Prutové

p10 – 1
10. Prut v pružnosti a pevnosti
Základním úkolem PP je řešit problémy spojené s napjatostí, deformací a porušováním
součástí technických objektů, což jsou většinou tvarově složitá tělesa. Určení napjatosti
a deformace těles složitějších geometrických tvarů bylo umožněno až pomocí počítačů.
Předtím bylo možné jen řešení určitých geometricky jednodušších těles, a to ještě při
předpoklady
použití řady omezujících předpokladů.
My se teď budeme zabývat nejjednodušším modelovým tělesem, a to prutem. V běžném
jazyce chápeme prut jako těleso dlouhé a tenké“, ale v PP si musíme prut vymezit
”
přesněji. Toto vymezení na jedné straně zavádí další omezující podmínky, na druhé straně
umožňuje zahrnout i tělesa, která nejsou dlouhá a tenká“.
”
Prut v PP je nejjednodušším teoretickým modelem reálného tělesa, které splňuje jisté
geometrické, vazbové, zatěžovací, deformační a napjatostní předpoklady (označujeme je
jako prutové předpoklady).
OBSAH
další
p10 – 2
10.1. Prutové předpoklady
a) předpoklady geometrické
– Prut je určen střednicí γ, a v každém bodě střednice příčným průřezem ψ.
– Střednice γ je spojitá a hladká křivka konečné délky.
– Příčný průřez je jednoduše nebo vícenásobně souvislá oblast,
ohraničená obrysovou křivkou, matematicky ji popisujeme charakteristikami příčného průřezu.
charakteristiky
Příkladem nesouvislého příčného průřezu je řez A-A v místě
drážky v prutu obdélníkového průřezu (porušení prutových předpokladů).
– Délka střednice je vždy podstatně větší než největší rozměr příčného průřezu.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 3
Pro popis prutu se používá obvykle pravotočivý kartézský souřadnicový systém, jehož
osa x má směr tečny ke střednici a osy y, z jsou vhodně zvoleny v příčném průřezu.
b) předpoklady vazbové a zatěžovací
– Vazby omezují jen posuvy a úhly natočení střednice.
– Zatížení je soustředěno na střednici, tj. silovým působením na
prut jsou osamělé nebo liniové síly a silové dvojice s působištěm
na střednici (není–li splněno, nutná staticky ekvivalentní (SE)
náhrada reálného zatížení zatížením na střednici; přitom je
třeba mít na paměti omezení plynoucí ze Saint Venantova principu).
předchozí
OBSAH
silové
působení
SE
další
p10 – 4
c) předpoklady deformační
– Střednice zůstává v procesu deformace
spojitá a hladká.
– Průřezy v procesu deformace zůstávají rovinné a kolmé k deformované střednici, pouze
se vzájemně
– oddalují (tah),
tah
přibližují (tlak),
– natáčejí kolem osy ležící v příčném průřezu a deformují
(ohyb),
ohyb
– natáčejí kolem osy kolmé k příčnému průřezu a nedeformují (krut),
krut
– posouvají kolmo ke střednici (smyk).
předchozí
OBSAH
další
p10 – 5
d) předpoklady napjatostní
Napjatost v bodě prutu je určena normálovým a smykovým napětím
v příčném řezu vedeném tímto bodem; ostatní složky tenzoru napětí jsou
nulové. Tuto napjatost nazýváme prutová napjatost.




σx τxy 0
σ τ 0




Tσ =  τyx 0 0  =  τ 0 0 
0
0 0
0 0 0


prutová
napjatost


σx 0 τxz
σ 0 τ




nebo Tσ =  0 0 0  =  0 0 0 
τzx 0 0
τ 0 0
Pro řešení problémů deformace a napjatosti prutu budeme používat dva typy prvků:
– prvek konečný Ω0 , uvolněný z prutu jedním
příčným řezem ω1 ,
– prvek jednonásobně elementární Ω1 , uvolněný z prutu dvěma limitně blízkými příčnými
řezy ω1 , ω2 (je základním prvkem prutů).
Tento základní prvek bude často vhodné chápat jako soustavu tvořenou trojnásobně
elementárními prvky, určenými prvkem dψ příčného průřezu ψ a prvkem dγ střednice
prutu γ.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 6
10.2. Geometrické charakteristiky příčného průřezu
Jsou to veličiny, které charakterizují příčný průřez, a jsou používány ve vztazích pro
výpočet napětí a deformace pro jednotlivé způsoby namáhání.
