Vypocet pficinkovych car sdruzenych 5 vlozenymi klouby

Vypocet pficinkovych car sdruzenych 5 vlozenymi klouby

I~
\nz.
DT 624.072.33 624.Q78
ZDENE K P. BA:l:AN T. Doprav oproj2k t Praha
Vyp ocet pfic inko vych car sdru zeny ch
5 vloz enym i klou by
ramu
sti mensi nez staticke pri feseni upraveno u deformacni
Analogie s i'esenim spojitych l1osniku. 5tupeii pi'etvarn e neurcito
T, na koncich konzol l<yvne ~odepi"eny. Z;ivislost
tvaru
prvek
y
konzo!ov
neurcity
metodou . Ziklad reseni sta:icky
Rovnice rozevi'en eho kloubu. Koeficienty pi'enosu
rovnice.
a
Kloubov
ch.
posouvaj icich sil v kJoubech na jejich pruhybe
ve poi"adnice. Vyhodno st metody.
pi'icinko
mezilehle
a
pruhybu kloubu. Pi'icinkove poi'adnic e v kloubech
Sdruzene cimy s vlozen)'mi vodorovnc posuvnymi
klouby jsou zajimavym konstrukCnim systemem, uZivanym
dnes casto pro svou ryhodn ost u letmo betonovanych nebo
montovanych mosrii. z predpjateho betonu. Otazka vhodnych a rychlych zpusobu jejich vYpoetu se prave dnes
stava u nas \'elice aktualni, nebo! tento konstrultcni system
je napr. zvolen pro v)-znamne projeltty mostu pres nuselske
udoll v Praze nebo m05tu pres Vltavu v Praze pod Bulovkou, tvoHdho soucast rdeni praZskeho zeleznicniho uzlu.
Staticke schema konstrukce je na obr. 1 ( 5 znaei vodoroyne posum y kloub), kde ram 'je ukonte n kpnzolami
posnvne uloZeni"I11i na operach . Ram muze byt tez ukoncen konzolou vetknutou do opery (obr. 2) nebo volnou
(obr. 3). Konstrukce je tvorena linearne serazenymi prvky
tvaru T, spojenymi v kloubeeh jednodueh}<mi vazbami.
Podobnou statiekou skladbu rna tez spojitj nosnik, ktery
je tvoien iadou proste ulozenyeh nosnikU spojeni'ch ;ednoduchymi vazbami. Z teto anaIogie plyne, ze uVaZovane
ramy lze resit obdobnymi metodami jako spojite nosniky.
Ma-li ram tohoto typu n pimti (obr. 1), tj. (rr -7- 1)
poll, je (n ..L l)kr:it staticky neurot j. PH reseni silovou
metodou je vhodne volit z:ikladni soustavu podle obr. 4,
se statick}r neurcitYmi posouvajicimi silami v kloubech.
To . .. Tn. Rdeni silovou metodou upravil' J. Courb on
podobnym zpusobem jako rdeni spojiteho n~snikti tfimomentov)"I11i rovnieemi, nebot jeho podporovym momentUm. odpovidaji zde posouvajici sil}; kloubU [1]. Ukazal
dale, ze u nezatizenych poll lze posouvajid sily kloubU
poeitat bez ideni systemu melenn ych rovnic prunym
rekuren tnim zpusobem, podobne jako u spojitjc h nosniku
pri idem z:ikl~dnimi body pomoci koefieientil piestup u.
Uprave mi deform acnf metoda
V tomto pojednani ukazeme, ze stejne, jako existuje
obdoba ideni tfimomentovYmi rovnieemi, existuje zde tez
obdoba du:ilniho ideni spojicych nosniku rovnieemi m
pootoeeni. Dokazeme dale, ze tez toto ieseni je mozno
344
IN:tENYRSKE STAVBY 9 -1961
upravit rekuren tnim zpusobem pomod tzv. koeficientil
prenosu prUhybu kloubu a ze tedy neni nutno rdit system
triclennyeh rovnic. Pricinkove cary posouvajidch sil'
v k10ubeeh od svisleho zailieni ':pro vodorovne zatizeni je
konstrukee statieky ureita) lze pak veImi ryehle poeitat
jako ohybove cary od jednotkoveho rozevreni kloubu. Pro
naSe reseni uzijeme specialne upravene deformacni metody, kterou je mozno pokladat rovnez ia.t.:o beznou deformacni metodu Ostenfeldovu za aplikaci deformaeni metody
v obecnem smyslu. U bezne deformacni metody se zavadi
ve stycnicieh vetknuti, cunZ se konstrukce rozpadne na
vetknute pruty. Pretvarne neurciTjmi pak jsou posuny neb
pootoceni jejieh koncu, pro nez se sestavuji rovnice
rovnovahy.
