zde - Matematika s chutí

Matematika s chutí
projekt na podporu podnětné výuky matematiky
Shrnutí
Projekt je uvážlivou reakcí na prokázané zhoršení výsledků povinného vzdělávání v mate­
matice i na doložené velmi negativní postoje českých žáků k její výuce. K příčinám patří pří­
lišné spoléhání škol na to, že žákům pomůžou rodiče, předčasná abstrakce ve výuce a přede­
vším skutečnost, že běžná škola se sice snaží předat žákům řadu poznatků, ovšem metody
výuky ignorují dovednosti, které jsou potřebné k jejich získávání. Výuka je zaměřena spíše
na reprodukci a imitaci než na tvořivost žáka a na rozvoj jeho intelektu a osobnosti. Objevovat,
klást si otázky a hledat na ně odpovědi se žáci nemůžou naučit tím, že budou sebepozorněji
sledovat výklad učitele. Učitel v nich musí vzbudit potřebu poznávat, musí je přivést k čin­
nostem, při nichž si budou sami klást otázky a hledat na ně odpovědi, budou sami pátrat a ob­
jevovat.
Je připravena pestrá nabídka třídních projektů (tři ukázky jsou uvedeny na konci tohoto
materiálu), které takové činnosti žáků vyvolávají a mohou se snadno stát doplňkem běžné vý­
uky. Všichni učitelé matematiky ve třetím až pátém ročníku (při dostatku finančních prostřed­
ků také v šestém, sedmém a osmém) si z nich mohou vybrat a vybraný projekt případně po ­
změnit. Mohou také připravit vlastní, jednostránkový třídní projekt. Matematika s chutí hle­
dá další sponzory, aby byl dostatek finančních prostředků na odměny učitelů za práci na
třídním projektu i na pokrytí drobných výdajů škol za materiál, příp. služby.
Výběr učitelů bude podřízen záměrům projektu, tedy snaze vyvolat v následujících letech
co nejsilnější multiplikativní efekt. Hlavním hlediskem budou odpovědi učitelů v dotazníku
a kvalita předloženého třídního projektu. Během jeho realizace (školní rok 2012/13) budou
učitelé na stránkách www.MatematikaSChuti.cz reflektovat jeho průběh a sdílet s ostatními
své zkušenosti. Kvůli získání měřitelných podkladů o výsledku třídního projektu napíší žáci na
začátku a na konci dovednostní test a zodpoví otázky dotazníku zaměřeného na jejich postoje
k matematice a její výuce ve škole.
Ve třídách, kde budou třídní projekty realizovány, by mělo především dojít k zásadní změ­
ně klimatu, v němž výuka matematiky probíhá. Případně – pokud tam díky učiteli příznivé
klima již panuje –, měly by jeho základní znaky dále vyniknout. Jde především o aktivitu všech
žáků provázenou jejich vzájemnou a trvalou diskusí o tom, co objevují. Výklad učitele zcela
chybí, případně zřetelně ustupuje do pozadí a ztrácí význam. V důsledku realizace třídního
projektu neklesne úroveň poznatků osvojených žáky. Budou se k nim však dostávat aktivněji
a s lepším porozuměním základním principům, naučí se spolupracovat a vážit si myšlenek
ostatních, uvidí smysl toho, co se v matematice učí. Na základě této zkušenosti budou tvořivěji
a odvážněji získávat další vlastní poznatky nejen v matematice, ale i v ostatních předmětech.
Existuje řada důvodů, proč by tyto změny ve výuce matematiky měly prospět také dětem žijí­
cím v méně podnětném prostředí.
V dlouhodobé perspektivě má projekt přinést zásadní změnu postojů mladých lidí k mate­
matice a oborům, které se opírají o matematické poznatky, logické myšlení a metody vě­
deckého poznání. Takových oborů stále přibývá. Změna přístupu k výuce matematiky může
v budoucnu pomoci zvýšit konkurenceschopnost českého vysokého školství a ekonomiky.
1
1. Situace v ČR
V České republice došlo v posledním desetiletí k významnému zhoršení výsledků žáků obou
stupňů základního vzdělávání v matematice. Toto zhoršení je nejvyšší mezi zeměmi OECD.
Na 25 % stoupl podíl žáků, kteří nedosahují podle definice OECD PISA úrovně vědomostí a do­
vedností nezbytných pro řešení úkolů běžného života. Česká republika je zároveň zemí, v níž
jsou úroveň vzdělání, kterého dítě dosáhne, a jeho kvalita velmi silně podmíněny podnětností
rodinného prostředí. Vzdělanost, resp. nevzdělanost se v rodinách de facto reprodukují. Zá­
kladní škola tedy dostatečně neplní jednu ze svých hlavních společenských funkcí: pomoci dě­
tem překonávat důsledky toho, že se narodily méně vzdělaným rodičům.
Školství však nedostatečně připravuje i mladé lidi, kteří nemusejí překonávat překážky spo­
jené se svým původem. Je to patrné například z toho, že na špatně připravené zaměstnance si
stěžují i zaměstnavatelé čerstvých maturantů a absolventů vysokých škol. Jejich výhrady při­
tom nesměřují tolik k úrovni jejich znalostí, ale spíše k tomu, že je v nových situacích nedoká­
žou použít. Což je závažný handicap také v životních situacích mimo zaměstnání.
Víme, že u nás existují školy, v nichž je tomu jinak. Netýkají se jich ani úvodní slova, ani výhra ­
dy, které budou následovat níže. Jsme velmi rádi, že takové inovativní ostrůvky existují. Váží­
me si práce všech, kteří je pomohli vytvořit. Tento projekt má napomoci tomu, aby podobných
ostrůvků začalo přibývat.
Příčiny

Na začátku vzdělávání škola příliš spoléhá na rodinu, ovšem mezi rodinami s nízkým so­
cioekonomickým statusem je daleko víc těch, které dětem nedokážou pomoci a motivovat
je, i kdyby chtěly (často ani nechtějí).

