to get the file

Poznámky ke cvičenı́ z předmětu Pružnost pevnost na Průběh momentů
K618 FD ČVUT v Praze (pracovnı́ verze). Tento materiál
má pouze pracovnı́ charakter a bude v průbehu semestru Sečteme všechny momenty zleva (kladné směry ← ↑ ) k
vyšetřovanému bodu ve vzdálenosti x.
postupně doplňován.
Autor: Jan Vyčichl E–mail: [email protected]
1
1
revize: 22. listopadu 2011
Mo (x) = −M (0) + T (0)x − xq(x) x
2
3
1 2 1
1 x 2
Mo (x) = − q0 l + q0 lx − q0 x
1 Přı́klad
3
2
6 l
lx l2
x3
Mo (x) = q0
− −
Zadánı́
2
3
6l
Vyšetřete nosnı́k zatı́žený dle obrázku. Určete funkci
momentu a ohybové čáry a stanovte posunutı́ a pootočenı́
na konci nosnı́ku. Vyřešte pomocı́ B.D.R.1 a Ú.D.R.2 Řešenı́ pomocı́ B.D.R.
Znáte: q0 , l. Určete: Mo (x), v(x), ϕ(x), v(l), ϕ(l)
Postupnou integracı́ funkce v ′′ (x) dostaneme neúplnou
funkci ohybové čáry v(x)
q0
l
Reakce
Mo (x)
q0 x3
l2
lx
=
+ −
EJ
EJ 6l
3
2
4
2
2
l x lx
q0 x
+ C1
+
−
EJ 24l
3
4
5
q0 x
l2 x2
lx3
+ C1 x + C2
+
−
EJ 120l
6
12
v ′′ (x)
= −
v ′ (x)
=
v(x)
=
Podstatné pro řešenı́ úlohy je jen svislá posouvacı́ reakce
T (0) a moment M (0) v bodě A, kde x = 0 a výraz 21 q0 l je Pomocı́ okrajových podmı́nek dopočı́táme koeficienty C1
náhradnı́ břemeno pro spojité trojúhelnı́kové zatı́ženı́.
a C2 , a doplnı́me funkci ohybové čáry v(x)
x
v(0) = 0 posunutı́ v bodě A
q0
M(0)
A
=⇒
C2 = 0
B
ϕ(0) = v ′ (0) = 0 pootočenı́ v bodě A
1
ql
2 0
=⇒
C1 = 0
T (0)
Funkce ohybové čáry a pootočenı́
l
T (0) – sı́la – ↑ silová podmı́nka
T (0) =
1
q0 l
2
v(x)
=
ϕ(x)
=
M (0) – moment – momentová podmı́nka k bodu A
M (0) =
Posunutı́ a pootočenı́ na konci nosnı́ku v bodě B
1 2
1
q0 l l = q0 l2
2 3
3
Rozbor zatı́ženı́
v(l)
=
Odvozenı́ velikosti trojúhelnı́kového spojitého zatı́ženı́ pro
obecnou vzdálenost x od bodu A z podobnosti trojúhelnı́ku
v(l)
=
ϕ(l)
=
ϕ(l)
=
x
q0
q(x)
=
=⇒ q(x) = q0
x
l
l
x
x
q(x)
M(0)
A
1
q(x)x
2
T (0)
q0 x5
l2 x2
lx3
+
−
EJ 120l
6
12
4
2
2
q0 x
l x lx
+
−
EJ 24l
3
4
q0 l4
l4
l4
+ −
EJ 120
6
12
4
11 q0 l
120 EJ
q0 l3
l3
l3
v ′ (x) =
+ −
EJ 24
3
4
3
1 q0 l
8 EJ
Graficky znázorněné posunutı́ a pootočenı́ řešeného
nosnı́ku
q0
B
x
1
x
3
A
B
v(l)
l
v
1 Bernoulliho
diferenciálnı́ rovnice
2 Úplné diferenciálnı́ rovnice
B
l
1
ϕ(l)
Řešenı́ pomocı́ Ú.D.R.
