Rozpínání vesmíru a laserové chlazení atomů

68
Mládež a fyzika
Rozpínání vesmíru
a laserové chlazení atomů
v úlohách Asijské fyzikální olympiády
Jan Kříž, Ivo Volf, Bohumil Vybíral
Ústřední komise Fyzikální olympiády, Přírodovědecká fakulta UHK, Rokitanského 62, 500 03 Hradec Králové
A
sijská fyzikální olympiáda (APhO) je jednou
z tzv. zonálních předmětových fyzikálních
soutěží, mezi něž patří např. Iberoamerická fyzikální soutěž, případně Fyzikální olympiáda
Ruské federace aj. Soutěž je vytvořena pro středoškolské žáky a je určena účastníkům z oblastí Asie
a Oceánie. Organizačně je podobná Mezinárodní fyzikální olympiádě (MFO) a řídí se dosti podobným
organizačním řádem – soutěžící řeší zpravidla také
tři teoretické a dvě experimentální úlohy. Zatímco
MFO se účastní z každého státu nejvýše pět soutěžících, na APhO může být soutěžících osm. Na počátku soutěže stáli dva fyzikové, velmi dobře známí
z MFO – Waldemar Gorzkowski, prezident MFO, který byl na dlouhodobém studijním pobytu v Indonésii,
a Yohanes Surya, tehdejší čelný představitel Fyzikální olympiády v Indonésii, který se stal po dobu 10 let
prezidentem APhO. Prvního ročníku, na který byli
v roce 2000 pozváni účastníci z výše vymezené oblasti světa do města Karawaci v Indonésii, se zúčastnili
soutěžící z devíti asijských zemí a Austrálie; další tři
státy vyslaly své pozorovatele, aby se seznámili se soutěží a mohli ji v blízké budoucnosti zorganizovat. Soutěž pak pokračovala v těchto městech: Tajpej (2001),
Singapur (2002), Bangkok (2003), Hanoj (2004), Pekarbaru (2005), Almaty (2006), Šanghaj (2007), Ulánbátar (2008), Bangkok (2009), Tajpej (2010), Tel Aviv
(2011). Vloni soutěž proběhla ve městě Novém Dillí (Indie), pro rok 2013 se na soutěž chystá město
Bogor, tedy bude opět v Indonésii. Aktivně se klání APhO účastní soutěžící z následujících států: Austrálie, Kambodža, Čína (ČLR), Hongkong, Spojené
arabské emiráty, Indie, Indonésie, Izrael, Kazachstán,
Kyrgyzstán, Malajsie, Mongolsko, Filipíny, Ruská federace, Singapur, Srí Lanka, Tchaj-wan, Tádžikistán,
Thajsko a Vietnam.
Podrobnější informaci o soutěži, zadávané úlohy,
jejich řešení a současně i výsledky soutěže lze najít
na hlavní stránce Asijské fyzikální olympiády [1].
O tom, že i úlohy této olympiády jsou velmi podobné úlohám MFO, svědčí také následující dva příklady
tematicky odpovídající obsahu tohoto čísla. První úloha „Rozpínající se vesmír“ je pouze jednou ze tří nezávislých částí teoretické úlohy z 11. APhO v roce 2010,
http://ccf.fzu.cz
podobně jako se ze tří nezávislých částí skládala 1. teoretická úloha poslední MFO v Estonsku v roce 2012.
Druhá úloha „Laserové chlazení atomů“ je převzata ze
7. APhO v roce 2006 a je velmi podobná úloze „Dopplerovské laserové chlazení a optická melasa“, která byla
zadána na MFO v roce 2009 v Mexiku.
Originální anglické texty úloh a jejich řešení jsou
k dispozici na webových stránkách pořadatele 12. APhO
[2]. Překlad do češtiny provedli autoři tohoto příspěvku.
Úloha 11. APhO „Rozpínající se vesmír“
Fotony ve vesmíru hrají velmi důležitou roli – přenášejí informace napříč vesmírem. Pokud se my snažíme
získat nějakou informaci pomocí těchto fotonů, musíme brát v úvahu fakt, že se vesmír rozpíná. Proto běžně vyjadřujeme délky a vzdálenosti ve vesmíru pomocí obecného škálovacího faktoru a(t). Vzdálenost L(t)
mezi dvěma hvězdami, které jsou v klidu ve svých lokálních vztažných soustavách, je přímo úměrná faktoru a(t) podle vztahu
L(t) = k a(t),
(1)
kde k je konstanta a funkce a(t) popisuje rozpínání vesmíru. Derivaci podle času zde budeme značit čárkou,
tedy a’(t) = da(t)/dt. Označme v(t) = L’(t). Zderivujeme-li obě strany rovnice (1), dostaneme známý Hubbleův
zákon:
v(t) = H(t) L(t),
(2)
kde H(t) = a’(t)/a(t) je Hubbleův parametr v čase t. V současnosti, v čase t0, je jeho hodnota
H(t0) = 72 km s-1 Mpc-1,
kde 1 Mpc = 3,0857∙106 světelných let.
Předpokládejme, že je vesmír nekonečně velký a expanduje tak, že a(t) je úměrný exponenciální funkci ebt,
kde b je konstanta. V takovémto vesmíru je Hubbleův
parametr konstantní a rovná se H(t0). Navíc lze dokázat, že vlnová délka λ fotonů pohybujících se vesmírem se bude zvětšovat úměrně rozpínání vesmíru, tj.
λ(t) ~ a(t).
Předpokládejme dále, že fotony, tvořící Lymanovu
alfa emisní čáru, byly vyzářeny v čase te hvězdou, která
byla v klidu ve své lokální vztažné soustavě. Pozorova-
č. 1
tel je taktéž nehybný ve své lokální vztažné soustavě.
Vlnová délka fotonů při emisi byla λ(te) = 121,5 nm. Pozorovatel zaznamená tyto fotony v současnosti v čase t0
a naměří vlnovou délku posunutou směrem k červené
oblasti na hodnotu 145,8 nm.
a) V průběhu pohybu fotonů od hvězdy k pozorovateli
se vesmír neustále rozpínal, tedy hvězda se od pozorovatele vzdalovala. Uvažujte dále konstantní rychlost světla ve vakuu c a určete vzdálenost L(te) hvězdy od pozorovatele v okamžiku emise te. Vzdálenost
vyjádřete v jednotkách Mpc.
b) Jaká je rychlost vzdalování v(t0) hvězdy od pozorovatele v současnosti, tedy v čase t0? Odpověď uveďte
jako relativní rychlost – v poměru k rychlosti světla
ve vakuu c.
Řešení
a) Fotony byly emitovány v čase te a zaznamenány
v čase t0, tedy
a (t 0 )  (t 0 ) 145,8