10.2.1. Plocha příčného průřezu
S=
Z
dS =
ψ
ZZ
h
dydz
m2
i
ψ
10.2.2. Lineární (statické) momenty
Uy =
Z
zdS,
Uz =
ψ
Z
h
ydS
m3
i
ψ
S lineárními momenty jste se setkali už ve statice při určování polohy těžiště:
R
těžiště
~rdFG
Ω
~rT = R
dFG
Ω
R
pro ρ = konst., t = konst. ~rT = Ψ
R
~rdS
S
⇒
yT = Ψ
ydS
S
R
Uz
=
,
S
zT = Ψ
zdS
S
Poznámka:
Lineární moment k ose procházející těžištěm průřezu (centrální osa) je roven nule.
předchozí
OBSAH
=
Uy
S
Příklad 101
další
p10 – 7
10.2.3. Kvadratické momenty
název
definiční vztah
osové
Jy = z 2 dS,
R
rozměr příklad použití
[m4 ]
napětí a deformace v ohybu (určované
ψ
Jz = y 2 dS,
R
v hlavním souřadnicovém systému)
ohyb
určení polohy hlavního souřadnicového
systému
napětí a deformace v krutu středově symetrických průřezů
krut
ψ
deviační
R
Jyz = yzdS,
[m4 ]
ψ
polární
JP = r2 dS,
R
ψ
předchozí
[m4 ]
OBSAH
další
p10 – 8
10.2.4. Základní vlastnosti kvadratických momentů průřezu
1. Aditivnost: kvadratické momenty celého průřezu ψ k daným osám jsou rovny součtu
kvadratických momentů částí průřezu ψi k těmže osám.
2. Hodnoty osových a polárních kvadratických momentů jsou kladné. Hodnota deviačního momentu může být jakékoliv reálné číslo (obojí plyne z vlastností integrálů).
3. Osové momenty dvou symetrických průřezů k ose symetrie jsou stejné. Totéž platí
pro jakoukoli osu kolmou k ose symetrie obou průřezů. Deviační momenty k těmto
osám jsou rovněž stejné, ale opačných znamének.
Příklad 102
Ψ1 = Ψ2 , Jz(1) =
Důkaz:
Z
y 2 dS =
Ψ1
Jy(1) =
Z
z 2 dS =
Ψ1
(1)
Jyz
=
Z
Ψ1
Z
(−y)2 dS = Jz(2)
Ψ2
Z
z 2 dS = Jy(2) ,
Ψ2
yzdS = −
Z
(2)
yzdS = −Jyz
⇒
(1)+(2)
(1)
(2)
Jyz
= Jyz
+ Jyz
= 0.
Ψ2
Odtud plyne: deviační moment symetrického průřezu k pravoúhlému souřadnicovému
systému, kde alespoň jedna z os je osou symetrie, je roven nule.
4. Polární kvadratický moment je dán součtem osových kvadratických momentů k osám
pravoúhlého souřadnicového systému s počátkem v pólu.
Důkaz:
předchozí
r2 = y 2 + z 2 ⇒ JP = r2 dS = (y 2 + z 2 )dS = y 2 dS + z 2 dS = Jz + Jy
R
R
R
R
ψ
ψ
ψ
ψ
OBSAH
další
p10 – 9
10.2.5. Kvadratické momenty základních tvarů průřezů
a) Obdélník
R
Jyz
h/2
R
b/2
3
R 2
R
hb3 ,
2
,
J
=
z 2 bdz = bh
y
dS
=
y
hdy
=
z
12
12
ψ
ψ
−h/2
−b/2
R
= yzdS = 0
Jy = z 2 dS =
ψ
y(z)
h−z
b
b
b) Trojúhelník
b = h → y(z) = b − h z, dS = (b − h z)dz
3
Rh
R
hb3 , J = h2 b2
Jy = z 2 dS = z 2 (b − hb z)dz = bh
,
J
=
z
12
12 yz
24
0
ψ
Poznámka: pro praktické použití je třeba tyto momenty transformovat
posunutím a natočením, protože nejsou vztaženy k hlavnímu centrálnímu
souřadnicovému systému (viz dále).
c) Kruh
Jy = J z ,
R
Jy + Jz = JP ⇒ Jy = 12 JP , dS = 2πρ · dρ, JP = ρ2 dS,
ψ
4
4
4
RR
JP = ρ2 2πρ · dρ = πR
, Jy = Jz = J2P = πR
= πD
, Jyz = 0
2
4
64
0
předchozí
OBSAH
další
p10 – 10
10.2.6. Kvadratické momenty průřezu při transformaci souřadnic
Transformačních vztahů s výhodou využíváme při určování kvadratických momentů průřezu. Určíme kvadratické momenty k osám, ke kterým je výpočet nejsnadnější (nebo je
známe), a pak je transformujeme k hlavním centrálním osám. Tyto tzv. hlavní centrální
osové kvadratické momenty se využívají např. pro výpočet napětí a deformace při namáohyb
hání ohybem.
a) Transformace posunutím
Steinerovy věty
Pomocí známých kvadratických momentů k centrálním osám yT
a zT (osy procházející těžištěm) určujeme tyto momenty k posunutým osám y a z (nebo naopak):
Jy = JyT + b2 S,
Jz = JzT + a2 S,
Příklad 103
Příklad 04
Jyz = JyT zT + abS.
