15. Goniometrické funkce

@157
15. Goniometrické funkce
Pravoúhlý trojúhelník
Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku
přeponě.
pokračování
@160
Měření úhlů
Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou nebo mírou obloukovou
Stupňová míra - plný úhel rozdělíme na 360 dílků – stupně
každý stupeň rozdělíme na 60 dílků – minuty
každou minutu rozdělíme na 60 dílků – vteřiny
1o ~ jeden stupeň
1’ ~ jedna minuta
1“ ~ jedna vteřina
Oblouková míra - je to délka oblouku jednotkové kružnice příslušné danému úhlu. Je to
reálné číslo. Jednotkou je jeden radián. Plný úhel má 2 radiánů.
převodní tabulka, kterou byste měli znát více méně zpaměti (lze ji rychle odvodit)
stupně
0o
30o
45o
60o
90o
180o
270o
radiány 0
/6
/4
/3
/2
3/2

pokračování
zpět
360o
2
@162
pokračování
zpět
@164a
pokračování
zpět
@164b
Goniometrické funkce obecně
pokračování
zpět
@164c
pokračování
zpět
@167
Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant (významné hodnoty zpaměti, tabulky,
kalkulačka). Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly v II. kvadrantu?
cos 150o = - cos(180o – 150o) = - cos 30o = - 3/2
pokračování
zpět
@170
Určete následující hodnoty
a) sin 150o = sin(180o - 150o) = sin 30o = 1/2
b) cos 120o = - cos(180o - 120o) = - cos 60o = - 1/2
c) sin 300o = - sin(360o - 300o) = - sin 60o = - /2
d) cos 315o = cos(360o - 315o) = cos 45o = 2/2
e) sin 225o = - sin(225o - 180o) = - sin 45o = 2/2
f) cos 240o = - cos(240o - 180o) = - cos 60o = - 1/2
Úkol: Znovu si připomeňte definici funkcí sin, cos, tg, cotg a určete definiční obory a obory
hodnot.
výsledek
zpět
@173
Určete následující funkční hodnoty
cos(270o)
=0
cos(1575o)
= - 2/2
sin(-2385o) = 2/2
cotg(-3030o) = 3
sin(1380o) = - 3/2
cos(-1260o)
=-1
Úkol: Pokuste se určit u funkcí sin, cos, tg, cotg, zda jsou sudé, liché nebo ani jedno ani
druhé.
výsledek
zpět
@176
průběh funkce tg a cotg
pokračování
zpět
@179
Mezi goniometrickými funkcemi existuje mnoho různých vztahů - identit, vzorců. Při
nejrůznějších příležitostech je nutné si umět poradit a převádět jeden výraz v druhý.
Příklad: Dokažte, že platí (cos x  0)
1 + tg2x = cos-2x
Řešení: Identity se dokazují tak, že se vyjde z jedné strany a postupnými úpravami si dojde
ke straně druhé. Nebo se vyjde z obou stran nezávisle a dojde se ke stejnému (třetímu) výrazu.
sin 2 x cos2 x  sin 2 x
1
L  1  tg x  1 


 cos2 x  P
2
2
2
cos x
cos x
cos x
2
Příklad: Dokažte, že platí (cos t  0, sin t  1)
cos t
1  sin t

1  sin t
cos t
Řešení:
cos t
cos t 1  sin t cos t (1  sin t )



1  sin t 1  sin t 1  sin t
1  sin 2 t
cos t (1  sin t ) 1  sin t


P
cos t
cos2 t
L
Úkol: Dokažte, že platí (mají-li obě strany smysl)
2
2
a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = 2
4
4
2
b) cos x - sin x = 2 cos x - 1
cotg 2 t  1
 1  2 sin 2 t
c)
2
1  cotg t
d)
1
1
2


