Úvod do teorie a praxe dluhopisů

Transkript

Teorie a praxe dluhopisů
Ing. B.Stádník Ph.D.
1
Obsah
Úvod do matematiky dluhopisů
Spojité úročení
Teorie
Řešené příklady
Vnitřní výnosové procento a investice
Teorie
Souvislost se složeným úročením
Vyjádření vnitřního výnosového procenta
Vnitřní výnosové procento na různé bázi
Přechod mezi bázemi
Praktické výpočty vnitřního výnosového procenta
Souvislost se spořením
Souvislost s důchody
Souvislost s reinvesticí CF1, CF2, ... CFn
Investice v období mezi cash flow
Investice bez splatnosti
Investice bez splatnosti-investice v období mezi cash flow
Výnosy s lomenými exponenty
Souvislost lomených exponentů s vnitřním výnosovým procentem
Kombinované výnosy
Rozdílná úroková míra pro jednotlivá období mezi cashflow
Rozdílná úroková míra pro jednotlivá cashflow po celou dobu investice
Parametry dluhopisů
Obecná charakteristika typického dluhopisu
Základní parametry dluhopisů
Označení dluhopisu
Konvence pro počítání časových intervalů (Day Count Convention)
Charakter úrokového výnosu
Vztah mezi kupónovou sazbou a kupónovou výplatou
Odchýlená perioda prvního kupónu (Odd First Coupon)
Vyjádření ceny
Splácení kupónových výplat (splátkový kalendář)
Doba do splatnosti (Time/Term to Maturity)
Dluhopisy bez splatnosti (Perpetual Bonds)
Doba života dluhopisu (Time of Living)
Denominace (denomination)
Emitent, typ emitenta (issuer, debtor)
Další práva držitele a emitenta
Zajištění proti inflaci
Forma dluhopisu
Způsob převoditelnosti
Vztah cena/výnos
Kalkulace výnosů u dluhopisů
2
výnos do splatnosti (Yield to Maturity), ISMA Method
US Street Convention
True Yield
Spojité úročení
U.S. Treasury Convention
Braeß/Fangmeyer, Moosmüller Yield
Japanese Simple Yield (JGB Simple)
Money Market Yield
Kupónová výnosnost
Běžná výnosnost (Current Yield)
Rendita (adjusted current yield)
výnos s reinvesticí kupónů
Výnos bezkupónových dluhopisů
Výnos u dluhopisů bez splatnosti
Výnos u dluhopisů s variabilní kupónovou sazbou
Procentní vyjádření ceny dluhopisu
Citlivost ceny dluhopisů na úrokovou míru
Macaulayova durace (Macaulay Duration) kupónového dluhopisu
Macaulayova durace bezkupónového dluhopisu
Macaulayova durace dluhopisu bez splatnosti
Konvexita dluhopisu
Měnící se citlivost
Použití Macaulayovy durace pro odhad změny tržní ceny
Modifikovaná durace (Modified Duration)
BPV(Basis Point Value, DV01)
Citlivost ceny u dluhopisu s variabilním kupónovou sazbou
Změna celkové bilance výnosu z dluhopisu při změně vnitřního výnosového procenta
Durace (Macaulyova) portfolia
Imunizace portfolia
Celková cena dluhopisu (Dirty Price, Total Price)
Kotovaná cena dluhopisu (Clean Price, Quoted Price)
AÚV, alikvotní úrokový výnos (Accrued Interest)
Obchodování s dluhopisy
Trhy dluhopisů
Rizika spojená s obchodováním s dluhopisy
Likvidita
Riziko emitenta dluhopisu
Rating
Vývoj tržní ceny dluhopisu
Pravděpodobnostní rozdělení výnosů
Teorie popisující vývoj tržní ceny likvidních investičních instrumentů
Teorie efektivních trhů
Moderní teorie finančních trhů
Ekonomické ukazatele ovlivňující tržní cenu
Korelace s akciemi
Flying to Quality,Flying to Safety
Shrnutí o vývoji tržní ceny
Dluhopisové futures kontrakty
3
Conversion Factor , Cheapest to Delivery
Zajištění dluhopisového portfolia pomocí futures kontraktů
Oceňování dluhopisů
Stanovení běžné úrokové sazby pomocí bezkupónových dluhopisů
Oceňování typického kupónového dluhopisu pomocí běžných úrokových sazeb
Stanovení běžné úrokové sazby pomocí kupónových dluhopisů (Bootstapping)
Oceňování typického kupónového dluhopisu pomocí IRS (Interest Rate Swap)
Použitá literatura
4
Úvod
Teorie a praxe dluhopisů pojednává o jednom z nejvýznamnějších investičních
instrumentů finančních trhů.
V textu je vedle pojednání o praktických aspektech nakládání s dluhopisy kladen důraz
i na jejich matematický popis, který je nezbytný pro pochopení všech souvislostí.
V první části jsou ujednoceny a rozvedeny některé záležitosti finanční matematiky,
které jsou v praxi na dluhopisy aplikovány.
Druhá část je podrobným rozborem parametrů dluhopisů, včetně nejrůznějších
užívaných způsobů kalkulace výnosů a citlivosti ceny na úrokovou míru.
V třetí části se zabýváme obchodováním s dluhopisy, jeho riziky, vývojem jejich tržní
ceny a faktory, které ji ovlivňují. Podrobněji se věnujeme i současným modelům finančních
trhů, které lze na vývoj tržní ceny dluhopisů aplikovat.
Ve čtvrté části pojednáváme o oceňování dluhopisů.
V textu se nachází řada řešených příkladů pro lepší porozumění.
Jelikož je dluhopis celosvětovým investičním instrumentem je za českým pojmem
v závorce uveden i příslušný pojem v angličtině.
5
Úvod do matematiky dluhopisů
Spojité úročení
Teorie
Spojité úročení připisuje úrok v nekonečně malých intervalech a je teoretickým
limitním případem, ke kterému lze dospět při zvyšování připisovací frekvence úroků do
nekonečna. Základním vztahem je:
FV  PV  e in
(45)
kde
i……………………
n...............................
PV............................
FV............................
vnitřní výnosové procento, vyjádřené jako úroková míra za období
počet období
současná hodnota (počáteční částka)
budoucí hodnota (zúročená částka)
Vztah je možné odvodit s použitím:
1 

lim  1  
n 
n 

n
 e
následovně (viz též Finanční matematika pro každého):
i 

lim  1 

m 
m 

n m



1 

 lim  1 
m  
m 


i 

m
n
i
 e in
kde
m............................... počet úrokovacích období za období n
Při praktických výpočtech při úročení za určitý počet dní lze vztah (45) modifikovat,
například do podoby (50)
FV  PV  e
ie
d
365
(50)
kde
ie…………………… vnitřní výnosové procento, vyjádřené jako roční (p.a.)
d............................... počet dní úročení při konvenci 1 rok=365 dní
6
Vztah lze odvodit následovně:
ie 



365

lim  1 
m 
m 




d m


1
 lim  1 
m 
365  m

ie







365  m i e

d
ie
365
 e
ie
d
365
Řešené příklady:
Příklad 101
Vypočítejte velikost úroku při spojitém úročení za 122 dní při úrokové sazbě id=0.01% za den
z částky 200000 CZK.
Řešení:
FV  PV  e id d  200000  e 0.0001122  202454.94
Z toho úrok je roven 202454.94-200000 = 2454.94 CZK.
Příklad 102
Vypočítejte velikost úroku při spojitém úročení za 122 dní při úrokové sazbě 0.01% za den z
částky 200000 CZK.
Porovnejte výsledek úročení částky 200 000 CZK za 122 dní při spojitém úročení, úročení
s denním úrokovacím obdobím a jednoduchým úročení. Uvažujte úrokovou sazbu 0.01% za
den.
Řešení:
Spojité úročení podle příkladu 102:
FV  PV  e id d  200000  e 0.0001122  202454.94
Úročení s denním připisováním úroků:
FV  PV  (1  id ) d  200000  (1  0.0001)122  202454.82
Jednoduché úročení:
FV  PV  (1  d  id )  200000  (1  122  0.0001)  202440
Příklad 103
7
Na jakou částku se zúročí 555000 USD spojitým úročením při úrokové sazbě i=3.5% p.a. za
380 dní. Uvažujte, že rok má 365 dní.
Řešení:
FV  PV  e
ie
d
365
 555000 e
0.035
380
365
 575596.26
Příklad 104
Jakou částku obdržím po 18 měsících spojitého úročení, jestliže nejprve uložím 100 EUR a po
13 měsících vyberu 50 EUR, ie=5% p.a. Jakou částku obdržím ve stejném případě při
jednoduchém úročení?
Řešení:
Při jednoduchém úročení bude výsledná částka:
FV  100  (1 
18
5
 0.05)  50(1   0.05)  56.46
12
12
První člen lze interpretovat jako jednoduchým úročením zúročenou částku 100 EUR po 18
měsících a druhý člen jako snížení výsledné částky o 50 EUR včetně úroků za 5 měsíců.
V případě spojitého úročení:
18
FV  100  e12
0.05
5
 50  e12
 0.05
 56.73
Vnitřní výnosové procento a investice
Teorie
Vnitřní výnosové procento je úroková míra, známá též pod pojmem IRR (Intrernal
Rate of Return). Jeho výpočet vyplývá z definice rovnice budoucích diskontovaných
finančních toků, ve které je souvislost mezi současnou hodnotou PV, budoucími finančními
toky CF1, CF2, ... CFn a vnitřním výnosovým procentem i dána vztahem (55). Vnitřní
výnosové procento je ve vztahu vyjádřeno jako úroková míra za období mezi jednotlivými
budoucími finančními toky, které přicházejí v pravidelných časových intervalech.
Typickou interpretací vztahu (55) je investice, kdy investujeme částku o velikosti PV
na n období, ze které nám plynou budoucí finanční toky CF1, CF2, ... CFn. Vnitřní výnosové
procento investice je pak i.
8
PV 
CF 1
CF 2
CF 3
CF n


 ... 
1
2
3
(1  i )
(1  i )
(1  i )
(1  i ) n
(55)
i…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené k časovému období mezi
jednotlivými cash flow, úrokovací období je rovné období mezi dvěma
cashflow
CF1, CF2, ... CFn … budoucí cash flow
PV ………………… současná hodnota
n .............................. počet období do posledního budoucího finančního toku
Souvislost se složeným úročením
Současnou hodnotu PV, kterou může být například investice do dluhopisu, si lze
představit jako součet několika investic o hodnotách PV1, PV2, ... PVn o celkové hodnotě
PV, přičemž každá dílčí investice se zúročí složeným úročením v jeden z budoucích
finančních toků CF1, CF2, ... CFn.. Rovnice (60).
PV  PV1  PV2  PV3  ...  PVn 
CF1
CF2
CF3
CFn


 ... 
1
2
3
(1  i ) (1  i ) (1  i )
(1  i )n
(60)
Vyjádření vnitřního výnosového procenta
Vnitřní výnosové procento lze vyjádřit jako např. roční, denní, měsíční atd. Nejedná se
o bázi výnosového procenta (viz. níže), která vyjadřuje období, po kterém se připíše úrok, ale
pouze o velikost úroku za období, za které je vyjádřeno.
Je-li i vyjádřeno jako roční, pak jeho vyjádření jako měsíční, popřípadě denní je rovno
i/12, popřípadě i/365.
Pro srovnání ve vztahu (63) je idd vyjádřeno jako denní a ve vztahu (75) je id vyjádřeno
jako roční, přičemž se jedná o výnosové procento na denní bázi a platí že idd=365 id.
PV 
CF 1
CF 2
CF 3
CF n


 ... 
365
2 365
3365
(1  i dd )
(1  i dd )
(1  i dd )
(1  i dd ) n 365
(63)
Vnitřní výnosové procento na různé bázi
Složené úročení připisuje úrok jednou za zvolené období, které je v případě vztahu
(55) rovné časovému intervalu mezi budoucími finančními toky. Počet úrokovacích období
lze však měnit v závislosti na jeho délce (báze úrokovacího období), kdy báze může být
roční, měsíční, denní popřípadě spojitá, avšak počet úrokovacích období mezi okamžikem PV
a CF1, CF2, ... CFn. musí být přirozené číslo.
9
Rovnici (55) lze za předpokladu, že časový interval mezi budoucími finančními toky
je jeden rok a jeden rok je i doba je do prvního finančního toku, přepsat například do tvarů
(65), (70), (75), (80). Všechny uvedené možnosti lze považovat za správné.
PV 
CF 1
CF 2
CF 3
CF n


 ... 
1
2
3
(1  i e )
(1  i e )
(1  i e )
(1  i e ) n
(65)
ie …………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na roční bázi
PV 
CF 1
i

 1  p
2




2
CF

i

 1  p
2

2




4
CF
i

 1  p
2

3



6
 ... 
CF
n
i

 1  p
2




(70)
n
ip …………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na půlroční bázi
PV 
CF 1

i  365

 1 d 
365 

CF
2
i d  2  365

 1

365 


CF 3
i  3  365

 1 d 
365 

CF
 ... 
n
i  n 365

 1 d 
365 

(75)
id…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na denní bázi
CF 1
PV 
e
i
365  s
365
CF

e
2  365 
2
is
365
CF

e
3
i
3 365  s
365
CF
 ... 
e
n 365 
n
is
365
(80)
is…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na spojité bázi
Za předpokladu, že CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF přechází vztah (60) na vztah (85)
PV  CF 
1  1  i 
i
n
(85)
Přechod mezi bázemi
10
Přechod mezi bázemi lze uskutečnit pomocí vztahu (88) odvozeného z rovnosti FV (87)
n
PV 1  i e 
ie
i 

 PV  1  d 
365 

i 

 1  d 
365 

n  365
(87)
 365
1
(88)
Dosazením (88) do (65) dostáváme (65)
Jestliže potřebuje převést vnitřní výnosové procento na roční bázi ie na spojitou bázi is,
vyjdeme z rovnice:
1  ie  e is
po úpravě pak:
i s  ln( 1  i e )
Praktické výpočty vnitřního výnosového procenta
Analytický výpočet vnitřního výnosového procenta vede obecně k řešení obecné
rovnice n-tého stupně, která od 5. stupně analytické řešení nemá a je nutné ji řešit numericky.
Souvislost se spořením
Rovnici (65) lze transformovat do tvaru (92), kterou lze interpretovat následovně.
Částku PV necháme úročit složeným úročením po n úrokovacích období. Vždy na konci
období odebereme částku CF1, CF2, ... CFn. až do nulového zůstatku.
PV (1  ir ) n  CF1 (1  ir ) n 1  CF 2 (1  ir ) n  2  CF 3 (1  ir ) n  3  ...  CF n  0
(92)
Souvislost s důchody
Rovnice (55) je též rovnice důchodová, kde CF1, CF2, ... CFn jsou důchodové výplaty a PV
investovaná částka.
Souvislost s reinvesticí CF1, CF2, ... CFn
Rovnici (55) lze taktéž přepsat do podoby (94), kterou lze interpretovat následovně.
11
Levá strana rovnice představuje zúročenou hodnotu PV po n obdobích složeným
úročením s úrokovacím obdobím rovném časovému intervalu mezi jednotlivými budoucími
finančními toky.
Pravá strana rovnice (94) vyjadřuje součet zúročených budoucích finančních toků
složeným úročením, přičemž CF1 se úročí po n-1 období , tedy od počátku jeho vzniku do
konce n-tého období, CF2 se úročí po n-2, opět do konce n-tého období. Situaci je možné
interpretovat jako reinvestici budoucích finančních toků na úrokovou sazbu i do konce n-tého
období.
Jelikož se levá strana rovnice rovná pravé, lze konstatovat, že PV, zúročená složeným
úročením, je rovna součtu složeným úročením zhodnocených budoucích finančních toků o
stejné úrokové sazbě i a stejném úrokovacím období.
PV (1  i ) n  CF 1 (1  i ) n 1  CF 2 (1  i ) n  2  CF 3 (1  i ) n  3  ...  CF n
(94)
Investice v období mezi cash flow
Jestliže mezi počátkem investice a prvním budoucím finančním tokem CF1 není stejně
dlouhé období jako mezi jednotlivými budoucími toky, je nutné ve smyslu vnitřního
výnosového procenta zavést tak dlouhé úrokovací období, aby počet úrokovacích období mezi
současností a CF1 a současně mezi jednotlivými CF bylo přirozené číslo. Řešení bývá obvykle
více.
Je-li například 18 dní do prvního budoucího finančního toku a interval mezi
budoucími toky je 1 rok, lze použít vztah (91) popřípadě (92). Obě možnosti lze považovat za
správné.
PV 
CF 1
i 

 1 d 
365 

18

CF
i 

 1 d 
365 

2
18  365

CF
i 

 1 d 
365 

3
18  2  365
 ... 
CF
n
i d  18  n 365

 1

365 

(91)
id…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na denní bázi
PV 
CF 1
e
i
18  s
365
CF

e
2
i
18  365  s
365
CF 3

e
18  2 365 
is
365
CF
 ... 
e
n
18  n  365 
is
(92)
365
is…………………… vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na spojité bázi
Pro CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF lze vztah (91) zjednodušit na vztah (93).
1
PV 
CF
i

 18
 1 d 
365



i  n 365

 1 d 
365


1
i  365

 1 d 
365


1
(93)
1
12
Investice bez splatnosti
Jestliže nepředpokládáme ukončení investice, je vztah mezi PV, CF1, CF2, ... CF a i
limitní záležitostí pro n jdoucí do nekonečna (94). Investice bez splatnosti má reálnou
interpretaci například na skutečně existující dluhopisy bez splatnosti, popřípadě s extrémní
dobou do splatnosti, anebo například v modelech pro ocenění akcií.
lim PV 
n  oo
CF 3
CF n
CF 1
CF 2


 ... 
1
2
3
(1  i )
(1  i )
(1  i )
(1  i ) n
(94)
Pro CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF
lim PV 
n  oo
CF
ir
(95)
Investice bez splatnosti-investice v období mezi cash flow
Je-li například 18 dní do prvního budoucího finančního toku a interval mezi
budoucími toky je 1 rok, lze použít vztah (96).
lim PV 
n  oo
CF 1
i 

 1 d 
 365 
18

CF 2
 id 
 1 
2 


18  365
CF 3
 id 
 1 
2 

18  2 365
 ... 
CF n
 id 
 1 
2 

18  n  365
(96)
Pro CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF
lim PV 
n  oo
CF
i


 1 d 
365 

18
365  18
i


 1 d 
365 

1

1
1
 CF 
i

 365
 1 d 
365 

i


 1 d 
365 

(97)
365
1
Výnosy s lomenými exponenty
Výnosy s lomenými exponenty nejsou obecně v souladu se složeným úročením a tedy
s konstrukcí vnitřního výnosového procenta, jelikož tímto způsobem prakticky složené
úročení aplikovat nelze. Jejich interpretace je velmi obtížná, přesto se používají např. pro
výpočet RPSN, popřípadě v USA pro výpočet výnosů u dluhopisů. Rovnici (55) by za použití
výnosů s lomeným bylo možné přepsat do podoby (98), která vystihuje například příchod
dvou budoucích cashflow vždy za období 1 rok, předpokládáme-li io vyjádřenou jako roční. io
13
pak odpovídá efektivní úrokové míře složeného úročení, na kterou však úročit prakticky
nelze.
PV 
CF 1
(1  i o )
CF

1
2
2
(1  i o )
2
2
CF 3

(1  i o )
CF
 ... 
3
2
n
(1  i o )
(98)
n
2
Je-li například 5 dní do prvního budoucího finančního toku a interval mezi budoucími
toky je 1/2 rok, lze použít vztah (99).
CF 1
PV 
(1  i od )
CF 2

5
180
(1  i od )

5 180
180
CF 3
(1  i od )
5  2 180
180
CF n
 ... 
(1  i od )
5  n 180
180
(99)
Souvislost lomených exponentů s vnitřním výnosovým procentem
PV 
CF 1
i 

 1 d 
365 

CF

18
i 

 1 d 
365 

2
18  365

CF
i 

 1 d 
365 

3
18  2  365
 ... 
CF
n
i d  18  n 365

 1

365 

(99a)
Rovnici (99a) můžeme pomocí ir vyjádřit jako (99b), popřípadě pomocí iq (99c).
CF 1
PV 
(1  i r )
PV 
CF 1
(1  i r )

18
iq  90

 1  4 


CF 2

18
365
18  365
365
CF 2
18  365
iq 

90
 1  4 




CF 3
(1  i r )
18  2 365
365
CF 3
18  365
iq 

90
 1  4 


CF n
 ... 
 ... 
(1  i r )
18  3365
365
CF n
iq 

 1  4 


18  365
90
(99b)
(99c)
Pro vztahy mezi ir , iq , id platí:
365
ir
i 

 1  d 
365 

ir
i 

  1  q   1
4 

1
(99d)
4
(99e)
14
S využitím výše uvedených vztahů lze vypočítat RPSN. RPSN (roční procentní sazba
nákladů) je úroková sazba na roční bázi. Dochází-li například k pravidelným splátkám jednou
za měsíc, lze počítat vnitřní výnosové procento například v MS Excel na měsíční bázi a
požadované RPSN pak vypočítat jako příslušnou efektivní úrokovou míru.
Kombinované výnosy
V případě kombinovaných výnosů uvažujeme kombinaci složeného a jednoduchého
úročení během doby do posledního cash flow, popřípadě do ukončení doby investice.
Můžeme například uvažovat, že během období do prvního cash flow budeme investici
úročit jednoduchým úročení a po zbytek období pak úročením složeným. Tento přístup je
oblíbený například v případě dluhopisů. Rovnice pro PV pak nabývá podoby (100).
PV 
CF1
d


ikom 
1
 365


CF
2
d


1

i

kom  1 i kom 
 365


CF
3
d


2
1

i

kom  1 i kom 
 365

 ... 
CF
n
d


n 1
1

i

1

kom   i kom 
 365

(100)
ikom………………… kombinovaný výnos (jednoduché a složené úročení) vyjádřený pro
období mezi jednotlivými cahflow
Po úpravách obdržíme:
PV 
1
d


i kom 
 1
 365

CF 2
CF 3
CF n 

CF1  1 ikom   1 ikom 2  ...  1 ikom n1 


(101)
V případě že CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF lze vztah (101) dále zjednodušit na:
PV 
CF
d


i kom 
 1
 365


1 

1
1  i kom 

1
2
1 i kom 
 ... 
a dále zjednodušit na:
PV 
CF
d


ikom 
 1
 365






1
n
1 ikom 
1
1 i kom 

 1

1 

15
1
n 1
1 i kom 



V případě, že budeme uvažovat například pololetní úrokovací období, vztah (100)
přejde na podobu (103):
PV 
CF1
d


ikom_ p 
 1
 365


CF2
d

 ikom_ p
ikom_ p 1
1
2
 365





2
CF3

d

 ikom_ p
i kom 1
1
2
 365





4
 ... 
CFn
d

 ikom_ p
ikom 1
 1
2
 365





n
(103)
ikom_p………………… kombinovaný výnos (jednoduché a složené úročení) na pololetní bázi
vyjádřený pro období mezi jednotlivými cahflow
CF
PV 
d


ikom _ p 
 1
 365

1


 1 ikom _ p 2 n  1 


1

1 
 1 ikom _ p 2

V případě, že budeme uvažovat jednoduché úročení pro první 2 období, vztah (100)
budeme modifikovat následovně:
PV 
CF1
d


ikom 
1
 365


CF
2
 d  365

i kom 
1
365



CF
3
 d  365

i kom 1i kom 
1
365


 ... 
CF
n
 d  365

i kom 1i kom n2
1
365


(102)
PV 
CF
d


i kom 
 1
 365


CF
 d  365

i kom 
 1
365







1
1  i kom 
n 1
1
1  i kom 

 1

1 

(103)
Situace podle vztahu (102) však pravděpodobně nemají žádnou reálnou interpretaci.
Rozdílná úroková míra pro jednotlivá období mezi cashflow
16
Jestliže budeme uvažovat rozdílnou úrokovou míru pro jednotlivá období i1, i2, i3... in,
vztah (55) můžeme přetransformovat do podoby:
PV 
CF 1
CF 2
CF 3


 ...
1
(1  i1 )
(1  i1 )( 1  i 2 )
(1  i1 )( 1  i 2 )( 1  i 3 ) 2
(109)
... 
CF n
(1  i1 )( 1  i 2 )( 1  i 3 )...( 1  i n )
Jestliže budeme například uvažovat jen 2 rozdílné sazby i1, i2 pro například 10 období
mezi cashflow, přičemž ke změně dojde na konci 5. období:
PV 

CF 1
CF 2
CF 5
CF 6

 ... 


