Dvojný integrál

Dvojný integrál
Dvojný integrál
ZZ
f (x, y) dx dy
Ω – integrační oblast (část roviny xy)
f(x, y) – integrand
Ω
Geometrický význam: objem nepravidelného válce s podstavou Ω, shora seříznutého plochou
z = f (x,y).
Vlastnosti
ZZ
ZZ
c · f (x,y) dx dy = c ·
f (x, y) dx dy
1.
Ω
Ω
ZZ
2.
ZZ
(f (x, y) + g(x,y)) dx dy =
Ω
ZZ
f (x, y) dx dy +
Ω
g(x,y) dx dy
Ω
– aditivita vzhledem k integrandu
ZZ
ZZ
ZZ
3.
f (x, y) dx dy =
f (x, y) dx dy +
f (x,y) dx dy,
Ω
Ω1
kde Ω = Ω1 ∪ Ω2
Ω2
– aditivita vzhledem k integrační oblasti. (Ω1 , Ω2 se nepřekrývají.)
Dvojný integrál přes obdélník
Je-li Ω obdélník ha, bi × hc, di, pak se dvojný integrál převede na dvojnásobný následovně:
ZZ
Zb
f (x, y) dx dy =
Zd
dx
a
Ω
Zd
f (x,y) dy =
c
Zb
dy
c
f (x,y) dx = djiný zápisc =
a




Zb Zd
Zd Zb
 f (x,y) dy  dx =
 f (x,y) dx dy
=
a
c
c
a
Nejprve se počítá vnitřní integrál, pak vnější. Výsledek je číslo – neobsahuje proměnné x, y.
Je-li f (x,y) = u(x) · v(y) a Ω = ha, bi × hc, di, situace se zjednoduší:
ZZ
Zb
Zd
f (x, y) dx dy = u(x) dx · v(y) dy – dostáváme součin jednoduchých integrálů, které
a
Ω
c
se mohou počítat současně.
Příklad 1
ZZ
(x2 y + xy 2 ) dx dy,
Vypočítejte integrál I =
Ω = h2, 5i × h1, 3i .
Ω
Řešení:
¸3 Z 5 ·
¸
Z5 Z3
Z5 ·
2
y3
1
2
2
2 y
2 9
2 1
I = dx (x y+xy ) dy = dx x
+x
=
x · +x·9−x · −x·
dx =
2
3
2
2
3
2
1
1
2
2
¶
· 3
¸5
Z 5µ
26
4x
26 x2
500 13 · 25 32 52
2
=
4x + x dx =
+
·
=
+
−
−
= 247
3
3
3 2
3
3
3
3
2
2
1
FBMI
Dvojný integrál
Nebo rychleji:
Z5
2
I=
µ
=
Z3
x dx ·
2
Z5
y dy +
1
125 8
−
3
3
¶µ
Z3
x dx ·
2
9 1
−
2 2
µ
¶
+
1
·
2
¸5 · 2 ¸3 · 2 ¸5 · 3 ¸3
y
x
y
·
+
·
=
2
2
3
¶µ
¶
x3
y dy =
3
25 4
−
2
2
27 1
−
3
3
2
1
=
2
1
117
21 26
·4+
·
= 247
3
2 3
Dvojný integrál přes obecnou oblast
Budeme uvažovat dva základní typy oblastí.
y
y
h(x)
d(y)
d(x)
Ω1
h(y)
d
Ω2
c
a
x
b
x
Ω1 = {[x,y] ; a ≤ x ≤ b ; d(x) ≤ y ≤ h(x)}
Ω2 = {[x,y] ; c ≤ y ≤ d ; d(y) ≤ x ≤ h(y)}
Fubiniova věta
ZZ
Je-li f (x,y) spojitá na Ω1 , pak
Zb
f (x, y) dx dy =
a
Ω1
Zh(x)
f (x,y) dy.
dx
d(x)
ZZ
Podobně pro f (x,y) spojitou na Ω2 je
Zd
f (x, y) dx dy =
c
Ω2
Příklad 2
Zh(y)
f (x,y) dx.
dy
d(y)
ZZ
(5x2 − 2xy) dx dy, kde Ω je vnitřek trojúhelníku AOB, A [ 2; 0 ], B [ 0; 1 ].
