ρL + ρR
1
(γ − 1)(H̃ − Ṽ 2 ).
2
(2.25)
Ã =
(2.26)

1
0
0

ũ2 + ṽ 2
(3 − γ)ũ
−(γ − 1)ṽ γ − 1 
−ũ2 + γ−1
2



−ũṽ
ṽ
ũ
0 
2
2
γ ũ
−ũ[γ ρ̃ẽ − (γ − 1)(ũ2 + ṽ 2 )] γ ρ̃ẽ − γ−1
2 (3ũ + ṽ ) −(γ − 1)ũṽ

0√
Matici Ã lze rozložit na součin matice pravostranných vlastních vektorů a diagonální
matice vytvořené z vlastních čísel matice Ã
Ã = RΛR−1 ,
(2.27)
kde Λ = diag(λ1 ,λ2 ,λ3 ,λ4 ), kde λ1 = λ2 = ũ, λ3 = ũ + ã, λ4 = ũ − ã jsou vlastní čísla matice
Ã a


ρ̃
ρ̃
1
0
− 2ã
2ã
 ũ
ρ̃
ρ̃
(ũ + ã)
− 2ã
(ũ − ã) 
0


2ã
(2.28)
R = 
,
ρ̃
ρ̃
ṽ
−ρ̃
ṽ
−
ṽ


2ã
2ã
2
2
ρ̃
ρ̃
ũ +ṽ
−ρ̃ṽ 2ã
(H̃ + ãũ) − 2ã
(H̃ − ãũ)
2
q
2
2
ẽ+p̃
kde H̃ = ρ̃ a ã = (γ − 1)(H̃ − ũ +ṽ
2 ).
Eulerovy rovnice se upraví takto:
∂w
∂w
+ RΛR−1
∂t
∂x
R−1 ∂w
∂w
+ ΛR−1
∂t
∂x
= 0
|.R−1
= 0
(2.29)
(2.30)
Charakteristické proměnné se definují vztahem
∂m = R−1 ∂w
a rovnice (2.30) se přenásobí R.
(2.31)
16
∂w
∂m
+ RΛ
∂t
∂x
= 0
(2.32)
Porovnáním s rovnicí (2.20) je zřejmé, že
f
= RΛm
(2.33)
a přímým výpočtem dostaneme
X
f =
λp mp r(p) ,
(2.34)
p
kde mp jsou složky vektoru m a r(p) jsou pravostranné vlastní vektory matice Ã.
Upwind diskretizaci pro rovnici (2.23) lze napsat ve tvaru
∆t + − n
(A δ wi + A− δ + win ) =
∆x
∆t − +n
= win −
(δ fi + δ + fi−n ),
∆x
win+1 = win −
(2.35)
kde δ − resp. δ + jsou operátory zpětné resp. dopředné
diference.
P
Diferenci δw je možné vyjádřit jako δw = p δmp r(p) a numerický tok
X
X
δf = Aδw = A ·
δmp r(p) =
λp δmp r(p) .
p
Potom celkový numerický tok pro rovnici (2.20) v i +
fi+ 1
2
(2.36)
p
1
2
lze napsat jako
1
1
−
= (fi + fi+1 ) − |A|(wi+1 − wi ) =
= fi+ + fi+1
2
2
1
1X
=
(fi + fi+1 ) −
|λp |δmp r(p) .
2
2 p
(2.37)
Řešení linearizovaného Riemannova problému je složeno pouze z diskontinuit. Tato aproximace může být vhodná pro kontaktní nespojitosti a rázové vlny, kdy je nespojitý charakter
vlny v pořádku, i když velikost skoku nemusí být správně aproximována linearizovaným řešením. Naproti tomu ve zřeďujících vlnách dochází ke spojité změně proměnných a v rostoucím
čase se zmenšuje prostorový gradient veličin. Je zřejmé, že tato aproximace diskontinuitami
je nesprávná. V praktickém výpočtu dochází k problémům, pouze je-li zřeďující vlna transsonická. Dochází k tvorbě nefyzikální, entropickou podmínku porušující nespojitosti.2
Odstranění této chyby je možné provést několika způsoby. Zde je použita metoda Hartena
a Hymana (1983) [11] – modifikace absolutní hodnoty vlastních čísel |λ| v rovnici (2.37).
½
|λ| pro |λ| ≥ δ
mod
|λ|
=
,
(2.38)
δ
pro |λ| < δ
kde
δ = max[0,(λ − λL ),(λR − λ)],
kde λL , resp. λR jsou vlastní čísla Jacobiánu
2
(2.39)
∂fL
∂wR ,
resp.
∂fR
∂wR .
Viz. poznámka o konvergenci k entropickému slabému řešení na str. 5.
17
Souřadný systém v obecné poloze Pro použití hrany v obecném směru se musí provést
transformace souřadného systému. To se provede otočením rychlostí podle vzorců
uot = u sin ϕ − v cos ϕ
(2.40)
vot = u cos ϕ + v sin ϕ,
při úhlu hrany ϕ s kladným směrem osy x. Zpětná transformace numerických toků probíhá
podle vzorců
f2
ot. zpet
= f2 sin ϕ + f3 cos ϕ
f3
ot. zpet
= −f2 cos ϕ + f3 sin ϕ,
(2.41)
kde f2 resp. f3 jsou druhé, resp. třetí složky vektoru f . Tento postup je možný z důvodů
směrové invariantnosti Roeho matice.
2.4.4
Podmínka pro časový krok
Nutná podmínka stability řešení vychází z metody charakteristik
∆t = min
i
min(∆xi ,∆yi )
q
,
ai + u2i + vi2
(2.42)
kde ∆xi resp. ∆yi jsou minimální rozměry elementu i ve směru x a y.
2.4.5
Numerická aproximace okrajových podmínek
Vstup Do pomocné buňky je extrapolováno Machovo číslo na vstupu a z izoentropických
vztahů a úhlu náběhu jsou určeny všechny hodnoty vektoru proměnných:
Ma =
s
ρ1
u21 + v12
γp1
(2.43)
Pomocí tohoto Machova čísla, a zadaných veličin ρ0 , p0 , α se určí nové hodnoty v buňce na
vstupu
µ
¶ 1
1−γ
γ−1
2
ρ1 =
1+
Ma
ρ0
(2.44)
2
µ
¶ γ
1−γ
γ−1
2
Ma
p0
(2.45)
p1 =
1+
2
r
p0
γ
(2.46)
a0 =
ρ0
µ
¶− 1
2
γ−1
2
a0
(2.47)
a1 =
1+
Ma
2
u1 = Ma a1 cos α
(2.48)
v1 = Ma a1 sin α
p1
u2 + v12
e1 =
+ ρ1 1
γ−1
2
(2.49)
(2.50)
18
Výstup Z poslední buňky na výstupu jsou extrapolovány hodnoty hustoty ρ, a rychlostí
(u,v) a pomocí vztahu pro celkovou energii ideálního plynu (2.2) je z výstupního tlaku dopočítána velikost celkové energie e.
Stěna Podmínka na stěně je splňována metodou zrcadlení, kdy do pomocné buňky jsou
vhodně přenášeny hodnoty w z poslední buňky u stěny. (Indexem T je značena tečná a
indexem N normálová složka rychlosti ke stěně.)
uT pom = uT
(2.51)
uN pom = −uN
(2.52)
Periodicita V případě axiálních lopatkových mříží se do pomocné buňky přenese odpovídající periodická hodnota.
2.5
Metoda vyššího řádu přesnosti
2.5.1
Zvýšení řádu aproximace v prostoru
1D případ
Pro zvýšení řádu přesnosti a zároveň zachování TVD vlastností je zde použita tzv. MUSCL
interpolace (Monotone Upstream-centred Schemes for Conservation Laws) s limitery.
Ve výše uvedeném odvození se rozložení veličin v konečném objemu aproximuje konstantní
hodnotou. Pro zvýšení řádu se tato aproximace nahradí MUSCL interpolací.
Pro výpočet Riemann solverem je třeba znát hodnotu na jedné a druhé straně hranice
konečného objemu. Místo konstantní hodnoty se proto na hranici konečného objemu nainterpoluje pomocí lineární rekonstrukce hodnota veličiny. V jednorozměrném případě se toto
zapíše jako
U L = U 0 ∆xi + U0 ,
(2.53)
kde U L je naiterpolovaná hodnota na hranici (v tomto příkladu zleva), U 0 je derivace podle x
a ∆xi je vzdálenost mezi bodem, ve které se vyčísluje derivace (středem konečného objemu)
a hranicí konečného objemu.
Pro aproximaci derivace U 0 se použije zpětná diference:
U0 =
Ui − Ui−1
xi − xi−1
(2.54)
Limitery Aby bylo numerické schéma stabilní a mělo TVD vlastnost, je potřeba použít
nelineárních členů, zvaných limitery, zabraňujících oscilaci řešení. Jsou to například funkce
Φ(r) proměnné
r =
Ui+1 − Ui
.
Ui − Ui−1
(2.55)
Limitery se použijí tak, že ve vztahu (2.54) se výraz Ui −Ui−1 nahradí výrazem (Ui −Ui−1 )Φ(r).
2.5. Metoda vyššího řádu přesnosti
19
Obrázek 2.6: Uspořádání pro obecnou síť
2D případ
Podívejme se nyní, jak se tato interpolace realizuje ve dvojrozměrné úloze.
Ve výpočtu derivací pro interpolaci na hranu se postupovalo následujícím způsobem (viz
obr. (2.6)).
1. Najde se bod V ležící naproti hraně, na kterou budeme interpolovat. V případě elementů
s lichým počtem hran je to bod přímo ve vrcholu a v případě sudého počtu hran je to
bod ležící ve středu protější hrany.
2. Z těžiště T elementu se vede přímka směrem na bod V a najde se element, do kterého
tato přímka dále vstupuje (el. 3 a v druhé polorovině el. 5).
3. Z těžiště tohoto elementu se vede úsečka do těžiště elementu sousedícího s tímto elementem ve směru průchodu přímky T-V.
4. Určí se průsečík přímky a úsečky. Do tohoto průsečíku se lineární interpolací nainterpoluje hodnota z těžiští obou elementů (z elementů 3 a 4 resp. 5 a 6).
5. Z hodnoty v průsečíku a hodnoty v těžišti původního elementu (el. 1) se určí derivace
ve směru přímky v těžišti elementu (el. 1, resp. el. 2).
Nyní máme k dispozici vektor proměnných w v těžišti elementu a derivaci w 0 ve směru
V-T. Hodnotu w̃ je možno určit jako
w̃ = w + w0 ∆i ,
kde ∆i je vzdálenost těžiště od hrany elementu, na kterou se interpoluje.
(2.56)
20
Limitery Byl použit Van Leerův limiter
2r
r>0
1+r
Φ(r) = 0
jinak.
(2.57)
Φ(r) =
Proměnná r byla definována jako
r=
wA − w B
,
wB − w G
(2.58)
kde index A znamená hodnotu v sousední buňce, B hodnotu v buňce, ve které počítáme
limiter, G hodnotu nainterpolovanou do průsečíku mezi přímkami T1 V a T3 T4 (pro limiter
v buňce 1 obr. (2.6)).
Limiter a MUSCL interpolace byly postupně použity pro všechny složky vektoru w.
2.5.2
Zvýšení řádu v čase
Pro výpočet hodnoty veličin v nové časové vrstvě lze použít dopřednou diferenci
wt =
wn+1 − wn
.
∆t
(2.59)
Tento způsob má nevýhodu, že je pouze prvního řádu přesnosti. Místo tohoto lze použít
vícekrokovou metodu Rungeho-Kutty (metoda přímek).
Vycházíme z rovnice
wt = −Resn,k ,
(2.60)
kde Resn,k je výše popsaná diskretizace v prostorových proměnných.
Obecná vícekroková metoda Rungeho-Kutty se zapíše jako
wk0 = wkn
wkr
wkn+1
=
=
wk0 −
wkM
(2.61)
∆tαr Resr−1,k ,
r = 1, . . . ,M
(2.62)
(2.63)
Zde byla použita tříkroková metoda k koeficienty α1 = 12 , α2 = 12 , α3 = 1.
2.6
Adaptace sítě
Při generaci sítě není většinou zohledněno výsledné proudové pole, takže vytvořená výpočetní síť nemusí být např. z hlediska zachycení gradientů veličin optimální, proto se pro
vylepšení sítě používá adaptace. Zde je užito lokální zjemnění sítě, tj. že se elementy vybrané
podle vhodného kritéria rozdělí na menší.
Pro adaptaci je potřeba nejdříve zvolit vhodné kritérium, které rozpozná například rázové
vlny. Dále pro každý trojúhelník s indexem i je vyčíslena hodnota kritéria ki , a pro adaptaci
se vybere vhodný počet trojúhelníků s nejvyšší hodnotou kritéria.
2.6. Adaptace sítě
21
J
F
H
C
G
G
D
R
R
A
G
G
E
B
I
Obrázek 2.7: Algoritmus adaptace RG
2.6.1
Adaptační kritéria
Kritérium na rozdíl hustot
Určí se absolutní hodnota maxima rozdílu hustot mezi testovaným a všemi sousedními
trojúhelníky.
ki = max |ρi − ρj |
(2.64)
j
V případě, že ve směru rychlosti klesá tlak, je ki nulové.
Kritérium na rozdíl toků hybnosti
Toto kritérium bylo převzato z příspěvku Feistauer, Dolejší, Felcman, Kliková 1999 [8].
Hodnota se určí jako
ki = max[−(ρi − ρj )(vi ,nij )]+ /hi ,
j
(∗)+ = max(∗,0),
(2.65)
kde rozměr elementu hi byl určen jako odmocnina z plochy elementu
hi =
p
µ(Γi ).
(2.66)
Kritérium na velikost trojúhelníků
Trojúhelník se označí pro adaptaci, jestliže jakýkoliv trojúhelník, který s ním má společný
vrchol, má povrch menší než 1/4 povrchu tohoto trojúhelníku. Trojúhelník se označí pro
adaptaci, jestliže jakýkoliv trojúhelník, který s ním má společný vrchol a je červený (bude
vysvětleno níže), má povrch menší než 1/2 povrchu tohoto trojúhelníku. Toto kritérium bylo
použito při každé adaptaci automaticky.
22
2.6.2
RG algoritmus adaptace
Nejdříve se trojúhelníky vybrané pro adaptaci označí jako „červenéÿ. Dále trojúhelník,
který má dva sousedy červené se označí také jako červený. Soused červeného trojúhelníku se
označí jako „zelenýÿ. Červené trojúhelníky se rozdělí na čtyři menší přidáním bodů uprostřed stran a zelené se rozpůlí (viz obr. 2.7). Do nových elementů se nainterpoluje hodnota
z původních elementů.
2.7. Numerické výsledky 1. řádu aproximace
23
Obrázek 2.8: SE1050 – experiment ÚT ČSAV Ma2 = 1,18, α = 19,3◦
2.7
Numerické výsledky 1. řádu aproximace
V této části budou prezentovány numerické výsledky metody prvního řádu přesnosti. Ve
srovnání několika metod je prezentovaná metoda označena podle Riemann solveru jako „Roeÿ.
2.7.1
Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050
Jako první příklad byla zvolena turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 s úhlem náběhu
α = 19,3◦ a výstupním Machovým číslem Ma2 = 1,18. Interferometrické měření ÚT ČSAV je
na obr. 2.8 (viz. Šťastný, Šafařík 1990 [6]).
Diskretizace oblasti byla provedena Delaunayovskou triangulací3 (viz obr 2.9(b)), počet
elementů v oblasti je 5646 a počet elementů podél lopatky je 250.
Výsledné izočáry Machova čísla jsou zobrazeny na obr. 2.9(a). Izočáry ukazují velmi dobré
zachycení rekompresní zóny, stejně jako vnitřní větve výstupní rázové vlny. Velmi dobře je
také zachycena poloha rázové vlny. Při srovnání proudového pole s měřením ÚT ČSAV (obr.
2.8) se ukazuje slabé zachycení vnější větve výstupní rázové vlny. To je dáno řádem metody
a hrubou sítí v této části oblasti.
Na obr. 2.16(d) je srovnání průběhu tlaku podél lopatky vypočtené různými nevazkými
metodami. Je zde vidět poměrně dobrá shoda výpočtu s experimentem.
3
Delaunayovská triagulace je v jistém smyslu optimální spojení vrcholů hranami. Bývá velmi často používána při konstrukci jak dvojrozměrných, tak i trojrozměrných sítí. Blíže viz např. Weatherill, Hassan, Marcum,
Marchant 1994 [17].
24
(a) Izočáry Machova čísla
(b) Výpočetní síť
Obrázek 2.9: Turbínová mříž SE1050 – Ma2 = 1,18, α = 19,3◦ , 1. řád aproximace
2.7.2
25
Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1
Jako další příklad byla zvolena kompresorová mříž MAN GHH 1-S1 (viz. například Cyrus,
Fořt 1999 [1]) s úhlem náběhu 17◦ , vstupním Machovým číslem Ma1 = 0,6180 a tlakovým
poměrem p2 /p1 = 1,1221.
Diskretizace oblasti byla provedena Delaunayovskou triangulací. Síť je zobrazena na obr.
2.10(a). Počet elementů v oblasti je 8149, počet elementů podél lopatky 200. Ze zadaných
údajů byl pomocí izoentropických vztahů vypočten výstupní tlak p2 /p0 = 0,867251.
Rozložení Machova čísla podél lopatky je znázorněno na obr. 2.10(b). Na obr. 2.10(c)
je srovnání průběhu Machova čísla, vypočteného prezentovanou metodou, s výpočtem Ni-ho
