Aktivní filtry File

Aktivní filtry
Filtr je obecně selektivní obvod, který propouští určité frekvenční pásmo, zatímco
ostatní frekvenční pásma potlačuje. Filtry je možno realizovat sítí pasivních součástek, tj.
rezistorů, kapacitorů a induktorů. Použití pasivních filtrů je běžné všude tam, kde nejsou příliš
vysoké nároky na přesnost aproximace přenosové funkce filtru. V ostatních případech dáváme
přednost aktivním filtrům, které obsahují jeden nebo několik zesilovačů. Jednou z výhod
aktivních filtrů je možnost vyloučení induktorů při návrhu a realizaci přenosové funkce –
obvykle stačí zapojovat rezistory a kapacitory. Induktor je totiž obvykle charakterizován
velkými rozměry, relativně velkou cenou vzhledem ke složitosti výroby, ale zejména při
použití feromagnetického materiálu se vždy jedná o nelineární prvek, který může negativně
ovlivňovat přesnost aproximace přenosové funkce celého filtru. Dalšími výhodami aktivních
filtrů je, že při vhodné konstrukci si vystačíme i pro nízké frekvence s malými kapacitami a
dále lze dosáhnout velkých vstupních a malých výstupních impedancí.
1.
2.
3.
4.
Podle účelu, ke kterému má filtr sloužit, rozlišujeme celkem čtyři základní typy:
filtr typu dolní propust (DP, low-pass, propouští všechny kmitočty menší než horní mezní
kmitočet)
filtr typu horní propust (HP, high-pass, propouští všechny kmitočty větší než dolní mezní
kmitočet)
filtr typu pásmová propust (PP, band-pass, propouští jen dané pásmo kmitočtů)
filtr typu pásmová zádrž (PZ, notch, latch, band-stop, zadržuje dané pásmo kmitočtů)
Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních
souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku.
U2
U1
U2
U1
HP
DP
0
0
fc
fc
f
U2
U1
f
U2
U1
PP
0
fd
PZ
fh
f
0
fd
fh
f
Hranice mezi propustným pásmem a nepropustným pásmem nastává při určité frekvenci fc,
která se nazývá frekvence zlomu. Při této frekvenci může dosáhnout amplitudová frekvenční
charakteristika, aproximovaná v logaritmických souřadnicích přímkami své největší chyby
proti skutečné hodnotě. Reálná frekvenční charakteristika se od ideální liší. Příklad je
znázorněn (pro DP) na následujícím obrázku.
U2
U1
ideální frekvenční
charakteristika DP
A
A
reálná frekvenční
charakteristika DP
0
1
0
f0
pásmo propusti
f1
přechodová
oblast
f
pásmo
útlumu
Hranice pásma propustnosti a pásma útlumu nejsou přesně rozlišeny. Za pásmo propustnosti
budeme považovat frekvence, kde
