Jak na zebry - black

T ENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN E VROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
JAK NA ZEBRY?
Marta Volfová, garant oboru matematika
Učitel autoškoly říká adeptovi šoférského umění: Právě jste přejel zebru! Ten
sebou trhne a ptá se: Propána, co se jí stalo? Žije?
Tak o těchto zebrách řeč nebude. Nebudeme hovořit ani o tom, jak osedlat
zebru ze ZOO.
Zebrami nazýváme zajímavé logické kombinatorické úlohy, které vyžadují
správně k sobě přiřadit prvky několika různých množin na základě několika
(zdánlivě nepostačujících) informací.
Název zebra dostaly podle úlohy, která asi před 50 lety okouzlila celý svět a
která končila otázkou: Kdo chová zebru? (U nás se tato úloha prvně objevila v r.
1964 v časopise, který může mladým matematickým talentům hodně dát, neboť
stále vychází a mívá zajímavé články a úlohy, totiž v Rozhledech matematickofyzikálních.) Několik posledních let však tato úloha putuje – v různě
obměněných verzích – po internetu pod názvem Einsteinova úloha (i s informací,
že 98 % lidí ji vyřešit neumí).
Úloha 1
V ulici cizinecké čtvrti stojí vedle sebe pět domků různých barev. V každém
bydlí muž jiné národnosti, v každém se pije jiný oblíbený nápoj, v každém
domku je oblíben jiný sport, resp. se nesportuje vůbec a konečně v každém se
pěstuje jiný druh zvířat.
O domcích a jejich obyvatelích známe tyto informace:
A) Angličan bydlí v červeném domku.
B) Španěl chová psa.
C) Káva se pije v zeleném domku.
D) Polák pije vodku.
E) Zelený domek stojí vedle domku bílého (z hlediska pozorovatele domků).
F) Fotbalista pěstuje hlemýždě.
G) Ve žlutém domku bydlí cyklista.
H) Mléko se pije v prostředním domku.
I) V prvním domku bydlí Nor.
J) Nesportovec bydlí vedle domku, v němž je chována liška.
K) Domek cyklisty sousedí s domkem, v němž je chován kůň.
L) Zápasník pije pomerančovou šťávu.
M) Japonec je hokejista.
1
T ENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN E VROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
N) Nor bydlí vedle modrého domku.
O) V jednom domku se pije voda.
P) V jednom domku je chována zebra.
Kdo chová zebru a kdo pije vodu?
Jestli jste už takové úlohy řešili, můžete ji zkusit bez dalšího čtení řešit.
Jestliže ne, začneme úlohou lehčí a ukážeme, jak se takové úlohy řešit dají.
Stará a oblíbená je tato úloha 2 (vyskytuje se v přemnoha variantách)
Tři známí sedí spolu v kavárně, povídají si a najednou jeden povídá: to je
legrace, my máme stejná zaměstnání jako jsou naše jména, ale nikomu se jméno
a zaměstnání nekryje! Na to odpoví pekař: To máte pravdu, pane Zahradníku!
Jaké zaměstnání měl pan Tesař?
Lze řešit usuzováním, kombinováním, někdo řeší tzv. vhledem. Dobré je u
podobných úloh užívat tabulku.
pan Pekař
pan Zahradník
pan Tesař
pekař
–
–
zahradník
tesař
–
–
Proškrtneme dvojice, které se vylučují (Pekař – pekař atd.), pak i dvojici těch,
co spolu hovořili (a nemohou tedy tvořit jednu osobu): pekař ↔ Zahradník.
Zbyde-li v nějaké řádce či sloupci jen jedna možnost, vyznačíme ji jako
správnou a v příslušném sloupci či řádce vyškrtáme zbylé možnosti. Zde ve 2.
řádce zbývá jediná možnost – pan Zahradník je tesařem – tedy tesařem není pan
Pekař, proto ve 3. sloupci vyloučíme možnost Pekař – tesař a tabulku
dokončíme.
pan Pekař
pan Zahradník
pan Tesař
pekař
–
–
●
zahradník
●
–
–
tesař
–
●
–
Pan Pekař je tedy zahradníkem a pan Tesař pekařem.
Tuto tabulkovou metodu můžeme využít i u složitějších úloh, jak ukážeme
dále. Nejdřív ale připomeneme ještě dvě jiné metody řešení „Zeber“.
2
T ENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN E VROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
Úloha 3
Na studiích se sešly tři studentky – Kája, Jana a Lenka. Každá dělá jiný sport a
pochází z jiného města. Víme o nich, že
1. Jana nedělá balet,
2. Lenka nedělá gymnastiku,
3. gymnastka je z města krajky,
4. ta, co baletí, není z Hradce,
5. Lenka není z Plzně,
6. jedna pěstuje aikido.
