7. Odraz a lom

Trivium z optiky
45
7. Odraz a lom
V této kapitole se budeme zabývat průchodem (lomem) a odrazem světla od
rozhraní dvou homogenních izotropních prostředí. Pro jednoduchost se omezíme na rozhraní rovinná a budeme zkoumat výlučně chování rovinných monochromatických vln. Získané výsledky však lze bezprostředně rozšířit i na
obecná nerovinná rozhraní a na obecné nemonochromatické vlny. Nejdříve si
ukážeme, jaké zákonitosti je možno pro odraz a lom formulovat na základě
jednoduchého přístupu založeného na Huygensově principu, podstatnou část
kapitoly ale zaplní úvahy založené na Maxwellově teorii elektromagnetického
pole. V závěru se věnujeme úplnému (totálnímu) odrazu - jevu, kdy světlo rozhraním dvou prostředí neprochází a zcela se od něj odráží zpět.
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy.
Zákon odrazu.
Zákon lomu.
Odraz a lom v Maxwellově teorii.
Fresnellovy vzorce.
7.5.1
7.5.2
7.5.3
Transverzální elektrická vlna.
Transverzální magnetická vlna.
Brewsterův úhel.
7.6 Úplný odraz.
7.1 Rovinná rozhraní dielektrik - základní pojmy
V následujícím se budeme zabývat rovinnými rozhraními dvou
izotropních homogenních dielektrik. Bez újmy na obecnosti můžeme zvolit souřadnicovou soustavu tak, že rozhraní splyne se
souřadnicovou rovinou xy, dielektrikum o indexu lomu n1 zaplní
horní poloprostor a druhé dielektrikum o indexu lomu n2 poloprostor dolní (viz obrázek). Na toto rozhraní dopadá z horního
poloprostoru rovinná elektromagnetická vlna, jejíž jeden paprsek
(dopadající paprsek, DP) je rovněž zahrnut do připojeného
obrázku. Tento paprsek se částečně od rozhraní odráží zpět do
prvního prostředí (odražený paprsek, OP) a částečně láme do
prostředí druhého (lomený paprsek, LP). V průsečíku všech tří
paprsků je vztyčena tzv. kolmice dopadu (KD).
Orientaci zmíněných paprsků v prostoru vztahujeme podle obecně přijaté konvence ke kolmici
dopadu. Úhel, který svírá dopadající paprsek s kolmicí dopadu, αD, nazýváme úhlem dopadu.
Obdobně definujeme i úhel odrazu αO a úhel lomu αL, jako úhly, které s kolmicí dopadu svírají paprsek odražený a lomený.
Rovina zadaná kolmicí dopadu a dopadajícím paprskem je rovinou dopadu, obdobně rovina
zadaná kolmicí dopadu a odraženým (lomeným) paprskem je rovinou odrazu (lomu).
46
Odraz a lom
7.2 Zákon odrazu
Úhel odrazu je roven úhlu dopadu, α O = α D , a rovina odrazu je totožná s rovinou dopadu.
Zákon odrazu můžeme snadno odvodit pomocí nám již známého Huygensova principu. Pro
jednoduchost předpokládejme, že rovina dopadu je totožná s rovinou odrazu. 1 Pak můžeme
vycházet z připojeného obrázku. V něm úsečka AB reprezentuje průmět části vybrané vlnoplochy do roviny nákresu. V jistém čase dospěje tato vybraná část do polohy A1B1 a podle Huygensova principu se kolem bodu A1 začnou šířit elementární vlnoplochy. V následujících okamžicích dospívají na rozhraní i další části vlnoplochy AB a kolem bodů rozhraní se začínají šířit
další a další elementární vlnoplochy. Jejich společná obálka v poloprostoru zaplněném prvním
prostředím (odražená vlnoplocha) je v čase, kdy na rozhraní konečně dospěje i bod B, reprezentována úsečkou A2B2. Úhel, který svírají paprsky
odpovídající této obálce s kolmicí dopadu získáme
následující úvahou. Trojúhelníky A1B2A2 a B2A1B1
jsou zřejmě shodné, neboť |A1B2|= |B2A1|,
|B2B1|= |A1A2| a ) A 1B1B2 = ) B2 A 2 A1 = 90 o .