schématem. Všimněme si v podstatě totožného průběhu podél tlakové stěny lopatky. Rozdíly mezi průběhem podél sací stěny jsou dány špatným zachycením náběžné hrany u Ni-ho
schématu na H síti.
2.7.3
Radiální turbínová mříž
Další řešenou úlohou v rámci spolupráce s průmyslovým závodem bylo řešení proudění
v radiální mříži. Byla počítána statorová radiální turbínová mříž ve dvou režimech – podzvukovém a transsonickém.
Geometrie je zobrazena na obr. 2.11(a). Radiální turbínová mříž se může modelovat jako
jedna perioda – výřez mezikruží. Médium proudí z vnějšku dovnitř. Je zadáno vstupní Machovo číslo, úhel náběhu vzhledem k radiále a tlakový poměr. Pro řešení nebyla k dispozici
žádná experimentální data (nebylo dostupné experimentální zařízení). Výsledky řešení nelze
nalézt ani v dostupné literatuře. Získané výsledky potvrzené nezávislými metodami jsou podkladem pro zlepšení účinnosti vyráběného lopatkového stroje.
Diskretizace byla provedena Delaunayovskou triangulací. Na obrázcích 2.11(b) a 2.11(c)
je zobrazeno proudové pole pomocí izočár Machova čísla.
Na obrázcích 2.11(d) a 2.11(e) je zobrazeno srovnání rozložení tlaku podél lopatky různými
metodami. Při srovnání s metodou Ron-Ho-Niho na H síti vychází velmi podobný průběh.
S metodou s Osherovým Riemann solverem je průběh v podstatě shodný.
26
(a) Geometrie a diskretizace výpočetní oblasti
(b) Izočáry Machova čísla
1.0
0.8
0.6
Ma
0.4
Ni
Roe
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x/c
(c) Srovnání průběhu Machova čísla
Obrázek 2.10: Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1, Ma1 = 0,6180, p2 /p1 = 1,1221, 1. řád
aproximace
27
(a) Geometrie a diskretizace oblasti
(b) Izočáry Machova čísla – podzvukový režim
(c) Izočáry Machova čísla – transsonický režim
1.0
1.0
0.8
0.8
0.6
p/p0
p/p0
0.4
0.6
Oher 2. rad − trojuhelniky
Ron−Ho−Ni 2. rad − H sit
Roe 1. rad − trojuhelniky
0.4
0.0
0.5
s/b
(d) Rozložení tlaku – podzvukový režim
0.2
1.0
0.0
0.0
Osher 2. rad − trojuhelniky
Ron−Ho−Ni 2. rad − H sit
Roe 1. rad − trojuhelniky
0.5
s/b
(e) Rozložení tlaku – transsonický režim
Obrázek 2.11: Radiální turbínová mříž, 1. řád aproximace
1.0
28
2.8
2.8.1
Numerické výsledky získané metodou vyššího řádu aproximace
GAMM kanál
Toto je dobře známý testovací příklad řešený mnoha autory (viz. například Fürst, Horák,
Kozel, Vaněk 1999 [9] nebo Fürst 2000 [10]). Délka kanálu je 3, šířka 1 a kruhový oblouk
zasahuje do 0,1 šířky kanálu. Zleva proud vstupuje, zprava vystupuje a shora a zdola jsou
stěny kanálu. Vstupní úhel je α = 0◦ , a vstupní Machovo číslo Ma1 = 0,675.
Pro první testování byla zvolena jednoduše algebraicky generovaná síť 30x90 čtyřúhelníků.
Další test byl proveden na trojúhelníkové síti, která vznikla rozdělením čtyřúhelníků původní
sítě kratší uhlopříčkou.
Na obr. 2.12(a) až 2.12(d) je rozložení Machova čísla po výpočetní oblasti. Všimněme
si výrazně větší nadzvukové oblasti v případě aproximace vyššího řádu. Je vidět také lepší
zachycení rázové vlny. To se zejména projeví na obr. 2.12(e), kde je vynesen průběh Machova
čísla podél stěn – maximální Machovo číslo dosahuje u aproximace druhého řádu vyšších
hodnot.
2.8.2
Výpočet byl proveden na stejné síti, za stejných podmínek, jako u aproximace 1. řádu.
Na obr. 2.13(b) vidíme ostřejší zachycení rázových vln, než tomu bylo na obr. 2.13(a).
V tomto režimu jde o slabé (šikmé) rázové vlny, proto zde patrný rozdíl není příliš velký.
Vyšší řád aproximace ale přispěl k rovnoměrnějšímu zachycení izočár v první třetině kanálu,
než tomu bylo u aproximace prvním řádem. Na obr. 2.16(d) je srovnání průběhu tlaku podél
lopatky při aproximaci prvním a vyšším řádem. Je zde patrné ostřejší zachycení rázové vlny.
2.8. Numerické výsledky vyššího řádu aproximace
29
(a) 1. řád – čtyřúhelníky
(b) 1. řád – trojúhelníky
(c) vyšší řád – čtyřúhelníky
(d) vyšší řád – trojúhelníky
1.4
Ma
1 rad − ctyr.
1 rad − troj.
2 rad − ctyr.
2 rad − troj.
0.9
0.4
0
0.5
x
1
(e) Rozložení Machova čísla podél stěn – srovnání
metod a sítí
Obrázek 2.12: GAMM kanál Ma1 = 0,675 – výsledky 1. a vyššího řádu aproximace
30
(a) Izočáry Machova čísla – 1. řád
(b) Izočáry Machova čísla – vyšší řád
Obrázek 2.13: Turbínová mříž SE1050 – Ma2 = 1,18, α = 19,3◦ , vyšší řád aproximace (výpočetní síť je zobrazena na obr. 2.9(b))
2.9. Adaptace – numerické výsledky
2.9
2.9.1
31
Numerické výsledky při použití adaptace
GAMM kanál
Pro adaptaci bylo nejprve vypočteno proudění na rovnoměrné síti, která vznikla rozdělením sítě 30x90 čtyřúhelníků na trojúhelníky. V prvním případě byla použita metoda prvního
řádu přesnosti a síť čtyřikrát adaptována kritériem podle rovnice (2.64). Výsledná síť a odpovídající izočáry jsou na obr. 2.14(d) a 2.14(f).
Dále byla použita metoda vyššího řádu přesnosti a síť byla třikrát adaptována kritériem
podle rovnice (2.64). Výsledná síť a odpovídající izočáry jsou na obr. 2.14(d) a 2.14(f) 4 .
Na obr. 2.14(a) je znázorněn průběh Machova čísla podél stěn. Metoda prvního řádu
nezachytila správnou velikost maxima Machova čísla ani s použitím adaptace. Bez použití
adaptace dává metoda vyššího řádu srovnatelnou hodnotu maxima jako metoda prvního řádu
s použitím adaptace. Ale až použití adaptace spolu s metodou vyššího řádu dává správnou
hodnotu maxima Machova čísla. Velkou výhodou je, že se před rázovou vlnou neobjevují
oscilace.5 Za rázovou vlnou si všimněme tzv. Zierepovy singularity (lokální nárůst Machova
čísla) (obr. 2.14(c)). Metoda prvního řádu bez použití adaptace tuto singularitu nezachytí.
S použitím adaptace je tato singularita sice zachycena, ale rázová vlna se jeví jako slabší, než
by měla být. Až metoda vyššího řádu spolu s adaptací tuto singularitu zachytí velmi dobře.
2.9.2
Mříž DCA 8 %
Další testovacím případem je použití adaptace na mříži DCA 8 % se vstupním Machovým
číslem Ma1 = 0,946 a úhlem náběhu α = 45◦ . Mříž je tvořena dvoukruhovými profily, které
mají délku tětivy 1, tloušťku profilu 0,08 rozteč 1 a úhel nastavení β = 45◦ .
Diskretizace oblasti byla provedena Delaunayovskou triangulací (viz obr. 2.15(a)). Na obr.
2.15(c) jsou zobrazeny izočáry Machova čísla před použitím adaptace, vypočtené metodou 1.
řádu.
Byla použita adaptace s kritériem podle rovnice (2.65) a byly vybrány trojúhelníky s velikostí kritéria vyšším než 0,05kmax . Výsledná síť po čtvrté adaptaci je zobrazena na obr.
2.15(b) a izočáry Machova čísla jsou na obr. 2.15(d). Všimněme si velmi ostrého zachycení
rázových vln.
2.9.3
Adaptace sítě byla také použita při řešení obtékání mříže SE1050. Síť byla dvakrát adaptována s kritériem podle rovnice (2.64). Pro výpočet byla použita metoda vyššího řádu. Na
obr. 2.16(a) vidíme velmi ostré zachycení rázových vln. Na obr. 2.16(c) je srovnání průběhu
tlaku podél lopatky vypočtené metodou prvního a vyššího řádu a vyššího řádu s použitím
adaptace. Vidíme ostrý nárůst tlaku (x ≈ 0,8) odpovídající odrazu šikmé rázové vlny, která
je zachycena velmi dobře. Neobjevují se zde žádné oscilace (jako například u Ron-Ho-Niho
4
Různě velké oblasti znemnění sítě jsou dány zejména různým rozložením gradientů v původním řešení na
rovnoměrné síti, ale také tím, že byla testována optimální hodnota kritéria kmax vzhledem k zvýšení přesnosti
výpočtu v poměru k výpočetní náročnosti úlohy.
5
To bylo sice odvozeno jako vlastnost TVD metod, ale tato metoda je TVD pouze v jedné dimenzi (v 1D),
a dále všechny vztahy byly odvozeny pro rovnoměrnou síť. U reálných případů se nemusí všechny vlastnosti
teoreticky odvozené pro rovnoměrné sítě zachovat. Zde jsou například velké změny velikosti elementů sítě díky
adaptaci.
32
1.4
1 rad
2 rad
1. rad − ad
2. rad − ad
0.94
1 rad
2 rad
1. rad − ad
2. rad − ad
Ma
0.9
1 rad
2 rad
1. rad − ad
2. rad − ad
0.89
Ma
Ma
1.35
0.84
1.25
0.79
1.15
0.5
0.4
0
0.5
x
1
0.52
0.54
x
0.56
0.58
(b) Detail kolem maxima Machova čísla
0.74
0.54
0.56
0.58
x
0.6
0.62
(c) Detail oblasti
konce rázové vlny
(a) Průběh Machova čísla po stěnách
(d) 4 x adaptovaná síť – výpočet 1. řádem přesnosti
(e) 3 x adaptovaná síť – výpočet vyšším řádem
přesnosti
(f) Rozložení Machova čísla – výpočet 1. řádem přesnosti
(g) Rozložení Machova čísla – výpočet vyšším řádem přesnosti
Obrázek 2.14: GAMM kanál Ma1 = 0,675
(a) Původní síť
33
(b) 4 x adaptovaná síť
(c) Izočáry Machova čísla bez adaptace
(d) 4 x adaptováno – Izočáry Machova čísla
Obrázek 2.15: Mříž DCA 8 % Ma1 = 0,946, 1. řád aproximace
34
schématu na obr. 2.16(d)). Na obr. 2.16(d) je zobrazeno srovnání průběhu tlaku podél lopatky s experimentem, výpočtem prezentovanou metodou, Ron-Ho-Niho metodou na O-H
síti, výpočtem ENO metodou s Osherovým Riemann solverem na trojúhelníkové síti bez a
s použitím adaptace a TVD Mac Cormackovou metodou.
35
(a) Izočáry Machova čísla
(b) Výpočetní síť
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
p/p0
p/p0
0.4
Experiment
Roe − 1st order
Roe − 2nd order
Roe − 2nd order adapted
0.2
0
Experiment
Roe − 1st order
Roe − 2nd order
Roe − 2nd order adapted
Ni multiblock (0.4 0.04)
Ni multiblock − lower art. visc. (0.2 0.01)
Osher
Osher, adapted
TVD MacCormack
0.4
0
0.2
0.4
0.6
0.2
0.8
1
x
(c) Srovnání průběhu tlaku vypočtené
prezentovanou metodou
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
(d) Srovnání průběhu tlaku vypočtené
různými nevazkými 2D metodami
Obrázek 2.16: Turbínová mříž SE1050 – Ma2 = 1,18, α = 19,3◦ . 2x adaptovaná síť
36
Kapitola 3
Dvojrozměrné vazké proudění
3.1
Navierovy-Stokesovy rovnice v konzervativním tvaru
Wi
Wi
j
Obrázek 3.1: Konečný objem – čerchovanou čarou je vyznačen pomocný objem pro výpočet
derivací na hraně konečného objemu
Nejobecnějším modelem proudění stlačitelné vazké tekutiny je systém Navierových-Stokesových
rovnic1 , doplněný konstitučními vztahy. V konzervativním tvaru pro 2D proudění jej lze zapsat
wt + f x + gy = r x + s y ,
(3.1)
kde
r = |0,τxx ,τxy ,u τxx + vτxy − qx |T
s = |0,τxy ,τyy ,uτxy + vτyy − qy |T
jsou vazké toky, napětí jsou vyjádřena vztahy
2
τxx =
η(2ux − vy )
3
τxy = η(uy + vx )
2
τyy =
η(−ux + 2vy )
3
1
V literatuře je někdy zvykem označovat rovnice zachování hybnosti jako Navierovy-Stokesovy rovnice. My
budeme označovat jako Navierovy-Stokesovy rovnice celý systém rovnic zachování hmoty, hybnosti a energie.
37
38
KAPITOLA 3. VAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D
a dynamická vazkost je funkcí teploty
η = η(T ).
Rovnice jsou uzavřeny vztahem pro hustotu energie (2.2).
Složky vektoru toku tepla jsou podle Fourierova zákona dány vztahy
∂T
∂x
∂T
.
= −λ
∂y
qx = −λ
(3.2)
qy
(3.3)
3.2
Formulace úlohy
Tato část je obdobná jako v kapitole 2.2, liší se pouze splňovaná soustava rovnic a okrajová
podmínka na stěně.
Okrajová podmínka na stěně Na stěně je předepsána podmínka ulpívání – vektor rychlosti je roven nulovému vektoru. Stěna je adiabatická.
(u,v) = 0
∂T
= 0
∂~n
3.2.1
(3.4)
(3.5)
Zakřivený kanál
Aby se mohly použít izoentropické vztahy, které neplatí v mezní vrstvě, a aby bylo možné
sledovat vývoj mezní vrstvy již od počátku, jsou na počáteční části kanálu předepsány periodické okrajové podmínky. Viz obr. 3.2.
3.3
3.3.1
Bezrozměrný tvar Navierových-Stokesových rovnic
Při numerickém výpočtu není zadána tepelná vodivost λ, ale Prandtlovo číslo Pr. Proto
je třeba upravit vztahy (3.2) a (3.3).
Pr =
ηcp
λ
(3.6)
Dosazením λ do (3.2):
qx = −
η ∂T
cp
Pr ∂x
(3.7)
Protože je cp konstanta, může se rovnice (3.7) přepsat jako
qx = −
η ∂(cp T )
Pr ∂x
(3.8)
39
PERIODICITA
STENA
VSTUP
PERIODICITA
STENA
VYSTUP
Obrázek 3.2: Řešená oblast pro vazké proudění v zakřiveném kanále
40
Nyní vyjděme ze vztahů:
cp
cv
= R
γ =
(3.9)
cp − c v
p
= RT
ρ
(3.10)
(3.11)
Měrná tepelná kapacita cp se eliminuje z rovnice (3.8):
cp
p
= R = c p − cv = cp −
ρT
γ
p
= cp T
ρ
cp T =
(3.12)
µ
¶
µ
¶
1
γ−1
1−
= cp T
γ
γ
(3.13)
p γ
ργ−1
(3.14)
dosazením do vztahu (3.8)
pγ
qx = −
η ∂ ρ(γ−1)
.
Pr ∂x
(3.15)
A obdobným způsobem
pγ
η ∂ ρ(γ−1)
qy = −
.
Pr ∂y
(3.16)
Navierovy-Stokesovy rovnice s proměnnými qx a qy podle vztahů (3.15–3.16) se nyní normují na normovací veličiny: klidová hustota ρ0 , klidový tlak p0 a charakteristický rozměr c.
Fyzikální veličiny jsou označeny indexem f :
1
−1
2
ρ → ρf /ρ0f , (u,v) → (uf ,vf )/(p0f
ρ0f2 ), p → pf /p0f , e → ef /p0f
−1
1
1
1
2
2
2
cf ), (x,y) → (xf ,yf )/cf , η → ηf /(cf ρ0f
p0f
)
t → tf /(p0f2 ρ0f
Výsledný tvar Navierových-Stokesových rovnic je stejný, jako před normováním, pouze proměnné neznamenají fyzikální veličiny, ale normované.
3.3.2
Vyjděme z rovnic (3.1). Pro každý časový úsek ∆t = t(n+1) − t(n) a každý libovolný objem
Ωi ⊂ Ω, s dostatečně hladkou hranicí, musí platit
ZZ Z
Ωi
t(n+1)
t(n)
wt dt dx dy = −
ZZ Z
Ωi
+
ZZ Z
Ωi
t(n+1)
t(n)
t(n+1)
t(n)
µ
f (w)x + g(w)y
¶
dt dx dy +
¶
µ
r(w)x + s(w)y dt dx dy.
(3.17)
3.4. Numerické výsledky řešení
41
Úpravami popsanými v kapitole 2.4 tento systém převedeme na