U2
U1
neklesne pod zvolenou hodnotu A0 (obvykle se jedná o
hodnotu menší o 3 dB proti hodnotě v propustném pásmu). Za pásmo útlumu budeme
U2
považovat frekvence, pro které platí, že U klesne pod zvolenou hodnotu . Rychlost útlumu je
1
určena řádem filtru n (n = 3 ~ filtr 3. řádu, n = 6 ~ filtr 6. řádu). Čím větší řád filtru, tím
rychleji dochází k útlumu. Na druhou stranu je nutné upozornit na to, že s řádem filtru roste i
jeho složitost, což znamená, že v praxi jsme omezeni asi na řád n ≤ 10.
Druhy filtrů:
1. Butterworthovy filtry
Amplitudová charakteristika Butterworthových filtrů má velmi plochý průběh v propustném
pásmu, který začíná klesat teprve v blízkosti frekvence zlomu. Rozdíl mezi ideální a
aproximovanou amplitudovou frekvenční charakteristikou je na frekvenci zlomu
(f = fc) 3 dB a nezáleží na řádu filtru. Normovaným Butterworthovým polynomem n-tého řádu
rozumíme polynom, jehož komplexně sdružené kořeny leží v levé polorovině, přitom pro liché
n je jeden kořen vždy reálný a roven -1, dalších n-1 kořenů jsou komplexně sdružené kořeny se
zápornou reálnou částí. Pro sudá n má polynom n/2 dvojic komplexně sdružených kořenů se
zápornou reálnou částí. V následující tabulce jsou uvedeny normované Butterworthovy
polynomy.
n ... řád filtru
koeficienty normovaného Butterworthova polynomu BN(p)
1
2
3
4
5
6
7
8
(p + 1)
(p2 + 1.4142p + 1)
(p2 + p + 1)(p + 1)
(p2 + 0.7654p + 1)(p2 + 1.8478p + 1)
(p2 + 0.618p + 1)(p2 + 1.618p + 1)(p + 1)
(p2 + 0.5176p + 1)(p2 + 1.4142p + 1)(p2 + 1.9319p + 1)
(p2 + 0.445p + 1)(p2 +1.247p + 1)(p2 + 1.8019p + 1)(p + 1)
(p2 + 0.3902p + 1)(p2 + 1.1111p + 1)(p2 + 1.6629p + 1)(p2 + 1.9616p + 1)
9
(p2 + 0.3473p + 1)(p2 + p + 1)(p2 + 1.5321p + 1)(p2 + 1.8794p + 1)(p + 1)
10
(p2
(p2 + 0.3129p
+ 1.9754p + 1)
+
1)(p2
+0.908p
+
1)(p2
+
1.4142p
+
1)(p2
+
1.782p
+
1)
Obecně lze přenos např. systému 2. řádu napsat ve tvaru:
G ( p) 
Au 0
[1]
2
 p
p
1
   2k
c
 c 
c [s 1 ] ... je frekvence zlomu
k[ ] ... je poměrné tlumení
I v případě Butterworthových filtrů současně platí, že řešením charakteristické rovnice
jsou dva komplexně sdružené kořeny ležící v levé polorovině.
Butterworthův filtr však lze obecně popsat přenosem:
G ( p) 
Au 0
BN ( p)
[2]
kde B N ( p) je Butterworthův polynom n-tého řádu. Jestliže dosadíme p  j ,
bude pro absolutní velikost G( j ) v případě Butterworthova filtru platit:
2
G ( j )  G ( j ) G (  j ) 
Au20

