barnplans

Jaderná fyzika
1) Úvod – vývoj názor na hmotu
• „Již sta í ekové“ (Demokritos, 5.st. p . n. l.) … od nich pochází myšlenka, že hmota není
nekone n d litelná, i název „atom“ pro nejmenší ástici hmoty, již dále ned litelnou.
• Atomová teorie se stala skute nou p írodov dnou teorií až po átkem 19. století, kdy pojem atomu
jako nejmenší ástice chemického prvku zavedl Dalton (1808), aby vysv tlil váhové pom ry p i
tvorb slou enin.
• Až tém
do konce 19. století se pak o složení atomu prakticky nic nev d lo.
• Po objevu elektronu (1898) navrhl Thomson téhož roku „pudinkový model atomu“, ve kterém
byly záporné elektrony rozloženy ve spojité kladné hmot .
• Až za 13 let (1911) dokázali Geiger a Marsden na návrh Rutherforda tento model experimentáln
otestovat (ost elovali velmi tenkou folii ásticemi alfa – ty v tšinou procházeli voln , ale malá ást
z nich se rozptylovala o velké úhly – tzn. v tší ást folie je „prázdná“, ale existují místa s kladným
nábojem a velkou hmotou) a na základ t chto výsledk byl navržen „Rutherford v (planetární)
model atomu“ , který se skládal z velmi malého jádra (které má veškerý kladný náboj atomu a tém
všechnu hmotu), kolem kterého obíhají elektrony (jako planety kolem Slunce).
• Modely atomu byly dále zp es ovány (Bohr v model) a byly zkoumány vlastnosti jader, nebo
experimenty (radioaktivita) nazna ovaly, že jádro není hmotný bod, ale n jaký složený útvar. První
byl „Fermiho model jádra“ složený z vodíkových jader – proton a elektron .
• Teprve roku 1932 - po objevu neutronu (Chadwick) – vznikl dodnes platný model jádra
z proton a neutron (Ivan nko, Heisenberg).
• Ve 40. a 50. letech vznikly matematické modely jader – kapkový model, slupkový model a do
sou asnosti jsou dále up es ovány, jsou zkoumány jaderné síly (mezonová teorie) a vzájemné
interakce jader, s cílem co nejlépe popsat chování atomových jader a mikro ástic v bec.
2) Základní charakteristiky jádra
•
Ozna ení jader
Podle sou asného standardního modelu je jádro atomu tvo eno nukleony dvojího druhu - kladnými
protony a neutrálními neutrony a m že být formáln ozna eno :
A
ZX
nep iklad pro uhlík :
12
6C
Nukleonové íslo A udává celkový po et nukleon a protonové íslo Z je pak po et proton
v jád e (stejn je také elektron v elektronovém obalu neutrálního atomu). Po et neutron v jád e
m žeme tedy vyjád it rozdílem A – Z .
1
•
Hmotnost jader
K jejímu vyjád ení se standardn
používá atomová hmotnostní jednotka definovaná jako jedna
12
dvanáctina hmotnosti atomu uhlíku 6 C :
mu =
1
− 27
⋅ m ( 12
kg
6C ) ≈ 1,6604 ⋅ 10
12
atomová hmotnostní jednotka
S p esností necelého procenta je tato jednotka rovna hmotnosti jednoho nukleonu :
m p = 1,6725 ⋅ 10 − 27 kg = 1,0072766 ⋅ mu
mn = 1,6748 ⋅ 10 − 27 kg = 1,0086654 ⋅ mu
A
Hmotnost jádra Z X lze tedy s touto p esností vyjád it pomocí celkového po tu nukleon :
m j = A ⋅ mu
p ibližná hmotnost jádra
Jestliže pak porovnáme hmotnost jádra mj s hmotnostmi jednotlivých nukleon , tj. se hmotností
proton mp a hmotností neutron mn (jako samostatných, volných ástic) , zjistíme neuv itelnou
skute nost, že sou et hmotností všech nukleon daného jádra je v tší než hmotnost jádra ,
z nich vytvo eného.
Vypadá to tak, že p i „sestavení“ jádra z jeho stavebních prvk – nukleon – se „ztratí“ ást hmoty –
m žeme definovat úbytek hmotnosti :
∆ m = Z ⋅ m p + ( A − Z ) ⋅ mn − m j ≠ 0
hmotnostní úbytek jádra
Vysv tlení hmotnostního úbytku poskytuje Einstein v vztah ekvivalence hmotnosti a energie :
Na rozdíl od po áte ního souboru volných samostatných nukleon je totiž výsledné jádro atomu
velmi stabilní kompaktní útvar, který „drží pohromad “ velikými p itažlivými silami a d sledkem
jejich práce je obrovská vazební energie jádra E , která spl uje Einstein v vztah :
E = ∆ m ⋅ c2
Pokles hmotnosti je tedy p esn „vykompenzován“ vazební energií jádra (která se p i jeho vzniku
projeví jako tepelná energie, viz následující odstavec „Jaderné síly“.).
A koli je hmotnostní úbytek jádra velni malý - ádov n kolik procent hmotnosti jádra - podle
Einsteinova vztahu, obsahujícímu kvadrát rychlosti sv tla, tomu ale odpovídá obrovské množství
energie ( ádov MeV [megaelektronvolty], milionkrát více než vazební energie elektron v atomu).
•
Rozm ry jader
-10
Již rozm ry atom jsou nep edstaviteln malé – ádu 10
m = 1 Å (angström), ale rozm ry
-15
m = 1 fm (fermi).
jader jsou ješt stotisíckrát menší – ádu 10
Uvádí se experimentální vztah pro polom r jádra, za p edpokladu jeho kulového tvaru :
2
r ≈ 1,3 ⋅ 3 A ⋅ 10 −10
[ m ] = 1,3 ⋅ 3 A [ fm ]
1
nap íklad pro jádro vodíku 1 H (tj. jeden nukleon) vychází :
12
3
pro jádro uhlíku
6 C : r ≈ 1,3 ⋅ 12 = 3 ,0 fm
238
3
pro jádro uranu
92 U : r ≈ 1,3 ⋅ 238 = 8 ,1 fm
•
r ≈ 1,3 ⋅ 3 1 = 1,3 fm
Hustota jader
Jestliže p edpokládáme jádro ve tvaru koule, a hmotnost nukleonu p ibližn rovnou hmotnostní
jednotce, pak lze hustotu jádra vyjád it :
ρ =
mj
Vj
=
A ⋅ mu
4 ⋅π
3
⋅ r3
A po dosazení za polom r jádra a za hmotnostní jednotku vychází hustota konstantní a
nep edstavitelné velikosti :
A ⋅ mu
A ⋅ 1,6604 ⋅ 10 − 27
ρ =
=
≈ 2 ⋅ 10 17 [ kg / m 3 ]
4 ⋅π ⋅ r3
4 ⋅ π ⋅ ( 1,3 ⋅ 3 A ⋅ 10 − 10 )3
3
3
3) Jaderné síly a vazební energie
Atomová jádra jsou velmi stabilní útvary (výjimky – nestabilní jádra – radioaktivita) , je proto z ejmé, že
p itažlivé síly , které p sobí mezi nukleony a jádro vlastn „drží pohromad “ , budou :
• velmi silné (100 - krát v tší n ž síly elektromagnetické, 10 39 - krát v tší než gravita ní síly mezi
nukleony).
To je také jedna ze základních vlastností jaderných sil - tzv. silná interakce.
Jejich další zásadní a zajímavé vlastnosti jsou :
• krátký dosah (n kolik fermi, pak jsou prakticky nulové)
• nezávislost na náboji nukleonu
• satura ní charakter (p sobí na sebe jen n kolik okolních nukleon )
Teorie silné interakce – Yukava 1935 : vým nná interakce – mezony (detekovány až 1956).
Pr b h jaderné síly mezi dv ma nukleony v závislosti na vzdálenosti r jejich st ed popisuje následující
graf potenciální energie této síly (p esn e eno je to potenciální energie jednoho nukleonu v poli
druhého nukleonu – tj. práce vykonaná vn jší silou p i p esunu nukleonu z nekone na do daného místa,
nebo vykonaná jadernou silou p i p esunu jednoho nukleonu z daného místa do nekone na, u jaderné síly
s krátkým dosahem posta í jist jen do n jaké dostate né kone né vzdálenosti)
3
Wpot
[ MeV ]
2
ro
1
0
1
-1
2
4
3
5
r [ fm ]
E
-2
Z obrázku je vid t krátký dosah jaderné síly (3-4 fm), která má nejprve p itažlivý charakter (potenciální
energie klesá), ale p i v tším p iblížení jader se m ní na sílu odpudivou (potenciální energie roste).
