Úvod do nelineárního kmitání soustav s jedním stupněm volnosti

Úvod do nelineárního kmitání soustav s jedním stupněm volnosti

Úvod do nelineárního kmitání soustav
s jedním stupněm volnosti
Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Ve všech partiích předmětu Matematická teorie kmitání jsme se zabývali soustavami,
jejichž matematický model tvořily lineární diferenciální rovnice (obyčejné pro diskrétní
soustavy a parciální pro soustavy se spojitě rozloženými parametry). Tyto soustavy
měly velmi příjemnou vlastnost, kterou v mechanice nazýváme principem superpozice. Tento princip umožňuje najít obecné řešení homogenní rovnice a jediné konkrétní
řešení rovnice s pravou stranou pro jmenovité (”jednotkové”) buzení, abychom našli
obecné řešení nehomogenní rovnice s ”nejednotkovou” pravou stranou. Pro nelineární
soustavy tento princip neplatí, což značně znesnadňuje řešení např. vynucených nelineárních kmitů.
Popis jevů v přírodě je prakticky vždy nelineární (kmitavé jevy v mechanice nevyjímaje). Teorie lineárních soustav může (se všemi svými příjemnými vlastnostmi)
představovat první přiblížení řešení nelineárních úloh, zejména pro případ malých změn
stavových veličin (výchylek, rychlostí). Při větších změnách těchto veličin, kdy už lineární aproximace zpravidla nestačí, je třeba se zabývat i nelineárními soustavami. V této
partii se budeme věnovat soustavám s jedním stupněm volnosti.
1
Klasifikace nelineárního kmitání
Obecný tvar pohybové rovnice nelineární kmitavé soustavy s jedním stupněm volnosti
je
mẍ + g(x, ẋ, t) = 0 .
(1)
Zde m je zobecněná hmotnost (závisející na typu zobecněné souřadnice x), ẋ je zobecněná rychlost a funkce g (obecně tří proměnných) popisuje všechny statické silové
účinky působící na hmotnost m. Je-li funkce g v okolí bodu [x, ẋ] = [0, 0] pro každé t
diferencovatelná v proměnných x a ẋ, lze v tomto okolí psát
g(x, ẋ, t) = g(0, 0, t) +
∂g
∂g
(0, 0, t)x +
(0, 0, t)ẋ + h(x, ẋ, t) .
∂x
∂ ẋ
Označíme-li
∂g
∂g
(0, 0, t) = k(t) ;
(0, 0, t) = b(t) ,
∂x
∂ ẋ
lze pohybovou rovnici (1) psáti ve tvaru
g(0, 0, t) = −f (t) ;
mẍ + b(t)ẋ + k(t)x + h(x, ẋ, t) = f (t) .
Tím jsme oddělili lineární a nelineární část modelu. První tři sčítanci tvoří jeho lineární část, čtvrtý sčítanec tvoří jeho nelineární část, f (t) je budící funkce. Pro případ,
že nelineární část nezávisí explicitně na čase, jsou touto pohybovou rovnicí popsány
1
časově variantní soustavy. Jsou-li funkce b(t) a k(t) konstantami, říkáme příslušným
soustavám časově invariantní soustavy. Popisuje je pohybová rovnice
mẍ + bẋ + kx + h(x, ẋ) = f (t) .
Pokud lze psát nelineární funkci h(x, ẋ) ve tvaru součtu funkcí, z nichž každá závisí pouze
na jediné proměnné, lze k těmto funkcím přidat i příslušné lineární členy a pohybovou
rovnici pak psát jako
mẍ + b(ẋ) + k(x) = f (t) .
(2)
Soustavami tohoto typu se budeme podrobněji zabývat. Funkce b(ẋ) má pak význam (nelineárního) tlumícího účinku a nazývá se tlumící charakteristika soustavy. Funkce
k(x) má pak význam (nelineárního) elastického účinku a nazývá se tuhostní charakteristika soustavy. Pohybová rovnice (2) je potom podmínkou ekvivalence budícího
účinku s účinky setrvačnými, tlumícími a elastickými. Jestliže funkce f (t) je identicky
nulová, hovoříme o volném kmitání. Je-li navíc i funkce b(ẋ) identicky nulová, hovoříme o konzervativní soustavě. Její pohybová rovnice má tvar
mẍ + k(x) = 0 .
(3)
Pro rostoucí tuhostní charakteristiky procházející počátkem definujeme pojmy tvrdnoucí (progresivní) a měknoucí (degresivní) charakteristiky následujícím způsobem.
Tuhostní charakteristika k(x), pro kterou je k(0) = 0 se nazývá v bodě x0 > 0, ve kterém
má derivaci, tvrdnoucí, je-li funkce k(x) v tomto bodě konvexní (její graf v blízkém okolí
leží ”nad tečnou”). Charakteristika se v tomto bodě nazývá měknoucí, je-li funkce k(x)
v tomto bodě konkávní (její graf v blízkém okolí leží ”pod tečnou”). Jinak je tomu
pro bod x0 < 0. V tomto bodě se charakteristika nazývá tvrdnoucí, je-li funkce k(x) v
tomto bodě konkávní. Charakteristika se v tomto bodě nazývá měknoucí, je-li funkce
k(x) v tomto bodě konvexní. Na obrázku 1a je příklad charakteristiky v bodech x1 i x2
tvrdnoucí, charakteristika na obr.1b je v bodě x1 měknoucí a v bodě x2 tvrdnoucí. U
charakteristiky na obrázku 1c je tomu naopak a charakteristika uvedená na obr.1d je v
obou bodech měknoucí.
k (x)
k (x)
x2
0
x1
x
x2
0
Obrázek 1a:
x1
Obrázek 1b:
2
x
k (x)
k (x)
x2
0
x2
x
x1
0
Obrázek 1c:
x1
x
Obrázek 1d:
Poznámky:
1. Výše popsané pojmy nedefinujeme pro charakteristiky neprocházející počátkem,
ani pro charakteristiky nerostoucí, ani pro charakteristiky v bodech zlomu (kde
neexistuje jejich derivace).
2. Má-li charakteristika v bodě x0 6= 0 inflexi, není v tomto bodě ani tvrdnoucí ani
měknoucí.
3. Je-li charakteristika splňující podmínky definic výše dvakrát diferencovatelná, pak
2
2
pro x0 > 0 je-li ddxk (x0 ) > 0, je charakteristika tvrdnoucí, je-li ddxk (x0 ) < 0, je
2
charakteristika měknoucí. Pro body x0 < 0 je tomu naopak. Je-li ddxk (x0 ) > 0, je
2
charakteristika měknoucí, je-li ddxk (x0 ) < 0, je charakteristika tvrdnoucí.
2
Důležité tuhostní a tlumící charakteristiky
Důležitými tuhostními charakteristikami jsou charakteristiky po částech lineární. Relativně obecným případem tohoto typu je tzv. soustava se dvěma narážkami, jejíž
dynamický model ve statické rovnovážné poloze (od níž kótujeme výchylku) je znázorněn
na obr.2. Trvale připojená pružina je lineární o tuhosti k1 a narážku tvoří lineární
k 2 /2
k 3 /2
m
k1
k 3 /2
k 2 /2
∆1
∆2
Obrázek 2:
pružiny (na každé straně jiná) o tuhostech k2 resp. k3 . Tuhostní charakteristika takové
soustavy je znázorněna na obr.3, přičemž platí tgβ1 = k1 , tgβ2 = k1 +k2 a tgβ3 = k1 +k3 .
Vzdálenost statické rovnovážné polohy od místa zapojení ”levé” narážky je ∆1 a od místa
zapojení ”pravé” narážky pak ∆2 . Analytický popis tuhostní charakteristiky (závislosti
elastické síly na výchylce ze statické rovnovážné polohy) je podle velikosti výchylky
popsán třemi lineárními funkcemi tvaru
3
k(x)
β3
β1
−∆1
0
x
∆2
β
2
Obrázek 3:
k(x) = −k1 ∆1 − (k1 + k2 )(x + ∆1 ) pro x < −∆1 ,
k(x) = k1 x pro x ∈ h−∆1 , ∆2 i ,
k(x) = k1 ∆2 + (k1 + k3 )(x − ∆2 ) pro x > ∆2 .
Je-li k2 = 0 (popřípadě k3 = 0) jedná se o soustavu s jednou narážkou, jejíž
charakteristika má jediný bod zlomu a je na obr.4a resp. 4b.
k(x)
k(x)
β
3
β
−∆
1
1
0
β
1
0
∆
x
β2
Obrázek 4a:
Obrázek 4b:
Jestliže je k1 = 0 jedná se o tzv. soustavu s vůlí. V jejím případě je možno provést
2
. Dynamický model soustavy s vůlí je znázorněn
posun ve výchylce a klást ∆ = ∆1 +∆
2
na obr.5a a jeho tuhostní charakteristika na obr.5b.
4
x
k(x)
β
3
β
2
k2
∆
0
k3
m
∆
−∆
∆
Obrázek 5a:
Obrázek 5b:
Důležitým případem je soustava s předpětím F0 , jejíž dynamický model je na
obr.6a resp. na obr.6b. Tuhostní charakteristika takové soustavy se popíše vztahy
l 02 , k/2
l 01 , k/2
m
m
k
b
l 0 − F0 /k
l 01 + l02 + b − F0 /k
Obrázek 6a:
Obrázek 6b:
k(x) = −F0 + kx pro x < 0 ; k(x) = F0 + kx pro x > 0 .
Pro výchylku konvergující k nule zprava je vratná síla v pružině k(x) = F0 , zatímco pro
výchylku konvergující k nule zleva je k(x) = F0 . Síla, jež uvádí soustavu do rovnováhy v
poloze x = 0 pak může být libovolné hodnoty z intervalu h−F0 , F0 i. Kdybychom tento
fakt zohlednili do tvaru tuhostní charakteristiky této soustavy, bude mít tvar podle
k(x)
β
F
0
x
0
β
−F
0
Obrázek 7:
obr.7, kde tgβ = k. Z matematického hlediska to není funkce, protože nezávisle proměnné
x = 0 je přiřazeno nekonečné množství hodnot.
5
x
Popíšeme ještě další nelineární modely s jinými typy charakteristik. Jedním z nich
je matematické kyvadlo. Mějme hmotný bod hmotnosti m zavěšený na nehmotném
závěsu délky l v gravitačním poli Země (obr.8). Po vychýlení kyvadla ze statické rov-
l
ϕ
S
m
.
ml ϕ 2
..
ml ϕ
mg
ϕ
t
n
Obrázek 8:
novážné polohy ϕ = 0 eventuálně po udělení nenulové počáteční rychlosti hmotě dojde k
pohybu (kývání) kyvadla. V obecné poloze ϕ 6= 0 jsou silové poměry znázorněny na obr.8
(hmotný bod se pohybuje po kružnici, takže setrvačnými účinky jsou tečná setrvačná
síla a odstředivá síla). Vlastní pohybovou rovnicí je podmínka dynamické rovnováhy do
směru tečny, tedy podmínka
mg sin ϕ + mlϕ̈ = 0 .
Odtud plyne rovnice
g
sin ϕ = 0 .
(4)
l
Je to podmínka tvaru (3) pro tuhostní charakteristiku k(ϕ) = gl sin ϕ . Poznamenejme,
že tato charakteristika je v intervalu ϕ ∈ (− π2 , π2 ) měknoucí.
Poznámka: Rozvineme-li funkci f (ϕ) = sin ϕ v Taylorův rozvoj v okolí nuly, dostáváme
ϕ̈ +
f (ϕ) = f (0) +
∞
X
f (i) (0)
i=1
i!
ϕi =
∞
X
(−1)i−1
i=1
ϕ2i−1
.
(2i − 1)!
Vezmeme-li pro dostatečně malá ϕ z tohoto rozvoje pouze první dva členy, máme
ϕ3
,
sin ϕ ≈ ϕ −
6
takže pohybová rovnice (4) je
g
ϕ3
ϕ̈ +
ϕ−
l
6
6
!
.
Je to rovnice formálně shodná s rovnicí hmotného bodu spojeného s rámem nelineární
pružinou o charakteristice k(ϕ) = k1 ϕ + k3 ϕ3 , kde k1 = gl > 0 a k3 = − 6lg < 0.
Analogickou tuhostní charakteristiku má i dále popsaná soustava. Mějme dvě identické pružiny volných délek l0 , tuhostí k zapojené za sebou mezi dvěma vetknutími
vzdálenými a = 2l0 (obr.9a). Ve společném bodě obou pružin se nachází hmotný bod
hmotnosti m. V rovině kolmé na osu pružin procházející hmotným bodem vychýlíme
tento bod o vzdálenost y0 (a eventuálně mu ve stejném směru udělíme též počáteční
rychlost v0 ). Tím dojde k pohybu ve směru vektoru počátečních podmínek. Obecná
výchylka z rovnovážné polohy nechť
q je y (obr.9b). V této poloze je každá z pružin deformovaná (prodloužená) o hodnotu l02 + y 2 − l0 . Vratné síly F~i v osách pružin pak mají
stejnou velikost
F1
k
k
m
F
β
l0
F2
β
l0
Obrázek 9a:
Fi = k
Obrázek 9b:
q
l02 + y 2 − l0 , i = 1, 2 .
(5)
Výsledná síla F~ = F~1 + F~2 směřuje zřejmě ve směru kolmém na spojnici bodů vetknutí
(obr.9b) a má velikost F = 2Fi sin β, kde β je odchylka os pružin v obecné poloze od
vodorovného směru. Zřejmě je (obr.9b) sin β = √ 2y 2 . Odtud a z (5) plyne
l0 +y






l0
1
.
 = 2ky 1 − r
F = 2ky 1 − q


2
2
2
y
l0 + y
1 + l0
Proveďme rozklad funkce f (x) =
√1
1+x
(6)
v okolí nuly v Taylorovu řadu. Zřejmě je
1·3
1·3·5
1
1
1
1
q
; f ′′ (x) = 2 q
; f ′′′ (x) = −
, ... .
f ′ (x) = − q
2 (1 + x)3
2
23
(1 + x)5
(1 + x)7
Proto je
1
1·3
1·3·5
f (0) = 1 ; f ′ (0) = − ; f ′′ (0) = 2 ; f ′′′ (0) = −
; ...
2
2
23
a Taylorův rozvoj má tvar
f (x) = f (0) +
∞
X
f (i) (0)
i=1
i!
xi = 1 +
∞
X
(−1)i
i=1
1 · 3 · · · (2i − 1) i
x .
2i i!
Vezměme pro dostatečně malé x z tohoto rozvoje první dva členy. Dostaneme
√
1
x
≈1− .
2
1+x
7
(7)
2
Pro dostatečně malé y (y << l0 ) je ly0 << 1 a lze jej vzít za proměnnou x v aproximaci
(7). Velikost vratné síly F v (6) pak přepíšeme na tvar
.
F = 2ky
y
l0
2
k
1
= 2 y3 .
2
l0
Pro malé výchylky má popisovaná soustava tedy kubickou tuhostní charakteristiku.
Poznámka: Jsou-li obě pružiny v předchozí úloze ve statické rovnovážné poloze už deformovány o ∆ l = a2 − l0 > q
0, má deformace ξ pružin v poloze y hmotného bodu hodnotu
q
2
ξ = (l0 + ∆ l)2 + y 2 = a4 + y 2 . Vztahy Fi = kξ a F = 2Fi sin β zůstávají formálně
zachovány. Protože platí sin β = q 2y , dostáváme
a
4

F = 2ky 1 − q
Náhrada (7) pro x =
4y 2
a2
dává
2l0
2y 2
.
F = 2ky 1 −
1− 2
a
a
"