Pojetí vzdělávání na základních školách je příliš akademické (předčasná a leckdy nesmy­
slná abstrakce předstírající vědeckost, málo pro žáky smysluplných činností v hodinách,
převládá pasivní sledování výkladu, zdrojem informací je především učitel, žákům leckdy
uniká vztah učiva k jejich životu). Okamžik, kdy žák začne zaostávat, učitelé obvykle neroz­
poznají včas a málokdy dokážou žákovi účinně pomoci, protože nevědí jak. Prostředky na
dodatečnou asistenci navíc nejsou včas a dobře cíleny na školy, třídy a děti, které ji po­
třebují.

Škola se snaží předat žákům velké množství nejrůznějších poznatků, ale nepředává do­
vednosti, které jsou k jejich získávání zapotřebí. Pomíjí, že lidstvo k poznatkům dospělo
často dlouhými a komplikovanými cestami plnými omylů, prodlev a slepých uliček. Škola
respektuje, že autoři poznatků zpravidla mohli vycházet z výsledků svých předchůdců. Za­
pomíná však, že své poznatky často získávali hlavně ve spolupráci s jinými (což dnes platí
dvojnásob). Především však ignoruje metodickou výbavu těchto inovátorů, ať už působili ve
vědě, v průmyslu, v umění nebo třeba v obchodu: uměli objevovat, hledat nové pojmy a vy­
jasňovat jejich významy, všímali si souvislostí a dokázali o nich správně uvažovat a interpre­
tovat je. Tohle současná škola nemůže žáky naučit, protože nic takového v ní nezažívají.
Je to také významný důvod, proč se žáci ve škole nudí. Objevovat se nemohou naučit tak,
že pozorně sledují výklad učitele, ale tím, že to sami zkoušejí. Že objevují. Obrazně řečeno,
škola dává žákům ryby, ale neučí je ryby chytat.

Škola ani nevnímá svou roli tak, že se má snažit probudit v každém žákovi touhu po
poznávání a přivést ho k tomu, aby usiloval o co nejvyšší kvalitu (což je leckdy něco ji­
ného než co nejlepší známky). Chápe ji, ve shodě s velkou částí veřejnosti i politiků, spíše
jako oddělování zrna (budoucích absolventů vysoké školy) od plev (jejichž další životní
osudy ji moc nezajímají).

Postavení matematiky je z tohoto hlediska exemplární – abstraktní předmět rozděluje
žáky ve třídě na dvě skupiny. Do velmi malé patří ti, kteří naleznou zalíbení v důrazu mate ­
matiky na logické uvažování a na přesnou práci s pojmy a jejich vztahy. Do podstatně větší
skupiny pak ti, které způsob výuky záhy zastraší a odradí. Nepochopí vztah matematiky ke
2
světu, v němž žijí. Navzdory intelektovým předpokladům záhy pustí matematiku k vodě.

Vedlejším, ale nikoli nevýznamným důsledkem tohoto přístupu je skutečnost, že žáky ma­
tematika nebaví, způsob výuky jim neposkytuje motivaci pro řešení matematických, ale
ani přírodovědných problémů. V nenávisti vůči matematice české děti vynikají i ve světo­
vém měřítku. Jejich postoj se po roce 2000 výrazně zhoršil.1 Bylo by velkým omylem do­
mnívat se, že ke změně může přispět posílení „represe“ – to by žáky v jejich negativních
postojích naopak ještě více utvrdilo.

Jsou značně podceňována rizika spojená s nedostatečnou vzdělaností části společnosti.
Problém pevné vazby mezi socioekonomickým statusem rodičů a dosaženým vzděláním je­
jich dětí existoval nejen za totality, ale i za první republiky. Vládní místa ani většinová čes­
ká společnost nikdy nevěnovaly reprodukci sociálních nerovností odpovídající pozornost.
Tyto postoje trvají, ač dnes už je zřejmé, že rychle se zvětšující sociální rozdíly vedou k es­
kalaci tohoto problému. Kulturní, ekonomické i politické následky ponese už za pět, deset
či patnáct let celá společnost. Včetně těch, kteří si závažnost situace neuvědomují nebo se
domnívají, že se jich netýká.

Česká společnost nepožaduje změny metod výuky a jejích cílů. Málokdo z rodičů, úřední­
ků a politiků si dokáže představit jinou školu než tu, jakou zná z dětství – jako by se tu za­
stavil čas (skutečné změny ve školách jsou pravděpodobně větší, než si veřejnost představu­
je, ale pořád nijak významné). Spokojenost se školou převládá.
2. Východiska projektu

Projekt Matematika s chutí se zaměřuje na matematiku, tedy na oblast se zásadním vý­
znamem pro konkurenceschopnost české ekonomiky. Vždy panovala shoda na tom, že
pro duševní trénink má matematika mezi všemi školními předměty nejlépe vybavenou tě­
locvičnu. Už dávno však neplatí, že studium matematiky (na jakékoli úrovni) je dokonalou
přípravou na situace, které nikdy nenastanou. Díky informační revoluci řádově vzrostl bez­
prostřední význam matematiky pro každodenní život. Jde ovšem také o předmět, v němž
se negativní rysy českého školství projevují snad nejzřetelněji, a to již na úrovni základní
školy.2

Organizátoři projektu připravili a rozpracovali celou řadu inspirujících nápadů. Učitelé
si z nich budou moci třídní projekt vybrat, ale stejně vítány budou také jiné třídní projek­
ty, které učitelé zvolí buď sami nebo spolu s žáky. Popis každého projektu (tj. připraveného
organizátory, anebo učiteli) se vejde na jednu stranu formátu A4 (viz část 7 a Příloha).

Ve třídním projektu žáci dostanou příležitost objevovat samostatně (ve dvojicích, větších
skupinkách, příp. jednotlivě – tj. bez přímého vedení učitele) zákonitosti a souvislosti při­
měřeně složitého mikrosvěta (prostředí). Nejlépe v situacích, které je opravdu pálí nebo
aspoň zajímají – bylo by chybou udělat z třídních projektů složitější slovní úlohy, které
vztah k realitě obvykle stejně jen předstírají.