Pak jsou ovšem shodné i úhly ) B1A 1B2 a
) A 2 B2 A1 . Vzhledem k tomu, že první z nich je
totožný s úhlem dopadu a druhý s úhlem odrazu,
platí α D = α O .
7.3 Zákon lomu (Snellův)
Úhel lomu a úhel dopadu splňují vztah n1 sin α D = n 2 sin α L a rovina lomu je totožná s rovinou dopadu.
Pro n1 > n 2 je zřejmě α D < α L a hovoříme o lomu od kolmice, v opačném případě ( n1 < n 2 )
platí α D > α L a hovoříme o lomu ke kolmici. K lomu ke kolmici dochází tedy při průchodu
do opticky hustšího prostředí, k lomu od kolmice při průchodu do prostředí opticky řidšího.
Pro n1 > n 2 je možno navíc Snellův zákon lomu použít jen tehdy, je-li n1 sin α D / n 2 ≤ 1 . To
znamená, že k lomu může dojít pouze pro úhly dopadu menší nebo rovny než
α max ≡ arcsin( n 2 / n1 ) . Pro větší úhly dopadu dochází pouze k odrazu paprsku od rozhraní. Hovoříme pak o úplném (totálním) odrazu.
I zákon lomu je možno bez větších nesnází odvodit z Huygensova
principu, přičemž opět pro jednoduchost předpokládáme totožnost rovin dopadu a lomu.2 Také další postup se jen málo odchyluje od toho, s čím jsme se setkali v předcházejícím odstavci.
Na připojeném obrázku jsou zachyceny dopadající vlnoplocha
A1B1 v čase, kdy se svým levým okrajem dotkla rozhraní, a lomená
vlnoplocha A2B2 v čase, kdy i pravý okraj dopadající vlnoplochy
dospěl na rozhraní. Čas, který potřebuje dopadající vlna na to, aby
její pravý okraj dospěl v prvním prostředí z bodu B1 do bodu B2, je
zřejmě stejný jako čas, který potřebuje vlna lomená k průchodu
1
2
Totožnost rovin dopadu a odrazu je ovšem možno odvodit z Huygensova principu také.
Rovněž nyní by bylo možno tento fakt odvodit přímo z Huygensova principu.
Trivium z optiky
47
vzdálenosti A1A2. Platí tedy
B1B2
AA
= 1 2
c / n1
c / n2
nebo také
B1B2
c / n1 n 2
=
= .
A 1 A 2 c / n 2 n1
Trojúhelníky A1A2B2 a A1B2B1 jsou ale pravoúhlé a navíc ) A 1B2 A 2 = α L a ) B1A1B2 = α D .
Proto můžeme psát
BB
AA
sin α D = 1 2 a sin α L = 1 2
A 1B2
A 1B 2
nebo také
BB
n
sin α D
= 1 2 = 2
sin α L
A1A 2 n1
a nakonec i
n1 sin α D = n 2 sin α L .
7.4 Odraz a lom v Maxwellově teorii
Řešení Maxwellových rovnic nad a pod rozhraním
Pro jednoduchost se při použití Maxwellových rovnic během rozboru problému lomu a odrazu
od rozhraní dvou dielektrik omezíme jen na rovinné monochromatické vlny. O těch již z kapitoly 5 víme, že jsou za jistých podmínek řešeními Maxwellových rovnic v homogenním a izotropním dielektriku. Jsou tedy řešeními Maxwellových rovnic nad a pod rozhraním.
