Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Transkript

Punčochář, J.: Využití aproximačních funkcí pro
kaskádní syntézu filtrů
Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů
Materiál slouží pouze jako „průvodce“ k materiálu podrobnějšímu, který je dostupný na stránkách http://mi21.vsb.cz/ Tam jsou
uvedeny i odkazy na literaturu a naznačena některá základní odvození. Číslování obrázků je převzato z rozsáhlejšího materiálu.
I. MOTIVACE
Po
použití
Laplaceovy
transformace
Z R ( p ) = R ; Z L ( p ) = pL ; Z C ( p ) = 1 /( pC ) , kde
popisujeme
(modelujeme)
lineární
obvody
pomocí
obrazových
impedancí
p = σ + jω
je komplexní kmitočet.
Pro p = jω přechází Laplaceova transformace ve Fourierovu transformaci – řešíme ustálený harmonický stav běžnými metodami.
U2/U1|dB
R
ωp
C
U1
U2
0
-3dB
Obr. 1 Pasívní dolní propust 1. řádu
MI21 - červen 2011 - přednáška
ω
-20dB/dec
1
Přenos struktury na obr. 1 je určen vztahem
ωp
U2
1
=
=
;
U 1 p +ω p
p / ω p +1
ω p = 1 /( RC )
Zavedeme normovaný komplexní kmitočet
s = p / ω p = σ / ω p + jω / ω p = Σ + jΩ; Σ = σ / ω p ; Ω = ω / ω p .
Potom platí
U2
U1
=
s
U2
1
;
s + 1 U1
=
jΩ
1
;
jΩ + 1
U2
U1
=
Ω
1
Ω2 +1
Pro Ω>>1 je
U2
U1
≅
Ω
1
;
Ω
U2
U1
≅ −20 ⋅ log Ω
dB
tomu odpovídá asymptota se strmostí -20 dB/dec.
2
C
U2/U1|dB
[
20 log K ⋅ Q
R
R
1 − 1 /(4Q 2 )
20 log( K ⋅ Q)
K
C
U1
Rf
(K-1).Rf
-40dB/dec
U2
0
ωm
ω m = ω p ⋅ 1 − 1 /(2Q )
ωp
2
ω
Obr. 2 Dolní propust Sallen-Key, 2. řádu
Přenos struktury na obr. 2 je definován vztahem
U2
K
K
1
=
= 2
; ωp =
; 1/ Q = 3 − K
2
U1 ( p / ω p ) + ( p / ω p )/ Q + 1 s + s / Q + 1
RC
Snadno lze určit, že pro 3 – K < 0 budou reálné části pólů přenosové funkce kladné, systém bude nestabilní.
3
]
Pro Ω>>1 je
U2
U1
≅
Ω
K
;
Ω2
U2
U1
≅ 20 ⋅ log K − 40 ⋅ log Ω
dB
tomu odpovídá asymptota se strmostí -40 dB/dec. Extrém funkce je definován na obr.2 ( s m = ω m / ω p ).
K ⋅ ω p1
ω p2
U2
= 2
⋅
U1
p + p ⋅ ω p1 / Q1 + ω 2p1 p + ω p 2
2
Přenos struktury na obr. 3 je definován vztahem (kaskádní řazení)
C
R
R
Rd
C
Cd
U2
U1
Rf
(K-1).Rf
Uin
Obr. 3 Kaskádní řazení dolní propusti Sallen-Key 2. řádu a dolní propusti 1. řádu
4
Modul přenosu vyjádřeny v dB je
U2
U1
= 20 ⋅ log K + 20 ⋅ log
dB
ω 2p1
p 2 + p ⋅ ω p1 / Q1 + ω 2p1
+ 20 ⋅ log
ω p2
p + ω p2
Výsledek pro náhodně vybrané parametry filtrů je kvalitativně znázorněn plnou čarou na obr. 4.
U2/U1|dB
KdB
ωp1
0
ωm1
ω
-40dB/dec
ωp2
-60dB/dec
-20dB/dec
Obr. 4 Modul přenosu pro strukturu na obr. 3
5
Je zřejmé, že volbou parametrů dílčích filtrů na obr. 3 (zde ωp1 a Q1; ωp2) můžeme dosahovat různé průběhy výsledné
modulové charakteristiky struktury.
Budeme-li nyní normovat vůči nějakému kmitočtu ω0, obdržíme normovaný přenos pro strukturu na obr. 3 v podobě
K ⋅ a0
U2
= 3
U 1 s + a 2 s 2 + a1 s + a0
Pro Ω>>1 je
U2
U1
≅
Ω
K
;
Ω3
U2
U1
≅ 20 log K − 60 ⋅ log Ω
dB
tomu odpovídá asymptota se strmostí -60 dB/dec – viz obr. 4.
Všechny dolní propusti (stabilní) lze popsat normovanou přenosovou funkcí
H (s) =
a0
a0
=
s n + a n−1s n−1 + ... + a1 s + a0 P( s)
Konstanta K v čitateli vztahu neovlivňuje „tvar“ modulu přenosu. Polynom
P( s ) = s n + a n −1 s n −1 + ... + a1 s + a 0
je (musí být) Hurwitzův polynom.
6
II. HURWITZŮV POLYNOM
Musí platit, že ai > 0 pro všechna i (všechna ai jsou nenulová) - podmínka nutná, nikoli postačující. Všechny kořeny polynomu P(s) – póly
přenosové funkce – musí ležet v levé (otevřené) polorovině
s = Σ + jΩ .
Existují kritéria, která umožňují pro zadaný polynom P(s) stanovit, zda se jedná o Hurwitzův polynom.
Pro Hurwitzův polynom platí
P( jΩ) = Re P( jΩ) + j Im P( jΩ)
→ fázová charakteristika polynomu
 ImP ( jΩ) 

