Počítačové modelování

Počítačové modelování
Jiří FELCMAN
Technische Universität Braunschweig
KNM PRESS
2005
.
PRAHA
iv
PŘEDMLUVA
1. přednáška
Numerické metody pro stlačitelné prudění - charakteristika předmětu v kontextu pre- a postgraduálního studia
1. [email protected]
• Tel. 47528 4386
• KI č. dv. 541
2. Numerické metody pro stlačitelné proudění - anotace
• http://www.tu-braunschweig.de/cse/intro/indepth?code=9505
3. Tituly
• PhD (angličtina + projekt)
• RNDr.
• Mgr.
• Bc
4. Studium v zahraničí - ERASMUS
5. Hodnocení učitelů - srozumitelnost ‘on line’
6. Zápočet 11. května 2005
část písemná
část ústní
Práce na tomto textu byla částečně podporována Grantovou agenturou České
republiky (projekty č. 201/05/0005 a 101/03/0229) a Ministerstvem školství,
mládeže a tělovýchovy České Republiky (projekt č. MSM 0021620839).
Děkuji panu Petru Šedivému, studentu MFF UK, který napsal v LATEXu tento
učební text a přispěl tak podstatnou měrou k jeho realizaci.
Praha, leden 2005
J. F.
v
OBSAH
Úvod
1
2
3
1
Základní rovnice mechaniky tekutin
1.1 Popis proudění
1.1.1 Lagrangeùv popis proudění
1.1.2 Eulerův popis proudění
1.1.3 Přechod od Eulerova k Lagrangeovu popisu
1.2 Věta o transportu
1.3 Rovnice kontiniuty
1.4 Pohybové rovnice
1.5 Zákon zachování momentu hybnosti; symetrie tenzoru
napětí
1.6 Eulerovy a Navier-Stokesovy rovnice
1.6.1 Vlastnosti koeficientů vazkosti
1.6.2 Reynoldsovo číslo
1.7 Rovnice energie
1.8 Termodynamické vztahy
2
2
3
3
4
5
10
11
13
13
15
16
16
18
Matematická teorie stlačitelného proudění
2.1 Rovnice popisující proudění
2.2 The Euler equations
2.3 Vlastnosti Eulerových rovnic
2.3.1 Homogenita
2.3.2 Hyperbolicita
2.3.3 Rotační invariantnost
2.4 Cauchyho úloha
2.4.1 Kvazilineární skalární rovnice
2.4.2 Lineární skalární rovnice
2.4.3 Cauchyho úoha pro nevazkou Burgersovu rovnici
2.5 Okrajové podmínky
2.6 Slabé řešení
20
20
21
22
22
23
24
26
26
28
Metoda konečných objemù
3.1 Síť konečných objemù
3.2 Odvození základního schéma metody konečných objemù
3.3 Vlastnosti numerického toku
3.4 Konstrukce některých numerických tokù
3.4.1 Skalární lineární rovnice
3.4.2 Kvazilineární skalární rovnice
35
35
vii
30
32
32
36
38
39
39
40
viii
OBSAH
3.5
3.4.3 Eulerovy rovnice:
Godunova metoda
3.5.1 Integrální tvar Riemanova řešiče
3.5.2 Přibližný Riemanùv řešič založený na numerické
kvadratuře
3.5.3 Přibližný Riemanùv řešič založený na vhodné
integrační cestě
40
40
43
46
46
Bibliografie
47
Index
49
ÚVOD
• Mechanika tekutin
Literatura k přednášce: (Feistauer et al., 2003), (Feistauer, 1993), (Kurzweil,
1986), (Abgrall et al., 1999), (Klein et al., 2000), (Sonar, 1997b), (Sonar, 1997a),
(Sonar, 1993a), (Sonar and Süli, 1998), (Sonar, 1993b), (Hannemann et al., 1994),
(Sonar and Warnecke, 1996), (Sonar, 1989), (Sonar et al., 1992), (Hannemann
et al., 1992)
• Reálné situace, modely, diskretizace, počítačová realizace
• Příklad charakterizující problematiku matematického modelování (přednáška na konferenci - fólie)
1
1
ZÁKLADNÍ ROVNICE MECHANIKY TEKUTIN
2. přednáška
Veličiny popisující proudění
•
•
•
•
•
ρ hustota
v rychlost
E celková energie
p tlak, atd.
...
jsou funkcemi prostorových souřadnic a času.
f = f (x, t),
x = (x1 , x2 , x3 ), t - čas,
x ∈ Ωt (⊂ IR3 )
- oblast vyplněná tekutinou v čase t,
t ∈ (0, T ), T > 0 - časový interval v němž uvažujeme proudění.
Označme
M = {(x, t); x ∈ Ωt , t ∈ (0, T )} ⊂ IR4
oblast, v níž je funkce f definována. Předpokládáme, že M je otevřená.
Poznámka 1.1 Je-li Ωt = Ω (nezávislá na čase t, pak) je M = Ω × (0, T )
otevřená.
Poznámka 1.2 Změna Ωt v čase spojitá ⇒ M je otevřená.
Tekutiny mají diskrétní (molekulovou, atomovou) strukturu.
Matematický model - předpokládáme, že tekutina je kontinuum.
Základní hypotéza V každém čase t ∈ (0, T ) v každém bodě x ∈ Ωt se
nalézá právě jedna částice tekutiny.
Zkušební otázka 1.1! Formulujte základní hypotézu mechaniky tekutin
Základní předpoklad Funkce popisující proudění jsou nekonečněkrát spojitě diferencovatelné (později tento předpoklad oslabíme).
Poznámka 1.3 Druhý zákon termodynamiky - za předpokladu dostatečné hladkosti funkcí je zákon splněn.
1.1
Popis proudění
Uvedeme dvě možnosti popisu proudění.
2
POPIS PROUDĚNÍ
1.1.1
3
Lagrangeùv popis proudění
Lagrangeův popis uvažuje pohyb každé individuální částice.
Trajektorie částice je popsána rovnicí
x = ϕ(X, t)
(1.1.1)
(t.j. xi = ϕi (X, t), i = 1, 2, 3). X reprezentuje tzv. referenci určující částici.
Obvykle se používá jako reference X bod, v němž se částice nalézá v čase t0
X = ϕ(X, t0 ).
Někdy používáme detailnější popis trajektorie
x = ϕ(X, t0 ; t).
(1.1.2)
Pak ovšem
X = ϕ(X, t0 ; t0 ),
za předpokladu, že reference jsou identické se souřadnicemi částic v čase t0 .
X1 , X2 , X3 - Lagrangeovy souřadnice,
x1 , x2 , x3
- Eulerovy souřadnice.
Lagrangeův popis ve tvaru 1.1.2 se používá, jestliže uvažujeme pohyb části
tekutiny (piece of fluid) tvořené v každém čase t týmiž částicemi a vyplňující v
čase t oblast V(t) ⊂ IR3 .
Rychlost a zrychlení částice dané referencí X jsou definované
µ
¶
∂ϕ
∂ϕ
(X, t)
=
(X, t0 ; t) ,
(1.1.3)
a)
v̂(X, t) =
∂t
∂t
µ
¶
∂2ϕ
∂2ϕ
(X, t)
=
(X, t0 ; t) ,
b)
â(X, t) =
∂t2
∂t2
za předpokladu existence derivací.
1.1.2
Eulerův popis proudění
Sledování trajektorie každé individuální částice je (někdy) nevýhodné a nákladné
(policejní kontrola rychlosti vozidel). Eulerův popis je založen na určení rychlosti
v(x, t) částice tekutiny procházející bodem x v čase t. Vzhledem k (1.1.1) a
(1.1.3) můžeme psát
v (x, t) = v̂ (X, t) =
∂ϕ
(X, t)
∂t
kde x = ϕ(X, t).
Za předpokladu
v ∈ C 1 (M)3 ,
zrychlení
částice procházející bodem x v čase t je
(1.1.4)
4
ZÁKLADNÍ ROVNICE MECHANIKY TEKUTIN
a(x, t) =
3
X
∂v
∂v
vi (x, t)
(x, t) +
(x, t),
∂t
∂x
i
i=1
neboli
∂v
∂v
Dv
+ (v · grad) v =
+ (v · ∇) v =
.
∂t
∂t
Dt
(Pro jednoduchost proměnné x a t nepíšeme.)
a=
Poznámka 1.4 Značíme
grad f =
µ
∂f ∂f ∂f
,
,
∂x1 ∂x2 ∂x3
¶T
,
¶T
∂
∂
∂
,
,
∇=
,
∂x1 ∂x2 ∂x3


∂v1 ∂v1 ∂v1
 ∂x1 , ∂x2 , ∂x3 


 ∂v ∂v ∂v 
 2
2
2 
∇v = 
,
,
,
 ∂x1 ∂x2 ∂x3 


 ∂v3 ∂v3 ∂v3 
,
,
∂x1 ∂x2 ∂x3
D
∂
∂
=
+ v · grad =
+ v · ∇.
Dt
∂t
∂t
‘Materiální (totální) derivace = lokální drivace + konvektivní derivace’
µ
a·b =
3
X
ai bi .
i=1
Zkušební otázka 1.2 Lagrangeův a Eulerův popis proudění:
• Popište trajektorie částic v Lagrangeově popisu proudění.
• Definujte rychlost v̂ a zrychlení â částice tekutiny s referencí X v Lagrangeově popisu proudění.
• Vyjádřete rychlost v a zrychlení a v Eulerově popisu pomocí definice rychlosti v̂ a zrychlení â v Lagrangeově popisu.
• Definujte operátor totální derivace a vyjádřete zrychlení a v Eulerově popisu jako totální derivaci rychlosti v.
1.1.3
Přechod od Eulerova k Lagrangeovu popisu
Tento problém je ekvivalentní určení trajektorií částic tekutiny na základě daného rychlostního pole v(x, t). Trajektorie částice procházející bodem X ∈ Ωt0
v čase t0 ∈ (0, T ) je dána jako řešení počáteční úlohy
dx
= v(x, t),
dt
x(t0 ) = X.
(1.1.5)
VĚTA O TRANSPORTU
5
Věta 1.5 Za předpokladu v ∈ C 1 (M)3 platí:
1. Pro každé (X, t0 ) ∈ M (tedy pro každou počáteční podmínku) má úloha
(1.1.5) právě jedno maximální řešení ϕ(X, t0 ; t) (definované pro t z intervalu
(αX,t0 , βX,t0 )) (Meze intervalu závisí na počáteční podmínce!).
2. Zobrazení ϕ má spojité parciální derivace 1.řádu podle X1 , X2 , X3 , t0 , t a
∂2ϕ
∂2ϕ
spojité derivace ∂t∂Xi , ∂t0 ∂Xi , i = 1, 2, 3, v množině
{(X, t0 ; t); (X, t0 ) ∈ M, t ∈ (αX,t0 , βX,t0 )} .
Důkaz (Kurzweil, 1986) Věta 10.1.1, 11.1.5, 13.1.1.
2
Poznámka 1.6 Řešení problému (1.1.5) se nazývá maximální, je-li každé řešení
tohoto problému jeho restrikcí.
Zkušební otázka 1.3 Formulujte přechod od Eulerova k Lagrangeovu popisu
jako počáteční úlohu pro určení trajektorie částice na základě zadaného rychlostního pole.
Zkušební otázka 1.4 Formulujte větu o řešitelnosti problému (1.1.5).
1.2
Věta o transportu
Nechť funkce F = F (x, t) : M → IR je Eulerova reprezentace nějaké veličiny
(transportované částicemi tekutiny) a uvažujme systém částic vyplňující omezenou oblast V(t) ⊂ Ωt v čase t. Celkové množství veličiny dané funkcí F , která
je obsažena v objemu V(t) v čase t je rovno integrálu
Z
F(t) =
F (x, t) dx.
(1.2.1)
V(t)
Příklad 1.7 F (x, t) := ρ(x, t) - hustota
Z
m(V(t), t) =
ρ(x, t) dx.
(1.2.2)
V(t)
m(V(t), t) - hmotnost tekutiny v objemu V(t).
Zkušební otázka 1.5 Definujte celkové množství F veličiny F obsažené v
objemu V(t).
V dalším nás bude zajímat okamžitá změna F v závislosti na čase, tj. časová
derivace
Z
dF(t)
d
=
F (x, t) dx.
(1.2.3)
dt
dt V(t)
Příklad 1.8 Zákon zachování hmotnosti (ZZH): Hmotnost m objemu tekutiny
V(t) nezávisí na čase t.
To znamená, že
6
ZÁKLADNÍ ROVNICE MECHANIKY TEKUTIN
d
d m(V(t), t)
=
dt
dt
Z
ρ(x, t) dx = 0.
V(t)
Zkušební otázka 1.6 Definujte okamžitou změnu F ze zkušební otázky 1.5.
Ukážeme, že platí (viz věta o trasportu níže)
dF(t)
d
=
dt
dt
kde div v=
3
P
i=1
Z
V(t)
F (x, t) dx =
Z
V(t)
·
¸
∂F
(x, t) + div(F v)(x, t) dx,
∂t
(1.2.4)
∂vi
∂xi .
Příklad 1.9 S využitím tohoto vztahu lze zákon zachování hmotnosti vyjádřit
jako tzv. rovnici kontinuity (F := ρ)
RK
∂ρ
+ div(ρv) = 0,
∂t
v − rychlost.
Odvození viz níže.
3. přednáška
Vzhledem k závislosti integrační oblasti na čase t nelze v (1.2.3) použít standardní větu o derivaci integrálu podle parametru. Nejprve je třeba použít vhodnou substituci. Předpokládejme, že
F ∈ C 1 (M),
3
v ∈ C 1 (M) ,
ϕ = ϕ(X, t0 ; t)
je řešení z věty 1.5 o řešení problému 1.1.5
dx
= v(x, t),
dt
x(t0 ) = X.
ϕ definuje změnu oblasti V(t) v závislosti na čase t. Nechť t0 je libovolný, ale
pevný časový okamžik a
V(t0 ) ⊂ Ωt0 .
Pak ϕ definuje změnu oblasti V(t) v závislosti na čase
V(t) = {ϕ(X, t0 ; t); X ∈ V(t0 )}
(za předpokladu, že ϕ(X, t0 ; t) je definované pro každé X ∈ V(t0 )).
VĚTA O TRANSPORTU
7
Označme J(X, t) Jacobian zobrazení
V(t0 ) ∋ X −→ ϕ(X, t0 ; t) ∈ V(t) :


∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕ1
,
,
 ∂X1 ∂X2 ∂X3 


 ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ 
Dϕ(X, t0 ; t)

2
2
2 
= det 
J(X, t) = det
,
,
 (X, t0 ; t).
 ∂X1 ∂X2 ∂X3 
DX


 ∂ϕ3 ∂ϕ3 ∂ϕ3 
,
,
∂X1 ∂X2 ∂X3
(1.2.5)
Lemma 1.10 Nechť t0 ∈ (0, T ), V(t0 ) je omezená oblast a nechť V(t0 ) ⊂ Ωt0 .
Pak existuje interval (t1 , t2 ) ∋ t0 tak, že
a) zobrazení ‘ V(t0 ) ∋ X −→ x = ϕ(X, t0 ; t) ∈ V(t)’ je spojitě diferencovatelné, vzájemně jednoznačné zobrazení V(t0 ) na V(t) s Jacobianem (1.2.5), který
je spojitý a omezený a splňuje podmínku:
J(X, t) > 0 ∀X ∈ V(t0 ), ∀t ∈ (t1 , t2 ),
b) platí
∂J
(X, t) = J(X, t) div v(x, t),
∂t
x = ϕ(X, t0 ; t).
Důkaz (technický, podrobnosti viz (Feistauer, 1993) strana 27, Lemma 1.4.5)
Ad a)
Podle věty o lokální jednoznačnosti řešení problému (1.1.5) (viz (Kurzweil,
1986), věta 10.11) existuje ε > 0 :: ∀t ∈ [t0 − ε, t0 + ε] zobrazení ‘V(t0 ) ∋
X −→ x ∈ V(t)’ je vzájemně jednoznačné.
Jeho spojitá diferencovatelnost plyne ze spojité diferencovatelnosti řešení problému 1.1.5. viz 2.část věty 1.5 Dále


∂X1 ∂X1 ∂X1
,
,


 ∂X1 ∂X2 ∂X3 
1, 0, 0


 ∂X ∂X ∂X 



2
2 
2
0, 1, 0 
ϕ(X, t0 ) = X ⇒ J(X, t0 ) = det 
,
,
 = det 
=1>0

 ∂X1 ∂X2 ∂X3 


0, 0, 1
 ∂X3 ∂X3 ∂X3 
,
,
∂X1 ∂X2 ∂X3
and J je spojitý. Proto ∃ (t1 , t2 ) ⊂ (t0 − ε, t0 + ε) :: J je kladný na (t1 , t2 ). Jeho
omezenost plyne z inkluze
{(x, t); t ∈ [t1 , t2 ], x ∈ V(t)} ⊂ M.
8
ZÁKLADNÍ ROVNICE MECHANIKY TEKUTIN
Ad b)
Při výpočtu derivace
měnných.
∂J
∂t ,
uvažujeme determinant J(X, t) jako funkci 9 pro-
J(X, t) = J
µ
∂ϕ3
∂ϕ1
,...,
∂X1
∂X3
¶
.
Jacobian J(X, t) vyjádříme rozvojem podle i-tého řádku, i ∈ {1, 2, 3},
J(X, t) =
3
X
∂ϕi
, Dij (X, t),
∂X
j
j=1
∂ϕ
kde Dij (X, t) je algebraický doplněk prvku ∂Xji .
∂ϕ
∂D
Poznamenejme, že Dij (X, t) nezávisí na ∂Xji takže ³ ∂ ϕij ´ (X, t) = 0.
i
∂
∂Xj
∂ ϕi
∂Xj
Protože J(X, t) je lineární kombinace prvků
s koeficienty Dij , i, j = 1, 2, 3,
platí
∂J
³
´ = Dij i, j = 1, 2, 3
∂ϕ
∂ ∂Xji
Pak
3
X
∂J
∂J
³
´
=
∂ ϕi
∂t
i,j=1 ∂
∂Xj
záměna pořadí derivací
z}|{
=
=
3
X
∂
Dij
i,j=1
³
∂ ϕi
∂Xj
∂t
´
=
3
X
Dij
i,j=1
∂ 2 ϕi
∂Xj ∂t
´
³
∂ϕ
3
∂ ∂t i
X
∂ 2 ϕi
Dij
=
Dij
∂t∂Xj
∂Xj
i,j=1
i,j=1
3
X
3
3
X
X
∂vi ∂ϕk
∂vi
=
Dij
∂Xj
∂xk ∂Xj
i,j=1
k=1



3
3
3 X

X
X
∂v
∂ϕ
i
k

=
Dij 


∂xk j=1 ∂Xj
i=1
k=1
 



3
3
3 X

X
X
X ∂vi X
∂v
∂ϕ
∂ϕ
i
k
k


=
Dij  +
Dij 


∂xk j=1 ∂Xj
∂xk j=1 ∂Xj
i=1
k=i
=
3
X

 ∂vi J +
∂xi
i=1
k6=i
X ∂vi
k6=i
∂xk

0 = J
3
X
∂vi
= J div v.
∂x
i
i=1
2
VĚTA O TRANSPORTU
9
Věta 1.11 (o transportu)
Nechť t0 ∈ (0, T ), V(t0 ) je omezená oblast a nechť V(t0 ) ⊂ Ωt0 . Nechť ϕ
definuje změnu oblasti V(t0 ) v čase a nechť ϕ má vlastnosti z předcházejího lemmatu ϕ je spojitě diferencovatelné vzájemně jednoznačné zobrazení oblasti V(t0 )
na V(t) s Jacobianem (1.2.5), který je spojitý, omezený a splňuje podmínku:
J(X, t) > 0 ∀X ∈ V(t0 ), ∀t ∈ (t1 , t2 ) na intervalu (t1 , t2 ). Nechť F = F (x, t) má
spojité a omezené derivace prvního řádu na množině {(x, t); t ∈ (t1 , t2 ), x ∈ V(t)} .
Pak ∀t ∈ (t1 , t2 ) existuje konečná derivace
¸
Z
Z ·
∂F
d
(x, t) + div (F v)(xt) dx.
F (x, t) dx =
dt
∂t
V(t)
V(t)
Důkaz Pomocí věty o substituci lze integrál na levé straně vyjádřit
Z
Z
d
d
F (x, t) dx =
F (ϕ(X, t0 ; t), t) J(X, t) dX = .
{z
}
|
dt
dt
V(t)
V(t0 )
F (X,t)
Protože t0 je pevné a integrační oblast V(t0 ) nezávisí na t, můžeme použít větu
o derivaci integrálu podle parametru
(i) F je měřitelná jako funkce X ∀t,
(ii) F
¯ konečnou derivaci pro s.v. (= skoro všechna) X ∀t,
¯ má
¯ ∂F ¯
(iii) ¯ ∂t ¯ ≤ g - integrovatelná majoranta
(iv) ∃ t∗ :: F (X, t∗ ) je integrovatelná,
=
Z
V(t0 )
=
Z
V(t0 )




3
X
∂ϕj
∂F
∂F

 J + F J divv  dX
+
∂t
∂xj ∂t
j=1

Z
3
X
∂F
∂F
∂F


+
vj + F divv J dX =
+ ∇F v + F divv dx
∂t
∂x
∂t
j
j=1
V(t)
=
Z
∂F
+ div(F v) dx
∂t
V(t)
(Doplňte argumenty funkcí.)
2
Cvičení 1.12 div(F v) = ∇F · v + F divv
Zkušební otázka 1.7! Formulujte a dokažte větu o transportu.
Poznámka 1.13 Postačující podminka pro
C 1 (M).
F z věty o transportu je F ∈
10
ZÁKLADNÍ ROVNICE MECHANIKY TEKUTIN
Poznámka 1.14 Aplikací Greenovy věty dostáváme
Z
Z
Z
d
∂F
(x, t) dx +
(F v)(x, t) · n(t) dS
F (x, t) dx =
dt
∂t
|
V(t)
{z
okamžitá změna
V(t)
|
}
{z
}
∂V(t)
rychlost změny F
|
{z
tok veličiny hranicí
}
Druhý integrál vyjadřuje okamžitou změnu F v důsledku závislosti F na t (celkové množství derivace F ). Poslední integrál vyjadřuje tok veličiny F hranicí. Je
to důsledek závislosti V(t) na t.
V následujícím uvedeme matematickou formulaci základních fyzikálních zákonů
a odvodíme základní diferenciální rovnice dynamiky tekutin:
Zákon zachování
hmotnosti
hybnosti
momentu hybnosti
energie
(= zákony zachování)
1.3
ZZH
ZZHy
ZZMH
ZZE
rovnice kontinuity
RK
pohybové (Navierovy–Stokesovy) rovnice NS
symetrie tenzoru napětí
×
rovnice pro energii
RE
Rovnice kontiniuty
Hustota tekutiny je funkce
ρ : M = {(x, t); t ∈ (0, T ), x ∈ Ωt } → (0, ∞)
pomocí které můžeme vyjádřit hmotnost m(V; t) tekutiny v libovolné oblasti
V ⊂ Ωt
Z
m(V; t) = ρ(x, t) dx
V
1
1
3
Necht’ ρ ∈ C (M) a v ∈ C (M) . A dále uvažujme libovolný čas t0 ∈ (0, T ) a
pohybující se část tekutiny tvořenou v každém časovém okamžiku týmiž částicemi a vyplňující v čase t0 omezenou oblast V ⊂ V ⊂ Ωt0 zvanou kontrolní objem.
Symbolem V(t) označíme oblast vyplněnou těmito částicemi v čase t ∈ (t1 , t2 ),
kde (t1 , t2 ) je interval obsahující t0 s vlastnostmi z lemmatu 1.10
Platí tedy V(t0 ) = V a podmínky a)–b) z lemmatu 1.10 jsou splněny.
Zákon zachování hmotnosti lze formulovat následujícím způsobem:
Hmotnost objemu tekutiny V(t) nezávisí na čase t.
dm(V(t); t)
= 0,
dt
t ∈ (t1 , t2 ).
Použitím věty o transportu dostáváme
Z
Z
∂ρ
d
ρ(x, t) dx =
[ (x, t) + div(ρ v)(x, t)] dx = 0
dt
∂t
V(t)
V(t)
POHYBOVÉ ROVNICE
11
Dosazením t := t0 a využitím toho, že V(t0 ) = V dostáváme
Z
∂ρ
[ (x, t0 ) + div(ρ v)(x, t0 )] dx = 0
∂t
V
pro libovolné t0 ∈ (0, T ) a libovolný kontrolní objem V v Ωt0 .
Ze spojitosti integrandu plyne (viz následující lemma)
∂ρ
(x, t0 ) + div(ρ v)(x, t0 ) = 0
∂t
pro libovolné t0 ∈ (0, T ). Píšeme-li t místo t0 dostáváme
∂ρ
+ div(ρ v) = 0,
∂t
rovnici kontinuity
t ∈ (0, T ), x ∈ Ωt .
(1.3.1)
Zkušební otázka 1.8! Odvoďte na základě věty o transportu rovnici kontinuity.
4. přednáška
Lemma 1.15 Necht’ Ω ⊂ IR3 je otevřená množina, f ∈ C(Ω). Pak
Z
f ≡ 0 v Ω ⇔ f dx = 0 pro každou otevřenou množinu V ⊂ V ⊂ Ω.
V
Důkaz
R
=⇒ to je zřejmé, pokud f ≡ 0 pak samozřejmě
f dx = 0 ∀ V ⊂ Ω.
V
R
⇐= Postupujme sporem
f dx = 0 ∀ V ⊂ V ⊂ Ω & ∃ x0 ∈ Ω :: f (x0 ) > 0.
V
Ze spojitosti
f plyne, že ∃ a neighborhood U (x0 ) :: f (x) > 0 ∀x ∈ U (x0 ). Pak
R
ovšem
f dx > 0 a to je spor
2
U (x0 )
1.4
Pohybové rovnice
Jsou odvozeny ze zákona zachování hybnosti: Okamžitá změna (časová derivace)
celkové hybnosti objemu tekutiny tvořeného v každém časovém okamžiku týmiž
částicemi a vyplňujícího v čase t objem V(t) je rovna síle působící na V(t).
Necht’ ρ ∈ C 1 (M), v ∈ C 1 (M)3 . Celková hybnost objemu tekutiny V(t) je
dána
Z
H(V(t); t) =
(ρ v)(x, t) dx.
V(t)
Označíme-li F (V(t); t) sílu působící na objem V(t), lze zákon zachování hybnosti
zapsat
12
ZÁKLADNÍ ROVNICE MECHANIKY TEKUTIN
ZZHy :
dH(V(t); t)
= F (V(t); t),
dt
t ∈ (t1 , t2 ).
Aplikací věty o transportu dostáváme
Z ·
V(t)
¸
∂
(ρ vi )(x, t) + div(ρ vi v)(x, t) dx = Fi (V(t); t),
∂t
i = 1, 2, 3, t ∈ (t1 , t2 ).
Vezmeme-li v úvahu, že t0 ∈ (0, T ) je libovolný časový okamžik a V(t0 ) =
V ⊂ V ⊂ Ωt0 , kde V je libovolný kontrolní objem, dostaneme zákon zachování
hybnosti ve tvaru, kde píšeme t místo t0 :
Z ·
V
¸
∂
(ρvi )(x, t) + div (ρvi v)(x, t) dx = Fi (V; t),
∂t
i = 1, 2, 3, pro libovolné t ∈ (0, T )
a pro libovolný kontrolní objem V v Ωt .
(1.4.1)
Vektor F (V; t) se složkami Fi (V; t) označuje sílu působící na objem V v čase t.
Abychom mohli přepsat (1.4.1) ve tvaru diferenciální rovnice, je třeba vyjádřit vektor F (V; t) v integrálním tvaru.
Síly v tekutinách dělíme podle jejich charakteru na objemové a plošné. We
get
Z ·
V
¸
Z
Z
∂(ρ vi )
+ div(ρ vi v) (x, t) dx = (ρ fi )(x, t) dx + Ti (x, t, n(x)) dS,
∂t
V
∂V
|
Z X
3
{z
}
nj (x) τji (x, t) dS,
∂V j=1
Z ·
V
Green’s
|
{ztheorem}
¸
Z
Z X
3
∂(ρ vi )
∂τji
+ div(ρ vi v) (x, t) dx = (ρ fi )(x, t) dx +
(x, t) dS
∂t
∂xj
j=1
V
V
pro každé t ∈ (0, T ) a libovolný kontrolní objem V v Ωt .
Here f ∈ C(M)3 is the density (related to the unit of mass) of the volume force
(also called outer since it is usually caused by external influence, of body force),
T (x, t, n(x)) is the stress vector, characterizing the total surface force acting at
time t on the control volume V from outside and τij are the components of the
stress tensor T = (τij )3i,j=1 ∈ IR3×3 , T n = T . For details see (Feistauer, 1993).
ZÁKON ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI
13
From the above integral identity we get the equations of motion a general fluid
in differential conservative form:
3
X
∂τji
∂(ρ vi )
+ div(ρ vi v) = ρ fi +
,
∂t
∂xj
j=1
i = 1, 2, 3.
Což se dá také zapsat jako
∂(ρ v)
+ div(ρ v ⊗ v) = ρ f + divT ,
∂t
T
div T = (divT1 , divT2 , divT3 )
Ti