1
2l
 = 2ky 1 − 0 · q
a
+ y2
1+
l0
a2
4
+y 2
4y 2
a2

 .
8kl0
2l0
y + 3 y3 .
= 2k 1 −
a
a
!
!#
Zatímco v případě pružin ve statické rovnovážné poloze ve volných délkách má tuhostní
charakteristika (pro malé výchylky) tvar k(y) = k3 y 3 (k3 = lk2 > 0), je pro případ ve
0
statické rovnovážné poloze už deformovaných
pružin
tato
charakteristika
tvaru k(y) =
2l0
8kl0
3
= k1 y + k3 y , kde k1 = 2k 1 − a > 0 a k3 = a3 > 0.
Stejně jako byly výše definovány nelineární tuhostní charakteristiky, lze definovat
i (obecně) nelineární tlumící charakteristiky b(ẋ), jakožto závislost tlumící síly na zobecněné rychlosti. Pro lineární (viskózní) tlumení je tato charakteristika lineární funkcí
své proměnné, tedy b(ẋ) = b0 ẋ, kde b0 je (konstantní) tlumící koeficient. Technicky
velmi důležitá tlumící charakteristika popisuje tlumení suchým (Coulombovým) třením.
Příslušná charakteristika je dána tzv. Stribeckovým diagramem znázorněným na
obr.10.
b(dx/dt)
Ta
T0
0
dx/dt
−T
0
−Ta
Obrázek 10:
8
Podstatnými veličinami charakteristiky jsou třecí síla za klidu (adhezní síla) Ta a
třecí síla za pohybu T0 . Pro nulovou rychlost může třecí síla nabývat libovolné hodnoty
z intervalu h−Ta , Ta i. Pro nenulovou rychlost pak absolutní hodnota třecí síly klesá se
vzrůstající rychlostí a ustaluje se na hodnotě ±T0 . Charakteristiku potom píšeme jako
b(ẋ) = g(|ẋ|)sign(ẋ) ,
kde g je vhodně volená funkce jedné proměnné, definovaná na intervalu h0, ∞). Tato
funkce by na malém intervalu rychlostí (0, ε) měla být prudce rostoucí, v bodě ε by
měla mít hodnotu Ta a poté mírně klesat. Přímku ẋ = T0 by měla mít za asymptotu.
Osvědčila se například funkce tvaru
g(η) = T0 + (Ta − T0 )e−βη
pro vhodně volené (dostatečně velké)β > 0. Často se používá jako první přiblížení se k
Stribeckovu diagramu charakteristika na obr.11. Je popsána výrazem
b(dx/dt)
Ta
T0
0
dx/dt
−T
0
−Ta
Obrázek 11:
b(ẋ) = T0 sign(ẋ) pro ẋ 6= 0 ; b(0) ∈ h−Ta , Ta i libovolné .
Tato charakteristika není funkcí, protože nulové rychlosti jest přiřazeno nekonečné množství hodnot.
3
Konzervativní soustava ve fázové rovině
Nelineární konzervativní soustavu o tuhostní charakteristice k(x) s pohybovou rovnicí
mẍ + k(x) = 0
(8)
lze exaktně řešit prostřednictvím jejího prvního (energetického) integrálu. Řešení
lze zobrazit v tzv. fázové rovině, což je dvoudimenzionální prostor výchylky (znázorňované na vodorovnou osu) a rychlosti (znázorňované na svislou osu). Dosaďme do rovnice
9
2
ẋ
. Dostaneme diferenciální rovnici prvního řádu pro neznámou
(8) za zrychlení ẍ = 12 ddx
funkci ẋ(x) se separovatelnými proměnnými tvaru
m 2
dẋ = −k(x)dx .
2
Řešíme-li (8) pro počáteční podmínky x(0) = x0 a ẋ(0) = ẋ0 , dostaneme odtud integrací
Z x
m 2
k(x)dx .
(ẋ − ẋ20 ) = −
2
x0
Nechť Ep (x) je neurčitý integrál (primitivní funkce) k tuhostní charakteristice k(x).
Tato veličina má význam potenciální energie kumulované v nelineární pružině. Potom
předchozí výraz přepíšeme na tvar
m 2
(ẋ − ẋ20 ) = Ep (x0 ) − Ep (x) .
2
(9)
Tato rovnice vyjadřuje zákon zachování mechanické energie, neboť 12 mẋ2 je kinetická
energie posouvající se hmoty. Rovnice (9) má tedy tvar
Ek (x) − Ek (x0 ) = Ep (x0 ) − Ep (x) ,
odkud
Ek (x) + Ep (x) = Ek (x0 ) + Ep (x0 ) = konst .
Z rovnice (9) dále plyne
2
[Ep (x0 ) − Ep (x)] .
(10)
m
To je analyticko-geometrická rovnice křivky ve fázové rovině, dle které se mění výchylka
x a rychlost ẋ hmoty m. Plyne odtud, že
ẋ2 = ẋ20 +
s
ẋ = ± ẋ20 +
2
[Ep (x0 ) − Ep (x)] .
m
(11)
Fázová trajektorie je tedy symetrická podle osy x výchylky. Jsou-li počáteční podmínky
takové, že pravá strana (10) má alespoň dva nulové body, je fázová trajektorie uzavřenou
křivkou. Označíme-li nulové body pravé strany (10), jež jsou (”z každé strany”) nejbližší
počáteční podmínce x0 jako xmin a xmax , dostáváme dosazením ẋ = dx
do (11), následnou
dt
separací proměnných a integrací mezi polohami xmin a xmax (v poloze xmin začínáme
měřit čas), že perioda T pohybu hmoty m jest dána výrazem
T =2
Z
dx
xmax
xmin
q
ẋ20
+
2
[Ep (x0 )
m
− Ep (x)]
.
Tento integrál je v praxi možno určit jen pro velmi omezenou množinu tuhostních charakteristik k(x).
Poznámka: Jestliže po separaci v (11) integrujeme mezi polohami x0 (odpovídá času
nula) a x (odpovídá času t), získáme
t=
Z
dx
x
x0
q
ẋ20 +
2
[Ep (x0 )
m
10
− Ep (x)]
.
Integrál je funkcí horní meze. Tato funkce je inverzní funkcí k časové závislosti x(t)
výchylky hmoty m.
Příklad: Jako ukázku výše popsaného postupu vyřešme lineární soustavu o charakteristice k(x) = kx (k =konst - tuhost pružiny) pro počáteční podmínky x(0) = x0 ,
ẋ(0) = ẋ0 .
R
R
Řešení: Zřejmě je Ep (x) = k(x)dx = k xdx = k2 x2 . Zákon zachování mechanické
energie (9) nabývá tvaru
m 2
k
(ẋ − ẋ20 ) = (x20 − x2 ) ,
2
2
odkud
mẋ2 + kx2 = mẋ20 + kx20 .
Dělením rovnice (nenulovou) pravou stranou dostaneme po dílčí úpravě
x2
ẋ2
+
= 1.
k 2
ẋ2
x0 x20 + m
ẋ20 + m
k 0
(12)
Fázovou trajektorií je tedy elipsa se středem v počátku (který energetickou rovnici rovněž splňuje-klidový q
stav s nulovou výchylkou). Obecně má poloosa
q této elipsy na ose
m 2
k 2
2
výchylek délku a = x0 + k ẋ0 a poloosa na ose rychlosti délku b = ẋ20 + m
x0 (obr.12).
Zavedením vlastní frekvence lineární netlumené soustavy Ω =
popsané elipsy platí
q
k
m
pro délky poloos výše
dx/dt
b
L=[x,dx/dt]
−a=xmin
a=xmax
0
x
−b
Obrázek 12:
a=
v
u
u
t
x20
ẋ0
+
Ω
2
; b=
q
ẋ20 + (Ωx0 )2 .
(13)
Přepíšeme-li rovnici fázové dráhy (12) pomocí zavedených poloos elipsy, dostaneme
b2 2
x2 ẋ2
2 2
2 2
2 2
2
+
=
1
⇔
x
b
+
ẋ
a
=
a
b
⇔
ẋ
=
(a − x2 ) .
a2
b2
a2
11
Jednotlivé půlelipsy tvoří funkce závislosti rychlosti na výchylce lineární soustavy ve
tvaru
b√ 2
(14)
a − x2 .
a
Jedná se o diferenciální rovnici se separovatelnými proměnnými. Jejich separací a následnou integrací mezi startovací a obecnou polohou dostáváme
ẋ = ±
Z
x
x0
√
dx
bZt
dt .
=
±
a 0
a2 − x 2
(15)
V neurčitém integrálu √adx
2 −x2 zavedením substituce x = a sin y (tedy dx = a cos ydy)
R
převedeme tento na dy = y = arcsin xa . Výraz (15) pak přejde do tvaru
R
arcsin
x0
b
x
− arcsin
= ± t,
a
a
a
odkud
!
b
x0
± t ,
x(t) = a sin arcsin
a
a
(16)
což jest časová závislost výchylky při volném kmitání popisované soustavy.
Poznámka: Dosazením za a a b z (13) do (16) lze tento výraz pomocí náročnějších úprav
dovést do obvyklého tvaru. Nebudeme to provádět pro obecné počáteční podmínky.
Ukážeme to však na případě nulové startovací výchylky (tedy na případě ẋ0 6= 0 a
x0 = 0). Za uvedených předpokladů má (16) tvar
Protože podle (13) je a = ± ẋΩ0
b
x(t) = ±a sin t .
a
a b = ±ẋ0 , dostáváme odtud
ẋ0
sin Ωt ,
Ω
což je obvyklý tvar volných netlumených kmitů při popsaných počátečních podmínkách
pro lineární soustavu. Znaménka ± jsou eliminována prostřednictvím signa startovací
rychlosti ẋ0 .
Polovinu periody pohybu určíme integrací rovnice (14) mezi nulovými body její pravé
strany. Pro tyto nulové body zřejmě platí xmin = −a, xmax = a. Proto je
x(t) =
Z a
x
dx
b
√
T =2
= 2 arcsin |a−a = 2[arcsin 1 − arcsin(−1)] = 2π ,
2
2
a
a
−a
a −x
odkud po dosazení z (13)
v
u
u 2
u x0 +
a
T = 2π = 2π t 2
b
ẋ0 +
ẋ20
Ω2
Ω2 x20
=
2π
.
Ω
Odvodili jsme tím vlastně (poněkud komplikovaným způsobem) známý výraz mezi periodou kmitavého pohybu a jeho vlastní frekvencí.
Příklad: Popište fázovou trajektorii pro úlohu matematického kyvadla o délce závěsu
l při obecných počátečních podmínkách.
Řešení: Pohybová rovnice matematického kyvadla je
12
lϕ̈ + g sin ϕ = 0 .
Dosazením ϕ̈ =
dϕ̇2
1
2 dϕ
získáme po separaci proměnných rovnici
ldϕ̇2 = −2g sin ϕdϕ .
Integrací mezi startovací polohou, reprezentovanou počátečními podmínkami ϕ(0) = ϕ0
a ϕ̇(0) = ϕ̇0 , a obecnou polohou dostaneme
odkud
l(ϕ̇2 − ϕ̇20 ) = 2g(cos ϕ − cos ϕ0 ) ,
s
2g
(cos ϕ − cos ϕ0 ) + ϕ̇20 .
(17)
l
Fázové dráhy úlohy jsou ”ve směru rychlosti posunuté a odmocninou deformované kosínusovky”. V místech nulových bodů argumentu odmocniny se spojitě napojuje analogická funkce se záporným znaménkem. Pro takové počáteční podmínky je potom fázová
dráha uzavřená. Protože cos ϕ ∈ h−1, 1i, pro počáteční podmínky splňující nerovnici
ϕ̇ = ±
2g
2g
< ϕ̇20 −
cos ϕ0
l
l
nulové body funkce (17) neexistují. Fázová dráha je potom (formálně) neuzavřená.
Přesto se ale jedná o periodický pohyb, protože funkce cos je periodická. Případy uzavřených a neuzavřených fázových drah odděluje speciální stav, kdy platí
2g
2g
= ϕ̇20 −
cos ϕ0 .
l
l
K tomu příslušná dráha má tvar
s
ϕ̇ = ±
2g
(cos ϕ + 1) .
l
Tyto dvě podle osy ϕ souměrné funkce dohromady tvoří tzv. oddělovací křivku (separatrix). Na obr.13 jsou fázové dráhy znázorněny pro případ 2gl = 1 (tedy délka
závěsu kyvadla 19.62 [m]) pro různé hodnoty konstanty c = ϕ̇20 − cos ϕ0 . Separatrix, jež
odpovídá hodnotě c = 1, jest vyznačena tučně světle modrou barvou. Uzavřené dráhy
odpovídající konstantám c < 1 sestupně pro c = 0, c = −0.4, c = −0.8 jsou znázorněné
barvami zelenou, světle modrou a světle červenou. Neuzavřené dráhy odpovídající konstantám c > 1 vzestupně pro c = 1.5 a c = 3 jsou znázorněné barvami tmavě červenou
a žlutou.
Příklad: Určete fázovou trajektorii po částech lineární soustavy se symetrickou
oboustrannou narážkou. Soustava je uvedena na obr.14a a má parametry m, k1 , k2
a ∆. Počáteční podmínky uvažujeme x(0) = 0 a ẋ(0) = v0 > 0 taková, aby se byla
nucena zapojit narážka.
Řešení: Pohybová rovnice soustavy je tvaru
mẍ + k(x) = 0 ,
kde tuhostní charakteristika je na obr.14b, přičemž tgβ1 = k1 a tgβ2 = k1 + k2 . Její
analytický tvar je
13
2
1.5
1
dφ/dt
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−10
−8
−6
−4
−2
0
φ
2
4
6
8
10
Obrázek 13:
k(x)
β
2
β
−∆
1
0
k 2 /2
∆
k 2 /2
β
2
k1
m
k 2 /2
k 2 /2
∆
∆
Obrázek 14a:
Obrázek 14b:
k(x) = k1 x pro |x| ≤ ∆ ,
k(x) = k1 ∆ + (k1 + k2 )(x − ∆) = (k1 + k2 )x − k2 ∆ pro x > ∆ ,
k(x) = −k1 ∆ + (k1 + k2 )(x + ∆) = (k1 + k2 )x + k2 ∆ pro x < −∆ .
2
ẋ
do pohybové rovnice dostáváme po separaci proměnných a
Dosazením vztahu ẍ = 12 ddx
integraci mezi startovací a obecnou polohou
m
Z
ẋ2
v02
dẋ2 = −2
14
Z
x
k(x)dx .
0
x
Pokud x < ∆ dostáváme po integraci elipsu tvaru (12) pro x0 = 0 a k = k1 , protože v
tomto rozsahu je soustava lineární. Část fázové trajektorie proto má rovnici
x2
ẋ2
+
m 2 = 1.
v02
v
k1 0
(18)
Pro x > ∆ dostáváme
m
Z
ẋ2
v02
"
2
dẋ = −2 k1
Z
0
∆
xdx + (k1 + k2 )
Z
x
∆
xdx − k2 ∆
Z
x
∆
#
dx .
Integrací a drobnou úpravou odtud získáme
m(ẋ
2
− v02 )
k2
k2 ∆
+
∆2 .
= −(k1 + k2 )x + 2k2 ∆x − k2 ∆ = −(k1 + k2 ) x − 2
k1 + k2 k1 + k2
2
"
2
#
2
Doplněním pravé strany na kvadrát dostaneme po malé úpravě
2
m(ẋ −
v02 )
k2
∆
= −(k1 + k2 ) x −
k1 + k2
!2
−
k1 k2
∆2 .
k1 + k2
Označíme-li
1
1
1
+
=
k
k1 k2
(19)
vznikne z předchozího výrazu
k2
∆
mẋ2 + (k1 + k2 ) x −
k1 + k2
!2
= mv02 − k∆2 .
(20)
Protože předpokládáme, že v0 je tak velké, že se zapojí narážka, je startovací kinetická
energie hmotnosti m větší než potenciální energie v pružině o tuhosti k1 deformované
o ∆. Platí tedy mv02 > k1 ∆2 . Podle (19) ale k1 > k. Proto i mv02 > k∆2 , a tudíž pravá
strana v (20) je kladná. Dělíme-li (20) její pravou stranou, obdržíme
2
v02
ẋ
+
k
∆2
−m
k2
∆
k1 +k2
2
2
mv0 −k∆
k1 +k2
x−
2
= 1.
(21)
Fázová dráha pro ∆ < x je tedy rovněž elipsa se středem (na ose výchylek) v bodě
2
S=[ k1k+k
∆, 0], o poloosách A na ose výchylek a B na ose rychlostí, přičemž
2
A=
s
mv02 − k∆2
; B=
k1 + k2
s
q
v02 −
k 2
∆ .
m
(22)
A
Mezi těmito poloosami zřejmě platí relace B
= k1 m
. Poznamenejme, že argumenty
+k2
obou odmocnin jsou kladná čísla. Pro x ≤ ∆ bude pohyb probíhat po trajektorii (18)
a pro x > ∆ po trajektorii (21). V místech, kde x = ∆ jsou obě trajektorie
spojitě
q
2
napojeny. Rychlost hmoty v tomto bodě napojení bude podle (18) ẋ = ± v0 − km1 ∆2 .
Poznamenejme, že souřadnice středu elipsy (21) je menší než ∆. Vzhledem k lichosti
tuhostní charakteristiky se situace pro výchylky x < 0 analogicky opakuje. Celá fázová
dráha je symetrická nejen podle osy x, nýbrž i podle osy ẋ. Její kvalitativní tvar je na
15
dx/dt
v
0
−a
−∆
a
0
∆
x
−v0
Obrázek 15:
obr.15 vyznačen tučně. Zbytky elipsy (18) jsou kresleny zeleně a zbytky elipsy (21) a
elipsy symetrické podle osy rychlostí jsou kresleny červeně.
Označíme-li
b=
k2
∆,
k1 + k2
(23)
přepíšeme (21) do tvaru
ẋ
B
2
x−b
+
A
!2
= 1,
odkud, omezíme-li se jen na část trajektorie, kde ẋ > 0, získáme vztah
v
u
Zároveň podle (18) máme
u
dx
x−b
= B t1 −
ẋ =
dt
A
v
u
u
Ωx
dx
ẋ =
= v0 t1 −
dt
v0
!2
!2
; Ω=
(24)
.
s
k1
.
m
(25)
Tento vztah je v platnosti pro 0 ≤ x ≤ ∆. Rovnice (24) a (25) jsou diferenciálními
rovnicemi se separovatelnými proměnnými. Vzhledem k symetrii fázové dráhy získáme
separací proměnných a integrací těchto rovnic mezi výchylkami x = 0 a x = xmax =
= b + A > ∆ čtvrtinu periody pohybu. Dostaneme tedy
16
1 Z∆
T
r
=
4
v0 0
dx
1−
Ω
x
v0
1 Z b+A
r
2 + B ∆
dx
1−
x−b
A
2 .
Substitucí nových proměnných za výrazy v závorkách pak integrací dostaneme
T
1
Ω
A
x − b b+A
1
Ω
A
∆−b
= arcsin x|∆
arcsin
|∆ = arcsin ∆+
arcsin 1 − arcsin
0 +
4
Ω
v0
B
A
Ω
v0
B
A
!
Dosazením za A a B z (22), za b z (23) a za Ω z (25) a posléze i za k z (19) dostaneme
pro periodu kmitání po dílčí úpravě konečný výraz tvaru

