analogově-číslicová emulace mem systémů

Slaboproudý obzor
Roč. 70 (2014) Číslo 2
Z. Kolka, Z. Biolek, V. Biolková: Analogově-číslicová emulace ...
1
ANALOGOVĚ-ČÍSLICOVÁ EMULACE MEM SYSTÉMŮ
Prof. Dr. Ing. Zdeněk Kolka1, Ing. Zdeněk Biolek, Ph.D.2, Ing. Viera Biolková1
1
Ústav radioelektroniky; Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně, {kolka, biolkova}@feec.vutbr.cz
2
Ústav mikroelektroniky; Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně, [email protected]
Abstrakt
Abstract
Emulátor obvodového prvku je elektronické zařízení, které na svých svorkách
vykazuje podobné charakteristiky jako emulovaný prvek. Článek analyzuje
možnosti implementace hybridních analogově-číslicových emulátorů memristivních, memkapacitních a meminduktivních prvků a systémů z hlediska
dosažitelné přesnosti. Na příkladu memkapacitních systémů jsou demonstrovány základní principy pro sestavení číslicového algoritmu emulátoru, které
potlačují vliv kvantizačního šumu a chyb výpočtu.
The emulator of a network element is an electronic device having similar
characteristics at its terminals as the emulated element. This article analyzes
the possibilities of implementing hybrid analog-digital emulators of memristive, memcapacitive and meminductive elements and systems in terms
of achievable accuracy. Basic principles for building the emulator algorithm
that suppress the effect of quantization noise and calculation errors are
demonstrated on examples of memcapacitive systems.
Klíčová slova: Mem systémy, emulace, numerické metody
Keywords: Mem systems, emulation, numerical methods
1
převodníků musí emulátor obsahovat i pomocné analogové
obvody, zejména řízené zdroje a případně převodník proudu
na napětí a také obvody galvanického oddělení, pokud není
realizován jako bateriový. Proto hovoříme o analogověčíslicovém emulátoru.
i
Úvod
Memristivní, meminduktivní a memkapacitní systémy
(obecně mem systémy) jsou v současné době intenzivně
studovány s ohledem na nové aplikace v oblasti počítačových
pamětí, programovatelných analogových obvodů a systémů
umělé inteligence [1]. Jedním ze základních nástrojů tohoto
výzkumu je počítačové modelování. Od objevu HP memristoru
v roce 2008 byla navržena celá řada modelů memristoru
a dalších mem prvků [2]. U některých z modelů se však
ukázalo, že řešení jejich soustavy algebraicko-diferenciálních
rovnic při simulaci je velmi citlivé na diskretizační chyby
integrační metody a dokonce i na konečnou přesnost reprezentace čísel v počítači. Rozsáhlý článek [3] analyzuje některé
modely a uvádí konkrétní doporučení pro získání spolehlivých
výsledků u některých populárních obvodových simulátorů.
Laboratorní experimenty patří k dalším významným
nástrojům zejména v oblasti výzkumu a ověřování nových
aplikací. Mem prvky sice reálně existují v podobě nanostruktur
nebo biologických vzorků, avšak v současné době je poměrně
obtížné je získat pro experimenty. Tento stav vyústil ve vývoj
řady emulátorů určených pro laboratorní experimenty a také
pro výuku [1]. Emulátor je elektronický dvojpól, který
na svých svorkách imituje charakteristiky reálného mem
prvku. Většina dosud publikovaných emulátorů jsou analogové
obvody, u kterých se projevují dva obecné problémy
analogových zařízení: omezená možnost změny funkce (např.
typu emulovaného prvku) a limitovaná opakovatelnost
nastavení parametrů [4] - [7].
V [8] byl navržen číslicový emulátor obecného
memristivního systému. Memristivní dvojpól je realizován
digitálním potenciometrem, který je nastavován mikrokontrolérem na základě měření svorkového napětí a číslicového
řešení stavových rovnic. Uvedený emulátor však není možné
použít pro meminduktivní nebo memkapacitní systémy. Toto
omezení odstraňuje emulátor pro libovolný mem systém na
obr. 1, jehož základní koncepce byla publikována v článku [9].
Mikrokontrolér (MCU) na obr. 1a měří svorkové napětí v
pomocí A/D převodníku (ADC), vypočítá požadovaný proud i
a nastaví jeho hodnotu na číslicově řízeném zdroji proudu.
