Dvojný integrál

Dvojný integrál - řešené příklady
1
Dvojný integrál - Fubiniho věta
1. Příklad
RR
Spočtěte
xy dxdy, kde Ω = h0, 1i × h1, 2i.
Ω
Řešení
Integrační obor Ω je čtverec, tj. dvojrozměrný interval h0, 1i × h1, 2i. Viz Obrázek 1.
Aplikujeme Fubiniho větu. Oblast Ω budeme uvažovat jako oblast typu (y, x).
Obrázek 1: Ω = h0, 1i × h1, 2i
RR
Ω
R2
R2 R1
R2 h xy+1 i1
xy dxdy = ( xy dx)dy =
dy
=
y+1
1 0
1
0
1
1
y+1 dy
h
i2
= ln |y + 1| = ln 3 − ln 2 = ln 32 .
1
V případě, že oblast Ω budeme chápat jako oblast typu (x, y), narazíme při výpočtu na integrál
R 1 x2 −x
dx, který nelze vyřešit v množině elementárních funkcí.
0 ln x
2. Příklad
RR
Spočtěte
x2 yexy dxdy, kde Ω = h0, 1i × h0, 2i.
Ω
Řešení
Integrační obor Ω je obdélník h0, 1i × h0, 2i. Postupujeme analogicky jako v předchozím
příkladu. Aplikujeme Fubiniho větu. Oblast Ω budeme uvažovat jako oblast typu (x, y).
Obrázek 2: Ω = h0, 1i × h0, 2i
i2
u = x2 y, u0y = x2 R1 h
R2 xy
2 xy
xy
0
x
ye
dy
dx
=
=
e
dy
dx =
xye
−
x
vy = exy , v = 1 exy 0
0
0
0
0
x
Ω
i2
h
i1
R1 h
R1
R1
R1
R1
= (xy − 1)exy dx = (2x − 1)e2x + 1 dx = 2xe2x dx + e2x dx + dx = xe2x − e2x − x = 2.
RR
x2 yexy dxdy =
R1 R 2
0
0
3. Příklad
0
RR
Spočtěte
0
0
0
0
xy 2 dxdy, kde Ω je určena vztahy x2 + y 2 − 1 ≤ 0, x + y − 1 ≥ 0.
Ω
Řešení
Integrační obor Ω je ohraničen přímkou a kružnicí. Viz Obrázek
3. Oblast Ω je typu (x, y)
√
i (y, x). Zvolme typ (x, y). Platí Ω = {[x, y]; 0 ≤ x ≤ 1, 1 − x ≤ y ≤ 1 − x2 }. K výpočtu použijeme
Fubiniho větu.
!
√
√
1−x
RR 2
R1
R 2 2
R1 h 1 3 i 1−x2
R1 x p
2 )3 − (1 − x)3 dx = 1 .
xy dxdy =
dx
=
(1
−
x
xy dy dx =
xy
3
20
3
1−x
0
0
1−x
0
Ω
p
Zvolíme-li typ (y, x), pak Ω = {[x, y]; 0 ≤ y ≤ 1, 1 − y ≤ x ≤ 1 − y 2 }. V tomto případě vede výpočet
na jednodušší integrál.
√

√
1−y 2
RR 2
R1
R
R1 h 1 2 2 i 1−y2
R1
1
2
xy dxdy = 
xy dx dy =
dx = (y 3 − y 4 )dy = 20
.
2x y
Ω
0
1−y
RNDr. Jiří Klaška, Dr.
0
1−y
0
ÚM FSI v Brně, 2. 3. 2006
Dvojný integrál - řešené příklady
2
Obrázek 3: Ω : x2 + y 2 − 1 ≤ 0, x + y − 1 ≥ 0
4. Příklad
RR
Spočtěte
y dxdy, kde Ω je určena vztahy x2 − y + 2 = 0, x + y − 4 = 0.
Ω
Řešení
Integrační obor Ω je ohraničen přímkou a parabolou. Viz Obrázek 4. Popišme obor Ω jako
oblast typu (x, y). Krajní meze x-ové souřadnice oblasti získáme jako x-ové souřadnice průsečíků přímky
a paraboly. Řešíme x2 + 2 = 4 − x. Odtud x2 + x − 2 = 0 a x1 = −2, x2 = 1. Platí Ω = {[x, y]; −2 ≤ x ≤
≤ 1, x2 + 2 ≤ y ≤ 4 − x}.
Obrázek 4: Ω : x2 − y + 2 = 0, x + y − 4 = 0
RR
y dxdy =
R1 R 4−x
x2 +2
−2
Ω
5. Příklad
RR
Spočtěte
R1
R1 h 1 2 i4−x
dx
=
y dy dx =
2y
2
x +2
−2
−2
1
2
(4 − x)2 − (x2 + 2)2 dx =
81
5 .
xy dxdy, kde Ω je určena vztahy xy = 1, 2x + 2y − 5 = 0.
Ω
Řešení
Integrační obor Ω je ohraničen přímkou a hyperbolou. Viz Obrázek 5. Popišme obor Ω
jako oblast typu (x, y). Krajní meze x-ové
získáme jako x-ové souřadnice průse souřadnice oblasti
5
2
číků přímky
a
hyperboly.
Řešíme
x
−
x
=
1.
Odtud
2x
−
5x + 2 = 0 a x1 = 12 , x2 = 2. Platí
2 Ω = [x, y]; 12 ≤ x ≤ ≤ 2, x1 ≤ y ≤ 52 − x .
Obrázek 5: Ω : xy = 1, 2x + 2y − 5 = 0
RR
Ω
xy dxdy =
R2
5
2 −x
1
2
RNDr. Jiří Klaška, Dr.
