až 3° volnosti

Transkript

až 3° volnosti

Kinematika bodu.
Základy mechaniky, 11. přednáška
Obsah přednášky :
úvod do dynamiky,
kinematika bodu,
základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi,
pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný
Doba studia :
asi 1,5 hodiny
Cíl přednášky :
seznámit studenty se základními zákonitostmi kinematiky bodu
Zabývá-li se dynamika vztahem mezi pohybem a silami,
pak je účelné zkoumat nejprve samotné zákonitosti pohybu
a teprve pak se ptát na závislost na silách.
dynamika
kinematika
dynamika
jen pohyb
pohyb a síly
Kinematika se zabývá zákonitostmi pohybu.
Vztahem mezi základními kinematickými
veličinami,
t.j. časem, dráhou, rychlostí a zrychlením.
Dynamika se zabývá vztahem
mezi základními veličinami
dynamiky,
t.j. hmotou, pohybem a silami.
Kinematika - nauka o pohybu
Kinematika se zabývá popisem a vyšetřováním pohybu bodu,
tělesa nebo soustavy těles.
Pohybem rozumíme změnu polohy v čase.
Polohou je míněna poloha v prostoru, ve kterém se bod nebo těleso nachází.
Prostor je spojitý (bod může v prostoru zaujmout jakoukoliv polohu).
Trojrozměrný prostor - směr dopředu-dozadu, doprava-doleva, nahoru-dolů.
Dvourozměrný prostor - rovina, obecně však jakákoliv plocha.
Jednorozměrný prostor - křivka, ve zvláštním případě přímka.
V trojrozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně určena třemi souřadnicemi.
Ve dvourozměrném prostoru je poloha bodu určena dvěma souřadnicemi.
V jednorozměrném prostoru je poloha bodu jednoznačně dána jedinou souřadnicí.
Čas je jednorozměrná, spojitá, skalární veličina, jeho změna je nezávislá,
plyne rovnoměrně vždy dopředu a je absolutní, tedy pro všechna tělesa
a pro všechny pozorovatele společný.
Jedním ze základních pojmů kinematiky a mechaniky je stupeň volnosti.
Pohyblivost jakéhokoliv objektu je dána počtem stupňů volnosti.
Stupeň volnosti je možný nezávislý pohyb.
z
„Možný pohyb“ - není důležité, zda pohyb skutečně nastane.
Důležité je, že může nastat (nic mu nebrání).
x
Hmotný bod padá volným pádem v prostoru. Padá svisle dolů.
Ale mohl by se pohybovat i ve dvou vodorovných směrech
(třeba kdyby zafoukal vítr).
Může tedy vykonávat tři pohyby, má tři stupně volnosti.
{x , y , z}
y
„Nezávislý pohyb“- mezi dvěma pohyby,
jež představují dva stupně volnosti,
nesmí platit žádný explicitní vztah,
daný vnějšími okolnostmi.
Hmotný bod je vázán ke kruhové trajektorii.
Vykonává pohyb ve dvou směrech - x a y.
