Přednášky

Pojistná matematika
Podstata pojišťovny: se vzrůstajícím počtem klientů, klesá pojistně technické riziko.
Příklad:
- Pravděpodobnost, ţe nastane pojistná událost, je 0,01 za jeden rok. Škoda, která můţe nastat při této pojistné události je 1 000 000 Kč.
o Řešení z pohledu jednoho člověka, který není pojištěn.



– pojistně technické riziko
o Řešení z pohledu pojišťovny (kmen s N pojištěných a pojišťovna přebírá za ně jejich ztráty)






– pojistně technické rezervy (málo lidí)
=> optimální řešení
Základní pojmy
-
Čisté riziko – je událost, která se můţe opravdu přihodit (poţár, úraz,…)
Objektivní riziko – je dané nějakými faktory (věk, pohlaví, …)
Morální riziko – riziko, kdy pojištěný nedělá vše pro to, aby předešel pojistné události (např. poţární hlásič nefunguje a pojištěný
nezajistí jeho opravu před vznikem události)
Klasifikace pojištění
-
-
Klasifikace tradiční
o 1. dělení
 Soukromé pojištění – osob, majetek, odpovědnost za škodu, úraz, zdravotní pojištění, nemocenské pojištění
 Sociální pojištění – nemocenské a důchodové pojištění (státní důchodové pojištění a penzijní fondy)
 Zdravotní pojištění – státní, liší se od soukromého zdravotního pojištění
o 2. dělení
 Dobrovolné pojištění
 Povinné smluvní pojištění – povinné ručení
 Zákonné pojištění
Klasifikace z pohledu pojistné matematiky
o Ţivotní pojištění
 Pojištění na smrt, doţití nebo na oboje zároveň (smíšené pojištění), důchodové pojištění – zde je garantovaný výnos
 Kapitálové a investiční ţivotní pojištění – zde není garantovaný výnos a finance jsou oddělené
 Pojistné:
 Jednorázové – zaplatím na začátku a dál uţ nic neplatím
 Běţné – pravidelné splátky (měsíční nebo ročně)
 Ryzí – takové, jeţ v průměru pokryje pojistné plnění, ale nepokryje provoz pojišťovny
 Hrubé – to, které platíme a pojišťovna pokryje provoz, výnos, rezervu (variabilitu) => v případě nadměrných
pojistných událostí.
 Valorizované – je navýšeno o inflaci
 Proč je ţivotní z pohledu pojistné matematiky?
 Ţivotní pojištění plyne s ţivotem a je to dlouhodobá věc.
 Pojištění je rezervotvorné.
 Pro pojišťovnu je náročnější.
o Neţivotní pojištění
 Majetkové
 Domácnost, budovy, havarijní pojištění, průmyslová rizika, zemědělská rizika,
 Odpovědnost za škodu
 Smluvní (dobrovolné) – v běţném ţivotě (na blbost), vlastníka nemovitosti, podnikatele za výrobek, …
 Smluvní (povinné) – povinné ručení automobilů, letadel a myslivosti
 Zákonné – Odpovědnost organizace za škodu při pracovním úrazu a nemoci z povolání
 Úrazové pojištění
 Smrt úrazem, trvalé následky, náklady na léčení
 Soukromé zdravotní pojištění
 Cestovní pojištění a nadstandartní pojištění, pojištění denní dávky při pracovní neschopnosti, pojištění denního
pobytu v nemocnici
Příklad:
- Pojistná událost nastane s pravděpodobností 0,001819. Výplata bude 1 000 000 Kč. Cena pojištění je 3 000 Kč,
o a) máme 100 pojištěnců,
o b) máme 10 000 pojištěnců,
- a chceme spočítat střední zisk na jednu pojistnou smlouvu a pojistně technické riziko.
Pojmy k neživotnímu pojištění

Intenzita pojistné ochrany (0
I
1)
o




Pojistná hodnota (H)
o Cena v době pojištění
Nová cena (N)
o Cena nové věci
Časová cena (Č)
o Bude zohledňovat amortizaci
Pojistná částka (S)
o Výše pojištění
Škoda (Š)