Podle zadání problému předpokládejme tedy, že se nad rozhraním (v prvním prostředí) šíří dvě
rovinné monochromatické vlny: vlna dopadající
G G
G G
G
ED ( r , t ) = ED0 cos kD ⋅ r − ωDt ,
G G
G G
G
H D ( r , t ) = H D0 cos kD ⋅ r − ωDt
(
(
a vlna odražená
G
G G
G
EO ( r , t ) = EO0 cos
G G
G
H O ( r , t ) = H O0 cos
(k
G
(k
)
)
)
)
G
⋅ r − ωOt + ϕO ,
G
O ⋅ r − ωOt + ϕO .
O
Pod rozhraním pak musíme předpokládat vlnu lomenou
G G
G G
G
EL ( r , t ) = EL 0 cos kL ⋅ r − ωL t + ϕL ,
G G
G G
G
H L ( r , t ) = H L 0 cos kL ⋅ r − ωL t + ϕL .
(
(
)
)
Všimněte si, že kromě toho, že odraženou i lomenou vlnu považujeme za rovinné a monochromatické, nic dalšího o nich à priori nepředpokládáme - vektorové amplitudy, vlnové vektory, frekvence či dokonce fázová posunutí jsou zcela obecné.
48
Odraz a lom
Spojení řešení Maxwellových rovnic nad a pod rozhraním
V kapitole 5 jsme formulovali vztahy mezi vektorovými amplitudami elektrické a magnetické
intenzity a mezi vlnovým vektorem a frekvencí libovolné rovinné monochromatické vlny. Ty
zůstávají pochopitelně v platnosti pro každou z uvažovaných vln zvlášť. Zatím ale nevíme, zda
Maxwellovy rovnice uvádějí do nějakého vztahu dopadající, odraženou a lomenou vlnu navzájem. K tomu, abychom to zjistili musíme použít speciální tvar Maxwellových rovnic, v jakém
platí přímo na rozhraní. Po poměrně komplikovaných úvahách, které je možno najít v každé
učebnici teorie elektromagnetického pole, bychom dospěli k následujícím formulacím:
¾ normálové složky indukcí 3 (elektrické i magnetické) jsou při průchodu rozhraním spojité,
¾ tečné složky intenzit (elektrické i magnetické) jsou při průchodu rozhraním spojité.
G
G
G
G
Přesněji označíme-li celkovou elektrickou indukci pole nad rozhraním D1 ( D1 ≡ DD + DO ) a
G G
G
pod rozhraním D2 ( D2 ≡ DL ), můžeme spojitost její normálové složky zapsat ve tvaru 4
∀[ x , y ] ∈ \ 2 a ∀t ∈ \ : D1z ( x , y , 0, t ) = D2z ( x , y , 0, t ) .
Obdobnou rovnost můžeme psát i pro indukci magnetickou (opět musí platit pro všechny body
rozhraní a všechny časy)
B1z ( x , y , 0, t ) = B2z ( x , y , 0, t ) .
Spojitost tečných (x-ových a y-ových) složek elektrické a magnetické intenzity vede obdobně k
E1x ( x , y , 0, t ) = E2 x ( x , y , 0, t ) ,
E1 y ( x , y , 0, t ) = E2 y ( x , y , 0, t ) ,
H1x ( x , y , 0, t ) = H 2 x ( x , y , 0, t ) ,
H1 y ( x , y , 0, t ) = H 2 y ( x , y , 0, t ) .