Protože členy a2 S i b2 S jsou vždycky kladné, je kvadratický moment ke kterékoliv posunuté ose větší než moment k ose rovnoběžné centrální (procházející těžištěm).
b) Transformace natočením
Příklad 110
Pro transformaci natočením lze odvodit následující vztahy:
Jy 0
Jz 0
Jy 0 z 0
JP 0
předchozí
= Jy cos2 α − Jyz sin 2α + Jz sin2 α
= Jz cos2 α + Jyz sin 2α + Jy sin2 α
J −J
= y 2 z sin 2α + Jyz cos 2α
= J y 0 + Jz 0 = J P
OBSAH
další
p10 – 11
10.2.7. Hlavní kvadratické momenty
V množině pootočených souřadnicových systémů y’, z’ existuje souřadnicový systém yh , zh ,
ke kterému je deviační moment roven nule (Jyh zh = 0). Nazývá se hlavní souřadnicový
systém a jeho osy jsou osy hlavní. Kvadratické momenty k tomuto souřadnicovému systému se nazývají hlavní kvadratické momenty Jyh , Jzh . Jak plyne z Mohrova zobrazení
(viz 10.2.8), jeden z těchto hlavních kvadratických momentů je maximální (značíme J1 )
a druhý minimální (J2 ) mezi kvadratickými momenty ke všem různě natočeným souřadnicovým systémům. Poloha hlavního souřadnicového systému je dána úhlem mezi natočenými a původními osami, který se určuje z podmínky nulového deviačního momentu:
J yh zh
Jy − J z
=
sin 2αh + Jyz cos 2αh = 0
2
!
⇒
1
−2Jyz
αh = arctg
.
2
Jy − J z
Hlavní souřadnicový systém s počátkem v těžišti se nazývá hlavní centrální souřad- Příklad 105
nicový systém. Protože osa symetrie průřezu vždy prochází jeho těžištěm a deviační Příklad 107
moment k ní je nulový, je tato osa vždy hlavní centrální osou, stejně jako osa k ní kolmá
Příklad 108
jdoucí těžištěm.
Příklad 109
předchozí
OBSAH
další
p10 – 12
10.2.8. Mohrova kružnice kvadratických momentů
Mohrovou kružnicí lze geometricky znázornit kvadratické momenty k souřadnicovým systémům různě natočeným kolem bodu průřezu (obvykle kolem jeho těžiště).
Na vodorovnou osu vynášíme osové kvadratické momenty, na osu svislou momenty deviační. Souřadnici Jy
přísluší deviační moment Jyz , souřadnici Jz pak přísluší
deviační moment Jyz stejně velký, ale s opačným znaménkem. (Tato konvence je dána odvozením Mohrovy kružnice.)
Příklad 106
Úhel 2αh mezi průvodičem bodu odpovídajícího osovému
kvadratickému momentu Jy a vodorovnou osou je dvojnásobkem úhlu mezi osou y a příslušnou hlavní centrální
osou příčného průřezu.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 13
10.3. Výsledné vnitřní účinky prutů (VVÚ)
Řešíme úlohu pružnosti pro prutové těleso, na něž působí silová soustava Π. Viditelným úloha
projevem odezvy jsou posuvy jednotlivých bodů tělesa, matematicky popsané vektorovým pružnosti
polem, tj. množinou vektorů posuvů ~uA = fu (Π). Vnitřním projevem odezvy jsou stavy
deformace a napjatosti tělesa v každém jeho bodě, popsané dvojicí vzájemně závislých
Tσ
tenzorů přetvoření Tε a napětí Tσ .
Při řešení složek napětí vycházíme z podmínek statické rovnováhy prvku tělesa.
Tε
Prut rozdělíme příčným řezem ω na dva konečné prvky Ω01 a Ω02 .
rovnováha
Statickou rovnováhu prvku Ω01 zajišťují vnitřní síly, mající obecně
konstitutivní
charakter sil spojitě rozložených v průřezu ω; pro vyjádření těchto
vztahy
sil jsme zavedli veličinu obecné napětí f~ω . (Analogicky platí statická
rovnováha pro prvek Ω02 ; jsou-li splněny podmínky pro prvek Ω01 ,
budou automaticky splněny i pro prvek Ω02 .)
Protože však použitelných podmínek statické rovnováhy je nejvýše šest, nestačí k určení
napětí, které může být v každém bodě řezu různé co do velikosti i směru; úloha určení
napětí v řezu je mnohonásobně staticky neurčitá. Aby úloha byla řešitelná, nahradíme
~V
obecná napětí v řezu staticky ekvivalentně (SE) výslednicí silovou F~V a momentovou M
v těžišti příčného průřezu (těžiště budeme nadále značit R kvůli vyloučení záměny s označením tenzorů a posouvajících sil).
předchozí
OBSAH
další
p10 – 14
~ V jsou vektory dané každý
Výslednice F~V i M
třemi složkami. Těchto celkem šest složek nazýváme výsledné vnitřní účinky (VVÚ) a určujeme
je z rovnic statické rovnováhy (SR) uvolněného
prvku Ω01 nebo Ω02 , vyjadřujících rovnováhu sil
vnějších Π1 (působících
na oprvek Ω01 resp. Ω02 )
n
~
~
a vnitřních ΠV = FV , MV .
ekvivalence
Znalost určování VVÚ je nutným předpokladem zvládnutí problému pružnosti prutů.