Příklad podpojištění:
- Cena v době pojištění 450 000 Kč, pojistná částka je 200 000 Kč, škoda na dané věci je 180 000 Kč a chceme vědět, kolik bude
pojistného plnění.
- Řešení:
o
o Pojistné plnění, které pojištěný dostane je 80 000 Kč.
Neživotní pojištění
-
Tarifní skupiny jsou homogenní skupiny pojistných smluv (např. povinné ručení: typ vozidla, síla motoru, způsob pouţití, region)
-
Příklad
o N = počet smluv v tarifní skupině
o x = výše škody
o q = pravděpodobnost škody (za rok)
o X = počet škod; X ~ Bi (N; q)
o
o
o
o
= střední výše škody
o Princip ekvivalence pro výpočet netto pojistného => střední výdaje = středním příjmům
o Celkové netto pojistné (ryzí) =
o
o Míra kolísání (k) – volativita:
o Řešení:
N
k při q = 0,001 k při q = 0,01
10
9,99
3,15
100
3,16
0,99
1 000
1,00
0,31
10 000
0,31
0,10
-
Příklad:
o Spočtěte míru kolísání, jestliţe pravděpodobnosti úmrtí muţe v 22 letech q = 0,000641 a pravděpodobnost úmrtí muţe v 60 letech
q = 0,014. Pojišťovna má pojistný kmen o 50 000 lidech.
Základní pojmy
-
-
-
Průměrné pojistné plnění (PPP)
Průměrná pojistná částka (PPČ)
Průměrná škoda (PŠ)
o
o n – počet pojistných událostí
o N – počet pojistných smluv
Škodní frekvence (q1)
o
Škodní stupeň (ŠST) (q2)
o
=> čím větší q2, tím větší škoda
o Odhad q2 se zpřesňuje vyuţitím empirických charakteristik, kterým říkáme relativní četnosti.
Netto pojistné (P)
o předpoklady pro výpočet:
 pojistná částka S = PPČ pro kaţdou s N smluv
 n pojistných událostí, je rovnoměrně rozděleno během roku=> to pojistné, které je vybráno na začátku roku, tak vynáší
technickou úrokovou míru (i = 1,9 %) přibliţně polovinu roku.
o Princip ekvivalence



– diskontní faktor
-

– Netto pojistné

– jednotkové nettopojistné
Technická úroková míra – garantované zhodnocení ze zákona
-
Příklad:
o Stanovte jednotkové netto pojistné p pro pojištění rekreačních staveb s technickou úrokovou mírou 1,9 % a se škodní frekvencí 51
‰ a škodním stupněm 9,8 %.
o Řešení:

Škodní tabulka
-
Tabulka 1 a 2 (škodní tabulka)
o z – intervalový škodní stupeň. Kdyţ je z = 0,3 tak to odpovídá intervalu
– výsledky škodního stupně
o Tz – počet škod v daném škodném intervalu na n = 100 000 škod (absolutní četnost)
o tz – relativní četnost - – pravděpodobnost škodního stupně
o
– váţený škodný stupeň
o bz – kumulativní relativní četnost
o Gz – kumulativní váţený škodní stupeň
o
– přes všechny z - střední škodní stupeň
-
Příklad:
o Stanovte jednotkové netto pojistné, znáte-li technická úroková míra je 1,9 %, q1 je 3 % a pouţijte škodní tabulku 2.
-
Tabulka 3 a 4 (výlukový řád ze škodného stavu)
o například u zdravotního, úrazového pojištění, kde chceme zjistit střední dobu výluky v pracovní neschopnosti
o z – výsledek náhodné veličiny (počet dnů nebo týdnů) ve výluce
o Vz – počet výluk trvající nejméně z
o Uz – počet výluk trvající právě z
o uz – relativní četnost (pravděpodobnost) z Uz =>
o uz*z – váţená doba ve výluce
o d – střední doba výluky =>
o V tomto případě se nettopojistné počítá:
o => S – je pojistné plnění za den (týden) výluky (škodného stavu)
-
Příklad:
o Stanovte netto pojistné v úrazovém pojištění, které je dáno škodní tabulkou 4 s technickou úrokovou mírou 1,9 % a škodní frekvencí
25 ‰ na 100 Kč pojistného plnění.
Formy pojištění
1.
S – pojistná částka
H – pojistná hodnota
I – intenzita pojistné ochrany
Y – pojistné plnění
X – škoda
M – maximální moţná škoda
Pojištění na pojistnou částku
o pojistné plnění mi bude záviset pouze na vzniku pojistné události a nezávisí na škodě (např. smrt úrazem) – invalidní pojištění,
pojištění na smrt
o Výši škody nemá smysl zjišťovat
o vzorec:

 Y=S
Příklad:
o Máme 30-ti letého muţe, který si sjednal pojištění na smrt na 1 rok. Vypočtěte netto pojistné a pojistná částka je 1 000 000 Kč. To
samé vypočtěte pro ţenu. Pouţijte
2. Škodové pojištění
o pojistné plnění závisí na výši škody.
o jedná se v zásadě o majetkové pojištění, odpovědnostní pojištění
a. Ryzí zájmové pojištění
-




S=H
I=1
výše pojistného plnění se rovná výši pojistné škody (Y = X)
graf:

vzorec:

 neexistuje pojistná částka, ta je nahrazena pojistnou hodnotou
b. Pojištění na plnou hodnotu
 I = s => S = s * H
 vzorec:

