Integrální pocet, pokracování

Integrální počet, pokračování
January 11, 2016
IMA 2016
Určitý integrál
IMA 2016
dělení, dělící body, norma
integrální součet
integrovatelná funkce
IMA 2016
IMA 2016
Má-li ohraničená funkce f na uzavřetém intervalu ha, bi pouze
konečně mnoho bodů nespojitosti, pak existuje určitý integrál
Zb
f (x)dx
a
IMA 2016
vlastnosti
Rb
a
Rb
a
Rb
0dx = 0,
dx = b − a,
f (x)dx =
a
Rc
f (x)dx +
a
Rb
f (x)dx, pro c ∈ ha, bi
c
Rb
Rb
f (x) ≤ g(x) na ha, bi ⇒ f (x)dx ≤ g(x)dx
a
a
Rb
Rb
f (x)dx ≤ |f (x)|dx
a
a
b
R
Rb
k · f (x)dx = k · f (x)dx; ∀k ∈ R
a
Rb
a
(f (x) ± g(x)) dx =
a
Ra
−a
S(x)dx = 2
Ra
0
Rb
f (x)dx ±
a
S(x)dx;
Ra
Rb
g(x)dx
a
L(x)dx = 0
−a
IMA 2016
Nechť je funkce f integrovatelná na intervalu ha, bi a nechť
m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ ha, bi. Potom platí
m(b − a) ≤
Zb
f (x)dx ≤ M (b − a)
a
a existuje číslo µ ∈ hm, M i; µ =
1
b−a
Rb
f (x)dx.
a
Ak f je spojitá na ha, bi, tak ∃ψ ∈ ha, bi;
f (ψ) =
1
b−a
Zb
f (x)dx.
a
IMA 2016
Funkce horní meze Φ(x) =
Funkce dolní meze Ψ(x) =
Rx
a
Rb
f (t)dt.
f (t)dt.
x
je-li f : ha, bi → R v okolí bodu x spojitá, má funkce horní
meze v bodě x derivaci a platí Φ0 (x) = f (x).
Nechť je f spojitá na ha, bi. Jestliže na ha, bi platí
F 0 (x) = f (t), potom
Zb
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
IMA 2016
IMA 2016
Určitý integrál-integrační metody
Per partes
Zb
0
u(x)v (x)dx =
[u(x)v(x)]ba
Zb
−
a
u 0 (x)v(x)dx
a
Substituce
Jestliže f ◦ g, g 0 jsou spojité na ha, bi
Zb
g(b)
Z
f (g(x)) g (x)dx =
f (t)dt
0
a
g(a)
Jestliže f je spojitá na ha, bi, x = g(t) je monotónní funkce se
spojitou derivací a oborem hodnot ha, bi
g −1
Z (b)
Zb
f [g(t)] · g 0 (t)dt
f (x)dx =
a
g −1 (a)
IMA 2016
Určitý integrál-aplikace
Obsah rovinné oblasti
Zb
P=
f (x)dx.
a
Objem rotačního tělesa
Zb
V =π
[f (x)]2 dx
a
IMA 2016
Určitý integrál-aplikace
Délka rovinné křivky
L=
Zb q
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
Délka krivky dané parametricky (x = f (t), y = ϕ(t))
s=
Zt2 q
(x 0 )2 + (y 0 )2 dt.
t1
IMA 2016
Nevlastní integrál na neohraničeném intervalu
Buď f funkce definovaná na intervalu ha, ∞). Nechť je f
integrovatelná v intervalu ha, ti pro každé t > a. Nechť existuje
vlastní limita
Zt
lim
f (x)dx.
t→∞
a
Tuto limitu nazýváme nevlastním integrálem a říkáme, že
integrál
R∞
f (x)dx konverguje.
a
IMA 2016
Integrál z neohraničené funkce
Buď f funkce definovaná na intervalu ha, b) a v okolí bodu b je
neohraničená. Nechť pro každé t ∈ (a, b) existuje
Rt
f (x)dx a nechť
a
existuje limita lim
Rt
t→b− a
f (x)dx. Pak tuto limitu nazýváme
nevlastním integrálem v intervalu ha, b) a v případě, že limita je
vlastní, říkáme, že integrál konverguje.
IMA 2016