1  
 c 
2n
[3]
Ze vztahu (3) vyplývá, že absolutní hodnota přenosu G( j ) je dána vztahem:
G ( j ) 
Au 0

1  
 c



2n
[4]
kde n je řád polynomu.
Z výrazu (4) vyplývá velmi důležitá vlastnost Butterworthových filtrů: platí totiž, že pro
  c poklesne amplituda na výstupu filtru na hodnotu:
G ( j ) 
Au 0
2
 0,707  Au 0
tj. na hodnotu o 3 dB nižší oproti propustnému pásmu.
[5]
Fázová frekvenční charakteristika vykazuje v propustném pásmu plynulou změnu
fáze s frekvencí, se sklonem daným řádem filtru. Pro posouzení těchto vlastností se používá
pojmu skupinové zpoždění, což je derivace fáze podle frekvence. U tohoto typu filtru nemá
v propustném pásmu skupinové zpoždění zvlnění
Přechodová charakteristika se vyznačuje rychlým čelem impulsu a mírným překmitem.
Butterworthův filtr je nejvíce používaný filtr v regulační technice.
Pro normovaný filtr, kdy uvažujeme, že ω0 = 1 rad/s, je možné přenosovou funkci
přepsat ve dvou tvarech. Pro n sudá (2, 4, 6, …)
n/2
G( p)  
k 1
Ak
p  ak p  bk
2
Pro n lichá (1, 3, 5, …)
A0 n 1 / 2
Ak
G( p) 