Φ P (Ω) = arctg 
 ReP ( jΩ) 
Pro s = jΩ je Re P( jΩ) sudou funkcí Ω;
Im P( jΩ) je lichou funkcí Ω .
Proto
P( − jΩ) = Re P( jΩ) − j Im P ( jΩ) = P ∗ ( jΩ)
P ( jΩ) ⋅ P ∗ ( jΩ) = (Re P) 2 + (Im P ) 2 = P ( jΩ)
2
Analytické prodloužení (pokračování) – kvadrát modulu lze psát v podobě
P ( s ) = P ( s ) ⋅ P (− s ) .
2
7
Lze odvodit, že pro celou strukturu platí
Φ(s ) =
1
H ( s) 1 P( − s )
ln
= ln
- fázová charakteristika přenosu (DP)
2 H (−s ) 2
P( s)
G (Ω 2 ) → G ( − s 2 ) = H ( s ) ⋅ H ( − s ) = H ( s )
2
- kvadrát modulu přenosu (DP)
Skupinové zpoždění struktury (DP) jako funkce P(s), P(-s) je
D(s) = −
dΦ ( s )
d  1 P (− s ) 
1  P ′( s ) P ′(− s ) 
 = ... = ⋅ 
−
= −  ln
ds
ds  2
P( s) 
2  P ( s ) P ( − s ) 
Známe-li D (Ω) = − dΦ (Ω) / dΩ , potom pro Ω = ω / ω 0 je
D(ω ) = −dΦ(Ω) / dω = (− dΦ(Ω) / dΩ ) ⋅ dΩ / dω = D(Ω) / ω 0
III. APROXIMACE DOLNÍCH PROPUSTÍ (DP)
Hledáme přenosové funkce obvodu, které:
a) aproximují s požadovanou přesností modul (modulovou charakteristiku) obvodu (filtru)
b) aproximují zpoždění
8
III.1 Popis vlastností (požadavků na) DP
Ideální DP by vyžadovala n → ∞ - filtr by byl nekonečně složitý (nerealizovatelný). Modulová charakteristika reálné dolní propusti je na obr. 4.
H ( j Ω)
PŘECHODOVÉ
PÁSMO
PROPUSTNÉ
PÁSMO
IDEÁLNÍ DP
1
Hε
PÁSMO
ÚTLUMU
REÁL. DP
Hs
1
Ωs
Ω
Obr. 4 Modul přenosu normované dolní propusti
Modul přenosu modelujeme (aproximujeme) často pomocí charakteristické funkce ϕ (Ω)
H ( jΩ ) =
1
1 + ε 2ϕ 2 ( Ω )
ϕ (Ω) tak vlastně vždy aproximuje „nulu“ pro Ω v intervalu 0 až 1, pro Ω>1 musí hodnota charakteristické funkce rychle růst.
9
Pro normovaný filtr primárně požadujeme přenos Hε (na Ω = 1) a přenos Hs (na Ωs).
Modul přenosu na Ω = 1 je právě ( ϕ (1) = 1 ) H ε = 1 / 1 + ε 2 ; ε tak definuje požadovanou přesnost v pásmu propustnosti – je to sekundární
parametr filtru (pro normovaný tvar). Lze odvodit, že
ε = 10
α p / 10
−1
α p = 20 log(1 / H ε ) je útlum (v dB) povolený v propustném pásmu.
Modul přenosu na Ω = Ωs je právě Hs ( ϕ (Ω s ) = ?), proto platí H s = 1 1 + ε 2ϕ 2 (Ω s ) ; charakteristická funkce proto musí být
10α s / 10 − 1
ϕ (Ω s ) = α p /10
10
−1
2
α s = 20 log(1 / H s ) je požadovaný útlum (v dB) na Ωs.
Primární požadavky na filtr (normovaný) tedy jsou: α p ; α s na Ω s .
Sekundární parametry filtru jsou (zcela obecně): ε - definuje chybu (zvlnění) v pásmu propustnosti
ϕ (Ω s ) - definuje odstup modulu přenosu v propustném pásmu a pásmu útlumu
k = 1 / Ω s - definuje požadovanou „strmost“ v pásmu přechodovém
10
III.2 Maximálně plochá modulová charakteristika
1
s + a n −1 s + ... + a1 s + 1
Vyjděme z elementárního popisu přenosu pro a0 =1: H ( s ) =
n
n −1
n = 2:
H ( s) =
1
⇒ s = jΩ
s + a1 s + 1
2
⇒ H ( jΩ ) =
1
⇒
1 − Ω + ja1 Ω
2
2
H ( jΩ ) =
(1 − Ω)
1
2
+ a12 Ω 2
=
1
1 + Ω (a − 2) + Ω 4
2
2
1
Lze zajistit pouze splnění podmínky a12 − 2 = 0. Odsud a1 = ± 2 . Volit musíme kladné znaménko - Hurwitzův polynom
1
H ( jΩ) =
1 + Ω4
; H (s) =
1
s2 + 2 ⋅ s +1
n = 3:
H ( s) =
1
s + a 2 s + a1 s + 1
3
2
⇒ ... ⇒
2
H ( jΩ ) =
1
. Zajistit lze splnění podmínek: a12 − 2a 2 = 0 a
4
2
6
1 + Ω (a − 2a 2 ) + Ω (a 2 − 2a1 ) + Ω
2
2
1
a − 2a1 = 0 . Pro a1 = a 2 = 2 se jedná o Hurwitzův polynom
2
2
H (s) =
1
s + 2⋅ s + 2 ⋅ s +1
3
2
;
H ( jΩ) =
1
1+ Ω6
11
n =4: H ( s ) =
1
⇒ ... ⇒
s + a 3 s + a 2 s 2 + a1 s + 1
4
3
2
H ( jΩ ) =
1
1 + Ω (a − 2a 2 ) + Ω (2 + a − 2a1a 3 ) + Ω 6 (a 32 − 2a 2 ) + Ω 8
2
2
1
4
2
2
Přenos
H ( jΩ ) =
1
1 + Ω8
obdržíme pro a1 = a3 = 2,61313; a 2 = 3,41421 - Hurwitzův polynom; ale také pro a1 = a 3 = 1,08239; a 2 = 0,58579 - není Hurwitzův
polynom!!!
Proto
H (s) =
1
s 4 + 2,61313 ⋅ s 3 + 3,41421 ⋅ s 2 + 2,61313 ⋅ s + 1
Je zřejmé, že získáváme moduly přenosu typu
H ( jΩ ) n =
1
1 + Ω 2n
kde n je řád filtru (funkce). Jedná se o Butterworthovy polynomy [Butterworth].
Pro vyšší řády již bude obtížné kontrolovat, které koeficienty ai (z možných řešení) splňují podmínky pro vytvoření Hurwitzova polynomu. Proto
se volí vhodnější postup odvození maximálně ploché charakteristiky pomocí charakteristické funkce ϕ (Ω) .
12
III.2.1 Maximálně plochá modulová charakteristika určená pomocí charakteristické funkce
Výchozí vztah
H ( jΩ ) = H ( jΩ ) ⋅ H ( − jΩ ) =
2
1
1 + ε 2ϕ 2 ( Ω )
Analytickým pokračováním v komplexní rovině je vztah (s = j Ω; Ω = s/j)
H ( s) = H ( s ) ⋅ H (− s) =
2
1
1 + ε 2ϕ 2 ( s / j )
Při Butterworthově aproximaci je ϕ 2 (Ω) = Ω 2n a nejčastěji ε = 1. Potom
2
H ( jΩ ) =
1
1 + Ω 2n
2
- H ( j 0) = 1
2
- H ( j1) = 1 /(1 + 1) ⇒
H ( j1) = 1 / 2
- pro Ω>>1 je H ( jΩ) = 1 / Ω n
⇒
⇒
H ( j1) dB = −3 dB
H ( jΩ) dB = −20 ⋅ n ⋅ log Ω dB - tomu odpovídá asymptota − n × 20 dB/dec
- prvních 2n – 1 derivací H ( jΩ) pro Ω = 0 je rovno nule.
Póly funkce H ( s ) ⋅ H (− s ) zjistíme z rovnosti
1 + Ω 2 n = Ω = s / j = 1 + (s / j )
2n
= 1 + (− js )
2n
=0
13
π 
π 