Podobně na obr. 1b mikrokontrolér měří proud a nastavuje
napětí. Poznamenejme, že kromě MCU a číslicových
+
ADC
_
MCU
v
a)
i
i
+
R ADC
_
MCU
+
_
v
b)
Obr. 1.
Analogově-číslicový emulátor:
a) s napěťovým řízením, b) s proudovým řízením.
Obecně můžeme dvojpólový mem systém n-tého řádu
popsat pomocí branové rovnice (1) a stavové rovnice (2) [10]:
y (t ) = g (x, u , t ) u (t ) ,
(1)
x = f (x, u, t ) ,
(2)
kde veličiny u(t) a y(t) představují svorkové napětí (v), proud
(i) nebo veličiny z nich odvozené, jako např. náboj (q)
a zobecnělý tok (ϕ). Funkce g určuje vztah mezi řídicí
veličinou u(t) a závislou veličinou (odezvou) y(t). Vnitřní stav
soustavy je reprezentován n-prvkovým stavovým vektorem x,
jehož dynamika je určena vektorovým polem f. Například
pokud (1) představuje relaci napětí-proud, jedná se o memristivní systém, relace náboj-napětí představuje memkapacitní
systém a relace tok-proud meminduktivní systém [11].
Článek [3] upozorňuje na závažné numerické problémy,
které se objevují při simulaci některých typických memsystémů pomocí simulátorů využívajících implicitní integrační
metody a aritmetiku s dvojitou přesností (čísla typu double).
Tento článek studuje podobnou problematiku s ohledem
na implementaci řešení soustavy (1), (2) v emulátoru, tj. za
přítomnosti kvantizačního a širokopásmového šumu, využití
explicitní integrace v reálném čase a s nižší přesností
aritmetiky. Z důvodu rozsahu článku jsou analyzovány jen
typické modely memkapacitních systémů, jejichž simulace je
náročnější než u systémů memristivních. Meminduktivní
systémy jsou formálně ekvivalentní memkapacitním.
2
Slaboproudý obzor
Roč. 70 (2014) Číslo 2
Z. Kolka, Z. Biolek, V. Biolková: Analogově-číslicová emulace ...
2
Analýza vybraných systémů
signálů u(t) a y(t) byl právě 50 % rozsahu převodníků, což
dává realistickou dynamickou rezervu. Výpočet v MCU byl
implementován v jednoduché přesnosti (čísla typu single).
Koeficient převzorkování použitý na obr. 3 je definován jako
m = fs / 2f ,
kde fs je vzorkovací kmitočet a f je kmitočet budících signálů
(6), resp. (7). Na výstup D/A převodníku byla zařazena dolní
propust prvního řádu, jejíž časová konstanta byla zvolena jako
τ = 1/π fs.
2.1 Emulace kapacitoru
0
10
Základem modelování všech memkapacitních systémů je
relace mezi nábojem a svorkovým napětím. Uvažujme proto
nejdříve elementární kapacitor s konstantní kapacitou C.
S ohledem na přiřazení veličin y ≡ q, u ≡ v, můžeme napsat
branovou rovnici (1) ve tvaru
q(t ) = C v(t ) .
Tato rovnice může být
konfiguracemi podle obr. 1:
obr. 1a:
i (t ) =
(8)
-1
εr
10
-2
10
(3)
implementována
oběma
dq (t ) d
= (C v(t ) ) ,
dt
dt
(4)
E2
E5
SG5n2
SG7n2
-3
10
10
a)
0
FW
BW
TR
t
∫
(5)
-1
10
εr
0
kde v0 je počáteční podmínka. Emulace podle (4) je založena
na výpočtu numerické derivace, zatímco emulace (5) využívá
integraci.
Pokud budeme uvažovat harmonické budící napětí, resp.
proud ve tvaru
v(t ) = V sin(ω t ) ,
(6)
i(t ) = I sin(ω t ) ,
(7)
je možné vyjádřit ideální odezvu emulátoru (4) nebo (5)
analyticky a získat tak referenční průběh závislé veličiny.
u(t)
+
A/D
ui
MCU
yi
D/A
DP
y(t)
n(t)
Obr. 2.
10
10
m
10
1
q(t )
v(t ) =
i (τ )dτ ,
= v0 +
C
C
obr. 1b:
3
2
1
0
10
Struktura modelu analogově-číslicového emulátoru.
Pro vyhodnocení vlastností emulace zvoleného mem
systému byl vytvořen model emulátoru v prostředí MATLAB,
jehož struktura je zachycena na obr. 2. K řídicímu analogovému signálu u(t) je přičítán širokopásmový náhodný signál
n(t) s rovnoměrným rozložením, který simuluje vliv pronikání
digitálních rušivých signálů na vstup převodníku za antialiasingovým filtrem. Tento filtr ale není v modelu zahrnut,
protože řídicí signál byl vždy uvažován harmonický.