v1 v1 , v1 v2 , v1 v3




v⊗v = 
 v2 v1 , v2 v2 , v2 v3  .
v3 v1 , v3 v2 , v3 v3
Zkušební otázka 1.9! ).
1.5
Zákon zachování momentu hybnosti; symetrie tenzoru napětí
Předpokládejme, že ρ, vi , τij ∈ C 1 (M) and fi ∈ C(M) (i, j = 1, 2, 3). Podobně
jako výše uvažujme kontrolní objem V = V(t) tvořený v každém časovém okamžiku t ∈ (t1 , t2 ) týmiž částicemi. Zákon zachování momentu hybnosti může být
formulován následovně:
Okamžitá změna momentu hybnosti objemu tekutiny V(t) v libovolném čase t je
rovna součtu momentů objemových a povrchových sil působících na tento objem.
čili
Z
Z
Z
d
x×(ρ v)(x, t) dx =
x×(ρ f )(x, t) dx+
x×T (x, t, n(x)) dS. (1.5.1)
dt
V(t)
V(t)
∂V(t)
Dá se dokázat následující důležitý výsledek
Věta 1.16 Zákon zachování momentu hybnosti platí právě tehdy když je tenzor
napětí T symetrický.
For proof see (Feistauer, 1993).
1.6
Eulerovy a Navier-Stokesovy rovnice
Vztahy mezi tenzorem napětí a ostatními veličinami popisujícími proudění
tekutin jsou charakterizovány tzv. rheologickými rovnicemi tekutin. V tekutinách je střední volná dráha podstatně větší a mezimolekulární síly menší než
14
ZÁKLADNÍ ROVNICE MECHANIKY TEKUTIN
v tělesech. Tato vlastnost způsobuje, že tekutiny mají relativně malou odolnost
proti silám způsobující změnu jejich tvaru. Tato vlastnost se nazývá vazkost.
Vazké síly zmenšují rozdíl rychlostí mezi tekutinou a okolím. To připomíná tření
a proto se někdy setkáváme s označením vnitřní tření. Třecí síly způsobují ulpívání tekutin na stěnách kolem proudící tekutiny.
často je vazkost tak malá, že ji zanedbáváme. Pak mluvíme o modelu nevazkého
proudění (jak ukazují experimenty, každá tekutina má nějakou vazkost; proto je
pojem nevazkého proudění pouze idealizací)
Uvažujme nevazké proudění. To znamená, že neuvažujeme vnitřní tření a předpokládáme, že vzájemná interakce mezi objemy je dána pouze tlakovou silou.
Nejjednodušší rheologická rovnice
T = −p I,
popisuje nevazké proudění. Kde p je tlak a I je jednotkový tenzor:


1, 0, 0
I =  0, 1, 0  .
0, 0, 1
Putting this into the equations of motion of general fluids, we get the Euler
equations
∂(ρ v)
(1.6.1)
+ div(ρ v ⊗ v) = ρ f − ∇ p.
∂t
Zkušební otázka 1.10 Write the Euler equations.
Vedle tlakových sil, hrají také roli smykové třecí síly jež jsou důsledkem vazkosti. Proto v případě vazkého proudění přidáváme ke členu −p I ještě člen T ′
popisující smykové napětí:
T = −p I + T ′ .
K vyjádření vazké části T ′ tenzoru napětí, používáme Stokesovy postuláty:
1) T = −p I + T ′ .
2) Tenzor T ′ je spojitou funkcí tenzoru rychlosti deformace,
µ
¶
∂vj
1 ∂vi
3
+
,
D = D(v) = (dij )i,j=1 , dij =
2 ∂xj
∂xi
která nezávisí explicitně na x a t a dalších fyzikálních veličinách.
3) Tekutina je izotropní médium. To znamená, že její vlastnosti jsou stejné ve
všech směrech.
4) Je-li tenzor rychlosti deformace nulový, pak na tekutinu působí pouze tlakové
síly. čili jestliže D = 0, pak T = −p I.
5) Vztah mezi T ′ a D je lineární.
V matematické řeči, můžeme tyto postuláty zapsat takto:
1*) T = −p I + T ′ .
EULEROVY A NAVIER-STOKESOVY ROVNICE
15
2*) T ′ = f (D), f je spojitá.
3*) f je invariantní vzhledem k transformaci souřadnic: ST ′ S−1 = f (S D S−1 )
pro každou ortonormální matici S.
4*) f (0) = 0.
5*) Zobrazení f je lineární.
Věta 1.17 Za předpokladů 1*)–5*), má tenzor napětí následující tvar
T = (−p + λ div v) I + 2µD,
ke λ, µ jsou konstanty nebo skalární funkce termodynamických veličin.
Důkaz See (Feistauer, 1993).
2
Zkušební otázka 1.11 Explain the symmetry of stress tensor and write its
form based on Stokes’ postulates.
Pokud tenzor napětí závisí lineárně na tenzoru rychlosti deformace jako v předcházející větě, pak tekutinu nazýváme Newtonovskou, což je příklad plynů.
2
v ∈ C(M), i, j = 1, 2, 3 a
Předpokládejme, že ρ ∈ C 1 (M) a ∂∂tv a ∂x∂i ∂x
j
dosazením vztahu
T = (−p + λ divv)I + 2µD
do rovnic obecných tekutin, dostaneme tzv. Navier-Stokesovy rovnice
∂(ρ v)
+ div(ρ v ⊗ v) = ρ f − ∇p + ∇(λ divv) + div(2µ D)
∂t
(1.6.2)
1.6.1 Vlastnosti koeficientů vazkosti
µ a λ jsou první a druhý koeficient vazkosti, µ je také nazýván dynamickou
viskozitou. V kineticé teorii plynů je odvozena podmínka
µ ≥ 0,
3λ + 2µ ≥ 0
Pro jednoatomové plyny platí 3λ+2µ = 0. Tato podmínka je většinou používána
i v případě složitějších plynů.
Poznámka 1.18 Rovnost 3λ + 2µ = 0 je odvozena za předpokladu, že vztah
−3p =
3
X
τii
i=1
platí pro nevazké proudění, je také splněna v případě vazkého proudění. Pak
−3p =
3
X
τii = −3p + 3λ divv + 2µ divv,
i=1
kde
T = (−p + λ divv)I + 2µ D
(dij )3i,j=1 =
1 ∂vi
∂vj
(
+
).
2 ∂xj
∂xi
16
ZÁKLADNÍ ROVNICE MECHANIKY TEKUTIN
Koeficienty vazkosti mohou být funkcemi termodynamických veličin. Nejjasnější je závislost na absolutní teplotě. často používaná Sutherlandova formule
µ=
c1 θ3/2
θ + c2
je odvozená v kinetické teorii plynů. (Zde c1 a c2 jsou konstanty závisející na
tekutině.)
1.6.2
Reynoldsovo číslo
Ve zkoumání vazkých proudění je důležité bezrozměrné Reynoldsovo číslo. Je
definováno takto
U ∗ L∗ ρ∗
Re =
µ∗
kde U ∗ je charakteristická rychlost, L∗ charakteristická délka, ρ∗ charakteristická
hustota a µ∗ charakteristická vazkost. Vlastnosti proudění jsou různé pro malé
Reynoldsovo číslo (laminární proudění) a velké Reynoldsovo číslo (turbulentní
proudění). Reynoldsovo číslo je důležité při porovnávání proudění.
1.7
Rovnice energie
Připomeňme, že výkon síly F působící na částici v bodě x a čase t je
W (x, t) = F (x, t) · v(x, t).
Stejně jako v předchozím uvažujeme část tekutiny reprezentovanou kontrolním
objemem V(t). Zákon zachování energie můžeme vyslovit následovně: Okamžitá
změna (časová derivace) cekové energie objemu tekutiny tvořeného v každém
časovém okamžiku týmiž částicemi a vyplňujího objem V(t) v čase tje rovna
součtu výkonu objemových a povrchových sil a množství tepla dodaného systému.
Značíme E(V(t)) celková energie objemu tekutiny V(t) a Q(V(t)) je množství
tepla předaného objemu V(t) v čase t. Vezmeme-li do úvahy charakter vnějších
a vnitřních sil působících na oblast V(t), vyjádřený hustotou f objemových sil
a tenzorem napětí T , dostaneme rovnost vyjadřující zákon zachování energie
(LCE):
d
E(V(t)) =
dt
Z
ρ(x, t)f (x, t) · v(x, t) dx
V(t)
+
Z
T (x, t, n(x)) · v(x, t) dS + Q(V(t)).
∂V(t)
Dále můžeme psát
a) E(V(t)) =
Z
V(t)
E(x, t) dx,
ROVNICE ENERGIE
17
µ
¶
|v|2
b) E = ρ e +
,
2
Z
Z
c) Q(V(t)) =
ρ(x, t)q(x, t) dx −
V(t)
q(x, t) · n(x) dS.
∂V(t)
Kde E je celková energie, e je specifická vnitřní energie (t.j. na jednotku hmotnosti) |v|2 /2 je hustota kinetické energie, q reprezentuje hustotu tepelných zdrojů
(vztažený na jednotku hmotnosti) a q je tepelný tok. Dále platí Fourierův zákon,
q = −k grad θ,
Zkušební otázka 1.12 Write the Fourier’s law.
kde k koeficient tepelné vodivosti a θ je absolutní teplota. Z druhého zákona
termodynamiky (viz později) lze dokázat k ≥ 0. Experimenty ukazují, že k je
funkce absolutní teploty: k = k(θ). často předpokládáme, že k je konstanta.
Dosazením předchozích vztahů do rovnosti reprezentující ZZE, dostaneme
=
d
dt
Z
Z
E(x, t) dx
V(t)
ρ(x, t)f (x, t) · v(x, t) dx
V(t)
+
Z
3
X
τji (x, t) nj (x) vi (x, t) dS
∂V(t) i,j=1
+
Z
ρ(x, t)q(x, t) dx −
V(t)
Z
q(x, t) · n(x) dS.
∂V(t)
Stejně jako v předchozím předpokládáme hladkost funkcí popisující proudění.
Tedy ρ, u, vi , τij , qi ∈ C 1 (M), a fi , q ∈ C(M) (i, j = 1, 2, 3). Použitím věty o
transportu, Greenovy věty a lemma 1.15, odvodíme rovnici energie zapsanou v
konzervativním tvaru:
∂E
+ div(Ev) = ρf · v + div(T v) + ρq − div q.
∂t
Zkušební otázka 1.13! Write the energy equation in terms E - total energy,
v - velocity, f - volume force, T - stress tensor, q - heat source, q - heat flux.
Pro Newtonovskou tekutinu máme
∂E
+ div(Ev) = ρf · v − div(pv) + div(λv div v)
∂t
(1.7.1)
18
ZÁKLADNÍ ROVNICE MECHANIKY TEKUTIN
+ div(2µD(v)v) + ρq − div q.
Systém rovnic tvořený rovnicí kontinuity (1.3.1), Navierovými–Stokesovými rovnicemi (1.6.2) a rovnicí pro energii (1.7.1) tvoří tzv. úplný systém rovnic Newtonovské tekutiny. It reads
∂ρ
+ div(ρ v) = 0,
∂t
∂(ρ v)
+ div(ρ v ⊗ v) = ρ f − ∇p + ∇(λ divv) + div(2µ D),
∂t
∂E
+ div(Ev) = ρf · v − div(pv) + div(λv div v)
∂t
+ div(2µD(v)v) + ρq + div (k∇θ).
For given data f , λ, µ, q and k the above system represents 5 equations for 7
unknowns quantities ρ, v1 , v2 , v3 , p, E, θ.
1.8
Termodynamické vztahy
Abychom doplnili systém zákonů zachování, musíme přidat další vztahy odvozené
z termodynamiky.
Absolutní teplota θ, hustota ρ a tlak p se nazývají stavovými veličinami.
Všechny tyto veličiny jsou kladné funkce. Plyn je charakterizován stavovou rovnicí
p = p(ρ, θ)
(6. rovnice)
a vztahem
e = e(ρ, θ)
(7. rovnice).
často uvažujeme tzv. dokonalý plyn (také nazývaný ideální plyn) jehož stavové
veličny splňují stavovou rovnici (SR) ve tvaru
SR
p = R θ ρ.
(1.8.1)
R > 0 je plynová konstanta, kterou lze vyjádřit ve tvaru
R = cp − cv ,
kde cp a cv je specifické teplo při konstantním tlaku a specifické teplo při konstantním objemu. Z experimentů víme, že cp > cv , tedy R > 0. Uvažujeme o
cp a cv jako o konstantách, což je předpoklad pro perfektní plyn. Experimenty
ukazují, že to platí pro relativně velký rozsah teplot. Veličina
γ=
cp
>1
cv
se nazývá Poissonova adiabatická konstanta. Např. pro vzduch γ = 1.4
TERMODYNAMICKÉ VZTAHY
19
Vnitřní energie pro perfektní plyn je
VE
čili,
kde
e = cv θ.
(1.8.2)
p
e = cp θ − Rθ = h − ,
ρ
h = cp θ
je enthalpie.
Zkušební otázka 1.14 Express the dependence between the internal energy
e nad the temperature θ.
2
MATEMATICKÁ TEORIE STLAČITELNÉHO PROUDĚNÍ
5. přednáška
2.1
Rovnice popisující proudění
The system of conservation laws
∂ρ
+ div(ρ v) = 0,
∂t
∂(ρ vi )
+ div(ρ vi v) = ρ fi + div (−pI + T ′ )i , i = 1, 2, 3,
∂t
¡
¢
∂E
+ div(Ev) = ρf · v + div (−pI + T ′ )v + ρq−div q
∂t
can be written in the following form