Můžeme řešit tzv. stromem logických možností – např. ke každé dívce
připíšeme všechny možnosti prováděného sportu (to je 3 . 3 = 9 případů) a ke
každému z nich všechna tři města (celkem 27 možností) a pak budeme
vyškrtávat podle sdělených informací neslučitelné.
Z 1. a 2. však plyne, že u Jany a Lenky přicházejí v úvahu jen dva sporty, z 3.,
že ke gymnastce přiřadíme jen Vamberk, k baletu by podle 4. patřil Vamberk
nebo Plzeň, protože ale Vamberk je přiřazen gymnastce, může být balet spojen
jen s Plzní. Pro Lenku přichází v úvahu jen Hradec nebo Vamberk. Tedy
Vamberk bude jen u gymnastiky a Plzeň u baletu.
Jana – gymnastika - Vamberk
aikido - Hradec
Lenka – balet – Plzeň (ale podle 5. Lenka z Plzně není)
aikido - Hradec
Kája – balet – Plzeň
gymnastika - Vamberk
aikido – Hradec
Vidíme, že pro Lenku vychází jen možnost aikido – Hradec (škrtneme aikido
u druhých děvčat) – pak Janě vychází Vamberk a gymnastika a Káje balet a
Plzeň.
Další metodou, vhodnou pro jednodušší úlohy, je užívat grafického
znázornění. Načrtneme trojúhelník (případně i čtyř- nebo pětiúhelník) a na
každou jeho stranu vyznačíme prvky jedné z množin (např. lidi, města,
pohoří, …). Pak spojíme plnou čarou prvky, které k sobě patří a čárkovaně,
které nepatří.
3
T ENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN E VROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
Užití ukážeme na úloze 4
Každý ze tří kamarádů (Petr, Karel, Jan) o prázdninách podnikal
turistické túry právě v jednom z pohoří Alpy, Tatry, Krkonoše a navštívil
právě jedno ze zajímavých měst Hradec Králové, Salzburg, Kežmarok.
Určete, kdo byl kde, víte-li, že:
- Karel si opět zopakoval svou oblíbenou tatranskou túru na Kriváň.
- Ten, kdo jel do Krkonoš, si cestou prohlédl Gočárovo řešení Hradce.
- Petr říkal, že v Krkonoších byl už aspoň desetkrát, a jel jinam.
- Ten, kdo byl v Tatrách, uvěřil reklamě, že při špatném počasí je nejlepší
řešení navštívit půvabné městečko Kežmarok – a své návštěvy nelitoval.
Načrtneme trojúhelník, na každou stranu napíšeme prvky jedné z množin
a vyznačíme plnou čarou podle textu pravdivá spojení, čárkovanou
neuskutečněná.
Dále:
- Karel byl v Tatrách, tedy ne v Krkonoších – spojíme Karel – Krkonoše
přerušovanou čarou.
- Krkonoše nejsou spojeny plnou čarou ani s Petrem ani s Karlem – musí
být s Janem. A protože jsou plnou čarou spojeny s Hradcem, dostáváme
1. řešení – trojúhelník Jan – Krkonoše – Hradec Králové.
- Petr nejel do Krkonoš ani do Tater (tam byl Karel), jel tedy do Alp.
(Vyznačíme plnou čarou.)
- Plzně je spojeno Karel – Tatry, Tatry – Kežmarok, bude i spojení Karel –
Kežmarok (2. řešení).
- Petr je spojen s Alpami, z měst zbývá jediné, tedy propojíme a máme 3.
řešení: trojúhelník Petr – Alpy – Salzburg.
4
T ENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN E VROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
Vždy platí: každý prvek je spojen právě s jedním prvkem z každé další
množiny (spojení vyznačíme plnou čarou); s ostatními prvky té množiny již být
spojen nemůže (čárkovaná čára). Má-li prvek vyloučeny z nějaké další množiny
již všechny prvky až na jeden, musí být spojen s ním.
Tato metoda je výhodná jen pro jednodušší úlohy.
Pro trochu složitější úlohy si získala oblibu metoda tabulková. Její užití
ukážeme na úloze 5
Určete, kdo má jakého psa, víte-li, že Královi nemají boxera, ale mají psa
jménem Nero nebo Dick, Staňkovi mají psa, co se jmenuje Nero nebo Filip a
není to určitě vlčák, knírač Alan se se Šmídovým Filipem nemá moc rád. Vlčák
není Filip ani Argo, boxer má jméno Nero nebo Dick, u Valentů mají vždy
krásně ostříhaného pudla, Majerovi nedali psovi jméno Argo. Jeden pes je
jezevčík.
