cvičení
Transkript
cvičení
Elektrotechnika 1 Příklady k procvičení doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D. doc. Ing. Milan Murina, CSc. ÚSTAV TEORETICKÉ A EXPERIMENTÁLNÍ ELEKTROTECHNIKY 2 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Obsah 1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace .................................................... 3 2 Metoda zjednodušování obvodu ........................................................................................ 6 3 Metoda úměrných veličin................................................................................................. 10 4 Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů ........................................................................... 13 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) ................................................................................ 14 6 Metoda uzlových napětí (MUN) ...................................................................................... 20 7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN) ........................................................... 27 8 Metoda náhradního zdroje ............................................................................................... 29 9 Časově proměnné veličiny ............................................................................................... 32 10 Nelineární obvody ............................................................................................................ 37 11 Magnetické obvody .......................................................................................................... 46 Příloha – BH charakteristiky .................................................................................................... 58 Příloha - Program LinRov ........................................................................................................ 59 1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace 3 1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace OHMŮV ZÁKON U U R I R I I. KIRCHHOFFŮV ZÁKON (PROUDOVÝ): I k 0 k Proudy tekoucí z uzlu bereme s kladným znaménkem, proudy tekoucí do uzlu se záporným znaménkem. I2 I1 I 2 I 3 0 I1 I3 II. KIRCHHOFFŮV ZÁKON (NAPĚŤOVÝ): U k k 0 Napětí (úbytky na rezistorech, napětí zdrojů), jejichž čítací šipka má směr, souhlasící se směrem oběhu kolem smyčky, bereme s kladným znaménkem, ostatní napětí se záporným znaménkem. Ui1 U UR3 Ui2 U R3 R1 UR2 U i1 U R3 U i2 U R2 U R1 0 R2 UR1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1.1 Napětí stejnosměrného zdroje naprázdno je 13 V. Při proudu 20 A je svorkové napětí 12 V. Vytvořte napěťový a proudový model tohoto reálného zdroje. Řešení a) napěťový model b) proudový model Ii Ri Ui I U U i U 0 13 V Ri U 0 U 13 12 0, 05 Ω 20 I Gi Gi Ii 1 20 S Ri Ui 260 A Ri 4 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Příklad 1.2 Stejnosměrný zdroj při připojeném R1 68 Ω dodává proud I1 0,15 A a při R2 100 Ω pak I 2 0,106 A . Vytvořte napěťový a proudový model zdroje. Řešení R1 I1 U i Ri I1 , Ri R2 I 2 U i Ri I 2 , R1 I1 R2 I 2 9, 091 I 2 I1 Ri 9,091 Ω Ri Ui U i 11,56 V R1 I1 R2 I 2 U i Ri I1 U i Ri I 2 U i Ri I1 R1 I1 11,56 V Ii I Gi Gi Ii U 1 1 0,11S Ri 9, 091 U i 11,56 1, 272 A Ri 9, 091 Příklad 1.3 Určete napětí U a proud IV dvou paralelně řazených elektrických zdrojů (např. nový a starší chemický článek). Ri1 Ui1 Ri2 U Iv U U Ui2 U i1 1,6 V U i2 1,45 V Ri1 0,8 Ri2 1,2 Ω Řešení Aplikací II. K.z. na vyznačenou smyčku dostaneme Ri1 I V Ri2 I V U i2 U i1 0 . U U i2 Vypočteme proud smyčky I V i1 0,075 A . Ri1 Ri2 Výsledné napětí U je součtem napětí v jedné větvi U Ri2 I V U i2 1,54 V . Poznámka: Paralelně řazené články jsou naprázdno, přesto uvnitř baterie teče proud. Proto nelze spojovat nové a staré elektrické články paralelně. NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1.4 Určete napětí U: a) přepočtem napěťových zdrojů na proudové, b) aplikací základních zákonů elektrických obvodů. 1 Základní zákony elektrických obvodů a jejich aplikace R1 U1 U R2 U U1 70 V U 2 50 V R1 9 Ω R2 15 Ω U U2 5 Výsledek: U = 25 V Příklad 1.5 Určete svorková napětí zdrojů U1 a U2 pro hodnotu zátěže a) Rz = 5 Ω a b) Rz = 3 Ω. U1 U U2 U Ri1 Ui1 Ui2 I U i1 1,6 V U i2 1,2 V Ri2 Ri1 0,8 Ω Ri2 4 Ω Rz a) Výsledky: b) Výsledky: I 0, 2857 A U1 1,371 V, U 2 0, 05714 V I 0,359 A U1 1,313 V, U 2 0,2359 V Poznámka: Při vzájemném porovnání výsledků je vidět, že pro menší z hodnot Rz se otočí polarita svorkového napětí U2. To může nastat v baterii z nestejných elektrických článků. Příklad 1.6 Určete hodnotu odporu R3 tak, aby U ab 20 V . a R1 R2 U1 R3 U2 U U3 U U U1 10 V, U 2 20 V, U 3 30 V R1 5 Ω, R2 10 Ω b Nápověda: Přepočtěte zdroje na proudové a k řešení použijte I. K.z. pro uzel Výsledek: R3 = 5 Ω a . 6 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení 2 Metoda zjednodušování obvodu ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 2.1 Určete U4 metodou zjednodušování. R1 U2 I1 U R3 R2 R4 I2 U U4 U 10 V, R1 20 Ω, I4 R2 100 Ω, R3 R4 50 Ω Řešení: R34 R3 R4 50 50 100 Ω Celkový odpor R234 Proud ze zdroje R R1 R234 20 50 70 Ω U I1 0,1429 A R U 2 U R1 I1 7,143 V Hledané napětí U4 U2 R2 R34 100 100 =50 Ω R2 R34 100 100 R4 3,571 V R3 R4 Příklad 2.2 Vypočtěte proudy I, I2, I3. I2 R1 R2 R3 I I3 U U 20 V R1 R2 R3 R4 10 R4 U Řešení: U I U U I U R23 R23 R1 R2 R3 10 10 5Ω R2 R3 10 10 R4 R R1 R23 R4 25Ω R I U 20 0,8A R 25 2 Metoda zjednodušování obvodu 7 U 2 I R23 0,8 5 4 V U2 I2 R1 R2 R3 I R4 I3 U I2 U2 4 0,4 A R2 10 I3 U2 4 0,4 A R3 10 U Příklad 2.3 Vypočtěte proudy I, I2, I3, I4, I5. R2 R1 R3 I3 A I2 U 20 V R1 R3 R4 10 B I5 I R2 20 R4 I 4 U U R5 C R5 = 15 Řešení: R2 R1 R34 I U I5 I2 R5 R345 R34 R5 20 Ω R2345 I I U U U R2 I U U C R3 I3 R4 I4 U U 20 1 A R 20 U1 U AB U 0 U AB U U1 I I2 A R R R1 R2345 20 Ω RR R2345 2 345 10 Ω R2 R345 R1 U U R1 I2 R345 I5 I U R3 R4 5Ω R3 R4 R34 R2 R1 I5 R5 B U AB U I R1 10 V I2 U AB 10 0,5 A R2 20 I 5 I 2 I 0 I 5 I I 2 0,5 A 8 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení U AB U AC U 5 U AC U AB U 5 U AC U AB I 5 R5 2,5 V I3 U AC 2,5 0,25 A R3 10 I4 U AC 2,5 0,25 A R4 10 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 2.4 Vypočtěte proudy I, I1, I2, I3, I4 I2 R2 I1 R1 I3 R3 I4 R4 U = 50 V R1 = 10 Ω I U U R2 = R3 = 20 Ω R4 = 10 Ω Výsledky: I 5,5 A, I1 3 A, I 2 2,5 A, I 3 1 A, I 4 2 A Příklad 2.5 Vypočtěte proudy I, I2, I3, I4, I5 I2 R2 R1 I U C A U R3 I3 R4 I4 I5 U = 20 V R1 = 10 B R2 = R3 = 20 R5 R4 = 40 R6 I6 R5 = R6 = 30 Výsledky: I 0,3725 A, I 2 0,2549 A, I 3 0,0784 A, I 4 0,0392 A, I 5 0,1176 A Příklad 2.6 Vypočtěte proudy I, I1, I2, I3, I4, I5 I2 R2 I1 R1 I3 R3 I4 R4 U = 30 V R1 = R3 = R5 =20 Ω I U U R2 = 10 Ω I5 R5 R4 = 40 Ω Výsledky: I I 5 1,083A, I1 0,25 A, I 2 0,83 A, I 3 0,16 A, I 4 0,083 A 2 Metoda zjednodušování obvodu 9 Příklad 2.7 Vypočtěte proudy I, I2, I3, I4, I5, I6 I2 R2 R1 C A I U U R3 I3 R4 I4 I5 B R5 U = 50 V R1 = 10 , R2 = 20 R3 = 30 , R4 = 40 R6 R5 = 50 , R6 = 60 I6 Výsledky: I I 6 0,585 A, I 2 0,451 A, I 3 0,0767 A, I 4 0,0576 A, I 5 0,134 A Příklad 2.8 Určete všechny proudy v obvodu. R1 I1 I3 U U I4 R3 R4 I2 R2 U 10 V R1 R3 3 kΩ R2 13 kΩ R4 2 kΩ Výsledky: I1 I 2 0,6723 mA, I 3 0,4213 mA, I 4 0,2528 mA Příklad 2.9 Určete všechny proudy