+ p - Odbor termomechaniky a techniky prostředí

FSI VUT v Brně, Energetický ústav
Odbor termomechaniky a techniky prostředí
prof. Ing. Milan Pavelek, CSc.
TERMOMECHANIKA
11. Termodynamika proudění
OSNOVA 11. KAPITOLY
● 1-rozměrné adiabatické proudění
● Rovnice kontinuity
● Rovnice pohybová
● Dynamické rychlostní sondy
● Rovnice energetická
● Celkové parametry proudu
● Zužující se dýza
● Rychlost zvuku
● Výpočet zužující
se dýzy
● Lavalova dýza
Měření proudění
● Výpočet Lavalovy dýzy
● Chování Lavalovy dýzy
● Vliv protitlaku na
proudění dýzami
● Vizualizace proudění 1
1-ROZMĚRNÉ
ADIABATICKÉ PROUDĚNÍ
Proudění plynů a par
 v potrubích
 ve zužujících se dýzách
 v Lavalových dýzách
vyskytujících se v lopatkových strojích
apod. lze považovat za jednorozměrné.
Pak nás zajímají jen střední rychlosti
proudění v průtokových průřezech.
Zdroj: Badcock Glasgow
V této kapitole se zaměříme na proudění
bez přenosu tepla, které řešíme jako
adiabatickou expanzi.
Potrubí
vzduchotechniky
Řešení vychází ze tří rovnic:
● Rovnice kontinuity
● Rovnice pohybové
● Rovnice energetické
2
ROVNICE KONTINUITY
Rozlišujeme proudění
● Laminární
Rychlostní
● Turbulentní profily v kanále
Laminární
Turbulentní
Dynamická
mezní vrstva
w
Zdroj: Badcock Glasgow
Přechodná
Laminární
Turbulentní
w
w
Laminární
podvrstva
x
O laminárním či turbulentním proudění rozhoduje Reynoldsovo číslo.
[kg.s-1] hmotnostní tok

Rovnice kontinuity
m
A w

m
 konst w [m.s-1] střední rychlost
pro stlačitelné
v
A [m2]
průřez
tekutiny
3
ROVNICE POHYBOVÁ
z
A + dA
A
p+dp
w+dw
p
w
x
dx
x
Výsledná síla způsobí
zrychlení dw/d
w = f (x,)
Po dosazení bude:
Rovnice pohybová
pro 1D proudění

Síly doprava jsou kladné, doleva záporné
Výsledná síla je dána součtem všech sil:
Síly na element
Síly na válcový povrch
pA  p  dp A  dA   p  dp/ 2 dA 
dpdA
 pApAdpApdAdpdApdA
2
Výsledná síla je:  Adp
dw
dw stacionární
 Adp  dm
 ρAdx 
dτ
dτ
dw w
w
w
w

w
dw 
dx 
dτ
dτ x
τ
x
τ
1
dw
 Adp  Adx 
w
v
dx
 w 2  Bernoulliho rovnice pro

v  dp  d 
 2  stlačitelné tekutiny
4
DYNAMICKÉ
RYCHLOSTNÍ SONDY - 1
Bernoulliho rovnici pro stlačitelné tekutiny
integrujeme za konstantního objemu
p1  p 2   w 22  w 12
w 2 

 vdp   d 
ρST Ř
2
1
1  2 
 Bernoulliho rovnice pro nestlačitelné tekutiny
2
p1 
2
w 12
2
ρ ST Ř  p 2 
ps  pd  pc
w 22
2
ρ ST Ř
Zdroj:
Universum
Tlak statický + tlak dynamický = tlak celkový
Rychlostní sondy
w < 0,3 rychlosti zvuku
h
Pitotova
trubice
M
pd ρM g h
Prandtlova
trubice
pd  pc  ps
p d  ρST Ř w 2 / 2
w 
2pd
ρ ST Ř
5
DYNAMICKÉ
RYCHLOSTNÍ SONDY - 2
Bernoulliho rovnici lze integrovat i s uvážením adiabatické změny, kdy
ve stavu C při celkovém tlaku pc je wc = 0, a v daném prostředí o
statickém tlaku ps je měřená rychlost ws . Pro proudění plynu bude:
w 2 