Pohyb v jednom směru (např. y) však je určen
pohybem v jiném směru (x).
Jen jeden z těchto pohybů je nezávislý,
bod má jeden stupeň volnosti.
x
x 2 + y2 = R 2
φ
y = ± R2 − x2
{x}
{nezávislá souřadnice}
y
{φ}
x = R ⋅ sin φ
y = R ⋅ cos φ
bod
těleso
na křivce
(1 rozměrný prostor)
1° volnosti
pohyb určitým směrem
v rovině
(na ploše)
až 2° volnosti
pohyb ve dvou směrech
až 3° volnosti
posuvy ve dvou směrech
a rotace okolo osy, kolmé k rovině pohybu
v prostoru
až 3° volnosti
pohyb ve třech směrech
až 6° volnosti
posuvy ve třech směrech a rotace okolo tří os
Hmotný bod, jehož pohyb je pevně vázaný na danou křivku (dráhu, trajektorii), má 1º volnosti.
Může se pohybovat pouze daným směrem.
Například pohyb vlaku je vázán k dané trajektorii - ke kolejím.
Navlékneme-li korálek na drát, bude jeho pohyb vázán k dané trajektorii.
bod
těleso
na křivce
1° volnosti
v rovině
(na ploše)
až 2° volnosti
až 3° volnosti
v prostoru
až 3° volnosti
až 6° volnosti
je-li pohyb bodu omezen vazbami,
má méně stupňů volnosti
Hmotný bod, jenž se může pohybovat v rovině nezávisle ve dvou směrech, má 2º volnosti.
Rugbyový míč, vržený hráčem, se pohybuje nezávisle ve směru vodorovném a svislém.
Rovinnost plochy, k níž je vázán pohyb bodu, není nutnou podmínkou.
Turista, toulající se po horách, mění svou polohu ve třech směrech.
Jeho nadmořská výška však není nezávislá, závisí na jeho geografických souřadnicích.
Má tedy 2º volnosti.
bod
těleso
na křivce
1° volnosti
v rovině
(na ploše)
až 2° volnosti
až 3° volnosti
v prostoru
až 3° volnosti
až 6° volnosti
je-li pohyb bodu omezen vazbami,
Hmotný bod, jenž se může pohybovat v prostoru nezávisle ve třech směrech, má 3º volnosti.
Zafouká-li boční vítr, rugbyový míč se vychýlí z roviny, v níž byl vržen.
Bude nezávisle měnit svou polohu jak ve svislém směru (nahoru a dolů),
tak ve dvou vodorovných směrech (dopředu a do strany).
Poloha letadla, sledovaného střediskem letového provozu,
je dána dvěma geografickými souřadnicemi a nadmořskou výškou. Má 3º volnosti.
těleso
bod
na křivce
1° volnosti
v rovině
(na ploše)
až 2° volnosti
až 3° volnosti
v prostoru
až 3° volnosti
až 6° volnosti
Těleso, konající rovinný pohyb, se může pohybovat nezávisle
ve dvou směrech a může se otáčet. Má 3º volnosti.
Lodička na hladině může plout dopředu a do stran a může se otáčet.
y
pohyb ve směru osy y
pohyb ve směru osy x
z
x
rotace okolo osy z
všechny pohyby současně
těleso
bod
na křivce
