Pozn´amky k pˇredmˇetu PZS

Poznámky k předmětu PZS
Zbyněk Koldovský
13. května 2008
1
Část I
Přednáška č. 1
1 Digitálnı́ zpracovánı́ signálů
Signál
• tok informace v čase
• analogový signál −→ spojitý čas
• digitálnı́ signál −→ diskrétnı́ čas
Způsoby zpracovávánı́ signálů
1. zpracovánı́ signálu
analog.
dig.
Vzorkovánı́
sig.
DSP
sig.
dig.
Rekonstrukce
analog.
sig.
sig.
2. analýza signálu
analog.
Vzorkovánı́
dig.
DSP
sig.
sig.
digitálnı́
informace
3. syntéza
digitálnı́
DSP
informace
dig.
Rekonstrukce
analog.
sig.
sig.
4. čistě digitálnı́ systém
digitálnı́
DSP
informace
digitálnı́
informace
Zpracovávánı́ signálu v počı́tači (v MATLABu)
• on-line zpracovávánı́ (za běhu) −→ pracujeme s aktuálnı́ hodnotou signálu
• off-line zpracovávánı́ −→ zpracováváme záznam signálu uložený v paměti
– jednorozměrný signál - vektor
– vı́cerozměrný signál (několik signálů zı́skávaných souběžně) - matice
– obraz - 3D matice
• dávkové zpracovávánı́ (batch-processing) −→ každá dávka je zpracovávána off-line, ale navenek je zpracovávánı́ průběžné tedy on-line
2 Základnı́ modely signálů
2.1
Deterministické modely signálů
2.1.1
Spojitý aperiodický model
R, která nabývá komplexnı́ch (nebo pouze reálných) hodnot
s(t) ∈ C,
t∈R
Signál chápeme jako funkci s reálné proměnné t ∈
Základnı́ charakteristiky:
2
• průměrná hodnota
Z
+∞
s(t)dt
−∞
• energie
Z
+∞
|s(t)|2 dt
−∞
2.1.2
Spojitý periodický model
R s periodou délky T
pro ∀t ∈ R, k ∈ Z.
Signál s chápeme jako periodickou funkci proměnné t ∈
s(t) = s(t + kT )
Základnı́ charakteristiky:
• průměrná hodnota
1
T
• výkon
1
T
2.1.3
Z
T
s(t)dt
0
Z
T
|s(t)|2 dt
0
Zobecněné funkce
U zobecněné funkce f nikdy nehovořı́me o jejı́ hodnotě v bodě t ∈
hodnoty integrálů typu
Z +∞
f (t)g(t)dt,
R. Zobecněnou funkci definujeme skrze
−∞
kde g jsou funkce z nějaké vhodně zvolené množiny D.
Zobecněnou funkcı́ je Diracova δ-funkce, jež je definovaná tak, že pro všechna g ∈ D platı́
Z +∞
δ(t)g(t)dt = g(0).
−∞
Zvolı́me-li tedy např. g(t) = 1, dostaneme
Z
+∞
δ(t)dt = 1.
−∞
Zobecněné funkce použı́váme v teorii zpracovánı́ signálů zejména k popisu přechodu od spojitého signálu k
diskrétnı́mu a naopak.
2.1.4
Diskrétnı́ aperiodický model
Signál chápeme jako posloupnost komplexnı́ch čı́sel
s[n] ∈
C,
Z
n∈ .
Základnı́ charakteristiky:
• průměrná hodnota
+∞
X
s[n]
n=−∞
• energie
+∞
X
n=−∞
3
|s[n]|2
2.1.5
Diskrétnı́ periodický model
Signál chápeme jako periodickou posloupnost komplexnı́ch čı́sel s periodou N
s[n] ∈
C,
Z
s[n + N ] = s[n],
n, N ∈ .
Celý signál je tedy určen konečným počtem hodnot s[0], . . . , s[N − 1]. Základnı́ charakteristiky:
• průměrná hodnota
N −1
1 X
s[n]
N n=0
• výkon
N −1
1 X
|s[n]|2
N n=0
2.2
Diskrétnı́ stochastické modely signálu
2.2.1
Základnı́ pojmy
Náhodná veličina:
• Náhodná veličina X je zobrazenı́ z prostoru náhodných jevů do
• Realizacı́ X je tedy čı́slo z
R (z C)
R (může být i do C)
• Rozloženı́ pravděpodobnosti hodnot X je určeno distribučnı́ funkcı́
FX (x) = P (X < x),
kde P (A) je pravděpodobnost jevu A.
• Pro spojitou náhodnou veličinu X (nabývajı́cı́ všech hodnot v
X
fX (x) = dF
dx (x), pro kterou platı́
Z
P (X ∈ (a, b)) =
R) definujeme hustotu pravděpodobnosti
b
fX (x)dx = FX (b) − FX (a)
a
a tedy platı́
Z
+∞
fX (x)dx = 1
−∞
U diskrétnı́ náhodné veličiny (nabývajı́cı́ diskrétnı́ch hodnot x1 , x2 , . . . ) hovořı́me o konkrétnı́ch
pravděpodobnostech
pi = P (X = xi )
a tedy platı́
X
pi = 1
i
• Charakteristiky náhodné veličiny X
– Střednı́ hodnota
E[X] =
Z
+∞
xfX (x)dx
−∞
– Rozptyl
D[X] =
Z
+∞
(x − E[X])2 fX (x)dx
−∞
4
Dvě náhodné veličiny X a Y
• Sdružená distribučnı́ funkce X a Y je
FXY (x, y) = P ((X < x) ∩ (Y < y).
Sdruženou hustotu označujeme fXY (x, y).
• Důležité! X a Y jsou nezávislé pokud
FXY (x, y) = FX (x)FY (y)
nebo existujı́-li hustoty
fXY (x, y) = fX (x)fY (y).
• Kovariance X a Y je
cov(X, Y ) = E[(X − E[X])(Y − E[Y ])] =
Z
+∞
Z
+∞
(x − E[X])(y − E[Y ])fXY (x, y)dxdy
−∞
−∞
• Jsou-li X a Y nezávislé
cov(X, Y ) = 0,
protože
cov(X, Y ) =
Z
+∞
−∞
Z
+∞
−∞
Z
(x − E[X])(y − E[Y ]) fXY (x, y) dxdy =
| {z }
+∞
−∞
Z +∞
Z
fX (x)fY (y)
+∞
(x − E[X])(y − E[Y ])fX (x)fY (y)dxdy =
−∞
(x − E[X])fX (x)dx
−∞
Z
+∞
−∞

(y − E[Y ])fY (y)dy =


Z +∞

Z +∞




xfX (x)dx −E[X] 
yfY (y)dy −E[Y ]

 = 0.
  −∞
 −∞

{z
}
{z
}
|
|
E[X]
Náhodný signál s[n] jako náhodný proces:

E[Y ]
• Každá hodnota signálu s[n] je chápána jako realizace náhodné veličiny s[n] (stejně označované). Tedy s[n]
je náhodná veličina.
2.2.2
Náhodné posloupnosti i.i.d.
Náhodný signál s[n] je i.i.d. posloupnostı́ pokud
• Náhodné veličiny s[n1 ] a s[n2 ] jsou nezávislé pro všechna n1 6= n2
• Pravděpodobnostnı́ rozloženı́ s[n] je stejné pro všechna n. Signál tedy určuje rozloženı́ jediné náhodné
veličiny X, přičemž rozloženı́ každého s[n] je stejné jako X, zapisujeme s[n] ∼ X
• i.i.d. −→ identically independently distributed
Charakteristiky signály s[n] jsou tedy určeny charakteristikami X:
• Střednı́ hodnota
E[s[n]] = E[X] =
Z
+∞
−∞
5
xfX (x)dx
• Rozptyl (má význam energie)
Z
D[s[n]] = D[X] =
+∞
def.
|x − E[X]|2 fX (x)dx = σ 2
−∞
Odhady charakteristik:
• Odhad střednı́ hodnoty (označujeme standardnı́m symbolem X N −→ zde pruh neznamená komplexně
sdružené čı́slo)
N
1 X
s[n]
XN =
N n=1
• Odhad rozptylu
2.2.3
2
σ
bN
=
N
1 X
|s[n] − X N |2
N n=1
Slabě stacionárnı́ náhodné posloupnosti
Auto-kovariančnı́ funkce náhodné posloupnosti s[n] je
Css [n1 , n2 ]
= cov(s[n1 ], s[n2 ]) =
h
i
= E s[n1 ] − E[s[n1 ]] s[n2 ] − E[s[n2 ]] .
Náhodný signál s[n] je slabě stacionárnı́ pokud
• Střednı́ hodnota signálu je stále stejná
E[s[n]] = E[s[n + h]],
n, h ∈
Z
• Auto-kovariančnı́ funkce splňuje podmı́nku
Css [n1 , n2 ] = Css [n1 + h, n2 + h],
n1 , n2 , h ∈
Z
a je tedy určena funkcı́ jediné proměnné τ = n2 − n1
Css [τ ] = Css [n + τ, n],
n, τ ∈
Z
Odhady:
• Odhad střednı́ hodnoty
XN =
N
1 X
s[n]
N n=1
• Odhad auto-kovariančnı́ funkce
bss [h] =
C
N −|h|
X
1
(s[n + h] − X N )(s[n] − X N )
N − |h| n=1
Má-li proces nulovou stř. hodnotu, tedy E[s[n]] = 0, použı́váme odhad
bss [h] =
C
N −|h|
X
1
s[n + h]s[n]
N − |h| n=1
Některé vlastnosti autokovariančnı́ funkce slabě stacionárnı́ho procesu a jejı́ho odhadu:
6
• symetrie
h
h
i
i
Css [τ ] = E s[n + τ ] − E[s[n + τ ]] s[n] − E[s[n]] = E s[n] − E[s[n]] s[n − τ ] − E[s[n − τ ]] =
h
i
E s[n − τ ] − E[s[n − τ ]] s[n] − E[s[n]] = Css [−τ ]
• rozptyl slabě stacionárnı́ posloupnosti
h
2 i
def.
Css [0] = E s[n] − E[s[n]] = D[s[n]] = σ 2
• odhad rozptylu vs. odhad auto-kovariančnı́ funkce
N
X
2
bss [0] = 1
|s[n] − X N |2 = σ
bN
C
N n=1
• Je-li s[n] i.i.d. náhodná posloupnost, splňuje podmı́nky stacionarity a platı́, že
(
D[s[n]] = σ 2 τ = 0
.
Css [τ ] =
0
τ 6= 0
• Slabě stacionárnı́ posloupnost, jejı́ž autokovariančnı́ funkce splňuje předešlé, se nazývá bı́lý šum. Přı́kladem
je tedy kterákoliv i.i.d. posloupnost s existujı́cı́ stř. hodnotou a konečným rozptylem.
Přı́klady slabě stacionárnı́ch náhodných posloupnostı́
Necht’ x[n] je bı́lý šum.
• MA posloupnost (Moving Averages - klouzavé součty) y[n] splňuje
Z
y[n] = a0 x[n] + a1 x[n − 1] + a2 x[n − 2] + · · · + aq x[n − q],
n∈ .
Každá hodnota y[n] je tedy váženým součtem přı́tomné a předešlých q hodnot x[n].
• AR posloupnost (autoregresnı́) y[n] splňuje
a0 y[n] + a1 y[n − 1] + · · · + ap y[n − p] = x[n],
Z
n∈ .
Každá hodnota y[n] je váženým součtem svých předešlých p hodnot a přičı́tá se x[n], který může být chápán
jako náhodná chyba. Stacionarita y[n] zde však nenı́ automaticky zaručena a je nutné klást podmı́nky na
koeficienty a0 , . . . , ap . Platı́, že y[n] je stacionárnı́, je-li filtr definovaný tı́mto rekurzivnı́m vztahem BIBOstabilnı́ (viz přednáška č. 4).
• ARMA posloupnost y[n] splňuje
a0 y[n] + a1 y[n − 1] + · · · + ap y[n − p] = a0 x[n] + a1 x[n − 1] + · · · + aq x[n − q],
Z
n∈ .
Jedná se o kombinaci vlastnostı́ AR a MA procesu. Podmı́nka pro stacionaritu y[n] je analogická jako u AR
procesu.
Část II
Přednáška č. 2
3 Lineárnı́ konvoluce a LTI systémy
Lineárnı́ konvoluci definujeme (existujı́-li pravé strany)
7
• Spojitou: s(t), h(t), t ∈
R
(s ⋆ h)(t) =
Z
+∞
h(τ )s(t − τ )dτ
−∞
• Diskrétnı́: s[n], h[n], n ∈
Z
(s ⋆ h)[n] =
+∞
X
h[i]s(n − i)
i=−∞
Pro systém H se vstupnı́m signálem x a výstupnı́m y platı́:
• spojitý −→ y(t) = (H(x))(t) pro všechna t ∈
R
Z
• diskrétnı́ −→ y[n] = (H(x))[n] pro všechna n ∈ .
Systém je LTI - lineárnı́ a časově invariantnı́ pokud
1. je homogennı́, tj. H(αx) = αH(x), pro všechny signály x a α ∈
C,
2. je aditivnı́, tj. H(x + y) = H(x) + H(y), pro všechny signály x a y
3. je nezávislý na čase, tj. pro y(t) = x(t − t0 ) platı́ (H(y))(t) = (H(x))(t − t0 ) pro všechna t, t0 a x
Systém, který lze popsat pomocı́ tzv. impulsnı́ odezvy h tak, že
H(x) = x ⋆ h,
je LTI, protože
H(αx + y) = (αx + y) ⋆ h = αx ⋆ h + y ⋆ h = αH(x) + H(y).
Funkce h se nazývá impulsnı́ odezva, protože H(δ) = δ ⋆ h = h (ve spojitém i diskrétnı́m přı́padě). Nenı́ však
obecně zaručena jejı́ existence.
4 Frekvenčnı́ analýza deterministických signálů
4.1
Spojitý aperiodický signál
Fourierova transformace x(t), t ∈
R
X(ω) =
Z
+∞
x(t)e−itω dt
−∞
Inverznı́ vztah
x(t) =
1
2π
Z
+∞
X(ω)eitω dω
−∞
Pozn. Existence transformace je zaručena jen pro některé třı́dy signálů (L1 , L2 ) a inverznı́ vztah platı́ jen v určitém
smyslu.
Vlastnosti:
• linearita z(t) = αx(t) + y(t) ⇐⇒ Z(ω) = αX(ω) + Y (ω)
• časový posun y(t) = x(t − τ ) ⇐⇒ Y (ω) = e−iωτ X(ω)
• modulace y(t) = eiλt x(t) ⇐⇒ Y (ω) = X(ω − λ)
• Důležité!! konvoluce z(t) = (x ⋆ y)(t) ⇐⇒ Z(ω) = X(ω) · Y (ω)
8
1
• součin signálů z(t) = x(t) · y(t) ⇐⇒ Z(ω) = 2π
(X ⋆ Y )(ω)
R +∞
R
1 +∞
• Parsevalova rovnost −∞ |x(t)|2 dt = 2π
|X(ω)|2 dω
−∞
R
• symetrie pro reálné signály: x(t) ∈ pro všechna t ∈
R +∞
Př. Diracova δ-funkce: −∞ δ(t)e−iωt dt = e0 = 1, tedy
R, pak X(−ω) = X(ω) a |X(ω)| = |X(−ω)|
δ(t) ⇐⇒ 1(ω)
Př. Dualita Fourierovy transformace. Je-li Fourierova transformace X(ω) signálu x(t) reálná, a tedy platı́, že
X(ω) = X(ω), pak opětná Fourierova transformace X(ω) je rovna
Z
+∞
X(ω)e−iωt dω =
−∞
Z
+∞
X(ω) e−iωt dω = 2π
−∞
1
2π
|
Z
+∞
−∞
X(ω)eiωt dω = 2πx(t)
{z
}
inverznı́ transformace
Př. Komplexnı́ exponenciála x(t) = ejω0 t . Signál lze zapsat jako x(t) = ejω0 t 1(t). S použitı́m vlastnosti duality
(předchozı́ přı́klad) a modulace dostaneme
x(t) = ejω0 t ⇐⇒ X(ω) = 2πδ(ω − ω0 )
Př. Obdélnı́kový impuls a funkce sinc
rect(t) =
sinc(t) =