Pomocí podmínek spojitosti pro normálové složky indukcí a tečné složky intenzit výsledného
elektromagnetického pole nad a pod rozhraním můžeme formulovat hledané vztahy mezi dopadající, odraženou a lomenou vlnou 5
DD0z cos ( kDx x + kDy y − ωD t ) + DO0 z cos ( kOx x + kOy y − ωOt + ϕO ) = DL 0z cos ( kLx x + kLy y − ωL t + ϕL ) ,
BD0z cos ( kDx x + kDy y − ωD t ) + BO0 z cos ( kOx x + kOy y − ωOt + ϕO ) = BL 0 z cos ( kLx x + kLy y − ωL t + ϕL ) ,
ED0 x cos ( kDx x + kDy y − ωD t ) + EO0 x cos ( kOx x + kOy y − ωOt + ϕO ) = EL 0 x cos ( kLx x + kLy y − ωL t + ϕL ) ,
ED0 y cos ( kDx x + kDy y − ωD t ) + EO0 y cos ( kOx x + kOy y − ωOt + ϕO ) = EL 0 y cos ( kLx x + kLy y − ωL t + ϕL ) ,
H D0 x cos ( kDx x + kDy y − ωD t ) + H O0 x cos ( kOx x + kOy y − ωOt + ϕO ) = H L 0 x cos ( kLx x + kLy y − ωL t + ϕL ) ,
H D0 y cos ( kDx x + kDy y − ωD t ) + H O0 y cos ( kOx x + kOy y − ωOt + ϕO ) = H L 0 y cos ( kLx x + kLy y − ωL t + ϕL ) .
Normálové vzhledem k rozhraní. Analogicky v další odrážce znamená slovo tečné tečné vzhledem k rozhraní.
Především, uvedená rovnost musí platit pro všechny body rozhraní, tj. pro naši volbu souřadnicové soustavy pro
libovolný bod o souřadnicích [x,y,0], a pro všechny časy t. Dále, vzhledem k tomu, že rozhraní splývá se souřadnicovou rovinou xy, má normála k rozhraní směr osy z. Tedy normálové složky indukcí jsou nutně jejich složkami ztovými.
5 Protože tyto podmínky spojují (sešívají) nezávislá řešení Maxwellových rovnic nad a pod rozhraním, nazývají se
obvykle podmínkami sešívacími.
3
4
Trivium z optiky
49
Tyto vztahy musí ovšem platit pro libovolné x, y a t, a jedná se tedy o nekonečně mnoho rovnic
G
G
G
G
G
G
pro neznámé parametry odražené ( EO 0 , HO 0 , kO , ωO a ϕO ) a lomené vlny ( EL 0 , H L 0 , kL , ωL
a ϕL ) 6. Jejich řešením získáme hledané informace o odrazu a lomu rovinné monochromatické
vlny na rovinném rozhraní dvou dielektrik.
Závěry plynoucí ze sešívacích podmínek
Řešení rovnic reprezentovaných výše formulovanými sešívacími podmínkami je obtížné a pracné. Proto si zde shrňme jen základní závěry, které z něj plynou pro odraženou a lomenou vlnu.
Část těchto závěrů je nezávislá na polarizaci dopadající vlny:
¾ frekvence odražené a lomené vlny je stejná jako frekvence vlny dopadající ( ωD = ωO = ωL ),
¾ roviny dopadu, odrazu a lomu jsou totožné (existuje taková souřadnicová soustava, v níž je
kDx = kOx = kLx = 0 ),
¾ úhel dopadu je roven úhlu odrazu,
¾ platí Snellův zákon lomu,
¾ fázový posun odražené vlny vůči vlně dopadající může být roven pouze nule nebo π ( ϕO = 0, π ),
¾ fázový posun lomené vlny vůči vlně dopadající je vždy roven nule ( ϕL = 0 ).
Další závěry již závisejí na polarizaci dopadající vlny. Jejich shrnutí vyžaduje poněkud větší
prostor, proto jim věnujeme následující samostatný odstavec.
7.5 Fresnelovy vzorce
Vztahy mezi vektorovými amplitudami dopadající, odražené a lomené vlny, tzv. Fresnelovy
vzorce, závisejí na polarizaci dopadající vlny. Musíme proto rozebrat odděleně následující dva
případy:
¾ dopadající vlna má polarizaci (vektor elektrické
intenzity) kolmou k rovině dopadu - transverzální
elektrická vlna,
¾ polarizace dopadající vlny (vektor elektrické intenzity) leží v rovině dopadu (k rovině dopadu je kolmá tedy magnetická intenzita) - transverzální
magnetická vlna.