p  b0 k 1 p 2  ak p  bk
V předcházející tabulce jsou uvedeny normované Butterworthovy polynomy pro filtr
1. až 10. řádu. Koeficienty jednotlivých polynomů lze určit pomocí vztahů (6) a (7).
bk  1
a k  2 sin
[6]
(2k  1)
2n
kde k … je pořadí polynomu
[7]
Pro příklad určeme ze vztahu (7) koeficienty pro n = 6:
k  1 : a1  2 sin 2  1  / 12  2 sin( / 12)  0,5176
k  2 : a 2  2 sin 4  1  / 12  2 sin(3 / 12)  1,4142
k  3 : a3  2 sin6  1  / 12  2 sin(5 / 12)  1,9319
n ... řád filtru
koeficienty normovaného Butterworthova polynomu BN(p)
1
2
3
4
5
6
7
8
(p + 1)
(p2 + 1.4142p + 1)
(p2 + p + 1)(p + 1)
(p2 + 0.7654p + 1)(p2 + 1.8478p + 1)
(p2 + 0.618p + 1)(p2 + 1.618p + 1)(p + 1)
(p2 + 0.5176p + 1)(p2 + 1.4142p + 1)(p2 + 1.9319p + 1)
(p2 + 0.445p + 1)(p2 +1.247p + 1)(p2 + 1.8019p + 1)(p + 1)
(p2 + 0.3902p + 1)(p2 + 1.1111p + 1)(p2 + 1.6629p + 1)(p2 + 1.9616p + 1)
9
(p2 + 0.3473p + 1)(p2 + p + 1)(p2 + 1.5321p + 1)(p2 + 1.8794p + 1)(p + 1)
10
(p2 + 0.3129p
(p2 + 1.9754p + 1)
+
1)(p2
+0.908p
+
1)(p2
+
1.4142p
+
1)(p2
+
1.782p
+
1)
2. Besselovy filtry
Besselovy filtry (nazývané též Bessel-Thomsonovy nebo Thomsonovy filtry) jsou
navrhovány tak, aby fázová charakteristika byla v pásmu okolo kritické frekvence maximálně
lineární. Amplitudová charakteristika v nepropustném pásmu je velmi plochá. Na následujícím
obrázku jsou amplitudové frekvenční charakteristiky Besselových filtrů sudého řádu 2 ÷ 10.
Amplitudová charakteristika má neostrý zlom a oproti filtrům ostatních druhů je její
přechodové pásmo nejdelší.
Fázová část frekvenční charakteristiky je ve své přechodné části plochá nejvíce ze
všech popisovaných filtrů.
Přechodová charakteristika má malý překmit, menší než 1% amplitudy vstupního
skoku.
Besselovy filtry se používají v televizní technice, při zpracování digitálně
syntetizovaného signálu a též v měřicí technice. Použití nacházejí všude tam, kde je na závadu
překmit přechodové charakteristiky.
n ... řád filtru
koeficienty normovaného Besselova polynomu BL(p)
1
(p + 1)
2
(p2 + 1.732p + 1)
3
(p2 + 1,4912p + 1.062)(9416p + 1)
4
(p2 + 1.3144p + 1.1211)(p2 + 1.8096p + 0.8920)
5
(p2 + 1.7032p + 0.9212)(p2 + 1.1812p + 1.1718)(0.9264p + 1)
6
(p2 + 1.8188p + 0.8615)(p2 + 1.5954p + 0.9556)(p2 + 1.0772p + 1.215)
7
(p2 + 1.76p + 0.8779)(p2 +1.5054p + 0.9897)(p2 + 0.9934p + 1.2517) (0.9195p + 1)
8
(p2 + 1.8194p + 0.8475)(p2 + 1.6946p + 0.8993)(p2 + 1.4222p + 1.0222) (p2 + 0.9244p + 1.2836)
9
(p2 + 1.7822p + 0.8579)(p2 + 1.6296p + 0.9226)(p2 + 1.3488p + 1.0525) (p2 + 0.8662p +
1.3114)(0.9155p + 1)
10
(p2 + 1.8182p + 0.8395)(p2 +1.7376p + 0.8725)(p2 + 1.5676p + 0.946) (p2 + 1.2836p + 1.0804)(p2 +
0.8166p + 1.3359)
3. Eliptické filtry
Eliptické, též Cauerovy nebo Cauer-Čebyševovy filtry, byly navrženy Cauerem