Příklad
o Chceme pojistit dům s hodnotou 2 000 000 proti ţivelným pohromám s q1 = 2 ‰ a q2 37 % a I = 90 %. Kolik peněz dostaneme při
vytopení se škodou 200 00 Kč.
3. Pojištění na první riziko
o ryzí zájmové pojištění omezené shora pojistnou částkou S
o
o
o pouţívá se typicky u malých častých škod a u velkých, které jsou ojedinělé (pojištění domácností)
o nebo chci záměrně pojistit část majetku (pojištění skladu)
o vzorec:

-



Gs * H = střední výše pojistného plnění pro škody do škodního stupně s
(1 – bs) * S – Střední výše pojistného plnění pro škody nad s
Příklad:
o Pojištění domácností, jeţ se týká tabulka 2. Pojistná částka je 100 000 Kč, ale pojistná hodnota domácnosti je 500 000 Kč s q1 = 5
%. Spočítejte netto pojistné.
4. Kvótové pojištění
o kombinace pojištění na první riziko a plnou hodnotu
o Pouţívá se v případě, ţe chceme spoluúčast implicitně zohlednit v pojištění.
o S – pojistná částka
o t – 0 < t < 1 (faktor spoluúčasti – kvóta)
o U = S/t – udaná hodnota (pojistná částka pro pojištění na plnou hodnotu)
o
o
o vzorec:

-
-
Příklad:
o Pojištění domácností, tedy tabulka 2. Bude nás zajímat kvótové netto pojištění, kdy faktor spoluúčasti je 0,5 a pojistná částka je
100 000 Kč.
-
Příklad:
o Stanovte roční nettopojistné při technické úrokové míře 2,4 %, q1 = 2%, pojistná hodnota je 300 000 Kč. Vyuţijte škodní tabulku 1.
 Pro ryzí pojištění,
 pro pojištění na plnou hodnotu s pojistnou částkou 200 000 Kč,
 pojištění na první riziko s pojistnou částkou 180 000 Kč
 kvótové pojištění s pojistnou částkou 100 000 Kč a kvótou 0,05.
Spoluúčast
1. Podílová spoluúčast
o p – procento spoluúčasti
o
2. Odčetná spoluúčast (Excedentní spoluúčast)
o pojištění nese spoluúčast v hodnotě F0
o Pozor F0 se vztahuje k velikosti škody, velikost pojistného plnění můţe být jiná.
o př. pojištění na první riziko

3. Integrální spoluúčast
o pojištění s výhradou drobných škod
o pojištěný kryje škodné částky do Fi, ale na vyšších se nijak nepodílí
o Př. pojištění na plnou hodnotu


-
Příklad:
o Technická úroková míra je 2,4 %, q1 = 0,02; H = 300 000 Kč, škodová tabulka 1.
 Ryzí zájmové pojištění s podílovou spoluúčastí 10 %

 Odčetná spoluúčast pro pojištění na plnou hodnotu S = 200 000 Kč, F0 = 30 000 Kč.



Integrální spoluúčast pro pojištění na první riziko, H = 300 000, S = 210 000, Fi = 30 000 Kč


Pojištění na první riziko s odčetnou spoluúčastí 30 000 Kč, pojistnou částkou 180 000 Kč.

Integrální spoluúčast 30 000 Kč pro kvótové pojištění na pojistnou částku 120 000 Kč s kvótou 0,7.
Podstata výpočtu
-
tz – pravděpodobnost, ţe nastane škoda ve výši z
PPz – pojistné plnění při škodě z
Víceleté pojištění
1. Předplacené pojištění
o P – roční nettopojistné
o i – technická úroková míra
o υ– diskontní faktor
o Πn – nettopojistné na dobu n let
o Při stornu vrací pojišťovna
o jednorázové pojistné v případě, ţe se storno nevrací



-
q1 - škodní frekvence (pravděpodobnost storna po škodní události)
a – pravděpodobnost přirozeného storna např. z důvodu zániku z pojistného nebezpečí
Příklad:
o Spočtěte nettopojistné jednorázové s P = 50 000 Kč, i = 2,4 %, a=2%, n=5 a q1 = 30 ‰.
Bruttopojistné
Bezpečnostní přirážka
RP – rizikové pojistné
-
-
N – počet smluv v jednom roce
S – pojistná částka smluv (stejná pro všechny smlouvy)
p – roční nettopojistné na jednotkovou pojistnou částku
zi, i = 1,…N – škodní stupeň i-té smlouvy, při čemţ většina smluv má zi = 0 => nedošlo k pojistné události pro i-tou smlovu.
vyuţíváme princip ekvivalence
o
o
s – směrodatná odchylka pojistného plnění zi*S na jednu pojistnou smlouvu
protoţe p je malé a N je velké, tak
o
o
-
Směrodatná odchylka celkového pojistného plnění R, tedy směrodatná odchylka na
– směrodatná odchylka celkového pojistného plnění
o
-
Předpokládáme, ţe celkové pojistné plnění má normální rozd.:
o