ρ v1
ρ v2
ρ v3
ρ








 ρ v12 + p 
 ρ v1 v2 
 ρ v1 v3 
 ρ v1 















∂ 
 ρ v2  + ∂  ρ v2 v1  + ∂  ρ v22 + p  + ∂  ρ v2 v3 








∂t 
 ∂x2 
 ∂x1 
 ∂x3 

 ρ v3 v1 
 ρ v3 v2 
 ρ v32 + p 
 ρ v3 








E
(E + p)v1
(E + p)v2
(E + p)v3





∂ 

+

∂x1 



0





=





0
ρf1
ρf2
ρf3
ρf · v + ρq

0











′


τ21



′
′
∂ 


τ12
τ22

+
 ∂x2 
′
′


τ13
τ23



∂θ 
∂θ
(T ′ v)1 + k
(T ′ v)2 + k
∂x1
∂x2
′
τ11
20









∂ 



+
 ∂x3 






0





′

τ32
.

′

τ33

∂θ 
′
(T v)3 + k
∂x3
′
τ31
THE EULER EQUATIONS
21
or in the vector form
3
3
X
∂Rs (w, ∇w)
∂w X ∂fs (w)
= F (w) +
+
∂t
∂xs
∂xs
s=1
s=1
where


w1


ρ


  
 w2   ρ v1 

  

  



w =  w3  =  ρ v2 
,

  
 w4   ρ v3 

  
E
w5
ρ vs



 ρ v1 vs + δ1s p 





f s (w) =  ρ v2 vs + δ2s p 
,


 ρ v3 vs + δ3s p 


(E + p)vs





F (w) = 










Rs (w, ∇w) = 




0
ρf1
ρf2
ρf3
ρf · v + ρq
0





,









′

τs2
,

′

τs3


∂θ
(T ′ v)s + k
∂xs
′
τs1
s = 1, 2, 3.
(2.1.1)
w je stavový vektor a f s , s = 1, 2, 3 jsou nevazké (Eulerovy) toky Rs , s = 1, 2, 3,
are viscous fluxes and for physical quantities we have the relations
ρ = w1 ,
w2
,
v1 =
w1
w3
,
v2 =
w1
w4
,
v3 =
w1
E = w5 ,
µ
¶
1
1 w22 + w32 + w42
2
p = (γ − 1)(E − ρ |v| ) = (γ − 1) w5 −
.
2
2
w1
Zkušební otázka 2.1! Formulate the governing equations of the compressible
flow as a system of PDEs for vector of conservative variables (w1 , . . . , w5 )T in
terms of inviscid fluxes f s and viscous fluxes Rs .
2.2
The Euler equations
In what follows we shall assume that the flow is adiabatic, i.e. we neglect the
heat transfer (q := 0, q := 0). Moreover, because the gas is light, we neglect the
outer volume force (f := 0). We shall be concerned with the flow of an inviscid
22
MATEMATICKÁ TEORIE
2
(λ := 0, µ := 0) perfect gas (p = (γ − 1)(E − 12 ρ |v| )) in a time independent
domain Ω. Máme nelineární systém rovnic
3
s počáteční podmínkou
∂w X ∂f s (w)
+
= 0 v QT
∂t
∂xs
s=1
w(x, 0) = w0 (x),
(2.2.1)
x ∈ Ω,
a okrajovou podmínkou
B(w) = 0
in ∂Ω × (0, T )
0
kde QT = Ω × (0, T ) -časoprostorový válec,
a B je o
n w je daná vektorová funkce
2
2
2
1 w2 +w3 +w4
5
>0 .
jistý operátor f s jsou definovány v D = w ∈ IR ; w1 > 0, w5 − 2
w1
Poznámka 2.1 System (2.2.1) is called a system of Euler equations as well.
Derivování v 2.2.1 a užití věty o derivaci složené funkce vede k kvazilineárnímu
systému parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu
N
∂w X
∂w
As (w)
+
= 0,
∂t
∂x
s
s=1
kde As (w) jsou matice 5 × 5 definované pro w ∈ D
µ
¶5
∂fsi (w)
Df s (w)
=
As (w) =
Dw
∂wj
i,j=1
= Jacobiho matice zobrazení f s .
Pro w ∈ D a n = (n1 , . . . , n3 )T ∈ IR3 označíme
P(w, n) =
3
X
f s (w)ns ,
s=1
,n )
lze vyjádřit ve
což je tok veličiny w ve směru n. Jacobiho matici DPD(w
w
tvaru
3
X
DP(w, n)
As (w)ns .
= P(w, n) =
Dw
s=1
2.3 Vlastnosti Eulerových rovnic
2.3.1 Homogenita
Lemma 2.2 Vektorové funkce f s definované vztahem 2.1.1 jsou homogení zobrazení 1.řádu
f s (αw) = αf s (w), α 6= 0.
Navíc
f s (w) = As (w)w.
VLASTNOSTI EULEROVÝCH ROVNIC
23
Důkaz První vztah je zřejmý a plyne přímo z definice f s .Neboť f s ∈ C 1 (D)5 ,
je výraz (Df s (w)/Dw)w = As (w)w derivací f s ve směru w v bodě w. Podle
definice derivace
f s (w + αw) − f s (w)
α
(1 + α)f s (w) − f s (w)
= f s (w).
= lim
α→0
α
As (w)w = lim
α→0
2
2.3.2
Hyperbolicita
Pokud w ∈ C 1 (QT ) QT = Ω × (0, T ), pak jsou Eulerovy rovnice speciálním
případem kvazilineárního systému typu
3
A0 (w)
∂w
∂w X
As (w)
+
∂t
∂xs
i=1
(2.3.1)
Definice 2.3 Systém 2.3.1 se nazývá hyperbolický v oblasti D ⊂ IR5 , pokud
všechna řešení λj = λj (w, n) j = 1 . . . 5 algebraické rovnice pátého stupně
!
Ã
3
X
ns As (w) = 0
det λ A0 (w) −
s=1
jsou reálná pro každé n = (n1 , n2 , n3 )T ∈ IR3 a w ∈ D.λj nazýváme zobecněnými vlastními čísly systému (2.3.1)Pokud jsou navíc zobecněná vlastní čísla λj
jednoduchá, pak je systém nazýván ostře hyperbolickýŘekneme, že systém 2.3.1
3
P
je (ostře) diagonálně hyperbolický, pokud je navíc matice P =
ns A(w) dias=1
gonalizovatelná. To znamená, že existuje regulární matice T = T(w, n) ::


λ1 , 0, 0, 0, 0


 0, λ2 , 0, 0, 0 




−1

T P T = Λ\ = Λ\(w, n) = diag(λ1 . . . λ5 ) =  0, 0, λ3 , 0, 0 
.


 0, 0, 0, λ4 , 0 


0, 0, 0, 0, λ5
Věta 2.4 Eulerovy rovnice tvoří diagonálně hyperbolický systém.
Důkaz Viz (Feistauer et al., 2003), str. 108, Věta 3.6
Poznámka 2.5
λ1 = v · n − a |n|
2
24
MATEMATICKÁ TEORIE
λ2 = v · n
λ3 = v · n
λ4 = v · n
λ5 = v · n + a |n|
kde a =
q
γ
p
ρ
- rychlost zvuku.
Poznámka 2.6 Pokud n = (1, 0, 0). Pak vlastní čísla matice A1 (w) jsou
λ 1 = v1 − a
λ 2 = λ 3 = λ 4 = v1
λ 5 = v1 + a
Poznámka 2.7 1D Eulerova rovnice


ρ


∂
∂

w=
 ρ v1  , ∂x2 = 0 = ∂x3 ,
E
v2 = 0 = v3 ,
w = w(x1 , t).
Tvoří ostře diagonální hyperbolický systém.
6. přednáška
2.3.3
Rotační invariantnost
Libovolný vektor n = (n1 , n2 , n3 )T ∈ IR3 lze vyjádřit ve sférických souřadnicích
n = r(cos α cos β, sin α cos β, sin β)T ,
kde
r = |n| ,
α ∈ [0, 2π),
π π
β ∈ [− , ].
2 2
Nechť n ∈ IR3 a σ
e ∈ IR3 je dán. Přenesme systém souřadnic x1 , x2 , x3 do
bodu σ
e a otočme ho tak, že se osa x1 shoduje s vektorem n. Což znamená, že
definujeme nový kartézský systém souřadnic x̃1 , x̃2 , x̃3 takto
 
 
x
e1
x1
 
 
x

 
e,
 e2  = Q0 (n)  x2  + σ
 
 
x
e3
x3
where
VLASTNOSTI EULEROVÝCH ROVNIC



Q0 (n) = 

cos α cos β,
sin α cos β, sin β
25


0 


− cos α sin β, − sin α sin β, cos β
− sin α,
cos α,
je ortonormální matice.
Transformace stavového vektoru w dává nový stavový vektor
q = Q(n) w,
kde

(2.3.2)

1


Q(n) =  Q0 (n)

1


.