1° volnosti
v rovině
(na ploše)
až 2° volnosti
až 3° volnosti
v prostoru
až 3° volnosti
až 6° volnosti
Koule se pohybuje vodorovně kupředu
a současně se otáčí (nezávisle na dopředném pohybu).
Svislý pohyb je znemožněn vazbou. Má tedy 2º volnosti.
je-li pohyb tělesa omezen vazbami,
těleso
bod
na křivce
1° volnosti
v rovině
(na ploše)
až 2° volnosti
až 3° volnosti
v prostoru
až 3° volnosti
až 6° volnosti
Mince se valí bez prokluzu po vodorovné podložce.
Svislý pohyb je znemožněn vazbou.
Mince se pohybuje vodorovně kupředu a současně se otáčí.
Tyto pohyby však nejsou nezávislé (protože nedochází
k prokluzu). Otočí-li se mince jednou dokola (o 360º),
posune se kupředu o dráhu přesně rovnou obvodu mince.
Jen jeden z obou pohybů je nezávislý - mince má 1º volnosti.
bod
těleso
na křivce
1° volnosti
v rovině
(na ploše)
až 2° volnosti
až 3° volnosti
v prostoru
až 3° volnosti
až 6° volnosti
Těleso volné v prostoru se může
pohybovat ve třech směrech a může se
otáčet okolo tří os. Má 6 º volnosti.
Například helikoptéra při letu
nebo družice na oběžné dráze.
bod
těleso
na křivce
1 souřadnice
dráha s
v rovině
(na ploše)
2 souřadnice
x, y
3 souřadnice
x, y
a úhel natočení φ
v prostoru
3 souřadnice
x, y, z
6 souřadnic
x, y, z a tři úhly natočení, např. α, β, γ
Okamžitá poloha objektu je jednoznačně určena tolika nezávislými souřadnicemi,
kolik stupňů volnosti objekt má.
Objekt má tolik stupňů volnosti,
kolik nezávislých souřadnic je zapotřebí k jednoznačnému určení jeho polohy.
Pohyb bodu
Pohyb bodu po dané dráze - základní kinematické veličiny.
čas
značíme
základní jednotkou je
dalšími jednotkami jsou
t
z anglického slova
[s]
{sekunda}
[min, hod, ...] {minuta, hodina, ...}
time
dráha, souřadnice značíme
s, x, y, ...
[m]
[cm, km, ...]
{metr}
{centimetr, kilometr, ...}
rychlost značíme
v
[m/s, m·s-1]
[km/hod]
z anglického slova
{metr za sekundu}
{kilometr za hodinu}
zrychlení značíme
a
z anglického slova
acceleration
[m/s2, m·s-2] {metr za sekundu na druhou}
velocity
Veličiny čas a dráha nebudeme explicitně definovat,
spolehneme se na intuitivní chápání jejich významu.
Rychlost vyjadřuje změnu dráhy za čas.
Δs
v=
Δt
s
Tuto rychlost nazveme střední rychlostí nebo průměrnou rychlostí.
⎡m
−1 ⎤
⎢⎣ sec ,m ⋅ sec ⎥⎦
Δs
vs =
Δt
Okamžitá rychlost - nekonečně malá změna dráhy za nekonečně malý přírůstek času.
Δs ds
v = lim
=
= s&
Δt →0 Δt
dt
Tuto limitu definuje matematika jako derivaci.
Okamžitá rychlost je derivace dráhy podle času.