¶
Ni
Ni µ
X
X
∆t
−
win+1 − win =
f (wn )nj lj ~nj +
r(wn )j ∆yj − s(wn )j ∆xj  .
µ(Ωi )
j=1
(3.18)
j=1
Vektor numerického toku vyřešíme Roeho Riemann solverem, jak bylo popsáno v kapitole
2.4.3. Pro získání hodnoty ve středu buňky v další časové vrstvě nyní stačí pouze dosadit za
vazké toky.
Pro výpočet derivací, které se vyskytují ve vazkých tocích se použije Greenova věta přes
pomocné objemy, zobrazené na obr. 3.1.
Pro řešení se použije úprava na vyšší řád přesnosti v čase i v prostoru, což sníží numerickou
vazkost.
Pro výpočet dynamické vazkosti η se může použít Sutherlandův vztah
3
η = η0 (T /T0 ) 2
T0 + T S
,
T + TS
(3.19)
kde η0 je vazkost při T0 = 273 K, TS je Sutherlandova konstanta, která se pro vzduch v rozsahu
teplot (0, 300 o C) rovná 114 K, nebo se předpokládají malé změny teploty a vazkost se
aproximuje jako konstatní.
3.4
Numerické výsledky řešení
Pozor!
Následující numerické výsledky dokumentují chování numerické metody. Numerická metoda je testována při různých Reynoldsových číslech, i při těch, při kterých již laminární proudění není stabilní. Zde uvedené výsledky tedy často nemají
fyzikání význam.
3.4.1
Zakřivený kanál
Prvním testovacím případem je proudění v zakřiveném kanálu. Počítáno bylo pro Machovo
číslo v izoentropickém případě Maizo = 0,675. Pomocí izoentropických vztahů byl vypočten
poměr p2 /p0 = 0,737. Prandtlovo číslo bylo zadáno standardně Pr = 0,7. Dále byla zadána
dynamická viskozita, tak jak je uvedeno v následující tabulce:
Režim
p2 /p0
√
η/(c ρ0 p0 )
Pr
Re
Ma1
Ma2
I
0,737
2,5.10−3
0,7
80
0,187
0,245
II
0,737
2,5.10−5
0,7
2.104
0,508
0,570
III
0,737
2,5.10−6
0,7
2,5.105
0,653
0,663
IV
0,737
2,5.10−7
0,7
2,4.106
0,673
0,674
42
Obrázek 3.3: Zakřivený kanál – výpočetní síť 6109 elementů.
Na základě těchto vstupních hodnot byly vypočteny hodnoty Machova čísla na vstupu a
výstupu a Reynoldsovo číslo. Na obr. 3.4 je znázorněno postupné ztenčování mezní vrstvy při
rostoucím Reynoldsově čísle. Dále je vidět, že metoda zachytí velký rozsah Reynoldsových
čísel.
3.4.2
Jako další testovací příklad pro řešení vazkého proudění byla zvolena turbínová mříž Škoda
Plzeň SE1050. V době řešení problému nebyla dostupná vhodná nestrukturovaná nebo hybridní síť. Úloha byla proto řešena na strukturované síti s 5400 elementy, ke které však bylo
přistupováno jako k nestrukturované. Síť je zobrazena na obr. 3.5.
√
Pro řešení byla zadána normovaná hodnota dynamické viskozity η/(c ρ0 p0 ) = 10−6 ,
tlakový poměr p2 /p0 = 0,4, úhel náběhu α = 19,3◦ a Prandtlovo číslo Pr = 0,7. Reynoldsovo
číslo2 vyšlo 2,6.105 a výstupní Machovo číslo Ma2 = 1,204. Na obr. 3.6(a) jsou zobrazeny
izočáry machova čísla a detail kolem odtokové hrany. Na obr. 3.6(b) je výpočet na stejné síti
provedený metodou s TVD Mac Cormackovým schématem (Fürst 2000 [10]). Všimněme si
výrazně menšího ohnutí izočar na sací straně lopatky v první třetině profilu. Dále si všimněme,
že u prezentované metody nejsou přítomny oscilace (například v oblasti před rekompresní
zónou – přibližně v polovině na sací straně lopatky nebo v oblasti za lopatkou). Na druhou
stranu však u prezentované metody zcela chybí zachycení vnější výtve výstupních rázových
vln, zřejmně danné vyšší numerickou vazkostí. Při tomto režimu jsou rázové vlny slabé, takže
můžeme pozorovat pouze nevýraznou interakci rázové vlny s mezní vrstvou.
2
Charakteristický rozměr je rozteč lopatek.
43
(a) Re = 80
(b) Re = 2.104
(c) Re = 2,5.105
(d) Re = 2,4.106
Obrázek 3.4: Izočáry Machova čísla pro různé hodnoty Reynoldsova čísla
44
Obrázek 3.5: Turbínová mříž SE1050 – síť pro vazký výpočet
(a) Výpočet prezentovanou metodou
45
(b) Výpočet metodou s TVD Mac Cormackovým schématem (Fürst 2000 [10])
Obrázek 3.6: SE1050 vazký výpočet. Izočáry Machova čísla. Re = 2,6.10 5 , Ma2 = 1,204.
46
Kapitola 4
Trojrozměrné nevazké proudění
4.1
Eulerovy rovnice v konzervativním tvaru
Eulerovy rovnice v konzervativní formě lze pro 3D proudění bez uvažování vnějších sil
zapsat ve tvaru:
wt + fx + gy + hz = 0,