Na výstupu D/A převodníku je zařazena analogová doplní
propust.
Obě simulace na obr. 3 byly provedeny s uvažováním
16-bitového A/D převodníku a 12-bitového D/A převodníku.
Rozkmit širokopásmového šumu n(t) byl uvažován ±1 LSB
A/D převodníku. Amplitudy harmonických budících signálů
(6), resp. (7) a velikost kapacity byly zvoleny tak, aby rozkmit
-2
10
-3
10
2
1
0
10
10
b)
Obr. 3.
10
m
3
10
Střední kvadratická chyba odezvy v závislosti na činiteli
převzorkování pro: a) napětím a b) proudem řízený emulátor
kapacitoru.
Obr. 3a ukazuje relativní střední kvadratickou chybu
εr =
rms(i − iref )
rms(iref )
(9)
emulace proudu kapacitorem podle (4). Veličina i je výstup
emulátoru a iref je analytické řešení. Funkce rms představuje
střední kvadratickou hodnotu vypočítanou přes celistvý
násobek periody.
Výpočet odezvy podle (4) zahrnuje numerickou derivaci,
která byla implementovaná strukturou FIR
ij =
1
tvz
N −1
∑q
k =0
h ,
j −k k
(10)
kde ij je odhad derivace náboje qi, tvz vzorkovací perioda a hk
impulzní odezva filtru. Uvažován byl přesný jednostranný
diferenciátor dvoubodový (E2, h = [1,-1]) a pětibodový (E5,
h = [25,-48,36,-16,3]/12) a přibližný diferenciátor typu
Savitzky-Golay s kvadratickou aproximací pětibodový
(GS5n2, h = [54,-13,-40,-27,26]/70) a sedmibodový (GS7n2,
h = [13,2,-5,-8,-7,-27]/28) [12].
Slaboproudý obzor
Roč. 70 (2014) Číslo 2
Z. Kolka, Z. Biolek, V. Biolková: Analogově-číslicová emulace ...
Všechny čtyři křivky ukazují typickou kombinaci chyb
metody pro nízké poměry převzorkování s numerickým
šumem pro vysoké převzorkování, kdy se hodnoty sousedních
vzorků od sebe jen velmi málo liší. Přibližné diferenciátory
lépe potlačují numerický šum, zatímco při nízkých poměrech
převzorkování jsou lepší přesné diferenciátory. Např. GS7n2
prokládá sedmi posledními vzorky polynom druhého řádu, což
vede k výrazné chybě už pro převzorkování m = 20.
Obrázek 3b ukazuje stejný experiment pro proudem řízený
emulátor podle (5). Výpočet zahrnuje rekurzivní numerickou
integraci proudu ve tvaru
N −1
q j = q j −1 + tvz ∑ i j −k hk .
C ( x) = C L x + C H (1 − x) .
Porovnány jsou integrátory dopředný obdélníkový (FW,
h = [0,1]), zpětný obdélníkový (BW, h = [1]) a lichoběžníkový
(TR, h = [1,1]/2). Výsledky jednotlivých metod jsou pro danou
konfiguraci analogově-digitálního rozhraní velmi podobné.
Překvapivým faktem je, že obě realizace kapacitoru
dosahují přibližně stejné chyby v oblasti nízkých hodnot
převzorkování. Poznamenejme, že obr. 3 ukazuje chybu
amplitudy, tj. fáze referenčního signálu byla posunuta tak,
aby souhlasila s fází signálu získaného numericky.
Uvažujme dále signál
q j = 0 pro j < 0, q j = j tvz pro t ≥ 0.
(12)
Odezva ideálního derivátoru s výstupem typu proud by měla
být ve tvaru jednotkového skoku. Obrázek 4 ukazuje odezvy
stejných derivátorů jako v případě harmonického testu na obr.
3a. Jednotlivé výstupní vzorky jsou pro větší přehlednost
spojeny úsečkou. Je zřejmé, že se u vícebodových metod E5,
GS5n2 a GS7n2 projevují zákmity. Signál s nespojitou
derivací sice porušuje vzorkovací teorém, avšak může být
generován vnitřně při řešení soustavy (1), (2) s nespojitostmi.
x
(16)
kde c ∈ (0; 1) je zvolená konstanta, ϕ(t) je zobecnělý tok
(integrál napětí) a ϕ0 jeho počáteční hodnota v čase t = 0.