1
2
5
(1  i1 )
(1  i1 )
(1  i1 )
(1  i1 ) 5 (1  i 2 )
CF 7
CF 10
 ... 
5
2
(1  i1 ) (1  i 2 )
(1  i1 ) 5 (1  i 2 ) 5
(111)
V případě že CF1 = CF2 = CF2 =...= CFn =CF přechází (111) na:
1  (1  i1 )  5
1  (1  i 2 )  5 
1
PV  CF 



i1
(1  i1 ) 5
i2


Rozdílná úroková míra pro jednotlivá cashflow po celou dobu investice
Jestliže budeme uvažovat rozdílnou úrokovou míru pro jednotlivá cashflow CF1, CF2,
... CFn pro celé období investice vztah (55) můžeme přetransformovat do podoby:
PV 
CF 1
CF 2
CF 3
CF n


 ... 
1
2
3
(1  i1 )
(1  i 2 )
(1  i 3 )
(1  i n ) n
(112)
Jedná se o případ, kdy uvažujeme pro každé jednotlivé cashflow jinou úrokovou
sazbu, která je platná pro celé období investice. Nezaměňovat s rozdílnou úrokovou mírou pro
jednotlivá období. (viz. kapitola Rozdílná úroková míra pro jednotlivá období).
17
Příklad 201
Uvažujme investici o velikosti 1000 000 CZK, která na konci každého měsíce přináší 100 000
CZK po dobu jednoho roku. Vypočítejte vnitřní výnosové procento na měsíční, roční a
spojité bázi. Každé z nich vyjádřete jako měsíční a roční.
Řešení
Vnitřní výnosové procento na měsíční bázi, vyjádřené jako měsíční, vypočítáme z rovnice:
1000000

100000
100000
100000
100000


 ... 
1
2
3
(1  i mm )
(1  i mm )
(1  i mm )
(1  i mm ) 12
kde
imm……………………vnitřní výnosové procento vyjádřené jako měsíční na měsíční bázi
Vzhledem ke komplikovanosti analytického řešení můžeme použít aplikaci Microsoft Excel a
funkci Míra výnosnosti s parametry (-1000 000, 100 000, 100 000,..., 100000), pomocí které
vypočítáme
imm=2.92%
Vnitřní výnosové procento na měsíční bázi, vyjádřené jako roční, zjistíme z rovnice:
1000000

100000
i 

1  m 
12 

1

100000
i 

1  m 
12 

2

100000
i 

1  m 
12 

3
 ... 
100000
i 

1  m 
12 

12
kde
im……………………vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na měsíční bázi
Vzhledem k již vypočítanému imm vypočítáme im podle vztahu im = imm ·12, který vyplývá
z předešlých dvou rovnic a logiky věci.
im=35.04%
Vnitřní výnosové procento na roční bázi, vyjádřené jako roční, můžeme zjistit z rovnice:
1000000

100000
1
12
1  i e 

100000
2
12
1  i e 

100000
3
12
1  i e 
 ... 
100000
12
1  i e 12
Zde se však nabízí jednodušší cesta, kterou je využití vztahů pro přechod mezi bázemi, podle
kterého:
18
12
ie
i 

 1  m 
12 

ie
0 . 3504 

 1 

12


1
12
 1  41 . 25 %
Jestliže chceme vnitřní výnosové procento na roční bázi vyjádřené jako roční vyjádřit jako
měsíční, pouze ho vydělíme dvanácti, dostáváme iem = ie /12=41.25/12 =3.44%
Vnitřní výnosové procento na spojité bázi, vyjádřené jako roční, vyplývá z rovnice:
1000000

100000
e
is
12

100000
e
2 i s
12

100000
e
3 i s
12
 ... 
100000
e
12  i s
12
kde
is……………………vnitřní výnosové procento vyjádřené jako roční na spojité bázi
Opět využijeme vztahů pro přechod mezi bázemi:
i s  ln( 1  i e )  ln( 1  0 . 4125 )  34 . 53 %
Chceme-li is vyjádřit jako měsíční, pak ism = is /12=34.53/12= 2.88 %
Příklad 202
Srovnejte možnosti investování částky o velikost PV na dobu 5 let
a) na termínovaný vklad s ročním připisováním úroků a úrokovou sazbou i % p.a.
b) do investice, která přináší na konci každého roku postupně budoucí finanční toky CF1,
CF2, ... CF5 a její vnitřní výnosové procento je i % p.a.
Při srovnání neuvažujte kreditní rizika, ani daňové záležitosti.
Řešení:
Z rovnice (94) plyne, že obě alternativy přinesou po 5 letech stejný finanční efekt za
předpokladu, že budoucí finanční toky z investice CF2, ... CF5 budou reinvestovány např. na
termínované vklady s ročním připisováním úroků a stejnou úrokovou sazbu i % p.a.
Příklad 203
Vypočítejte vnitřní výnosové procento investice ie na roční bázi vyjádřené jako roční, která na
konci každého roku přinese postupně cashflow 20, 22, 25, 28, 15, 50 (tis. USD). Počáteční
19
investovaná částka je 120 tis. USD a do prvního cashflow zbývá 63 dní. Dále uvažujme, že
rok má 360 dní.
Řešení:
Hledané ie vyplývá z rovnice:
120 
20
63
360
22

1  i e 
1  ie 
63  360
360
25

1  i e 
63  2  360
360
28

1  ie 
63  3 360
360
15

1  ie 
63  4 360
360
50

1  i e 
63  5 360
360
Jestliže chceme pro výpočet ie použít například Microsoft Excel funkci Míra výnosnosti, je
vhodné si rovnici přepsat do podoby:
120 
20
1  idd 63

22
1  idd 63  360

25
1  idd 63  2 360

28
1  idd 63  3360

15
1  idd 63  4 360

50
1  idd 63  5 360
kde
idd ……………………vnitřní výnosové procento vyjádřené jako denní na denní bázi
S použitím Míry výnosnosti s parametry (-120, 0,..0, 20, 0,..0, 22, 0,..0, 25, 0,..0, 28, 0,..0,
15, 0,..0, 50), kdy ve dnech, kdy není žádný cashflow dosazujeme 0, obdržíme:
idd = 0.027%
Dále pak s využitím výše uvedených vztahů dopočítáme ie.
id = 0.027·360=9.72%
ie
0 . 0972 

 1 

360


360
 1  0 . 1021
ie = 10.21%
20
Parametry dluhopisů
Pro další úvahy budeme značit:
JH ……………….... jmenovitá hodnota dluhopisu (vyjádřena jako desetinné číslo)
P ………………...... celková cena dluhopisu (dirty price) v jednotkách měny
Pclean ……………… kotovaná cena dluhopisu (clean price) v jednotkách měny
PP ……………....… prodejní cena dluhopisu (dirty price) v jednotkách měny
PP_clean …………….. prodejní cena dluhopisu (clean price) v jednotkách měny
PJH ………………... cena dluhopisu v procentech z JH (vyjádřena jako desetinné číslo)
c ………………...... kupónová výplata (platba) dluhopisu (v jednotkách měny)
cs ………………...... kupónová sazba dluhopisu (vyjádřena jako desetinné číslo)
f ………………...... frekvence výplaty kupónu
n …………………... počet zbývajících kupónových výplat od pořízení dluhopisu do
splatnosti
m ………………….. počet úrokovacích období za období mezi výplatami kupónu
i ……………….….... úroková sazba s ročním připisováním úroků, vyjádřena jako
desetinné číslo za období mezi výplatami kupónů a na bázi rovné této
době (úrokovací období je rovné období mezi výplatami kupónů)
ie ……………….…... úroková sazba s ročním připisováním úroků (na roční bázi),
vyjádřena jako roční (desetinné číslo)
ip ……………….…... úroková sazba s pololetním připisováním úroků (na pololetní bázi),
id ……………….…....úroková sazba s denním připisováním úroků (na denní bázi),
iq ……………….…... úroková sazba se čtvrtletním připisováním úroků (na čtvrtletní bázi),
O ……………….….. celkový objem dluhu, který vlastník obdrží při splatnosti dluhopisu,
O= počet kusů dluhopisu x JH
d ……………….….. počet dní do nejbližší kupónové výplaty (počítá se od následujícího
dne)
Obecná charakteristika typického dluhopisu
Dluhopis je investiční instrument, jehož základní charakteristiky jsou:
 dluhopis je cenný papír
 právo držitele dluhopisu představuje zejména právo na splacení kupónových
plateb a jmenovité hodnoty (nominální hodnoty) emitentem dluhopisu, další
práva souvisí zejména s akciemi emitenta
 držení dluhopisu nezakládá vlastnická práva na emitentovi
 dluhopis je vedle akcií nejvýznamnější cenný papír finančních trhů
 dluhopisy (především státní) se obchodují ve značných objemech na
mimoburzovních finančních trzích
 operace s dluhopisy jsou ve většině zemí legislativně upraveny
 legislativní úprava ČR – Zákon o dluhopisech
21
Základní parametry dluhopisů
 označení dluhopisu (bond designation)
 konvence pro počítání časových intervalů (day count convention)
 charakter úrokového výnosu, popř. kupónová sazba, od které se odvozuje
velikost kupónové platby (výplaty)(coupon rate)
 frekvence výplaty kupónových plateb (frequency of coupon paymant)
 jmenovitá (nominální) hodnota (nominal, par, face value)
 doba do splatnosti (term to maturity)
 doba života dluhopisu (time of living of a bond)
 denominace (denomination)
 emitent, typ emitenta (issuer, debtor)
 další práva držitele a emitenta
 zajištění proti inflaci
 forma dluhopisu
 způsob převoditelnosti
 cena/výnos (price/yield)
Označení dluhopisu
Při nakládání s dluhopisy se setkáváme zpravidla nejprve s jejich běžným
označením, které slouží jednak k rychlé identifikaci emitenta a jednak poskytuje základní
informace o kupónové sazbě a splatnosti.
Státní dluhopisy České republiky jsou označovány jako CZGB, například:
CZGB 4.60 08/18 je český státní dluhopis s pevnou kupónovou sazbou 4.6 a se splatností
v srpnu 2018. Další identifikací může být např. ISIN, v tomto případě: CZ0001000822.
Přehled vybraných užívaných označení emitenta v běžném označení dluhopisu pro
státní dluhopisy některých států:

UST, US, T (US Trasury Bond), státní dluhopis USA
T-Bills, státní pokladniční poukázky USA (splatnost do 1 roku)
T-Notes, státní dluhopisy USA (splatnost do 10 let)
T-Bonds, státní dluhopisy USA (splatnost do 30 let)
TIPS (Treasury Inflation-Protected Securities),státní dluhopisy USA se zajištěním
proti inflaci
STRIPS (Separate Trading of Registered Interest and Principal Securities), státní
dluhopisy USA vzniklé separací kupónů a jmenovité hodnoty do bezkupónových
dluhopisů

DBR, Bund (Deutschland Bundesrepublic Bund), německý státní dluhopis
Bubill, německé státní pokladniční poukázky
Schätze, krátkodobé německé státní dluhopisy (splatnost do 2 let)
Bobls, střednědobé německé státní dluhopisy (splatnost do 5 let)
Bunds, německé dluhopisy (splatnost do 10 let)
Buxl, dlouhodobé německé dluhopisy (splatnost zhruba do 30 let)

JGB (Japanese Government Bond), japonský státní dluhopis
22

UK Gilt, státní dluhopis Velké Británie (označení zhruba od roku 2005)
UK Stock, státní dluhopis Velké Británie (označení zhruba do roku 2005)
Gilt Strips, státní dluhopisy Velké Británie vzniklé separací kupónů a jmenovité
hodnoty do bezkupónových dluhopisů

GKO (Государственное Краткосрочное Обязательство), krátkodobé bezkupónové
ruské státní dluhopisy
OFZ (Облигации Федерального Займа), kupónové ruské státní dluhopisy

CGB (Canadian Goverment Bond), kanadský státní dluhopis, s označením CGB se ale
též setkáváme v případě Chinese Government Bonds, čínských státních dluhopisů

BTP (Buoni del Tesoro Poliennali), italský státní dluhopis

OAT (Obligations Assimilables du Trésor), francouzský státní dluhopis
Korporátní dluhopisy v označení emitenta nesou název společnosti.
Příklady některých vybraných užívaných označení emitenta pro korporátní dluhopisy:



FORD MO CO (korporátní dluhopis společnosti Ford Motor Company)
MERO ČR (označení korporátního dluhopisu společnosti MERO ČR,a.s)
ČEZ (označení korporátního dluhopisu společnosti ČEZ,a.s)
Vedle označení emitenta je součástí běžného označení dluhopisu i informace o
velikosti kupónové sazby a splatnosti. Na obr. 2.3 je uvedeno běžné označení německého
státního dluhopisu “DBR” s kupónovou sazbou 4.5 % a se splatností v lednu 2013. Na obr.
2.6 je uvedeno běžné označení státního dluhopisu USA “T” s kupónovou sazbou 3 a 1/8 a se
splatností v září 2013.
Kromě běžného označení dluhopisu se setkáváme s označením různými kódy je např.
Common Number anebo ISIN. Na obr. 2.3 je takové označení v poli “IDENTIFIERS”, na obr.
2.6 je takové označení v poli “IDENTIFICATION”.
Konvence pro počítání časových intervalů (Day Count Convention)
Konvence pro počítání časových intervalů mají rozsáhlé uplatnění ve finanční
matematice v oblasti úročení a všech navazujících aplikací, kde je nutné stanovit dohodu o
počtu dní za určitá časová období. Vzhledem k dané skutečnosti, že každý rok, stejně jako
každý měsíc, nemá stejný počet dní, vznikly různé snahy o zjednodušení přístupu k počítání
dní v daném intervalu. Pro jednoduchost by zřejmě bylo nejvhodnější zvolit pevnou délku
roku jako 360 dní, jelikož 360 je dělitelné 2, 4, 12 a pololetí by pak zahrnovalo 180 dní,
čtvrtletí 90 a měsíc 30 dní. Takový způsob však na druhou stranu vnáší do systému prvky
nespravedlnosti, když například za měsíc únor bychom obdrželi stejný úrok jako za měsíc
leden, přičemž dlužník by mohl s penězi nakládat v lednu déle.
23
Obr.2.3 Popis dluhopisu, zdroj: Bloomberg
Obr.2.6 Popis dluhopisu, zdroj: Bloomberg
24
U dluhopisů se konvence uplatňují při výpočtech všech výnosů za určité časové
období a stejně tak pro výpočet úrokového výnosu (AÚV).
Při výpočtu počtu dní v časovém intervalu je podstatné datum počátku intervalu
(from), datum konce intervalu (to) a počet dní v celých měsících intervalu. Pro výpočty
výnosů a AÚV se do počtu dní obvykle první, anebo poslední den intervalu, nezapočítává.
V případě obchodů s dluhopisy těmto okamžikům odpovídají datumy vypořádání
obchodu (settlement days)
Nejdůležitějšími konvencemi jsou:

30/360 US (Bond basis, 360/360, 30U/360)
Konvence se používá pro korporátní dluhopisy USA. Platí:
- Jestliže počátek intervalu připadne na 31. den v měsíci, pak se tento den
posune na 30. den v měsíci.
- Jestliže konec intervalu připadne na poslední den v únoru, pak se tento den
- Jestliže konec intervalu připadne na 31. den některého měsíce, pak se posune
na 30. den v měsíci.
- Každý celý měsíc uvnitř intervalu má 30 dní.
- Každý celý rok uvnitř intervalu má 360 dní.

30E/360 (30/360, ICMA 30S/360, Eurobond basis (ISDA 2006), Special German)
Platí:
nijak nepřizpůsobuje konvenci.
- Jestliže konec intervalu připadne na 31. den některého měsíce, pak se posune
30. den v měsíci.

30E/360 ISDA (30E/360 ISDA, Eurobond basis (ISDA 2000), German)
Platí:
- Jestliže konec intervalu připadne na 31. den některého měsíce a první den byl
posunut na 30.den, posune se i konec intervalu na 30. den v měsíci.