  vdp   d 
c
c  2 
s
s
 vdp  dat
κ 1


2
2
κ


κ
p
w

w
c
p cv c 1   s    s
  pc  
κ- 1
2


ws 
κ 1


κ
 ps  
2κ

p cv c 1   
  pc  
κ- 1


Zdroj: Airflow
Pro uvedený vztah je třeba znát:
 Statický tlak ps
 Dynamický tlak pd pro výpočet
celkového tlaku pc = ps + pd
 Teplotu Tc pro výpočet měrného
objemu vc = r . Tc / pc
6
DYNAMICKÉ
RYCHLOSTNÍ SONDY - 3
Porovnání určení rychlosti proudění vzduchu (teplota 0°C, tlak 98 kPa)
w = rychlost zvuku
s = ps / rTs
w = 0,3 *
rychlost
zvuku
= konst
c = pc / rTc
= konst
  = p / konst
nebo
 = (c + c )/2
7
DYNAMICKÉ
RYCHLOSTNÍ SONDY - 4
Porovnání termodynamických dějů, které je třeba zvažovat při určování
rychlosti proudění tekutin z měřeného dynamického tlaku.
p
kr
n  vs
at
c
 * vs
T
pc = p2
n
pc = p2
c
ps = p1
s ps = p1
kr
T
vc
s
T
vstř
x=0
x=0
x=1
x=1
v=1/
s
Pozn.: Při dosažení rychlosti zvuku ve vzduchu je ps/pc = 0,528, viz
odvození kritického tlakového poměru v dalším textu.
8
ROVNICE ENERGETICKÁ
V termodynamice je energetickou
rovnicí I. zákon termodynamiky. Pro
proudění je vhodná jeho 2. forma
Zdroj: ČEZ
dq  dh  dat  dh v  dp
Proudění považujeme za
adiabatickou expanzi, pro
kterou platí
0  dh  dat  dh v  dp
Rovnice energetická pro proudění
má tudíž tvar
Řešení proudění vyžaduje často
spojení rovnic
pohybové
–v dp = d (w2/2)
energetické –v dp = –dh
Lopatky turbíny
tvoří Lavalovy dýzy
dat   dh
v  dp   dh
w 2 

 dh  d 
 2 
9
CELKOVÉ
PARAMETRY PROUDU
T0
p0
v0
T
p
v
0

h0
h
w0 ≈ 0
Celkové parametry (klidové) jsou parametry
stojící tekutiny (adiabaticky zabrzděné).
Označují se obvykle indexem „0“
2

w
Spojená pohybová a
 dh  d 
energetická rovnice má tvar
 2
w
 h  h0  
Po integraci bude
w 2  w 02
2
w2
Pro klidovou entalpii platí:
h0  h 
Pro klidovou teplotu
ideálního plynu platí:
w2
T 0 T 
2c p
Klidový tlak, měrný objem
a hustotu ideálního plynu
vypočteme ze vztahů:
T p 
  
T0  p0 
κ- 1
κ
p v 0 
 
p0  v 
κ
ρ0 



2
1
v0
10
ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA - 1
T0
p0
v0
T
p
v
T2
p2
v2
w2
w w2
h h2
A A2
w 2 

dat  dh  d 
 2 
Po integraci od průřezu A0 do průřezu A bude
h0  h 
w0≈0
w0
h0
A0
Spojená pohybová
a energetická rovnice
w 2  w 02
2
 w  2h0  h   w 02
Pro w0 = 0 a adiabatický děj ideálního plynu je
κ 1


κ
p  
2κ

w  2h0- h   2at 
p 0v 0 1   
  p0  
κ- 1


Rychlost w dosadíme do rovnice kontinuity a dostaneme
A

m
v

 p 
2κ

p 0v 0 1   
  p0 
κ- 1

κ 1
κ




kde pro měrný
objem platí:
 p0 
v  v 0  
 p 
1
κ
11
ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA - 2
Rovnici kontinuity můžeme nyní psát ve tvaru
1
κ
κ 1