w=


ρ
ρu
ρv
ρw
e






, f = 




(4.1)
ρu
ρu2 + p
ρuv
ρuw
(e + p)u






, g = 




ρv
ρuv
ρv 2 + p
ρuw
(e + p)v






, h = 




ρw
ρuw
ρvw
ρw2 + p
(e + p)w



 , (4.2)


kde w je vektor neznámých, ρ je hustota, (u,v,w) jsou složky rychlosti v kartézském souřadném
systému, p je tlak, e je celková energie vztažená na jednotku objemu a f , g a h jsou vektory
toků. Systém Eulerových rovnic je uzavřen vztahem pro celkovou energii ideálního plynu
e =
1
p
+ ρ(u2 + v 2 + w2 ),
γ−1 2
(4.3)
kde γ je adiabatický koeficient.
4.2
4.2.1
Formulace úlohy
Axiální statorová mříž
Mříž je tvořena k lopatkami umístěnými radiálně v určité vzdálenosti od osy. Na obrázku
4.1 si popíšeme jednotlivé okrajové podmínky. Vstupní řez tvoří strana AIPH, výstup tvoří
DEML, stěny jsou tvořené prostorovými n-úhelníky ABCDEFGH, IJKLMNOP, BCKL a
GFNO. Periodická okrajová podmínka je předepsána na stěnách ABJI, HGOP a CDLK,
FEMN. Tyto stěny spolu svírají úhel 2π/k.
Úlohou je najít funkci w(x,y,z,t) na oblasti Ω ∈ R3 × R+ , která má tyto vlastnosti:
• w ∈ C 1 (Ω \ B), kde B je množina konečného počtu křivek (rázových vln) míry 0.
• w na křivkách nespojitosti B splňuje Rankien-Huginotovy podmínky.
47
48
O
N
P
J
M
K
I
L
G
F
H
B
E
C
A
D
Obrázek 4.1: Řešená oblast – 3D statorová mříž
• w vyhovuje rovnici
Z
t2
t1
¶
ZZZ µ
wt + fx + gy + hz dx dy dz dt = 0
(4.4)
D
pro libovolné t2 > t1 a oblast D ⊂ Ω.
• w|t=0 splňuje počáteční podmínky w|t0 = w0 .
• w splňuje tyto okrajové podmínky (předpokládáme podzvukovou složku rychlosti ve
směru normály na hranici).
– vstup – jsou zadány tři veličiny v závislosti na vzdálenosti R od osy otáčení (klidová
hustota ρ0 , klidový tlak p0 , úhel náběhu α vzhledem k ose otáčení).
– výstup – je zadána jedna veličina v závislosti na vzdálenosti R od osy otáčení
(p2 /p0 ).
– stěna – podmínka neprostupnosti. Normálová složka rychlosti je nulová.
– periodicita – hodnota funkce w je rovna hodnotě odpovídajícím způsobem pootočeném vektoru na odpovídající periodické hranici.
4.3
49
4.3.1
Vyjděme z rovnic (4.1). Pro každý časový úsek ∆t = t(n+1) − t(n) a každý libovolný objem
Ωi ⊂ Ω musí platit
ZZZ Z
Ωi
t(n+1)
t(n)
wt dt dx dy dz =
=−
ZZZ Z
Ωi
t(n+1)
t(n)
(4.5)
µ
¶
f (w)x + g(w)y + h(w)z dt dx dy dz.
Úpravami obdobnými k úpravám uvedeným v kapitole 2.4.2 převedeme tyto rovnice na tvar
N
win+1
win
−
i
∆t X
f (wn )nj Sj ~nj ,
=−
µ(Ωi )
(4.6)
j=1
kde f (wn ) je numerický tok ve směru vnější normály ~nj a Sj je povrch plochy Sj . Objem
konečného objemu je µ(Ωi ). Pro výpočet hodnoty vektoru neznámých w v další časové vrstvě
je třeba určit velikost numerického toku ve směru normály.
4.3.2
3D Riemann solver
Mějme Eulerovy rovnice ve 3D pro řešení Riemannova problému zapsané v konzervativním
tvaru
wt + f (w)x = 0,
(4.7)
s počátečními podmínkami
½
wL pro x < 0
w(x,0) =
,
wR pro x > 0
(4.8)
kde



w=


ρ
ρu
ρv
ρw
e









f =


ρu
ρu2 + p
ρu v
ρu w
u(e + p)



.


(4.9)
Mějme Jacobiho matici toku Eulerových rovnic (4.7)
A(w) =
∂f
.
∂w
(4.10)
Podle pravidla o derivování smíšené funkce je možno rovnici (4.7) přepsat do tvaru
w + A(w)wx = 0.
(4.11)
50
Roe 1981 [18] nahradil Jacobiho matici A(w) v rovnici (4.11) konstantní maticí
Ã = Ã(wL ,wR ),
(4.12)
která závisí pouze na stavu wL vlevo od rozhraní a stavu wR vpravo od rozhraní. Tím se
Riemannův problém popsaný soustavou rovnic (4.7) převede na linearizovaný aproximativní
Riemannův problém
wt + Ãwx = 0,
(4.13)
který je dále řešen exaktně.
Pro hyperbolickým systémem o m rovnicích musí matice Ã mít následující vlastnosti:
• A) Hyperbolicita systému: Matice Ã musí mít reálná vlastní čísla λ̃i = λ̃i (wL ,wR ),
i = 1, . . . ,m a lineárně nezávislé pravostranné vlastní vektory
R̃(1) , R̃(2) ,
...
,R̃(m) .
(4.14)
• B) Konzistence s exaktním Jacobiánem
Ã(w,w) = A(w)
(4.15)
• C) Konzervativita podél nespojitostí
f (wR ) − f (wL ) = Ã(wR − wL )
(4.16)
U lineárního problému (4.13) je známo, že stavy nalevo wL a napravo wR od rozhraní lze
vyjádřit pomocí lineární kombinace vlastních vektorů R̃(i)
wL =
m
X
(i)
ai R̃ ,
wR =
i=1
m
X
bi R̃(i) ,
(4.17)
i=1
kde ai a bi jsou reálné koeficienty.
Z tohoto je zřejmé, že je možno rozdíl stavů
∆w = wR − wL
(4.18)
vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních vektorů
∆w = wR − wL =
m
X
α̃i R̃(i) ,
(4.19)
i=1
kde α̃i = α̃i (wR ,wL ) je koeficient pro R(i) . Řešení wi+ 1 (x/t) v bodě x = 0 je možno napsat
2
jako
X
wi+ 1 (0) = wL +
α̃i R̃(i)
(4.20)
2
λ̃i ≤0
nebo
wi+ 1 (0) = wR −
2
X
λ̃i ≥0
α̃i R̃(i) .
(4.21)
51
Najděme nyní odpovídající numerický tok.
Rovnici (4.7) jsme nahradili lineární rovnicí (4.13), kterou lze alternativně zapsat jako
modifikovaný konzervativní systém
wt = f (w)x = 0
(4.22)
s tokem
f (w) = Ãw.
(4.23)
Numerický tok nelze jednoduše vypočítat jako
fi+ 1 = Ãwi+ 1 (0),
2
(4.24)
2
protože například při nadzvukovém proudění zprava bychom dostali tok fi+ 1 6= fL . Z integrál2
ních vztahů (viz například Toro 1997 [14]) lze odvodit, že lze použít kterýkoliv z ekvivalentních
vzorců
X
α̃i λ̃i R̃(i)
(4.25)
fi+ 1 = fL +
2
λ̃i ≤0
fi+ 1
2
fi+ 1
2
= fR −
=
X
α̃i λ̃i R̃(i)
(4.26)
λ̃i ≥0
m
1
1X ˜
(fL + fR ) −
α̃i |λi |R̃(i) .
2
2
(4.27)
i=1
Uvedené vztahy (4.13) až (4.27) jsou platné pro jakýkoliv hyperbolický systém a jakoukoliv
linearizaci. Eulerovy rovnice jsou jen speciálním případem pro m = 5.
Nyní je třeba najít střední hodnoty α̃i , λ̃i a R̃(i) .
Aproximativní Roeho Riemann solver
Pro konstrukci matice Ã je vhodné zvolit si vektor parametrů Q tak, aby vektor konzervativních proměnných w i vektor toků f se daly vyjádřit jako
w = w(Q),
f = f (Q),
(4.28)
tak, že jsou maximálně kvadratickou funkcí parametrů Q (pak bude možné použít maticový
počet). Změny
∆w = wR − wL ,
∆f = f (wR ) − f (wL )
(4.29)
budou vyjádřeny vyjádřit jako funkce změny
∆Q = QR − QL .
(4.30)
Dále budou střední hodnoty získány jako střední hodnoty parametru Q. Nyní najděme matice
B̃ a C̃ tak, aby platilo
∆w = B̃∆Q,
∆f = C̃∆Q.
(4.31)
Tím získáme vztah
∆f = (C̃B̃−1 )∆w
(4.32)
52
a z toho je zřejmé, že
Ã = C̃B̃−1 .
(4.33)
Aplikujme tento postup na Eulerovy rovnice (4.7).
Vektor parametrů je zvolen




1
q1


 q2 

 √  u 



Q̃ = 
 q3  = ρ  v  .
 w 
 q4 
H
q5
H=
(4.34)
e+p
ρ
(4.35)
Matice B̃ a C̃ jsou voleny takto:

2q̃1
0
0
 q̃2
q̃1
0
1
q̃
0
q̃
B̃ = 
3
1
2
 q̃4
0
0
γ−1
γ−1
q̃5
γ
γ q̃2
γ q̃3


1
C̃ = 
2

0
0
0
q̃1
γ−1
γ q̃4

0
0
0
0





q̃1
γ
(4.36)
q̃1
0
0
γ+1
γ−1
γ−1
γ q̃2 − γ q̃3 − γ q̃4
q̃3
q̃2
0
q̃4
0
q̃2
q̃5
0
0
q̃2
γ−1
γ q̃5
0
0
0
0
γ−1
γ q̃1
0
0
q̃2



.


(4.37)
Roeho matice Ã se vypočte ze vztahu (4.33). Její vlastní čísla jsou
λ̃1 = ũ − ã,
λ̃2 = λ̃3 = λ̃4 = ũ,
λ̃5 = ũ + ã
a jim odpovídající vlastní vektory



1
1
 ũ
 ũ − ã 



,
ṽ
R̃(2) = 
R̃(1) = 
 ṽ


 w̃


w̃
1 2
H̃ − ũ ã
2 Ṽ
R̃
kde Ṽ 2 = ũ2 + ṽ 2 + w̃2 .
(4)



=


0
0
0
1
w̃



,


R̃



,


(5)
R̃



=


(4.38)
(3)