Učitel bude fungovat spíše jako připravený moderátor procesu poznání než jako jeho
dirigent: nebude jediným či hlavním zdrojem informací, nebude dávat žákům rozhřešení
nad jejich výsledky a výstupy z projektu, ale bude jim především poskytovat nenápadné
podněty a citlivě usměrňovat jejich postup.
1
2
Tímto posunem se zabýval například TIMSS, rozsáhlé mezinárodní srovnání výsledků vzdělávání v matematice
a přírodních vědách. Žáci byli podle svých odpovědí na otázky týkající se jejich postojů k matematice rozděleni
do tří skupin – můžeme je označit jako „Pozitivní“ (postoj), „Neutrální“ a „Negativní“. U českých žáků ve 4. roč ­
níku došlo mezi rokem 1995 a rokem 2007 ke čtvrtému největšímu úbytku žáků ve skupině „Pozitivní“ a ke tře­
tímu největšímu nárůstu žáků v skupině „Negativní“.
U českých žáků v 8. ročníku už mezi lety 1995, 1997 a 2007 neubývali statisticky významně žáci ve skupině „Pozi ­
tivní“. Přesouvali se však ze skupiny „Neutrální“ do skupiny „Negativní“. Například mezi roky 1997 a 2007 byl
tento trend podobně silný jako posun popsaný výše u žáků 4. ročníku.
PISA 2009, prestižní mezinárodní srovnání výsledků vzdělávání u patnáctiletých žáků, ukázala, že v České repub­
lice došlo při řešení matematických úloh k významnému poklesu úspěšnosti žáků oproti srovnání PISA 2003.
Pokles byl mezi členskými zeměmi OECD největší.
3

O tempu a krocích svého objevování budou do velké míry rozhodovat žáci sami. Dosta­
nou dokonce možnost pustit se směrem, s nímž učitel původně nepočítal, jestliže je směr
zajímá a nejde o zjevnou hloupost.

S podporou učitelů k motivující výuce projekt začíná již ve 3. třídě, neboť existuje řada
dokladů o tom, že učitelé na prvním stupni mají největší potenciál k pozitivní změně. A že
je důležité, aby si žáci osvojili pozitivní učební návyky co nejdříve. Následně z nich budou
mít užitek nejen v matematice, ale i v ostatních předmětech.
3. Cíle ve třídě

Při práci nad třídními projekty si žáci osvojují činnosti, jejichž ekvivalent na vyšší úrovni
složitosti provádějí i vědci, inovátoři, podnikatelé, …

Žáci vidí smysl toho, co se v matematice učí, spojují ji častěji i s tím, co se učí v jiných
předmětech a co pozorují v běžném životě.

Neklesá úroveň poznatků, které si žáci osvojují, ale žáci se k nim dostávají mnohem ak­
tivněji a s lepším porozuměním základním principům, ze kterých je složitá stavba po­
znání sestavena:
a) Z reálných problémů a situací se nevybírají pouze ty části, které přímo souvisejí
s matematikou, ale řeší se v celém kontextu (žáci využívají i jiných oblastí vědění).
b) Zachování reálného kontextu pomůže žákům lépe pochopit některé pojmy a sou­
vislosti z jiných školních předmětů, případně takové, které nejsou součástí školního
vzdělávání, ale patří do světa žáků. Obohatí je tedy i ty činnosti, ve kterých se nepočítá.
c) Takové učení je schůdnější cestou pro děti z méně inspirativního prostředí, pro­
tože jeho postupy a metody jsou jim bližší – nejde primárně o abstraktní činnosti, ale
děti nakonec dospějí k abstrakci vlastním tempem a vytvoří si daleko trvalejší a použi­
telnější struktury znalostí.

Děti získávají sebevědomí v poznávání, učí se spolupracovat a cenit si spolupráce, komu­
nikují, povzbuzují se navzájem, konstruktivně konfrontují své názory, poznají, že i spolu­
žák, který často bývá úplně mimo, může díky jinému pohledu přijít s velmi hodnotným ná­
padem.

Ve třídě vzniká prostředí vstřícné vůči chybám (asi jako když programátor konstatuje,
že program/postup je v zásadě v pořádku, jenom je ještě potřeba odladit pár drobností).
Chyba musí být vnímána jako běžný vedlejší produkt inovací, jako příležitost ke zlepšení
se. Opak by vedl (a v běžné hodině vede) k tomu, že žáci mají strach pouštět se po nezná­
mých cestách a zkoušet nové věci, nechtějí klást učiteli otázky. A přestávají si je klást také
sami.

Žáci na vlastní kůži poznávají důvody, proč si vážit duševní práce, nápadů, pracovitosti,
vytrvalosti, …, a práce na projektu zároveň rozvíjí jejich nekognitivní schopnosti.

V dětech se pěstuje přiměřený respekt k zákonitostem, které platí ve světě kolem nich.

Učí se také učitel: detailně poznává myšlenkové postupy a jednání žáků. Měl by se jim
snažit porozumět, v čemž mu pomáhá reflexe, kterou zveřejňuje na stránkách projektu
(povede vlastní blog) a účastní se tam moderované diskuse. Přenos zkušeností se i na
úrovni učitelů musí odehrát hlavně prostřednictvím činností – tak, že budou dělat něco
podobného jako ostatní, budou spolu sdílet podněty a reflexe a promítat je do svých vlast­
ních aktuálních zkušeností.