v roce 1931. Tyto filtry se vyznačují maximální strmostí zlomové části amplitudové
charakteristiky, čemuž odpovídá krátké přechodové pásmo.
Eliptické filtry nacházejí použití všude tam, kde se požaduje velmi strmý pokles
amplitudové frekvenční charakteristiky na zlomové frekvenci. Eliptický filtr představuje
optimální řešení pro tento požadavek. Eliptické filtry najdeme v televizní, měřicí a
komunikační technice. Vstupními parametry návrhu eliptického filtru jsou n, ωc , Rp a Rs , tedy
řád, zlomová frekvence, maximální zvlnění v propustném směru a minimální útlum
v nepropustném pásmu.
Příklad návrhu a realizace Butterworthova filtru
Návrh Butterworthova filtru s použitím operačních zesilovačů a s využitím
normovaných polynomů BN(p) je možno řešit různým způsobem. Především je možné dokázat,
že lze s jedním operačním zesilovačem a sítí RC realizovat filtr libovolného řádu. Tímto
způsobem lze redukovat na nejmenší možnou míru počet aktivních součástek obvodu, na druhé
straně však vytvořené obvody splňují požadované vlastnosti pouze s velmi přesnými
hodnotami součástek. Tato citlivost roste s rostoucím řádem filtru. Příklad zapojení aktivní
dolní propusti n-tého řádu s jedním operačním zesilovačem je možné nalézt např. v literatuře
[3].
Jiný způsob návrhu dolních nebo horních propustí využívá operačních zesilovačů
jako impedančních převodníků, tj. zesilovačů s kladným zesílením s vysokou vstupní
impedancí a minimální výstupní impedancí. V tomto případě je možné použít zapojení pro
první řád podle následujícího obrázku. Impedance Z1 a Z2 jsou tvořeny prvky RC. V případě
aktivního filtru typu dolní propust bude impedance Z1 nahrazena rezistorem a impedance Z2
kapacitorem.
R1
R2
3
1
1
1
+
1
1
OZ1
-
2
Z1
1
1
Z2
1
U2
1
U1
Zapojení s jedním operačním zesilovačem pro druhý řád je na následujícím obrázku.
Tomuto zapojení se běžně říká Salen-Key filtr. Impedance Z1 až Z4 jsou tvořeny stejně jako
v případě filtru 1. řádu prvky RC. V případě aktivního filtru typu dolní propust budou
impedance Z1 a Z2 nahrazeny rezistory, zatímco impedance Z3 a Z4 budou nahrazeny
kapacitory. Při realizaci filtru typu horní propust budou zaměněny rezistory a kapacitory.
R1
R2
Ui
Ui
Z3
Z4
1
1
U2
1
Ux
1
1
1
1
3
+
U1
1
OZ1
-
1
2
Z2
Z1
Chceme-li realizovat filtr vyššího řádu, pak pro liché n se zapojení skládá
z kaskádního spojení (n-1)/2 obvodů druhého řádu a jednoho obvodu prvního řádu. Pro sudé n
se pak výsledné schéma skládá z n/2 obvodů druhého řádu. Určitá nevýhoda tohoto způsobu
návrhu je v tom, že pro zaručení přenosové funkce BN(p) vycházejí obvykle rozdílné hodnoty
kapacit nebo odporů pro jednotlivá zapojení.
V následujícím odvozeních bude použit vztah (1), který představuje typickou
přenosovou funkci obecného systému druhého řádu:
G ( p) 
Au 0
2
 p
p
1
   2k