Minimum energie (kolem 1,5 fm) ur uje místo ro rovnováhy obou sil a je to místo stabilní vzdálenosti
2
obou nukleon .- vzniká tak stabilní soustava obou nukleon – nejjednodušší složené atomové jádro 1 D .
Hloubka minima (zde asi 2,2 MeV) se nazývá vazební energie jádra E :
• je to energie (práce) spojená s vytvo ením jádra (jako kladná je prací jaderné síly)
• a stejnou práci musíme vykonat (vn jší síla) p i eventuálním rozložení jádra .
E = − W pot = A jader .sil
Pro vytvo ení ješt v tšího jádra je nutné p isunout další pot ebný nukleon – p itom se vykoná n jaká
další práce, rovná potenciální energii tohoto nukleonu v poli p vodních dvou nukleon – a tento proces se
opakuje až do vytvo ení jádra požadovaného jádra.
Vazební energie takového jádra je pak samoz ejm sou tem všech vykonaných prací p i vzniku tohoto
jádra a je stále rovna práci pot ebné pro rozložení jádra na jednotlivé nukleony.
P esun nukleonu (z velké vzdálenost, kde je nulový potenciál)) do místa minima potenciální energie
znamená ale pokles (úbytek) jeho potenciální energie, která se p em ní na kinetickou energii (nukleon je
p itažlivou silou urychlován) – podle zákona zachování celkové energie musí mít kinetická energie
stejnou velikost jako hloubka potenciální jámy, tj. jako E – a tuto kinetickou energii p evezme vzniklé
jádro a p edává se ve stejné form (kinetické energie) na další okolní ástice – tedy p i vzniku jádra
z jednotlivých nukleon sou asn vzniká (uvol uje se) tepelná energie stejné velikosti jako je vazební
energie vzniklého jádra :
Q = E
tepelná energie uvoln ná p i vzniku jádra
4
Tímto „vznikem energie“ se také skv le potvrzuje Einstein v vztah ekvivalence hmoty a energie (zákon
zachování hmoty a energie), proto p i vzniku jádra také dochází ke hmotnostnímu úbytku – hmotnost
jádra je menší než sou et hmotností všech jednotlivých nukleon :
∆ m = Z ⋅ m p + ( A − Z ) ⋅ mn − m j ≠ 0
hmotnostní úbytek jádra
A tento úbytek hmotnosti je podle Einsteinova vztahu p esn „vykompenzován“ vzniklou tepelnou
energií (rovnou vazební energii):
E = ∆ m ⋅ c2
vazební energie a hmotnostní úbytek
2
209
Vazební energie reálných jader jsou v rozmezí od 2,23 MeV u 1 H do 1640 MeV pro 83 Bi .
Velmi zajímavou veli inu dostaneme, když vazební energii vyd líme po tem nukleon v jád e, tj. když
vypo ítáme st ední vazební energii na 1 nukleon :
E =
E
A
st ední vazební energie na 1 nukleon
Tato veli ina totiž není konstantní, ale závisí na velikosti nukleonového ísla, tj. je jeho funkcí :
E = E( A )
St ední vazební energie dosahuje maxima pro st edn t žká jádra a klesá u jader lehkých a velmi t žkých
Average binding energy per nucleon (MeV) E/A
(viz obr.) :
Number of nucleons, mass number A
5
Tento graf má zásadní d ležitost, nebo ukazuje dv možnosti „získání jaderné energie“ – jako ásti
vazební energie - p i r zných jaderných reakcích.
Uvažme postupn :
P i vzniku jádra (nebo souboru jader) z jednotlivých nukleon se uvolní (tepelná) energie stejné velikosti
jako (celková) vazební energie jádra (jader) :
Q = E
Když bychom zcela obecn p edpokládali, že máme na po átku již n jaký soubor jader s celkovou
vazební energií E po a prob hne libovolné jaderná reakce, na jejímž konci vznikne jiný soubor jader
s odlišnou celkovou vazební energií
Q = Ekon − E po
Ekon , potom celkové teplo uvoln né p i této reakci bude z ejm :
(Nebo si m žeme p edstavit, že jádra nejprve rozložíme na jednotlivé nukleony – k tomu musíme vydat
energii E po - a potom z nich vytvo íme kone ná jádra – p itom dostaneme energii Ekon )
Abychom energii skute n získali, musí být toto teplo kladné (exoenergetická reakce) :
Q = Ekon − E po
> 0
podmínka exoenergetické jaderné reakce
Celková vazební energie vzniklých (kone ných) jader tedy musí být v tší, než u jader po áte ních. P i
pohledu na graf závislosti st ední vazební energie na nukleonovém íslem je z ejmé, že existují jen dv
principiální možnosti jaderných exoenergetických reakcí :
1) Syntéza lehkých jader
E = E( A ) , tj. :
1. jádro - s nukl. íslem A1 a st ední vaz. energií E 1 , má vazební energii E1 = A1 ⋅ E 1
2. jádro - s nukl. íslem A2 a st ední vaz. energií E 2 , má vazební energii E2 = A2 ⋅ E 2
Na po átku máme dv velmi lehká jádra, z oblasti kolem po átku našeho grafu
Po áte ní celková vazební energie je tedy :
E po
= E1 + E2 = A1 ⋅ E 1 + A2 ⋅ E 2
P i reakci se ob jádra spojí do výsledného jádra, které obsahuje všechny nukleony z obou po áte ních
jader, tedy jeho nukleonové íslo je :
A = A1 + A2
Protože je výsledné jádro t žší, je jeho st ední vaz. energie v tší než u výchozích jader E (viz graf jsme na po áte ní, levé, stoupající ásti k ivky a blížíme se jejímu maximu) :
E
E > E1
E > E2
E2
E1
6
Vazební energii výsledného jádra je sou asn celkovou kone nou vazební energií :
Ekon = E = A ⋅ E = ( A1 + A2 ) ⋅ E
Získané teplo p i reakci bude :
Q = Ekon − E po
= ( A1 + A2 ) ⋅ E − ( A1 ⋅ E 1 + A2 ⋅ E 2 )
Jestliže roznásobíme a p eskupíme leny na pravé stran rovnice, dostaneme :
Q = A1 ⋅ ( E − E 1 ) + A2 ⋅ ( E − E 2 )
Podle výše uvedených nerovností jsou v závorkách kladné výrazy, získané teplo je skute n kladné, jde
tedy skute n o exoenergetickou reakci :
Q = A1 ⋅ ( E − E 1 ) + A2 ⋅ ( E − E 2 ) > 0
syntéza lehkých jader je exoenergetická reakce
Konkrétní reakce a podmínky viz dále v odstavci „Termojaderná syntéza“.
2) Št pení t žkých jader
Na po átku máme jedno velmi t žké jádro, z oblasti kolem konce našeho grafu
po . jádro - s nukl. íslem
po áte ní energii :
E po
E = E( A ) , tj. :
A a st ední vaz. energií E , má vazební energii, která se rovná celkové
= E = A⋅ E
P i této reakci dojde k rozšt pení t žkého jádra na dv jádra leh í :
A1 a st ední vaz. energií E 1 , má vazební energii E1 = A1 ⋅ E 1
2. jádro - s nukl. íslem A2 a st ední vaz. energií E 2 , má vazební energii E2 = A2 ⋅ E 2
1. jádro - s nukl. íslem
Kone ná celková vazební energie je tedy :
Ekon = E1 + E2 = A1 ⋅ E 1 + A2 ⋅ E 2
Všechny nukleony z obou jader pocházejí z p vodního t žkého jádra, pro nukleonová ísla tedy musí
platit :
A = A1 + A2
Protože jsou výsledná jádra leh í, jsou jejich st ední vaz. energie v tší , než u výchozího jádra (viz graf jsme na pravé, klesající ásti k ivky a blížíme se jejímu maximu) :
7
E1
E2
E1 > E
E
E2 > E
Získané teplo p i reakci potom bude :
Q = Ekon − E po
= ( A1 ⋅ E 1 + A2 ⋅ E 2 ) − A ⋅ E
Dosadíme nejprve za nukleonové íslo po áte ního jádra :
Q = Ekon − E po
= ( A1 ⋅ E 1 + A2 ⋅ E 2 ) − ( A1 + A2 ) ⋅ E
Jestliže pak roznásobíme a p eskupíme leny na pravé stran rovnice, dostaneme :
Q = A1 ⋅ ( E 1 − E ) + A2 ⋅ ( E 2 − E )
Podle výše uvedených nerovností jsou v závorkách op t kladné výrazy, získané teplo je skute n kladné,
op t máme exoenergetickou reakci :
Q = A1 ⋅ ( E 1 − E ) + A2 ⋅ ( E 2 − E ) > 0
št pení t žkých jader je exoenergetická reakce
Detailn jší informace budou uvedeny dále v odstavci „ et zová št pná reakce“.