Aniž by metody projektu brzdily v rozletu děti s lepšími předpoklady, pomáhají odstra­
ňovat překážky na cestě ke vzdělání stojící před těmi pomalejšími či před těmi, které
znevýhodňují rodinné poměry, v nichž vyrůstají.
4
4. Přínosy a rizika
Přínosy
Obecně u nás není možné očekávat plošné zlepšení výsledků vzdělávání, aniž by se zlepšovala
schopnost učitelů porozumět cílům toho, co při výuce dělají, reflektovat myšlení jejich žáků a
to, jak se v čase mění. Musí dojít ke změně hodnotového systému učitelů.
Nevidíme moc jiných cest, jak to zařídit, než nabídnout učitelům osvědčený postup, který od
nich vyžaduje spíše poučenou zdrženlivost (v roli připraveného rádce-moderátora) než zbyteč­
ně vycizelované didaktické triky, jak určitou látku vyložit. Dále lze učitele předem informovat
o tom, co je čeká, jak mají na určité předpověditelné jevy reagovat, umožnit učitelům vzájem­
nou komunikaci a víceméně si ji vynutit (blog).
Hlavním předpokládaným přínosem tedy bude pozitivní vliv neformálního dalšího vzdě­
lávání učitelů (in-service training) na úroveň porozumění, s nímž přistupují k vlastní práci,
naplňují její cíle a volí pracovní nástroje.
Druhým zásadním přínosem bude menší procento dětí, které škola v průběhu výuky mate­
matiky „ztratí“. Z důvodů uvedených výše lze předpokládat, že projekt Matematika s chutí
více prospěje těm dětem, které dnešní škola také více ohrožuje – tedy dětem z méně podnětné­
ho prostředí. Konstruktivistický přístup, na němž projekt staví, chápe učení jako postup, při
kterém dochází k aktivní rekonstrukci poznatků (v hlavách žáků) namísto jejich pasivního
přejímání (z hlavy učitele). Je nejefektivnější tehdy, když žák během učení konstruuje něco, co
má pro něj jasný smysl a význam. Podle všeho, co o konstruktivistickém učení víme, funguje
tato metoda nezávisle na tom, zda jde o školu v Praze 6, nebo v Chánově.3
Matematika navíc má u nás zřejmě na „ztrácení“ dětí školou větší vliv než jiné předměty, je
tedy podle našeho názoru prvním kandidátem na konstruktivisticky vyučovaný předmět.
I proto jsme ji vybrali. Vedlejším, ale nikoli méně významným přínosem bude rozvoj myšlen­
kových dovedností žáků, jejich tvořivosti a jejich chuti a předpokladů samostatně řešit nové a
neznámé problémy. Projekt posílí důvěru žáků ve vlastní schopnosti a odbourá obavy z chy­
bování. Tento přínos se bezprostředně projeví ve všech oblastech vzdělávání.
Rizika
Domníváme se, že obecně je kritickým místem každého „přenášení zkušeností“ to, že médiem
přenosu není co nejosobnější kontakt, ale obvykle záznam na papíru. Hrozí nepochopení –
zde se například může stát, že učitelé přejímající naše náměty pochopí cíle třídního projektu
„Geometrie kolem nás“ špatně, třeba jako soutěž o nejlepší žákovský plán školy. O soutěž
nejde vůbec a o podobné „materiální produkty“ téměř vůbec – jde především o to, jak se for­
muje myšlení žáků a jak se mění schopnost učitele vnímat to, přemýšlet o tom a podřizovat
tomu své chování. Podobná možnost nedorozumění existuje také při replikaci třídních projek­
tů – například během předávání zkušeností těch učitelů, jejichž postupy budou vybrány jako
příklady hodné šíření.
Podobně hrozí, že projekt začne být pokládán primárně za snahu udělat dětem matematiku
zábavnější. Ano, mělo by k tomu dojít, ale až v druhém plánu. A nikoli primitivními cestami.
Vždyť „zábavnější“ (aspoň na chvíli) by matematika mohla být také tím, že si učitel nasadí tře ­
ba klaunský červený nos.
Dalším ohrožením může být, že tyto vzdělávací postupy a přístupy nenajdou živnou půdu na
pedagogických a učitelských fakultách, kde se noví učitelé připravují. Stejně tak se může stát,
že vážní zájemci o učitelství nebudou dostatečně disponováni zvládat nové pedagogické přístu­
py. Konstruktivismus totiž přece jen vyžaduje orientovanější a kreativnější osobnost učitele,
než s jakou lze vystačit při prostém suchém nezábavném (a velmi neefektivním) předávání izo­
lovaných, předem daných a nezpochybnitelných pravd. Riziko tedy spočívá rovněž v tom, že
3
Viz například
http://www.ted.com/talks/lang/eng/sugata_mitra_shows_how_kids_teach_themselves.html
5
budou chybět systémové podmínky, které malý nevládní projekt nemůže žádným způso­
bem ovlivnit. Projekt může pouze exemplárně a přesvědčivě ukázat, že když se chce a vytvoří
se pro to podmínky, tak to jde.
5. Globální cíle v horizontu 10 až 15 let
Změna přístupu k výuce matematiky, pokud projekt bude úspěšný, přinese změnu postojů
a motivací potenciálních studentů ke studiu oborů, které potřebují matematiku, logické
myšlení a používání postupů vědeckého zkoumání. Přitom oborů, které matematiku tzv.
„nepotřebují“, trvale ubývá (dnes již se o matematiku stále více opírají i takové obory jako na­
příklad lingvistika). Z dlouhodobého hlediska se může úspěch projektu projevit snížením obav
ze studia technických a přírodovědných oborů, zvýšením motivace studentů ke studiu a nako­
nec i zefektivněním celého systému terciárního vzdělávání. To by posílilo pozici těchto oborů
a nepochybně i konkurenceschopnost českého vysokého školství, které se přirozeně zatím ne­
může měřit se zeměmi, kde je matematika z různých důvodů u mladé generace nejen mno­
hem lépe „zapsána“, ale ta ji rovněž mnohem lépe zvládá. Projekt bude mít ovšem pozitivní
dopad i na žáky, kteří si technické a přírodovědné obory nezvolí, neboť bude rozvíjet jejich