obvodu. R2 I2 I3 I1 U U R1 R3 R4 I4 U 48 V, R1 2 Ω R2 30 Ω, R3 40 Ω I5 R4 10 Ω, R5 20 Ω R5 Výsledky: I1 3,178 A, I 2 1,096 A, I 3 0,219 A, I 4 0,877 A, I 5 2,082 A Příklad 2.10 Vypočtěte proudy I1, I2, I3, I4. I2 R2 I1 R1 U = 50V, R1 = R4 =10 Ω R3 I3 R2 =60 Ω, R3 = 20 Ω U U Výsledky: R4 I4 R5 R5 = 30 Ω I1 2,143 A, I 2 0,8333 A, I 3 1,429 A, I 4 0,7143 A 10 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení 3 Metoda úměrných veličin ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 3.1 Určete napětí U4 metodou úměrných veličin. R1 R3 U2 I1 R2 I2 U U R4 U4 U 10 V, I4 R2 100 Ω, R3 R4 50 Ω Řešení: Volíme U 4 50 V a vypočteme R1 20 Ω, I 4 U 4 1 A, U 2 R3 R4 I 4 100 V R4 I 2 U 2 1A, I1 I 2 I 4 2 A R2 U U 2 R1 I1 140 V U k 0,07143 U U 4 kU 4 3,571 V Koeficient úměrnosti Hledané napětí Příklad 3.2 Určete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin. R1 I1 U R3 1 I3 R2 U U 10 V R1 R3 3 kΩ 2 R5 R4 I2 I4 I5 0 Řešení: a) metodou zjednodušování: R20 R4 R5 1,333 kΩ R4 R5 R10 R2 R3 R20 3,25 kΩ R2 R3 R20 R R1 R10 6,25 kΩ U I1 1,6 mA R U10 U R1 I1 5,2 V R2 13 kΩ R4 2 kΩ R5 4 kΩ b) metodou úměrných veličin: Volíme I 5 1 mA . R5 I 5 4 V U 20 I 4 U 20 2 mA R4 I 3 I 4 I 5 3 mA R3 I 3 13 V U10 U 20 I 2 U10 1 mA R2 3 Metoda úměrných veličin I2 11 U10 0,4 mA R2 I1 I 2 I 3 4 mA U U10 R1 I1 25 V I 3 I1 I 2 1,2 mA U 0,4 U I1 kI1 1,6 mA, I 2 kI 2 0,4 mA U 20 U10 R3 I 3 1,6 V I4 U 20 0,8 mA R4 I5 U 20 0,4 mA R5 k I 3 kI 3 1,2 mA, I 4 kI 4 0,8 mA I 5 kI 5 0,4 mA NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 3.3 Určete proudy obvodu: a) metodou zjednodušování, b) metodou úměrných veličin. U U 10 V I4 I1 R5 U R1 I3 I5 R3 R2 R1 R3 3 kΩ R4 R2 13 kΩ R4 2 kΩ I2 R5 10 kΩ Výsledky: I1 1,672 mA, I 2 0,672 mA, I 3 0,4202 mA, I 4 0,2510 mA, I 5 1,000 mA Příklad 3.4 Vypočtěte proudy I1, I2, I3, I4. I2 R2 I1 R1 U = 50 V, R1 = R4 =10 Ω R3 I3 R2 =60 Ω, R3 = 20 Ω U U R4 Výsledky: I4 R5 = 30 Ω R5 I1 2,143 A, I 2 0,83 A, I 3 1,429 A, I 4 0,7143 A Příklad 3.5 Vypočtěte proudy I, I1, I2, I3, I4, I5. I2 R2 I1 R1 I3 R3 I4 R4 U = 30 V R1 = R4 = R5 = 20 Ω I U U I5 R5 R2 =40 , R3 = 10 Ω 12 Výsledky: Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení I I 5 0,83 A, I1 0,5 A, I 2 0,3 A, I 3 0,3 A, I 4 0,16 A 4 Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů 13 4 Přímá aplikace Kirchhoffových zákonů ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 4.1 Obvod řešte aplikací Kirchhoffových zákonů. 1 R1 R3 R2 20 Ω R2 I3 U1 U R1 10 Ω I2 I1 R3 15 Ω U2 U1 6 V U U 2 18 V 0 Řešení: I. K.z.: pro uzel 1 I1 I 2 I 3 0 R1 I1 R3 I 3 U1 0 II. K.z.: R2 I 2 R3 I 3 U 2 0 -1 -1 1 I1 0 10 0 15 I 2 6 0 20 15 I 18 3 -1 -1 R 0 1 0 R 2 1 I1 0 R3 I 2 U1 R3 I 3 U 2 I1 0,09231 A I 2 0,5538 A I 3 0,4615 A Příklad 4.2 Obvod popište pomocí K.z. 1 I U R3 IG R4 R I4 G I2 U Řešení: I1 I3 R1 2 R2 Nezávislé uzly n = 3, I. K.z.: 1: I I1 I 3 0 3: I 2 I 4 I 0 Nezávislé smyčky s = 3, II. K.z.: R1 I1 + RG I G − R3 I 3 = 0 R2 I 2 − R4 I 4 − RG I G = 0 R3 I 3 R4 I 4 U 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 R 0 RG 1 0 R3 0 R 0 R4 RG 2 0 R3 R4 0 0 1 I1 0 0 I2 0 1 I 3 0 0 I 4 0 0 I G 0 0 I U 2: I1 I 2 I G 0 3 Popis obvodu pomocí K.z. vede na velké množství rovnic, proto se častěji používá metoda smyčkových proudů nebo metoda uzlových napětí. 14 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 5.1 Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu. I1 R1 U I2 R3 U1 6 V, U 2 18 V R2 Is1 Is2 U1 I3 U2 R1 10 Ω, R2 20 Ω U R3 15 Ω Řešení: Pro smyčky můžeme podle II. K.z napsat: S1: R1 I s1 R3 I s1 I s2 U1 0 R1 R3 I s1 R3 I s2 U1 S2: R2 I s2 R3 I s2 I s1 U 2 0 R3 I s1 R2 R3 I s2 U 2 V maticovém zápisu: R R3 1 R3 R3 I s1 U1 R2 R3 I s2 U 2 Pomocí Cramerova pravidla 25 -15 I s1 6 -15 35 I s2 -18 25 -15 60 -18 35 60 I s1 1 0,09231 A 650 650 -15 35 25 6 2 360 -15 -18 360 I s2 2 0,5538 A 650 I1 I s1 0,09231 A I 2 I s2 0,5538 A 1 6 -15 I 3 I s1 I s2 0,09231 0,5538 0,4615 A Poznámka: Soustavu rovnic pro MSP lze zapsat přímo v maticovém tvaru: R·Is = U. Prvky hlavní diagonály odporové matice jsou dány součtem rezistorů příslušné smyčky. Při volbě smyček jako ok sítě a souhlasném smyslu smyčkových proudů jsou ostatní prvky matice R tvořeny záporně vzatou hodnotou rezistorů společných větví. Prvky vektoru zdrojů napětí U jsou dány součtem napětí zdrojů v příslušné smyčce s respektováním znaménka (+ pro nesouhlasnou orientaci napěťové šipky vzhledem ke smyčkovému proudu, - pro souhlasnou orientaci napětí a smyčkového proudu). 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) 15 Příklad 5.2 Pomocí MSP určete proudy v obvodu. R3 I U R1 I3 Is1 Is3 U IG I4 U 2V R1 R3 20 Ω I1 RG Is2 R2 40 Ω, R4 10 Ω I2 RG 25 Ω R2 R4 Řešení: R RG R3 RG 1 RG R2 R4 RG R3 R4 I s1 0,04321 A, R3 I s1 0 R4 I s2 0 R3 R4 I s3 U 65 25 20 I s1 0 25 75 10 I s2 0 20 10 30 I 2 s3 I s2 0,0284 A, I s3 0,1049 A I1 I s1 0,04321 A, I 2 I s2 0,0284 A I 3 I s3 I s1 0,06169 A , I 4 I s3 I s2 0,0765 A I I s3 0,1049 A, I G I s1 I s2 0,01481 A Příklad 5.3 Určete proudy obvodu v pomocí MSP. U R1 U2 U1 Is3 Is1 R4 I1 I2 U I4 R3 Is2 U1 5 V, R2 R5 I3 R1 7,5 Ω, R2 2,5Ω R3 5 Ω, I5 U2 7 V R4 2 Ω R5 25Ω Řešení: R R4 R4 1 R4 R3 R4 R5 0 R5 0 I s1 U1 R5 I s2 0 R2 R5 I s3 U 2 I s1 0,4A, I s2 0,6A, I s3 0,8A I1 I s1 0,4 A, I 2 I s3 0,8 A, I 3 I s2 0,6 A I 4 I s1 I s2 1 A, I 5 I s2 I s3 0,2 A (Zkouška : I 2 I 3 I 5 0,8 A) 9,5 -2 0 I s1 5 -2 32 -25 I s2 0 0 -25 27,5 I -7 s3 16 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 5.4 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3. R2 R1 I1 U I3 U1 R3 U2 I2 U3 U1 10 V, U 2 20 V, U 3 30 V U R1 R4 10 Ω R2 R3 20 Ω U R4 Výsledky: I1 0,16 A, I 2 1,16 A, I 3 1,3 A Příklad 5.5 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3. R1 U1 10 V I1 U I2 U1 R2 I3 U 2 30 V R3 R1 R2 10 Ω R3 =20 Ω U U2 Výsledky: I1 -0, 6 A, I 2 -1, 4 A, I 3 0,8 A Příklad 5.6 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3. R3 R1 I1 U U1 U2 I2 R4 U1 10 V, U 2 30 V I3 U R2 U3 R5 Výsledky: I1 0, 7 A, U 3 20 V U R1 R4 R5 10 R2 20 , R3 30 I 2 1,3 A, I 3 -0, 6 A 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) 17 Příklad 5.7 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3. I1 R1 U1 R3 U I2 R2 I3 U2 U1 20 V, U 2 30 V R1 R2 R4 10 U R3 20 R4 Výsledky: I1 -1, 286 A, I 2 -0, 714 A, I 3 -0,571 A Příklad 5.8 Metodou smyčkových proudů vypočtěte proudy I1, I2, I3. R1 R4 I1 U R2 U2 U 2 20 V I3 I2 U1 U1 30 V R3 U U 3 40 V U3 R1 R2 10 U R3 R4 20 Výsledky: I1 0, 6 A, I 2 1,83 A, I 3 -1,16 A Příklad 5.9 Určete proudy v obvodu pomocí MSP. I3 U1 I1 I6 U U1 110 V, U 2 15 V, U 3 90 V R4 R1 U R6 U3 R3 I5 R5 I4 U2 R1 500 Ω, R2 300 Ω, R3 500 Ω I2 R2 R4 1000 Ω, R5 200 Ω, R6 700 Ω U Výsledky: I1 0, 06 A, I 2 0, 05 A, I 3 0, 04 A, I 4 0, 01 A, I 5 0, 05 A, I 6 0,1 A 18 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Příklad 5.10 Metodou smyčkových proudů určete jednotlivé proudy ve větvích obvodu. U4 I6 U I5 I4 R5 U2 I2 R2 U R4 R3 U3 U I3 U1 I1 U U1 100 V, U 2 30 V U 3 10 V, U 4 6 V R1 R2 10 Ω, R3 15 Ω R4 6 Ω, R5 5 Ω R1 Výsledky: I1 5,05 A, I 2 0,95 A, I 3 3,117 A, I 4 2,166 A, I 5 4,1 A, I 6 1,933 A Příklad 5.11 Metodou smyčkových proudů určete proudy obvodu a také výkony dodávané zdroji a spotřebované rezistory. U1 U U R6 I1 I6 R1 R4 U2 I2 R2 I4 R3 R5 I5 I3 U1 8V, U 2 8V R1 22Ω, R2 5Ω, R3 16Ω R4 15Ω, R5 9Ω, R6 