q
arcsin
√
√
T = 4 m

k1
k1 ∆
m v0
+√

k1 ∆
1
π
 − arcsin q
k1 + k2 2
(k1 + k2 )mv02 − k1 k2 ∆2


.
Závěremqpoznamenejme, že pro ki = 0 (lineární soustava) dostáváme z tohoto vztahu
T = 2π km1 , což je známý výraz pro souvislost periody lineární soustavy s její vlastní
frekvencí.
4
Metoda napojování řešení
Nelineární pohybovou rovnici (8) lze pro případ po částech lineární funkce k(x) v časové
oblasti s výhodou řešit tzv. metodou napojování řešení. Její podstatou je spojitost
výchylky i rychlosti jako funkcí času pro všechna t ≥ 0. Polohová počáteční podmínka
řešení x(0) = x0 spadá určitě do některého z intervalů, na němž je tuhostní charakteristika lineární tvaru k(x) = ki x. Příslušnou diferenciální rovnici typu (8) tedy umíme, při
této polohové a libovolné rychlostní počáteční podmínce, vyřešit. Z jejího řešení určíme
minimální (kladný) čas t1 , ve kterém určená výchylka x(t) nabývá hodnoty nejbližšího
zlomu tuhostní charakteristiky soustavy k(x). Tato výchylka x(t1 ) a příslušná rychlost
ẋ(t1 ) tvoří počáteční podmínky pro diferenciální rovnici typu (8), kde k(x) = ki+1 x s
novou konstantou ki+1 po částech lineární tuhostní charakteristiky k(x). Tímto postupem, v závislosti na počátečních podmínkách, postupně probereme všechny dosažitelné
zlomy tuhostní charakteristiky k(x).
Poznámka: Rovnice pro určení času t1 nabývání hodnoty zlomu tuhostní charakteristiky
k(x) je goniometrická rovnice. Určit z ní příslušný čas t1 nemusí být zrovna jednoduchou záležitostí. Principiálně lze postupu využít rovněž pro řešení rovnice (8) s pravou
stranou. V tomto případě ovšem rovnice pro určení času t1 je (v závislosti na tvaru
pravé strany f (t)) většinou obecná transcendentní rovnice, ze které čas t1 analyticky
určit nelze. Použití této metodiky na tyto případy je pak značně omezené.
Příklad: Metodou napojování řešení řešme soustavu s jednostrannou narážkou o
tuhosti k2 , charakterizovanou výchylkou ∆. Soustava je na obr.16a a její tuhostní charakteristika na obr.16b, kde tgβ1 = k1 a tgβ2 = k1 + k2 . Počáteční podmínky jsou
x(0) = x0 > ∆ a ẋ(0) = 0.
17
.
k(x)
β
3
β
1
0
k1
x
∆
k2
m
∆
Obrázek 16a:
Obrázek 16b:
Řešení: Soustava má po částech lineární charakteristiku (obr.16b).
q Označme Ω1 =
q
+k2
její vlastní
= km1 vlastní frekvenci soustavy při nezapojené narážce a Ω = k1m
frekvenci při zapojené narážce. Protože pro danou polohovou počáteční podmínku je
narážka zapojena, začínáme řešením lineární pohybové rovnice
ẍ + Ω2 x = 0
(26)
s počátečními podmínkami x(0) = x0 a ẋ(0) = 0. Obecné řešení (26) je
x(t) = A cos Ωt + B sin Ωt ,
takže
ẋ(t) = Ω(−A sin Ωt + B cos Ωt) .
Dosazením t = 0 a zohledněním počátečních podmínek určíme integrační konstanty
A = x0 a B = 0. Řešení splňující zadané počáteční podmínky proto je
x(t) = x0 cos Ωt .
(27)
Toto řešení je v platnosti do té doby, dokud se nevypojí narážka. Čas t1 , kdy (poprvé)
dojde k jejímu vypojení zřejmě splňuje vztah
x(t1 ) = x0 cos Ωt1 = ∆ .
Nejmenším kladným řešením této goniometrické rovnice je
t1 =
1
∆
arccos .
Ω
x0
(28)
Poznamenejme, že 0 < x∆0 < 1, takže funkce arccos je definována. Pro čas t > t1 bude
soustava s vypojenou narážkou mít pohybovou rovnici
ẍ + Ω21 x = 0 ,
(29)
kterou řešíme při počátečních podmínkách x(t1 ) = ∆ a podle (27) ẋ(t1 ) = −Ωx0 sin Ωt1 .
Dosazením z (28) dostaneme pro rychlostní počáteční podmínku výraz
18
∆
ẋ(t1 ) = −Ωx0 sin arccos
x0
s
= −Ωx0 1 −
!
v
u
u
= −Ωx0 t1 − cos2
∆
arccos
x0
!
=
q
∆2
=
−Ω
x20 − ∆2 .
x20
Obecné řešení (29) je
x(t) = C cos Ω1 (t − t1 ) + D sin Ω1 (t − t1 ) ,
takže
ẋ(t) = Ω1 [−C sin Ω1 (t − t1 ) + D cos Ω1 (t − t1 )] .
Dosazením času t = t1 a zohledněním výše určených počátečních podmínek dostaneme
x(t1 ) = ∆ = C ; ẋ(t1 ) = −Ω
q
x20
−
∆2
Ωq 2
= DΩ1 ⇒ D = −
x 0 − ∆2 .
Ω1
Konkrétní řešení, splňující naše počáteční podmínky, má tedy tvar
Ωq 2
x0 − ∆2 sin Ω1 (t − t1 ) .
Ω1
Toto řešení zůstává v platnosti do té doby, dokud se znovu nezapojí narážka. Upravme
toto řešení vytknutím pythagorejského součtu koeficientů u goniometrických funkcí. Dostaneme
x(t) = ∆ cos Ω1 (t − t1 ) −
x(t) =


·
r
∆
∆2 +
Ω
Ω1
2
(x20 − ∆2 )
v
u
u
t
Ω
∆2 +
Ω1
!2
cos Ω1 (t − t1 ) − r
(x20 − ∆2 )·
Ω
Ω1
∆2 +
q
x20
Ω
Ω1
−
2

∆2
(x20 − ∆2 )
sin Ω1 (t − t1 )
.

(30)
Protože oba koeficienty v u goniometrických funkcí v lomené závorce
jsou
mezi
nulou
a
π
jedničkou a součet jejich kvadrátů je jednička, existuje takové γ ∈ 0, 2 , že
cos γ = r
∆
∆2
+
Ω
Ω1
2
(x20
−
∆2 )
; sin γ = r
Ω
Ω1
∆2
+
q
x20 − ∆2
Ω
Ω1
2
(x20
−
.
(31)
∆2 )
Podle součtového vztahu pro kosínus pak (30) přepíšeme na tvar
x(t) =
v
u
u
t
Ω
∆2 +
Ω1
!2
(x20 − ∆2 ) cos[Ω1 (t − t1 ) + γ] .
(32)
Pro amplitudu X harmonické funkce v rovnici (32) podle definice vlastních frekvencí
zřejmě platí
X=
q
(1 + β)x20 − β∆2 ; β =
19
k2
.
k1
(33)
Protože γ ∈ 0, π2 , dostáváme dělením rovnic v (31) pro fázi γ podle (33) jednoznačný
vztah
γ = arctg