Tedy volíme-li
, protoţe pravděpodobnost, ţe ztratím peníze je veliká (0,16) – ztráta jednou za 6
let


-
Příklad:
o Rizikové pojištění = ?
o škodní tabulka č. 1; i = 2,4 %; k = 4; q1 = 20 ‰; H = 300 000 Kč a 890 pojistných událostí za rok.
o Řešení
 Ryzí zájmové pojištění




– počet smluv u kterých nedošlo k pojistné události
– pojistné události do škodního stupně 0,1




pojištění na první riziko s t=0,6

=> riziko 361,43



kvótové pojištění: t = 0,5; S = 100 000; U = 200 000
pojištění na plnou hodnotu s = 0,8 a integrální spoluúčast = 0,1
Technické rezervy v neživotním pojištění
Rezerva na pojistné plnění
-
podstatné jsou rezervy na pojistné plnění, v případě, ţe dochází ke zpoţdění plateb od pojistné události
Rok vzniku
2000
2001
2002
2003
2004
2005
-
Rok
0
9
13
14
16
12
11
Vý
1
21
28
29
24
26
Vo
2
31
36
44
42
Je
3 4 5
42 50 50
46 60
60
Rok
0
9
13
14
16
Vý
1
21
28
29
24
Vo
2
31
36
44
42
Je
3
42
46
60
56
rok vzniku – rok, kdy vzniká pojistná událost
rok vývoje – kolik let uběhlo od vzniku pojistné události
čísla – pojistná plnění do daného roku (kumulativní)
Chceme odhadovat budoucí pojistné plnění
Metoda Chain – Ladder
-
vývojové koeficienty pro rok vývoje:
o
o
o
o
o
Rok vzniku
2000
2001
2002
2003
4
50
60
75
70
5
50
60
75
70
2004
2005
-
12
11
26
22
39
33
52 65 65
44 55 55
o
– co všechno se musí vyplatit za pojištění vzniklá od roku 2000 do roku 2005
o
– co jiţ je zaplaceno (diagonála)
o rozdíl – co zbývá zaplatit => rezerva =126
technická rezerva jiţ vzniklé pojistné události
Vyrovnávací rezerva
-
na pokrytí výkyvů pojistných plnění (vztahuje se k rizikovému pojistnému)
v Německu se počítá ze zaslouţeného pojistného v roce t → Pt a ze směrodatné odchylky spočtené z kt-1, …, kt-15
o
o
o
- To je hodně
Matematické modelování v neživotním pojištění – teorie
rizika
-
model
o můţe nahradit data, kdyţ je jich málo
o popisuje chování rizika
o mohu provádět statistické testování
Modely počtu pojistných nároků
o X – náhodná veličina – počet pojistných nároků na rok
a)
 K – počet smluv
 p - pravděpodobnost pojistné události



– střední počet pojistných nároků
b)




c)




počet nezdarů před α-tým zdarem
α = 1 => geometrické rozdělení

d)

smíšené Poissonovo rozdělení, kdy stední hodnota je řízena hustotou

-
Příklad:
o při pojištění poţáru je různé λ za různého počasí
o Počasí
 suché: λ = 150 =>
 normální: λ = 80 =>
 vlhko: λ = 40 =>

-
Příklad:
o Povinné ručení:
 Xi – počet událostí na jednu smlouvu za rok


o Protoţe je průměr a rozptyl velmi podobný, můţeme zvolit Poissonův model

o Nebo protoţe < VarXi, můţeme zvolit:



o Model na počet všech pojistných nároků






-
-
Příklad:
o q1 = 6 ‰, počet smluv K = 100, Zvolíme Poissonův model, počet pojistných událostí = X
 a) Pravděpodobnost ţádná pojistná událost
 b) pravděpodobonost, ţe počet pojistných událostí je více neţ 3
o Řešení:



a)

b)
Příklad:
o q1 = 0,114; K=2178,
o Řešení:
, Spočtěte pravděpodobnost, ţe nastane 300 nebo méně pojistných událostí.

a)

b) Intervalový odhad o spolehlivost 95 % pro střední počet pojistných událostí
 chci spočítat