30E+/360
Platí:
25
-
Jestliže konec intervalu připadne na 31. den některého měsíce, posune se na
první den dalšího měsíce.
Každý celý měsíc uvnitř intervalu má 30 dní.
Každý celý rok uvnitř intervalu má 360 dní.
V případě, že budeme vyjadřovat poměrnou část intervalu k délce roku (např. pro
výpočet úroků za necelou část roku při použití úrokové sazby vyjádřené jako roční), pak do
jmenovatele vkládáme pro výše uvedené konvence 360. Poměrná část pak bude vyjádřena
jako:
D
360
kde D je počet dní v intervalu v souladu s výše uvedenými konvencemi.
Další konvence:
 Actual/Actual ISDA(Actual/Actual, Act/Act, Actual/365, Act/365)
Platí:
Počítá se skutečný počet dní v intervalu (podle juliánského kalendáře). Jestliže interval
obsahuje přestupné i nepřestupné roky, budeme vyjadřovat poměrnou část intervalu
k délce roku jako:
D1
D
 2
365 366
kde D1 je počet dní v intervalu během nepřestupného roku a D2 je počet dní v intervalu
během přestupného roku.
 Actual/365 Fixed (Act/365 Fixed, A/365 Fixed, A/365F, English)
Platí:
Počítá se skutečný počet dní v intervalu (podle juliánského kalendáře) a poměrná část
pak bude vždy vyjádřena jako:
ACT
365
kde ACT je skutečný počet dní v intervalu.
 Actual/360 (Act/360, A/360, French)
Platí:
pak bude vždy vyjádřena jako:
ACT
360
 Actual/365L (ISMA-Year)
Platí:
26
pak bude v případě, že časový interval zahrnuje 29. únor, vyjádřena jako:
ACT
366
v ostatních případech jako:
ACT
365
V praxi se lze setkat ještě s dalšími konvencemi, které upravují zejména jmenovatele
v poměrném vyjádření k celkové délce období, jestliže například mezi kupónovými výplatami
není celý rok:
 Actual/Actual ICMA (Actual/Actual, Act/Act ICMA, ISMA-99, Act/Act ISMA)
Poměrná část bude vyjádřena jako:
ACT
f
ACT
kde f frekvence kupónových výplat.
Charakter úrokového výnosu
Rozdělení dle charakteru úrokového výnosu:




s pevnou úrokovou sazbou
s pohyblivou úrokovou sazbou (kupón vázaný na LIBOR, PRIBOR)
bez úrokové sazby, zerobondy (diskontované dluhopisy)
svlečené dluhopisy (Strip Bonds)
Jedná se o dluhopisy, u kterých se oddělily kupóny od jmenovité hodnoty a
obchodují se zvlášť jako bezkupónové dluhopisy
Vztah mezi kupónovou sazbou a kupónovou výplatou
Jedním ze základních parametrů typických kupónových dluhopisů je frekvence
výplaty. Pomocí frekvence výplaty a znalosti kupónové sazby můžeme snadno vypočítat
velikost kupónové výplaty podle vztahu:
27
c
cs
 JH
f
Jestliže je perioda výplaty ½ roku, bude frekvence rovna 2.
Doba mezi výplatami kupónů se taktéž nazývá kupónové období nebo kupónová
perioda.
Odchýlená perioda prvního kupónu (Odd First Coupon)
Dluhopis, jehož první kupónová perioda je kratší než zbylé kupónové periody je
označován jako dluhopis s odd short first coupon. Dluhopis, jehož první kupónová perioda je
delší než zbylé kupónové periody je označován jako dluhopis s odd long first coupon.
Odlišnosti v kupónových periodách ovlivňují výpočet výnosu (viz. kapitola Kalkulace výnosů
z dluhopisu).
Vyjádření ceny
V závislosti na geografickém umístění trhu dochází k různým specifickým
odlišnostem v označování jednotlivých emisí i způsobu zápisu ceny. Například v USA se
užívá systém 1/32 v Evropě 1/10 (decimální) systém. („102-3+” v USA odpovídá evropské
ceně = 102+3/32+1/64).
Splácení kupónových výplat (splátkový kalendář)
Při řešení různých úloh týkajících se dluhopisů je vhodné znázornit strukturu
budoucích cash flow v čase.
U typického kupónového dluhopisu se setkáváme se strukturou budoucích cash flow
dle obr. 2.9. Důležité je, že při splacení JH dochází taktéž k výplatě posledního kupónu. Bod
P označuje okamžik pořízení dluhopisu (Purchase Date), časová vzdálenost mezi jednotlivými
kupónovými výplatami (kupónové období, kupónová perioda) bývá stejná. Časový interval
mezi P a nejbližší kupónovou výplatou může být libovolná část roku, která se zpravidla
počítá ve dnech. Speciální případ je Odd First Coupon (viz. kapitola Odchýlená perioda
prvního kupónu).
Na obrázku 2.12 je struktura budoucích cash flow pro dluhopis bez splatnosti.
Obr.2.9 Struktura budoucích cash flow, zdroj: vlastní zpracování
28
Obr.2.12 Struktura budoucích cash flow, zdroj: vlastní zpracování
Doba do splatnosti (Time/Term to Maturity)
Doba do splatnosti dluhopisu je jedním z nejpodstatnějších parametrů, od které se
odvíjí výnos do splatnosti, citlivost na změnu úrokové sazby a tím i volatilita tržní ceny a
rizika při držbě dluhopisu.
Doba do splatnosti se počítá jako časové období od pořízení dluhopisu do jeho
splatnosti.
Podle doby do splatnosti se dluhopisy dělí na:
 krátkodobé (zhruba do 2 let)
 střednědobé (zhruba do 5 až 10 let)
 dlouhodobé (nad 10 let)
 s extrémně dlouhou dobou do splatnosti (nad 100 let)
 bez splatnosti –věčná renta
Dělení dle doby do splatnosti není jednotné a v závislosti na regionálních zvyklostech
se může lišit.
Na dluhopisy s extrémně dlouhou dobou do splatnosti lze pohlížet jako na dluhopisy
bez splatnosti. Příkladem může být dluhopis emitovaný společností West Shore Railroad se
splatností v roce 2361.
Dluhopisy bez splatnosti (Perpetual Bomds)
Dluhopisy bez splatnosti nejsou pouze zajímavou teoretickou konstrukcí, ale lze
s nimi skutečně obchodovat.
Nyní si uvedeme některé základní charakteristiky, se kterými se v praxi setkáváme
v souvislosti s dluhopisy bez splatnosti:




označují se jako Perpetuals, popř. Perps
nemají datum splatnosti
obvykle patří mezi podřízený dluh (subordinate bonds), takže v případě likvidace
emitenta mají nižší prioritu při uspokojení věřitelů
obvykle mají opci (call opci), takže emitent může za určitých podmínek emise splatit
předčasně, ne ale dříve než za 5 let od datumu emise (Call Protection Period)
Nejznámějším příkladem jsou britské UK Consols (Consolidated Annuities). Pro
zajímavost uvedeme některé údaje z jejich historie:

označují se jako Consolidated Stock
29
 za první datum emise je uváděn rok 1751
 emise mají call opci, ale není pravděpodobné, že by byly v dohledné budoucnosti
splaceny
 kupónové platby se vyplácejí 4x počne
 kupónová sazba byla několikrát snížena (1752-z 3.5 na 3 %, 1888 z 3 na 2.75%, 1903z 2.75 na 2.5%)
Doba života dluhopisu (Time of Living)
Doba života dluhopisu představuje časové období od jeho emise po splatnost. Z
hlediska praxe není tento údaj podstatný při srovnání například s důležitostí doby do
splatnosti.
V praxi se přesto můžeme setkat se situacemi, kdy doba života dluhopisu nabývá
významu. Jedná se o pojmy “On-the-Run“ a “Off-the-Run“ a používá se zejména
v souvislosti se státními dluhopisy USA. “On-the-Run“ jsou dluhopisy, které byly emitovány
v nedávné době vzhledem k okamžiku pořízení a jejich likvidita je vyšší než u emisí “Offthe-Run“, které byly emitovány podstatně dříve. Vyšší likvidita souvisí s umísťováním nově
emitovaných dluhopisů do portfolií a celkově s vyšší obchodní aktivitou s těmito tituly. Vyšší
likvidita pak souvisí s jejich nepatrně nižším výnosem jako “daň“ za likviditu.
Denominace
Denominace dluhopisu nám říká v jaké měně bude držitel dluhopisu pobírat případné
kupónové výplaty a jmenovitou hodnotu. Je zřejmé, že denominace úzce souvisí s měnovým
rizikem.
Ve spojení s denominací dluhopisů souvisí některá označení emisí, se kterými se
v praxi setkáváme:

Eurobonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v jiné měně než je domácí
měna státu, ve kterém jsou emitovány. V názvu nesou označení měny, ve které jsou
denominovány. Např. Eurodollar jsou Eurobondy denominované v USD, vydané mino
USA, společností která nemá sídlo v USA. Euroyen jsou Eurobondy denominované
v JPY (Japonský jen). Eurobondy jsou daňově zvýhodněné.

Yankee bond s
jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v USD, vydávané v USA
zahraniční společností

Kangaroo bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v AUD (v Australských
dolarech), vydávané v Austrálii zahraniční společností

Maple bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v Kanadském dolaru, vydávané
v Kanadě zahraniční společností
30

Samurai bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v JPY (v Japonském jenu) ,
vydávané v Japonsku zahraniční společností

Uridashi bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v JPY (v Japonském jenu) ,
vydávané v Japonsku a určené pro retailové investory

Shibosai bonds
privátní emise v Japonsku, které jsou určeny pro institucionální investory a banky

Shogun bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v JPY (v Japonském jenu),
vydávané v Japonsku zahraniční společností nebo cizí vládou

Bulldog bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v GBP (v Britské libře),
vydávané ve Velké Británii zahraniční společností nebo cizí vládou

Matrioshka bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v Ruském rublu, vydávané
zahraniční společností v Rusku

Arirang bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které jsou denominovány v Korejském womu, vydávané
zahraniční společností v Jižní Koreji

Kimchi bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v Korejském womu,
vydávané zahraniční společností v Jižní Koreji

Formosa bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v Taiwanském dolaru,
vydávané zahraniční společností na Taiwanu

Panda bonds
jsou mezinárodní dluhopisy, které nejsou denominovány v čínském Jüanu (též
renminbi-denominated), vydávané zahraniční společností v Číně
Emitent, typ emitenta (issuer, debtor)




státní
korporátní
komunální (emitentem je uzemní samosprávný celek)
bankovní dluhopisy (někdy považovány za korporátní dluhopisy)
31


hypoteční zástavní listy (pohledávkami z hypotečních úvěrů)
CDO (Collateralized Debt Obligation)
Další práva držitele a emitenta






vyměnitelné dluhopisy (právo na výměnu dluhopisu v době splatnosti za
akcie emitenta)
prioritní dluhopisy (právo na přednostní upisování akcií emitenta)
opční dluhopisy (warrant), právo na nákup akcií emitenta
dluhopisy s call opcí
dluhopisy s put opcí
podřízené dluhopisy (pohledávky z těchto dluhopisů jsou při likvidaci
společnosti uspokojeny až na posledním místě)
Zajištění proti inflaci (Inflation Indexed Bonds, Iinflation-Linked Bonds)
Některé dluhopisy v sobě mají vestavěnou ochranu proti inflaci v různé podobě. Za
zmínku stojí zejména:


TIPS (Inflation Protected Securities)
I-Bonds
Základními rysy TIPS jsou:










státní dluhopisy USA, které investorovi poskytujou ochranu proti inflaci, ale i
deflaci
nízké investiční riziko
jmenovitá hodnota roste s inflací
jmenovitá hodnota klesá s deflací
při splatnosti obdrží vlastník dluhopisu buď inflačně navýšenou jmenovitou
hodnotu, anebo původní jmenovitou hodnotu, podle toho, která je vyšší
inflace se aktualizuje podle Consumer Price Index (CPI)
úroková sazba se nemění,
výplata kupónu se mění, jelikož je úměrná součinu kupónové sazby a jmenovité
hodnoty (která se mění s vývojem CPI)
kupón je vyplácen pololetně
splatnost je 5, 10, and 20-let při emisi
Základními rysy I-Bonds jsou:



státní dluhopisy USA, které investorovi poskytujou ochranu proti inflaci
jmenovitá hodnota zůstává narozdíl od TIPS konstantní
úrokový výnos má dvě složky:
- fixní (může být i nulová)
- pohyblivou (mění se 2x ročně podle CPI )
32
Příklad:
Nakoupíme TIPS za 1000 000 USD ve jmenovité hodnotě, s kupónovou sazbou 3.3 % p.a.
CPI pololetně vzroste o 1 %. O kolik USD pololetně vzrostl úrokový výnos? Frekvence
výplaty kupónu je pololetní.
Řešení:
Úrokový výnos před nárůstem CPI: 1000 000·0.033·0.5=16500, úrokový výnos po půl roce:
1000 000·1.01·0.033·0.5=16665, tedy o 165 USD.
Dalšími dluhopisy s ochranou proti inflaci jsou například:



Index-Linked Gilt (Velká Británie)
Bund index (Německo)
JGBi (Japonsko)
Forma dluhopisu


listinné (plášť + kupónový arch)
dematerializované, zaknihované
Způsob převoditelnosti



na majitele (doručitele)
na jméno
na řad-převoditelné indosamentem (rubopisem) a předáním
Vztah cena/výnos
Vztah mezi cenou a výnosem pro dluhopis s konečnou dobou do splatnosti je
znázorněn na obr. 2.15. Na svislé ose je cena P, na vodorovné pak výnos z dluhopisu do
splatnosti (podrobněji v kapitole Kalkulace výnosů u dluhopisů). Jestliže je výnos do
splatnosti roven nule, pak celková cena pořízení musí být rovna součtu všech budoucích
cashflow, tedy všech případných kupónových plateb plus jmenovitá hodnota.
Vztah mezi cenou a výnosem pro dluhopis bez splatnosti je znázorněn na obr. 2.18 .
Narozdíl od dluhopisu s konečnou dobou do splatnosti je pro výnos rovný nule cena
nekonečně velká, neboť odpovídá součtu nekonečně mnoha cashflow.
Křivka je obecně sestupná a konvexní. Přesný tvar se pak odvíjí od typu výnosu, který
počítáme, parametrů dluhopisu a okamžiku pořízení.
Při výnosu zvětšujícím se do nekonečna, limituje cena k nule.
Lze konstatovat, že dva rozdílné dluhopisy mají různé tvary křivek cena/výnos.
33
S tvarem křivky též úzce souvisí citlivost ceny na změnu výnosu do splatnosti. V
prvním přiblížení lze podle tvaru křivky usoudit, že citlivost se zvětšuje s klesajícím výnosem.
Jinak řečeno, při stejné změně výnosu pozorujeme větší výchylku v ceně v oblasti nižších
úrokových sazeb.
Obr. 2.15 Graf ceny v závislosti na výnosu u dluhopisu se splatností, zdroj: vlastní zpracování
Obr.2.18 Graf ceny v závislosti na výnosu u dluhopisu bez splatnosti, zdroj: vlastní zpracování
34
Obr. 2.21 Výnosová analýza dluhopisu, zdroj: Bloomberg
Obr. 2.24 Výnosová analýza dluhopisu, zdroj: Bloomberg
35
Kalkulace výnosů u dluhopisů
Výnos z dluhopisu je obecně míra, která vyjadřuje vztah mezi pořizovací cenou a
velikostí plateb obdržených po dobu života dluhopisu.
Výnos lze definovat téměř jakýmkoliv předpisem, podstatná je ovšem interpretace a
návaznost definovaného výnosu na reálnou ekonomiku. Ke každému uváděnému výnosu z
dluhopisu je tudíž pro správnou interpretaci podstatná informace o jaký výnos se jedná.
U dluhopisu je taktéž nutné respektovat, že celkový výnos je dosažen jednak
pobíráním pravidelných úrokových plateb, zahrnovaných pod označení - úrokový výnos a
jednak rozdílem mezi pořizovací a prodejní cenou, označovaný jako kapitálový výnos.
V případě držby dluhopisu do splatnosti je prodejní cenou JH.
Následně je stručně podán přehled nejpoužívanějších výnosů u dluhopisu (některé
jsou zachyceny na obr 2.21, 2.24):

výnos do splatnosti (Yield to Maturity), ISMA Method
Vychází ze struktury IRR (Internal Rate of Return), taktéž označovaný jako
vnitřní výnosové procento, figuruje v rovnici diskontovaných budoucích
finančních toků, používanou obecně pro posouzení výnosu z jakékoliv
investice, která přináší budoucí finanční toky v různých časových horizontech,
avšak ve stejných časových intervalech. Interpretace odpovídá procesu, kdy se
počáteční investovaná částka rozdělí na několik částí, přičemž každá se zúročí
na jeden z budoucích příjmů složeným úročením s úrokovacím obdobím
rovným intervalu příchodu jednotlivých plateb a úročí se počet období, za které
příjem obdržíme.
Pro dluhopis s pevnou kupónovou sazbou a roční kupónovou platbou o
velikosti c, o jmenovité hodnotě JH, splatným přesně za 4 roky, pořízený za
cenu P, vypočítáme roční vnitřní výnosové procento i (jako desetinné číslo) ze
vztahu (201):
P
c
c
c
c  JH



2
3
(1  ie ) 1  ie 
1  ie  1  ie 4
(201)
obecně pro n kupónových plateb:
P
c
c
c
c  JH


 ... 
2
3
(1  ie ) 1  ie 
1  ie 
1  ie n
(201b)
Z výše uvedeného vztahu taktéž vyplývá, že reinvestujeme-li kupónové
platby na složené úročení s úrokovou sazbou i a s úrokovacím obdobím 1 rok,
pak celkový příjem za dobu držení dluhopisu bude stejný, jako když částku P
na počátku uložíme na stejný typ úročení na celé období držení dluhopisu.
Jestliže do splatnosti zbývá méně než jedno kupónové období:
P
c
(1  ie )
d
365

c
(1  ie )
d  365
365
36

c
(1  ie )
d  2365
365

c  JH
(1  ie )
d  3365
365
(201c)
obecně pro n kupónových plateb:
P
c
(1  ie )
d
365
c

(1  ie )
d 365
365
c

(1  ie )
d  2365
365
 ... 
c  JH
(1  ie )
d ( n1)365
365
(201d)
Často je možné se setkat s úpravou vztahu (201d) do podoby:
P
c
(1  ie )
d
365
JH 

1
 1
1
c 



...


1
2
(1  ie ) ( n1) 
 (1  ie ) (1  ie )


(201e)
Jestliže do nejbližší výplaty kupónu zbývá například 100 dní, výplata je
jednou za rok, do splatnosti zbývají 4 výplaty a používáme konvenci ACT/365,
pak můžeme použít vztah (202), založený na připisování úroků na denní bázi
a příslušnou úrokovou míru, která odpovídá například ročnímu připisování
úroků, spočítat jako efektivní úrokovou míru.
P
c
c
c
c  JH



i
i
i
i
(1  d )100 (1  d ) 465 (1  d ) 830 (1  d )1195
365
365
365
365
(202)
Mezi ie a id platí následující vztah ve smyslu (99d), jestliže používáme
konvenci 1 rok=365 dní:
ie
i 

 1  d 
365 

365
1
Předpokládáme, že rok má 360 dní a jedno čtvrtletí dní 90.
Jestliže chceme rovnici zapsat s použitím iq, dostáváme:
P 
c
18
i 

 1  q  90
4 


c
18  365
i 

90
 1  q 
4 

Pro vztahy mezi ie , iq platí:
37

c
18  365
i 

90
 1  q 
4 

 ... 
c  JH
i

 1  q
4




18  365
90
ie

iq 


  1 
4


4
1
US Street Convention
Používá konstrukci IRR, avšak namísto vnitřního výnosového procenta na
roční bázi, používá pro vyjádření výnosu ip, které je na bázi pololetní. Situace
je dána zvyklostí vyplácet na státních dluhopisech USA kupóny pololetně.
Vztah (201) pak přechází na:
P

c
c
c
c  JH



i
i
i
i
(1  p )
(1  p ) 2 (1  p )3 (1  p ) 4
2
2
2
2
True Yield
Zohledňuje skutečné pracovní dny, pakliže výplata kupónu připadne na
nepracovní den. V závislosti na použité konvenci dochází k odchylkám při
výpočtu i.

Spojité úročení
Spojité úročení představuje poměrně elegantní způsob sjednocení výpočtu
výnosů, jelikož nezná pojem úrokovací období. Vzhledem k tomu odpadá celá
řada komplikací, které jsou dané zaváděním různých typů výpočtů vnitřního
výnosového procenta pro různá úrokovací období (US Street Convention x
Yield to Maturity s ročním úrokovacím obdobím). Přesto však není v praxi
příliš rozšířeno. Pro výpočet ceny můžeme použít zmodifikovaný vztah (80):
c
P 
e
d
i s
365
c

e
d  365
i s
365
c

e
d  2 365
i s
365
c  JH
 ... 
e
d  ( n  1 ) 365
i s
365
(203)
is…………………… vnitřní výnosové na spojité bázi (vyjádřen jako roční)

U.S. Treasury Convention
používá jednoduché úročení, jestliže do výplaty nejbližšího kupónu zbývá
necelá kupónová perioda
38
P
c
d


iust 
 1
 360



1 

1

 iust 
 1

2 

1
 iust 
 1

2 

2
 ... 
1
 iust 
 1

2 

n 1





JH
 iust 
 1

2 

n 1
iust …………………… US Treausury Yield (vyjádřen jako roční)

Braeß/Fangmeyer, Moosmüller Yield
jednoduché úročení, jestliže do výplaty nejbližšího kupónu zbývá necelá
kupónová perioda. Braeß/Fangmeyer metoda používá roční úrokovací období
pro zbytek doby do splatnosti, Moosmüller yield používá úrokovací období,
které je stejně dlouhé, jako perioda mezi výplatami kupónů. Obě metody dávají
stejný výsledek v případě roční kupónové výplatě a vztah pro výpočet celkové
ceny pak vychází ze vztahu (103).
P
c
d


i mos 
 1
 365


1 

1

1  i mos 
1
1  i mos 
2
 ... 
1
1  i mos 
n 1

JH
1  i mos 
n 1



V případě, že je perioda mezi kupónovými výplatami například pololetí, bude
se Braeß/Fangmeyer Yield a Moosmüller Yield lišit. Moosmüller Yield lze
vypočítat ze vztahu:
P
c
d


i mos 
 1
 365



1 

1
 i mos 
 1

2 

1

1
 i mos 
 1

2 

2
 ... 
1
 i mos 
 1

2 

n 1

JH
 i mos 
 1

2 

n 1




imos…………………… Moosmüller Yield (vyjádřen jako roční)
Braß/Fangmeyer Yield pak bude:
P
c
d


ib _ fang 
 1
 365


1
1
1
JH
1 
1 
2  ... 
n 1 
n 1
1 ib _ fang  2
1 ib _ fang  2
 1 ib _ fang 2 1 ib _ fang 2
ib_fang…………………… Braß/Fangmeyer Yield (vyjádřen jako roční)

Japanese Simple Yield (JGB Simple)
39



i j
c
Pclean

JH  Pclean
Pclean .t
ij…………………… Japanese Simple Yield (vyjádřen jako roční)

Money Market Yield
Používá se, jestliže zbývá jedna výplata do splatnosti, d je příslušný počet dní
do výplaty:
P
c  JH
d


im 
1 
 365 
(204)
im…………………… Money Market Yield (vyjádřen jako roční)
V případě, že zbývá jedna výplata do splatnosti přechází v Money
Market Yield i Braß/Fangmeyer Yield, Moosmüller Yield a též US Treasury
Convention Yield.
V souvislosti s Money Market Yield se setkáváme s konvencí Money
Market (Act/360) a Money Market (Act/365).

Kupónová výnosnost
Je prostý podíl kupónové platby a JH (205), v závislosti na frekvenci výplaty je
půlroční, roční atd., popřípadě je vhodný jeho přepočet.
ic 
c
JH
(205)
ic…………………… kupónová výnosnost (vyjádřena jako roční)
Vypovídací schopnost kupónové výnosnosti je však velmi malá, jelikož
nezohledňuje pořizovací cenu a například výnosu do splatnosti odpovídá pouze
v případě, že dluhopis pořídíme přesně za jmenovitou hodnotu.

Běžná výnosnost (Current Yield)
Již zohledňuje pořizovací cenu P a má větší vypovídací schopnost než
výnosnost kupónová.
40
ib 
c
(206)
Pclean
ib…………………… kupónová výnosnost (vyjádřena jako roční)
Ve jmenovateli vztahu (206) je kotovaná cena, nikoliv cena celková.
V případě celkové ceny by běžná výnosnost byla zkreslená cenou za AÚV,
takže například v případě nákupu za jmenovitou hodnotu by běžná výnosnost
nekorespondovala s kupónovou výnosností a mohla by být nižší.