Ω
 Ω1
q
q

(1 + β)(x20 − ∆2 )
x20 − ∆2
 = arctg
.
∆
∆
(34)
Čas t2 opětovného (nejbližšího) zapojení narážky pak podle (32) a (33) splňuje rovnici
x(t2 ) = X cos[Ω1 (t2 − t1 ) + γ] = ∆ .
(35)
∆
1
2π − arccos − γ
t2 = t1 +
Ω1
X
(36)
Protože hledáme nejmenší (ale větší než t1 ) takový čas, je zřejmě
!
.
∆
V kulaté závorce (36) je nutno počítat s číslem 2π − arccos X
proto, že čas t1 rovnici pro
zapojení narážky rovněž splňuje. Pro čas t > t2 bude v platnosti opět pohybová rovnice
(26), kterou řešíme při polohové počáteční podmínce x(t2 ) = ∆. Rychlostní počáteční
podmínku určíme derivací (32) (po aplikaci (33)) a následným dosazením času t = t2 .
Obdržíme
ẋ(t2 ) = −XΩ1 sin[Ω1 (t2 − t1 ) + γ] .
Obecné řešení pohybové rovnice je
x(t) = E cos Ω(t − t2 ) + F sin Ω(t − t2 ) ,
takže
ẋ(t) = Ω[−E sin Ω(t − t2 ) + F cos Ω(t − t2 )] .
Dosazením času t = t2 do posledních dvou vztahů a zohledněním výše určených počátečních podmínek dostaneme
x(t2 ) = ∆ = E ,
Ω1
sin[Ω1 (t2 − t1 ) + γ] .
Ω
Konkrétní řešení, splňující naše počáteční podmínky, má tedy tvar
ẋ(t2 ) = ΩF = −XΩ1 sin[Ω1 (t2 − t1 ) + γ] ⇒ F = −X
x(t) = ∆ cos Ω(t − t2 ) − X
Ω1
sin[Ω1 (t2 − t1 ) + γ] sin Ω(t − t2 ) ,
Ω
což lze podle (36) upravit na tvar
∆
Ω1
sin 2π − arccos
sin Ω(t − t2 ) .
x(t) = ∆ cos Ω(t − t2 ) − X
Ω
X
!
(37)
Upravme nyní výraz
∆
sin 2π − arccos
X
!
∆
= − sin arccos
X
s
=− 1−
!
v
u
u
= −t1 − cos2
1√ 2
∆2
=
−
X − ∆2 .
X2
X
20
∆
arccos
X
!
=
Dosazením do (37) dostáváme vzhledem k definici vlastních frekvencí a k (33)
x(t) = ∆ cos Ω(t − t2 ) +
= ∆ cos Ω(t − t2 ) +
s
q
X 2 − ∆2
sin Ω(t − t2 ) =
1+β
x20 − ∆2 sin Ω(t − t2 ) .
(38)
Protože nedochází k disipaci energie, je zřejmé, že nabyde-li při platnosti řešení (38)
výchylka hodnoty x0 , dostaneme se v časové oblasti do periody pohybu. Potom už se
situace opakuje. Perioda pohybu T je tedy nejmenší čas (ale větší než t2 ), kdy (38)
nabyde hodnoty x0 . Vytknutím pythagorejského součtu koeficientů u goniometrických
funkcí v (38) získáme podobně jako výše vztah
x(t) = x0 cos[Ω(t − t2 ) − δ] ,
kde
∆
; sin δ =
cos δ =
x0
q
q
x20 − ∆2
x20 − ∆2
⇔ δ = arctg
.
x0
∆
Pro periodu pohybu potom platí
x(T ) = x0 cos[Ω(T − t2 ) − δ] = x0 ,
odkud
T = t2 +
δ
.
Ω
Časový průběh řešení je znázorněn na obrázku 17 pro následující parametry. Vlastní
frekvence lineární soustavy bez narážky Ω1 = 1[rad/s], vůle ∆ = 1 (vhodných jednotek,
např. [mm]), poměr vůle a polohové počáteční podmínky x∆0 = α = 0.3 a poměr tuhosti
2
= β = 5. Výchylky jsou
soustavy po zapojení narážky a před jejím zapojením k1k+k
1
ve stejných jednotkách, jako vůle. Polohová počáteční podmínka x0 = α1 = 3.33. Zeleně
čárkovaná přímka označuje polohu, v níž dochází k vymezení vůle, tedy k zapojení a
opětovnému vypojení narážky. Perioda pohybu lineární soustavy (to jest pod √
zelenou
přímkou) je 2π, zatímco perioda po zapojení narážky (nad zelenou přímkou) je 5 krát
menší.
Poznámka: Uvedený příklad ukazuje, jak je řešení metodou napojování technicky náročné i pro relativně jednoduché tuhostní charakteristiky s jediným zlomem. Princip
metody ukážeme ještě na následujícím jednoduchém příkladě.
Příklad: Metodou napojování řešení řešme symetrickou soustavu s vůlí ∆ zobrazenou na obr.18a při počátečních podmínkách x(0) = 0 a ẋ(0) = v0 . Tuhostní charakteristika soustavy je znázorněna na obr.18b, kde tgβ = k.
21
Casovy prubeh periody volnych kmitu soustavy s narazkou − α=0.3 β=5
3
2
1
0
vychylka
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
cas [s]
Obrázek 17:
k(x)
β
β
k
0
x
∆
k
m
∆
−∆
∆
1
Obrázek 18a:
Obrázek 18b:
Řešení: Vzhledem k zadaným počátečním podmínkám je po dostatečně krátký čas
pohybovou rovnicí mẍ = 0 ⇔ ẍ = 0. Jejím obecným řešením je funkce x(t) = At + B,
tudíž ẋ(t) ≡ A. Dosazením času t = 0 a zohledněním počátečních podmínek obdržíme
integrační konstanty A = v0 ; B = 0. Konkrétní řešení, splňující zadané počáteční
podmínky, proto je
x(t) = v0 t .
(39)
Toto řešení zůstane v platnosti do vymezení vůle, tedy do času t1 , kdy je x(t1 ) = v0 t1 =
= ∆. Odtud
t1 =
∆
.
v0
(40)
Po vymezení vůle bude v platnosti stoupající lineární část tuhostní charakteristiky. Po22
q
k
jako vlastní frekvenci
hybová rovnice bude mẍ + k(x − ∆) = 0. Označíme-li Ω = m
2
2
lineární soustavy bez vůle, jest pohybovou rovnicí ẍ + Ω x = Ω ∆, jíž řešíme při počátečních podmínkách x(t1 ) = ∆ ; ẋ(t1 ) = v0 , což jsou koncové podmínky rovnoměrného
pohybu hmoty v rámci vůle. Obecné řešení pohybové rovnice má zřejmě tvar
takže
x(t) = ∆ + C cos Ω(t − t1 ) + D sin Ω(t − t1 ) ,
ẋ(t) = Ω[−C sin Ω(t − t1 ) + D cos Ω(t − t1 )] .
Dosazením času t = t1 a zohledněním počátečních podmínek určíme
x(t1 ) = ∆ = ∆ + C ⇔ C = 0 ; ẋ(t1 ) = v0 = ΩD ⇔ D =
v0
.
Ω
Konkrétní řešení, splňující naše počáteční podmínky, má proto tvar
v0
sin Ω(t − t1 ) .
(41)
Ω
Toto řešení zůstává v platnosti až do (nejbližšího) okamžiku, kdy se ztratí dotyk tělesa
s narážkou, tedy kdy bude x(t2 ) = ∆. Podle (41) tedy je
x(t) = ∆ +
v0
sin Ω(t2 − t1 ) = ∆ ⇔ sin Ω(t2 − t1 ) = 0 .
Ω
Protože musí býti t2 > t1 , plyne odtud
∆+
π
.
(42)
Ω
Pro čas t > t2 má soustava opět pohybovou rovnici mẍ = 0, jíž řešíme při polohové
počáteční podmínce x(t2 ) = ∆ a rychlostní počáteční podmínce (podle (41) a (42))
ẋ(t2 ) = v0 cos Ω(t2 − t1 ) = v0 cos π = −v0 . Obecným řešením pohybové rovnice je
x(t) = E(t − t2 ) + F , takže ẋ(t) ≡ E. Dosazením času t = t2 a zohledněním počátečních
podmínek získáme
t2 = t1 +
x(t2 ) = ∆ = F ; ẋ(t2 ) = −v0 = E .
Konkrétní řešení, splňující naše počáteční podmínky, má tedy tvar
x(t) = −v0 (t − t2 ) + ∆ .
(43)
Tímto rovnoměrným pohybem se hmota bude pohybovat až do času vymezení vůle na
protější straně, tedy do času t3 , kdy bude x(t3 ) = −∆. Ze (43) pak plyne
2∆
.
(44)
v0
Po vymezení vůle ”na této straně”, kdy v platnosti je lineární část tuhostní charakteristiky pro záporné časy, jest zřejmě rovnice
−∆ = −v0 (t3 − t2 ) + ∆ ⇔ t3 = t2 +
mẍ + k(x + ∆) = 0 ⇔ ẍ + Ω2 x = −Ω2 ∆ .
Tuto rovnici řešíme při počátečních podmínkách x(t3 ) = −∆ a ẋ(t3 ) = −v0 . Její obecné
řešení má tvar
x(t) = −∆ + G cos Ω(t − t3 ) + H sin Ω(t − t3 ) ,
23
takže
ẋ(t) = Ω[−G sin Ω(t − t3 ) + H cos Ω(t − t3 )] .
Dosazením času t = t3 a zohledněním počátečních podmínek určíme
x(t3 ) = −∆ = −∆ + G ⇔ G = 0 ; ẋ(t3 ) = −v0 = HΩ ⇔ H = −
v0
.
Ω
Konkrétní řešení, splňující naše počáteční podmínky, tedy je
x(t) = −∆ −
v0
sin Ω(t − t3 ) .
Ω
(45)
Toto řešení zůstává v platnosti až do (nejbližšího) okamžiku t4 , kdy se zase ztratí dotyk
s narážkou, tedy kdy x(t4 ) = −∆. Podle (45) máme
−∆ = −∆ −
v0
sin Ω(t4 − t3 ) ⇔ sin Ω(t4 − t3 ) = 0 .
Ω
Protože musí býti t4 > t3 plyne odtud
t4 = t3 +
π
.
Ω
(46)
Pro čas t > t4 má soustava zase pohybovou rovnici mẍ = 0, kterou nyní řešíme při
polohové počáteční podmínce x(0) = −∆ a rychlostní počáteční podmínce podle (45) a
(46) ẋ(t4 ) = −v0 cos Ω(t4 − t3 ) = −v0 cos π = v0 . Obecným řešením pohybové rovnice
je funkce x(t) = K(t − t4 ) + L, takže ẋ(t) ≡ K. Dosazením času t = t4 a zohledněním
počátečních podmínek výše, dostáváme
x(t4 ) = −∆ = L ; ẋ(t4 ) = v0 = K .
Konkrétní řešení, splňující naše počáteční podmínky, má proto tvar
x(t) = v0 (t − t4 ) − ∆ .
(47)
S ohledem na původní polohovou počáteční podmínku je periodou pohybu zřejmě čas
t = T , kdy x(T ) = 0. Podle (47) jest v0 (T − t4 ) − ∆ = 0, odkud
T = t4 +
∆
.
v0
Dosazením ze (46) za t4 a dále ze (44) za t3 , ze (42) za t2 a konečně z (40) za t1 obdržíme
pro periodu pohybu konečný výraz
π
2∆
T =2
+
Ω
v0
!
.
Perioda příslušné lineární soustavy je tak prodloužena o dobu trvání rovnoměrných
pohybů. Časový průběh řešení je znázorněn na obrázku 19 pro následující parametry.
Vlastní frekvence lineární soustavy Ω = 1[rad/s], vůle ∆ = 5 (vhodných jednotek, např.
[mm]) a rychlostní počáteční podmínka v0 = 3 (výchylkové jednotky za sekundu). Výchylky jsou ve stejných jednotkách, jako vůle. Zeleně čárkované přímky označují polohy,
v nichž dochází k vymezení vůle. Perioda pohybu lineární soustavy (to jest mimo pás
ohraničený zelenými přímkami) je 2π, zatímco uvnitř zmíněného pásu se jedná o rovnoměrný pohyb rychlostí v0 .
24
Casovy prubeh periody volnych kmitu soustavy s vuli − vule=5 v =3
0
8
6
4
vychylka
2
0
−2
−4
−6
−8
0
2
4
6
cas [s]
8
10
12
Obrázek 19:
5
Poincaréova metoda malého parametru
Z přibližných analytických metod řešení pohybové rovnice nelineární konzervativní soustavy uvedeme Poincaréovu metodu malého parametru. Předpokládejme, že existuje
parametr ε < 1, že tuhostní charakteristiku lze rozdělit na lineární a nelineární část tak,
aby pohybová rovnice měla formu
mẍ + kx + εf (x) = 0 .
Zavedením vlastní frekvence přidružené lineární soustavy Ω0 =
šeme na
q
k
m
tuto rovnici přepí-
ẍ + Ω20 x + εf (x) = 0 ,
f
kde jsme označili f (x) = m
. Zavedením ”bezrozměrného času” (to jest úhlu natočení)
τ = Ωt, kde Ω je (na rozkmitu závislá) vlastní frekvence nelineární soustavy, dostáváme
2
2
= dx
· dτ
= dx
Ω. Analogicky ddt2x = ddτx2 Ω2 .
podle vztahu pro derivaci složené funkce dx
dt
dτ
dt
dτ
Označujeme-li derivaci podle τ čárkami, dostáváme pohybovou rovnici v nezávisle proměnné τ ve tvaru
Ω2 x′′ + Ω20 x + εf (x) = 0 .
(48)
Protože nelineární člen závisí na parametru ε, bude na něm záviset i vlastní frekvence
Ω soustavy. Představme si tuto závislost ve tvaru mocninné řady
Ω(ε) = Ω0 + εΩ1 + ε2 Ω2 + · · · ,
(49)
x = x0 + εx1 + ε2 x2 + · · · ,
(50)
kde Ω1 , Ω2 , . . . jsou prozatím neznámé hodnoty. Rovněž řešení rovnice (48) závisí na
malém parametru ε. Představme si i tuto závislost ve tvaru mocninné řady
25
kde x1 (τ ), x2 (τ ), . . . jsou prozatím neznámé funkce τ . Rozvinutím funkce f (x) v okolí
bodu x0 v Taylorovu řadu dostaneme
f (x) = f (x0 ) +
df
1 d2 f
(x0 )(εx1 + ε2 x2 + · · ·) +
(x0 )(εx1 + ε2 x2 + · · ·)2 + · · · . (51)
2
dx
2 dx
Dosazením (49),(50) a (51) do (48) máme
(Ω0 + εΩ1 + ε2 Ω2 + · · ·)2 (x′′0 + εx′′1 + ε2 x′′2 + · · ·) + Ω20 (x0 + εx1 + ε2 x2 + · · ·)+
df
1 d2 f
+ε f (x0 ) +
(x0 )(εx1 + ε2 x2 + · · ·) +
(x0 )(εx1 + ε2 x2 + · · ·)2 + · · · = 0 .
dx
2 dx2
"
#
Umocněním obdržíme
[Ω20 + 2εΩ0 Ω1 + ε2 (Ω21 + 2Ω0 Ω2 ) + · · ·](x′′0 + εx′′1 + ε2 x′′2 + · · ·) + Ω20 (x0 + εx1 + ε2 x2 + · · ·)+
1 d2 f
df
(x0 )(εx1 + ε2 x2 + · · ·) +
(x0 )(εx1 + · · ·)2 + · · · = 0 .
+ε f (x0 ) +
dx
2 dx2
"
#
Roznásobením a srovnáním podle mocnin malého parametru vznikne
Ω20 x′′0 + Ω20 x0 + ε[Ω20 x′′1 + 2Ω0 Ω1 x′′0 + Ω20 x1 + f (x0 )]+
+ε
2
"
Ω20 x′′2
+
2Ω0 Ω1 x′′1
+
(Ω21
+
2Ω0 Ω2 )x′′0
+
Ω20 x2
df
+ x1 (x0 ) + · · · = 0 .
dx
#
Jedním z řešení této rovnice je případ identicky nulových koeficientů u všech mocnin
malého parametru. Tato podmínka dává (po dělení Ω20 ) rovnice
x′′0 + x0 = 0 ,
x′′1 + x1 = −
Ω1 ′′
f (x0 )
x ,
−
2
Ω20
Ω0 0
(52)
x1 df
(x0 )
Ω1
Ω2
Ω21
′′
x2 + x2 = − dx 2
− 2 x′′1 −
+2
x′′0 ,
2
Ω0
Ω0
Ω0
Ω0
··· .
!
Všimněme si, že získané rovnice jsou diferenciálními rovnicemi pro neznámé funkce xi (τ )
stejných levých stran s různými pravými stranami. První z rovnic, pro neznámou funkci
x0 (τ ), je homogenní, pročež má obecné řešení x0 (τ ) = A cos τ + B sin τ . Konstanty A a
B určíme z počátečních podmínek platných pro řešení pohybové rovnice (48) (počáteční
podmínky pro další funkce v mocninné řadě (50) proto již budou nulové). Pravé strany
dalších rovnic v (52) závisejí pouze na nelineární části f (x) tuhostní charakteristiky
soustavy a na řešeních už dříve vyřešených rovnic (pravá strana druhé rovnice závisí
jen na řešení x0 (τ ) první rovnice, pravá strana třetí rovnice závisí jen ne řešeních x0 (τ )
a x1 (τ ) první a druhé rovnice atd.) Pravé strany všech rovnic (52) jsou tedy známé.
Jejich řešení má tvar součtu homogenního a partikulárního řešení, přičemž homogenní
řešení je pro všechny rovnice harmonické. Partikulární řešení (podle typu nelinearity
f (x)) buď odhadujeme, nebo určujeme metodou variace konstant. Jak už bylo řečeno,
řešení druhé a všech dalších rovnic (52) hledáme při nulových počátečních podmínkách.
26
Nejnáročnějším dílčím postupem probírané metody je určení veličin Ω1 , Ω2 , . . .. Tyto
hodnoty určujeme z podmínky periodicity výsledného řešení pohybové rovnice (48). Protože řešení první rovnice (52) je periodické, musí být periodická i řešení ostatních rovnic.
Jejich homogenní řešení jsou harmonická (a tedy periodická). Periodicitu partikulárních
řešení zajišťujeme požadavkem, aby neobsahovala členy typu τ n cos τ a τ n sin τ , tedy
aby pravé strany (jež jsou v každém případě složenou funkcí goniometrických funkcí
cos τ a sin τ ) neobsahovaly tyto funkce v první mocnině. Poznamenejme závěrem, že v
některých případech se podobným členům nelze vyhnout, nebo není možné najít periodické partikulární řešení druhé a dalších rovnic v (52). Tyto skutečnosti částečně snižují
možnosti využití popisované metody.