Při formulaci Fresnelových vzorců se obvykle používají speciální souřadnicové soustavy pro dopadající, odraženou a lomenou vlnu. Jednotkové vektory zadávající
kladné směry souřadnicových os v těchto souřadnicových soustavách jsou pro transverzální elektrickou vlnu
zakresleny v připojeném obrázku.7
7.5.1 Transverzální elektrická (TE) vlna
G
G
Transverzální elektrická vlna je dána vztahem ED 0 = ED 0 n Dy , kde ED 0 můžeme pokládat za
kladné číslo.
Vektorové amplitudy indukcí můžeme získat pomocí amplitud intenzit prostřednictvím materiálových rovnic
G
G
G
G
G
D0 = εE0 = n 2 ε 0 E0 a B0 = µ 0 H 0 .
6
7
Symbolem ⊗ označujeme vektor mířící za rovinu nákresu.
50
Odraz a lom
Ze sešívacích podmínek plyne, že
je-li dopadající vlna transverzální elektrická, jsou takové i vlna odražená a lomená.
Platí tedy
G
G
G
G
EO 0 = EO 0nOy a EL 0 = EL 0n Ly .
EO 0 může být kladné i záporné, jeho znaménkem odlišujeme fázový posun odražené vlny vůči
vlně dopadající – pro EO 0 > 0 není odražená vlna fázově posunuta vůči vlně dopadající, pro
EO 0 < 0 je odpovídající fázový posun roven π.8
Označíme-li dále
rTE ≡
EO 0
E
resp. t TE ≡ L 0
ED 0
ED 0
koeficienty amplitudové reflexe resp. amplitudové transmise, můžeme pro ně, jak plyne ze
sešívacích podmínek, psát Fresnelovy vzorce pro TE vlnu
rTE = −
sin( α D − α L )
2 cos α D sin α L
, t TE =
,
sin( α D + α L )
sin( α D + α L )
kde α D resp. α L je úhel dopadu resp. úhel lomu. Z Fresnelových vzorců pro TE vlnu plyne
okamžitě
¾ α D > α L ⇒ rTE < 0 , při odrazu na opticky hustším prostředí je tedy odražená vlna fázově posunuta
vůči vlně dopadající o úhel π,
¾ α D < α L ⇒ rTE > 0 , při odrazu na opticky řidším prostředí k fázovému posunu mezi dopadající a
odraženou vlnou nedochází,
¾ t TE je vždy kladné, lomená vlna tedy není vůči vlně dopadající fázově posunuta, a to bez ohledu na indexy
lomu prvního a druhého prostředí.
Závislost rTE na úhlu dopadu je schématicky
znázorněna na připojeném obrázku. Všimněte
si zejména otazníku v levé části obrázku. Má
upozornit na to, že pro úhly dopadu větší než
αmax naše teorie selhává. K problému se ještě
vrátíme v odstavci 7.8.
Pomocí koeficientů amplitudové reflexe a amplitudové
transmise je možno vyjádřit koeficienty energetické
reflexe resp. energetické transmise
R TE = rTE 2 resp. TTE =
n2 cos α L
n1 cos α D
t TE 2 ,
které jsou definovány jako poměr zářivých toků odraženého a dopadajícího na jednotku plochy rozhraní resp. poměr zářivých toků prošlého jednotkou plochy rozhraní a toku na jednotku plochy rozhraní dopadajícího. Fresnelových vzorců je tedy možno užít k určení poměrného množství elektromagnetické energie odražené od rozhraní a
rozhraním prošlé.
EL0 bude naopak vždy kladné, fázový posun lomené vlny vůči vlně dopadající je, jak víme z předcházejícího odstavce, vždy nulový.
