Čtyřúhelníky - zsamspavlovice.cz

ČTYŘÚHELNÍKY
Čtyřúhelník je část roviny omezená čtyřmi úsečkami.
Čtyřúhelník je geometrický útvar složený ze čtyř stran, čtyř vrcholů a čtyř vnitřních úhlů.
Jak může vzniknout čtyřúhelník?
1.) – narýsujeme libovolný trojúhelník ∆ ABC
‒ sestrojíme přímku p = ↔ AC
‒ v opačné polorovině k polorovině pB
sestrojíme libovolný trojúhelník ∆ ACD
C
D
Obrazec ABCD, který vznikne spojením
trojúhelníků ∆ ABC a ∆ ACD se nazývá
čtyřúhelník ABCD.
A
B
p
2.) – v rovině zvolíme čtyři navzájem různé body tak, aby žádné tři neležely
v jedné přímce
‒ všechny body navzájem spojíme čtyřmi úsečkami tak, aby v rovině vznikl
obrazec uzavřený těmito úsečkami
N
+
+M
+
K
+L
Obrazec KLMN, který vznikne spojením
bodů K, L, M a N se nazývá
čtyřúhelník KLMN.
Základní pojmy
Čtyřúhelník ABCD
Strany jsou úsečky a = AB, b =BC, c = CD, d = AD.
Sousední vrcholy jsou dvojice bodů A,B ; B,C ; C,D ; A,D.
Protější vrcholy jsou dvojice bodů A,C ; B,D.
Sousední strany jsou úsečky AB a BC ; BC a CD ; CD a AD ; AD a AB.
Protější strany jsou úsečky AB a CD ; BC a AD.
D
Úhlopříčky jsou úsečky AC a BD.
Průsečík úhlopříček je bod E.
Vnitřní úhly jsou α, β, γ, δ.
c
d
C
δ
A
α
Pozn.: 1. Ve čtyřúhelníku ABCD bude vždy
úhel α u vrcholu A, β u vrcholu B, γ u vrcholu C,
a
δ u vrcholu D.
2. Stranu popíšeme stejným písmenem jako je
vrchol, ze kterého strana vychází proti směru hodinových
ručiček.
γ
E
b
β
B
Vlastnost vnitřních úhlů čtyřúhelníku.
D
Úhlopříčka AC rozdělí čtyřúhelník ABCD
na dva trojúhelníky - ∆ ABC a ∆ ACD.
Pro velikosti vnitřních úhlů
těchto trojúhelníku platí:
α2 + β + γ2 = 180˚
α1
α1 + γ1 + δ = 180˚
Tedy pro velikosti vnitřních
α2
A
úhlů čtyřúhelníku ABCD
musí platit
α1 + α2 + β + γ2 + γ1 + δ = 360˚
a protože
α1 + α2 = α
γ2 + γ1 = γ
tak pro vnitřní úhly čtyřúhelníku ABCD platí vztah:
δ
α
α + β + γ + δ = 360˚
Součet velikostí vnitřních úhlů čtyřúhelníku se rovná 360˚.
γ1
γ2
γ
β
B
C
Obvod čtyřúhelníku
Obvod každého čtyřúhelníku se rovná součtu délek jeho stran.
Obecný vzorec pro výpočet obvodu čtyřúhelníku:
O=a+b+c+d
Př.:
Z obrázku čtyřúhelníku ABCD urči velikost jeho obvodu a velikost
vnitřního úhlu β.
D
7,2 cm
99˚
C
114˚
78˚
Řešení:
6,3 cm
A
5,4 cm
10,3 cm
β
B
O=a+b+c+d
O = 10,3 + 5,4 + 6,3 + 7,2
O = 29,2 cm
α + β + γ + δ = 360˚
78˚ + β + 114˚ + 99˚ = 360˚
291˚ + β = 360˚
β = 360˚ ‒ 291˚
β = 69˚