C' uVaZovanyeh ramu je vhodne ZaVeS! daIsi kyvne podpory v kloubech (obr. 5). Tim se konstrukee rozpadne na
zakladni staticky neurCite konzoloye prvky tvaru T, kyvne
podeprene na kondeh konzol (obr. 8). Pretvarne neurcitjmi pak budou svisle pruhyby kloubU (obr. 6). Vidime,
ze jich u ramu na obr. 1 je celkem (n - 1). Konstrukce je
tedy (n - l)krat pietvar ne neurcita, eoz je 0 dva stupne
mene nei dava neurot ost statieka. Podminecnveh rovnic
je proto 0 eve mene, rovnez koeficienru prenos;' pn rekurentnim reseni, eoz pnnasi pocetni vYhodu. U mene cas!feh ramu podle obr. 2 nebo 3 je stupen staticke a pretv:irne neurCitosti stejn)·.
Konzol ovy prvek tvaru T
Napred vypoeteme poiadnice ohybove cary konzol volneho staticky urCiteho i-teho prvku tvaru T pri zatiZeni
bremenem P = 1 na konci jednak leve, jednak prave
konzoly (obr. 7). Zaroven obdrZime pruhyby koneu konzol
ai, bi, Ci, eharakt erisujid pruZne vlastnosti prvku
llj -
1,·-,
d
X
Jh, -dY- - J'.
x--I" ~
0
EJ
I
'
0
EJ
11
,
As. Velikost normal nych napeti v krajnich vIaknech desky:
je pritom dana vztahem
/'
II
"
6 . 77Z(
1
(Jt
(12):
Piik1a d
Posouzeni pojezdove dnihy elektrickeho kladkOstroJ
typu L III - 15:
I
vlastni vaha kladkostroje G = 320 kg
i
max. bremen o
Q = 1500 kg
rozvor pojezdn ych ko1 a = 200 mm
rozpeti drahy
I = 6,00 m
nosnik dr:ihy
I 24
Napeti od ohybu celeho nosniku:
I
KolovY tlak
I
=- r
,/
~
'/1--- -_-_- --'
)br. 5. Roznaseci uhel :c a
spolupusobici sirka b.
f
.1,
Obr.7. Prubeh moment u v rezu x = 0 pri zadzen! eohoeo
rezu primkovym rovnome rnym
zatizenim p (vlevo)
I
~
I'P1r
!
;:.:!A:l"-4'~~~:::.:....+.m~..
~r
I
Obr. 6. Prubeh moment u
v i'ezu x = 0 pri zatizen! osamelym bremene m P v bode AI
(podminka nuloveho moment u
v bode Ai je splnena jen prjbliine)
r----.---... _
Obr. 8. Nosnik dnihy kladkoseroJe
en jsou koeficienty rmne pro jednotlive zatezovad
ipady. Protoze rovruee (8) vyhovuje vsem okrajovYm
ldminkam krome podmin ee nuloveho ohyboveho mo~ntu na volnem okraji, jsou v [4] vypocre ny):oef icienty
tak, ze teto podmin ee je vyhoveno alespOIl'pro y = a.
:'I prakticlty vypoce t toto omeze:li staB,
nebot momen t
ve smeru osy x ryeh1e vyzruva. Koeficienty en jsou
~deny v tab. I.
_
\{erne momenty v libovo1nem bode ,fezu x = 0 se uro
')vrue
J
:e
~ - DL en [(1 + tLr"~~s a 1]
mll .. - D ~ en [(1j'tL) eo~ n.:y - f1.]
ma;
11J'"ty -
!
n
(9)
(10)
ma;i= 0
(11)
merne momen ty mimll' 71h:1I jsou vyCisleny v bodeeh
:0,0), AZ( 0, :), t~( 0,
=1')'
~), A4 (0,
3:), As (0, a),
e 1eZi v rezu x
Protoze v ostamie hrezech jsou vYna napetf vesmesmensi, nejsou vyCislena. Velikosti tech10menru v bod.e'ch Al aZ As jsou sestaveny v tab. II, kde
vseehny ho.dnoty vyCisleny pro P = 1000 kg, P =
:00 kgjcm, :,ll = 0,3 a pro E = 21000 00 kgjem2 •
,Jeh teehto"momentti ma;, mll v rezu x = 0 je vvznacen
'r. 6 a 7/
•
~otoze ,max. meme momen ty max. 71h: a max. mll vzniv ,p6de A3 ( 0, ~) soueasne pro oba druhy zatiZeni,
obvykle vyCislit napeti
(Jz
a
(Jy
pouze v tomto bode
~
=
1,08(320
+ 1500) = 492 kg
II
i
kde 1f' = 1,08 je vyrovnavaci soucinitel pro 1. tr. jerabU:
(CSN 73 1310 - 1958).