=> kritické hodnoty:
=>
=> r = 31 =>
Intervalový odhad (2178 * 0,114 - 31;2178 * 0,114 + 31)
-
Příklad:
o q1 = 15‰, K = 1000, pouţijeme Poissonův model, chceme počítat pravděpodobnost X = 0, X = 1, X > 1, X >10 – podle CLV a
intervalový odhad 95% a 99%
-
Příklad:
o α = 3,5; p = 0,996; Xi ~ NB(α;p) pro jednu smlouvu; K = 10 000 smluv, X ~ NB(K*α;p) přes všechny smlouvy. chceme počítat
pravděpodobnost X = 1, X > 1, X >1500 – podle CLV a intervalový odhad 99%
o
-
Příklad:
o V roce 1993 bylo v ČR registrováno 6 025 000 aut a odcizeno 26 830. Pojišťujeme-li 10 000 aut spočtěte pravděpodobnost, ţe bude
za rok 1994 odcizeno více jak 50 aut, s modelem Poisson CLV.
Modely výše škod
1.
o
o
o
2.
o
o
o
3.
o
o
4.
o
o
o těţký chvost – mohou nastat extrémní výše škod (pro modelování odlehlých událostí) – např. většinou jsou chřipky a extrémní výše
škod je rakovina
Složené pojistné modely
-
náhodná veličina – celková výše škody (S)
počet škod (X)
=> nevíme jak dlouhý je ten součet.
-
předpokládáme, ţe Y1, …, YX; X jsou nezávislé
o
o
-
Příklad:
o Výše celkové škody S = ?; EY=10 000 a var Y = 2 000 000, q1 = 5‰; K=100 000 smluv; Pouţijeme
pravděpodobnost ţe S > 10 000 000.
o Řešení:

a)



000
b) intervalový 99% odhad





Interval: (500000-
, 500000+
)
. Chceme
Úmrtnostní tabulky
Modelování úmrtnosti
-
T0 – délka ţivota
F0(t) =
– distribuční funkce délky ţivota
S0(t) =
– funkce přeţití
Tx – délka ţivota ve věku doţitých x
-
Fx(t) =
-
Např. F50(1) = pravděpodobnost, ţe 50 letý muţ se nedoţije 51 roku ţivota.
– pravděpodobnost úmrtí ve věku x
– pravděpodobnost doţití ve věku x
– pravděpodobnost úmrtí před doţitím x + t
– pravděpodobnost doţití x + t ve věku x
- pravděpodobnost úmrtí ve věku x + s při dosaţených x
- pravděpodobnost úmrtí do věku x + s + t při doţití x + s při doţitých x
-
Intenzita úmrtnosti – důleţitý pojem
)
– střední délka ţivota, při doţitých x
Hustota úmrtnosti:
o
o
o Po úpravách dostaneme aproximaci:
- přesné vyjádření intenzity
o
o
– relativní pravděpodobnost umírání ve věku x
– hustota
Modely intenzity úmrtnosti
1. Gompertzův model
o
2. Makehamův model
o
3. Weibůllův zákon úmrtnosti – ţivotnost technických zařízení v teorii spolehlivosti
a.
Celočíselná délka života
-
– celá část délky ţivota
=
Úmrtnostní tabulky na 100 000 lidí
-
x – věk
lx – počet přeţivších (počet doţívajících se věku x)
qx – pravděpodobnost úmrtí ve věku x:
dx – počet zemřelých ve věku x
Dx – počet zemřelých ve věku x ze sledovaných jedinců, kterých Px, odtud se přepočítávají hodnoty na 100000 obyvatel.
-
-
Lx – počet let proţitých dohromady jedinci ve věku x
o
o u kojenců

Tx – počet zbylých let ţivota jedinců ve věku x (všech dohromady)
o
; ω = 105
– střední délka ţivota
Vztahy
o
o
o
l0 je počet narozených
o
o
o
o
o
-
Modelově:
o X – počet jedinců doţivších se x

)
-
Příklad:
o Spočtěte pravděpodobnost, ţe muţ, kterému je 20 let, bude naţivu ještě v 60 letech a to i pro ţeny.
-
Příklad:
o Spočtěte pravděpodobnost, ţe muţ, kterému je 20 let, zemře mezi 60. a 65. rokem.
-
Příklad.
o Jaký je střední počet zbývajících let dvacetiletého muţe nebo ţeny?
-
Příklad
o Pojišťovna pojišťuje 100 muţů ve věku 65 let a dává jim měsíční důchod 5000 Kč. Kolik musí pro ně vyhradit peněz ve střední
hodnotě?
-
Příklad:
o Panu Volkovi je 28 let a panu Biskupovi je 27 let. Jaká je pravděpodobnost, ţe pouze jeden z nich bude na ţivu ve svých 70ti letech?
Problémy úmrtnostních tabulek
1) Vývoj tabulek v čase
o řešení pomocí generačních úmrtnostních tabulek
o pro kaţdý rok narození mám speciální tabulku
o vytvoření tabulky věkových posunů viz učebnice
o pouţití tabulky věkových posunů:
 tabulka je vztaţena na qx ročníků 1955 (v učebnici)
 chceme spočítat pravděpodobnost úmrtí člověka v 50 letech, který se narodil v roce 1975