8
Trivium z optiky
51
7.5.2 Transverzální magnetická (TM) vlna
Transverzální magnetická vlna odpovídá elektrické intenzitě ležící v rovině dopadu, platí tedy
G
G
ED 0 = ED 0n Dz , kde opět ED 0 můžeme pokládat za kladné číslo.
Také nyní vyplývá ze sešívacích podmínek, že
je-li dopadající vlna transverzální magnetická, jsou takové i vlna odražená a lomená.
Platí tedy
G
G
G
G
EO 0 = EO 0nOz a EL 0 = EL 0n Lz .
Znaménkem EO 0 odlišujeme, podobně jako pro TE vlnu, fázový posun odražené vlny vůči vlně
dopadající - pro EO 0 > 0 není odražená vlna fázově posunuta, pro EO 0 < 0 je odpovídající fázový posun roven π.9
Podobně jako pro TE vlnu definujeme
rTM ≡ EO 0 / ED 0 resp. t TM ≡ EL 0 / ED 0
koeficienty amplitudové reflexe resp. amplitudové transmise i pro vlnu transverzální magnetickou. Fresnelovy vzorce pro TM vlnu pak nabývají tvaru
rTM =
t TM =
tg( α D − α L )
,
tg( α D + α L )
2 cos α D sin α L
,
sin( α D + α L )cos( α D + α L )
kde α D a α L jsou stejně jako výše úhel dopadu a
úhel lomu.
Závislosti rTM na úhlu dopadu jsou schématicky znázorněny na připojeném obrázku. Kladné hodnoty
rTM odpovídají nulovému fázovému posunu mezi
dopadající a odraženou vlnou, záporné hodnoty pak
fázovému posunu π.10 Zajímavá je existence úhlu
dopadu, pro nějž je koeficient rTM nulový. Tento úhel
se nazývá úhlem Brewsterovým.
7.5.3 Brewsterův úhel
Je-li součet úhlu dopadu a lomu roven π/2 ( α D + α L = π / 2 ) 11, diverguje tg ( α D + α L ) ve jmenovateli vzorce pro rTM do nekonečna a koeficient amplitudové transmise se stává nulovým.
Transverzální magnetická vlna se v takovém případě od rozhraní vůbec neodráží. Dopadá-li na
rozhraní čistě TM vlna, neodráží se od něj vůbec nic. Pokud na rozhraní dopadá obecně polarizované světlo (včetně světla nepolarizovaného), odráží se od něj jen TE složka - tedy světlo
EL0 bude opět vždy kladné.
Porovnejte s obrázky pro TE vlnu.
11 Snadno se dá ukázat, že v tomto případě jsou odražený a lomený paprsek navzájem kolmé.
9
10
52
Odraz a lom
lineárně polarizované, jehož polarizační směr je kolmý k rovině dopadu. Při odrazu pod tímto
speciálním úhlem se tedy libovolně polarizované světlo mění na světlo lineárně polarizované! 12
Obvykle úhel dopadu splňující α D + α L = π / 2 nazýváme úhlem Brewsterovým a označujeme
jej symbolem α B . Číselná hodnota Brewsterova úhlu
je pro zadané rozhraní charakteristická a snadno ji
získáme ze Snellova zákona lomu. Dosadíme-li totiž
do tohoto zákona z definiční podmínky pro BrewsαL = π / 2 − αB ,
obdržíme
terův
úhel
n1 sin α B = n 2 sin( π / 2 − α B ) , neboli tg α B = n 2 / n1 .
7.6 Úplný odraz
Dopadá-li světlo na opticky řidší prostředí ( n 2 < n1 )
pod úhlem dopadu větším nebo rovným α max ≡ arcsin nn21 , nedochází k jeho lomu do tohoto
prostředí a světlo se zcela odráží.13 Tento jev se nazývá úplným (totálním) odrazem.