Příklad: Jako ukázku vyřešíme Poincaréovou metodou pohyb matematického kyvadla o délce závěsu l, při počátečních podmínkách ϕ(0) = Φ a ϕ̇(0) = 0, když ovšem v
3
.
pohybové rovnici matematického kyvadla nahradíme sin ϕ = ϕ − ϕ6 (což jsou první dva
členy Taylorova rozvoje funkce sin ϕ v okolí nuly).
Řešení: Za uvedeného předpokladunáhrady funkce sinϕ má pohybová rovnice maq
3
tematického kyvadla zřejmě tvar lϕ̈ + g ϕ − ϕ6 . Zavedením vlastní frekvence Ω0 = gl
přidružené lineární soustavy, přejde pohybová rovnice do tvaru
ϕ̈ + Ω20 ϕ − Ω20 εϕ3 = 0 ,
(53)
Ω2 ϕ′′ + Ω20 ϕ − Ω20 εϕ3 = 0 ,
(54)
Ω = Ω0 + εΩ1 + · · · ; ϕ = ϕ0 + εϕ1 + · · · .
(55)
kde ε = 16 je malý parametr. Substitucí τ = Ωt, kde Ω je vlastní frekvence nelineární
soustavy (53), přejde pohybová rovnice do výchozího tvaru (derivace podle proměnné τ
značíme čárkami)
kterou budeme řešit rovněž při počátečních podmínkách ϕ(0) = Φ a ϕ′ (0) = ϕ̇(0)Ω = 0.
Nyní uplatníme rozvoje (49) a (50) podle malého parametru do mocninných řad tvaru
Potom
Ω2 = Ω20 + 2εΩ0 Ω1 + · · · ; ϕ3 = ϕ30 + 3ϕ20 ϕ1 + · · · ; ϕ′′ = ϕ′′0 + εϕ′′1 + · · · .
Dosazením do (54) vznikne
(ϕ′′0 + εϕ′′1 + · · ·)(Ω20 + 2εΩ0 Ω1 + · · ·) + Ω20 (ϕ0 + εϕ1 + · · ·) − Ω20 ε(ϕ30 + 3ϕ20 ϕ1 + · · ·) = 0 ,
odkud roznásobením
Ω20 ϕ′′0 + Ω20 ϕ0 + ε(Ω20 ϕ′′1 + 2Ω0 Ω1 ϕ′′0 + Ω20 ϕ1 − Ω20 ϕ30 ) + · · · = 0 .
Srovnáním koeficientů u ε0 a ε1 získáme první dvě rovnice typu (52) ve tvaru
ϕ′′0 + ϕ0 = 0 ,
(56)
Ω1 ′′
ϕ .
(57)
Ω0 0
Rovnici (56) řešíme při počátečních podmínkách ϕ0 (0) = Φ a ϕ′ (0) = 0, zatímco rovnici
(57) řešíme při nulových počátečních podmínkách. Obecné řešení (56) má tvar
ϕ′′1 + ϕ1 = ϕ30 − 2
27
ϕ0 (τ ) = A cos τ + B sin τ ⇒ ϕ′0 (τ ) = −A sin τ + B cos τ .
Dosazením τ = 0 a zohledněním počátečních podmínek určíme A = Φ a B = 0. Konkrétní řešení, splňující naše počáteční podmínky, tedy je
ϕ0 (τ ) = Φ cos τ ⇒ ϕ′′0 (τ ) = −Φ cos τ .
(58)
Dosazením do (57) dostáváme tuto rovnici v konkrétním tvaru
ϕ′′1 + ϕ1 = Φ3 cos3 τ + 2Φ
Ω1
cos τ .
Ω0
(59)
Upravme nyní funkci cos3 τ pomocí mocnin
√ goniometrických funkcí. Za tím účelem
definujme komplexní číslo cos τ + i sin τ (i= −1 je imaginární jednotka), mající modul
rovný jedné. Podle Moivreovy věty je
cos 3τ + i sin 3τ = (cos τ + i sin τ )3 = cos3 τ + 3i cos2 τ sin τ + 3i2 cos τ sin2 τ + i3 sin3 τ .
Protože i2 = −1 a i3 = −i, dostaneme srovnáním reálných a imaginárních částí komplexních čísel v předchozí rovnosti výrazy
cos 3τ = cos3 τ − 3 cos τ sin2 τ ; sin 3τ = 3 cos2 τ sin τ − sin3 τ .
Dosazením vztahu sin2 τ = 1 − cos2 τ do prvního výrazu, dostaneme
odkud
cos 3τ = cos3 τ − 3 cos τ + 3 cos3 τ ,
1
cos3 τ = (cos3 τ + 3 cos τ ) .
4
Dosazením do (59) dostaneme rovnici pro funkci ϕ1 ve tvaru
ϕ′′1 + ϕ1 =
Φ3
Ω1
(cos 3τ + 3 cos τ ) + 2Φ cos τ .
4
Ω0
(60)
Pravá strana této rovnice obsahuje (mimo jiné) člen s cos τ , který by vzhledem ke tvaru
levé strany způsobil vznik neperiodického partikulárního řešení tvaru τ cos τ . Protože
řešení musí býti periodické, musí člen u cos τ na pravé straně (60) mít nulový koeficient.
Musí tedy platit
3Φ3
Ω1
3
= 0 ⇔ Ω1 = − Φ2 Ω0 .
+ 2Φ
4
Ω0
8
(61)
Za tohoto předpokladu (60) nabývá formy
Φ3
cos 3τ ,
(62)
4
kterou řešíme při nulových počátečních podmínkách. Partikulární řešení odhadneme ve
′ (p)
(p)
tvaru ϕ1 (τ ) = K cos 3τ , takže ϕ1 (τ ) = −9K cos 3τ . Konstantu K určíme z podmínky,
že odhadnuté partikulární řešení splňuje rovnici (62). Srovnáním koeficientů u cos τ
2
tak obdržíme, že K = − Φ32 . Protože homogenní řešení rovnice (62) má obecný tvar
(h)
ϕ1 (τ ) = C cos τ + D sin τ , má výsledné řešení této rovnice formu
ϕ′′1 + ϕ1 =
28
ϕ1 (τ ) = C cos τ + D sin τ −
Φ3
cos 3τ ,
32
takže
3 3
Φ sin 3τ .
32
Dosazením τ = 0 a zohledněním nulových počátečních podmínek dostaneme integrační
3
konstanty C = Φ32 a D = 0. Konkrétní řešení rovnice (62), splňující nulové počáteční
podmínky, tedy je
ϕ′1 (τ ) = −C sin τ + D cos τ +
Φ3
(cos τ − cos 3τ ) .
(63)
32
Dosazením (63) a (58) do (55) dostaneme druhé přiblížení periodického řešení pohybové
rovnice matematického kyvadla ve tvaru
ϕ1 (τ ) =
Φ3
(cos τ − cos 3τ ) ; τ = Ωt .
ϕ(τ ) = Φ cos τ +
192
#
"
(64)
Dosazením (61) do (55) získáme pro vlastní frekvenci nelineární soustavy výraz
Ω = Ω0
Φ2
1−
16
!
(65)
.
Se vzrůstající velikostí polohové počáteční podmínky Φ tedy vlastní frekvence kvadraticky klesá. Odpovídá to měknoucí tuhostní charakteristice k(ϕ) = sin ϕ matematického kyvadla pro ϕ ∈ h0; π2 ). Závislost vlastní frekvence Ω v (65) na rozkmitu Φ je
znázorněna na obr.20 v obvyklém tvaru tzv. skeletové křivky, kdy na vodorovnou osu
nanášíme poměr ΩΩ0 a na svislou osu rozkmit Φ. Na dalších obrázcích 21a a 21b je znázorněn skutečný průběh výchylky pro různé rozkmity. V těchto grafech na svislou osu
a na vodorovnou osu skutečný čas t. Zobrazeny jsou
nanášíme poměrnou výchylku ϕ(t)
Φ
časové intervaly h0; 20i [s] a h20; 40i [s]. Vlastní frekvenci přidružené lineární soustavy
volíme jednotkovou (což znamená délku závěsu l =9.81 [m]). Černá křivka znázorňuje
Zavislost pomerne vlastni frekvence matematickeho kyvadla na rozkmitu
1
0.9
0.8
0.7
Φ
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.94
0.95
0.96
0.97
Ω/Ω
0.98
0
Obrázek 20:
29
0.99
1
1.01
Prubeh vychylky matematickeho kyvadla pro Ω0=1[rad/s],φ(0)=Φ
Φ=0
Φ=.2rad
Φ=.5rad
Φ=1rad
1
0.8
Φ=0
Φ=.2rad
Φ=.5rad
Φ=1rad
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
φ/Φ
φ/Φ
Prubeh vychylky matematickeho kyvadla pro Ω0=1[rad/s],φ(0)=Φ
0
0
−0.2
−0.2
−0.4
−0.4
−0.6
−0.6
−0.8
−0.8
−1
−1
0
2
4
6
8
10
cas [s]
12
14
16
18
20
22
24
Obrázek 21a:
26
28
30
cas [s]
32
34
36
38
Obrázek 21b:
= cos Ω0 t. Další křivky odčasový průběh výchylky lineární soustavy, tedy průběh ϕ(t)
Φ
povídají postupně rozkmitům Φ =0.2, 0.5 a 1 [rad]. Z obrázků je patrno prodlužování
periody kmitání se vzrůstajícím rozkmitem. Závěrem nutno poznamenat, že druhé přiblížení časových rozvojů pohybu matematického kyvadla lze s uspokojivou přesností do
1% použít cca do rozkmitu Φ = 0.7 [rad].
6
Metoda ekvivalentní linearizace
Jinou metodou řešení pohybové rovnice
mẍ + k(x) = 0
(66)
je metoda ekvivalentní (harmonické) linearizace, vycházející z předpokladu, že hledané řešení není příliš odlišné od řešení harmonického. Pro takové řešení potom konstruujeme ekvivalentní lineární soustavu. Mějme tedy nelineární charakteristiku zapsanou
ve tvaru
k(x) = F0 + ke (x − x0 ) ,
(67)
x(t) = x0 + X cos Ωt
(68)
kde ke je ekvivalentní tuhost, x0 posunutí centra kmitání a F0 je síla, přenášená
pružinou v poloze dané centrem kmitání. Řešení pohybové rovnice (66) hledáme přibližně
v harmonickém tvaru
s amplitudou X a (vlastní) frekvencí Ω. Po dosazení (68) do tuhostní charakteristiky
k(x) vznikne složená funkce času k(x(t)), která jest periodická s periodou T = 2π
. Lze
Ω
ji proto rozvinout ve Fourierovu řadu. Vezměme z této řady první dva členy, tedy
k(x(t)) = A0 + A1 cos Ωt ,
(69)
kde pro Fourierovy koeficienty platí
A0 =
2ZT
1ZT
k(x0 + X cos Ωt)dt ; A1 =
k(x0 + X cos Ωt) cos Ωtdt .
T 0
T 0
30
(70)
40
Srovnáním (67), kam za x dosazujeme z (68) do (69) dostaneme
k(x(t)) = F0 + ke X cos Ωt = A0 + A1 cos Ωt .
Tato rovnice je splněna pro libovolný čas, je-li A0 = F0 , A1 = ke X, což podle (70) dává
2ZT
1ZT
k(x0 + X cos Ωt)dt ; ke X =
k(x0 + X cos Ωt) cos Ωtdt .
F0 =
T 0
T 0
(71)
Dosazením (67) do pohybové rovnice (66) dostaneme linearizovanou rovnici mẍ + F0 +
+ ke (x − x0 ) = 0. Dosadíme-li do ní předpokládané řešení (68), kdy ẍ = −Ω2 X cos Ωt,
máme
−mΩ2 X cos Ωt + F0 + ke X cos Ωt = 0 .
Tato rovnice má být splněna pro libovolný čas. Proto
F ≡ 0 ; mΩ2 = ke ,
tedy vzhledem k (71)
(72)
2 ZT
k(x0 + X cos Ωt)dt = 0 ; ke =
k(x0 + X cos Ωt) cos Ωtdt .
(73)
TX 0
0
Z první rovnice (73) lze určit posunutí centra kmitání x0 a ze druhé rovnice pak ekvivalentní tuhost ke . Substitucí Ωt = τ lze integrály v (73) přepsat (protože ΩT = 2π) na
tvar
Z
T
Z 2π
1 Z 2π
k(x0 + X] cos Ωτ )dτ = 0 ,
k(x0 + X] cos Ωτ )dτ = 0 ⇔
Ω 0
0
1 Z 2π
ke =
k(x0 + X cos τ ) cos τ dτ .
(74)
πX 0
Poznámka: Je-li tuhostní charakteristika lichou funkcí, tedy jestliže platí k(−x) =
= −k(x), je rovnice pro posunutí centra kmitání splněna pro x0 = 0. S ohledem na
průběh funkce cos τ totiž jest
Z
0
2π
k(X cos τ )dτ =
+
Z
0
π
Z
0
π
k(X cos τ )dτ +
k(−X cos τ )dτ =
Z
0
π
Z
2π
π
k(X cos τ )dτ =
k(X cos τ )dτ −
Z
0
π
Z
0
π
k(X cos τ )dτ +
k(X cos τ )dτ = 0 .
Posunutí centra kmitání tedy zjišťujeme pouze pro neliché tuhostní charakteristiky.
K určení ekvivalentní tuhosti obecně využijeme druhou rovnici (73), kam dosazujeme
zjištěnou závislost x0 (X). Z výrazu (72) nakonec určíme závislost vlastní frekvence na
rozkmitu jako
s
ke (X)
.
(75)
m
Příklad: Určete závislost vlastní frekvence Ω na rozkmitu X u soustavy tvořené
hmotou m na lineární pružině tuhosti k1 se symetrickou lineární narážkou o tuhosti k2 ,
jež se zapojí, pokud pro výchylku x bude platit |x(t)| > ∆. Tuhostní charakteristika
soustavy je na obr.22, kde tgβ1 = k1 a tgβ2 = k1 + k2 .
Ω(X) =
31
k(x)
β2
β1
−∆
0
∆
x
β2
Obrázek 22:
Řešení: Protože tuhostní charakteristika k(x) soustavy je lichá (viz obr.22), je posunutí centra kmitání x0 = 0. Ekvivalentní tuhost určíme ze vztahu
ke =
1 Z 2π
k(X cos τ ) cos τ dτ .
πX 0
(76)
Analytický popis tuhostní charakteristiky je zřejmě
k(x) = (k1 + k2 )x + k2 ∆ pro x < −∆ ,
= k1 x pro |x| < ∆ ,
= (k1 + k2 )x − k2 ∆ pro x > ∆ .
Integrační interval (0, 2π) v (76) rozdělíme (pro případ X > ∆) na intervaly, kdy narážka
není zapojena, kdy je zapojena pro záporné výchylky a kdy pro kladné výchylky. Dle toho
pak dosazujeme příslušný popis tuhostní charakteristiky. Protože podle (76) za argument
tuhostní charakteristiky dosazujeme X cos τ , posuzujeme tento argument vzhledem k
relaci s hodnotami ±∆. Situace vypadá jako na obr.23a. Mezní integrační proměnná τ1
∆
je hodnota, kde X cos τ1 = ∆, tedy
τ = arccos X
. Stejně tak bod τ2 je hodnota, kde
1
∆
X cos τ2 = −∆, tedy τ2 = arccos − X . Protože funkce arccos má funkční hodnoty z
intervalu h0, πi a graf funkce cos je symetrický podle přímky τ = π, dostáváme pro další
mezní integrační proměnné vztahy
τ3 = 2π − τ2 a τ4 = 2π − τ1 . Z tvaru funkce arccos
∆
∆
(viz obr.23b) plyne, že arccos − X = π − X
. Proto pro mezní integrační proměnné
máme
32
arccos x
π
Xcosτ
X
∆
π/2
τ
0
τ
1
τ
2
τ
3
2π
4
τ
−∆
−X
ano
ne
ano
ne
ano
−1
0
Obrázek 23a:
1
x
Obrázek 23b:
∆
; τ2 = π − τ1 ; τ3 = π + τ1 ; τ4 = 2π − τ1 .
(77)
X
Množina proměnných, ve které se zapojí narážka pro kladné výchylky (kdy tedy bude
fungovat třetí funkční předpis pro tuhostní charakteristiku, je sjednocením intervalů
(0, τ1 ) ∪ (τ4 , 2π). Množina proměnných, ve které se narážka nezapojí (kdy tedy bude
fungovat druhý funkční předpis pro tuhostní charakteristiku), je sjednocením intervalů
(τ1 , τ2 ) ∪ (τ3 , τ4 ). Množina proměnných, ve které se zapojí narážka pro záporné výchylky
(kdy tedy bude fungovat první funkční předpis pro tuhostní charakteristiku), je interval
(τ2 , τ3 ). Odtud plyne, že pro náš konkrétní případ se výraz (76) přepíše do tvaru
τ1 = arccos
1
ke =
πX
+
Z
Z
τ3
τ2
τ1
Z
[(k1 + k2 )X cos τ − k2 ∆] cos τ dτ +
0
[(k1 + k2 )X cos τ + k2 ∆] cos τ dτ +
+
Z
2π
τ4
Z
τ4
τ3
τ2
τ1
k1 X cos τ cos τ dτ +
k1 X cos τ cos τ dτ +
[(k1 + k2 )X cos τ − k2 ∆] cos τ dτ
.
Snadnou úpravou odtud dostaneme
1
(k1 + k2 )
ke =
π
+k1
Z
τ2
τ1
2
cos τ dτ +
Z
τ4
τ3
Z
0
τ1
cos τ dτ +
k2 ∆
cos τ dτ −
X
2
Z
2
τ3
τ2
Z
0
τ1
2
cos τ dτ +
cos τ dτ −
Z
Z
2π
τ4
τ3
τ2
2
cos τ dτ +
cos τ dτ +
Z
2π
τ4
cos τ dτ
#
.
(78)
Poznámka: Neurčitý integrál z funkce cos τ určíme následujícím postupem: Zřejmě platí
2
1 = cos2 τ + sin2 τ
cos 2τ = cos2 τ − sin2 τ .
33
Sečtením těchto rovnic získáme
cos2 τ =
1 + cos 2τ
,
2
odkud pro nulovou integrační konstantu
1
1
τ + sin 2τ
cos τ dτ =
2
2
Pomocí tohoto vztahu upravíme (78) na tvar
Z
2
(79)
.
1 k1 + k2
1
ke =
τ1 − τ2 + τ3 − τ4 + 2π + (sin 2τ1 − sin 2τ2 + sin 2τ3 − sin 2τ4 ) +
π
2
2
"
+
k1
1
−τ1 + τ2 − τ3 + τ4 + (− sin 2τ1 + sin 2τ2 − sin 2τ3 + sin 2τ4 ) +
2
2
k2 ∆
(− sin τ1 − sin τ2 + sin τ3 + sin τ4 ) .
+
X
#
Pomocí (77) tento výraz snadno upravíme na
ke =
1
4k2 ∆
[(k1 + k2 )(4τ1 + 2 sin 2τ1 ) − k1 (4τ1 − 2π + 2 sin τ1 )] −
sin τ1 .
2π
πX
Odečtením výrazů násobených stejnými funkcemi odtud získáme
k2
∆
ke = k1 +
2τ1 + sin 2τ1 − 4 sin τ1
π
X
!
(80)
.
Protože zřejmě τ1 ∈ (0, π2 ), píšeme pomocí (77) a vztahů mezi goniometrickými funkcemi
sin τ1 =
q
1−
q
sin 2τ1 = 2 sin τ1 cos τ1 = 2 1 −
cos2
cos2
τ1 =
v
u
u
t
∆
1 − cos arccos
X
"
v
u
u
t
!#2
,
∆
τ1 cos τ1 = 2 1 − cos arccos
X
"
!#2
∆
cos arccos
X
Odtud vzhledem k faktu, že cos a arccos jsou navzájem inverzní funkce obdržíme
sin τ1 =
s
s
∆2
∆2
∆
1 − 2 , sin 2τ1 = 2
1− 2 .
X
X
X
Pomocí těchto vztahů a (77) upravíme (80) do konečného tvaru