1
1
2


0
(
|t| <
|t| =
|t| >
sin(πt)
πt
1
1
2
1
2
1
2
t 6= 0
t=0
x(t) = rect(t) ⇐⇒ X(ω) = sinc
Totiž
Z +∞
−∞
rect(t)e−iωt dt =
Z
1
2
e−iωt dt = −
− 21
ω
1 −i ω
e 2 − ei 2 =
iω
z Eulerova vzorce sin(t) =
Z vlastnosti duality dále plyne
x(t) = sinc(t) ⇐⇒ X(ω) = rect
9
ω
2π
ω
2π
eit − e−it
2i
= sinc
ω
2π
4.2
Spojitý periodický signál
Fourierovu transformaci periodického signálu s periodou T definujeme jako posloupnost X[k]
Z
i2πkt
1 T
X[k] =
x(t)e− T dt,
k∈
T 0
Z
Pozn. Existence transformace viz Fourierovy řady
Platı́ Parsevalova rovnost
Z
+∞
X
1 T
2
|x(t)|2 dt
|X[k]| =
T 0
k=−∞
Odvozenı́ inverznı́ho vztahu pomocı́ zobecněných funkcı́. Definujeme “zespojitěnı́” posloupnosti X[k] pomocı́
+∞
X
2πk
def.
e
X(ω) = 2π
X[k]δ ω −
.
T
k=−∞
e
Inverznı́ spojitá Fourierova transformace X(ω)
je
x(t) =
1
2π
Z
+∞
−∞
Dosazenı́m dostáváme
x(t) =
+∞
X
k=−∞
Z
X[k]
+∞
−∞
iωt
e
X(ω)e
dω.
+∞
X
i2πkt
2πk
X[k]e T
=
eiωt δ ω −
T
k=−∞
Pro reálný signál x(t) lze výsledek napsat
x(t) = X[0] + 2
+∞ X
ℜ[X[k]] cos
k=1
2πkt
T
− ℑ[X[k]] sin
2πkt
T
,
kde ℜ[X[k]] a ℑ[X[k]] jsou reálná a imaginárnı́ část X[k].
4.3
Diskrétnı́ aperiodický signál
• Název transformace: DTFT (Discrete-time Fourier Transform)
• Definujeme pro x[n], n ∈
Z
X(θ) =
+∞
X
x[n]e−iθn ,
θ∈
R
n=−∞
Inverznı́ vztah:
x[n] =
Z
1
2π
π
X(θ)eiθn dθ
−π
Vlastnosti DTFT
• linearita
• periodicita X(θ) s délkou periody 2π, tj. X(θ + 2πk) = X(θ) pro všechna θ ∈
−in0 θ
• časový posun y[n] = x[n − n0 ] ⇐⇒ Y (θ) = e
X(θ)
• modulace y[n] = einλ x[n] ⇐⇒ Y (θ) = X(θ − λ)
• konvoluce z[n] = (x ⋆ y)[n] ⇐⇒ Z(θ) = X(θ) · Y (θ)
Př. Jednotkový impuls (diskrétnı́ obdoba δ-funkce)
(
1 n=0
δ[n] =
0 n=
6 0
x[n] = δ[n] ⇐⇒ X(θ) = 1(θ)
10
R, k ∈ Z
4.4
Diskrétnı́ periodický signál
Signál je určen konečným počtem hodnot x[n], n = 0, . . . , N − 1. Transformaci lze definovat X(θ) =
PN −1
iθn
, což je polynom N tého stupně v proměnné eiθ . Ten je určen hodnotami v N různých bodech
n=0 x[n]e
intervalu [0, 2π). Transformaci proto definujeme jako posloupnost X[k], k = 0, . . . , N − 1, kde X[k] = X(θk )
θk = 2πk
N .
• Transformaci nazýváme zkratkou DFT (Discrete Fourier Transform)
• Definujeme jako
X[k] =
N
−1
X
x[n]e
−i2πkn
N
,
k = 0, . . . , N − 1
n=0
• Inverznı́ vztah:
x[k] =
N −1
−i2πkn
1 X
X[k]e N ,
N
n = 0, . . . , N − 1
k=0
Důležité!! Kruhová konvoluce
z[n] = (x y)[n] =
N
−1
X
m=0
x[m]y (n − m) mod N
Vlastnosti DFT
• linearita
• periodicita s periodou N
−i2πkn
• kruhový posun: y[n] = x (n − m) mod N ⇐⇒ Y [k] = e N X[k]
• Důležité!! kruhová konvoluce: z[n] = (x y)[n] ⇐⇒ Z[k] = X[k] · Y [k]
• součin signálů: z[n] = x[n] · y[n] ⇐⇒ Z[k] =
1
N (X
Y )[k]
5 Frekvenčnı́ analýza slabě stacionárnı́ch náhodných procesů
Pro slabě stacionárnı́ posloupnost x[n] definujeme tzv. PSD (Power Spectral Density) funkci Kxx (θ) pomocı́ autokovariančnı́ funkce Cxx [τ ] jako
Kxx (θ) =
+∞
X
Cxx [τ ]e−iθτ ,
τ∈
Z
τ =−∞
Jedná se tedy de facto o DTFT posloupnosti Cxx [τ ].
Př. Je-li x[n] i.i.d. posloupnost, pak Cxx [τ ] = σ 2 · δ[τ ] a
Kxx (θ) = 1(θ).
Odtud název bı́lý šum, protože tento signál obsahuje stejné množstvı́ všech frekvencı́ z intervalu (−π, π) (jako bı́lé
světlo)
Př. Mějme impulsnı́ odezvu h[n] nějakého LTI systému jehož vstupem je stacionárnı́ posloupnost x[n] majı́cı́
nulovou střednı́ hodnotu (pro jednoduchost), tedy E[x[n]] = 0. Výstupem je tedy náhodná posloupnost
X
h[k]y[n − k].
y[n] = (h ⋆ x)[n] =
k
Dokážeme, že je také slabě stacionárnı́ a odvodı́me jejı́ PSD.
11
1.
E[y[n]] = E
hX
k
i X
h[k] E x[n − k] = 0
h[k]x[n − k] =
|
{z
}
k
=0
Tedy prvnı́ podmı́nka stacionarity je splněna.
2.
h X
i
X
h[k2 ]x[n2 − k2 ] =
Cyy [n1 , n2 ] = E y[n1 ]y[n2 ] = E
h[k1 ]x[n1 − k1 ]
k1
XX
k1
k2
k2
h[k1 ]h[k2 ] E x[n1 − k1 ]x[n2 − k2 ] = Cyy [n1 − n2 ]
|
{z
}
Cxx [n1 −n2 −k1 +k2 ]
Tedy Cyy je funkcı́ pouze jedné proměnné τ = n1 − n2 , což je druhá podmı́nka slabé stacionarity.
3.
Kyy (θ) =
X
τ
Cyy [τ ]e−iθτ =
XXX
τ
X
k1
k2
XXX
τ
k1
{z
|
k2
1 −iθk2 iθk2
e
e }=
h[k1 ]h[k2 ]Cxx [τ − k1 + k2 ]e−iθτ |e−iθk1 eiθk{z
−iθk1
h[k1 ]e
k1
h[k1 ]h[k2 ]Cxx [τ − k1 + k2 ]e−iθτ =
H(θ)
X
iθk2
h[k2 ]e
k2
}|
{z
H(θ)
X
}|
=1
−iθ(τ −k1 +k2 )
Cxx [τ − k1 + k2 ]e
τ
{z
= |H(θ)|2 Kxx (θ)
}
Kxx (θ)
Př. Mějme signál, jenž odpovı́dá N realizacı́m slabě stacionárnı́ posloupnosti. Tyto realizace (naměřené hodnoty
signálu) si označı́me x[n], n = −N/2, . . . , N/2. Hodnoty celé posloupnosti x[n] dodefinujeme pro |n| > N/2
rovné nule. Dále si definujme signál
←
−[n] = x[−n],
x
−[n] jsou
tedy signál komplexně sdružený a s opačným znaménkem času. DTFT posloupnostı́ x[n] a ←
x
X(θ)
=
X
x[k]e−ikθ
k
←
−
X (θ)
=
X
←
−[k]e−ikθ =
x
k
X
x[−k]e−ikθ =
k
X
x[k]eikθ =
X
x[k]e−ikθ = X(θ)
k
k
Autokovariančnı́ funkci signálu x[n] odhadujeme jako
bxx [τ ] =
C
1
N − |τ |
N/2
X
n=−N/2
x(n + τ )x(n) =
1
N − |τ |
N/2
X
−(−n) =
x(n + τ )←
x
n=−N/2
1
N − |τ |
N/2
X
n=−N/2
≫1 1
−)(τ )
−(n) N≈
(x ⋆ ←
x
x(τ − n)←
x
N
bxx [τ ], který je odhadem PSD funkce. S použitı́m
Nynı́ uvažujme DTFT odhadu autokovariančnı́ funkce C
předchozı́ho je proto přibližně roven
−)(τ ) ⇐⇒ K
b xx (θ) ≈ 1 X(θ)X(θ) = 1 |X(θ)|2 .
bxx [τ ] ≈ 1 (x ⋆ ←
x
C
N
N
N
Tı́mto přı́kladem je popsána souvislost mezi DTFT (DFT) naměřeného signálu x[n] z omezeného intervalu a PSD
funkcı́ odpovı́dajı́cı́ho stacionárnı́ho procesu z něhož je signál vygenerován. Přesně je tento vztah vyjádřen tzv.
Wiener-Khintchineovou větou.
12
Wiener-Khintchineův teorém
Necht’ x[n] je slabě stacionárnı́ náhodná posloupnost s nulovou střednı́ hodnotou, jejı́ž autokovariančnı́ funkce
Cxx [τ ] splňuje podmı́nku
+∞
X
|Cxx [τ ]| < +∞.
τ =−∞
Pro N liché definujeme posloupnost
(
x[n],
y[n] =
0,
− N 2−1 ≤ n ≤
jinak.
N −1
2 ,
Jinými slovy je y[n] omezenı́m posloupnosti x[n] na interval n ∈ [−(N − 1)/2, (N − 1)/2]. Potom platı́, že
lim
N →+∞
1
E[|Y (θ)|2 ] = Kxx (θ),
N
kde Y (θ) je DTFT posloupnosti y[n].
Část III
Přednáška č. 3
6 Vzorkovánı́ signálu
• Přechod od spojitého signálu k diskrétnı́mu
• vzniklá chyba −→ aliasing
• vzorkovacı́ perioda Ts [s], vzorkovacı́ frekvence fs [Hz], platı́ fs = 1/Ts , ωs = 2πfs , ωs = 2π/Ts
Vzorkovaný spojitý signál s(t):
1. diskrétnı́ signál: xd [n] = x(nTs ), n ∈
Z
2. ”spojitý” alternativnı́ popis (pomocı́ zobecněných funkcı́):
xp (t) =
+∞
X
x(t)δ(t − nTs ) =
n=−∞
+∞
X
x(nTs )δ(t − nTs )
n=−∞
Fourierovy transformace:
1. Transformace původnı́ho spojitého x(t)
X(ω) =
Z
+∞
x(t)e−itω dt
−∞
2. DTFT navzorkované posloupnosti xd [n]
Xd (θ) =
+∞
X
xd [n]e−inθ =
+∞
X
x(nTs )e−inθ
n=−∞
n=−∞
3. Fourierova transformace ”spojitého” navzorkovaného signálu xp (t)
Xp (ω) =
Z
+∞
−∞
xp (t)e−itω dt =
Z
+∞
+∞
X
x(t)δ(t − nTs )e−itω dt =
−∞ n=−∞
=
+∞ Z
X
n=−∞
+∞
−∞
13
x(t)δ(t − nTs )e−itω dt =
+∞
X
n=−∞
x(nTs )e−inTs ω
Vzorkovacı́ teorém:
Xp (ω) = Xd (Ts ω)
Xd (θ) =
1
Ts
+∞
X
k=−∞
(vyplývá z předchozı́ch bodů 2 a 3)
θ − 2πk
X
Ts
Neformálnı́ důkaz: s použitı́m inverznı́ Fourierovy transformace platı́
#
Z −(2k−1)π/Ts
1
X(ω)eiωnTs dω =
X(ω)eiωnTs dω =
2π −(2k+1)π/Ts
−∞
k=−∞