κ
 p  
p0
Ap 
2κ


m   
p 0 v 0 1   
 A Ψ 2


v 0  p0  κ - 1
p0 
v0



kde  je výtoková funkce, pro kterou platí
=1,4 K K =1,3

2
κ 1
 p κ  p  κ
κ
    
Ψ 
κ 1  p0   p0 
 p 
Ψ  f  κ, 
 p0 
Provedeme-li 1. derivaci funkce  dle
p/p0 a položíme ji rovnu nule, dostaneme
kritický tlakový poměr, při kterém je
dosažena kritická rychlost w*
0,528
p/p0
0
p*/p0 p*/p0
p*  2 


p0  κ  1
1
κ
κ 1
12
RYCHLOST ZVUKU - 1
Lze dokázat, že kritická rychlost w* je rychlost zvuku a.
Kritickou rychlost dostaneme pro kritický tlakový poměr
a  κ pv
κ 1
κ


κ
 p*  
2κ
p
*
2  κ 1




w*
p 0v 0 1  

kde




κ- 1
p
p0  κ  1
0 



κ κ 1



κ
1
κ
2κ
2κ
 2 
 κ  1- 2 

w* 
p 0v 0 1  

p
v

0 0
  κ  1

κ- 1
κ- 1
 κ  1 


2κ
Dále převedeme parametry p0v0 na p*v* v místě w*
w* 
p 0v 0
1
κ 1
κ 1
v *  p0 κ
v * 
κ
κ

 
kde
p 0v 0  p * v *  p 0v 0  p * v *  
v 0  p* 
κ 1
v0 
κ 1
 p0  κ
  p * v *
p 0v 0  p * v * 
w*  κ  p * v *
2
13
 p* 
RYCHLOST ZVUKU - 2
p0
w0≈0
p p2
● Pro p2 = p0 (p2/p0 = 1)

w2 = 0
● Pro p* < p2 < p0 (Oblast I)
p*/p0 < p2/p0 < 1, w2 roste
II
K
Výtoková
funkce 
w2 ● Pro p = p*, (Bod K)
2
p2/p0 = p*/p0, w2 = w*
● Pro p2 < p*, (Oblast II)
p2/p0 < p*/p0, w2 = w*
 čárkovaná čára
v diagramu  = f (p /p0)
V oblasti I je proudění podkritické
V oblasti II je proudění kritické
(tekutina proudí na výstupu z dýzy
rychlostí zvuku, signály se šíří též
rychlostí zvuku, at je ztrátová práce)
I
p*/p0
0
1 p/p0
p0
0
2I
K
p
p2I
p*
I
II
at
2II
Ideální plyn
p2II
v
14
RYCHLOST ZVUKU - 3
Při relativním pohybu tělesa vůči
tekutině nadzvukovou rychlostí w
vznikají rázové vlny.
RÁZOVÉ
VLNY
Čelo rázové vlny se šíří ve volném
prostoru rychlostí zvuku a
Zdroj: Mechanical and aerospace engineering
department, Princeton University
LETÍCÍ STŘELA
MACHOVO ČÍSLO
2
w
a
w
Ma 
a
MACHŮV ÚHEL
a
sin α 
w
Zdroj: Řezníček 1972
Zdroj: Universum
prof. Dr.
ERNST MACH
 18. 2. 1838
Brno-Chrlice
Česká
republika
 9. 2. 1916
Harr
Německo
15
RYCHLOST ZVUKU - 4
Rychlost zvuku závisí na stavu
prostředí a na izoentropickém
exponentu 
Zdroj: Polesný 1990.
Skripta VUT v Brně
a  κ pv
U ideálních plynů je  konstantní
 = 1,67 pro 1-atomové plyny
 = 1,41 pro 2-atomové plyny
 = 1,30 pro 3-atomové plyny
U reálných plynů je  složitou
funkcí stavu látky, což má vliv na
rychlost šíření rozruchů při jejich
expanzi či kompresi
Křivky konstantního
izoentropického exponentu 
páry H2O v t-s diagramu
Pro přibližné výpočty expanze či komprese par H2O lze volit  = 1,3
16
VÝPOČET ZUŽUJÍCÍ SE
DÝZY
● Stanovení režimu proudění:
Pro p2 / p0 > p*/ p0 (Oblast I) je podkritické proudění
Pro p2 / p0  p*/ p0 (Oblast II) je kritické proudění
● Výpočet w2:
Pro ideální plyn
Pro páru
Oblast I
podkritické
proudění
(