myšlenkové dovednosti, tvořivost a sebedůvěru k hledání vlastních řešení neznámých úkolů.
Stručně řečeno, změna v přístupu k výuce matematiky bude mít sice nepřímý, ale zřejmě velmi
silný a dlouhodobý pozitivní efekt na vývoj systému, efektivity i konkurenceschopnosti čes­
kého vysokého školství a ekonomiky.
6. Hlavní parametry realizace
Účastníkem projektu se může stát každý učitel matematiky ve 3. až 5. ročníku základní školy
(při dostatku finančních prostředků rovněž v 6 až 8. ročníku). Oslovíme všechny školy v ČR.
V projektu bude realizovat třídní projekt (vlastní, nebo vybraný z nabídky a dopracovaný),
který bude doplňovat běžnou výuku ve třídě. Projekt musí splňovat předem daná kritéria
(snaha o zapojení všech žáků, orientace na tvůrčí činnost bez „dirigování“ učitelem, práce ve
skupinách, …).
Kromě předložení projektu vyplní zájemci o účast z řad učitelů vstupní dotazník zaměřený na
jejich postoje k výuce matematiky, na cíle, které si kladou, a na výukové postupy, které prefe­
rují. Na základě těchto podkladů vybere organizátor třídní projekty. Během realizace bude
učitel metodicky podporován a škole budou uhrazeny náklady spojené s projektem
(cestovné, literatura, spotřební materiál, drobné předměty, …) do výše 5 tis. Kč. Práce na
projektu nad rámec běžné výuky bude učiteli proplacena do celkové výše 15 tis. Kč.
Učitelé zadají svým žákům vstupní dovednostní test (pro dvojice žáků) a dotazník zaměřený
na jejich vztah k matematice (pro jednotlivce). Budou průběh realizace třídního projektu
dokumentovat a reflektovat formou veřejně přístupného blogu, do kterého budou přispívat
nejméně jednou za měsíc. Na konci projektu zadají učitelé svým žákům výstupní dovednostní
test (pro dvojice žáků) a dotazník; výsledky zpracování využijí učitelé i organizátor ke zhodno­
cení projektu jako celku i k vyhodnocení třídních projektů. Na závěr vybere odborná komise
nejlepší projekty určené k publikaci a propagaci; jejich autoři budou odměněni přiměřenou
částkou nebo ekvivalentem v podobě zahraniční stáže, jazykového kurzu či jiné aktivity rozši­
řující jejich předpoklady pro kvalitní výuku.
Máme určitou obavu o to, kolik dobrých učitelů ochotných účastnit se projektu se nám podaří
na začátku najít. Podle současného stavu finančních prostředků od sponzorů může projekt za­
čít při účasti celkem 50 tříd ve třetím, čtvrtém nebo pátém ročníku.
Kdyby bylo peněz víc, snažili bychom se
a) rozšířit projekt na druhý stupeň: máme připraveny třídní projekty pro 6. až 8. ročník
b) zvýšit počet zúčastněných tříd, bude-li dostatek vhodných zájemců mezi učiteli
c) investovat do prvků, které budou znamenat větší podporu účastníkům: například při­
6
zváním kvalitních neautoritativních důchodců (i bez pedagogického vzdělání; na Západě je ta­
ková dobrovolnická činnost velmi rozšířená a asi i užitečná); spojením učitele ve škole se stu­
dentem učitelství (oboustranný prospěch je evidentní, aspoň v případě, že si budou rozumět);
zkvalitněním metodické podpory po telefonu, Skypu, e-mailu apod.; významným přínosem by
nejspíš byla možnost uspořádat pro zúčastněné učitele workshop v konstruktivistickém du­
chu, aby tento styl učení zažili nejdříve sami na sobě.
d) vést učitele k tomu, aby v dalším roce předávali své zkušenosti také ve své vlastní škole.
Důležitá je snaha rozšířit popsané postupy co nejdříve do dalších předmětů – zkušenosti s ino­
vacemi totiž hovoří poměrně jasně: když se nepodaří získat ostatní kolegy, osamoceného ino­
vátora „uklovou“. Současně bude žáky ničit, když po konstruktivistické hodině matematiky
bude následovat biflování středověkých letopočtů nebo hlavních měst amerických států.
Ve školství dnes musí být absolutní prioritou péče o podhoubí. Je vcelku zřejmé, že když se
zlepší stav v matematice, povede to postupně k většímu zájmu žáků a studentů o techniku,
o exaktní vědy a o počítače.
Měření hodnoty přidané projektem
Vstupní a výstupní měření matematických dovedností žáků (prostřednictvím testů s otevřený­
mi úlohami, které budou žáci řešit ve dvojicích) a jejich vztahu k matematice poskytnou pod­
klady pro ověřování okamžitého dopadu projektu na zúčastněné žáky.
Zúčastnění učitelé budou reflektovat průběh projektu ve svých třídách a jeho dopad na učení
žáků. Reflexe poskytnou podklady pro vyhodnocení výukového potenciálu projektu jako ná­
stroje dalšího vzdělávání učitelů.
V dlouhodobém horizontu bychom mohli za kritéria úspěšnosti pokládat:
a) zlepšení výsledků vzdělávání
b) zmenšení vlivu sociokulturních nerovností na výsledky vzdělávání.
Potom je asi možné využít pro měření periodicky se opakující mezinárodní srovnávací prů­
zkumy (zůstanou-li nám zachovány). Je ovšem třeba mít na mysli, že v počátcích své existence
projekt zasáhne jen velmi malou část příslušného populačního ročníku. I kdyby se díky němu
výsledky zúčastněných žáků ihned zlepšily, a to i velmi pronikavě, na průměrném výsledku
České republiky se to nemůže projevit statisticky významně.
V zájmu dosažení co nejlepších výsledků Česka by se pozornost celé společnosti (a tedy rovněž
vlády) měla soustředit na školy v oblastech, v nichž byl zjištěn největší pokles výsledků vzdě­
lávání. Domníváme se, že konstruktivistické metody výuky jsou vhodnou cestou intervence
i tam. Bez účinného zásahu se absolventi těchto škol brzy stanou velikou koulí na noze české