=


1
ũ + ã
ṽ
w̃
H̃ + ũ ã
0
0
1
0
ṽ



,





,


(4.39)
Symbol .̃ je označení pro Roeho průměrování podle vzorců
√
√
ρL uL + ρR uR
ũ =
√
√
ρL + ρR
√
√
ρ L vL + ρ R vR
ṽ =
√
√
ρL + ρR
√
√
ρ L wL + ρ R wR
w̃ =
√
√
ρL + ρR
√
√
ρL HL + ρR HR
H̃ =
√
√
ρL + ρR
1
ã2 = (γ − 1)(H̃ − Ṽ 2 ).
2
53
(4.40)
Pro výpočet numerických toků nyní potřebujeme vyjádřit rozdíl stavů jako lineární kombinaci středovaných vlastních vektorů
∆w =
5
X
α̃i R̃(i) .
(4.41)
i=1
Z rovnic (4.39) jasně plyne, že rovnice (4.41) se rozepíše
∆u1 = α̃1 + α̃2 + α̃5
(4.42)
∆u2 = α̃1 (ũ − ã) + α̃2 ũ + α̃5 (ũ + ã)
∆u3 = α̃1 ṽ + α̃2 ṽ + α̃3 + α̃5 ṽ
∆u4 = α̃1 w̃ + α̃2 w̃ + α̃4 + α̃5 w̃
1
∆u5 = α̃1 (H̃ − ũã) + Ṽ 2 α̃2 + α̃3 ṽ + α̃4 w̃ + α̃5 (H̃ + ũã),
2
kde ∆ui je i-tá složka vektoru ∆w. Toto je soustava rovnic, kterou lze velmi snadno řešit.
α̃3 = ∆u3 − ṽ ∆u1
α̃4 = ∆u4 − w̃∆u1
´
γ−1³
2
α̃2 =
∆u
(
H̃
−
ũ
)
+
ũ
∆u
−
∆u
1
2
5
ã2
1
α̃1 =
(∆u1 (ũ + ã) − ∆u2 − ãα̃2 )
2ã
α̃5 = ∆u1 − (α̃1 + α̃2 )
(4.43)
(4.44)
(4.45)
(4.46)
(4.47)
Zde je ∆u5 modifikováno na
∆u5 = ∆u5 − (∆u3 − ṽ ∆u1 )ṽ − (∆u4 − w̃∆u1 )w̃.
4.3.3
(4.48)
Numerická aproximace okrajových podmínek
Vstup Na poloměru, na kterém leží vstupní buňka, je zadána hodnota klidového tlaku,
klidové hustoty a úhlu náběhu. Dále je do pomocné buňky extrapolováno Machovo číslo na
vstupu. Z izoentropických vztahů a zadaných hodnot na vstupu jsou určeny všechny hodnoty
vektoru proměnných.
54
2
0.8
0.7
0.6
1
P2/P0
UHEL [RAD]
1.5
PHI
ETA
THETA
0.5
0.4
0.5
0.3
0
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
R
(a) Úhly na vstupu k ose x, y a z.
0.2
0.7
0.9
1.1
1.3
1.5
1.7
1.9
R
(b) Rozložení tlaku na výstupu
Obrázek 4.2: Turbínová statorová mříž SE-3D1 – rozložení veličin na vstupu a výstupu v závislosti na poloměru
Výstup Z poslední buňky na výstupu jsou extrapolovány hodnoty hustoty ρ a složky rychlostí (u,v,w). Pomocí vztahu pro celkovou energii ideálního plynu (2.2) je z výstupního tlaku
na poloměru na kterém se nachází buňka dopočítána velikost celkové energie e.
Stěna Podmínka na stěně je splňována metodou zrcadlení, kdy jsou do pomocné buňky
vhodně přenášeny hodnoty w z poslední buňky u stěny.
Periodicita Do pomocné buňky se přenese odpovídajícím způsobem pootočená hodnota
z odpovídající periodické buňky.
4.4
Numerické výsledky
Jako 3D testovací příklad byla zvolena turbínová statorová mříž Škoda Plzeň SE-3D1.
Na vstupu byly zadány úhly nabíhajícího proudu v závislosti na poloměru (viz obr. 4.2(a)).
Dále byly zadány normované klidové veličiny ρ0 = 1 a p0 = 1. Na výstupu byl zadán tlakový
poměr výstupního tlaku ke klidovému tlaku p2 /p0 v závislosti na poloměru (viz obr. 4.2(b)).
Výpočet byl proveden pro medium s adiabatickým koeficientem γ = 1,12.
Protože v době řešení problému nebyl dostupný vhodný 3D generátor nestrukturované
sítě, úloha byla řešena na strukturované síti typu H, skládající se z 90x24x17 šestistěnných
elementů. Síť byla sice strukturovaná, ale v programu k ní bylo přistupováno jako k nestrukturované.
Na obrázku 4.3 jsou zobrazena pole Machova čísla v pěti řezech v celkovém pohledu.
Na obrázku 4.4 jsou zobrazeny izočáry tlaku v řezech extrapolované na spodní stěnu u paty
lopatky, uprostřed lopatky a extrapolované na stěnu u špičky lopatky. Na obr. 4.4(a) jsou zobrazeny výsledky výpočtu provedeného prezentovanou metodou. Na obr. 4.4(b) jsou zobrazeny
výsledky výpočtu metodou založenou na TVD Mc Cormackově schématu (viz. Fořt, Fürst,
Halama, Kozel 1997 [5]). Při srovnání těchto výsledků se můžeme všimnout málo ostrých
rázových vln. To je způsobeno tím, že metoda je pouze prvního řádu přesnosti a obsahuje
4.4. Numerické výsledky
55
SE-3D1  22 Aug 2000 
2
Z
X
Y
1.5
Z
1
M
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.5
Obrázek 4.3: 0.5Turbínová statorová mříž SE-3D1 – pole Machova čísla – celek
v sobě vysoké tlumení. Dalším faktorem přispívajícím k tomuto výsledku je velmi hrubá síť.
Pro lepší zachycení rázových vln by bylo vhodné použít lepší sítě a případně její adaptace.
Na obr. 4.5 je zobrazeno porovnání vypočtených průběhů Machova čísla na vstupu a
výstupu v závislosti na poloměru. Nižší Machovo číslo na výstupu je opět dáno vysokou
dissipativností upwind schématu prvního řádu a hrubou výpočetní sítí.
56
Rez u paty
lopatky
Rez u paty
lopatky
Rez uprostred
lopatky
Rez uprostred
lopatky
Rez u spicky
lopatky
Rez u spicky
lopatky
(a) Roe 1. řád aproximace
(b) TVD Mc Cormack (viz. Fořt, Fürst,
Halama, Kozel 1997 [5])
Obrázek 4.4: Turbínová statorová mříž SE-3D1 – izočáry tlaku v jednotlivých řezech – srovnání výpočtů prezentovanou metodou a metodou založenou na TVD Mc Cormackově schématu
4.4. Numerické výsledky
57
0.39
1.4
Roe 1st order
TVD Mc Cormack
Roe 1st order
TVD Mc Cormack
0.37
1.2
0.33
Ma
Ma
0.35
1
0.31
0.29
0.8
0.27
0.25
0.8
1
1.2
R
1.4
1.6
0.6
0.8
1.3
1.8
R
(a) Vstup
(b) Výstup
Obrázek 4.5: Turbínová statorová mříž SE-3D1 – srovnání průběhu Machova čísla na vstupu
a výstupu v závislosti na poloměru
58
Kapitola 5
Algebraické modely turbulence
Tato kapitola diplomové práce je věnována různým algebraickým modelům turbulence.
Vyskytují se zde okamžité, střední a fluktuační hodnoty veličin a tomu muselo být přizpůsobeno značení veličin.
Pro výpočet turbulentního proudění se nejčastěji používají středované Navierovy-Stokesovy
rovnice doplněné modelem turbulence. Zde jsou popsány algebraické modely Cebeciho a Smithe, úprava Baldwina a Lomaxe, úprava navržená Rostandem a model Johnsona a Kinga.
Je uvažováno rozšíření na trojrozměrné případy geometrie a s tím modifikace B-L modelu
Yershovem a Rusanovem pro použití v lopatkových strojích.
5.1
Reynoldsovy rovnice
Laminární proudění je zcela popsáno Navierovými-Stokesovými rovnicemi (3.1). Turbulentní proudění popisují tyto rovnice (3.1) pouze v případě, že hodnoty proměnných nejsou
středními hodnotami, ale okamžitými hodnotami veličin (Přímá numerická simulace – Direct
Numeric Simulation). Pro usnadnění výpočtu je možné proměnné rozložit na časovou střední
hodnotu a fluktuaci (Reynolds 1874 [19]), takže např. pro složky rychlosti platí
Ui = U i + u00i ,
(5.1)
kde je střední hodnota dána vztahem
Z t0 +∆t
1
U i = lim
Ui (t) dt.
∆t→∞ ∆t t0
(5.2)
Použití prostého časového středování v rovnicích pro proudění stlačitelné kapaliny nevede
k jejich výraznému zjednodušení, protože ve výrazech se objevují nenulové fluktuace ρu 00i .
Proto lze použít středování podle Favra 1965 [20] entalpie a složek rychlosti s hustotou jako
váhovou funkcí
Ui = Ũi + u0i
(5.3)
kde je
Ũi =
ρUi
ρ
(5.4)
59
60
KAPITOLA 5. ALGEBRAICKÉ MODELY TURBULENCE
střední hodnota složek rychlosti. Při středování podle (5.1) je u00i = 0 a ρu00i 6= 0 zatímco při
středování podle (5.3) je u00i 6= 0 a ρu00i = 0.
Navierovy-Stokesovy rovnice, ve kterých hodnoty proměnných znamenají střední hodnoty,
se označují jako středované Navierovy-Stokesovy rovnice (Reynolds Averaged Navier-Stokes
equations – RANS).
Ve středovaných Navierových-Stokesových rovnicích se předpokládá podle Cebeciho, Stewartsona, Whitelawa 1983 [21], že
Uj
∂p
∂xj
= Ũj
∂p
∂xj
(5.5)
τij
∂Ui
∂xj
= τ̄ij
∂ Ũi
∂xj
(5.6)
∂
(τ̄ij Ũi ).
∂xj
∂
(τij Ui ) =
∂xj
(5.7)
Výrazy ve středovaných Navierových-Stokesových rovnicích, které vyjadřují práci tlakových
sil a disipaci (5.5), (5.6), se podle Cebeciho, Smithe 1983 [22] a Příhody 1990 [23] zanedbávají.
Pro adiabatické proudění v tenké smykové vrstvě se zanedbáním fluktuací teploty lze napsat
ρ00
ρ
= (γ − 1)M̄ 2
u00
,
U
(5.8)
kde M̄ je místní Machovo číslo
M̄ 2 =
Ū 2
.
γRT̄
(5.9)
(Příhoda 1990 [23]). Fluktuace tepelné vodivosti a dynamické vazkosti η = f (T ) se podle
Příhody 1990 [23] a Morkovina 1962 [25] zanedbávají.
Pro řešení středovaných Navierových-Stokesových rovnic při Machově čísle menším než 0,5
jsou rozdíly mezi způsoby středování nepodstatné (Příhoda 1990 [23]), protože většina modelů
turbulence byla odvozena pro nestlačitelné tenké smykové vrstvy, jsou dále označovány střední
hodnoty vodorovnou čarou, i když složky rychlosti a entalpie v středovaných Navierových-Stokesových rovnicích jsou střední hodnoty ze vztahu (5.3).
Podle Boussinesqovy hypotézy (Boussinesq 1877 [26]) lze vyjádřit turbulentní přenos hybnosti pomocí turbulentní vazkosti. Pro dvojrozměrnou mezní vrstvu je turbulentní vazkost
definována vztahem
−ρ̄u0 v 0 = ηt
∂ Ū
∂y
(5.10)
a pro teplotní mezní vrstvu se podle Reynoldsovy analogie vyjadřuje vazba mezi
−ρ̄h0 v 0 = λt
∂ T̄
.
∂y
(5.11)
Středované Navierovy-Stokesovy rovnice tedy mají tvar
Wt + F x + G y = R x + S y ,
(5.12)
5.2. Základní algebraické modely
61
kde
W = |ρ,ρ̄Ū ,ρ̄V̄ ,ē|T
F = |ρ̄Ū ,ρ̄Ū 2 + p̄,ρ̄Ū V̄ ,(ē + p̄)Ū |T
G = |ρ̄V̄ ,ρ̄Ū V̄ ,ρ̄V̄ 2 + p̄,(ē + p̄)V̄ |T
∗
∗
∗
∗
R = |0,τ̄xx
,τ̄xy
,Ū τ̄xx
+ V̄ τ̄xy
− q̄x∗ |T
∗
∗
∗
∗
S = |0,τ̄xy
,τ̄yy
,Ū τ̄xy
+ V̄ τ̄yy
− q̄y∗ |T
2
∗
τ̄xx
= τ̄xx − ρu0 u0 = (η̄ + ηt )[2Ūx − (Ūx + V̄y )]
3
2
∗
τ̄yy = τ̄yy − ρv 0 v 0 = (η̄ + ηt )[2V̄y − (Ūx + V̄y )]
3
∗
0
0
τ̄xy = τ̄xy − ρu v = (η̄ + ηt )(Ūx + V̄y )
µ
¶
η̄
ηt
∗
0
0
T̄x
q̄x = q̄x + ρh u = −cp
+
Pr Prt
µ
¶
η̄
ηt
q̄y∗ = q̄y + ρh0 v 0 = −cp
+
T̄y .
Pr Prt
Prt je turbulentní Prandtlovo číslo
Prt =
η t cp
,
λt
(5.13)
které se považuje za konstantu. Číslo Prt pro vzduch činí Prt = 0,9 (Příhoda 1991 [24]).
Tímto se problém redukuje na určení turbulentní vazkosti ηt nebo νt = ηt /ρ. Pro ηt = 0
rovnice (5.12) popisují laminární proudění.
5.2
Základní algebraické modely
5.2.1
Model Cebeciho a Smithe
Základní algebraický model byl navržen Cebeci a Smithem (Cebeci, Smith 1974 [22]).
Mezní vrstva je rozdělena na dvě oblasti. Ve vnitřní oblasti platí univerzální zákon stěny a ve
vnější oblasti platí zákon úplavu.
Turbulentní vazkost je ve vnitřní oblasti (0 ≤ y ≤ yc ) dána vztahem
¯
¯
¯
¯
2 ¯ ∂ Ū ¯
.
(5.14)
νti = l ¯
∂y ¯
Prandtlova směšovací délka se vypočte vztahem
l = FD κy.
(5.15)
Vliv blízkosti stěny je zahrnut van Driestovou funkcí FD (van Driest 1956 [37])
³ y´
FD = 1 − exp −
A
(5.16)
s parametrem
A
= A+
νw
uτ