Transformovaný stavový vektor q pokládáme za funkci proměnných x
e = (e
x1 , x
e2 , x
e3 )
and t
´
³
x−σ
e), t .
q = q(e
x, t) = Q(n) w Q−1
0 (n)(e
Věta 2.8 Nechť w ∈ D a n ∈ IR3 ,
P(w, n) =
3
X
|n| = 1. Pak
ns f s (w) = Q−1 f 1 (Q(n)w)
s=1
a
P(w, n) =
3
X
ns As (w) = Q−1 (n) A1 (Q(n) w) Q(n)
s=1
Důkaz see in (Feistauer et al., 2003, page 108).
1
2
5
Věta 2.9 Vektorová funkce w ∈ C (QT ) (QT = Ω × (0, T )) řeší Eulerovy
rovnice (2.2.1)
3
∂w X ∂f s (w)
=0
+
∂t
∂xs
s=1
právě tehdy když funkce q = q(e
x, t) dána vztahem 2.3.2 q = Q(n) w řeší transformovaný systém Eulerových rovnic
3
∂q X ∂f s (q)
+
=0
∂t s=1 ∂ xes
t.j. transformací cartézských souřadnic se Eulerovy rovnice formálně nezmění.
Důkaz komplikovaný, pro N=2 viz (Feistauer et al., 2003), str. 110, př. 3.9
2
Tato vlastnost se nazývá rotační invariance Eulerových rovnic
Zkušební otázka 2.2! Formulate the basic properties of the Euler equations:
homogeneity, hyperbolicity and rotational invariance.
26
MATEMATICKÁ TEORIE
2.4
Cauchyho úloha
Protože volba vhodné okrajové podmínky pro systém rovnic, popisující zákony
zachování, je delikátní, nezcela vyřešený problém, budeme se zabývat Cauchyho
úlohou pro Eulerovy rovnice na množině QT = IR3 × (0, T ) (t.j. Ω = IR3 ),
doplněnou pouze počátečními podmínkami. čili hledáme řešení úlohy
Cauchy
3
a)
∂w X ∂f s
+
=0
∂t
∂xs
s=1
v QT = IR3 × (0, T ),
b) w(x, 0) = w0 (x),
x ∈ IR3 ,
(2.4.1)
kde f s ∈ C 1 (D)5 .
Zabývejme se nyní řešením Cauchyho úlohy a jeho vlastnostmi.
Definice 2.10 Řekneme, že vektorová funkce w je klasickým řešením Cauchyho
úlohy (2.4.1), jestliže
¡
¢5
¡
¢5
a) w ∈ C 1 IR3 × (0, T ) ∩ C IR3 × [0, T ) ,
b) w ∈ D
∀(x, t) ∈ QT (= IR3 × (0, T )),
c) w splňuje (2.4.1)
∀(x, t) ∈ IR3 × (0, T ).
Pojem klasické řešení je poněkud omezující:
1. Z experimentù vyplývá, že se mouhou vyskytovat nespojitosti hustoty,
tlaku, rychlosti a ostatních veličin.
2. Klasické řešení mùže existovat pouze na intervalu [0, T ⋆ ], T ⋆ << T (malá
data).
Ukažme několik příkladù podtrhující tyto vlastnosti hyperbolického systému
a studujme metodu charakteristik.
2.4.1
Kvazilineární skalární rovnice
Nechť f ∈ C 2 (IR), λ = f ′ , w0 ∈ C 1 (IR). Uvažujme rovnici
∂w ∂f (w)
+
=0
∂t
∂x
v
IR × (0, T ),
jež mùže být pro klasické řešení přepsána ve tvaru
∂w
∂w
+ λ(w)
=0
∂t
∂x
v
IR × (0, T ),
(2.4.2)
a doplněna počáteční podmínkou
w(x, 0) = w0 (x),
x ∈ IR.
Vyšetřujme existenci řešení a možnosti jeho analytického vyjádření.
(2.4.3)
CAUCHYHO ÚLOHA
27
Předpokládejme, že existuje řešení problému (2.4.2)–(2.4.3) a vyšetřujme jeho
vlastnosti podél křivek parametrizovaných v rovině (x, t)
x = ξ(s)
t = t(s) = s
s ∈ J (= otevřený interval).
Přesněji, vyšetřujme vlastnosti derivace
dw(ξ(s), s)
.
ds
It holds
∂w ∂w dξ
dw
+
=
.
ds
∂t
∂x |{z}
ds
↓
Porovnáním s (2.4.2)
↑
Závěr: Pokud x = ξ(s) tak, že
∂w ∂w z }| {
+
λ(w) = 0,
∂t
∂x
dξ
= λ(w),
ds
pak
dw(ξ(s), s)
=0
ds
dostáváme
w(ξ(s), s) = konst.,
Odtud dostaneme
s ∈ J.
dξ
= λ(w(ξ(s), s))
| {z }
ds
konst.
|
{z
}
(2.4.4)
konst.
a proto řešení problému 2.4.4 je přímka
ξ = λ(w(ξ(s), s)) s + x0 .
Protože x = ξ(s), t = s, s ∈ J, řešení problému (2.4.4) jsou přímky v horní
polorovině t ≥ 0, začínající na ose x a vyjádřené podmínkou
x = λ(w(x, t)) t + x0 ,
w(x, t) = w(x0 , 0) = w0 (x0 ).
(2.4.5)
Což dává implicitní vyjádření rešení w kvazilineární skalární rovnice
w(x, t) = w0 (x − λ(w(x, t)) t),
x ∈ IR, t ∈ (0, T ).
(2.4.6)
28
MATEMATICKÁ TEORIE
Poznámka 2.11 Nechť f = f (w) = λ w lineární závislost f ′ = λ konstanta
nezávislá na w
∂w
∂w
+λ
= 0,
∂t
∂x
w(x, 0) = w0 (x)
pak
w(x, t) = w0 (x − λ t),
za předpokladu w0 ∈ C 1 (IR).
Definice 2.12 Pro danou hladkou funkci w splňující
∂w
∂w
+ λ(w)
=0
∂t
∂x
v IR × (0, T )
křívky v rovině (x, t) parametizované následujícím zpùsobem
x = ξ(s)
t = t(s) = s
s∈J
kde J je otevřený interval a splňující
dξ(s)
= λ(w(ξ(s), s)),
ds
s∈J
jsou nazývány charakteristikami
Věta 2.13 Nechť je funkce w ∈ C 1 (IR × (0, T )) klasické řešení qvazilineární
skalární rovnice (2.4.2). Pak w je konstantní podél libovolné charakteristiky.
Nadto jsou charakteristiky přímkami v horní polorovině t ≥ 0, které začínají na
ose x a vyjádřeny podmínkou
x = λ(w0 (x0 )) t + x0 .
(2.4.7)
Což dává implicitní vyjádření řešení
w(x, t) = w0 (x − λ(w(x, t)) t),
Důkaz Viz výše.
2.4.2
x ∈ IR, t ≥ 0.
(2.4.8)
2
Lineární skalární rovnice
Věta 2.14 Funkce w ∈ C 1 (IR × (0, ∞)) je klasické řešení lineární skalární rovnice
∂w
∂w
+λ
= 0 v IR × (0, ∞) λ = konst.
(2.4.9)
∂t
∂x
právě tehdy když w je konstantní podél libovolné charakteristiky.
CAUCHYHO ÚLOHA
29
Důkaz =⇒ Uvažujme libovolnou charakteristiku x = ξ(s), t = s splňuící
λ(w(ξ(s), s)), s ∈ (b, d). Je-li w klasické řešení pak
dξ(s)
ds
=
∂w(ξ(s), s) ∂w(ξ(s), s) dξ(s)
dw(ξ(s), s)
=
+
ds
∂x
ds
µ ∂t
¶
∂w
∂w
=
(ξ(s), s) = 0 ∀s ∈ (b, d).
+λ
∂t
∂x
čili w(ξ(s), s) = konst pro každé s ∈ (b, d). Takže w je konstantní podél každé
charakteristiky.
⇐= Nechť w ∈ C 1 (IR × (0, ∞)) je konstantní podél libovolné charakteristiky
a nechť (x∗ , t∗ ) ∈ IR × (0, ∞). Pak jistě existuje charakteristika (definovaná v
nějakém intervalu (b, d) ∋ t∗ ) taková, že x(t∗ ) = x∗ . Pak pro každé s ∈ (b, d)
0=
dw(ξ(s), s)
=
ds
µ
∂w
∂w
+λ
∂t
∂x
¶
(ξ(s), s).
∂w
Pro s := t∗ máme ( ∂w
∂t + λ ∂x ) (x∗ , t∗ ) = 0.
2
Důsledek 2.15 Pro w0 ∈ C 1 (IR) existuje jediné klasické řešení lineární skalární
rovnice (2.4.9) splňující počáteční podmínku w(x, 0) = w0 (x), x ∈ IR. . Je možné
jej vyjádřit ve tvaru
w(x, t) = w0 (x − λ t)
x ∈ IR, t ∈ (0, ∞).
Důkaz Domácí úkol.
2
Zkušební otázka 2.3! Define the characteristics of the equation
∂w
∂w
+ λ(w)
=0
∂t
∂x
v
IR × (0, T )
(quasilinear scalar equation in 1D).
Poznámka 2.16 Eulerovy 1D rovnice
∂w ∂f 1 (w)
+
∂t
∂x1

ρ




w=
 ρ v1  ,
E
v IR × (0, T ),

ρ v1



2

f 1 (w) = 
 ρ v1 + p  .
(E + p) v1
30
MATEMATICKÁ TEORIE
Poznámka 2.17 Eulerovy rovnice s jedinou prostorovou proměnnou
∂w ∂f 1 (w)
+
∂t
∂x1

ρ




 ρ v1 





ρ
v
w=
 2,


 ρ v3 


E
v IR × (0, T ),
Definice 2.18 Nechť systém rovnic
ρ v1



 ρ v12 + p 




.
f 1 (w) = 
ρ
v
v
+
p
 1 2



 ρ v1 v3 + p 


(E + p) v1
∂w
∂w
+ A1 (w)
=0
∂t
∂x1
(2.4.10)
je hyperbolický. Takže kořeny λj , j = 1 . . . , 5 rovnice
det (λ I − A1 (w)) = 0
jsou reálné. Pro danou hladkou funkci splňující (2.4.10), křivky v rovině (x, t)
parametrizované
x = ξj (s),
t = t(s) = s,
s ∈ J,
kde J je otevřený interval a
dξj (s)
= λj (w(ξj (s), s))
ds
se nazývají charakteristiky.
Nyní ukážeme jednoduchý příklad kvazilineární skalární rovnice
2.4.3
Cauchyho úoha pro nevazkou Burgersovu rovnici
Uvažujme úlohu
(Burgers)
∂w
∂w
+w
=0
v IR × (0, T ),
∂t
∂x
w(x, 0) = w0 (x),
x ∈ IR.
To je rovnice typu
∂w
∂t
+
∂f (w)
∂x
= 0 kde f (w) = 12 w2 ,
(2.4.11)
f ′ (w) = λ(w) = w
CAUCHYHO ÚLOHA
31
Uvažujme následující počáteční podmínku

x ≤ 0,
 1,
w0 (x) = 12 (cos x + 1), x ∈ (0, π),

0,
x ≥ π.
Předpokládejme, že řešení existuje a nakresleme charakteristiky Charakteristiky
jsou vyjádřeny podmínkou (2.4.5)
x = λ(w(x, t)) t + x0 ,
w(x, t) = w(x0 , 0) = w0 (x0 )
Charakteristiky jsou tedy přímky
x = λ(w0 (x0 )) t + x0 ,
t.j. pro naše data