'
A = 2. 492 (3,05
2,85) = 968 k
6,00
g
+
B = 2 . 492 (2,95 + 3,15) = 1000 k
(obr. 8)
6,00
g
M = 968 . 2,95 = 2860 kgm
Wz = 354 em3
=
(Jo
a"
:0
'ljJKI
.!.
~ . .------ - . J
/
286 000
354
=
808 kg
cm2
Napeti v krajnic h v1aknech dolni pasnice od lokalniho
zatizeni kolov)~m tlakem jsme pro nazornost vycislili pro
vsechny tfi zatezovaci pnpady .
a) Zatezo nini osame 1ym breme nem na konci
pasnic e
Mf = 492.5, 3 = 2610 kgcm
bs = 2.5,3 = 10,6 cm
=}. 10,6. 1,31
Ws
=
(JLal
2
.
=3,03
3
cm
2610 = 861 kg cm~
3,03
-
-7- 8612 - 808.86 1 = 835 kg/em2 •
b) Zatezo vani osame 1ym bfeme nem na koncl• !I
pasnic e
Merne ohybo" e momen ty podle tab. II, v bode A , kde : '
3
vznika souCasne maxim um pro oba smery x ay:
'
71h: = 0,492.3 92,0 = 193 kgemiem
my = 0,492.3 17,5 = 156 kgem!e m
= V808 2
(Jsa)
(JLa;
(JLy
(Jz'
(Jsb)
=
=
6.193
1,312
= 6i5 kg/em?
6.156
1,31 2
=
-
546 kg:em2
+ 6i5 = 1483 kg/em?
V1483 + 546 2 - 1483.5 46 =
= 808
=
2
1300 kg,cm2
c
c) Rovno merne zatize ni po cele sIree pasnie e k
r.
Meme ohybove momen ty podle tab. II v bode A , kde
3
vznik:i maxim um pro oba smery x ay:
mz
=
a = 5,3 em
20,5 . 5,3 = 109 kgem/em
o
bl
=
I
':i dv
I , 1 , I -::.It
~
EJ
W~ hi dy
Ci
= 1 -I l
(1)
,l':i
EJ -:-
B'. =PiVi-l
B". -= Pi t'i
=al 'v l-l'
C, =
"II
V"
-;:;
,r -:l!
,
I
EJ
Zde znac! (obr. 7) [' t, lUi delky konzol a x vzd:ilenost jejich
prurezu od kloubu, hi vYsku pilire a y vzdalenost jeho
prurezu od paty, J moment setrvacnosti a E modul pruinosti. Cisla ai, b(, Ci jsou kladmi.
UVaZujeme dale staticky neurcity prvek !Varu T,
Ityvne podepreny na koncich konzol (obr. 8). Urceme
veUkost reakci Ai a B'i na koncich konzo! pn svish!m
prUhybu leve konzoly VI - l = 1 (VI = 0) a velikost reakci
BN, C, na koncich konzol pn pruhybu prave konzoly
VI = 1 (Vi -1 = 0). Rdenim dvakcit staticky neurcite
soustavy obdrZime
Ai
",'
Obr. 1
~ d:c
1 x-
.£~~--I-~
(2)
Itde je
I
r
0
-
.;,
I
..L
-
Obr.3
Obr. 2
I
1'0
-.
I
I
'1
L
1.
,r../
I"
"-
i.
-i
i.
"
-
r
"
-
••1
.,
I~'.. : "..LI
"
Obr. 4
a,
(' = -------- -.;'
at ' i - b[Pntom plati ai'i - bI 2 > 0, aii'l - fJ,~
jsou kladna.
(3)
1 a cisla
!1.i,
i3i>
iii
A~--lr-~Y-~----Z-------~------~-~'~'~I~--I
:
__
-'
Obr.5
~echi dva za sebou jdouci nezatizene prvky i a i--1
tvaru T maji v kloubech pruhybyv£-l' 'i.'i, ~'i - ! (obr, 9),
V kloubu i pus obi na prvek i posouvajici sila To' :l na
prvek 1+1 sila T l ", ktere se podle (2) rovnaji
T', = - /3, Vi -! - Ii V., T", = ai.;.! Vi - /3' -1 Vi·"! (-!)