 1,200.
a (t e )  (t e ) 121,5
(3)
Na druhé straně, Hubbleovu konstantu lze vypočíst
následujícím způsobem
k exp(bt ) Ÿ H (t )
a (t )
a ' (t )
a (t )
b.
(4)
Za časový interval dt v minulosti urazily fotony dráhu cdt, které v čase te odpovídala díky rozpínání vesmíru vzdálenost
a (t e )
cdt .
a (t )
Fotony byly emitovány v okamžiku te, takže vzdálenost hvězdy od pozorovatele v tomto okamžiku byla
t0
t
0
a (t e )
cdt  c  expb(t e  t dt 
a (t )
te
te
c
1 exp b t e t 0 .
b
Ze vztahů (3) a (4) ale máme
L(t e )  
exp( H (t 0 ))
exp( H (t e ))
(5)
a (t 0 )
| 1,200.
a (t e )
Tedy
1 
c
L(t e )  1 
  693 Mpc.
b  1,200 
b) Vzhledem k rozpínání vesmíru je v současnosti
vzdálenost hvězdy od pozorovatele větší,
Čs. čas. fyz. 63 (2013)
» Vyšetřujeme
Ee
ħγ
ħδ
ħω 0
ħω
Eg
Obr. 1 Schéma dvouhladinového atomu. (Pozor, parametry
nejsou v reálném poměru.)
pení vlastností chladných atomů v kvantovém plynu
a byl oceněn Nobelovými cenami v letech 1997 a 2001.
Uvažujme jednoduchý dvouhladinový model atomu s energií základního stavu Eg a energií excitovaného stavu Ee. Energetický rozdíl těchto hladin Ee – Eg
= ħω 0, úhlová frekvence záření použitého laseru je ω
a tzv. rozladění laseru je δ = ω – ω 0 << ω 0. Předpokládejme, že rychlosti všech atomů jsou mnohem menší,
než je rychlost světla ve vakuu, tj. v << c. Tuto úlohu
řešte vždy v prvním platném řádu malých parametrů
v/c a δ/ω 0. Přirozená šířka excitovaného stavu Ee díky
spontánnímu rozpadu je γ << ω 0. (Je-li atom v excitovaném stavu, je pravděpodobnost jeho přechodu do základního stavu za jednotku času rovna γ.) Při přechodu do základního stavu emituje atom foton s úhlovou
frekvencí blízkou ω 0 do náhodného směru.
V kvantové mechanice lze ukázat, že při ozařování atomu laserovým zářením malé intenzity, je pravděpodobnost excitace atomu za jednotku času závislá
na frekvenci záření ve vztažné soustavě, spojené s atomem, ωa, podle vztahu
 p  s0
 /2
1  4 a   0  /  2
2
 ,
kde s0 << 1 je parametr, který závisí na vlastnostech
atomu a intenzitě záření laseru (obr. 1).
Budete studovat vlastnosti plynu sodíkových atomů, přičemž vzájemné interakce atomů zanedbáme.
Intenzita laserového ozařování je natolik malá, že počet
atomů v excitovaném stavu je vždy mnohem menší než
počet atomů v základním stavu. Můžete také zanedbat
vliv gravitačního pole, které bývá v reálných experimentech kompenzováno magnetickým polem.
Planckova konstanta
ħ = 1,05 ∙ 10 −34 J s
a(t 0 )
a(t 0 ) c § a(t e ) · c § a(t 0 ) ·
¨1 ¨
¸
1¸ .
L(t 0 )
L(t e )
a(t e )
a(t e ) b ¨© a(t 0 ) ¸¹ b ¨© a(t e ) ¸¹
Boltzmannova konstanta
kb = 1,38 ∙ 10 −23 J K−1
Hmotnost sodíkového atomu
m = 3,81 ∙ 10 −26 kg
Úhlová frekvence přechodu
ω0 = 2π ∙ 5,08 ∙ 1014 Hz
Podle Hubbleova zákona tedy vypočítáme současnou rychlost vzdalován hvězdy:
Šířka excitovaného stavu
γ = 2π ∙ 9,80 ∙ 106 Hz
Koncentrace atomů
n = 1014 cm−3
c  a (t ) 
v(t 0 )  H (t 0 ) L(t 0 )  b  0  1 
b  a (t e ) 
 a (t ) 
c 0  1  0,200c.
 a (t e ) 
Úloha 7. APhO „Laserové chlazení atomů“
V této úloze se budeme zabývat mechanismem chlazení
atomů pomocí laserového záření. Výzkum v této oblasti
vedl v nedávné době k významnému pokroku v pocho-
69
Tab. 1 Zadané číselné hodnoty.
a) Předpokládejte, že se atom pohybuje v kladném
směru osy x rychlostí vx a laserové záření s úhlovou
frekvencí ω se šíří v záporném směru osy x. Jaká je
úhlová frekvence záření ve vztažné soustavě spojené
s atomem?
b) Předpokládejte, že se atom pohybuje v kladném
směru osy x rychlostí vx a dva totožné laserové paprsky se šíří podél osy x z obou stran. Úhlová frek-
http://ccf.fzu.cz
chování plynu
sodíkových
atomů
ozářeného
laserem.
«
70
Mládež a fyzika
Hybnosti emitovaných fotonů jsou rovnoměrně rozděleny do všech směrů a jejich průměr dává příspěvek, který je mnohem menší než Δp. Průměrná síla
je nenulová, protože se atomy pohybují proti laserovým fotonům z pravého laseru a ve vztažné soustavě
spojené s atomem je frekvence fotonů z pravého laseru větší než frekvence fotonů z levého laseru. Jelikož počet rozptýlených fotonů závisí na frekvenci
ve vztažené soustavě spojené s atomem, je výsledná
síla nenulová, pak
F (v x )  F  F 
Foto z 11. APhO v roce 2010 (Tajpej).