Pro úhly dopadu větší než α max pozbývají také platnosti Fresnelovy vzorce uvedené v odstavci
7.7, a to proto, že v nich se vyskytující úhel lomu α L není v takové situaci prostě definován.
Neznamená to však, že by pro úplný odraz přestaly platit Maxwellovy rovnice, pouze předpoklad současné existence tří rovinných monochromatických vln (dopadající, odražené a lomené)
je nyní příliš silný a nelze jej splnit. Zatímco dopadající a odražená vlna mohou být i nadále považovány za rovinné monochromatické, vlnu lomenou je třeba uvažovat v poněkud odlišném
tvaru. Podrobnější analýza, která však přesahuje úroveň tohoto textu, vede k závěru, že pro lomenou vlnu musíme v případě úplného odrazu použít tvaru
G G
G
EL ( r , t ) = EL 0e δz cos ( kLx x + kLy y − ωL t + ϕL ) .
Jedná se tedy o vlnu nehomogenní, která se šíří podél rozhraní xy a rychle ubývá směrem
do druhého prostředí (z < 0).
Kromě této změny zůstává v platnosti téměř vše, co jsme uvedli v odstavci 7.7. Kromě jiného
i naprostá většina závěrů tam učiněných (rovnost frekvencí dopadající a odražené vlny, zákon
odrazu, totožnost rovin dopadu a odrazu). Odlišné jsou jen Fresnelovy vzorce
R TE = R TM = 1 ,14 TTE = TTM = 0 ,15
a fázová posunutí mezi dopadající a odraženou vlnou. Fázové posunutí odražené vlny vůči vlně
dopadající je pro TE a TM vlnu
ϕ(OTE )
= 2 arctg
sin 2 α D − ( nn21 )
cosα D
2
,
ϕ(OTM )
= 2 arctg
sin 2 α D − ( nn21 )
( )
n2 2
n1
cosα D
2
.
12 Pro lomenou vlnu to ovšem neplatí, i když i v ní převažuje (ne však výlučně) jedna složka lineární polarizace,
tentokrát složka rovnoběžná s rovinou dopadu. Při dopadu pod Brewsterovým úhlem hovoříme proto někdy
o částečné polarizaci lomené vlny.
13 Viz odstavec 7.3.
14 Všechno světlo se od rozhraní odráží ...
15 ... a žádné neprochází do druhého prostředí.
Trivium z optiky
53
TE a TM vlna jsou tedy po úplném odrazu vůči sobě vzájemně fázově posunuty o úhel
∆ = ϕ(OTE ) − ϕ(OTM ) .
Typické závislosti ϕ(OTE ) , ϕ(OTM ) a ∆ na úhlu dopadu jsou uvedeny v připojeném obrázku.
Fresnelův hranol
Vzájemného fázového posunutí mezi TE a TM vlnou po úplném odrazu se využívá k transformaci lineárně polarizovaného světla na světlo polarizované kruhově. Dopadá-li totiž na rozhraní lineárně polarizovaná vlna, jejíž polarizační směr je zvolen tak, aby TE a TM složka měly stejnou amplitudu, změní se polarizace této vlny po úplném
odrazu obecně na eliptickou. Pokud bychom byli sto dosáhnout vzájemného fázového posunu π/2, získali bychom
dokonce polarizaci kruhovou. Podle výše uvedeného obrázku jsou však maximální dosažitelné fázové posuny rovny
zhruba polovině této hodnoty. Ke změně lineární polarizace na kruhovou musí proto dopadající vlna prodělat
úplné odrazy dva. Toho lze dosáhnout např. pomocí tzv. Fresnelova hranolu (viz obrázek). Jedná se o kosý skleněný hranol, jehož úhel β je volen tak, aby se při úplném odrazu v místech A a B dosáhlo fázového posunutí mezi
TE a TM složkou π/4 a dohromady kýžených π/2. Světlo vstupující do Fresnelova hranolu jako lineárně polarizované je na výstupu polarizováno kruhově!