 p2 
2κ
w2
p 0v 0 1  
κ- 1
  p 0 
Oblast II
kritické
proudění
  p*
2κ
w 2
p 0v 0 1 
κ- 1
  p 0
● Výpočet v2:
Oblast I
Oblast II
● Výpočet m
:
Pro ideální plyn
v 2  v 0 p 0 p
1
κ
2
1
κ

p* 
v 2  v 0 p 0
m  A2w 2 v 2
p*  2 


p0  κ  1
κ
κ 1
κ 1) κ

 w 2  2h0  h 2 

( κ 1) κ




 w 2  2h0  h * 

Pro páru
Z diagramu / tab.
Z diagramu / tab.
17
LAVALOVA DÝZA
Lavalovu dýzu používáme k využití
celého poměru tlaků p2 / p0 na rychlost
(pro dosažení větší výstupní rychlosti),
a to v oblasti II, kde p2 / p0 < p*/ p0

II
I
K
Tvar Lavalovy dýzy je dán rovnicí
kontinuity
m  A Ψ 2
p0
v0
 A Ψ  konst
● V oblasti I roste  a zmenšuje se A
● V oblasti II klesá  a zvětšuje se A
(respektuje se zde funkce )
Návrh dýzy spočívá:
● Ve výpočtu průřezů A* a A2
● Ve výpočtu délky L rozšiřující se části
dýzy pro úhel 2 10 až 20°
0
w0
A0, p0
v0, h0
p2 /p0 p*/p0
2
w*
A*, (D*)
p*, v*,h*
1 p/p0
L
w2
A2, (D2)
p2, v2, h2
18
VÝPOČET LAVALOVY DÝZY
● Kontrola nutnosti
Lavalovy dýzy:
p*
p0
κ
κ1
 2 
p2





p0
 κ1 
● Rychlosti:
Plyn w * 
D 2 D *
w0
 p0
 v 0 
 p*



1
κ
 p0 
v 2  v 0  
 p2 
1
κ
A0, p0
v0, h0
h
m  A* w * v *  A2 w 2 v 2
L
A*, (D*)
p*, v*, h*
A2, (D2)
p2, v2, h2
v0 p0
0
K
2
v*
p*
h0
h*
p2
h2
I
II
x=1
v2
Pára Z diagramu / tabulek
● Průřezy:
w2
2
( κ1) κ
  p* 

2κ


p 0v 0 1 
κ- 1
  p 0 

( κ1) κ


 p2 
2κ

w2
p 0v 0 1   
κ- 1
  p 0 

Pára w *  2h 0  h * , w 2  2h 0 h 2 
● Objemy:
Plyn v*
w*
2
● Délka:
D2 D *
L
2  tg β
s
19
CHOVÁNÍ LAVALOVY
DÝZY - 1
Vliv různých vstupních podmínek - různých vstupních rychlostí
MATEMATICKÁ PODPORA:
Rovnice kontinuity
Rovnice adiabaty
Rovnice pohybová
Aw
dA dv dw
 konst 


v
A
v
w
dp
dv
κ
pv  konst 
κ
0
p
v
2
w 
dw vdp
  wdw  
vdp  d 
 2
w
w
 2 
Po dosazení do rovnice kontinuity
dA   1 v 
κpv  w 2 dp a 2  w 2 dp 1  Ma 2 dp
 
 2 dp 


2
2
A  κp w 
κw
p
κw
p
κMa 2 p
Závěr pro fyzikální úvahy
dA 1  Ma 2 dp

A
κMa 2 p

dw vdp
 2
w
w
20
CHOVÁNÍ LAVALOVY
DÝZY - 2
Závěr pro fyzikální úvahy
dA 1  Ma 2 dp