Z π/Ts
+∞
X
2πk
2πk

 1
= substituce: ω ← ω −
X ω−
=
eiωnTs e|−i2πkn
{z } dω =
Ts
2π −π/Ts
Ts
k=−∞
=1
#
Z π "
+∞
X
θ − 2πk
1
1
X
eiθn dθ
= {substituce: θ ← ωTs } =
2π −π Ts
Ts
1
x(nTs ) =
2π
Z
+∞
+∞
X
"
k=−∞
Z inverznı́ DTFT plyne, že výraz v hranaté závorce je roven Xd (θ).
Důsledky:
• vztah frekvenčnı́ch os původnı́ho signálu x(t) a navzorkovaného x[n]:
θ = ωTs
• násobenı́ amplitudové osy navzorkovaného x[n] faktorem 1/Ts
• Xp (ω) a Xd (θ) jsou periodické
7 Signál s omezeným spektrem
Předpokládejme, že signál x(t), který budeme vzorkovat, má omezené spektrum, a tedy neobsahuje frekvence
vyššı́ než fm . Tedy platı́
X(ω) = 0
pro
|ω| > ωm , ωm = 2πfm
Nynı́ budeme signál vzorkovat vzorkovacı́ frekvencı́ dvojnásobně vyššı́ než fm , tedy
fs ≥ 2fm .
Vzorkovacı́ teorém řı́ká, že
+∞
1 X
θ − 2πk
Xd (θ) =
.
X
Ts
Ts
k=−∞
Předchozı́ dvě podmı́nky zaručujı́, že pouze jeden z členů v sumě je nenulový, a to pro k = 0. Platı́ proto, že
θ
1
X
,
|θ| ≤ π.
Xd (θ) =
Ts
Ts
Zároveň je zřejmé, že pokud některá z podmı́nek neplatı́, vı́ce členů v sumě je nenulových a neplatı́ tedy ani
předchozı́ vztah. Z tohoto plynou následujı́cı́ závěry:
• Jsou-li podmı́nky splněné, spektrum navzorkovaného signálu obsahuje všechny frekvence původnı́ho
signálu. Jinými slovy funkci X(ω), ω ∈ , lze celou zpětně určit z funkce Xd (θ), θ ∈ [−π, π).
R
14
• Nenı́-li splněna podmı́nka fs ≥ 2fm (ale prvnı́ ano, tj. signál má omezené spektrum), počet nenulových
členů v sumě je vı́ce než jeden ale konečný. Množstvı́ frekvence θ v navzorkovaném signálu je pak rovno
součtu množstvı́ frekvencı́
θ θ ± 2π θ ± 4π
,
,
,...,
Ts
Ts
Ts
což vystihuje efekt aliasingu způsobeným ”přetékánı́m spektra”.
• Frekvenci 2fm nazýváme Nyquistovou frekvencı́
Př. Uvažujme spojitý signál x(t) = sinc2 (t). Jeho Fourierova transformace je
(
ω
|ω| ≤ 2π
1 − 2π
X(ω) =
,
0
|ω| > 2π
a tedy vidı́me, že x(t) má omezené spektrum, kde ωm = 2π tedy fm = 1. Chceme-li tento signál vzorkovat
tak, aby navzorkovaný signál obsahoval veškeré informace o signálu původnı́m, musı́me ho vzorkovat nejméně s
frekvencı́ fs = 2 Hz.
8 Rekonstrukce signálu
Rekonstrukcı́ signálu x(t) rozumı́me jeho odvozenı́ z navzorkovaného signálu x[n] = x(nTs ).
8.1
Shannonova rekonstrukce
Je-li splněna podmı́nka fs ≥ 2fm , signál x(t) lze plně zrekonstruovat, nebot’ platı́
x(t) =
+∞
X
x(nTs ) sinc
| {z }
n=−∞
x[n]
t − nTs
Ts
Toto bylo odvozeno inverzı́ původnı́ Fourierovy transformace signálu x(t), která je rovna
ωTs
X(ω) = Ts · Xd (ωTs ) rect
.
2π
Pozn. Xd (θ) je periodická, přičemž na intervalu θ ∈ [−π, π) je rovna X(ω) pro ω ∈ [−ωs /2, ωs /2).
s
Vynásobenı́m funkcı́ rect( ωT
2π ) tedy zachováme původnı́ hodnotu funkce v tomto intervalu a pro ostatnı́ ω vynulujeme. Jelikož předpokládáme, že je splněna podmı́nka rekonstrukce, původnı́ X(ω) je vně intervalu nulová, a
proto platı́ tato rovnost.
8.2
Zero-Order Hold (ZOH) rekonstrukce
Shannonova rekonstrukce je prakticky nerealizovatelná, a to ze dvou důvodů:
• v každý okamžik je třeba sečı́st nekonečně mnoho hodnot a
• potřebujeme znát celý signál x[n], tedy i jeho budoucı́ hodnoty.
15
ZOH rekonstrukce spočı́vá v tom, že z diskrétnı́ho signálu vytvářı́me spojitý tak, že v intervalech mezi jednotlivými
vzorky definujeme hodnotu spojitého signálu rovnou hodnotě poslednı́ho vzorku. Tedy
xzoh (t) = x[n] = x(nTs ),
t ∈ nTs , (n + 1)Ts .
Praktický systém digitálnı́ho zpracovánı́ signálu může obecně vypadat následovně.
Zbývá vysvětlit si úlohu analogové rekonstrukce. Analogovou rekonstrukcı́ rozumı́me vhodnou úpravu spojitého signálu xzoh (t), která tento signál upravı́ tak, aby byl co nejvı́ce roven Shannonově rekonstrukci x[n], tedy
x(t). S pomocı́ funkce
(
1 0 ≤ t < Ts
hzoh (t) =
0 jinak
můžeme ZOH zrekonstruovaný signál zapsat jako
xzoh (t) =
+∞
X
x(nTs )hzoh (t − nTs ).
n=−∞
Fourierova transformace hzoh (t) je
Hzoh (ω) =
Z
Ts
e−iωt dt = T · sinc
0
ωTs
2π
e−i
ωTs
2
Částečnou analogovou rekonstrukci signálu xzoh (t) lze tedy provést analogovým filtrem g(t), jehož amplitudové
spektrum je rovno
−1
ωTs
ωTs
rect
.
|G(ω)| = sinc
2π
2π
Ani tento filtr však nenı́ možné prakticky realizovat, protože g(t) je nenulová na neomezeném intervalu. Úlohou je
proto nalézt vhodnou aproximaci.
9 Vlastnosti DFT
9.1
Vztah k DTFT (X(θ))
• Je-li signál x[n] konečný, tedy nulový mimo interval n = 1, . . . , N − 1, pak je DFT rovna hodnotám X(θ)
v bodech
2πk
θk =
,
k = 0, . . . , N − 1
N
PN
P+∞
−inθ
−inθ
je konečná suma a zůstane stejná, uvažujeme-li DFT
=
• X(θ) =
n=0 x[n]e
n=−∞ x[n]e
prodlouženého x[n] o M prvků, které budou rovny nule (tzv. zero-padding). DFT prodloužené posloupnosti
bude rovna hodnotám X(θ) v bodech θk = N2πk
+M , k = 0, . . . , N + M − 1, což znamená vyhodnocenı́ X(θ)
v M + N bodech s jemnějšı́m rozdělenı́m intervalu [0, 2π).
16
2
|X(θk)|
N=10
M=0
x[n]
2
20
0
10
−2
0
5
0
0
10
5
n
N=10
M=20
x[n]
2
20
0
10
−2
0
10
10
k
|X(θk)|2
20
0
0
30
10
n
20
30
k