1  cos x 1  cos x sin2 x
2
2
2
e) tg t . cos t + cos t = 1
výsledek
zpět
@182
Velmi důležité vztahy mezi goniometrickými funkcemi formuluje následující věta.
Věta: Součtové vzorce
Pro každé  a  platí:
i) sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos 
ii) sin(- ) = sin  cos  - sin  cos 
iii) cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin 
iv) cos(- ) = cos  cos  + sin  sin 
důkaz
zpět
@185a
Ověření podle iv) a známých hodnot
cos(x - /2) = cos x cos /2 + sin x sin /2 =
= cos x . 0 + sin x . 1 = sin x
Zaveďme substituci  = x + /2 tj. x =  – /2
Z právě dokázaného plyne
sin x = sin( - /2) = cos(x - /2) = cos( - /2 - /2) = cos( - ) =
= cos  cos  + sin  sin  =
= cos  . (-1) + sin  . 0 = - cos 
Úkol: Z platnosti cos(x - /2) = sin x a sin(x - /2) = - cos x dokažte platnost
i) sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos 
výsledek
zpět
@185b
L = sin(+ ) = cos(+  - /2) = cos(+ (- /2)) =
= cos  cos(- /2) - sin  sin( - /2) =
= cos  sin  - sin  (-cos ) =
= cos  sin  + sin  cos  = P
Tím je dokázána identita
i) sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos 
Úkol: Zbývá dokázat poslední identitu. Dokažte identitu
ii) sin(- ) = sin  cos  - sin  cos 
výsledek
zpět
@189
Platí cos(x + /2) = -sinx ? Ano, platí!
L = cos(x + /2) = cosx cos(/2) – sinx sin(/2) = cosx . 0 – sinx . 1 = -sinx = P
Věta: Vzorce pro poloviční úhel
Pro každé  platí
| sin