s
∆2
∆ ∆
2k2 
1 − 2 .
arccos −
ke (X) = k1 +
π
X
X
X
(81)
Pro závislost vlastní frekvence soustavy na rozkmitu X pak máme
Ω(X) =
s
v


s
u
2 2
∆2 
∆ ∆
ke (X) u
u 2
1− 2 ,
= tΩ1 + Ω2 arccos −
m
π
X
34
X
X
!
.
q
q
kde Ω1 = km1 jest vlastní frekvence lineární soustavy bez narážky a Ω2 = km2 je vlastní
frekvence samotné narážky. Nejvýhodnější je zkoumat závislost poměru p2 = ΩΩ2 na
∆
. Tato závislost má tvar
poměru p1 = X
p2 (p1 ) =
v
!
u
u Ω1 2
t
Ω2
+
q
2
arccos p1 − p1 1 − p21 .
π
(82)
Ω2
Jediným parametrem této závislosti je poměr Ω21 = kk21 . Závislost je definovaná pouze na
2
intervalu pi ∈ h0; 1i, čemuž odpovídá rozkmit X ∈ h∆; ∞). Pro rozkmit (0 ≤)X < ∆
se jedná o lineární soustavu se stálou vlastní frekvencí Ω1 . Pro Ω1 = 0 ⇔ k1 = 0 se
jedná o soustavu se symetrickou narážkou tuhosti k2 s vůlí ∆. Tvar závislosti pro různé
parametry je uveden na obr.24.
1.8
1.6
1.4
p2=Ω/Ω2
1.2
1
0.8
0.6
0.4
k /k =0
1 2
k /k =.5
1 2
0.2
k1/k2=1
k1/k2=2
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
p1=∆/X
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Obrázek 24:
Modrá křivka označuje soustavu s vůlí, ostatní křivky označují soustavy se vzrůstající
tuhostí k1 trvalého spojení s rámem. Se vzrůstající tuhostí k1 vlastní frekvence přirozeně
stoupá. Se vzrůstajícím rozkmitem X (to jest s klesající proměnnou p1 ) vlastní frekvence
rovněž stoupá, neboť se stále více uplatňuje narážka a roste ekvivalentní tuhost soustavy.
Z obr.24 i ze vztahu (82) plyne, že
s
k1
k2
+1=
s
Ω1
=
lim p2 (p1 ) = lim p2 (X) =
p1 →1
X→∆+
Ω2
a dále, že
lim p2 (p1 ) = lim p2 (X) =
p1 →0+
X→∞
35
v
!
u
u Ω1 2
t
Ω2
k1
+ 1.
k2
Příklad: Určete závislost vlastní frekvence matematického kyvadla o délce závěsu
l na rozkmitu Φ za předpokladu náhrady funkce sin ϕ prvními dvěma členy Taylorova
rozvoje této funkce v okolí nuly. Úlohu řešte metodou ekvivalentní linearizace.
Řešení: Pohybová rovnice matematického kyvadla je
g
sin ϕ = 0 ,
l
kde gl = Ω20 je kvadrát vlastní frekvence linearizované soustavy. Po aproximaci sin ϕ ≈
3
≈ ϕ − ϕ6 dostáváme tuhostní charakteristiku nelineární soustavy ve tvaru
ϕ̈ +
ϕ3
ϕ−
6
k(ϕ) = Ω20
!
(83)
.
Protože tuhostní charakteristika je lichá, je nulové posunutí centra kmitání a ekvivalentní tuhost pak určíme ze vztahu
Po dosazení z (83) máme
1 Z 2π
k(Φ cos τ ) cos τ dτ .
ke =
πΦ 0
" Z
#
3 Z 2π
2π
Ω20
Φ
ke =
Φ
cos2 τ dτ −
cos4 τ dτ .
πΦ
6 0
0
(84)
Poznámka: Podle (79) je
Z
Integrál I =
R
cos2 τ dτ =
1
1
τ + sin 2τ
2
2
(85)
.
cos4 τ dτ určíme metodou integrace po částech, kdy volíme f = cos3 τ , g ′ =
= cos τ . Potom jest f ′ = −3 cos2 τ sin τ , g = sin τ . Proto je
I=
Z
f g dτ = f g −
′
Z
3
f gdτ = sin τ cos τ + 3
′
Z
sin2 τ cos2 τ dτ .
píšeme-li sin2 τ = 1 − cos2 τ upravíme předchozí výraz na
3
I = sin τ cos τ + 3
odkud
Z
cos2 τ dτ − 3I ,
Z
1
I = (sin τ cos3 τ + 3 cos2 τ dτ ) ,
4
takže podle (79)
Z
1
3
1
cos τ dτ =
sin τ cos3 τ +
τ + sin 2τ
4
2
2
4
(86)
.
Podle (79) a (86) upravíme (84) jako
Ω2
Φ2
1
3
1
2π
ke = 0 τ |2π
sin
2τ
|
−
+
sin τ cos3 τ +
τ + sin 2τ
0
0
2π
2
12
2
2
(
Vzhledem k periodicitě funkcí sinus a kosinus odtud máme
36
2π )
0
.
Ω2
Φ2
Φ2
ke = 0 2π −
· 2π = Ω20 1 −
2π
8
8
!
!
.
Protože zobecněná hmotnost je jednotková, dostáváme odtud, že
Ω(Φ) =
Rozviňme nyní funkci h(x) =
√
q
s
ke (Φ) = Ω0 1 −
Φ2
.
8
(87)
1 − x v Taylorovu řadu v okolí nuly. Zřejmě je
1
3
5
1
1
1·3
h′ = − (1 − x)− 2 ; h′′ = − 2 (1 − x)− 2 ; h′′′ = − 3 (1 − x)− 2 ; . . .
2
2
2
h(n) = −
2n−1
1 · 3 · . . . · (2n − 3)
(1 − x)− 2 ,
n
2
takže
1
1
1·3
1 · 3 · . . . · (2n − 3)
h(0) = 1; h′ (0) = − ; h′′ (0) = − 2 ; h′′′ (0) = − 3 ; . . . ; h(n) (0) = −
2
2
2
2n
a potom
√
∞
X
1
1 1
1·3 1
1 · 3 · . . . · (2i − 3)xi
.
1 − x = 1 − x − 2 · x2 − 3 · x3 − · · · = 1 −
2
2 2!
2
3!
2i · i!
i=1
Vezmeme-li z této řady první dva členy, dostaneme
√
Φ2
1−
16
!
Ω(Φ) = Ω0
1 − x ≈ 1 − x2 . Podle (87) potom
,
což je výraz (65) získaný Poincaréovou metodou.
Příklad: Určete závislost posunutí centra kmitání x0 na rozkmitu X a závislost
vlastní frekvence Ω na rozkmitu X pro nelineární konzervativní soustavu s tuhostní
charakteristikou k(x) = k0 x2 .
Řešení: Posunutí centra kmitání je nenulové, protože tuhostní charakteristika není
lichá. Podle (73) pro něj platí
Z
0
T
k(x0 + X cos Ωt)dt = 0 =
Z
2π
0
k(x0 + X cos τ )dτ .
Dosazením konkrétního tvaru tuhostní charakteristiky dostaneme
Z
2π
0
2
(x0 + X cos τ ) dτ =
k0 x20
Z
0
2π
dτ + 2x0 X
Z
2π
0
cos τ dτ + X
2
Z
0
2π
2
cos τ dτ = 0 .
Podle (79) integrací odtud dostáváme (k0 6= 0)
2πx20
+ 2x0 X
sin τ |2π
0
1
X2
τ + sin 2τ
+
2
2
odkud
37
2π
0
= 2πx20 + πX 2 = 0 ,
(88)
X
x0 (X) = ± √ .
2
(89)
Pro ekvivalentní tuhost podle (74) platí
2 ZT
1 Z 2π
ke (X) =
k(x0 + X cos Ωt) cos Ωtdt =
k(x0 + X cos τ ) cos τ dτ .
TX 0
πX 0
Dosazením konkrétního tvaru tuhostní charakteristiky k(x) a posunutí centra kmitání
x0 podle (89) dostaneme
!2
X
k0 Z 2π
± √ + X cos τ cos τ dτ =
ke (X) =
πX 0
2
Z 2π
2 Z 2π
1 Z 2π
2
cos τ dτ ± √
cos τ dτ +
cos3 τ dτ
2 0
0
2 0
k0 X
=
π
!
.
(90)
Poznámka:
Integrál
I = cos3 τ dτ určíme metodou integrace po částech, kdy ve výrazu
R
R
f g ′ dτ = f g − f ′ gdτ volíme f = cos2 τ a g ′ = cos τ . Potom jest f ′ = −2 sin τ cos τ ,
g = sin τ a proto
R
2
I = sin τ cos τ + 2
Z
sin2 τ cos τ dτ .
Substitucí sin τ = y (a tedy cos τ dτ = dy) ve druhém sčítanci předchozího vztahu
postupně získáme
2
I = sin τ cos τ + 2
Z
2
2
y 2 dy = sin τ cos2 τ + y 3 = sin τ cos2 τ + sin3 τ .
3
3
Dosazením vzorce cos2 τ = 1 − sin2 τ upravíme počítaný integrál do konečného tvaru
Z
cos3 τ dτ = sin τ −
1 3
sin τ .
3
(91)
Podle (79) a (91) nyní upravíme (90)