s µ = − sin  (2 µ − 1) ⋅  + j cos (2µ − 1) ⋅  ; μ = 1, 2, ..., n
2n 
2n 


Vždy platí
H ( s) =
Pro n sudá platí
1
n/2
1
H (s ) =
Pro n lichá platí

∏  s

2
π  

+ 2 ⋅ s ⋅ sin  (2 µ − 1)  + 1
2n  

1
( n −1) / 2
(s + 1) ⋅ ∏
1
 2
π  

(
)

+
⋅
⋅
−
s
2
s
sin
2
µ
1

 + 1

2n  


– všechny póly přenosu jsou v levé části komplexní roviny, leží na kružnici, póly v kladné části komplexní roviny tvoří funkci H(-s).
III.2.2 Póly přenosu určené pomocí charakteristické funkce; obecně ε ≠ 1
Substituci s ′ = ε 1 / n s získáme vztahy
Pro n sudá
H ( s) =
ε −1
∏ [(s
n/ 2
2
]
+ a1 ⋅ s + a0 )
a1 =
π 
1

⋅ sin  (2 µ − 1) ; a 0 =
n
2n 
ε

ε2
2
n
1
14
Pro n lichá
H (s ) =
ε −1
(s + ε ) ∏ [(s
−1 / n
( n −1) / 2
2
]
+ a1 ⋅ s + a0 )
1
Pro ε = 1 dostaneme předchozí vztahy.
Tento tvar zápisu je velmi vhodný pro kaskádní realizaci filtrů (řazení dílčích filtrů 2. řádu pro n sudá, řazení jednoho
filtru prvního řádu a dílčích filtrů 2. řádu pro n lichá).
III.2.3 Potřebný řád Butterworthova filtru
Platí Ω
2n
s
=
10
10
α s / 10
α p / 10
−1
−1
⇒ Ω =
n
s
−1
α p / 10
−1
10
10
log
α s / 10
⇒
n≥
10α s / 10 − 1
α / 10
10 p − 1
log Ω s
n musí být celé číslo.
15
III.2.4 Odhad chyby v propustném pásmu
V měřicích řetězcích může být důležité určení chyby modulu (vůči ideální hodnotě 1) pro Ω << 1. Pro nejběžnější situaci, kdy se volí ε = 1 (to
odpovídá chybě cca 30% na Ω = 1) platí pro Ω << 1
1
1+ Ω
Definujme chybu modulu
2n
E = (1 − 0,5 ⋅ Ω 2 n ) − 1 = −0,5 ⋅ Ω 2 n ;
Frekvenci ΩE, na které je chyba právě E% snadno určíme ze vztahu
≅ 1 − 0,5 ⋅ Ω 2 n ;
E % = − 0,5 ⋅ Ω 2 n ⋅ 100 = 50 ⋅ Ω 2 n
Ω E ≅ 2n
E%
50
Pro Ω < ΩE bude při Butterworthově aproximaci chyba menší.
III.3 Izoextremální aproximace ( Čebyševova)
- Hledáme polynom, který se stejnoměrnou odchylkou aproximuje nulu v propustném pásmu.
- Charakteristická funkce ϕ (Ω) je tvořena Čebyševovými polynomy.
Pro 0 ≤ Ω ≤ 1 je
Pro Ω ≥ 1 je
C n (Ω) = cos(n arccos Ω )
C n (Ω ) = cosh (n arg cosh Ω )
Postupně tak obdržíme
C 0 ( Ω) = 1
C1 (Ω) = cos(arccos Ω) = Ω
C 2 (Ω) = cos(2 ⋅ arccos Ω) = x = arccos Ω = cos(2 x) = cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x − (1 − cos 2 x ) = 2 cos 2 x − 1 = 2(cos(arccos Ω) ) − 1 = 2 ⋅ Ω 2 − 1
2
16
Platí
C n +1 (Ω) = 2 ⋅ Ω ⋅ C n (Ω) − C n −1 (Ω)
Pro příklad:
C 3 (Ω) = 2 ⋅ Ω ⋅ C 2 (Ω) − C1 (Ω) = 2 ⋅ Ω ⋅ (2 ⋅ Ω 2 − 1) − Ω = 4 ⋅ Ω 3 − 3 ⋅ Ω
Pro modul přenosové funkce nyní platí
H ( jΩ ) = H ( jΩ ) ⋅ H ( − jΩ ) =
2
1
1 + ε ⋅ Cn2 (Ω)
2
Z uvedených vlastností je zřejmé, že
pro n lichá
C n (0) = 0
H ( j 0) = 1
pro n sudá
C n (0) = 1
H ( j 0) = 1 / 1 + ε 2
pro všechna n
C n (1) = 1
H ( j1) = 1 / 1 + ε 2
III.3.1 Maxima a minima přenosu v pásmu propustnosti
Maxima v pásmu propustnosti vznikají tam, kde charakteristická funkce nabývá nulových hodnot. Platí (odvození viz k přednášce přiložený
materiál)
Ω MAXµ = cos(2 µ − 1)
π
2⋅n
μ = 1, 2, ..., n/2 pro n sudé
μ = 1, 2, ..., (n+1)/2 pro n liché.
17
Minima v pásmu propustnosti vznikají tam, kde charakteristická funkce hodnot ±1. Platí (odvození viz k přednášce přiložený materiál)
Ω MINµ = cos( µ − 1)
π
n
III.3.2 Frekvence Ω3 pro pokles přenosu o 3 dB
V teorii filtrů je důležité znát frekvenci, na které je pokles přenosu právě 3 dB, což v našem případě znamená, že musí právě platit
2
H ( jΩ 3 ) = 1 /(1 + 1) , tedy ε 2 ⋅ C n2 (Ω 3 ) = 1 ; tedy ε 2 ⋅ cosh 2 (n ⋅ arg cosh Ω 3 ) = 1 . Odsud lze určit (odvození viz k přednášce přiložený materiál)
1
1
Ω 3 = cosh  ⋅ arg cosh ; ε 〈1
ε
n
III.3.3 Potřebný řád filtru
α / 10
α / 10
Zcela obecně bylo odvozeno ε = 10 p − 1 a ϕ 2 (Ω s ) = (10α s / 10 − 1) (10 p − 1) , kde j α s e požadovaný útlum (v dB) na Ω s a α p je povolená
chyba (zde zvlnění v pásmu propustnosti v dB) pro Ω rovno 0 až 1. Pro Čebyševovu aproximaci tedy platí (nyní již nejsme v propustném
pásmu; Ω > 1), že (odvození viz k přednášce přiložený materiál)
C (Ω s ) =
2
n
−1
α p / 10
−1
10
10
arg cosh
α s / 10
⇒
n≥
10α s / 10 − 1
α / 10
10 p − 1
arg cosh Ω s
n musí být celé číslo.
18
III.3.4 Určení pólů přenosové funkce pro Čebyševovu aproximaci
Postup je shodný jako u Butterworthovy aproximace. Pouze řešení problému je poněkud složitější, hledáme póly v pásmu propustnosti, kde platí,
že Ω < 1:
H ( s) = H ( s) ⋅ H (− s) =
2
1
; 1 + ε 2ϕ 2 ( s / j ) = 1 + ε 2 C n2 ( s / j ) = 0 ; C n ( s / j ) = cos( n arccos( s / j )) = ± j / ε
1 + ε ϕ 2 (s / j)
2
Zavedeme substituci arccos(s / j ) = u + jv , kde u, v jsou již reálná čísla. Výsledkem je
v=
π 