Pro x = c bude levá strana rovnice nulová, tj. volba c určuje
hodnotu x odpovídající nulové hodnotě toku. Vzhledem k časté
symetrii okénkových funkcí je možná volba x = 0,5.
Numerická integrace na levé straně (16) pak probíhá
samostatně na dvou subintervalech (xL; c〉 a 〈c; xH), kde xL a xH
jsou zvolené integrační meze v blízkosti hraničních hodnot 0
a 1 z důvodu singularity integrandu v těchto bodech. Výsledkem integrace je funkce ϕ(x), resp. x(ϕ) reprezentovaná
v mikrokontroléru tabulkou hodnot s lineární interpolací.
Potom můžeme branovou rovnici (13) přepsat do tvaru
q = C (x(ϕ + ϕ 0 ) ) v , C ( x(ϕ 0 ) ) = C0 ,
(17)
který je ekvivalentní původní soustavě (13), (14).
C0 ∈ (CL; CH) je počáteční hodnota memkapacity odpovídající
hodnotě ϕ0.
1.5
reference
m = 103
1
i (mA)
1
m = 102
0.5
0
i (A)
-0.5
-1
E2
E5
SG5n2
SG7n2
0.5
-0.04
-0.02
0
0.02
t (ms)
0.04
0.06
0
0.2
0.4
a)
t (s)
0.6
0.8
1
0.8
1
1.5
0.08
reference
m = 103
1
Odezva derivátoru (10) na testovací signál (12) pro tvz = 10 ms.
i (mA)
Obr. 4.
t
dχ
∫c W ( χ ) = k ∫0 v(τ ) dτ = k (ϕ (t ) + ϕ0 ) ,
1.5
0
-0.06
(15)
Spojitá okénková funkce W {W(0) = W(1) = 0, W(x) > 0 pro
x ∈ (0; 1)} zajišťuje, že hodnota stavové proměnné x bude
ležet uvnitř intervalu 〈0; 1〉. Hraniční body x = 0 a x = 1 jsou
v konečném čase nedosažitelné v důsledku nulové hodnoty
okénkové funkce.
Stavová rovnice (14) může být řešena metodou separace
proměnných. Ve speciálních případech je možné provést
integraci (14) analyticky, obecně však pouze numericky
(11)
k =0
3
2.2 Ideální memkapacitor
Uvažujme napětím (tokem) řízený ideální memkapacitor
s charakteristikou formálně podobnou modelu HP memristoru,
který využívá tzv. okénkovou funkci [13], [3]. Branová
a stavová rovnice budou ve tvaru
q (t ) = C ( x) v(t ) ,
(13)
x = k W ( x) v(t ) .
(14)
Stavová proměnná x ∈ (0; 1) určuje hodnotu memkapacity
C(x) lineárně mezi dvěmi mezemi CL a CH
m = 102
0.5
0
-0.5
-1
b)
Obr. 5.
0
0.2
0.4
t (s)
0.6
Emulace ideálního memkapacitoru: a) numerická integrace
soustavy (13), (14); b) využití tabulkové interpolace (17).
Obrázek 5 ukazuje výsledky emulace napětím řízeného
memkapacitoru s populární Joglekarovou okénkovou funkcí
[13]
Slaboproudý obzor
Roč. 70 (2014) Číslo 2
Z. Kolka, Z. Biolek, V. Biolková: Analogově-číslicová emulace ...
(18)
pro p = 1 a k = 20 s využitím derivátoru E2. Pro hodnotu p = 1
v (18) je možné (16) integrovat analyticky, čímž dostáváme
referenční řešení.
Pro simulaci byly použity stejné parametry napětím
řízeného emulátoru podle obr. 1a jako v případě ideálního
kapacitoru z kap. 2.1. Budící harmonické napětí bylo
uvažováno s parametry V = 1 V a f = 1 Hz a kapacity byly
zvoleny s hodnotami CH = 10-4 F, CL = 10-5 F, C0 = 1,11·10-5 F.
Numerická integrace (16) byla provedena pro hodnoty
xL = 10-3 a xH = 0,999 a uložena jako tabulka s 999 body.
Na obr. 5a je porovnán výsledek numerické integrace
soustavy (13), (14) Adams-Bashforthovou metodou druhého
řádu, kdy integrační krok byl roven periodě vzorkování. I pro
relativně vysokou hodnotu převzorkování m = 103 došlo
k rozpadu
řešení
během
první
periody.
