21 Plochy

Plochy
21
1
Plochy
1. Plochou v Rm rozumı́me libovolné spojité zobrazenı́
Γ : M → Rm ,
kde M ⊂ R2 je souvislá množina s neprázdným vnitřkem.
2. Plocha se nazývá uzavřená, existuje-li ke každému hraničnı́mu bodu U ∈ M bod V ∈ M
takový, že U 6= V a Γ(U ) = Γ(V ).
3. Přı́klad
Jednotková sféra v R3 : x = cos
π s sin
t, y = sin x sin t, z = cos t, kde M = h0, 2πi × h0, πi. Pak
tedy body U = [π, 0] a V = 2 , 0 splňujı́ podmı́nku Γ(U ) = Γ(V ) = [0, 0, 1].
4. Plocha se nazývá jednoduchá, jestliže pro vnitřnı́ body množiny M platı́
Γ(U ) = Γ(V )
⇒
U = V.
5. Plocha se nazývá třı́dy C r , jestliže zobrazenı́ Γ je třı́dy C r na množině M ve všech svých
složkách.
Plocha se nazývá po částech třı́dy C r , je-li Γ(M ) sjednocenı́m konečného množstvı́ ploch
třı́dy C r .
6. Plocha je regulárnı́ v bodě A, je-li Γ regulárnı́ v bodě A (jako funkce R2 → Rm ) a matice
 ∂Γ

1
1
(A) ∂Γ
(A)
∂s
∂t


J(A) =  ...

∂Γm
∂Γm
(A) ∂t (A)
∂s
má hodnost 2, pokud ne, tak nastává singularita.
7. Přı́klad
Necht’ plocha Γ je Γ1 (s, t) = x = t cos s, Γ2 (s, t) = y = t sin s a Γ3 (s, t) = z = t, M =
h0, 2πi × R. Pak


−t sin s cos s
1
sin
s
cos
s
J =  t cos s sin s  ∼
,
0 t cos s −t sin s
0
1
tedy pouze pro t = 0 je hodnost dané matice 1, ve všech ostatnı́ch přı́padech 2.
8. Dále uvažujme jednoduché plochy alespoň třı́dy C 1 , omezenou množinu M a m = 3.
Věta. Je-li A regulárnı́ bod plochy, lze Γ(M ) v okolı́ bodu A vyjádřit implicitně rovnicı́
F (x, y, z) = 0
Důkaz:
Necht’
 ∂Γ1
J(A) =
MA2
F (A) = 0
(A)
∂s
 ∂Γ2 (A)
∂s
∂Γ3
(A)
∂s
−−→
grad F (A) 6= ~o.
∂Γ1
(A)
∂t
∂Γ2
(A)
∂t
∂Γ3
(A)
∂t

