geodetické sítě

Transkript

geodetické sítě

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
FAKULTA STAVEBNÍ
GEODETICKÉ SÍTĚ
MODUL 01
PŘÍPRAVA DAT PRO VYROVNÁNÍ
STUDIJNÍ OPORY
PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
© Ladislav Bárta a František Soukup, Brno 2005
revize: únor 2006
Obsah
OBSAH
1 Úvod ...............................................................................................................5
1.1 Cíle ........................................................................................................5
1.2 Požadované znalosti ..............................................................................5
1.3 Doba potřebná ke studiu .......................................................................5
1.4 Klíčová slova.........................................................................................6
1.5 Metodický návod pro práci s textem.....................................................6
2 Úvod do geodetických sítí ............................................................................7
2.1 Geodetické základy ...............................................................................7
2.2 Způsoby řešení geodetických sítí ..........................................................9
2.3 Schématický zákres geodetické sítě ....................................................11
2.4 Shrnutí.................................................................................................15
3 Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ.............................................17
3.1 Linearizace funkčních vztahů .............................................................17
3.2 Vyrovnání zprostředkujících měření...................................................18
3.3 Zákony hromadění středních chyb......................................................23
3.4 Charakteristiky přesnosti souřadnic bodu ...........................................25
3.5 Intervaly a křivky spolehlivosti...........................................................30
3.6 Testování střední jednotkové chyby ...................................................32
3.7 Testování odlehlých hodnot ................................................................37
3.8 Shrnutí.................................................................................................39
4 Vyrovnání osnov směrů .............................................................................51
4.1 Přibližné metody vyrovnání osnov směrů...........................................51
4.2 Vyrovnání úplných osnov směrů ........................................................52
4.3 Vyrovnání neúplných osnov směrů.....................................................55
4.4 Shrnutí.................................................................................................56
5 Orientace osnov směrů...............................................................................63
5.1 Předběžná orientace osnov směrů .......................................................63
5.2 Přibližná orientace osnov směrů .........................................................66
5.3 Posouzení přesnosti souřadnic výchozích bodů..................................67
5.4 Shrnutí.................................................................................................74
6 Centrace osnov směrů ................................................................................85
7 Převod směrů na výpočetní plochu ...........................................................89
8 Zpracování měřených délkových veličin ..................................................91
8.1 Převod délek na výpočetní plochu ......................................................91
8.2 Centrace délek.....................................................................................98
8.3 Místní měřítko sítě ..............................................................................99
8.4 Shrnutí...............................................................................................103
9 Nivelační měření .......................................................................................111
10 Zpracování vektorů GPS .........................................................................113
11 Závěr ..........................................................................................................115
11.1 Shrnutí...............................................................................................115
- 3 (116) -
Geodetické sítě . Modul 01
11.2 Studijní prameny .............................................................................. 115
11.2.1 Seznam použité literatury................................................... 115
11.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury................................. 115
11.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny ........................ 116
11.3 Klíč ................................................................................................... 116
11.4 Poznámka ......................................................................................... 116
- 4 (116) -
Úvod
1
Úvod
Úkolem této kapitoly je informovat čtenáře o předmětech, na které problematika geodetických sítí přímo navazuje. Jde tedy o stručné vymezení teoretického
základu předmětu.
1.1
Cíle
Cílem předkládaného studijního materiálu je seznámení čtenáře se způsoby
úprav veličin pro řešení geodetických sítí. Čtenář se teoreticky a prakticky
seznámí s postupy aplikovanými při řešení sítí a různými interpretacemi
výsledků výpočtu. Znalost matematického operátu používaného při řešení úloh
vyrovnání totiž obecně nezaručuje nejvěrohodnější vystižení měřením
zachycené skutečnosti. Náplní tohoto materiálu jsou tedy i zásady pro správné
použití MNČ.
1.2
Požadované znalosti
Pro zvládnutí látky tohoto studijního materiálu jsou vyžadovány znalosti z řady
odborných a teoretických předmětů.
Z oblasti matematiky je vyžadována znalost:
• lineární algebry – zejména matice a maticové operace a řešení soustav lineárních rovnic
• diferenciálního počtu – zejména parciální derivace funkcí a rozvoje funkcí
v řady
Z oblasti matematické statistiky a pravděpodobnosti nás budou zajímat odhady
charakteristik polohy a proměnlivosti náhodných veličin a náhodných vektorů.
Zvláštní kapitolu pak tvoří testování parametrů náhodných veličin a tvaru jejich
rozdělení.
Geodetické sítě jsou postaveny na předmětu teorie chyb a vyrovnávací počet.
Znalosti z této oblasti jsou tedy pro úspěšné zvládnutí tohoto materiálu zcela
zásadní. Tento předmět se tématicky zabývá problematikou měřických chyb,
problematikou jejich šíření a druhy vyrovnání měřených veličin metodou nejmenších čtverců – MNČ.
Z oblasti nižší geodézie se očekává znalost základních souřadnicových úloh
pro získání počátečního řešení geodetické sítě. Jde tedy o výpočty, které obecně předchází vyrovnání sítí užitím MNČ.
1.3
Doba potřebná ke studiu
Doba potřebná k nastudování látky probírané v rámci tohoto modulu odpovídá
výuce 2 hodin cvičení a 2 hodin přednášek týdně po dobu 5 týdnů. Jedná se
tedy orientačně o 20 hodin. Je však třeba mít na paměti, že čas potřebný ke
studiu je značně individuální záležitost.
- 5 (116) -
1.4
Klíčová slova
Geodetická síť, geodetické základy, linearizace funkčního vztahu, zprostředkující vyrovnání užitím MNČ, charakteristiky polohy a proměnlivosti, statistický
test, intervaly spolehlivosti, apriorní přesnost technologických procesů, vyrovnání osnovy směrů, orientace osnovy směrů, centrace osnov směrů, orientační
posun, fiktivní měřená veličina, matematické a fyzikální korekce měřených
veličin.
1.5
Metodický návod pro práci s textem
Zde uvedené informace jsou základním materiálem pro pochopení problematiky. V rámci studia a zájmu o danou problematiku je vhodné si doplnit znalosti
pročtením další literatury.
Příklady pro procvičení jsou veskrze jednoduché z pohledu použitého matematického a fyzikálního operátu. Některé jsou ovšem řešitelné pouze pokud je
student ochoten se zamyslet a chvíli logicky uvažovat. Při problémech s nalezením postupu řešení autoři doporučují konzultace (a to jak osobní, tak formou
vhodných informačních technologií).
- 6 (116) -
Úvod do geodetických sítí
2
Tato kapitola čtenáře uvádí do problematiky řešení a budovaní geodetických
sítí. Čtenář se seznámí s aktuálními trendy na poli budování moderních geodetických základů v České Republice, se základním rozdělením geodetických sítí
a symbolikou používanou pro schématický zákres observovaných veličin sítě.
2.1
Geodetické základy
Vznik dnes běžně používaných geodetických základů můžeme datovat na začátek minulého století. Jejich kvalita tedy souvisí s dostupnými geodetickými
metodami použitými při jejich budování. Trigonometrické sítě vznikaly na základě terestrických měření. Budeme-li mluvit o naší České státní trigonometrické síti, můžeme ji charakterizovat jako síť měřenou triangulací s délkovým
rozměrem nepřímo převzatým z vojenské triangulace za Rakouska Uherska, síť
umístěnou na elipsoid na základě jednoho Laplaceova bodu, hustotou bodů po
dvou kilometrech a s rovinnými souřadnicemi Křovákova obecného konformního kuželového zobrazení. Za zmínku stojí i později budovaná síť označovaná
jako síť Astronomicko-geodetická s hustotou bodů po 30 kilometrech, při jejichž budování se uplatnily nejnovější poznatky našeho oboru i nové metody
měření. Tato síť je pak právem označovaná jako nejlepší terestrická síť vybudovaná na našem území, která prokázala i první nedostatky JTSK ve formě
místních deformací této sítě. Astronomicko-geodetická síť byla bohužel jako
projekt armády Československé republiky dílo tajné a její výsledky se nikdy
prakticky neprojevily na zpřesnění v praxi používané trigonometrické sítě.
Nový přístup k budování geodetických základů se otevřel v 90. letech 20. století, kdy se běžnému užívání nabídl družicový systém GPS NAVSTAR. Praktické
nasazování GPS aparatur v plné míře prokázalo deformace JTSK. Závaznost
souřadnic bodů S-JTSK navíc nutí deformovat přesné výsledky GPS měření do
této sítě metodami místních kalibrací a různými formami dotransformací. Ve
světle těchto skutečností a s rostoucí dostupností metod družicové geodézie
bylo přistoupeno k zásadní inovaci našich geodetických základů. Při budovaní
těchto základů byly použity právě GPS aparatury. K použitým měřickým metodám patří metoda statická a rychlá statická.
Modernizace našich geodetických základů souvisela z rozšiřováním Evropského terestrického referenčního rámce – ETRF-89, který byl fixován body Mezinárodního terestrického referenčního rámce – ITRF-89 v době jeho vzniku.
Tento systém dále můžeme charakterizovat jako systém prostorových geocentrických souřadnic, systém velmi stabilní na Evropské pevninské desce a systém
poměrně blízký systému WGS-84. První body systému ETRF-89 u nás vznikly
na základě mezinárodní kampaně z roku 1991 (3 body totožné s Astronomicko
geodetickou sítí - Pecný, Kleť a Přední Příčka s hustotou 150 km). Do roku
1992 je datováno další rozšíření referenčního rámce budováním tzv. sítě nultého řádu – NULRAD (10 bodů o hustotě 90 km), která byla do roku 1995 dále
rozšířena v rámci tzv. kampaně doplňování nultého řádu – DOPNUL (176 bodů
s hustotou 21 km).
- 7 (116) -
Uvážíme-li počet určených bodů, vyjde nám průměrně jeden bod na jeden triangulační list což je pro připojení GPS měření do sítě ETRF-89 možná dostatečné, ale stejně zde zůstává nutnost deformovat družicové měření do S-JTSK.
Cílem další modernizace se tak stalo další zahuštění dosavadně vybudované
sítě a následného uplatnění výsledků měření pro novou definici S-JTSK již
jako sítě vysoce homogenní s vysokou přesnosti vyplývající z technologií družicové geodézie. Zhušťování probíhá v rámci kampaně výběrové údržby základního bodového pole – jednotná trigonometrická síť s termínem dokončení
2007 (3 500 bodů s hustotou 5 km) a v rámci projektu zhuštění podrobného
polohového bodového pole – zhušťovací body s termínem dokončení 2005 (37
000 bodů o hustotě 2 km).
Současně s budováním ETRF probíhalo v Evropě budování Jednotné Evropské
nivelační sítě – EULN charakterizované počátkem Jaderské moře – Kronštadt a
zpracovávané v geopotenciálních rozdílech. Hlavním účelem byla snaha sjednotit velice různorodé výškové systémy na území Evropy jak z hlediska počátků (Baltské moře, Jaderské moře, Černé moře, …) tak z hlediska způsobu definic výšek (normální, ortometrické, …). Tato síť byla v devadesátých letech na
základě propojovacích měření připojena i na Českou státní nivelační síť ČSNS. Na základě těchto měření byla vytvořena kostra EULN (uzlové body
nivelačních pořadů prvního řádu) u nás. O odklonu od ČSNS (systém vztažený k Baltskému moři – Kronštadt, systém normálních výšek s přesností srovnatelnou s EULN) se však v blízké budoucnosti neuvažuje.
Moderní geodetické základy bude spojovat přízvisko integrované v okamžiku
spojení geometrické složky (3D prostorové sítě budované metodami družicové
geodézie) a složky fyzikální (nivelační a tíhové měření) pramenící v definici
jednoznačného vztahu mezi těmito systémy pomocí modelu geoidu. V Evropském pohledu je to snaha v rámci Evropské vertikální sítě – EUVN definovat
evropský kvazigeoid. Na našem území pak nejkvalitnějším modelem geoidu
bude gravimetrický kvazigeiod ČR 2000 s udávanou střední chybou převýšení
20 mm. Jeho přesnost byla ověřena znivelováním některých bodů výběrové
údržby.
Výsledkem budování nových geodetických základů bude poměrně hustá, homogenní a řádově 2 cm přesná síť bodů v prostorovém geocentrickém systému.
Novou definicí S-JTSK získáme též velmi přesnou polohovou síť oproštěnou
od hodnot místních deformací. Body, které nebyly přímo měřeny, budou do
nových systémů přetransformovány s předpokládaným mírným snížením přesnosti. Budou existovat jednoznačné transformační vztahy mezi těmito systémy
a odpadnou tak problémy místních kalibrací. Problém však do jisté míry zůstane ve vztahu mezi elipsoidickými a nadmořskými výškami a to především v
případě vyššího požadavku na přesnost než bude poskytovat používaný model
kvazigeoidu.
Zvláštní kapitolou z oblasti moderních geodetických základů jsou tzv. aktivní
geodetické základy realizované permanentně měřícími stanicemi GPS. Na
Evropské úrovní půjde o Evropskou permanentní síť EUREF, kterou na našem
území reprezentují body PECNÝ a TUBO. Síť podporuje GPS NAVSTAR a
GLONASS. Mezi produkty této sítě patří observovaná data – RINEX soubory,
souřadnice bodů sítě, dráhy družic – SP3 soubory, parametry rotace Země –
ERP soubory a modely ionosféry. Jednotlivé stanice se mohou také snadno stát
- 8 (116) -
distributory různých druhů diferenčních korekcí. V národní úrovni nyní vzniká
Permanentní síť ČR – CZEPOS o plánovaném počtu 24 stanic o dosahu každé
stanice 40 km. Tato síť bude poskytovat data v reálném čase (korekce pro diferenční fázová měření – RTK a korekce pro diferenční kódová měření – DGPS a
to ve formátu RTCM) a též data pro postprocessing (fáze, pseudo-vzdálenosti a
dopplerovské součty v komprimovaném RINEX formátu). Permanentní síť
bude podporovat pouze družicový systém GPS NAVSTAR.
Výše uvedené odstavce shrnují a uvádějí dílčí fakta a závěry týkající se typů,
rozsahu a přesnosti geodetických základů jako výchozích údajů pro řešení
praktických geodetických aplikací.
2.2
Způsoby řešení geodetických sítí
Existuje řada přístupů k řešení a rozdělení geodetických sítí. Některé z nich se
pokusím specifikovat v rámci této podkapitoly.
Geodetické sítě podle observovaných dat můžeme rozdělit na sítě:
• terestrické
• družicové
• kombinované
Terestrické sítě jsou tvořeny veličinami měřenými ve fyzickém tíhovém poli
Země. Jde principiálně o veličiny definované od základních směrů a rovin,
které realizujeme horizontací geodetických přístrojů. Vodorovné úhly, vodorovné směry a azimuty měříme v rovině kolmé k tížnici tíhového pole. Zenitové úhly měříme od svislice přístroje, která je opět horizontací stroje ztotožněná
s tížnicí. Též vodorovná rovina realizovaná nivelačními přístroji je přímo
k tíhovému poli vztažena. Mezi terestrické veličiny jsou zařazovány také měřené délky, i když jako jediné z jmenovaných veličin tímto polem přímo ovlivněny nejsou.
Družicové sítě jsou tvořeny tzv. vektory udávajícími vzájemný vztah dvou bodů, na kterých byly umístěny družicové aparatury. Tyto veličiny jsou odvozovány ze signálu družic rozmístěných na odběžných drahách Země. Družicové
měření tedy nejsou přímo tíhovým polem Země ovlivněny. Vliv je zde pouze
nepřímý. Jde o působení tohoto pole na jednotlivé družice.
V kombinovaných sítích zpracováváme data terestrická i družicová společně.
Geodetické sítě podle dimenze měřených veličin můžeme rozdělit na sítě:
• 1D – vertikální sítě (výsledkem jsou 1D souřadnice bodu)
• 2D – horizontální sítě (výsledkem jsou 2D souřadnice bodu)
• 3D – prostorové sítě (výsledkem jsou 3D souřadnice bodu)
• 4D – prostorové sítě (výsledkem jsou 4D souřadnice bodu)
- 9 (116) -
V 1D sítích obvykle zpracováváme nivelovaná převýšení. Výsledkem zpracovaní jsou vyrovnané nadmořské výšky bodů sítě. U vyrovnaných výšek je třeba
uvádět těž výškový systém např. BPV.
1D síť může být teoreticky tvořená též výškami elipsoidickými, které lze odvodit z družicových měření. Výsledkem zpracování takové sítě jsou tedy výšky
elipsoidické, vztažené k určitému referenčnímu elipsoidu např. WGS-84.
U 2D sítí zpracováváme horizontální složku sítě, která je dána měřenými horizontálními směry, vodorovnými délkami nebo též horizontálními průměty vektorů družicových měření. Sítě horizontální můžeme zpracovávat na ploše referenčního elipsoidu nebo v zobrazovací rovině určitého kartografického zobrazení. Název referenčního elipsoidu případně název kartografického zobrazení
je potřeba k vyrovnaným souřadnicím bodů sítě opět uvádět.
U 3D sítí zpracováváme tzv. prostorové záměry dané horizontálními směry,
vertikálními úhly a šikmými délkami. Výsledkem zpracování jsou vyrovnané
3D souřadnice bodů (obvykle horizontální složka a nadmořská výška).
Čistě 3D síť může být tvořena také družicovými vektory. Výsledkem zpracování jsou pak vyrovnané 3D souřadnice bodů (obvykle horizontální složka a
elipsoidická výška).
Spojením observovaných dat dvou výše uvedených 3D sítí vzniká síť 4D. Taková síť je charakteristická body o čtyřech souřadnicích (horizontální složka,
výška nadmořská a výška elipsoidická). Rozpor mezi výškami nadmořskými a
elipsoidickými je řešen modely geoidů.
Geodetické sítě můžeme rozdělit podle výpočetních ploch, ke kterým
vztáhneme observovaná data.
Za výpočetní plochy můžeme zvolit:
• referenční plochu
referenční elipsoid
referenční koule
• rovinu kartografického zobrazení
2D souřadnice bodu na referenční ploše bývají obvykle vyjádřeny souřadnicemi ϕ – šířka a λ – délka.
2D souřadnice bodu v rovině kartografického zobrazení pak souřadnicemi ortogonálními tj. x a y .
Prostorovou polohu bodu vzhledem k referenční ploše popisujeme souřadnicemi ϕ , λ a H. Symbol H představuje tzv. elipsoidickou / kulovou výšku definovanou jako jeho vzdálenost po normále k uvažované referenční ploše. Druhou variantou prostorových souřadnic je ortogonální souřadnicový systém X,
Y a Z. Počátek systému je umístěn do středu referenční plochy, osa Z je vložena do kladné větve osy rotace, osa X je definována jako průnik roviny nultého
poledníku s rovinou rovníku a osa Y systém doplňuje na pravotočivý. V 3D
prostorových ortogonálních systémech bývají vyjádřena měření družicová.
- 10 (116) -
Obdobně lze 3D systém vytvořit i ze systému daného rovinou kartografického
zobrazení. Výška bude měřena po normále a půjde obvykle o výšku nadmořskou s označením h.
Přístup k řešení geodetických sítí v ČR
Náplní tohoto modulu je řešení geodetických sítí, kde za výpočetní plochu horizontální složky sítě zvolíme rovinu kartografického zobrazení. Vertikální
složku sítě budeme řešit samostatně v jednorozměrném euklidovském prostoru.
Použité kartografické zobrazení bude S-JTSK. Vertikální složka sítě bude vyjádřena v BPV. Oba uvedené systémy jsou na území ČR povinné. Jedinou dovolenou alternativou těchto závazných systémů pro výpočty souřadnicové jsou tzv.
souřadnicové systémy místní.
Observačními technikami naměřené veličiny před vlastním řešením geodetických sítí převedeme na výpočetní plochu.
Převod veličin obnáší několik druhů korekcí:
• fyzikální
přiřazení fyzikálního rozměru observovaným datům
• matematické
převod na referenční plochu – korekce z tíhového pole Země
převod do kartografického zobrazení – korekce ze zkreslení
Rozpory v nadbytečnosti v observovaných datech odstraníme vyrovnávacími
postupy založenými na metodě nejmenších čtverců – MNČ.
V následující podkapitole se budeme zabývat grafickým znázorněním měřené
geodetické sítě. Přehledná situace o geodetické síti bude obsahovat rozlišení
daných a určovaných bodů a zákres observovaných veličin s vyjádřením jejích
druhu.
2.3
Schématický zákres geodetické sítě
Tato kapitola se bude věnovat grafické prezentaci horizontální a vertikální
složky sítě.
Grafická prezentace sítě by měla obsahovat:
• zákres bodů sítě
vhodnou mapovou značkou rozlišení výchozích a určovaných bodů
číselné označení bodů
• zákres observovaných veličin
vhodným grafickým vyjádřením rozlišení druhů veličin
vyznačení počtu opakování měření
- 11 (116) -
Přehledná situace geodetické sítě bude dále vyhotovena v přehledném měřítku
a opatřena vhodnou vysvětlující legendou.
Prezentace geodetických sítí se vyhotovují v různých stádiích jejich budovaní.
Prezentaci sítě ve stadiu jejího navrhovaní nazýváme tzv. observačním plánem.
Ten je následovně využit při měřických pracích v terénu. Obecně informuje
měřiče jaké veličiny má měřit. Můžeme získat i informace o požadavcích na
technologii měření (typ přístroje, způsoby centrace, počty opakovaní měření,
mezní odchylky atd.).
Prezentaci geodetické sítě po provedení vlastního měření doplníme na aktuální
stav tj. zákres sítě aktualizujeme o nově doplněné body a observace.
Obr. 2-1
Observační plán – horizontální složka sítě
Ve fázi zpracovaní dat před vlastním vyrovnáním sítě může prezentace sítě
sloužit k přehlednému zápisu odchylek dosažených při měření. Může jít o vyznačení rozdílu protisměrně měřených délek, rozdílů oboustranně měřených
- 12 (116) -
převýšení nebo hodnoty úhlových odchylek vypočtených pro uzavřené obrazce
sítě. Tyto informace pak mohou posloužit pro objektivní posouzení dodržení
použitých technologických postupů při měření.
Finální prezentace sítě je doplněna grafickým zákresem dosažené přesnosti
vyrovnaných bodů sítě.
Horizontální přesnost obvykle vyjadřujeme pomocí tzv. elips chyb, případně
tzv. křivek spolehlivosti.
Vertikální přesnost můžeme vyjádřit pomocí vektorů středních chyb výšky
bodů nebo opět intervaly spolehlivosti.
Horizontální složka sítě
Prezentace horizontální složky sítě je patrná z obrázku 2-1. Jde o síť budovanou čistě terestrickým měřením. Observované veličiny jsou osnovy směru měřené na jednotlivých bodech a měřené délky. Hlavní důraz je kladen na vyjádření protisměrně a jednosměrně měřených veličin. V síti je též dobře patrné
rozlišení bodů daných a určovaných.
Informace o geodetické síti musí být také doplněna o seznam souřadnic daných
bodů, které obvykle získáme z geodetických údajů o výchozím bodovém poli.
Vytvořený seznam může být dále doplněn údaji o způsobu stabilizací bodů a
též údaji o jejich vzniku a přesnosti.
Obr. 2-2
Seznam souřadnic daných bodů horizontální složky sítě
Vertikální složka sítě
Způsob prezentace vertikální složky sítě je patrný z obrázku 2-4. Jedná se opět
o síť terestrickou. V tomto případě je síť složena pouze z jednoho typu observačních dat. Jde o nivelační převýšení realizovaná nivelačními pořady vedenými mezi jednotlivými body sítě. U nivelovaných převýšení bývá zvykem
vyznačovaní směru stoupání. Tato informace může pomoci při odhalování
omylů vyplývajících ze záměny znamének převýšení.
Informace o geodetické síti musí být z geodetických údajů doplněna o seznam
výšek bodů výchozích. Poloha nivelačních bodů je zde pouze informativní údaj
a v geodetických údajích bývá obvykle uvedena pouze s přesností na desítky
metrů. Souřadnice jsou totiž získány jejích odsunutím z map.
- 13 (116) -
Obr. 2-3
Seznam výšek nivelačních bodů
Obr. 2-4
Observační plán – vertikální složka sítě
Závěr
Grafická prezentace sítě bývá obvykle doplněna i seznamem přibližných souřadnic bodů určovaných. Tyto souřadnice můžou být získány odměřením odhadované polohy bodů z mapy nebo na základě observovaných dat pomocí
jednoduchých souřadnicových výpočtů.
- 14 (116) -
Obr. 2-5
Přibližné souřadnice určovaných bodů
Závěr této kapitoly bude věnován procvičení probrané látky.
2.4
Shrnutí
Budování geodetických sítí je ve své podstatě úkon, při kterém účelově zahušťujeme stávající bodová pole. Geodetické sítě se stávají základem pro další
geodetické činnosti prováděné v daných lokalitách. Jde především o účel mapovací. Geodetické sítě budované za účelem realizace určitého inženýrského
projektu se nazývají sítěmi vytyčovacími.
Úkol 2.1
Ve souvisejících studijních materiálech vyhledejte informace o rozdělení základních a podrobných polohových bodových polí.
Pozn.: Najděte též informace o číslování, kvalitě a hustotě jednotlivých bodových polí.
Úkol 2.2
Ve souvisejících studijních materiálech vyhledejte informace o rozdělení základních a podrobných výškových bodových polí.
Pozn.: Najděte též informace o číslování, kvalitě a hustotě jednotlivých bodových polí.
Úkol 2.3
Zjistěte jakými způsoby se dají získat informace o základních polohových a
výškových polích.
Pozn.: Jaké informace najdete v geodetických údajích o bodech ?
Pozn.: Jakým způsobem jsou bodová pole graficky prezentována ?
Úkol 2.4
Získejte informace o bodovém poli na území o rozloze 1.5 x 1.5 km. Vyhotovte observační plán na zahuštění místního bodového pole.
Pozn.: Vyhotovte samostatně pro horizontální a vertikální složku sítě.
Kontrolní otázky
Jakými metodami jsou v současnosti budovány geodetické základy ?
Jakou máte představu o polohové přesnosti našich geodetických základů ?
Jakou máte představu o výškové přesnosti našich geodetických základů ?
Jaké výpočetní plochy lze využít pro řešení geodetických sítí.
- 15 (116) -
Proč je nutné observované veličiny před souřadnicovými výpočty převádět
na výpočetní plochy ?
Vyjmenujte závazné souřadnicové systémy pro souřadnicové výpočty na
území ČR.
Jaký je rozdíl mezi daty terestrickými a družicovými ?
Co je to observační plán ?
Řešení
Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v této kapitole.
Informace
Následující kapitola bude věnována opakovaní důležitých pasáží teoretických
předmětů podstatných pro správné pochopení dále probírané látky.
Další kapitoly budou řešit přípravu jednotlivých typů měřených veličin pro
závěrečné sestavení úlohy geodetické sítě a její následné vyrovnání užitím
MNČ.
Konkrétní postupy a řešení geodetických síti naleznete v navazujícím studijním
materiálu.
- 16 (116) -
Interpretace výsledků při řešení úloh MNČ
3
Toto kapitola bude věnována vybraným tématickým pasážím teoretických
předmětů, na které problematika řešení geodetických sítí přímo navazuje. Půjde o připomenutí kapitol z oblasti teorie chyb, vyrovnávacího počtu, pravděpodobnosti a matematické statistiky. Cílem bude připravit matematický aparát,
který následně aplikujeme při řešení látky probírané v rámci tohoto studijního
materiálu. Důraz bude kladen také na odbornou terminologii a na symboliku
užitou v matematických výrazech a rovnicích.
Linearizace funkčních vztahů
3.1
Řešení výpočetních úloh v geodézii obecně vede na soustavy nelineárních rovnic. Takové systémy lze řešit za předpokladu znalosti přibližného řešení úlohy
jejich převodem na systémy lineární.
Linearizace funkčních vztahů je úloha řešící převod obecně nelineární funkce
na funkci lineární. Vlastní převod je realizován pomoci rozvoje původní funkce
v řadu. Funkce linearizovaná se nejlépe přimyká funkci původní v tzv. bodě
rozvoje. Za tento bod obvykle dosazujeme přibližné řešení systému rovnic. Po
převodu systému nelineárních rovnic na lineární již počítáme pouze diferenciální změny neznámých parametrů.
Princip metody řešení systému nelineárních rovnic a princip linearizace funkčních vztahů je nejnázornější na ukázce řešení soustavy jedné nelineární rovnice
o jedné neznáme – rovnice 3.1.
l = f (x )
(3.1)
Linearizaci funkčního vztahu 3.1 provedeme v hodnotě přibližného řešení systému x0 .
l = f ( x0 ) +
∂f ( x )
(x − x0 )
∂x x = x0
(3.2)
Rovnici 3.2 můžeme přepsat na tvar 3.3.
l = a + bdx
(3.3)
Řešením systému jedné lineární rovnice o jedné neznáme získáme diferenciální
přírůstek neznámého parametru 3.4.
dx =
l−a
b
(3.4)
Výsledné řešení systému je dáno rovnici 3.5.
x = x0 + dx
(3.5)
Geometrický význam linearizace funkce o jedné proměnné vystihuje obrázek
3-1. Původní funkce je označena symbolem f(x) a funkce linearizovaná symbolem g(x). Z obrázku je zřejmé, že chyba z linearizace f(x)-g(x) roste s velikostí
- 17 (116) -
přírůstku neznámých dx. Obrázek tedy demonstruje nutnost velmi kvalitního
odhadu řešení systému.
Linearizace funkce f(x)
Obr. 3-1
V případě méně kvalitních odhadů přibližných řešení počítáme systémy rovnic
iteračním způsobem. Za nové přibližné řešení systému volíme vždy řešení systému získané v předchozím kroku výpočtu.
Obecně však řešíme systémy složitější tj. systémy rovnic o k neznámých parametrech. Provádíme tedy linearizace funkcí o k proměnných – rovnice 3.6.
li = f i ( x1 ,..., xk )
(3.6)
Označíme-li přibližné řešení x0,1 ,..., x0, k , pak linearizovaná funkce bude mít
tvar daný rovnicí 3.7.
li = fi (x0,1,...,x0,k ) +
∂fi (x1,...,xk )
(x1 −x0,1) +...+ ∂fi (x1,...,xk )
(xk −x0,k ) (3.7)
∂xk
∂x1 X1=X0,1,...,Xk =X0,k
X1=X0,1,...,Xk =X0,k
Rovnici 3.7 můžeme přepsat symbolickým zápisem na rovnici 3.8.
li = f 0,i +
∂f i
∂f
dx1 + ... + i dxk
∂xk
∂x1
(3.8)
Další podkapitola bude věnovaná řešení systému n nelineárních rovnic s k neznámými parametry, kde n>k. Jednoznačné řešení takových systémů získáme
použitím metody nejmenších čtverců – MNČ.
3.2
Vyrovnání zprostředkujících měření
Vyrovnání zprostředkujících veličin ve své podstatě představuje řešení úlohy n
nelineárních rovnic o k neznámých parametrech tj. systému 3.9. Tento systém
má n-k nadbytečných měření. Počet nadbytečných měření je obecně větší jak 0
a úloha tedy není jednoznačně řešitelná. Řešení systému rovnic získáme užitím
základní podmínky MNČ dané vztahem 3.10, kde pi je váha veličiny li a vi je
oprava veličiny li z vyrovnání.
- 18 (116) -
l1 = f1 ( x1 ,..., xk )
...
li = f i ( x1 ,..., xk )
...
ln = f i ( x1 ,..., xk )
∑
n
i =1
(3.9)
pi vi vi = min
(3.10)
Řešení systému hledáme v okolí tzv. výchozího, počátečního nebo přibližného
řešení úlohy H 0 - vztah 3.11.
H 0 = (x0,1 ,..., x0, k )
T
(3.11)
Rovnice systému 3.9 budeme nazývat rovnicemi zprostředkujícími. Veličiny na
levé straně rovnic budou veličiny měřené nebo měření a proměnné ve funkčních vztazích na pravé straně rovnic budou neznámé parametry v procesu vyrovnání. Systém 3.9 přepíšeme v symbolice zprostředkujícího vyrovnání užitím
MNČ na systém 3.12.
L1 = l1mer + v1 = f1 ( X 1 ,..., X k ),
...
mer
Li = li + vi = f i ( X 1 ,..., X k ),
Ln = lnmer
m1
...
mi ,
...
...
+ vn = f n ( X 1 ,..., X k ), mn
∑
n
i =1
(3.12)
pi vi vi = min
Systém dále přepíšeme do podoby rovnic 3.13.
L1 = l1mer + v1 = f1 ( X 0,1 + dx1 ,..., X 0,k + dxk ),
...
mer
Li = li + vi = f i ( X 0,1 + dx1 ,..., X 0,k + dxk ),
...
Ln = l
mer
n
m1
...
mi ,
...
∑
n
i =1
pi vi vi = min
(3.13)
+ vn = f n (X 0,1 + dx1 ,..., X 0,k + dxk ), mn
Symbol Li je i-tá vyrovnaná měřená veličina, symbol limer je hodnota i-té měřené veličiny, vi je oprava i-té měřené veličiny z vyrovnání a symbol mi představuje přesnost i-té měřené veličiny.
Vztahy 3.14, 3.15 a 3.16 definují vektor vyrovnaných měřených veličin L ,
mer
vektor měřených veličin l a vektor oprav měřených veličin z vyrovnání v .
L = (L1 ,..., Ln )
T
l
mer
(
= l1mer ,..., l nmer
(3.14)
)
T
(3.15)
v = (v1 ,..., vn )
T
(3.16)
- 19 (116) -
Vztah mezi měřenými veličinami a jejich vyrovnanými hodnotami vektorově
udává rovnice 3.17.
L=l
mer
+v
(3.17)
Vztahy 3.18 a 3.19 definují vektor vyrovnaných neznámých parametrů H a
vektor přírůstků neznámých parametrů dh .
H = ( X 1 ,..., X k )
T
(3.18)
dh = (dx1 ,..., dxk )
T
(3.19)
Vztah mezi přibližným řešením úlohy a řešením finálním vektorově udává rovnice 3.20.
H = H 0 + dh
(3.20)
Každé měřené veličině limer je obecně přiřazena také její přesnost udávaná prostřednictvím střední chyby měření mi. Pro řešení úlohy vyrovnání se pro každou měřenou veličinu spočítá její váha – vzorec 3.21.
pi =
m02.apri
(3.21)
mi2
Symbol m0.apri představuje střední jednotkovou chybu apriorní. Její hodnotu
volíme před vyrovnáním tak, aby se váhy měřených veličin pohybovaly okolo
jedné.
v1 = f1 ( X 0,1 + dx1 ,..., X 0,k + dxk ) − l1mer ,
...
vi = f i (X 0,1 + dx1 ,..., X 0,k + dxk ) − limer ,
...
vn = f n ( X 0,1 + dx1 ,..., X 0,k + dxk ) − lnmer ,
p1
...
pi ,
...
∑
n
i =1
pi vi vi = min
(3.22)
pn
Definice
Úloha zprostředkujícího vyrovnání užitím MNČ je v nelineární podobě
jednoznačně definována tzv. soustavou původních rovnic oprav 3.22
Systém 3.22 linearizujeme podle přibližného řešení 3.11. Výsledný systém
rovnic označíme 3.23.
- 20 (116) -
∂f1
∂f
dx1 + ... + 1 dxk + f 0,1 − l1mer , p
1
∂x1
∂xk
...
...
∂f
∂f
vi = i dx1 + ... + i dx k + f 0,i − limer , pi ,
∂xk
∂x1
...
...
∂f
∂f
pn
vn = n dx1 + ... + n dx k + f 0,n − l nmer ,
∂xk
∂x1
v1 =
(
)
(
)
(
)
∑
n
i =1
pi vi vi = min
(3.23)
Definice
Úloha zprostředkujícího vyrovnání užitím MNČ je v lineární podobě jednoznačně definována tzv. soustavou přetvořených rovnic oprav 3.23
Finální sestavení úlohy vyrovnání získáme zápisem přetvořených rovnic oprav
3.23 v maticové podobě 3.24.
mer
 v1   a1,1 ... a1,k   dx1   f 0,1 − l1 
,
 ...  =  ... ... ...   ...  + 
...

