22 Riemannova metrika a obsah plochy

Riemannova metrika a obsah plochy
22
1
Riemannova metrika a obsah plochy
1. Riemannovou metrikou v Rm rozumı́me pozitivně definitnı́ kvadratickou formu (viz 7.5 a
8.2)
m
X
gij dxi dxj ,
i,j=1
(kde gij = gij (u1 , . . . , um ) jsou třı́dy C 1 ), definovanou na tečných vektorech.
2. Délka křivky γ = γ(τ ) = γ1 (τ ), . . . , γm (τ ) je pak
v
Z b uX
u m
t
l=
gij γ(τ ) γi 0 γj 0 dτ.
a
i,j=1
Euklidovská metrika je speciálnı́ přı́pad gij = δij , kde δij je Kroneckerovo delta,
(
1 pro i = j,
δij =
0 pro i 6= j.
Tedy pro m = 3 je g11 = g22 = g33 = 1, tedy
Z bp
l=
γ1 0 2 + γ2 0 2 + γ3 0 2 dτ
a
a pro m = 2 v přı́padě polárnı́ch souřadnic je g11 = 1, g12 = g21 = 0 a g22 = %2 .
3. Necht’
γ = Γ ◦ γ = Γ1 (γ 1 , γ 2 ), Γ2 (γ 1 , γ 2 ), Γ3 (γ 1 , γ 2 )
je křivka na ploše, kde γ : J → R3 , γ : J → M ⊂ R2 a Γ : M → R3 . Chceme tedy definovat
délku křivky na ploše a je přirozené požadovat, aby byla stejná jako délka křivky v R3 . Tedy
Z bp
l=
γ1 0 2 + γ2 0 2 + γ3 0 2 dτ,
a
kde
γ1 0 2 + γ2 0 2 + γ3 0 2 = (Γ1 0s γ 1 0 + Γ1 0t γ 2 0 )2 + (Γ2 0s γ 1 0 + Γ2 0t γ 2 0 )2 + (Γ3 0s γ 1 0 + Γ3 0t γ 2 0 )2 =
= E γ 1 0 2 + 2F γ 1 0 2 γ 2 0 2 + G γ 2 0 2 ,
přičemž platı́, že
E = Γ1 0s2 + Γ2 0s2 + Γ3 0s2 ,
F = Γ1 0s Γ1 0t + Γ2 0s Γ2 0t + Γ3 0s Γ3 0t ,
G = Γ1 0t 2 + Γ2 0t 2 + Γ3 0t 2 .
4. Nynı́ ukážeme, je jde opravdu o Riemannovskou metriku pozitivně definitnı́ – pro nenulový
vektor, tzn. v regulárnı́m bodě platı́
E>0
MA2
EG − F 2 > 2
FSI VUT v Brně, 17. ledna 2008
Riemannova metrika a obsah plochy
2
a Schwarzova nerovnost
|Γ~0s |2 · |Γ~0t |2 − |Γ~0s Γ~0s |2 ≥ 0.
Tedy máme skutečně Riemannovskou metriku, tzv. prvnı́ kvadratickou formu plochy.
Délka křivky na ploše je tedy
l=
Z bq
E γ 1 0 2 + 2F γ 1 0 γ 2 0 + G γ 1 0 2 dτ.
a
Napřı́klad pro rovinu z = 0 máme x = Γ1 (s, t) = s, y = Γ2 (s, t) = t a p
z = Γ3 (s, t) = 0. Pak
Rb
tedy E = 1, F = 0 a G = 1. Pak délka křivky na této rovině je l = a γ 1 0 2 + γ 2 0 2 dτ .
5. Přı́klad
Necht’ plocha Γ je určena rovnicemi x = s, y = t a z = es a křivka γ na této ploše je
definována rovnicemi x = cos τ a y = sin τ , kde τ ∈ h0, 2πi.
Pak délka této křivky na dané ploše je
Z 2π q
l=
(1 + e2 cos τ ) sin2 τ + cos2 τ dt.
0
6. Obsah rovinné oblasti M se vypočte jako
ZZ
P (M ) =
dxdy,
M
obsah oblasti Γ(M ) na ploše se pak vypočte jako
ZZ √
EG − F 2 dsdt,
M
kde
√
EG − F 2 dsdt je plošný element dS.
7. Necht’ platı́
√
EG − F 2 = |~Γ0s × ~Γ0t |.
Důkaz: spočı́vá v rozepsánı́ levé i pravé strany a jejich porovnánı́.
8. Poznámka
Klasický Riemannův přı́stup je možný.
9. Poznámka
Zavedenı́ Riemannovy metriky je uspokojujı́cı́m obecným popisem i na tzv. neeuklidovských
geometriı́ch.
10. Je-li plocha zadána implicitně (21.8), lze ji lokálně vyjádřit explicitně jako fce, napřı́klad
z = f (x, y), pak tedy Γ1 = s, Γ2 = t a Γ3 = f (s, t). Pak E = 1 + fs0 2 , F = fs0 ft0 a G = 1 + ft0 2 ,
přičemž platı́
ZZ √
ZZ q
ZZ q
02
2
0
2
EG − F dsdt =
1 + fs + ft dsdt =
1 + fx0 2 + fy0 2 dxdy.
M
MA2
M
M
FSI VUT v Brně, 17. ledna 2008
Riemannova metrika a obsah plochy
3
11. Přı́klad
Spočtěte obsah paraboloidu z = x2 + y 2 ohraničeného rovinou z = 1.
Pro povrch daného paraboloidu platı́
ZZ p
P =
1 + 4x2 + 4y 2 dxdy,
M
kde M je průmět kružnice, která vznikne průnikem paraboloidu a roviny z = 1, do roviny
xy. Pro řešenı́ zavedeme polárnı́ souřadnice x = % cos ϕ a y = % sin ϕ, kde jacobián J = %.
Oblast M určujı́ podmı́nky 0 ≤ % ≤ 1 a 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
ZZ q
Z
2
2
2
2
P =
1 + 4% cos ϕ + 4% sin ϕ % d%dϕ =
M
0
1
2π
Z
0
p
2
1 + 4% % d% dϕ =
π √
= ··· =
5 5−1 .
6
12. Přı́klad
Spočtěte obsah šroubového konoidu x = t cos s, y = t sin s, z = s pro 0 ≤ t ≤ 1 a 0 ≤ s ≤ 2π.
Platı́ tedy, že E = t2 + 1, F = 0 a G = 1.
Pak obsah konoidu spočteme jako
ZZ √
Z 2π Z
2
EG − F dsdt =
M
MA2
0
1
√
t2
√
√ + 1 dt ds = · · · = π
2 + ln(1 + 2) .
0
FSI VUT v Brně, 17. ledna 2008