14Ω Výsledky: I1 0,3956 A, I 2 0,5726 A, I 3 0,2772 A, I 4 0,1184 A, I 5 0,2954 A, I 6 0,177 A PR1 R1 I12 3,443 W PR2 R2 I 22 1,639 W PR3 R3 I 32 1,229 W PR4 R4 I 42 0,2103 W PR5 R5 I 52 0,7854 W P R PR6 R6 I 62 0,4386 W 7,745 W P1 U1 I1 3,165 W, P2 U 2 I 2 4,581 W, P 7,746 W Příklad 5.12 Metodou smyčkových proudů určete proudy v obvodu. PP R 5 Metoda smyčkových proudů (MSP) I6 R3 R6 U I5 R4 U1 11 V, U 2 35 V I1 R5 U1 R1 I3 R1 5 kΩ, R2 3 kΩ U I2 U2 I4 R2 19 R3 2 kΩ, R4 5 kΩ R5 1 kΩ, R6 0,5 kΩ Výsledky: I1 2,25 mA, I 2 6,54 mA, I 3 7,48 mA, I 4 1,31 mA, I 5 8,79 mA, I 6 5,23 mA 20 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení 6 Metoda uzlových napětí (MUN) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 6.1 Určete napětí U1 a U2 pomocí metody uzlových napětí. I R1 U1 R2 U I R3 U A 20 V, U B 15 V I 1,5 A R1 R2 20 Ω R4 U2 UB U UA R3 R4 40 Ω Řešení: Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu a odpory na vodivosti: U U I A A 1 A, I B B 0,375 A, R1 R4 1 1 G1 G2 0, 05 S, G3 G4 0, 025 S 20 40 Očíslujeme uzly, jeden (označený obvykle číslem 0) je referenční, ostatní nezávislé. I I 1 IA U10 G1 G2 0 U20 2: G4U 20 G3 U10 U 20 I I B 0 G1 G2 G3 U10 G3U 20 I I A G3U 20 G3 G4 U 20 I I B 2 G3 I Pro uzly můžeme podle I. K. z. napsat: 1: G1 G2 U10 G3 U10 U 20 I I A 0 I G4 IB V maticovém zápisu: G1 G2 G3 G3 U10 I I A G3 G3 G4 U 20 I I B 0,125 0, 025 U10 2,5 0, 025 0, 05 U 20 1,875 Pomocí Cramerova pravidla určíme uzlová napětí: 0,125 0, 025 5, 625 103 0, 025 0, 05 2,5 0, 025 U1 U10 1 -13,8 V 1 0, 078125 1,875 0, 05 2,5 U 2 U 20 2 30,5 V 0,171875 0, 025 1,875 Poznámka: Soustavu rovnic pro MUN lze zapsat přímo v maticovém tvaru: G·U = I. Prvky hlavní diagonály vodivostní matice jsou dány součtem vodivostí připojených do příslušného uzlu. Ostatní prvky matice G jsou tvořeny záporně vzatou hodnotou vodivostí spojujících mezi příslušnými uzly. 2 0,125 6 Metoda uzlových napětí (MUN) 21 Příklad 6.2 Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy I1, I2, I3. I2 IA R2 R1 I IA 1 A R3 I1 IB 2 A I IB I3 G1 G3 R1 R3 10 G2 R2 20 1 0,1 S R3 1 0, 05 S R2 G Řešení: I2 1 IA R2 U10 U20 R1 I 2 R3 I1 I3 I IB U I G G2 -G2 U10 I A 1 -G2 G G U I 2 3 20 B 0,15 0, 05 U10 1 0, 05 0,15 U 20 2 0 G G2 G2 0,15 0, 05 det 1 0, 05 G2 0, 05 0,15 G G 2 3 I A G2 1 0, 05 1 det 0, 05 I B G2 G3 2 0,15 U10 1 0, 05 2,5 V 0, 02 G G2 I A 0,15 1 0, 25 2 det 1 0, 25 U 20 2 12,5 V G2 0, 05 2 I 0, 02 B U10 U U 20 15 2,5 I1 0,25 A , I 2 10 0,75 A , R1 10 R2 20 U 12,5 I 3 20 1,25 A . R3 10 Příklad 6.3 Pomocí metody uzlových napětí určete proudy I1, I2, I3 v obvodu. 1 I2 I1 R1 R3 U1 6 V, U 2 18 V R2 R1 10 Ω, R2 20 Ω I3 U U2 U1 0 Řešení: U R3 15 Ω 22 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení G1 0,1S, G2 0,05 S, G3 0,06 S 1 G1 G3 G2 U10 I I I z1 U1 U 0,6 A, I z2 2 0,9 A R1 R2 Iz2 Iz1 0 Sestavíme rovnici pro uzel 1: I z1 I z2 G1U10 G2U10 G3U10 0 U10 I z1 I z2 6,923 V G1 G2 G3 Pozor – proudy I1, I2 je nutno určit z původního obvodu! I1 I z1 G1U10 0,0923A I 2 I z2 G2U10 0,5539 A I 3 G3U10 0,4616 A Příklad 6.4 Určete proudy větví obvodu pomocí MUN. R2 I1 R1 R4 U1 U I2 I4 R5 R3 U1 5 V, U 2 10 V I5 I3 R1 2 kΩ, R2 2 kΩ, R3 5 kΩ U2 R4 3 kΩ, R5 1 kΩ U Řešení: G2 1 I Iz1 U10 U20 G1 Nejprve je nutno přepočítat zdroje napětí na zdroje proudu: U U I z1 1 2,5 mA, I z2 2 2 mA R1 R3 2 G5 G3 G4 I Iz2 0 G G2 G4 1 G2 U10 I z1 G2 G3 G5 U 20 I z2 G2 1,3 103 5 104 U10 2,5 103 5 104 1, 7 103 U 20 2 103 1, 3 103 5 104 2, 016 106 4 3 5 10 1, 7 10 1 5, 25 106 U10 1 2,6033 V 2,5 10-3 3,916 10-6 -3 2 10 U 20 2 1,9421 V 2,5 103 5 104 3 2 10 -3 1, 3 10 2 -5 10-4 3 1, 7 10 6 Metoda uzlových napětí (MUN) 23 I1 U1 U10 U U10 U U 20 1,198 mA, I 2 20 -0,3306 mA, I 3 2 1,612 mA R1 R2 R3 I4 U10 U 0,8678 mA, I 5 20 1,942 mA R4 R5 Příklad 6.5 Určete napětí U1 a U2 pomocí MUN. UA R2 U U A 20 V, U B 15 V I U1 I R4 R3 U2 R1 I 1,5 A R1 R2 20 Ω R3 R4 40 Ω U UB Řešení: Přepočet na proudové zdroje a výpočet vodivostí: UA U 1 A, I z2 B 0,375 A, R2 R4 1 1 G1 G2 0, 05 S, G3 G4 0, 025 S 20 40 I z1 I Iz1 G1 G2 G2 2 1 G2 I I U10 U20 G1 I G3 G4 IZ2 0 0,1 0, 05 0, 0075 0, 05 0,1 0,5 0, 05 1 0,11875 1,375 0,1 0,1 0,5 2 0,1625 0, 05 1,375 U10 I z1 I G2 G2 G3 G4 U 20 I z1 I z2 0,1 0, 05 U10 0,5 0, 05 0,1 U 20 1,375 U10 1 0,11875 15,83 V 0, 0075 U 20 2 0,1625 21,6 V 0, 0075 Příklad 6.6 Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos KU a vstupní odpor Rvst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím (ZPŘN). 24 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení R1 = 5 kΩ, R2 = 50 kΩ, R3 = 1 kΩ, R2 gm∙U12 1 I U1 I Rb = 5 kΩ, g m = 100 mS I 2 R1 Rb U2 R3 0 Razítko ZPŘN: Řešení: 1 0 1 U12 gm∙U12 2 g m g m g m g m 2 2 3 3 0, 42 10 0, 2 10 U10 I 0,1002 U 20 0 0,1012 I 0 2 Matice MUN s doplněným razítkem ZPŘN: G1 G2 Gb U10 I Gb Gb - g m 0 G G + g m U 20 b 3 Pozor – pravou stranu rovnice tvoří pouze nezávislé zdroje. Napětový přenos a vstupní odpor: U 20 ∆ 2 / ∆ ∆ 2 0,1002 ⋅ I K= = = = = 0,99 . U U10 ∆1 / ∆ ∆1 0,1012 ⋅ I ∆1 U10 0,1012 ⋅ I R= = ∆ = = 4505 Ω . vst I I 2, 2464 ⋅10−5 ⋅ I 0, 42 103 0, 2 103 2, 2464 105 0,1002 0,1012 1 I 0, 2 103 0,1012 I 0 0,1012 2 0, 42 103 0,1002 I 0,1002 I 0 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 6.7 Metodou uzlových napětí vypočtěte uzlová napětí U10 a U20 a poté proudy I1, I2, I3, I4. R3 R1 I1 U U R2 I2 I3 R4 U10 U20 I I I4 = U 10 = V, I 2 A R1 =20 Ω, R2 =10 Ω R3 =40 Ω, R4 =50 Ω Výsledky: U10 10 V, U 20 50 V, I1 0 A, I 2 1 A, I 3 -1 A, I 4 1 A Příklad 6.8 Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy I2 a I4. R3 R2 R1 I IA I2 U = 20 V I A 1= = A, I B 2 A U U R4 I4 10 Ω R= R= 1 4 I IB Výsledky: I 2 -0, 4 A, I 4 0,9 A 20 Ω R= 2 40 Ω R= 3 6 Metoda uzlových napětí (MUN) 25 Příklad 6.9 Metodou uzlových napětí vypočtěte proudy I2, I3 a I4. R1 U R2 I2 R3 I3 U = 20 V I =2A U R4 R= R= R= R= 10 Ω 1 2 3 4 I I4 I Výsledky: I 2 -1, 2 A, I 3 0, 4 A, I 4 1, 6 A Příklad 6.10 Pomocí MUN vypočtěte napětí U1 a U2 v obvodu na obrázku. R3 UA R2 U U A 5 V, U B 10 V U2 U1 R5 R4 I I R1 U I 2 mA R1 R2 2,2 kΩ, R3 5,6 kΩ R4 3,3 kΩ, R5 1 kΩ UB Výsledky: U1= 0,2947 V, U2 = -6,242 V Příklad 6.11 Pomocí MUN určete proudy v obvodu. R6 R1 U1 U I4 I6 R4 I5 R5 R3 I U2 U1 12 V, U 2 16 V I2 U I z 3 mA, R1 1 kΩ, R2 2 kΩ R3 1 kΩ, R4 5 kΩ I3 I1 Výsledky: R2 Iz R5 4 kΩ, R6 2 kΩ I1 1,409 mA, I 2 3,14 mA, I 3 -2,29 mA I 4 2,118 mA, I 5 2,43 mA, I 6 0,7097 mA Příklad 6.12 Pomocí MUN určete napětí U1 a U2 v obvodu na obrázku. 