Σ µ = − sinh v ⋅ sin ( 2 µ − 1) ;
2n 

1
1
⋅ arg sinh
n
ε
π 

Ω µ = cosh v ⋅ cos ( 2 µ − 1) 
2n 

potom snadno určíme, že
π 

Σ µ2 sinh 2 v = sin 2 (2µ − 1) ;
2n 

π 

Ω µ2 cosh 2 v = cos 2 (2 µ − 1) 
2n 

Odsud určíme, že
(Σ
2
µ
π 
π 


sinh 2 v ) + (Ω 2µ cosh 2 v ) = sin 2 ( 2 µ − 1)  + cos 2 (2 µ − 1)  = 1
2n 
2n 


Kořeny sμ polynomu H(s) (reálné části kořenů záporné) leží na elipse, v levé části komplexní roviny. Kořeny s kladnou reálnou částí, náležející
polynomu H(-s), leží na stejné elipse – v pravé části komplexní roviny.
19
H (s) =
Pro n sudá platí
1+ ε
2
H B ( s) = ∏
1
⋅∏
1
s 2 − 2 ⋅ s ⋅ Σ µ + Σ 2µ + Ω 2µ
Σ 2µ + Ω 2µ
n/2
V některých zdrojích se pro n sudá pracuje se vztahem
Σ 2µ + Ω 2µ
n/2
1
s 2 − 2 ⋅ s ⋅ Σ µ + Σ 2µ + Ω 2µ
Dopad je zřejmý z kvalitativního zobrazení na obr. 5.
H ( j Ω)
PŘECHODOVÉ
PÁSMO
PROPUSTNÉ
PÁSMO
1
H
1/ 1 + ε 2
PÁSMO
ÚTLUMU
H
PÁSMO
ÚTLUMU
Hs
Hs
1
Ωs
Ω
Obr. 5 Kvalitativní porovnání modulů H a HB pro n = 2
Pro n lichá platí
H ( j Ω)
HB
1 + 1/ 1 + ε 2
1
1/ 1 + ε 2
PŘECHODOVÉ
PÁSMO
PROPUSTNÉ
PÁSMO
1
Ωs
Ω
Obr. 6 Kvalitativní zobrazení modulu přenosu H a pro n = 3
Σ 2µ + Ω 2µ
sinh v ( n−1) / 2
H (s) =
⋅ ∏
s + sinh v 1 s 2 − 2 ⋅ s ⋅ Σ µ + Σ 2µ + Ω 2µ
20
Kvalitativní zobrazení pro n = 3 je na obr. 6.
III.4 Srovnání Butterworthovy a Čebyševovy aproximace
Při přenosu signálů impulsového charakteru hraje skupinové zpoždění vážnou roli – ideálně by mělo být konstantní. Tomu odpovídá lineární
závislost fáze na frekvenci. Z hlediska skupinového zpoždění je vhodnější aproximace Butterworthova (než Čebyševova) – při jinak
srovnatelných parametrech modulu přenosu. To je zřejmé ze záznamu přenosu impulsů dolních propustí na obr. 7 a na obr. 8.
Obr. 7 Přenos impulsu, Butterworthův filtr 5. řádu,
dolní propust 20 kHz
Obr. 8 Přenos impulsu, Čebyševův filtr 5. řádu, zvlnění
3 dB, dolní propust 20 kHz
21
Skupinové zpoždění D Butterworthových filtrů různého řádu je na obr. 9.
D
[s]
Ω
Obr. 9
22
Příklad skupinových zpoždění D Čebyševových filtrů je kvalitativně na obr. 10.
D
[s]
Ω
Ω
Obr. 10
Existují i aproximace, kde se optimalizuje skupinové zpoždění D.
23
IV. MAXIMÁLNĚ PLOCHÝ PRŮBĚH SKUPINOVÉHO ZPOŽDĚNÍ
Kritériem pro aproximaci je nyní průběh skupinového zpoždění D. Vyjděme z elementárních (dříve uvedených) vztahů.
Pro n = 2: H ( s ) =
a0
s + a1 s + a 0
2
⇒ s = jΩ
D (Ω) = − dΦ (Ω ) / dΩ ⇒
⇒ H ( jΩ ) =
D (Ω) = ... =
 ImP( jΩ ) 
a ⋅Ω
 = −arctg 1 2
; Φ (Ω) = −arctg
a0 − Ω
 ReP( jΩ) 
a0
a 0 − Ω 2 + ja1Ω
1 + Ω 2 / a0
a1
⋅
a0 1 + Ω 2 (a12 / a 02 − 2 / a 0 ) + Ω 4 / a 02
Pro dosažení maximálně plochého průběhu skupinového zpoždění můžeme zajistit shodu koeficientů u stejných mocnin v čitateli a jmenovateli,
pro n = 2 tedy: 1 / a 0 = a12 / a 02 − 2 / a 0 . Volíme-li normované zpoždění D0 = a1 / a0 =1 s, musí platit 1 / a 0 = 1 − 2 / a0
⇒
a 0 = 3 = a1
Platí tedy, že skupinové zpoždění má maximálně plochý průběh pro
H 2 ( s) =
Pro n = 3 : H ( s ) =
a0
s + a 2 s + a1 s + a 0
3
2
⇒ s = jΩ
⇒ H ( jΩ ) =
3
s + 3s + 3
2
a0
a0 − a 2 Ω + jΩ a1 − Ω 2
2
(
)
Obdobným způsobem určíme, že skupinové zpoždění má maximálně plochý průběh pro
H 3 ( s) =
15
s + 6s + 15s + 15
3
2
24
Předvedený postup je pro větší hodnoty n obtížný. Vhodnější postup vypracoval Storch. Snadno určíme, že normovaný přenos
H ( s ) = exp( − s ) = s = jΩ = exp( − jΩ) = 1 / exp( jΩ) má modul 1 nezávisle na Ω a jeho fáze Φ (Ω) = −Ω . Skupinové zpoždění (normované na
hodnotu 1 s) pro tuto přenosovou funkci je
D ( Ω ) = − dΦ / dΩ = 1 ,
∞