Δs
v=
Δt
⎡m
−1 ⎤
⎢⎣ sec ,m ⋅ sec ⎥⎦
s
Rychlost může být kladná (vzdálenost od počátku se zvětšuje).
Δs
v=
Δt
⎡m
−1 ⎤
⎢⎣ sec ,m ⋅ sec ⎥⎦
s
Rychlost může být i záporná (vzdálenost od počátku se zmenšuje).
Abychom snadno rozlišovali kladnou a zápornou rychlost,
zavádíme pojem orientovaná souřadnice.
Δt
A(t)
A(t+Δt)
Δs
vs =
Δt
vstř
Δs
počátek
s
s(t)
s(t+Δt)
v
v
+
-
Kladná rychlost v znamená nárůst dráhy (souřadnice),
proto je kladná rychlost orientována vždy ve směru nárůstu příslušné souřadnice.
Zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za čas.
v
v+Δv
Δv
a=
Δt
⎡ m
−2 ⎤
⋅
,
m
sec
⎢⎣ sec 2
⎥⎦
s
Zrychlení je zrychlení průměrné neboli střední.
Δv
as =
Δt
Δv dv
a = lim
=
= v&
Δt →0 Δt
dt
Okamžité zrychlení je derivace rychlosti podle času.
zrychlení vyjadřuje změnu rychlosti za přírůstek času
Δv dv
a = lim
=
= v&
Δt →0 Δt
dt
zrychlení je derivace rychlosti podle času
d 2s
a = 2 = &s&
dt
zrychlení je druhá derivace dráhy podle času
dv dv ds
a=
=
⋅
dt ds dt
a = v⋅
dv
ds
( )
1 d v2
a= ⋅
2 ds
zrychlení je rovno rychlosti,
násobené derivací rychlosti podle dráhy
zrychlení je rovno jedné polovině
derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy
Kladné zrychlení je orientováno stejně, jako kladná rychlost,
tedy ve směru nárůstu souřadnice.
A(t)
počátek
s
dráha, rychlost a zrychlení
jsou funkcí času
rychlost a zrychlení
jsou funkcí dráhy
zrychlení je funkcí rychlosti
Δt
A(t+Δt)
v(t)
v(t+Δt)
a
+
a
-
s = f 1(t )
v = f 2 (t )
a = f 3 (t )
v = f 4 (s )
a = f 5 (s )
Úplné kinematické řešení.
a = f 6 (v )
Shrnutí
ds
v=
= s&
dt
a=
dv
= v&
dt
rychlost je derivace dráhy podle času
zrychlení je derivace rychlosti podle času
d 2s
a = 2 = &s&
dt
zrychlení je druhá derivace dráhy podle času
dv
a = v⋅
ds
zrychlení je rovno rychlosti,
násobené derivací rychlosti podle dráhy
1 d v2
a= ⋅
2 ds
zrychlení je rovno jedné polovině
derivace kvadrátu rychlosti podle dráhy
( )
toto jsou obecně platné vztahy
mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením
Shrnutí
ds
v=
= s&
dt
a=
dv
= v&
dt
podle toho, jak se dráha, rychlost a zrychlení
mění v čase, rozlišujeme tři druhy pohybu :
A) Pohyb rovnoměrný - rychlost je konstantní.
d 2s
a = 2 = &s&
dt
B) Pohyb rovnoměrně zrychlený
- zrychlení je konstantní.
dv
a = v⋅
ds
C) Pohyb nerovnoměrný.
( )
1 d v2
a= ⋅
2 ds
toto jsou obecně platné vztahy
mezi časem, dráhou, rychlostí a zrychlením
A) pohyb rovnoměrný : je takový pohyb, jehož rychlost je konstantní v = konst.