  
  
vn  an ,1 ... an ,k  dxk   f 0,n − lnmer 
 p1 0
 0 ...

 0 0
0
0  ,
pn 
∑
n
i =1
pi vi vi = min
(3.24)
Systém 3.24 lze obecně zapsat rovnicí 3.25.
*
v = Adh + l , P ,
∑
n
i =1
pi vi vi = min
(3.25)
Systém přetvořených rovnice oprav v maticové podobě 3.25 na základě teorie
MNČ převádíme na systém tzv. normálních rovnic 3.26.
 ∑ in=1 pi ai ,1ai ,1 ...

...
...

∑ in=1 pi ai ,k ai ,1 ...

∑
pi ai ,1ai ,k   dx1   ∑ in=1 pi ai ,1li*   0 
  
  
...
...
 = ...
  ...  + 
n
n
*




p
a
a
dx
p
a
l
∑ i=1 i i,k i,k   k  ∑ i=1 i i,k i   0 
n
i =1
(3.26)
Systém 3.26 lze obecně zapsat rovnicí 3.27.
T
T
N dh + r = 0 , kde N = A P A a r = A Pl
*
(3.27)
Systém normálních rovnic je již systémem k lineárních rovnic o k neznámých a
má tedy za podmínky regularity matice soustavy N jednoznačné řešení 3.28.
−1
dh = − N r
(3.28)
Výsledkem výpočtu je vektor přírůstků neznámých parametrů z vyrovnání dh ,
který použijeme pro výpočet vyrovnaných hodnot neznámých parametrů H
podle rovnice 3.20.
- 21 (116) -
V tomto okamžiku je doporučen dvojí výpočet vektoru oprav v a to dosazením
vektoru dh do systému přetvořených rovnic oprav 3.23 a dosazením vektoru
H do systému rovnic oprav původních 3.22.
Pokud je vektor oprav podle rovnice 3.23 totožný s vektorem 3.22 máme spolehlivou kontrolu sestavení úlohy vyrovnání a navíc výsledek řešení úlohy není
ovlivněn chybami z linearizace zprostředkujících rovnic.
Pokud vektory oprav podle rovnic 3.23 a 3.22 totožné nejsou, je to obecně způsobeno zadáním přibližného řešení úlohy H 0 s velmi nízkou přesností. Takový
výsledek je též charakterizován velkými přírůstky neznámých parametrů dh
z vyrovnání.
V tomto případě řešíme úlohu vyrovnání iteračním způsoben, kdy za nové přibližné řešení úlohy použijeme výsledné řešení úlohy z předcházejícího kroku
výpočtu. Konvergence úlohy k řešení je charakterizována klesajícím rozdílem
mezi vektory dvojího výpočtu oprav a též zmenšováním přírůstku neznámých
parametrů ve vektoru dh . Při chybném zadání počátečního řešení není konvergence úlohy k výsledku u nelineárních soustav obecně zaručena.
Výpočet charakteristik polohy zakončíme výpočtem vyrovnaných měřených
veličin L podle rovnice 3.17.
Závěr kapitoly bude věnován výpočtům charakteristik proměnlivosti, kterými
je potřeba doplnit hodnoty vyrovnávaných veličin.
Vzorec 3.29 slouží pro výpočet tzv. střední jednotkové chyby aposteriorní, kterou počítáme z oprav měřených veličin. Tato charakteristika slouží pro základní hodnocení prováděného vyrovnání a jsou z ní dále odvozovány další charakteristiky proměnlivosti.
m0.apost =
∑
n
i =1
pi vi v i
(3.29)
n−k
Na základě střední jednotkové chyby po vyrovnání můžeme definovat následující charakteristiky přesnosti:
• střední chybu mi.apost měřených veličin limer po vyrovnání
2
i . apost
m
=
m02.apost
(3.30)
pi
• kovarianční matici cov(L ) vyrovnaných měřených veličin L
cov(L ) = m02.apost Q L kde Q L = A N A
−1
T
(3.31)
• kovarianční matici cov(H ) vyrovnaných neznámých parametrů H
cov(H ) = m02.apost Q H kde Q H = N
- 22 (116) -
−1
(3.32)
Symbol Q H představuje matici váhových koeficientů vyrovnaných neznámých
parametrů a symbol Q L váhovou matici vyrovnaných měřených veličin.
Pokud byly měřené veličiny vstupující do vyrovnání korelované, pak vektoru
mer
mer
v nediagoměřených veličin l obecně náležela kovarianční matice cov l
nální podobě. Matice vah P musí být v tomto případě nahrazena maticí inverzní k maticí váhových koeficientů vektoru měřených veličin – rovnice 3.33.
( )
−1
( )
mer
P = Q l .mer kde
Q l .mer =
cov l
m02.aprior
(3.33)
Vyrovnaní zprostředkujících měření metodou nejmenších čtverců bude základní metodou používanou v rámci tohoto studijního materiálu k řešení problematiky geodetických sítí. Ve výše uvedených odstavcích je popsán matematický
aparát metody. Zbývající podkapitoly budou věnovány způsobům interpretace
výsledků vyrovnání a též metodám hodnocení provedeného vyrovnání.
Následující podkapitola bude věnovaná transformacím náhodných vektorů a
jim odpovídajících kovariančních matic.
3.3
Zákony hromadění středních chyb
V úvodu této kapitoly si připomeneme základní pojmy z matematické statistiky, mezi které patří náhodná veličina a náhodný vektor a odhady a vlastnosti
charakteristik polohy a proměnlivosti náhodné veličiny a náhodného vektoru.
Náhodný vektor a kovarianční a korelační matice náhodného vektoru
Kovarianční matici náhodného vektoru X = ( X 1 ,..., X k ) budeme označovat
cov( X ) - rovnice 3.34.
T
 c X 1,1 ... c X 1,k 


cov( X ) =  ... ... ... 
c X k ,1 ... c X k ,k 


(3.34)
Kovarianční matice náhodného vektoru je symetrická podle diagonály. Prvky
na diagonále c X i ,i se nazývají variance a můžeme je použít k výpočtu odhadů
středních chyb náhodných veličin X i . Prvky c X i , j mimo diagonálu matice se
nazývají kovariance a definují míru závislosti odpovídajících si veličin náhodného vektoru tj. veličin X i a X j . V případě, že jsou veličiny náhodného vektoru nezávislé, kovarianční matice je diagonální. Kovariance jsou tedy rovné
nule.
Závislost mezi náhodnými veličinami je velmi dobře patrná v tzv. korelační
matici cor ( X ) náhodného vektoru X - rovnice 3.35.
- 23 (116) -
 1
... ρ X 1,k 


...
... 
cor ( X ) =  ...
 ρ X k ,1 ...
1 

(3.35)
Korelační matice náhodného vektoru je stejně jako matice kovarianční symetrická podle diagonály. Jediný rozdíl je v prvcích na diagonále, které jsou rovny
jedné. Prvky ρ X i , j mimo diagonálu matice se nazývají korelační koeficienty a
v intervalu < −1,+1 > definují míru závislosti odpovídajících si veličin náhodného vektoru tj. veličin X i a X j . V případě vzájemné nezávislosti veličin ná-
hodného vektoru je korelační matice jednotková. Korelační koeficienty ρ X i , j
jsou tedy rovné nule.
Míru závislosti lze objektivně hodnotit například statistickými testy korelačního koeficientu.
Pro převod matice kovarianční na matici korelační lze použít vzorec 3.36.
ρ X i, j =
c X i, j
(3.36)
c X i ,i c X j , j
Transformace náhodného vektoru X na náhodnou veličinu L.
Tato úloha je zadána odhadem kovarinační matice cov( X ) náhodného vektoru
X a transformační rovnicí 3.38 náhodného vektoru X na náhodnou veličinu
L.
 c X 1,1 ... c X 1,k 
 X1 


X =  ...  , cov( X ) =  ... ... ... 
c X k ,1 ... c X k ,k 
 X k 


(3.37)
L1 = f ( X 1 ,..., X k )
(3.38)
[ ]
L = [L1 ] , cov( L) = cL1,1
(3.39)
Kovarianční matici cov(L ) náhodné veličiny L vypočteme pomocí rovnice
3.40.
 ∂f
∂f 
T
cov(L ) = F cov( X )F kde F = 
,...,

∂xk 
 ∂x1
(3.40)
Transformace náhodného vektoru X na náhodný vektor L.
Tato úloha je zadána odhadem kovarinační matice cov( X ) náhodného vektoru
X a transformačními rovnicemi 3.42 náhodného vektoru X na náhodný vektor L .
- 24 (116) -
 c X 1,1 ... c X 1,k 
 X1 




X =  ...  , cov( X ) =  ... ... ... 
c X k ,1 ... c X k ,k 
 X k 


(3.41)
L1 = f1 ( X 1 ,..., X k )
...
Ln = f n ( X 1 ,..., X k )
(3.42)
 cL1,1 ... cL1, n 
 L1 




L =  ...  , cov( L) =  ... ... ... 
cL n ,1 ... cL n, n 
 Ln 


(3.43)
Kovarianční matici cov(L ) náhodné veličiny L vypočteme pomocí rovnice
3.44.
 ∂f1
 ∂x
 1
T
cov(L ) = F cov( X )F kde F = 

 ∂f
 n
 ∂x1
∂f1 
∂xk 


∂f n 

∂xk 
(3.44)
Tématem další kapitoly jsou definice různých typů charakteristik přesnosti
polohy bodu. Informace o přesnosti souřadnice bodu apriorně nacházíme
v kovariančních maticích náhodných vektorů.
3.4
Charakteristiky přesnosti souřadnic bodu
Náhodný vektor X je tvořen náhodnými veličinami X P , YP a Z P . Tyto náhodné veličiny představují souřadnice určovaného bodů P.
X = [X P
ZP ]
T
YP
(3.45)
U jednotlivých veličin obecně předpokládáme, že mají normální rozdělení
s parametry ηi a σ i2 – rovnice 3.46 a že budou vzájemně závislé.
(
)
≈ N (η , σ )
≈ N (η , σ )
X P ≈ N η x ,σ x
YP
ZP
2
2
y
(3.46)
y
2
z
z
Náhodnému vektoru X tedy budeme moci přiřadit trojrozměrnou normální
rozdělovací funkci popsanou parametry jednotlivých náhodných veličin a parametry vyjadřující jejich vzájemnou závislost.
- 25 (116) -
Odhady parametrů rozdělovacích funkcí náhodných vektorů se obecně zabývá
matematická statistika. Jednotlivé parametry získáváme na základě realizací x i
náhodného vektoru X .
Příkladem tří realizací náhodného vektoru X můžou být souřadnice bodu P
určené ze tří výpočetních kombinací – rovnice 3.47.
x1 = [xP ,1
x 2 = [xP , 2
x 3 = [xP ,3
yP ,1 z P ,1 ]
T
yP , 2 z P , 2 ]
T
yP ,3 z P ,3 ]
T
(3.47)
Symboly η x , η y a η z představují odhady parametrů η x , η y a η z náhodných
veličin X P , YP a Z P nebo též odhady jejích středních hodnot – E ( X P ) , E (YP )
a E (Z P ) . V geodézii hovoříme o odhadu nejpravděpodobnějších hodnot souřadnic bodu P.
Ve smyslu uvažovaného příkladu můžeme použít výpočetních vzorců 3.48, kde
n je počet realizací náhodného vektoru nebo počet určujících výpočetních
kombinací. Ve zmíněném příkladě volíme n=3.
1 n
∑ xi
n i =1
1 n
η y = E (YP ) = YP = ∑i =1 yi
n
1 n
η z = E (Z P ) = Z P = ∑i =1 zi
n
ηx = E(X P ) = X P =
2
2
(3.48)
2
Symboly σ x , σ y a σ z představují odhady parametrů σ x2 , σ y2 a σ z2 náhodných veličin X P , YP a Z P nebo též odhady hodnot jejich rozptylu – cP x , x ,
cP y , y a cP z , z . V geodézii hovoříme o odhadech čtverců středních empirických
chyb bodu P.
2
(
(
(
2
σ y = cP y , y = mP2 y
2
σ z = cP z , z = mP2 z
)
)
)
2
n
1
η x − xi
∑
i =1
n −1
2
n
1
=
η y − yi
∑
i =1
n −1
2
n
1
=
η z − zi
∑
i =1
n −1
σ x = cP x , x = mP2 x =
(3.49)
Vzájemnou závislost jednotlivých veličin náhodného vektoru můžeme odhadnout výpočetními vzorci 3.50. Půjde o výpočet tzv. kovariancí náhodných veličin.
cP z , x = cP x , z
cP z , y = cP y , z
(
(
(
)(
)(
)(
)
)
)
n
1
η x − xi η y − yi
∑
i =1
n −1
n
1
=
η x − xi η z − zi
∑
i =1
n −1
n
1
=
η z − zi η y − yi
∑
i =1
n −1
cP y , x = c P x , y =
- 26 (116) -
(3.50)
Normální rozdělovací funkci náhodného vektoru X můžeme maticově zapsat
pomocí tzv. vektoru středních hodnot E ( X ) a tzv. kovarianční matice cov( X )
náhodného vektoru X – rovnice 3.51.
Definice
V matematické statistice a pravděpodobnosti označujeme vektor středních hodnot symbolem E ( X )
V teorii chyb a vyrovnávacím počtu označujeme vektor středních hodnot
symbolem X . Ten je tedy identický s označováním náhodného vektoru.
U vyrovnání zprostředkujících měření získáme odhad vektorů středních hodnot
a kovariančních matic na základě výpočetních vzorců uvedených v předchozí
podkapitole – rovnice 3.17, 3.31 a 3.20, 3.32. Z vypočtených matic je nutné
separovat sub-vektor a sub-matici toho bodu, jehož charakteristiky polohy a
proměnlivosti budeme chtít určovat. Úplnou informaci o bodě P vyrovnávaného v geodetické síti představuje rovnice 3.51.
c P x , x
 E ( X P )



E ( X ) =  E (YP )  , cov( X ) = c P y , x
cP
 E (Z P ) 
 z,x
cP x, y
cP y, y
cP z, y
cP x,z 

cP y,z 
c P z , z 
(3.51)
Na základě kovarianční matice bodu lze vypočítat odhady středních chyb ve
směrech jednotlivých souřadnicových os – rovnice 3.52, 3.53 a 3.54.
mx = cx, x
(3.52)
my = c y, y
(3.53)
mz = c z , z
(3.54)
Charakteristika proměnlivosti horizontální složky bodu se obvykle graficky
prezentuje prostřednictvím odhadu tzv. střední elipsy chyb. Hlavní parametry
této elipsy lze vypočítat pomocí vztahů 3.55, 3.56 a 3.57. Jedná se o stanovení
hlavní a vedlejší poloosy elipsy chyb a úhlu jejího stočení vzhledem k souřadnicové soustavě – obrázek 3-2.
Při výpočtu úhlu 2σ uvažujte znaménka výrazů 2c x , y a c x , x − c y , y pro stanovení jeho hodnoty ve čtyřech kvadrantech tj. 2σ ∈ 0,2π . Aplikujte tedy stejný
postup jaký je v geodézii používaný pro výpočet směrníku.
- 27 (116) -
Obr. 3-2
2
mmax
=
2
min
m
=
tg2σ =
Střední elipsa chyb
cx,x + c y, y
2
cx ,x + c y , y
2
+
−
(c
− c y, y )
2
x,x
4
(c
− c y, y )
2
x,x
4
+ (c x , y )
2
(3.55)
+ (c x , y )
2
(3.56)
2c x , y
(3.57)
c x, x − c y , y
Výpočetní vzorec 3.58 poslouží k výpočtu přesnosti bodu v konkrétním směru
γ , který má opět charakter směrníku.
mγ = c x , x cos 2 γ + c y , y sin 2 γ + 2c x , y sin γ cos γ
(3.58)
Často používané charakteristiky proměnlivosti polohy bodu jsou tzv. střední
polohová chyba m p a střední souřadnicová chyba mxy . Vzájemný vztah těchto
charakteristik proměnlivosti je patrný z obrázku 3-3.
Obr. 3-3
Střední polohová a střední souřadnicová chyba
- 28 (116) -
m p = mx2 + m y2
mxy =
(3.59)
mx2 + m y2
(3.60)
2
Charakteristiky pro vyjádření přesnosti polohy bodu 3.52, 3.53, 3.59 a 3.60
nemusí být v případě bodů s protáhlými elipsami chyb příliš věrohodné. Výpočetní vzorce je tedy vhodné upravit na tvar 3.61 a 3.62.
2
2
m p.el = mmax
+ mmin
mxy.el =
(3.61)
2
2
mmax
+ mmin
2
(3.62)
Přesnost vertikální složky polohy bodu obvykle vyjadřujeme pomocí odhadu
střední chyby souřadnice Z – vztah 3.54.
Mezi úplné charakteristiky horizontální přesnosti polohy patří prvky kovarianční matice cP x , x , c P y , y a c P x , y , které můžeme použít k výpočtu parametrů
střední elipsy chyb – vztahy 3.55, 3.56 a 3.57.
Mezi neúplné charakteristiky přesnosti bodu zařazujeme střední chybu m x v
souřadnici X, střední chybu m y v souřadnici Y, střední polohovou chybu m p a
střední souřadnicovou chybu mxy .
Obrázek 3-4 je ukázkou grafické prezentace výsledku vyrovnání geodetické
sítě.
Obr. 3-4
Přesnost bodu měřické sítě
- 29 (116) -
Následující podkapitola bude věnována intervalům spolehlivosti a jejich použití při interpretaci výsledků vyrovnání geodetických sítí. Bude také řešena otázka věrohodnosti intervalů spolehlivosti při různě rozsáhlých měřených výběrových souborech.
3.5
Intervaly a křivky spolehlivosti
V této podkapitole si připomeneme pojmy interval a křivka spolehlivosti a součinitel konfidence.
Normální náhodná veličina X ≈ f ( x ) = N (η , σ 2 )
U náhodných veličin definuje tzv. intervaly spolehlivosti – rovnice 6.63.
I = η − tσ , η + tσ
(3.63)
Symboly η a σ 2 jsou parametry rozdělovací funkce náhodné veličiny X .
Volbou parametru t určíme velikost intervalu spolehlivosti a tím na sebe zároveň vezmeme riziko α , že realizace xi náhodného veličiny X nepadne do
námi definovaného intervalu.
Obr. 3-5
Rozdělovací funkce f(x)
Parametr t se nazývá koeficientem spolehlivosti nebo též koeficientem konfidence.
1−α =
+ tσ
∫ f (x )dx
(3.64)
− tσ
Obrázek 3-6 je ukázkou rizik α , že měřená veličina nepadne do intervalu spolehlivosti při různé volbě parametru t.
- 30 (116) -
Obr. 3-6
Volba intervalu spolehlivosti u 1D náhodné veličiny
Normální náhodný vektor X = ( X , Y ) ≈ f ( x, y )
T
U náhodného vektoru X tvořeného náhodnými veličinami X a Y definujeme
tzv. křivku spolehlivosti – rovnice 3.65.
I ∈Ω
(3.65)
Volbou t na sebe bereme riziko α , že realizace x i = ( xi , yi ) náhodného vektoru X nepadne do oblasti dané křivkou spolehlivosti.
T
Obr. 3-7
Rozdělovací funkce f(x,y)
Parametr t se stejně jako v předchozím případě nazývá koeficientem spolehlivosti nebo též koeficientem konfidence.
1 − α = ∫∫ f ( x, y )dxdy kde Ω uzavřená křivka
(3.66)
Ω
Obrázek 3-8 je ukázkou rizik, že realizace náhodného vektoru nepadne do prostoru Ω daného křivkou spolehlivosti při různé volbě parametru t.
Obr. 3-8
Volba intervalu spolehlivosti u 2D náhodného vektoru
- 31 (116) -
Věrohodnost intervalů spolehlivosti velmi úzce souvisí s rozsahem n výběrových souborů. Na základě malých souborů získáme velmi nekvalitní odhady
parametrů rozdělení. Chyby těchto parametrů se pak následně přímo přenáší i
na vlastní intervaly a křivky spolehlivosti.
Obecně se uvádí, že výběrový soubor by měl mít rozsah alespoň 20. U menších
souborů nemá v podstatě smysl charakteristiky proměnlivosti počítat.
Existují však i přístupy objektivní volby intervalů a křivek spolehlivosti i pro
malé výběrové soubory – obrázek 3-9.
Obr. 3-9)
Součinitel konfidence ti pro α = 0.05
Symbol i značí rozměr náhodného vektoru a symbol n rozsah výběrového souboru náhodného vektoru.
Například hodnotu parametru t1 můžeme vypočítat jako 100 (1 − α ) procentní
kvantil studentova rozdělení s n stupni volnosti.
Následující podkapitola je věnována statistickým testům používaným pro testování středních jednotkových chyb z vyrovnání.
3.6
Testování střední jednotkové chyby
Pro potřebu testování středních jednotkových chyb z vyrovnání lze principiálně
využít dvou typů statistických testů:
• testy parametrů rozdělení náhodné veličiny
• testy parametrů dvou výběrových souborů
Statistický test
Statistické testy slouží k ověřování hypotéz ohledně parametrů a tvarů rozdělení náhodných veličin nebo náhodných vektorů.
Statistický test T je formulován definicí tzv. nulové hypotézy H0, proti které
klademe alternativní hypotézu H – vztah 3.67.
T: H0 ↑ H
(3.67)
O zamítnutí nebo nezamítnutí hypotézy H0 rozhodujeme na základě tzv. testovacího kritéria R.
- 32 (116) -
Leží-li hodnota testovacího kriteria R v tzv. kritickém oboru testu Wi - rovnice
3.68, pak zamítáme nulovou hypotézu H0 a přijímáme alternativní hypotézu H
s rizikem omylu maximálně 100 α procent. Parametr α ∈ 0,1 .
R ∈ Wi
(3.68)
Neleží-li hodnota testovacího kritéria R v kritickém oboru testu Wi – rovnice
3.69, pak nulovou hypotézu nezamítáme. Nulovou hypotézu však ani nepřijmeme, protože nemáme žádnou informaci o chybě jejího mylného přijetí. Neznáme totiž tzv. sílu testu β . Parametr β ∈ 0,1
Závěr testu tedy je, že nulovou hypotézu H0 se nepodařilo zamítnout.
R ∉ Wi
(3.69)
Testování střední chyby σ výběrového souboru za předpokladu znalosti
střední hodnoty η tohoto výběrového souboru.
Definice
(
)
Buď ( X 1 ,..., X n ) náhodný výběr z rozdělení X ≈ N η ,σ 2 s neznámým
rozptylem σ 2 a známou střední hodnotou η = η 0 . Buď σ 0 , η 0 a α jsou
2
předem daná čísla, kde α ∈ (0,1) .
Potom pro statistické testy
T1 : hypotézy H 0 : σ 2 ≤ σ 02 proti hypotéze H : σ 2 > σ 02 ;
(3.70)
T2 : hypotézy H 0 : σ 2 ≥ σ 02 proti hypotéze H : σ 2 < σ 02 ;
(3.71)
T3 : hypotézy H 0 : σ 2 = σ 02 proti hypotéze H : σ 2 ≠ σ 02 ;
(3.72)
lze za testovací kritérium volit stejnou statistiku
R=
nS 02
(3.73)
σ 02
kde
∑ (η
=
n
S
2
0
i =1
− xi )
2
0
n
tj. odhad σ 2 náhodné veličiny X
(3.74)
Zvolená statistika 3.73 má za podmínky σ 2 = σ 02 rozdělení χ 2 (n ).
Za kritické obory W j pro testy T j na hladině významnosti α lze postupně volit množiny
{
}
= {r , r < χ (n,α )}
W1 = r , r > χ 2 (n,1 − α )
W2
(3.75)
(3.76)
2