což je ideální stav z hlediska skupinového zpoždění. Platí ovšem (McLaurinova řada) exp x = ∑ x k k! . Ideální řešení by tedy bylo realizováno
0
n
nekonečně složitým systémem. Pokud se omezíme pouze na řadu konečné délky (omezenou, ořezanou) exp x = ∑
0
n ≥ 5 obsahuje rovnice
n
x
xk
, ukázalo se, že již pro
k!
k
∑ k! = 0 vždy komplexně sdružené kořeny, jejichž reálná část je kladná, nejedná se tedy o Hurwitzův polynom!
0
Takové systémy by nebyly stabilní, tedy nemá smysl je realizovat. Zde se využije jiné vlastnosti Hurwitzova polynomu. Předpokládejme, že
máme polynom řádu n
n
Pn ( s) = S n ( s ) + Ln ( s) = ∑ a k s k
0
Polynom S n (s ) tvoří členy se sudou mocninou s; polynom L n (s ) tvoří členy s lichou mocninou s.
Nutnou a postačující podmínkou pro Hurwitzův polynom je, že všechny koeficienty v rozvoji podílu S n (s ) / Ln (s ) na řetězové zlomky jsou
kladné.
Vraťme se nyní k přenosu
H ( s) = 1 / exp(s) =
1
1
1
=
=
4
5
6
2
4
6
3
5
1 + s + s 2! + s 3! + s 4!+ s 5! + s 6! + ... (1 + s 2! + s 4!+ s 6! + ...) + (s + s 3! + s 5! + ...) cosh s + sinh s
2
3
Známe tedy sudou i lichou část požadovaného přenosu a můžeme určit podíl
25
cosh s (1 + s 2 2! + s 4 4!+ s 6 6! + ...) 1
1
= +
=
3
5
1
sinh s
s 3
(s + s 3! + s 5! + ...)
+
1
s 5
+
s 7
+ ...
s
Pokud nyní požadujeme aproximaci řádu n, je posledním členem řetězového zlomku člen (2n − 1) / s . Řetězový zlomek tak aproximuje lineární
průběh fáze (maximálně plochý – obdobně jako tomu bylo s modulem přenosu u Butterworthovy aproximace). Po elementárních úpravách
získáme sudou a lichou část Hurwitzova (aproximačního) polynomu, jejich součtem obdržíme Besselovy polynomy.
Pro n = 2 tedy platí
cosh s 1
1
1 s s2 + 3
= +
= + =
, tedy P2 ( s ) = ( s 2 + 3) + 3 ⋅ s = s 2 + 3 ⋅ s + 3 .
sinh s s 3 / s s 3
3⋅ s
Požadovaný přenos (s „lineární fází“) je
H 2 ( s) =
3
.
s + 3⋅ s + 3
2
V [Balabanian] je uveden pro Besselovu aproximaci obecný vztah ve tvaru
H n (s) =
b0
=
n
∑b s
k
b0
(2n − k )!
; bk = n − k
Bn ( s )
2 ⋅ k!⋅(n − k )!
k
0
a rovněž se uvádí rekurentní vztah
Bn (s ) = (2n − 1) ⋅ Bn −1 ( s ) + s 2 ⋅ Bn − 2 ( s )
26
Pokud chceme získat i nyní vztahy vhodné pro kaskádní realizaci, musíme určit kořeny rovnic Bn (s ) = 0 a H n (s ) = b0 / Bn ( s ) opět rozložit na
součiny dílčích funkcí druhého řádu pro n sudé. Pro n liché pouze přibude jeden dílčí člen prvního řádu – tab. 1.
Z praktických důvodů budeme dále pro kaskádní realizace používat obecně zápis:
n/2
H ( s ) = ∏ Ak
k =1
H ( s) =
n
2
3
4
5
bk
-pro n sudé
s + a k s + bk
2
A0 ⋅ b0 ( n−1) / 2
bk
× ∏ Ak 2
- pro n liché
s + b0
s + ak s + bk
k =1
b0
a1
b1
a2
3,000 000
3,000 000
2,322 185
3,677 815
6,459 433
5,792 421
9,140 131
4,207 579
3,646 739
6,703 913
14,272 481
4,649 349
Tab. 1 Hodnoty dílčích funkcí pro Besselovu aproximaci
b2
11,487 800
18,156 315
Útlumové charakteristiky Besselových filtrů (převrácená hodnota přenosu) jsou na obr. 11. Frekvence poklesu přenosu o 3 dB jsou uvedeny
v tabulce 2. Průběhy skupinového zpoždění jsou na obr. 12. Přenos impulsu pro Besselův (Thomsonův) filtr 5. řádu je na obr. 13.
27
Obr. 11
řád filtru n
Ω3
α
dB
2
1,36
3
1,75
4
2,13
5
2,42
Tab.2 Besselovy filtry – frekv. poklesu přenosu o 3 dB
Ω
D
[s]
Obr. 12
Obr. 13 Přenos impulsu, Besselův filtr 5. řádu,
dolní propust 20 kHz
Ω
Je zřejmé, že chování Besselových (Thomsonových) filtrů v časové oblasti je nejlepší.
28
Tabulky k „obecnému zápisu“ – optimalizovaný zápis pro kaskádní realizaci filtrů Butterworthových a Čebyševových
n
b0
a1
b1
a2
b2
2
1,425 625 1,516 203
3 0,626 456 0,626 456 1,142 448
4
0,350 706 1,063 519 0,846 680 0,356 412