(5.17)
62
Pro κ = 0,4 byla určena empirická konstanta A+ = 26 pro obtékání desky při vysokých
Reynoldsových číslech (Příhoda 1991 [24]). Třecí rychlost uτ se podle Příhody 1990 [23] určí
ze vztahu
s
|τw |
,
(5.18)
uτ = sign(τw ) ·
ρw
kde funkce sign bere v úvahu směr tečného napětí na stěně. Tečné napětí na stěně se určí jako
¯
∂ Ū ¯¯
τw =
.
∂y ¯y=0
(5.19)
Ve vnější oblasti (y ≥ yc ) je použit Clauserův vztah
νt o = αŪe δi∗ Fk ,
(5.20)
kde pro dostatečně velká Reynoldsova čísla je parametr α = 0,016 až 0,0168 (Příhoda 1991
[24]). Funkce Fk je dána jako
·
Fk =
1 + 5,5
³ y ´6 ¸−1
δ
(5.21)
a vyjadřuje intermitentní charakter turbulence ve vnější oblasti mezní vrstvy. V rovnici (5.20)
je Ūe rychlost vnějšího proudu a δi∗ je kinematická pošinovací tloušťka
δi∗
=
Z
δ
0
µ
ρ̄Ū
1−
ρ̄e Ūe
¶
dy.
(5.22)
Hranice obou oblastí je v bodě yc , kde platí νto = νti . Obecně lze položit
νt = min(νt i ,νt o )
(5.23)
(Příhoda 1991 [24]).
Cebeci modifikoval původně konstantní hodnotu α ve vztahu (5.20) (Cebeci 1971 [41]).
Do tohoto vztahu se nedosazuje α konstantní, ale dosadí se modifikovaná α mod vypočtená
jako
1 + 1,55
1+Π
p
Π = 0,55[1 − exp(−0,243 ψ − 0,298ψ)],
αmod = α
(5.24)
(5.25)
kde ψ = Reδ2 /425 − 1. Reynoldsovo číslo impulzové tloušťky mezní vrstvy je vypočteno jako
Reδ2
=
Ūe δ2
.
νw
(5.26)
Nevýhodou tohoto modelu je požadavek znalosti rychlostní tloušťky δ, součinu Ūe δi∗ a
třecí rychlosti uτ .
63
Příklad postupu výpočtu
1. Vypočte se kinematická vazkost na stěně νw pomocí vzorce (3.19). V případě výpočtu
úplavu se určí kinematická vazkost v ose úplavu.
2. Vypočte se tečné napětí na stěně τw nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona
(5.19).
3. Vypočte se třecí rychlost uτ pomocí vztahu (5.18).
4. Ze vztahu (5.17) se určí A s parametrem A+ = 26, dosadí se do vztahu pro FD (5.16)
a z rovnice (5.15) se určí směšovací délka l s Kármánovou konstantou κ = 0,4.
5. Vypočte se turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti νti vztahem (5.14).
6. Určí se rychlost vnějšího proudu Ūe jako
Ūe = 0,95 · Ū∞ .
(5.27)
7. Určí se tloušťka mezní vrstvy δ jako místo, kde platí
Ū (y)|y=δ = Ūe .
(5.28)
8. Vypočte se hodnota Fk ze vztahu (5.21).
9. Určí se pošinovací tloušťka mezní vrstvy δi∗ podle rovnice (5.22).
10. Určí se turbulentní vazkost ve vnější oblasti νto podle rovnice (5.20) s parametrem
α = 0,0168.
11. Výsledná turbulentní vazkost νt se určí podle vztahu (5.23).
5.2.2
Model Baldwina a Lomaxe
Model Baldwina a Lomaxe je podobný C-S modelu. Ve vnitřní oblasti se turbulentní
vazkost počítá podle rovnice (5.14), jen příčný gradient rychlosti ∂∂yŪ je nahrazen vířivostí
ω=
∂ Ū
∂y
−
νt i
∂ V̄
∂x ,
tzn.
¯
¯
¯
∂ V̄ ¯¯
.
= l ¯
−
∂y
∂x ¯
2 ¯ ∂ Ū
(5.29)
Ve vnější oblasti platí
νto = αCCP FW Fk ,
(5.30)
kde CCP je přídavná konstanta. Funkce FW je definována jako
FW
= ymax Fmax
pro obtékání stěny
∆U 2
ymax
pro úplav.
Fmax
(5.31)
FW
= CW K
(5.32)
64
Podle Hunga, Buninga 1995 [33] je potom skutečné FW minimum těchto dvou funkcí. Fmax
je maximum funkce
F
= y|ω|FD
(5.33)
a ymax je vzdálenost od stěny v místě Fmax . Tloušťka smykové vrstvy je vyjádřena jako
ymax
,
(5.34)
δ =
CKL
takže funkce (5.21) má tvar
"
µ
¶6 #−1
y
Fk = 1 + 5,5 CKL
.
(5.35)
ymax
∆U je rozdíl mezi maximální a minimální výslednou rychlostí v daném řezu x = konst.
Hodnoty konstant CCP a CKL závisejí na Machově číslu a proto musejí být vhodně zvoleny.
Baldwin a Lomax 1978 [28] používají pro standardní hodnoty κ = 0,4, A+ = 26 a α = 0,0168
konstanty CCP = 1,6, CKL = 0,3, CW K = 0,25. Weisshaar, Reister 1984 [39] doporučují pro
stlačitelné proudění konstantu CCP = 1,2.
V některých případech (supersonické obtékání rohu, interakce šikmé rázové vlny s mezní
vrstvou) má funkce (5.33) více než jedno lokální maximum. Volba maxima blíže ke stěně
způsobuje prudké zvýšení turbulentní vazkosti, proto musí být voleno maximum dále od
stěny.
1. Vypočte se kinematická vazkost na stěně νw pomocí vzorce (3.19). V případě výpočtu
úplavu se určí kinematická vazkost v ose úplavu.
2. Vypočte se tečné napětí τw na stěně nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona
(5.19).
3. Vypočte se třecí rychlost uτ pomocí vztahu (5.18).
a z rovnice (5.15) se určí směšovací délka l pomocí Kármánovy konstanty κ = 0,4.
6. Určí se maximum Fmax a poloha maxima ymax v řezu x = konst. funkce (5.33)
¯µ
¯
¸¶
·
¯ ∂ Ū
∂ V̄ ¯¯
yuτ
¯
−
.
(5.36)
1 − exp − +
F = y¯
∂y
∂x ¯
A νw
7. Určí se hodnota Fk ze vztahu (5.35) s parametrem CKL = 0,3.
8. Určí se rozdíl ∆U mezi maximální a minimální výslednou rychlostí v daném řezu
x = konst.
9. Určí se FW jako minimum ze vztahů (5.31) a (5.32) s parametrem CW K = 0,25.
10. Určí se turbulentní vazkost pro vnější vrstvu νto podle vztahu (5.30) s parametrem
CCP = 1,6 a α = 0,0168.
5.2.3
65
Model Rostanda
Při nepřesném určení δ dochází k značným chybám v určení turbulentní vazkosti. Proto
Rostand 1988 [27] navrhl převést součin Ūe δi∗ v rovnici (5.20) integrací per partes do tvaru
Z δ
Z δ
∂ Ū
∗
y
(Ūe − Ū ) dy =
Ūe δi =
dy,
(5.37)
∂y
0
0
který lze pro přilehlé proudění nahradit vztahem
Z δ
∗
Ūe δi =
y|ω| dy.
(5.38)
0
Při proudění při velkých Reynoldsových číslech klesá velmi rychle se vzdáleností od stěny
nejen vířivost ω, ale i součin y|ω|, takže při výpočtu integrálu (5.38) stačí jen hrubý odhad
δ. Ten se získá pomocí maxima funkce
F = y|ω|.
(5.39)
Tloušťka δ se nahradí vzdáleností od stěny y1 , ve které platí F (y1 ) = χFmax a χ je podle
Příhody 1990 [23] vhodné volit 0,5. Pro určení funkce Fk (5.21) se zavádí délkové měřítko
R y1 2
y |ω| dy
,
(5.40)
lk = R0y1
0 y|ω| dy
které slouží ke stanovení tloušťky smykové vrstvy
δ =
lk
,
Ck
(5.41)
kde Ck je empirická konstanta Ck = 0,45 (Rostand 1988 [27]). Do rovnice (5.16) se dosadí za
A ze vztahu
r
ρ
+
.
(5.42)
A = A ν
τw
Pro proudění s odtržením je smykové napětí na stěně τw nahrazeno lokální hodnotou τ .
Pro výpočet smykového proudění s odtržením se podle Příhody 1990 ukazuje vhodné použít kombinace algebraického k-ε modelu turbulence podle Goldberga 1986 [38] s C-S modelem.
1. Vypočte se tečné napětí τw na stěně nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona
(5.19).
a z rovnice (5.15) se určí směšovací délka l s hodnotou Kármánovy konstanty κ = 0,4.
4. Určí se maximum Fmax funkce (5.39).
5. Určí se vzdálenost od stěny y1 ze vztahu, při kterém je splněna rovnost
F (y1 ) = χFmax
s parametrem χ = 0,5.
(5.43)
66
6. Určí se délkové měřítko l podle vztahu (5.40).
7. Vypočte se tloušťka smykové vrstvy δ podle vztahu (5.41) s použitím konstanty C k =
0,45.
8. Vypočte se hodnota Fk ze vztahu (5.21).
9. Součin Ūe δi∗ se určí podle vztahu (5.38).
10. Určí se turbulentní vazkost ve vnější oblasti νto podle rovnice (5.20) s parametrem
α = 0,0168.
5.3
Algebraický model s diferenciální rovnicí pro rychlostní
měřítko
5.3.1
Model Johnsona a Kinga
Tento model navržený Johnsonem a Kingem 1985 [29] je přechodem od modelů s turbulentní vazkostí k modelům se smykovým napětím. Algebraické vztahy pro turbulentní vazkost
jsou použity pro určení rozložení smykového napětí napříč mezní vrstvou, ale velikost smykového napětí je určena pomocí obyčejné diferenciální rovnice pro maximum smykového napětí.
Turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti je dána vztahem
1
νti = FD2 κy(−uv m ) 2 .
(5.44)
Ve funkci (5.17),(5.16) je použita konstanta A+ = 15.
Ve vnější oblasti se předpokládá průběh turbulentní vazkosti ve tvaru
νt o = K o F k ,
(5.45)
1
kde funkce Fk je dána rovnicí (5.21). Parametr Ko je funkcí rychlostního měřítka (−uv m ) 2 a
určí se z definičního vztahu pro turbulentní smykové napětí ve vzdálenosti ym od stěny
¯
∂ Ū ¯¯
,
(5.46)
−uv m = νtm
∂y ¯m
přičemž νtm je maximum νt z rovnice (5.55).
1
Rovnice pro rychlostní měřítko (−uv m ) 2 je podle Příhody 1990 [23] odvozena z transportní rovnice pro turbulentní kinetickou energii k, kterou lze pro maximální hodnoty k m při
zanedbání vazké difuze psát ve tvaru
" µ
¯
¶#
∂
dkm
∂ Ū ¯¯
p
Ūm
= −uv m
−
v k +
− εm .
(5.47)
|{z}
∂y ¯m ∂y
ρ
| {zdx}
m
|
{z
} |
{z
} disipace
konvekce
produkce
turbulentní difuse
Předpokládá se konstantní poměr turbulentního smykového napětí a turbulentní energie
a1 =
−uv
.
k
(5.48)
5.3. Model s diferenciální rovnicí
67
Tím se rovnice (5.47) upraví na obyčejnou diferenciální rovnici pro maximální hodnotu smykového napětí −uv m . Rychlost disipace εm je aproximována podle
3
εm =
(−uv m ) 2
.
Lm
(5.49)
Při předpokladu místní rovnováhy, t.j. při zanedbání difuze a konvekce dostaneme jednoduchý
vztah odpovídající Prandtlovu vztahu se směšovací délkou
¯
1
∂ Ū ¯¯
2
.
(5.50)
(−uv m )eq = Lm
∂y ¯m
Délkové měřítko je aproximováno vztahy
Lm
ym
ym
= κ
pro
≤ 0,225
δ
δ
δ
ym
Lm
= 0,09
pro
> 0,225.
δ
δ
Byla zavedena proměnná
1
g = (−uv m )− 2
a po úpravě podle Příhody 1990 [23] je rovnice (5.47) ve tvaru
¯
"µ
¶ 1 ¯#
¶
µ
¯
CD Lδm
g
a1
dg
νto 2 ¯¯
¯
¢ ¯1 −
1−
+ ¡
=
¯ ,
¯
dx
geq
νtoeq
2Ūm Lm
a1 0,7 − yδm ¯
kde index
νtoeq
eq
(5.51)
(5.52)
(5.53)
označuje rovnovážné hodnoty smykového napětí a turbulentní vazkosti ve tvaru
= 0,0168Ūe δi∗ Fk .
(5.54)
Při výpočtu byly použity hodnoty a1 = 0,25 a CD = 0,5.
Při řešení rovnice (5.53) se použije místní linearizace, tzn., že všechny veličiny kromě
g a geq jsou aproximovány hodnotami z předchozího kroku x. Tento postup je také použit
při určení (−uv m ), (−uv m )eq a turbulentní vazkosti ve vnitřní oblasti. Počáteční podmínky
maximální hodnoty (−uv m ) a ym jsou určeny z C-S modelu.
Výsledná turbulentní vazkost se vypočte jako
·
µ
¶¸
νti
νt = νto 1 − exp −
.
(5.55)
νto
Pro νti ¿ νto je νt ≈ νti a pro νti À νto je νt ≈ νto , takže není potřeba určovat bod yc
přechodu mezi vnitřní a vnější oblastí smykové vrstvy.
1. Výpočet J-K modelem musí začínat v oblasti, kde nedochází k velkým změnám rych1
lostního měřítka (−uv m ) 2 po proudu. Nejprve je třeba použít C-S model pro určení
počátečních podmínek pro diferenciální rovnici (5.53). Čímž se vyčíslí hodnoty v řezu