 t + x0 ,
x = w0 (x0 ) t + x0 = 12 (cos x0 + 1),

x0
x ≤ 0,
x ∈ (0, π),
x ≥ π.
Závěr: Klasické řešení pro t ≥ π neexistuje.
Cvičení 2.19 Najděte T ⋆ tak, že pro t ∈ [0, T ⋆ ) se charakteristiky neprotínají.
Řešení: T ⋆ = 2.
Návod: Uvažujme dvě charakteristiky, které se protínají
L1
L2
x = w0 (x1 ) t + x1 ,
x = w0 (x2 ) t + x2 ,
x1 , x2 ∈ (0, π).
Protínají se v čase t, což je řešení rovnice
w0 (x1 ) t + x1 = w0 (x2 ) t + x2 ,
t=
x2 − x1
w0 (x1 ) − w0 (x2 )
věta o střední hodnotě
z}|{
=
−
1
,
(w0 )′ (ξ)
ξ ∈ [0, π].
Nejmenší t, kde se charakteristiky mohou protnout ((w0 )′ ≤ 0)
T⋆ = −
1
min[0,π]
(w0 )′
=−
− 21
1
= 2.
sin π2
Zkušební otázka 2.4 Draw the characteristics of Burgers equation equipped
by the initial condition
w(x, 0) = w0 (x), x ∈ IR
for w0 ∈ C 1 (IR), defined by you.
32
MATEMATICKÁ TEORIE
Zkušební otázka 2.5! Find the solution of problem
∂w 1 ∂w
+
=0
v IR × (0, T ),
∂t
2 ∂x
w(x, 0) = sin(3x) cos(x), x ∈ IR.
Zkušební otázka 2.6! Is this
µ
¶
π 3
v
, π × (0, T ),
2 2
¸
·
π 3
, π ,
x∈
2 2
∂w
∂w
+2
=0
∂t
∂x
IC w(x, 0) = sin(x),
BC
2.5
w
¡π
¢
¡3
¢
¡3
¢
¡π ¢
2 , t = sin 2 − 2t , w 2 π, t = sin 2 π − 2t , t ∈ [0, T ),
¡
¢
a well–posed problem for w ∈ C 1 [ π2 , 32 π] × [0, T ) ?
Okrajové podmínky
7. přednáška
Volba vhodné okrajové podmínky je velice dùležitý a delikátní problém v numerické simulaci proudění tekutin. Otázka okrajové podmínky je obecně fyzikální problém, ale musí odpovídat matematickému charakteru řešených rovnic.
Ukažme tento problém na lineární skalární rovnici
∂w
∂w
+λ
= 0, λ = konst.
∂t
∂x
2.6
Slabé řešení
. . .Systém tvaru
N
∂w X ∂f s (w)
+
=0
∂t
∂xs
s=1
(2.6.1)
nemusí mít globální hladké řešení i když data jsou dostatečně hladká. To je typické pro kvazilineární hyperbolicé rovnice, např. tzv. Burgersova rovnice.
Experimenty ukazují, že mohou vznikat nespojitosti fyzikálních veličin v konečném čase i když počáteční data jsou hladká.
Tyto skutečnosti nás vedou k slabší formulaci řešení systému (2.6.1). Budeme se
tedy snažit zobecnit klasické řešení v nějakém rozumném smyslu. C0∞ (IRN ×
[0, ∞)) značíme prostor všech nekonečně diferencovatelných funkcí, jejihž nosič
je kompaktní v IRN × [0, ∞). Předpokládejme, že w je klasické řešení problému
N
∂w X ∂f s (w)
+
∂t
∂xs
s=1
v IRN × (0, ∞)
SLABÉ ŘEŠENÍ
w(x, 0) = w0 (x),
33
x ∈ IRN
(2.6.2)
a ϕ ∈ C0∞ (IRN × [0, ∞))m . Pak užitím Greenovy věty dostáváme rovnost
0=
Z
∞
Z
³ ∂w
Z
N
X
∂f j (w) ´
w(x, 0) · ϕ(x, 0) dx
+
· ϕ dxdt = −
∂xj
IRN ∂t
IRN
j=1
Z ∞Z
N
³
∂ϕ X
∂ϕ ´
w
·
−
dxdt.
f
(w)
·
+
j
∂t
∂xj
0
IRN
j=1
0
Takže libovolné klasické řešení problému (2.6.2) splňuje
Z
∞
Z
IRN
0
³
Z
N
∂ϕ X
∂ϕ ´
w·
f j (w) ·
+
dx dt +
w0 (x) · ϕ(x, 0) dx = 0
N
∂t
∂x
j
I
R
j=1
∀ ϕ ∈ C0∞ (IRN × [0, ∞))m .
(2.6.3)
N
m
∞
m
Zřejmě 2.6.3 dává smysl také pro w ∈ [L∞
loc (IR ×(0, ∞))] .Píšeme f ∈ Lloc (M ) ,
∞
m
N
jestliže f |M ∩K ∈ L (M ∩ K) pro každou kompaktní množinu K ⊂ IR .
L∞ (M ) = {u; u je měřitelná funkce v M a kukL∞ (M) < ∞},
kde
n
o
kukL∞ (M ) = ess supM |u| := inf supx∈M\Z |u(x)|; Z ⊂ M, meas(Z) = 0 .
N m
Definice 2.20 Nechť w0 ∈ L∞
loc (IR ) . Vektorová funkce w se nazývá slabým
řešením systému (2.6.2) t.j.
N
∂w X ∂f s (w)
+
∂t
∂xs
s=1
v IRN × (0, ∞),
w(x, 0) = w0 (x),
x ∈ IRN ,
pokud w ∈ L∞ (IRN × (0, ∞))m , w(x, t) ∈ D pro skoro všechna (x, t) ∈ IRN ×
(0, ∞) a platí rovnost 2.6.3 t.j.
Z
0
∞
Z
IRN
³
Z
N
∂ϕ X
∂ϕ ´
w·
f j (w) ·
+
dx dt +
w0 (x) · ϕ(x, 0) dx = 0
N
∂t
∂x
j
I
R
j=1
∀ ϕ ∈ C0∞ (IRN × [0, ∞))m .
Cvičení 2.21 Dokažte, že libovolné slabé řešení třídy C 1 je klasickým řešením.
často se setkáváme s tzv. počástech hladkým slabým řešením, které připouští
nespojitosti.
34
MATEMATICKÁ TEORIE
Definice 2.22 Řekneme, že funkce w je počástech hladká, pokud existuje konečný počet nadrovin Γ v IRN × [0, ∞), mimo které je funkce w třídy C 1 , a na
kterých má jednostranné limity, označme je w± ((x, t) ∈ Γ) Nechť (x, t) ∈ Γ
a nechť U = Bǫ (x, t) je koule s středem v bodě (x, t) a malým poloměrem ǫ > 0
tak, že U\Γ má právě dvě části U ± (viz obr.). Pak píšeme
w± (x, t) =
lim
(y,ϑ)→(x,t)
(y,ϑ)∈U ±
w(y, ϑ),
za předpokladu, že ty limity existují. Podobně definujeme jednostranné limity
derivace w. . . .
Ukažme, že nespojitosti na Γ počástech hladkého slabého řešení w nemohou
být libovolné:
Věta 2.23 Nechť w : IRN × [0, ∞) → IRm je počástech hladká funkce. Pak
w je řešení systému (2.6.2) ve smyslu distribucí právě tehdy když jsou splněny
následující podmínky:
a) w je klasické řešení v každé oblasti, kde w je třídy C 1 ,
b) w splňuje podmínku
(w+ − w− )nt +
N
X
(f j (w+ ) − f j (w− ))nj = 0
(2.6.4)
j=1
v nadrovinách Γ. Kde n = (n1 , . . . , nN , nt ) je normála k Γ.
Důkaz . . .
2
Definice 2.24 Vztah 2.6.4 se nazývá Rankine–Hugoniotova podmínka.
V případě (n1 , . . . , nN ) 6= 0, mùžeme zvolit normálu n = (ν, −s) k Γ kde s ∈ IR
a ν ∈ IRN je jednotkový vektor. Pak (2.6.4) mùže být zapsána v tvaru
s[w] =
N
X
νj [f j (w)],
j=1
kde
[w] = w+ − w− ,
[f j (w)] = f j (w+ ) − f j (w− ).
Vektor ν a číslo s mohou být chápány jako směr a rychlost šíření nespojitosti Γ
To je zřejmé v případě N = 1. Pokud vyjádříme nespojitost Γ jako křivku
x = ξ(t), máme s = dξ/dt a n = (1, −s). Zřejmě s reprezentuje rychlost šíření
nespojitosti v závislosti na čase. Pak (při značení f = f 1 ), Rankine–Hugoniotova
podmínka je ve tvaru
s[w] = [f (w)].
V případě nejednoznačnosti slabého řešení musíme použít princip selekce
(musíme vybrat fyzikálně přípustné řešení). Proto se zavádí tzv. entropická podmínka. Tato podmínka je zobecněním fyzikální entropické podmínky v mechanice
tekutin, která popisuje druhý termodynamický zákon.
3
METODA KONEČNÝCH OBJEMÙ
8. přednáška
V této části se budeme zabývat numerickým řešením Eulerových rovnic. Vyplatí se věnovat pozornost metodě konečných prvkù(MKP) na nestrukturovaných
sítích. Metoda konečných objemù je jednou z nejpopulárnějších metod, díky její
flexibilitě, adaptabilitě a aplikaci na řešení problémù tekutin v oblastech s komplikovanou geometrií.
3.1
Síť konečných objemù
Nechť Ω ⊂ IRN je oblast vyplněná tekutinou. Pokud N = 2, pak Ωh značíme
polygonální aproximaci oblasti Ω. Tzn. že hranice ∂Ωh oblasti Ωh se skládá
z konečného počtu uzavřených počástech lineárních křivek. Pro N = 3, Ωh
značí aproximaci mnohostěny oblasti Ω. Systém Dh = {Di }i∈J , kde J ⊂ Z + =
{0, 1, . . .} je indexová množina a h > 0, se nazývá síť konečných objemù v Ωh ,
pokud Di , i ∈ J jsou uzavřené mnohoúhelníky nebo mnohostěny, pokud N = 2
nebo N = 3 s vzájemně disjunktními vnitřky tak, že
[
Ωh =
Di .
i∈J
Prvky Di ∈ Dh se nazývají konečné objemy. Dva konečné objemy Di , Dj ⊂
Dh jsou vzájemně disjunktní nebo jejich prùnik je tvořen sploečnou částí jejich
hranic ∂Di a ∂Dj . Jestliže ∂Di ∩ ∂Dj obsahuje přímou část nebo část roviny,
pro N = 2 nebo N = 3, pak nazýváme Di a Dj sousedícími konečnými objemy
(nebo jednoduše sousedy). Pro dva sousedy Di , Dj ∈ Dh píšeme
Γij = ∂Di ∩ ∂Dj = Γji .
Obvykle Γij je tvořena konečným počtem βij úseček (N = 2) nebo částí rovin
α
(N = 3) Γα
ij = Γji :
βij
[
Γij =
Γα
ij .
α=1
See Fig. 3.1.1. Γα
ij nazýváme stěnami Di .
Dále zavedeme následující značení:
|Di | = N −dimensionální míra Di ,
= obsah Di pokud N = 2, nebo objem Di pro N = 3,
35
36
METODA KONEČNÝCH OBJEMÙ
Γ4ij
Γ3ij
Di
*
©
©©
n3ij
Γ2ij
Dj
Γ1ij
Obr. 3.1.1. Neighbouring finite volumes in 2D, Γij =
S4
α=1
Γα
ij
α
|Γα
ij | = (N − 1)−dimensionální míra Γij ,
α
= délka Γα
ij jestliže N = 2, nebo obsah Γij pro N = 3,
α
α
T
α
nα
ij = ((nij )1 , . . . , (nij )N ) = jednotková vnější normála ∂Di k Γij ,
hi = diam(Di ),
h = supi∈J hi ,
|∂Di | = (N − 1) − dimensionální míra ∂Di ,
s(i) = {j ∈ J; j 6= i, Dj je soused Di }.
α
Zřejmě nα
ij = −nij . Dále S(i) = indexová množina obsahující informace o
i) sousedech,
ii) stěnách ∂Di , kde je předepsána vstupní (výstupní) okrajová podmínka ,
iii) stěny ∂Di , kde je předepsána okrajová podmínka na pevné stěne .
Poznamenejme, že s(i) ⊂ S(i). For details see (Feistauer et al., 2003, page
186).
3.2 Odvození základního schéma metody konečných objemù
Uvažujme dělení 0 = t0 < t1 < . . . časového intervalu [0, T ] a pišme τk =
tk+1 − tk časový krok mezi tk a tk+1 .
Předpokládejme, že w : Ω × [0, T ] → IRm je klasické řešení problému
N
∂w X ∂f s (w)
+
= 0.
∂t
∂xs
s=1
Integrací této rovnice přes množinu Di × (tk , tk+1 ) a užitím Greenovy věty na
Di dostaneme
ODVOZENÍ ZÁKLADNÍHO SCHÉMA METODY KONEČNÝCH OBJEMÙ
Z
(w(x, tk+1 ) − w(x, tk )) dx +
tZk+1
tk
Di