5 0,362 320 0,223 926 1,035 784 0,586 245 0,476 676
Tab.3a Čebyševovy filtry (DP) – zvlnění αp = 0, 5 dB
b0
a1
b1
a2
b2
n
2
1,097 734 1,102 510
3 0,494 171 0,494 171 0,994 205
4
0,279 072 0,986 505 0,673 739 0,279 398
5 0,289 493 0,178 917 0,988 315 0,468 410 0,429 298
Tab.3b Čebyševovy filtry (DP) – zvlnění αp = 1 dB
b0
a1
b1
a2
b2
n
2
0,803 816 0,823 060
3 0,368 911 0,368 911 0,886 095
4
0,209 775 0,928 675 0,506 440 0,221 568
5 0,218 308 0,134 922 0,952 167 0,353 230 0,393 150
Tab.3c Čebyševovy filtry (DP) – zvlnění αp = 2 dB
Řád filtru n
n
2
3
4
5
2
3
4
5
Tab. 3d
zvlnění v pásmu propustném αp
0,5 dB
1 dB
2 dB
1,390
1,218
1,074
1,168
1,095
1,033
1,093
1,053
1,018
1,059
1,034
1,012
3-dB frekvence Čebyševových filtrů Ω3
b0
a1
b1
a2
b2
1,414 214 1, 000 000
1, 000 000 1, 000 000 1, 000 000
0,765 367 1, 000 000 1,847 759 1, 000 000
1, 000000 0,618 034 1, 000 000 1,618 034 1, 000 000
Tab.4 Butterworthovy filtry
Určení koeficientů je zřejmé ze vztahů na str. 14 (Butterworthova aproximace, bi = 1) a str. 20. (Čebyševova aproximace).
29
IV. FREKVENČNÍ TRANSFORMACE
Byl definován komplexní normovaný kmitočet, ω 0 zde reprezentuje charakteristickou vlastnost celého filtru.
s = p / ω 0 = σ / ω 0 + jω / ω 0 = Σ + j Ω
pro který byly odvozeny všechny vlastnosti normovaných DP. Jedná se pouze o změnu měřítka, k technicky potřebným hodnotám ω 0 se vrátíme
základní substitucí (denormalizace, odnormování, normovaná DP → denormalizovaná DP)
s → p / ω0
Například z normované dolní propusti 3. řádu (n liché) tak obdržíme (předpokládáme jednotkový přenos)
b
b1
H ( s) = 0 × 2
s + b0 s + a1s + b1
→ s → p / ω0
ω0 b0
ω02 b1
→ H ( p) =
×
p + ω 0b0 p 2 + a1ω 0 p + ω02 b1
Kaskádní realizace bude obsahovat jednu dolní propust prvního řádu s charakteristickým kmitočtem ω p 0 = ω 0 b0 a jednu dolní propust 2. řádu
(DP2) s charakteristickým kmitočtem ω 2p1 = ω 02 b1 - porovnáme-li přenos DP2 s běžným technickým zápisem (modelem)
ω 2p1
p 2 + p ⋅ ω p1 / Q1 + ω 2p1
Rovněž je zřejmé, že musí platit ω p1 / Q1 = a1ω 0
⇒ Q1 = ω p1 /(a1ω 0 ) = ω 0 ⋅ b1 /(a1ω 0 ) = b1 / a1 .
Pro dílčí polynomy DP2. řádu tedy bude vždy platit, že jim odpovídající charakteristická (dílčí) frekvence je
30
ω 2pk = ω 02 bk
a činitel jakosti je
Qk = bk / a k
Je – li n liché, platí pro přenos prvního řádu (dílčí)
ω p 0 = ω0b0
Tyto parametry potřebujeme znát pro technickou realizaci prvků kaskádního přenosového řetězce typu dolní propust.
Transformace DP na horní propust (HP)
Použijeme substituci
s → ω0 / p
Jako příklad opět použijme normovanou DP 3. řádu (DP prototyp):
b0
b0
b1
b1
p
p2
H (s) =
×
→ s → ω 0 / p → H ( p) =
⋅
=
⋅
s + b0 s 2 + a1 s + b1
ω 0 / p + b0 ω 02 / p 2 + a1ω 0 / p + b1 p + ω 0 / b0 p 2 + pa1ω 0 / b1 + ω 02 / b1
Kaskádní realizace bude obsahovat jednu horní propust prvního řádu s charakteristickým kmitočtem ω p 0 = ω 0 / b0 a jednu horní propust 2. řádu
(HP2) s charakteristickým kmitočtem ω p21 = ω 02 / b1 - porovnáme-li přenos HP2 s běžným technickým zápisem (modelem)
p2
p 2 + p ⋅ ω p1 / Q1 + ω p21
31
(
)
Rovněž je zřejmé, že musí platit ω p1 / Q1 = a1ω 0 / b1 ⇒ Q1 = ω p1b1 /(a1ω 0 ) = ω 0 ⋅ b1 / b1 /(a1ω 0 ) = b1 / a1 .
Pro dílčí polynomy HP2. řádu tedy bude vždy platit, že jim odpovídající charakteristická (dílčí) frekvence je
2
ω pk
= ω02 / bk
a činitel jakosti je
Qk = bk / a k
Je – li n liché, platí pro přenos prvního řádu (dílčí)
ω p 0 = ω0 / b0
Tyto parametry potřebujeme znát pro technickou realizaci prvků kaskádního přenosového řetězce typu horní propust.