x = x0 .
(a) Vypočte se kinematická vazkost na stěně νw pomocí vzorce (3.19). V případě výpočtu úplavu se určí kinematická vazkost v ose úplavu.
68
(b) Vypočte se tečné napětí na stěně τw nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona
(5.19).
(c) Vypočte se třecí rychlost uτ pomocí vztahu (5.18).
(d) Ze vztahu (5.17) se určí A s parametrem A+ = 26, dosadí se do vztahu pro FD
(5.16) a z rovnice (5.15) se určí směšovací délka l s hodnotou Kármánovy konstanty
κ = 0,4.
(e) Vypočte se turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti νti vztahem (5.14).
(f) Určí se rychlost vnějšího proudu Ūe jako
Ūe = 0,95Ū∞
(5.56)
(g) Určí se tloušťka mezní vrstvy δ jako místo, kde platí
Ū (y)|y=δ = Ūe .
(5.57)
(h) Vypočte se hodnota Fk ze vztahu (5.21).
(i) Určí se pošinovací tloušťka mezní vrstvy δi∗ podle rovnice (5.22).
(j) Určí se turbulentní vazkost ve vnější oblasti νto podle rovnice (5.20) s parametrem
α = 0,0168.
(k) Výsledná turbulentní C-S vazkost νt se určí podle vztahu (5.55).
2. Nyní se vypočte rozložení (−uv m ) v závislosti na x.
(a) Určí se maximální C-S turbulentní vazkost νtm a odpovídající rychlost Ūm v řezu
x = x0 ve vzdálenosti ym z předcházejících vazkostí určených podle vztahu (5.55).
(b) Ze vztahu (5.46) se určí −uv m pro počáteční podmínku do rovnice (5.53).
(c) Ze vztahu (5.17) se určí A s parametrem A+ = 15, dosadí se do vztahu pro FD
(5.16) s y = ym .
(d) Určí se Lm ze vztahů (5.51) nebo (5.52) s hodnotou Kármánovy konstanty κ = 0,4.
(e) Určí se Fkm ze vztahu (5.21), kam se za y dosadí ym .
(f) Určí se hodnota K0 vyjádřená ze vztahů (5.46) a (5.45) jako
K0 =
−uv m
¯ .
¯
Fkm ∂∂yŪ ¯
(5.58)
m
(g) Vypočte se turbulentní vazkost ve vnější oblasti νto ze vztahu (5.45), kam se za Fk
dosadí Fkm .
(h) Vypočte se turbulentní vazkost v rovnovážném stavu νtoeq ze vztahu (5.54), za Fk
se dosadí Fkm .
1
2
(i) Ze vztahu (5.50) se určí (−uv m )eq
.
1
−1
(j) Provede se substituce g = (−uv m )− 2 a geq = (−uv m )eq2 .
(k) Numericky se řeší rovnice (5.53) s tím, že všechny veličiny kromě g a geq jsou
1
aproximovány hodnotami z předchozího kroku x. Tím se získá rozložení (−uv m )− 2
v závislosti na x. Parametr a1 = 0,25 a CD = 0,5.
5.4. Rozšíření modelů na 3D
69
3. Nyní se mohou vypočítat samotné turbulentní vazkosti. Z předchozích výpočtů se použije pouze závislost maxima smykového napětí na x −uv m (x) = g(x)−2 . Ostatní veličiny
byly použity pouze pro výpočet počátečních podmínek a budou vyčísleny znovu v požadovaných místech proudu.
(a) Vypočte se kinematická vazkost na stěně νw pomocí vzorce (3.19). V případě výpočtu úplavu se určí kinematická vazkost v ose úplavu.
(b) Vypočte se tečné napětí na stěně τw nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona
(5.19).
(c) Vypočte se třecí rychlost uτ pomocí vztahu (5.18).
(d) Ze vztahu (5.17) se určí A s parametrem A+ = 15, dosadí se do vztahu pro FD
(5.16).
(e) Vypočte se turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti vztahem (5.44) s hodnotou Kármánovy konstanty κ = 0,4.
(f) Určí se rychlost vnějšího proudu Ūe jako
Ūe = 0,95Ū∞ .
(5.59)
(g) Určí se tloušťka mezní vrstvy δ jako místo, kde platí
Ū (y)|y=δ = Ūe .
(5.60)
(h) Vypočte se hodnota Fk ze vztahu (5.21).
(i) Vypočte se turbulentní vazkost ve vnější oblasti ze vztahu (5.45).
(j) Určí se výsledná turbulentní vazkost podle vztahu (5.55).
5.4
Rozšíření modelů turbulence na tři rozměry
Algebraické modely turbulence byly odvozeny pro dvourozměrné proudění, kde je dominantní jen jedna složka Reynoldsova napětí. Pro obecné proudění ve 3D zatím nejsou algebraické modely turbulence uspokojivě rozvinuty. Lze použít stávajících 2D modelů s drobnými
úpravami. Velikost vektoru vířivosti se určí jako
s
¶2 µ
¶2 µ
¶2
µ
∂ V̄
∂ W̄
∂ V̄
∂ W̄
∂ Ū
∂ Ū
+
+
.
(5.61)
−
−
−
|ω| =
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
∂z
Objevují se zde problémy při určení vhodné náhrady za vzdálenost od stěny, pro kterou
byly stávající modely odvozeny, zejména v rozích u dvou stěn. Podle Hunga a Buninga 1985
[33] je vzdálenost od stěny určena jako
yw =
2yz
p
y + z + y2 + z2
(5.62)
a podle Scholtysika 1996 [30] je tato vzdálenost určena jako
yw =
1
³
( y1 )3 + ( z1 )3
´1/3 ,
kde y a z znamenají nejbližší vzdálenosti ke stěnám.
Pro určení νt se použijí předchozí vztahy.
(5.63)
70
5.4.1
Modifikace modelu Baldwina a Lomaxe
Tato modifikace byla navržena Yershovem a Rusanovem 1998 [34] pro výpočet turbulentní mezní vrstvy v podmínkách složité 3D geometrie s odtržením a úplavem v lopatkových
strojích.
Je zvolen křivočarý souřadný systém tak, že osa x směřuje ve směru proudu podél lopatky,
osa y je kolmá na povrch lopatky a z je ve směru podél výšky lopatky.
Algebraické modely turbulence nezachycují přechod z laminárního do turbulentního proudění. U této modifikace je předpokládáno, že proudění je turbulentní, jestliže turbulentní
vazkost je více než 14 krát větší než molekulární vazkost nerozrušeného proudu. V opačném
případě se předpokládá proudění laminární.
Modifikace pro odtržení mezní vrstvy
Oproti B-L modelu, ve kterém se Umin bere 0, je zde Umin rovno minus maximální hodnota
rychlosti zpětného proudu. Dále podle Kinseyho 1988 [36] se koeficient C W v recilkulační zóně
modifikuje
CWmod
= CW (1 + DW ysep /c),
(5.64)
kde ysep je tloušťka zpětného proudu a c charakteristický rozměr. DW podle Yershova a
Rusanova 1998 [35] bývá 50.
V oblasti odtržení se napětí na stěně τw nahradí integrální střední hodnotou podél profilu
v délce L podle vzorce
Z L
1
τw (z) dz,
(5.65)
τ̄w =
L(z) 0
kde L je délka lopatky.
Historie turbulence se zahrne pomocí relaxačního vztahu
νt(i)
= (1 − χ)ν̃t(i) + χνt(i−1) ,
(5.66)
kde νt(i) je vypočtená vazkost, ν̃t(i) je vazkost, která vyšla výpočtem z této modifikace B-L
modelu a νt(i−1) je vazkost o jednu buňku výše směrem proti proudu. Relaxační parametr χ
bývá kolem 0,1 až 0,3.
Modifikace pro výpočet úplavu
Z důvodu obtížného určování tloušťky smykové vrstvy pro 3D proudění je vhodnější určovat vazkost vnější vrstvy jako
ηCL = max(ηte )Fk ,
y
(5.67)
kde ηte je turbulentní vazkost na odtokové hraně a Fk je Klebanoffova intermitentní funkce
daná rovnicí (5.21), do které se tloušťka úplavu odhadne jako
δ = min(ymax /Ck ,2δW ),
(5.68)
δW je tloušťka mezní vrstvy v úplavu, t.j. vzdálenost mezi osou úplavu a bodem v úplavu,
.
kde vířivost nabývá maximální hodnoty. Většinou platí δ = 2δW . Osa úplavu je určena jako
plocha, kde je rychlost minimální a entropická funkce dosahuje svého maxima.
5.5. Závěr
71
Pro výpočet ηt v blízkosti úplavu se použije vzorec
ηt = ηCL + (ηte − ηCL ) exp
−x
,
20δte
(5.69)
kde ηCL je vazkost vypočtená vzorcem (5.67), ηte je hodnota vazkosti na odtokové hraně z B-L
modelu, x je v tomto případě vzdálenost od odtokové hrany a δte je tloušťka mezní vrstvy na
odtokové hraně.
Turbulentní vazkost v 3D případu s vlivem několika stěn je určena jako průměr turbulentních vazkostí s vlivem pouze jedné stěny, vážený vzdáleností od jednotlivých stěn.
5.5
Závěr
Uvedené modely jsou použitelné pro turbulentní proudění bez odtržení, kdy nedochází
k prudkým změnám okrajových podmínek. Nevýhodou těchto modelů je nutnost splnění
podmínky místní rovnováhy, která zanedbává vliv historie na vývoj proudění ve smykové
vrstvě.
V roce 1986 porovnal Coakley [40] algebraický C-S model, B-L model, J-K model se třemi
různými alternativami dvouparametrického k-ε modelu. Jako testovací případ bylo zvoleno
obtékání profilu RAE 2822 při různých režimech. Ukázalo se, že pro přilehlé podkritické proudění jsou rozdíly mezi modely velmi malé, ale zvětšují se při nadkritickém režimu v blízkosti
rázové vlny. Nejlepší shodu s experimentem, zejména při proudění s odtržením, dává J-K
model.
Pro výpočet proudu uvažující odtržení a určitou aproximaci přechodu do turbulence je
možné použít modifikaci B-L modelu navrženou Yershovem a Rusanovem. Snadnost numerické
realizace je srovnatelná s řešením laminárního proudění.
Na závěr bych chtěl upozornit na práci Dolejší, Feistauer, Felcman [42], ve které je popsáno
konkrétní požití modelu Cebeciho a Smithe, Baldwina a Lomaxe na nestrukturované síti. Jsou
zde srovnány výsledky na turbínové mříži SE1050. V této práci jsou také další odkazy na
literaturu týkající se implementace algebraických modelů turbulence na nestrukturovaných
sítích.
72
Závěr
Nedílnou součástí této diplomové práce je vyvinutí a naprogramování numerických metod.
Tyto metody ukazují na mnoho důležitých vlastností. Jsou to zejména:
• Metoda prvního řádu dosahuje menších maxim Machova čísla a vyhlazuje řešení. Použití adaptace na metodu prvního řádu nezmění celkový charakter řešení, ale zaostří
zachycení rázových vln.
• Upwind metoda vyššího řádu lépe vystihne oblasti s vyšším gradientem a správně zachytí sílu rázových vln. Pro dosažení velikosti maxima Machova čísla před rázovou vlnou,
jak tomu bývá u centrálních schémat, je třeba použít adaptace. Výhodou popsaného
schématu je TVD vlastnost, která zabraňuje oscilacím řešení zejména v blízkosti rázových vln a neobsahuje konstanty závislé na konkrétním počítaném případě. Výhodou
navržené implementace MUSCL interpolace je její kompaktní support, takže dochází
k menšímu vyhlazení řešení.
• Popsaná metoda pro výpočet vazkého proudění je schopná zachytit velký rozsah Reynoldsových čísel.
Vyvinuté metody se ukazují jako vhodné pro výpočet transsonického proudění, což bylo
ověřeno pro případ lopatkových mříží. Výhodou je možnost použití nestrukturované sítě. To
je výhodné při výpočtu na oblastech se složitou geometrií a dále je možné použít adaptaci na
oblastech, které původní síť nedostatečně vystihla.
Vyvinuté numerické metody byly použité pro výpočet radiální turbínové statorové mříže.
Řešení nebylo možné nalézt v dostupné literatuře ani nebyla k dispozici žádná experimentální data. Získané výsledky potvrzené nezávislými metodami byly podkladem pro zlepšení
účinnosti vyráběného lopatkového stroje.
