MAT1-ekniha

MATEMATIKA 1
Úlohy, otázky, aplikace
•
elektronický učebnı́ text
Václav NÝDL, Renata KLUFOVÁ, Radka ŠTĚPÁNKOVÁ
Katedra aplikované matematiky a informatiky
Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicı́ch
1
Tato publikace vznikla v rámci projektu IP14 42/2b/2014 - Inovace výuky matematiky na
”
EF JU se zaměřenı́m na zvyšovánı́ motivace studentů“
Zvláštnı́ oceněnı́ autorů si zasloužı́ studentka oboru Ekonomická informatika EF JU Anna
Stepura, která se významným způsobem podı́lela na kontrole výsledků většiny úloh v této
publikaci.
c Václav Nýdl, 2014
⃝
2
PŘEDMLUVA
Tento studijnı́ text byl sestaven týmem pedagogů Katedry aplikované matematiky a informatiky Ekonomické fakulty JU na základě dlouholetých zkušenostı́ s výukou předmětu matematika na Ekonomické a Zemědělské fakultě JU. Má sloužit studentům 1. ročnı́ku k dalšı́mu
procvičenı́ látky předmětu Matematika 1.
V šesti tematických celcı́ch je pokryta látka předmětu v zimnı́m semestru. Každý tematický celek začı́ná přehledem základnı́ch pojmů, vlastnostı́ a vzorců. Mimochodem, přehled
vzorců má student k dispozici při každém psanı́ zápočtových testů.
Oddı́l ÚLOHY vyžaduje převážně počı́tánı́, ale též analytické činnosti. Pro tuto situaci
je možno si dosadit známé německé úslovı́: Die Übung macht den Meister“.
”
Oddı́l OTÁZKY rozvı́jı́ logické myšlenı́ a prohlubuje porozuměnı́ dané látce. Při jeho
přı́pravě pro každé téma jsme měli na mysli, že matematika je ideálnı́ předmět pro povzbuzovánı́ kreativity - ostatně jako motto nám vždy posloužila všeobecně známá fráze (snadno
si ji můžete i vygooglit“): The purpose of education is to replace an empty mind with an
”
”
open one.“
Závěrem tématu je připraven oddı́l APLIKACE, který zasazuje probı́rané téma do širšı́ch
souvislostı́. Je to i reakce na celkem často se opakujı́cı́ dotazy studentů typu k čemu to je
”
dobré?“ Chtěli bychom zde studentovi vysvětlit, že možná bude jednou vykonávat povolánı́,
které dneska ještě vůbec neexistuje. A pak je otázkou, jaké předpoklady pro takové povolánı́
budou klı́čové. To, co právě studuje, nenı́ jen matematika pro budoucı́ho ekonoma. Matematika má totiž přesah do nejrůznějšı́ch oblastı́ lidské činnosti. Ukažme si jeden přı́klad:
V geoinformatice se pracuje obvykle se dvěma základnı́mi typy dat: vektorovými a
rastrovými. V podobě rastrových dat se ukládajı́ letecké a družicové snı́mky nebo nasnı́mané
obrázky. Rastr je jednoduchá pravidelná sı́t’ buněk, ve kterých je zaznamenán převládajı́cı́
jev v daném mı́stě (např. dominantnı́ vegetačnı́ druh, teplota, množstvı́ srážek, nadmořská
výška apod.) Tyto jevy můžeme ukládat v paměti počı́tače jako základnı́ rastrové vrstvy.
Rastr je možno chápat jako matici.
Jednotlivé rastrové vrstvy můžeme překládat přes sebe a zı́skávat tak nové informace.
K tomu sloužı́ tzv. mapová algebra - souhrn pravidel pro matematické operace s rastry.
Pomocı́ mapové algebry docházı́ matematickými, ale i jinými operacemi ke kombinaci mezi
vı́ce rastrovými vrstvami a těmito operacemi posléze k výpočtu hodnot rastru v podobě nové
vrstvy.
České Budějovice, prosinec 2014
autoři
3
TÉMA 1-2. Značenı́, vektory a matice
Značenı́
V1 ∨ V2 nebo V1 ∧ V2 . . .
{a, b, c} . . .
x ∈ M nebo x ∈
/M
N a R ...
(a, b) nebo ⟨a, b⟩ . . .