společnosti.
7
7. Vlastnosti třídního projektu
(jde o návrh textu, který dostanou zájemci o účast v projektu z řad učitelů)
Naučit děti „chytat ryby“
Škola dnes předává žákům velké množství poznatků z řady rozmanitých oblastí. To je v pořád­
ku. V pořádku ovšem není, že při tom obvykle zapomíná na druhou stranu mince: na tvořivé
činnosti, díky nimž lidé tyto poznatky získávají. Smyslem třídního projektu je posílit roli ta­
kového učení, při němž si žáci sami kladou otázky a hledají odpovědi samostatně či při vzájem­
né spolupráci.
Učitel jako moderátor
Objevování se žáci nemohou naučit sledováním výkladu učitele – musejí objevovat aktivně. Uči­
tel jim v tom může pomoci hlavně podněty a nenápadným usměrňováním. Musí je také chránit
před nejzávažnějšími pochybeními, které by mohly mít pro žáky nebo pro projekt osudové ná­
sledky. Nemůže však být jediným zdrojem informací ani autoritou rozhodující o tom, kde je
pravda. V projektu bude působit spíše jako moderátor, který ponechá žákům dostatek prosto­
ru pro samostatnou činnost, aniž by je přímo vedl. Má pochopení pro jejich nápady, pro myš­
lenkové „odbočky“ a vlastní, třeba původně neplánované experimenty. Jinak hrozí, že žáci ne­
budou pracovat na projektu s chutí a nepřijmou ho za svůj. Díky iniciativě žáků může realizace
projektu uhnout nečekaným směrem. Je jen na učiteli, aby posoudil, zda bude trvat na pů­
vodních cílech (něco určitého „vyrobit“ či vymyslet), nebo zda dá zelenou žákovským před­
stavám. Pokud bude žákovská modifikace původního třídního projektu jen trochu smysluplná,
bude to plně respektovat i organizátor projektu Matematika s chutí.
Vstřícnost k chybám
Slepé uličky, objevování dávno objeveného, chyby – to vše se běžně děje ve skutečné vědě a vý­
zkumu, v obchodě i v podnikání. Žáci si na to musejí zvyknout. Třídní projekt má pomoci
navodit ve třídě atmosféru vstřícnosti k chybám – nesmějí být předmětem posměchu ani pod­
nětem k sankcím. Jinak žáci ztratí odvahu pouštět se po nevyšlapaných cestičkách – budou mít
strach udělat chybu, i když by mohla být zdrojem poučení či východiskem k dalším pokusům.
Přesahy do jiných předmětů vítány
Ideální bude, když projekt zaujme celou třídu. Včetně těch, které normálně matematika moc
nebaví nebo v ní nejsou příliš úspěšní. Učitel by na to měl myslet už při přípravě projektu a ne­
bát se ani využít přesahů projektu mimo matematiku. Pro žáky bude velmi užitečné, když po­
znají, že matematické znalosti a postupy se hodí v mnoha oblastech praktického života.
Podněty pro všechny žáky
Učitel dobře zná možnosti a omezení jednotlivých žáků, a může jim tak nabídnout role, ve kte­
rých budou moci uplatnit a také rozvinout své dovednosti a schopnosti. Aktivní podíl na
projektu pak pomůže měnit i vztah těchto žáků k matematice. Při vytváření skupin je důležité,
aby žáci dobře a efektivně spolupracovali – pokud se sami dokážou vhodně rozdělit do skupin,
měl by to učitel respektovat. Možností je celá řada – od několika vyrovnaných skupin či dvojic,
které pracují nezávisle a při realizaci jednotlivých částí projektu si konkurují, až po velký tým
směřující ke stejnému cíli, kde má každý člen (skupina) svou úlohu. To, jakou formu spoluprá­
ce učitel zvolí, záleží na cíli a charakteru projektu a také na „rozložení sil“ ve třídě.
Vlastní kritéria úspěšnosti
Důležitou součástí každého třídního projektu je stanovení vlastních kritérií úspěšnosti. Projekt
musí být realizován tak, aby byly tyto cíle naplňovány – jinak tvůrce nemůže hodnotit průběh
svého projektu pozitivně. V závislosti na charakteru projektu to mohou být cíle společné pro
všechny žáky a jejich společnou práci a/nebo cíle individuální. Ty mohou spočívat například
v tom, že si každý z žáků projde nějakou myšlenkovou cestu, něco si s ohledem na své mož­
8
nosti vyzkouší apod. Při posuzování dopadů své práce může učitel vycházet také ze vstupních
a výstupních měření žáků (testy, dotazníky). Předpokládáme, že projekt ovlivní i jeho myšlen­
kový svět – především o těchto vlivech pak bude učitel informovat ostatní účastníky ve svém
internetovém blogu.
8. Příloha
Na dalších třech stranách jsou ukázkové náměty pro třídní projekty – po jednom pro třetí,
pátý a sedmý ročník základního vzdělávání. Jak jsme však již uvedli, učitelé si nebudou muset
vybrat právě z nich. Pokud přijdou s vlastním nápadem projektu, který bude respektovat zása­
dy uvedené v části 7, organizátor projektu Matematika s chutí to bude respektovat.
To platí rovněž pro přiřazení projektů k jednotlivým ročníkům. Například přiložený projekt
Kniha rekordů je v této podobě určen žákům sedmého ročníku, ale rozhodne-li se pro podob­
né činnosti učitel páťáků, jistě spolu najdou dostatek vhodných námětů i na této úrovni.
9
Geometrie kolem nás (3. ročník)
Úvod
Města a vesnice, ale i starý hrad nás přímo zahlcují jednoduchými geometrickými tělesy a ob­
razci. Na základních geometrických postupech stojí vyspělé technologické aplikace (např.
GPS). K pochopení hlavních principů geodézie a pojmenování základních prvků architektury
stačí geometrické nástroje na úrovni učiva 3. ročníku ZŠ. Proč tedy s žáky nevyrazit za geomet­
rií do terénu?
Popis projektu
Žáci budou pracovat ve 4 až 6 členných skupinách. V první fázi se projekt zaměří na hledání