VVÚ jsou pomocné veličiny, popisující namáhání prutu a umožňující nalézt předem
nebezpečná místa prutu (tj. místa s největším namáháním).
Při definici složek VVÚ postupujeme následovně:
~ V rozložíme do směrů
Výslednici silovou F~V a momentovou M
lokálních souřadnicových os:
F~V = F~V x + F~V y + F~V z = N~i + Ty~j + Tz~k
~V = M
~Vx + M
~Vy + M
~ V z = Mk~i + Moy~j + Moz~k
M
Jejich souřadnice jsou výsledné vnitřní účinky v bodě R střednice (VVÚ).
VVÚ = {N, Ty , Tz , Mk , Moy , Moz }
VVÚ v bodě střednice se určují z podmínek statické rovnováhy uvolněného prvku.
předchozí
OBSAH
podmínky SR
další
p10 – 15
Lokální souřadnicový systém má počátek v těžišti R průřezu, ve kterém určujeme osy
složky VVÚ. Osa xL je u přímého prutu totožná se střednicí (v případě prutu zakřiveného je tečnou k zakřivené střednici), osy yL a zL leží v příčném průřezu a dohromady
tvoří kartézský souřadnicový systém.
Složky VVÚ mají zavedeny specifická označení a názvy:
N
-
normálová síla
Ty , Tz
Mk
Moy , Moz
-
posouvající síly
kroutící moment
ohybové momenty
/
\
-
namáhání
namáhání
namáhání
namáhání
namáhání
tahem - směr vnější normály
tlakem - směr vnitřní normály
prutu smykem (střihem)
prutu krutem
prutu ohybem
tah
krut
ohyb
Výsledné vnitřní účinky (VVÚ) jsou složky silové a momentové výslednice vnitřních
sil v těžišti příčného průřezu, které spolu se soustavou vnějších silových účinků tvoří
rovnovážnou silovou soustavu působící na prvek prutu.
předchozí
OBSAH
těžiště
další
p10 – 16
~ V ) jsou funkce popisující rozložení jednotlivých složek VVÚ podél
Průběhy VVÚ (F~V , M
střednice prutu; tyto funkce jsou určeny tvarem střednice a silovým působením. Střednice silové
~ V v každém působení
se při zatížení deformuje, proto se mohou v průběhu zatěžování měnit i F~V a M
bodě střednice. VVÚ bychom proto měli vyjadřovat obecně vzhledem k deformované
~ V v důsledku deforstřednici → pružnost a pevnost II. řádu. Když jsou změny F~V a M
~ V určíme vzhledem
mace střednice nepodstatné, můžeme tyto změny zanedbat a F~V a M
k nedeformované střednici, tj. k výchozímu tvaru (PP I. řádu). V tomto případě musíme určit deformaci a zkontrolovat, jestli deformace střednice podstatně VVÚ nezmění.
Jestliže je podstatně změní, je výpočet chybný a správně by měl být proveden znovu s uvažováním deformace střednice (PP II. řádu). My se však, až na výjimky (vzpěrná stabilita
prutů), budeme zabývat pružností I. řádu (deformace prutu neovlivňuje podstatně jeho
napjatost) a uvolňovat prvek v nedeformovaném stavu.
V pružnosti a pevnosti prutů dále rozlišujeme podle počtu nenulových složek VVÚ:
– jednoduché namáhání prutu – jestliže v každém bodě střednice působí pouze jedna
~ , T~ , M
~ o, M
~ k . Označíme ho jako tah (N > 0), tlak (N < 0), ohyb (Mo 6= 0),
ze složek N
krut (Mk 6= 0), smyk (T 6= 0);
– kombinované namáhání prutu – jestliže alespoň v jednom bodě střednice prutu je
~ , T~ , M
~ o, M
~ k nenulová;
více než jedna ze složek N
nebo podle způsobu vyjádření VVÚ
a) VVÚ v bodě střednice: určitá hodnota, je potřebná pro určení lokálních charakteristik (napětí),
b) VVÚ prutu:
funkční závislost po délce střednice, potřebná pro určení nebezpečných průřezů a globálních charakteristik (deformační posuvy).
předchozí
OBSAH
další
p10 – 17
Znaménková konvence: O znaménkách N, Ty , Tz , Mk , Moy , Moz zavedeme tuto úmluvu
(existují i jiné úmluvy, v literatuře musí být použitá konvence uvedena):
Veličiny N, Ty , Tz , Mk , Moy , Moz považujeme za kladné, když mají smysl kladných (záporných) os lokálního souřadnicového systému pro uvolněný prvek obsahující počáteční L (koncový P) bod střednice.
Poznámka:
Rozdílný smysl kladných složek VVÚ na levém (obsahujícím bod L) a pravém (obsahujícím
bod P) prvku prutu je zaveden z důvodu respektování zákona akce a reakce mezi oběma
prvky prutu. Při dodržení této konvence dostaneme znaménkově shodné výsledky, ať si
pro řešení VVÚ vybereme kterýkoliv z těchto prvků.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 18
10.4. Určování VVÚ
Úkolem je – vyjádřit VVÚ pro obecný bod střednice,
– znázornit průběh složek VVÚ podél střednice a určit místa jejich extrémů,
– určit extrémní hodnoty jednotlivých složek,
– vymezit na střednici oblasti stejného typu namáhání množinou nenulových složek VVÚ.
