Dynamika rotor˚u a základn´ı poznatky na jednoduchém systému

Dynamika rotorů a základnı́ poznatky na
jednoduchém systému
Michal Hajžman
Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálnı́m fondem a státnı́m rozpočtem České
republiky.
Výpočtové metody mechaniky
Úvod a motivace
I Dynamika — část mechaniky studujı́cı́ pohyb s ohledem na jeho přı́činy
I Kmitánı́ (vibrace) — opakujı́cı́ se změna pohybu (v čase) (nebo
vykazujı́cı́ tendenci se opakovat)
I Rotory, rotujı́cı́ systémy — turbı́ny, generátory, (elektro)motory, pohony,
převodovky, ventilátory, kompresory, . . .
I Důležitý prvek je uloženı́ rotorů k rámu (stator, základ)
. Valivá ložiska
. Kluzná ložiska
I Dalšı́ specifické prvky — ucpávky, ozubenı́, spojky, olopatkovánı́ . . .
Michal Hajžman
1
Výpočtové metody mechaniky
Nutné znalosti
I Mechanika
. Kinematika
. Vektorová mechanika — metoda uvolňovánı́, setrvačné účinky
. Analytická mechanika — Lagrangeovy rovnic, princip virtuálnı́ch pracı́
I Matematika
. Lineárnı́ algebra, vektorový a maticový počet
. Vlastnı́ čı́sla a vlastnı́ vektory
. Obyčejné diferenciálnı́ rovnice (druhého řádu)
. Numerické metody . . .
Michal Hajžman
2
Výpočtové metody mechaniky
Obecný postup řešenı́ úloh
I Přı́prava vstupnı́ch dat
I Vytvořenı́ výpočtového/matematického modelu (lineárnı́ vs. nelineárnı́)
I Řešenı́ matematického modelu — závisı́ na požadovaných výstupech
I Modálnı́ analýza — vlastnı́ tvary a vlastnı́ frekvence, kritické otáčky
I Ustálená odezva na (poly)harmonické buzenı́ — partikulárnı́ řešenı́
I Přechodová odezva
I Řešenı́ v časové oblasti
Michal Hajžman
3
Výpočtové metody mechaniky
Studium
I A. Tondl: Some Problems of Rotor Dynamics. Nakl. ČSAV v koedici s
Chapman & Hall, 1965.
I M. Byrtus, M. Hajžman, V. Zeman: Dynamika rotujı́cı́ch soustav.
Západočeská univerzita, 2010.
I G. Genta: Dynamics of Rotating Systems, Springer, 2005.
I E. Krämer: Dynamics of Rotors and Foundations. Springer, 1993.
I T. Yamamoto, Y. Ishida: Linear and Nonlinear Rotordynamics. Wiley,
2001.
I www.rotordynamics.org/booklist.htm
Michal Hajžman
4
Výpočtové metody mechaniky
Jednoduchý rotujı́cı́ systém
I Bod vázaný pružinami uvnitř rotujı́cı́ho prstence
1 2
2
Ek = m (ẋ − ωy) + (ẏ + ωx) ,
2
1
1
1
1
Ep = kx x2 + ky y 2 , R = bx ẋ2 + by ẏ 2
2
2
2
2
Michal Hajžman
5
Výpočtové metody mechaniky
Jednoduchý rotujı́cı́ systém . . .
d
dt
∂Ek
∂ q̇
∂Ep ∂R
∂Ek
−
+
+
= f (q, q̇, t)
∂q
∂q
∂ q̇
mẍ − 2mω ẏ + bx ẋ + (kx − mω 2 )x = 0,
mÿ + 2mω ẋ + by ẏ + (ky − mω 2 )y = 0,
M q̈ + (B + ωG)q̇ + (K − ω 2 Kω )q = 0,

M =

K=
Michal Hajžman
m
0
0
m
kx
0
0
ky

,

,

B=

bx
0
0
by

Kω = 
m
0
,
0
m


G=

,q = 
x
y
0
−2m
2m

0

,

6
Výpočtové metody mechaniky
Jednoduchý rotujı́cı́ systém . . .
4
30
3
20
2
10
Im λν
Re λν
1
0
−1
0
−10
−2
−20
−3
−4
0
20
40
60
ω [rad/s]
80
100
−30
0
20
40
60
ω [rad/s]
80
100
Závislost imaginárnı́ch a reálných částı́ vlastnı́ch čı́sel λν soustavy na úhlové
rychlosti pro m = 1 kg, kx = 4ky = 104 N/m, bez tlumenı́ bx = by = 0
Michal Hajžman
7
Výpočtové metody mechaniky
Jednoduchý rotujı́cı́ systém . . .
4
30
3
20
2
10
Im λν
Re λν
1
0
−1
0
−10
−2
−20
−3
−4
0
20
40
60
ω [rad/s]
80
100
−30
0
20
40
60
ω [rad/s]
80
100
Závislost imaginárnı́ch a reálných částı́ vlastnı́ch čı́sel λν soustavy na úhlové
rychlosti pro m = 1 kg, kx = 4ky = 104 N/m, tlumenı́ bx = by = 10 N/ms−1
Michal Hajžman
8
Výpočtové metody mechaniky
Jednoduchý rotujı́cı́ systém . . .
5
30
20
0
10
Im λν
Re λν
−5
0
−10
−10
−15
−20
−20
0
20
40
60
ω [rad/s]
80
100
−30
0
20
40
60
ω [rad/s]
80
100
Závislost imaginárnı́ch a reálných částı́ vlastnı́ch čı́sel λν soustavy na úhlové
rychlosti pro m = 1 kg, kx = 4ky = 104 N/m, tlumenı́ bx = by = 100
N/ms−1
Michal Hajžman
9
Poděkovánı́
Investice do rozvoje vzdělávánı́.
Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálnı́m fondem a státnı́m
rozpočtem České republiky v rámci projektu č. CZ.1.07/2.2.00/28.0206
Inovace výuky podpořená praxı́“ .
”
Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálnı́m fondem a státnı́m rozpočtem České
republiky.