Rendita (adjusted current yield)
iR
c
Pclean

PP _ clean  Pclean
(207)
Pclean .t
Rendita zohledňuje kapitálový i úrokový výnos, ze vztahu (208) však
vyplývá, že je založena na principech jednoduchého úročení a nerespektuje
rozdílné časové horizonty budoucích finančních toků.
Pclean 
t.c  PPclean
1  t.i R
(208)
ir…………………… rendita (vyjádřena jako roční)

Výnos s reinvesticí kupónů
Jestliže budeme kupóny postupně reinvestovat na dobu do splatnosti dluhopisu
tak, že první kupón budeme reinvestovat na běžnou úrokovou sazbu i1 (např.
na termínovaný vklad) s úrokovacím obdobím rovným kupónovému období,
druhý kupón stejným způsobem na úrokovou sazbu i2, třetí kupón stejným
způsobem na úrokovou sazbu i3, pak pro is platí:
c(1  i1 )  c (1  i2 ) 2  c(1  i3 ) 3  c  JH
P
(1  i s ) 4
is…………………… výnos s reinvesticí kupónů (vyjádřen jako roční)
Sazba is je vlastně běžnou úrokovou sazbou na období do splatnosti dluhopisu
a s úrokovacím obdobím, které je rovno období kupónovému.
41
Zajímavý případ nastane, jestliže budeme kupóny reinvestovat na
běžnou sazbu, která je rovna vnitřnímu výnosovému procentu i:
P
c(1  i )  c (1  i ) 2  c(1  i ) 3  c  JH
(1  i s ) 4
(208a)
Sazba is pak nutně musí být rovna i, jelikož za předpokladu is = i, můžeme
vztah (208a) dále rozložit na součet zlomků:
P
C  JH
c
c
c



(1  i )1 (1  i ) 2 (1  i ) 3 (1  i ) 4
(208b)
který není nic jiného než investicí do dluhopisu s vnitřním výnosovým
procentem (výnosem do splatnosti) i. Je tedy zřejmé, že jestliže budeme
kupóny dluhopisu reinvestovat na stejnou běžnou úrokovou sazbu jako je
výnos do splatnosti, pak výnos s reinvesticí kupónů is je roven tomuto výnosu
do splatnosti.
Při kalkulaci výnosů se setkáváme s některými dalšími pojmy:

Domestic Yield
Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu podle domácí
konvence, anebo zužívaných zvyklostí.

Annual Compounded
Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu na roční bázi (s
ročním připisováním úroků).

Semi-Annual Compounded
Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu na pololetní bázi (s
pololetním připisováním úroků). V případě státních dluhopisů USA se jedná
vlastně o Street Convention.

Quarterly Compounded
Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu na čtvrtletní bázi (se
čtvrtletním připisováním úroků).

Monthly Compounded
Označení pro způsob kalkulace výnosu z dluhopisu na měsíční bázi (s
měsíčním připisováním úroků).
42
Výnos bezkupónových dluhopisů
Výnos do splatnosti u bezkupónových dluhopisů je dán vztahem:
P 
JH
(1  i ) n
(210)
jestliže počet období do splatnosti od okamžiku pořízení je přesně n a úroková sazba
vztažená k období je i.
Jestliže do splatnosti nezbývá celý počet období lze (210) transformovat do podoby:
JH
P 
(1  i )
d
360
kde d je počet dní do splatnosti. Důležité je respektovat konvenci pro počítání časových
intervalů.
Jestliže do splatnosti zbývá méně než jeden rok, lze použít Money Market Yield
v podobě:
P 
JH
d
(1 
i)
360
Výnos u dluhopisů bez splatnost
Pro výnos u dluhopisů bez splatnosti můžeme použít vztahy (95),(97). Vztah (95) pro
účely dluhopisů přepíšeme na:
P 
c
i
Obdobně u vztahu (97).
K takto jednoduchému vztahu lze dospět i poměrně jednoduchou úvahou. Máme-li
pobírat úrok ve výši c věčně, například každý rok, je nutné, aby právě tato částka odpovídala
ročnímu úroku ve výši i % z P, které je pak současně vnitřním výnosovým procentem.
Výnos u dluhopisů s variabilní kupónovou sazbou
Výnos u dluhopisů s variabilním kupónem je dán vývojem referenční sazby, které se
přizpůsobuje nejbližší kupónová výplata. Vývoj referenční sazby odpovídá vývoji
příslušných úrokových sazeb v ekonomice. O “klasickém” výnosu do splatnosti nemá smysl
hovořit.
43
Procentní vyjádření ceny dluhopisu
Cenu dluhopisu můžeme vyjádřit jednak v jednotkách měny:
P
c
c
c
c  JH


 ... 
2
3
(1  i ) 1  i  1  i 
1  i n
(213)
a jednak jako procento ze jmenovité hodnoty, jestliže levou i pravou stranu rovnice vydělíme
JH:
c
c
c
c
1
P
JH
JH
JH
JH



 ... 
JH (1  i ) 1  i 2 1  i 3
1  i n
Jestliže je výplata kupónu roční, můžeme podíl c/JH nahradit přímo velikostí kupónové
sazby cs.
P
c
cs
cs
c 1
 s 

 ...  s n
2
3
JH (1  i ) 1  i  1  i 
1  i 
(220)
Jestliže levou i pravou stranu rovnice vynásobíme číslem 100, je cena vyjádřena přímo
v procentech:
P
c  100 cs  100 cs  100
c  100  100
 100  s


 ...  s
2
3
JH
(1  i ) 1  i 
1  i 
1  i n
Takové vyjádření je nejběžnější v dluhopisové praxi a velikost jmenovité hodnoty, která ve
vztahu vůbec nefiguruje, nemá žádný praktický význam. V praxi se obvykle operuje
s celkovým objemem dluhu O, který vlastník dluhopisu obdrží při splatnosti, kupónovou
sazbou cs a cenou v procentech ze jmenovité hodnoty 100·P/JH. Z těchto parametrů se
všechny ostatní parametry jednoduše dopočítají.
Citlivost ceny dluhopisů na úrokovou míru
Výše uvedené vztahy jsou přesné vztahy mezi pořizovací popř. tržní cenou a určitým
výnosem. Taková závislost se nejnázorněji zobrazí v příslušném grafu, kde se na ni obecně
pohlíží jako na P= f(i), tedy cena je funkcí výnosového procenta, přičemž změna i se udává
v bazických bodech (b.p.) popřípadě v procentních bodech. Dále se zaměříme na vnitřní
výnosové procento. Nebudeme tedy řešit závislost ceny na jiném druhu výnosu než je výnos
do splatnosti, nebo-li vnitřní výnosové procento ( IRR).
Je nutné zdůraznit, že změnu vnitřního výnosového procenta v příslušném
matematickém vztahu nelze ztotožnit se změnou některé tržní úrokové sazby v ekonomice,
popřípadě se změnou klíčové úrokové sazby některou centrální bankou. Jakým způsobem se
zobrazí taková změna na vnitřním výnosovém procentu je obecně otázka obtížná.
44
Z funkční závislosti taktéž vyplývá, že při i=0 je cena pouhým součtem všech
budoucích příjmů a pro i jdoucí do nekonečna funkční hodnota konverguje k 0.
Citlivost ceny dluhopisu vyjadřuje míru změny ceny při změně vnitřního výnosu.
Macaulayova durace (Macaulay Duration)/dále též jen durace/kupónového dluhopisu
Pro odvození základních souborů uvažujme nejprve jednoduchý případ, kdy
pořizujeme dluhopis za cenu P, který má přesně 3 roky do splatnosti a roční výplatu kupónu.
Vnitřní výnosové procento investice, které je v okamžiku nákupu totožné s výnosem do
splatnosti je možné vypočítat z následujícího vztahu, kde i= ie:
P
c
c
c  JH


2
(1  i ) 1  i 
1  i 3
Pro posouzení citlivosti je vhodné zkoumat strmost křivky závislosti ceny na výnosu,
tedy vlastnosti 1. derivace funkce P podle i. Předpis pro 1. derivaci v obecném bodě je:
P  
1 c
2c
3  c  JH 


2
3
(1  i )
1  i 
1  i 4
P’ je obecně závislá na úrokové sazbě a nastává tudíž situace, kdy pro jeden dluhopis máme
více citlivostí na změnu úrokové míry podle toho, jaké jsou obecně úrokové sazby
v ekonomice.
Abychom situaci pro jeden dluhopis zpřehlednili, vynásobíme a současně vydělíme
výraz P a dále vytkneme 1/(1+i). Dostáváme vztah pro první derivaci podle i v podobě:
1  1 c
2c
3  c  JH 




2
3
(1  i )  (1  i )

1  i

1  i 
P  
P
P
Část vztahu označíme jako:
1 c
2c
3  c  JH 


2
(1  i )
1  i 
1  i 3
Mac D 
P
(240)
a můžeme zobecnit pro n kupónových plateb:
1 c
2c
n  c  JH 

 ... 
2
n
(1  i )

1  i

1  i
Mac D 
P
n
Mac D 
k c
 (1  i)
k
.. 
k 1
n  JH
1  i n
P
45
Obr. 2.27 Výnosová analýza německého státního dluhopisu, zdroj:Bloomberg
Obr. 2.30 Výnosová analýza státního dluhopisu USA, zdroj:Bloomberg
46
Člen MacD je Macaulayova durace. Je to vážený průměr časového období do splatnosti, váhy
jsou diskontované finanční toky. Macaulayova durace je nezávislá na úrokové sazbě, je
závislá pouze na faktorech, které ovlivňují střední dobu splatnosti, tedy c, JH a jejich časové
rozložení. Jestliže i je úroková sazba na roční bázi, vyjádřená jako roční, pak MD je střední
doba splatnosti v letech.
Jestliže chceme vyjádřit změnu dP s použitím di , použijeme Taylorovu větu:
f (a  h)  f (a )  f (a) dh 
f (a ) dh 2 f (a ) dh3

 ...  R
2!
3!
Pro naše účely ji můžeme přepsat do tvaru:
dP  f (i ) di 
f (i) di 2 f (i ) di 3

 ...  R
2!
3!
(245)
S použitím Macaulayovy durace a při zanedbání členů vyšších řádů, tedy pouze
s použitím:
dP  f (i ) di
obdržíme:
dP   Macdur
P
di
(1  i )
(250)
V případě, že výplata kupónu je jednou za pololetí, můžeme vztah mezi cenou a vnitřním
výnosem zapsat do podoby:
c
P
(1  i )
1
2

c
(1  i )
2
2

c  JH
(1  i )
3
2
přičemž z výše uvedeného platí:
c
cs
2
První derivace ceny podle vnitřního výnosového procenta je:
47
1
c
2
P  
(1  i )
1
1
2
2
c
2

3
 c  JH 
2

3
1
2
(1  i)
2
1
2
(1  i )
2
3
 1


c

c
 c  JH  
1  2
2
2
1 
2 
3


(1  i ) 
2
2
2

(1  i )
(1  i )
(1  i )

 P
P  
P
1
2
3
c
c
 c  JH 
2
2
2


1
2
3
2
2
2
(1  i )
(1  i )
(1  i )
Mac D 
P
Odvozený vztah lze zobecnit pro n budoucích kupónových plateb na:
1
c
2
Mac D 
(1  i )
n
 c  JH 
2


...

2
n
2
2
(1  i )
(1  i )
P
2
c
2
1
2
k
n
c
 JH
2
2

...


k
n
k 1
2
2


1

i
(1  i )
Mac D 
P
n
V případě, že do nejbližší výplaty kupónu zbývá například 18 dní, výplata je roční, do
splatnosti zbývají 3 kupónové výplaty, rok má 360dní, citlivost můžeme vyjádřit následovně:
P
c
(1  i )
18
360

c
(1  i )
18  360
360

c  JH
(1  i )
18  2360
360
48
18
18  360
18  2  360
c
c
 c  JH 
360
P   360 18 1  36018  360 
18 2360
1
1
360
360
360
(1  i )
(1  i )
(1  i)
18  360
18  2  360
 18

c
c
 c  JH  

1
360
360
360


18
18  360
18  2 360


(1  i ) 
360
360
360

(1  i )
(1  i )
(1  i )

 P
P  
P
18
18  360
18  2  360
c
c
 c  JH 
360
360
360


18
18  360
18  2  360
360
360
360
(1  i )
(1  i )
(1  i )
Mac D 
P
Odvozený vztah lze zobecnit pro n budoucích kupónových plateb a d zbývajících dní do
následující kupónové výplaty na:
d
d  360
d  n  1  360
c
c
 c  JH 
360
360
360


...

d
d  360
d   n 1 360
360
360
360
(1  i )
(1  i )
(1  i )
Mac D 
P
n 1

k 0
Mac D 
(260)
d  k  360
d  n  1  360
c
 JH
360
360
... 
d  k 360
d   n 1360
360
1  i  360
(1  i )
P
V případě, že uvažujeme úrokovou sazbu na půlroční bázi, půlroční výplatu kupónu, 3
kupónové výplaty, do následující výplaty přesně ½ roku:
49
P
c
 ip 
1  
2

c

 ip 
1  
2

2
c  JH

 ip 
1  
2

3
1
2
3
c
c
 c  JH 
2
2
2
P  


11
2 1
31
 ip 
 ip 
 ip 
1  
1  
1  
2
2
2



c
1
1
P   
2  ip
1 
2




 ip
1 
2


c
1
 ip 
1  
2
1 
MacD  
2




2c

1
 ip 
1  
2

P
2c
 ip 
1  
2

P

2
2

3  c  JH 
 ip
1 
2




3
P
3  c  JH 
 ip 
1  
2

3
Odvozený vztah lze zobecnit pro n budoucích kupónových plateb a m úrokovacích období
mezi výplatami kupónů:
c
1
 im 
1  
1  m
MacD  
m
n

k 1
MacD 
1

m

2c
2
 im 
1  
 m
P
k c
i 
1  m 
 m
k

 ... 
n  c  JH 
 im 
1  
 m
n
n  JH
 im 
1  
 m
n
P
50
Macaulayova durace bezkupónového dluhopisu
Macaulayova durace bezkupónového dluhopisu je rovna době do splatnosti. Je zřejmé, že
střední doba splatnosti dluhopisu, který má jediný budoucí finanční tok v době splatnosti,
musí být rovna právě této době.
Macaulayova durace dluhopisu bez splatnosti
V případě věčného dluhopisu je závislost P a i daná jedním ramenem hyperboly podle vztahu:
P
C
i
Pro i blížící se k nule limituje cena P nekonečna, jelikož při nulovém výnosu bychom při
investování do dluhopisu měli obdržet to, co jsme vložili. Jelikož obdržíme nekonečně mnoho
kupónových výplat, bude i cena P nekonečně velká.
Pro Macaulayovu duraci dluhopisu bez splatnosti použijeme opět první derivaci ceny
podle výnosu:
P  
C
i2
P  
C 1  i P
i 2 1  i P
P  
i1  i P
i 2 1  i 
Jelikož musíme respektovat, že dP   Macdur
MacD 
P
di a současně dP  f (i ) di
(1  i )
1  i 
i
Konvexita dluhopisu
Jestliže chceme vyjádřit změnu dP přesněji použijeme opět Taylorovu větu:
f (a  h)  f (a )  f (a) dh 
f (a ) dh 2 f (a ) dh3

 ...  R
2!
3!
ve tvaru pro změnu ceny v závislosti na úrokové míře i:
51
dP  f (i ) di 
f (i) di 2 f (i ) di 3

 ...  R
2!
3!
a namísto pouze prvního členu rozvoje budeme uvažovat první dva členy.
dP  f (i ) di 
f (i ) di 2
2!
Člen
f (i ) di
obsahuje duraci a člen
f (i ) di 2
2!
v sobě obsahuje konvexitu.
Jestliže položíme
Conv =
f (i)
P
(272)
pak můžeme dP přibližně vyjádřit jako:
dP   Macdur
P
1
di  P  Conv  di 2
(1  i )
2
(274)
Přesnou změnu ceny při konkrétní změně úrokové míry bychom obdrželi jednoduše po
dosazení původní a změněné sazby do rovnice závislosti ceny na vnitřním výnosovém
procentu a následně z nich vyjádřili změnu ceny. Durace však charakterizuje citlivost ceny na
vnitřní výnosové procento v jednom bodě křivky.
Kdybychom zvažovali situaci, kdy do první kupónové výplaty zbývá jedno celé
kupónové období a do splatnosti dluhopisu zbývá n kupónových výplat, pak:
P
c
c
c  JH

 ... 
2
(1  i ) 1  i 
1  i n
P  
1 c
2c
n  c  JH 

 ... 
2
3
(1  i )
1  i 
1  i n1
52
P  
2c
6c
n(n  1)  c  JH 

 ... 
3
4
(1  i )
1  i 
1  i n 2
2c
6c
n(n  1)  c  JH 

 ... 
3
4
(1  i )
1  i 
1  i n 2
Conv 
P
V případě obr. 2.33 investujeme při ceně 100 jednotek měny, rovné JH, stejnou částku
do dluhopisu se splatností 3, 4, 6 let, s kupónovou sazbou 3% p.a. a s výnosem do splatnosti
3% p.a. při ceně 100. Citlivost ceny např. dluhopisu s nejdelší dobou splatnosti na výnosu je
z obrázku zřejmě největší v oblasti reálných nižších úrokových sazeb. V oblasti vysokých
úrokových sazeb je situace opačná.
Obr.2.33 Investice do tří kupónových dluhopisů s různou dobou do splatnosti, zdroj: vlastní zpracování
Obrázek 2.36 znázorňuje závislost ceny na vnitřním výnosovém procentu u dluhopisů
se stejnou dobou splatnosti =3 roky, avšak s různou velikostí kupónových sazeb (0,3,20%).
53
Z grafu je taktéž zřejmé, že jestliže investujeme stejnou částku 130 do všech
dluhopisů, pak například při vzestupu hodnoty vnitřního výnosového procenta bude pokles
ceny u každého dluhopisu jiný. Největší pokles bude u dluhopisu s nejnižší kupónovou
sazbou, tedy v našem případě rovnou 0. Tato situace však nastává jen v oblasti nižších
úrokových sazeb a v oblasti vysokých úrokových sazeb bude situace opačná.
Na obrázku obr. 2.39 je znázorněna situace, kdy investujeme postupně dvojnásobnou a
trojnásobnou částku do jednoho dluhopisu. Je nutné si uvědomit, že citlivost celkové ceny se
s počtem nakoupených dluhopisů zvyšuje. V případě procentuální změny ceny, je citlivost
ceny na počtu nakoupených dluhopisů nezávislá.
Na obrázku obr. 2.39 je znázorněn i fakt, že každý kupónový dluhopis lze rozdělit na
několik bezkupónových dluhopisů. Výsledné charakteristiky jsou na obrázku znázorněny.
Obr.2.36 Investice do tří kupónových dluhopisů se stejnou dobou do splatnosti, ale různou kupónovou sazbou
zdroj: vlastní zpracování
Macaulayova durace není závislá na velikosti ceny, což však celková výchylka je.
Procentuální změnu ceny u dluhopisů s různou Macaulayovou durací, která odpovídá střední
době splatnosti, pak můžeme znázornit například v následujícím obrázku obr.5.
Vyšší hodnoty Macaulayovy durace mohou souviset s nižším kupónem, vyšší dobou
splatnosti, popř. kombinací obou faktorů.
Na obr. 2.45 jsou hodnoty první derivace P=f(i) v závislosti na velikosti doby
splatnosti.
V tabulkách 2.48 a 2.51 jsou hodnoty Mac.durace v závislostech na době splatnosti a
výši kupónové sazby.
54
Investice do jednoho, dvou, tří dluhopisů o stejné JH a kupónové sazbě,
kupón.sazba=10%, roční výplata, splatnost=3 roky
celková cena v jednotkách měny
450
400
350
300
250
3 dluhopis y
200
2 dluhopisy
150
1dluhopis
100
50
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
výnos do splatnosti v %
Obr.2.39 Investice do více dluhopisů se stejnou dobou do splatnosti a shodnou kupónovou sazbou, zdroj: vlastní
zpracování
Obr.2.42 Změna ceny při poklesu výnosu do splatnosti o 30 b.p., zdroj: vlastní zpracování
55
Obr.2.45 hodnoty první derivace P=f(i) v závislosti na velikosti doby splatnosti
Tab. 2.48 jsou hodnoty Mac.durace v závislosti na výši kupónové sazby, zdroj: vlastní zpracování
56
Tab. 2.51 Hodnoty Mac.durace v závislosti na výši kupónové sazby a doby do splatnosti, zdroj: vlastní
zpracování
Měnící se citlivost
U dvou různých dluhopisů se můžeme setkat se situací kdy pro určité rozmezí
vnitřního výnosu je první dluhopis citlivější než druhý a v jiném rozmezí výnosu je situace
opačná.
Uvažujme například dva dluhopisy (bezkupónový dluhopis-ZeroCoupon a kupónový
dluhopis-DL2) podle obr.9. Z tab.2.54 je patrné, že v rozmezí výnosů 0-2% p.a. je změna
ceny při změně výnosu do splatnosti o 1 procentní bod vyšší u dluhopisu (DL2) v rozmezí
sazeb 3-14% p.a. je citlivější bezkupónový dluhopis (ZeroCoupon) a od 15% výše je opět
citlivější kupónový dluhopis (DL2). Situace je též znázorněna na obr.2.57.
ZeroCoupon
Dl2
kup.sazba
splatnost
0.00
27.00
5.25
78.00
JH
431.00
100.00
57
i
nákup
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.10
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15
0.16
0.17
0.18
0.19
0.20
0.21
0.22
0.23
0.24
změna
cena
ceny
cena
změna ceny
329.46
329.42
252.51
-76.95
227.82
-101.60
194.03
-58.48
167.52
-60.30
149.48
-44.55
129.78
-37.74
115.44
-34.04
104.89
-24.89
89.38
-26.07
87.63
-17.26
69.36
-20.01
75.13
-12.51
53.96
-15.41
65.71
-9.42
42.07
-11.89
58.38
-7.33
32.88
-9.19
52.53
-5.86
25.75
-7.13
47.74
-4.79
20.21
-5.54
43.76
-3.98
15.90
-4.31
40.39
-3.37
12.53
-3.37
37.50
-2.89
9.90
-2.63
35.00
-2.50
7.84
-2.06
32.81
-2.19
6.22
-1.62
30.88
-1.93
4.94
-1.28
29.17
-1.72
3.93
-1.01
27.63
-1.54
3.14
-0.80
26.25
-1.38
2.51
-0.63
25.00
-1.25
2.01
-0.50
23.86
-1.14
1.61
-0.40
22.83
-1.04
1.29
-0.32
21.88
-0.95
Tab 2.54 Měnící se citlivost, zdroj: vlastní zpracování
350.00
300.00
250.00
200.00
150.00
100.00
50.00
0.00
1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
105 113 121 129 137 145 153 161 169 177 185 193
Obr. 2.57 Měnící se citlivost, zdroj: vlastní zpracování
58
Použití Macaulayovy durace pro odhad změny tržní ceny
Jestliže ve vztahu (250) vydělíme levou i pravou stranu rovnice P, obdržíme
následující vztah:
dP
di
 Mac dur
P
(1  i)
(275)
Levou stranu (275) můžeme interpretovat jako procentuální změnu ceny P. Vztah lze pak
použít pro snadné odhady (bez výpočtů) procentuální změny ceny při změně vnitřního
výnosového procenta o 1%, jelikož pravá strana rovnice je při hodnotách i<<1 rovna zhruba –
Macdur:
dP
1
 100  Mac dur
 Macdur
P
(1  0.01)
(276)
Člen:
dP
 100
P
je roven procentuální změně ceny vyjádřené v procentech.
Obdobně můžeme dobře odhadnout procentuální změnu ceny v případě změny
nitřního výnosového procenta o 1,2,3,... procent.Vztah (276) můžeme modifikovat do podoby:
dP
k
 100  Mac dur
 Mac dur  k
P
(1  0.01)
kde k je příslušná procentuální změna vnitřního výnosového procenta.
Modifikovaná durace (Modified Duration)
Jestliže ve vztahu (278) zahrneme do jednoho členu zlomek
Macdur
(1  i )
obdržíme vztah pro tzv. modifikovanou duraci:
Mod dur 
Mac dur
(1  i )
popřípadě
59
Mod dur 
Mac dur
i
(1  )
m
(282)
Modifikovaná durace tedy závisí na vnitřním výnosovém procentu a s jeho
zvyšováním dochází k jejímu snížení. Blíží se tedy svými vlastnostmi k sensitivitě, když
například Macaulayova durace jako střední doba splatnosti na vnitřním výnosovém procentu
nezávisí.
Přibližnou změnu ceny v jednotkách měny bychom pomocí modifikované durace
mohli zapsat:
dP   Mod dur  P  di
(284)
Dolarová durace, (Dollar Duration)
První derivace f podle i ve vztahu:
dP  f (i ) di 
f (i) di 2 f (i ) di 3