Podminka rovnovahy v kloubu je T"[ - T'. = 0 neboli
Pi V'- l + (i'l
- a' '''I}t'i ~
,·1 "(
J
=
Kloubova rovnice
(1i -1 'Z.'i-l
,.L
.,
~ I
"
.It
I
~
J
Obr. 6
0
(5)
coz je rovnice rovnovahy kloubu nebo1i kloubova, ktera
uvadi ve vzajemny vzt ah tfi za sebou jdouci pruhyby
===i'_,__ l2 _ _
kloubu v nezatizenych polich. Svou stavbou i vYznamem
je obdobna rovnici tti za sebou jdoucich podporovYch ? '
pootoceni spojiteho nosniku. Je dualni k rovnid ttl za
~c "
sebou jdoucich posouvajicich sil kloubu, kterou uv:idi a,
p. .' ~.l , .
Courbon [1], stejne jako rovnice ttl pootoceni u spoji- ~.
~
teho nosniku je dualni ke ttimomentove rovnici.
'.
PHCinkove cary posouvajicich sil Tic kloubU; ktere jsou
z:ikladni a z nichl lze ostatni odvodit, vypocreme jako
Obr.7
ohybove cary od jednotkoveho rozevreni kloubu k (pole
nejsou zamena), Cimz rozumime svisle oddaleni koncii
konzol v kloubu 0 jednotku (obr. 10). Tel v tomto kloubu
mus! byt posouvajici sily v rovnovaze. OznaCime-li pruhyb
,konzoly (k+l)teho prvku v kloubu k jako Vic, pak se pru% I
: hyb konzoly k-n!ho prvku rovna vk-I. Na konzolu k-teho
1
~1
, prvku zde pak pusobi posouvajici sila T'le
,
; .1
=
•
I
A.
1
B; i
h .
Obr.8
r"Y"J..
T'le =
i
-{3J.;vlc-l- "Idvk
-1)
(6)
Obr.9
Obr.10
: Rovnice rovnovahy kloubu k tedy je
+
+
"Ik (Vk - I) + ak+l Vk
ih+l Vk+ l = 0
(7)
; coz je tzv. rovnice rozevreneho kloubu. V kloubove rovnid
!kloubu k-I musime za pruhyb kloubu k tez dosadit
! hOdnotu Vk-I.
:Pk Vk-l
?E
I
r,
Koeficienty prenosu pruhybu
Sestavenim kloubovYch rovnic dostaneme u rnmu podle
obr. 1 system n - 1 mclennych linearnich rovnic pro
/1,
Xi
Obr. 11
~
i
.
I
.
.
~
, <::::::::::::::
~
i
.~.~
"--'~
lnoty 'Vi, CoZ jsou primo hodnoty pnCinkovych porad.:. Je-li rovnic malo, nejv}'se dYe, resime je pnmo.
:azeme nyni, ze pri vetsim pom rovnic je mozne a vjdnejsi vypootat hodnoty 'Vi> amz bychom rdill system
:nic. Oznaeme
OJ
-
,
'Vi-l
= ---,
'Vi
0,
-
= - -Vi'Vt-l
;::loubove rovnice (5) pak plyne
-Pi
=
Q!
ac
,
T
)'1-1 -
,'/
(8)
t'i-l Qi-l
:to rovnice vyjadIuji rekurentni vztahy mezi hodnotami
· resp. (/ ( a muzeme je z nich tedy postupne vypocist
· koncu ramu. Vidime, ze jejich hodnoty jsou nezavisle
hodnocich pnihybu 'Vi. Hodnoty ef> resp. e'i nazveme
,eficienty prenosu pruhybu doprava, resp. do\'a (v nezatiZen)'ch polich).
Je-li rlim ukoncen podle obr. 1, vychazime pri vjpoctu
dicienni prenosu z hodno!)' Ql = 0 resp. (ll" = O. Je-li
:n ukoncen vetknutou konzolou podle obr. 2, muzeme
ljm vetknutou konzolu pokladat za prvek T s absolutne
hYm pilliem a je pak a1 = b1 = 0, ~1 = PI = 0, )'1 = 1. C1
odtud QI = 0, resp. Q'n = O. Ie-li ram ukoncen volnou
:podeprenou konzolou podle obr. 3, plati i'l = 1 ic1 ,
= 0 a odtud (11 = b1 c1, resp. g'lI = b n / a,,'
Pricinkove poradnice posouvajid sUy kloubu k
Zavedeme-li v rovnici (7) rozevreneho kloubu hodnoty
eficienni prenosu, dostaneme hodnoty pnCinkoV)<ch podnic posouvajici sily kloubu k jako hodnotu 'V& vpravo
: kloubu a 'V,~ - 1 vlevo od kloubu
f'k
ak.j.l
P. -
[!k
..