R
1
x
!
xy dy dx =
R2 h 1
1
2
2
2 xy
i 52 −x
1
x
dx =
1
2
R2
1
2
x( 52 − x) −
1
x
dx =
165
128
− ln 2.
ÚM FSI v Brně, 2. 3. 2006
Dvojný integrál - řešené příklady
6. Příklad
RR
Spočtěte
3
x
e y dxdy, kde Ω je určena vztahy x = 0, y = 1, y = 2, y 2 = x.
Ω
Řešení
Integrační obor Ω je ohraničen přímkou a parabolou. Viz Obrázek 6. Popišme obor Ω jako
oblast typu (y, x). Platí Ω = {[x, y]; 1 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ y ≤ y 2 }.
Obrázek 6: Ω : x = 0, y = 1, y = 2, y 2 = x
RR
x
y
e dxdy =
Ω
7. Příklad
!
2
R2
Ry
1
0
x
y
e dx dy =
R2 h
x
ye y
iy 2
0
1
Spočtěte
dy =
R2
1
h
i2
(yey − y) dy = yey − ey − 12 y 2 = e2 − 32 .
1
RR x
dxdy, kde Ω je určena vztahy 1 ≤ x ≤ y ≤ 3.
2
Ω y
Řešení
Integrační obor Ω je ohraničen třemi přímkami. Viz Obrázek 7. Popišme obor Ω jako
oblast obou typů. Pro typ (x, y) platí Ω = {[x, y]; 1 ≤ x ≤ 3, x ≤ y ≤ 3} a pro typ (y, x) platí Ω =
= {[x, y]; 1 ≤ y ≤ 3, 1 ≤ x ≤ y}. Výpočet provedeme pro oba typy.
Obrázek 7: Ω : 1 ≤ x ≤ y ≤ 3
RR
Ω
RR
Ω
x
y 2 dxdy
x
y 2 dxdy
8. Příklad
=
=
R3 R3
1
x
R3 Ry
1
1
x
y 2 dy
dx =
1
x
y 2 dx
Spočtěte
R3 h
dy =
R3 h
1
− xy
x2
2y 2
i3
dx =
x
iy
1
R3
1−
1
dy =
1
2
R3 1
x
3
1−
h
dx = x −
1
y2
dy =
1
2
x2
6
h
i3
1
y+
= 23 .
1
y
i3
1
= 23 .
RR x2
dxdy, kde Ω je určena vztahy x = 2, y = x, xy = 1.
2
Ω y
Řešení
Integrační obor Ω je ohraničen dvěma přímkami a hyperbolou. Viz Obrázek 8. Popišme
obor Ω jako oblast typu (x, y). Platí Ω = {[x, y]; 1 ≤ x ≤ 2, x1 ≤ y ≤ x}.
Obrázek 8: Ω : x = 2, y = x, xy = 1
RNDr. Jiří Klaška, Dr.
ÚM FSI v Brně, 2. 3. 2006
Dvojný integrál - řešené příklady
RR
Ω
x2
y 2 dxdy
9. Příklad
=
R2 Rx x2
1
1
x
y2
Spočtěte
4
i2
h
R2 h 2 ix
R2 3
dy dx = − xy 1 dx =
x − x dx = 14 x4 − 12 x2 = 94 .
1
1
1
x
dxdy, kde Ω je určena vztahy x + y = 4, x + y = 12, y 2 = 2x.
RR
Ω
Řešení
Integrační obor Ω je ohraničen dvěma přímkami a parabolou. Viz Obrázek 9. Je zřejmé, že
obor Ω je nutné rozdělit na dvě části Ω1 a Ω2 tak, že
√ Ω = Ω1 ∪Ω2 . Oblasti Ω1 , Ω2 popíšeme
√ jako oblasti typu
(x, y). Platí Ω1 = {[x, y]; 0 ≤ x ≤ 8, 4 − x ≤ y ≤ 2x} a Ω2 = {[x, y]; 8 ≤ x ≤ 18, − 2x ≤ y ≤ 12 − x}.
Obrázek 9: Ω : x + y = 4, x + y = 12, y 2 = 2x
RR
dxdy =
Ω
− x + 12)dx
RR
dxdy +
Ω1
= 74
3
10. Příklad
RR
dxdy =
0
Ω2
+
122
3
R8
√
R2x
!
dy dx +
4−x
R18
12−x
R
8
√
− 2x
!
R18 √
R8 √
dy dx = ( 2x + x − 4)dx + ( 2x −
0
8
= 62.
RR
Spočtěte
sin y 2 dxdy, kde Ω je určena body A = [0, 0], B = [9, 3], C = [1, 3].
Ω
Řešení
Integrační obor Ω je ohraničen přímkami. Viz Obrázek 10. Obor Ω popíšeme jako oblast
1
typu (y, x). Platí Ω = {[x,
R y]; 02 ≤ y ≤ 3, 3 y ≤ x ≤ 3y}. Volba typu (x, y) vede k rozdělení oblasti na dvě
části a navíc k integálu sin y dy. Tento integrál nelze vyřešit nad množinou elementárních funkcí.
Obrázek 10: Ω : A = [0, 0], B = [9, 3], C = [1, 3]
RR
2
cos y dxdy =
Ω
=
R9
4
3
0
cos tdt =
4
3
h
R3
R3y
0
y
3
sin t
i9
RNDr. Jiří Klaška, Dr.
0
!
2
cos y dx dy =
R3 h
0
=
4
3
x cos y
2
i3y
y
3
dy =
4
3
R3
0
t = y2
2y cos y dy = 0 → 0, 3 → 9
2
=
sin 9.
ÚM FSI v Brně, 2. 3. 2006