 ...  R
2!
3!
který je již výše zmíněnou aplikací Taylorovy věty pro změnu ceny dluhopisu, je nazývána
dolarovou (korunovou) durací $dur a přibližnou změnu cenu v jednotkách měny můžeme
pomocí dolarové durace $dur zapsat ve tvaru:
dP  $ dur  di
(286)
BPV(Basis Point Value, Risk/Bloomberg/, DV01)
BPV udává velikost změny (v absolutní hodnotě) v ceně dluhopisu při změně
vnitřního výnosového procenta o 1% , přičemž cena dluhopisu je 100 jednotek měny.
Hodnoty jsou blízké Macaulayově i modifikované duraci. Obr. 2.27, 2.30 znázorňuje
jak Macaulayovu duraci (Conv Duration), modifikovanou duraci (Mod Duration) a BPV
(Risk).
Narozdíl od Macaulyaovy durace udává BPV změnu ceny přesně. BPV je tedy možné
přesně spočítat jako rozdíl ceny dluhopisu před změnou a ceny dluhopisu po změně vnitřního
výnosového procenta.
Kdybychom chtěli vyjádřit absolutní hodnotu změny ceny při změně vnitřního
výnosového procenta o +1% a ceně 100 jednotek měny, obdržíme:
dP  Macdur
100
0.01  Macdur
(1  i)
60
BPV se taktéž interpretuje jako změna dluhopisu za 100 000 jednotek měny při
změně o 1 b.p.
Citlivost ceny u dluhopisu s variabilním kupónovou sazbou
Citlivost ceny dluhopisů s variabilní kupónovou sazbou se mění od okamžiku fixace
sazby do výplaty kupónu. Směrem k výplatě kupónu se snižuje, situace je obdobná jako u
bezkupónového dluhopisu.
Změna celkové bilance výnosu z dluhopisu při změně vnitřního výnosového procenta
Jestliže dojde k nákupu dluhopisu, který budeme držet do splatnosti, nemá změna
vnitřního výnosového procenta žádný vliv na prodejní cenu, kterou je jmenovitá hodnota.
Jestliže chceme dluhopis prodat před splatností a dojde-li například k vzestupu
vnitřního výnosového procenta, vlivem celkového vzestupu úrokových měr v ekonomice,
cena dluhopisu poklesne. Kupónové platby lze sice reinvestovat výhodněji, ale pokles celkové
ceny typického kupónového dluhopisu bývá řádově větší, než případný nárust úroků při
reinvestici kupónových plateb.
Příklad:
Vypočítejte celkovou bilanci z držení dluhopisu (včetně reinvestice kupónů) po dvou letech, jestliže
po prvním roce držby dojde k vzestupu vnitřního výnosového procenta o 3 procentní body na úroveň,
na které se udrží až do splatnosti. Dluhopis má roční výplatu kupónu, cs =5%, i=5%, JH=1000 CZK,
splatnost je za tři roky. Do následné výplaty kupónu zbývá přesně jeden rok.
Řešení:
Cena v době nákupu:
P
0.05  1000 0.05  1000 0.05  1000  1000


 1000
(1  0.05) 1  0.052
1  0.053
Bez výpočtu je zřejmé, že jestliže je vnitřní výnosové procento rovné kupónové sazbě, pak
musí být cena rovna jmenovité hodnotě.
Po dvou letech a po změněné sazbě na 8% p.a. bude prodejní cena dluhopisu:
P
0.05  1000  1000
 972.22
1  0.08
Pokles ceny je tedy roven:
1000  972.22  27.8
Zvýšení úrokového zisku při reinvestici vlivem zvýšení úrokové sazby o 3 p.b. bude:
61
0.05 1000  1  0.08  0.05  1000  1  0.05  54  52.5  2.5
Celková ztráta 27.8 CZK je tedy jen zcela nepatrně kompenzována možností zlepšení
reinvestice, která v našem případě přináší zlepšení o 2.5 CZK.
Durace (Macaulyova) portfolia
Durace portfolia složeného z více dluhopisů o různých duracích je rovna váženému
průměru Macaulayových durací.
Mac dur _ portfo w1  w2  ...  wn   Mac dur1 w1  Mac dur 2 w2  ...  Mac durn wn
Macdur_portfo .......... durace portfolia
w.......................... poměrná část celkové ceny (investice) P
V případě jednoho kupónového dluhopisu můžeme na investici pohlížet jako na
investici do několika bezkupónových dluhopisů, které pak tvoří portfolio o třech
bezkupónových dluhopisech se splatností postupně za 1, 2, 3 období a se jmenovitou
hodnotou C, C, C+JH. Durace takového portfolia musí být rovna Macaulayově duraci
kupónového dluhopisu. V případě, že do první kupónové výplaty zbývá přesně jedno
kupónové období, platí:
Mac D  Mac dur _ portfo
1 c
2c
n  c  JH 

 ... 
2
(1  i )
1  i 
1  i n

P
Pro jednotlivé poměrné časti investice w1,w2,...w2 platí:
c
(1  i )
w1 
P
Mac dur _ 1  1
... první bezkupónový dluhopis
c
(1  i ) 2
w2 
P
Mac dur _ 2  2
... druhý bezkupónový dluhopis
62
c  JH
(1  i ) n
wn 
P
... třetí bezkupónový dluhopis
Mac dur _ 3  3
Imunizace portfolia
Při imunizaci portfolia je záměrem sestavit portfolio s většího počtu dluhopisů tak, aby
celková durace portfolia byla rovna určité hodnotě, pakliže je to vůbec možné.
Jestliže dojde ke změně úrokové míry v ekonomice a s tím související změně
vnitřního výnosového procenta dluhopisů, bude výchylka ceny portfolia odpovídat výchylce
ceny jakéhokoliv jiného portfolia, popřípadě dluhopisu se stejnou durací.
Budeme-li například zajišťovat portfolio proti kapitálové ztrátě při jeho budoucím
prodeji a následné investici do portfolia jiného, které mají nyní stejnou současnou hodnotu, je
nutné, aby měli obě portfolia stejnou duraci.
Obr.2.60 Dekompozice celkové ceny dluhopisu, zdroj: vlastní zpracování
Celková cena dluhopisu (Dirty Price, Total Price)
Ze vztahu (201) můžeme vypočítat celkovou cenu P transakce, kterou zaplatíme za
dluhopis při požadovaném vnitřním výnosu i. Celková cena je označována též jako Dirty
(Full) Price a kromě vlivu blížící se výplaty kupónu v sobě odráží i současný stav a
63
očekávaný vývoj vnitřního výnosového procenta. Je zřejmé, že při blížící se výplatě kupónu,
kdy celý kupón obdrží držitel dluhopisu v rozhodném dni, by při zachování stejného
požadovaného úrokového výnosu docházelo ke zvyšování ceny dluhopisu. Aby bylo zřejmé,
že k vzestupu ceny dluhopisu došlo například v důsledku změny očekávání vývoje tržních
sazeb, popřípadě jiných vlivů a ne v důsledku blížícího se rozhodného dne pro výplatu
kupónové platby, byla úroková složka ceny od celkové ceny oddělena. Úroková složka se
nazývá alikvotní úrokový výnos-AÚV (Accrued Interest) a odečteme-li od celkové ceny
AÚV dostaneme kotovanou cenu (Clean Price), obr. 2.60.
Kotovaná cena dluhopisu (Clean Price, Quoted Price)
Kotovaná cena dluhopisu je cena, která se běžně udává při obchodování na finančních
trzích. Její vývoj je obtížně predikovatelný a podrobně o něm pojednáváme v kapitole Vývoj
tržní ceny dluhopisu.
AÚV, alikvotní úrokový výnos (Accrued Interest)
Na obr. 2.63 je znázorněn průběh AÚV. Jestliže Settlement-date (den připsání kupónu
na účet) je shodný s Ex-date (den následný po rozhodném dni pro výplatu kupónu Coupon
date), nedosahuje AÚV záporných hodnot a je znázorněno tenkou čárou. Jestliže je Ex-date a
Settlement-date rozdílné datum, je průběh znázorněn silnou čárou.
Úrokový výnos po dobu držení dluhopisu, který je dán rozdílem AÚV v době prodeje
a nákupu, popřípadě ještě započtením vyplacení kupónové platby, odpovídá vždy přesně
participaci na velikosti kupónové platby vzhledem k délce doby držení dluhopisu.
Z hlediska úrokového výnosu je tedy zcela lhostejné, kdy dluhopis kupujeme a
prodáváme, důležitá je pouze doba držení. AÚV narůstá na denní bázi, takže průběh
v detailním zobrazení je schodovitý, obr.2.68.
64
Obr.2.63 Vývoj AÚV, zdroj: vlastní zpracování
Obr.2.68 Detailní vývoj AÚV zdroj: vlastní zpracování
Alikvotní úrokový výnos v Settlement day je roven nule. Koupíme-li tedy dluhopis.
v tento den, je náš AÚV rovný 0. Připadá-li Settlement day na Ex-coupon date, je AÚV v Excoupon day roven.
65
Obchodování s dluhopisy
Dluhopisy se ve většině případů obchodují na mimoburzovním trhu, kde si jednotlivé
protistrany obchodu přímo mezi sebou sjednávají podmínky obchodu. Mimoburzovní
obchodování s sebou přináší určité problémy s transparentností. Ceny dluhopisů se tak
stanovují pomocí futures kontraktů, které se obchodují na burzovních trzích.
Trhy dluhopisů
Obr.3.3 Centrální objednávková kniha na EUREXu, zdroj: vlastní zpracování
Dluhopisy se obchodují především na OTC (Over the Counter) mimoburzovním trhu.
Pro vyjádření ceny se zásadně používá kotovaná (Clean Price) a to jako procento ze
jmenovité hodnoty, takže samotná jmenovitá hodnota není pro potřeby obchodování důležitá.
Postačuje pouze celková velikost zakoupeného dluhu při splatnosti, ze které se všechny
potřebné parametry dopočítají přes kupónovou sazbu a Clean Price v procentech. U emisí
státních dluhopisů je často užívaný market-making, kdy se účastník skupiny market-makerů
zavazuje na vyžádání poskytovat jak cenu nákupní, tak současně prodejní k určité emisi.
Kontrakty futures (Euro-Bund Futures, 10 Year U.S. Treasury Notes Futures)
obchodované zejména na EUREXu a CBOT jsou cenově určující pro dluhopisy
obchodované na mimoburzovních trzích, i vzhledem k transparentnosti burzovního trhu.
Na obr. 3.3 je příklad vstupu do centrální objednávkové knihy na trhu EUREX.
Rizika spojená s obchodováním s dluhopisy