1  cos 
|
2
2
| cos

1  cos 
|
2
2
Důkaz:
Víme: pro každé x platí cos2x + sin2x = 1 a cos2x – sin2x = cos2x
Použijeme substituci x = /2, abychom do vzorců dostali poloviční úhel
cos2(/2) + sin2(/2) = 1
cos2(/2) – sin2(/2) = cos
sečteme
2cos2(/2)
= 1 + cos
odečteme
2sin2(/2) = 1 - cos
a nyní stačí vydělit 2 a odmocnit
Úkol: Proč je ve vzorcích absolutní hodnota?
výsledek
zpět
@193
Důkaz se provede prostou aplikací součtových vzorců
L = sin(+ ) + sin( ) = cos sin + sin cos + cos sin  sin cos =
= 2 sin cos= P
ATD.
Zaveďme substituci x = +  a y =  
součtem a rozdílem substitučních vzorců dostaneme  = (x+y)/2 a  = (x-y)/2
Tedy předchozí identitu lze také psát takto:
sin x  sin y  2 sin
x y
x y
cos
2
2
Úkol: Přepište dle tohoto vzoru i zbývající identity a zformulujte do matematické věty.
výsledek
zpět
@196
Víte, že platí (; 3/2), (/2; ), cotg  = 12/5 a sin  = 15/17. Určete tg( - ).
Tedy úhel  je ve III. kvadrantu a  je ve II. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka).
Máme určit tg(   )  tg(   ( )) 
tg  tg
(změna znamének, tg je lichá)
1  tg tg
Potřebujeme tedy určit tg  a tg , k čemuž užijeme vztahy
tg  = 1/cotg  = 5/12 a tg  = sin /cos  .
sin b je zadáno a cos b musíme určit ze vztahu cos2 + sin2 = 1
cos2= 1 – sin2 = (1 - sin )(1 + sin ) = (1 - 15/17)(1 + 15/17) = 82/172
Pro správné odmocnění musíme uvážit, že  je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy
cos  = -8/17 => tg  = sin /cos  = (15/17)/(-8/17) = -15/8
Nyní stačí jen dosadit to vzorce a zlomek upravit
tg( – ) = 220/21
Úkol: Víte, že platí (/2; ), (0; /2), sin  = 3/5 a cotg  = 8/15. Určete cos(- ).
výsledek
zpět
@158
Úkol: Dokažte, že platí sin2 + cos2= 1 .
výsledek
zpět
@160a
Zde je ilustrace vztahu mezi obloukovou a stupňovou mírou v sadě obrázků, kružnice má, a
musí mít, poloměr 1 (slovy jedna).
pokračování
zpět
@160b
pokračování
zpět
@160c
pokračování
zpět
@160d
pokračování
zpět
@160e
pokračování
zpět
@160f
pokračování
zpět
@160g
pokračování
zpět
@160h
Číselnou osu můžeme klidně natáčet dále
pokračování
zpět
@163
Orientovaný úhel
Až dosud jste chápali úhel jako průnik či sjednocení dvou polorovin. Takový úhel se nazývá
neorinetovaný a jeho velikost může být pouze od 0o do 360o stupňů včetně.
V matematice a aplikacích fyziky používáme ještě jiný mechanizmus vzniku úhlu. Vezmeme
dvě polopřímky s počátkem ve stejném bodě. Jednu polopřímku zafixujeme - počáteční
rameno, druhou polopřímkou pohybujeme - koncové rameno. Rozlišujeme i směr, jak úhel
vznikne otáčením polopřímky, i dovolujeme otočit polopřímkou několikrát kolem dokola.
Takový úhel se nazývá orientovaný.
Otočit ramenem lze i několikrát kolem dokola
pokračování
zpět
@165
V různých kvadrantech mají funkce sin, cos, tg, cotg různá znaménka. Je to dáno znaménky
souřadnic u a v.
Úkol: Doplňte znaménka do tabulky
kvadrant
interval
sin x
cos x
tg x
cotg x
výsledek
zpět
I.
(0; /2)
II.
(/2; )
III.
(3/2)
IV.
(3/2; 2)
@168a
Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly
v III. kvadrantu?
sin 200o = - sin(200o – 180o) = - sin 20o
pokračování
zpět
@168b
Známe hodnoty sin x a cos x pro I. kvadrant. Jak vypočteme hodnoty sin x a cos x pro úhly
v IV. kvadrantu?
cos 300o = cos(360o – 300o) = cos 60o = - 1/2
pokračování
zpět
@171
Funkce sin:
úhel může být libovolný => definiční obor R
2. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1>
Funkce cos:
úhel může být libovolný => definiční obor R
1. souřadnice bodu na jednotkové kružnici může být od -1 do 1 => obor hodnot <-1,1>
Funkce tg:
musíme vyloučit případy, kdy je cos roven 0, což je v lichých násobcích čísla /2
označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{(2k+1)/2, kC}
podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0,
může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R
Funkce cotg:
musíme vyloučit případy, kdy je sin roven 0, což je v sudých násobcích čísla /2 = celočíselné
násobky čísla 
označme k zastupující libovolné celé číslo => definiční obor R\{k, kC}
podíl, kdy čitatel je omezen a jmenovatel může nabývat hodnoty libovolně blízké 0,
může být jakékoli reálné číslo => obor hodnot R
Poznámka: Funkce periodická je taková, která se pravidelně opakuje. To platí i o funkcích sin,
cos, tg, cotg. Jde jen o to, kolikrát otočíme číselnou osou kolem jednotkové kružnice.
Úkol: Vyslovte přesnou definici periodické funkce a určete periodu funkcí sin, cos, tg, cotg.
výsledek
zpět
$ 172 0 0 170
@174
pokračování
zpět
@177
Platí vztahy pro záměnu funkcí sin a cos mezi sebou

cos x  sin( x  )
2
pokračování
zpět

sin x  cos( x  )
2
@180
Dokažte, že platí
2
2
a) (sin x + cos x) + (sin x - cos x) = 2
L = (sin x + cos x)2 + (sin x - cos x)2 =
= sin2x +2sinxcosx +cos2x +sin2x -2sinxcosx +cos2x =
= 2(sin2x + cos2x) = 2 = P
4
4
2
b) cos x - sin x = 2 cos x - 1
L = cos4x - sin4x =
= (cos2x + sin2x)(cos2x - sin2x) =
= 1.(cos2x - (1 - cos2x)) = 2 cos2x - 1 = P
cotg 2 t  1
 1  2 sin 2 t
c)
2
1  cotg t
pro cotg t  ±1, sin x  0
cos2 t
1
cotg 2 t  1 sin 2 t
cos2 t  sin 2 t
L


 (1  sin 2 t)  sin 2 t 
2
2
2
2
1  cotg t
cos t sin t  cos t
1
sin 2 t
 1  2 sin 2 t  P
d)
1
1
2