26 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení R3 R1 U A 5 V, U B 10 V R4 U UB R6 R2 I U2 U1 I 2 mA R1 R2 2,2 kΩ I R3 5,6 kΩ, R4 2,7kΩ U UA R5 1 kΩ, R6 4,7 kΩ R5 Výsledky: U1 = -2,519 V, U2 = -9,316 V Příklad 6.13 Určete proudy větví obvodu na obrázku pomocí MUN. R2 1 I2 R1 U1 2 I1 U I3 R7 R3 I6 R1 2 kΩ, R2 2 kΩ, R3 5 kΩ I4 R5 I5 I7 U1 5 V, U 2 10 V R4 U R4 3 kΩ, R5 1 kΩ, R6 4 kΩ U2 R7 10 kΩ R6 3 0 Výsledky: I1 0,7025 mA, I 2 0,101 mA, I 3 0,4 mA, I 4 2,525 mA, I 5 2,424 mA, I 6 0,3433 mA, I 7 0,3595 mA Příklad 6.14 Metodou uzlových napětí určete napěťový přenos KU a vstupní odpor Rvst lineárního dvojbranu obsahujícího zdroj proudu řízený napětím. R1 5 k, R2 50 kΩ, R3 1 k, R2 I U1 R1 I R3 U2 g m 100 mS I gm∙U1 0 Výsledky: K U 98, 02 , Rvst 458, 6 7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN) 27 7 Modifikovaná metoda uzlových napětí (MMUN) ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 7.1 Určete proudy v obvodu pomocí MMUN. I R1 U1 I2 R2 U U1 5 V I3 R3 I4 U R4 U 2 10 V U2 R1 R3 5Ω I1 R2 R4 10 Ω Řešení: Zdroj U2 je ideální, nelze jej převést na zdroj proudový. Proto nejprve sestavíme matici MUN pro zbylý obvod a doplníme podle K. z. řádek a sloupec pro zdroj U2. Nejprve je nutno přepočítat zdroj napětí U1 na zdroj proudu a odpory na vodivosti: U 1 1 G1 G3 0, 2 S, G2 G4 0,1S I z1 1 1 A, 5 10 R1 2 1 U10 I G1 G3 U20 G4 U2 U G2 Iz1 I I. K.z. 0 II. K.z. Matice pro MUN: G1 G2 G3 G3 U10 I z1 G3 G4 U 20 0 G3 Do uzlu 2 vtéká proud I, dále doplníme rovnici pro smyčku dle II. K.z U2 = U20, takže dostaneme matici MMUN: G1 G2 G3 G3 0 U10 I z1 G3 G3 G4 1 U 20 0 I U 0 1 0 2 Po dosazení hodnot: 0,5 0, 2 0 U10 1 0, 2 0,3 1 U 20 0 0 I 10 1 0 Řešením MMUN dostaneme: U10 6 V, U 20 10 V, I 1,8 A Pozor – proud I1 je třeba určit z původního obvodu! I1 I z1 G1U10 0,2 A, I 2 U10G2 0,6 A I 3 G3 U 20 U10 0,8 A, I 4 G4U 20 1 A (Zkouška: I I 3 I 4 0, U 2 U 20 0 U 2 U 20 10 V ) Poznámka: MMUN je výhodné použít i pro reálné zdroje napětí, pokud se zajímáme o proud tekoucí zdrojem. 28 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Příklad 7.2 Předešlý obvod řešte bez náhrady zdroje U1. Řešení: 1 2 G3 Ia G1 Ib G4 G2 U U1 0 U2 U Podle II. K.z. napíšeme 2 rovnice: U10 U1 R1 I a 0 U10 R1 I a U1 U 20 U 2 0 U 20 U 2 Dále vezmeme v úvahu, že do uzlu 1 vtéjá proud Ia a do uzlu 2 vtéká proud Ib. U10 6 V G2 G3 G3 1 0 U10 0 U 20 10 V G3 G3 G4 0 1 U 20 0 Výsledek: I -0,2 A 1 I U R 0 0 1 a a 1 I 1,8 A 0 I U 1 0 0 b 2 b Dále je možno určit i proudy obvodu, viz předešlý příklad. Příklad 7.3 Vypočtěte uzlová napětí a proud I v uvedeném obvodu pomocí MMUN. 2 R1 U 2 V, R1 R3 20 Ω R2 R5 1 R3 3 R2 40 Ω, R4 10 Ω, R5 25 Ω R4 0 I U U Řešení: Aplikací II. K.z.: U10 U 30 U 0 U10 U 30 U Proud I vtéká do uzlu 1 a vytéká z uzlu 3. G1 G3 G1 0 1 U10 0 G1 G1 G2 G5 G2 0 U 20 0 0 U 0 G G G 1 2 2 4 30 1 1 0 0 I U Řešením této maticové rovnice dostaneme: U10 1,235 V, U 20 0,370 V, U 30 0,765 V, I 0,1049 A Poznámka.: Je zřejmé, že MMUN vede na větší počet rovnic, což není při počítačovém zpracování na závadu. 8 Metoda náhradního zdroje 29 8 Metoda náhradního zdroje ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 8.1 V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R2 pomocí: a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty. R3 R1 U U U2 R2 U 20 V R1 R3 10 Ω R4 I2 R2 20 Ω, R4 40 Ω Řešení: a) Pomocí Thèveninovy věty R3 R1 Ui R4 U U Ui U I2 R3 R1 Ri R4 Ri U I2 U2 R2 U 2 I 2 R2 I2 Ui U Ui Ri R2 P2 U 2 I 2 R R R4 500 R3 R4 50 20 16,6 V, Ri 1 3 8,3 Ω R1 R3 R4 R1 R3 R4 60 60 Ui 16,6 0,5882 A, U 2 I 2 R2 0,5882 20 11,77 V Ri R2 8,3 20 P2 U 2 I 2 11,77 0,5882 6,92 W b) Pomocí Nortonovy věty R3 R1 U Ii Ii U R3 R1 R4 Gi R4 Ii I I 2 Ii U2 Gi U R2 I2 G2 Gi G2 U 2 I 2 R2 P2 U 2 I 2 U 20 1 1 1 1 2 A, Gi 0,12 S R1 10 R1 R3 R4 10 50 I 2 Ii G2 0, 05 2 0,5882 A, U 2 I 2 R2 11,77 V, Gi G2 0,12 0, 05 P2 U 2 I 2 6,92 W Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ jednodušší díky snadnějšímu určení Ii oproti napětí naprázdno Ui. 30 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Příklad 8.2 V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R4 pomocí: a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty. R2 U Iz U U 10 V Iz 2 A I4 R3 R1 U4 R4 R1 R3 10 I R2 20 , R4 40 Řešení: a) Pomocí Thèveninovy věty U·G1 G1 G2 Iz R3 G3 R1 Ui I I I4 Ri R2 U U G1 G2 U i UG1 I z U i I4 Ri R4 U 4 I 4 R4 I4 U4 Ui Ri R4 P4 U 4 I 4 Ui UG1 I z RR 6,6 V, Ri R3 1 2 16,6 Ω G1 G2 R1 R2 Ui 6, 6 0,1177 A, U 4 I 4 R4 0,1177 40 4,706 V Ri R4 16,6 40 P4 U 4 I 4 4,7060,1177 0,5536 W b) Pomocí Nortonovy věty U·G1 G1 G2 I Ui I R1 R2 U4 Ii R3 G3 Iz Ii Gi Gi I U G1 G2 G3 U i UG1 I z I i U iG3 Gi G1 G2 G3 G1 G2 G3 I 4 Ii UG1 I z G3 G1 G2 G3 I 4 Ii R4 I4 G4 Gi G4 U 4 I 4 R4 P4 U 4 I 4 10 0,1 2 0,1 0,1 0, 05 0,1 0,4 A 0,06 S G4 0, 025 0, 4 0,1177 A, U 4 I 4 R4 4,706 V Gi G4 0, 06 0, 025 P4 U 4 I 4 0,5536 W Poznámka:Výpočet pomocí Nortonovy věty je pro tento případ složitější, neboť určení proudu nakrátko Ii je komplikovanější ve srovnání s určením napětí naprázdno Ui. 8 Metoda náhradního zdroje 31 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 8.3 V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R2 pomocí: a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty. U2 R2 I 2 R4 U U 20 V R1 15 Ω R3 R2 20 Ω U R1 R3 R4 10 Ω Výsledky: U i 10 V, Ri 20 Ω, I 2 0,25 A, U 2 5,0 V, P2 1,25 W Příklad 8.4 V uvedeném obvodu vypočítejte napětí, proud a výkon rezistoru R3 pomocí: a) Thèveninovy věty, b) Nortonovy věty. U3 R1 I3 R3 U R2 R4 I U 10 V, I 0,5 A R1 R3 10 Ω U I R2 20 Ω, R4 40 Ω Výsledky: I 3 0,05882 A, U 3 0,5882 V, P3 0,0346 W Příklad 8.5 V můstkovém zapojení určete proud IG pomocí věty o náhradním napěťovém zdroji. R2 R1 IG RG R3 U 2 V, R1 R3 20 Ω R4 U R2 40 Ω, R4 10 Ω RG 25 Ω U Výsledky: U i 0,6667 V, Ri 20 Ω, I G 14,82 mA 32 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení 9 Časově proměnné veličiny ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 9.1 Určete střední hodnotu (stejnosměrnou složku) I0, střední absolutní hodnotu Isa a efektivní hodnotu I pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li Im = 1 A. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. i Im 0 T/4 3T/4 T/2 T -Im/2 t Řešení: Střední hodnota (stejnosměrná složka): 3T T T T2 4 I m 1 1 dt I m dt I 0 i t dt I m dt 2 T 0 T 0 3T T 2 4 3T 5I I m T /2 t 4 T t 0 t 3 T m 0, 625 I m 0, 625 A 4 2 T 8 T 2 Střední absolutní hodnota: 3T T T T2 4 Im 1 1 dt I m dt I sa i t dt I m dt 2 T 0 T 0 3T T 2 4 3T 7I I m T /2 t 4 T t 0 t 3 T m 0,875 I m 0,875 A 4 2 T 8 T 2 Efektivní hodnota: T I 1 T 0 3 T T T 2 4 2 I 1 I 2 dt m dt I 2 dt i 2 t dt m T 4 3 m T 0 T 2 4 3T I m2 T /2 t 4 13 T I m 0,9014 A t 0 t 3 T 4 4 T 4 T 2 Činitel tvaru je podíl efektivní a střední absolutní hodnoty: kt I 0,9014 1, 0302 I sa 0,875 Činitel výkyvu je podíl maximální a efektivní hodnoty: kv Im 4 1,1094 I 13 9 Časově proměnné veličiny 33 Příklad 9.2 Vypočítejte střední hodnotu I0, střední absolutní hodnotu Isa a efektivní hodnotu I periodického průběhu proudu na obrázku, je-li jeho maximální hodnota Im = 5 A. Určete činitel tvaru a činitel výkyvu. Im i 0 T/2 Řešení: Rovnice popisující časový průběh proudu se určí pomocí směrnice: i t T Střední hodnota: 1 1 I 0 i t dt T 0 T T 2 0 2Im 2I tdt 2m T T T 2 T t 2I m t T t2 I m 1, 25 A 2 4 0 Střední absolutní hodnota: Protože průběh nabývá pouze kladných hodnot, platí I sa I 0 1, 25 A Efektivní hodnota: 1 1 I i 2 t dt T 0 T Činitel tvaru: k t T T 2 2 2 I m 4 I m2 T t dt T 3 0 T 2 t3 I m 2, 041 A 3 6 0 I I 4 1, 633 , činitel výkyvu: kv m 6 2, 449 I sa I 6 Příklad 9.3 Vypočítejte střední hodnotu U0, střední absolutní hodnotu Usa a efektivní hodnotu U harmonického průběhu napětí na obrázku, je-li jeho maximální hodnota Um = 10 V. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. u Um 0 T/2 T t Řešení: 2π Rovnice popisující časový průběh napětí je: u t U m sin t T T T 2π U m 1 1 Stejnosměrná složka: U 0 u t dt U m sin t dt T 2π T 0 T 0 T 2π cos t 0 T 0 (Stejnoměrná složka je nulová, což je patrné ze symetrie průběhu.) Střední absolutní hodnota: T 1 2 U sa u t dt T 0 T U m π T /2 U 0 m 2π sin t dt T T /2 2π 2 cos t U m 6,366 V T 0 π (Vzhledem k symetrii průběhu lze provést integraci pouze za polovi- 34 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení nu periody, kdy je hodnota nezáporná). T Efektivní hodnota: U U m2 1 2π 2 2 sin d U t t m T 0 T T U m2 2T Činitel tvaru: kt T 1 2π t dt 2 1 cos 2 T 0 T 4π U T t sin t m 7, 071 V 4π T 0 2 U U π 1,1107 , činitel výkyvu: kv m 2 1,141 U sa 2 2 U Příklad 9.4 Proud i(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky: I0 = 2 A; I1 = 10 A; I3 = 1,5 A; I5 = 0,6 A. Určete činitel zkreslení v %. Řešení: Výpočet činitele zkreslení je možný podle dvou vztahů I 22 I 32 I 32 I 52 1,52 0, 62 k 0,1616=16,16 % I1 I1 10 k I 22 I 32 I12 I 22 I 32 I 32 I 52 I12 I 32 I 52 1,52 0, 62 102 1,52 0, 62 0,1595 15,95 % Je vidět, že obě hodnoty jsou velmi blízké. Stejnosměrná složka I0 nemá na činitel zkreslení vliv. Časový průběh (pro porovnání s 1. harmonickou) a spektrum signálu jsou v grafech. i (A) 10 i (t) 5 I1 0 -5 -10 0 1 2 3 t (ms) 4 5 6 9 Časově proměnné veličiny I (A) 12 35 I1 10 8 6 4 I0 I3 2 0 0 1 2 3 k (-) I5 4 5 6 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 9.5 Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku) a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li Im = 1 A. i Im 0 T/4 T/2 3T/4 T t -Im Výsledky: I 0 0, 25 A, I 0,8660 A Příklad 9.6 Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu pro periodický průběh proudu dle obrázku, je-li Im = 0,5 A. Určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. i Im 0 T/4 T/2 3T/4 T t -Im/2 Výsledky: I 0 0,125 A, I sa 0,375 A, I 0,3953 A, kt 1, 054, kv 1, 265 Příklad 9.7 Vypočítejte střední hodnotu (stejnosměrnou složku), střední absolutní hodnotu a efektivní hodnotu pro periodický průběh napětí dle obrázku, je-li Um = 10 V. Určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. u Um 0 T t Um Výsledky: U 0 0, U sa 5 V, U 5, 774 V, k t 1,155, k v 1, 732 Příklad 9.8 T/2 36 Vypočítejte střední hodnotu U0, střední absolutní hodnotu Usa a efektivní hodnotu U usměrněného harmonického průběhu napětí na obrázku, je-li jeho maximální hodnota Um = 10 V. Dále určete činitel tvaru a činitel výkyvu tohoto průběhu. Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení u Um 0 T/2 T t Výsledky: U 0 6,366 V, U sa 6,366 V, U 7, 071 V, k t 1,1107, kv 1,141 Příklad 9.9 Napětí u(t) neharmonického průběhu má spektrum obsahující tyto harmonické složky: U0 = 1,5 V; U1 = 5,2 V; U2 = 0,35 V; U3 = 0,25 V a U5 = 0,12 V. Určete činitel zkreslení. Výsledky: k 8,59 % , k 8,56 % 10 Nelineární obvody 37 10 Nelineární obvody ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Spektrum neharmonických průběhů Příklad 10.1 Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) = 3 + 2sin(ωt). Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena rovnicí i(t) = 0,1u2(t). i(t) u~ U0 u(t) = = i 0,1 ⋅ u 2 Řešení: Napětí zdroje obsahuje stejnosměrnou složku (3 V) a harmonickou složku (2 V): u t 3 2sin t Proud nelineárním odporem je: 2 i t 0,1 u 2 0,13 2sin t 1,1 1, 2sin t 0, 2 cos 2t . Poznámka: bylo použito vztahu sin 2 0,5 1 cos 2 . Proud obsahuje tedy stejnosměrnou složku (1,1 A), základní 1. harmonickou složku (1,2 A) a 2. harmonickou složku (0,2 A). Spektra napětí i proudu jsou ukázána v grafech. Ik Uk I1=1,2 A U0=3 V I0=1,1 A U1=2 V 0 I2=0,2 A k 1 0 1 k 2 Aproximace nelineárních charakteristik Příklad 10.2 Pomocí metody nejmenších čtverců aproximujte přímkou průběh funkce y = f(x) zadané tabulkou v m = 5 bodech. 6 5 4 y 3 xj 0 1 3 5 6 yj 5 3 3 2 1 2 1 0 0 1 2 3 x 4 5 6 7 38 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Řešení: Hledáme minimum tzv. kriteriální funkce, která je tvořena součtem odchylek aproximační funkce od původní funkce v daných bodech. Rovnice hledané aproximační funkce (přímky) je ya a 0 a1 x , je třeba určit a0 a a1. m 2 Kriteriální funkce je a0 , a1 y j a1 x j a0 a hledáme min a 0 , a1 . j 1 Minimum se nalezne pomocí parciálních derivací kriteriální funkce, které se položí rovny nule. V maticovém zápise tak dostaneme: m x j x a y , x a x y j 2 j j 0 j 1 j přitom členy rovnice nejlépe zjistíme pomocnou tabulkou. Po dosazení do maticové rovnice j xj yj xj2 xj·yj 1 0 5 0 0 2 1 3 1 3 5 15 a0 14 15 71 a1 28 3 3 3 9 9 je řešení 4 5 2 25 10 5 6 1 36 6 a0 4, 415 . a1 0,538 Σ 15 14 71 28 Hledaná aproximační přímka je popsána rovnicí ya 4, 415 0,538 x a její průběh je uveden v grafu. Příklad 10.3 Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka a graf naměřených bodů. a) Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod 0,6 V ± 0,1 V. b) Pro pracovní bod 0,6 V ± 0,1 V určete statický a dynamický odpor diody. u (V) 0,20 0,40 0,50 0,55 0,60 0,625 0,65 0,675 0,70 i (A) 0 0 0,0005 0,004 0,02 0,20 0,45 0,60 1,0 Řešení: Rovnice hledané aproximační funkce (polynomu 2. stupně) je ya a 0 a1 x a2 x 2 , hledáme koeficienty a0, a1 a a2. Polynom bude procházet 3 body, podle zadání pro u = (0,50; 0,60; 0,70) V, v tabulce vyznačeno tučně. Rovnice polynomu musí vyhovovat těmto 3 určeným bodům: 10 Nelineární obvody 39 a0 a1u1 a2u12 i1 1 u1 a0 a1u2 a2u2 2 i2 , v maticovém zápise 1 u2 1 u a0 a1u3 a2u32 i3 3 u12 a0 i1 u22 a1 i2 . u32 a2 i3 Dosazením vybraných bodů z tabulky 1 0,5 0,52 a0 0, 0005 1 0, 6 0, 62 a 0, 02 dostaneme řešení 1 1 0, 7 0, 7 2 a 1, 0 2 a0 14,31 a1 52, 63 . a 48, 03 2 Hledaná interpolační funkce je popsána rovnicí ia 14,31 52, 63 u 48, 03 u 2 A a její průběh je uveden v grafu. Statický odpor pro up = 0,6 V je: Rs 0, 6 Dynamický odpor lze určit z okolních bodů: Rd 0, 6 alternativně up ip up ip 0, 6 30 . 0, 02 z interpolační 0, 7 0,5 0, 2001 , 1 0, 0005 funkce: 1 di 1 Rd 0, 6 Gd1 a 96, 06u 52, 63 0,1998 du 1 0.5 0.5 i (A) i (A) 1 0 0 -0.5 0.5 0.55 0.6 u (V) 0.65 0.7 -0.5 0.5 0.55 0.6 0.65 u (V) 0.7 Interpolační funkce (polynom 2. stupně) Naměřené body charakteristiky diody Metody řešení nelineárních obvodů Příklad 10.4 Analytickým řešením určete proud I nelineárním obvodem. U 10 V R5 U U n 3I 2 2 I Řešení: R Podle II. K.z.: 3I 2 2 I RI U 0 U n RI U 0 3I 2 7 I 10 0 U I Un 40 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Řešení kvadratické rovnice je: I1 1 A I 2 3,3 A 23 V tomto případě má smysl pouze I 1 A . 7 7 2 4 3 10 I1,2 Příklad 10.5 Stabilizátor napětí je zatížen odporem R2. Určete napětí U2 na zátěži, má-li linearizovaný model stabilizační diody v závěrném směru parametry: Ud = 5,7 V, Rd = 2 Ω. R1 D U U Rd U2 R2 D U Ud U 10 V, R1 100 , R2 250 Řešení: linearizovaný obvod řešíme např. pomocí MUN. R1 U U Rd Ud R2 G1 Gd I U2 I U I Id G2 I U 10 0,1 A R1 100 Id U2 U d 5, 7 2,85 A Rd 2 G1 1001 0, 01S G2 2501 0, 004 S G1 G2 Gd U 2 I I d Gd 21 0,5 S 0,514 U 2 2,95 , U 2 5,739 V Příklad 10.6 Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD 4V8 pracuje R Iz naprázdno (bez zátěže). Určete výstupní napětí při napájení ze zdroje U1 = 12 V. Dále určete, jak se změní U2 při U U1 zvýšení vstupního napětí U1 z 12 V na 15 V a stanovte činitel stabilizace obvodu. Vypočítejte ztrátový výkon diody a rezistoru. Charakteristiku diody v závěrném směru udává tabulka, pro výpočet použijte linearizovaný mo- U1 12 V del diody pro okolí Uz = 4,8 V. U1 15 V u (V) -4,00 -4,50 -4,65 -4,80 -5,00 i (A) -0,003 -0,012 -0,035 -0,15 -0,50 Řešení: Linearizaci charakteristiky diody provedeme aproximací metodou nejmenších čtverců: j uj ij uj2 uj·ij 1 -4,65 -0,035 21,623 0,1628 2 -4,80 -0,15 23,04 0,72 3 -5,00 -0,50 25 2,5 Σ -14,45 -0,685 69,663 3,3828 D U2 R 33 m u j u u j 2 j a0 i j a u i 1 j j 3 14, 45 a0 0, 685 14, 45 69, 663 a1 3,3828 a0 6, 232 a1 1,341 10 Nelineární obvody 41 Linearizovaný model Zenerovy diody lze pro okolí bodu Uz = 4,8 V popsat rovnicí pro Nortonův náhradní zdroj: Gd I Id D I z Gd U 2 I d 1,341U 2 6, 232 A . Obvod s linearizovaným modelem pak řešíme např. pomocí MUN. U1 12 U 15 0,36 A, I1 1 0, 45 A R 33 R 33 I d 6, 232 A Id Gd I I1 G G I1 U2 I 1 0, 030 S, Gd 1,341S 33 Stabilizované výstupní napětí pro U1 12 V: U 2 I1 I d 6,596 4,811 V . G Gd 1,371 Stabilizované výstupní napětí pro U1 15 V: U 2 I1 I d 6, 687 4,876 V . G Gd 1,371 Výstupní napětí při změně U1 z 12 V na 15 V (∆U1 = 3 V) se změní pouze o ∆U2 = 4,876-4,811 = 66 mV. U1 15 12 U1 12 Činitel stabilizace je: s 18, 2 . 