Prove me nyní aspo odhad uvoln né energie pro rozpad jádra s nukleonovým íslem
A = 240 , pro
E = 7 ,7 MeV na dv p ibližn stejná jádra s nukleonovými
A1 = A2 = 120 s vazbovou energií E 1 = E 2 = 8 ,6 MeV :
které je st ední vazbová energie
ísly
Q = 120 ⋅ ( 8 ,6 − 7 ,7 ) + 120 ⋅ ( 8 ,6 − 7 ,7 ) = 220 MeV
4) Jaderné reakce
Jsou to interakce jádra s jiným jádrem nebo ásticí.
Nej ast jším zp sobem provedení jaderné reakce je ost elování jader v n jakém „ter i“ r znými
ásticemi (protony, neutrony, elektrony, fotony,
- ástice,..) asto urychlenými v urychlova ích na
vysoké rychlosti (energie, m í se v MeV) - jako jedny z nejú inn jších ástic se ukázaly neutrony.
Základní typy reakcí jader s neutrony pak jsou :
8
•
pohlcení neutronu jádrem – vznikne izotop, asto radioaktivní, nap .:
107
47 Ag
•
1
0n
→
108 *
47 Ag
(radioaktivní, polo as rozpadu 2,3 min.)
pohlcení neutronu jádrem s následným uvoln ním ástice neutrální nebo nabité – vznikne
izotop ( asto radioaktivní) nebo dojde k p em n (transmutaci) jádra, nap .:
14
7N
•
+
+
1
0n
→
14 *
6C
1
1p
+
(radioaktivní ( ), polo as rozpadu 104 let)
št pení jader – jádro se rozpadá na dv nebo více ástí. Energeticky d ležitý je rozpad nejt žších
jader na dv jádra st edn t žká – poprvé pozorováno roku 1939 u uranu. Konkrétní rozpad tohoto
jádra m že probíhat v mnoha variantách, obecn lze psát :
235
92 U
+
1
0n
→
X1
+
X2
+ ( 2 − 5 )⋅01 n
( + β − ástice + γ − ástice + 200 MeV )
Pozn. : St ední po et vzniklých neutron je
ve form kinetické energie (tepla).
= 2,51 , 82% vzniklé energie nesou vzniklá jádra
5) Ú innost jaderné reakce (p i ost elování ter ových jader ásticemi)
Jist si umíme p edstavit, že dopad každé ástice na ter nevyvolá jadernou reakci – ástice se totiž
„nestrefí“ do žádného jádra (jsou p ece velmi malé) a voln projde ter em.
Jestliže celkem dopadlo na ter n1 ástic a p itom se uskute nilo n2 zásah jader (s o ekávaným
ú inkem – jadernou reakcí), ur uje pom r t chto veli in ú innost (výt žek) reakce :
η =
n2
n1
ú innost jaderné reakce
Když si uv domíme, že nedokážeme ídit dráhu dopadající ástice tak, aby dopadla na konkrétní jádro,
pak zásah jádra (a vzniklá rekce) je vlastn náhodný proces a výše uvedená veli ina je pom rem
„úsp šných pokus “ a „celkového po tu pokus “ – je to tedy pravd podobnost dané reakce :
P = η =
n2
n1
pravd podobnost jaderné reakce
Využití tohoto vztahu :
Kdybychom dokázali nezávisle ur it pravd podobnost reakce, pak by bylo možno pro každý po et ástic
vyslaných (dopadlých) na ter ur it po et jaderných reakcí :
n2 = P ⋅ n1
Tuto pravd podobnost lze skute n ur it následujícím zp sobem :
9
P edstavme si nejprve, že n jaká ástice (nap íklad neutron) nalétává na plošný ter – tj. plošku velikosti
S , na která jsou v (jedné vrstv ) rozmíst ny jednotlivé „cíle“ – jádra v celkovém po tu Z (viz obr.) :
σ
v
Ve sm ru pohybu dopadající ástice se tato jádra jeví jako malé plošky o velikosti
(p í ný
geometrický pr ez jádra) a o ekávaná reakce nastane jist pouze tehdy, když ástice zasáhne n které
z ter ových jader.
O n kolik ádek výše jsme již konstatovali, že zásah jádra je náhodný proces , nem žeme ho tedy ídit a
vypo ítat, ale m žeme obecn uvážit, že p i velkém po tu n1 dopadlých ástic na ter bude po et zásah
n2 jader - a tedy bude (podle výše uvedené rovnice) i pravd podobnost zásahu (reakce) - tím v tší, ím
více bude jader na ploše ter e a ím v tší budou jádra, tedy i jejich p í ný pr ez :
P = konst ⋅ Z ⋅ σ
Podle této rovnice vlastn m žeme konstatovat, že pravd podobnost zásahu jádra je p ímo úm rná
sou inu po tu jader a pr ezu jádra, což je celková plocha všech jader ( S ′ ) na ter i.
Nyní m žeme uvážit mezní (teoretickou) situaci, kdyby tato celková plocha všech jader byla rovná
ploše ter e ( Z ⋅ σ = S ) – tj. kdyby jádra dokonale pokryla (zakryla) celý ter - pak by ovšem každá
ástice dopadlá na ter vždy zasáhla n jaké jádro – tedy pravd podobnost zásahu by byla 1 (100 %) :
1 = P = konst ⋅ Z ⋅ σ = konst ⋅ S
Z této jakési „okrajové podmínky“ dostáváme hodnotu konstanty :
konst =
1
S
Po dosazení do vztahu pro pravd podobnost tak bude :
P =
Z ⋅σ
S′
=
S
S
pravd podobnost reakce ur uje pom r ploch jader a ter e
Pravd podobnost zásahu jádra – a o ekávané jaderné reakce – je dána pom rem celkové (p í né) plochy
všech jader a plochy ter e.
Vidíme, že pro ur ení pravd podobnosti reakce dopadající ástice s jádrem je zásadn d ležitý p í ný
, a protože se ukázalo, že analogickou veli inu lze použít p i jakékoliv
geometrický pr ez jádra
10
interakci dvou libovolných ástic, používá se pro ni speciální název ú inný pr ez reakce a definuje se
jako plocha se st edem v dané (ter ové) ástici, kterou musí zasáhnout jiná (dopadající) ástice, aby
nastala požadovaná reakce.
Pozn. : Jednotkou je v SI samoz ejm 1 m2, v jaderné fyzice se asto také používá jednotka, která
se p ibližn rovná p í nému pr ezu st edn t žkého jádra :
1 barn = 1 ⋅ 10 − 28 m 2
Jist nás nep ekvapí, že ú inný pr ez reakce závisí na druhu obou ástic a na druhu jejich reakce, ale
na první pohled bude nepochopitelné, že ú inný pr ez reakce m že také ješt záviset na rychlosti
(energii) nalétající ástice – což znamená, že ú inný pr ez se m že lišit od p í ného pr ezu ter ové
ástice.
235
P íkladem takové závislosti je velmi d ležitá závislost ú inného pr ezu št pení jádra uranu 92 U na
energii dopadlého neutronu (viz obr) :
Nyní m žeme p istoupit k dalšímu obecn jšímu a také reáln jšímu p ípadu, kdy ástice (nap íklad
neutrony) dopadají na ter ová jádra, která jsou rozmíst na ne na pouhé ploše, ale v n jakém prostorovém
ter i , který má elní plochu S (jako nap íklad palivo v jaderném reaktoru) :
11
v
v ⋅ dt
v ⋅ dt
Je z ejmé, že m žeme dob e využít minulé výsledky : jádra jsou (pravideln ) rozmíst na v n jakém
objemu – což je dáno rozmíst ním atom v krystalické m ížce - p i jejich malé velikosti se jist
nevyskytnou „jádra v zákrytu“, je to velmi „ ídké“ uspo ádání (rozm ry jader jsou ádu fermi a
meziatomové vzdálenost v m ížce – tj. vzdálenosti atom - jsou ádu angström - stotisíckrát v tší a
prostor mezi atomy je vypln n elektrony - pro neutron je to prakticky vakuum, elektron je tém 2000 krát leh í než neutron , náraz do n j neutron „nepozná“ – je to jako náraz mí e do osobního auta)
Ve sm ru pohybu dopadající ástice se jádra v jakékoliv hloubce ter e stále jeví jako malé plošky
velikosti
, ale jejich po et, který m že vstoupit do reakce s ásticí - tj. po et jader, která mohou být
zasažena - není konstantní, jako byl na plošném ter i, ale závisí na délce dráhy ástice v ter i – tj. na její
hloubce vniku do objemu ter e.