1  cos x 1  cos x sin2 x
L
pro cos x  ±1, sin x  0
1
1
1  cos x  1  cos x
2



P
2
1  cos x 1  cos x
1  cos x
sin 2 x
2
2
2
e) tg t . cos t + cos t = 1
pro cos t  0
sin 2 t
L  tg t . cos t  cos t 
cos2 t  cos2 t 
2
cos t
2
2
 sin t  cos t  1  P
2
pokračování
zpět
2
2
@183
Důkaz provedeme postupně v opačném pořadí. Je to tak snazší, text věty je zase zvykem
uvádět tak, jak jsme to udělali i my.
V důkazu iv) se vychází s porovnání vzdálenosti bodů A,B a C,D viz obrázek.
Souřadnice bodů jsou A = [cos sin], B = [cos sin],
C = [cos(- ); sin(- )], D = [1; 0]
Je zřejmé, že vzdálenost bodů AB je stejná jako bodů CD. Abychom se nemuseli trápit
s odmocninou ve vzorci o vzdálenosti bodů, budeme pracovat s její druhou mocninou.
|AB|2 = |CD|2
|AB|2 = (cos - cos)2 + (sin - sin)2 =
= cos2 - 2coscos + cos2 + sin2 - 2sinsin + sin2 =
= (cos2 + sin2) + (cos2 + sin2) - 2(coscos + sinsin) =
= 2[1 - (coscos + sinsin)]
|CD|2 = (cos(- ) - 1)2 + sin2(- ) = cos2(- ) - 2cos(- ) + 1 + sin2(- ) =
= (cos2(- ) + sin2(- )) + 1 - 2cos(- ) = 2[1 - 2cos(- )]
Porovnáním těchto dvou výrazů dostáváme platnost identity iv)
iv) cos(- ) = cos  cos  + sin  sin 
Úkol: Použijte právě dokázanou identitu iv) a znalost o sudosti, lichosti goniometrických
funkcí a dokažte platnost
iii) cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin 
výsledek
zpět
@186
L = sin(- ) = sin(+(-)) = sin  cos(-) + sin(-) cos  =
= sin  cos  - sin  cos  = P
Tím je dokázána identita
ii) sin(- ) = sin  cos  - sin  cos 
Zopakujme ještě jednou čtyři vzorce, které je žádoucí se naučit zpaměti:
Součtové vzorce Pro každé  a  platí:
i) sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos 
ii) sin(- ) = sin  cos  - sin  cos 
iii) cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin 
iv) cos(- ) = cos  cos  + sin  sin 
Úkol: Pomocí součtových vzorců vyjádřete sin2 a cos2 pomocí sin a cos. Výsledek
zformulujte do matematické věty.
výsledek
zpět
@191
Protože pro každé xR platí 0 
x 2 | x | a nikdy jinak.
Úkol: Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy
a) cos(/6 – x) – cos(/6 + x)
b) sin(/4 + x) – sin(/4 – x)
c) sin 105o
d) cos (/12)
výsledek
zpět
@194
Věta: Vzorce pro součty
Pro každé x, y  R platí
x y
x y
cos
2
2
x y
x y
sin
ii) sin x  sin y  2 cos
2
2
x y
x y
cos
iii) cos x  cos y  2 cos
2
2
x y
x y
sin
iv) cos x  cos y  2 sin
2
2
i) sin x  sin y  2 sin
Úkol: Mají-li obě strany smysl, dokažte, že platí
tg( x  y) 
výsledek
zpět
tgx  tgy
1  tgx tgy
@159
pokračování
zpět
@161
Ať se vám to líbí nebo nelíbí, ať máte kalkulačku nebo počítač vždy při ruce, některé hodnoty
je nutné znát zpaměti.
Následující tabulku se zpaměti naučte, nebudete litovat.