2) Muţi vs ţeny
o řešení: všechny ţeny jsou povaţované za muţe => platí více v rizikovém pojištění (Pro důchodové pojištění, naopak)
3) Selekce vs antiselekce
o selekce – pojišťovny vyţadují např. zdravotní prohlídku, podle které zařadí lidi do určité skupiny před vstupem do smluvního
vztahu (lidé uzavírající základní smlouvy jsou tudíţ zdravější neţ průměr)
o antiselekce – týká se důchodového pojištění; uzavírají ho lidé, kteří předpokládají, ţe se doţijí vysokého věku. Pojišťovny musejí
v takovém případě pouţívat redukční koeficient místo qx. – fx*qx.
4) Bezpečnostní přiráţka
o projevuje se implicitně v úmrtnostních tabulkách
o jestliţe mám pojištění rizikové, tak potom musím qx zvednout, abychom vybrali dostatečné mnoţství pojistného
o v případě důchodového pojištění musím qx sníţit a budu předpokládat, ţe lidi budou ţít déle
Odhad pravděpodobnosti úmrtí qx
-
sledujeme období 1. 1. 2004 aţ 31. 12. 2005 a chceme odhadnout q50
o kmen:
Narození
2004
2005
si (měsíc) ti (měsíc) ti – si
1. 4. 1953
V kmenu
† 8. 5. 2005
9
12
3
11. 6. 1953
V kmenu
V kmenu
7
12
5
5. 7. 1954
Vstup 1. 8. 2004
† 3. 5. 2005
1
10
9
30. 10. 1954
V kmenu
Výstup 21. 8. 2005
0
10
10
1. 12.1954
V kmenu
Výstup 18. 12. 2004
0
1
1
22. 5. 1955 Vstup 28. 9. 2005
V kmenu
4
7
3
1. 8. 1955
V kmenu
V kmenu
0
5
5


si – kolik mu bylo měsíců při začátku pozorování (nebo kdyţ doţije 50)
ti – měsíců na konci pozorování (např. smrt, nebo kdyţ se doţije 51)
o
o Dx – počet úrmtí v kmenu ve věku 50 = 1
o
o I – mnoţina zemřelých v pozorovacím období
o
o
o
o Pro malé kmeny je odhad značně nepřesný a proto je vhodné pouţít vyrovnávání tabulek pomocí klouzavých průměrů či funkcí.
Intervaly spolehlivosti:



potřebuje zohlednit nepřesnost a variabilitu
Jednostranné intervalové odhady
 plní funkci bezpečnostní přiráţky
 pro důchodové pojištění zmenšujeme qx
 pro rizikové pojištění zvětšujeme qx
Intervalový odhad pro důchodové pojištění

o D=
– celkový počet zemřelých v kmeni
o
– počet ţijících ve věku x v pojistném kmeni
o
- hledaná bezpečnostní přiráţka o spolehlivosti 1 – α

o
o
o
o
o Pouţití CLV



-

– kvantli N(0,1)
Odhad po elementárních úpravách
– pro důchodové pojištění (pro rizikové by bylo –u…)
Příklad:
o n = 1000 lidí; neuvaţujeme příchody a odchody z kmene; x = 40 a budeme odhadovat qx; D40 = 2; t1 = 7; t2 = 2 – dva lidi zemřeli
v červenci a v únoru a počítáme na kmeni 40 – 44 let. Spočtěte intervaly spolehlivosti pro α = 0,05, je-li
,
,
.
o Intenzita úmrtnosti ve věku 50 let
,
Životní pojištění
princip ekvivalence: příjmy se rovnají výdajům.
- problémy:
o vývoj peněz v čase (inflace)
o náhodný charakter finančních toků
- řešení:
o příjmy budeme počítat jako očekávanou (střední hodnota) počáteční hodnotu (čas 0) pojistného = očekávané počáteční hodnotě
pojistného plnění (Příjmy = Výdaje)
o Vzhledem k linearitě stačí počítat jednotkové pojistné (pojistné na jednu korunu)
- pojistně technické riziko = σ (směrodatná odchylka) – riziko pojištění
- i = technická úroková míra – TÚM
-
Příklad:
o Máme 40. letého muţe, který si zakládá rizikové pojištění na dobu 5 let na pojistnou částku 1 000 000 Kč. Vypočítejte
jednorázové nettopojistné.
o Řešení:



o Riziko pojištění






náhodná veličina udávající jednotkové pojistné plnění

riziko pojištění na 1 Kč.