Jestliže bychom p edpokládali, že ástice dopadající na ter plochy S letí rychlostí v, potom za n jaký
zvolený asový interval dt (od okamžiku dopadu na elní plochu ter e) urazí dráhu délky v ⋅ dt a
p itom tak m že zasáhnout všechny cíle – jádra – v objemu S ⋅ v ⋅ dt .
P i hustot (koncentraci) jader N je tento po et jader N ⋅ S ⋅ v ⋅ dt a pom r jejich celkové plochy
σ ⋅ N ⋅ S ⋅ v ⋅ dt a elní plochy ter e S op t ur í pravd podobnost zásahu jádra ásticí (a tedy také
jaderné reakce) – pozor, ale tentokrát za zvolený as dt :
P =
S′
σ ⋅ N ⋅ S ⋅ v ⋅ dt
=
= σ ⋅ N ⋅ v ⋅ dt
S
S
pravd podobnost jaderné reakce za zvolený as dt
Abychom dále mohli využít tento vztah pro stanovení konkrétního po tu jaderných reakcí, je pot eba
ješt ur it, kolik ástic dopadá na ter : n kdy se na ter vrhají jednotlivé ástice, ale v tšinou jsou tyto
ástice rozloženy v prostoru s n jakou koncentrací n a pohybují se všechny ur itou rychlostí v ( asto
na ter dopadá p esn definovaný ásticový tok, svazek ástic stejné rychlosti, viz obr.) :
Potom za výše zvolený as dt dopadnou na ter všechny ástice, které jsou (na po átku zvoleného
asového intervalu dt ) p ed ter em a až do maximální vzdálenosti v ⋅ dt (kterou mohou urazit za
tento as) – tzn. všechny ástice, které jsou p ed ter em v objemu S ⋅ v ⋅ dt . P i hustot (koncentraci)
ástic n je tedy po et dopadlých ástic :
n1 = n ⋅ S ⋅ v ⋅ dt
12
Tyto ástice,dopadlé b hem asu dt na elní plochu ter e S , vnikají do objemu ter e a projdou až do
maximální hloubky v ⋅ dt - zasáhnou tedy objem ter e S ⋅ v ⋅ dt a v tomto objemu se b hem asu
dt uskute ní celkový po et reakcí :
n2 = P ⋅ n1 = σ ⋅ N ⋅ v ⋅ dt ⋅ n ⋅ S ⋅ v ⋅ dt
Výsledek je ponechán v neupravené form , nebo ho ješt vyd líme velikostí objemu, ve kterém
prob hnou reakce a dostaneme tak po et reakcí b hem asu dt v jednotkovém objemu ter e :
n2′ =
n2
= σ ⋅ N ⋅ v ⋅ dt ⋅ n
S ⋅ v ⋅ dt
A ješt provedeme vyd lení asem dt :,
n2′′ =
n2′
= σ ⋅n⋅ N ⋅v
dt
A vzniklý vztah bude pak vyjad uje po et reakcí, které se uskute ní v jednotkovém objemu ter e za
jednotku asu :
n2′′ = σ ⋅ n ⋅ N ⋅ v
po et reakcí v 1 objemu za 1 asu
Tuto rovnici dále aplikujeme p i podrobn jším rozboru obou možností využívání jaderné energie :
6) Dva zp soby získání jaderné energie
a)
et zová št pná reakce
Využívá se zejména št pení jader uranu a plutonia pomocí neutron – p i tom se t žké jádro rozpadá na
dv leh í jádra, uvol uje se energie a n kolik dalších neutron :
235
92 U
+
1
0n
→
X1
+
X2
+ ν ⋅01 n + 200 MeV
( + β − ástice + γ − ástice )
Tyto neutrony mohou zp sobit další a další št pení - nastane et zová št pná reakce, kdy se spojit
uvol uje energie zejména ve form tepla.
Nejb žn jší palivo pro jaderný reaktor je p írodní uran., který ale obsahuje jen necelé procento
št pného uranu :
0 ,72 % 235
92 U
+
99 , 27 % 238
92 U
+ 0 ,01 % 234
92
13
Z hlediska spojité innosti reaktoru – aby se nep erušila et zová rekce – musí být stále k dispozici
dostate ný po et neutron . Rozd lme si tedy procesy v reaktoru podle hlediska, zda p i nich neutrony
vznikají, nebo zanikají :
a) Reakce, p i nichž vznikají neutrony
Neutrony vznikají pouze p i vlastním rozšt pení jádra uranu
235
92 U
+
1
0n
→
X1
+
235
92 U po dopadu neutronu podle reakce :
+ ν ⋅01 n
X2
( + β − ástice + γ − ástice + 200 MeV )
Všechny neutrony v reaktoru mají po zpomalení v moderátoru p ibližn stejné rychlosti v odpovídající
energii asi 0,03 MeV , p i které je ú inný pr ez št pné reakce pr m rn σ = 550 barn . Jestliže
ozna íme koncentraci št pných jader uranu N a koncentraci neutron n , pak podle minulého odstavce
je po et jaderných reakcí (št pení jader) v jednotce objemu reaktoru za jednotku asu :
σ ⋅n⋅ N ⋅v
Protože p i každém št pení vznikne podle horní rovnice pr m rn
v jednotce objemu vznikne za jednotku asu celkem neutron :
= 2,51 neutron , znamená to, že
σ ⋅ n ⋅ N ⋅ v ⋅υ
b) Reakce, p i nichž zanikají neutrony
T chto reakcí probíhá v reaktoru podstatn více :
1) P i vlastní št pné reakci zanikne vlastn ten neutron, který dopadl na jádro a zp sobil jeho rozšt pení.
Celkový po et takto zaniklých neutron v jednotce objemu za jednotku asu je roven po tu prob hnutých
reakcí, ur ených p edchozí rovnicí :
σ ⋅n⋅ N ⋅v
235
2) Další neutrony zanikají tehdy , když jádro uranu 92 U se p i dopadu neutronu nerozšt pí a dojde
pouze k tzv. nešt pnému záchytu neutronu (stane se asi u 15 % neutron , vzniklý izotop uranu je
nestabilní – radioaktivní – a dále se rozpadá) :
235
92 U
+
1
0n
→
236 *
92 U
α − rozpad
→→
232
90Th
+
4
2 He
Tato reakce má ú inný pr ez asi σ z = 101 barn a po et zaniklých neutron v jednotce objemu za
jednotku asu je op t roven po tu t chto jaderných reakcí :
14
σz ⋅n⋅ N ⋅v
238
3) Hlavní podíl v palivu má uran 92 U (více než 99 % , jeho koncentraci ozna íme N 1 ), který se po
dopadu neutronu nikdy nešt pí a prob hne tedy op t nešt pný záchyt neutronu, znamenající jeho zánik
(vzniklý izotop uranu je také radioaktivní, a dále se rozpadá):
238
92 U
+
1
0n
→
239 *
92 U
β − rozpad
→→
239
93 Np
+
0
−1 e
Tato reakce má ú inný pr ez asi σ z 1 = 2 ,8 barn a po et zaniklých neutron v jednotce objemu
za jednotku asu je op t roven po tu t chto jaderných reakcí :
σ 1z ⋅ n ⋅ N 1 ⋅ v
4) Neutrony mohou být zachyceny také jádra všech možných dalších p ím sí v palivu, vzniklými jádry
z výše uvedených reakcí, konstruk ními díly reaktoru, …..
Principiáln d ležitý je (nešt pný) záchyt neutron regula ními ty emi reaktoru (z kadmia, bóru) :
σ zreg ⋅ n ⋅ N reg ⋅ v
5) Je zajímavé, že úbytek neutron je asto (ne vždy) spojen s „oby ejným“ pružným odrazem
(rozptylem) neutronu na jádrech uranu, p ípadn i na jiných jádrech – neutron sice nezanikne, pouze
zm ní sm r letu – ale k další reakci již nesta í dojít a neutron unikne z reaktoru. Po et zaniklých neutron
v jednotce objemu za jednotku asu je op t roven po tu t chto reakcí :
σ R ⋅ n ⋅ NR ⋅ v
Tedy celkem máme jeden p ír stek a n kolik úbytk neutron v 1 objemu za 1 asu - dohromady
vytvá ejí asovou zm nu (za 1 asu) neutron v 1 objemu, tedy asovou zm nu koncentrace neutron :
dn
= σ ⋅ n ⋅ N ⋅ v ⋅ υ − σ ⋅ n ⋅ N ⋅ v − σ z ⋅ n ⋅ N ⋅ v − σ 1z ⋅ n ⋅ N 1 ⋅ v − σ zreg ⋅ n ⋅ N reg ⋅ v
dt
− σ R ⋅ n ⋅ NR ⋅ v
Rovnici upravíme vytknutím :
(
dn
= n ⋅ v ⋅ σ ⋅ N ⋅ ( υ − 1 ) − σ z ⋅ N − σ 1z ⋅ N 1 − σ zreg ⋅ N reg − σ R ⋅ N R
dt
Výraz v závorce ozna íme jako novou veli inu :
15
)
K = σ ⋅ N ⋅ ( υ − 1 ) − σ z ⋅ N − σ 1z ⋅ N 1 − σ zreg ⋅ N reg − σ R ⋅ N R
Za p edpokladu (již uvedeného výše), že všechny neutrony v reaktoru jsou zpomaleny moderátorem na
p ibližn stejné energie, je tato veli ina p ibližn konstantní (stejn jako rychlost neutron ) :
K = konst .
v = konst .