stupně
radiány
0o
0
sin 
0
cos 
1
30o
/6
45o
/4
60o
/3
1
2
3
2
2
2
2
2
3
2
1
2
90o
/2
1
0
K zapamatování je to celkem snadné. Všimněte si, že jde o posloupnost zlomků, kde je ve
jmenovateli stále číslo 2 a v čitateli druhá odmocnina z čísel postupně 0, 1, 2, 3, 4.
sin 
0
2
1
2
2
2
U funkce cos jsou to táž čísla jen čteno zprava doleva.
Úkol: Dokažte z definice (tj. z pravoúhlého trojúhelníka), že platí
cos /4 = sin /4 =
výsledek
zpět
2
2
3
2
4
2
@164
pokračování
zpět
@166
kvadrant
interval
sin x
cos x
tg x
cotg x
pokračování
zpět
I.
(0; /2)
+
+
+
+
II.
(/2; )
+
-
III.
(3/2)
+
+
IV.
(3/2; 2)
+
-
@169
Úkol: Určete následující hodnoty. Využijte právě získané vzorce.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
sin 150o
cos 120o
sin 300o
cos 315o
sin 225o
cos 240o
výsledek
zpět
@172
Definice: Mějme funkci f, pro kterou je splněno tvrzení (její funkční hodnoty stále stejně
opakují)
p>0 xDf : f(x+p) = f(x)
Pokud lze ze všech takových čísel p nalézt minimum, tj. nalézt nejmenší kladné číslo p>0
splňující definiční vztah, funkce se nazývá periodická a číslo p se nazývá perioda.
Funkce sin a cos mají periodu 2 (360o)
sin  = sin(+2k)
cos  = cos(+2k)
Funkce tg a cotg mají periodu  (180o),
tg  = tg(+k)
cotg  = cotg(+k)
Příklad: Určete hodnotu cos(1500o), tg(2400o) , cotg(-750o) .
Řešení: Nejprve se přesuneme do základního intervalu: přičítáním, odečítáním celočíselných
násobků periody:
pro sin a cos <0o; 360o)
pro tg a cotg <0o; 180o)
cos(1500o) = cos(1500o – 4.360o) = cos(60o)
tg(2400o) = tg(2400o – 13.180o) = tg(60o)
cotg(-750o) = cotg(-750o + 5.180o) = cotg(150o)
Pak případně převedeme úhel do I.kvadrantu, tj. <0o; 90o>, musíme již sledovat znaménka
cotg(150o) = - cotg(30o)
Nakonec určíme hodnotu zpaměti, z tabulek, pomocí kalkulačky. Pomocí kalkulačky můžeme
hodnoty získat přímo. Těžko však poznáme, jaký úhel to asi je, a pak mnoho úloh těží
z přesných hodnot (viz tabulka), které z kalkulačky nedostaneme.
cos(1500o) = cos(60o) = - 1/2
tg(2400o) = tg(60o) = sin(60o)/ cos(60o) = (3/2)/(1/2) = 3
cotg(-750o) = - cotg(30o) = - cos(30o)/sin(30o) = - (3/2)/(1/2) = -3
Úkol: Určete následující funkční hodnoty
cos(270o)
cos(1575o)
sin(-2385o)
cotg(-3030o)
sin(1380o)
cos(-1260o)
výsledek
zpět
@175
průběh funkce sin a cos
pokračování
zpět
@178
Vztahy (vzorce) mezi goniometrickými funkcemi
Definice: Funkce sin, cos, tg, cotg se nazývají goniometrické funkce.
Shrnutí: základní vztahy mezi goniometrickými funkcemi
tgx 
sin x
cos x
cotg x 
cos x
sin x
sin2x + cos2x = 1
očividně platí
cotg x = 1/tg x = tg-1x

cos x  sin( x  )
2
nebo ve stupních
=> tgx . cotgx = 1

sin x  cos( x  )
2
cos  = sin( + 90o) sin  = cos( - 90o)
pokračování
zpět
@181
Součtové vzorce
Poznámka: Vzdálenost dvou bodů v soustavě souřadnic se vypočítá na základě Pythagorovy
věty.
| AB | ( b1  a1 ) 2  ( b2  a2 ) 2
pokračování
zpět
@184
Máme dokázáno pro každé  a  platí cos(- ) = cos  cos  + sin  sin 
a víme, že sinus je lichý sin(-x) = - sin x a cosinus je sudý cos(-x) = cos x
L = cos(+ ) = cos(- (-)) = cos  cos(-) + sin  sin(-) =
= cos  cos  - sin  sin  = P
Tím je dokázána identita
iii) cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin 
Úkol: Již víme, že platí
sin(x - /2) = - cos x
výsledek
zpět
cos(x - /2) = sin x. Ověřte to podle iv) a dokažte, že také platí
@187
Věta: dvojnásobný úhel
Pro každé a platí
i) sin2 = 2sincos
ii) cos2 = cos2 - sin2
Řešení:
i) L = sin2 = sin(+ ) = sin  cos  + sin  cos  = 2sincos = P
ii) L = cos2 = cos(+ ) = cos  cos  - sin  sin  = cos2 - sin2 = P
Úkol: Dokázali jsme, že pro každé x platí