4,876 4,811 U 2 4,811 U2 Proud diodou se určí z úbytku na R: I z Ztrátový výkon U1 U 2 12 4,811 218 mA . R 33 na diodě: PD U 2 I z 4,811 0, 218 1, 048 W na rezistoru: PR RI z2 33 0, 2182 1,569 W . Příklad 10.7 Stabilizátor napětí se Zenerovou diodou ZD 4V8 pracuje naprázdno (bez zátěže). Grafickou metodou určete pracovní bod diody (Uz, Iz) a její ztrátový výkon. Z grafu zjistěte změnu výstupního napětí při změně vstupního napětí o ±1 V. Charakteristiku diody v závěrném směru udává graf. R U U Iz Uz D U 6V R 15 Řešení: Použijeme metodu zatěžovací přímky, kterou zakreslíme do grafu AV charakteristiky nelineárního prvku. Zatěžovací přímka představuje převrácenou AV charakteristiku náhradního 42 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení zdroje lineární části obvodu a je dána dvěma body – napětí naprázdno (dioda odpojena) a proud nakrátko (dioda nahrazena zkratem), její směrnice tak odpovídá vodivosti 1/R. U 6 0, 4 A . Po zakreslení R 15 přímky do grafu dostaneme průsečík – pracovní bod (4,75 V, 85 mA). Napětí naprázdno je U 0 U 6 V , proud nakrátko je I k Ztrátový výkon diody je PD U z I z 4, 75 0, 085 0, 404 W . Při změně U o ±1 V se posunou zatěžovací přímky na [U0;Ik] = [-5;-0,333] resp. [-7;-0,466]. Této změně odpovídá změna výstupního napětí Uz na 4,65 V resp. 4,8 V. -7 U z (V) -6 -5 ∆Uz -4 -3 -2 -1 0 0 ∆U -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 ZD4V8 I z (A) -0.5 Příklad 10.8 Určete proud I nelineárním obvodem. Použijte Newtonovu iterační metodu. U 10 V R 10 R U I Un U U n 20 I 2 Řešení: Podle II. K.z.: Newtonova iterace: ik 1 ik k , kde U n RI U 0 20 I k2 10 I k 10 f je oprava pro k+1 krok. f 40 I k 10 Jako počáteční odhad (nultou iteraci) volíme např. U/R = 1 A. 20 I 2 10 I 10 0 Iterační funkce: f 20 I 2 10 I 10 Derivace: df f 40 I 10 dI k k 0 1 2 3 I(k) 1 0,6 0,5059 0,5000 ε(k) -0,4 -0,0941 -0,0059 -2,3∙10 Pro dostatečnou přesnost stačí 3 iterační kroky. Proud obvodem je I = 0,5000 A. 4 -5 0,5000 -3,5∙10-10 10 Nelineární obvody 43 Příklad 10.9 Určete napětí Ud na křemíkové diodě. Charakteristika diody je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme hodnotu Ud v rozsahu 0,6 - 0,7 V. Použijte iterační metodu půlení intervalu, řešte s chybou pod 1 mV. R U I Ud U U 5 V, R 150 I d 2 1012 e38U d Řešení: Podle II. K.z.: U d RI U 0 , U d 3 1010 e38U d 5 0 . Iterační funkce je f U d U d 3 1010 e38U d 5 , počáteční interval a = 0,6 V a b = 0,7 V. a b . Při následující iteraci se upraví 2 interval podle toho, ve kterém leží hledaný kořen iterační rovnice. Iterace se ukončí, když ba chyba k klesne pod zadanou hodnotu. 2 Odhad hodnoty je dán průměrem (půlením) u k f(b) ε 11,65276 102,6928 0,05 1,813925 11,65276 0,025 1,813925 0,0125 0,499317 1,813925 0,00625 -0,5387 -0,05029 0,499317 0,003125 0,61875 -0,05029 0,216406 0,499317 0,001562 0,617188 -0,05029 0,081092 0,216406 0,000781 k a u(k) b f(a) 0 0,6 0,65 0,7 -2,00649 1 0,6 0,625 0,65 -2,00649 2 0,6 0,6125 0,625 -2,00649 3 0,6125 0,61875 0,625 -0,5387 4 0,6125 0,615625 0,61875 5 0,615625 0,617188 6 0,615625 0,616406 f(u(k)) -0,5387 Napětí na diodě je Ud = (616,4±0,8) mV NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 10.10 Vypočítejte amplitudové spektrum proudu v obvodu z obrázku, působí-li na prvek napětí u(t) = 10sin(ωt). Ampérvoltová charakteristika nelineárního odporu je určena rovnicí i(t) = 0,3u2(t)+2u(t). i(t) uz(t) Pomůcka: sin 2 0,5 1 cos 2 Výsledek: i t 15 20sin t 15cos 2t . Amplitudy harmonických složek proudu jsou: I0 = 15 A, I1 = 20 A a I2 = 15 A. u(t) 44 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Příklad 10.11 Určete kvadratický interpolační polynom ia a0 a1u a2u 2 , který aproximuje charakteristiku nelineárního prvku v bodech uvedených v tabulce. Extrapolujte pomocí vypočtené aproximační funkce chybějící proud prvkem pro napětí 0,7 V. Pro tučně vyznačený pracovní bod určete statický a dynamický odpor nelineárního prvku. u (V) 0,1 0,2 0,45 i (mA) 0,1 0,35 0,85 Výsledky: 0,7 ia 0,1786 2,929u 1, 429u 2 mA , i u 0, 7 V 1,171 mA , Rs 0, 2 0,571 , Rd 0, 2 0, 4242 Příklad 10.12 Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Metodou nejmenších čtverců proveďte aproximaci charakteristiky přímkou. u (V) 0,6 0,625 0,65 0,675 i (A) 0,02 0,15 0,4 0,8 Výsledek: ia 10,36 u 6, 262 A . Příklad 10.13 Pro křemíkovou diodu v propustném směru byla naměřena část ampérvoltové charakteristiky, viz tabulka. Proveďte interpolaci této charakteristiky kvadratickým polynomem pro pracovní bod 0,65 V±0,05 V. u (V) 0,20 0,40 0,50 0,55 0,60 0,625 0,65 0,675 0,70 i (A) 0 0 0,0005 0,004 0,02 0,20 0,45 0,60 1,0 Výsledek: ia 4, 22 21, 4 u 24 u 2 A Příklad 10.14 Určete napětí Ud na křemíkové diodě. Charakteristika diody je dána exponenciální rovnicí. Pro Si diodu předpokládáme hodnotu Ud asi 0,7 V. Použijte Newtonovu iterační metodu, řešte s chybou pod 1 mV. U 10 V, R 50 I d 5 1012 e38U d Výsledek: U d 0, 6407 V R U U I Ud 10 Nelineární obvody 45 Příklad 10.15 Předchozí zadání (Příklad 10.14) řešte pomocí metody půlení intervalu pro počáteční odhad 0,6 - 0,7 V. Výsledek: U d 0, 6407 V Příklad 10.16 Napětí na výstupu nelineárního obvodu lze popsat rovnicí U 3 5 U 0 . Vypočtěte hodnotu napětí U s přesností lepší než 0,5 %. Použijte Newtonovu iterační metodu s počátečním odhadem U 0 3 V . Výsledek: U 2, 2365 V . Příklad 10.17 Grafickou metodou určete pracovní bod (Uz, Iz) a ztrátový výkon diody v zatíženém stabilizátoru napětí. Charakteristiku použité diody v závěrném směru udává graf. R1 U Iz D U U2 R2 U 12 V, R1 33 , R2 470 Nápověda: Náhraďte lineární část obvodu dle Thèveninovy věty. -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 u (V) 0 0 i (A) -0.1 -0.2 ZD9V2 -0.3 -0.4 -0.5 Výsledky: Pracovní bod stabilizační diody je (9,15 V, 65 mA). Ztrátový výkon diody je PD U 2 I z 9,15 0, 065 0,595 W 46 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení 11 Magnetické obvody ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 11.1 Dlouhým přímým vodičem protéká proud I= 10 A. Určete velikost intenzity magnetického pole H ve vzdálenosti 1 m od vodiče. I l r H Řešení: Výchozí vztah (Ampérův zákon celkového proudu): Aplikace vztahu pro dané zadání: (vektor H je všude rovnoběžný s dl) H d I H 2πr I H I 10 1,592 A/m 2πr 2π 1 Příklad 11.2 Na prstenci z transformátorových plechů průřezu S = 600 mm2 je vinutí s N = 200 závity. Střední průměr prstence je Ds = 220 