Pak dostáváme jednoduchou diferenciální rovnici, kterou upravíme separací prom nných :
dn
= K ⋅ v ⋅ dt
n
Rovnici integrujeme ur itým integrálem, za p edpokladu, že v po áte ním ase
po áte ní koncentrace neutron
[ ln n ] nno
t = 0
je n jaká
n = no …
= K ⋅ v ⋅ [ t ] 0t
Po dosazení mezí :
ln
n
= K ⋅v ⋅t
no
Koncentraci osamostatníme pomocí vztahu logaritmu a exponenciely :
n
= e K ⋅ v ⋅t
no
A dostaneme tak asový pr b h koncentrace neutron v pracujícím št pném reaktoru :
n = no ⋅ e K ⋅v ⋅ t
koncentrace neutron v reaktoru
Na základ této rovnice m žeme ud lat jednoduchou úvahu : aby et zová reakce nezanikla, nesmí po et
neutron (koncentrace) klesat – musí tedy být alespo konstantní, nebo mírn r st – exponent tedy
musí být nezáporný :
K ≥ 0
Po dosazení dostáváme základní podmínku pro innost št pného reaktoru :
σ ⋅ N ⋅ ( υ − 1 ) ≥ σ z ⋅ N + σ 1z ⋅ N1 + σ zreg ⋅ N reg + σ R ⋅ N R
podmínka udržení et zové št pné reakce
16
Pro zajišt ní této nerovnosti tedy musíme tedy zejména zajistit dostate n vysokou hodnotu levé strany:
Zvýšit koncentraci št pných jader uranu – obohacování paliva ( lze až na 10% - drahé)
Zvýšit ú inný pr ez št pení – zajistíme snížením energie neutron vznikajících p i št pení (mají
energie ádu n kolik MeV). K tomu slouží moderátor (H2O, D2O, grafit, Be, Li,..) – kdy neutrony
ztrácejí energii p i srážkách s lehkými jádry
Omezení úniku neutron z reaktoru (reflektory, odraže e)
Na druhé stran – po et neutron v reaktoru nesmí p íliš rychle r st – pr b h reakce je ízen regulátory
ve tvaru ty í ( ídicí ty e, které se zasouvají do reaktoru) – jsou z materiálu siln pohlcujícího neutrony
(kadmium, bor) a udržují stabilní úrove et zové št pné reakce – kritický stav reaktoru.
Existuje n kolik druh št pných reaktor - liší se zejména druhem moderátoru a zp sobem odb ru tepla
z reaktoru k dalšímu využití.
Temelín – moderátorem je oby .voda, palivo musí být více obohaceno.
ernobyl – moderátorem byl grafit, palivo m že být mén obohaceno (viz dodatek).
b) Termonukleární syntéza (fúze)
Jde o slu ování lehkých jader za velmi vysokých teplot.
V principu se mohou slu ovat nejleh í jádra vodíku a z hlediska jejich zna ného výskytu by se tyto
reakce mohly zdát nejvýznamn jší, vykazují však nepatrné ú inné pr ezy (jádro „oby ejného“vodíku
má i nejmenší geometrický pr ez – tvo í ho jediný nukleon), proto reakce H – H, H – D, H – T
nep ipadají v úvahu pro energetické využití (probíhají na Slunci).
Vzájemné srážky t žších izotop vodíku mají ovšem ú inné pr ezy daleko v tší (viz obr. – povšimn te
si, že nejsou konstantní a mají ur itou mez).
17
Z hlediska d ležitosti pro energetické využití p ipadají v úvahu zejména následující t i reakce :
1) Syntéza jádra deuteria a jádra tritia (reakce D – T ) (vodíková bomba)
2
1D
+
3
1T
→
4
2 He
1
0n
+
( +
17 , 6 MeV )
Tato reakce má nejvyšší ú inný pr ez – v maximu asi 5 barn. P ibližn 80% uvoln né energie nesou
rychlé neutrony ve form kinetické energie, která se p i zabržd ní v moderátoru p em ní na tepelnou
energii.
2) Syntéza dvou jader deuteria (reakce D – D ) , probíhá ve dvou variantách s celkovým ú inným
pr ezem v maximu 0,1 barn:
- neutronová v tev :
2
1D
+
2
1D
→
3
2 He
+
1
0n
( +
3 , 3 MeV )
3
1T
+
1
1p
( +
4 , 0 MeV )
- nebo protonová v tev :
2
1D
+
2
1D
→
Zde až 60% uvoln né energie tvo í kinetická energie proton . (jader „oby ejného“ vodíku).
3) Možná je i syntéza jádra deuteria a jádra izotopu helia , která je také energeticky dosti výhodná, ale
má malý ú inný pr ez (0,8 barn) :
2
1D
+
3
2 He
→
4
2 He
+
1
1p
( +
18
18 , 3 MeV )
Pro se vlastn v souvislost se syntézou jader mluví o nutnosti vysokých teplot ?
P edpokládá se totiž, že by slu ování jader neprobíhalo za situace ost elování pevných ter ových jader,
ale že by se použilo plazma vzniklé z plynu pot ebných izotop vodíku. V plazmatu se totiž všechny jeho
ástice, tedy i jádra, pohybují neuspo ádaným pohybem, p itom se tedy vlastn „automaticky“
navzájem ost elují, jádra jsou tak sou asn ásticemi ter ovými i nalétávajícími a p i vzájemných
srážkách m že docházet k jejich syntéze.
Aby prob hla jaderná reakce, musí se jádra dostat do velmi malé vzájemné vzdálenosti (aby mohly
zap sobit jaderné síly) – tomu ovšem brání velké elektrostatické odpudivé síly mezi kladnými jádry.
Proto je nutná vysoká kinetická energie nalétávajících jader, která by p ekonala potenciální energii
odpudivých sil - tzn. je nutná vysoká teplota plazmatu (viz vztah pro vnit ní energii plynu).
Potenciální energie Coulombovských sil dvou jader s protonovými
vzdálenosti r je dána vztahem :
ísly Z1 a Z2
ve vzájemné
r
Z1 ⋅ Z 2 ⋅ e 2
W p (r ) = − F ⋅ dr =
4πε o r
∞
Dosadíme-li pro dv jádra deuteria a tritia, jako izotopy vodíku
fermi, nap íklad
r = 2 f
Z 1 = Z 2 = 1 a vzdálenost n kolik
, dostaneme po p evodu na elektronvolty :
W p = 0 ,72 MeV
Stejn veliká, nebo v tší, pak musí být kinetická energie nalétávajícího jádra, p ípadn v t žiš ovém
systému lze tuto energii lze rozd lit na ob jádra (což lépe odpovídá skute nosti – v plazmatu se p ece
pohybují všechny jeho ástice) :
Wkin ≈ 0 , 36 MeV
Další zásadní vlastnost plazmatu (a plynu obecn ) - krom neustálého neuspo ádaného pohybu jeho ástic
- je prom nlivá velikost rychlosti tohoto pohybu, v intervalu od nuly do nekone na (viz Maxwellovo
rozd lení rychlostí ). Pak máme z ejm jedinou možnost – považovat výše uvedenou energii za st ední
hodnotu kinetické energie - a použít známý vztah pro tuto energii (v termodynamické rovnováze) :
Wkin =
3
⋅ k ⋅ T ≈ 0 , 36 MeV
2
Dostaneme :
T ≈ 2 , 8 ⋅ 10 9 K
Výsledek potvrzuje náš výchozí p edpoklad o využití plazmatu pro realizaci syntézy jader – p i tak
vysokých teplotách se bude každá látka vždy nacházet ve stavu plazmatu, ve kterém (jako d sledek
vysokých energií) budou všechny atomy rozloženy na jádra a elektrony - to je tzv. vysokoteplotní
plazma (neobsahuje neutrální atomy a molekuly, ani jejich ionty).