√ !2π 
2π
3
√
k0 X  1
2
sin
τ
1
 = ±k0 2X .
ke (X) =
sin τ |2π
+ sin τ −
τ + sin 2τ
0 ±
π
2
2
2
3
0
0
Je zřejmé, že vlastní frekvence je veličinou nezápornou, pročež znaménko plus platí pro
kladné a znaménko minus pro záporné rozkmity X. Jestliže pružinou o dané tuhostní
charakteristice k(x) je připojena hmotnost m, dostáváme pro vlastní frekvenci soustavy
Ω(X) =
kde Ω0 =
q
k0
m
s
√
ke (X) √
4
= 2 X
m
s
√
k0 √
4
= 2 XΩ0 ,
m
je vlastní frekvence přidružené lineární soustavy o tuhosti k0 .
38
7
Soustava s Coulombovým třením ve fázové rovině
Při jednoduchém vyjádření suchého tření lze i nekonzevativní soustavy s tlumením tohoto typu relativně snadno řešit ve stavovém prostoru. Tlumící člen je po částech konstantní, takže metodika platná pro konzervativní soustavy zůstává zachována vždy pro
jeden smysl rychlosti. Získané části fázových trajektorií na sebe navazují při přechodech
přes nulové body rychlosti podle jejího znaménka.
Příklad: Určete fázovou trajektorii lineární konzervativní soustavy s hmotností m a
tuhostí k, doplněné o suché tření, použijeme-li pro jeho vyjádření nejjednodušší náhrady
z obr.11.
Řešení: Pohybová rovnice popisované soustavy má zřejmě tvar
mẍ + T sign(ẋ) + kx = 0 .
q
k
a statické
Zavedením vlastní frekvence přidružené konzervativní soustavy jako Ω = m
T
T
=
deformace pružiny od připojení třecí síly T jako xs = k , vzhledem k tomu, že m
k
= Tk · m
= xs Ω2 , přepíšeme pohybovou rovnici na tvar
ẍ + Ω2 [x + xs sign(ẋ)] = 0 .
(92)
Ze statické podmínky rovnováhy vyplývá, že klidný stav hmoty m nastane pro případ,
kdy |x| < xsa = Tka . Tato výchylka x už se potom nemění. Řešme nyní pohybovou rovnici
například pro počáteční podmínky x(0) = x0 > xsa a ẋ(0) = 0. Lineární pružina se bude
snažit smrštit a v ní kumulovaná síla překoná adhezní sílu Ta . Rychlost ẋ je záporná,
takže signum ve vztahu (92) má hodnotu -1. Pohybová rovnice v této fázi pohybu
ẋ2
proto je ẍ + Ω2 (x − xs ) = 0. Dosazením ẍ = 21 ddx
obdržíme rovnici se separovatelnými
proměnnými tvaru
1 dẋ2
= Ω2 (xs − x)
2 dx
pro neznámou funkci ẋ(x). Separací proměnných a následnou integrací získáme
Z
0
odkud
ẋ2
2
2
dẋ = 2Ω
Z
x
x0
(xs − x)dx ,
ẋ2 = Ω2 [2xs (x − x0 ) − x2 + x20 ] .
Doplněním na kvadrát postupně získáme
ẋ2 = Ω2 [−x2 + 2xs x − x2s + x2s − 2xs x0 + x20 ] = Ω2 [−(x − xs )2 + (x0 − xs )2 ] ,
odkud
ẋ
Ω
2
2
2
+ (x − xs ) = (x0 − xs ) ⇔
ẋ
Ω(x0 − xs )
!2
+
x − xs
x0 − xs
2
= 1.
Jedná se tedy ve stavové rovině o elipsu se středem [xs ; 0], přičemž poloosa na ose
výchylek má délku x0 − xs a poloosa na ose rychlostí má délku Ω(x0 − xs ). Tato elipsa
protíná osu x v hodnotě počáteční podmínky x0 a v hodnotě x2 = 2xs − x0 . Protože
rychlost je záporná, bude se pracovní bod pohybovat po spodní ”půlelipse” z počáteční
39
podmínky, kdy x = x0 až do polohy, kdy x = 2xs − x0 , kdy má hmota opět nulovou
rychlost. Další vývoj závisí na tom, zda v této poloze bude statická síla v pružině taková,
že překoná adhezní sílu. Tento stav nastane právě když x2 < −xsa , tedy právě když
x0 > xsa + 2xs .
(93)
Bude-li splněna opačná relace, dojde v poloze x = x2 už k trvalému klidu. Při splnění
relace (93) dojde k dalšímu pohybu. Pružina bude smrštěna, takže rychlost bude mít
kladný smysl a signum ve vztahu (92) bude mít hodnotu 1. Pohybová rovnice v této fázi
proto bude míti tvar
1 dẋ2
= −Ω2 (x + xs ) .
2 dx
Separací proměnných a následnou integrací odtud dostaneme
Z
0
ẋ2
2
2
dẋ = −2Ω
Z
x
x2
(xs + x)dx ⇔ ẋ2 = Ω2 [−x2 + x22 − 2xs (x − x2 )] .
Doplněním na kvadrát získáme
ẋ2 = Ω2 [−(x + xs )2 + (x2 + xs )2 ] ,
odkud
ẋ
Ω(x2 + xs )
!2
x + xs
+
x2 + xs
2
= 1.
Jedná se tentokráte o elipsu se středem [−xs ; 0] s poloosou x2 + xs = 3xs − x0 na ose x
a Ω(x2 + xs ) na ose ẋ. Tato elipsa protíná osu x v bodech x = x2 (počáteční podmínka
pro tento druh pohybu) a x = x3 = −2xs − x2 = −4xs + x0 . Protože rychlost byla
kladná, bude se pracovní bod pohybovat po horní ”půlelipse” z bodu x = x2 < 0 do
bodu x = x3 , kdy bude hmota mít opět nulovou rychlost. Další vývoj závisí na tom, zda
v této poloze bude statická síla v pružině taková, že překoná adhezní sílu. Tento stav
nastane právě když x3 > xsa , tedy když
x0 > 4xs + xsa .
(94)
Bude-li splněna opačná relace, dojde v poloze x = x3 už k trvalému klidu. Při splnění
relace (94) dojde k dalšímu pohybu. Pružina bude natažena, takže rychlost bude mít
záporný smysl a signum ve vztahu (92) bude mít hodnotu -1. Pohybová rovnice v této
fázi proto bude míti tvar
ẍ + Ω2 (x − xs ) = 0 .
Rozdíl oproti první fázi pohybu (viz výše) je pouze v jiné polohové počáteční podmínce,
která jest nyní x = x3 (místo x = x0 ). Stejnou úpravou jako na počátku řešení této
úlohy dostaneme pro tento druh pohybu ve stavové rovině elipsu
ẋ
Ω(x3 − xs )
!2
x − xs
+
x3 − xs
2
=1
se středem [xs ; 0], s poloosou x3 − xs = −5xs + x0 na ose x. Pracovní bod se bude
pohybovat po spodní ”půlelipse” mezi polohami x = x3 a x = x4 = 2xs −x3 = 4xs +x2 =
= 6xs − x0 . Jestliže platí
40
6xs − x0 < −xsa ⇔ x0 > 6xs + xsa ,
dojde k dalšímu pohybu s opačným smyslem rychlosti.
Celkem tedy budeme určovat N takové, aby
2(N − 1)xs + xsa < x0 < 2N xs + xsa .
Potom dojde k pohybu postupně po N ”půlelipsách”. V lichých pořadích pohybů po
spodních ”půlelipsách” tvaru
x − xs
ẋ2
+
[Ω(x0 − (2j − 1)xs )]2
x0 − (2j − 1)xs
!2
= 1 ; j = 1, 3, . . . ≤ N
a v sudých pořadích pohybů po horních ”půlelipsách” tvaru
x + xs
ẋ2
+
[Ω(−x0 + (2j − 1)xs )]2
−x0 + (2j − 1)xs
!2
= 1 ; j = 2, 4, . . . ≤ N .
V poloze x = 2N xs − x0 pro N liché, resp. x = x0 − 2N xs pro N sudé, dojde k
trvalému klidu. Na obr.25 je situace znázorněna pro hodnoty xs =1[mm], xsa =1.5[mm],
x0 =11.3[mm], Ω =0.5[rad/s], kdy vychází N =5. Modře jsou označeny půlelipsy odpovídající záporné rychlosti a zeleně půlelipsy odpovídající kladné rychlosti. Zelené půlelipsy
mají střed v bodě x = −xs a modré v bodě x = xs . Oba body jsou znázorněny červenými křížky. Jestliže pro nulovou rychlost je dosažená výchylka v absolutní hodnotě
menší než xsa , dojde ke klidu. K tomu došlo po proběhnutí pěti půlelips. Body x = ±xsa
jsou znázorněny červenými hvězdami.
8
Fazova trajektorie linearni soustavy se suchym trenim
6
4
rychlost
2
−x
x
s
0
−xa
x
s
xa
−2
−4
−6
−8
−8
−6
−4
−2
0
2
vychylka
Obrázek 25:
41
4
6
8
10
0
Poznámka: V souřadnicové soustavě, kde svislá osa (rychlostí) bude měřítkovaná jako
ẋ
budou příslušnými částmi fázové trajektorie polokružnice.
Ω
Soustavy s obecně po částech lineárním tlumením lze také řešit (tentokrát ovšem v
časové oblasti) metodou napojování řešení.
Příklad: Jako ukázku řešme předchozí úlohu lineární soustavy se suchým třením v
časové oblasti metodou napojování řešení.
Řešení: Podle (92) pro kladné časy blízké nule pohybová rovnice soustavy tvaru
ẍ + Ω2 x = Ω2 xs .
(95)
Tuto rovnici řešíme při počátečních podmínkách x(0) = x0 > xsa a ẋ(0) = 0. Obecné
řešení homogenní rovnice je zřejmě xh (t) = A cos Ωt+B sin Ωt, kde A a B jsou integrační
konstanty. Partikulární řešení je zřejmě xp (t) ≡ xs , takže pro obecné řešení pohybové
rovnice (s pravou stranou) platí
x(t) = xs + A cos Ωt + B sin Ωt ⇒ ẋ(t) = Ω(−A sin Ωt + B cos Ωt) .
(96)
Dosazením t = 0 a zohledněním počátečních podmínek určíme
x(0) = x0 = xs + A ⇒ A = x0 − xs > 0 ; ẋ(0) = 0 = ΩB ⇒ B = 0 .
Konkrétní řešení, splňující zadané počáteční podmínky, má tedy tvar
x(t) = xs + (x0 − xs ) cos Ωt .
(97)
Toto řešení zůstává v platnosti do nejmenšího (kladného) času t1 , pro který je rychlost
nulová. Pro tento čas tedy platí
ẋ(t1 ) = (xs − x0 )Ω sin Ωt1 = 0 ⇒ t1 =
π
.
Ω
Podle (97) je
x(t1 ) = xs + (x0 − xs ) cos π = 2xs − x0 .
(98)
ẍ + Ω2 x = −Ω2 xs .
(99)
Jestliže je x(t1 ) < −xsa , tedy x0 − 2xs > xsa , dojde k pohybu v opačném smyslu,
zatímco v případě opačné relace už zůstane soustava v klidu. Dojde-li k pohybu, bude
mít pohybová rovnice tvar
Tuto rovnici řešíme při počátečních podmínkách rovných koncovým podmínkám předchozího časového intervalu, tedy při podmínkách x(t1 ) = 2xs − x0 a ẋ(t1 ) = 0. Ze
stejného důvodu jako výše je obecné řešení pohybové rovnice tvaru
x(t) = −xs + A cos Ωt + B sin Ωt ⇒ ẋ(t) = Ω(−A sin Ωt + B cos Ωt .)
Protože cos Ωt1 = −1 a sin Ωt1 = 0, dostaneme zohledněním počátečních podmínek
x(t1 ) = 2xs − x0 = −xs − A ⇒ A = x0 − 3xs ; ẋ(t1 ) = 0 = −BΩ ⇒ B = 0 .
Řešení v dalším časovém intervalu má proto konkrétní tvar
x(t) = −xs + (x0 − 3xs ) cos Ωt .
42
(100)
Mezní čas t2 platnosti tohoto řešení je minimální čas t2 > t1 , kdy rychlost je nulová. Pro
tento čas tedy platí
ẋ(t2 ) = (−x0 + 3xs )Ω sin Ωt2 = 0 ⇒ t2 =
2π
.
Ω
Podle (100) pak
x(t2 ) = −xs + (x0 − 3xs ) cos 2π = x0 − 4xs .
(101)
Jestliže platí x(t2 ) > xsa , tedy x0 − 4xs > xsa , dojde k pohybu v opačném smyslu,
zatímco v případě opačné relace už zůstane soustava v klidu. Dojde-li k pohybu, bude
mít pohybová rovnice tvar (95) a její obecné řešení bude mít tvar (96). Zohledněním
počátečních podmínek získáme
x(t2 ) = x0 − 4xs = xs + A ⇒ A = x0 − 5xs ; ẋ(t2 ) = 0 = BΩ ⇒ B = 0 .
Řešení v dalším časovém intervalu má proto konkrétní tvar
x(t) = xs + (x0 − 5xs ) cos Ωt .
(102)
Mezní čas t3 platnosti tohoto řešení je minimální čas t3 > t2 , kdy rychlost je nulová. Pro
tento čas tedy platí
ẋ(t3 ) = (−x0 + 5xs )Ω sin Ωt3 = 0 ⇒ t3 =
3π
.
Ω
Podle (102) pak
x(t3 ) = xs + (x0 − 5xs ) cos 3π = −x0 + 6xs .
Jestliže platí x(t3 ) < −xsa , tedy x0 − 6xs > xsa , dojde k pohybu v opačném smyslu,
zatímco v případě opačné relace už zůstane soustava v klidu.
Obecně určíme takové N ∈ {0, 1, . . .}, pro které
2(N − 1)xs + xsa < x0 < 2N xs + xsa .
Pak dojde k pohybu na intervalu t ∈ h0; N
π) =
Ω
N
[
(i − 1)π iπ
; ) . Na intervalu
Ω
Ω
ht2(k−1) ; t2k−1 ), k = 1, . . . takové, že 2k − 1 ≤ N , tedy na intervalu lichého pořadového
čísla, je pohyb popsán funkcí
i=1
h
x(t) = xs + [x0 − (4k − 3)xs ] cos Ωt
a na intervalu ht2k−1 ; t2k ), k = 1, . . . takové, že 2k ≤ N , tedy na intervalu sudého
pořadového čísla, je pohyb popsán funkcí
x(t) = −xs + [x0 − (4k − 1)xs ] cos Ωt .
V poloze x(tN ) dojde k trvalému klidu. Časovým průběhem pohybu jsou spojitě na sebe
navazující kosinové ”půlvlny” o periodě T = 2π
střídavě kolem polohy ±xs s postupně
Ω
klesající amplitudou x0 − (2k − 1)xs , k = 1, 2, . . .. Pro číselné hodnoty z předchozí úlohy
je časová závislost výchylky znázorněna na obr.26. Modře je značen pohyb se zápornou
rychlostí, kdy rovnovážná poloha kosínusovek je xs , zatímco zeleně je značen pohyb
43
s kladnou rychlostí, kdy rovnovážná poloha je −xs . Pás mezi červenými tečkovanými
přímkami jsou polohy, kdy absolutní hodnota výchylky je menší než xsa . Jestliže se
do tohoto pásu dostane pracovní bod při současném lokálním extrému výchylky (tedy
nulové rychlosti), dojde k trvalému klidu. Periody všech kosínusovek odpovídají kruhové
frekvenci Ω = 0.5[rad/s]. Jsou tedy 4π.
Vychylka linearni soustavy se suchym trenim
x
0
10
8
6
vychylka [mm]
4
x
2
sa
0
−x
sa
−2
−4
−6
−8
−10
0
5
10
15
cas [s]
20
25
30
Obrázek 26:
8
Metoda ekvivalentní linearizace pro vynucené kmitání tlumených soustav
Metodou ekvivalentní linearizace lze určovat periodické řešení nekonzervativní harmonicky buzené nelineární soustavy analogickým postupem jako byl hledán ustálený stav
lineární harmonicky buzené soustavy.
Pohybová rovnice nechť má tvar
mẍ + b(ẋ) + k(x) = F0 cos(ωt + ϕ) ,
(103)
kde b(ẋ) je nelineární tlumící charakteristika, k(x) je nelineární tuhostní charakteristika
a F0 , ω a ϕ je po řadě amplituda, frekvence a fáze harmonického buzení. Periodické
řešení rovnice (103) předpokládejme ve tvaru
x = x0 + X cos ωt
(104)
s posunutím centra kmitání x0 a s amplitudou X. Nahraďme nelineární charakteristiky lineárními ovšem s parametry závisejícími na amplitudě. Nahrazujeme tedy b(ẋ) = be (X)ẋ
44
a k(x) = ke (X)[x − x0 (X)], kde ke je ekvivalentní tuhost a be ekvivalentní tlumící
koeficient. Pohybová rovnice (103) má potom tvar
mẍ + be (X)ẋ + ke (X)[x − x0 (X)] = F0 cos(ωtϕ) .
(105)
b(ẋ(t)) + k(x(t)) = A0 + A1 cos ωt + B1 sin ωt ,
(106)
Funkce be (X)ẋ+ke (X)[x−x0 (X)] = b(ẋ)+k(x) má zřejmě po dosazení za x z (104) (i za
. Lze ji proto rozvinout ve Fourierovu
derivaci ẋ = −Xω sin ωt) zřejmě periodu T = 2π
ω
řadu se základní frekvencí ω. Uvážíme-li pouze první tři členy této řady, dostaneme
kde pro Fourierovy koeficienty platí
1ZT
A0 =
[b(−Xω sin ωt) + k(X cos ωt − x0 )]dt ,
T 0
2ZT
[b(−Xω sin ωt) + k(X cos ωt − x0 )] cos ωtdt ,
A1 =
T 0
2ZT
B1 =
[b(−Xω sin ωt) + k(X cos ωt − x0 )] sin ωtdt ,
T 0
odkud substitucí ωt = τ
1 Z 2π
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ − x0 )]dτ ,
A0 =
2π 0
1 Z 2π
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ − x0 )] cos τ dτ ,
A1 =
π 0
1 Z 2π
B1 =
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ − x0 )] sin τ dτ .
π 0
Pomocí koeficientů ekvivalentní linearizace lze psáti
(107)
b(ẋ(t)) + k(x(t)) = −be (X)ωX sin ωt + ke (X)X cos ωt .
Srovnáním pravých stran tohoto výrazu s výrazem (106) získáme
A0 + A1 cos ωt + B1 sin ωt = Xke (X) cos ωt − ωXbe (X) sin ωt .
Vzhledem k platnosti tohoto vztahu v libovolném čase dostaneme odtud pro Fourierovy
koeficienty A0 = 0, A1 = Xke (X) a B1 = −ωXbe (X), takže podle (107)
Z
0
2π
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ − x0 )]dτ = 0 ,
1 Z 2π
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ − x0 )] cos τ dτ ,
ke (X) =
πX 0
1 Z 2π
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ − x0 )] sin τ dτ .
be (X) = −
πωX 0
(108)
Z první rovnice lze (teoreticky) určit posunutí centra kmitání v závislosti na amplitudě
X periodického řešení. Z dalších dvou rovnic poté lze určit ekvivalentní tuhost a tlumení.
Poznámka: Je-li tuhostní i tlumící charakteristika (současně) lichá, jest první rovnice
(108) automaticky splněna pro x0 = 0. Vzhledem k vlastnostem goniometrických funkcí
potom totiž platí
45
2π
Z
0
+
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ )]dτ =
Z
2π
Z
π
+
π
0
π
Z
0
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ )]dτ +
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ )]dτ =
Z
π
[b(Xω sin τ ) + k(−X cos τ )]dτ =
Z
π
−
Z
0
π
0
0
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ )]dτ +
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ )]dτ −
[b(−Xω sin τ ) + k(X cos τ )]dτ = 0 .
Posunutí centra kmitání je nenulové (a počítáme jej podle první rovnice (108)) pouze v
případě, že je alespoň jedna z charakteristik b(ẋ), k(x) nelichá.
Na rovnici (105) se při znalosti x0 , ke a be lze dívat jako na rovnici pro lineární
soustavu s partikulárním řešením (104). Dosazením partikulárního řešení získáme
−mω 2 X cos ωt − be (X)Xω sin ωt + ke (X)X cos ωt = F0 (cos ϕ cos ωt − sin ϕ sin ωt) .
Srovnáním koeficientů u goniometrických funkcí potom máme
X[−mω 2 + ke (X)] = F0 cos ϕ ; Xbe (X)ω = F0 sin ϕ .
(109)
Umocněním a sečtením těchto rovnic vznikne
odkud snadnou úpravou
X 2 {[ke (X) − mω 2 ]2 + b2e (X)} = F02 ,
F02
= 0.
X2
Jedná se o bikvadratickou rovnici pro budící frekvenci ω. Její kladná řešení určíme jako
m2 ω 4 − 2mke (X)ω 2 + ke2 (X) + b2e (X) −
v
u
1 u
t
ω(X) = √
m
ke (X) ±
s
F02
− b2e (X) .
X2
(110)
Získáme tím závislost ω(X). Tato závislost ovšem nemusí být prostá, takže obecně neexistuje inverzní funkce X(ω). Nicméně záměnou souřadnicových os v grafu (110) lze
získat závislost X(ω), jež ovšem může jediné budící frekvenci ω přiřazovat více hodnot
amplitudy periodického řešení (104).
Poznámka: Podmínkami nezáporných argumentů odmocnin v (110) se, s ohledem na
obecnost vyjádření ekvivalentních veličin ke , be závislých na amplitudě X, nebudeme
podrobněji zabývat.
Závislosti X(ω) říkáme, podobně jako u lineárních soustav, amplitudová charakteristika. Její tvar závisí hlavně na tvaru skeletové křivky Ω(X) závislosti vlastní frekvence na amplitudě periodického řešení a v neposlední řadě na závislosti poměrného
útlumu D(X) definovaného v souladu s lineární soustavou jako
be (X)
be (X)