mm. Jak velký proud I musí vinutím procházet, aby vznikl magnetický tok Φ = 0,6 mWb? I N Ds Řešení: Magnetické pole v prstenci lze považovat přibližně za homogenní. Indukce v jádře je: Bf Pro hodnotu Bf = 1 T zjistíme z magnetizační křivky transformátorových plechů (příloha na konci kapitoly) hodnotu intenzity: Hf 330 A/m Z Ampérova zákona lze psát pro intenzitu pole ve feromagnetiku: H d I Střední délka siločáry je: s πDs 0, 6912 m Hledaný proud je: 0, 6 103 1T S 6 104 H f s NI I H f s 330 0, 6912 1,14 A N 200 S 11 Magnetické obvody 47 Příklad 11.3 Cívka je navinuta na toroidním jádře, má N = 200 závitů a protéká jí proud I = 1 A. Určete magnetický tok jádrem Φ a indukčnost cívky L. Střední průměr toroidu Ds = 120 mm, průřez magnetického obvodu S = 4 cm2. Rozptylové toky zanedbejte. I Ds N F Magnetické vlastnosti materiálu toroidu Hf (A/m) 390 530 700 900 Bf (T) 0,6 0,7 0,8 0,9 Řešení: Náhradní obvod obsahuje zdroj magnetického napětí U mn NI a magnetický odpor obvodu. Magnetický odpor je tvořen feromagnetikem a je proto nelineární. Úbytek magnetického napětí na odporu je U mf H f s . Φ Umf Rmf Umn Platí obdoba II. K.z. – součet magnetických U mn U mf NI H f s napětí v obvodu je roven nule: Střední délka siločáry: s πDs 0,377 m Intenzita magnetického pole v jádře je Hf Tomu, odpovídá magnetická indukce v jádře (odečteno z tabulky): Bf 0, 7 T pro H f 530 A/m Magnetický tok obvodem je: Bf S 0, 7 4 104 280 μWb Indukčnost cívky je podíl spřaženého magnetického toku Ψ = NΦ k proudu I: L Um NI 200 530 A/m s πDs 0,377 N 200 280 106 56 mH I I 1 Příklad 11.4 Prstenec z feromagnetického materiálu má průměr D = 90 mm, plocha průřezu jádra je S = 10×10 mm. Ve vzduchové mezeře lv = 1 mm požadujeme indukci Bv = 0,5 T. Vypočtěte potřebný počet závitů budicí cívky při proudu I = 5 A a indukčnost cívky L pro tento proud. Rozptylové toky zanedbejte. Magnetické vlastnosti materiálu prstence Bf (T) 0,3 0,5 0,7 0,9 Hf (A/m) 66 109 167 262 S I N D v 48 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Řešení: Náhradní obvod obsahuje zdroj magnetického napětí U mn NI , magnetický odpor feromagnetika a magnetický odpor vzduchové mezery. Průřez S a stejně tak i magnetický tok jsou konstantní po celé délce siločáry, Bf S Bv S . Z toho plyne, že indukce v jádře je shodná s indukcí v mezeře, Bf Bv . Střední délka siločáry v magnetiku: Umf Umn Φ Umv Rmf Rmv Ds D 10 90 10 80 mm f πDs v 0, 2503 m U mn U mf U mv Platí II. K. z.: Intenzita magnetického pole v jádře pro indukci 0,5 T se určí pomocí tabulky, H f Bf 0,5 T 109 A/m . Z předešlé rovnice dostaneme: 5 N 109 0, 2503 a z toho potřebný počet závitů budicí cívky: N 85, 03 85 NI H f f H v v H f f Bv v 0 0,5 1103 7 4π 10 3 2 N N Bv S 85 0,5 10 10 Indukčnost této cívky pro I = 5 A je: L I I 5 850 μH Příklad 11.5 Vypočtěte velikost magnetovacího proudu I potřebnou pro vytvoření magnetické indukce ve vzduchové mezeře Bv = 0,5 T. Jádro je složeno z dynamových plechů s činitelem plnění kp = 0,9 (činitel plnění jádra udává poměr průřezu samotného feromagnetika v jádře k celkovému průřezu jádra, tj. včetně izolace mezi plechy). Počet závitů cívky je N = 1000. Rozměry jádra: h t a 300 mm t/2 b 200 mm t 20 mm h 30 mm v 5 mm t I s v a N Náhradní obvod: Umf Umn Φ Rmf Rmv b Umv 11 Magnetické obvody 49 Řešení: Předpokládáme homogenní magnetické pole. Pro sériový magnetický obvod platí (se započtením činitele plnění jádra): f v Bf S kp Bv S konst. Protože je průřez magnetického obvodu po celé délce siločáry konstantní, je i indukce konstantní: Bf Bv / kp 0,5 / 0,9 0,556 T Střední siločáru geometricky tvoří čtyři úsečky a čtyři čtvrtkružnice v rozích. Délka střední siločáry ve feromagnetiku je tedy: 2π t / 2 2 a b 4t t v 4 2 0,3 0, 2 4 0, 02 0, 02π 0, 005 0,8978 m f 2 a 2t 2 b 2t v 4 Pro magnetické napětí lze psát: U mn NI U mf U mv Hf f H v v Hf f Magnetické napětí na vzduchové mezeře je: U mv Bv v 0 Bv 0,5 5 103 1989 A v 7 0 4π 10 Intenzita magnetického pole v jádře (odečtená z grafu magnetizační charakteristiky pro dynamové plechy v příloze na konci kapitoly) je: H f Bf 0,556 T 100 A/m Magnetické napětí na feromagnetiku je: U mf H f f 100 0,8978 89, 78 A Potřebný magnetovací proud je: I U mf U mv 89, 78 1989 2, 08 A N 1000 Příklad 11.6 Cívka elektromagnetu s N = 100 závitů je protékána proudem I = 100 mA. Jádro i kotva mají stejný průřez S = 2,5 cm2. Střední délka magnetické siločáry v jádru je lj = 4 cm, v kotvě lk = 2 cm. Délka vzduchové mezery je lv = 0,05 mm. Relativní permeabilitu materiálu jádra µrj = 500 a relativní permeabilitu materiálu kotvy µrk = 300 pokládáme za konstantní (magnetický obvod je linearizován). Nakreslete náhradní schéma obvodu, vypočtěte magnetická napětí na jednotlivých částech magnetického obvodu a určete indukčnost cívky. Magnetický odpor jádra: Rmj j 0 rj S I N j v k v 4 102 254648 H -1 4π 107 500 2,5 104 50 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Magnetický odpor kotvy: Magnetický odpor vzduchové mezery: Magnetické napětí zdroje: Magnetický indukční tok: Umj Umn Umk Rmk Indukčnost cívky je: Rmv 2 v 2 0, 05 103 318310 H -1 0 S 4π 107 2,5 104 U mn N I 100 0,1 10 A U mn 10 12, 736 μWb Rmj Rmk Rmv 785164 U mj Rmj 12, 736 106 254648 3, 243 A Umv Rmv k 2 102 212207 H -1 7 4 0 rk S 4π 10 300 2,5 10 Magnetická napětí na jednotlivých částech obvodu: Φ Rmj Rmk U mk Rmk 12, 736 106 212207 2, 703 A U mv Rmv 12, 736 106 318310 4, 054 A Zkouška: U mn U mj U mk U mv , 10 A 10 A L N 100 12, 736 106 12, 74 mH I 0,1 Příklad 11.7 Zkratový proud I1 = I2 = 40 kA (vzájemně opačného směru) protéká dvěma paralelně uloženými vodiči vzdálenými od sebe r = 5 cm. Jaká působí síla F na každý metr vodičů? I1 I2 Řešení: Fyzikální podstata silových účinků proudů H1 F I1 Výpočet magnetické indukce způsobené jedním vodičem v místě druhého vodiče Výpočet síly, která působí na druhý vodič s proudem I2 v poli s indukcí B1 (vyvolané prvním vodičem) pro l = 1 m: H1 F r I1 2πr I2 B1 0 H1 F B1 I 2 0 I1 2πr 0 I1 I 2 I2 0 2πr 2π r 2 4π 107 40 103 1 2π 5 102 6400 N 11 Magnetické obvody 51 Příklad 11.8 Prstencové jádro cívky z elektrotechnické oceli E11 je složeno ze dvou přiléhajících částí. Průřez prstence je S = 4 cm2, jeho střední průměr je Ds = 0,2 m a cívkou, která má N = 100 závitů, protéká proud I = 5 A. Jak velkou silou jsou drženy obě části pohromadě? I S Ds N Řešení: Intenzita magnetického pole v jádře z Ampérova zákona celkového proudu: je Střední délka siločáry: Výpočet intenzity magnetického pole: U m NI H f f Hf NI f f πDs π 0, 2 0, 6283 m Hf NI 100 5 796 A/m f 0, 6283 Z magnetizační křivky oceli E11 (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodnotu magnetické indukce Bf H f 769 A/m 1,38 T . Výpočet síly (plochu průřezu je třeba započíst dvakrát): F 2 Bf2 S 1,382 4 104 606 N 20 4π 107 Příklad 11.9 I 80 N F 10 310 Elektromagnet z elektrotechnické oceli E11 zadaných rozměrů (v mm) má přitáhnout kotvu ze vzdálenosti 1 cm silou F = 5600 N. Jak velký proud musí protékat cívkou, má–li cívka N = 500 závitů. Uvažujte rozšíření průřezu magnetického pole ve vzduchové mezeře o 10 %. Řešení: Průřez ve vzduchové mezeře je o 10 % větší: S v 1,1 Sf 1,1 0, 08 0, 08 70, 4 104 m 2 350 80 52 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Pro vytvoření zadané síly je potřeba magnetické indukce ve vzduchu: (Plochu mezery je třeba započítat dvakrát.) F Bv Z rovnosti magnetických toků ve feromagnetiku a ve vzduchové mezeře odvodíme magnetickou indukci v jádře: Bv2 2 S v 20 0 F 4π 107 5600 1T Sv 70, 4 104 Bf Sf Bv S v konst. Bf Bv S v Bv 1,1Sf 1,1Bv 1,1 T Sf Sf Z magnetizační křivky oceli E11 (příloha na konci kapitoly) odečteme odpovídající hodnotu intenzity magnetického pole H f Bf 1,1 T 300 A/m . Střední délka siločáry ve vzduchu: v 2 0, 01 0, 02 m Střední délka siločáry ve feromagnetiku: f 2 0,31 0, 08 0,35 0, 08 v 0,98 m Potřebné magnetické napětí zdroje je Bv dáno součtem magnetických napětí na U mn NI U mf U mv H f f v 0 feromagnetiku a na vzduchové mezeře: 1 0, 02 16209 A 300 0,98 (všiměte si zanedbatelně malého Umf) 4π 107 Pro vytvoření přítahu 5600 N je třeba proud I U mn 16209 32, 4 A N 500 Příklad 11.10 Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky lv a s plochou Sv. Zdrojem pole je feritový permanentní magnet výšky lp a plochy Sp. Určete magnetickou indukci ve vzduchové mezeře při teplotě 20 ºC. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf, magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. S v 3 cm 2 , v 0,5 cm S p 8 cm 2 , p 3 cm Sp p PM Sv v 11 Magnetické obvody Anizotropní ferit 53 Bp ≅ 250 mT Hp ≅ 85 kA/m Řešení: Při zanedbání rozptylových toků platí: p v Bp S p Bv S v konst. Bv Při zanedbání odporu nástavců platí: Z průsečíku zatěžovací přímky obvodu a charakteristiky zdroje magnetického napětí (feritu) zjistíme pracovní bod Bp ≅ 250 mT, Hp ≅ 85 kA/m. Z toho pak indukce v mezeře: Příklad 11.11 Sv 8 102 Bp 3 102 U mn H p p U mv Bv Spojením obou rovnic pro Bv dostaneme rovnici zatěžovací přímky magnetického obvodu, kterou zakreslíme do grafu BH charakteristiky feritu. Určíme např. dva body: B = 0; H = 0 a B = 0,2827; H = 100 kA/m, viz graf. Bp S p 0 H p p v Bv v , z toho 0 7,5398 10-6 H p 8 Bp 7,5398 10-6 H p 3 Bp 2,8274 10-6 H p 8 Bv Bp 0, 67 T 3 54 Mezi pólovými nástavci je vzduchová mezera délky lv a s plochou Sv. V mezeře je třeba vytvořit pole s indukcí Bv = 0,5 T. Zdrojem pole je permanentní magnet s optimálním pracovním bodem Bp ≅ 230 mT, Hp ≅ 90 kA/m. Určete potřebnou výšku lp a plochu Sp permanentního magnetu. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Sp p PM Sv v S v 5 cm 2 , v 0, 6 cm Při zanedbání rozptylových toků platí: p v Bp S p Bv S v konst. Z toho potřebná plocha PM: Sp Při zanedbání odporu nástavců platí: Potřebná výška PM: Bv S v 0,5 5 104 10,87 cm 2 Bp 0, 23 U mn H p p U mv p Bv v 0 Bv v 0,5 0, 6 102 2, 653 cm 0 H p 4π 107 90 103 NEŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 11.12 Určete intenzitu a indukci magnetického pole, magnetický tok a indukčnost cívky navinuté na litinovém prstenci o kruhovém průřezu s průměrem d =4 cm. Střední průměr prstence je Ds = 15 cm. Vinutí má N = 220 závitů a budicí proud je I = 1 A. d I N Ds Výsledky: H f 467 A, Bf 0,38 T, 478 μWb, L 105 mH Příklad 11.13 Φ 11 Magnetické obvody 55 Jak velký proud musí protékat budicí cívkou, která má N = 100 závitů, aby vznikl v magnetickém obvodu tok Φ = 1 mWb. Toroid vyrobený z dynamových plechů má průřez jádra S = 1·10-3 m2 a střední průměr Ds = 0,2 m. I Ds N Φ Výsledek: I 1, 7 A Příklad 11.14 I 300 Jádro z transformátorových plechů má rozměry dle obrázku. Jaký počet závitů N musí mít magnetovací vinutí, má-li jádrem procházet magnetický tok Φ = 2 mWb při budicím proudu I = 2,2 A? Dále určete magnetický odpor Rm obvodu a indukčnost budicího vinutí L. N 60 50 400 Výsledky: N 90, Rm 99000 H -1 , L 81,8 mH Příklad 11.15 Feromagnetické jádro má tvar prstence (vlastnosti materiálu popisuje tabulka) o průměru D = 250 mm, průměr jádra je d = 50 mm. a) Vypočtěte potřebný počet závitů N1 tak, aby proudem I = 5A vznikla v jádru indukce Bf = 0,7 T. b) V jádru byla vytvořena vzduchová mezera lv = 1 mm. Vypočtěte potřebný počet závitů budicího vinutí N2 tak, aby indukce v jádru zůstala stejná. Rozptylové toky zanedbejte. Magnetické vlastnosti materiálu prstence Bf (T) 0,3 0,5 0,7 0,9 Hf (A/m) 66 109 167 262 Výsledky: N1 21, N1 132 d I N D v 56 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Příklad 11.16 Na toroidním jádře z ocelolitiny je navinuta cívka N = 200 záv. Průměr toroidu je D = 120 mm, jeho průřez má průměr d = 20 mm. V obvodu je vzduchová mezera lv = 1,2 mm, ve které je indukce Bv = 0,8 T. d I D N a) Vypočítejte magnetická napětí na feromagnetickém jádru Umf a na vzduchové mezeře Umv. v b) Vypočtěte budicí proud I cívky. Rozptylové toky zanedbejte. Výsledky: U mf 87,96 A, U mv 763,9 A, I 4, 26 A Příklad 11.17 Určete magnetické napětí potřebné k vytvoření magnetického pole s indukcí Bv = 1 T ve vzduchové mezeře. Průřez ocelového jádra (ocel E11) je S = 16 cm2, délka vzduchové mezery lv = 0,5 mm, délka střední siločáry v jádře je lf = 1,1 m. N I f v S Výsledek: U mf N I 662 A Příklad 11.18 Elektromagnet má jádro zadaných rozměrů (v mm) z materiálu s velkou permeabilitou. Cívka má 1200 závitů a je napájena proudem 4 A. Jak velká přítažná síla působí na kotvu? N 50 3 300 Magnetický odpor jádra je zanedbatelný. Rozšíření průřezu magnetického pole ve vzduchové mezeře i rozptylové toky neuvažujte. I 400 Výsledek: F 2011 N Příklad 11.19 50 11 Magnetické obvody Mezi pólovými nástavci permanentního magnetu je vzduchová mezera délky lv a s plochou Sv. Určete potřebnou plochu Sp permanentního magnetu, má-li být magnetická indukce ve vzduchové mezeře při teplotě 20 ºC Bv = 0,5 T. Magnetizační křivka použitého anizotropního feritu viz graf v příloze. Magnetický odpor pólových nástavců a rozptylové toky zanedbejte. 57 Sp p S v 3 cm 2 , p 20 mm, v 4 mm Výsledek: S p 3,125 cm 2 , plocha každého ze dvou PM. PM Sv v PM 58 Elektrotechnika 1 – počítačová cvičení Příloha – BH charakteristiky Magnetizační charakteristika některých měkkých feromagnetických materiálů 1,5 dynamový plech 1,4 1,3 1,2 transformátorový plech (4% Si) ocel E11 1,1 1 ocelolitina 0,9 B (T) 0,8 0,7 litina 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 H (A/m) Magnetizační charakteristika tvrdého anizotropního feritu (permanentní magnet) Anizotropní ferit 1000 0 Příloha - Program LinRov 59 Příloha - Program LinRov LinRov je jednoduchý program k řešení soustav lineárních rovnic 1. až 5. řádu. Po spuštění programu se objeví okno kalkulátoru představující maticový zápis soustavy rovnic: K⋅X = Y, kde K je matice koeficientů, X je vektor hledaných neznámých a Y je vektor pravých stran, tj. budicích veličin. Vlastní výpočet soustavy lineárních rovnic zahájíme volbou řádu soustavy rovnic (1 až 5). Zadávání prvků matice je možné výběrem příslušného prvku (kliknutím myší nebo sekvenčně klávesou Tab.) • Hodnoty se zobrazují podle potřeby ve standardním či vědeckém tvaru. • Při zadávání čísel se akceptuje desetinná čárka nebo tečka (podle nastavení národního prostředí Windows). Je možné vkládat čísla i ve vědeckém tvaru (např. 1,6625E-5). • Obvykle se bude zadávat diagonálně symetrická matice K. Pak stačí zadat hodnoty prvků horního trojúhelníku matice a tlačítkem Kopíruj zkopírovat hodnoty do dolního trojúhelníku. • Celou rovnici je možno smazat tlačítkem Vymaž. Výpočet se provede stiskem tlačítka Výpočet, zobrazí se i determinanty použitelné pro Cramerovo pravidlo. Program hlídá singularitu matice soustavy.