• Důležité!! jednotky: bezrozměrová θk odpovı́dá frekvenci
k
N fs
Př. Vzorkovánı́ harmonického signálu
a) Mějme spojitý signál, který je periodický s periodou 2π/ω
xa (t) = cos(ωt + ϕ),
t∈
R
b) Vzorkovaný signál se vzorkovacı́ periodou Ts je
xb [n] = cos(nωTs + ϕ),
n∈
Z
Aby byl tento signál také periodický, musı́ existovat celá čı́sla n a k tak, aby nωTs = 2πk. Tedy vzorkovacı́
2π
perioda Ts musı́ být rovna Ts = nk 2π
ω . Jinými slovy Ts musı́ být racionálnı́m násobkem ω (zároveň však
musı́ být fs = 1/Ts většı́ než Nyquistova frekvence ω/π).
c) Nynı́ uvažujme konečný počet N vzorků signálu, tedy reálně navzorkovaný signál.
xc [n] = cos(nωTs + ϕ),
n = 0, . . . , N − 1
Celá informace o signálu xb [n] bude v xc [n] zachovaná, bude-li periodické prodlouženı́ xc [n] rovno právě
2π
xb [n]. To nastane pokud existuje k ∈ takové, že ωN Ts = 2kπ, a tedy N = k ωT
. Aby takové N vůbec
s
2π
existovalo, musı́ být ωTs racionálnı́ čı́slo, což je podmı́nka periodicity xb [n].
Z
Sledovánı́m přı́padů, kdy tyto podmı́nky jsou porušeny, vidı́me důsledky, které se projevı́ v hodnotách DTFT a
DFT.
9.2
Gibsův jev
Tento jev si předvedeme na přı́kladu se signálem
x(t) = sinc(t)
⇐⇒
X(ω) = rect
ω
,
2π
který má omezené spektrum a může být proto dokonale rekonstruován z navzorkovaného signálu (s dostatečnou
fs ). Navzorkovaný signál je
θ
1
rect
, θ ∈ [−π, π).
x[n] = sinc(nTs )
⇐⇒
X(θ) =
Ts
2πTs
17
V praxi máme k dispozici pouze konečný počet vzorků signálu, budeme uvažovat, že n = −N, . . . , N . DFT
konečného signálu je vyhodnocenı́m
N
X
x[n]e−inθ
XN (θ) =
n=−N
v N bodech. Očekáváme, že pro N → +∞ platı́
XN (θ) −→ X(θ).
N=100
6
4
4
|X(θ)|
|X(θ)|
N=10
6
2
0
2
0
θ
N=10000
6
6
4
4
|X(θ)|
|X(θ)|
N=1000
2
0
θ
2
0
θ
θ
V obrázcı́ch je znázorněna XN (θ) navzorkované posloupnosti (Ts = 1/5) pro θ ∈ [0, 2π) pro různou délku
záznamu N . Jak vidı́me, XN (θ) je pro rostoucı́ N vı́ce podobná obdélnı́kové funkci, ale v bodě nespojitosti
zůstává i pro velká N velmi odlišná (viz. následujı́cı́ detail z označené oblasti).
N=10000
5.5
5.4
5.3
|X(θ)|
5.2
5.1
5
4.9
4.8
4.7
θ
Tento efekt se nazývá Gibsův jev. Je způsoben tı́m, že zatı́mco XN (θ) je rovna konečnému součtu spojitých
funkcı́ e−inθ , a je proto také spojitá, funkce X(θ) je nespojitá. Gibsův jev je důsledkem nekvalitnı́ konvergence v
bodě nespojitosti X(θ) (konkrétně se jedná o tzv. nestejnoměrnou konvergenci; konvergence je pouze bodová).
18
Část IV
Přednáška č. 4
10
Z-transformace
Z
Uvažujeme posloupnost h[n], n ∈ . Jejı́ Z-transformaci definujeme jako funkci H(z) komplexnı́ proměnné z,
která je rovna součtu mocninné řady
H(z) =
+∞
X
h[n]z −n ,
z∈
C.
n=−∞
Oblast absolutnı́ konvergence této řady označujeme ROC (Region of Convergence), tj. podmnožinu z ∈
platı́, že
+∞
X
|h[n]z −n | < +∞.
C kde
n=−∞
Zapı́šeme-li z v exponencielnı́m tvaru z = reiϕ , pak |z| = r a
+∞
X
|h[n]z −n | =
n=−∞
+∞
X
|h[n]| |z −n | =
n=−∞
+∞
X
|h[n]|r−n .
n=−∞
Definujeme
• R1 = inf{r ≥ 0 :
• R2 = sup{r ≥ 0 :
P+∞
n=−∞
P+∞
|h[n]|r−n < ∞}
n=−∞
|h[n]|r−n < ∞}
Je zřejmé, že ROC obsahuje oblast R1 < |z| < R2 . Z teorie funkcı́ komplexnı́ proměnné platı́ následujı́cı́ tvrzenı́.
• H(z) je holomorfnı́ (též analytická) uvnitř ROC (holomorfnı́ znamená, že má komplexnı́ derivaci)
• inverznı́ vztah:
1
h[n] =
2πi
I
H(z)z n−1 dz,
ψ
kde ψ je křivka vedoucı́ vnitřkem ROC kolem počátku proti směru hodinových ručiček.
• Důležité!! Posloupnost h[n] je jednoznačně určena, určı́me-li funkci H(z) spolu s ROC (maximálnı́
mezikružı́, kde je H(z) holomorfnı́).
Následujı́ důležité přı́klady.
1. h[n] = δ[n]
⇐⇒
H(z) = 1, R1 = 0, R2 = +∞
2. Význam ROC dobře vystihujı́ následujı́cı́ dva přı́klady.
(a)
(
an
h[n] =
0
19
n≥0
n<0
S použitı́m vzorce pro součet geometrické řady (a podmı́nky pro existenci součtu, tj. že kvocient
|q| < 1)
H(z) =
+∞
X
an z −n =
n=0
(b)
+∞
X
1
(az −1 )n =
|
{z
}
1
−
az −1
n=0
qn
(
−an
h[n] =
0
H(z) = −
−1
X
an z −n = −
n=−∞
+∞
X
|z| > |a|, R1 = |a|, R2 = +∞
(za−1 )n = −
n=1
n<0
n≥0
za−1
1
=
1 − za−1
1 − az −1
|z| < |a|, R1 = 0, R2 = |a|
Tedy pro dvě různé posloupnosti má H(z) stejný analytický tvar. Klı́čový rozdı́l je v ROC.
3. Konečná posloupnost, tj. h[n] = 0 pro n ∈
/ [n1 , n2 ].
H(z) =
n2
X
h[n]z −n
R1 = 0, R2 = +∞.
n=n1
4. Kauzálnı́ posloupnost, tj. h[n] = 0 pro n < 0. Předpokládejme, že |z| > R1 , z čehož plyne, že pro n ≥ 0 je
|z|−n < R1−n . Pak
+∞
X
|h[n]z −n | =
n=0
+∞
X
|h[n]| |z|−n < +∞
| {z }
n=0
=⇒
R2 = +∞
<R1−n
Pozn. Pro antikauzálnı́ posloupnost platı́ analogie tj., že R1 = 0, protože nula patřı́ do ROC.
5. Necht’
H(z) =
z(z + 1.2)
(z − 0.4)(z − 2)
Jaká posloupnost h[n] přı́slušı́ H(z)? Musı́me nejdřı́ve určit ROC. Vzhledem k singulárnı́m bodům H(z)
přicházejı́ v úvahu tři varianty
(a) ROC1 : 0 < |z| < 0.4
(b) ROC2 : 0.4 < |z| < 2
(c) ROC3 : 2 < |z| < +∞
Z rozkladu H(z) na parciálnı́ zlomky dostaneme
H(z) =
2
1
−
.
−1
1 − 2z
1 − 0.4z −1
Každý z těchto zlomků může být zapsán jako součet geometrické řady, podle toho jaký zvolı́me ROC.
(