dv
a=
=0
dt
v=
Δs
Δt
Δs = v ⋅ Δt
rychlost je konstantní, její změna (derivace) je nulová
Δs = s − s 0
Δt = t − t 0
s − s 0 = v ⋅ (t − t 0 )
s = v ⋅ t + s0
toto jsou vztahy, platné pouze
pro rovnoměrný pohyb (v=konst).
s - okamžitá dráha
s0 - počáteční dráha (v závislosti na volbě
souřadného systému může být nulová)
t - okamžitý čas
t0 - počáteční čas - obvykle volíme t0=0
s
s0
t
B) pohyb rovnoměrně zrychlený : je pohyb, jehož zrychlení je konstantní a = konst.
dv
= konst
dt
dv = a ⋅ dt
a=
diferenciální rovnice 1. řádu
separace proměnných
řešení neurčitým integrálem
∫ dv = ∫ a ⋅ dt = a ⋅ ∫ dt
v + C1 = a ⋅ t + C 2
v = a⋅t +C
integrační konstantu C určíme z počáteční podmínky
v0 = a ⋅ 0 + C
C = v0
v = a ⋅ t + v0
t = 0 ... v = v0
rychlost na počátku
vyšetřovaného pohybu
dv
= konst
dt
dv = a ⋅ dt
a=
∫ dv = ∫ a ⋅ dt = a ⋅ ∫ dt
v + C1 = a ⋅ t + C 2
v = a⋅t +C
řešení určitým integrálem
v1
t1
t1
v0
0
0
∫ dv = ∫ a ⋅ dt = a ⋅ ∫ dt
[v]vv
1
0
v1 − v 0
v0 = a ⋅ 0 + C
C = v0
v = a ⋅ t + v0
= a ⋅ [t ]01
t
= a ⋅ (t1 − 0 )
v1 = a ⋅ t1 + v 0
v = a ⋅ t + v0
ds
= a ⋅ t + v0
dt
ds = v ⋅ dt = (a ⋅ t + v 0 ) ⋅ dt
v=
∫ ds = ∫ v ⋅ dt = ∫ (a ⋅ t + v )⋅ dt
0
s + C1 = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + C 2
s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + C
s 0 = 12 ⋅ a ⋅ 0 2 + v 0 ⋅ 0 + C
C = s0
s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s 0
t = 0 ... s = s0
dráha na počátku
ds
= a ⋅ t + v0
dt
ds = v ⋅ dt = (a ⋅ t + v 0 ) ⋅ dt
v=
∫ ds = ∫ v ⋅ dt = ∫ (a ⋅ t + v )⋅ dt
0
s + C1 = ⋅ a ⋅ t + v 0 ⋅ t + C 2
1
2
2
s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + C
s1
t1
∫ ds = ∫ a ⋅ dt = ∫ (a ⋅ t + v )⋅ dt
0
s0
0
[s]
s1
s0
C = s0
s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s 0
0
[ ] + [v ⋅ t ]
= ⋅a ⋅ t
1
2
(
integrační konstantu C určíme z počáteční
s1 − s 0podmínky
= 12 ⋅ a ⋅ t1
s 0 = 12 ⋅ a ⋅ 0 2 + v 0 ⋅ 0 + C
t1
2
2 t1
0
)
0
t1
0
− 0 2 + (v 0 ⋅ t 1 − v 0 ⋅ 0 )
2
s1 = 12 ⋅ a ⋅ t1 + v 0 ⋅ t1 + s 0
s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s 0
dv
= konst
ds
v ⋅ dv = a ⋅ ds
alternativní řešení
a = v⋅
∫ v ⋅ dv = ∫ a ⋅ ds = a ⋅ ∫ ds
1
2
⋅ v 2 + C1 = a ⋅ s + C 2
1
2
⋅ v2 = a ⋅ s + C
integrační konstantu C určíme z počátečních podmínek
1
2
2
⋅ v0 = a ⋅ s0 + C
2
C = 12 ⋅ v 0 − a ⋅ s 0
v = 2 ⋅ a ⋅ (s − s 0 ) + v 0
2
t = 0 ... s = s0, v = v0
dráha a rychlost na počátku
dv
= konst
ds
v ⋅ dv = a ⋅ ds
alternativní řešení
a = v⋅