geometrických těles a obrazců kolem nás, na jejich popis a následně i na jejich zjednodušení
(schematizaci) a převedení do prostorového modelu nebo na papír. Většina staveb se dá sche­
matizovat pomocí hranolů, válců, jehlanů a kuželů – pro kvalitu modelu je důležité hlavně za­
chování proporcí. Žáci nebudou vytvářet abstraktní tělesa, ale rekonstruovat skutečné tvary
kolem sebe pomocí špejlí (či špaget) a plastelíny, papíru a nůžek, pásma a metru. Měření v te­
rénu (zaměřování místností ve škole) a následné zakreslování do vlastního plánku pomohou
žákům uchopit pojmy prostor, rovina či přímka a porozumět vztahům mezi nimi (Jak se zjistí
tloušťka zdi? Dá se objevit „tajná“ místnost či chodba?). Jako vítaná pomůcka poslouží foto­
grafie architektury, stavebnice, případně i počítač.
V druhé fázi projektu přeneseme malé „stolní“ modely do terénu – pomocí provázků a kolíků,
kříd ap. Lze ale také postavit třeba stan a podívat se, z jakých dílů je sestaven, vyrobit „kulové“
stínidlo z ohebných rovinných dílů, ap. Obrazce poslouží i jako podstavy těles (např. podstavu
jehlanu lze s provázkem snadno sestrojit). Při zaměřování se pokusíme využít i sofistikovaněj­
ších metod a vytyčit (či zaměřit) některé objekty např. s využitím podobnosti trojúhelníků.
Snahou projektu je dostat podstatnou část výuky ven z učebny, „do života“: na zahradu při vy­
tyčování obrazců a větších modelů, do města při hledání geometrie v architektuře atp.
Vzdělávací cíle
Žáci si především uvědomí a „osahají“ vztah mezi realitou a jejím modelem: výhody a nevýhody
toho, že model idealizuje (např. odstraňuje nerovnosti), že má jinou velikost, že ignoruje ně­
které důležité vlastnosti reality (například barvu, zdobicí prvky apod.), že umožňuje „předpo­
vědět“ či spočítat něco, co není možné zjistit přímo, ap. Žáci se naučí chápat plány a půdorysy.
Osvojí si základní geometrické pojmy (rovnoběžka, kolmice, úhel) a konstrukce na papíru i
v terénu a naučí se je „vidět kolem sebe“. Budou (velmi intuitivně) pracovat s měřítkem (např.
1 : 100).
Pomůcky a další předpoklady
Pásmo, metr, fotografie architektury, kolíky, provázky, špejle (špagety), plastelína, případně i
přístroje jako teodolit, „vystřihovánky“ pro lepení těles z papíru, běžné pomůcky, jako jsou
nůžky, papíry, tužky, pravítka. Za příznivého počasí by se velká část projektu měla odehrávat
venku, mnohé aktivity lze ovšem s podobným efektem provádět i v učebně.
Přesahy do jiných předmětů
Žáci se budou učit vnímat architekturu kolem sebe jako důležitou součást svého životního
prostoru. Skrze architekturu se dozvědí i o historii místa, kde žijí. Velký důraz je v projektu
kladen na vnímání prostorových vztahů a na manuální dovednosti – dochází tak k přesahu do
výtvarné výchovy. Zaměřování a tvorba plánků a map má zase blízko k zeměpisu.
Kritéria úspěšnosti
Základním kritériem úspěšnosti je aktivita všech žáků. Kladou si otázky, na které sami nebo
spolu s ostatními hledají odpovědi? Snaží se z vlastního zájmu porozumět plánům, mapám
a dalším modelům (jako je například jednoduchý program IKEA pro 3D návrhy kuchyní)?
Dokážou sami sestavit nějaký model reality?
10
Obchodník musí umět počítat (5. ročník)
Úvod
Matematika a obchodování k sobě patří, neboť právě potřeba řešit praktické obchodní úlohy
nejspíš stojí za konceptem čísla a základními početními výkony. Tedy u počátků matematiky.
Téma obchodu nabízí spoustu jednoduchých úloh přímo souvisejících se světem kolem nás.
Popis projektu
Žáci budou pracovat ve 2 až 6 členných skupinách podle situace. Snahou projektu je řešit po ­
četní úlohy vyplývající ze situací, které si žáci sami vyzkoušejí. K tomu nám poslouží hry jako
Sázky a dostihy či Bohnanza4 a modelové situace.
Žáci tak budou například početně řešit, je-li cena koně/stáje přiměřená jeho možným výděl­
kům. Pokusíme se simulovat tržiště minulosti, kde se používaly různé míry (lokte a stopy jed­
notlivých žáků), a míry sjednotit a převést na stejné jednotky. Rozšíříme převody i na jednotky
obsahu. Na pákových vahách budeme hledat hmotnost zboží – vytvářet fyzikální model lineár­
ní rovnice, kde přidávání a ubírání závaží na obou stranách představuje úpravy rovnice. Bude­
me od oka i s pravítkem odhadovat objemy různých objektů (kvádrů), ustřižených krabic od
mléka ap. a ověřovat odhady pomocí odměrného válce (odměrky). Prostředí „tržiště“ je také
vhodným místem pro procvičení početních operací s cenami, popř. slevami (Stojí-li 1 kg masa
105 korun, kolik bude stát 3,5 kg? A 0,5 kg? A kolik to bude po slevě o pětinu?). Obchodování
ve „starých“ librách namísto korun nabízí příležitost vyzkoušet si počítání v jiné než desítkové
soustavě (1 libra = 20 šilinků, 1 šilink = 12 pencí). Budeme využívat klasická počitadla a čísel­
nou osu, můžeme zkusit pochopit princip jiných počitadel (abakus, sčot, Napierovy kostky)
a naučit se na nich počítat. Budou-li mít žáci zájem, vyzkoušíme si po nějakou dobu virtuálně
investovat na burze (k tomu stačí data o vývoji cen komodit, např. z reálné burzy). Je možné,
že některé žáky napadne podívat se na obchodování z druhého konce – z hlediska velkoob­
chodu. Pak by je mohla zaujmout třeba přibližná kvantifikace toků vhodných komodit, aby ne­
došlo k vyčerpání zásob (Kolik tun krabic mléka se musí denně rozvézt do 50 obchodů?).
Vzdělávací cíle
Žáci pochopí význam převodu reálného problému do matematického jazyka (matematizace),