Pro další vývoj navrhuji:
• pro dvojrozměrné metody:
– u vazkého výpočtu použít model turbulence
– vyvinout pokročilejší algoritmy adaptace
– dosáhnout zrychlení výpočtu paralelní implementací programu a/nebo implicitní
metodou výpočtu
• pro trojrozměrnou metodu:
– vyvinout metodu vyššího řádu
– použít plně nestrukturovanou síť
73
74
ZÁVĚR
– vyvinout algoritmy adaptace
– vyvinout vazkou metodu s modelem turbulence
Příloha
A
Některé používané matematické vztahy
Věta 1 (Greenova věta) Nechť Ω̄ je omezená uzavřená oblast v rovině s hranicí kladně
orientovanou vzhledem k Ω. Nechť její hranici tvoří konečná jednoduchá po částech hladká
uzavřených křivka k. Nechť
P (x,y),
∂Q
(x,y)
∂x
∂P
(x,y),
∂y
Q(x,y),
jsou spojité v Ω̄. Pak
¶
ZZ µ
I
∂Q
∂P
(P dx + Q dy) =
(x,y) −
(x,y) dx dy.
∂x
∂y
Ω
k
(5.70)
Pomocí této věty a věty o střední hodnotě se přímo dají vypočítat derivace
ZZ
I
∂Q
1
∂Q
1
1 X
=
dx dy =
Q dy =
Q̄i ∆yi
∂x
µ(Ω)
µ(Ω) ∂Ω
µ(Ω)
Ω ∂x
(5.71)
i
a
∂P
1
=
∂y
µ(Ω)
ZZ
Ω
∂P
1
dx dy = −
∂y
µ(Ω)
I
∂Ω
P dx = −
1 X
P̄i ∆xi ,
µ(Ω)
(5.72)
i
kde P̄ resp. Q̄ znamená střední hodnotu.
Věta 2 (Gaussova-Ostrogradského) Nechť funkce
P (x,y,z),
Q(x,y,z),
R(x,y,z), a ,
∂P
,
∂y
∂Q
,
∂x
∂R
∂z
jsou spojité v uzavřené oblasti V̄ , jehož hranici tvoří jednoduchá, konečná, po částech hladká
plocha s orientovanou hranicí S. Nechť vnější normála n má směr vně oblasti. Pak
¶
ZZ
ZZZ µ
∂P
∂Q ∂R
(P dy dz + Q dz dx + R dx dy)
(5.73)
+
+
dx dy dz =
∂y
∂x
∂z
S
V
nebo
ZZZ µ
V
∂P
∂Q ∂R
+
+
∂y
∂x
∂z
¶
dx dy dz =
ZZ
(P
S
75
∂y
∂x
∂x
+Q
+ R ) dS.
∂n
∂n
∂n
(5.74)
76
B
PŘÍLOHA
Srovnání rychlostí některých počítačů
V následující tabulce je srovnání doby potřebné pro vypočtení 10 000 iterací metodou
prvního řádu na čtyřúhelníkové síti 90x30 elementů GAMM kanálu, jak je popsána v kapitole
2.4. Je použit vždy pouze jeden procesor. Program byl napsán ve Fortranu 90 ve dvojité
přesnosti a přeložen s nejvyšší možnou optimalizací.
Jméno
CPU
rusalka.it.cas.cz
remus.it.cas.cz
gin.fsid.cvut.cz
spe110.civ.cvut.cz
olda.fsik.cvut.cz
kid.fsik.cvut.cz
petanque.fsik.cvut.cz
spe101.civ.cvut.cz
hal.ruk.cuni.cz
obelix.ruk.cuni.cz
lenochod.fsik.cvut.cz
Alpha
Alpha
RS12000
Power3 64b
HP-PA 9000/782
Pentium III
Pentium II
Power3 32b
MIPS R10000
Alpha 21064
Pentium
f
[MHz]
?
?
300
200
?
450
400
332
195
190
200
Operační
systém
Digital UNIX
Digital UNIX
IRIX 6.5
AIX 4.3.2
HP-UX 10.20
Linux
Linux
AIX 4.3.2
IRIX 6.4
Digital UNIX
Linux
RAM
[MB]
2048
1024
3072
1024
750
265
256
1024
2048
256
64
čas
[s]
119.7
136.3
161.8
200.3
468.2
648.7
840.4
1000.8
1081
1950
2205
Z tohoto srovnání není možno obecně usoudit na rychlost jednotlivých procesorů, protože
je silně závislá na určité úloze, ale je možné si udělat představu o rychlosti, jakou bude
pracovat podobný program na různých počítačích.
Literatura
[1] Cyrus V., Fořt J.: Příspěvek k návrhu osového kompresoru pro energetické účely.
Vnitřní aerodynamika lopatkových strojů. A.S.I. 3. seminář. 1999
[2] Dobeš J., Fořt J., Fürst J., Halama J., Kozel K.: Comparsion of Several Numerical Methods for Internal Transsonic Flow Problems. GAMM 2000. Göttingen.
[3] Dobeš J., Fořt J., Fürst J., Halama J., Kozel K.: Numerical Solution of 3D
Flow Fields Utilized for Problems of Flow Through Transonic Stages. First International
Conference on CFD. Kyoto 2000.
[4] Dobeš J., Fořt J., Fürst J., Halama J., Kozel K.: Computations of Transonic Flow
Through Axial and Radial Cascades. NMICM 2000. MFF UK. Praha 2000. V tisku.
[5] Fořt J., Fürst J., Halama J., Kozel K.: Numerické řešení 3D turbínové mříže II.
Zpráva č. 201-97-127. Vnitřní zpráva U201 FSI ČVUT. 1997
[6] Šťastný M., Šafařík P.: Experimental Analysis Data on the Transsonic Flow Past
the Plain Turbine Cascade. ASME Paper No. 90-GT-313. New York 1990.
[7] Dvořák R., Kozel K.: Matematické modelování v aerodynamice. ČVUT, Praha. 1996.
ISBN 80-01-01541-6
[8] Feistauer M., Dolejší V, Felcman J, Kliková A: Adaptive Mesh Refinement for
Problems of Fluid Dynamics. Colloquium Fluid Dynamic ’99. Institute of Thermomechanics AS CR. Praha 1999. ISBN-80-85918-52-8
[9] Fürst J., Horák J., Kozel K., Vaněk D.: Central and Upwind TVD Schemes Applied in Internal Aerodynamics of Transsonic Internal Flows. Topical Problems of Fluid
Dynamic ’99. Institute of Thermomechanics AS CR. Praha 1999. ISBN-8085918-47-1
[10] Fürst J.: Numerické řešení transsonického proudění užitím moderních schémat metody
konečných objemů a konečných diferencí. Disertační práce. FSI ČVUT, Praha. 2000.
Připraveno k tisku
[11] Harten A., Hyman J. M.: Self Adjusting Grid Methods for One-dimensional Hyperbolic Conservation Laws. J. COMPUT. PHYS., 50:235–269, 1983. Odkaz z [14].
[12] Horák J.: Užití TVD schémat typu upwind k řešení Euleroých a Navier-Stokesových
rovnic. Diplomová práce FJFI ČVUT. Praha 1996.
[13] Steinert W., Eisenberg B., Starken H.: Design and Testing of a Controlled Disusion
Airfiol Cascade for Industrial Axial Flow Compressor Aplication. ASME 90-GT-140 1990
77
78
LITERATURA
[14] Toro E. F.: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer NY
1997. ISBN 3-540-61676-4
[15] Le Veque R. J. Numerical Methods for Conresvation Laws. Basel; Boston; Berlin.
Birkhäuser 1990. ISBN 3-7643-2464-3
[16] Weatherill N. P.: Computational Fluid Dynamics. Mesh Generation in CFD. Von
Karman Institute for Fluid Dynamic: Lecture series 1989–04. 1989
[17] Weatherill N. P., Hassan O., Marcum D. L., Marchant M.J.: Grid Generation.
Grid Generation by the Delaunay triangulation. Von Karman Institute for Fluid Dynamic: Lecture series 1994–02. 1994
[18] Roe, P. L.: Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes.
J. Comput. Phys., 43:357–372, 1981. Odkaz z [14].
Literatura ke kapitole 5
[19] Reynolds O.: On the Dynamic Theory of Incompressible Viscous Flow and the Determination of the Criterion. Phil. Trans. of Royal Soc. London, Ser.A, Vol. 186, 1874.
123–161 (Odkaz z [23])
[20] Favre A.: Équations des gaz turbulents compressibles. Jour. de Mécanique, Vol. 4, 1965,
No. 3, 361–390, No. 4, 391-421 (Odkaz z [23])
[21] Cebeci T., Stewartson K., Whitelaw J. H.: The Calculation of Two-Dimensional
Flow Past Airfoils. Numerical and Physical Aspect of Aerodynamic Flows II. (ed. Cebeci
T.), Springer, Berlin 1983, l – 40 (Odkaz z [23])
[22] Cebeci T., Smith A. M. O.: Analysis of Turbulent Boundary Layers. Academic Press,
New York. 1974 (Odkaz z [23])
[23] Příhoda J.: Algebraické modely turbulence a jejich použití při řešení středovaných
Navier-Stokesových rovnic. Zpráva číslo Z–1153/90. ÚT ČSAV, Praha. 1990
[24] Příhoda J.: Popis modelů turbulence s turbulentní vazkostí pro dvourozměrné proudnění stlačitelné tekutiny. Zpráva číslo Z–1177/91. ÚT ČSAV, Praha. 1991
[25] Morkovin M.V.: Effects of Compressibility on Turbulent Flows. in: Mécanique de la
turbulence (ed. Favre A.). Paris 1962, 367–380. (Odkaz z [23])
[26] Boussinesq J.: Theórie de l’ écoulement tourbillant. Mem. Press. Acad. Sci. Paris. Vol
23, 46, 1877. (Odkaz z [23])
[27] Rostand P.: Algebraic Turbulence Models for Computation of the Two-Dimensional
High Speed Flows Using Unstuctured Grids. NASA CR-181741. 1988 (Odkaz z [23])
[28] Baldwin B., Lomax H.: Thin Layer Approximation and Algebraic Model for Separated
Turbulent Flows. AIAA Paper 78-257. 1978 (Odkaz z [23])
LITERATURA
79
[29] Johnson D. A., King L. S.: A Mathematically Simple Turbulence Closure Model for
Attached and Separated Turbulent Boundary Layers. AIAA Jour. 23, 11, 1985, 1684–
1692 (Odkaz z [23])
[30] Scholtysik M.: On the Solution of Reduced Form of Navier-Stokes Equations (PNS)
for Internal Incompressible Flows. Swiss federal inst. of technology, Zurich. 1996.
[31] Hung C. M., Mac Cormack R. W.: Numerical Solution of Three-Dimensional Shock
Wave and Boundary-Layer Interaction. AIAA., vol. 16, pp. 1090–1096. 1979.
[32] Müller B.: Navier-Stokes Simulation of Subsonic Turbulent Flow Through a Wind
Tunnel Test Section. Computational Fluid Dynamics ’94. J. Wiley & Sons Ltd. 1994. pp.
857–863
[33] Hung C. M., Buning P. G.: Simulation of Blunt-Fin-Inducted Shock-Wave and Turbulent Boundary-Layer Interaction. J. Fluid Mech. 1985, vol. 154, pp. 163–185.
[34] Yershov S. V., Rusanov A. S.: Modification of Algebraic Turbulence Model Used in
Code FlowER, in Modeling Turbulence in Technical Applications, Copybooks of institute
of fluid-flow machinery, Gdansk, Poland, 486. 1997 (odkaz z [35].)
[35] Yershov S. V., Rusanov A. S., Gardzilewicz A., Lampart P. Świrydczuk J.:
Numerical Simulation of 3D Flow in Axial Turbomachines. 1998
[36] Kinsey D. W., Easter F. E.: Navier-Stokes Solution for Thick Supercritical Airfoil
with Strong Shocks and Massively Separated Flow. AAIA Paper No. 0706 (1988) (Odkaz
z [35])
[37] van Driest E. R.: On Turbulent Flow Near a Wall. Jour. Aero. Sci. Vol. 23, 1956,
1007–1011. (Odkaz z [23]).
[38] Goldberg M. C.: Separated Flow Treatment with a New Turbulence Model. AAIA
Jour. 24, 10, 1986. 1711–1713
[39] Weisshaar E., Reister H.: Test und Vergleich von Turbulenzmodellen für die
Grenzschicht- und Navier-Stokes-Gleichungen. Interner Bericht 221–84 A 12, DFVLR–
AVA, Göttingen. 1984 (Odkaz z [32]).
[40] Coakley T. J.: Impact of Turbulence Modelling on Numerical Accuracy and Efficiency of Compressible Flow Simulations. Proc. Int. Conf. on Numerical Methods in Fluid
Dynamic (e.d. Zhuang. F. G., Zhu Y. L.), Springer Berlin, 1986, 186–191
[41] Cebeci T.: Calculation of Compressible Turbulent Boundary Layers with Heat and Mass
Transfer. AIAA J. 9, 6, 1971. 1091–1097 (Odkaz z [23]).
[42] Dolejší V., Feistauer M., Felcman J.: Algebraic Turbulence Models for Unstructured Meshes. Institute of Numerical Mathematics, Fac. of Math. and Phys. Charles University Praha. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~dolejsi/articles/turb.ps.gz

Numerické řešení transsonického proudění v mříži pomocí upwind

Transkript

Podobné dokumenty

Počítačové modelování