Z X
N
∂Di
s=1
37

f s (w) ns dS  dt = 0.
Uvažujme trojúhelníkovou (čtyřstěnou) oblast Dh . Pak βij = 1 a ∂Di ∩ ∂Dj =
Γij = Γji pro sousedící konečné objemy.R
Nyní aproximujeme hodnotu integrálu Di w(x, tk )dx/|Di | veličiny w přes konečný objem Di v čase tk konstantní hodnotou wki :
Z
w(x, tk ) dx ≈ |Di |wki .
Di
Veličinu wki nazýváme přibližným řešením na Di v čase tk . Mùžeme tedy psát
Z
(wk+1
− wki ) dx + τk
i
N
X Z X
f s (w(x, t)) ns dS = 0
s=1
j∈S(i)Γ
ij
Di
PN
Dále aproximujeme tok s=1 f s (w)(nij )s veličiny w stěnou Γij ve směru nij
numerickým tokem H(wki , wkj , nij ), závisejícím na hodnotě přibližného řešení
wki na konečném objemu Di , hodnotě wkj na Dj , a na normále nij v časovém
okamžiku tk :
N
X
)
f s (w)(nij )s ≈ H(wki , wkj , nij .
s=1
Dostaneme následující schéma metody konečných objemù
τk X
H(wki , wkj , nij )|Γij |, Di ∈ Ωh , tk ∈ [0, T ). (3.2.1)
wk+1
= wki −
i
|Di |
j∈S(i)
Počáteční podmínky w0i , i ∈ J jsou definovány vztahem
Z
1
w0 (x) dx
w0i =
|Di |
Di
(za předpokladu, že funkce w0 ∈ L1loc (Ω)).
Definice 3.1 Definujeme přibližné řešení metody konečných objemù problému
N
∂w X ∂f s (w)
+
=0
∂t
∂xs
s=1
jako počástech konstantní vektorovou funkci whk , k = 0, 1, . . . , definovanou s.v. v
◦
◦
Ωh tak, že whk | ◦ = wki pro každé i ∈ J, kde Di je vnitřek Di , t.j. Di = Di \ ∂Di ,
Di
a wki je ze vztahu
38
METODA KONEČNÝCH OBJEMÙ
= wki −
wk+1
i
τk X
H(wki , wkj , nij )|Γij |,
|Di |
Di ∈ Ωh , tk ∈ [0, T ).
j∈S(i)
Funkce whk je přibližné řešení v čase t = tk . Vektor wki je hodnota přibližného
řešení na konečném objemu Di v čase tk .
Zkušební otázka 3.1! . . .
3.3
Vlastnosti numerického toku
9. přednáška
V následujícím budeme o numerickém toku H předpokládat tyto vlastnosti.
1. H(u, v, n) je definovaný a spojitý na D × D × S1 , kde D je oblast, kde je
definován tok f s a S1 je jednotková koule v IRN : S1 = {n ∈ IRN ; |n| = 1}.
2. H je konsistentní:
H(u, u, n) = P(u, n) =
N
X
f s (u)ns ,
u ∈ D, n ∈ S1 .
s=1
3. H je konzervativní:
H(u, v, n) = −H(v, u, −n),
u, v ∈ D, n ∈ S1 .
Poznámka 3.2 Na hranici
numerický tok může být např. definován s využitím okrajové podmínky
Γij − pevná stěna,
3
P
s=1
v · n = 0 (smyková podmínka)
ns f s (w(x, tk )) |Γij

ρ v1



 ρ v1 2 + p 





v
ρ
v
= n1 
2 1  + n2



 ρ v3 v1 


(E + p) v1

ρ v2



 ρ v1 v2 




 ρ v2 2 + p  + n3




 ρ v3 v2 


(E + p) v2


ρ v3



 ρ v1 v3 




 ρ v2 v3  = p




 ρ v3 2 + p 


(E + p) v3

0


 (nij )1 




k
k 
H(wi , ↓ , nij ) := pi  (nij )2 
.


 (nij )3 


0

0

 
 n1 
 
 
 n2  ,
 
 
 n3 
 
0
Zkušební otázka 3.2! Explain the keywords ‘flux’, ‘numerical flux’ in terms
of ‘conservative’ and ‘consistent’.
KONSTRUKCE NĚKTERÝCH NUMERICKÝCH TOKÙ
3.4
3.4.1
Konstrukce některých numerických tokù
Skalární lineární rovnice
∂w ∂λ w
+
= 0,
∂t
∂x
f (w) = λ w, λ = konst.
V tomto případě máme
wik+1 = wik −
Obecně
N
X
τk
[H(wik , wjk , nij ) + H(wik , wlk , nil )].
|Di |
ns f s (w(x, tk )) |Γij ≈ H(wki , wkj , nij ).
s=1
ale v tomto v případě N = 1, nij = 1, nil = −1, takže aproximujeme
pokud λ > 0
1 λ w(·, tk ) |Γij ≈ λ wik ,
(−1) λ w(·, tk ) |Γil ≈ −λ wlk ,
nebo pokud λ < 0
1 λ w(·, tk ) |Γij ≈ λ wjk ,
(−1) λ w(·, tk ) |Γil ≈ −λ wik .
nakonec dostáváme
λ>0
λ<0
wk − wlk
wik+1 − wik
+λ i
= 0,
τ
|Di |
wjk − wik
wik+1 − wik
+λ
= 0.
τ
|Di |
Je zřejmé, že následující rovnost platí
n λ w = (n λ)+ w + (n λ)− w,
kde
0 ≤ λ+ = max(0, λ)
0 ≥ λ− = min(0, λ),
mùžeme tedy psát
n λ w(·, tk ) |Γij ≈ (n λ)+ wik + (n λ)− wjk =: H(wik , wjk , nij ).
39
40
METODA KONEČNÝCH OBJEMÙ
3.4.2
Kvazilineární skalární rovnice
V tomto případě mùžeme zkusit použít analogický tvar
n λ(w) w(·, tk ) |Γij ≈ (n λ(wik ))+ wik + (n λ(wjk ))− wjk =: H(wik , wjk , nij ).
3.4.3
Eulerovy rovnice:
Trojrozměrná analogie numerického toku odvozeného pro skalární lineární rovnici je vyjádřena v konstrukci následujících numerických toků:
N
X
ns f s (w)
s=1
homogenita N
X
z}|{
=
hyperbolicita
z}|{
=
ns As (w) w
s=1
= T Λ\ T−1 (w, n) w = P+ (w, n) w + P− (w, n) w,
kde
+
−
Λ\ = Λ\ + Λ\ ,

±
±
Λ\ = Λ\ (w, n) = diag(λ±
1
λ±
1 , 0,

 0, λ±
2,




. . . λ±
0,
m ) =  0,


 0, 0,

0, 0,
0, 0,
0, 0,
..
. , 0,
0,
..
.,
0, 0,
±
P± := T Λ\ T−1 .
0


0 



0 
,


0 

±
λm
čili
N
X
ns f s (w(·, tk )) |Γij ≈ P+ (wki , nij ) wki + P− (wkj , nij ) wkj .
s=1
což je Steger-Warmingùv numerický tok.
nebo mùžeme psát
N
X
ns f s (w(·, tk )) |Γij ≈ P
s=1
+
Ã
wki + wkj
, nij
2
!
wki
−
+P
Ã
wki + wkj
, nij
2
!
wkj .
a dostáváme tzv. Vijayasundaranùv numerický tok
3.5
Godunova metoda
V IRN (N = 2 nebo 3) zavedeme nový kartézský systém souřadnic x̃1 , . . . , x̃N s
počátkem ve středu hrany Γ, souřadnice x̃1 je orientována ve směru normály n
GODUNOVA METODA
41
a x̃2 , . . . , x̃N kolmé k Γ. Z rotační invariance Eulerových rovnice plyne, že tyto
rovnice v nových souřadnicích mají tvar
N
∂q X ∂f s (q)
+
= 0,
∂t s=1 ∂ x̃s
kde
q = Q(n)w,


1


Q(n) =  Q0 (n)

x̃ = Q0 (n) x + σ̃
1


,

a platí
N
X
rotační invariance
ns f s (w)
s=1
On Γij we have
N
X
z}|{
=
Q−1 (n)f 1 (Q w) = Q−1 (n)f 1 (q)
ns f s (w(·, tk )) |Γij = Q−1 (n)f 1 (q(·, tk ))|Γij .
(3.5.1)
s=1
The key point in the construction of the approximation of the term on the right
hand side of (3.5.1) is to approximate
q(·, tk )|Γij ≈ q(0, tk ),
kde q = q(x̃1 , tk ) je řešení tzv. Riemannova problému
a)
∂q
∂
+
f (q) = 0,
∂t
∂ x̃1 1
b)
½
R.P.
q(x̃1 , 0) =
(x̃1 , t) ∈ IR × (0, ∞),
q L := Q wki ,
q R := Q wkj ,
(3.5.2)
x̃1 < 0,
x̃1 > 0.
Věta 3.3 Má-li Riemanùv problém (3.5.2), a)–b), jediné počástech hladké slabé
řešení q, pak q mùže být zapsáno pro t > 0 ve tvaru
q(x̃1 , t) = q̃(
x̃1
),
t
kde q̃ : IR → IRm
Důkaz Je zřejmé, že pro libovolné pevné α > 0 je funkce q(α x̃1 , α t) také slabým
řešením Riemanova problému. Díky jednoznačnosti máme q(α x̃1 , α t) = q(x̃1 , t),
což znamená, že q je homogení vektorová funkce řádu 0. čili pro libovolné pevné
x̃1 a t, a zvolením α = 1t , máme q(x̃1 , t) = q( x̃t1 , 1) =: q̃( x̃t1 ) .
2
42
METODA KONEČNÝCH OBJEMÙ
Poznamenejme, že občas píšeme
q̃(
x̃1
) = q RS (x̃1 , q L , q R ).
t
Zkratka RS znamená Riemann solution (řešení). Nyní tedy mùžeme pokračovat
a psát
N
X
ns f s (w(·, tk )) |Γij ≈ Q−1 (n)f 1 (q(0, tk )) = Q−1 f 1 (q RS (0, q L , q R ))
{z
}
|
s=1
g G (q L ,q R )
tedy
qL
qR
z }| { z }| {
H(wki , wkj , nij ) := Q−1 (n) g G (Q wki , Q wkj ).
Godunova metoda je definovaná jako konečně objemové schéma
= wki −
wk+1
i
τk X
H(wki , wkj , ni j)|Γij |
|Di |
j∈S(i)
s numerickým tokem
H(wki , wkj , nij ) = Q−1 (nij ) g G (Q wki , Q wkj ),
kde
g G (q L , q R ) = f 1 (q RS (0; q L , q R )).
Funkce g G se nazývá Godunovùv numerický tok nebo přesný Riemanùv řešič.
Godunovo schéma předpokládá konstrukci přesného řešení Riemanova problému, což je obecně omplikované. Této nevýhody se vyhneme použitím přibližného Riemanova řešiče neboli Riemanova numerického toku. Značí se q R (q L , q R ).
g G (q L , q R ) ≈ g R (q L , q R ).
Exact
Riemann
solver}
|
{z
Godunov numerical flux
Approximate Riemann solver
|
{z
}
Riemann numerical flux
Výsledné metody jsou nazývány metodami Godunovova typu.
Zkušební otázka 3.3! Explain the keywords ‘Riemann problem’, ‘Riemann
solver’ and their use in the construction of a numerical flux.
Věta 3.4 Předpokládejme že pro každé q ∈ D všechna vlastní čísla λk (q) matice
A1 (q) jsou jednoduchá a že každý vlastní vektor rk je buï zcela nelineární nebo
lineárně degenerovaný.
GODUNOVA METODA
43
Pak pro libovolné q L ∈ D existuje jeho okolí B(q L ) ⊂ D takové, že platí: pro
každé q R ∈ B(q L ) má Riemanùv problém
∂
∂q
+
f (q) = 0
∂t
∂ x̃1 1
q(x̃1 , 0) =
½
(x̃1 , t) ∈ IR × (0, ∞),
qL ,
qR ,
x̃1 < 0,
x̃1 > 0,
jediné řešení. Toto řešení se skládá z maximálně m + 1 konstantních částí, oddělených jednoducho vlnou nebo entropickou šokovou vlnou nebo kontaktní nespojitostí.
Důkaz . . . (Feistauer et al., 2003, strana 81–88). . . ., (Godlewski and Raviart,
1996), kapitola 1, věta 6.1 nebo (Smoller, 1983), věta 17.18.
2
3.5.1
Integrální tvar Riemanova řešiče
10. přednáška
Godunovùv numerický tok g G (q L , q R ) (přesný Riemanùv řešič) lze vyjádřit pomocí tzv. přibližného Riemanova řešiče g R (q L , q R ) odvozeného heuristicky ve
tvaru
Zq R
g G (q L , q R ) ≈ g R (q L , q R ) := f 1 (q L ) +
A−
(3.5.3)
1 (q) dq,
qL
kde
−
−1
A−
1 = T Λ\ T


qRR
−
a (q) dq 

 qL 1

Zq R




.
−
..
A1 (q) dq = 
.