α 
 α

W3 = r , r < χ 2  n,  ∨ r > χ 2  n,1 − 
2 
 2


(3.77)
- 33 (116) -
( )
Symbolem χ 2 n* označujeme tzv. chí-rozdělení s n* stupni volnosti. Pro
uvažovaný test symbol n* též odpovídá rozsahu výběrového souboru n .
Symbol χ 2 n* ,α je tzv. 100 α procentní kvantit chí-kvadrát rozdělení s n*
stupni volnosti.
(
)
Testování střední chyby σ výběrového souboru za předpokladu, že neznáme střední hodnotu η tohoto výběrového souboru.
Definice
(
)
Buď ( X 1 ,..., X n ) náhodný výběr z rozdělení X ≈ N η ,σ 2 s neznámou
střední hodnotou η a s neznámým rozptylem σ 2 . Buď σ 0 a α jsou
předem daná čísla, kde α ∈ (0,1) .
2
Potom pro statistické testy
T1 : hypotézy H 0 : σ 2 ≤ σ 02 proti hypotéze H : σ 2 > σ 02 ;
(3.78)
T2 : hypotézy H 0 : σ 2 ≥ σ 02 proti hypotéze H : σ 2 < σ 02 ;
(3.79)
T3 : hypotézy H 0 : σ 2 = σ 02 proti hypotéze H : σ 2 ≠ σ 02 ;
(3.80)
lze za testovací kritérium volit stejnou statistiku
R=
(n − 1)S 2
(3.81)
σ 02
kde
∑ (η − x )
=
n
S
2
2
i
i =1
n −1
tj. odhad σ 2 náhodné veličiny X
(3.82)
a
∑
η=
n
i =1 i
x
n
tj. odhad η náhodné veličiny X
(3.83)
Zvolená statistika 3.81 má za podmínky σ 2 = σ 02 rozdělení χ 2 (n − 1).
Za kritické obory W j pro testy T j na hladině významnosti α lze postupně volit množiny
{
}
= {r , r < χ (n − 1, α )}
W1 = r , r > χ 2 (n − 1,1 − α )
W2
2

α
α 


W3 = r , r < χ 2  n − 1,  ∨ r > χ 2  n − 1,1 − 
2
2 



- 34 (116) -
(3.84)
(3.85)
(3.86)
V uvažovaném testu počet stupňů volnosti vypočteme podle vzorce n* = n − 1 .
Pro oba typy testů jsou podstatné kvantily chí-kvadrát rozdělení. Hodnoty
kvantilů bývají obvykle tabelovány pro různé hodnoty α a různý počet stupňů
volnosti n* viz. obrázek 3-10 a 3-11.
(
)
Obr. 3-10
Kvantil χ 2 n* ,α chí-kvadrát rozdělení
Obr. 3-11
Kvantil χ 2 n* ,1 − α chí-kvadrát rozdělení
(
)
Testování rovnosti středních chyb dvou výběrových souborů za předpokladu neznalosti středních hodnot těchto souborů.
Definice
(
)
(
)
(
)
Buď X 1 ,..., X n x náhodný výběr z rozdělení X ≈ N η x ,σ x2 s neznámou
střední hodnotou η x a s neznámým rozptylem σ x2 .
(
Buď Y1 ,..., Yn y
) náhodný výběr z rozdělení
Y ≈ N η y , σ y2
střední hodnotou η y a s neznámým rozptylem σ y2 .
- 35 (116) -
s neznámou
Buď α je předem dané číslo, kde α ∈ (0,1) a σ x > σ y .
Potom pro statistický test
T1 : hypotézy H 0 : σ x2 = σ y2 proti hypotéze H : σ x2 ≠ σ y2
(3.87)
lze za testovací kritérium volit statistiku
F=
S x2
S y2
(3.88)
kde
∑ (η
=
nx
S
2
x
i =1
− xi )
2
x
nx − 1
, S y2 = ∑i=1 (η y − yi )
ny
2
(3.89)
ny − 1
tj. odhad rozptylů σ x2 a σ y2 náhodných veličin X a Y
a
ηx =
∑
nx
i =1 i
x
n
, η y = ∑i =1
ny
yi
(3.90)
n
tj. odhad střední hodnoty η x a η y náhodného vektoru X a Y
Zvolená statistika 3.88 má rozdělení Fišer-Snedecorovo s n x − 1 a n y − 1
stupni volnosti – F( n x − 1 , n y − 1 ).
Za kritický obor W1 pro test T1 na hladině významnosti α lze zvolit
množinu

 α

W1 = r , r > F 1 − , nx − 1, n y − 1
2



(3.91)
Pro uvedený statisticky test jsou podstatné kvantity Fišer-Snedecorova rozdělení. Hodnoty kvantilů bývají obvykle tabelovány pro různé hodnoty α a různý počet stupňů volnosti n*x a n*y – obrázek 3-12.
V uvažovaném testu počet stupňů volnosti u náhodné veličiny X a Y vypočteme
podle vzorce n*x = nx − 1 a n*y = n y − 1 .
Obr. 3-12
(
)
Kvantil F 1 − α , nx , n y pro
*
- 36 (116) -
*
α = 0.05
Odhady S 2 , S 02 , S x2 a S y2 v případě vyrovnání zprostředkujícího vypočteme na
základě výpočetních vzorců pro odhad střední jednotkové chyby po vyrovnání
m02.apost . V testech o parametrech rozdělení testujeme například hypotézu H 0 :
m0.apost = m0.apri proti hypotéze H : m0.apost ≠ m0.apri . Počet stupňů volnosti n*
zde bude odpovídat počtu nadbytečných měření n − k .
Test o porovnání dvou středních jednotkových chyb po vyrovnání bude aplikován na střední jednotkové chyby vypočtené zvlášť pro různé typy měřených
veličin.
Předposlední kapitola bude věnována testování odlehlých hodnot a grafickému
způsobu presentace reziduí vi z vyrovnání.
3.7
Testování odlehlých hodnot
Tato podkapitola se bude zabývat zpracováním vektoru oprav v1 získaného
zprostředkujícím vyrovnáním.
Buď V je n-rozměrný náhodný vektor – rovnice 3.92.
V1 
V =  ... 
Vn 
(3.92)
Jednotlivé náhodné veličiny Vi budou mít normální rozdělení s parametry η i a
σ i2 - rovnice 3.93 a budou vzájemně nezávislé.
(
Vi ≈ f i (vi ) = N ηi ,σ i2
)
(3.93)
Náhodný vektor V popíšeme vektorem středních hodnot E (V ) a kovarianční
maticí cov(V ) – vztah 3.94.
σ 12 0 0  cV 1,1 0
0 
η 1   0 
 


   
0 
E (V ) =  ...  = ... , cov(V ) =  0 ... 0  =  0 ...
 0 0 σ 2n   0
η n   0 
0 cV n , n 
 

(3.94)
2
Odhad rozptylu σ i náhodné veličiny Vi získáme z výsledků vyrovnání – kovarianční funkce vyrovnaných měřených veličin 3.31.
Vektor v1 bude představovat jednu realizaci náhodného vektoru V – rovnice
3.95.
 v1 
v1 =  ... 
vn 
(3.95)
- 37 (116) -
Pro účely analýzy vektoru oprav v1 provedeme transformaci náhodné vektoru
V na náhodný vektor V norm – rovnice 3.96 tak, aby jednotlivé náhodné veličiny Vi.norm měli normální normované rozdělení – rovnice 3.97.
V norm
V1, norm 


=  ... 
Vn , norm 
(3.96)
Vi , norm ≈ f i , norm (vi , norm ) = N (0,1)
(3.97)
Náhodný vektor V norm jednoznačné popíší vztahy 3.98.
0
1 0 0 
E (V norm ) = ... , cov(V norm ) = 0 ... 0
 0 
0 0 1
(3.98)
Vektor v1, norm představuje normovanou realizaci náhodného vektoru V .
v1, norm
 v1, norm 


=  ... 
vn, norm 
(3.99)
Jednotlivé prvky vi , norm vypočteme podle vztahu 3.100.
vi , norm =
vi
(3.100)
σi
Obr. 3-13
Teoretická a empirická rozdělovací funkce
Vektor v1, norm můžeme považovat jako vektor n realizací náhodné veličiny
s rozdělením N (0,1) . Tyto realizace nyní použijeme ke konstrukci empirické
rozdělovací funkce, kterou budeme konfrontovat s funkcí teoretickou, danou
rozdělením N (0,1) – obrázek 3.13.
- 38 (116) -
Asymetrie empirické rozdělovací funkce může být náznakem působení systematických chyb. Hodnoty překračující definované intervaly spolehlivosti pak
můžeme interpretovat jako odlehlé hodnoty ve vyrovnání.
Pro objektivní posouzení odlehlých hodnot můžeme použít statistické testy o
extrémně se odchylujících měření od průměru.
Rozlišujeme dva typy testů:
• McKay test – při známé střední hodnotě η
• Grubbsův test – při neznáme střední hodnotě η
Závěrečná podkapitola bude věnována praktickému zopakovaní probrané látky.
3.8
Shrnutí
Toto kapitola byla věnována vybraným tématickým pasážím teoretických
předmětů, na které problematika řešení geodetických sítí přímo navazuje. Připomněli jsme si vybrané kapitoly z oblasti teorie chyb, vyrovnávacího počtu,
pravděpodobnosti a matematické statistiky. Nyní máme připravený matematický aparát, který budeme následně aplikovat při řešení látky probírané v rámci
tohoto studijního materiálu.
Příklad 3-1
Řešte systém l = f ( x ) jedné nelineární rovnice o jedné neznámé postupem
popsaným v podkapitole 3.1. Úlohu řešte iteračním způsobem. Při výpočtu
vyjděte z dvou nulových řešení x0 = −4 a x0 = +4 .
12 = x 2 + 4 x
Příklad 3-2
Linearizujte funkční vztah l = f ( x, y, z ) = ax 2 + bxy + cz kde a, b a c jsou
konstanty. Vektor přibližného řešení je h0 = ( x0 , y0 , z 0 ) = (1,2,3)T .
T
Příklad 3-3
Linearizujte funkční vztah l = f (a, b, c ) = ax 2 + bxy + cz kde x, y a z jsou
konstanty. Vektor přibližného řešení je h0 = (a0 , b0 , c0 ) = (1,2,3)T .
T
Příklad 3-4
Sestavte původní a přetvořené rovnice oprav úlohy zprostředkujícího vyrovnání.
Zprostředkující
rovnice
má
v obecné
podobě
tvar
Li = f i ( A, B ) = Axi + B , kde xi je konstanta. Vektor přibližného řešení je
h0 = (a0 , b0 ) = (1,2)T .
T
- 39 (116) -
p1 = 1
3.1 + v1 = 1A + B
,
3 .9 + v 2 = 2 A + B p 2 = 1 ,
5 .2 + v 3 = 3 A + B p 3 = 1
∑
3
i =1
pi vi vi = min
Příklad 3-5
Vypočtěte střední chybu aritmetického průměru čtyř měřených veličin li
s přesností ml i . Jednotlivé veličiny jsou vzájemně nezávislé.
ml 1 = 0.01m
l2 = 150.38m , ml 2 = 0.01m
l3 = 150.35m ml 3 = 0.01m
l4 = 150.40m ml 4 = 0.01m
l1 = 150.41m
Pozn.: Použijte zákon hromadění chyb v maticové podobě.
Příklad 3-6
Proveďte transformaci kovarianční matice cov( X P ) bodu P[YP,XP].
1.13246E - 04 - 6.60065E - 05
 Y   581002.089 9m 
, cov( X P ) = 
XP = P =


- 6.60065E - 05 1.83184E - 04 
 X P  1151284.34 65m 
Požijte transformačních vztahů yP = fY (YP , X P ) a xP = f X (YP , X P ) .
y P = + cos(ε )(Yp − 581002.0899) + sin (ε )( X P − 1151284.3465)
xP = − sin (ε )(Yp − 581002.0899) + cos(ε )(X P − 1151284.3465)
kde ε = -165.5078g
Pozn.: Opět použijte zákon hromadění chyb v maticové podobě.
Příklad 3-7
Vypočtěte všechny v podkapitole 3.4 definované charakteristiky přesnosti
bodu P. Je zadaná matice váhových koeficientů Q X P a střední jednotková
chyba m0 = 2.002101.
2.8252E - 05 - 1.6467E - 05 
 Y   581002.0899m 
, Q X P = 
XP = P =


- 1.6467E - 05 4.5700E - 05 
 X P  1151284.3465m 
Příklad 3-8
Určete interval spolehlivosti náhodné veličiny L1 , jejíž charakteristiky byly
odhadnuty z výběrového souboru o rozsahu n=30.
Náhodná veličina je popsána vektorem středních hodnot a kovarianční maticí.
[ ] [ ]
E (L1 ) = [E (L1 )] = [100.00] a cov(L1 ) = c L1,1 = 0.12
Pozn.: Součinitel t volte tak, aby riziko α , že výsledek nepadne do definovaného intervalu spolehlivosti, bylo maximálně 5 procent.
- 40 (116) -
Příklad 3-9
Určete interval spolehlivosti náhodné veličiny L1 , jejíž charakteristiky byly
odhadnuty z výběrového souboru o rozsahu n=5.
Náhodná veličina je popsána vektorem středních hodnot a kovarianční maticí.
[ ] [ ]
E (L1 ) = [E (L1 )] = [100.00] a cov(L1 ) = c L1,1 = 0.12
Pozn.: Součinitel t volte tak, aby riziko α , že výsledek nepadne do definovaného intervalu spolehlivosti, bylo maximálně 5 procent.
Pozn. Uvažte nespolehlivost odhadu střední hodnoty a rozptylu při malém
výběrovém souboru.
Příklad 3-10
Na hladině významnosti α = 0.05 ověřte statistickou hypotézu podle rovnice
3.80. Parametry η a σ 2 byly odhadnuty na základě deseti realizací náhodné veličiny X .
A) σ 0 = m0.apri = 1 , σ = m0.apost = S = 0.6095 η = 0 , n = 10 , k = 1
B) σ 0 = m0.apri = 1 , σ = m0.apost = S = 1.0254 η = 0 , n = 10 , k = 1
Příklad 3-11
Na hladině vý znamnosti α = 0.10 ověřte statistickou hypotézu podle rovnice 3.87. Parametry η x , η y , σ x2 a σ y2 byly odhadnuty na základě deseti realizací náhodných veličin X a Y .
A) σ x = S x = mψ 0.apost = 1.7969 ,
B) σ x = S x = mψ 0.apost
nx = 10 , k x = 1 , σ y = S y = mxy 0.apost = 0.6767 , n y = 10 , k y = 1
= 1.0366 nx = 10 , k x = 1 , σ y = S y = mxy 0.apost = 1.0209
, n y = 10 ,
ky = 1
Příklad 3-12
Normujte vektor reziduí a nakreslete teoretickou a empirickou rozdělovací
funkci - vyjděte z podkapitoly 3.7.
2.0 2
- 3.0
0

 5.9 
2
 0 1.9


 0
 1.4 
0


 ,
v1 =  2.6  cov(V ) =  0
0
 0
- 8.5
0



0
 0
 0.7 
 0
 1.0 
0



0
0
2.0 2
0
0
0
0
0
0
0
3.12
0
0
0
0
0
0
0
2.2 2
0
0
Řešení
Řešení příkladu 3.1
- 41 (116) -
0
0
0
0
0
2.2 2
0
0 

0 
0 

0 
0 

0 
3.6 2 
A. Linearizace funkčního vztahu
(
)
12 = x02 + 4 x0 + (2 x0 + 4)dx
B. Řešení úlohy při x0 = −4
První iterace
x0 = −4 , 12 = 0 − 4dx , dx = −3 , x = x0 + dx = −4 − 3 = −7
Druhá iterace
x0 = −7 , 12 = 21 − 10dx , dx = +0.9 , x = x0 + dx = −7 + 0.9 = −6.1
Třetí iterace
x0 = −6.1 , 12 = 12.81 − 8.2dx , dx = +0.1 , x = x0 + dx = −6.1 + 0.1 = −6.0
Čtvrtá iterace
x0 = −6.0 , 12 = 12 − 8dx , dx = +0.0 , x = x0 + dx = −6.0 + 0.0 = −6.0
C. Řešení úlohy při x0 = +4
Iterace 1
x0 = +4.0 , 12 = 32 + 12dx , dx = −1.7 , x = x0 + dx = +4.0 − 1.7 = +2.3
Iterace 2
x0 = +2.3 , 12 = 14.49 + 8.6dx , dx = −0.3 , x = x0 + dx = +2.3 − 0.3 = +2.0
Iterace 3
x0 = +2.0 , 12 = 12 + 8dx , dx = −0.0 , x = x0 + dx = +2.0 − 0.0 = +2.0
Pozn.: Nulové přírůstky neznámých jsou základní informací o nalezení řešení systému.
Pozn.: Nelineární systémy mohou mít obecně více řešení.
Pozn.: Popsaným postupem nalezeme vždy pouze jedno řešení.
Pozn.: Při velmi nepřesném přibližném řešení, konvergence úlohy
k výsledku není zaručena.
A. Obecný zápis linearizované funkce
l = f0 +
(
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
)
l = ax02 + bx0 y0 + cz0 + (2ax0 + by0 )dx + (bx0 )dy + (c )dz
B. Numerické vyčíslení linearizované funkce
l = (a + 2b + 3c ) + (2a + 2b )dx + bdy + cdz
- 42 (116) -
Pozn.: Linearizujeme-li funkci, která je nelineární, pak jednotlivé parciální
derivace jsou funkcí přibližného řešení úlohy.
A. Obecný zápis linearizované funkce
l = f0 +
(
∂f
∂f
∂f
da +
db +
dc
∂a
∂b
∂c
) ( )
l = a0 x 2 + b0 x y + c0 z + x 2 da + ( xy )db + ( z )dc
B. Numerické vyčíslení linearizované funkce
(
)
l = x 2 + 2 xy + 3 z + x 2 da + xydb + zdc
Pozn.: Linearizujeme-li funkci lineární, pak jednotlivé parciální derivace
jsou konstanty. Z toho vyplývá, že systém bude konvergovat k výsledku
v jednom iteračním kroku pro libovolné počáteční řešení úlohy.
A. Původní rovnice oprav
v1 = 1A + B − 3.1 p1 = 1
v2 = 2 A + B − 3.9 , p2 = 1 ,
v3 = 3 A + B − 5.2 p3 = 1
∑
3
i =1
pi vi vi = min
B. Přetvořená rovnice oprav v obecné podobě
Li = f i ( A, B ) = Axi + B
limer + vi = fi ( A0 + dA, B0 + dB ) = f i ,0 +
∂f i
∂f
dA + i dB
dB
∂B
(
vi = f i ( A0 + dA, B0 + dB ) − limer = xi da + 1db + f i , 0 − limer
)
C. Přetvořené rovnice oprav
v1 = 1dA + 1dB − 0.1 p1 = 1
v2 = 2dA + 1dB + 0.1 , p2 = 1 ,
v3 = 3dA + 1dB − 0.2 p3 = 1
∑
3
i =1
pi vi vi = min
D. Maticové sestavení úlohy
 v1  1 1
 − 0.1
1 0 0 
v  = 2 1  dA +  + 0.1 , P = 0 1 0 ,
 2 

 dB  


v3  3 1   − 0.2
0 0 1
∑
3
i =1
pi vi vi = min
Pozn.: Úloha je dále řešena maticově podle postupu uvedeného
v podkapitole 3.2.
- 43 (116) -
A. Zápis úlohy maticově
 L1 
L 
L =  2
 L3 
 
 L4 
0.012
 l1  150.41m 

l  150.36m 
 , cov(L ) =  0
E (L ) =  2  = 
 0
l3  150.45m 

  

l 4  150.40m 
 0
0
0.012
0
0
0
0
0.012
0
0 

0 
0 

0.012 
B. Formulace transformačního vztahu
X = f (L1 , L2 , L3 , L4 ) =
L1 + L2 + L3 + L4
4
C. Řešení úlohy
X = [X ]
E ( X ) = [E ( X )] = 150.405m
 ∂f
F=
 ∂l1
∂f
∂l2
∂f
∂l3
∂f   1
=
∂l4   4
1
4
1
4
1
4 
cov( X ) = [cx , x ] = F cov(L )F = [0.000025]
T
m x = c x , x = 0.005m
A. Zápis úlohy maticově
Y 
XP = P 
X P 
 E (YP )   581002.0899m 
E (X P ) = 
=

 E ( X P ) 1151284.3465m 
,
 1.13246E - 04 - 6.60065E - 05
cov( X P ) = 

- 6.60065E - 05 1.83184E - 04 
B. Formulace transformačních vztahů
y P = f Y (YP , X P ) = + cos(ε )(Yp − 581002.0899) + sin (ε )( X P − 1151284.3465)
x P = f X (YP , X P ) = − sin (ε )(Yp − 581002.0899) + cos(ε )(X P − 1151284.3465)
kde ε
= -165.5078g
C. Řešení úlohy
y 
xP =  P 
 xP 
 E ( y P ) 0.000m
E (x P ) = 
=

 E ( xP ) 0.000m
- 44 (116) -
 ∂fY

F =  ∂Y
∂f
 X
 ∂Y
∂fY
∂X
∂f X
∂X

  cos(ε ) sin (ε ) - 0.856780772 - 0.51568082 
=

=
 − sin (ε ) cos(ε )  0.51568082 - 0.856780772

c P y , y
cov(x P ) = 
cP x , y
cP y , x 
 7.35177E - 05 - 3.13112E - 10
T
= F cov( X )F = 


cP x , y 
- 3.13112E - 10 0.000222912 
m y = c y , y = 0.009m
mx = c x , x = 0.015m
mmax = 0.015m
mmix = 0.009m
σ = 0.0000 g
D. Grafická interpretace výsledků
A. Výpočet kovarianční matice
 1.13246E - 04 - 6.60065E - 05
cov( X P ) = 

- 6.60065E - 05 1.83184E - 04 
B. Výpočet parametrů elipsy chyb
mmax = 0.015m
mmin = 0.009m
σ = 165.51g
C. Výpočet ostatních charakteristik proměnlivosti
m p = 0.017m
m xy = 0.012m
- 45 (116) -
D. Grafický zákres elipsy chyb
A. Zápis úlohy
η = E (L1 ) = 100.00
σ = mL1 = c L1,1 = 0.1
α = 0.05 , n = 20
B. Interval spolehlivosti
t = 2 - obrázek 3-6
I = η − tσ ,η + tσ
I = 100.0 − 2σ ,100 + 2σ
I = 99.8,100.2
A. Zápis úlohy
η = E (L1 ) = 100.00
σ = mL1 = c L1,1 = 0.1
α = 0.05 , n = 5
B. Interval spolehlivosti
t = 2.57 - obrázek 3-9
I = η − tσ ,η + tσ
I = 100.0 − 2.57σ ,100 + 2.57σ
I = 99.743,100.287
- 46 (116) -
A. Formulace testu
T3 : hypotézy H 0 : σ 2 = σ 02 proti hypotéze H : σ 2 ≠ σ 02
R=
(n − k )S 2
σ 02

α
α 


W3 = r , r < χ 2  n − k ,  ∨ r > χ 2  n − k ,1 − 
2
2 



B. Zadání A
σ 0 = m0.apri = 1 , σ = m0.apost = S = 0.6095 , η = 0 , n = 10 , k = 1 , α = 0.05
R=
(10 − 1)0.60952
12
= 3.343
{
}
W3 = r , r < χ 2 (10 − 1,0.025) ∨ r > χ 2 (10 − 1,0.975)
W3 = (− ∞,2.700) ∪ (19.020,+∞ )
R ∉ W3
Závěr testu je tedy, že nulovou hypotézu H0 se nepodařilo zamítnout.
C. Zadání B
σ 0 = m0.apri = 1 , σ = m0.apost = S = 1.0254 , η = 0 , n = 10 , k = 1 , α = 0.05
R=
(10 − 1)1.0254 2
12
= 9.46
{
}
W3 = r , r < χ 2 (10 − 1,0.025) ∨ r > χ 2 (10 − 1,0.975)
W3 = (− ∞,2.700) ∪ (19.020,+∞ )
R ∉ W3
A. Formulace testu
T1 : hypotézy H 0 : σ x2 = σ y2 proti hypotéze H : σ x2 ≠ σ y2 kde σ x > σ y
F=
S x2
S y2