2
Postupnou integracı́ funkce v ′′′′ (x) dostaneme neúplnou
funkci ohybové čáry v(x)
Zadánı́
v
′′′′
(x)
=
v ′′′ (x)
=
v ′′ (x)
=
v ′ (x)
=
v(x)
=
Přı́klad
Vyšetřete nosnı́k zatı́žený dle obrázku. Určete funkci
momentu a ohybové čáry a stanovte posunutı́ a pootočenı́
na konci nosnı́ku. Vyřešte pomocı́ metody fiktivnı́ho
nosnı́ku. Znáte: M , l. Určete: Mo (x), Tf (x), Mof (x), v(x),
ϕ(x), v(l), ϕ(l)
q0 x
q(x)
=
EJ
EJ l
q0 x2
+ C1
EJ 2l
q0 x3
+ C1 x + C2
EJ 6l
x2
q0 x4
+ C1
+ C2 x + C3
EJ 24l
2
x3
x2
q0 x5
+ C1
+ C2
+ C3 x + C4
EJ 120l
6
2
M
l
Pomocı́ okrajových podmı́nek dopočı́táme koeficienty C1 , Reakce
C2 , C3 a C4 , a doplnı́me funkci ohybové čáry v(x)
Podstatné pro řešenı́ úlohy je jen svislá posouvacı́ reakce
T (0) a moment M (0) v bodě A, kde x = 0.
v(0) = 0 posunutı́ v bodě A =⇒ C4 = 0
x
ϕ(0) = v ′ (0) = 0
T (l) = 0
pootočenı́ v bodě A
=⇒
C3 = 0
součet posouvacı́ch sil v bodě B
v ′′′ (l) = −
M(0)
T (l)
q0 l
= 0 =⇒
+ C1 = 0
EJ
EJ 2
A
B
M
T (0)
l
q0 l
C1 = −
EJ 2
T (0) – sı́la – ↑ silová podmı́nka
Mo (l) = 0 součet momentů v bodě B
T (0) = 0
q0 x3
Mo (l)
= 0 =⇒
+ C1 x + C2 = 0
v (l) = −
EJ
EJ 6l
′′
C2 =
M (0) – moment – momentová podmı́nka k bodu A
q0 l2
EJ 3
M (0) = M
Funkce ohybové čáry
v(x)
=
v(x)
=
Průběh momentů
q0 l x3
q0 l2 x2
q0 x5
−
+
EJ 120l EJ 2 6
EJ
3 2
l2 x2
lx3
q0 x5
+
−
EJ 120l
6
12
Sečteme všechny momenty zleva (kladné směry ← ↑ ) k
vyšetřovanému bodu ve vzdálenosti x.
x
x
Posunutı́ a pootočenı́ na konci nosnı́ku v bodě B
q0 l4
l4
l4
v(l) =
+ −
EJ 120
6
12
4
11 q0 l
v(l) =
120 EJ
l3
l3
q0 l3
+ −
ϕ(l) = v ′ (l) =
EJ 24
3
4
1 q0 l3
ϕ(l) =
8 EJ
M(0)
A
B
M
T (0)
l
Mo (x)
= −M (0) + T (0)x = −M
Graficky znázorněné posunutı́ a pootočenı́ řešeného Výsledný průběh momentu
nosnı́ku
x
x
A
B
v(l)
M(0)
v
B
M
ϕ(l)
l
l
2
Fiktivnı́ nosnı́k
Reakce
Z tabulek určı́me fiktivnı́ nosnı́k a vytvořı́me na něm Podstatné pro řešenı́ úlohy je jen svislá posouvacı́ reakce
spojité zatı́ženı́ odpovı́dajı́cı́ tvarem a velikostı́ momentům T (0) a moment M (0) v bodě A, kde x = 0.
skuečného nosnı́ku q0 = M . Určı́me průběh posouvacı́ch sil
x
a momentů na fiktivnı́m nosnı́ku Tf (x) a Mof (x) (stejná
F
znaménková konvence jako u T a M tedy ← ↑ ).
x
M(0)
x
A
B
T (0)
A
B
l
q0 = M
T (0) – sı́la – ↑ silová podmı́nka
l
T (0) = F
Tf (x) = q0 x = M x
M (0) – moment – momentová podmı́nka k bodu A
x
x2
Mof (x) = q0 x = M
2
2
Hodnoty posouvacı́ sı́ly a momentu ve vetknutı́ fiktivnı́ho
nosnı́ku Tf (l) a Mof (l).