q


qL
 RR a− (q) dq 
m
qL
A1 = T Λ\ T−1 ,
−
Kde a−
n značí n-tý řádek matice A1 , n = 1, . . . , m. Dále značíme
Zq R
a−
n (q) dq
qL
(3.5.4)
m
křivkový integrál vektorové funkce a−
→ IRm podél křivky v IRm s pon : IR
čátečním a koncovým bodem q L a q R . Integrál (3.5.4) obecně závisí na cestě.
44
METODA KONEČNÝCH OBJEMÙ
Ovšem je-li vektorové pole a−
n , n = 1 . . . , m konstantní (např. v případě lineárního hyperbolického systému s konstantní maticí A1 ), je potenciálové a integrál
(3.5.4) je nezávislý na cestě a nezáleží na výběru křivky spojující q L a q R . Integrál (3.5.3) lze vypočítat použitím vhodné numerické kvadratury nebo volbou
vhodné integrační cesty, jak ukážeme později. Integrální tvar přibližného Riemanova řešiče g R (q L , q R ) je motivován následující úvahou. Uvažujme Riemannův
problém (3.5.2), t.j.
∂q f 1 (q)
+
= 0,
∂t
∂ x̃1
½
q L , x̃1 < 0,
q(x̃1 , 0) =
q R , x̃1 > 0.
Nechť f 1 je lineární, t.j. f 1 (q) = A1 q, A1 −matice nezávisející na q (konstatní
matice). Protože předpokládáme, že lineární systém je hyperbolický tak A1 má
reálná vlastní čísla a je diagonalizovatelná
A1 = T Λ\ T−1 .
značili jsme
±
−1
A±
.
1 = T Λ\ T
It holds
∂q
∂q
∂q
∂q
+ A1
=0⇔
+ T Λ\ T−1
= 0 /T−1 zleva
∂t
∂ x̃1
∂t
∂ x̃1
 ∂(T−1 q )



∂ q̃
∂ q̃
∂(T−1 q )



=
0
\
+½
Λ\ ∂ x̃1 = 0 
∂t + Λ
∂
x̃
∂t
½ 1
,
⇔
 q(x̃1 , 0) = q L x̃1 < 0 
 q̃(x̃1 , 0) = q˜L x̃1 < 0 
q˜R x̃1 > 0
q R x̃1 > 0
kde q̃ = T−1 q. Tedy, pro m = 5 mámeUvažujme obecný případ m = 5 a
rozepišme rovnice po složkách. Dostaneme
½
∂ q̃1
∂ q̃1
(q̃L )1
+ λ1
= 0, q̃1 (x̃1 , 0) =
,
(q̃R )1
∂t
∂ x̃1
..
.
½
∂ q˜5
∂ q˜5
(q̃L )5
+ λ5
= 0, q̃5 (x̃1 , 0) =
.
(q̃R )5
∂t
∂ x̃1
Pomocí metody charakteristik dostaneme
½
(q̃L )ℓ , jestliže λℓ > 0
q̃ℓ (0, tk ) =
, ℓ = 1, . . . , 5,
(q̃R )ℓ , jestliže λℓ < 0
odkud plyne, že
−
λ1 q̃1 (0, tk ) = λ+
1 (q̃L )1 + λ1 (q̃R )1 ,
GODUNOVA METODA
45
..
.
−
λ5 q̃5 (0, tk ) = λ+
5 (q̃L )5 + λ5 (q̃R )5 .
Zapsáno v maticovém tvaru, máme
−
+
Λ\ q̃(0, tk ) = Λ\ q˜L + Λ\ q˜R .
Jestliže vynásobíme tuto rovnici maticí T zleva, dostaneme
−
A1 q(0, tk ) = A+
1 q L + A1 q R =: g G (q L , q R ).
Závěr: Přesný Riemanùv řešič f 1 (q(0, tk )) lineárního Riemanova problému (f 1 (q) =
A1 q) má tvar
−
g G (q L , q R ) = A+
1 q L + A1 q R .
Nyní lze psát
−
−
−
g G (q L , q R ) = A+
1 q L + A1 q R + A1 q L − A 1 q L
|
{z
}
±A−
1 qL
=
Ale také
A+
1
|
A−
1
qL +
{z
A1 q L
q L +A−
1
}
Zq R
A−
(q R − q L ) = f 1 (q L ) +
1 dq.
qL
−
+
+
g G (q L , q R ) = A+
1 q L + A1 q R + A 1 q R − A 1 q R
Zq R
A+
1 dq.
= A1 q R + A+
1 (q L − q R ) = f 1 (q R ) −
qL
Můžeme tedy psát
kde




Zq R


1
g G (q L , q R ) =
f 1 (q L ) + f 1 (q R ) −
|A1 | dq ,

2


qL
−
|A1 | = A+
1 − A1 .
Lineární případ : g G (q L , q R ) = (přesně) f 1 (q L ) +
qRR
qL
A−
1 dq.
Nelineární případ : g R (q L , q R ) :=(heuristicky) f 1 (q L ) +
qRR
A−
1 (q) dq.
qL
Integrály, které jsme zde psali obecě nemusejí dávat smysl. Nicméně tyto rovnice
mohou být vyžity k definici numerických schémat v tom smyslu, že integrály jsou
vyčísleny pomocí numerické kvadratury nebo vypočteny užitím vhodné integrční
cesty.
46
METODA KONEČNÝCH OBJEMÙ
Zkušební otázka 3.4! Write the integral form of an aproximate Riemann solver.
3.5.2 Přibližný Riemanùv řešič založený na numerické kvadratuře
Stegerovo-Warmingovo schéme lze odvodit z




Zq R


1
|A1 | dq
f 1 (q L ) + f 1 (q R ) −
g G (q L , q R ) =

2


qL
pomocí ”kvadraturní formule”
Zq R
|A1 | dq ≈ |A1 (q R )|q R − |A1 (q L )|q L ,
qL
která je přesná (v linárním případě), pokud A1 je konstatní. čili přesnost této
integrace není příliš vysoká. Jiná schémata lze získat na základě kvadraturní
formule
¯
¯
Zq R
¯
q + q R ¯¯
|A1 | dq ≈ ¯¯A1 ( L
)¯ (q R − q L )
(3.5.5)
2
qL
a aproximací
1
q + qR
q + qR qL + qR
(f (q ) + f 1 (q R )) ≈ f 1 ( L
) = A1 ( L
)(
)
2 1 L
2
2
2
(3.5.6)
plynoucí z homgenity f 1 .
Užitím (3.5.5), se dostáváme k Van Leerovu schématu s numerickým tokem
½
¾
q + qR
1
f 1 (q L ) + f 1 (q R ) − |A1 ( L
)|(q R − q L ) .
g V L (q L , q R ) =
2
2
Dosazením (3.5.6) do Van Leerova numerického toku dostáváme Vijaysundaranovo schéma s numerickým tokem
g V (q L , q R ) = A+
1(
qL + qR
qL + qR
) q L + A−
) qR .
1(
2
2
10. přednáška
3.5.3 Přibližný Riemanùv řešič založený na vhodné integrační cestě
To be continued.
3.5.3.1
Riemanovy invarianty To be continued.
3.5.3.2
Integrace vlastního vektoru r l
3.5.3.3
Integrační cesta v přípustné stavové množině
To be continued.
To be continued.
BIBLIOGRAFIE
Abgrall, R., Sonar, T., Friedrich, O., and Billet, G. (1999). Higher order approximations for compressible fluid dynamics on unstructured and cartesian
meshes. In Higher-Order Methods for Computational Physics (ed. T. J. Barth
and H. Deconinck), Volume 9 of Lecture Notes in Computational Science and
Engineering, pp. 1–68. Springer, Berlin.
Feistauer, M. (1993). Mathematical Methods in Fluid Dynamics. Longman
Scientific & Technical, Harlow.
Feistauer, M., Felcman, J., and Straškraba, I. (2003). Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow. Oxford University Press, Oxford.
Godlewski, E. and Raviart, P. A. (1996). Numerical Approximation of Hyperbolic Systems of Conservation Laws. Number 118 in Applied Mathematical
Sciences. Springer, New York.
Hannemann, V., Hempel, D., and Sonar, Th. (1994). Adaptive computation of
compressible flow fields with the DLR-τ -Code. In Numerical Methods for the
Navier–Stokes Equations (ed. F.-K. Hebeker, R. Rannacher, and G. Wittum),
Volume 47 of Notes on Numerical Fluid Mechanics, pp. 101–110. Vieweg.
Hannemann, V., Hemple, D., and Sonar, Th. (1992). Adaptive computation
of compressible flow. In Proceedings of the 9th GAMM Seminar on Adaptive
Methods (ed. G. W. W. Hackbusch). Vieweg, Braunschweig – Wiesbaden.
Klein, R., Botta, N., Schneider, T., Munz, C. D., Roller, S., Meister, L., Hoffmann, L., and Sonar, T. (2000). Asymptotic adaptive methods for multi-scale
problems in fluid mechanics. J. Eng. Math.. Accepted for publication.
Kurzweil, J. (1986). Ordinary Differential Equations. Elsevier, Amsterdam.
Smoller, J. (1983). Shock Waves and Reaction–Diffusion Equations. Springer,
New York.
Sonar, Th. (1989). Grid generation using elliptic partial differential equations.
Technical report, DFVLR-FB.
Sonar, Th. (1993a). On the design of an upwind scheme for compressible flow
on general triangulations. Numerical Algorithms, 4, 135–149.
Sonar, Th. (1993b). Strong and weak norm refinement indicators based on the
finite element residual for compressible flow computation. Impact Comput.
Sci. Eng., 5, 111–127.
Sonar, Th. (1997a). Mehrdimensionale ENO–Verfahren. Advances in Numerical
Mathematics. Teubner, Stuttgart.
Sonar, T. (1997b). On the construction of essentially non-oscillatory finite volume approximations to hyperbolic conservation laws on general triangulations: polynomial recovery, accuracy and stencil selection. Comput. Methods
Appl. Mech. Eng., 140, 157–181.
Sonar, Th., Felcman, J., Warnecke, G., and Wendland, W. (1992, Nov.). Adap47
48
BIBLIOGRAFIE
tive Berechnung kompressible Strömungsfelder. In Strömungen mit Ablösung,
Proc. of 8. DGLR–Fach–Symposium, Köln–Porz, pp. 345–350. DGLR–Bericht
92–07, Bonn.
Sonar, Th. and Süli, E. (1998). A dual graph–norm refinement indicator for
finite volume approximations of the Euler equations. Numerische Mathematik , 78, 619–658.
Sonar, Th. and Warnecke, G. (1996). On finite difference error indication for
adaptive approximations of conservation laws. Reihe A Preprint 109, Universität Hamburg.
INDEX
Rankine–Hugoniotova podmínka, 34
Reynoldsovo číslo, 16
rheologické rovnice, 13
Riemannův numerický tok, 42
rovnice energie, 17
rychlost, 3
absolutní teplota, 17, 18
Cauchyho úloha, 26
celková energie, 17
dokonalý plyn, 18
dynamická viskozita, 15
schéma metody konečných objemù, 37
smykové třecí síly, 14
sousedící konečné objemy, 35
specifické teplo při konstantním objemu,
18
specifické teplo při konstantním tlaku, 18
stavové veličiny, 18
stavová rovnice, 18
stavový vektor, 21
Stokesovy postuláty, 14
síť konečných objemù, 35
enthalpie, 19
equations of motion, 13
Eulerův popis, 3
Fourierův zákon, 17
Godunovùv numerický tok, 42
Godunova metoda, 42
hustota, 18
tepelná vodivost, 17
tepelný tok, 17
tepelný zdroj, 17
tlak, 14, 18
tok, 37
ideální plyn, 18
isotropní médium, 14
kinetické energie, 17
koeficienty vazkosti, 15
konečné objemy, 35
konsistentní numerický tok, 38
kontrolní objem, 10
konzervativní numerický tok, 38
vazkost, 14
vnitřní energie, 17
vnitřní tření, 14
zrychlení, 3
Zákon zachování hmotnosti, 10
Zákon zachování hybnosti, 11
Lagrangeův popis, 3
metoda charakteristik, 26
metoda konečných prvkù, 35
metody Godunovova typu, 42
Navier-Stokesovy rovnice, 15
nevazké proudění, 14
nevazký Eulerùv tok, 21
Newtonovská tekutina, 15, 17
numerický tok, 37, 38
plynová konstanta, 18
Poissonova adiabatická konstanta, 18
počástech hladké slabé řešení, 33
přesný Riemanùv řešič, 42
přibližné řešení, 37
přibližné řešení metody konečných
objemù, 37
přibližný Riemanùv řešič, 42
49