10.4.1. Přístupy k řešení průběhů VVÚ
Pro určování průběhů VVÚ se používají 2 základní přístupy:
a) Integrální přístup – založen na sestavení a řešení podmínek SR konečného prvku
prutu.
b) Diferenciální přístup – založen na sestavení a řešení podmínek SR elementárního
prvku prutu.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 19
Uvažujme přímý volný prut, jehož střednice je určena v globálním souřadnicovém systému
bodem počátečním L (levý) a koncovým P (pravý). Prut je zatížen zadanou obecnou
silovou soustavou Π:
– osamělé síly F~i [N] v bodech Ai střednice, i = 1÷n,
~ j [Nm] v bodech Bj střed– osamělé silové dvojice M
nice, j = 1 ÷ m,
– liniové síly dané měrným liniovým zatížením
~q(l) [Nm−1 ] podél střednice nebo její části γq , jejíž
body označíme C.
Příčný průřez prutu nemusí být pro určování VVÚ zadán!
předchozí
OBSAH
Příklad 201
Příklad 202
další
p10 – 20
a) Integrální přístup
vychází z definice složek VVÚ, které určujeme z rovnic SR konečného prvku následovně:
1. Bodem R vedeme řez ω, rozdělí prut na dva prvky:
ΩL (obsahuje bod L) a ΩP (obsahuje bod P).
2. VVÚ určujeme z podmínek rovnováhy jednoho
z těchto prvků. Je libovolné, který prvek pro řešení vybereme. Volíme prvek, pro který je řešení
jednodušší.
3. Na vybraný prvek (označíme ΩR ) s délkou střednice lR působí vnější silová soustava ΠR . Do řezu
~ V ) v kladzavedeme složky VVÚ (tj. složky F~V , M
ném smyslu podle znaménkové konvence. Prut je
ve statické rovnováze, proto i prvek ΩR musí splňovat podmínky statické rovnováhy:
– silová podmínka:
rovnováha
konvence
RlR
P~
Fi + ~qi (l)dl + F~V = ~0
lR
0
– momentová podmínka:
lR
~ i × F~i ) + P(M
~ j ) + R (RC
~ × ~q)dl + M
~ V = ~0
(RA
P
lR
předchozí
lR
0
OBSAH
další
p10 – 21
Z uvedených vektorových rovnic je patrné (jsou zde sumy a integrály), že
VVÚ v bodě R prutu, zatíženého vnější silovou soustavou, jsou součtem VVÚ od jednotlivých vnějších silových účinků.
4. Definujeme-li polohu bodu R střednice v globálním souřadnicovém systému (xR pro kartézský, ϕR pro polární),
můžeme určit kteroukoliv souřadnici VVÚ v závislosti na
poloze bodu R na střednici prutu, tj. určit průběh VVÚ.
lokální s.s.
Důsledky znaménkové konvence:
~ směřuje ven
– kladná normálová síla N
z řezu,
– kladná posouvající síla T~ má snahu otáčet prutem kolem bodu L i P ve směru
pohybu hodinových ručiček,
~ o deformuje
– kladný ohybový moment M
střednici do konvexního tvaru (červená
křivka na obrázku - střed křivosti nahoře)
Pravidla pro znaménka T a Mo lze jednoznačně použít jen u rovinné úlohy a vodorovného přímého prutu.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 22
5. Kde je třeba vést řezy, abychom získali průběh VVÚ?
K určení VVÚ musí být prut popsán střednicí, která je spojitou a hladkou křivkou prutové
a soustavou zatěžujících prvků působících na střednici. Průběh VVÚ lze vyjádřit předpoklady
funkcí s konečným počtem bodů nespojitosti podél střednice. Tyto body představují
hranice intervalů a v každém intervalu musí být zvolen jeden řez. VVÚ mají tedy
charakter funkcí, které na hranicích intervalů mohou být nespojité nebo mít nespojitou derivaci.
6. Vyšetříme průběhy funkcí popisujících závislosti jednotlivých složek VVÚ na poloze
řezu (znáte z matematiky) a určíme polohu extrémů (kromě hranic intervalů mohou
být v místech nulové derivace - viz matematika) analyticky nebo graficky. V těchto
tzv. nebezpečných bodech stanovíme funkční hodnoty jednotlivých složek VVÚ.
nebezpečný
bod
předchozí
OBSAH
další
p10 – 23
b) Diferenciální přístup
Vychází z diferenciálních závislostí mezi zatížením prutu a složkami VVÚ. Tyto závislosti
(tzv. Schwedlerovy věty) je možné odvodit pro prut s obecnou střednicí, obecně zatížený. Zde odvodíme diferenciální vztahy pouze pro přímý prut zatížený v rovině obecným
nekonstantním spojitým zatížením ~q(x).