kreditní riziko (bezriziková úroková míra)
úrokové riziko
66



měnové riziko
kapitálové riziko související s vývojem tržní ceny
likvidita
Likvidita
Likvidita zejména státních dluhopisů je značná, standardní obchodovatelná jednotka
pro jeden obchod s dluhopisy je 10 000 EUR/USD/CZK.
Dluhopisové futures kontrakty, jejichž podkladovým aktivem jsou státní dluhopisy,
obchodované na EUREXu, CBOT, CME patří k nejlikvidnějším futures kontraktů světa.
Riziko emitenta dluhopisu
Rating
Pro ohodnocení emitenta se používají ratingové agentury. Odborná literatura se
problematice ratingových agentur věnuje velmi frekventovaně, proto si zde uvedeme jen
základní záležitosti.
Ratingové ohodnocení využívají investoři při posouzení kreditního rizika emitenta a
pravděpodobnosti defaultu (v případě dluhopisů se jedná o celkové nebo částečné nesplacení
nominální hodnoty, kupónových výplat, popřípadě jiných nároků držitele dluhopisu).
V souvislosti s finančními krizemi a zejména hypoteční krizí v USA byla kvalita
ratingových ohodnocení kritizována, zejména za nadhodnocený rating u CDO. Agentury jsou
dále kritizovány, že nejsou zcela nezávislé, což souvisí i se zdrojem jejich financování, kdy
ohodnocení si platí sama ohodnocovaná společnost.
V současné době jsou nejvýznamnějšími agenturami Standard & Poor’s, Moody’s
Investors Service a Fitch Ratings. Zmiňované tvoří “velkou trojku”. Dále k nim lze přiřadit
čínskou ratingovou agenturu Dagong Global Credit Rating, která nabývá na známosti
v posledním období, zejména díky snižování ratingu USA, ke kterému se nakonec připojila i
Standard & Poor’s.
Rating můžeme rozdělit na rating emise a rating emitenta a dále podle časového
hlediska na krátkodobý (do 1 roku splatnosti závazků) a dlouhodobý (nad 1 rok splatnosti
závazků).
Ratingové ohodnocení posuzuje celou řadu faktorů, které spolupůsobí při vzniku
rizika nesplacení závazků společnosti nebo státu. U korporací se jedná zejména o ukazatele z
účetnictví, zisk, likviditu, kapitálovou strukturu, vývoj ukazatelů, vztahy s obchodními
partnery, řízení rizik, strategie společnosti. U státu je pak podstatný hospodářský růst, míra
zadlužení, vývoj inflace, politická stabilita.
Přehled ohodnocení je znázorněn v tabulce 3.6.
Moody's
Aaa
Standard &
Poor's;
Fitch
AAA
Zhodnocení
Téměř žádné úvěrové riziko. Vynikající schopnost splnění finančních závazků.
67
Aa1
AA+
Aa2
AA
Aa3
AA-
A1
A+
A2
A
A3
A-
Baa1
BBB+
Baa2
BBB
Baa3
BBB-
Ba1
BB+
Ba2
BB
Ba3
BB-
B1
B+
B2
B
B3
B-
Caa
CCC
Ca
CC
Bezpečná investice s nízkým rizikem.
Bezpečná investice, náchylná na ekonomické změny a negativní vlivy v daném
oboru podnikání.
Středně bezpečná investice vyskytující se často při zhoršených podmínkách v
ekonomice.
Stále dostatečná schopnost dostát svým závazkům, ale situace se může zhoršit.
Spekulativní investice - dlužník čelí nepříznivým podmínkám a je obtížné
předpovídat budoucí vývoj.
Spekulativní investice - dlužník čelí nepříznivým podmínkám a očekává se
zhoršení situace.
Pravděpodobnost úpadku nebo jiného přerušení činnosti - závazky nejspíše
nebudou splaceny.
68
C
C
Velmi vysoká pravděpodobnost úpadku. Trvalá neschopnost dlužníka dostát svým
závazkům.
D
WR
NR
Hodnocení staženo.
NR
Subjekt bez ratingu.
Standard &
Poor's
Moody's
Fitch
Zhodnocení (v rámci krátkého období)
P-1
A-1+
F1+
Vynikající schopnost plnit své finanční závazky.
P-2
A-1
F1
Velmi dobrá schopnost plnit své finanční závazky.
A-2
F2
Uspokojivá schopnost plnit své finanční závazky.
A-3
F3
Nepříznivé ekonomické podmínky by mohly oslabit schopnost dlužníka
plnit své finanční závazky.
B
B
Spekulativní charakter - náchylnost k negativním změnám.
C
C
Vysoké riziko, že dlužník nebude schopen plnit své finanční závazky.
Závislost na ekonomické situaci a podmínkách v daném odvětví podnikání.
D
D
Dlužník je v prodlení, neplní své finanční závazky.
P-3
NP
(not
prime)
Tab 3.6 Přehled ratingových ohodnocení, zdroj: interní zdroje VŠE
Pro investory je podstatná pravděpodobnost defaultu, která přísluší ke každému
ohodnocení. Přehled pravděpodobností je v tab 3.9.
69
Tab. 3.9. Přehled pravděpodobností defaultu k jednotlivým ratingových ohodnocením
Vývoj tržní ceny dluhopisu
Vývoj tržní ceny dluhopisu je podstatně komplikovanější než například vývoj ceny
akcií.
Pro názornost uvažujme nejprve jednoduchý případ vývoje tržní ceny kupónového
dluhopisu splatného za 20 let, s kupónovou sazbou 10%, s roční výplatou kupónu a při
neměnném výnosu do splatnosti rovnému 3% p.a. na roční bázi. Na obr. 3.12 je znázorněn
vývoj kotované ceny a AÚV od okamžiku pořízení (0) do konce 14. roku držby. AÚV
odpovídá 10 % kupónové sazbě s roční výplatou. Celková cena je pak v každém okamžiku
rovna součtu kotované ceny a AÚV.
70
Obr.3.12 Vývoj tržní ceny kupónového dluhopisu při neměnném výnosu do splatnosti, zdroj: vlastní zpracování
Na obr. 3.18 je znázorněn vývoj ceny bezkupónového dluhopisu ceny a AÚV od
okamžiku pořízení (0) do konce 19. roku držby.
Při konstantním výnosu do splatnosti se cena blíží jmenovité hodnotě (Pull to Par
effect).
U kupónových dluhopisů se cena může blížit jak “shora“, tak i “zdola“. Blíží-li se
shora, je výnos do splatnosti nižší než kuponová sazba a křivka je konkávní podle obr. 3.12.
Blíží-li se zdola, je výnos do splatnosti vyšší než kuponová sazba a křivka je konvexní podle
U bezkupónového dluhopisu se cena ke jmenovité hodnotě přibližuje vždy “zdola“ a
křivka je konvexní. Tvar lze vysvětlit znaménkem druhé derivace ceny jako funkce času při
konstantním výnosu. Pro bezkupónový dluhopis můžeme funkci zapsat ve tvaru:
P
JH
(1  i ) n  t
kde n je počet období do splatnosti a t je čas (proměnná)
První derivace podle t je:
P   JH  (1  i ) t  n  ln(1  i )
P   JH  (1  i ) t  n  ln 2 (1  i )
Je zřejmé, že první derivace je kladná pro i >0, záporná pro i<0 , druhá derivace je v obou
případech kladná. V případě záporné úrokové sazby -10% , by křivka měla tvar dle obr.3.15,
tedy sestupná a konvexní. Takový vývoj je však nereálný.
71
Obr.3.15 Vývoj tržní ceny bezkupónového dluhopisu při neměnném výnosu do splatnosti a záporné úrokové
sazbě, zdroj:vlastní zpracování
Obr.3.18 Vývoj tržní ceny bezkupónového dluhopisu při neměnném výnosu do splatnosti, vlastní zpracování
V realitě není situace tak jednoduchá, výnos do splatnosti se pod vlivem ekonomické
situace a jiných kurzotvorných mechanismů neustále mění a vývoj podle obr. 3.12 a 3.18 je
zcela nereálný.
Na obr. 3.21 je skutečný vývoj cen dluhopisu, který je zde reprezentovaný příslušným
futures kontraktem.
72
Obr.3.21 Skutečný vývoj ceny dluhopisu reprezentovaný příslušným futures kontraktem, zdroj: Bloomberg
Pravděpodobnostní rozdělení výnosů
Na obrázcích 3.24, 3.27 je zachyceno pravděpodobnostní rozdělení denních výnosů
na dluhopisovém futures kontraktu FGBL. Pravděpodobnostní rozdělení není normálního
charakteru a vykazuje typické rysy pravděpodobnostních rozdělení většiny likvidních
investičních instrumentů, tedy velké chvosty (Fat Tails) v okrajových pásmech rozdělení a
ostrost (špičatost) ve středním pásmu rozdělení.
Vzhledem k tomu, že rozdělení není normálního charakteru, procesem, který ho
vytvořil, nemůže být jedna náhodná procházka, kdy jsou po sobě jdoucí výnosové kroky
v ceně(výnosu) na sobě nezávislé.
Vysvětlením může být proces, který předpokládá závislost krků, anebo mix několika
náhodných procházek. Podrobněji o této problematice pojednáváme v kapitole Teorie
popisující vývoj tržní ceny likvidních investičních instrumentů.
Teorie popisující vývoj tržní ceny likvidních investičních instrumentů
Vývojem tržní ceny likvidních investičních instrumentů a z toho vyplývajícího výnosu
se zabývá celá řada teorií, popřípadě modelů.
73
Obr.3.24 Pravděpodobnostní rozdělení denních výnosů FGBL (1990-2004), zdroj:
Euro Bund Daily Future Returns.Source: Daniel Herlemont 2004, Risk Management Study of Managed Futures
Obr.3.27 Pravděpodobnostní rozdělení denních výnosů FGBL (1990-2004), zdroj:
Euro Bund Daily Future Returns.Source: Daniel Herlemont 2004, Risk Management Study of Managed Futures
Ne všechny lze však považovat za model úplný, od kterého se očekává, že dokáže
vysvětlit všechny pozorované efekty související s vývojem tržní ceny na finančním trhu s
pomocí reálně existujících prvků a mechanismů, které na finančním trhu opravdu působí.
Jedná se tedy o to, aby model měl jasnou interpretaci na reálný objekt, jehož je modelem.
74
Mezi pozorované efekty (nezbytné vysvětlit) patří zejména vývoj cen/výnosů
likvidních investičních instrumentů, který je blízký náhodné procházce (ale ne shodný),
pozorované odchylky od normality v pravděpodobnostních rozděleních cen/výnosů pro různě
dlouhá období (typickým znakem je pozitivní kurtosis s ostrostí a velkými chvosty - fat tails),
finanční krize (krachy), volatilní vývoj ceny v časových intervalech, kdy na finanční trh
nepřicházejí žádné významné kurzotvorné informace, vliv ekonomických informací na vývoj
ceny, malá pravděpodobnost (popřípadě nemožnost) získání určité výhody při dosahování
zisku při spekulativních obchodech.
Teorie efektivních trhů, stejně tak i např. koncept behavioral finance, jsou modely
založené na popisu vnitřních mechanismů, od kterých se jednoznačně odvíjí i možný výstup
systému při daném vstupu. Konkrétně teorie efektivních trhů na základě příchodu
neočekávaných kurzotvorných informací, které jsou ze své podstaty náhodné (vstup systému)
a na které finanční trh správně reaguje (teorie tvrdí o vnitřním mechanismu systému, že
reakce účastníků trhu je v průměru správná), dovozuje vznik náhodné procházky ceny/výnosů
v grafech jednotlivých investičních instrumentů (výstup systému), tedy svým způsobem
dovozuje z vnitřního popisu a vstupu i výstup systému, jako jeho odezvu na vstup. Takto
popsaný systém je však systémem bez paměti, není tedy systémem dynamickým (ve smyslu
kybernetickém). Ve zcela obecné rovině lze při správném vnitřním popisu jakéhokoliv
systému dovodit i korektní a jednoznačný výstup systému při daném vstupu..
Naopak existují teorie, které popisují jen výstup systému (technická analýza) a na
základě takového popisu se snaží modelovat i predikci budoucího vývoje. Takové teorie se
reálnou interpretací mechanismů mezi vstupem a výstupem systému mnohdy vůbec
nezabývají, popřípadě je velmi obtížná a je tedy komplikované i dokazování jejich správnosti,
jelikož se zde pohybujeme v oblasti statistického zpracování získaných dat, kde na správnost
teorie lze usuzovat jen s určitou pravděpodobností.
Další skupinou jsou teorie, které popisují primárně systém z vnějšku (vztahy mezi
vstupem a výstupem) a svému popisu se snaží najít odpovídající interpretaci s větším či
menším úspěchem.
Mezi nejznámější a dosud velmi diskutovanou teorii patří teorie efektivních trhů. Lze
konstatovat, že testy tržní efektivity stále probíhají, i když mnohdy s nejistým výsledkem,
jehož nejistota však není dána samotnou teorií, ale zejména testovacím prostředím.
Samotná teorie efektivních trhů není zcela správnou teorií, neboť pravděpodobnostní
rozdělení výnosů likvidních investičních instrumentů, např. akcií nelze vzhledem
k empirickým pozorováním obecně považovat za normální, přičemž by takovým, vzhledem
k předpokládané náhodné procházce cen/výnosů, mělo být.
Odchylky od normality pozorované v pravděpodobnostních rozděleních cen/výnosů
likvidních investičních instrumentů lze vysvětlit několika způsoby.
Jednou z možností je dynamické modelování, předpokládající systémy s pamětí, které
k odchylkám od normality skutečně vede a má i svoji odůvodněnou interpretaci na finanční
trh. Model dynamického finančního trhu je typickým zástupcem dynamického modelování.
Druhou možností je modelovat odchylky od normality efekty, které souvisí s měnící se
volatilitou. Ty vedou například k modelování odchylek pomocí mixu více normálních
rozdělení, avšak v praxi taková rozdělení na finančních trzích nenacházíme. Modely s měnící
se volatilitou mají navíc obtížnou interpretaci a v mnoha případech je zpochybnitelná.
Další možností jsou například některé modernější modely, které jsou založeny na
teorii katastrof (za zakladatele je považován R. Thom, 60. léta 20.st.), rozvinutá v oblasti
finančních trhů zejména Ch. Zeemanem (70. léta 20.st.). Modely vysvětlují odchylky od
normality pomocí problematiky stability systémů (například stochastická teorie Cusp
katastrof), mnohdy ale vyžadují interpretaci, kterou nelze použít ve zcela obecné rovině.
Předpokládají např. účast dvou skupin účastníků finančního trhu-chartistů a fundamentalistů,
75
přičemž jejich podíl je vstupní veličinou systému, od které se odvíjí stav-míra změny tržního
ohodnocení investičního instrumentu. Model využívá poměrně dobře kyberneticky
rozpracovaný aparát pro posouzení stability systému, zabývá se jejím porušením
v okamžicích krachů finančních trhů, avšak obecný model musí dobře popisovat i výrazné
odchylky v obdobích, kdy se situace z hlediska chartistů a fundamentalistů nemění.
Larrain (1991), Vaga (1991) stejně jako Hsieh (1991, 1995) a Peters (1994, 1996) se
zabývají vznikem odchylek od normality, převážně však jejich měřením, například pomocí
Hurstova koeficientu, který souvisí s teorií fraktálů a soběpodobností fraktálních struktur.
Teorie se méně věnují přesné interpretaci modelů na finanční trh. Například Larrain (1991)
připouští, že finanční trh obsahuje dlouhodobou paměť a může vytvářet poměrně velké
výchylky, které nejsou náhodné, ale deterministické.
Behavioral Finance jsou spíše konceptem pro popis určitých situací, které byly
pozorovány opakovaně a které jsou dávány do souvislostí s psychologickými aspekty
účastníků finančních trhů. V žádném případě se nejedná o ucelený model, který by komplexně
řešil problematiku a usiloval o vysvětlení všech efektů, které lze na finančních trzích
pozorovat.
Teorie efektivních trhů a technická analýza jsou dokonce v přímém rozporu ohledně
možnosti predikce budoucího cenového vývoje. Dokazování předpokladů i důsledků teorií je
značně problematické.
Nyní si podrobněji rozebereme teorii efektivních trhů a některé modernější pohledy.
Teorie efektivních trhů
Předpoklady modelu
Teorie efektivních trhů je jedním z nejpoužívanějších modelů, snažících se vysvětlit
chování likvidních finančních trhů.
Za zakladatele teorie fiktivních trhů lze považovat Eugene Famu, který základní
předpoklady a konsekvence zformuloval na základě empirických pozorování v letech 19651970.
Teorie efektivních trhů má několik předpokladů a navíc lze podle ní finanční trhy
rozdělit do několika submodelů podle toho jakou mají formu „efektivity“.
Základní předpoklady teorie efektivních trhů:



Na finančních trzích je dostatek racionálně uvažujících investorů, kteří se snaží
zhodnotit cenu příslušného investičního instrumentu, aktivně obchodují a mají
k dispozici pravdivé, relevantní a aktuální informace z ekonomiky. Při počínání jsou
řízeni především ziskovým motivem.
Investoři reagují správně a rychle na nové relevantní informace.
Obchodování je spojeno s nízkými transakčními náklady a snadno přístupné.
K výše uvedeným předpokladům je nutné uvést následující. Druhý předpoklad se
často mírně modifikuje do podoby, že ne všichni investoři správně ohodnocují příslušný
instrument, nýbrž jej ohodnocují správně v průměru. Uvedená modifikace připouští
nesprávnou reakci některých investorů, avšak v průměru je ohodnocení správné.
K předpokladům je nutné dodat, že se přijímají bez důkazu a jejich správnost by tudíž
měla být dovozována na základě souladu důsledků modelu s empirickým pozorováním.
Důsledky modelu, vyplývající z předpokladů:
76



Kursy investičních instrumentů velmi rychle a přesně zohledňují ve svých
cenách nové relevantní informace. Časové zpoždění mezi příchodem informací
a jejich vestavěním do ceny je minimální.
Tržní ceny/kurzy konají náhodnou procházku. Generátorem náhodných kroků
je příchod neočekávaných informací, které jsou ze své vlastnosti „být
neočekávaný“ náhodné a to jak v čase, kdy přicházejí, tak především ve svém
charakteru pozitivnosti/negativnosti vzhledem k ceně/výnosu investičního
instrumentu. Právě náhodnost charakteru informace způsobí onen nečekaný
náhodný krok nahoru/dolů v ceně/výnosu. Jestliže pak předpokládáme
posloupnost neočekávaných informací s 50% pravděpodobností příchodu
pozitivního/negativního charakteru, pak takový proces vygeneruje několik
kroků náhodné procházky normálního (gaussovského) typu.
Na efektivních trzích nelze použít postupů, vycházejících z historických, anebo
současných kurzů pro predikci budoucího vývoje ceny/výnosu.
Finanční trhy dále mohou nabývat tří forem efektivnosti.
Slabá forma efektivnosti. Předpokládá, že v aktuálním cenovém/výnosovém
ohodnocení jsou obsažena veškerá historická data. Není tudíž možné použít například metodu
technické analýzy pro predikci budoucích kurzů/výnosů. Pro získání profitu lze využít
“pomalé” vstřebávání kurzotvorných informací.
Středně silná forma efektivnosti. Předpokládá, že v aktuálním cenovém/výnosovém
ohodnocení jsou obsažena nejen veškerá historická data, ale i všechny aktuální relevantní
ekonomické informace. Na finančním trhu nelze nalézt podhodnocený/ nadhodnocený
investiční instrument.
Silná forma efektivnosti je doplněním středně silné formy o neveřejné informace. Při
silné formě efektivnosti pozbývá smysl shromažďovat i neveřejné informace, které
nepomohou získat výhodu při predikci budoucího vývoje ceny/výnosu investičního
instrumentu.
Pozitiva a nedokonalosti modelu
Teorie efektivních trhů je poměrně jednoduchý model. Jeho výstup v podobě pohybu
kurzů/výnosů náhodnou procházkou je snadno pochopitelný a vysvětluje v prvním přiblížení
celou řadu efektů, které můžeme na finančním trhu skutečně pozorovat
Nyní se zaměříme podrobněji na splnění předpokladů modelu, ve kterých je možné
najít několik výrazných slabin.
Otázkou je, zda-li lze předpokládat, že na finančním trhu je převaha racionálně
uvažujících investorů, což může být dáno i celkovým snazším přístupem velkého množství
veřejnosti na finanční trh, zejména na derivátové trhy.
Otázkou je, zdali lze předpokládat, že se většina investorů zabývá správným
ohodnocením příslušného investičního instrumentu, přičemž je zřejmé, že pro naplnění jejich
ziskového motivu postačuje správně odhadnout směr budoucího vývoje. Investorům může
být informace o správném ohodnocení nepřínosná, neboť její vypovídací schopnost o
budoucím vývoji je prakticky nepoužitelná, je-li všeobecně známo, že kurzy jsou například
dlouhodobě nadhodnocené a i přes to se ke své „správné“ hodnotě nevracejí, naopak se od ní
mohou ještě vzdalovat.
Otázkou je, zdali vůbec existuje vždy tzv. správná cena investičního instrumentu, anebo lze
najít jen „rozumnou“ cenu v určitých cenových pásmech, vždyť při hledání například vnitřní
hodnoty akcií pracujeme pouze s pravděpodobností budoucích dividendových výnosů, s
částečně subjektivním dojmem o předpokládaném riziku investice a z toho získaného
77
kvantitativního ohodnocení požadované míry výnosnosti. Často se v modelech neuvažuje
prodejní cena a předpokládá se držení akcie nekonečně dlouho. V případě dluhových
instrumentů není situace o moc příznivější, zkusme například přesně ocenit požadovanou
míru výnosnosti dluhopisu splatného za 30 let.
Výše jsme nastínili několik sporných záležitostí, které jsou částečně v rozporu
s předpoklady teorie efektivních trhů.
Je zřejmé, že jestliže nejsou zcela jistě splněny předpoklady modelu, nelze též
usuzovat, že budou v praxi naplněny důsledky.
Některé rozpory teorie efektivních trhů s realitou:
Nejvýraznější důsledek teorie efektivních trhů je pohyb cen/výnosů náhodnou
procházkou, kterou generují neočekávané informace. Jaké je empirické potvrzení tohoto
důsledku? Statistické zpracování historických dat naznačuje že vývoj cen/výnosů je velmi
blízký náhodné procházce, nicméně pravděpodobnostní rozdělení cen/výnosů není totožné
s normálním (Gaussovským), obr 3.24. V rozdělení se nacházejí deformace, o kterých
budeme pojednávat v dalších kapitolách.
Dalším důsledkem předpokladů je fakt, že efektivní finanční trhy reagují pouze
v případě příchodu neočekávané relevantní informace z ekonomiky. Přímá pozorování však
prokazují, že finanční trhy vykazují pohyb i v případě, že žádná relevantní informace na trh
prokazatelně nepřichází. Nelze též souhlasit s konstatováním, že se „neustále něco děje“ a
jakýkoliv pohyb ceny/výnosu na finančním trhu je důsledkem příchodu nějaké informace. Je
sice pravdou, že na finanční trh neustále nějaké informace přicházejí, avšak nelze očekávat, že
každá informace způsobí pohyb ceny. Obchodníci na finančním trhu běžně zadávají do
centrálních objednávkových knih celou řadu limitních pokynů s platností například 1 den a
více, přičemž počítají s tím, že cena se může vychylovat i za nezměněné ekonomické situace
právě bez příchodu neočekávaných informací, jinak by limitní příkazy neměly logický smysl.
Moderní teorie finančních trhů
Modernější teorie vývoje tržní ceny likvidních investičních instrumentů (např. Model
dynamického finančního trhu) předpokládají účinky zpětných vazeb, které napomáhají
vytvořit odchylky od normality, pozorované např. v pravděpodobnostním rozdělení dle
obr.3.24.
Zpětné vazba je zde příčinnou vazbou mezi budoucností a minulostí, kterou se
přenášejí informace z výstupu systému opět na jeho vstup a přispívá tak k řízení systému a
tedy ke zpětnému ovlivnění výstupu systému.
Jestliže uvažujeme finanční trh jako systém, pak výstupem systému můžeme chápat
především cenu určitého investičního instrumentu a vstupem systému pak činnost
obchodníků, investorů, spekulantů vkládajících pokyny k nákupu či prodeji investičního
instrumentu.
Jaké informace lze získat na výstupu finančního trhu? Jedná se o cenu investičního
instrumentu a tím i výnosů, dále pak o zobchodované objemy, informace o vývoji trhu
v minulosti v podobě grafů, celou historii o tom, jak po příchodu určité informace finanční
trh reagoval atd.
Předpokládejme, že většina investorů výstupní informace sleduje a jsou pak těmito
informacemi nějak ovlivněni při budoucím investičním rozhodnutí, např. ohledně nákupu
nebo prodeje určitého investičního instrumentu. Následný samotný nákup nebo prodej je již
konkrétní zásah do vývoje ceny, který uzavře zpětnovazební smyčku a může například
odchýlit pravděpodobnost směru následného kroku od 50%. Tímto procesem se vlastně
realizuje zpětná vazba mezi budoucími a minulými kroky ve vývoji ceny investičních
78
instrumentů a můžeme konstatovat, že jestliže alespoň jeden aktivní investor sleduje
historická data, pak na finančním trhu existuje zpětná vazba.
Existuje celá řada studií, kolik % investorů používá technickou analýzu, či jiný
prostředek pro predikci budoucího vývoje a následný způsob investování, a tak na základě
minulosti ovlivňuje budoucí vývoj.
Je zřejmé, že informace na výstupu finančního trhu mohou ovlivňovat budoucí
chování investorů i bez vlivu vnějších informací přicházejících z ekonomiky. Taková zpětná
vazba může sama o sobě být motorem ve vývoji ceny i bez jakéhokoliv vlivu informací, které
nepocházejí z výstupu systému.
Výše uvedené zřejmě dobře odůvodňuje zavedení předpokladu, že finanční trh
můžeme pokládat za dynamický systém – systém s pamětí, u něhož je okamžitá hodnota
vnitřních veličin závislá na okamžitých i minulých hodnotách a musíme opustit představy o
rozdělení normálního typu vývoje tržní ceny.
Jednoduché modely zpětné vazby se též objevují v rámci Behavioral finance, kde se
předpokládá vznik setrvačného chování při vzestupu či poklesu ceny.
Zpětné vazby předpokládá např. i model Koherentního trhu. (Tonis Vaga 1994)
Podle modelu Dynamického finančního trhu předpokládáme zejména tyto základní
zpětné vazby:
Setrvačnost trendů
Jedná se o tendenci prodlužování krátkodobých i dlouhodobých trendů, které mohou
prvotně vzniknout například procesem náhodného příchodu pokynů. Obchodníci pak
vkládají pokyny pod vlivem trendové formace a způsobují svým postupem prodloužení či
stabilizaci trendu. Zpětná vazba spočívá v pozorování trendu v minulých (historických
datech) a pod tímto vlivem zásah do budoucího vývoje.
Zpětná vazba vlivem převládajících trendů souvisí s již výše zmiňovaným modelem
Feedback (setrvačného chování ceny při jejím vzestupu či poklesu) v rámci konceptu
Behavioral finance.
Setrvačnost ceny - klidová
Jedná se o tendenci setrvávání ceny na předešlé hodnotě, jestliže na finanční trh
nepřišla žádná relevantní informace a současně není aktivován proces setrvačnosti trendů. Na
finančních trzích často dochází k tendenci návratu k předešlé hodnotě, jestliže došlo
k odchýlení například v důsledku procesu náhodného příchodu pokynů do centrální
objednávkové knihy (popřípadě do OTC trhu).
Techniky obchodování
Většina obchodních technik, zejména na denní bázi je zpětnovazební proces. Velmi
používaná technika úrovňového obchodování je přímo založena na existenci vztahu mezi
minulým (včerejším vývojem) a budoucím zásahem do finančního trhu. Například při
úrovňovém obchodování na denní bázi je podstatných několik úrovní. První úroveň je
hodnota, na které cena uzavírala předchozí den, další úrovně jsou především úrovně dané
metodami technické analýzy, kdy se jedná o úroveň opuštění např. trendového kanálu, či
úrovně resistence, popřípadě odporu, které již vývoj ceny v nedávné době „testoval“. Úrovně
často souvisejí s psychologií „kulatých“ čísel.
79
Investoři mnohdy postupují způsobem, který lze popsat následovně. Jestliže cena od
otevření ještě neprolomila některou z úrovní, lze očekávat její návrat k uzavírací hodnotě z
předešlého dne. Pokud cena úroveň prolomila, lze očekávat její pokračování ve směru
prolomení. Prolomení se často zachycuje umístěním STOP-LOSS pokynů, kterými se takto
otevírají pozice ve směru očekávání.
Tendence vracení se k závěrečné předchozí zavírací hodnotě vyústila i v několik
metod používaných při tradingu, např. Monday Gap, která tvrdí, že jestliže se objeví mezera
ve vývoji ceny v pondělí, bude vždy vývojem uzavřena. Pro účely tvorby modelu je podstatná
skutečnost, že někteří obchodníci přizpůsobují své obchodování tomuto předpokladu a
uzavírání gap pak podporují.
Mezi techniky obchodování patří i technická analýza.
Ekonomické ukazatele ovlivňující tržní cenu
V souladu se všemi modely i s praxí lze konstatovat, že tržní cena je ovlivněna
příchozími ekonomickými informacemi, přičemž lze očekávat, že všechny většinově
očekávané informace jsou v ceně již zohledněny. Podstatné pro následný krok ve vývoji ceny
je obsah nově příchozí neočekávané kurzotvorné informace. Na takový typ informace je
možné očekávat i skokovou změnu s minimálním objemem obchodů.
Je nutné si však uvědomit, že cena se pohybuje i v okamžicích, kdy na finanční trh
nepřicházejí žádné kurzotvorné informace.
Obecně lze shrnout, že obsah informace, který naznačuje možné vyšší výnosové
procento dluhopisu, působí na pokles ceny a naopak.
Ekonomické ukazatele USA, které jsou z hlediska vývoje tržní ceny dluhopisů
nejpodstatnější:
•
Ukazatele nezaměstnanosti (Unemployment Figures)
•
Consumer Price Index (CPI)
•
Producer Price Index (PPI)
•
Personal Income a Consumption Expenditures
•
Hrubý domácí produkt (Gross National Product)
•
Car Sales
•
Retail Sales
•
Industrial Production and Capacity Utilization
•
Housing Starts and Building Permits
•
Durable Goods Orders
80
Korelace s akciemi
Korelace akcií a dluhopisů závisí na volbě datového vzorku.
Korelace na denní bázi nabývá nižších hodnot (např. 0.12), korelace na časově delší
bázi je výraznější a pozitivní, což je patrné se srovnáním vývoje akciového a dluhopisového
indexu podle obr. 3.30.
Obr.3.30 Vývoj ceny akcií a dluhopisů (2010), zdroj:interní zdroje VŠE
Obr.3.33 Vývoj korelace ceny akcií a dluhopisů na měsíční bázi, zdroj:interní zdroje VŠE
81
Obr.3.36 Vývoj korelace ceny akcií a dluhopisů na denní bázi, zdroj:interní zdroje VŠE
Flying To Quality, Flying to Safety
Při vývoji tržní ceny dluhopisu se často setkáváme s efektem, které souvisí i například
s krátkodobou negativní korelací dluhopisů (zejména státních) s akciemi.
Efekt je označován jako Flying To Quality nebo Flying to Safety a dochází při něm k
přelévání kapitálu z akcií do dluhopisů během propadů čí krizí na akciovém trhu, popřípadě
obecně z rizikovějších instrumentů do méně rizikových.
Shrnutí o vývoji tržní ceny
Jestliže dluhopis nedržíme do splatnosti, pak je celkový výnos z jeho držení závislý
nejenom na nákupní ceně, ale i na prodejní ceně, za kterou dluhopis prodáme.
Tržní prodejní cenou rozumíme Clean Price, nebo-li kotovanou cenu, která je rovna
Dirty Price zmenšená o AÚV.
Vývoj Clean Price, zejména u střednědobých a dlouhodobých dluhopisů, je v rozsahu
několika procent velmi obtížně predikovatelný. Vzhledem k duraci například dluhopisů
splatných za 10 let dochází při kolísání vnitřního výnosového procenta v rozmezí +/- 10 b.p.
k výchylkám celkové ceny v rozmezí +/- 1 % z tržní ceny. K takovým výchylkám často
dochází i během jediného obchodního dne, z čehož vyplývá, že velikost fluktuací tržní ceny a
tudíž kapitálového výnosu u takových dluhopisů je mnohem významnější než velikost
úrokového výnosu z kupónových plateb, který se pohybuje v řádech procent z pořizovací
ceny, ale za jeden rok.
Vývoj Clean Price u krátkodobých dluhopisů již není vzhledem k duraci příliš
„dramatický“ a s blížícím se okamžikem splacení postupně konverguje ke jmenovité hodnotě.
Vývoj Clean Price lze dobře přirovnat k náhodné procházce ceny, stejně jako u akcií a
jiných instrumentů obchodovaných na likvidních finančních trzích, i když vzhledem
k pravděpodobnostním rozdělením se o náhodnou procházku jednat nemůže.
V souladu s některými moderními modely finančních trhů je predikovatelnost směru
budoucího vývoje jen zhruba o 1 % vyšší než 50%.
Cena Clean Price se v praxi odvozuje od ceny příslušného Futures kontraktu.
Faktory a informace nejvíce ovlivňující vývoj ceny/výnosu dluhopisů, přicházejících
z reálné ekonomiky:
82