−2 · 2n + 0.4n n < 0


ROC = ROC1



0
n≥0


(

 −2 · 2n n < 0
ROC = ROC2
h[n] =

−0.4n n ≥ 0


(



2 · 2n − 0.4n n ≥ 0


ROC = ROC3

 0
n<0
20
Vlastnosti Z-transformace:
1. linearita
2. pro z = eiθ , θ ∈
3. časový posun
−inθ
R −→ H(eiθ ) = P+∞
, což je DTFT posloupnosti h[n]
n=−∞ h[n]e
w[n] = h[n − m]
⇐⇒
W (z) = z −m H(z)
w[n] = h[−n]
⇐⇒
W (z) = H(z −1 )
4. otočenı́ v čase
5. diference
w[n] = nh[n]
⇐⇒
W (z) = −z
dH(z)
dz
6. konvoluce (v čase)
h[n] = (x ⋆ y)[n]
⇐⇒
H(z) = X(z)Y (z)
Pozn. Pravá strana je platná vždy na přı́slušném ROC.
11
LTI systémy
Nynı́ uvažujme LTI systém, jehož impulznı́ odezva je h[n] a Z-transformaci H(z) nazýváme přenosovou funkcı́
systému, vstupnı́ posloupnostı́ je x[n] a výstupnı́ y[n]. Platı́
y[n] = (h ⋆ x)[n],
n∈
Z
BIBO stabilita systému:
• Systém je BIBO stabilnı́ (Bounded Input Bounded Output) pokud platı́, že je-li vstupnı́ signál omezený, je
omezený i výstupnı́ tj. platı́, že existuje-li konstanta B1 , existuje konstanta B2 taková, že
|x[n]| ≤ B1
• Tvrzenı́: LTI systém je BIBO stabilnı́ ⇐⇒
=⇒
P+∞
n=−∞
|y[n]| < B2
n∈
Z
|h[n]| < +∞.
• Důsledek: LTI systém je BIBO stabilnı́ ⇐⇒ jednotkový kruh {|z| = 1} patřı́ do ROC posloupnosti h[n].
Totiž pro |z| = 1 platı́
+∞
+∞
X
X
|h[n]| < +∞
|h[n]| |z −n | =
| {z } n=−∞
n=−∞
1
Důležité!! Tedy DTFT existuje je-li systém BIBO stabilnı́.
• Stabilnı́ LTI systém nazýváme filtr.
Kauzalita systému:
• Systém nazýváme kauzálnı́, pokud jeho odezva v čase n, tedy výstup y[n], závisı́ pouze na minulých (a
přı́tomné) hodnotách vstupu tj. {x[m]|m ≤ n}.
P+∞
• Jelikož y[n] = (h ⋆ x)[n] = t=−∞ h[n]x[n − t], platı́, že systém je kauzálnı́ ⇐⇒ posloupnost h[n] je
kauzálnı́. Je ale správné uvědomovat si odlišný význam těchto pojmů.
• Důležité!! Systém je kauzálnı́ a BIBO stabilnı́ ⇐⇒ ROC posloupnosti h[n] obsahuje {|z| ≥ 1}. Toto plyne
ze závěru 4. přı́kladu v předchozı́ kapitole (kauzalita h[n]) a podmı́nky BIBO stability.
21
Dalšı́ důležitou vlastnostı́ LTI systému je, je-li impulsnı́ odezva h[n] konečná (konečný počet nenulových prvků)
nebo nekonečná. Filtry proto rozdělujeme na
• FIR (finite impulse response) - s konečnou h[n] a
• IIR (infinite impulse response) - s nekonečnou h[n].
Důležité!! Z definice Z-transformace vidı́me, že FIR filtr má konečný rozvoj H(z) (polynom v z a z −1 ). Je-li
naopak rozvoj H(z) konečný, jediný možný ROC je celé nebo − {0} a prvky odpovı́dajı́cı́ posloupnosti h[n]
odpovı́dajı́ koeficientům u mocnin z v rozvoji, tedy h[n] je konečná.
C
11.1
C
Systémy popsané diferenčnı́ rovnicı́
Uvažujeme systémy, jejichž vztah mezi vstupnı́m x[n] a výstupnı́m y[n] je
y[n]
= −a1 y[n − 1] − · · · − ap y[n − p] + b0 x[n] + b1 x[n − 1] + · · · + bq x[n − q]
p
q
X
X
= −
ai y[n − i] +
bi x[n − i]
i=1
i=0
Tento systém je evidentně lineárnı́ a kauzálnı́. Z-transformace levé i pravé strany a s použitı́m jejı́ vlastnosti linearity a časového posunu dostaneme
Y (z) = −
p
X
ai z −i Y (z) +
q
X
bi z −i X(z)
i=0
i=1
Jelikož Z-transformace převádı́ konvoluci na součin, platı́ Y (z) = H(z)X(z) a přenosová funkce H(z) je rovna
H(z) =
b0 + b1 z −1 + · · · + bq z −q
b(z)
Y (z)
=
=
X(z)
1 + a1 z −1 + · · · + ap z −p
a(z)
Tı́mto definujeme funkce a(z) a b(z), jenž jsou polynomy v proměnné z −1 .
• Póly přenosové funkce H(z) jsou kořeny a(z), které zároveň nejsou kořenem b(z), anebo jsou-li kořenem
b(z) potom nižšı́ho stupně než v a(z). Kořenem a(z) rozumı́me body z, kde a(z) = 0, což odpovı́dá
převráceným hodnotám kořenů polynomu a(z −1 ).
• Analogicky definujeme nuly H(z) jako kořeny b(z).
Systémy popsané diferenčnı́ rovnicı́ jsou de facto jediné LTI systémy, které dokážeme realizovat v praxi, protože
jsou kauzálnı́ a v každý časový okamžik můžeme provést pouze konečný počet operacı́.
• Důležité!! Má-li H(z) jediný q-násobný pól v bodě z = 0 (nebo dokonce nemá pól žádný), a tedy H(z) lze
zapsat jako (konečný) polynom v z −1 , systém je FIR filtr. V opačném přı́padě je IIR, protože H(z) nelze
zapsat jako konečný polynom v z −1 .
• Jelikož H(z) je racionálnı́ funkce, nelze dosáhnout přirozeně praktického požadavku, aby např. |H(eiθ )|
bylo konstantnı́ pro θ na nějakém intervalu a na jiném nulový (ideálnı́ potlačenı́ vybraného frekvenčnı́ho
pásma a ideálnı́ propustnost v jiném pásmu). Konkrétně lze fixovat H(z) pouze v p+q bodech, což odpovı́dá
počtu parametrů ai a bi . ”Ideálnı́” charakteristiky lze tedy pouze vhodně aproximovat a odtud plyne podstata
oboru, který se zabývá návrhy filtrů (viz. přednášky Jindřicha Žd’ánského).
22
• Existuje-li inverznı́ filtr g[n] FIR filtru h[n], je g[n] IIR (s výjimkou triviálnı́ch přı́padů kdy h[n] = aδ[n−d],
pro libovolné a ∈
a d ∈ ). Inverznı́m filtrem rozumı́me g[n] takový, že z výstupu systému h[n] dává
jeho původnı́ vstup x[n], tedy (g ⋆ y)[n] = x[n].
R
Z
Dosazenı́m dostaneme (g ⋆y)[n] = (g ⋆h⋆x)[n] = x[n], z čehož plyne, že (g ⋆h)[n] = δ[n] a Z-transformacı́
dostáváme
1
G(z) =
.
H(z)
Je-li tedy rozvoj H(z) konečný (a má vı́ce než jeden člen), rozvoj G(z) musı́ být nekonečný.
Část V
Přednáška č. 5
12
Rychlá Fourierova transformace - FFT
• Algoritmus pro rychlý výpočet DFT (tedy nikoliv jiná transformace)
• Existuje mnoho variant optimálnı́ch pro různé délky signálu (Radix-2 FFT, Radix-4 FFT, atd.) a jiný specifický účel (Chirp FFT, Zoom FFT)
12.1
Cooley-Tukeyho dekompozice
Základnı́ ”stavebnı́” jednotkou FFT je Cooley-Tukeyho (CT) dekompozice, kterou si zde odvodı́me. Cı́lem CT
dekompozice je převést problém výpočtu DFT délky N na několik DFT transformacı́ kratšı́ch délek. DFT signálu
x[n] délky N lze zapsat jako
X[k] =
N
−1
X
x[n]WN−nk ,
k = 0, . . . , N − 1,
n=0
kde
WN = e
i2π
N
.
Důležité!! Předpokládejme, že N lze zapsat jako součin celých čı́sel P a Q, tedy N = P · Q, kde P, Q > 1. Každý
index n i k nabývajı́cı́ hodnot 0, . . . , N − 1 můžeme vyjádřit jednoznačně pomocı́ dvojice indexů
n = P · q + p,
q = 0, . . . , Q − 1,
p = 0, . . . , P − 1
k
s = 0, . . . , P − 1,
r = 0, . . . , Q − 1.
= Q · s + r,
Platı́ tedy
nk
WN−nk
= N sq + Qsp + P rq + rp
= WN−N sq · WN−Qsp · WN−P rq · WN−rp
Následujı́ klı́čové vlastnosti exponentu WN jednoduše vyplývajı́cı́ z předpokladu N = P · Q.
WNN = 1,
WNQ = WP ,
WNP = WQ
Dı́ky těmto vlastnostem platı́ zjednodušenı́
WN−nk = WP−sp · WQ−rq · WN−rp .
23
Nynı́ výše uvedené využijeme k úpravám definice DFT.
X[k] = X[Q·s+r] =
Q−1
−1
X PX
x[P ·q+p]WP−sp WQ−rq WN−rp
=
q=0 p=0
P
−1
X
WN−rp
p=0
"Q−1
X
x[P · q +
q=0
p]WQ−rq
#
WP−sp
Sumu v hranaté závorce můžeme chápat jako DFT transformace signálů xp [q] délky Q, které definujeme jako (tzv.
decimace signálu x)
xp [q] = x[P · q + p],
q = 0, . . . , Q − 1,
p = 0, . . . , P − 1.
Platı́ tedy
Xp [r] =
Q−1
X
xp [q]WQ−rq ,
q=0
takže DFT signálu x můžeme zapsat jako
X[k] =
P
−1
X
WN−rp Xp [r]WP−sp
p=0
Dále si definujeme dalšı́ch Q pomocných signálů délky P
yr [p] = WN−rp Xp [r],
r = 0, . . . , Q − 1.
Stejným trikem jako s použitı́m pomocných signálů xp [q] dostáváme
X[k] = X[Q · s + r] =
P
−1
X
p=0
Důsledky:
|
yr [p]WP−sp = Yr [s]
{z
DFT signálu yr [p]
}
• K vyjádřenı́ DFT signálu x[n] potřebujeme spočı́st všechna Yr [s] k čemu potřebujeme všechna Xp [r].
• Výpočet Xp [r] znamená P výpočtů DFT délky Q a výpočet Yr [s] znamená Q výpočtů DFT délky P .
• Označı́me-li O(N ) počet operacı́ nutný k přı́mému výpočtu DFT signálu délky N (tj. přı́mo z definice), pak
CT dekompozice vyžaduje
P · O(Q) + Q · O(P )
operacı́.
• Řádově platı́, že O(N ) = N 2 , takže CT dekompozice vyžaduje řádově P · Q2 + Q · P 2 = (Q + P )N
operacı́. Vidı́me, že např. pro N = 6, P = 3 a Q = 2 to znamená úsporu operacı́ oproti přı́mému výpočtu
DFT (30 < 36).
12.2
Radix-P FFT
• Základnı́ myšlenkou FFT je rekurzivnı́ použitı́ CT dekompozice. Tedy každou DFT v CT dekompozici (délky
Q a P ) počı́táme opět pomocı́ CT dekompozice atd.
• Radix-P FFT předpokládá, že
N = P d,
P > 1, d > 1 přičemž P, d ∈
P d−1 , P d−2 , . . . , P .
Z a provádı́ rekurzivně CT dekompozice postupně na DFT délky P
24
a
CT
Počet operacı́ Radix-P FFT je tedy roven (symbolem ”−→” rozuměj CT dekompozici)
CT
CT
O(N ) −→ P · O(P d−1 ) + P d−1 O(P ) −→