⟨a, b), (a, b⟩ . . .
logická disjunkce nebo konjunkce výroků V1 , V2
množina obsahujı́cı́ prvky a, b, c
prvek x patřı́ nebo nepatřı́ do množiny M
množina všech přirozených a množ. všech reálných čı́sel
otevřený nebo uzavřený interval
dva druhy polouzavřených (polootevřených) intervalů
Aritmetické vektory
Vn . . .
vi . . .
prostor všech aritmetických n-složkových vektorů (vektorů dimenze n)
i-tá složka vektoru ⃗v = (v1 , v2 , . . . , vn )
Základnı́ operace s vektory
Sčı́tánı́/odčı́tánı́
⃗u ± ⃗v = (u1 , u2 , . . . , un ) ± (v1 , v2 , . . . , vn ) = (u1 ± v1 , u2 ± v2 , . . . , un ± vn )
Násobenı́ čı́slem
c · ⃗v = c · (v1 , v2 , . . . , vn ) = (c · v1 , c · v2 , . . . , c · vn )
Norma
∥⃗v ∥ = ∥(v1 , v2 , . . . , vn )∥ =
Skalárnı́ součin
⃗u · ⃗v = (u1 , u2 , . . . , un ) · (v1 , v2 , . . . , vn ) = u1 · v1 + u2 · v2 + . . . + un · vn
Vektorový součin
⃗u × ⃗v = (u1 , u2 , u3 ) × (v1 , v2 , v3 ) = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − u2 v1 )
√
v12 + v22 + · · · + vn2
Vzorec pro úhel dvou nenulových vektorů ⃗u a ⃗v :
cos α =
⃗u · ⃗v
∥⃗u∥ · ∥⃗v ∥
Poznámky
• ⃗o = (0, 0, . . . , 0) se nazývá nulový vektor. Vektor ⃗v se nazývá jednotkový, je-li ∥⃗v ∥ = 1.
• Vektory ⃗u, ⃗v se nazývajı́ ortogonálnı́ (kolmé), jestliže jejich skalárnı́ součin je 0.
• Vektory ⃗u, ⃗v se nazývajı́ paralelnı́ (rovnoběžné), jestliže existuje čı́slo c tak, že ⃗u = c · ⃗v .
• Skalárnı́ součin je čı́slo; vektorový součin je vektor - je definován jen ve V3 .
Matice
Typ matice A . . .
aij . . .
Hlavnı́ diagonála v A
Nulová matice O . . .
Čtvercová matice . . .
Jednotková m. E . . .
udává počet řádků a počet sloupců (pı́šeme m × n)
prvek matice A, který je v řádku i a sloupci j
tvořena všemi prvky matice A tvaru aii
má všechny prvky rovny nule,
jakákoliv matice typu n × n (mluvı́me též o matici řádu n)
čtvercová matice s diag. prvky rovnými 1, ostatnı́ jsou nuly
Základnı́ maticové operace
Transponovánı́
je-li Z = AT a A je typu m × n, pak je Z typu n × m a vždy zij = aji
Sčı́tánı́/odčı́tánı́
je-li Z = A ± B, pak A, B, Z jsou stejného typu a zij = aij ± bij
Násobenı́ čı́slem
je-li Z = c · A, pak A, Z jsou stejného typu a zij = c · aij ,
Násobenı́ matic
je-li Z = A · B, A typu m × s, B typu s × n, pak je Z typu m × n
a vždy zij = ai1 · b1j + ai2 · b2j + . . . + ais · bsj
Poznámky
• Platı́ A + O = O + A = A a A · O = O · A = O, kdykoliv jsou operace definovány.
• Pro každou matici A je A · E = E · A = A, jestliže lze operace provést.
• Mocninu čtvercové matice zı́skáme opakovaným násobenı́m, např. A4 = A · A · A · A.
4
ÚLOHY
Úloha 1-2.1 [úkony s čı́selnými intervaly] Pro dané dva otevřené intervaly I1 = (−1, 4),
I2 = (3, +∞) a dva uzavřené intervaly I3 = ⟨−2, 2⟩, I4 = ⟨−3, 3⟩ proved’te zadané operace.
Pokud je to opět interval (otevřený, uzavřený nebo polootevřený), napište ho.
(a) I1 ∩ I2
(b) I3 ∩ I4
(c) I1 ∩ I4
(d) I2 ∩ I3
(e) I1 ∪ I2
(f ) I3 ∪ I4
(g) I2 ∪ I4
(h) I1 ∪ I4
Úloha 1-2.2. [úkony s aritmetickými vektory] Jsou zadány čtyři vektory ⃗u1 , ⃗u2 , ⃗v1 , ⃗v2
takto: ⃗u1 = (−2, 0), ⃗u2 = (1, 2), ⃗v1 = (−1, 1, 3), ⃗v2 = (1, 2, −4).