FSI VUT v Brně, 17. ledna 2008
Plochy
2
má hodnost 2, tedy existuje alespoň jeden nenulový minor 2. řádu matice J(A). Předpokládejme,
že napřı́klad determinant
∂Γ
1 (A) ∂Γ1 (A)
∂s
∂t
∂Γ
2 (A) ∂Γ2 (A) 6= 0.
∂t
∂s
Označme x = Γ1 (s, t), y = Γ2 (s, t), a1 = Γ1 (A), a2 = Γ2 (A) a A = Γ(A), kde bod A =
[a1 , a2 , a3 ] ∈ Γ(M ). Pak existuje inverznı́ zobrazenı́ ke Γ v okolı́ bodu A, které označı́me ∆
splňujı́cı́
a1 = ∆1 (a1 , a2 )
a2 = ∆1 (a1 , a2 )
s = ∆1 (x, y)
t = ∆2 (x, y)
Pak matice
"
∂∆1
(a1 , a2 )
∂x
∂∆2
(a1 , a2 )
∂x
#
∂∆1
(a1 , a2 )
∂y
∂∆2
(a1 , a2 )
∂y
∂Γ1
je inverznı́ matice k matici
(A)
∂s
∂Γ2
(A)
∂s
∂Γ1
(A)
∂t
∂Γ2
(A)
∂t
.
Pak z = Γ2 (s, t) = Γ3 (∆1 (x, y), ∆2 (x, y)) = f (x, y), tedy F (x, y, z) = f (x, y) − z = 0. Platı́
F (A) = f (a1 , a2 ) − a3 = Γ3 (∆1 (a1 , a2 ), ∆2 (a1 , a2 )) − a3 = Γ3 (a1 , a2 ) − a3 = a3 − a3 = 0
a pak
−−→
grad F (A) = Fx0 (A), Fy0 (A), Fz0 (A) fx0 (a1 , a2 ), fy0 (a1 , a2 ), −1 6= ~o.
9. Necht’ γ : J → R2 , γ(J) ⊂ M a Γ : M → R3 . Pak
Γ◦γ
určuje křivku na ploše. Uvažujme regulárnı́ bod A plochy Γ(M ) a křivku na ploše procházejı́cı́
bodem A, tzn., že
Γ ◦ γ(τ0 ) = A,
tedy
[Γ1 (γ1 (τ ), γ2 (τ )) , Γ2 (γ1 (τ ), γ2 (τ )) , Γ3 (γ1 (τ ), γ2 (τ ))] ,
tedy pro τ = τ0 dostáváme [a1 , a2 , a3 ].
Pak tečný vektor křivky Γ ◦ γ v bodě A je
(Γ1 0s γ1 0 + Γ1 0t γ2 0 , Γ2 0s γ1 0 + Γ2 0t γ2 0 , Γ3 0s γ1 0 + Γ3 0t γ2 0 ) ,
tedy vektory Γ~0s = (Γ1 0s , Γ2 0s , Γ3 0s ) a Γ~0t = (Γ1 0t , Γ2 0t , Γ3 0t ) jsou lineárně nezávislé. Tečný vektor
je tedy lineárnı́ kombinacı́ těchto dvou vektorů
γ1 0 Γ~0s + γ2 0 Γ~0t .
Tečný vektor ke křivce je tečným vektorem i k ploše, křivka γ(t) byla vybrána libovolně,
pouze pricházı́ bodem A.
Všechny tečné vektory k ploše v regulárnı́m bodě A tedy tvořı́ vektorový prostor dimenze 2
a
A, Γ~0s (A), Γ~0t (A)
určujı́ tzv. tečnou rovinu v bodě A.
MA2
FSI VUT v Brně, 17. ledna 2008
Plochy
3
10. Necht’
F (x, y, z) = 0
je plocha zadaná implicitně. Pak křivka γ : J → R3 na nı́ ležı́, jestliže
F (γ1 (τ ), γ2 (τ ), γ3 (τ )) = 0,
tedy
Fx0 γ1 0 + Fy0 γ2 0 + Fz0 γ3 0 = 0.
|
{z
}
−−→
grad F (A)·(γ1 0 ,γ2 0 ,γ3 0 )
Pak rovnice tečné roviny je ve tvaru
−−→
grad F (A) · (x − a1 , y − a2 , z − a3 ) = 0.
11. Vektory Γ0s~(A) a Γ0t~(A), kde A je regulárnı́ bod, určujı́ vektor
Γ0 ~(A) × Γ0t~(A)
,
~n(A) = s
0~
~
0
Γs (A) × Γt (A)
který se nazývá jednotkový normálový vektor. Pak jednotkové normálové vektorové pole
plochy Γ je ~n : R3 → R3 .
12. Existuje-li na ploše uzavřená regulárnı́ křivka γ, podél které libovolné spojité (jednotkové)
normálové pole přecházı́ od ~n k −~n, řekneme, že je plocha neorientovatelná. V ostatnı́ch
přı́padech hovořı́me o orientovatelné ploše. Výběrem jednoho ze dvou jednotkových normálových
polı́ se stává orientovanou.
13. Möbiův list je přı́kladem neorientovatelné plochy.
s
cos s,
2
s
y = 2 sin x + t sin sin s,
2
s
z = t cos ,
2
x = 2 cos s + t sin
kde M = h0, 2πi×h−1, 1i. Ukážeme, že ~n se převracı́ na −~n tak, že se omezı́me na normálový
vektor, kde t = 0.
14. Cvičenı́
Dokažte: Jestliže všechny normály plochy procházı́ stejným bodem, pak se jedná o sféru
nebo jejı́ část a daný bod je jejı́m středem.
MA2
FSI VUT v Brně, 17. ledna 2008