 c
c
V obou popisovaných zapojeních je operační zesilovač zapojen jako neinvertující zesilovač,
jehož zesílení AU 0 je v pásmu provozovaných frekvencí dáno vztahem:
AU 0 
R1  R2
R
 1 2
R1
R1
[8]
S využitím vztahu (8) platí pro zapojení druhého řádu:
R1
U2
Ui  U2

R1  R2 AU 0
[9]
Pro napětí Ux platí:
Z3 Z2  Z4 
U x  U1
Z3  Z2  Z4
Z1 
Z3 Z2  Z4 
Z1  Z 2  Z 4 
 U2
Z3  Z2  Z4
Z1  Z 2  Z 4
Z3 
Z1  Z 2  Z 4 
[10]
Z1  Z 2  Z 4
Napětí na neinvertujícím vstupu je jednak dáno vztahem (9), ale současně můžeme psát:
Ui  U x
Z4
Z2  Z4
[11]
Dosadíme-li za Ux ze vztahu (10) do vztahu (11) a současně porovnáme vztahy (9) a (11)
dostaneme po úpravě:
U2
U 1 Z 3 Z 4  U 2 Z1 Z 4

AU 0 Z1 Z 3  Z1 Z 2  Z1 Z 4  Z 3 Z 2  Z 3 Z 4
[12]
Další úpravou dostaneme přenos ve tvaru:
U2
AU 0 Z 3 Z 4

U 1 Z1 Z 2  Z1 Z 4  Z 2 Z 3  Z 3 Z 4  Z1 Z 3  AU 0 Z1 Z 4
[13]
Chceme-li nyní realizovat např. dolní propust druhého řádu typu Butterworth, definujeme:
1
Z3  Z4 
Z1  Z 2  R
pC
U 2 ( p)

U 1 ( p)
 1 

AU 0 
pC


2
[14]
2
R2 
R
R  1 
R
R
 

 
 AU 0
pC pC  pC 
pC
pC
a po úpravě dostaneme:
AU 0
U 2 ( p)

U 1 ( p )  pRC 2  3  AU 0  pRC  1
Porovnáme-li nyní vztah (15) se vztahem (1) určíme:
1
c 
RC
AU 0  3  2 k
[15]
G ( p) 
Au 0
2
 p
p
1
   2k
c
 c 
[16]
[17]
Na základě vztahů (16) a (17) lze velmi jednoduše navrhovat požadovaný filtr tak, že určíme
podle (16) prvky R, C a hledáme takové zesílení AU0 pro každý operační zesilovač, aby byl
navržen koeficient tlumení podle tabulky normovaných Butterworthových polynomů.
Návrh pásmových propustí pomocí filtrů polynomiálního typu
Realizace pásmové propusti podle principu na následujícím obrázku má velkou výhodu
v univerzálnosti použití. Volbou řádu obou propustí můžeme volit sklony charakteristik
nezávisle na sobě. Frekvence fd a fh je možno libovolně měnit a vždy jsou vzájemně nezávislé,
je-li splněna podmínka f d  f h .
1
1
DOLNÍ
PROPUST
HORNÍ
PROPUST
1
1
U1
1
1
1
1
U2
Vlastní návrh pásmové propusti je velmi jednoduchý a lze použít stejný postup jako
v případech dolní či horní propusti, které byly popsány výše.
Návrh pásmových zádrží pomocí filtrů polynomiálního typu
U tohoto návrhu, podobně jako v předchozím případě, lze frekvence fd a fh libovolně
bez interakce měnit. Rovněž sklony frekvenčních charakteristik v okolí pásma zadržených
frekvencí lze navrhovat nezávisle na sobě.
Vlastnosti zapojení dolní a horní propusti však v tomto případě nelze provést
kaskádně. Obě propusti se zapojují společně svými vstupy a jejich výstupy se přivádějí na
součtový zesilovač podle následujícího obrázku. Návrh této pásmové zádrže vychází opět
z výše popsaného způsobu návrhu dolní a horní propusti.
U11
0,5R
1
1
2
3
U1
OZ1
1
1
1
+
R
-
DOLNÍ
PROPUST
U2
1
HORNÍ
PROPUST
1
1
1
R
U12
V tomto případě je výstupní napětí dáno vztahem:
R
R
U 2  U 11
 U 12
 0,5U 11  U 12 
2R
2R
[18]
Butterworthův filtr typu horní propust 3. řádu
Navrhněte Butterworthův filtr typu horní propust třetího řádu se zlomovou frekvencí fc =
800Hz. Máte k dispozici kapacitory 1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Vyberte vhodný
kapacitor z nabízených tak, abyste vypočtený odpor mohli snadno nastavit pomocí odporové
dekády 1kΩ až 999kΩ. Hodnoty rezistorů R1 = R1‘ = 10kΩ nemáte možnost měnit.
Filtr bude sestaven ze zapojení filtru 1. řádu a ze zapojení „ Salen-Key “. Výsledné zapojení je
znázorněno na následujícím obrázku.
R2
3
C
2
C
1
3
OZ2
1
1
1
+
1
-
1
OZ1
+
2
C
R'2
R'1
-
R1
U2
R
R
1
1
1
R
1
U1
BN(p) = (p + 1)(p2 + p + 1)
První závorku bude realizovat OZ1 a druhou závorku OZ2
AU0 = 3 – 2k1 = 3 – 1 = 2
AU0’ = 3 – 2k1 = 3 – 1 = 2
R
R