(A) Vypočtěte (pokud je to ovšem možné) výsledný vektor a pak určete jeho normu.
(a) 3⃗
u1 + 2⃗u2
(b) (⃗v1 · ⃗v1 )·⃗v1
(c) (⃗v1 · ⃗v2 )·⃗
u1
(d) (⃗
u1 +⃗v1 ) − (⃗u2 +⃗v2 )
(e) ⃗v1 × 2⃗v2
(f ) (⃗v1 +⃗v2 ) × (⃗v2 −⃗v1 )
(g) ⃗
u2 × ⃗u1
(h) (⃗v1 ×⃗v2 ) − (⃗v2 ×⃗v1 )
(B) Určete velikost úhlu mezi vektory (a) ⃗
u1 , ⃗u2 ,
Úloha 1-2.3 [úkony s maticemi]
[
A=
]
1 −2 −2
,
4 0 −1
[
B=
(b) ⃗v1 , ⃗v2 ,
(c) ⃗
u1 , ⃗v2 .
Jsou zadány čtyři matice A, B,
 C, D takto:
]
[
]
0 3 −4
,
1 2 3
C=
10 −1
,
1 0
1 −1

2 .
0 3

D=4
(A) V každé z úloh nı́že vypočtěte výsledek maticových operacı́, pokud to je možné.
(a) 2A − B + DT
(b) C 3
(c) C · (A + B)
(d) B · D
(e) (C · A) − 3B
(f ) (A · B) − C
(g) (D · D T )T
(h) D · AT
(B) Aniž byste prováděli výpočty, určete typ výsledné matice (pokud tato existuje).
(a) AT · C 8 · B
(b) (A + 2B − 3D)3
(c) D · A · D · B
Úloha 1-2.4 [kreativnı́ úlohy]
(a) Je dán vektor ⃗v = (1, −1, 5, 3). Najděte aspoň tři vektory ⃗
x takové, že ⃗v · ⃗x = −4.
[
]
[
]
1 −2
5
(b) Pro matici M =
. najděte aspoň dvě matice X takové, že M · X =
.
−4 8
−20
(c) Sestavte matici Q typu 2 × 2 tak, že v matici Q · Q jsou jejı́ prvky
(c1 ) 2 kladné a 2 záporné,
(c2 ) 1 kladný a 3 záporné,
(c3 ) 1 záporný a 3 kladné.
Úloha 1-2.5 [úlohy s neznámou]
(A) Najděte neznámé reálné čı́slo y:
(a) ∥(1, 2, y)∥ = 4
(c)
( 35 , y)
je jednotkový vektor,
(b) (y, 8, −y) a (−7, 2, 1) jsou ortogonálnı́ vektory,
(d) jsou-li ⃗u = (y, 4, 0), ⃗v = (y, −y, 2), pak ⃗u · ⃗v < 3.
(B) Najděte neznámý vektor ⃗
x (užité vektory jsou z Úlohy 1.2):
(a) ⃗v1 + ⃗
x = ⃗v2
(b) 2⃗
u1 − 3⃗x = 2⃗x + 4⃗u2
(c) ⃗
u1 · ⃗x = 5
(C) Najděte neznámou matici X (užité matice jsou z Úlohy 1.3):
(a) A + X = B
(b) (A · B T ) − X = X + 2C
(c) 3D − X T = B T
(D) Určete typ neznámé matice - tuto matici nehledejte (užité matice jsou z Úlohy 1.3):
(a) Y · B = D · D T
(b) A · Y = Y · C
(c) Y · Y T = C
5
OTÁZKY
Otázky 1-2.1 [čı́selné intervaly]
(a) Může být sjednocenı́ dvou otevřených intervalů opět otevřený interval?
(b) Musı́ být sjednocenı́ dvou uzavřených intervalů opět uzavřený interval?
(c) Může být průnik dvou otevřených intervalů opět otevřený interval?
(d) Musı́ být průnik dvou uzavřených intervalů opět uzavřený interval?
(e) Může být průnik dvou polouzavřených intervalů otevřený interval?
(f ) Může být průnik dvou polouzavřených intervalů uzavřený interval?
(g) Může být sjednocenı́ dvou polouzavřených intervalů otevřený interval?
(a) Může být sjednocenı́ dvou polouzavřených intervalů uzavřený interval?
Otázky 1-2.2 [vektory]
(a) Je možno považovat vektor za matici?
(b) Třı́složkový vektor má mı́t za složky čı́sla 5, −1 a 0 v nějakém pořadı́. Kolik je
takových vektorů?