Porovnáním zjistíme, že póly přenosových funkcí DP a HP se obecně liší. Pouze pro Butterworthovu aproximaci, kde bk = 1 (pro ε =1) se
poloha pólů přenosových funkcí neliší.
Transformace DP na pásmovou propust (PP)
Vezměme za základ normovaný přenos dolní propusti a požadujme pásmovou propust 2. řádu – model běžně používaný v technické praxi. Musí
potom platit rovnost
p ⋅ ω0 / Q
1
= 2
s + 1 p + p ⋅ ω 0 / Q + ω 02
Elementárními úpravami dospějeme ke vztahu, který je v literatuře pro tuto transformaci uváděn:
32
p 2 + ω 02
s→
p ⋅ ω0 / Q
kde výraz ω 0 / Q definuje požadovanou šířku propouštěného pásma.
Je zřejmé, že při tomto dosazení do přenosu DP prototypu se řád filtru zdvojnásobí (proti původnímu řádu DP prototypu).
Transformace DP na pásmovou zádrž (PZ)
Vezměme za základ normovaný přenos dolní propusti a požadujme zádrž 2. řádu – model běžně používaný v technické praxi. Musí potom platit
rovnost
p 2 + ω 02
1
= 2
s + 1 p + p ⋅ ω 0 / Q + ω 02
Elementárními úpravami dospějeme i nyní ke vztahu, který je v literatuře pro tuto transformaci uváděn:
s→
p ⋅ ω0 / Q
p 2 + ω02
kde výraz ω 0 / Q definuje požadovanou šířku zadržovaného pásma.
Je zřejmé, že i při tomto dosazení do přenosu DP prototypu se řád filtru zdvojnásobí (proti původnímu řádu DP prototypu).
33
V. PŘÍKLAD APROXIMACE A REALIZACE
Požadujeme DP, α p = 0,3 dB na f0 = 10 kHz. Je požadován útlum α s = 22 dB na fs = 24, 58 kHz.
Určíme s = p /(2π ⋅ 10 4 ); Ω s = 24,58 / 10 = 2, 458 , atd. Zvolena byla Čebyševova aproximace. Podrobné odvození a diskuse - viz k přednášce
přiložený materiál. Požadavkům vyhovuje normalizovaná funkce
0,72928
1,28185
5,0605 ⋅ 10 9
4,5822 ⋅ 10 4
H ( s) =
⋅
→ H ( p) = 2
⋅
s + 0,72928 s 2 + s ⋅ 0,72928 + 1,28185
p + p ⋅ 4,5822 ⋅ 10 4 + 5,0605 ⋅ 10 9 p + 4,5822 ⋅ 10 4
Je zřejmé, že b0 = 0,72928; a1 = 0,72928; b1 = 1,28185; Q1 = b1 / a1 = 1,5525 . Pro realizaci požadovaných vlastností s mezní frekvencí (celého
filtru) ω 0 = 2π ⋅ f 0 = 6,2832 ⋅ 10 4 rad/s tedy potřebujeme jednu dolní propust 1. řádu s charakteristickou (dílčí) frekvencí ω p 0 = 4,5822 ⋅ 10 4 rad/s
a jednu dolní propust 2. řádu s charakteristickou frekvencí (dílčí) ω p1 = 5,0605 ⋅ 10 9 = 7,1137 ⋅ 10 4 rad/s¨a činitelem jakosti Q1 = 1,5525 . Přenos
poklesne o 3 dB na frekvenci f 3 = Ω 3 ⋅ f 0 = 1,2291 ⋅ f 0 = 12,291 kHz. Možné realizace následují.
7,029 nF
2 kΩ
2 kΩ
2 kΩ
7,029 nF
10,91 nF
U1
10 kΩ
U2
13,559 kΩ
Ui
Obr. 14 Čebyševova dolní propust 3. řádu
se zvlněním 0,3 dB; f0 = 10 kHz
34
5,0605 ⋅10 9
4,5822 ⋅10 4
.
⋅
p 2 + p ⋅ 4,5822 ⋅ 10 4 + 5,0605 ⋅10 9 p + 4,5822 ⋅10 4
Varianty s oddělovacím zesilovačem jsou diskutovány v přiloženém materiálu (obr.15 a obr.16). Obrovskou výhodou shora popsaných filtrů je
to, že můžeme velmi snadno nastavovat činitel jakosti – nemění se charakteristický kmitočet (dílčího filtru 2. řádu). Současně se změnou činitele
jakosti se ovšem mění i přenos K na nízkých kmitočtech.
Této struktuře odpovídá přenosová funkce (K = 2,3559) H ( p ) = 2,3559 ⋅
Příklad na realizaci pomocí členu RLC je na obr. 18.
U1
R
L
UC
UK
Rd
U2
K
C
Cd
Obr. 18 Čebyševova dolní propust se zvlněním 0,3 dB– ideálně s přenosem 1; f0 = 10 kHz; K – oddělovací
zesilovač; R =Rd = 2 kΩ; C = 4,53 nF; L = 43,65 mH; Cd = 10,91 nF
Na obr. 19. jsou shrnuty výsledky pro struktury s jednotkovým přenosem. Přenos struktury je sice roven jedné, mnohem obtížnější je ovšem
nastavení činitele jakosti - musíme stále udržovat konstantní součin C 2 C 3 = 1 /(ω p21 R 2 ) , při praktickém nastavování tedy musíme měnit obě