- - - ' - - - - , 1.'" -
1
--Ok
!/k
-.
1
=
Pk .!.l
,
9
k.!.l
' - -, 1
(9)
---Qk+l
Ijk+1
-'itom plati 1 > 'VA; > 0, 0 > Vk - 1 > - l. Z techto
,dnot v)'POcteme postupne pomod koeficienni prenosu
,leva, resp. doprava ostatni pnCinkove poradnice v mis;h kloubu z rovnic
(lOl
:e prva rovnice plati vlevo od kloubu k a druha vpravo
· k.
Mezilehle poradnice pricinkove cary na konzohich domeme tak, ze z rovnic (4) a (6) vypoaeme zatiZeni na
'ncich konzol prvkii tvaru T, odpovidajici vypoaenym
1dnotam '0(. Jimi pak vynasobime predem vypoaene
1dnOty ohybove cary konzol prvku tvaru T pro zatiZeni
inotkou na konci leve nebo prave konzo1y a obe hodnoty
lk pro bidy prvek seaeme. Odvodit pncinkove cary
ratnich statickjch veliCin je jii mozno znamymi zpiisoby.
'ipomefune jen, ze je vjhocine, jak ukaza1 Courbon [1],
isto pnCinkovYch Car momentii M pootat pnCinkove
ry hodnot M,'x, kde x je vzdalenost bodu, pro jehoz
oment hledame pnCinkovou caru, od kloubu. Vsechny
iCinkove cary jednoho pole lze pak tei kreslit do jednoho
)cizku (obr. 11).
PH vjpoCtu pncinkove cary prUhybu kloubu k dosadime
= 1 a postupujeme dale zcela obdobne.
Postup vypoctu je tedy tento:
l. Vypoaeme ohybove cary konzo1 prvkii T pro zatiZenf
jnotkou na konci jednak Ieve, jednak prave konzoly.
Zaroveil obdrZime hodnoty eli, b" Cl •
2. UrCime a;j, {It, ,It pro staticky neurorY prvek T.
3. PH dvou pretvarne neurcirYch sestavime system dvou
rovnic a vyresime je. PH vetSlm poCtu pretvarne neurci~~ch
urCime postupne koeficienty pienosu a z nich postupne
hodnoty pncinkovjch poradoic v kloubech.
4. Vypoaeme posouvajici sily v kloubech a jejich pomod z ohybovych Car konzol pH zatiZem jecinotkou mezilehle hodnoty poradnic.
Zaverem muzeme fici, ze uvedene rdem je vjhodne
hlavne u ramu, jejichZ krajnf konz01y jsou ulozeny posuvne
na opery (obr. 1), nebot tate konstrukce je 0 dvakrat mene
pretvarne nei statick-y neurota. Rovnic je zde tedy 0 dve
mene (u ramu se tfemi pillri misto ctyf jen dye a se dvema
piliH misto tfi jen jedna). PH ramu 0 mooha polich je
znaenou vjhodou to, ze system rovnic nem nutno resit
a je mozno pootat pIimo pomoci koeficienni prestupu
posouvajicich sil podle Courbona. Uvedeny postup umoznuje nejrychlejslm zpusobem vypoost pfiCinkove poradnice v kloubech, a to i u ramii podle obr. 2 nebo 3. Uvedine
konkretne, ze se pH projektu zelezoiCniho mostu pres
Vltavu v Praze pod Bulovkou, kterj ma tvar podle obr. 1
se tfemi pillri, ukazal uvedeny postup pro vjpocet pnCinkovjch poradnic v kloubech asi dVakrat rychlejsi a pro
vjpocet mezilehlych pfiCinkovjch poradnic asi 0 10 %
rychlejsi nei podle Courbona.
Toto rdem a rdem Courbonovo jsou vzajemne dualni,
a obe jsou obdobou jim odpovidajicich rdeni spojit)<ch
nosniku.
LITERATURA
[1] J. Courbon: Calcul des ponts a poutres consoles reunies
par des articulations, Memoires de I'A. I. P. C. 1957, vol.
XVII, str. 9, Curych
O. Novak: Pfispevek k i'eseni ramu s vlozenymi klouby,
]2] InZen}-rske stavby c. 1'1960.