= 2D(X)Ω(X) ⇔ D(X) = q
.
m
2 mke (X)
46
(111)
Vlastní frekvence Ω(X) jest definována v (75). Z (110) je dále patrno, že amplitudová
charakteristika také podstatně závisí na amplitudě buzení F0 . Při této příležitosti opět
poznamenejme, že pro nelineární soustavy neplatí princip superpozice.
Protože parametry X, be , ω i F0 jsou nezáporné, vyplývá ze druhé rovnice (109), že
sin ϕ ≥ 0 ⇔ ϕ ∈ h0; πi. Z toho důvodu získáme jednoznačné určení fázového zpoždění
partikulárního řešení dělením druhé rovnice (109) rovnicí první. Vznikne
tgϕ(X) =
ωbe (X)
.
ke (X) − mω 2
(112)
Protože funkce arctg má hodnoty z intervalu (− π2 , π2 ) a fáze ϕ ∈ h0; πi, dostáváme
řešením této rovnice
ϕ1 (X) = arctg
ωbe (X)
,
ke (X) − mω 2
pokud tato hodnota bude z intervalu (0, π2 ) a ϕ2 = π + ϕ1 , pokud tato hodnota vyjde z
intervalu (− π2 , 0). Závislosti ϕ(X) říkáme fázová charakteristika soustavy. Protože
závislost X(ω) je často víceznačná, bývá i závislost ϕ(X(ω)) víceznačná. Její konkrétní
tvar závisí hlavně na ekvivalentních veličinách be (X) a ke (X).
Poznámka: Uvedenou metodu lze teoreticky úspěšně uplatnit i v případě obecnější pohybové rovnice tvaru mẍ + g(ẋ, x) = F0 cos(ωt + ϕ), kde proměnné ve funkci g nelze od
sebe oddělit. Pro ekvivalentní veličiny potom místo (108) platí vztahy
Z
0
2π
g(−Xω sin τ, X cos τ − x0 (X))dτ = 0 ,
1 Z 2π
g(−Xω sin τ, X cos τ − x0 (X)) cos τ dτ ,
ke (X) =
πX 0
1 Z 2π
g(−Xω sin τ, X cos τ − x0 (X)) sin τ dτ .
be (X) = −
πωX 0
Je-li funkce g lichá současně v obou svých proměnných, tedy pokud platí g(−ẋ, x) =
= −g(ẋ, x) a g(ẋ, −x) = −g(ẋ, x), je posunutí centra kmitání x0 automaticky nulové.
Příklad: Popište amplitudovou a fázovou charakteristiku lineární tlumené soustavy
s paralelně připojeným členem, ve kterém síla závisí na třetí mocnině výchylky. Soustava
je buzená harmonicky.
Řešení: Pohybová rovnice soustavy je zřejmě tvaru
mẍ + bẋ + k1 x + k3 x3 = F0 cos(ωt + ϕ) .
Zavedením parametrů Ω =
q
k1
,
m
D=
√b
2 mk1
aκ=
k3
k1
přepíšeme rovnici na tvar
ẍ + 2DΩ ẋ + Ω2 x + κΩ2 x3 = xs Ω2 cos(ωt + ϕ) ,
kde xs = Fk10 . Protože tuhostní i tlumící charakteristika je lichá, jest posunutí centra
kmitání nulové. Podle druhé rovnice (108) pro ekvivalentní tuhost máme
ke (X) =
1 Z 2π
(−2DΩωX sin τ cos τ + Ω2 X cos2 τ + κΩ2 X 3 cos4 τ )dτ .
πX 0
V prvním sčítanci zavedeme substituci sin τ = y, pro druhý sčítanec využijeme odvozený
výraz (79) a pro třetí sčítanec pak výraz (86). Dostaneme
47
#2π
1
Ω2 X 2
1
Ω2
1
3
ke (X)= −DΩω sin2 τ+
τ+ sin 2τ +κ
sin τ cos3 τ+ (τ+ sin 2τ )
π
2
2
4
2
2
"
=
0
3
Ω2 X 2 3
1 Ω2
· 2π + κ
· · 2π = Ω2 1 + κX 2 .
π 2
4
2
4
#
"
=
(113)
Pro ekvivalentní tlumení máme podle třetí rovnice (108)
1 Z 2π
be (X) =
(−2DΩωX sin2 τ + Ω2 X cos τ sin τ + κΩ2 X 3 cos3 τ sin τ )dτ . (114)
πωX 0
Poznámka: Neurčitý integrál funkce sin2 τ určíme takto: Zřejmě platí
1 = cos2 τ + sin2 τ ; cos 2τ = cos2 τ − sin2 τ .
Odečtením druhé rovnice od první vznikne sin2 τ =
grační konstantu máme
1−cos 2τ
,
2
odkud pro nulovou inte-
1
1
τ − sin 2τ .
2
2
Ostatní integrály ve (114) určíme snadnou substitucí cos τ = y.
Vztah (114) pomocí těchto prostředků upravíme na tvar
Z
sin2 τ dτ =
1
1
Ω2 X 2
1
−DΩω(τ − sin 2τ ) − Ω2 cos2 τ − κ
cos4 τ
be (X) = −
πω
2
2
4
"
(115)
#2π
= 2DΩ . (116)
0
Poznámka: V průběhu dosavadního řešení příkladu jsme zároveň dokázali, že pro případ
lineární tlumící charakteristiky b(ẋ) = bẋ platí be (X) ≡ b. Analogicky pro případ lineární
tuhostní charakteristiky k(x) = kx je ke (X) ≡ k.
Dosazením předpokládaného řešení x(t) = X cos ωt do pohybové rovnice ẍ+be (X)ẋ+
+ ke (X)x = xs Ω2 cos(ωt + ϕ) dostaneme
−Xω 2 cos ωt − be Xω sin ωt + ke X cos ωt = xs Ω2 (cos ϕ cos ωt − sin ϕ sin ωt) .
Srovnáním koeficientů u goniometrických funkcí pak po dosazení (113) a (116) dostáváme
3
X −ω + Ω 1 + κX 2 = xs Ω2 cos ϕ ; −2DΩωX = −xs Ω2 sin ϕ ,
4
odkud analogickými úpravami jako v obecném případě určíme
2
2
3
1 + κX 2 − ω 2
4
2DΩω
.
Ω2 (1 + 43 κX 2 ) − ω 2
(117)
Z první rovnice snadno určíme bikvadratickou rovnici pro závislost ω(X). Bude míti
tvar
(
2
2
2
2
4D Ω ω + Ω
2 )
X 2 = x2s Ω4 ; tgϕ(X) =
48
4
2
ω + 2Ω
3
2D − κX 2 ω 2 + Ω4
4
2
"
3
1 + κX 2
4
2
x2
− s2 = 0 .
X
#
Při zadaných parametrech xs , κ, D a Ω jsou ”rozumným” hodnotám rozkmitu X přiřazeny právě dvě hodnoty budící frekvence ω. Jedná se o takové rozkmity, pro které
diskriminant kvadratické rovnice pro ω 2 je kladný. Pro kladná řešení bikvadratické rovnice za uvedených předpokladů platí
ω1,2
v
u
u
t
3
= Ω −2D2 + κX 2 ±
4
s
3
2D2 − κX 2
4
2
3
− 1 + κX 2
4
2
+
x2s
.
X2
(118)
Záměnou souřadnicových os v grafu závislosti (118) získáme amplitudovou charakteristiku X(ω) soustavy. Jejím dosazením do druhé rovnice (117) potom obdržíme i fázovou
charakteristiku ϕ(X(ω)).
Poznámka: Dělením rovnice (118) vlastní frekvencí Ω přidružené lineární soustavy, rozšířením (117) výrazem Ω1 a zavedením činitele naladění η = Ωω dostaneme
η1,2 (X) =
v
u
u
t
3
−2D2 + κX 2 ±
4
ϕ1,2
s
2D2
3
− κX 2
4
2
3
− 1 + κX 2
4
2Dη1,2 (X)
= arctg
3
2
(X)
1 + 4 κX 2 − η1,2
!
2
+
x2s
,
X2
.
Záměnou os v grafickém popisu první rovnice dostaneme ”závislost” X(η) a tato dosazena do grafického vyjádření druhé rovnice dává ”závislost” ϕ(η). Vznikne tím amplitudová a fázová charakteristika soustavy v bezrozměrném vyjádření. Pro takto získané
fáze platí tatáž poznámka, jako za rovnicí (112).
Amplitudová charakteristika je znázorněna na obr.27, fázová charakteristika na obr.28.
Větev se znaménkem plus v (118) je znázorněna zeleně, větev s opačným znaménkem
modře. Obě větve se spojují pro vysoké rozkmity X. Jak je z obrázku patrno, charakteristiky nejsou funkcemi, neboť v jistém intervalu činitele naladění jsou jediné hodnotě
tohoto činitele přiřazeny tři hodnoty rozkmitu X popřípadě fázového zpoždění ϕ. Bude-li se budící frekvence zvyšovat, potom pracovní bod [η, X] poběží po charakteristice až
do bodu B. Při dalším zvyšování frekvence dojde k přeskoku do bodu D a pracovní bod
pak poběží po zbylé větvi charakteristiky. Bude-li se budící frekvence snižovat, poběží
pracovní bod až do bodu A na charakteristice. Při dalším snižování frekvence dojde k
přeskoku do bodu C a poté poběží pracovní bod po zbylé větvi charakteristiky. Analogická situace nastává i u případu fázové charakteristiky. Větev charakteristik mezi body
A a B odpovídá nestabilní oblasti, jejíž existence je typická pro nelineární kmitání tohoto
typu. Tak jako pro lineární soustavu má amplitudová charakteristika (pro malé poměrné
útlumy) extrém v okolí rezonančního stavu η = 1, má pro příslušný rozkmit extrém i
amplitudová charakteristika nelineární soustavy. Amplitudová charakteristika nelineární
soustavy tak ”ovíjí” skeletovou křivku soustavy. Skeletová křivka je na obrázku 27 znázorněna červeně čárkovaně. Poznamenejme ještě, že se vzrůstajícím rozkmitem roste i
vlastní frekvence, jak odpovídá tvrdnoucí tuhostní charakteristice soustavy.
Jak lze předpokládat, zvyšování poměrného útlumu vede ke zvýšení stability soustavy a obecně k poklesu amplitud. Situace je patrna z obr.29, kde při jinak stejných
49
Amplitudova charakteristika nelinearni soustavy − xs=1, D=0.1, κ=1
B
2
C
rozkmit X[m]
1.5
1
A
0.5
D
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
cinitel naladeni η=ω/Ω
3.5
4
4.5
5
4.5
5
lin
Obrázek 27:
Fazova charakteristika nelinearni soustavy − x =1, D=0.1, κ=1
s
3
D
A
2.5
faze φ[rad]
2
B
1.5
1
C
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
cinitel naladeni η=ω/Ωlin
Obrázek 28:
50
3.5
4
rozkmit X[m]
Amplitudova charakteristika nelinearni soustavy κ=1 xs=1
2
1
0
rozkmit X[m]
D=0.05
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
D=0.1
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
1.5
rozkmit X[m]
5
5
D=0.2
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
cinitel naladeni η=ω/Ω
3.5
4
4.5
5
lin
Obrázek 29:
parametrech (xs = 1 a κ = 1) byl poměrný útlum volen postupně 0.05, 0.1 a 0.2. Skeletová křivka se se vzrůstajícím poměrným útlumem napřimuje, čímž se snižuje rozsah
nestabilní oblasti. Pro poměrný útlum okolo 0.3 už je nestabilní oblast prázdnou množinou. Zvyšování koeficientu κ vede ke zvýšení růstu tuhostní charakteristiky soustavy a
tím i ke zvýšení nelinearity. S tím pak souvisí rozšiřování nestabilní oblasti, jak je patrno
z obrázku 30, kde při jinak stejných parametrech (xs = 1 a D = 0.1) byl parametr κ
volen postupně 0.5, 1 a 2. Protože neplatí princip superpozice, vede i změna statické deformace xs , odpovídající lineární pružině, ke kvalitativním změnám charakteristiky. Se
vzrůstajícím parametrem xs rostou rozkmity a tím se více uplatňují nestabilní oblasti,
jak je patrno z obrázku 31, kde při jinak stejných parametrech (κ = 1 a D = 0.1) byl
parametr xs volen postupně 0.5, 1 a 2.
Příklad: Určete tvar amplitudové a fázové charakteristiky podélně kmitající soustavy s lineární pružinou tuhosti k bez viskózního tlumení, doplněnou suchým třením
modelovaným charakteristikou b(ẋ) = T sign(ẋ), kde T je třecí síla. Soustava je buzena
je silou tvaru F (t) = F0 cos(ωt + ϕ).
Řešení: Protože tuhostní charakteristika je lineární, je ke (X) ≡ k. Protože tlumící charakteristika je (rovněž) lichá, nebude docházet k posunutí centra kmitání. Pro
ekvivalentní tlumení pak dostáváme
be (X) = −
1 Z 2π
T sign(−Xω sin τ ) sin τ dτ .
πωX 0
Vzhledem k průběhu funkce sinus a k definici funkce signum odtud odvodíme
51
Amplitudova charakteristika nelinearni soustavy xs=1 D=0.1
rozkmit X[m]
kappa=0.5
2
1
rozkmit X[m]
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
5
kappa=1
2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
2
rozkmit X[m]
4.5
4.5
5
kappa=2
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
cinitel naladeni η=ω/Ω
3.5
4
4.5
5
lin
Obrázek 30:
Amplitudova charakteristika nelinearni soustavy κ=1 D=0.1
rozkmit X[m]
1.5
1
0.5
0
rozkmit X[m]
xs=0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x =1
2
s
1.5
1
0.5
rozkmit X[m]
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
x =2
3
s
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
cinitel naladeni η=ω/Ω
lin
Obrázek 31:
52
3.5
4
4.5
5
be (X) = −
Z 2π
Z π
T
T
4T
sin τ dτ = −
sin τ dτ +
{[cos τ ]π0 − [cos τ ]2π
.
−
π } =
πωX
πωX
πωX
π
0
Podle (109) tedy je
X(−mω 2 + k) = F0 cos ϕ ;
4T
= F0 sin ϕ .
π
(119)
Umocněním a sečtením rovnic dostaneme
16T 2
+ X 2 (k − mω 2 )2 = F02 ,
π2
odkud
X=
q
Rozšířením zlomku výrazem
soustavy dostaneme
X=
2
F02 − 16T
16T 2
F0
π2
1
−
=
.
k − mω 2
k − mω 2
π 2 F02
F0
m
Ω2 − ω 2
1
m
s
a zavedením vlastní frekvence Ω přidružené lineární
v
u
u
t
4T
1−
πF0
2
v
u
4T
xst Ω2 u
t
1−
= 2
2
Ω −ω
πF0
2
,
kde jsme zavedli statickou deformaci xst = Fk0 pružiny pod působením síly F0 a psali
k
jsme Fm0 = Fk0 · m
= xst Ω2 . Rozšířením zlomku výrazem Ω12 a zavedením činitele naladění
ω
η = Ω dostaneme na závěr
v
u
1 u
X
4T
t
=
1−
2
xst
1−η
πF0
2
.
Vidíme, že amplitudová charakteristika soustavy je kvalitativně stejná jako u lineární
netlumené soustavy. Oproti lineární soustavě je hodnota √
rozkmitu pro každou budící
4T
frekvenci zmenšena násobením konstantním součinitelem 1 − c2 , kde c = πF
. Tvar
0
8
F0
amplitudové charakteristiky je pro poměr sil T = π znázorněn na obr.32. Uvedenému
poměru sil odpovídá konstanta c = 0.5. Je patrno, že v podrezonanční oblasti kmitá
odezva ve fázi s buzením, zatímco v nadrezonanční oblasti kmitá v protifázi.
Poznámka: Aby charakteristika měla reálný smysl, je třeba, aby c < 1 ⇔ T < π4 F0 .
Poznamenejme, že pokud amplituda buzení převýší třecí sílu (což je podmínka pohybu
soustavy) bude podmínka reálné charakteristiky splněna.
Ze druhé rovnice (119) plyne
4T
.
πF0
Protože c > 0, dostáváme odtud jako řešení fázové charakteristiky dvě na budící frekvenci nezávislé konstanty ϕ1 = arcsin c a ϕ2 = π − ϕ1 . Která
q konstanta bude kdy v
k
platnosti, určíme z první rovnice (119). Z ní plyne, že pro ω< m
= Ω je cos ϕ > 0, tedy
sin ϕ = c =
q
k
= Ω je cos ϕ < 0, takže
řešením je konstanta ϕ1 , zatímco pro opačnou relaci ω> m
řešením je konstanta ϕ2 . Fázová charakteristika je tedy po částech konstantní a je pro
výše uvedený poměr sil znázorněna na obrázku 33. Zřejmě arcsin 0.5= π6 . Plné úsečky,
označující fázovou charakteristiku, tedy dávají v podrezonanční oblasti fázové zpoždění
53
Amplitudova charakteristika soustavy se suchym trenim
5
4
3
pomer vychylek X/xs
2
1
sqrt(1−c*c)
0
−1
−2
−3
−4
−5
0
0.5
1
1.5
2
cinitel naladeni η
2.5
3
3.5
Obrázek 32:
a v nadrezonanční oblasti fázové zpoždění 5π
. Obecně se se vzrůstající třecí silou obě
6
konstanty sbližují. Hranicí reálných hodnot konstant ϕ1 a ϕ2 je případ, kdy T = π4 F0 .
Za toho předpokladu je c = 1 a ϕ1 = ϕ2 = π2 , takže fázová charakteristika je potom
spojitá, konstantní.
π
6
Fazova charakteristika soustavy se suchym trenim
3.5
π
3
fazove zpozdeni φ [rad] za buzenim
π−arcsin(c)
2.5
2
π/2
1.5
1
arcsin(c)
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
cinitel naladeni η
Obrázek 33:
54
2.5
3
3.5
9
Numerické řešení obecné pohybové rovnice nelineární soustavy
Nejobecnější pohybovou rovnicí nelineární kmitavé soustavy s jedním stupněm volnosti
tvaru
mẍ + g(x, ẋ) = f (t)
lze řešit při počátečních podmínkách x(0) = x0 , ẋ(0) = ẋ0 přechodem ke dvěma diferenciálním rovnicím prvního řádu tvaru
dx
=y
dt
dy
1
= f (t) − g(x, y) .
dt
m
Tuto soustavu lze napsat vektorově jako
dq
= h(q, t) ,
dt
kde q
T
= [x, y], h(x, y, t) =
"
#
"
y
f (t) −
1
g(x, y)
m
#
(120)
a řešíme ji při počáteční podmínce
x(0)
. Soustavu (120) řešíme numerickou metodou. Užít lze např. v MATLABu
ẋ(0)
připravené skripty ODE, jež využívají Rungeovu-Kuttaovu metodu s adaptivně měněným krokem v nezávisle proměnné t.
Uživatel tohoto software musí pro řešení úlohy nelineárního kmitání připravit v
MATLABu hlavní program (main), ve kterém načte všechny soustavu popisující vstupní
parametry včetně polohové a rychlostní počáteční podmínky, maximálního času simulace a přesnosti řešení. Dále v tomto programu vyvolá proceduru ODE a zpracuje její
výstupy (digitálně formou tabulky, nebo graficky). Pravou stranu h soustavy diferenciálních rovnic (120) musí uživatel zpracovat ve tvaru funkce. Tato funkce může mít
například tuto formu: function y=fu(q,t); y(1)=q(2); y(2)=-g(t,q)/m. Zde y je dvoučlenný vektor funkčních hodnot pravé strany (120) v argumentech t (skalární čas) a q
(dvoučlenný vektor výchylky a rychlosti). Do těla funkce fu musí mít možnost přejít
z mainu parametry důležité pro popis nelinearity soustavy g(q, t). Je možné tyto parametry zadat do specifikace global a učinit je použitelné ve všech procedurách, nebo
je možno je vnést do těla funkce přes další (vektorový) parametr funkce fu. Pokud je
funkce g(q, t) popisující nelinearitu složitá, musí být naprogramována jako nová funkce
zvlášť. Použití software ODE je provedeno např. příkazem [t,q]=ode23(’fu’,0,T,q0,eps).
Zde ’fu’ je jméno funkce, která vrací hodnoty pravé strany rovnice (120), T je maximální čas simulace, q0 je dvoučlenný vektor obsahující polohovou a rychlostní počáteční
podmínku a eps je přesnost řešení. Druhým parametrem procedury ODE je nula, značící
počáteční čas. Výstupem procedury ODE je vektor t nezávisle proměnných (počet jeho
členů závisí na době simulace a přesnosti řešení) a matice q příslušných hodnot závisle
proměnných. Matice má tolik řádků, kolik jest členů vektoru t a dva sloupce. První
sloupec označuje příslušnou výchylku a druhý odpovídající rychlost.
q(0) =
55
Obsah
1 Klasifikace nelineárního kmitání
1
2 Důležité tuhostní a tlumící charakteristiky
3
3 Konzervativní soustava ve fázové rovině
9
4 Metoda napojování řešení
17
5 Poincaréova metoda malého parametru
25
6 Metoda ekvivalentní linearizace
30
7 Soustava s Coulombovým třením ve fázové rovině
39
8 Metoda ekvivalentní linearizace pro vynucené kmitání tlumených soustav
44
9 Numerické řešení obecné pohybové rovnice nelineární soustavy
56
55