M (0) = F l
Průběh momentů
Tf (l) = q0 l = M l
Sečteme všechny momenty zleva (kladné směry ← ↑ ) k
vyšetřovanému bodu ve vzdálenosti x.
l2
l
Mof (l) = q0 l = M
2
2
x
x
Ohybová čára a pootočenı́
F
Funkce ohybové čáry a pootočenı́ pro obecný bod nosnı́ku
M(0)
M x2
Mof (x)
=
v(x) =
EJ
EJ 2
Tf (x)
M
ϕ(x) =
=
x
EJ
EJ
Posunutı́ a pootočenı́ na konci nosnı́ku v bodě B
A
B
T (0)
l
Mo (x) = −M (0) + T (0)x = −F l + F x = −F (l − x)
2
M l
Mof (l)
Výsledný průběh momentu
=
EJ
EJ 2
x
Tf (l)
M
ϕ(l) =
=
l
EJ
EJ
Graficky znázorněné posunutı́ a pootočenı́ řešeného
M(0)
nosnı́ku
v(l) =
x
A
B
l
v(l)
v
B
ϕ(l)
l
Fiktivnı́ nosnı́k
Z tabulek určı́me fiktivnı́ nosnı́k a vytvořı́me na něm
spojité trojúhelnı́kové zatı́ženı́ odpovı́dajı́cı́ tvarem a
3 Přı́klad
velikostı́ momentům skutečného nosnı́ku q0 = F l. Určı́me
průběh
posouvacı́ch sil a momentů na fiktivnı́m nosnı́ku
Zadánı́
Tf (x) a Mof (x) (stejná znaménková konvence jako u T a
Vyšetřete nosnı́k zatı́žený dle obrázku. Určete funkci M tedy ← ↑ ). Pozn.: pro sestavenı́ průběhů posouvacı́ch
momentu a ohybové čáry a stanovte posunutı́ a pootočenı́ sil a momentů využiji metody skládánı́ obrazců – od
na konci nosnı́ku. Vyřešte pomocı́ metody fiktivnı́ho obdélnı́ku odečı́tám trojúhelnı́k.
nosnı́ku. Znáte: F , l. Určete: Mo (x), Tf (x), Mof (x), v(x),
x
ϕ(x), v(l), ϕ(l)
x
F
A
B
q0 = F l
l
q ′ (x) = q0 xl
l
3
q ′ (x)x
x2
x2
Tf (x) = q0 x −
= q0 x − q0
= F lx − F
=
2 2l
2
x2
= F lx −
2
Reakce
Stanovı́me svislou reakci RA v bodě A , kde x = 0 a svislou
reakci RC v bodě C, kde x = l.
x
F
A
x2 x
x2
x3
x
− q0
= q0
− q0
=
2
2l 3 2
6l
x2
x3
x3
lx2
= Fl − F
=F
−
2
6
2
6
C
Mof (x) = q0 x
B
RA
RC
l/2
l/2
Hodnoty posouvacı́ sı́ly a momentu ve vetknutı́ fiktivnı́ho
RA – sı́la – momentová podmı́nka k bodu C
nosnı́ku Tf (l) a Mof (l).
RA = F/2
l2
l2
2
=F
Tf (l) = F l −
2
2
l3
l3
−
Mof (l) = F
2
6
=F
RC – sı́la – momentová podmı́nka k bodu A
l3
3
RC = F/2
Průběh momentů
Ohybová čára a pootočenı́
Sečteme všechny momenty zleva (kladné směry ← ↑ ) k
Funkce ohybové čáry a pootočenı́ pro obecný bod nosnı́ku vyšetřovanému bodu ve vzdálenosti x. Moment v bodě A
pro x = 0 je MA = 0 a moment v bodě C pro x = l je
MC = 0.
Mof (x)
F lx2
x3
x
v(x) =
=
−
MAB (x) = RA x = F
EJ
EJ 2
6
2
l
l
MB (l) = RA = F
Tf (x)
x2
F
2
4
ϕ(x) =
lx −
=
EJ
EJ
2
l
x
l
F
MBC (x) = RA x − F (x − ) = F − F (x − ) = (l − x)
Posunutı́ a pootočenı́ na konci nosnı́ku v bodě B
2
2
2
2
Výsledný
průběh
momentu
F l3
Mof (l)
=
v(l) =
x
F 4l
EJ
EJ 3
ϕ(l) =
Tf (l)
F l2
=
EJ
EJ 2
Graficky znázorněné posunutı́ a pootočenı́ řešeného
nosnı́ku
l/2
l/2
x
A
Fiktivnı́ nosnı́k
B
v(l)
v
B
Z tabulek určı́me fiktivnı́ nosnı́k a vytvořı́me na něm
dvojté spojité trojúhelnı́kové zatı́ženı́ odpovı́dajı́cı́ tvarem
a velikostı́ momentům skutečného nosnı́ku s maximem
uprostřed nosnı́ku MB = F 4l . Pro určenı́ posunutı́ a
pootočenı́ v bodech A, B a C nám stačı́ určit hodnoty
posouvacı́ sı́ly a momentu pro každý z těchto bodů (stejná
znaménková konvence jako u T a M tedy ← ↑ ).