A
κMa 2 p
dw vdp

 2
w
w
w1
wd ad
p
Tabulka chování dýzy
ad
p
ad
Ma < 1
w<a
Ma > 1
w>a
dA < 0
dp < 0
dw > 0
dp > 0
dw < 0
dA > 0
dp > 0
dw < 0
dp < 0
dw > 0
p
ad
w
a) w1 < a1
wd < ad
w
b) w1 < a1
wd = ad
w
c) w1 > a1
wd > ad
ad
p
w2
w
d) w1 > a1
wd = ad
21
VLIV PROTITLAKU NA
PROUDĚNÍ DÝZAMI - 1
LAVALOVA DÝZA při různém protitlaku pvn
w0
w2
wd ad
pvn
p
p*
A
B
C
p0
pm
pe
D
w
F
p2
H
H
F
G
E
w*
C
B
A
D
B) p0 > pvn > pm  m  m M AX
C) pvn = pm  m  m M AX
D)
E
G
A) p0 = pvn  m  0
e
m
E)
F)
Odtržení v nejužším místě
pm > pvn > pe  m  m M AX
Odtržení za nejužším místem
pvn = pe  m  m M AX
Odtržení na konci dýzy
pe > pvn > p2  m  m M AX
Komprese za dýzou
G) pvn = p2  m  m M AX Výpočtový stav
H) pvn < p2  m  m M AX
Expanze za dýzou
22
VLIV PROTITLAKU NA
PROUDĚNÍ DÝZAMI - 2
ZUŽUJÍCÍ SE DÝZA při různém protitlaku pvn
w2
w0
pvn
p
A
B
C
p0
A) p0 = pvn  m  0
B) p0 > pvn > p*  m  m M AX
C) pvn = p*  m  m M AX
D) p* > pvn  m  m M AX
Vyrovnávání tlaků za dýzou ( w2 > w* )
p*
D
w2 > w*
D
w
C
B
A
w*
Zdroj: Dejč 1967
23
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 1
Interferometrie
Interferometrie
Rázová vlna
v Lavalově dýze
Řezníček 1972
Podkritické
proudění z dýzy
Stínová metoda
Proudění
Interferometrie v lopatkové mříži
Řezníček 1972
Kritické
proudění z dýzy
Dejč 1967
24
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 2
Kritické proudění
z otvoru
Zařízení pro stínovou
metodu na EÚ FSI
Zařízení pro vytváření
kouřových vláken ke sledování
proudnic na LÚ FSI
25
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 3
Odsávání
v Lavalově dýze
Schlichting 1965
Proudění do
překážky
Interferometrie
Proudění přes
překážku
Fotografie
Interferometrie
26
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 4
Proudnice
v okolí křídla
Proudění
z konvektoru
Kouř
Kouřová vlákna
Obtékání válce
Schlichting 1965
Částice na hladině
Proudění
z vyústky
PIV
27
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 5
2D PIV systém
Kamera 30 Hz
Míchání
Částice 50 m
polyamid
Vířič 1,5 Hz
Zdroj
www.dantecmt.com
Vektorová mapa
Mapa vířivosti
w x w y
ω

x
y
28
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 6
Běžné
odsávání kouře
Zesílené
odsávání kouře
Částečný
hydraulický zkrat
Úplný
hydraulický zkrat
29
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 7
Příklad numerické vizualizace proudění v okolí zesílených sacích
nástavců pro lokální odsávání škodlivin např. při svařování. Numerické
modelování je lacinější, než experimenty a umožní optimalizovat
konstrukce sacích nástavců či stanovit vhodné režimy jejich provozu.
Pracovní
stůl
a) Rychlostní pole u nástavce
b) Odsávání při svařování
Modely zesílených odsávacích nástavců REEXS
(REinforced EXhaust System)
30
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 8
Vizualizace proudění pomocí kouře
u sklářské linky na výrobu pivních
lahví
Cílem je navrhnout větrání pro
snížení tepelné zátěže pracovníků,
aniž dojde k narušení výroby
Přirozené proudění
Dolní vzduchová sprcha
Horní vzduchová sprcha
31
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 9
Vizualizační experimenty jsou zpracovávány a
vyhodnocovány pomocí software Interfer-Visual.
Software vyhodnocuje automaticky:
 Hranice kouře
Zdroj: ÚT AV ČR
 Průběhy
interferenčních
proužků
 Rozložení proužků
v řezech … aj.
Software pracuje s obrazy
a také s videosekvencemi.
Automaticky vyhodnocená
data lze interaktivně editovat
a uložit pro možnost
zpracování v jiném programu
32
VIZUALIZACE PROUDĚNÍ - 10
Příklad vyhodnocování hranic proudu v místech s malou intenzitou
kouře - pomocí funkce skládání dvou obrazů a funkce interferogram.
TRANSFORMACE
+
=
OBRAZOVÉ INTENZITY
1
VÝSTUP
2.5 m
0
0
VSTUP
1
33