CT


P P O(P d−2 ) + P d−2 O(P ) + P d−1 O(P ) = P 2 O(P d−2 ) + 2P d−1 O(P ) −→
{z
}
|
po dalšı́ CT dekompozici
CT
· · · −→ P d−1 O(P ) + (d − 1)P d−1 O(P ) = d · P d−1 O(P )
Předpokládáme, že P nenı́ velké a platı́ přibližně O(P ) ≈ P (např. pro P = 2 nejpoužı́vanějšı́ Radix-2 FFT
využı́vá maximálně úsporného výpočtu DFT délky 2). Pak počet operacı́ je řádově roven
d · P d = N · logP (N ),
což pro velká N znamená zásadnı́ úsporu v počtu operacı́ oproti přı́mému výpočtu DFT.
12.3
Zoom FFT
• Sloužı́ k rychlému výpočtu DFT jen pro určitý rozsah k0 ≤ k ≤ k0 + K − 1 délky K.
Z
• Předpokládejme, že délka signálu x je rovna N = K · L, L ∈ .
Index n můžeme vyjádřit jako
n = l + m · L,
l = 0, . . . , L − 1,
m = 0, . . . , K − 1.
DFT signálu x pak je
X[k] =
N
−1
X
n=0
x[n]WN−kn =
K−1
X L−1
X
−k(l+mL)
x[l + mL]WN
m=0 l=0
=



L−1
X K−1
X
l=0


 −kl
−km 

x[l
+
mL]W
K

 WN
m=0

|
{z
}
Xl [k]
Opět výraz v závorce je de facto roven DFT pomocného (decimovaného) signálu xl [m] = x[l + mL], tedy
Xl [r] =
K−1
X
−rm
xl [m]WK
,
r = 0, . . . , K − 1.
m=0
My však potřebujeme vyjádřit Xl [k] tj. v bodě k, jehož hodnoty jsou v rozsahu 0, . . . , N − 1. Jelikož však Xl [r]
je periodická s periodou K, platı́, že
Xl [k] = Xl [k mod K]
a platı́ tedy
X[k] =
L−1
X
Xl [k mod K]WN−kl .
l=0
Potřebujeme-li tedy spočı́tat DFT signálu x jen pro nějaká k, může se vyplatit výpočet DFT L signálů xl [m]
pomocı́ FFT a následné dosazenı́ do posledně uvedeného vzorce (ten však již nelze spočı́st pomocı́ FFT). Tento
způsob je tı́m efektivnějšı́, čı́m je L většı́ než K.
25
13
Rychlý výpočet konvoluce
13.1
Výpočet konvoluce pomocı́ kruhové konvoluce
Důležitou vlastnostı́ DFT je, že
z[n] = (x y)[n] ⇐⇒ Z[k] = X[k] · Y [k].
Násobenı́m DFT transformacı́ signálů x[n] a y[n] tedy neprovádı́me klasickou konvoluci signálů, nýbrž jejich
kruhovou konvoluci. V praxi však potřebujeme právě klasickou konvoluci, která je pro signály x a y délek Nx a
Ny rovna
min{Nx −1,n}
+∞
X
X
(x ⋆ y)[n] =
x[m]y[n − m] =
x[m]y[n − m]
m=−∞
m=max{0,n+1−Ny }
a kterou budeme nazývat lineárnı́ konvolucı́ (meze poslednı́ sumy jsou nastaveny na maximálnı́ nutný rozsah
vzhledem k délkám signálů x a y). Připomeňme, že kruhová konvoluce x a y, která existuje za předpokladu, že
majı́ stejnou délku N = Nx = Ny , je
(x y)[n] =
N
−1
X
x[m]y [(n − m) mod N ]
m=0
• Budou-li signály x a y prodlouženy o patřičný počet nul, bude výsledek jejich kruhové konvoluce roven
konvoluci lineárnı́.
• Definujeme prodloužené signály xa a ya o nuly na společnou délku N = Nx + Ny − 1.
Snadno lze ověřit rovnost
(x ⋆ y)[n] = (xa ya )[n],
n = 0, . . . , N − 1.
Důležité!! Vyhodnocenı́ kruhové konvoluce pomocı́ FFT, násobenı́ a inverznı́ FFT je rychlejšı́, než jejı́ přı́mý
výpočet.
13.2
Overlap-add konvoluce
Použitı́:
• Potřebujeme provést konvoluci velmi dlouhého signálu s krátkým (např. s krátkou impulsnı́ odezvou LTI
systému). Prodlouženı́ krátkého signálu o nuly je v tomto přı́padě zbytečné.
• Signál zpracováváme průběžně po dávkách (batch-processing). Z tohoto hlediska je signál vlastně
nekonečný.
Segmentace signálu x na segmenty o délce Nx
x[n] =
X
xi [n],
i
kde
(
x[n]
xi [n] =
0
iNx ≤ n ≤ (i + 1)Nx − 1
jinak.
Nynı́ můžeme vyjádřit konvoluci x se signálem y (o jehož délce Ny z praktických důvodů předpokládáme, že je
”krátká”) jako
! !
X
X
(x ⋆ y)[n] =
xi ⋆ y [n] =
(xi ⋆ y)[n].
i
i
• Každá z konvolucı́ xi ⋆ y má délku Nx + Ny − 1 a je nenulová v rozsahu iNx ≤ n ≤ (i + 1)Nx + Ny − 2.
26
• Rozdělı́me xi ⋆ y na součet dvou členů
(xi ⋆ y)[n] = ui [n] + vi [n],
kde ui [n] je nenulová pouze v rozsahu iNx ≤ n ≤ (i + 1)Nx − 1, tj. v i-tém segmentu, a vi [n] nenulová
mimo tento segment, tj. pro (i + 1)Nx ≤ n ≤ (i + 1)Nx + Ny − 2.
Konvoluci x ⋆ y, resp. jejı́ i-tý segment, počı́táme tzv. overlap-add metodou následovně:
1. xi [n] položı́me roven i-tému úseku signálu x délky Nx
2. doplnı́me xi [n] a y[n] nulami na délku Nx + Ny − 1
3. spočteme konvoluci xi ⋆ y = xi y (rychle pomocı́ FFT)
4. K ui [n] přičteme přı́slušný počet předchozı́ch vi−m [n], m = 1, . . . , M , čı́mž dostaneme výsledek konvoluce
x ⋆ y pro i-tý segment. Počet M záležı́ na rozdı́lu délek Nx a Ny , např. je-li Ny ≤ Nx + 1, pak je M = 1.
Pro výpočet konvoluce v dalšı́ch M segmentech uchováme vi [n].
Část VI
Přednáška č. 6
Optimálnı́ filtry podle kvadratických kritériı́
Mějme záznam signálu x[n] pro n ∈ [n1 , n2 ]. Tento signál chceme zpracovat filtrem h[n] tak, aby výsledný signál
y[n] =
m−1
X
h[i]x[n − i]
i=0
byl co nejblı́že nějakého ”očekávaného” signálu d[n]. Definujeme chybový signál jako rozdı́l
e[n] = d[n] − y[n],
n ∈ [n1 , n2 ].
Klı́čové je tedy zvolit co nejlépe koeficienty filtru h[n]. Pro zjednodušenı́ budeme v této kapitole uvažovat pouze
reálné signály a filtry (v komplexnı́m oboru platı́ vše analogicky.)
Maticový a vektorový zápis
Pomocı́ skalárnı́ho součinu dvou vektorů můžeme zapsat sumu typu
n
X
ai bi
i=1
pomocı́ vhodně definovaných vektorů a maticového násobenı́. Když totiž




a1
b1




a =  ... 
b =  ... 
an
bn
pak skalárnı́ součin a a b, často psaný jako (a, b), je právě roven
n
X
ai bi = aT b = bT a.
i=1
27
Dále můžeme každou sumu typu
n
X
a2i
i=1
zapsat jako kvadrát normy vektoru a, tj. kak2 , a platı́ zároveň
n
X
a2i = (a, a) = kak2 = aT a.
i=1
Pozn. V matematickém zápisu se důsledně dodržujı́ pravidla zavedeného značenı́. Zde např. vektory značı́me
tučným malým pı́smenem a matice tučným velkým pı́smenem. Každý zavedený symbol může mı́t pouze jeden
význam (nenı́-li zavedeno nějaké speciálnı́ pravidlo)! V následujı́cı́m napřı́klad definujeme vektor y, který nelze
zaměňovat se symbolem y, kterým značı́me diskrétnı́ signál y tj. posloupnost. Jeho konkrétnı́ hodnotu v čase
n značı́me y[n], což je reálné čı́slo, a tedy nikoliv celý signál. (V textu ovšem často hovořı́me o signálu y a
použı́váme symbol y[n], avšak nelze symboly y a y[n] libovolně kombinovat vystupujı́-li v matematické formuli.)
Dalšı́m přı́kladem nezbytné důslednosti je vektor x[n], který definujeme s argumentem n v hranatých závorkách,
přičemž složky vektoru x[n] jsou závislé na n. Analogické symboly y[n], d[n] nebo e[n] zde nedefinujeme, tedy
nelze je použı́vat pokud nebudou předtı́m definované.
Vektorový zápis nynı́ použijeme k popisu signálů x, y, atd. Definujeme si vektory






y[i1 ]
d[i1 ]
e[i1 ]






y =  ... 
d =  ... 
e =  ... 
y[i2 ]
a


h=
d[i2 ]

h[0]
..
.
h[m − 1]


pomocı́ nichž můžeme psát
y[n] =
m−1
X
e[i2 ]



x[n] = 

x[n]
x[n − 1]
..
.
x[n − m + 1]





h[i]x[n − i] = xT [n]h.
i=0
Dále jednoduše platı́, že
e = d − y,
čı́mž zapisujeme zároveň i2 − i1 + 1 rovnostı́ e[n] = d[n] − y[n], každou v odpovı́dajı́cı́ složce vektorů.
Celý vektor y lze zapsat jako

  T
 T
x [i1 ]
x [i1 ]h

 

..
..
y=
 ·h = A · h,
=
.
.
xT [i2 ]h
|
xT [i2 ]
{z
}
A
čı́mž definujeme matici A o rozměrech (i2 − i1 + 1) × m

x[i1 ]
x[i1 − 1] . . .
x[i1 + 1]
x[i1 ]
...