vence laserového záření je ω a parametr intenzity je
s0. Nalezněte výraz pro průměrnou sílu F(vx) působící na atom. Pro malé rychlosti vx lze tuto sílu vyjádřit jako funkci: F(vx) = – β vx. Vyjádřete parametr
β. Jaké je znaménko rozladění δ = ω – ω 0, když víte,
že velikost rychlosti atomu klesá? Předpokládejte, že
hybnost atomu je mnohem větší než hybnost fotonu.
V dalších úlohách předpokládejte, že rychlost atomu
je natolik malá, že je možné používat výše uvedený
lineární vztah pro průměrnou sílu.
c) Mějme nyní šest laserů podél os x, y a z v obou směrech. Pro β > 0 působí na atomy disipativní síla a jejich průměrná energie klesá. To znamená, že teplota
plynu definovaná pomocí průměrné energie klesá.
Užijte zadané koncentrace atomů (viz tab. 1) a odhadněte číselně teplotu TQ, pro kterou již není možné atomy považovat za bodové objekty díky kvantovým efektům.
V dalších úlohách předpokládejme, že teplota je
mnohem vyšší než TQ, a počítejte se šesti lasery, zářícími v obou směrech podél všech tří os, jak bylo
vysvětleno v úloze c).
V části b) jste vypočítali průměrnou sílu působící
na atom. Díky kvantové povaze atomů se při každém absorpčním nebo emisním ději mění hybnost
atomů o jistou diskrétní hodnotu v náhodném směru (jde jakési „zpětné rázy“ atomů).
d) Určete číselně druhou mocninu změny hybnosti
atomu (Δp)2 jako důsledek absorpční nebo emisní
události.
e) Díky zpětným rázům nedosáhne průměrná teplota
plynu po dostatečně dlouhé době absolutní nuly, ale
dosáhne jisté konečné hodnoty. Vývoj hybnosti atomu lze vyjádřit jako náhodnou procházku v prostoru hybností s průměrným krokem p 2 a chlazením díky disipativní síle. Rovnovážná teplota je dána
kombinací efektů obou těchto různých procesů.
Dokažte, že teplota rovnovážného stavu Td má tvar
Td = ħγ(x + 1/x)/(4kb). Určete x. Předpokládejte, že
Td je mnohem větší než p 2 / 2k b m.
Návod: Jsou-li vektory P1, P2 ,…, Pn vzájemně statisticky nekorelované, platí:
P1  P2  ...  Pn 2
 P1
2
 P2
2
 ...  Pn
2
 0 s 0  
1