sin( x  )  cos x
sin( x  )   cos x
2
2

Platí také cos( x  )   sin x ?
2
ano
ne
zpět

cos( x  )  sin x
2
@192
Vypočtěte pomocí dokázaných vzorců následující výrazy
a) cos(/6 – x) – cos(/6 + x) = sin x
- stačí použít součtové vzorce
L = [cos(/6) cosx + sin(/6) sinx] – [cos(/6) cosx - sin(/6) sinx] =
= 2 sin(/6) sin x = sinx = P
b) sin(/4 + x) – sin(/4 – x) = 2 sinx
c) sin 105o = (6 + 2)/4
- stačí použít součtové vzorce
- rozložíme na známé hodnoty 105o = 60o + 45o
L = sin 105o = sin(60o + 45o) = sin 60o cos 45o + sin 45o cos 60o =
= 3/2 . 2/2 + 2/2 . 1/2 = (6 + 2)/4
d) cos (/12) = (2 + 6)/4
- rozložíme na známé hodnoty /3 – /4 = /12
L = cos (/12) = cos(/3 – /4) = cos(/3) cos(/4) + sin(/3) sin(/4) =
= 1/2 . 2/2 + 3/2 . 2/2 = (2 + 6)/4 = P
NEBO použijeme vzorce pro poloviční úhel, neboť /12 = (/6)/2
a I. kvadrantu je cos(/12) > 0 a proto můžeme přidat absolutní hodnotu bez problémů
L  cos(


1  cos( 6)
) | cos( ) |

12
12
2
Tím jsme mimoděk dokázali, že platí
2 3
2 6

2
4
Úkol: Dokažte, že pro každé  a  platí
i) sin(+ ) + sin( ) = 2 sin  cos 
ii) sin(+ )  sin( ) = 2 cos  sin 
iii) cos(+ ) + cos( ) = 2 cos  cos 
iv) cos(+ )  cos( ) = -2 sin  sin 
výsledek
zpět
3
2  2 3  2 3
2
4
2
1
@195
Máme dokázat, že platí tg( x  y) 
tgx  tgy
, pokud mají obě strany smysl (tzn. není-li
1  tgx tgy
ve jmenovateli zlomku nula a hodnoty funkce tg jsou konečné).
Řešení: K úpravě použijeme součtové vzorce a vztahy mezi goniometrickými funkcemi
sin( x  y ) sin x cos y  sin y cos x


cos( x  y ) cos x cos y  sin x sin y
sin x cos y sin y cos x
cos x cos y(

)
tgx  tgy
cos x cos y cos x cos y


P
sin x sin y
1

tgx
tgy
cos x cos y(1 
)
cos x cos y
L  tg( x  y ) 
Úkol: Víte, že platí (; 3/2), (/2; ), cotg  = 12/5 a sin  = 15/17. Určete tg( - ).
výsledek
zpět
@197
Víte, že platí (/2; ), (0; /2), sin  = 3/5 a cotg  = 8/15. Určete cos(- ).
Tedy úhel  je ve II. kvadrantu a  je v I. kvadrantu (toto ovlivňuje znaménka).
Máme určit cos( - ) = cos  cos  + sin  sin  .
sin  = 3/5 známe, zbývá určit cos  sin  a cos 
cos2= 1 – sin2 = (1 - sin )(1 + sin ) = (1 - 3/5)(1 + 3/5) = 42/52
Pro správné odmocnění musíme uvážit, že  je ve II. kvadrantu a tam je cos záporný, tedy
cos  = -4/5
Dále platí (na začátku této kapitoly jsme to dokázali) 1 + tg2x = cos-2x,
cos2 = 1/(1 + tg2) = 1/(1 + 1/cotg2) = 1/(1 + 152/82) = 82/172
a proto cos  = 8/17
sin2 = 1 – cos2 a  je v I. kvadrantu => sin  = 15/17
Už máme všechno a tak zbývá závěrečný výpočet
cos( – ) = 13/85
zpět
KONEC LEKCE
tedy