 α

W1 = r , r > F 1 − , nx − k x , n y − k y 
2



- 47 (116) -
B. Zadání A
σ x = S x = mψ 0.apost = 1.7969 , η x = 0 , nx = 10 , k x = 1
σ y = S y = mxy 0.apost = 0.6767 , η y = 0 , n y = 10 , k y = 1
F=
S x2
= 7.051
S y2
W1 = {r , r > F (1 − 0.05,10 − 1,10 − 1)}
W1 = (3.21,+∞ )
F ∈ W1
Zamítáme nulovou hypotézu H0 a přijímáme alternativní hypotézu H
s rizikem omylu maximálně 10%.
C. Zadání B
σ x = S x = mψ 0.apost = 1.0366 , η x = 0 , n x = 10 , k x = 1
σ y = S y = mxy 0.apost = 1.0209 , η y = 0 , n y = 10 , k y = 1
F=
S x2
= 1.0309
S y2
W1 = {r , r > F (1 − 0.05,10 − 1,10 − 1)}
W1 = (3.21,+∞ )
F ∉ W1
A. Formulace úlohy
2.02
0
- 3.0

 5.9 
2
 0 1.9


 0
 1.4 
0



v1 =  2.6  , cov(V ) =  0
0

- 8.5
0
0



0
 0
 0.7 
 0
 1.0 
0



- 48 (116) -
0
0
2.0
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
3.1
0
0
2
0
0
2.2
0
0
0
0
2.22
0
0
0
0
0 

0 
0 

0 
0 

0 
3.62 
B. Normování reziduí
v1, norm
 - 1.5 
1
 3.1 
0



 0.7 
0



=  0.8  , cov(V norm ) = 0
- 3.9
0



 0.3 
0
 0.3 
0



0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0

0
0

0
1
C. Grafická prezentace
Kontrolní otázky
Jak se obvykle řeší systém nelineárních rovnic v geodézii ?
Vysvětlete pojem chyba z linearizace funkce.
Jaký je rozdíl mezi původní a přetvořenou rovnicí oprav ?
Vyjmenujte charakteristiky proměnlivosti polohového bodu.
Formulujte zákon hromadění středních chyb maticově.
K čemu slouží testy statistických hypotéz ?
Co je to interval spolehlivosti ?
Řešení
- 49 (116) -
Informace
Správné pochopení látky procvičované v rámci této úvodní kapitoly je dobrým
východiskem pro další pokračování ve studiu tohoto učebního textu.
V kapitolách následujících se budeme věnovat úpravám naměřených veličin tj.
jejích přípravě na vyrovnání konkrétní geodetické sítě.
Nepůjde pouze o převod veličin na vhodnou výpočetní plochu, ale též o postupy vedoucí k objektivnímu zhodnocení přesnosti provedených měření.
- 50 (116) -
Vyrovnání osnov směrů
4
Mezi základní určující veličiny pro výpočty souřadnicové a řešení geodetických sítí všeobecně patří veličiny úhlové. Podle metody určení měříme úhly
(např. metoda repetiční) nebo směry (např. metoda měření osnov směrů
v řadách a skupinách).
Tato kapitola se zabývá metodami zpracování úplných a neúplných osnov směrů, které jsou výsledkem měření směrů v jednotlivých skupinách výše jmenované metody nebo výsledkem opakovaných měření na stanovisku.
Přibližné metody vyrovnání osnov směrů
4.1
Pod pojmem vyrovnání osnov měřených směrů si obecně představme hledání
pokud možno nejpravděpodobnějších hodnot směrů na jednotlivě zaměřované
body.
Mezi přibližné metody vyrovnání osnov směrů zařazujeme odpovídající zpracování naměřených veličin v zápisníku vodorovných měřených směrů obr. 4.1.
Princip metody spočívá ve spojení osnov jednotlivých skupin prostřednictvím
prvního zaměřovaného směru. Kvalita spojení dílčích osnov směrů je tedy velice závislá na směru výchozím. Hodnoty směrů na první bod mají po natočení
jednotlivých osnov směrů nulové hodnoty. Vyrovnané hodnoty všech směrů
v posledním kroku výpočtu získáme jako aritmetický průměr odpovídajících si
směrů v jednotlivých skupinách.
Osnovy směrů při této metodě tedy spojujeme na základě jednoduchých pravidel daných rovnicemi 4.1 a 4.2 kde symbol ϕ ij, mer zastupuje j-tý měřený směr
v i-té skupině, symbol Φ ij j-tý vyrovnaný směr v i-té skupině a Ψ j j-tý výsledný vyrovnaný směr.
Φ ij = ϕ ij, mer − ϕ1i , mer pro j = 1..n a i = 1..s
(
(4.1)
)
Ψ j = Φ1j + ... + Φ sj k pro j = 1..n
(4.2)
Symbol n je počet zaměřovaných směru v jedné osnově směrů. Symbol s je
počet osnov směrů měřených na jednom stanovisku.
Tato metoda vyrovnání osnov směrů minimalizuje opravy směrů jednotlivých
skupin od výsledného směru pouze pro směr výchozí. Opravy ostatních směrů
uváženy nejsou.
Vzorce 4.3 a 4.4 jsou ukázkou odhadu průměrné přesnosti měřených směrů ve
skupině a přesnosti směrů vyrovnaných, kde n je počet směrů a s je počet skupin.
mϕ
∑
=
n, s
j =1, i =1
(Ψ
j
− Φ ij
n(s − 1)
)
2
(4.3)
- 51 (116) -
mΨ =
mϕ
(4.4)
s
Následující úlohy vyrovnání již budou založeny na vyrovnaní pomocí MNČ a
budou minimalizovat opravy dílčích směrů od výsledných hodnot pro všechny
směry jednotlivých osnov směrů současně. Od těchto metod tedy očekáváme
věrohodnější odhady výsledných směrů a jejich charakteristik přesnosti.
4.2
Vyrovnání úplných osnov směrů
Máme-li určitý počet osnov směrů měřených na témže stanovisku, potom o
těchto osnovách prohlásíme, že jsou úplné pouze v případě, že obsahují směry
na téže body. V osnovách směrů nesmí žádný bod chybět ani přebývat. Příklady úplných osnov směrů jsou na obr. 4-1.
Φ ij = Ψ j + Oi
(4.5)
Definice
Vyrovnaný měřený j-tý směr v i-té skupině Φ ij je roven součtu j-tého
výsledného směru Ψ j a otočení i-té osnovy směrů o úhlovou hodnotu
Oi .
V následujících odstavcích provedeme formulaci úlohy vyrovnání úplných
osnov směrů. Vyjdeme z definice obecné observační rovnice 4.5. Pro zjednodušení budeme uvažovat tři osnovy směrů po čtyřech měřených směrech stejné
přesnosti.
Φ 1I = Ψ1 + O1 ,
Φ 1II = Ψ1 + O2 ,
Φ 1III = Ψ1 + O3
Φ 2I = Ψ2 + O1 ,
Φ 2II = Ψ2 + O2 ,
Φ 2III = Ψ2 + O3
Φ 3I = Ψ3 + O1 ,
Φ 3II = Ψ3 + O2 ,
Φ 3III = Ψ3 + O3
Φ 4I = Ψ4 + O1 ,
Φ 4II = Ψ4 + O2 ,
Φ 4III = Ψ4 + O3
(
(4.6)
)
Φ ij = ϕ ij, mer + vϕ j = fϕ j Ψ1 , Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , O1 , O2 , O3 pro j=1…4 a i=1..3
i
∑
4,3
j =1, i =1
i
i
i
i
pϕ j vϕ j vϕ j = min
(4.7)
Původní rovnice oprav 4.6 jsou popisem úlohy vyrovnání s 12 měřenými veličinami a 7 neznámými parametry, kde parametr Oi nám představuje možnost
natočení i-té osnovy směrů. Rovnice 4.7 představuje obecný zápis úlohy. Pokud bychom na takto sestavenou úlohu aplikovali MNČ, řešení by vedlo na
systém normálních rovnic s defektem jedna. O úloze tedy můžeme prohlásit, že
má nekonečně mnoho řešení a pro konkretizaci úlohy budeme muset doložit
- 52 (116) -
jednu okrajovou podmínku. V úloze musí například existovat jedna pevná osnova směrů, na kterou ostatní dvě prostřednictvím MNČ napasujeme – rovnice
4.8.
Oi = konst
Obr. 4-1
(4.8)
Zápisník měřených vodorovných směrů
Podmínku, konkretizující úlohu vyrovnání, můžeme aplikovat též na neznámý
parametr Ψ j podle rovnice 4.9.
Ψ j = konst
(4.9)
- 53 (116) -
Po uvážení okrajové podmínky 4.9 získáme jednoznačně řešitelnou úlohu s 12
měřenými veličinami a šesti neznámými parametry. Obecný zápis představují
rovnice 4.10.
(
)
Φ ij = ϕ ij, mer + vϕ j = fϕ j Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , O1 , O2 , O3 pro j=1…4 a i=1..3
i
i
i
mϕ j = konst pro j=1..4 a i=1..3
Ψ1 = 0.0000 g
∑
4,3
j =1, i =1
i
i
i
pϕ j vϕ j vϕ j = min
(4.10)
Obecná rovnice pro vyrovnání osnov směrů 4.5 je lineární. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku pro libovolné
počáteční řešení. U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečního
řešení podle rovnice 4.11.
h0 = [Ψ0, 2 , Ψ0,3 , Ψ0, 4 , O0,1 , O0, 2 , O0,3 ] = [Ψ0, 2 , Ψ0,3 , Ψ0, 4 ,0,0,0]
T
T
(4.11)
Vektor výsledného řešení pak udává rovnice 4.12.
H = h0 + dh
(4.12)
Rovnice 4.10 linearizujeme rozvojem v řadu podle nulového řešení 4.11. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 4.14.
i
i
(
f 0,ϕ j = fϕ j Ψ0, 2 , Ψ0,3 , Ψ0, 4 , O0,1 , O0, 2 , O0,3
)
(4.13)
ϕ1I , mer + vϕ1I = fϕ ij (Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , O1 , O2 , O3 ) = Ψ1 + O1 = f 0,ϕ1I + 1dΨ1 + 1dO1
ϕ2I , mer + vϕ 2I = fϕ 2I (Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , O1 , O2 , O3 ) = Ψ2 + O1 = f 0,ϕ 2I + 1dΨ2 + 1dO1
…
ϕ1II , mer + vϕ1II = fϕ 1II (Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , O1 , O2 , O3 ) = Ψ1 + O2 = f 0,ϕ 1II + 1dΨ1 + 1dO2
ϕ2II , mer + vϕ 2II = fϕ 2II (Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , O1 , O2 , O3 ) = Ψ2 + O2 = f 0,ϕ 2II + 1dΨ2 + 1dO2
…
ϕ1III , mer + vϕ1III = fϕ 1III (Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , O1 , O2 , O3 ) = Ψ1 + O3 = f 0,ϕ 1III + 1dΨ1 + 1dO3
ϕ2III , mer + vϕ 2III = fϕ 2III (Ψ2 , Ψ3 , Ψ4 , O1 , O2 , O3 ) = Ψ2 + O3 = f 0,ϕ 2III + 1dψ 2 + 1dO3
…
(4.14)
Maticový zápis přetvořených rovnic oprav 4.15 představuje finální sestavení
úlohy.
- 54 (116) -
v I 
 ϕ 1I  0
 vϕ 2  
 I  1
 vϕ 3  0
v I  
 ϕ 4  0
 vϕ II  0
 1II  
 vϕ 2  1
 II  = 
 vϕ 3  0
 v II  0
4 
 ϕIII

vϕ  0
 1III  1
vϕ 2  
 III  0
vϕ 3  0
v III  
 ϕ4 
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
 0 − ϕ1I , mer 
0

I , mer 
0

 Ψ0, 2 − ϕ 2
 Ψ0,3 − ϕ3I , mer 
0



0  dΨ2   Ψ0, 4 − ϕ 4I , mer 
0  dΨ3   0 − ϕ1II , mer 



0 dψ 4   Ψ0, 2 − ϕ 2II , mer 
+

0  dO1   Ψ0,3 − ϕ3II , mer 



0  dO2   Ψ0, 4 − ϕ 4II , mer 
 


1  dO3   0 − ϕ1III , mer 

Ψ0, 2 − ϕ 2III , mer 
1


III , mer 
1

 Ψ0,3 − ϕ3
III , mer 


1

Ψ0, 4 − ϕ 4
(4.15)
i
Zvolíme-li m0.apri = mϕ j = konst , pak matice vah P je jednotková – rovnice
4.16.
diag (P ) = (1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1)
(4.16)
Sestavenou úlohu vyrovnání řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání.
Výsledkem vyrovnání bude vektor vyrovnaných neznámých tj. vektor vyrovnaných směrů H a jemu odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L
bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. směry měřené v jednotlivých
skupinách, doplněné opět odpovídající kovarianční maticí cov(L ) .
Tato kapitola popisuje vyrovnání úplných osnov směrů užitím MNČ. Důraz je
kladen na sestavení vlastní úlohy vyrovnání v maticové podobě – rovnice 4.15
a 4.16 popsané na konkrétní úloze tří osnov směrů po čtyřech směrech. Další
výpočetní postupy jsou již rutinní aplikací maticových operací a nejsou tedy
ani uváděny.
4.3
Vyrovnání neúplných osnov směrů
Máme-li na jednom stanovisku zaměřený větší počet osnov směrů a směry, na
které jsme měření prováděli jsou různé, pak hovoříme o neúplných osnovách
směrů. Obecně tedy opakovaně zaměřujeme skupiny různých bodů. Základní
podmínkou pro vyrovnání takových osnov směrů je, aby existoval v každé
skupině alespoň jeden směr totožný se směrem jiné osnovy směrů.
Při sestavování úlohy vyrovnání neúplných osnov směrů postupujeme stejným
postupem jako při sestavovaní úlohy v předchozí podkapitole tj. pro každý
zaměřený směr v prvním kroku napíšeme zprostředkující rovnici.
- 55 (116) -
Příkladem neúplných osnov směrů může být upravený příklad z předchozí kapitoly – rovnice 4.17. Názorně je vidět, že v první skupině nebyl zaměřen
směr 4, v druhé směr 2 a 3 a v třetí směr 1 a 2.
Φ 1I = Ψ1 + O1 ,
Φ 1II = Ψ1 + O2 ,
Φ 3III = Ψ3 + O3
Φ 2I = Ψ2 + O1 ,
Φ 4II = Ψ4 + O2 ,
Φ 4III = Ψ4 + O3
Φ 3I = Ψ3 + O1
(4.17)
Obecný zápis úlohy vyrovnání je totožný z obecným zápisem úlohy z předchozí kapitoly tj. rovnice 4.10. Jediný rozdíl je ve skutečnosti, že máme k dispozici
jen 7 měření.
Pro úplnost rovnice 4.18 a 4.19 udává finální maticové sestavení uvažované
úlohy.
v I 
 ϕ 1I  0
 vϕ 2  1
 I 
 vϕ 3  0
 v II  = 0
 ϕ1  
 vϕ II  0
4
 
 III
vϕ 3  0
 III  0
vϕ 4 
 0 − ϕ1I , mer 
0 0 1 0 0
d
Ψ
 2 

0 0 1 0 0 
Ψ0, 2 − ϕ 2I , mer 


dΨ3 
 Ψ0,3 − ϕ3I , mer 
1 0 1 0 0 


d
Ψ


4
II , mer 
0 0 0 1 0 
 +  0 − ϕ1

dO1  
,
II
mer


0 1 0 1 0
Ψ0, 4 − ϕ 4

  dO2  
1 0 0 0 1 
  Ψ0,3 − ϕ3III , mer 
 dO3  
III , mer 
0 1 0 0 1 

Ψ0, 4 − ϕ 4
diag (P ) = (1 1 1 1 1 1 1)
(4.18)
(4.19)
Pokud řešíme úlohu vyrovnání osnov směrů aplikací MNČ není vůbec nutné
rozlišovat zda jde o úplné nebo neúplné osnovy směrů. Je potřeba pouze definovat pro každý měřený směr správný tvar zprostředkující rovnice, zvolit vhodnou okrajovou podmínku a řešit úlohu jen pro takové osnovy směrů, které
jsou vzájemně provázány alespoň jedním směrem.
4.4
Shrnutí
Spojování osnov směrů je velmi důležitý krok přípravy měřených dat pro
vlastní vyrovnání geodetických sítí. Výsledkem zpracovaní jsou vyrovnané
hodnoty směrů a jejich charakteristiky přesnosti. Především údaje o přesnosti
jednotlivým vyrovnaných směrů jsou objektivním hodnocením technologie
měření a při dostatečném počtu nadbytečných měření jsou více spolehlivé než
údaje odvozené z hodnot udávaných výrobci přístrojů. Ani nemluvě o snazší
identifikaci hrubých chyb a jejich vyloučení z měření již v této přípravné fázi
tj. před vlastním řešením geodetické sítě. Velkým přínosem je i redukce počtu
měřených veličin a počtu neznámých ze spojení dílčích osnov jednoznačně
vyplývajících.
Do vyrovnání geodetických sítí tedy vstoupí vyrovnané hodnoty osnov směrů
dané vektorem H – rovnice 4.12 a údaje o přesnosti jednotlivých směrů odvo-
- 56 (116) -
zených z kovarianční matice neznámých cov(H ) . Přesnost technologie měření
osnov směrů můžeme vypočítat např. jako aritmetický průměr přesností
jednotlivých vyrovnaných směrů podle vzorce 4.20.
mΨ = (mΨ ,1 + mΨ , 2 + mΨ ,3 + mΨ , 4 ) 4
(4.20)
Příklad 4-1
Užitím MNČ vyrovnejte osnovu směrů měřenou na stanovisku 2110. Směry
považujte za stejně přesné, zvolte mϕ = 12 cc a okrajovou podmínku
Ψ2030 = 0.0000 g .
II , mer
I ,mer
III ,mer
  0.0000 g  ϕ 2030
  0.0000 g  ϕ 2030
ϕ 2030
  0.0000 g 
 II ,mer  
 I ,mer  
 III ,mer  
g
g
g
ϕ 2080  = 263.4672  , ϕ 2080  = 263.4658  , ϕ 2080  = 263.4644 
II , mer 
III ,mer 
I ,mer 
 277.0321g  ϕ 4002
ϕ 4002
277.0312 g  ϕ 4002
 277.0291g 


 I ,mer  






II , mer
III ,mer
g
g
g
ϕ 2040  327.6220  ϕ 2040  327.6240  ϕ 2040  327.6242 
Příklad 4-2
Ψ2090 = 0.0000 g .
I ,mer
II , mer
III ,mer
  0.0000 g  ϕ 2090
  0.0000 g  ϕ 2090
ϕ 2090
  0.0000 g 
 I ,mer  
 II ,mer  
g 
g 
g
ϕ 2120  = 106.3248  , ϕ 2120  = 106.3270  , ϕ 2120  = 106.3212 
I ,mer 
II , mer 
III ,mer 
ϕ 2040
208.5646 g  ϕ 2040
208.5644 g  ϕ 2040
208.5608 g 

 I ,mer  







II , mer
III ,mer
g
g
g
ϕ 4002   268.2535  ϕ 4002   268.2541  ϕ 4002  268.2508 
Příklad 4-3
Ψ2120 = 0.0000 g .
II ,mer
I ,mer
III ,mer
  0.0000 g  ϕ 2120
ϕ 2120
  0.0000 g  ϕ 2120
  0.0000 g 
 II ,mer  
 I ,mer  
g 
g 
g 
ϕ 2130   53.7030  ϕ 2130   53.7030  ϕ 2130   53.7035 
II ,mer 
I ,mer 
III ,mer 
 97.9560 g  , ϕ 2030
ϕ 2030
 97.9537 g  , ϕ 2030
 97.9552 g 
=
=


 I ,mer  = 






II ,mer
g
III ,mer
g
g 
ϕ 2110  193.2584  ϕ 2110  193.2576  ϕ 2110  193.2599 
ϕ I ,mer  259.4705 g  ϕ II ,mer  259.4720 g  ϕ III ,mer  259.4724 g 
 
 4002
 
  4002
 

  4002
II ,mer
III ,mer
I ,mer
g
g
g
ϕ 4001  332.7984  ϕ 4001  332.8010  ϕ 4001  332.8015 
Příklad 4-4
Vypočtěte odhad přesnosti přibližného vyrovnání osnov směrů pro měření
na stanoviscích 2110, 4001 a 2040. Využijte výpočetních vztahů 4.3 a 4.4.
- 57 (116) -
Příklad 4-5
Vypočtěte odhad přesnosti vyrovnání osnov směrů užitím MNČ pro měření
na stanoviscích 2110, 4001 a 2040. Využijte výpočetních vztahů 4.3 a 4.4.
Pozn.: Výraz Ψ j − Φ ij ve vztahu 4.3 nahraďte odpovídajícími hodnotami
i
oprav měřených směrů vϕ j z vyrovnání.
Řešení
Řešení příkladu 4.1 - stanovisko 2110
A. Sestavení úlohy vyrovnání
m0.apri = 1.000000 , mϕ = 12 cc ,
Ψ2030 = 0.0000 g - okrajová podmínka úlohy
O0,1 = 0.0000 g , O0, 2 = 0.0000 g , O0,3 = 0.0000 g
Ψ0, 2080 = 263.0000 g , Ψ0, 4002 = 277.0000 g , Ψ0, 2040 = 327.0000 g
v I 
 ϕ 2030
 0
I
vϕ 2080  
 I  1
vϕ 4002  0
v I  
 ϕ 2040  0
vϕ II  0
 2030
 
II
vϕ 2080  1
 II  = 
vϕ 4002  0
v II  0
 ϕ 2040  
vϕ III  0
 2030
1
III 
vϕ 2080  
 III  0
vϕ 4002  0
v III  
 ϕ 2040 
0 0 1 0 0
- 0.0000g 


g
0 0 1 0 0
- 0.4672 
- 0.0312g 
1 0 1 0 0



0 1 1 0 0 dΨ2080  - 0.6220g 
0 0 0 1 0 dΨ4002  - 0.0000g 



0 0 0 1 0 dΨ2040  - 0.4658g 

+
1 0 0 1 0  dO1   - 0.0321g 



0 1 0 1 0  dO2  - 0.6240g 


0 0 0 0 1  dO3  - 0.0000g 

- 0.4644g 
0 0 0 0 1


g
1 0 0 0 1
 - 0.0291 
- 0.6242g 
0 1 0 0 1


B. Základní údaje o vyrovnání
n = 12 , k = 6 , n − k = 6 , m0.apost = 1.040555
- 58 (116) -
C. Vektor vyrovnaných měření, vektor středních chyb a vektor oprav
I
I
I
  0.0001g  mΦ 2030  9 cc  vϕ 2030   + 1cc 
Φ 2030
 I   cc   I  
 I  
g
cc 
Φ 2080  263.4659  mΦ 2080  9  vϕ 2080   − 13 
I
I
 9 cc  vϕ I   − 3cc 
 277.0309 g  mΦ 4002
Φ 4002
 
  cc   4002

 I  

I
I
g
cc 
m
Φ
327
.
6239
 2040  
  Φ 2040  9  vϕ 2040  + 15 
Φ II   0.0005 g  m II  9 cc  v II   + 5cc 
 
  cc  ,  ϕ 2030
 
 2030
 ,  Φ 2030

II
II
II
g
Φ 2080   263.4663  mΦ 2080  9  vϕ 2080   + 5cc 
Φ II  =  277.0313g  m II  = 9 cc   II  =  cc 
   vϕ 4002   − 8 
 4002  
  Φ 4002
II
II
g

Φ 2040  327.6239 
mΦ 2040  9 cc  vϕ II   − 1cc 
 
 III   cc   2040
 III  

g 
III
9
m
Φ
0
.
0006
−
− 6 cc 

v
2030
Φ
2030


 

 
ϕ 2030 


III
III
 9 cc  v III   + 8cc 
 263.4652 g  mΦ 2080
Φ 2080
 

 III  

 cc   ϕ 2080
III 
g
cc 
III
Φ
277
.
0302
m
 4002  
  Φ 4002  9  vϕ 4002   + 11 
Φ III  327.6228 g  m III  9 cc   III   − 14 cc 
  Φ 2040    vϕ 2040  
 2040  

D. Konstanty pro vyrovnání
[Ψ2030 ] = [0.0000 g ] , [mΨ 2030 ] = [0 cc ]
E. Vektor vyrovnaných neznámých a odhady jejich středních chyb
Ψ2080  263.4658 g  mΨ 2080  10 cc 
  cc 
m
Ψ  
g
 4002  277.0308   Ψ 4002  10 
Ψ2040  327.6234 g  , mΨ 2040  10 cc 
 =  cc 

=

g 
 O1   + 0.0001   mO 1   9 
 O2   + 0.0005 g   mO 2   9 cc 
 

 
 

 O3   − 0.0006 g   mO 3   9 cc 
m0.apri = 1.000000 , mϕ = 20 cc
O0,1 = 0.0000 g , O0, 2 = 0.0000 g , O0,3 = 0.0000 g
Ψ0, 2120 = 106.0000 g , Ψ0, 2040 = 208.0000 g , Ψ0, 4002 = 268.0000 g
- 59 (116) -
vϕ I  0
 2090
 
I
vϕ 2120  1
 v I  0
 ϕ 2040
 
I
vϕ 4002  0
 II  
vϕ 2090  0
vϕ II  1
 2120
=
II
vϕ 2040  0
v II  0
 ϕ 4002
 
III
vϕ 2090
 0
 III  1
vϕ 2120  
vϕ III  0
 2040
 
III
vϕ 4002  0
0 0 1 0 0
- 0.0000g 

g
0 0 1 0 0
- 0.3248 
- 0.5646g 
1 0 1 0 0



0 1 1 0 0 dΨ2120  - 0.2535g 
0 0 0 1 0 dΨ2040  - 0.0000g 



0 0 0 1 0 dΨ4002  - 0.3270g 
+

1 0 0 1 0  dO1  - 0.5644g 



0 1 0 1 0  dO2   - 0.2541g 


0 0 0 0 1  dO3  - 0.0000g 

- 0.3212g 
0 0 0 0 1


g
1 0 0 0 1
- 0.5608 
- 0.2508g 
0 1 0 0 1


n = 12 , k = 6 , n − k = 6 , m0.apost = 0.644474
I
I
I
 9cc  vϕ 2090   + 6 cc 
Φ 2090
  0.0006 g  mΦ 2090
 I   cc   I  
 I  
g
cc 
Φ 2120  106.3250  mΦ 2120  9  vϕ 2120   + 2 
I
I
Φ 2040
 208.5639 g  mΦ I  9cc  vϕ   − 7 cc 
 
  cc   2040
 2040
 I  
I
I
g
cc 
Φ 4002  268.2534  mΦ 4002  9  vϕ 4002   − 1 
Φ II   0.0013 g  m II  9cc  v II   + 13cc 
 
  cc  ,  ϕ 2090
 2090
 
 ,  Φ 2090

II
II
II
g
 − 14 cc 

Φ
106
.
3256
9
m
v


 2120  

 
Φ 2120
ϕ 2120
Φ II  =  208.5645 g  m II  = 9cc   II  =  cc 
   vϕ 2040   + 1 
 2040  
  Φ 2040
II
II
g
Φ 4002   268.2541  mΦ 4002  9cc  vϕ II   + 0 cc 
 
 III   cc   4002
 III  
g 
III
cc 
Φ
−
0
.
0019
2090

 
 mΦ 2090  9  vϕ 2090  − 19 
III
III
g
cc


cc
III
Φ 2120  106.3224  mΦ 2120  9 


v
 + 12 
 III   cc   ϕ 2120
 III  
g
cc
III
Φ 2040  208.5614  mΦ 2040  9  vϕ 2040   + 6 
  cc 