Syntéza jader bude ve skute nosti probíhat ve vysokoteplotním plazmatu i p i teplotách až o dva ády
nižších – sta í tedy „pouhé“ desítky milión stup – nebo ást jader v plazmatu má vyšší energie
(rychlosti) než je st ední hodnota energie (viz Maxwellovo rozd lení), a také se uplat uje tunelový jev
pro p echod potenciální bariérou elektrostatických odpudivých sil.
19
Lawsonovo kriterium
Je z ejmé, že p i uvedených teplotách neexistuje hmotná nádoba, která by udržela vysokoteplotní plazma
v n jakém omezeném objemu. I když bychom udržovali plazma ve vymezeném prostoru p sobením
silových polí (zejména je vhodné pole magnetické) velká ást jeho ástic dokáže unikat (mají vysoké
rychlosti) a protože s sebou odnášejí svoji energii, dochází ke ztrátám celkové energie plazmatu, k jeho
rozpadání a následn k jeho zániku.
Pro úvahu o možném využití jaderné energie p i termojaderné syntéze je proto zásadn d ležité, aby
doba existence vysokoteplotního plazmatu byla co nejdelší.
Ztráty energie zp sobené rozpadem plazmatu (a také jeho zá ením) musí tedy být alespo nahrazovány
energií vznikající p i syntéze jader a p edávané plazmatu ve form tepelné energie (a teprve její
p ípadný p ebytek m že být využíván) :
Jestliže tedy ozna íme :
.
E tep
p .
tepelná energie p edaná plazmatu z termojaderné syntézy (v 1 objemu za 1 asu)
rozp .
E ztr
.
tepelná energie plazmatu ztracená rozpadem plazmatu (v 1 objemu za 1 asu)
zá .
E ztr
.
tepelná energie plazmatu ztracená zá ením plazmatu (v 1 objemu za 1 asu)
Pak m žeme napsat nerovnost :
.
E tep
p .
≥
rozp .
E ztr
+
.
zá .
E ztr
.
podmínka udržení vysokoteplotního plazmatu
Vypo ítejme nejprve energii vznikající p i termojaderné syntéze :
Použijeme d íve odvozený vztah pro po et reakcí, které se uskute ní v jednotkovém objemu ter e za
jednotku asu :
n2′′ = σ ⋅ n ⋅ N ⋅ v
V plazmatu je ovšem situace odlišná – pohybují se nejen jádra dopadající, ale i jádra ter ová. Pohyb je
ovšem relativní, závislý na volb vztažné soustavy, mohu si tedy p edstavit, že ter ové jádro je v klidu a
nalétávající jádro se pohybuje vzájemnou (relativní) rychlostí. Protože všechny ástice v plazmatu se
pohybují nespo ádanými rychlostmi, jsou takové i relativní rychlosti libovolných dvou ástic – mají
všechny možné sm ry a všechny možné velikosti od nuly do nekone na.
V tom je pak ale hlavní potíž p i aplikaci uvedeného vztahu – odvodili jsme ho p ece pro nalétávající
ástice, které se všechny pohybují stejnou rychlostí – budeme ho tedy aplikovat postupn : ze všech
nalétávajících ástic v plazmatu vezmeme pouze ty, které se pohybují rychlostí v
.
K tomu se hodí Maxwellovo rozd lení, které nám ur uje, že z celkového po tu ástic n (v 1 objemu) má
danou rychlost v (v intervalu dv ) po et ástic :
dn = f ⋅ dv
(kde f je Maxwellova rozd lovací funkce)
20
Pak je po et reakcí této skupiny ástic (jader) se všemi ostatními ásticemi (jádry s koncentrací N , které
jsou v relativním klidu) :
σ ⋅ dn ⋅ N ⋅ v = σ ⋅ f ⋅ dv ⋅ N ⋅ v
A abychom dostali po et reakcí všech jader po tu (koncentrace) n s jádry koncentrace N , musíme se íst
– integrovat – tento výraz p es všechny možné rychlosti jader od nuly do nekone na (z integrálu lze
vytknout pouze N , vše ostatní jsou funkce rychlosti, i ú inný pr ez) :
∞
∞
0
0
σ ⋅ f ⋅ dv ⋅ N ⋅ v = N ⋅ σ ⋅ v ⋅ f ⋅ dv
V dalším kroku pravou stranu formáln vynásobíme a vyd líme n :
∞
1 ∞
N ⋅ σ ⋅ v ⋅ f ⋅ dv = N ⋅ n ⋅ ⋅ σ ⋅ v ⋅ f ⋅ dv
n 0
0
Ve vztahu tak vlastn vznikne st ední hodnota sou inu rychlosti a ú inného pr ezu (která je
analogická nap . st edním hodnotám rychlostí neuspo ádaného pohybu, viz kinetická teorie plyn ) :
1 ∞
σv =
⋅ σ ⋅ v ⋅ f ⋅ dv
n 0
Dostaneme tedy op t formáln jednoduchý vztah pro po et jaderných reakcí v plazmatu :
n2′′ = N ⋅ n ⋅ σ v
po et reakcí za 1 asu v 1 objemu plazmatu
Tento vzorec má principiáln stejný tvar jako pro interakci nalétávajících ástic na pevný ter .
Pro další použití si ješt uv domíme význam sou inu koncentrací obou druh jader N ⋅ n : je to po et
všech možných dvojic jader v 1 objemu, která spolu mohou reagovat – tedy po et všech možných
reakcí – a zbylý len σ
v
je pak pravd podobnost reakce za 1 asu.
Nalezneme ješt konkrétní tvar rovnice pro dva základní druhy plazmatu odpovídající dv ma základním
použitelným reakcím jaderné syntézy, tj. D-T a D-D .
•
Reakce D-T
Jestliže ozna íme n koncentraci všech jader v plazmatu, pak za p edpokladu stejného zastoupení D i T
v plazmatu, dostaneme pro po et reakcí :
2
n2′′ =
n n
n
⋅ ⋅σ v =
⋅σ v
2 2
4
21
•
Reakce D-D
Ozna íme op t jako n koncentraci všech jader v plazmatu - v tomto p ípad se však jedná o jádra pouze
jednoho druhu (D) , nem žeme proto rozlišit nalétající a ter ová jádra – každé jádro vlastn nalétává na
všechna ostatní jádra.
Matematická kombinatorika nám však umož uje stanovit po et všech možných dvojic jader v 1 objemu
(viz výše), která spolu mohou reagovat :
n
2
n ⋅( n − 1)
n2
=
≈
2
2
Pro po et reakcí tedy dostáváme :
n n
n2
n2′′ = ⋅ ⋅ σ v =
⋅σ v
2 2
2
Získané vztahy jsou velmi podobné, m žeme proto zobecnit pro oba typy reakcí v plazmatu :
n2′′ = A ⋅ n 2 ⋅ σ v
A =
1
2
1
2
po et reakcí za 1 asu v 1 objemu plazmatu
pro D − T
pro D − D
Jestliže dále ozna íme jako ε energii uvoln nou p i jedné jaderné reakci, pak bude celková energie
uvoln ná za 1 asu v 1 objemu plazmatu …
A ⋅ n2 ⋅ σ v ⋅ ε
Celá tato energie se ovšem „nep edá“ do plazmatu jako energie tepelná ( ástice, které ji nesou. se nesrazí
s ostatními ásticemi plazmatu, ale uniknou pry ).
M žeme tedy definovat ú innosti η p evedení uvoln né energie na teplo (na kinetickou energii ástic
plazmatu) - a pak bude první len podmínky udržení plazmatu :
.
2
E tep
p . = η ⋅ A ⋅ n ⋅σ v ⋅ ε
tepelná energie p edaná plazmatu (v 1 objemu za 1 asu)
Další pot ebný len do podmínky udržení plazmatu - tepelnou energii plazmatu ztracenou rozpadem
plazmatu v 1 objemu za 1 asu - vypo ítáme op t velmi jednoduše :
Nejprve stanovíme celkovou vnit ní (tepelnou) energii plazmatu v jednotce objemu jako sou et
celkových kinetických energií obou sou ástí vysokoteplotního plazmatu, tj. jader vodíku (jeho izotop ) a
elektron (za p edpokladu termodynamické rovnováhy) :
22
3
3
U = n j ⋅ ⋅ k ⋅ T j + ne ⋅ ⋅ k ⋅ Te
2
2
Pro koncentraci jader a elektron a pro jejich teploty ve vysokoteplotním plazmatu vodíku platí
n j = ne = n
T j = Te = T
Vnit ní energie tedy bude mít tvar :
3
3
U = n ⋅ ⋅ k ⋅T + n ⋅ ⋅ k ⋅T = 3 ⋅ n ⋅ k ⋅T
2
2
B hem doby udržení plazmatu τ se tato energie spolu s ásticemi plazmatu rozptýlí do okolí, tedy za
každou jednotku asu (b hem této doby) se pr m rn „ztratí“ v jednotce objemu energie :
rozp .