Protože
W(0) = W(1) = 0, je levá strana rovnice (16) velmi citlivá
na chyby stavové proměnné x v blízkosti krajních hodnot 0 a 1.
Tedy i malá diskretizační chyba při výpočtu x v (14) vede na
relativně velkou ekvivalentní chybu v toku ϕ. Tento problém
je znám i při počítačové simulaci za použití aritmetiky typu
double a přesnějších implicitních integračních metod
s automatickou volbou kroku [2], [3]. S využitím explicitní
metody s pevným krokem je přímé řešení (13) prakticky
nepoužitelné, protože již pro m = 103 je na obr. 5a zřetelně
vidět numerický šum derivátoru.
Na druhou stranu, ekvivalentní tvar (17) s využitím
tabulkové interpolace vykazuje na obr. 5b velmi dobrou shodu
s referenčním řešením. Pro výpočet zobecnělého toku byla
využita zpětná obdélníková integrace.
Popsaná transformace je využitelná na širokou třídu modelů
ideálních mem prvků založených na separovatelné stavové
rovnici (14) [2], která umožňuje snadno přeformulovat
původní soustavu (13), (14) do tzv. přirozených stavových
proměnných,
což
je
v případě
napětím
řízeného
memkapacitoru
zobecnělý
tok.
Velikost
tabulkové
reprezentace funkce x(ϕ) pak závisí na požadované přesnosti
D/A převodu.
2.3 Bipolární memkapacitní systém s prahem
Uvažujme memkapacitní systém s prahovou funkcí, kdy
stavová proměnná x přímo reprezentuje memkapacitu (x ≡ C)
[3]
q (t ) = x v(t ) ,
(19)
x =W ( x, v) f (v) ,
(20)
kde f je prahová funkce s prahem Vt a strmostí β
f (v) = β [v − 0,5( v + Vt − v − Vt )].
(21)
Pro v ∈ 〈-Vt; Vt〉 je f(v) = 0, pro v > Vt pak f(v) = β (v - Vt) a pro
v < Vt dostáváme f(v) = β (v + Vt).
Okénková funkce s nespojitou derivací
W ( x, v) = δ (v) δ (C H − x) + δ (−v) δ ( x − C L )
(22)
udržuje stavovou proměnnou v intervalu x ∈ 〈CL, CH〉. Funkce
δ vyjadřuje jednotkový skok.
Formulace systému (19), (20) přímo odpovídá napětím
řízenému emulátoru dle obr. 1a. Pro výpočet okamžité
hodnoty proudu z (19) je využit numerický derivátor.
Přeformulováním rovnic můžeme získat ekvivalentní tvar,
který nevyžaduje použití numerické derivace
v = q / x + v0 ,
(23)
x =W ( x, v) f (v) ,
(24)
a kde počáteční podmínka je v0 = q0 / C0. Takto modifikovaný
systém je možné implementovat emulátorem dle obr. 1b.
v = 0.9 sin(2 π t)
2
m = 103
1.5
m = 102
1
i (mA)
W ( x) = 1 − (2 x − 1) 2 p ,
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
0.2
0.4
a)
t (s)
0.6
0.8
1
0.8
1
i = 0.2 10-3 sin(2 π t)
1
0.5
0
v (V)
4
-0.5
-1
m = 103
-1.5
-2
b)
Obr. 6.
m = 102
0
0.2
0.4
t (s)
0.6
Emulace bipolárního memkapacitního systému: a) soustava (19),
(20) s derivátorem; b) integrátorová implementace (23), (24).
Pro simulaci byly použity tyto parametry: CH = 2 ·10-4 F,
CL = 2 ·10-5 F, C0 = 2,22 ·10-5 F, Vt = 0,5 V a β = 0,004.
Pro buzení napětím řízeného emulátoru bylo použito
harmonické napětí V = 0,9 V, f = 1 Hz a pro buzení proudem
řízeného emulátoru harmonický proud I = 0,2 mA, f = 1 Hz
s počáteční hodnotou náboje q0 = -35 μC. Výsledné průběhy
proudu, resp. napětí se samozřejmě mezi oběma realizacemi
mohou lišit.
Na výsledcích emulace s využitím numerické derivace typu
E2 na obr. 6a je patrný vliv numerického šumu pro vyšší
hodnoty převzorkování. Integrátorová varianta na obr. 6b
vykazuje hladký průběh i pro m = 103. Drobné rozdíly mezi
průběhy na obou grafech jsou způsobeny vyhodnocováním
nespojitostí funkcí (21) a (22) jen v násobcích vzorkovací
periody.