III
III
g
cc


Φ  268.2509 
III
 mΦ 4002  9  vϕ 4002
 4002  
  + 1 
[Ψ2090 ] = [0.0000 g ] , [mΨ 2090 ] = [0 cc ]
E. Vektor vyrovnaných neznámých a odhady jejích středních chyb
Ψ2120  106.3243 g  mΨ 2120  11cc 
  cc 
m
Ψ  
g
 2040  208.5633   Ψ 2040  11 
Ψ4002  268.2528 g  , mΨ 4002  11cc 
 =  cc 

=

g 
 O1   + 0.0006   mO 1   9 
 O2   + 0.0013 g   mO 2   9 cc 
 
  cc 
 

g
 O3   − 0.0019   mO 3   9 
Řešení příkladu 4.3 – stanovisko 2040
- 60 (116) -
m0.apri = 1.000000 , mϕ = 10 cc
O0,1 = 0.0000 g , O0, 2 = 0.0000 g , O0,3 = 0.0000 g
Ψ0, 2130 = 53.0000 g , Ψ0, 2030 = 97.0000 g , Ψ0, 2110 = 193.0000 g
Ψ0, 4002 = 259.0000 g , Ψ0, 4001 = 332.0000 g
Pozn.: Sestavení úlohy maticově je obdobné jako u příkladů 4.1 a 4.2.
n = 18 , k = 8 , n − k = 10 , m0.apost = 0.833267
I
I
I
 6 cc  vϕ 2120   − 8cc 
  − 0.0008 g  mΦ 2120
Φ 2120
 I   cc  v I  
 I  

g 

− 6 cc 
Φ 2130   53.7024  mΦ 2130  6   ϕ 2130

I
I
  97.9542 g  mΦ I  6 cc  vϕ 2030   + 5cc 
Φ 2030
 2030
  cc   I   cc 
 I  
I
g
Φ
193
.
2579
m
 2110  
  Φ 2110  6  vϕ 2110   − 5 
Φ I  259.4708 g  m I  6 cc  vϕ I   + 3cc 

  cc   4002
 
 4002
  Φ 4002


I
I
I
g
 Φ 4001  332.7995   mΦ 4001  6   vϕ 4001   + 11cc 


II
Φ II   0.0001g  m II  6 cc 
v
  + 1cc 
    ϕ 2120
 2120  
  Φ 2120


II
II
II

g
cc
vϕ 2130   + 3cc 
Φ 2130   53.7033  mΦ 2130  6 
 II   cc   II   cc 
 II  
g 
Φ 2030  =  97.9551  , mΦ 2030  = 6  , vϕ 2030  =  − 9 
II
II
 6 cc  vϕ II  + 12 cc 
 193.2588 g  mΦ 2110
Φ 2110


  cc   2110
 II  

II
g
II

  − 2 cc 
Φ
259
.
4718
6
m
v


Φ 4002
 4002  

 
ϕ 4002


 Φ II  332.8004 g   m II  6 cc   v II   − 5cc 
4001


Φ 4001
ϕ 4001
 III  
  III   cc 


g
cc
III 
Φ 2120   0.0006  mΦ 2120  6  vϕ 2120
+6 


Φ III   53.7038 g  m III  6 cc 
cc
III
vϕ 2130
  +3 
 Φ 2130


 2130






III
III
  97.9556 g  mΦ 2030  6 cc  v III   + 4 cc 
Φ 2030

 III   cc   ϕ 2030
 III  
g 

cc 
III
Φ 2110  193.2593  mΦ 2110  6  vϕ 2110   − 6 
III
III
 6 cc   III   − 1cc 
 259.4723 g  mΦ 4002
Φ 4002

  cc  vϕ 4002  
 III  

III
g
cc 
 Φ 4001  332.8009   mΦ 4001  6   vϕ III   − 6 
 4001 
[Ψ2120 ] = [0.0000 g ] , [mΨ 2120 ] = [0 cc ]
E. Vektor vyrovnaných neznámých a odhady jejich středních chyb
Ψ2130   53.7032 g  mΨ 2130  7 cc 
  cc 

 

g 
Ψ2030   97.9550  mΨ 2030  7 
Ψ2110  193.2586 g  mΨ 2110  7 cc 
  cc 

 

g ,
Ψ4002  = 259.4716  mΨ 4002  = 7 
 7 cc 
 Ψ  332.8003 g   m
Ψ 4001
  cc 

 4001  

g
 O1   − 0.0008   mO 1  6 
 O   + 0.0002 g   m  6 cc 
 2  
  O2   
 O3   + 0.0006 g   mO 3  6 cc 
- 61 (116) -
12cc   mϕ 
20 cc   mϕ 
10cc 
 mϕ 
=  cc  ,  
=  cc  ,  
=  cc 
m 
 Ψ  s tan = 2110  7  mΨ  s tan = 4001 12  mΨ  s tan = 2040  6 
11cc   mϕ 
11cc   mϕ 
8cc 
 mϕ 
=  cc  ,  
=  cc  ,  
=  cc 
m 
 Ψ  s tan = 2110  6  mΨ  s tan = 4001  7  mΨ  s tan = 2040 5 
Kontrolní otázky
Co je to úplná osnova směrů ?
Co je to neúplná osnova směrů ?
Jaké znáte přibližné a přesné metody vyrovnání osnov směrů ?
Řešení
Informace
Tato kapitola se věnuje základní metodě zpracovaní osnov směrů před vlastním
vstupem těchto veličin do vyrovnání geodetických sítí. Čtenář se též naučil
objektivně posoudit přesnost technologie měření osnov směrů tj. apriorní přesnosti metody. Správný odhad přesnosti technologie měření bude velmi důležitý
pro správnost řešení vlastní geodetické sítě v kombinaci s dalšími druhy měřených veličin.
Následující kapitola čtenáře seznámí s pojmem orientace osnovy směrů a jeho
významem pro řešení geodetických sítí.
- 62 (116) -
Orientace osnov směrů
5
Orientace osnov směrů nám umožňuje přímou konfrontaci naměřených úhlových veličin se stávajícím bodovým polem. V úloze vyrovnání začneme používat i souřadnice zaměřovaných bodů. Odhady charakteristik přesnosti orientované osnovy směrů v sobě nadále nebudou zahrnovat pouze přesnost technologie měření směrů tj. přesnost měření směrů a přesnost centrace jak tomu bylo
v případě vyrovnání osnov směrů, ale také kvalitu použitého bodového pole.
Tato kapitola se zabývá problematikou orientací osnov směrů. Budeme pracovat s pojmy předběžná orientace osnov směrů, přibližná orientace osnov směrů
a s pojmem orientační posun.
5.1
Předběžná orientace osnov směrů
Poloha nulového čtení na vodorovném kruhu měřícího přístroje je při měření
položena do obecného směru nebo do směru nastaveného měřičem. Zpracováním osnov směrů na jednom stanovisku jsme získali osnovy s nulovým čtením
vloženým do směru na první zaměřovaný bod. Výsledkem orientace osnovy
bude vložení nulového čtení do směru společného pro všechna stanoviska.
Tímto základním směrem bude rovnoběžka s osou X.
Orientaci osnovy měřených směru obecně provedeme jejím natočením, abychom četli nulové čtení na vodorovném kruhu právě v okamžiku po zacílení
stroje do kladného směru osy X.
Obr. 5-1
Osnova směrů měřena na stanovisku i
pro l = 1..n osnoZ obrázku 5-1 je zřejmé, že po orientaci osnovy směrů ψ imer
,l
pro l = 1..n . Orientované směry tedy odpovídají
va přejde v osnovu σ imer
,l
směrníkům k odpovídajícím bodům.
- 63 (116) -
Ψi ,l = fψ ,i ,l (Oi ) = arctg
yl − yi
− Oi
xl − xi
(5.1)
Definice
Vyrovnaný měřený směr Ψi ,l získáme jako rozdíl směrníku σ isour
vypoč,l
teného ze souřadnic daných bodů a orientačního posunu Oi společného
pro celou osnovu směrů.
Definice
Orientační posun Oi je směrník nulového směru tj. směrník nulového
čtení na vodorovném kruhu měřícího přístroje.
Vztah 5.1 je definicí základní observační rovnice, kterou využijeme k orientaci
osnovy směrů užitím MNČ. Výsledkem výpočtu bude odhad hodnoty orientačního posunu Oi jako jediného neznámého parametru při vyrovnání. Hodnotu
orientačního posunu dále použijeme k orientaci osnovy směrů podle následující
rovnice – 5.2.
mer
σ imer
, l = ψ i , l + Oi pro l = 1..n
(5.2)
Předběžná orientace osnovy směrů
Předběžně orientovaná osnova směrů je osnova směrů orientovaná na základě
známých souřadnic bodů. Pro nás to znamená, že osnova směrů musí být měřena na daném bodě a musí obsahovat alespoň jednu záměru na další známý
bod. Směry osnovy směrů na neznámé body do výpočtu parametru Oi vůbec
nevstoupí.
Pro zjednodušení budeme dále uvažovat osnovu směrů měřenou na daném
bodě o třech směrech na okolní body o známých souřadnicích a jedním směrem
na bod neznámý. Budeme též uvažovat, že jednotlivé směry osnovy směrů mají
stejnou přesnost.
Uvažovaná osnova o n = 4 směrech obsahuje pouze k = 3 použitelných směrů
pro výpočet orientačního posunu.
 y − yi 
 − Oi
Ψi ,1 = arctg  1
 x1 − xi 
 y − yi 
 − Oi
Ψi , 2 = arctg  2
 x2 − xi 
 y − yi 
 − Oi
Ψi ,3 = arctg  3
 x3 − xi 
- 64 (116) -
(5.3)
Ψi , j = ψ imer
, j + vψ i , j = fψ , i , j (Oi ) pro j=1..3
mψ i , j = konst pro j=1..3
∑
3
j =1
pψ i , j vψ i , j vψ i , j = min
(5.4)
Obecná rovnice pro vyrovnání osnov směrů 5.1 je lineární. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku pro libovolné
počátečním řešení. U uvažované úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečného
řešení podle rovnice 5.5.
h0 = [O0,1 ] = [0]
T
T
(5.5)
H = h0 + dh
(5.6)
f 0,ψ ,i , j = fψ ,i , j (O0,i )
(5.7)
 y1 − yi 
 − Oi = f 0,ψ , i ,1 − 1dOi
 x1 − xi 
 y − yi 
 − Oi = f 0,ψ ,i , 2 − 1dOi
+ vψ i , 2 = fψ , i , 2 (Oi ) = arctg  2
 x2 − xi 
 y − yi 
 − Oi = f 0,ψ ,i ,3 − 1dOi
+ vψ i ,3 = fψ ,i ,3 (Oi ) = arctg  3
 x3 − xi 

ψ imer
,1 + vψ i ,1 = fψ , i ,1 (Oi ) = arctg 
ψ imer
,2
ψ imer
,3
(5.8)
úlohy tj. úlohy soustavy tří rovnic o jedné neznámé.
mer

σ isour
 vi ,1  − 1
,1 − ψ i ,1
 sour
   
mer 
vi , 2  = − 1[dOi ] + σ i , 2 − ψ i , 2 
mer 
σ isour
vi ,3  − 1
 ,3 − ψ i ,3 
(5.9)
Zvolíme-li m0.apri = mψ i , j = konst , pak matice vah P bude jednotková – rovnice 5.10.
diag (P ) = (1 1 1)
(5.10)
Výsledkem bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vektor s odhadem
hodnoty orientačního posunu a jemu odpovídající kovarianční matice cov(H ) .
Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. směry na jednotlivé
body a matice cov(L ) bude kovarianční maticí vyrovnaných měřených veličin.
Řešení úlohy vede na známý vztah používaný pro orientace osnov směrů daný
rovnicí 5.11, kde k je počet směrů na body známé.
- 65 (116) -
Oi
=∑
mer
σ isour
, j −ψ i, j
k
j =1
(5.11)
k
osnovy směrů o n směVýpočetní vzorec pro určení orientovaných směrů σ imer
,l
rech dle rovnice 5.2 bude mít ve finální podobě tvar 5.12.
σ
mer
i ,l
=ψ
mer
i ,l
∑
+
k
j =1
mer
σ isour
, j −ψ i, j
pro l = 1..n
k
(5.12)
Aplikujeme-li na vztah 5.12 zákon hromadění středních chyb získáme výpočetní vzorec 5.13 pro vyjádření vzájemného vztahu mezi přesností směrů v
původní osnově směrů a v osnově směrů orientované.
mψ2
mσ = mψ +
k
2
2
(5.13)
Druhý člen vzorce 5.13 je za předpokladu bezchybného bodového pole teoretickým odhadem přesnosti orientačního posunu. Poněvadž každé bodové pole
má svoji kvalitu, je vhodnější převzít přesnost výpočtu orientačního posunu
spíše z výsledků vyrovnání úlohy. Odhad přesnosti orientovaného směru je
následně vyjádřen rovnicí 5.14, kde cH 1,1 je prvek kovarianční matice neznámých parametrů.
12
mσ2 = mψ2 + mO2 i kde mO i = c H 1,1
(5.14)
V této kapitole mluvíme o předběžné orientaci osnovy směrů. Pojem předběžně
znamená, že výpočtem upravená osnova směrů bude dále využita pro řešení
souřadnicových úloh nebo pro řešení geodetických sítí. Osnova směrů byla ve
své podstatě převedena na osnovu tzv. měřených směrníků. Při řešení geodetických sítí takovou osnovu obecně nebudeme dále otáčet. Jednotlivé směry dostanou pouze opravu z vyrovnání a získáme tak finální podobu osnovy směrů
tj. konečně orientovanou osnovu směrů.
5.2
Přibližná orientace osnov směrů
Přibližně orientovaná osnova směrů je osnova orientovaná na základě přibližných souřadnic bodů. Pro nás to znamená, že osnova směrů bude měřena na
neznámém bodě se záměrami na další neznámé i známé body. Do výpočtu tedy
vstoupí body se známými i přibližnými souřadnicemi.
Pro přibližnou orientaci osnovy směrů použijeme výpočetní aparát definovaný
v předchozí podkapitole. Vlastní řešení úlohy bude obsahovat nekorektní výpočet směrníku vyplývající z neznalosti přesných souřadnic stanoviska pozorování, na kterém je osnova směrů změřena. Chyba ve výpočtu směrníku se plnou mírou podepíše na hodnotě odhadovaného orientačního posunu. Obrázek
5-2 ilustruje situaci při záměře na jeden bod. Bod i * představuje přibližnou
polohu místa pozorovaní. Správná poloha stanoviska je označena symbolem i
- 66 (116) -
bez hvězdičky. Úhel β i je chyba směrníku σ i*,1 vypočteného z přibližných souřadnic stanoviska. Rovnice 5.15 udává vztah mezi orientačním posunem oi* pro
přibližnou orientaci osnovy směrů a orientačním posunem oi pro předběžnou
orientací osnovy směrů. Orientační posun oi* a oi je odvozen ze záměry na
bod 1.
oi = oi* + β1
Obr. 5-2
(5.15)
Přibližná orientace osnovy směrů
Odhad správné polohy stanoviska pozorovaní získáme až při řešení geodetické
sítě, při kterém budeme řešit i odhad úhlu β 1 tj. provedeme finální natočení
osnovy směrů.
k
sour
mer
∑
j =1σ i, j − ψ i , j
mer
ψ
=
+
ψ imer
pro l = 1..n
,l
i ,l
k
(5.16)
Při řešení úlohy orientace osnovy směrů na neznámém bodě využijeme jeho
přibližných souřadnic. Orientaci osnovy směrů tedy provedeme pouze přibližně
s chybou β jako průměrné hodnoty β j z měření na okolní body. Výsledkem
zpracování bude pouze osnova směrů velmi blízka osnově měřených směrníků.
U této osnovy budeme muset řešit její natočení i v procesu dalšího zpracování.
Měřené směry výsledné osnovy tedy budeme dále označovat symbolemψ i,mer
l .
5.3
Posouzení přesnosti souřadnic výchozích bodů
Výsledky vyrovnání úlohy užitím MNČ mohou posloužit pro objektivní posouzení apriorně volených přesností vstupních veličin. Tato kapitola se bude zabývat stanovováním přesností technologií měření na základě aposteriorních charakteristik přesnosti tj. charakteristik přesnosti vypočtených po vyrovnání.
- 67 (116) -
Dodržení níže popisovaných postupů bude o to důležitější, pokud budeme pracovat s veličinami získanými různými technologickými postupy.
Měřené veličiny získané různými observačními technikami nebo technologiemi
měření nazýváme různorodé. Každá skupina veličin je na vstupu do vyrovnání
popsána apriorní přesností vycházející z údajů udávanými výrobci přístrojů
nebo správněji z analýz rozptylů naměřených dat. Příkladem může být přesnost
měřené osnovy směrů ve třech skupinách vteřinovým přístrojem, kterou jsme
v minulé kapitole konfrontovali s odhady přesnosti vyrovnaných osnov směrů.
Výsledkem vyrovnání osnov směrů již nebyl pouze odhad přesnosti přístroje,
ale celé technologie měření. Odhady přesnosti získané úpravou dat před vyrovnáním při dostatečně velkém počtu nadbytečných měření jsou pak mnohem
kvalitnější pro další výpočetní proces než údaje udávané výrobci. K odhadu
apriorních přesností technologií měření můžou posloužit i výsledky následovně
provedeného vyrovnání měřených veličin tj. aposteriorní stanovení apriorních
přesností technologií měření. Věrohodnost odhadu i zde souvisí s dostatečným
počtem nadbytečných měření.
Přesnost výchozího bodového pole lze do úlohy vyrovnání zahrnout definováním observačních rovnic jednotlivých souřadnic bodů – rovnice 5.17 a 5.18.
Souřadnice bodů obvykle nezískáme přímým měřením. Často se tedy v tomto
kontextu hovoří o tzv. fiktivních měřených veličinách.
Yi fik = f y , i (Yi ) = Yi
(5.17)
X i fik = f x,i ( X i ) = X i
(5.18)
Definice
Souřadnici Y bodu i považujeme za fiktivní měřenou veličinu yimer , která
je rovna Y souřadnici bodu Yi jako parametru pro vyrovnání.
Definice
Souřadnici X bodu i považujeme za fiktivní měřenou veličinu ximer , která
je rovna X souřadnici bodu X i jako parametru pro vyrovnání.
Druhý typ veličiny, která vstoupí do úlohy vyrovnání je měřený směr osnovy
směrů. Observační rovnice měřeného směru podle vzorce 5.1 bude muset být
mírně upravena. Souřadnice bodů i a j jsou nyní parametry při vyrovnání.
Rovnice 5.1 tedy přejde na rovnici 5.19 o pěti neznámých parametrech.
Ψi = fψ ,i , j (Yi , X i, Y j , X j , Oi ) = arctg
- 68 (116) -
Y j − Yi
X j − Xi
− Oi
(5.19)
Definice
Vyrovnaný měřený směr Ψi, j je funkcí pěti parametrů tj. souřadnic bodu
stanoviska – Yi , X i , souřadnic bodu, na který byla realizována záměra –
Y j , X j a orientačního posunu Oi společného pro celou osnovu směrů.
Pro zjednodušení budeme dále uvažovat osnovu směrů měřenou na daném
bodě o třech směrech na tři okolní body o známých souřadnicích. Budeme též
uvažovat, že jednotlivé směry osnovy směrů mají stejnou přesnost. Konstantní
přesnost přiřadíme také všem fiktivně měřeným veličinám tj. observačním rovnicím souřadnic bodů.
Úloha vyrovnání bude v této konkrétní podobě obsahovat jedenáct observačních rovnic a devět neznámých parametrů.
Vzorce 5.20 představují observační rovnice stanoviska měření. Vztahy 5.21
jsou obecnou podobou observačních rovnic 5.20.
Yi fik = f y , i (Yi ) = Yi
(5.20)
X i fik = f x , i ( X i ) = X i
Yi fik = yimer + v y i = f y , i (Yi )
X i fik = ximer + vx i = f x , i ( X i )
m y ,i = mx ,i = A kde A=konst
(5.21)
Vzorce 5.22 představují observační rovnice bodů, na které bylo v osnově směrů měřeno a rovnice 5.23 je opět jejich obecnou podobou.
Y1 fik = f y ,1 (Y1 ) = Y1
X 1fik = f x ,1 ( X 1 ) = X 1
Y2 fik = f y , 2 (Y2 ) = Y2
X 2fik = f x , 2 ( X 2 ) = X 2
Y3 fik = f y ,3 (Y3 ) = Y3
(5.22)
X 3fik = f x ,3 ( X 3 ) = X 3
Y j fik = y mer
+ v y j = f y , j (Y j )
j
X jfik = x mer
+ vx j = f x , j (X j )
j
pro j=1..3
m y , j = mx , j = A pro j=1..3 kde A=konst
(5.23)
Popis úlohy vyrovnání uzavírají observační rovnice osnov směrů 5.24 v konkrétní a 5.25 v obecné podobě. Pro dosažení jednoznačnosti řešení systému je
přidána základní podmínka pro řešení úloh užitím MNČ – rovnice 5.26.
- 69 (116) -
 Y −Y 
Ψi ,1 = arctg  1 i  − Oi
 X1 − X i 
 Y −Y 
Ψi , 2 = arctg  2 i  − Oi
 X2 − Xi 
 Y −Y 
Ψi ,3 = arctg  3 i  − Oi
 X3 − Xi 
(5.24)
Ψi , j = ψ imer
, j + vψ i , j = fψ ,i , j (Yi , X i , Y j , X j , Oi ) pro j=1..3
mψ i , j = B pro j=1..3 kde B=konst
∑
(5.25)
p y j v y j v y j + ∑ j∈{i ,1, 2,3} px j vx j vx j + ∑ j =1 pψ i , j vψ i , j vψ i , j = min
3
j∈{i ,1, 2 , 3}
(5.26)
Obecné rovnice 5.21, 5.23 a 5.25 nejsou v některých parametrech lineární. O
řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit, že bude konvergovat k výsledku
v jenom výpočetním kroku – jedna iterace pouze při znalosti přibližného řešení v diferenciálních hodnotách blízkého řešení finálnímu. V uvažované úloze
vyrovnání zvolíme vektor počátečního řešení podle rovnice 5.27.
h0 = [Y0,i , X 0,i, Y0,1 , X 0,1 , Y0, 2 , X 0, 2 , Y0,3 , X 0,3 , O0,i ] =
T
[
= yimer , ximer , y1mer , x1mer , y2mer , x2mer , y3mer , x3mer ,0
]
T
(5.27)
H = h0 + dh
(5.28)
Rovnice 5.20, 5.22 a 5.24 linearizujeme rozvojem v řadu podle nulového řešení 5.27. Úpravou získáme linearizované zprostředkující rovnice 5.30, 5.31 a
5.32.
(
(
)
)
f 0, y ,i = f y ,i yimer , ximer , y1mer , x1mer , y2mer , x2mer , y3mer , x3mer ,0
f 0, x ,i = f x ,i yimer , ximer , y1mer , x1mer , y2mer , x2mer , y3mer , x3mer ,0
(
f 0,ψ ,i , j = fψ ,i , j yimer , ximer , y1mer , x1mer , y 2mer , x2mer , y3mer , x3mer ,0
(5.29)
)
yimer + v y ,i = f y ,i (Yi , X i, Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , Y3 , X 3 , Oi ) = f 0, y ,i + 1dYi
ximer + v x ,i = f x ,i (Yi , X i, Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , Y3 , X 3 , Oi ) = f 0, x ,i + 1dX i
y1mer + v y ,1 = f y ,1 (Yi , X i, Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , Y3 , X 3 , Oi ) = f 0, y ,1 + 1dY1
x1mer + vx ,i = f x ,1 (Yi , X i, Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , Y3 , X 3 , Oi ) = f 0, x ,1 + 1dX 1
y2mer + v y , 2 = f y , 2 (Yi , X i, Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , Y3 , X 3 , Oi ) = f 0, y , 2 + 1dY2
x2mer + vx , 2 = f x , 2 (Yi , X i, Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , Y3 , X 3 , Oi ) = f 0, x , 2 + 1dX 2
y3mer + v y ,3 = f y ,3 (Yi , X i, Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , Y3 , X 3 , Oi ) = f 0, y ,3 + 1dY3
x3mer + vx ,3 = f x ,3 (Yi , X i, Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , Y3 , X 3 , Oi ) = f 0, x ,3 + 1dX 3
- 70 (116) -
(5.30)
(5.31)
ψ imer
,1 + vψ i ,1 = fψ ,i ,1 (Yi , X i, Y1 , X 1 , Y2 , X 2 , Y3 , X 3 , Oi ) =
cosσ isour
sinσ isour
cosσ isour
,1
,1
,1
= f 0,ψ ,i ,1 −
ψ
mer
i,2
dyi +
sour
i ,1
sour
i ,1
dxi +
sour
i ,1
dy1 −
s
s
s
+ vψ i ,2 = fψ ,i ,2 (Yi , X i,Y1 , X1 ,Y2 , X 2 ,Y3 , X 3 , Oi ) =
sinσ isour
,1
dy1 − dOi
sisour
,1
(5.32)
cosσ isour
sinσ sour
cosσ sour
sinσ sour
,2
dyi + souri ,2 dxi + souri , 2 dy2 − souri ,2 dy2 − dOi
sour
si ,2
si ,2
si ,2
si ,2
mer
ψ i ,3 + vψ i ,3 = fψ ,i ,3 (Yi , X i,Y1 , X1 ,Y2 , X 2 ,Y3 , X 3 , Oi ) =
= f 0,ψ ,i ,2 −
= f 0,ψ ,i ,3 −
cosσ isour
sinσ isour
cosσ isour
sinσ isour
,3
,3
,3
,3
dy
dx
dy
dy3 − dOi
+
+
−
i
i
3
sour
sour
sour
sisour
s
s
s
i ,3
i ,3
i ,3
,3
Zvolíme-li m0.apri = 1 , pak matice vah P je diagonální – rovnice 5.33.
1
diag(P) =  2
A
1
A2
1
A2
1
A2
1
A2
1
A2
1
A2
1 1 1 1

A2 B2 B2 B2 
(5.33)
úlohy tj. úlohy soustavy jedenácti rovnic o devíti neznámých.
 vy,i   1
  
 vx,i   0
 vy,1   0
  
 vx,1   0
v   0
 y,2  
 vx,2  =  0
v   0
 y,3  
 vx,3   0
  a
vψ,i,1   i,1
vψ,i,2 ai,2
  
vψ,i,3 ai,3
kde ai , j = −
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
bi,1 ci,1 di,1 0
0
0
0
bi,2 0
0 ci,2 di,2 0
0
bi,3 0
0
0
0 ci,3 di,3
0
 0 