A=
..
..
..

.
.
.
x[i2 ]
x[i2 − 1] . . .
Chybový vektor e lze tedy napsat jako

x[i1 − m + 1]
x[i1 − m + 2]

.
..

.
x[i2 − m + 1]
e = d − y = d − Ah.
28
14
Metoda nejmenšı́ch čtverců
Cı́lem je najı́t filtr h[n] tak, aby kritérium
J=
i2
X
e2 [n]
i=i1
bylo minimálnı́. Pomocı́ vektorového zápisu můžeme psát
J
= eT e = (d − Ah)T (d − Ah) = (dT − hT AT )(d − Ah) =
= dT d − hT AT d − dT Ah + hT AT Ah =
= dT d − 2 · hT AT d + hT AT Ah
Poslednı́ rovnost platı́, protože (hT AT d)T = dT Ah a jelikož jsou oba členy skaláry, jejich transpozice jsou si
rovné. Kritérium J je kvadratickou funkcı́ proměnných h[0], . . . , h[m − 1]. Globálnı́ minimum je proto řešenı́m
rovnic
∂J
= 0,
i = 0, . . . , m − 1.
∂h[i]
Tuto soustavu rovnic lze zapsat vektorově s použitı́ definice derivace skalárnı́ funkce podle vektoru

dJ

=
dh
∂J
∂h[0]
..
.
∂J
∂h[m−1]


,
což je de facto jejı́ gradient. Platı́ následujı́cı́ pravidla
•
•
dxT y
=y
dx
dxT Ax
= Ax + AT x = {je-li A symetrická, pak} = 2 · Ax
dx
Pomocı́ těchto pravidel snadno odvodı́me, že
dJ
= −2 · AT d + 2 · AT Ah
dh
Položı́me-li derivaci rovnu nule (nulovému vektoru), dostaneme
AT Ah = AT d.
AT A je čtvercová matice m×m o nı́ž předpokládáme, že je regulárnı́ a tedy existuje jejı́ inverze. Potom dostáváme
výsledný vztah pro koeficienty filtru h[n]
h = AT A
−1
AT d.
Podle volby mezı́ i1 a i2 , jimiž volı́me blok dat, z něhož počı́táme optimálnı́ filtr, rozlišujeme čtyři základnı́ přı́pady,
kdy využı́váme všechna dostupná data z intervalu [n1 , n2 ]:
1. covariance method: i1 = n1 + m − 1 a i2 = n2 (využı́váme pouze dostupná data)
2. autocorrelation method: i1 = n1 a i2 = n2 + m − 1 (využı́váme všechna dostupná data s tı́m, že mimo meze
[n1 , n2 ] dodefinováváme signály nulami.)
3. pre-windowing method: i1 = n1 a i2 = n2 (nuly doplňujeme na začátku)
4. post-windowing method: i1 = n1 + m − 1 a i2 = n2 + m − 1 (nuly doplňujeme na konci)
29
15
Wienerův filtr
Úloha je stejná, tj. hledáme optimálnı́ filtr h[n], aby
y[n] =
m−1
X
h[i]x[n − i]
i=0
byl co nejblı́že signálu d[n]. V předešlé kapitole jsme však nepředpokládali nic o zmı́něných signálech. Zde budeme
předpokládat, že signály x[n], y[n] a d[n] jsou slabě stacionárnı́ náhodné posloupnosti, pro zjednodušenı́, s nulovou
střednı́ hodnotou. Kritérium, podle něhož definujeme optimálnı́ filtr, definujeme na základě tohoto předpokladu.
Proces e[n] = d[n] − y[n] je totiž také slabě stacionárnı́ a můžeme definovat kritérium
J = E e2 [n] .
Toto kritérium se budeme snažit minimalizovat, čı́mž minimalizujeme rozptyl procesu e[n] (který má fyzikálnı́
význam jeho energie.) Dosazenı́m dostáváme

!2 
m−1
X
2 h[i]x[n − i]  =
J = E e [n] = E (d[n] − y[n])2 = E  d[n] −

= E  d[n] −

m−1
X
= E d2 [n] − 2
i=0
i=0
!
h[i]x[n − i] d[n] −
m−1
X
h[i]d[n]x[n − i] +
m−1
X
j=0
h[j]x[n − j] =
m−1
X
X m−1
i=0 j=0
i=0


h[i]h[j]x[n − j]x[n − i] =
m−1
X
X m−1
X
m−1
= E d2 [n] − 2
h[i] E d[n]x[n − i] +
h[i]h[j] E x[n − j]x[n − i]
|
{z
} i=0 j=0
{z
}
|
i=0
Cdx [i]
Cxx [i−j]
Druhý z podtržených výrazů je nám známý. Jedná se o autokovariančnı́ funkci Cxx [i − j] procesu x[n], která
je právě dı́ky stacionaritě x[n] pouze funkcı́ rozdı́lu i − j. Prvnı́ z podtržených výrazů je tzv. cross-kovariančnı́
funkce Cdx [i] (česky vzájemná kovariance) procesů d[n] a x[n]. Závislost této funkce pouze na i však musı́me
předpokládat (ze stacionarity d[n] a x[n] nevyplývá, musı́me předpokládat tzv. vzájemnou stacionaritu d[n] a x[n]).
Kritérium J tedy můžeme zapsat jako
m−1
m−1
X
X m−1
X
J = E d2 [n] − 2
h[i]Cdx [i] +
h[i]h[j]Cxx [i − j]
i=0
i=0 j=0
Všechny parciálnı́ derivace J podle h[i], i = 0, . . . , m − 1, položı́me rovny nule
m−1
X
∂J
h[j]Cxx [i − j] = 0.
= −2 Cdx [i] + 2
∂h[i]
j=0
Tı́m dostáváme soustavu m lineárnı́ch rovnic, kterou lze opět zapsat maticově. Definujeme-li


Cxx [0]
Cxx [−1]
. . . Cxx [−m + 1]
 Cxx [1]
Cxx [0]
. . . Cxx [−m + 2]


R=

..
..
..
..


.
.
.
.
Cxx [m − 1] Cxx [m − 2]
a


p=
...
Cdx [0]
..
.
Cdx [m − 1]
30


,
Cxx [0]
pak celou soustavu můžeme zapsat jako
Rh = p.
Matice R má mnoho speciálnı́ch vlastnostı́. Dı́ky symetrii autokovariančnı́ funkce Cxx [τ ] = Cxx [−τ ] je symetrická a tı́m, že každý řádek je posunem předešlého řádku o jeden prvek doprava, je to tzv. Toeplitzova matice.
Jelikož řešenı́m je filtr
h = R−1 p,
k řešenı́ této soustavy potřebujeme spočı́tat inverzi matice R. Dı́ky zmı́něným speciálnı́m vlastnostem této matice,
existuje rychlý algoritmus pro výpočet této inverze (tzv. Levinson-Durbinův algoritmus).
16
Souvislost mezi filtrem odvozeným metodou nejmenšı́ch čtverců a
Wienerovým filtrem
Autokovariančnı́ funkci Cxx [τ ] a cross-kovariančnı́ funkci Cdx [τ ] můžeme odhadovat pomocı́
bxx [τ ]
C
bdx [τ ]
C
=
=
N
X
1
x[n]x[n − |τ |],
N − m + 1 n=m−1
τ = −m + 1, . . . , m − 1,
N
X
1
d[n]x[n − τ ],
N − m + 1 n=m−1
τ = −m + 1, . . . , m − 1.
Připomeneme-li definici matice A

x[i1 ]
x[i1 + 1]

A=
..

.
x[i2 ]
x[i1 − 1]
x[i1 ]
..
.
...
...
..
.
x[i2 − 1]
...

x[i1 − m + 1]
x[i1 − m + 2]

,
..

.
x[i2 − m + 1]
vidı́me, že platı́, vezmeme-li i1 = m − 1 a i2 = N (covariance method),


1

AT A = 
N −m+1

bxx [0]
C
bxx [1]
C
..
.
bxx [m − 1]
C
což je odhad matice R. Stejným způsobem platı́
bxx [−1]
C
...
bxx [0]
C
...
..
..
.
.
bxx [m − 2] . . .
C

1

AT d = 
N −m+1
bdx [0]
C
..
.
bdx [m − 1]
C
bxx [−m + 1]
C
bxx [−m + 2]
C

,
..

.
b
Cxx [0]


,
což je odhad vektoru p. Porovnáme-li filtr odvozený metodou nejmenšı́ch čtverců
h = AT A
a Wienerův filtr
−1
AT d.
h = R−1 p,
vidı́me, že prvnı́ je odhadem druhého. Odhad je ovšem smysluplný (konzistentnı́), jsou-li splněny předpoklady pro
Wienerův filtr (stacionarita signálů atd.). Volbou matice A (covariance method, autocorrelation method,. . . ) vlastně
volı́me druh odhadu tohoto Wienerova filtru, z nichž každý odhad se lišı́ statistickými vlastnostmi (většı́/menšı́
odchylka/rozptyl).
31