c 2  1  4   0 v x / c 2 /  2

1


2
2 .
1  4   0 v x / c  /  
Pro vx/c << δ/ω 0 je
 
http://ccf.fzu.cz
c 2 1  4 /  2

2
.
Pro β < 0 je tedy třeba δ < 0.
c) Charakteristická de Broglieova vlnová délka při teplotě T se rovná O
/ mk bT . Aby bylo možné atomy považovat za bodové objekty, je třeba, aby tato
vlnová délka byla mnohem menší, než je charakteristická vzdálenosti dvou částic n-1/3. Z podmínky,
že tyto dvě délky mají velikost stejného řádu, dostáváme TQ = (ħ2n2/3)/(kbm) ≈ 10-6 K.
d) <Δp2> = ħ2 ω 02/c2 ≈10-54 kg2m2s-2.
e) Předpokládejme, že se střední hodnota průměrného
čtverce hybnosti atomu rovná P02. V rovnovážném
stavu se tato veličina nemění s časem, a tedy teplota
je dána rovností 3kbTd/2 = P02/(2m). Nechť je velikost
hybnosti nějakého atomu v určitém okamžiku rovnovážného stavu rovna P0. Podívejme se na velikost
hybnosti po uplynutí časového intervalu t. Během
této doby atom projde N = 6γpt >> 1 absorpčně-emisními procesy (číslo 6 je dáno počtem laserů).
V každé absorpčně-emisní události atom získá dva
zpětné rázy, každý se střední kvadratickou hodnotou <Δp2> vypočtenou v části d) (jeden zpětný ráz
při absorpci, druhý při emisi). Směry těchto impulzů v jednotlivých událostech nejsou korelované, což vede k nárůstu střední kvadratické hodnoty
momentu o 2N<Δp2>.
Na druhou stranu jsou atomy chlazeny díky disipativní síle, přičemž změna střední kvadratické
hybnosti vyvolaná tímto procesem činí –2βP02t/m.
V rovnovážném stavu se tyto dva procesy vzájemně
kompenzují. Dostáváme tedy
12 'p 2 J p m
§ 2G
3
J
mJ ¨¨
2E
4
J
2
G
©
Neboli rovnovážná teplota je
P02
f) Číselně najděte minimální možnou hodnotu teploty
díky zpětným rázům. Pro jaký poměr δ/γ toto minimum nastane?
Řešení
a) Podle klasického Dopplerova efektu, ωa = ω(1 + vx/c).
b) Velikost hybnosti předané při každé absorpci se
rovná
(6)
Δp = ħ ω 0/c.

8 02s 0
Td 
 2
1

 

4k b  
2
·
¸.
¸
¹

.


f) Minimum nastane pro δ = – γ/2 a teplota je Td = ħγ/
(2kb) = 2,4∙10-4 K.
Literatura
[1] http://apho.phy.ntnu.edu.tw/
[2] http://apho2011.tau.ac.il/?cmd=APhO.28