kapacity. Vždy se jedná o dolní propust 3. řádu s poklesem přenosu o 3 dB na frekvenci 12,291 kHz.
Z podstaty použitých vztahů je zřejmé, že změna charakteristických frekvencí (přeladění) známé struktury je velmi snadná, charakteristiky
aproximací jsou přitom zachovány. Potřebujeme – li hodnotu f3 zvětšit na 122,91 kHz (tedy desetkrát), stačí zmenšit všechny odpory R
desetkrát. Nebo hodnoty všech kapacit zmenšíme desetkrát. Nebo odpory zmenšíme dvakrát a kondenzátory pětkrát – podle možností praktické
realizace. Máme – li strukturu s charakteristickou frekvencí f3 (f0 ) a požadujeme novou frekvenci f 3′ = k ⋅ f 3 ; ( f 0′ = k ⋅ f 0 ) , dosáhneme toho
volbou R → R ′ / k (kondenzátory neměníme) nebo C i → C i′ / k (odpory neměníme) nebo RC i → R ′C i′ / k (měníme odpory i kondenzátory). Pro
k menší než jedna (snižování frekvence) to samozřejmě vede ke zvětšování hodnot součástek (proti výchozímu stavu).
35
C3
R
R
R
C1
C2
Obr. 19 Dolní propust 3. řádu; f3 = 12, 291 kHz – pokles přenosu o 3 dB; R = 1500 Ω
a) C1 = 14,55 nF; C2 = 3,02 nF; C3 = 29,1 nF - Čebyševova dolní propust se zvlněním 0,3 dB; f0 = 10 kHz
b) C1 = 8,633 nF; C2 = 4,3165 nF; C3 = 17,266 nF - Butterworthova dolní propust; f0 = 12,291 kHz
c) C1 = 6,51 nF; C2 = 4,30 nF; C3 = 8,22 nF - Besselova dolní propust; f0 = 7,023 kHz
Moduly přenosu a průběhy fáze pro dané aproximace jsou na následujících obrázcích.
36
0
-1
-2
-3
-4
f [Hz]
-5
102
103
104
Moduly přenosu v dB pro obr. 19: Butterworthova aproximace
Čebyševova aproximace
Besselova aproximace
105
37
0
-50
-100
-150
-200
f [Hz]
-250
102
103
104
Fáze přenosu ve ° pro obr. 19: Butterworthova aproximace
105
38
60
D ( Ω) =
1 + Ω 2 ( a 2 / a 0 − 3 / a1 ) + Ω 4 a 2 /(a1 a 0 )
a1
⋅
a 0 1 + Ω 2 (a12 / a 02 − 2a 2 / a 0 ) + Ω 4 (a 22 / a 02 − 2 a1 / a 02 ) + Ω 6 / a 02
50
40
30
20
f [Hz]
10
102
103
104
Skupinové zpoždění v μs pro obr. 19: Butterworthova aproximace
105
39
VI. HISTORIE
Z kontextu je zřejmé, že ve jmenovateli přenosové funkce musí být vždy Hurwitzův polynom. Pouze v tom případě je obvod stabilní – tedy i
realizovatelný. Tato problematika byla studována již v 19. století, stejně jako problematika aproximací.
40
41
Strana 11
42
43
Chebyshev, P. L., Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes, Mém. Acad. Sci. Pétersb. 7 (1854), 539-568. Also to be
found in Oeuvres de P. L. Tchebychef, Volume 1, 111-143, Chelsea, New York, 1961, from where this paper was scanned.
.................................................
44
Zolotarev, E. I., Prilozhenie ellipticheskikh funkcij k voprosam o funkciyakh, najmenee i naibolee otklonyaykschikhsya ot nulya, Oeuvres de E.
I. Zolotarev, Volume 2, Izdat. Akad. Nauk SSSR, Leningrad, 1932, pp. 1-59 (in Russian). The English title is ``Applications of elliptic functions
to problems of functions deviating least and most from zero''. The original appeared in Zapiski St-Petersburg Akad. Nauk 30 (1877).
45

Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Transkript

Podobné dokumenty

2010

Aktivní filtry File

Schémata, rovnice, grafy a obrázky promítané na přednáškách

Elektrické filtry Garant předmětu

implementace objektivního modelu hodnocení kvality zvuku pemo

BCU/Fribourg - SLS - Liste des nouvelles

PostgreSQL návrh a implementace náročných databázových aplikací

text - Katedra fyzikální elektroniky

Funkční generátor na principu přímé digitální syntézy

Zobrazit PDF - Florabase.cz

Zobrazení čísel v počítači

Interaktivní 3D grafika generovaná programem Asymptote pro

7.1. Číslicové filtry IIR

základy teorie pravděpodobnoti