Z prutu vyřízneme dvěma blízkými řezy jednonásobně elementární prvek Ω1 o délce dx. Spojité
zatížení ~q(x) rozložíme do normálového a tečného směru příčného
průřezu (~qT (x), ~qN (x)):
qN (x) = q(x) cos α,
qT (x) = q(x) sin α.
Zavedeme složky VVÚ, které se mezi oběma řezy budou vzájemně lišit o elementární přírůstky dN, dT, dMo . Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy, přičemž vzhledem k elementárnosti prvku můžeme na něm spojité zatížení ~q považovat za konstantní
(co do velikosti i směru):
X
Fx = 0 :
X
X
předchozí
Fz = 0 :
M R2 = 0 :
N (x) + dN (x) − N (x) + qN (x)dx = 0
T (x) + dT (x) − T (x) + qT (x)dx = 0
Mo (x) + dMo (x) − Mo (x) − T (x)dx + qT (x)dx
OBSAH
dx
=0
2
další
p10 – 24
Zanedbáme-li v poslední rovnici diferenciál 2. řádu oproti ostatním členům (diferenciály
1. řádu), dostaneme vztahy, označované jako Schwedlerova věta:
dN (x)
= −qN (x),
dx
dT (x)
= −qT (x),
dx
dMo (x)
= T (x).
dx
Podívejme se na tyto vztahy z hlediska významu derivace:
– Velikost spojitého zatížení qT nám určuje směrnici tečny k funkční závislosti T (x) ve
vyšetřovaném bodě střednice.
– Velikost posouvající síly T (x) v daném bodě střednice je směrnice tečny k průběhu
ohybových momentů.
Známe-li tedy průběh spojitého zatížení, je tím dán jednoznačně charakter průběhu VVÚ.
Pro určení konkrétních hodnot lze použít následující pomocná pravidla.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 25
10.4.2. Pomocná pravidla pro vyšetřování průběhu VVÚ u přímých prutů
1. Skok v průběhu N (x) nebo T (x) (tj. směrnice tečny → ∞)
může být jen tam, kde působí vnější osamělá síla odpovídajícího směru (~q → ∞).
T > 0, jestliže vlevo od řezu působí příčná síla směrem vzhůru.
2. V místě, kde je skok v průběhu T (x) (různá zleva a zprava),
musí být zlom v průběhu Mo (x) (různé směrnice).
!
Schwedlerova věta:
dMo (x)
= T (x) .
dx
3. Skok v průběhu Mo (x) může být jen tehdy, když v tomto místě
působí vnější silová dvojice.
Mo > 0, je-li střed křivosti ohybové čáry nahoře.
4. Je-li prut zatížen jen osamělými silami a dvojicemi (ne spojitým zatížením), jsou průběhy N (x) a T (x) konstantní a Mo (x)
je tvořen pouze lomenými přímkami, nikoliv křivkami (plyne
opět ze Schwedlerovy věty).
předchozí
OBSAH
další
p10 – 26
5. Kde průběh T (x) prochází nulou, má Mo (x) extrém.
dMo (x)
= T (x) = 0
dx
!
→
extrém
6. V průřezu prutu, kde je posouvající síla kladná (záporná), je
průběh Mo (x) rostoucí (klesající)
dMo (x)
= T (x)).
(opět vyplývá ze Schwedlerovy věty: dx
7. Podle zavedených konvencí je pro konvexní ohybovou čáru
Mo > 0. Přechod mezi konvexní a konkávní částí ohybové
čáry je jejím inflexním bodem, ve kterém proto platí Mo = 0.
8. Na konci prutu musí všechny složky VVÚ dosáhnout nulové
hodnoty, pokud zde nepůsobí odpovídající složka vnějšího zatížení (ta by vyvolala skok VVÚ podle bodu 1 nebo 3).
předchozí
OBSAH
další
p10 – 27
9. Pro kreslení průběhu VVÚ je výhodné využít symetrie a antisymetrie prutů.
Je-li prut z hlediska geometrie symetrický a z hlediska vnějších silových účinků
(zatížení a sil ve vazbách)
symetrický, pak v rovině symetrie je
– nulová posouvající síla,
– extrémní ohybový moment,
– nulový kroutící moment,
předchozí
antisymetrický, v rovině antisymetrie je
– nulová normálová síla,
– extrémní posouvající síla,
– nulový ohybový moment.
OBSAH
další
p10 – 28
10.4.3. Otevřené vázané pruty
Vazbové deformační podmínky prutu
Vazbu kinematickou dvojicí popisuje množina kinematických vazbových parame- vazby
trů (posuvy a natočení): v prostoru je to množina D3 = {u, v, w, ϕx , ϕy , ϕz }, v rovině
D2 = {u, w, ϕ}. Je-li vazbou některý kinematický vazbový parametr z množiny Di omezen, je odpovídající silový vazbový parametr (složka stykové výslednice) z množiny
S = {Fx , Fy , Fz , Mx , Moy , Moz } nenulový. Připomeňme zde základní typy rovinných vazeb:
Tyto vazby označujeme jako tuhé – omezený kinematický vazbový parametr je nulový.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 29
Lineárně pružné vazby jsou charakterizovány lineární závislostí mezi odpovídajícími Příklad 407
složkami silových a kinematických vazbových parametrů (např. u = konst. Fx ). Více se
blíží realitě, používají se tam, kde deformace základního tělesa (rámu) nejsou zanedbatelné oproti deformacím řešeného prutu. Problém je obvykle v praxi v určení tuhosti
(poddajnosti) těchto vazeb, kterou je často snazší stanovit experimentálně.