Připravíme tabulku a podle textu budeme vyznačovat (to, co platí, tečkou, co
neplatí, vodorovnou čarou).
Královi
Staňkovi
Šmídovi
Majerovi
Valentovi
Alan
Nero
Dick
Argo
Filip
boxer vlčák jezevčík knírač pudl Alan Nero Dick Argo Filip
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
●
–
–
–
–
–
–
–
●
–
–
–
–
●
–
–
–
–
–
–
–
–
- Královi nemají boxera, jejich pes se nejmenuje ani Alan ani Argo ani
Filip (protože je Nero nebo Dick),
- Staňkovi nemají vlčáka; jejich pes není Alan ani Dick ani Argo,
- knírač je Alan; ke dvojici Alan – knírač vyškrtáme zbývající část řádku i
(dolního) sloupce, protože knírač Alan nemá rád Filipa od Šmídových,
tedy Šmídovi nemají knírače, nemají Alana; mají Filipa; ke dvojici
Šmídovi – Filip vyškrtáme opět zbylé v řádku i sloupci,
- Valentovi mají pudla; k dvojici Valentovi – pudl vyškrtáme v příslušném
řádku i sloupci zbylá okénka,
- Majerovi nemají Arga,
5
T ENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN E VROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
- uplatníme, že vlčák není Argo a boxer že není Alan ani Argo ani Filip
(protože je Nero nebo Dick).
(Výsledná podoba tabulky po tomto doplňování informací je na obrázku.)
- Nyní ve sloupci Argo zbývá jediné volné políčko – Valentovi; k dvojici
Valentovi – Argo proškrtáme zbylé v řádku i sloupci; Valentovi mají
pudla Argo – doplníme v dolní tabulce Argo – pudl a proškrtáme zbytek
sloupce i řádku.
- V posledním řádku „Filip“ je teď jediné volné okénko „jezevčík“; Filipa
mají Šmídovi, tedy mají jezevčíka (vyškrtáme vše k dvojici Filip –
jezevčík a Šmídovi – jezevčík).
- V pravé horní tabulce vyznačíme Staňkovi – Nero (jediné volné políčko)
a proškrtáme sloupec; dále Královi – Dick (totéž) a Majerovi – Alan
(opět táž situace).
- Víme tedy, že Majerovi mají Alana a že Alan je knírač; vyznačíme
dvojici Majerovi – knírač a proškrtáme zbylé v příslušném sloupci i
řádku.
- Zbývá doplnit, že Královi mají vlčáka; jejich pes se jmenuje Dick; Dick
je tedy vlčák.
- Uzavřeme posledními dosud volnými políčky: Staňkovi – boxer, Nero –
boxer.
Výsledná tabulka sděluje, že Královi mají vlčáka Dicka, Staňkovi boxera Nera,
Šmídovi jezevčíka Filipa, Majerovi knírače Alana a Valentovi pudla Arga.
Nejsložitější úlohy řešíme úvahou. Pomáháme si tak, že prvky, o nichž již víme,
že k sobě patří, skládáme do jakýchsi bloků.
Úloha 6
Čtyři manželské páry vyrazily na jarní výlet na české hrady a zámky. Každý pár
zvolil jiný dopravní prostředek a jiný cíl.
- Užíkovi se jeli podívat na hrad do Litic nad Orlicí.
- Jedni manželé jeli vlakem.
- Petra byla na zámku Opočno.
- Olda se ženou navštívil zámek Doudleby nad Orlicí.
- Radka Vlčková na Bezdězu nebyla.
- Pan Bárta se nejmenuje Jarda.
- Manžel Věry se jmenuje Vili.
- Olda nemá příjmení Staněk.
- Busem jel Láďa s manželkou.
- Jana a její muž vyrazili na kolech.
6
T ENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN E VROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
- Bártovi si udělali výlet autem.
Budeme řešit úvahou a využijeme schémat (bloků).
Vypišme cíle cest a co kolem nich víme a jména, která k sobě patří spolu
s dopravními prostředky.
Opočno
Petra
Doudleby
Olda
Bártovi
ne Jarda
Vlčkovi
(ne Bezděz)
Radka
Staňkovi
Věra
Vili
ne Olda
Užíkovi
Litice
Užíkovi
Láďa
bus
Jana
kolo
auto
Víme, že Radka Vlčková nebyla na Bezdězi, nebyla ani na zámku Opočno (tam
byla Petra) ani v Liticích (tam byli Užíkovi), byla tedy v Doudlebech a to
s manželem Oldou.
Nejeli autem (tím se dopravovali Bártovi) ani na kolech (tak jela Jana
s manželem), ani busem (tím jel Láďa se ženou) – tedy využili vlak.