E ztr
. =
U
τ
Po dosazení tedy máme :
rozp .
E ztr
. =
3 ⋅ n ⋅ k ⋅T
τ
tepelná energie plazmatu ztracená rozpadem (v 1 objemu za 1 asu)
Pro hodnotu t etího lenu - energie ztracené zá ením plazmatu - platí podle literatury :
1
zá .
2
2
E ztr
. = B ⋅ n ⋅T
energie plazmatu ztracená zá ením plazmatu (v 1 objemu za 1 asu)
Pozn. : Tato energie se výrazn zvyšuje s rostoucím podílem t žkých ástic v plazmatu (ne istot).
Po dosazení do podmínky udržení plazmatu potom dostaneme :
η ⋅ A ⋅ n2 ⋅ σ v ⋅ ε
≥
3 ⋅ n ⋅ k ⋅T
τ
Rovnici vykrátím n a vynásobíme
τ ⋅η ⋅ A ⋅ n ⋅ σ v ⋅ ε
≥
+
1
B ⋅ n2 ⋅ T 2 )
:
3 ⋅ k ⋅T +
τ ⋅ B ⋅ n ⋅T
1
2
A osamostatníme sou in koncentrace plazmatu a doby jeho udržení :
n ⋅τ
≥
3 ⋅ k ⋅T
η ⋅ A ⋅σ v ⋅ ε − B ⋅T
1
2
Lawsonovo kriterium
23
Dostali jsme tedy podmínku pro sou in koncentrace plazmatu a doby jeho udržení n ⋅τ , který je
dostate ný pro udržení termonukleární syntézy p íslušných jader (D-T, nebo D-D) p i ur ité teplot T.
Výraz na pravé stran je funkcí teploty a ú innosti (parametr) :
fη ( T )
3 ⋅ k ⋅T
=
1
η ⋅ A ⋅σ v ⋅ ε − B ⋅T 2
Pro ob reakce je tato funkce vynesena v následujícím grafu :
fη(T)
-3
D-D
[m s]
η = 0,3
22
10
D-T
21
10
η = 0,3
20
10
19
10
0
T
10
7
8
10
10
9
10
10
11
10
[K]
Pro nalezení optimálních podmínek je velmi výhodné, že existuje minimum pro ob reakce :
Reakce D-T
(n ⋅ τ )min
( T )min
Reakce D-D
≈ 5 ⋅ 10 19 m − 3 ⋅ s
≈ 2 ⋅ 10 8 K
(n ⋅ τ )min
( T )min
≈ 1 ⋅ 10 21 m − 3 ⋅ s
≈ 1 ⋅ 10 9 K
Vidíme, že podmínka pro reakci D-T je podstatn m k í, nevýhodou u této reakce je nutnost výroby tritia.
Dva p ístupy k realizaci ízené termonukleární syntézy
1) Laserová fúze
N kolik pulzních laser o velkém výkonu ozá í malý ter ík , který se vypa í a vzniklý plyn – plazma
(D-D, D-T) je následn stla eno elektromagnetickou energií laserových svazk (viz obr.)
24
2) Uzav ení plazmatu magnetickým polen
TOKAMAK
(Toroidalnaja kamera s magnítnymi ka uškami)
Konstrukce :
Toroidální komora napln ná plynem (deuterium, tritium) jako sekundár velkého transformátoru.
Vybitím mohutné kondenzátorové baterie do primární cívky se v sekundáru indukuje silné elektrické
pole – dojde k pr razu plynu – te e velký proud (106 - 107 A) , který :
• Zah ívá plazma Jouleovým teplem
• Vytvo í vlastní magnetické pole, které tzv. pinch-efektem (viz níže) stla uje plazma k podélné
ose komory a tím ho dále zah ívá a izoluje od st n komory.
• Další pomocné cívky vytvá ejí p ídavné magnetické pole ve sm ru osy pro zmenšení úniku
ástic z plazmatu a zajiš ují jeho stabilizaci (viz obr.).
25
P sobení magnetického pole na plazma (pinch-efekt ) :
Elektrický proud I v plazmatu je tvo en pohybem nabitých ástic ve sm ru osy komory. Tento proud
vytvá í osov symetrické magnetické pole
Lorentzova síla:
B . Na náboje pohybující se rychlostí v proto p sobí
F = q⋅v × B
Tato síla sm uje vždy k ose plazmatu (viz obr.) - zp sobuje proto jeho „stla ení“ a tím i následný r st
tlaku (koncentrace) a teploty (a také vzdalování plazmatu od st n komory).
P ídavné magnetické pole B1 (od pomocných cívek) ve sm ru osy plazmatu je d ležité pro zachycení
nabitých ástic, které se pohybují sm rem od osy a „snaží“ se tedy opustit plazma (jak je možné, že
existují takové ástice ?).
Vzniklá Lorentzova síla zak ivuje dráhy t chto ástic zp t do plazmatu (viz obr. vpravo dole), jejich
výsledná dráha je pak spirála – ástice proto nemusí dopadnout na st nu komory – snižuje se proto únik
ástic z plazmatu, výboj se stabilizuje.
B
B1
v
v
B
B
v
v
B
B1
B
B1
v
Nejv tší sou asný tokamak :
JET – Joint European Torus, za ízení postavené v anglickém Culhamu. Stavba byla zapo ata v roce 1978
a byla dokon ena v roce 1983. První ízená termojaderná syntéza ve "v tším množství" byla uskute n na
v roce 1991 (1 MW), v roce 1997 byl dokonce dosažen fúzní výkon 16 MW.
Plán :
ITER – International Thermonuclear Experimental Reaktor (Mezinárodní termojaderný pokusný reaktor).
(iter také znamená latinsky cesta)
P edpokládaný výkon reaktoru je 500 MW, stavba zapo ala v blízkosti francouzského Cadarache v roce
2006, dokon ena by m la být v roce 2015. . Poté bude reaktor 20 let v testovacím provozu. Reaktor
nebude vyráb t elekt inu, pouze 500 MW tepla.
26
Jedná se v podstat o TOKAMAK a to úctyhodných rozm r - prstenec (toroid) má vn jší celkový
pr m r p ibližn 20 m, výšku 15 m a objem 837 m3 . Bude napln n pouhou polovinou gramu paliva. Tím
je sm s deuteria a tritia. Okolo aktivní zóny budou uloženy zhruba t i tuny lithia, které bude zachycovat
vylétávající neutrony a postupn se p em ovat na tritium, které se zase využije v reakci.
27
7) Radioaktivita
Je to proces, p i kterém nestabilní atomové jádro n jakého prvku samovoln vysílá do okolí ástice
(fotony, heliová jádra, elektrony, a jiné).
P i vyzá ení fotonu se nezm ní ani nukleonové, ani protonové íslo jádra, zm ní se jen jeho energie,
avšak p i vyzá ení elektronu, nebo heliového jádra dochází ke zm n na jádro jiného prvku – tzv.
radioaktivní rozpad.
Lze rozlišit dva p ípady :
• P irozená radioaktivita
Tento pojem používáme, jestliže vyza ují jádra prvk , které se vyskytují v p írod . Objevil ji roku 1896
Becquerel na uranu a postupn se zjistilo, že se samovoln rozpadají všechny prvky s nukleonovým
íslem v tším než 82 (82 = olovo, poslední stabilní prvek).
Byly zjišt ny 3 druhy zá ení :
= jádra helia
= elektrony
= fotony (elmg. zá ení)
Existují ty i tzv. rozpadové ady.
Ur itý radioaktivní prvek nebývá zdrojem všech druh zá ení – bu je
– zá i , nebo
– zá i
s doprovodným -zá ením.
• Um lá radioaktivita
Tento pojem používáme, jestliže vyza ují jádra um le p ipravených prvk .
Objevili manželé Joliotovi roku 1934 – hliník bombardovaný
– ásticemi vydával stále zá ení, i když
byl zdroj – ástic odstran ný - vyza oval vzniklý radioaktivní izotop fosforu :
27
13 Al
4
2α
+
→
30 *
15 P
+
1
0n
Pomocí práv p irozených zdroj (zá i )
(transmutaci), první pozoroval Rutherford 1919 :
14
7N
+
4
2α
→
16
8O
+
–
ástic lze provád t
iditelnou p em nu jader
1
1p
Za alo tak období um lé p em ny prvk , krom
– ástic se za aly používat jádra vodíku a dalších
leh ích prvk , asto urychlené v urychlova ích. Dnes je možno p ipravit v laborato ích prakticky
jakýkoliv izotop, jakéhokoliv prvku.