„rychlá x pomalá“ ekonomika
inflační tlaky (CPI, PPI, NAPM, unemployment figures)
protiinflační politiky centrálních bank, pohyby úrokových sazeb, strategie
FEDu, FOMC
flying to safety, flying to quality
měnové operace centrálních bank (BOJ, ECB, Federal Reserve System)
úrokový spread a kreditní riziko u korporátních dluhopisů
emerging markets
vliv vývoje akciových trhů
vliv finančních krizí
vliv situace na komoditních trzích
Tržní cena se v souladu s praxí pohybuje i v časových intervalech, kdy na trh
nepřicházejí žádné kurzotvorné informace.
Všechny výše uvedené faktory a rizika je třeba uvažovat při správě dluhopisového
portfolia, zejména riziko výchylky tržní ceny u dlouhodobějších dluhopisů a zvolit přiměřený
způsob ochrany.
Dluhopisové futures kontrakty
Futures kontrakty patří mezi finanční deriváty.
Hlavní rysy futures jsou následující:






Má formu termínového obchodu, kdy mezi uzavřením obchodu a jeho vypořádáním
existuje určitý časový interval (u dluhopisových futures běžně 3 měsíce). Po vypršení
časového intervalu futures kontrakt expiruje.
Jedná se o nepodmíněný termínový obchod (narozdíl od opčních kontraktů). Jedna
protistrana je povinna podkladové aktivum při expiraci futures dodat (krátká(short)
pozice) a druhá koupit (dlouhá(long) pozice).
Futures kontrakty se obchodují na organizovaných trzích (EUREX, LIFFE, CBOT,
CME,...)
Futures kontrakty lze kdykoliv na příslušném trhu koupit (otevřít dlouhou (long))
pozici a následně prodat. Je možný i opačný postup, kdy nejprve kontrakt prodáme
(otevřeme krátkou(short) pozici) a následně dokoupíme.
Při uzavření termínovaného obchodu není teoreticky nutná žádná počáteční investice.
Případné zisky při následném pohybu ceny podkladového aktiva tak mohou vzniknout
“z ničeho“. S tímto faktem souvisí pojem “pákový efekt“. U futures kontraktů dochází
ke skládání tzv. margin na denní bázi, kterou se organizovaný trh zajišťuje proti
ztrátám vzniklým během 1 dne. Velikost margin je spojena s empiricky zjištěnou
volatilitou příslušného kontraktu a neměla by přesáhnout maximální možnou denní
ztrátu vztaženou na příslušný počet kontraktů. Margin je možné chápat jako počáteční
investici na nákup futures kontraktu.
Cena závisí zejména na ceně podkladového aktiva, ale též na jiných faktorech.
Futures kontrakty se používají zejména pro:

spekulace
83
Spočívá ve snaze zrealizovat kapitálový zisk rozdílnou cenou při nákupu a následném
prodeji, popřípadě prodejem a následným nákupem. V prvním případě otevíráme
spekulativní dlouhou(long) pozici, v druhém případě otevíráme spekulativní krátkou
(short) pozici. Z pohledu teorie her se jedná o hru s nulovým součtem, kdy jedna
protistrana získává a druhá o stejnou částku přichází.
 zajištění
O zajištění budeme podrobně pojednávat v kapitole Zajištění dluhopisového portfolia
pomocí futures kontraktů
 arbitráž
Na likvidních dluhopisových trzích je možnost arbitráže prakticky vyloučena.
Výhody burzovního trhu oproti trhu OTC:


velká likvidita
odpadá kreditní riziko
Nevýhody burzovního trhu oproti trhu OTC:
 standardizace kontraktů
Jak jsme se již v předchozím textu zmínili, cena dluhopisů se v praxi odvozuje od cen
příslušných futures kontraktů a to zejména díky vysoké transparentnosti organizovaného
(burzovního) futures trhu. Velký počet obchodů (celkový objem jedné transakce je ale
mnohem nižší než u skutečných dluhopisů) souvisí s nízkými náklady pro vstup na futures
trh a považuje se za prospěšný pro vypovídací hodnotu burzovní ceny.
Na následujícím obr. 3.36 je zachycen dopolední vývoj ceny dluhopisového kontraktu
FGBL, obchodovaném na EUREXu. V tabulkách 3.39 pak jeho bližší burzovní specifikace.
Obr.3.36 Dluhopisový kontrakt FGBL, zdroj: EUREX
84
Contract Specifications
Version 19 Sep 2011
Contract Standards
Notional short-, medium- or long-term debt instruments issued by the Federal Republic of Germany, the
Republic of Italy or the Swiss Confederation with remaining terms and a coupon of:
Contract
Product ID
Remaining Term
Coupon
Years
Percent
Currency
Euro-Schatz Futures
FGBS
1.75 to 2.25
6
EUR
Euro-Bobl Futures
FGBM
4.5 to 5.5
6
EUR
Euro-Bund Futures
FGBL
8.5 to 10.5
6
EUR
Euro-Buxl® Futures
FGBX
24.0 to 35.0
4
EUR
Short-Term Euro-BTP Futures
FBTS
2 to 3.25
6
EUR
Mid-Term Euro-BTP Futures
FBTM
4.5 to 6
6
EUR
Long-Term Euro-BTP Futures
FBTP
8.5 to 11
6
EUR
CONF Futures
CONF
8.0 to 13.0
6
CHF
Tab. 3.38 Specifikace dluhopisových kontraktů na EUREXu, zdroj: EUREX
Contract Values
EUR 100,000 or CHF 100,000.
Settlement
A delivery obligation arising out of a short position may only be fulfilled by the delivery of certain debt
securities issued by the Federal Republic of Germany, the Republic of Italy or the Swiss Confederation
with a remaining term on the Delivery Day within the remaining term of the underlying.
Debt securities issued by the Republic of Italy must have an original term of no longer than 16 years.
In the case of callable bonds issued by the Swiss Confederation, the first and the last call dates must be
between eight and 13 years.
Debt securities must have a minimum issue amount of EUR 5 billion respectively CHF 500 million in the
case of debt securities issued by the Swiss Confederation.
Price Quotation and Minimum Price Change
The Price Quotation is in percent of the par value.
Contract
Minimum Price Change
Percent
Value
Euro-Schatz Futures
0.005
EUR 5
Euro-Bobl Futures
0.01
EUR 10
Euro-Bund Futures
0.01
EUR 10
Euro-Buxl® Futures
0.02
EUR 20
Short-Term Euro-BTP Futures
0.01
EUR 10
Mid-Term Euro-BTP Futures
0.01
EUR 10
Long-Term Euro-BTP Futures
0.01
EUR 10
CONF Futures
0.01
CHF 10
85
Contract Months
Up to 9 months: The three nearest quarterly months of the March, June, September and December
cycle.
Delivery Day
The tenth calendar day of the respective quarterly month, if this day is an exchange day; otherwise, the
exchange day immediately succeeding that day.
Notification
Clearing members with open short positions must notify Eurex on the Last Trading Day of the maturing
futures which debt instrument they will deliver. Such notification must be given by the end of the PostTrading Full Period.
Last Trading Day
Two exchange days prior to the Delivery Day of the relevant maturity month. Close of trading in the
maturing futures on the Last Trading Day is at 12:30 CET.
Daily Settlement Price
The Daily Settlement Prices for the current maturity month of CONF Futures are determined during the
closing auction of the respective futures contract.
For all other fixed income futures, the Daily Settlement Price for the current maturity month is derived
from the volume-weighted average of the prices of all transactions during the minute before 17:15 CET
(reference point), provided that more than five trades transacted within this period.
For the remaining maturity months the Daily Settlement Price for a contract is determined based on the
average bid/ask spread of the combination order book.
Final Settlement Price
The Final Settlement Price is established by Eurex on the Final Settlement Day at 12:30 CET based on
the volume-weighted average price of all trades during the final minute of trading provided that more
than ten trades occurred during this minute; otherwise the volume-weighted average price of the last ten
trades of the day, provided that these are not older than 30 minutes. If such a price cannot be
determined, or does not reasonably reflect the prevailing market conditions, Eurex will establish the Final
Settlement Price.
Market-Making
An overview of Designated Market Makers for Euro-BTP Futures is available here.
Tab. 3.39 Specifikace dluhopisových kontraktů na EUREXu, zdroj: EUREX
Conversion Factor , Cheapest to Delivery
Dojde-li k expiraci futures kontraktu, protistrana, která je v dlouhé pozici (long
position), obdrží dodávku (delivery) podkladových dluhopisů od protistrany, která je v krátké
pozici (short position), za dodací cenu (delivery price). K expiraci dochází zpravidla
v pravidelných intervalech, například pro dluhopisové futures na EUREXU v tří měsíčních
cyklech, viz. tab 3.42 (Expiry month)
Deliverable Bonds and Conversion Factors
Product
Code
CONF
Product name
CONF Futures
Currency
CHF
Expiry month
Dec
86
Mar
Jun
Sep
2011
2012
2012
2012
FBTM
Mid-Term Euro-BTP
Futures
EUR
Dec
2011
Mar
2012
Jun
2012
Sep
2012
FBTP
Long-Term Euro-BTP
EUR
Dec
Mar
Jun
Sep
2011
2012
2012
2012
Futures
FBTS
Short-Term Euro-BTP
Futures
EUR
Dec
2011
Mar
2012
Jun
2012
Sep
2012
FGBL
Euro-Bund Futures
EUR
Dec
2011
Mar
2012
Jun
2012
Sep
2012
FGBM
Euro-Bobl Futures
EUR
Dec
2011
Mar
2012
Jun
2012
Sep
2012
FGBS
Euro-Schatz Futures
EUR
Dec
2011
Mar
2012
Jun
2012
Sep
2012
FGBX
Euro-Buxl® Futures
EUR
Dec
Mar
Jun
Sep
2011
2012
2012
2012
Tab. 3.42 Specifikace expirace dluhopisových kontraktů na EUREXu, zdroj: EUREX
Protistrana v krátké pozici musí pro dodání použít některý z dluhopisů, které jsou
předepsané příslušným trhem. Například pro Euro-Bund Futures (FGBL), s expirací
v prosinci 2011, musíme použít některý z dluhopisů podle tab. 3.45. Z důvodu zabránění
negativního dopadu vyšší poptávky po určitých emisích dluhopisů na likviditu dluhopisového
trhu před expirací futures kontraktu, stanovuje příslušný trh více emisí, ze kterých je možné
vybrat dluhopisy pro dodání.
Deliverable Bonds for Euro-Bund Futures Dec 2011
Deliverable Bond
ISIN
Coupon Rate
(%)
Maturity
Date
Conversion
Factor
DE0001135408
3.00
04.07.2020
0.803418
DE0001135416
2.25
04.09.2020
0.750685
DE0001135424
2.50
04.01.2021
0.760622
DE0001135440
3.25
04.07.2021
0.803821
DE0001135457
2.25
04.09.2021
0.729389
Tab. 3.45 Specifikace dluhopisů k dodání při expiraci, zdroj: EUREX
Conversion Factor (C_factor) v tab 3.45 slouží k přepočtu ceny kontraktu, na základě
jeho settlement ceny (Settlement Price) na čistou cenu dluhopisu, za kterou se pak
podkladový dluhopis dodává.
Settlement cenu zveřejňuje příslušný burzovní trh. V tab.3.48 vidíme settlement ceny
u dluhopisových futures kontraktů na EUREXu.
87
Fixed Income Futures
Product
Expiry Month
Final Settlement Price
FEO1
September
98,540
FGBL
September
138,16
FGBM
September
123,43
FGBS
September
109,785
FGBX
September
120,48
FEU3
September
98,464
CONF
September
147,73
FBTP
September
106,36
FBTS
September
104,12
FEUU
September
98,97
Tab. 3.48 Settlement ceny u futures kontraktů, zdroj: EUREX
U každého jednotlivého dluhopisu z tab. 3.45 můžeme dopočítat čistou cenu pro
dodání podle vztahu:
Pclean _ D  Psettlement  C _ factor
kde C_factor je Conversion Factor, Pclean_D je čistá cena pro delivery a Psettlement je settlement
cena futures kontraktu.
Přepočet vychází ze skutečnosti, že cena dluhopisového futures obecně odpovídá ceně
určitého kupónového dluhopisu D. Dluhopis D má splatnost, která odpovídá době do
splatnosti podkladových dluhopisů pro daný futures kontrakt (“remaining terms“ v “contract
specification“, tab. 3.38) a kupónovou sazbu, která je uvedena ve specifikaci futures
kontraktu (“coupon“ v “contract specification“, tab 3.38). Podstatné pro výpočty dodací ceny
je, že výnos do splatnosti dluhopisu D by se měl v okamžiku delivery rovnat výnosu do
splatnosti všech dluhopisů určených pro delivery. Na základě této úvahy vypočteme C_factor.
Jestliže je stejná kupónová sazba u dluhopisů pro delivery jako je kupónová sazba ve
specifikaci futures kontraktu, C_factor je roven 1.
Máme-li pro dodání na výběr více dluhopisů (viz tab. 3.45), vybereme takový, se
kterým jsou spojeny nejnižší náklady na dodávku. Náklad představuje rozdíl mezi pořizovací
cenou dluhopisu Pclean a jeho cenou pro dodání Pclean_D
COST  Pclean  Pclean _ D  Pclean _ D  PSettlement  C _ factor
Pojem “Cheapest to Delivery“ se používá pro dluhopis s nejnižšími náklady na dodání,
tedy s nejnižšími COST.
88
Příklad
Stanovte, který z dluhopisů v tab. 3.51 je “Cheapest to Delivery“, jestliže Settlement Price pro
FGBL (prosincový kontrakt) by byla stanovena na 137.15.
Deliverable Bond
ISIN
Coupon Rate
(%)
Quoted
Price
Conversion
Factor
DE0001135408
3.00
111.43
0.803418
DE0001135416
2.25
105.07
0.750685
DE0001135424
2.50
107.41
0.760622
DE0001135440
3.25
113.77
0.803821
DE0001135457
2.25
104.76
0.729389
Tab. 3.51 Settlement ceny u futures kontraktů, zdroj: EUREX
Řešení
Pro výpočet “Cheapest to Delivery“ vypočteme nejprve cenu dluhopisů pro delivery
(Delivery Price) jako součin Conversion Factor, který je daný futures trhem a tržní ceny
dluhopisů (Quoted Price), tab. 3.54.
Deliverable Bond ISIN
Delivery Price
Quoted Price
Conversion Factor
DE0001135408
110.19
111.43
0.803418
DE0001135416
105.96
105.07
0.750685
DE0001135424
104.32
107.41
0.760622
DE0001135440
110.24
113.77
0.803821
DE0001135457
100.03
104.76
0.729389
Tab. 3.54 Delivery price u futures kontraktů, zdroj: EUREX
Nejnižší náklady představuje 2. dluhopis shora (DE0001135416), kde rozdíl mezi cenou
pořízení a cenou pro delivery (prodejní) je dokonce pozitivní. Ve všech ostatních případech je
negativní.
Zajištění dluhopisového portfolia pomocí futures kontraktů
Dluhopisové portfolio je vystaveno riziku kapitálových ztrát vzhledem k obtížně
predikovatelným výchylkám tržní ceny.
Jestliže neplánujeme držet všechny jednotlivé dluhopisy v portfoliu až do splatnosti a
z nějakého důvodu je musíme před splatností prodat (například v případě pojistného plnění
pojišťoven), tržní cena se v takový okamžik může pohybovat hluboko pod pořizovací cenou
dluhopisu a prodejem budeme realizovat kapitálové ztráty. V případě, že nechceme portfolio
89
takovému riziku vystavit a akceptujeme, že výnos z držení dluhopisu bude představovat jen
úrokový výnos v podobě kupónových plateb, popřípadě AÚV, můžeme portfolio zajistit
pomocí futures kontraktů (hedging portfolia pomocí futures).
Takto zajištěné portfolio bude v případě správného zajištění téměř imunní vůči
změnám tržní ceny, takže v případě prodeje dluhopisů před splatností bychom neměli
realizovat kapitálové ztráty. Slovo “téměř“ je voleno záměrně, neboť existují určitá rizika,
která nelze hedgingem zcela odstranit.
Jestliže zajišťujeme dluhopis, který je přímo podkladovým aktivem některého futures
kontraktu, pak tento futures kontrakt volíme pro zajištění a situace je nejjednodušší. Princip
zajištění pak vyplývá z obrázku 3.57. Na obrázku je vývoj kotované tržní ceny zajišťovaného
dluhopisu a jeho futures kontraktu. Jestliže dluhopis máme v portfoliu (jsme tedy v jeho
případě v dlouhé pozici) a ve futures otevřeme krátkou pozici ve stejném objemu jmenovitých
hodnot, bude výsledné P/L v průběhu zajištění zhruba nulové, jelikož výchylky P/L budou
stejné. Průběh jednotlivých P/L je na obr. 360. Podstatná je zde stejná citlivost ceny na
úrokové sazby u futures jako u podkladového dluhopisu.
Obr. 3.57 Příklad vývoje tržní ceny futures kontraktu a podkladového dluhopisu, zdroj: vlastní zpracování
V tomto případě mluvíme o tzv. perfect hedging. I v případě perfect hedging však
nedokážeme odstranit některá rizika, jako je například basis risk, související obecně
s odchylkami ve vývoji porušujícími předpokládanou korelaci ve vývoji futures ceny a ceny
podkladového aktiva. Na obr. 3.60 je znázorněna situace, kdy se cena futures vyvíjí jiným
způsobem než je cena podkladového aktiva. Cena futures F se může nalézat nad i pod cenou
podkladového aktiva S. V případě dluhopisu bychom pro takové srovnání museli přepočíst
cenu pomocí Conversion Factor. Obě situace mají následující pojmenování:
•
•
F < S, Normal Backwardation
F > S, Contango
90
Obr. 3.57 Příklad vývoje P/L z pozice ve futures kontraktu a podkladového dluhopisu, zdroj: vlastní
zpracování
Keynes, Hicks tvrdí, že v případě Normal Backwardation spekulanti zaujímají dlouhou pozici
ve futures a hedgeři krátkou pozici, v případě Contango zaujímají spekulanti krátkou pozici
ve futures a hedgeři dlouhou pozici.
V případě, že zajišťujeme dluhopis, který není podkladovým aktivem pro některý
futures kontrakt a jehož doba do splatnosti je rozdílná od dostupných futures, použijeme pro
jeho zajištění takový kontrakt, který dobou do splatnosti zajišťovanému dluhopisu odpovídá
nejvíce. Rozdílnou citlivost ceny na úrokovou sazbou pak musíme kompenzovat objemem
pozice ve futures, jelikož absolutní hodnota výchylky P/L je dána jednak citlivostí kotované
ceny a jednak velikostí pozice. Jestliže budeme zajišťovat portfolio s větší Macaulayovou
durací než odpovídá futures kontraktu, musíme otevřít ve futures pozici o větším objemu než
je pozice v dluhopisech, aby se absolutní výchylky P/L vyrovnaly.
V takovém případě hovoříme o tzv. Cross Hedging. Základní rysy Cross Hedgingu jsou:
•
•
zajišťovaný instrument a podkladové aktivum futures nejsou stejné, ale ceny jsou
korelovány
existuje koeficient h-Hedge Ratio, pro který platí: S= h* F + , h= * S / F
Hedge Ratio h minimalizuje odchylky P/L dané odchylkami ve vývoji porušujícími
předpokládanou korealci (obr.3.63)
91
Obr.3.60 Vývoj futures a spotové ceny, zdroj: John Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 6th edition
Obr.3.63 Optimální zajištění v bodě h, zdroj: John Hull, Options, Futures, and Other Derivatives, 6th edition
V případě dluhopisů stanovujeme koeficient h:
dS
Mac D S 
dS
h
 di 
dF dF Mac D F 
di
92
Na základě znalosti h můžeme stanovit optimální počet kontraktů pro optimální
zajištění. Z logiky věci platí:
Os 
O 1_f  N
N h
h
Os
O 1_f
Os .............................. objem pozice zajišťovaných dluhopisů (v jednotkách měny)
O1_f .......................... objem jednoho futures kontraktu (v jednotkách měny)
N .............................. počet futures kontraktů
Příklad:
Jaké množství futures kontraktů potřebujeme pro zajištění dluhopisu se střední dobou do
splatnosti 7 let, jestliže objem dluhopisu ve jmenovité hodnotě je 1 000 000 USD, kotovaná
cena je 107.5 % JH a cena futures, s podkladovým aktivem se střední dobou do splatnosti 5
let, je 102.3% JH. JH podkladového aktiva na jeden futures kontrakt je 100 000 USD.
Řešení:
N  h
Os
7 1000000
 