0  dYi   0 
0 dXi   0 
  

0  dY1   0 
 
0 dX1   0 



0 dY2  +  0 
 
0 dX2  0 



0 dY3   0 
 

−1dX3 σisour
−ψimer
,1 

 ,1
mer
−1dOi  σisour
,2 −ψi,2 

 sour mer
−1
σi,3 −ψi,3 
(5.34)
cos σ isour
sin σ isour
cos σ isour
sin σ isour
,j
,j
,j
,j
,
,
a
.
=
=
=
−
b
c
d
i, j
i, j
i, j
sour
sour
sour
sisour
s
s
s
,j
i, j
i, j
i, j
Výsledkem vyrovnání bude vektor vyrovnaných neznámých parametrů H tj.
vektor s odhadem hodnoty orientačního posunu a odhadem souřadnic bodů.
Vektor H bude doplněn o jemu odpovídající kovarianční maticí cov(H ) . Vektor L bude představovat vyrovnané měřené veličiny tj. směry na jednotlivé
body a souřadnice bodů jako měřené veličiny. Vektoru L opět přiřadíme kovarianční maticí, kterou označíme cov(L ) .
V dalším textu se již budeme zabývat problematikou správné volby vah pro
vyrovnání úlohy s různorodými veličinami. Získané zkušenosti na závěr aplikujeme na příklad matematicky popsaný v předchozích odstavcích tj. na úlohu,
- 71 (116) -
kde do vyrovnání vstupují dva druhy měřených veličin (osnova měřených směrů a fiktivní měřené souřadnice bodů bodového pole).
Pro zjednodušení budeme dále uvažovat pouze dva typy měřených veličin ri a
si. Každé měřené veličině náleží i odhad její přesnosti, který odpovídá přesnosti
technologie měření. Tyto přesnosti budeme nazývat apriorní. Skupině veličin
typu rj o rozsahu nr přiřadíme konstantní apriorní přesnost mr a skupině veličin
si o rozsahu ns přiřadíme konstantní apriorní přesnost ms.
ri , mr ,i = mr pro i=1.. n r
s j , ms , j = ms pro j=1.. ns
(5.35)
Apriorní střední jednotkovou chybu pro vyrovnaní volíme m0.apri = 1 . Počet
všech měřených veličin v úloze vyrovnání bude n – rovnice 5.36.
n = nr + ns
(5.36)
Střední jednotkovou chybu aposteriorní m0.apost vypočteme podle obecně známého vzorce 5.37, kde k je počet neznámých parametrů.
m0.apost =
∑ pvv
(5.37)
n−k
Výpočetní vzorec 5.37 upravíme uvážením vztahu 5.35 a získáme vztah 5.38.
m0.apost =
∑
nr
i =1
pr vr ,i vr ,i + ∑ nj s=1 ps vs , j vs , j
n−k
(5.38)
Dále definujeme výpočetní vztahy pro odhad střední jednotkové chyby po vyrovnání vypočtené z oprav měřených veličin ri a oprav měřených veličin sj.
m0.r .apost =
m0.s.apost =
∑
nr
i =1
∑
ns
j =1
pr vr ,i vr ,i
(n − k ) nr
n
(5.39)
ps vs, j vs, j
(n − k ) ns
n
(5.40)
Pro úlohu vyrovnání můžeme vypočítat odhady všech výše jmenovaných charakteristik přesnosti.
V dalším textu budeme obecně předpokládat, že skupiny veličin ri a sj jsou
dostatečně rozsáhlé statistické soubory a odhady výše jmenovaných charakteristik přesnosti jsou dostatečně spolehlivé.
Správnost odhadu apriorní přesnosti technologií měření ověříme na základě
výsledku vyrovnání použitím vztahů 5.41 a 5.42.
- 72 (116) -
mo.apri = m0.apost
(5.41)
mo.r .apost = m0.s.apost
(5.42)
Statistickým testováním rovnosti dvou středních chyb se zabývají úvodní kapitoly tohoto modulu.
k1 =
mo.apost
m0.apri
=1
(5.43)
Definice
Je-li správně zvolena apriorní přesnost technologie měření, pak koeficient k1 vyjadřující poměr střední jednotkové chyby před vyrovnáním
mo.apri a střední jednotkové chyby po vyrovnání m0.apost je roven jedné.
Vyjde-li koeficient k1 menší jak jedna, dosáhli jsme vyrovnáním lepších výsledků než jsme předpokládali. Je-li k1 vetší jak jedna dosáhli jsme vyrovnáním
výsledků horších. Příčina může být ve špatném odhadu apriorní přesnosti
technologií měření nebo z důvodu odlehlých hodnot v souboru měření.
mrNEW = k1mrOLD
msNEW = k1msOLD
(5.44)
Správný odhad apriorní přesnosti jednotlivých technologií měření vstupujících
do úlohy vyrovnání získáme výpočetním vztahem 5.44. Nové odhady přesnosti
technologií měření aplikujeme do úlohy vyrovnání a provedeme opakovaný
výpočet úlohy. Postupovat lze iteračně do okamžiku splnění rovnice 5.43 na
základě odpovídajícího statistického testu.
k2 =
mo.r .apost
mo.s.apost
=1
(5.45)
Definice
Mají-li se výsledky technologie měření veličin ri a sj uplatnit ve vyrovnání stejnou mírou, pak musí být koeficient k2 o poměru odhadu středních
aposteriorních chyb technologií měření ri a sj roven jedné.
Správný odhad poměru apriorních přesnosti jednotlivých technologií měření
získáme výpočetními vztahy danými rovnicemi 5.46 nebo 5.47.
- 73 (116) -
m sNEW = m sOLD
mrNEW = mrOLD / k 2
(5.46)
msNEW = msOLD k 2
mrNEW = mrOLD
(5.47)
Nové odhady přesnosti technologií měření aplikujeme do úlohy vyrovnání a
provedeme opakovaný výpočet úlohy. Postup lze iteračně opakovat až do okamžiku splnění rovnice 5.45 na základě odpovídajícího statistického testu.
V této podkapitole byl zaveden pojem různorodě měřené veličiny jako
výsledek měření různých technologických postupů. Byly navrženy postupy pro
posouzení apriorních přesností a stanovení jejích správného poměru pro
provedení finálního vyrovnání úlohy.
Dále byl definován pojem fiktivní měřená veličina resp. fiktivně měřená
souřadnice bodu.
Byla definována úloha vyrovnání osnov směrů s uvážením přesnosti výchozího
bodového pole tj. úloha s veličinami různorodými. Výpočetní postupy zmiňované v závěru této podkapitoly mohou ve svém důsledku pomoci ke stanovení
správného poměru mezi přesností měření osnovy směrů a přesností bodového
pole – výpočetní vztahy 5.35 - 5.47.
V následující podkapitole bude na praktických příkladech demonstrována problematika kapitoly 5.
5.4
Shrnutí
Tato podkapitola by měla být praktickým dokreslením nabytých zkušeností
týkajících se orientací osnov směrů a volby apriorních přesností technologií
měření vstupujících do procesu vyrovnání.
Stanovení apriorní přesnosti technologií měření můžeme provést:
• na základě údajů poskytnutých prodejci přístrojů,
• na základě údajů vypočtených z rozptylů výsledků získaných určitou technologií měření nebo
• na základě informací o provedeném vyrovnání
Spolehlivost všech odhadů souvisí s dostatečným počtem nadbytečných měření.
Příklad 5-1
Užitím MNČ proveďte předběžnou orientaci osnovy směrů měřenou na stanovisku 2110. Směry považujte za stejně přesné a zvolte mψ = 10 cc
- 74 (116) -
2110
2030
2080
2040
[Y
[Y
[Y
[Y
= 593987.890, X
= 593624.290, X
= 593369.920, X
= 593427.420, X
= 1142743.110]
= 1143841.810]
= 1141974.690]
= 1142807.460]
mer
ψ 2110
  0.0000 g  mψ 2110, 2030  10cc 
, 2030
m
  cc 
 mer
 
g
ψ 2110, 2080  = 263.4658  ,  ψ 2110, 2080  = 10 
mer
ψ 2110
 277.0308 g  mψ 2110, 4002  10cc 
, 4002

  cc 
 mer
 
g
ψ 2110, 2040  327.6234  mψ 2110, 2040  10 
Příklad 5-2
Užitím MNČ proveďte přibližnou orientaci osnovy směrů měřenou na stanovisku 4001. Směry považujte za stejně přesné a zvolte mψ = 11cc
2090 [Y = 592751.680m, X = 1141928.240m]
2120 [Y = 592478.600m, X = 1143019.860m]
2040 [Y = 593427.420m, X = 1142807.460m]
4001 [Y = 593126.000m, X = 1142474.100m]
4002 [Y = 593596.000m, X = 1142426.000m]
mer
ψ 4001
  0.0000 g 
, 2090
 mer
 
g
ψ 4001, 2120  = 106.3243 
mer
ψ 4001
  208.5633g 
, 2040
 mer
 
g
ψ 4001, 4002  268.2528 
mψ 4001, 2090  11cc 
m
  cc 
 ψ 4001, 2120  = 11 
mψ 4001, 2040  11cc 

  cc 
m
 ψ 4001, 4002  11 
Pozn.: Body 4001 a 4002 mají pouze přibližné souřadnice s přesnosti řádově 0.100m
Příklad 5-3
Užitím MNČ proveďte předběžnou orientaci osnovy směrů měřenou na stanovisku 2040. Směry považujte za stejně přesné a zvolte mψ = 7 cc
2040
2120
2130
2030
2110
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
= 593427.420m, X
= 592478.600m, X
= 592832.380m, X
= 593624.290m, X
= 593987.890m, X
= 1142807.460m]
= 1143019.860m]
= 1143878.800m]
= 1143841.810m]
= 1142743.110m]
- 75 (116) -
mer
ψ 2040
  0.0000 g  mψ 2040, 2120  7 cc 
, 2120
m
  cc 
 mer
 
g 
ψ 2040, 2130   53.7032   ψ 2040, 2130  7 
mer
ψ 2040
  97.9550 g  mψ 2040, 2030  7 cc 
, 2030
, 
 =  cc 
 mer
=
g
ψ 2040, 2110  193.2586  mψ 2040, 2110  7 
 7 cc 
ψ mer
 259.4716 g  mψ
, 4002
2040 , 4002

  cc 
 2040



mer
g
ψ 2040, 4001  332.8003   mψ 2040, 4001  7 
Příklad 5-4
Odhadněte přesnosti směrů orientovaných osnov měřených na stanoviscích
2110, 4001 a 2040. Využijte výpočetního vztahu 5.13.
Příklad 5-5
Odhadněte přesnosti směrů orientovaných osnov měřených na stanoviscích
2110, 4001 a 2040. Přesnosti orientačních posunů převezměte z výsledků
vyrovnání a využijte výpočetního vztahu 5.14.
Příklad 5-6
Osnovu směrů měřenou na stanovisku 2040 orientujte s uvážením přesnosti
výchozího bodového pole. Na základě výsledků vyrovnání stanovte apriorní
přesnost technologie měření osnovy směrů a apriorní přesnost bodového
pole.
2040
2120
2130
2030
2110
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
= 593427.420m, X
= 592478.600m, X
= 592832.380m, X
= 593624.290m, X
= 593987.890m, X
= 1142807.460m]
= 1143019.860m]
= 1143878.800m]
= 1143841.810m]
= 1142743.110m]
mer
ψ 2040
  0.0000 g 
, 2120
 mer
 
g 
ψ 2040, 2130   53.7032 
mer
ψ 2040
  97.9550 g 
, 2030
 mer
=
g
ψ 2040, 2110  193.2586 
ψ mer
 259.4716 g 
, 4002
 2040
 

mer
ψ 2040, 4001  332.8003g 
Pozn.: Na základě rozboru přesnosti technologie měření byla směrům osnovy směrů přiřazena apriorní přesnost 7cc. Bodové pole je charakterizováno
střední souřadnicovou chybou 5 mm. Správné řešení úlohy získáte po splnění podmínek definovaných rovnicemi 5.41 a 5.42.
- 76 (116) -
Řešení
m0.apri = 1.000000 ,
mψ = 10 cc ,
O0, 2110 = 0.0000 g
 − 1
vψ
- 20.3459 g 
2110 , 2030
  


g
vψ 2110, 2080  = − 1[dO2110 ] + - 20.3474 
 − 1
v
- 20.3460 g 


 ψ 2110, 2040   
n = 3 , k = 1 , n − k = 2 , m0.apost = 0.876421
Ψ2110, 2030   0.0006 g  mΨ 2110, 2030  5cc  vψ 2110, 2030   + 6cc 
 

  cc  
 

g
cc 
Ψ2110, 2080  = 263.4648  , mΨ 2110, 2080  = 5  , vψ 2110, 2080  = − 10 
  cc 
Ψ2110, 2040  327.6239 g  mΨ 2110, 2040  5cc  v
 
 

    ψ 2110, 2040   + 5 
D. Vektor vyrovnaných neznámých a odhady středních chyb
[O2110 ] = [− 20.3464 g ] , [mO 2120 ] = [5 cc ]
E. Předběžně orientovaná osnova směrů
mer
σ 2110
 379.6536 g 
, 2030
 mer
 
g
σ 2110, 2080  = 243.1194 
mer
σ 2110
 256.6844 g 
, 4002
 mer
 
g
σ 2110, 2040  307.2770 
Pozn.: Při předběžné orientaci osnov směrů vstupují do vyrovnání jenom
směry měřené mezi danými body.
m0.apri = 1.000000 ,
mψ = 11cc ,
O0, 4001 = 0.0000 g
- 77 (116) -
vψ 4001, 2090  − 1
− 161.7332 g 
v
  

g
 ψ 4001, 2120  = − 1[dO ] +  − 161.7343 
vψ 4001, 2040  − 1 4001 − 161.7639 g 

  

g
v
− 161.7602 
 ψ 4001, 4002  − 1
n = 4 , k = 1 , n − k = 3 , m0.apost = 14.910873
Ψ4001, 2090   0.0147 g  mΨ 4001, 2090  82cc  vψ 4001, 2090  + 147 cc 
 

 

  cc  v
cc 
g
Ψ4001, 2120  = 106.3379  , mΨ 4001, 2120  = 82  ,  ψ 4001, 2120  =  + 136 
Ψ4001, 2040   208.5473g  mΨ 4001, 2040  82cc  vψ 4001, 2040   − 160 cc 
 

 

  cc  
g
cc 
Ψ4001, 4002  268.2405  mΨ 4001, 4002  82  vψ 4001, 4002   − 123 
[O4001 ] = [− 161.7479 g ] , [mO 4001 ] = [82cc ]
E. Přibližně orientovaná osnova směrů
mer
ψ 4001
  238.2521g 
, 2090
 mer
 
g
ψ 4001, 2120  = 344.5764 
mer
ψ 4001
  46.8154g 
, 2040
 mer
 
g
ψ 4001, 4002  106.5049 
Pozn.: Při přibližné orientaci osnovy směrů vstupují do vyrovnání směry
měřené mezi danými i neznámými body.
m0.apri = 1.000000 ,
mψ = 7 cc ,
O0, 2040 = 0.0000 g
vψ
 − 1
− 85.9800 g 
 2040, 2120   


vψ 2040, 2130  − 1
− 85.9793 g 


 =  [dO2040 ] + 
− 85.9813 g 
vψ 2040, 2030  − 1

g
vψ
 − 1
− 85.9812 

2040
,
2110


n = 4 , k = 1 , n − k = 3 , m0.apost = 1.357696
- 78 (116) -
Ψ2040, 2120   0.0005 g  mΨ 2040, 2120  5cc  vψ 2040, 2120   + 5cc 
 

 

  cc  v
g 
cc 
Ψ2040, 2130  =  53.7043  , mΨ 2040, 2130  = 5  ,  ψ 2040, 2130  = + 11 
Ψ2040, 2030   97.9541g  mΨ 2040, 2030  5cc  vψ 2040, 2030   − 9 cc 
  cc 

 

  cc  
g
Ψ2040, 2110  193.2579  mΨ 2040, 2110  5  vψ 2040, 2110   − 7 
[O2040 ] = [− 85.9804 g ] , [mO 2040 ] = [5cc ]
E. Předběžně orientovaná osnova směrů
mer
σ 2040
 314.0196 g 
, 2120
 mer
 
g
σ 2040, 2130  367.7228 
mer
σ 2040
  11.9746 g 
, 2030
 mer
=
g
σ 2040, 2110  107.2782 
σ mer
 173.4912 g 
, 4002
 2040
 

mer
σ 2040, 4001  246.8199 g 
Pozn.: Při předběžné orientaci osnov směrů vstupují do vyrovnání jenom
směry měřené mezi danými body.
7 cc 
10cc  mψ 
11cc  mψ 
mψ 
 

  


n
= 4
= 3  ,  n 
=  4  ,  n 
 
8cc 
12cc   mσ 
 mσ  s tan = 2110 12cc  mψ 
 
s tan = 2040


s tan = 4001
Pozn.: Symbol n představuje počet směrů uvážených pro výpočet orientačního posunu.
10 cc  m 
 mψ 
7 cc 
11cc  mψ 
 cc   ψ 
m 
 


=  5  , mO
= 5cc 
= 82cc  , mO 
 O
 
9cc 
83cc   mσ 
 m σ  s tan = 2110 11 cc  mψ 
s tan = 2040
 


s tan = 4001
Pozn.: Výsledkem přibližné orientace osnovy směrů je orientovaná osnova
s velmi nízkou přesnosti, proto je výhodnější s touto osnovou i nadále pracovat jako s neorientovanou.
Pro úlohu budou za konstanty považovány níže uvedené veličiny.
m0.apri = 1.000000 , n = 14 , k = 11 , n − k = 3 , n xy = 10 , nψ = 4
- 79 (116) -
Iterace 1
A. Sestavení úlohy vyrovnání – iterace 1
mY = 5.0mm , m X = 5.0mm , mψ = 7.0 cc
B. Základní údaje o vyrovnání – iterace 1
m0.apost = 1.1153 , m0. xy.apost = 0.6707 , m0.ψ .apost = 1.7969
k1 =
m0.apost
m0.aprior
= 1.1153 , k2 =
mψNEW = k1mψOLD = 7.8cc
m0. xy.apost
m0.ψ .apost
= 0.3732
OLD
, mxyNEW = k1mxy
= 5.6mm
OLD
, mxyNEW = (1 k 2 )mxy
= 13.4mm
mψNEW = mψOLD = 7.0 cc
mψNEW = k 2 mψOLD = 2.6 cc
volíme
OLD
, mxyNEW = mxy
= 5.0mm
C. Vektor vyrovnaných měření, středních chyb a oprav – iterace 1
fik
 Y2040
 ...427.4199m 
 fik  

 X 2040  ...427.4199m 
fik 
 Y2120
...478.5999m 
 fik  

 X 2120  ...019.8595m 
 Y fik  ...832.3781m 
 2130
=

fik
 X 2130  ...878.7989m 
 Y fik  ...624.2923m 
 2030  

fik
 X 2030
 ...841.8096m 
 fik  

 Y2110  ...987.8898m 
fik
 Y2110
 ...743.1086m 
Ψ2040, 2120   0.00016g 
 

g 
Ψ2040, 2130  =  53.70404 
Ψ2040, 2030   97.95425g 
 

g
Ψ2040, 2110  193.25835 
,
 mY 2040  5.3mm 
 


m X 2040  4.4mm
 5.6mm 
m
 Y 2120  

m X 2120  5.3mm 
 5.4mm 
m
 Y 2130  = 

m X 2130  5.5mm 
 5.3mm 

 mY 2030  

m X 2030  5.6mm 
 


 mY 2110  5.6mm 
m X  5.0mm 
 2110 
mΨ 2040, 2120  5.5cc 
  cc 

, mΨ 2040, 2130 
4.9 
 = 5.0 cc 
m
 Ψ 2040, 2030   cc 
mΨ 2040, 2110  6.4 
,
 vY 2040   − 0.1mm 
 


v X 2040  + 3.4mm
  − 0.1mm 
 vY
 2120  

v X 2120   − 0.5mm 
  − 1.9mm 
v
 Y 2130  = 

v X 2130   − 1.1mm 
 + 2.3mm
v
 Y 2030  

v X 2030  − 0.4mm
 


 vY 2110  − 0.2mm
v X   − 1.4mm 
 2110 
  + 1.6cc 
vψ
 2040, 2120  
cc 
, vψ 2040, 2130 
+ 8.4 
=
 

cc 
vψ 2040, 2030  − 7.5 
 − 2.5cc 
vψ
 2040, 2110  
D. Vektor vyrovnaných neznámých a jejích středních chyb – iterace 1
 Y2040   593427.4199m 

 

 X 2040  1142807.4634m 
 Y2120   592478.5999m 

 

 X 2120  1143019.8595m 
 Y   592832.3781m 
 2130  

 X 2130  = 1143878.7989m 
 Y   593624.2923m 
 2030  

 X 2030  1143841.8096m 

 

 Y2110   593987.8898m 
 X 2110  1142743.1086m 

 

g
 O2040   - 85.98037 
,
 mY 2040  5.3mm 
m
 

 X 2040  4.4mm
 mY 2120  5.6mm

 

m X 2120  5.3mm 
 mY 2130  5.4mm

 

m X 2130  = 5.5mm 
m
 5.3mm 
 Y 2030  

m X 2030  5.6mm
m
 

 Y 2110  5.6mm
m X 2110  5.0mm

 
cc 
 mO 2040   4.7 
- 80 (116) -
Iterace 2
mY = 13.4mm , m X = 13.4mm , mψ = 7.0 cc
k1 =
m0.apost
m0.aprior
= 0.7398 , k 2 =
mψNEW = k1mψOLD = 5.2 cc
m0. xy.apost
= 0.7720
m0.ψ .apost
OLD
, mxyNEW = k1mxy
= 9.9mm
OLD
= 17.4mm
volíme
OLD
, mxyNEW = mxy
= 13.4mm
fik
 Y2040
 ...427.4190m 
 fik  

 X 2040  ...807.4663m 
fik 
 Y2120
...478.6001m 
 fik  

 X 2120  ...019.8605m 
 Y fik  ...832.3729m 
 2130
=

fik
 X 2130  ...878.7961m 
 Y fik  ...624.2981m 
 2030  

fik
 X 2030
 ...841.8084m 
 fik  

 Y2110  ...987.8899m 
fik
 Y2110
 ...743.1087m 
,
Ψ2040, 2120   - 0.00002 g 
 

g 
Ψ2040, 2130  =  53.70363 
Ψ2040, 2030   97.95463g 
 

g
Ψ2040, 2110  193.25857 
 mY 2040  8.7 mm

 

m X 2040  6.3mm 
m
 9.9mm
 Y 2120  

m X 2120  8.3mm 
m
 8.7 mm
 Y 2130  = 

m X 2130  9.6mm

 8.1mm 
 mY 2030  

m X 2030  9.9mm

 

 mY 2110  9.9mm
m X  8.0mm 
 2110 
,
,
 vY 2040   − 1.0mm 
 


v X 2040  + 6.3mm 
  + 0.1mm 
 vY
 2120  

v X 2120  + 0.5mm
  − 7.1mm 
v
 Y 2130  = 

v X 2130  − 3.9mm 
  + 8.1mm 
v
 Y 2030  

v X 2030   − 1.6mm 
 


 vY 2110   − 0.1mm 
v X   − 1.3mm 
 2110 
mΨ 2040, 2120  4.6 cc 
  cc 

mΨ 2040, 2130  =  4.5 
  4.5cc 
m
 Ψ 2040, 2030   cc 
mΨ 2040, 2110  5.0 
,
vψ
 − 0.2 cc 
 2040, 2120  

vψ 2040, 2130  + 4.3cc 
=

 
cc 
vψ 2040, 2030  − 3.7 
vψ
  − 0.3cc 
 2040, 2110  
 Y2040   593427.4190m 
 X  1142807.4663m 
 2040  

 Y2120   592478.6001m 
 


 X 2120  1143019.8605m 
 Y2130   592832.3729m 
 


 X 2130  =  1143878.796m 
 Y   593624.2981m 
 2030  

 X 2030  1143841.8084m 
 Y   593987.8899m 
 2110  

 X 2110  1142743.1087m 
 


g
 O2040   - 85.98029 
,
 mY 2040  8.7 mm
 
m

 X 2040  6.3mm
 mY 2120  9.9mm
 


m X 2120  8.3mm 
 mY 2130  8.7 mm
 


m X 2130  = 9.6mm
 8.1mm 
m
 Y 2030  

m X 2030  9.9mm
 
m

 Y 2110  9.9mm
m X 2110  8.0mm
 

cc 
 mO 2040   5.2 
- 81 (116) -
Iterace 3
mY = 17.4mm , m X = 17.4mm , mψ = 7 cc
k1 =
m0.apost
m0.aprior
= 0.6094 , k2 =
mψNEW = k1mψOLD = 4.3cc
m0. xy.apost
m0.ψ .apost
= 0.9393
OLD
, mxyNEW = k1mxy
= 10.6mm
volíme
OLD
= 18.5mm
OLD
, mxyNEW = mxy
= 17.4mm
C. Vektor vyrovnaných měření, středních chyb a oprav – Iterace 3
fik
 ...427.4188m 
 Y2040
 fik  

 X 2040  ...807.4667m 
fik 
 Y2120
...478.6002m 
 fik  

 X 2120  ...019.8611m 
 Y fik  ...832.3713m 
=
 2130

fik
 X 2130  ...878.7952m 
 Y fik  ...624.2998m 
 2030  

fik
 ...841.8081m 
 X 2030
 fik  

 Y2110  ...987.8899m 
fik
 ...743.1089m 
 Y2110
,
Ψ2040, 2120   - 0.00003g 
 

g 
Ψ2040, 2130  =  53.70351 
Ψ2040, 2030   97.95473g 
 

g
Ψ2040, 2110  193.25858 
 mY 2040   9.3mm 
 


m X 2040   6.7mm 
 10.8mm 
m
 Y 2120  

m X 2120   8.8mm 
  9.1mm 
m
 Y 2130  = 

m X 2130  10.4mm 
  8.5mm 
m
 Y 2030  

m X 2030  10.8mm 
 


 mY 2110  10.8mm 
m X   8.7mm 
 2110 
,
,
 vY 2040   − 1.2mm 
 


v X 2040  + 6.7 mm
 + 0.2mm 
 vY
 2120  

v X 2120   + 1.1mm 
  − 8.7 mm 
v
 Y 2130  = 

v X 2130   − 4.8mm 
  + 9.8mm 
v
 Y 2030  

v X 2030   − 1.9mm 
 


 vY 2110   − 0.1mm 
v X   − 1.1mm 
 2110 
mΨ 2040, 2120   4.1cc 

  cc 
mΨ 2040, 2130  = 3.8 
m
 4.0 cc 
 Ψ 2040, 2030   cc 
mΨ 2040, 2110   4.3 
,
  − 0.3cc 
vψ
 2040, 2120  

vψ 2040, 2130   + 3.1cc 
=
 

cc 
vψ 2040, 2030  − 2.7 
  − 0.2 cc 
vψ
 2040, 2110  
D. Vektor vyrovnaných neznámých a jejích středních chyb – Iterace 3
 Y2040   593427.4188m 
 X  1142807.4667m 
 2040  

 Y2120   592478.6002m 
 


 X 2120  1143019.8611m 
 Y2130   592832.3713m 
 


 X 2130  = 1143878.7952m 
 Y   593624.2998m 
 2030  

 X 2030  1143841.8081m 
 Y   593987.8899m 
 2110  

 X 2110  1142743.1089m 
 


g
 O2040   - 85.98028 
,
 mY 2040   9.3mm 
 
m

 X 2040   6.7 mm 
 mY 2120  10.8mm 
 


m X 2120   8.8mm 
 mY 2130   9.1mm 
 


m X 2130  = 10.4mm
  8.5mm 
m
 Y 2030  

m X 2030  10.8mm 
 
m

 Y 2110  10.8mm 
m X 2110   8.7 mm 
 

cc 
 mO 2040   5.4 
- 82 (116) -
Iterace 4
mY = 10.6mm , m X = 10.6mm , mψ = 4.3cc
k1 =
m0.apost
m0.aprior
= 1.0254 , k 2 =
m0. xy.apost
m0.ψ .apost
= 0.9848
Pozn.: Podmínky dané rovnicemi 5.41 a 5.42 jsou splněny.
mψNEW = k1mψOLD = 4.4 cc
mψNEW = mψOLD = 4.3cc
OLD
, mxyNEW = k1mxy
= 10.9mm
OLD
= 10.8mm
OLD
, mxyNEW = mxy
= 10.6mm
fik
 ...427.4188m   mY 2040   9.3mm 
 Y2040
 
 fik  

 
 X 2040  ...807.4667m  m X 2040   6.7mm 
fik 
 Y2120
...478.6002m   mY 2120  10.7mm
 
 fik  

 
 X 2120  ...019.8610m  , m X 2120   8.8mm 
  9.1mm 
 Y fik  ...832.3713m   m
Y 2130
=


 2130
=



fik
 X 2130  ...878.7952m  m X 2130  10.3mm 
  8.4mm 
 Y fik  ...624.2998m   m
 Y 2030  
 2030  


fik
 ...841.8081m  m X 2030  10.8mm 
 X 2030
 
 fik  
 

 Y2110  ...987.8899m   mY 2110  10.8mm 
fik
 ...743.1089m  m X 2110   8.6mm 
 Y2110
 vY 2040   − 1.2mm 