ϕ(l)
l
4
Přı́klad
Zadánı́
x
Vyšetřete nosnı́k zatı́žený dle obrázku. Určete posunutı́
uprostřed nosnı́ku a pootočenı́ na obou koncı́ch nosnı́ku.
Vyřešte pomocı́ metody fiktivnı́ho nosnı́ku. Znáte: F , l.
Určete: v(l/2), ϕ(0), ϕ(l)
qmax = F 4l
A
C
B
RAf
F
RCf
l/2
l/2
Reakce na fiktivnı́m nosnı́ku
l/2
l/2
RAf =
4
1l
1l l
l2
qmax =
F =F
= RCf
22
22 4
16
Reakce
Bod A pro x = 0
Tf (0) = RAf = F
l2
16
Stanovı́me svislou reakci RA v bodě A , kde x = l + a a
svislou reakci RB v bodě B, kde x = a.
Mof (0) = 0
x
q
Bod B pro x = l/2
A
Tf (l/2) = RAf
1l
l2
l2
−
qmax = F
−F
=0
22
16
16
2
2
RA
RB
2
l
a
RA – sı́la – momentová podmı́nka k bodu B
2
1
l
l
l
Tf (l) = RAf − lqmax = F
− F = −F
2
16
8
16
RA = −q
Mof (l) = 0
a2
2l
RB – sı́la – momentová podmı́nka k bodu A
Posunutı́ a pootočenı́
RB = q(a +
Bod A pro x = 0
v(0) =
ϕ(0) =
Mof (0)
=0
EJ
Sečteme všechny momenty zprava (kladné směry → ↓ )
k vyšetřovanému bodu ve vzdálenosti x. Moment v bodě
C pro x = 0 je MC = 0 a moment v bodě A pro x = l + a
je MA = 0.
x
x2
MCB (x) = −qx = −q
2
2
Bod B pro x = l/2
Mof (l/2)
F l3
=
EJ
EJ 48
ϕ(l/2) =
a2
)
2l
Průběh momentů
Tf (0)
F l2
=
= ϕmax
EJ
EJ 16
v(l/2) =
C
3
1l
l l
l 1l
l
l 1l
=F
−F
=F
Mof (l/2) = RAf − qmax
2 22
32
16 2
16 3 2
48
Bod C pro x = l
2
B
Tf (l/2)
=0
EJ
MB (a) = −q
a2
2
Bod C pro x = l
v(l) =
a
MBA (x) = −qa(x − ) + RB (x − a) =
2
a2
a2
= −qax − q (qa + q ).(x − a) =
2
2l
a2
a3
a2
− )
= q( x −
2l
2
2l
Mof (l)
=0
EJ
Tf (l)
F l2
=−
=⇒ |ϕ(l)| = ϕ(0)
EJ
EJ 16
Graficky znázorněné posunutı́ a pootočenı́ řešeného
nosnı́ku
ϕ(l) =
A
v(0)
B
C
ϕ(0)
ϕ(l)
Výsledný průběh momentu
x
v(l)
x
v(l/2)
v
ϕ(l/2)
l/2
l/2
2
−q a2
5
l
Přı́klad
Zadánı́
a
Fiktivnı́ nosnı́k
Vyšetřete nosnı́k zatı́žený dle obrázku. Určete posunutı́
a pootočenı́ na převislém konci nosnı́ku. Vyřešte pomocı́ Z tabulek určı́me fiktivnı́ nosnı́k a vytvořı́me na něm
metody fiktivnı́ho nosnı́ku. Znáte: q, l, a. Určete: v(0) a spojité trojúhelnı́kové a parabolické zatı́ženı́ odpovı́dajı́cı́
tvarem a velikostı́ momentům skutečného nosnı́ku s
ϕ(0).