Jako vazbovou deformační podmínku označujeme rovnici, určující velikost deformačního parametru omezeného vazbou tělesa. Tyto rovnice budou dále využívány při řešení
staticky neurčitých prutů.
Příklady vazbových deformačních podmínek tuhé a pružné vazby
předchozí
OBSAH
další
p10 – 30
Prut vázaný v n bodech střednice
Uvažujme prut v podmínkách prostého namáhání, který je vázán k základnímu tělesu
(rámu) v n bodech střednice. Pro řešení silových účinků ve vazbách prut uvolníme tak, že
odstraníme vazby a nahradíme je stykovými silami a silovými dvojicemi. Ve statice jste se
zabývali statickými rozbory, zavedli jste si µ jako počet neznámých nezávislých silových statický
parametrů (složky neznámých silových účinků) a ν jako počet použitelných podmínek rozbor
statické rovnováhy (závislý na typu silové soustavy). Na základě porovnání těchto hodnot
se rozhodovalo o statické určitosti (řešitelnosti) úlohy. V pružnosti a pevnosti jsou na
rozdíl od dynamiky neznámými parametry pouze vazbové silové účinky, proto lze hovořit
o statické určitosti (resp. neurčitosti) uložení.
Posouzení statické určitosti může vést k následujícím závěrům:
a)
ν=µ
deformační
charakteristiky
– uložení je staticky určité,
– neznámé nezávislé parametry stykových výslednic určíme z použitelných podmínek statické rovnováhy.
Prut je uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku, ale s možností
volné deformace (žádný deformační parametr není omezen).
předchozí
OBSAH
další
p10 – 31
b)
µ<ν
Prut není uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku. Tyto případy řeší dynamika, pak teprve případně pružnost a pevnost.
Dynamika není pro řešení nutná v případě, že pohyb tělesa je sice
možný, ale při daném zatížení nenastane. Úloha je staticky určitá
(µ = ν), i když nepohyblivost tělesa není uložením zajištěna.
c)
µ>ν
1. uložení je staticky neurčité,
stupeň statické neurčitosti s = µ − ν,
2. neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic je víc než
použitelných podmínek statické rovnováhy,
3. pro určení neznámých nezávislých parametrů stykových výslednic je třeba kromě ν použitelných podmínek statické rovnováhy
formulovat s vazbových deformačních podmínek.
Prut je uložen nepohyblivě z hlediska pohybu jako celku, navíc s omezenou deformací. Při
řešení využijeme částečného uvolnění.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 32
Otevřené pruty vázané staticky určitě – postup řešení
Prut úplně uvolníme – tzn. nahradíme všechny stykové vazby stykovými výslednicemi,
které určíme z podmínek statické rovnováhy a řešíme jako prut volný.
V některých případech (pruty s volným koncem) není pro stanovení VVÚ úplné uvolnění
nezbytné.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 33
Otevřené pruty vázané staticky neurčitě – postup řešení
1. prut uvolníme úplně – nahradíme všechny stykové vazby stykovými výslednicemi
(reakcemi) a sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy.
Např.:
P
Fx = 0 :
P
Fz = 0 :
P
MA = 0 :
2. prut uvolníme částečně – tj. na úroveň staticky určitého uložení
(uložení, při němž je v prostoru právě definována
poloha prutu, ale není omezena jeho deformace)
a sestavíme vazbové deformační podmínky, což jsou
podmínky, které musí splňovat uvolněné vazby.
Tvar deformační podmínky jednoznačně souvisí se způsobem částečného uvolnění.
Částečné uvolnění je uvolnění na úroveň staticky určitého uložení a zavedení deformačních podmínek tak, aby byla zachována deformace shodná s původním staticky
neurčitým uložením. Jeho cílem je formulace deformační podmínky.
Deformační podmínka je vazbová podmínka v místě uvolněné vazby při částečném
uvolnění. Je to právě ta chybějící“ rovnice, kterou potřebujeme k řešení neznámých
”
silových vazbových parametrů.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 34
Deformační podmínky mohou být
1. homogenní (s nulou na pravé straně rovnice) – u tuhých vazeb,
Příklad 414
2. nehomogenní – u poddajných vazeb, pruty s výrobní nepřesností, změnou teploty,
Příklad 418
Příklad 417
Příklad 419
3. podmíněné – u podmíněně funkčních vazeb.
předchozí
OBSAH
Příklad 437
další
p10 – 35
Záporné znaménko plyne z použití Castiglianovy věty, u níž znamená posuv proti směru Castiglianova
působení síly F~B .