Věra a Vili nejeli busem (tím jel Láďa) ani na kole (na tom jela Jana) ani
vlakem, jak jsme výše usoudili – tedy autem – byli to tedy Bártovi; nebyli proto
ani v Liticích (tam byli Užíkovi) ani v Doudlebách (Vlčkovi) ani v Opočně (tam
byla Petra, ne Věra) – byli tedy na Bezdězi. Jana jela na kole, jejím manželem
tedy nemůže být Láďa (jel busem) – Láďa tedy patří k Petře. Láďa s Petrou byli
busem v Opočně, jmenují se Staňkovi a k Janě přiřadíme Jardu a příjmení
Užíkovi, byli v Liticích.
Závěr: Radka a Olda Vlčkovi byli vlakem v Doudlebách, Věra a Vili Bártovi
autem na Bezdězi, Petra a Láďa Staňkovi busem v Opočně a Jana a Jarda
Užíkovi zajeli na kolech do Litic.
Poslední úloha 7
V ulici stojí vedle sebe pět domků (každý jiné barvy). Zjistěte, v jakém pořadí
domky stojí, který muž a žena v nich bydlí, jaké zvíře chovají a jaké vlastní auto,
víte-li, že:
- Adam bydlí v červeném domku,
- Leoš má psa,
- Milan bydlí v 1. domku zleva,
- Jiřina bydlí ve žlutém domku,
- Iveta má sousedy, co chovají rybičky,
- Milan bydlí vedle modrého domku,
7
T ENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN E VROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
- Berta má kočku,
- Eva jezdí v autě Fiat,
- Tomáš vlastní auto Seat,
- Karel se oženil s Lucií,
- sousedi Jiřiny chovají koně,
- S Mazdou jsou spokojeni v zeleném domku,
- zelený domek je hned nalevo od bílého,
- Škodu vlastní v prostředním domku,
- někdo vlastní auto Renault,
- v jednom domku chovají želvu.
Řešení: Nejprve si informace z textu úlohy zaznamenáme do bloků, řešíme
postupně úvahou. Dobré je vytvořit si schéma (zde pět domků vedle sebe) a již
zjištěná umístění prvků zapisovat na správné místo.
1.
červený
Adam
2.
žlutý
Le
oš
pes
3.
modrý
zelen
ý→
bílý
Mila
n
Jiřina
Iveta
↓ kůň
↓
↓ ryby
↓
Ber
ta
koč
ka
Ev
a
Fia
t
Tomá Kare
š
l
Luci
e
Seat
Mazd
a
Škod
a
Uvažujeme a doplňujeme do schématu:
1) Kolikátý je zelený domek?
ne 1. – to by vedle něj byl modrý – ale má být bílý.
ne 2. – ten je modrý, ne zelený.
ne 3. – tam mají Škodovku, ne Mazdu.
ne 5. – má být nalevo od bílého, nemůže být poslední.
Je tedy čtvrtý a bílý domek je pátý.
2) Jakou barvu má první domek?
ne zelenou – tu má 4.
ne bílou – tu má 5.
8
T ENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN E VROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČR.
ne modrou – tu má 2.
ne červenou – tam bydlí Adam, ne Milan
Je tedy žlutý, proto tam bydlí i Jiřina (a vedle ve 2. domě
chovají koně).
3. domek (s Adamem a škodovkou) musí být červený.
3) Ze schématu vidíme, že Eva (s Fiatem) může bydlet jen ve 2. nebo 5.
domku a také Tomáš (se Seatem) může bydlet jen ve 2. nebo 5. domku, ale
buď bydlí Eva ve 2. a Tomáš v 5., nebo Tomáš ve 2. a Eva v 5. (mají
různá auta – nepatří do téže rodiny – každá má právě jedno auto).
4) Dvojici Karla s Lucií můžeme umístit už jen do 4. domku (v 1. už jsou
Milan s Jiřinou, ve 2. je Eva nebo Tomáš, stejně tak v 5., a ve 3. je Adam).
5) Leoš se psem se nyní vejde už jen do 5. domku; bude tam s Evou (a
s Fiatem) a tedy Tomáš se svým Seatem bude v domku č. 2.
6) Berta s kočkou se vejde už jen do 3. domku.
7) Iveta bude ve 2. domku a sousedi, co pěstují rybičky, budou v 1.
8) Doplníme: auto Renault vlastní v 1. domě, želvu chovají ve 4., úloha je
vyřešena.
Zkuste nyní vyřešit úvodní „Einsteinovu“ úlohu.
(Další úlohy lze nalézt v [1] či [2].)
Literatura:
[1] Volfová, M.: Metody řešení matematických úloh, Gaudeamus, Hradec Králové, 2000.
[2] Pěnčík, J. – Pěnčíková, J.: Lámejte si hlavu. Prometheus Praha, 1995.
9