paleys místo

SOUSTAVY V DISKRÉTNÍM ČASE
SaSM8
Postupujeme podobně jako u soustav ve spojitém čase
s1k  s1(k)
s2k = As1k,
kde: Axk je operátor soustavy
Vstupní signál:
Výstupní signál:
Lineární soustava  platí princip superpozice:
Auk + vk = Auk + A vk
Důsledek linearity:
Použijeme identitu: s1 k  

  k  i s i  , kde: (k-i) = 1 pro k=i
1
i  
a (k-i) = 0 pro k  i
Uplatněním principu superpozice:

 
 
s2 k   A  k  i s1 i    s1 i A k  i    s1 i .hk , i  ,
i  
i 
 i 
kde: hk , i   A k  i  je odezva soustavy na jednotkový impulz
Časově invariantní (stacionární) soustavy:
s2(k-i) = As1(k-i) … vstupnímu signálu posunutému o i
vzorků odpovídá výstupní signál posunutý o i vzorků
Důsledek stacionarity: h(k,i) = A(k-i) = h(k-i)
Vztah pro odezvu:
s2 k   As1 k  


 s i .hk , i    s i .hk  i 
i 
1
i 
1
Tento vztah nazýváme diskrétní konvolucí signálů s1(k) a h(k) a
značíme stejně jako konvoluci ve spojitém čase:
s2(k) = s1(k)*h(k) = h(k)*s1(k)
Ve spektrální oblasti potom platí:
S2()  DTFTs2(k) = DTFTh(k). DTFTs1(k)  H().S1()
H() … je spektrum h(k) a nazývá se přenosová funkce soustavy
S2() = H().S1() … H() nazýváme amplitudovou
charakteristikou soustavy
ArgS2() = ArgH() + ArgS1() … ArgH() nazýváme
fázovou charakteristikou soustavy
Kauzální soustavy:
Odezva na kauzální signál je také kauzální signál.
Nutná a postačující podmínka kauzálnosti soustavy je h(k) = 0 pro
k  0.
Stabilní soustavy:
Soustava stabilní transformuje omezený signál na omezený signál:
Jestliže s1(k)   pak také A s1(k)  
Nutná a postačující podmínka stability soustavy je, že absolutně

konverguje
 hk   

Paley-Wienerovo kritérium pro soustavy v diskrétním čase:

Jestliže konverguje

také
 hk 

2
 hk  (soustava je stabilní), pak konverguje

a potom podmínka:
 ln H  d   je nutná a
2
postačující podmínka kauzálnosti soustavy.
Bez odvození.
Důsledky kauzality:
a) H() stabilní kauzální soustavy nemůže být rovna nule
v žádném celém intervalu proměnné  (nule se může rovnat
pouze v izolovaných bodech). (plyne z Paley-Wienerova
kritéria)
b) Mezi ReH() a ImH() platí vztahy (důkaz podobný
jako u soustav ve spojitém čase – h(k)  h(k).(k)):
ReH    Reh(0) 
ImH   
d
 2
  
2tg  
 2 
1
ReH   
d


 2
 
2tg  
 2
Závěr: H() je až na aditivní konstantu určena svou reálnou
nebo imaginární částí.
ImH    Imh(0) 
1
Důsledek: Nelze nezávisle volit požadavky na průběh
amplitudové charakteristiky H(), a fázové charakteristiky
ArgH().
CHARAKTERISTIKY VÝSTUPNÍHO SIGNÁLU:
Stejnosměrná složka:
1 K
1  K 
s2 k   lim
s2 k   lim
s1 i  k hi  



K  2 K
K  2 K
k  K
k   K i  

 1 K
 
 lim 
s1 i  k   hi   s1 k   hi 

K  2 K
k  K
i  

 i 
Autokorelační funkce:
Hustota energie: S2()2 = S2().S2*() = H().H*().S1()2
Funkci H()2 nazýváme zisk soustavy
V časové oblasti:
U energetických signálů:
Bs2 (m) = DTFT-1S2()2 = h(m)* h*(m)*Bs1 (m)
U výkonových signálů:
Bs2 (m) = h(m)* h*(m)*Bs1 (m)
Energie, výkon:
U energetických signálů: Evýst = Bs2(0)
U výkonových signálů: Pvýst = Bs2(0)
LINEÁRNÍ STACIONÁRNÍ SOUSTAVA POPSANÁ
DIFERENČNÍ ROVNICÍ
N
M
 a s k  n   b s k  m , kde an a bm jsou konstanty.
n 0
n 2
m 0
m 1
Chceme-li určit přenosovou funkci H() takové soustavy
uvědomíme si, že vstupní i výstupní signál lze rozložit pomocí
spektrální hustoty (DTFT-1):
1 2
1 2






s1 k  
S

exp
jk

d

s
k

S 2  exp  jkd
1
2
2 0
2 0
Vzhledem k tomu, že je soustava lineární, lze ji řešit samostatně
pro jednotlivé harmonické komponenty: exp(jk)
Dosadíme tedy za s1(k) = S1() exp(jk) a s2(k) = S2() exp(jk)
pak bude:
N
N
S 2   an exp  j k  n   S1   bm exp  j k  m 
n 0
m 0
N
N
S 2   exp  jk  an exp  jn    S1   exp  jk  bm exp  jm 
n 0
S 2  
n
m
  an exp  j    bm exp  j 
S1   n0
m 0
N
N
S 2  
 H   
S1  
m 0
N
 b exp  j
m 0
N
m
m
 a exp  j
n 0
n
n
,
M

b
m 0
N
m
zm
a z
n 0
n
n
Kde jsme provedli substituci: z = exp(-j)
Přenosová funkce soustav v diskrétním čase je tedy (na rozdíl od
soustav ve spojitém čase) funkcí veličiny: exp(-j).
Vysvětlení:
U soustav ve spojitém čase máme derivace místo konečných
diferencí:
d
exp  j t   exp  j t  t 
exp  j t   lim

t 0
dt
t
1  exp  jt 
1  1  jt 
 exp  j t  lim
 j exp  j t 
t 0
t 0
t
t
 exp  j t  lim
U soustav v diskrétním čase zůstaneme u konečného t = TV a
dostaneme:
1  exp  jt  1
1
 1  exp  jTV   1  exp  j 
t
TV
TV
Zavádíme systémovou funkci soustavy:
N
H L z  
b
m 0
N
m
zm
a z
n 0
n
n
Soustava, popsaná diferenční rovnicí je stabilní právě tehdy, když
póly funkce HZ(z) leží uvnitř jednotkové kružnice.
Vysvětlení:
Póly pn = exp(jn) (kde: n = 1 až N) fce HL(z) jsou nuly polynomu:
N
a z
n 0
n
n
ve jmenovateli zlomku této funkce. Vlastní řešení diferenční
rovnice bez pravé strany (soustava bez buzení) jsou tedy rovna:
vn(k) = exp(jkn) = exp(jn)k.
Mají-li všechna tato řešení s rostoucím časem odeznívat, musí vn(k)
 0 při k . Potom musí být: exp(jn)  1 .. c.b.d.