1
= R  1= 2
AU0 = AU0’ = R
'
2
2
1
1
'
Ze zadání známe R1 = R1’ = 10kΩ a snadno dopočítáme
R2 = R1(AU0 – 1) = R1(2 – 1) = 10kΩ
R2‘ = R1‘ (AU0‘ – 1) = R1‘ (2 – 1) = 10kΩ
Frekvence zlomu je dána vztahem
f 
C
1
2RC
Volíme jednu součástku a druhou dopočítáme. Z praktického hlediska je vhodné volit
velikost kapacitorů, neboť se obvykle jedná o rozměrnější součástku, která by měla být co do
hodnoty v řadě vyráběných kapacitorů. Ze zadání plyne, že máme volit hodnotu kapacitoru
C=1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Např. pro C=33nF je:
1
R
R [kΩ]
2f c C
 6,029k
C=3,3nF
C=10nF
C=33nF
C=100nF
60,286
19,894
6,029
1,989
Butterworthův filtr typu horní propust 3. řádu
Navrhněte Butterworthův filtr typu dolní propust čtvrtého řádu se zlomovou frekvencí fc =
1kHz. Máte k dispozici kapacitory 1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Vyberte vhodný
kapacitor z nabízených tak, abyste vypočtený odpor mohli snadno nastavit pomocí odporové
dekády 1kΩ až 999kΩ. Hodnoty rezistorů R1 = R1‘ = 10kΩ nemáte možnost měnit.
Filtr bude sestaven ze dvou zapojení „ Salen-Key “. Výsledné zapojení je znázorněno na
následujícím obrázku.
1
3
1
R
R
3
OZ2
1
1
1
+
1
R
R'2
2
OZ1
-
2
R
R'1
+
R2
-
R1
U2
C
C
C
1
1
1
C
1
U1
BN(p) = (p2 + 0,7654p + 1)(p2 + 1,8478p + 1)
První závorku bude realizovat OZ1 a druhou závorku OZ2
AU0 = 3 – 2k1 = 3 – 0,7654 = 2,2346
AU0’ = 3 – 2k1 = 3 – 1,8478 = 1,1522
R
 1 = 1,1522
AU0’ =
R
'
R
AU0 =  1 = 2,2346
R
2
2
'
1
1
Ze zadání známe R1 = R1’ = 10kΩ a snadno dopočítáme
R2  R1 ( AU )  1)  R1 (2,2346  1)  12,346k
R2'  R1' ( AU' 0  1)  R1' (1,1522  1)  1,522k
Frekvence zlomu je dána vztahem
f 
C
1
2RC
Volíme jednu součástku a druhou dopočítáme. Z praktického hlediska je vhodné volit
velikost kapacitorů, neboť se obvykle jedná o rozměrnější součástku, která by měla být co do
hodnoty v řadě vyráběných kapacitorů. Ze zadání plyne, že máme volit hodnotu kapacitoru
C=1nF, 3,3nF, 10nF, 33nF nebo 100nF. Např. pro C=10nF je:
1
R
 15,915k
2f c C
R [kΩ]
C=1nF
C=3,3nF
C=10nF
C=33nF
C=100nF
159,155
48,229
15,915
4,823
1,592
R1
R2
+IN B
+IN A
3
1
1
1
-IN B
1
C
1
C
1
80 Hz
R
-IN A
AC
1
2V
R
+
1
1
OZ1
-
2
R1
+IN B
+IN A
1
1
R
R
3
OZ1
1
1
1
+
2
-
OUT
R2
-IN A
-IN B
1
C
1
1
C
1
GND
Filtry se spínanými kapacitory
V předchozích části přednášky jsme poznali jak lze vytvořit aktivní filtry z diskrétních
pasivních a aktivních prvků. U těchto filtrů lze velmi složitým způsobem měnit jejich
parametry, především pak přeladění jejich kmitočtových vlastností. Nabízí se zde použití filtrů,
kde se tato změna provádí velmi elegantním způsobem. Rezistory v nich jsou nahrazeny
periodicky spínanými kapacitory, což dovoluje změnu jejich ekvivalentních odporů a následně
i přeladění filtru úpravou přepínacího kmitočtu. Proto jsou tyto filtry v literatuře označovány
jako SCF (Switched Capacitors Filters).
Princip filtru se spínaným kapacitorem
1
f CLK
3
C2
t2
2
1
1
21
2
2
3
S2
S1
U1
2
OZ
1
1
1
+
1
1
-
t1
1
U0
C1
1
1
1
1
1
1
U2
Označíme-li časový interval t1 , jako interval po který je sepnut spínač S1 a t2 jako interval, po
který je sepnut spínač S2 , bude pro periodu TCLK platit:
1
TCLK 
 t1  t 2
[19]
f CLK
kde TCLK je perioda vzorkování a fCLK je vzorkovací frekvence.
Náboj kapacitoru C1 je v okamžicích přepnutí dán vztahy:
Q(t1 )  C1u1
Q(t 2 )  C1u2
[20]
Změna náboje na kondenzátoru za jednu vzorkovací periodu je tedy:
Q (t )  Q (t1 )  Q (t2 )  C1 u1  u2   I  TCLK
[21]
Změna náboje v časovém intervalu je proto dána střední hodnotou proudu v tomto časovém
intervalu. Z tohoto a s využitím Ohmova zákona můžeme psát:
I
u1  u2 u1  u2