 Na jednoho člověka mám riziko hrozně moc oproti vybranému pojistnému.
o Kmen 100 lidí =>

o Kmen 10 000 => je optimální mnoţství lidí.
na sto lidí a na 1 000 000 Kč pojistné částky
Netto pojistné
Komutační čísla:
o nultého řádu:


o prvního řádu:


o druhého řádu:


-
– diskontovaný počet doţívajících se věku x
– diskontované mrtvolky
Příklad:
o Pokračování příkladu výše:



----- S vyuţitím dvojitého diskontního faktoru
1) Pojištění pro případ doţití
o pojišťuje se člověk ve věku x na n let a pokud se doţije n let, dostane cílovou částku
o
o
o
o
o
o
-
je EZ počítáno s dvojitým diskontním faktorem
Příklad
o 40 letý muţ si zakládá pojištění na doţití 60 let na 1 000 000 Kč. Spočtěte jednorázové nettopojistné a riziko.
o Řešení



2) Pojištění pro případ smrti
Pojistná částka je vyplacena v případě smrti (pojištění nákladů na pohřeb)
o
o
o
-
Příklad
o Jaké je jednorázové nettopojistné při pojištění 60 letého muţe pro případ smrti na pojistnou částku 1000 Kč.
o Řešení:



3) Dočasné pojištění pro případ smrti
o viz úvodní příklad k ţivotnímu pojištění
o ţivotní úvěrové pojištění – dokáţe značně prodraţit hypotéky
o
o
4) Smíšené pojištění
o kombinace pojištění pro případ smrti a pojištění pro případ doţití.
o Kapitálové ţivotní pojištění
o
o
o
-
Příklad:
o x = 40, n = 20, pojistná částka v případě smrti 1 000 000 Kč a pojistná částka pro případ doţití je 2 000 000 Kč.
o Řešení:



Jednorázové netto pojistné je 1 308 793,595 Kč s rizikem 186 018,9 Kč.
5) Pojištění s pevnou dobou výplaty
o druh stipendijního pojištění
o
nezávisí na době smrti ani na x
o
o σ(Z) = 0
-
Příklad
o Spočtěte jednorázové netto pojistné a riziko pro dočasné pojištění pro případ smrti. x = 20, n = 20, pojistná částka je 2 000 000
Kč, TÚM = 1,9 %.
-
Příklad
o Kapitálové ţivotní pojištění x = 20, n = 40, pojistná částka na případ smrti 2 000 000 a pojistná částka pro případ doţití je
10 000 000.
Důchodové pojištění
1) Pojištění doţivotního důchodu ve věku x
o uvaţujeme vţdy předlhůtní model
o budeme počítat jednotkový důchod => výplata na začátku období bude 1 Kč
o
o
o
-
o
– pojistné pro případ smrti
o
υ
Příklad:
o V roce 60 svého věku chci 100 000 roční důchod. Spočtěte jednorázové nettopojistné a riziko.
2) Pojištění odloţeného doţivotního důchodu
o
o
=>
o polhůtní varianty


3) Pojištění dočasného důchodu ve věku x na n let
o
o
o
o Polhůtní model:

-
Příklad:
o Pojištění dočasného důchodu ve věku 40 let na 20 let. Spočtěte jednorázové nettopojistné a riziko.
4) Področní důchody (důchody vyplácení např. měsíčně)
o
o
o
o
o
o
-
příklad:
o 1000 kč měsíčně doţivotní důchod pro 60 letého muţe
-
Příklad:
o 1000 Kč měsíčně dočasné po dobu 40 let ve věku 20 let
Kalkulace běžného pojistného v životním pojištění
-
vyuţití principu ekvivalence:
o
-
Příklad:
o pojištění na doţití ve věku x + n muţe ve věku x
o P = běţné pojistné
o Řešení:


jinak:
o Jaké je roční netto pojistné pro smíšené pojištění 40 letého muţe na 20 let na 1000 Kč pojistné částky?
o Řešení:




-
Příklad:
o Jaké je měsíční netto pojistné z minulého příkladu?
-
Příklad:
o Jaké je měsíční netto pojistné na 100 Kč měsíčního doţivotního důchodu odloţeného k věku 60 let, jestliţe se pojistné platí
během doby odkladu důchodu. (x = 40, TÚM = 1,9 %
-
Příklad:
o Spočtěte roční nettopojistné odloţeného důchodu ve věku x = 20 let a odloţen je k věku 60 let jestliţe se pojistné platí během
doby odkladu na 100 Kč vyplácených měsíčně.
-
Příklad:
o Spočítejte měsíční nettopojistné pro pojištění smrti na 5 let ve věku 20 let na pojistnou částku 1000 000 Kč.
Brutto pojistné
1)
2)
3)
4)
5)
-
je to netto pojistné a správní náklady
bezpečnostní přiráţka se implicitně zohledňuje v úmrtnostních tabulkách
rizikové pojištění = netto pojistné + bezpečnostní přiráţka
musíme zohlednit správní náklady
Počáteční jednorázové náklady - α
o provize za zprostředkování pojistné smlouvy
o částka je obvykle v procentech např. α = 5 % za zprostředkování z cílové částky
Běţné správní náklady - β
o platí se kaţdý rok a jsou to náklady za administraci
o např. β = 0,6 %
Inkasní náklady - γ
o náklady spojené s inkasování od klienta
o např. γ = 5 % z jednorázového brutto pojistného
Náklady při výplatě důchodu - δ
Jednotná správní přiráţka – ε
o Slučuje dohromady předchozí náklady
Příklad:
o Smíšené pojištění