∫ v ⋅ dv = ∫ a ⋅ ds = a ⋅ ∫ ds
1
2
⋅ v + C1 = a ⋅ s + C 2
2
1
2
v1
s1
s1
v0
s0
s0
∫ v ⋅ dv = ∫ a ⋅ ds = a ⋅ ∫ ds
[
⋅v
(
2
1
2
⋅ v2 = a ⋅ s + C
]
2 v1
v0
integrační konstantu C určíme z počátečních12 podmínek
⋅ v1 − v 0
1
2
2
⋅ v0 = a ⋅ s0 + C
s
2
) = a ⋅ (s − s )
1
0
v1 = 2 ⋅ a ⋅ (s1 − s 0 ) + v 0
2
2
C = 12 ⋅ v 0 − a ⋅ s 0
v = 2 ⋅ a ⋅ (s − s 0 ) + v 0
= a ⋅ [s]s10
2
v = 2 ⋅ a ⋅ (s − s 0 ) + v 0
2
2
shrnutí
v
v = a ⋅ t + v0
v0
t=
v − v0
a
t
s
s = 12 ⋅ a ⋅ t 2 + v 0 ⋅ t + s 0
s0
t
v
v = 2 ⋅ a ⋅ (s − s 0 ) + v 0
2
v0
s
toto jsou vztahy, platné pouze pro
rovnoměrně zrychlený pohyb (a=konst).
Špičkové sportovní auto zrychluje z klidu na rychlost v = 100 km/hod (27,8 m/s)
za čas t = 5 s.
v = a⋅t
Jeho zrychlení tedy je a = 5,6 m/s2.
s = 12 ⋅ a ⋅ t 2
Dráha rozjezdu pak je s = 70 m.
C) pohyb nerovnoměrný : je pohyb, jehož zrychlení není konstantní a ≠ konst.
Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.
T
v
r
φ
y
r
y
φ0
ω
y = r ⋅ sin(ω ⋅ t + φ 0 )
T
r
t
amplituda [m]
v
kruhová frekvence [s-1]
r
ω
frekvence [Hz]
f =
počet cyklů za sekundu
2⋅π
1 2⋅π
perioda [s]
T= =
doba jednoho cyklu
f
ω
φ
počáteční úhel φ, fázový posuv [-]
ω=
Pohyb harmonický : je takový pohyb, jehož dráha se v čase harmonicky mění.
T
v
r
φ
y
r
y
φ0
ω
T
t
y = r ⋅ sin(ω ⋅ t + φ 0 )
r
amplituda [m]
v = y& = r ⋅ ω ⋅ cos(ω ⋅ t + φ 0 )
r ⋅ω
max. rychlost [m/s]
a = v& = − r ⋅ ω2 ⋅ sin (ω ⋅ t + φ 0 )
r ⋅ ω2
max. zrychlení [m/s2]
a = −ω2 ⋅ y
Je to kmitavý pohyb hmotného
objektu na pružném uložení.
Pohyb v odporujícím prostředí : je pohyb bržděný silou, úměrnou rychlosti.
a = g −β⋅v
dv
= g −β⋅v
dt
dv
= dt
g −β⋅v
y, v, a
1
g −β⋅v
⋅ ln
=t
−β
g
⎛ β ⎞
1
⋅ ln⎜⎜1 − ⋅ v ⎟⎟ = t
−β ⎝ g ⎠
Pro jednoduchost provedeme řešení s nulovými počátečními podmínkami.
v
t
dv
∫0 g − β ⋅ v = ∫0 dt
1
t
v
⋅ [ln(g − β ⋅ v )]0 = t 0
−β
1
⋅ [ln(g − β ⋅ v ) − ln(g )] = t
−β
(
g
v = ⋅ 1 − e −β⋅t
β
)
a = g −β⋅v
dv
= g −β⋅v
dt
dv
= dt
g −β⋅v
y, v, a
(
g
v = ⋅ 1 − e −β⋅t
β
Pro čas, narůstající nade všechny meze,
se průběh blíží ustálené hodnotě :
(
)
(
)
g
g
v ustálená = lim ⋅ 1 − e −β⋅t = ⋅ 1 − e −β⋅∞ =
t →∞ β
β
g ⎛
1 ⎞ g
g
= ⋅ ⎜1 − β⋅∞ ⎟ = ⋅ (1 − 0 ) =
β ⎝ e ⎠ β
β
(
)
v = v ustálená ⋅ 1 − e −β⋅t
v ustálená
g
=
β
)
y, v, a
a = g −β⋅v
dv
= g −β⋅v
dt
dv
= dt
g −β⋅v
V ustáleném stavu se rychlost již nebude měnit,
bude konstantní (v = vustálená = konst).
Zrychlení tedy bude nulové.
a = g − β ⋅ v ustálená = 0
v ustálená
g
=
β
(
g
v = ⋅ 1 − e −β⋅t
β
(
)
v ustálená
g
=
β
)
a = g −β⋅v