 

v X 2040  + 6.7 mm
 vY
  + 0.2mm
 2120  

, v X 2120   + 1.0mm 
v
  − 8.7 mm 
 Y 2130  = 

v X 2130   − 4.8mm 
v
  + 9.8mm 
 Y 2030  

v X 2030   − 1.9mm 

 

 vY 2110   − 0.1mm 
v X   − 1.1mm 
 2110 
Ψ2040, 2120   - 0.00003g  mΨ 2040, 2120   4.1cc  vψ 2040, 2120   − 0.3cc 
 
  cc  


 
g 
cc 
Ψ2040, 2130  =  53.70351  , mΨ 2040, 2130  = 3.9  , vψ 2040, 2130  =  + 3.1 
 
 4.0 cc  v
Ψ2040, 2030   97.95473g  mΨ
− 2.7 cc 
 2040, 2030   cc   ψ 2040, 2030  

 
g
cc 
Ψ2040, 2110  193.25858  mΨ 2040, 2110   4.3  vψ 2040, 2110   − 0.2 
 Y2040   593427.4188m 
 X  1142807.4667m
 2040  

 Y2120   592478.6002m 

 

 X 2120  1143019.8610m
 Y2130   592832.3713m 

 

 X 2130  = 1143878.7952m
 Y   593624.2998m 
 2030  

 X 2030  1143841.8081m
 Y   593987.8899m 
 2110  

 X 2110  1142743.1089m

 

g
 O2040   - 85.98028 
 mY 2040   9.3mm 
m
 

 X 2040   6.7mm 
 mY 2120  10.7mm

 

m X 2120   8.8mm 
, 
  9.1mm 
mY
 2130  

m X 2130  = 10.3mm 
m
  8.4mm 
 Y 2030  

m X 2030  10.8mm 
m
 

 Y 2110  10.8mm 
m X 2110   8.6mm 

 
cc 
 mO 2040   5.4 
- 83 (116) -
E. Orientovaná osnova směrů – iterace 4
mer
σ 2040
 314.0197 g 
, 2120
 mer
 
g
σ 2040, 2130  367.7229 
mer
σ 2040
  11.9747 g 
, 2030
 mer
=
g 
σ 2040, 2110  107.2783 
σ mer
 173.4913g 
, 4002
 2040
 

mer
g
σ 2040, 4001  246.8200 
Pozn.: Technologie měření osnov směrů má odhadovanou přesnost 4.3cc a
bodové pole můžeme charakterizovat střední souřadnicovou chybou
10.6mm.
Kontrolní otázky
Co je to předběžná orientace osnovy směrů ?
Co je to přibližná orientace osnovy směrů ?
V čem se liší předběžně a přibližně orientovaná osnova směrů ?
Proč zavádíme pojem fiktivní měřené veličiny ?
Jaké jsou hlavní metody vedoucí k správnému stanovení apriorní přesnosti
technologií měření na základě výsledků vyrovnání ?
Řešení
Informace
Tato kapitola se věnuje orientacím osnov směrů měřených na známých bodech
– předběžná orientace osnov směrů a orientacím osnov měřených směrů na
neznámých bodech – přibližná orientace osnov směrů. Velkým přínosem pro
vyrovnání geodetických sítí je orientovaná osnova na známém bodě, kdy jednotlivé směry přechází na měřené směrníky tj. veličiny, které již nejsou spojené hodnotou orientačního posunu. Odpadá nám tedy jedna neznámá pro vyrovnání geodetických sítí. Navíc do vyrovnání sítě vstoupí jen měřené směrníky
k určovaným bodům tj. dojde i k redukci observačních rovnic. U přibližně orientovaných osnov směrů k popisovanému zjednodušení nedojde. Závěr kapitoly 5 byl věnován problematice správné volby apriorní přesnosti různorodých
veličin vstupujících do vyrovnání.
Následující kapitola čtenáře seznámí s pojmem excentrické stanovisko, excentrický cíl a s problematikou šíření chyb z centrace na osnovy měřených směrů.
- 84 (116) -
Centrace osnov směrů
6
Problematika centrací osnov měřených směrů byla vysoce aktuální v dobách
budovaní trigonometrických sítí pomocí terestrických technik – triangulace.
Na jednotlivých bodech sítě byly budovány dřevěné stavby – měřické věže a
měřické pyramidy zajišťující vzájemnou viditelnost sousedních bodů. Signalizační část těchto konstrukcí, místo pro postavení přístroje a střed měřické
značky byly obvykle vzájemně excentrické. Hodnoty excentricit dosahovaly
centimetrových až decimetrových hodnot.
Osnovy měřených směrů obecně na excentrických stanoviscích s excentrickými cíli musely být převáděny na osnovy centrické.
ψ i , j = ψ ie, j + δ i , j
(6.1)
Můžeme rozlišit tyto základní úlohy pro centrace osnov měřených směrů:
• excentrické stanovisko
• excentrický cíl
• excentrické stanovisko a cíl
Vzájemná poloha centru a excentru byla určena pomocí tzv. měřených centračních prvků:
• centrační úhel ε
• excentricita e
Korekce excentrického směru na centrický je nazývána centrační změnou δ i, j .
Excentrický cíl
Obr. 6-1
Excentrický cíl
 ej

sin ε j 

 si , j

δ i , j = arcsin
(6.2)
- 85 (116) -
Excentrické stanovisko
Obr. 6-2
Excentrický cíl
 ei

sin ε i 

 si , j

δ i , j = arcsin
(6.3)
Excentrické stanovisko a excentrický cíl
Obr. 6-3
Excentrické stanovisko a excentrický cíl
ψ i , j = ψ ie, j + δ iB, j + δ iA, j
(6.4)
 ej

sin ε j 

 si , j

δ iB, j = arcsin
(6.5)
 ei
sin ε i + δ iB, j
 si , j
δ iA, j = arcsin
(

)

- 86 (116) -
(6.6)
Uvážení chyb z centrace
Z hlediska přípravy veličin pro vyrovnání nás bude zajímat jakým způsobem
nepřesnost centrace na bodech ovlivní přesnost měřených veličin. Protože nikdy nebudeme znát centrační prvky aktuálně postaveného stroje, pokusíme se
vyřešit variantu nejméně příznivou tj. při volbě ε i = 100 g a ε j = 100 g .
Úpravou vztahů 6.4, 6.5 a 6.6 a při předpokladu ε i + δ iB, j ≅ ε i získáme rovnici
6.7.
 ei 
e 
 + arcsin j 

s 
 si , j 
 i, j 
ψ i , j = ψ ie, j + arcsin
(6.7)
Uvážíme-li, že výrazy ei << si , j a e j << si , j lze rovnici 6.7 přepsat do podoby
6.8.
ψ i , j = ψ ie, j +
ej
ei
+
si , j si , j
(6.8)
Na vztah 6.8 aplikujeme zákon hromadění středních chyb.
2
2
mψ i , j = mψ , e i , j +
1 2
1
me , j + 2 me2,i
2
si , j
si , j
(6.9)
Dále budeme předpokládat, že střední chyba centrace na stanovisku i na cíli je
stejná tj. me = me , j = me ,i tj. vztah 6.9 upravíme na tvar 6.10.
2
2
mψ i , j = mψ , e i , j +
2 2
me
si2, j
(6.10)
Souhrn
Následující obrázek je ilustrací vlivu excentricity postavení přístroje a cíle při
proměnlivě dlouhé záměře s a při použití různých druhů centrací.
Obr. 6-4
Přesnost směru při uvážení centrace
Symbol mψ , e představuje přesnost excentrický změřeného směru a symbol mψ
přesnost téhož směru při uvážení vlivu centrace – nejméně příznivý případ.
Uvážení přesností centrace přístroje a cíle na zaměřovaných bodech nám
umožňuje kvalitnější zhodnocení přesnosti technologického postupu. Potlačení
centračních chyb má velký význam v sítích s krátkými stranami – 10 až 200 m.
- 87 (116) -
Volba kvalitního způsobu centrace je v těchto případech velmi důležitá např.
použití optické centrace na troj-podstavcových soupravách.
Kontrolní otázky
Co si představujete pod pojmem centrace osnov směrů ?
Co jsou to centrační prvky ?
Co je to centrační změna ?
Řešení
Informace
Následující kapitola se věnuje převodům osnov měřených směrů na výpočetní
plochu.
- 88 (116) -
Převod směrů na výpočetní plochu
7
Převod směrů na výpočetní plochu
U měřených osnov směrů můžeme rozlišit několik typů fyzikálních a matematických korekcí. Korekce fyzikální vyplývají z vlastní podstaty šíření světelného paprsku prostředím, které je obecně značně nehomogenní. Korekce matematické pak poslouží pro převedení naměřeného směru na vhodnou výpočetní
plochu.
Fyzikální korekce
Mezi fyzikální korekce měřeného směru můžeme zařadit:
• vliv boční refrakce
• difrakce
Při šíření paprsku prostředím se obvykle využívá modelů prostředí
s vertikálním teplotním gradientem, který má za následek zakřivení paprsku
především ve vertikální rovině. Vliv refrakce boční je při běžných měřických
pracích v podstatě zanedbatelný. Existuje však mnoho aplikací v inženýrské
geodézii, kdy je nutno při navrhování geodetických sítí tento vliv uvážit. Jde
především o realizaci záměr v blízkosti rozehřátých předmětů a záměr na přechodech mezi uzavřenými prostory a venkovním prostředím. Modely pro zavedení oprav z refrakce obvykle nedokážeme přesně definovat. Těmto vlivům
předcházíme volbou technologických postupů.
Vliv difrakce způsobuje změnu směru šíření světelného paprsku při jeho dopadu na překážku. Jsou-li splněny všechny podmínky nutné pro vznik difrakčního
jevu, dojde k ohybu paprsku za překážkou. V měřické praxi tento jev nastává
při měření v blízkosti různých předmětů, které měřič z důvodu přeostření dalekohledu na jiný cíl ani nemusí zpozorovat.
Matematické korekce
Mezi matematické korekce zařadíme:
• korekce na referenční plochu
vliv tížnicových odchylek
korekce z nadmořské výšky cíle
korekce z převodu na geodetickou křivku
• korekce do zobrazení
meridiánová konvergence
korekce z kartografického zkreslení
převod na přímou spojnici
Korekce na referenční plochu souvisí s ustavováním stroje ve směru tížnice
skutečného tíhového pole Země. Naměřené veličiny je však nutno převést
k pomyslnému postavení stroje ve směru normály referenční plochy. Tížnicové
odchylky v rovinatých územích dosahují pouze vteřinových hodnot, což jsou
hodnoty odpovídající přesnostem horizontce strojů. Velikosti tížnicových odchylek navíc obvykle neznáme, a tedy je ani nemůžeme zavést.
- 89 (116) -
Korekce z nadmořské výšky cíle a korekce z převodu na geodetickou křivku
jsou podrobně probírány v předmětu vyšší geodézie.
Z korekcí do roviny kartografického zobrazení můžeme uplatnit pouze korekci
na přímou spojnici. Korekce je způsobena zobrazením geodetické křivky (záměra promítnutá na referenční plochu) jako křivky v rovině kartografického
zobrazení. Konformnost měřených úhlových veličin je pak definována k tečnám těchto křivek viz. obrázek 7.1 korekce δ A, B .
Meridiánovou konvergenci na osnovy měřených směrů uplatňovat nemusíme,
tato hodnota se určí v rámci orientačního posunu osnovy směrů.
Všechny jmenované matematické korekce v sítích běžných rozsahů dosahují
zcela zanedbatelných hodnot a tyto vlivy tedy nemusíme uvažovat.
Souhrn
Jednotlivé matematické korekce ilustruje obrázek 7.1.
Obr. 7-1
Korekce do zobrazení
ψ i , j = ψ imer
, j + δ i, j
(7.1)
Ai , j = ψ i , j − δ i , j − 2 R + o A − γ A
(7.2)
Kontrolní otázky
Vyjmenujte fyzikální korekce měřených osnov směrů.
Vyjmenujte matematické korekce měřených osnov směrů.
Řešení
Informace
Následující kapitola se věnuje zpracování měřených délkových veličin.
- 90 (116) -
Zpracování měřených délkových veličin
8
Mezi základní veličiny, ze kterých můžeme vytvořit kostru polohové složky
geodetické sítě patří kromě osnov měřených směrů také veličiny délkové. Pro
účely budování geodetických sítí se v současnosti využívá především světelných dálkoměrů.
Převodem délek na výpočetní plochu, centracemi délek a místním měřítkem
sítě se zabývá tato kapitola.
Převod délek na výpočetní plochu
8.1
Převod veličin na výpočetní plochu můžeme rozdělit do dvou základních kroků. Měřené veličiny opravujeme o tzv. fyzikální a matematické korekce.
Fyzikální korekce
V tomto výpočetním kroku měřeným veličinám přiřazujeme správný fyzikální
rozměr.
Mechanická měřidla
Mezi mechanická měřidla můžeme zařadit měřická pásma (pásma plastová,
pásma ocelová, pásma invarová), invarové dráty a sady normálních metrů.
Definice
Korekce měřené délky pásmem:
- oprava ze skutečné délky měřidla – komparační list
- oprava z teplotní roztažnosti měřidla
- oprava z průhybu měřidla
- oprava z nevodorovnosti měřidla
- oprava z vybočení měřidla
Zavedením všech uvedených korekcí dostaneme hodnotu měřené délky
v jednotkách, které svým rozměrem budou odpovídat definici metrické soustavy.
Optické určování délek
Jiným příkladem může být hodnota délky odvozená z metody paralaktického
určování délek. I zde existuje řada příčin mající za následek, že naměřená hodnota délky nebude mít správný fyzikální rozměr.
- 91 (116) -
Definice
Mezi korekce paralakticky měřené délky patří:
- oprava z nesprávné délky základnové latě
- oprava z excentricity základnové latě
- oprava z nekolmosti základnové latě
- oprava z nevodorovnosti základnové latě
Elektronické určování délek
Poslední uvažovanou metodou bude tzv. metoda elektronického určování délek
užitím světelných dálkoměrů. Využívá se zde šíření dálkoměrem vyslané modulované nosné vlny. Signál se po odrazu v koutovém odražeči umístěném
v cíli vrací k dálkoměru.
Vlnová délka nosné vlny odpovídá oblasti viditelného spektra světla a vlnová
délka modulační vlny hodnotě kolem 10 cm. Nosná vlna je fázově modulována
vlnou modulační. Princip určení délky mezi dvěmi body obvykle souvisí
s určením fázového rozdílu (měří se fáze modulační vlny) odeslaného a přijatého signálu.
Na základě těchto informací lze napsat obecný vzorec pro výpočet měřené délky.
l mer = f l (v, f , ϕ , k )
(8.1)
Symbol v je rychlost šíření nosné vlny prostředím.
v = fV (c, N )
(8.2)
Symbol c představuje rychlost šíření světelného paprsku nosné vlny ve vakuu
a N je tzv. index lomu prostředí, který je obecně prostorově proměnlivý. Výsledkem je, že se signál pohybuje po zakřivené dráze rychlostí odlišnou od
rychlosti signálu ve vakuu.
Index lomu prostředí N je obecně funkcí teploty t , tlaku p a vlhkosti Φ měřené podél dráhy paprsku.
N = f N (t , p, Φ )
(8.3)
Zjišťování atmosférických podmínek pro výpočet korekce měřené délky se
obvykle zjednodušuje na jejich stanovení pouze v místech postavení dálkoměru
a koutového odražeče.
Symbol f v rovnici 8.1 představuje modulační frekvenci nosného signálu,
symbol ϕ hodnotu odečteného fázového rozdílu a symbol k hodnotu konstanty dálkoměru a hranolu.
Rovnice 8.4 představuje obecnou podobu vzorce pro výpočet přesnosti měřené
délky.
ml = f m (mv , m f , mϕ , mk , l mer )
- 92 (116) -
(8.4)
Vztah 8.4 lze upravit – rovnice 8.5.
(
ml = f1 (mϕ , mk ) + f 2 mv , m f , l mer
)
(8.5)
V uvedeném vztahu funkce f1 představuje vliv konstantní a f 2 vliv úměrný
měřené délce.
ml =
a[mm] 
b[ ppm]  mer
+ 1 +
l
1000  1000000 
(8.6)
Přesnost světelných dálkoměrů bývá často uváděna ve zjednodušeném tvaru –
rovnice 8.7.
ml = a[mm] + b[ ppm]
(8.7)
Definice
Na základě výše uvedeného lze specifikovat následující fyzikální korekce
měřené délky:
- atmosférické korekce
- oprava z rychlosti šíření elektromagnetických vln
- oprava ze zakřivení dráhy elektromagnetických vln
- přístrojové korekce
- konstanta dálkoměru
- konstanta hranolu
Zaváděním fyzikálních korekcí se podrobně zabývají související předměty a
proto dále nebudou uváděny konkrétní výpočetní vzorce.
V geodetické síti provedeme délkové měření pomocí jednoho technologického
postupu. Měření bude probíhat za podobných atmosférických podmínek, stejnými pomůckami a stejnou měřickou skupinou. Pokud zanedbáme fyzikální
korekce uvedené výše, pak celá síť bude systematicky deformována. Tento
systematický vliv vystihneme jednotným matematickým vztahem daným rovnicí 8.8.
l=
a FYZ [mm]  bFYZ [ ppm]  mer
+ 1 +
l
1000
1000000 

(8.8)
Symbol a FYZ představuje konstantní chybu pro každou délku a symbol bFYZ
tzv. průměrnou měřítkovou deformaci sítě.
Měřítkovou deformaci sítě bFYZ v ppm ze vztahu 8.8 můžeme užitím vztahu 8.9
převést na číselné měřítko M FYZ s hodnotou blízkou jedné.
M FYZ = 1 +
bFYZ ( ppm )
1000000
(8.9)
- 93 (116) -
Matematické korekce
Úkolem matematických korekcí bude převést měřenou veličinu na výpočetní
plochu, kterou je v pojetí tohoto studijního materiálu rovina Křovákova kartografického zobrazení.
Korekce na referenční elipsoid
Veličiny převádíme na elipsoid použitého kartografického zobrazení. V našem
případě půjde o elipsoid Besselův. Složitost výpočetních vzorců pro převod
veličin na elipsoid souvisí s hodnotou měřené délky. Vzorce mají zajistit výpočet korekce alespoň s milimetrovou přesností. Vztahy pro výpočty korekcí
krátkých délek lze výrazně zjednodušit.
Pro délky do 60 km můžeme napsat výpočetní vzorec ve tvaru rovnice 8.10.
l0,e = f l , 0,e (H i , H j , l , R A )
(8.10)
Symboly H i a H j jsou elipsoidické výšky určovaných bodů, l je naměřená
hodnota délky po fyzikálních korekcích a R A je poloměr elipsoidu v azimutu
měřené délky Ai , j .
H i = f H (hi , ξ i )
(8.11)
Symbol hi je nadmořská výška bodu i a symbol ξ i je převýšení elipsoidu nad
geoidem v bodě i.
RA = f A (Ai , j , ϕi )
(8.12)
Symbol ϕi představuje elipsoidickou šířku bodu i.
U délek kratších, řekněme do 5 km, můžeme referenční elipsoid nahradit referenční koulí a též zanedbat rozdíl nadmořských a elipsoidických výšek.
l0,e = f l ,0,e (H i , H j , l , R
)
(8.13)
Symbol R představuje poloměr referenční koule.
Převod měřené délky l na délku vodorovnou l0,t ve výšce stanoviska pozorování H i
Vztah 8.14 realizuje převod měřené délky na vodorovnou s uvážením měřeného zenitového úhlu na bodě i.
l



sin  zi , j −
R + H i 

l0,t = l
l
π


sin +
 2 2(R + H i ) 
(8.14)
- 94 (116) -
Obr. 8-1
Redukce měřené délky na vodorovnou
Vtahem 8.15 a následovně 8.14 realizujeme převod měřené délky na vodorovnou při znalosti převýšení koncových bodů měřené délky.
 π
 H j − H i 
l
l

 +
zi , j = ar cos sin  +
l
 2(R + H i )
  2 2(R + H i ) 
(8.15)
Převod vodorovné délky l0,t ve výšce stanoviska pozorování H i na tětivu
l0,t , e na referenční ploše.
Měřenou vodorovnou délku převedeme k ploše referenčního elipsoidu pomocí
výpočetního vzorce 8.16
Obr. 8-2
l0, e ,t = l0,t
Redukce měření délky na referenční elipsoid
R
R + Hi
(8.16)
- 95 (116) -
Převod tětivy l0, e,t na referenční ploše na geodetickou čáru l0, e
Vzhledem ke krátkým délkám můžeme zanedbat rozdíl mezi vzdáleností bodů i
a j měřenou po referenční ploše a vzdáleností měřenou po tětivě. Tento předpoklad vyjadřují rovnice 8.17 a 8.18.
l0 = l0,t
(8.17)
l0, e = l0, e ,t
(8.18)
Výpočetní vzorec 8.16 lze přepsat na tvar 8.19.
l0, e = l0
R
R + Hi
(8.19)
Budujeme-li síť o rozsahu několika kilometrů s malými převýšeními bodů sítě,
pak za H i lze zvolit průměrná výšku lokality H LOK . Výpočetní vzorec 8.19
přepíšeme na tvar 8.20.
l0, e = l0
R
R + H LOK
(8.20)
Výraz M LOK – rovnice 8.21 představuje měřítkovou změnu všech délek měřených v dané lokalitě.
M LOK =
R
R + H LOK
(8.21)
Rovnici 8.21 můžeme přepsat na tvar 8.22
l0,e = l0 M LOK
(8.22)
Měřítková změna M LOK může být vyjádřena též v ppm a rovnici 8.22 pak můžeme přepsat na tvar 8.23.
 b [ ppm] 
l0, e = l0 1 + LOK

1000000 

(8.23)
Korekce do zobrazení
Křovákovo zobrazení, jehož prostřednictvím chceme převést délky do rovinného souřadnicového sytému S-JTSK, je na území ČR charakterizováno hodnotami zkreslení +14 až -10 cm na kilometr.
Velikost zkreslení M S − JTSK je definována jako funkce vzdálenosti bodu, pro
který hodnotu zkreslení počítáme od počátku souřadnicového systému.
M S − JTSK = f SYS (R )
(8.24)
- 96 (116) -
Hodnoty zkreslení pro naše území můžeme vypočítat pomocí rozvoje funkce
f SYS v řadu pátého stupně v bodě R0 .
M S − JTSK = f SYS (R0 + ∆R )
(8.25)
Rovnice 8.26 je výpočetním vzorcem pro délkové zkreslení systému S-JTSK.
M S − JTSK = 0.9999
+ 1.22822 E −14 ∆R 2
− 3.154 E −21∆R 3
+ 1.848E −27 ∆R 4
− 1.150e −33∆R 4
(8.26)
∆R = R − R0 kde R0 = 1298039m
(8.27)
R = x2 + y2
(8.28)
Obr. 8-3
Délkové zkreslení systému S-JTSK
Délkové zkreslení je proměnné podél měřené délky. U délek do 5 km však stačí
vypočítat jeho velikost pouze pro její koncové body. Výslednou korekci získáme podle jednoduchého vztahu 8.29.
M S − JTSK =
M S − JTSK ,i + M S − JZSK , j
(8.29)
2
Délku následovně převedeme do S-JTSK pomoci vztahu 8.30.
(8.30)
lS − JTSK = M S − JTSK l0,e
Celá geodetická síť však málokdy dosáhne rozměru několika kilometrů. Obecně tedy stačí počítat s jednotným měřítkem pro celou lokalitu měření. Měřítko
sítě odvodíme z bodu jejího těžiště.
- 97 (116) -
Stejně jako v předchozích případech může být i měřítko pro převod do zobrazení vyjádřeno v ppm.
[ ppm] l
 b
lS − JTSK = 1 + S − JTSK
 0, e
1000000 

(8.31)
Zavádění korekcí pro měřené délky principiálně způsobuje měřítkovou změnu
těchto veličin. Za předpokladu splnění výše uvedených myšlenek, můžeme
napsat souhrnný vzorec, který použijeme jednotně pro opravu všech měřených
délek sítě – rovnice 8.32 nebo 8.34.
lS − JTSK =
aFYZ [mm]
+ M SUMAl0mer
1000
M SUMA,1 = M FYZ M LOK M S − JTSK
lS − JTSK =
aFYZ [mm]  bSUMA [ ppm ]  mer
+ 1 +
l0
1000
1000000 

bSUMA,1[ ppm] = bFYZ [ ppm] + bLOK [ ppm] + bS − JTSK [ ppm]
(8.32)
(8.33)
(8.34)
(8.35)
Symbol l0mer ve finálních vztazích představuje vodorovnou délku v průměrné
výšce lokality neopravenou o fyzikální korekce.
8.2
Centrace délek
Pojem centrace měřené délky souvisí s měřením veličin sítě při excentricky
umístěných stanoviscích, a to jak v místě stroje, tak v místě cíle. Poloha excentrických stanovisek je určena pomocí tzv. centračních prvků, které jsou tvořeny
centračním úhlem ε i a excentricitou ei .
Popsaný problém nejlépe dokreslí následující obrázek.
Obr. 8-4
Centrace měřené délky
- 98 (116) -
Vztah 8.36 je výpočetním vzorcem pro převod měřené délky na excentrickém
stanovisku a excentrickém cílí na délku centrickou.
l=
(e sin ε
1
∗
1
) (
2
− e2 sin ε 2∗ + lex − e1 cos ε1∗ − e2 cos ε 2∗
)
2
(8.36)
Problematika excentrického umísťování strojů a cílů nad body je zcela aktuální
problém. Na každý bod se dokážeme zcentrovat pouze s určitou přesností přímo související s druhem použité centrace. Při centracích obvykle neznáme centrační prvky, ale na straně druhé, známe přesnosti různých centračních postupů.
Z hlediska přípravy veličin pro vyrovnání nás bude zajímat jakým způsobem
nepřesnost centrace na bodech ovlivní přesnost měřených veličin. Protože nikdy nebudeme znát centrační prvky aktuálně postaveného stroje, pokusíme se
vyřešit variantu nejméně příznivou tj. při volbě ε i∗ = 0 a ε ∗j = 0 .
Výpočetní vztah 8.36 po úpravě přejde na tvaru – rovnice 8.37.
l = lex − ei − e j
(8.37)
Na vzorec 8.37 aplikujeme zákon hromadění chyb.
ml2 = ml2 ex + me2i + me2 j
(8.38)
Přesnost centrace v cíli i u stroje zvolíme stejnou.
ml2 = ml2 ex + 2me2
(8.39)
Následující obrázek je ilustrací vlivu excentricky postaveného stroje a cíle na
přesnost měřené délky použijeme-li různé druhy centrací.
Přesnost měřené délky dálkoměrem 2mm+2ppm s uvážením
přesnosti centrace
Obr. 8-5
Následující podkapitola bude věnována pojmu místní měřítko sítě a následovně
bude popsána úloha pro odhad systematických vlivů potenciálně obsažených
v měřených datech.
8.3
Místní měřítko sítě
Budování geodetických sítí přímo souvisí s rozšiřováním a zhušťováním již
existujících bodových polí. V ideálním případě by tyto sítě měly mít správný
fyzikální rozměr tj. měřítko stávající sítě bude rovno jedné – rovnice 8.40.
M XYZ = 1
(8.40)
- 99 (116) -
Tento axiom však platí pouze za předpokladu správně zavedených korekcí veličinám měřeným při budování této výchozí sítě. Každá geodetická síť bude
mít ve skutečnosti svůj vlastní rozměr různě blízký rozměru správnému.
Další problém souvisí s vlastní realizací bodů sítě v terénu. Stabilizace bodů
mohou v čase vykazovat pohyb. Tento jev je nazýván tzv. pojmem stárnutí sítě.
Náhodným, případně systematickým pohybem stabilizačních značek, geodetická síť ztratí jednotné měřítko. Měřítko se stane proměnlivé s polohou v dané
sítí.
Z výše uvedených důvodů se často hovoří o místním měřítku výchozí sítě, které obecně nesplňuje rovnici 8.40.
Pokud chceme v určité lokalitě vybudovat geodetickou síť, je nutné výše uvedenou skutečnost nějakým způsobem respektovat. Obecně existuje několik
přístupů k řešení tohoto problému, které závisejí na otázce, do jaké míry jsou
pro nás souřadnice výchozí sítě závazné a též na přesnosti našich měření.
Lze zvolit tyto postupy:
• deformovat nová měření na výchozí síť
• uvážit místní měřítko sítě
Následující odstavce se budou zabývat způsoby určení místního měřítka sítě
M XYZ .
Při řešení geodetických sítí z výchozího bodového pole nepřímo přebíráme:
• umístění nové sítě na elipsoidu
• orientaci sítě na elipsoidu
• měřítko sítě
Při klasickém postupu řešení geodetických sítí s délkovými veličinami je nesoulad rozměru sítě výchozího bodového pole s veličinami nového měření řešen deformací nové sítě na výchozí bodové pole – observační rovnice 8.41.
Li , j = limer
, j + vl i , j = f l , i , j (X i , Yi , X j , Y j ) =
(Y
− Yi ) + (X j − X i )
2
j
2
(8.41)
Rozdílné měřítko sítí však můžeme popsat jednoduchou úpravou výše uvedené
observační rovnice.
Li , j = limer
, j + vl i , j = f l ,i , j ( X i , Yi , X j , Y j , M XYZ ) =
= M XYZ
(Y
− Yi ) + (X j − X i )
2
j
2
(8.42)
Místní měřítko sítě může být vyjádřeno též v ppm.
Li , j = limer
, j + vl i , j = f l , i , j (X i , Yi , X j , Y j , bXYZ [ ppm ]) =
 b [ ppm] 
2
2
= 1 − XYZ
 (Y j − Yi ) + (X j − X i )
1000000