-
Příklad:
o Pojistné doţivotního odloţeného důchodu


Zdravotní aspekty životního pojištění
1) Lékařský underwriting – tj. lékařská prohlídka před uzavřením smlouvy. Při zjištění nedostatků dochází ke zvýšení bruttopojistného.
Lékařská prohlídka je hrazena ze vstupních poplatků.
 Při zjištění rizikových faktorů u pojištěnce je pojistné násobeno koeficientem neúmrtnosti mm.

 Kouření 40 cigaret: mm=50%
 Vysoký krevní tlak: mm=100%
 Nadváha: mm=25%
2) Pojištění váţných onemocnění
3) Úrazové a invalidní pojištění (neţivotní pojištění)
4) Soukromé zdravotní pojištění (neţivotní pojištění)
Rezerva pojistného životního pojištění
-
počítáme technické rezervy pojistitele, které jsou náklady na pokrytí pojistných závazků pojištěných
-
Příklad:
t
1
10
20
-
Pojištění pro případ smrti
x = 40, n = 20
Očekávané
Očekávané
příjmy
výdaje
6,51
2,9
6,3
7,12
5,7
15,96
Smíšené pojištění
x = 40, n = 20, S = 1 000 Kč
Očekávané
Očekávané
příjmy
výdaje
41,20
2,9
39,88
7,12
36,10
851,96
v ţivotním pojištění je nutné ukládat rezervy na pokrytí budoucích výdajů
Hodnota pojistné smlouvy v čase
=>
prospektivní výpočet rezervy
-
=> retrospektivní výpočet rezervy
Zobecnění pojistného plnění pro různé typy pojištění
-
x – věk
n – doba pojištění
t = 1,2,…,n – roky
– pojistné plnění při doţití t-tého roku
– pojistné plnění při úmrtí během t-tého roku
-
Příklad:
o Smíšené pojištění na 1 000 KČ, x = 40, n = 20, at = 0, pokud t = 1,…,19, at = 1000, pokud t = 20, bt = 1000, pokud t = 1,…,20
-
Příklad:
o Trvalý důchod n = ω – x, x = 60, at = 1000, pokud t = 1,…,n; bt = 0, pokud t = 1,…,n
-
pro výpočet nettopojistné
o
o
o
o
-
Příklad:
o Smíšené pojištění na 1 000 Kč, x = 40; n = 20; at = 0, pokud t = 1,…,19; at = 1000, pokud t = 20, bt = 1000, pokud t = 1,…,20
o Řešení:
 Retrospektivní




-
Příklad:
o Nettorezerva pro roky t = 1, 2, 19 dočasného pojištění pro případ smrti na 1 000 Kč, kdy x = 40, n = 20.
-
Příklad:
o nettorezerva pro 2 roky na odloţený doţivotní důchod na 1 000 Kč, x = 40, n = 20. (t = 21, 22.)
Moderní postupy v životním pojištění
1) Kapitálové ţivotní pojištění (Flexibilní produkty ţivotního pojištění)
o můţe se měnit:
 výše a způsob placení pojistného,
 pojistná částka
 zvyšování pojistného dle míry inflace (valorizace)
o flexibilita je umoţněna oddělením rizikové sloţky a spořící sloţky
o v případě smrti se vyplácí riziková tak i spořící sloţka
o dva modely:
 konstantní pojistné plnění
 konstantní dočasné pojistné pro případ smrti
o zhodnocení je dáno technickou úrokovou mírou a někdy podíly na zisku
2) Investiční ţivotní pojištění
o odlišné investování neţ v 1)
o investiční riziko nese klient volbou investičního fondu
Vzorová písemka
1) Muţ ve věku 36 let chce uzavřít smíšené ţivotní pojištění na dobu 24 let na částku 400 000 Kč v případě smrti a 800 000 Kč v případě
doţití. Jaké bude roční nettopojistné?
2) Spočtěte netto rezervu pro první dva roky výše uvedeného pojistného.
3) Vypočtěte nettopojistné na pojištění RD na 3 000 000 Kč na ryzí zájmové pojištění s odečtenou spoluúčastí 1 000 Kč (q1 = 0,01
; G1.0
= 0,3; G0,0003 = 0; b0,0003 = 0).
4) Modelujeme počet pojistných události poissonovým rozdělením. q1 = 0,01. Počet smluv K = 10000. Spočtěte pravděpodobnost, ţe počet
pojistných událostí bbude menší neţ 125.