dv
= g −β⋅v
dt
dv
= dt
g −β⋅v
y, v, a
v
T
vustálená
(
T=
)
časová konstanta [s]
g
v = ⋅ (1 − e −β⋅t )
β
(
95% v ust
tečna
1
β
63% v ust
t=T
t=2·T
t=3·T
t=4·T
t=5·T t
v ustálená
g
=
β
)
(
dy
v=
= v ustálená ⋅ 1 − e −β⋅t
dt
(
)
dy = v ustálená ⋅ 1 − e −β⋅t ⋅ dt
y, v, a
y
t
0
0
(
)
)
t
(
)
−β⋅t
−β⋅t
dy
=
v
⋅
1
−
e
⋅
dt
=
v
⋅
1
−
e
⋅ dt
ustálená ∫
∫ ∫ ustálená
y
0
t
⎡
1
− β⋅ t ⎤
y = v ustálená ⋅ ⎢ t −
⋅e ⎥
⎣ −β
⎦0
⎡
1 −β⋅t 1 ⎤
⋅e +
y = v ustálená ⋅ ⎢ t −
⎥
−
β
−
β
⎣
⎦
y = v ustálená ⋅ t
y = v ustálená
t
⎡ 1
−β⋅t ⎤
⋅ ⎢ t − ⋅ (1 − e )⎥
⎣ β
⎦
Pohyb v gravitačním poli : gravitační síla není konstantní.
m
G
Země
h
R2
M⋅m
M⋅m
G = κ⋅ 2 = κ⋅
= m⋅g⋅
2
r
(R + h )
(R + h )2
κ = 6,67·10-11 kg-1·m3·s-2
M = 5,98·1024 kg
R = 6 378 km
- gravitační konstanta,
- hmotnost Země,
- poloměr Země.
R
na povrchu Země (y=0) :
G = κ⋅
M⋅m
= m⋅g
2
R
κ⋅M = g ⋅R2
κ⋅M
= g = 9,81 m 2
2
s
R
volný pád z výšky h
v, a
m
G
y
h
R2
G = m⋅g⋅
(R + h − y )2
dv
R2
a = v⋅
= g⋅
dy
(R + h − y )2
Země
R
y
v
R2
∫0 v ⋅ dv = ∫0 g ⋅ (R + h − y )2 ⋅ dy
y
1
2
⎛
⎞
1
⎜
⎟⎟
⋅ v = g ⋅ R ⋅⎜
⎝ R + h − y ⎠0
1
2
⎛
1
1 ⎞
⎜
⎟⎟
⋅ v = g ⋅ R ⋅⎜
−
⎝R+h−y R+h⎠
2
2
2
2
volný pád z výšky h
v, a
m
G
y
h
R2
G = m⋅g⋅
(R + h − y )2
dv
R2
a = v⋅
= g⋅
dy
(R + h − y )2
Země
R
rychlost dopadu na Zemi :
R2
v(y ) = 2 ⋅ g ⋅ y ⋅
(R + h − y ) ⋅ (R + h )
R
v(y=h ) = 2 ⋅ g ⋅ h ⋅
R+h
h << R
v(y=h ) ≅ 2 ⋅ g ⋅ h
svislý vrh vzhůru
v, a
R2
G = m⋅g⋅
(R + y )2
m
y
R2
a = −g ⋅
(R + y )2
v0
G
Země
dv
g ⋅R2
v⋅
=−
dy
(R + y )2
R
v
y
v0
0
∫ v ⋅ dv = ∫ −
[
1
2
⋅v
]
2 v
v0
y
g⋅R
−2
2
(
)
⋅
dy
=
−
g
⋅
R
⋅
R
+
y
⋅ dy
2
∫
(R + y )
0
2
⎡ (R + y ) ⎤
1 ⎤
2
2 ⎡
= −g ⋅ R ⋅ ⎢
⎥ = g⋅R ⋅⎢
⎥
+
−
1
R
y
⎣
⎦0
⎦0
⎣
−1
y
y
svislý vrh vzhůru
v, a
R2
G = m⋅g⋅
(R + y )2
m
G
y
v0
1
2
Země
(
⋅ v − v0
R
2
2
2
v0 ⋅ R
2
2 ⋅ g ⋅ R − v0
)
⎛ 1
−y
1⎞
= g ⋅ R ⋅ ⎜⎜
− ⎟⎟ = g ⋅ R ⋅
R+y
⎝R+y R⎠
2
v = v0 − 2 ⋅ g ⋅ R ⋅
v 0 < 2 ⋅ g ⋅ R ≅ 11 km / s
h=
2
v(y=h ) = 0
těleso se zastaví ve výšce h
y
R+y
v 0 > 2 ⋅ g ⋅ R ≅ 11 km / s
2
v ustálená = lim v ( y ) = v 0 − 2 ⋅ g ⋅ R
y →∞
těleso se neustále vzdaluje od Země
Obsah přednášky :
úvod do dynamiky,
kinematika bodu,
základní kinematické veličiny a vztahy mezi nimi,
pohyb rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrný

až 3° volnosti

Transkript

Podobné dokumenty

výsledková listina ke stažení

Technická data 08MY_opravene

Technická data 06MY

AdventureBoat.cz | CMP-shop.eu | Sea-Ray.cz

Integrální pocet, pokracování

Klíče nástrčné

Magneticko-indukční průtokoměry