Jistou nevýhodou transformovaného systému (23), (24)
je to, že dostáváme implicitní soustavu rovnic. Po diskretizaci
je pro řešení soustavy diferenčních rovnic využita postupná
Gauss-Seidelova iterace [14].
Slaboproudý obzor
Roč. 70 (2014) Číslo 2
3
Z. Kolka, Z. Biolek, V. Biolková: Analogově-číslicová emulace ...
Závěr
V článku byly ukázány dvě základní techniky pro zvýšení
přesnosti analogově-číslicové emulace mem systémů, které
spočívají v transformaci rovnic modelu do integrátorového
tvaru a ve využití tzv. přirozených stavových proměnných.
S využitím 16-bitového A/D převodu a 12-bitového D/A
převodu je v nejlepším případě možné očekávat přesnost
emulace v řádu procent.
Poděkování
Tento výzkum je součástí aktivit v rámci akce COST
IC1103 a je finančně podporován projektem Ministerstva
školství, mládeže a tělovýchovy č. LD14103. Výzkum je dále
podporován projektem pro rozvoj katedry K217 na Univerzitě
obrany Brno. Výzkumné práce byly provedeny v laboratořích
podporovaných projektem SIX s registračním číslem
CZ.1.05/2.1.00/03.0072, OP VaVpI.
Výzkum je také podporován projektem FEKT-S-14-2281.
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
Literatura
[1] Adamatzky, A., Chua L. O. (eds.) Memristor Networks,
New York: Springer, 2014.
[2] Biolek, D., Biolek Z. Fourth Fundamental Circuit
Element: SPICE Modeling and Simulation. In
Memristors and Memristive Systems, R. Tetzlaff (ed.),
New York: Springer, 2014, pp. 105-162.
[3] Biolek, D., Di Ventra, M., Pershin, Y. V. Reliable SPICE
Simulations of Memristors, Memcapacitors and
Meminductors. Radioengineering, 2013, vol. 22, no. 4,
pp. 945 – 968.
[4] Sodhi, A., Gandhi, G. Circuit mimicking TiO2
memristor: a plug and play kit to understand the fourth
passive element. International Journal of Bifurcation
and Chaos, 2010, vol. 20, no. 8, pp. 2537–2545.
[5] Pershin, Y. V., Di Ventra, M. Emulation of floating
memcapacitors and meminductors using current
[11]
[12]
[13]
[14]
5
conveyors. Electronics Letters, 2011, vol. 47, no. 4,
pp. 243–244.
Kim, H. et al. Memristor emulator for memristor circuit
applications. IEEE Transactions Circuits and Systems - I,
2012, vol. 59, no. 10, pp. 2422–2431.
Biolek, D. et al. Mutators for transforming nonlinear
resistor into memristor. In Proc. of 20th European Conf.
on Circuit Theory and Design (ECCTD’11), Linkoping,
Sweden, 2011, pp. 488–491.
Pershin, Y. V., Di Ventra, M. Experimental
demonstration of associative memory with memristive
neural networks. Neural Networks, 2010, vol. 23, no. 7,
pp. 881-886.
Kolka, Z., Biolek, D., Biolkova, V. Hybrid modeling
and emulation of mem-systems. International Journal
of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices
and Fields, 2012, vol. 25, no. 3, pp. 216–225.
Di Ventra, M., Pershin, Y. V., Chua, L. O. Circuit
elements with memory: Memristors, memcapacitors, and
meminductors. Proceedings of the IEEE, 2009, vol. 97,
no. 10, pp. 1717–1724.
Biolek, D., Biolek, Z., Biolkova, V. SPICE Modeling
of Memristive, Memcapacitative and Meminductive
Systems. In Proc. of the European Conference on Circuit
Theory and Design (ECCTD '09), Antalya, Turkey, 2009,
pp. 249-252.
Gorry, P. A. General least-squares smoothing
and differentiation by the convolution (Savitzky-Golay)
method. Analytical Chemistry, 1990, vol. 62, no. 6,
pp. 570-573.
Joglekar Y. N., Wolf, S. J. The elusive memristor:
properties of basic electrical circuits. European Journal
of Physics, 2009, vol. 30, no. 4, pp. 661-675.
LeVeque, R. J. Finite Difference Methods for Ordinary
and Partial Differential Equations: Steady-State
and Time-Dependent Problems, Philadelphia (USA):
SIAM, 2007.