- 100 (116) -
(8.43)
V dalších odstavcích budeme dále předpokládat, že délkové měření bude zatíženo též konstantním vlivem a, který budeme vyjadřovat v mm. Měřítko sítě
budeme dále označovat prostým symbolem b s jednotkami ppm.
Dále tedy budeme pracovat s observační rovnicí 8.44.
Li , j = limer
, j + vl i , j = f l , i , j (X i , Yi , X j , Y j , A[mm ], B[ ppm ], ) =
a[mm] 
b[ ppm] 
2
2
=−
+ 1 −
 (Y j − Yi ) + (X j − X i )
100
 1000000 
(8.44)
Body i a j budou známé body výchozí sítě. Souřadnice těchto bodů tedy představují konstanty ve smyslu dalšího řešení úlohy. Observační rovnice 8.44 pak
získá tvar rovnice 8.45.
Li , j = limer
, j + vl i , j = f l , i , j ( A[mm], B[ ppm], ) =
a[mm] 
b[ ppm] 
2
2
=−
+ 1 −
 (Y j − Yi ) + (X j − X i )
100
 1000000 
(8.45)
Na závěr uvádím zkrácený zápis výše uvedené observační rovnice.
Li , j = limer
, j + vl i , j = f l , i , j ( A, B ) = −
A
B

 sour
+ 1 −
 si , j
1000  1000000 
(8.46)
Našim úkolem bude určit místní měřítko sítě a konstantní chybu měřených
délek užitím observační rovnice 8.46. Pro jednoduchost tyto parametry určíme
na základě tří měření mezi vybranými body výchozí sítě. O měření prohlásíme,
že má stejnou přesnost.
A
B

 sour
+ 1 −
 sk , l
1000  1000000 
A
B

 sour
= f l , m , n ( A, B ) = −
+ 1 −
 sm , n
1000  1000000 
A
B
 sour

= f l , o , p ( A, B ) = −
+ 1 −
 so , p
1000  1000000 
Lk ,l = lkmer
, l + vl k , l = f l , k , l ( A, B ) = −
Lm, n = lmmer
, n + vl m , n
Lo, p = lomer
, p + vl o , p
(8.47)
Li , j = limer
, j + vl i , j = f l , i , j ( A, B ) pro (i, j ) ∈ {( k , l ), ( m, n), (o, p )}
ml i , j = konst pro (i, j ) ∈ {(k , l ), (m, n), (o, p )}
∑ pvv = min
(8.48)
Obecná rovnice 8.48 je lineární. O řešení úlohy užitím MNČ můžeme prohlásit,
že bude konvergovat k výsledku pro libovolné počátečním řešení. U uvažované
úlohy vyrovnání zvolíme vektor počátečného řešení podle rovnice 8.49.
h0 = [ A0 , B0 ] = [0,0]
T
T
(8.49)
- 101 (116) -
H = h0 + dh
(8.50)
f 0,l ,i , j = f l ,i , j ( A0 , B0 )
l
mer
k ,l
+ vl k ,l
lmmer
, n + vl m , n
lomer
, p + vl o , p
(8.51)
sksou
1
,l
= f 0,l , k ,l ( A0 , B0 ) −
dA −
dB
1000
1000000
smsour
1
,n
= f 0,l , m , n ( A0 , B0 ) −
dA −
dB
1000
1000000
sosour
1
,p
= f 0,l , o , p ( A0 , B0 ) −
dA −
dB
1000
1000000
(8.52)
úlohy tj. úlohy soustavy tří rovnic o dvou neznámých.

1
−
 vl k ,l   1000
 

1
vl m, n  = − 1000
 vl  
 o, p 
1
−
 1000

sksour
,l

mer
1000000 

 sksour
, l − lk , l
sour
sm, n   dA  sour mer 
+ sm , n − l m , n
−
1000000  dB   sour mer 
 so , p − lo , p 

sosour


,p

−
1000000 
−
(8.53)
Zvolíme-li m0.apri = ml i , j = konst , pak matice vah P bude jednotková – rovnice 8.54.
diag (P ) = (1 1 1)
(8.54)
Sestavenou úlohu řešíme jako úlohu zprostředkujícího vyrovnání užitím MNČ.
Výsledkem bude vektor vyrovnaných neznámých H tj. vektor s odhady parametrů A a B a jemu odpovídající kovarianční matice cov(H ) . Vektor L bude
představovat vyrovnané měřené veličiny tj. korigované hodnoty délek měřené
mezi jednotlivými body sítě a opět jim odpovídající kovarianční matice
cov(L ) .
Řešením výše popsané úlohy jsme schopni odhadnout měřítkovou změnu nově
měřené sítě vzhledem k síti původní. Odhadnuté měřítko můžeme interpretovat
jako místní měřítko sítě, ale můžeme hledat i další příčiny jeho vzniku. Nezavedeme-li žádné v této kapitole popsané korekce pro měřené délky, pak odhadnuté měřítko a odhadnuta konstantní chyba délek bude v sobě tyto vlivy plně
obsahovat – rovnice 8.55 nebo 8.56.
M SUMA.2 = M FYZ M LOK M S − JTSK M XYZ
(8.55)
bSUMA.2 [ ppm] = bFYZ [ ppm] + bLOK [ ppm] + bS − JTSK [ ppm] + bXYZ [ ppm]
(8.56)
V následující kapitole budeme procvičovat probranou látku.
- 102 (116) -
8.4
Shrnutí
Tato kapitola by měla být praktickým dokreslením nabytých zkušeností týkajících se převodů měřených délek na výpočetní plochu.
Příklad 8-1
Vypočítejte korekce z nadmořské výšky. Uvedené délky byly převedeny na
vodorovné vzdálenosti ve výškách stanovisek pozorovaní užitím rovnice
8.14.
2030
2040
2080
2090
2110
2120
2130
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
= 593624.290m, X
= 593427.420m, X
= 593369.920m, X
= 592751.680m, X
= 593987.890m, X
= 592478.600m, X
= 592832.380m, X
= 1143841.810m, H = 323.880m]
= 1142807.460m, H = 282.670m]
= 1141974.690m, H = 288.530m]
= 1141928.240m, H = 337.080m]
= 1142743.110m, H = 317.610m]
= 1143019.860m, H = 358.890m]
= 1143878.800m, H = 320.670m]
4001 [Y = 593126m, X = 1142474m, Z = 300m]
4002 [Y = 593596m, X = 1142426m, Z = 300m]
l0 4001, 2090   662.114m 
l
 

 0 4001, 2040   449.422m 
l0 4001, 4002   472.709m 

 

l0 2040, 4002   417.156m 
l0 2040, 4001   449.420m 

 

l0 2040, 2130  = 1225.725m 
l
 1053.090m 
 0 2040, 2030  

l0 2040, 2110   564.269m 
l
 

 0 2110, 2030  1157.491m 
l0 2110, 4002   504.120m 

 

l0 2110, 2040   564.265m 
Pozn.: Měřené vzdálenosti opravte o vypočtené korekce.
Pozn.: R = 6381km
Příklad 8-2
Vypočtěte průměrnou korekci z nadmořské výšky pro danou lokalitu tj. pro
lokalitu zadanou měřením podle příkladu 8.1
Pozn.: Vypočtěte korigované měřené veličiny a odchylky vůči řešení
z předchozího příkladu.
Pozn.: R = 6381km
- 103 (116) -
Příklad 8-3
Vypočítejte korekce do Křovákova zobrazení. Uvedené délky jsou vztaženy k
ploše Besselova elipsoidu.
2030
2040
2080
2090
2110
2120
2130
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
= 593624.290m, X
= 593427.420m, X
= 593369.920m, X
= 592751.680m, X
= 593987.890m, X
= 592478.600m, X
= 592832.380m, X
= 1143841.810m, H = 323.880m]
= 1142807.460m, H = 282.670m]
= 1141974.690m, H = 288.530m]
= 1141928.240m, H = 337.080m]
= 1142743.110m, H = 317.610m]
= 1143019.860m, H = 358.890m]
= 1143878.800m, H = 320.670m]
4001 [Y = 593126m, X = 1142474m, Z = 300m]
4002 [Y = 593596m, X = 1142426m, Z = 300m]
l0,e 4001, 2090   662.082m 
l
 

 0,e 4001, 2040   449.400m 
l0,e 4001, 4002   472.686m 

 

l0,e 2040, 4002   417.137m 
l0,e
  449.400m 
 2040, 4001  

l0,e 2040, 2130  = 1225.670m 
l
 1053.043m 
 0,e 2040, 2030  

l0,e 2040, 2110   564.244m 
l
 

 0,e 2110, 2030  1157.433m 
l0,e 2110, 4002   504.094m 

 

l0,e 2110, 2040   564.236m 
Pozn.: Měřené vzdálenosti opravte o vypočtené korekce.
Pozn.: Souřadnicový systém S-JTSK
Příklad 8-4
Vypočtěte průměrnou korekci do zobrazení pro danou lokalitu tj. pro lokalitu zadanou měřením podle příkladu 8.3
Pozn.: Vypočtěte korigované měřené veličiny a odchylky vůči řešení
z předchozího příkladu.
Pozn.: Souřadnicový systém S-JTSK
Příklad 8-5
Určete místní měřítko sítě postupem popsaným v předchozí podkapitole. Je
zadán seznam původních souřadnic sítě a seznam měřených veličin.
- 104 (116) -
2030
2040
2080
2090
2110
2120
2130
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
[Y
= 593624.290m, X
= 593427.420m, X
= 593369.920m, X
= 592751.680m, X
= 593987.890m, X
= 592478.600m, X
= 592832.380m, X
= 1143841.810m]
= 1142807.460m]
= 1141974.690m]
= 1141928.240m]
= 1142743.110m]
= 1143019.860m]
= 1143878.800m]
mer
l2040
 1225.725m
, 2130
 mer
 

l2040, 2030  1053.090m
mer
l2040
 

, 2110 = 564.269m
 mer
 

l2110, 2030  1157.491m
l mer
 

 2110, 2040   564.265m 
mer
 662.114m 
l4001
, 2090
 
 mer

l4001, 2040  449.422m
mer
 472.709m
l4001
, 4002
=
 mer

l2040, 4002  417.156m
 449.420m
l mer
, 4001
 
 2040

mer
l2110, 4002  504.120m 
Pozn.: Zvolte konstantní přesnost měřených veličin ml = 0.010m
Příklad 8-6
Na základě analýzy výsledků předchozího příkladu bylo zjištěno, že měřená
data nebyla opravena o matematické korekce.
Měřené hodnoty:
l0 4001, 2090   662.114m 
l
 

 0 4001, 2040   449.422m 
l0 4001, 4002   472.709m 

 

l0 2040, 4002   417.156m 
l0 2040, 4001   449.420m 

 

l0 2040, 2130  = 1225.725m 
l
 1053.090m 
 0 2040, 2030  

l0 2040, 2110   564.269m 
l
 

 0 2110, 2030  1157.491m 
l0 2110, 4002   504.120m 

 

l0 2110, 2040   564.265m 
převeďte do S-JTSK.
bFYZ = 0.00 ppm , bLOK = −46.53 ppm , bS − JTSK = −98.67 ppm a a = −35mm
Vypočtěte místní měřítko sítě je-li bSUMA.2 = −146.58 ppm
- 105 (116) -
Řešení
A. Korekce z nadmořské výšky
bLOK 4001, 2090  - 47.01ppm  l0,e 4001, 2090   662.082m 
 
b
 
 l

 LOK 4001, 2040  - 47.01ppm   0,e 4001, 2040   449.400m 
bLOK 4001, 4002  - 47.01ppm  l0,e 4001, 4002   472.686m 
 

 
 

bLOK 2040, 4002  - 44.30ppm  l0,e 2040, 4002   417.137m 
  449.400m 
bLOK 2040, 4001  - 44.30ppm  l0,e
2040 , 4001
 

 
 , 

bLOK 2040, 2130  = - 44.30ppm  l0,e 2040, 2130  = 1225.670m 
 1053.043m 
b
 - 44.30ppm  l
0, e
 LOK 2040, 2030  
  2040, 2030  

bLOK 2040, 2110  - 44.30ppm  l0,e 2040, 2110   564.244m 
 
b
 
 l

 LOK 2110, 2030  - 49.77ppm   0,e 2110, 2030  1157.433m 
bLOK 2110, 4002  - 49.77ppm  l0,e 2110, 4002   504.094m 
 

 
 

bLOK 2110, 2040  - 49.77ppm  l0,e 2110, 2040   564.236m 
A. Průměrná výška lokality a jí odpovídající korekce
H LOK = 296.925m
bLOK = −46.53 ppm
B. Korigované délky a porovnání s příkladem 8.1.
l0,e 4001, 2090   662.083m  vl 4001, 2090   - 0mm 
l
 
 
 

 0,e 4001, 2040   449.401m  vl 4001, 2040   - 1mm 
l0,e 4001, 4002   472.687m  vl 4001, 4002   - 1mm 

 
 
 

l0,e 2040, 4002   417.136m  vl 2040, 4002   + 0mm 
l 0 , e
  449.399m  vl
  + 0mm 
2040 , 4001
 2040, 4001  
 
 , 

l0,e 2040, 2130  = 1225.667m  vl 2040, 2130  =  + 3mm 
l
 1053.040m  v
 + 2mm
 0,e 2040, 2030  
  l 2040, 2030  

l0,e 2040, 2110   564.242m  vl 2040, 2110  + 2mm
l
 
 
 

 0,e 2110, 2030  1157.437m  vl 2110, 2030   - 3mm 
l0,e 2110, 4002   504.096m  vl 2110, 4002   - 2mm 

 
 
 

l0,e 2110, 2040   564.238m  vl 2110, 2040   - 2mm 
- 106 (116) -
A. Korekce ze zobrazení a korigovaná měření
bS − JTSK 4001, 2090  - 98.57ppm  l S − JTSK 4001, 2090   662.016m 
b
 
 
 

 S − JTSK 4001, 2040  - 98.57ppm  l S − JTSK 4001, 2040   449.355m 
bS − JTSK 4001, 4002  - 98.57ppm  l S − JTSK 4001, 4002   472.639m 

 
 
 


 
 
 , 

bS − JTSK 2040, 2130  = - 98.68ppm  l S − JTSK 2040, 2130  = 1225.549m 
b
 - 98.68ppm  l
 1052.939m 
 S − JTSK 2040, 2030  
  S − JTSK 2040, 2030  

b
 
 
 l

 S − JTSK 2110, 2030  - 98.73ppm   S − JTSK 2110, 2030  1157.318m 

 
 
 

bS − JTSK 2110, 2040  - 98.73ppm  l S − JTSK 2110, 2040   564.180m 
A. Průměrné souřadnice lokality a jim odpovídající korekce
y LOK = 593498.070m
x LOK = 1142699.040m
bS − JTSK = −98.67 ppm
B. Korigované délky a porovnání s příkladem 8.3.
l S − JTSK 4001, 2090   662.016m  vl 4001, 2090  0mm
 
l
 
 

 S − JTSK 4001, 2040   449.355m  vl 4001, 2040  0mm
l S − JTSK 4001, 4002   472.639m  vl 4001, 4002  0mm
 

 
 

l S − JTSK 2040, 4002   417.095m  vl 2040, 4002  0mm
 0mm
l S − JTSK 2040, 4001   449.355m  vl

 
 ,  2040, 4001  

l S − JTSK 2040, 2130  = 1225.549m  vl 2040, 2130  = 0mm
 0mm
l
 1052.939m  v
 S − JTSK 2040, 2030  
  l 2040, 2030  

l S − JTSK 2040, 2110   564.188m  vl 2040, 2110  0mm
 
l
 
 

 S − JTSK 2110, 2030  1157.318m  vl 2110, 2030  0mm
l S − JTSK 2110, 4002   504.044m  vl 2110, 4002  0mm
 

 
 

l S − JTSK 2110, 2040   564.180m  vl 2110, 2040  0mm
- 107 (116) -
A. Sestavení úlohy
m0.apri = 1.000000 ,
ml = 0.010m ,
A0 = 0mm , B0 = 0 ppm
vl 2040, 2130  − 1 / 1000

 
vl 2040, 2030  − 1 / 1000
v
 = − 1 / 1000
 l 2040, 2110  
vl 2110, 2030  − 1 / 1000
v
 
 l 2110, 2040  − 1 / 1000
- 1.225497E - 03 
- 0.228367

 - 0.171333
- 1.052919E - 03 

 dA 
- 5.641521E - 04   +  - 0.116943

 dB  
- 1.157301E - 03 
- 0.189548
 - 0.112943
- 5.641521E - 04
Pozn.: Neznáme parametry A a B určíme pouze na základě měřených veličin
mezi body výchozí sítě.
n = 5 , k = 2 , n − k = 3 , m0.apost = 1.460548
L 2040,2130  1225.706m m L 2040,2130  10mm  v l 2040,2130   - 19mm 
 
 
L
 
 m
 v

 2040,2030  1053.103m  L 2040,2030   7mm   l 2040,2030  + 13mm
L 2040,2110  =  564.265m  , m L 2040,2110  = 10mm ,  v l 2040,2110  =  - 4mm 
 
 

 
 
 

L 2110,2030  1157.501m m L 2110,2030   9mm   v l 2110,2030  + 10mm
L 2110,2040   564.265m  m L 2110,2040  10mm  v l 2110,2040   - 0mm 






 A  - 30.027mm  m A   21.577 mm 
 B  = - 146.581 ppm , m  = 22.529 ppm
  
  B 

E. Veličiny korigované o vliv a[mm] a b [ppm]
l 4001, 2090   661.986m 
l
 

 4001, 2040   449.326m 
l 4001, 4002   472.609m 

 

l 2040, 4002   417.064m 
l 2040, 4001   449.324m 

 

l 2040, 2130  = 1225.515m 
l
 1052.905m 
 2040, 2030  

l 2040, 2110   564.156m 
l
 

 2110, 2030  1157.291m 
l 2110, 4002   504.016m 

 

l 2110, 2040   564.152m 
Pozn.: Značně velká hodnota měřítkové změny svědčí o významné deformaci
sítě.
- 108 (116) -
A. Sestavení úlohy
bSUMA.1 = −145.20 ppm
bSUMA.2 = −146.58 ppm
bXYZ = bSUMA.2 − bSUMA.1 = 1.38 ppm
a = −35mm
B. Převod veličin do S-JTSK
l S − JTSK 4001, 2090   661.982m 
 
l

 S − JTSK 4001, 2040   449.321m 
l S − JTSK 4001, 4002   472.605m 
 


l S − JTSK 2040, 4002   417.060m 
l S − JTSK 2040, 4001   449.319m 
 


l S − JTSK 2040, 2130  = 1225.512m 
 1052.902m 
l
 S − JTSK 2040, 2030  

l S − JTSK 2040, 2110   564.152m 
 
l

 S − JTSK 2110, 2030  1157.287m 
l S − JTSK 2110, 4002   504.011m 
 


l S − JTSK 2110, 2040   564.148m 
Kontrolní otázky
Jaké rozlišujeme korekce měřených délek ?
Jakých hodnot dosahuje délkové zkreslení u Křovákova zobrazení ?
Co si vybavíte pod pojmem centrace měřené délky ?
Vyjmenujte druhy centrací a jejich přesnosti.
Co je to místní měřítko sítě ?
Řešení
Informace
Tato kapitola se věnuje úpravě délkových veličin před vlastním vyrovnáním
geodetické sítě. V této souvislosti hovoříme o tzv. matematických a fyzikálních
korekcích měřených délek. Výsledkem jednotlivých úprav jsou veličiny převedené na výpočetní plochu, za kterou jsme zvolili rovinu Křovákova kartografického zobrazení. I v případě správného zavedení všech uvažovaných korekcí
data do sítě výchozí zapadnout nemusí. Příčinou toho jevu je tzv. místní měřítko sítě.
- 109 (116) -
Následující kapitola čtenáře seznámí s úpravami měřených převýšení pro vyrovnání výškové složky sítě.
- 110 (116) -
Nivelační měření
9
Nivelační měření
Měření nivelačních převýšení metodou geometrické nivelace ze středu patří
k nejpropracovanějším geodetickým metodám. Výšky přenášíme pomocí diferenciálně měřených výškových rozdílů v rámci nivelačních sestav. Měření je
tedy plně ovlivněno skutečným tíhovým polem Země.
Většina systematických vlivů, které by mohly nepříznivě ovlivnit výsledky
měření, je vyloučena technologickými postupy nivelace.
V případě nivelačních měření opět rozlišujeme několik typů fyzikálních a matematických korekcí.
Mezi fyzikální korekce zařadíme:
• korekci z teplotní roztažnosti latě
• korekci z nesprávných délek laťových metrů
Tyto korekce se zavadí pouze u těch nejpřesnějších nivelačních technik – PN a
VPN.
Mezi matematické korekce zařaďme:
• převod převýšení ve skutečném tíhovém poli Země na převýšení v systému
Normálních Moloděnského výšek.
Tyto korekce se opět zavádějí jen při nejpřesnějších pracích.
Přesnosti, druhy nivelačních technik a též zavádění jednotlivých druhů korekcí
pro naměřená převýšení jsou dopodrobna rozebrány v předmětu vyšší geodézie.
Kontrolní otázky
Jak se udává přesnost nivelačních měření ?
Vyjmenujte nivelační observační techniky a uveďte jejich přesnosti.
Vyjmenujte systematické chyby při nivelaci, které vylučujeme metodou měření.
Vyjmenujte osové zkoušky nivelačního přístroje.
Řešení
Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v souvisejících studijních materiálech.
Informace
Následují kapitola je informací o přípravě družicových měření pro vyrovnání.
- 111 (116) -
- 112 (116) -
Zpracování vektorů GPS
10
Zpracování vektorů GPS
Výsledkem družicových měření jsou tzv. vektory udávající vzájemný vztah
bodů geodetické sítě. Vektor je definovaný v prostorovém geocentrickém systému, který je pevně spojen se zemským tělesem.
Vezmeme-li v úvahu družicový systém GRS NAVSTAR, pak měřený vektor
bude vyjádřen v prostorovém systému WGS-84.
U družicových měření mezi fyzikální korekce zařadíme:
• převod apriorně měřených dat na měřené vektory
Výsledkem zpracování družicových dat jsou vektory v trojrozměrném systému
WGS-84 a jim odpovídající kovarianční matice.
Existuje řada metod pro objektivní stanovení přesnosti družicových měření ve
fázi přípravy dat pro vyrovnání. Tato problematika je náplní předmětu kosmická geodézie.
Mezi matematické korekce družicových měření patří:
• převod družicových měření do prostorového systému spojeného s elipsoidem, na kterém je definováno kartografické zobrazení
• převod výšek elipsoidických na nadmořské
• převod horizontální složky družicového vektoru do roviny kartografického
zobrazení
Převody družicově měřených vektorů na výpočetní plochy uvažované v rámci
tohoto studijního materiálu jsou podrobně rozepsány v předmětech matematická kartografie a kosmická geodézie.
V předmětu kosmická geodézie najdete i specifikace a přesnosti různých observačních technik.
Kontrolní otázky
Jak se udává přesnost družicových měření ?
Vyjmenujte družicové observační techniky a uveďte jejích přesnosti.
Vyjmenujte systematické chyby družicových měření.
Řešení
Odpovědi na kontrolní otázky jsou obsaženy v souvisejících studijních materiálech.
Informace
Závěrečná kapitola přináší informace o doplňkové literatuře k předmětu.
- 113 (116) -
- 114 (116) -
Závěr
11
Závěr
Tato kapitola je rekapitulací dovedností, které si čtenář tohoto studijního materiálu osvojil a které dále uplatní při řešení geodetických sítí.
Vyrovnáním geodetických sítí a transformacemi souřadnic se bude zabývat
navazující studijní text.
11.1 Shrnutí
Tento studijní materiál se zabýval:
• vývojem geodetických základů na našem území
• opakováním vybraných kapitol ze souvisejících odborných předmětů
• převody měřených směrů na výpočetní plochu
• převody měřených délek na výpočetní plochu
• zpracováním nivelačních měření
• zpracováním vektorů družicových měření
11.2 Studijní prameny
Uvedená literatura umožňuje čtenáři hlubší proniknutí do problematiky řešení
geodetických sítí a problematiky transformací souřadnic užitím MNČ a je tedy
námětem pro další studium a rozšiřování vlastních znalostí v dané oblasti.
11.2.1 Seznam použité literatury
[1]
Kratochvíl, V. Polohové geodetické sítě – Aplikace metody nejmenších
čtverců a transformace souřadnic. Vojenská akademie v Brně 2000.
[2]
Kratochvíl, V., Fixel, J. Globální systém určování polohy – GPS - Aplikace v geodézii. Vojenská akademie v Brně 2001.
[3]
Nevosád, Z., Vitásek, J., Bureš, J. Geodézie IV. CERM Brno 2002.
11.2.2 Seznam doplňkové studijní literatury
[4]
Hampacher, M., Radouch, V. Teorie chyb a vyrovnávací počet 10.
Ediční středisko ČVUT Praha 1997.
[5]
Hampacher, M., Radouch, V. Teorie chyb a vyrovnávací počet 20.
Ediční středisko ČVUT Praha 1997.
[6]
Koutková, H., Moll, I. Úvod do pravděpodobnosti a matematické statistiky. CERM Brno 2001.
- 115 (116) -
11.2.3 Odkazy na další studijní zdroje a prameny
[7]
Velmi doporučuji prostudování souvisejících studijních opor vydaných
Ústavem geodézie VUT v Brně.
11.3 Klíč
Odpovědi na otázky, výsledky příkladů a postupy řešení úkolů obsažených
v tomto studijním materiálu jsou vždy situovány na konce jednotlivých kapitol.
V případě nejasnosti doporučuji vyhledat výše uvedenou literaturu.
11.4 Poznámka
Postřehy a náměty ze strany čtenářů jsou obecně velmi prospěšné pro inovace a
další rozšiřovaní studijních materiálů libovolného typu. Cestou zpětné vazby
od čtenářů můžu též velmi operativně upravit méně srozumitelné pasáže a případně i chyby textu. Vaše připomínky a náměty zasílejte na emailovou adresu
[email protected].
- 116 (116) -

geodetické sítě

Transkript

Podobné dokumenty

Nová inovativní řešení dodávek dřevní biomasy v EU

Ultrazvuková sonda HT-68

Lokalizace webové stránky - translation

Svět tisku

Produkty - ManagementMania.com