Rekv
 TCLK 


 C1 
[22]
Ze vztahu (22) plyne, že pomocí vzorkování lze realizovat časovou konstantu, ve které figuruje
přídavný kapacitor C1 a odpor je nahrazen fiktivním odporem Rekv 
TCLK
.
C1
Časová konstanta obvodu je tedy:
  Rekv C2 
C2
T
C1 CLK
[23]
Časová konstanta podle vztahu (23) nezávisí na skutečném odporu, ale pouze na periodě
vzorkování TCLK a na poměru dvou kapacit
C2
.
C1
Přenos obvodu je dán vztahem:
U O ( p)
C
1
1

 1
U 1 ( p)
pC 2 Rekv
C 2 pTCLK
Pokud zaručíme konstantní poměr
[24]
C2
, bude zlomová frekvence řízena pouze frekvencí
C1
vzorkovací, přičemž se nemění tvar charakteristiky filtru. Toto je základní výhoda filtrů se
spínaným kapacitorem. Další výhodou je, že mezní kmitočet je dán poměrem kapacit , což je
příznivé z hlediska vlivu teploty na parametry filtru.
Aliasing
Aliasing, neboli překrývání ve frekvenčním spektru vzniká v důsledku přepínání
kapacitoru, které je současně vzorkováním. Běžná dolní propust je pásmovou propustí pro
frekvence od 0Hz do fC. Filtr se spínaným kapacitorem je však navíc propustí frekvence od
fCLK - fC do fCLK + fC , od 2fCLK - fC do 2fCLK + fC , …, přeložené do propustného pásma filtru.
Aliasingu se zamezuje vložením klasického filtru za filtr se spínaným kapacitorem.
Filtr se spínaným kapacitorem tedy zajistí požadovaný řád a typ filtru (velkou strmost, malou
chybu) a klasický (spojitý) dolnopropustný filtr zajistí, aby ve spektru signálu vystupujícího z
filtru byly frekvence vyšší než fCLK/2 dostatečně potlačeny. Nevýhodou je, že spojitý filtr není
snadné plynule přelaďovat elektrickým signálem. Pevným spojitým filtrem se omezíme jen na
určité pásmo, ve kterém lze celý filtr přelaďovat.
Stabilita filtru je závislá na vhodně zvolené vzorkovací frekvenci vzhledem
k požadované frekvenci zlomu. Pro stabilitu je nutno zaručit, aby vzorkovací frekvence fCLK
byla podle Shannonovy věty fCLK >> 2fC , kde fC je požadovaná frekvence zlomu. Poměr
fCLK/2fC bývá pro běžné aplikace volen v pásmu 50:1, v přesnějších aplikacích až 100:1.
MAX291 (Butterworthova aproximace), MAX292 (Besselova aproximace) a MAX293
(eliptická aproximace) – filtry 8. řádu
Příkladem filtru se spínaným kapacitorem je např. řada integrovaných obvodů MAX
29x. Základní vlastnosti této řady jsou uvedeny v následující tabulce:
Aproximace
f CLK / f C
MAX 291
Butterworthova
100:1
8
25 kHz
MAX 292
Besselova
100:1
8
25 kHz
MAX 293
Eliptická
100:1
8
25 kHz
MAX 294
Eliptická
100:1
8
25 kHz
MAX 295
Butterworthova
50:1
8
50kHz
MAX 296
Besselova
50:1
8
50kHz
MAX 297
Eliptická
50:1
8
50kHz
Označení
f C (max)
Řád
Parametr
Napájecí napětí - symetrické
Napájecí napětí - nesymetrické
min
2.375V
max
5.500V

+ 4.750V

+ 11.000V
Napájecí proud
Rozkmit vstupního napětí
22 mA
4V
Rozkmit výstupního napětí
4V
Příkon
Pin
1
2
3
4
5
6
7
8
760 mW
Název
Popis funkce
CLK
UOP OUT
OP IN
OUT
GND
U+
IN
Vstup hodinového signálu
Záporné napájecí napětí
Výstup volného OZ
Vstup volného OZ
Výstup filtru
Analogová zem
Kladné napájecí napětí
Vstup filtru
Filtry umožňují připojit k vnitřnímu oscilátoru MAX 29x externí kapacitor. Tento externí
kapacitor se připojuje místo vstupního hodinového signálu fCLK mezi svorku vstup CLK a
svorku GND. Frekvence generovaného hodinového signálu se vypočte takto:
f CLK  kHz  
105
3Cext  pF 
[25]
Pozn.: Hodnota kapacity se zadává v pF (viz vztah 25) a výsledná hodnota frekvence je v kHz.
Opět je nutné si uvědomit, že takto jsme spočítali pouze vstupní hodinový kmitočet fCLK a že
poměr mezi fCLK/fC je opět 100:1.
Literatura:
1. Hlinovský M., Honců J., Němeček P., Vysoký O.: ELEKTRONICKÉ SYSTÉMY Návody ke cvičením, skriptum ČVUT FEL, Praha 2006
2. Punčochář J.: OPERAČNÍ ZESILOVAČE v elektronice, BEN – technická literatura,
Praha 1999
3. Vysoký, O.: Elektronické systémy II, skriptum ČVUT, Praha 2003