 14
O1_f 5 100000
Údaj o ceně není podstatný, jelikož se nám jedná o vzájemné relativní výchylky v P/L dané
vývojem kotované ceny zajišťovaného dluhopisu a futures kontraktu.
Při dlouhodobém zajištění je nutné vzhledem k expiraci futures kontaktů zajištění
obnovovat a průběžně volit futures na podkladové dluhopisy s menší dobou do splatnosti.
93
Oceňování dluhopisů
Stanovení běžné úrokové sazby pomocí bezkupónových dluhopisů
Běžná úroková sazba, která připisuje úrok jednou ročně je vlastně analogií úrokové
sazby, se kterou se setkáváme při úročení vkladu v bance. Platí:
FV1  PV1  (1  i1 )
FV2  PV2  (1  i2 ) 2
.
.
.
FVn  PVn  (1  in )n
i1, i2,... in, jsou běžné úrokové sazby.
Po výnos bezkupónových dluhopisů platí analogické vztahy:
P1 
JH
(1  i1 )
P2 
JH
(1  i2 )2
.
.
.
Pn 
JH
(1  in )n
kde i1, i2,... in, jsou běžné úrokové sazby, které můžeme snadno ze znalosti JH a tržní celkové
ceny dopočítat podle vztahu:
in  n
JH
1
P
Oceňování typického kupónového dluhopisu pomocí běžných úrokových sazeb
V případě jednoho kupónového dluhopisu můžeme na investici pohlížet jako na
investici do n bezkupónových dluhopisů s různou dobou do splatnosti, které pak tvoří
94
portfolio o více bezkupónových dluhopisech se splatností postupně za 1, 2, 3,...,n období a se
jmenovitou hodnotou C, C, ..., C+JH. V takovém případě budeme po každém dílčím
dluhopisu požadovat zúročení odpovídající běžným úrokovým sazbám. Jelikož tedy bude
platit rozdílná úroková míra pro jednotlivá cashflow (C, C, ..., C+JH) po celou dobu
investice, můžeme aplikovat vztah (112) v podobě:
P
c
c
c
c  JH


 ... 
2
3
(1  i1 ) 1  i2  1  i3 
1  in n
(290)
Cenu dluhopisu můžeme též vyjádřit jako:
P
c
c
c
c  JH


 ... 
2
3
(1  i ) 1  i  1  i 
1  i n
Je zřejmé, že obě ceny by se měly teoreticky rovnat. Kdybychom měli k dispozici strukturu
vnitřních výnosových procent, mohli bychom přímo dosadit do vztahu pro vnitřní výnosové
procento i. Jelikož se však nejběžněji dluhopisy oceňují pomocí běžných úrokových sazeb,
dosadíme běžné úrokové sazbu podle obrázku 4.3 do vztahu (290).
Stanovení běžné úrokové sazby pomocí kupónových dluhopisů (Bootstapping)
Pro získání běžných úrokových sazeb ze znalosti cen kupónových dluhopisů a jejich
parametrů můžeme použít metodu Bootstrapping. Metoda spočívá v postupném výpočtu
běžných úrokových sazeb i1, i2,... in ze znalosti parametrů kupónových dluhopisů.
Z kupónového dluhopisu splatného za 1 rok můžeme vypočítat i1 ze vztahu:
P1 
c  JH
(1  i1 )
i1 
JH  C
1
P1
Při znalosti i1 můžeme jeho dosazením do vztahu pro 2 letý dluhopis:
P
c
c  JH

(1  i1 ) 1  i2 2
snadno dopočítat i2. Dosazením i1, i2 do:
P
c
c
c  JH


2
(1  i1 ) 1  i 2 
1  i3 3
dopočítáme i3. Obdobně postupujeme pro i4, i5,... in.
Oceňování typického kupónového dluhopisu pomocí IRS (Interest Rate Swap)
Vzhledem k likviditě IRS je možné stanovit vnitřní výnosové procento z hodnoty
sazby IRS.
95
Úrokový swap (IRS) je dohoda dvou stran vyměnit si úrokové závazky (platby) v
různých sazbách vztahující se ke stejné nominální částce (jistině). Zpravidla se přitom jedná o
výměnu fixní platby úroků za variabilní. Dochází tedy pouze k výměně úroků, avšak nikoli k
výměně jistiny (tj. kapitálovému toku). Kupující IRS (plátce fixního úroku) profituje z nárůstu
úrokových sazeb. Prodávající IRS (nabyvatel, příjemce fixního úroku) profituje v případě
poklesu úrokových sazeb.
V případě IRS představuje cena swapu vlastně velikost kupónové sazby, kterou platí
kupující prodávajícímu. Jelikož na počátku ani na konci transakce nedochází k žádnému
finančnímu vypořádání jistin, lze si celou situaci představit tak, že prodávající swapu kupuje
kupónový dluhopis za cenu P=100% JH, při splatnosti ho pak prodává za 100% JH a během
držby obdrží kupónové výplaty, odpovídající kupónové sazbě, která je rovna ceně IRS.
Obr.4.3 Struktura běžných úrokových sazeb, zdroj: vlastní zpracování
Situaci, kdy dochází k vypořádání IRS na roční bázi, odpovídá vztah:
100 
IRS
IRS
IRS  100

 ... 
1
2
(1  IRS) (1  IRS)
(1  IRS)n
kde IRS je velikost fixní sazby(cena IRS swapu).
96
Příklad 901
Mějme dluhopis s fixní kupónovou sazbou 6.8% p.a., s frekvencí výplaty 1x ročně. Situace
v den nákupu: 5 kupónových výplat do splatnosti. 25 dní do příští výplaty kupónu-settlement
day (den nákupu nepočítejte), výnos do splatnosti 2.5 % p.a, konvence act/360, settlement day
je shodný s ex-coupon day. Vyjádřete cenu dluhopisu jako procento ze jmenovité hodnoty a
Macaulayovu duraci dluhopisu.
Řešení:
Podle vztahu (209) a (220) můžeme cenu vyjádřit jako procento ze jmenovité hodnoty následovně:
P

JH
0.068
(1  0.025 )
25
360

0.068
(1  0.025)
25360
360

0.068
(1  0.025)
25 2360
360

0.068
(1  0.025)
25 3360
360
0.068  1

(1  0.025)
25 4360
360
P
 1.228 122.8%
JH
kde P/JH je požadovaná cena jako procento ze jmenovité hodnoty, 0.068 je c/JH.
Kdybychom i převedli na id pomocí vztahu pro převod mezi bázemi:
i 

i  1  d 
365 

365
1
Mohli bychom P/JH vyjádřit následovně:
P
0.068
0.068
0.068
0.068
0.068  1





25
25 360
25 2360
253360
JH (1  id )
(1  id )
(1  id )
(1  id )
(1  id ) 25 4360
a obdrželi bychom stejný výsledek.
Ze vztahu (260) můžeme vypočítat Macaulayovu duraci, jestliže zlomek ještě vydělíme JH:
97
d
d  360
d  n  1  360
 cs
 cs
 cs  1
360
360
360

 ... 
d
d  360
d   n 1 360
360
360
360
(1  i )
(1  i )
(1  i )
Mac D 
P
JH
c současně přejde v cs =0.068, n=5, d=25 a Macaulayovu duraci spočítáme podle:
25
25  360
25  5  1  360
 0.068
 0.068
 0.068  1
360
360
360


...

25
25  360
25   5 1 360
360
360
360
(1  i )
(1  i )
(1  i )
Mac D 
 3.3855
1.228
Příklad 902
Pro dluhopis z příkladu 901 spočítejte cenu v procentech ze jmenovité hodnoty a Macaulayovu duraci
pro případ, že do nejbližší kupónové výplaty zbývá přesně 1 rok=360dní.
Řešení:
Kdybychom uvažovali do první kupónové výplaty 1 rok, pak P/JH:
P
0.068
0.068
0.068
0.068
0.068  1





 1.19977  119.977%
1
2
3
4
JH (1  0.025 ) (1  0.025) (1  0.025) (1  0.025) (1  0.025)5
Pro Macaulyovu duraci bychom modifikovali vztah (260) na:
cs
Mac D 
(1  i )
1

2  cs
(1  i )
2
 ... 
5  cs  1
(1  i )5
P
JH
Po dosazení bychom obdrželi:
98
0 .068
Mac D 
(1  0.025 )
1

2  0.068
2
(1  0.025 )
1.19977
 ... 
5  0.068  1
(1  0. 025 ) 5
 4.4606
Příklad 903
Pro dluhopis z příkladu 901 vypočítejte AÚV v den nákupu v procentech ze JH.
Řešení:
AÚV
25
25 

 0.068 
 0.068  0.068 1 
  0.0633  6.33 %
JH
360
360 

Do celého kupónu zbývá AÚV za 25 dní, tudíž se musí odečíst příslušná poměrná část od
celého kupónu.
Příklad 904
Pro dluhopis z příkladu 901 vypočítejte clean price v den nákupu v procentech ze JH.
Řešení:
Clean price vypočítáme jako rozdíl celkové ceny a AÚV v den nákupu.
Pclean
P
AÚV


 1.228  0.0633  1.1647  116 .47 %
JH
JH
JH
Příklad 905
Vypočítejte, jak se změní cena dluhopisu při poklesu úrokové sazby o 3 procentní body. Dluhopis má
roční výplatu kupónu, cs =5%, i=10%, JH=1000 CZK, splatnost je za tři roky. Do následné výplaty
kupónu zbývá přesně jeden rok.
Řešení:
Nabízejí se dvě cesty výpočtu. První cestou je vypočítat cenu dluhopisu P před změnou úrokové sazby
a následně po změně. Výsledná změna je rozdíl těchto dvou cen.
Druhou možností je vypočítat změnu ceny pomocí Macaulayovy durace a konvexity.
Cena dluhopisu před změnou úrokové sazby pomocí (213):
P
0.05  1000 0.05  1000 0.05  1000  1000


 875.66
(1  0.1)
1  0.12
1  0.13
99
Cena dluhopisu po změně úrokové sazby pomocí (213):
P
0.05  1000 0.05  1000 0.05  1000  1000


 947.51
(1  0.07) 1  0.07 2
1  0.073
Rozdíl cen=ΔP=71.85
Změna ceny pomocí Macaulayovy durace. Nejprve vypočítáme podle (240) Macaulayovu duraci:
1  50
2  50
3  50  1000 


2
3
(1  0.1)

1  0.1

1  0 .1
Mac D 
 2.849
875 .66
Následně dosadíme do (250):
P  2.849
875.66
  0.03  68.04
(1  0.1)
Abychom výsledek zpřesnili, vypočítáme ještě konvexitu podle (272):
Conv =
8103.64
 9.25
875.66
ΔP pak můžeme přibližně vyjádřit podle (274) jako:
dP   Macdur
P
1
di  P  Conv  di 2  68.04  3.65  71.69
(1  i )
2
Přesná hodnota změny ceny je 71.85, s použitím Macaulayovy durace a konvexity je přibližná
hodnota 71.69. Kdybychom použili další členy v Taylorově rozvoji, výsledek se dále zpřesní.
Příklad 906
Odhadněte o kolik procent se změní cena dluhopisu při vzestupu úrokové sazby o 1 %. Dluhopis má
roční výplatu kupónu, cs =5%, i=10%, JH=1000 CZK, splatnost je za tři roky. Do následné výplaty
kupónu zbývá přesně jeden rok.
Řešení:
Pro odhad můžeme použít vztah (76), podle kterého je procentuální změna ceny dluhopisu při
změně vnitřního výnosového procenta o 1% rovna Macaulayově duraci. V příkladu 905 byla
Maculayova durace stejného dluhopisu stanovena na 2.849 a příslušná procentuální změna
100
ceny je tedy taktéž 2.849. Jelikož došlo k vzestupu úrokové sazby, cena o tuto hodnotu
poklesne
Příklad 907
Vypočítejte celkovou bilanci z držení dluhopisu po dvou letech, jestliže po prvním roce držby dojde
k vzestupu vnitřního výnosového procenta o 3 procentní body. Dluhopis má roční výplatu kupónu, cs
=5%, i=5%, JH=1000 CZK, splatnost je za tři roky. Do následné výplaty kupónu zbývá přesně jeden
rok.
Řešení:
Cena v době nákupu:
P
0.05  1000 0.05  1000 0.05  1000  1000


 1000
(1  0.05) 1  0.052
1  0.053
Bez výpočtu je zřejmé, že jestliže je vnitřní výnosové procento rovné kupónové sazbě, pak
musí být cena rovna jmenovité hodnotě.
Po dvou letech a po změněné sazbě na 8% p.a. bude prodejní cena dluhopisu:
P
0.05  1000  1000
 972.22
1  0.08
Pokles ceny je pak roven:
1000  972.22  27.8
Celkový úrokový výnos ze dvou kupónů je 100 CZK. Budeme-li navíc uvažovat reinvestici
prvního kupónu na sazbu 8% p.a., bude z úrokového výnosu příjem 104 CZK. Celková
bilance z nákupu a prodeje dluhopisu (včetně reinvestice kupónů) je na konci druhého roku
104-27.8=76.2 CZK. Částka je nižší, než kdyby k vzestupu vnitřního výnosového procenta
nedošlo.
Příklad 908
Porovnejte Moosmüller Yield a Yield to Maturity u dluhopisu, jestliže do splatnosti zbývá 54
dní. Jedná se o německý státní dluhopis, který se obchoduje za celkovou (dirty price)
103.23%, kupónová sazba je rovna 3.5% s roční výplatou kupónu, konvence ACT/365.
Pro Yield to Maturity i v daném případě platí:
P
c  JH
54
1  i 365
Vyjádříme-li cenu v procentech ze jmenovité hodnoty:
101
c 1
P
 s 54
JH 1  i  365
Dosadíme-li číselné hodnoty:
1.0323 
0.035  1
54
1  i 365
Z rovnice pak obdržíme i, které je rovno 1.78 %.
Moosmüller Yield imoos vypočteme z rovnice:
cs  1
P

54
JH 

imoos 
1 
 365

Dosadíme-li číselné hodnoty:
1.0323 
0.035  1
54


imoos 
1 
 365

Z rovnice pak obdržíme imoos , které je rovné 1.77 %.
Moosmüller Yield vychází nižší, jelikož s finanční matematiky je známo, že při
področním úročení, při ročním úrokovacím období, je při stejné úrokové sazbě jednoduché
úročení výhodnější než složené. Obecně pro i platí:
54
1  i 365
54 

 1 
i
 365 
Při stejné FV a PV (v našem případě P a C+JH) pak musí být úroková sazba, která
používá jednoduché úročení, nižší.
Příklad 909
Mějme dluhopis s fixní kupónovou sazbou 6.3% p.a., s frekvencí výplaty 1x ročně. Situace
v den nákupu: 3 kupónové výplaty do splatnosti. 64 dní do příští výplaty kupónu-settlement
day (den nákupu nepočítejte), výnos do splatnosti na roční bázi ie=2.1 % p.a, konvence
102
act/365, settlement day je shodný s ex-coupon day. Vyjádřete cenu dluhopisu jako procento ze
jmenovité hodnoty pomocí spojitého úročení.
Řešení:
S využitím vztahu (203) dostaneme vztah pro cenu dluhopisu jako procento ze jmenovité :
P

JH
cs
e
d
i s
365
c

e
s
d  365
i s
365
c 1

e
s
d  2 365
i s
365
Sazbu is vyjádříme pomocí i ze vztahu:
i e  e is  1
i s  ln( 1  i )
Číselně pak:
i s  ln( 1  0 . 021 )  2 . 078 %
P

JH
0 . 063
e
64
 0 . 02078
365
0 . 063

e
64  365
 0 . 02078
365
0 . 063  1

e
64  2 365
 0 . 02078
365
 114 . 27 %
Pro srovnání ještě uvedeme výpočet podle ISMA method s použitím sazby ie:
P

JH
cs
(1  i e )
d
365
cs

(1  i e )
d  365
365
cs  1

(1  i e )
d  2 365
365
Číselně pak:
P

JH
0 . 063
(1  0 . 021 )
64
365

0 . 063
(1  0 . 021 )
64  365
365

0 . 063  1
(1  0 . 021 )
64  2 365
365
 114 . 27 %
Je zřejmé, že oba výsledky se musejí rovnat.
Příklad 910:
1/5
Máme US Treasury Bond, fixní kupónová sazba=6
% p.a., frekvence výplaty kupónu je pololetní,
situace v den nákupu: 5 kupónových výplat do splatnosti, 25 dní do příští kupónové výplaty (den
103
nákupu nepočítejte), výnos do splatnost (podle Street Convention) = 2.354% p.a., konvence ACT/360,
settlement day=ex-coupon day.
1. Vyjádřete celkovou cenu (dirty) price v den nákupu jako procento ze jmenovité hodnoty.
2. Vyjádřete AÚV v den nákupu.
3. Vyjádřete Macaulayovu duraci.
Řešení:
1.
cs
P
2


25
JH
i 180
(1  )
(1 
2
cs
2

25180
i 180
)
(1 
2
cs
2
i
)
2
25 2180
180

cs
2
i
(1  )
2
253180
180
cs
1
2

25 4180
i 180
(1  )
2
Dosazením za cs=0.062, i=0.02354 obdržíme celkovou cenu v procentech ze jmenovité
hodnoty. Obdobně dosazujeme i v dalších bodech 2. a 3.
2.
c
AÚV
25
 s 
 cs
JH
2
360
Macualayova durace jako střední doba splatnosti v pololetích:
25  4  180  c s

25 c s
25  180 c s
   1


180
 2

180 2  180
2  ... 
25

180
25
 4180
25
i
i
i
(1  ) 180
(1  ) 180
(1  ) 180
2
2
2
Mac D 
P
JH
Pro vyjádření v letech dělíme výsledek dvěma.
104
Použitá literatura:
1. Galen, D., Burghardt;Terrence,M., Belton; Morton, Lane; John, Papa: Treasury
Bond Basis, Third Edition, McGraw-Hill, 2005
2. Frank, J., Fabozzi; T.,Dessa, Fabozzi: The Handbook of Fixed Income Securities,
Fourth Edition, Irwin Professional Publishing, 1995
3. Musílek, Petr: Finanční trhy a investiční bankovnictví, ETC Publishing,852 s. ISBN
80-86006-78-6, Praha, 1999
4. Radová, Jarmila; Dvořák, Petr, Málek, Jiří: Finanční matematika pro každého, 6.
aktualizované vydání, Grada Publishing, a.s., Praha, 2007
5. Stádník, Bohumil: Model dynamického finančního trhu, disertační práce, VŠE,
Fakulta financí a účetnictví, Praha, 2011
6. Veselá, Jitka: Analýzy trhu cenných papírů, II.díl: Fundamentální analýza, VŠE,
Praha, 2003
105

Úvod do teorie a praxe dluhopisů

Transkript

Podobné dokumenty

AKT Praha Taxisluzba gmail.com> 10.11.15

Jak napsat platnou sm6nku (akturilni ot6zky sm6ne6n6ho pr6va)

IIII - JUDr. Josef ČERNÝ, soudní exekutor