V principu ovšem není mezi p irozenou a um lou radioaktivitou žádný rozdíl – ob podléhají stejným
zákonitostem :
Protože nejsme schopni popsat radioaktivní rozpad do té míry, abychom ur ili, zda se dané jádro v dané
chvíli rozpadne, musíme proces rozpadu jader sledovat jako náhodný jev pouze statisticky – tj. jádra
budou statistickým souborem a my se nebudeme zajímat o to, která konkrétní jádra se rozpadnou, ale jen
kolik se jich rozpadne.
Nech bylo p ipraveno – tj. máme na po átku (v po áte ním ase to = 0 ) celkový po et No jader
n jakého radioaktivního izotopu. S postupem asu se tato jádra rozpadají ( p itom vzniká n jaké zá ení) a
tím se p em ují na jádra jiných prvk – p vodní po et jader se neustále zmenšuje.
Po et jader je tedy klesající funkcí asu :
N = N( t )
28
Jestliže tedy v daném asovém okamžiku máme N ástic, pokusme se uvážit, kolik se jich rozpadne
v následujícím krátkém asovém intervalu dt : tento po et bude jist tím v tší (tj. p ímá úm ra) , ím
delší bude tento as a ím více bude jader :
λ ⋅ N ⋅ dt
Kladná konstanta úm rnosti je ozna ena jako
a nazývá se rozpadová konstanta .
Po et jader rozpadlých za as dt je ovšem sou asn roven úbytku p vodního celkového po tu jader –
tedy poklesu hodnoty funkce N(t) , matematicky její zm n , tj. diferenciálu funkce (protože je tato
zm na záporná, p idáme znaménko mínus) :
dN = − λ ⋅ N ⋅ dt
Tento vztah nyní použijeme t ikrát :
1) Pro definici fyzikální veli iny (radio)aktivita zkoumaného vzorku (zá i e, souboru jader), která je dána
po tem prob hlých rozpad jader v tomto vzorku za 1 asu - ten je práv roven úbytku celkového
po tu jader za 1 asu :
dN
dt
R =
= −
dN
dt
aktivita vzorku
Jednotkou je 1 Bq (becquerel), definovaný jako 1 rozpad (n jakého jádra v daném vzorku) za 1 asu. Po
dosazení dostaneme :
R = −
dN
− λ ⋅ N ⋅ dt
= −
= λ⋅N
dt
dt
2) Pro vysv tlení smyslu rozpadové konstanty. Podle p edchozí rovnice platí :
λ =
R
N
rozpadová konstanta
To znamená . že rozpadová konstanta je pom rem po tu rozpadlých jader (za 1 asu) celkového po tu
jader, což je možno slovn popsat jako :
• relativní po et rozpadlých jader, i po et rozpad p ipadajících na jedno jádro vzorku (za 1 asu),
nebo také
• z hlediska statistiky je to ovšem pom r po tu uskute n ných jev (rozpad ) ku celkovému po tu
jev možných a to je pravd podobnost tohoto jevu, tj. rozpadu 1 jádra z a 1 asu .
3) A do t etice využijeme znalosti diferenciálu funkce N(t) , jako celkového okamžitého po tu jader
v daném vzorku, k nalezení této funkce :
Napíšeme vztah pro tento diferenciál :
dN = − λ ⋅ N ⋅ dt
Pouhým vyd lením hodnotou N dostaneme diferenciální rovnici v separovaném tvaru, tj. s odd lenými
prom nnými na ob strany rovnice :
dN
= − λ ⋅ dt
N
29
Takové diferenciální rovnice se eší integrací levých i pravých stran pomocí ur itých integrál a
stanovením mezí integrál se vlastn ihned ur ují integra ní konstanty :
as nech probíhá od po áte ní hodnoty to = 0 do kone né (libovolné) hodnoty t a tomu odpovídá
po áte ní hodnota druhé veli eny – po tu jader – No a kone ný (libovolný) po et jader N :
N
t
dN
= − λ ⋅ dt
N
No
0
Dostaneme :
[ ln N ] NN o
= − λ ⋅ [ ln N
] 0t
Po dosazení mezí integrál :
ln
N
= − λ ⋅t
No
A na záv r využijeme vztah logaritmu a integrálu :
N
= e − λ ⋅t
No
Po vynásobení jmenovatelem dostaneme hledaný okamžitý po et jader ve vzorku jako funkci asu ,
která je základním zákonem radioaktivního rozpadu :
N = N o ⋅ e − λ ⋅t
rozpadový zákon
Protože rozpadová konstanta jako pravd podobnost rozpadu jádra je kladná, p edstavuje rozpadový zákon
klesající exponencielu, která vychází z po áte ní hodnoty No po tu jader a v limit nekone ného asu se
p ibližuje nulové hodnot (viz obr.) :
N
-λt
N = No· e
No
No /2
0
t
T
30
Protože po et jader je úm rný aktivit , je možno psát rozpadový zákon i pro tuto veli inu :
R = λ ⋅ N = λ ⋅ N o ⋅ e − λ ⋅t
Sou in rozpadové konstanty a po áte ního po tu jader má význam po áte ní hodnoty aktivity vzorku
(zá i e) :
Ro = λ ⋅ N o
po áte ní aktivita
Potom m žeme asovou závislost aktivity napsat ve tvaru :
R = Ro ⋅ e − λ ⋅t
rozpadový zákon pro aktivitu zá i e
Na velikosti rozpadové konstanty pak záleží, jak „rychle“ probíhá rozpad jader vzorku, tj. jak vysoká je
aktivita vzorku a jak rychle se po et jader vzorku blíží nulové hodnot .
V praxi se pro zhodnocení aktivity vzorku používá ješt jiná veli ina, související s rychlostí poklesu
po tu jader – polo as rozpadu T : definuje se jako as, za který se rozpadne polovina p vodního
po tu jader ve vzorku - tj. as, za který klesne p vodní po et jader na polovinu .
Podle rozpadového zákona tedy bude platit :
N( T ) =
No
= N o ⋅ e − λ ⋅T
2
Dostáváme tedy :
1
= e − λ ⋅T
2
Op t využijeme vztahu exponenciely a logaritmu :
ln
1
= − λ ⋅T
2
A po úprav levé strany :
ln
1
= − ln 2 = − λ ⋅ T
2
Pak m žeme stanovit vztah polo asu rozpadu a rozpadové konstanty :
T =
ln 2
λ
≅
0 ,693
λ
polo as rozpadu a rozpadová konstanta
U známých radioaktivních látek je polo as rozpadu ve velmi širokém intervalu :
T ∈ ( 3 ⋅ 10 −7 sec . − 5 ⋅ 1015 rok )
Jako aplikaci vy ešme dva p íklady :
31
1) Ur ete polo as rozpadu daného zá i e, jestliže po 100 dnech klesne jeho aktivita 1,07 krát .
Víme, že pro aktivitu platí :
R = Ro ⋅ e − λ ⋅t
Tedy pom r aktivit je :
R
= e − λ ⋅t
Ro
Z toho plyne :
ln
R
R
= − ln o = − λ ⋅ t
Ro
R
Vypo ítáme rozpadovou konstantu :
λ =
R
1
⋅ ln o
t
R
A polo as rozpadu :
T =
ln 2
λ
= t⋅
ln 2
R
ln o
R
Po íselném dosazení :
T = 100 ⋅
0 ,693
= 1024 ,5 [ dne ]
ln 1,07
238
9
2) Jaká je aktivita vzorku 92 U hmotnosti m = 1g , jehož polo as rozpadu je 4,5 . 10 let.
Použijeme vztah pro aktivitu :
R = λ⋅N
Do kterého dosadíme za rozpadovou konstantu :
λ =
ln 2
T
A po et jader ve vzorku, který je roven po tu atom , vypo ítáme pomocí molární hmotnosti uranu
23
-1
(hmotnost 1 molu) Mmol = 238 g a Avogadrova ísla NA = 6,023 . 10 mol (atom v 1
molu) :
N =
m
⋅ NA
M mol
Tedy celkem :
R = λ⋅N =
íseln :
R =
ln 2
m
⋅
⋅ NA
T M mol
0 ,693
1
⋅ 6 ,023 ⋅ 10 23 =
9
4 ,5 ⋅ 10 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 3600 238
⋅
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------(konec kapitoly)
K. Rus ák, verze 04/2006, rev. 04/2007
32