věta
10.4.4. Uzavřené pruty - rámy
Určení VVÚ je u uzavřených prutů úloha vždy vnitřně staticky neurčitá. Uzavřený prut
totiž řezem nerozdělíme na prvky (části), ale pouze z něj vytvoříme prut otevřený. Nemáme tedy žádné použitelné podmínky statické rovnováhy pro určení VVÚ. Podle charakteru uložení k základnímu tělesu může být úloha také vně staticky neurčitá. Při řešení
je třeba převést uzavřený prut vhodně volenými řezy na prut otevřený a formulovat deformační podmínky. Detailně se řešením uzavřených prutů zabývat nebudeme.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 36
10.4.5. Algoritmus určování VVÚ
1. Klasifikace prutu
– otevřený přímý prut vázaný staticky určitě - uvolnění a určení stykových sil
(pokud jsou zapotřebí);
– otevřený přímý prut vázaný staticky neurčitě - řešení lze provést pouze kvalitativně (pro kvantitativní řešení je zapotřebí částečně uvolnit a podmínky statické
rovnováhy doplnit o potřebné vazbové deformační podmínky);
– otevřený prut zakřivený - řešení podobné jako u prutu přímého, ale v tomto
případě i při nulovém spojitém zatížení nebudou silové složky VVÚ konstantní;
– prut uzavřený - vždy z hlediska určování průběhu VVÚ staticky neurčitý (vnitřně), navíc může být vně staticky určitý anebo neurčitý. Vyjádření průběhu VVÚ
je vždy relativně složitá úloha, která vyžaduje doplnit použitelné podmínky statické rovnováhy o potřebné deformační podmínky.
2. Uvolnění prutu, sestavení podmínek statické rovnováhy a určení stykových sil (je-li
úloha staticky určitá a nejedná se o prut vetknutý).
3. Rozdělení prutu na úseky, a to ve všech bodech, kde
– působí osamělé vnější zatěžovací účinky (včetně stykových sil, resp. momentů);
– se mění charakter spojitého zatížení;
– se mění směr (zlom) nebo křivost střednice.
4. Rozhodnutí o dalším postupu (nemusí být pro všechny úseky stejný)
– integrální přístup (sestavování rovnic statické rovnováhy prvku) volím tehdy, je-li
úloha relativně obtížná, ale staticky určitá;
– diferenciální přístup (využití Schwedlerových vět) volím u relativně snadné úlohy
nebo vždy u úlohy staticky neurčité (kvalitativní řešení);
předchozí
OBSAH
Příklad 203
integrální
přístup
diferenciální
přístup
další
p10 – 37
A) diferenciální přístup
5.
Z 1. Schwedlerovy věty a zadaného průběhu spojitého zatížení určíme s využitím dalších pravidel
(10.4.2 Pomocná pravidla pro vyšetřování průběhu VVÚ) průběh silových složek VVÚ, resp. kroutícího
momentu.
6. Z průběhu posouvajících sil určíme
s využitím 2. Schwedlerovy věty
průběh ohybových momentů.
7. Z průběhu VVÚ odhadneme nebezpečné průřezy (místa lokálních extrémů) a v nich určíme číselné hodnoty složek VVÚ (není-li úloha staticky neurčitá).
B) integrální přístup - v každém
úseku prutu provedeme kroky:
5. Uvolníme prvek prutu řezem vedeným v obecném bodě střednice řešeného úseku.
6.
Z podmínek statické rovnováhy
prvku určíme všechny složky VVÚ
(jako funkce souřadnice místa řezu).
7. Vyšetříme funkční závislosti průběhu VVÚ z hlediska lokálních
extrémů a určíme polohu těchto
extrémů.
8.
Nakreslíme průběh funkčních závislostí VVÚ, určíme nebezpečné
příčné průřezy a vypočítáme číselné
hodnoty VVÚ v těchto průřezech.
pravidla
Příklad 238
Poznámka: U prutů neprizmatických (s proměnným příčným průřezem) mohou existovat
další nebezpečná místa daná lokálním zeslabením prutu. Tím se budeme zabývat až při
řešení napjatosti a deformace pro konkrétní typy namáhání.
předchozí
OBSAH
další
p10 – 38
10.5. Příklady k procvičování látky
Řešené příklady
Příklad 101
Příklad 102
Příklad 103
Příklad 105
Příklad 106
Příklad 107
Příklad 108
Příklad 109
Příklad 110
Neřešené příklady
Příklad 104
10.6. Příklady k procvičování látky
předchozí
OBSAH
další
p10 – 39
Řešené příklady
Příklad 201
Příklad 202
Příklad 203
Příklad 217
Příklad 238
Příklad 204
Příklad 205
Příklad 206
Příklad 207
Příklad 208
Příklad 209
Příklad 210
Příklad 211
Příklad 212
Příklad 213
Příklad 214
Příklad 215
Příklad 216
Příklad 218
Příklad 219
Příklad 220
Příklad 221
Příklad 222
Příklad 223
Příklad 224
Příklad 225
Příklad 226
Příklad 227
Příklad 228
Příklad 229
Příklad 230
Příklad 231
Příklad 232
Příklad 233
Příklad 234
Příklad 235
Příklad 236
Příklad 237
Neřešené příklady
předchozí
OBSAH
následující kapitola