2
maximem nad podporou B MB = q a2 . Pro určenı́ posunutı́
q
a pootočenı́ v bodu C nám stačı́ určit hodnoty posouvacı́
sı́ly a momentu pro tento bod, což odpovı́dá svislé silové
reakci Tf (0) a momentu Mof (0) ve vetknutı́ fiktivného
nosnı́ku
(stejná znaménková konvence jako u T a M tedy
l
a
← ↑ ).
5
x
A
B
6
C
Zadánı́
Vyšetřete nosnı́k zatı́žený dle obrázku. Určete posunutı́
a pootočenı́ na převislém konci nosnı́ku. Vyřešte pomocı́
metody fiktivnı́ho nosnı́ku. Znáte: F , l, a. Určete: v(0) a
ϕ(0).
2
q0 = q a2
l
a
Složenou soustavu, která je v rovnováze, je nutno rozdělit
na dvě části, které jsou také v rovnováze, a dopočı́tat
vazebnı́ sı́lu RBf .
F
A
B
RBf
RBf
A
Přı́klad
B
B
l
Mof (0)
C
x C
a
Tf (0)
2
q0 = q a2
l
a
Fiktivnı́ nosnı́k
Z momentové podmı́nky na levé části kolem bodu A
dopočı́táme vazebnı́ sı́lu RBf
1 2
RBf l − q0 l l
2 3
1 a2 2
RBf l − q l l
2 2 3
RBf
Vazebnı́ sı́la RBf
RBf = F
= 0
Posunutı́ a pootočenı́
= 0
= q
Bod C pro x = 0
a2 l
6
v(0) =
Ze svislé silové podmı́nky na pravé části dopočı́táme
silovou reakci Tf (0)
1
Tf (0) − RBf − q0 a
3
a2 l 1 a2
− q a
Tf (0) − q
6
3 2
al
3
ϕ(0) =
=
0
=
0
7
a2 l a3
+ )
q(
6
6
Zadánı́
Tf (0) =
F a3
a2 l
Mof (0)
=
( +
)
EJ
EJ 3
3
Tf (0)
F a2
al
=
( + )
EJ
EJ 2
3
Přı́klad
Z momentové podmı́nky kolem bodu C na pravé části Vyšetřete nosnı́k zatı́žený dle obrázku. Určete posunutı́
dopočı́táme momentovou reakci Mof (0)
a pootočenı́ na převislém konci nosnı́ku. Vyřešte pomocı́
metody fiktivnı́ho nosnı́ku. Znáte: M , l, a. Určete: v(0) a
1
3
ϕ(0).
Mof (0) − RBf a − q0 a a = 0
3
4
1 a2 3
a2 l
A
B
C
M
a− q a a = 0
Mof (0) − q
x
6
3 2 4
a3 l a4
l
a
+ )
Mof (0) = q(
6
8
Posunutı́ a pootočenı́
Fiktivnı́ nosnı́k
Bod C pro x = 0
Vazebnı́ sı́la RBf
q a3 l a4
Mof (0)
=
(
+ )
EJ
EJ 6
8
v(0) =
RBf = M
l
3
Tf (0)
q a2 l a3
=
(
+ )
EJ
EJ 6
6
Posunutı́ a pootočenı́
Graficky znázorněné posunutı́ a pootočenı́ řešeného
Bod C pro x = 0
nosnı́ku
ϕ(0) =
l
a
v(0) =
x
M a2
al
Mof (0)
=
( + )
EJ
EJ 2
3
v(0)
v
ϕ(0) =
ϕ(0)
6
Tf (0)
M
l
=
(a + )
EJ
EJ
3
8
Přı́klad
Zadánı́
Vyšetřete nosnı́k zatı́žený dle obrázku. Určete posunutı́
a pootočenı́ na převislém konci nosnı́ku. Vyřešte pomocı́
metody fiktivnı́ho nosnı́ku. Znáte: q, l, a. Určete: v(0) a
ϕ(0).
q
A
B
l
x
C
a
Fiktivnı́ nosnı́k
Vazebnı́ sı́la RBf
RBf = q(
l3
a2 l
− )
6
24
Posunutı́ a pootočenı́
Bod C pro x = 0
v(0) =
Mof (0)
q a4
a3 l al3
=
( +
−
)
EJ
EJ 8
6
24
ϕ(0) =
Tf (0)
q a3
a2 l
l3
=
( +
− )
EJ
EJ 6
6
24
7