Spočtěte I =
Ω
y
Řešení:
B
Oblast Ω je možno chápat jako typ Ω1 , stejně jako Ω2 . Protože
rovnice AB je y = −x/2 + 1, je h(x) = −x/2 + 1, d(x) = 0. Pak
1−x/2
Z
Z2
I=
dx
(5x − 2xy) dy =
0
0
Z 2·
5x2
=
0
Z2
2
³
O
A
x
£ 2
¤1−x/2
dx =
5x y − xy 2
0
0
¸
µ
¶¸
Z 2·
³
x´
x ´2
5x3
x2
2
1−
−x 1−
dx =
5x −
−x 1−x+
dx =
2
2
2
4
0
2
FBMI
Dvojný integrál
¶
·
¸2
Z 2µ
11x4 6x3 x2
11 3
2
=
− x + 6x − x dx = −
+
−
= −11 + 16 − 2 = 3.
4
16
3
2
0
0
Podobně, pokud zaměníme pořadí integrace, je d(y) = 0, h(y) = 2 − 2y
Z2
I=
a
2−2y
Z
dy
(5x2 − 2xy) dx – pilný čtenář si jistě dopočítá sám.
0
0
Příklad 3
ZZ
Spočtěte I =
y
B
(2x + 3y + 1) dx dy, kde Ω je ohraničená
Ω
parabolou y 2 = 2x a její tětivou AB; A [ 2; −2] ; B [ 8; 4].
Řešení:
x
Aby nám k výpočtu stačil jeden dvojnásobný integrál,
Z4
Zy+4
musíme použít pořadí integrace:
dy
f (x,y) dx, kde
−2
A
Z4
I =
y 2 /2
x = y + 4 je rovnice tětivy.
Zy+4
(2x + 3y + 1) dx a dál už jen nepříjemné numerické počty. Výsledek je
dy
−2
y 2 /2
I = 187,2.
Neřešené příklady
Ω je obdélník:
ZZ
1.
(x2 y + 2y 3 ) dx dy;
Ω = h0,1i × h1,2i
[8]
Ω
ZZ
£
ex+y dx dy; Ω = h0,1i × h0,1i
2.
(e − 1)2
¤
Ω
ZZ
3.
x2
dx dy;
1 + y2
hπi
12
Ω = h0,1i × h0,1i
Ω
ZZ
4.
1
dx dy; Ω = h0,1i × h0,1i
(1 + x + y)2
·
4
ln
3
¸
Ω
ZZ
5.
x sin(x + y) dx dy; Ω = h0,πi × h0,πi
[−4]
Ω
Ω je typu Ω1 , nebo Ω2 :
Z Z µ ¶2
x
1.
dx dy; Ω je ohraničená křivkami: y = x, xy = 1, x = 2.
y
· ¸
9
4
Ω
3
FBMI
Dvojný integrál
ZZ
2.
·
¡ 2
¢
x + y dx dy; Ω je ohraničená křivkami: y = x2 , x = y 2 .
33
140
¸
Ω
·
ZZ
3.
(2x + y) dx dy; Ω je ohraničená křivkami: x = 0, y = 0, x + y = 3.
27
2
¸
Ω
·
ZZ
4.
1 · dx dy;
Ω je ohraničená křivkami: x + y = 1,
y2
= 2x + 1.
16
3
¸
Ω
ZZ
5.
sin(x + y) dx dy; Ω je ohraničená křivkami: x = y, y = 0, y = π.
[0]
Ω
ZZ
2
6.
2
(x + y ) dx dy; Ω je ohraničená křivkami: x = 0, x + y = 1, x − y = 1.
· ¸
1
3
Ω
ZZ
7.
x
y
e dx dy; Ω je ohraničená křivkami: x = 0, y = 1, x =
· ¸
1
2
y2.
Ω
ZZ
8.
Ω
1
√
dx dy;
2x − x2
ZZ p
9.
4 − x2 dx dy;
Ω je ohraničená křivkami: x = 0, y 2 = 4 − 2x.
[8]
· ¸
8
3
Ω je ohraničená křivkami: x = 2, y = x, y = 0.
Ω
ZZ
(2x − 3y + 1) dx dy; Ω je ohraničená kružnicí: x2 + y 2 = 4.
10.
[4π]
Ω
ZZ p
11.
4x2 − y 2 dx dy;
·
Ω je ohraničená křivkami: x = 1, y = x, y = 0.
Ω
4
1
π
√ +
2 3 9
¸
FBMI