kde může být řešen matematickými prostředky. Naučí se matematizovat jednoduché problémy
související s obsahem čtverce a obdélníku, s objemem krychle a kvádru a s hmotností různých
množství různých látek. Naučí se přepočítávat jednotky délky, obsahu, objemu a hmotnosti.
Uvědomí si, že někdy lze měření objemu s výhodou nahradit vážením (u stejné látky: vody, hra­
chu, písku ap.), jindy se zase hmotnost vztahuje k obsahu plochy (například obsah stěny, kte­
rou lze natřít určitým množstvím barvy). Pochopí princip lineárních rovnic. Cílem ovšem není
naučit se formální postupy, ale přistupovat k výpočtům jako k nástroji řešení fyzikálních a ji­
ných problémů.
Pomůcky a další předpoklady
Hry Sázky a dostihy, Bohnanza, váhy – vše 1× pro každou skupinu, odměrné válce, odměrky,
krabice, kartičky na výrobu měny a počitadla. Žáci musí chápat pravidla modelových situací,
aby bylo dosaženo kýženého propojení mezi realitou a matematikou. Hry je musí bavit, aby
byli v následných úlohách motivováni využít matematické nástroje k řešení herních situací.
Přesahy do jiných předmětů
Projekt má potenciál zlepšit finanční gramotnost žáků. Zkoumání vztahu mezi hmotností
a objemem vede přirozenou cestou k fyzikálnímu pojmu „hustota“.
Kritéria úspěšnosti
Kromě zaujetí žáků je zde jasným kritériem úspěchu zběhlost v používání jednotek délky, ob­
sahu, objemu a hmotnosti, a to včetně převádění.
4
viz pěstitel fazolí – http://cs.wikipedia.org/wiki/Bohnanza
11
Kniha rekordů (7. ročník)
Úvod
Na matematice je kromě jiného úžasné to, že umožňuje překonat řadu omezení reálného svě­
ta, a posouvat tak hranice lidského poznání. Žáci mohou tyto někdy až zázračné možnosti ma­
tematiky poznat při zjišťování hodnot extrémně velkých, malých či těžko dosažitelných veličin.
Popis projektu
Žáci budou pracovat ve dvojicích nebo malých skupinách. S využitím běžných měřidel (pravít­
ko, stopky, metr, školní váha, …) a pomocí matematiky budou co nejpřesněji zjišťovat či dobře
odhadovat velmi velké, velmi malé či jinak obtížně měřitelné veličiny (rychlost plazení slimáka,
růstu rostliny, růstu vlasů, tloušťku vlasu, celkovou délku vlasů na hlavě, objem kapky vody,
hmotnost mravence, počet zrnek v hromadě písku, vzdálenost mezi dvěma těžko dostupnými
místy v terénu apod.). Úvodní problémy může vymyslet učitel, na další jistě přijdou samy děti.
Zásadní význam má v projektu to, že děti budou výsledky svých měření a odhadů ověřovat
několika různými postupy a výsledky porovnají. Kdyby například určovaly celkový obsah (plo­
chu) všech listů na stromě (což je hodnota důležitá mj. pro fotosyntézu), mohly by vyjít z toho,
že řadu listů obkreslí na milimetrový papír, na něm jejich obsah odečtou a spočítají průměr.
Mohly by ale vyjít také z vážení: zjistit hmotnost pěti set listů bez stopky a potom ještě zvážit
třeba stovku čtverců o straně 5 cm, které z listů co nejpřesněji vystřihnou. Pokud se budou vý­
sledky výrazně lišit, mohou se žáci zabývat možnými nepřesnostmi měření či logickými chyba­
mi různých postupů využívajících odhady či výsledky měření. Jsou zanedbané faktory opravdu
tak nevýznamné? Jakým směrem ovlivňují výsledek měření? A jak odhadovat počet listů na
stromě dál?
V některých případech si lze vypůjčit jiné, přesnější přístroje, než jaké mají školy běžně k dis­
pozici (GPS, přesné váhy, teodolit apod.). Anebo žáci mohou odnést či poslat vzorky, které po­
třebují změřit, do vhodné instituce (vysoká škola, výzkumný ústav) s prosbou, aby tam měření
provedli.
A konečně, zvídavost povede žáky k zájmu o to, jak některé složitější přístroje fungují. Leccos
se dá najít na internetu, v dětských encyklopediích a dalších knihách 5. S vysvětlením principů
a postupů mohou pomoci i odborníci mezi rodiči či v technologických firmách v okolí školy.
Vzdělávací cíle
Žáci podniknou výlet do světa „praktické“ matematiky. Při vymýšlení a provádění svých měření
se naučí dobře plánovat a přesně provádět jednotlivé kroky měřicích postupů, spolehlivě za­
znamenávat naměřené hodnoty, rozlišovat podstatné a nepodstatné faktory ovlivňující vý­
sledky, rozdělit si úlohy, spolupracovat a vzájemně se kontrolovat při odečtu hodnot i při výpo­
čtech. V závislosti na měřené veličině si v praxi procvičí počítání s velkými a malými čísly, za­
okrouhlování, různé oblasti geometrie, případně i základy statistiky.
Pomůcky a další předpoklady
Žáci budou především využívat běžné měřicí pomůcky, jako jsou pásmo, metr, stopky, školní či ku­
chyňské váhy, odměrné válce, a běžné kancelářské potřeby, jako jsou papíry, tužky, pravítka.
Přesahy do jiných předmětů
Žáci si vyzkoušejí, jak může matematika posloužit k různým měřením a výzkumům ve fyzice,
v geografii a biologii, ale třeba i v historii či ekonomii. Další vhodnou oblastí mohou být různá
technologická měření potřebná při kontrole kvality v různých průmyslových odvětvích.
Kritéria úspěšnosti
Základním kritériem úspěšnosti je, zda se podaří vtáhnout co nejvíce žáků do světa extrém­
ních měření. Našel si každý z nich svoji veličinu v oboru, který je mu blízký? Vymyslel, nebo se
alespoň pokusil vymyslet svůj vlastní postup měření? I když třeba nebyl dokonalý?
5
viz třeba Macaulay David, Mamutí kniha techniky. Od pák k laserům, od aut k počítačům – moderní průvodce
světem strojů, Nakladatelství Slovart, Praha 1996
12