(c) Jaká je minimálnı́ a jaká maximálnı́ norma vektoru ⃗v = (4, −3, 0, x), kde za x si
můžeme zvolit jakékoliv reálné čı́slo?
(d) Ve V3 je dán vektor ⃗
z = (1, 5, 7). Kolik vektorů k němu kolmých a kolik vektorů
s nı́m rovnoběžných je možno najı́t?
(e) Je dán vektor ⃗
u = (1, 2, 0). Kolik je vektorů w
⃗ takových, že ⃗u × w
⃗ = (−3, 0, 2)?
(f ) Na lı́stku papı́ru jsou napsány dva dvousložkové vektory ⃗
u a ⃗v , jejichž úhel je 35◦ .
O kolik stupňů se změnı́ tento úhel, jestliže lı́stek pootočı́me o 10◦ proti směru hodinových
ručiček?
Otázky 1-2.3 [matice]
(a) Je možno považovat matici typu 3 × 4 za vektor?
(b) Matice D je typu 2 × 2 a taková, že jejı́ dva prvky jsou dvojky a dva prvky jsou
trojky. Kolik je takových matic?
(c) Matice F je typu 2 × 2 a taková, že každý jejı́ prvek je bud’ 0 nebo 1. Kolik je
takových matic?
(d) Kolik matic M typu 3 × 3 je takových, že M = M T ?
(e) Matice A je typu 2 × 2 a taková, že a11 = 2 a a12 = 4. Kolik je takových matic A,
pro něž navı́c ještě platı́ AT = A?
(f ) Vı́me, že pro matice A a B lze vypočı́tat součet A + B. Potom určitě bude možno
vypočı́tat také rozdı́l A − B. Proč?
(g) Pro kterou matici M má smysl součet M + M T ?
(h) Pro kterou matici M má smysl součin M · M T ?
(i) Za jakých podmı́nek je možno provést součet třı́ matic A + O + B?
(j) Vı́me, že součin matic A · B je typu 2 × 3. Jakého typu bude pak součin matic B · A?
[
]
01
(k) Je-li C =
, pak mocnina C 100 se vypočte snadno. Proč?
10
(l) Za jakých podmı́nek je možno provést součin třı́ matic A · O · B?
6
APLIKACE
V △ABC vypočtěte velikost všech jeho úhlů
Aplikace 1-2.1 [úhly v trojúhelnı́ku]
(a) V rovině pro A = [−1, 3], B = [3, 10], C = [8, −2],
(b) V rovině pro A = [1, −1, 3], B = [3, 7, 10], C = [0, 8, −2].
Aplikace 1-2.2 [Markovovy modely nezaměstnanosti] Americký makroekonom R. Hall
zkoumal v roce 1966 data o nezaměstnanosti v USA. Je-li x1 , . . . , xn řada týdennı́ch údajů
o počtu zaměstnaných a y1 , . . . , yn řada týdennı́ch údajů o počtu nezaměstnaných ve sledované oblasti, můžeme popsat dynamiku vývoje takto: označı́me p pravděpodobnost, že
zaměstnaný v daném týdnu si udržı́ zaměstnánı́ i v následujı́cı́m týdnu a q pravděpodobnost,
že nezaměstnaný v daném týdnu zı́ská zaměstnánı́ v následujı́cı́m týdnu; pokud budou čı́sla
p, q stabilnı́ v popisovaném obdobı́, můžeme pro údaje o týdnu n a dalšı́m týdnu n+1 napsat
rovnice xn+1 = p · xn + q · yn (pro zaměst.) a yn+1 = (1 − p) · xn + (1 − q) · yn (pro nezaměst.).
Přı́klad. V jednom z modelů bylo x1 = 5220, y1 = 105, p = 0.998, q = 0.136. Potom
.
vypočteme x2 = 0.998 · 5220 + 0.136 · 105 = 5224 (pro zaměstnané) a y2 = 0.002 · 5220 +
.
0.864 · 105 = 101 (pro nezaměstnané). Pokud výpočet ještě jednou zopakujeme, dostaneme
.
.
x3 = 0.998 · 5224 + 0.136 · 101 = 5227 a y3 = 0.002 · 5224 + 0.864 · 101 = 98 . . . atd.
Přejděme k maticovému zápisu:
[
xn+1
yn+1
]
[
=
p
q
1−p 1−q
] [
·
]
xn
. Matice P =
yn
[
p
q
1−p 1−q
]
je tzv. matice přechodu - týdennı́
[
přechod se provede vynásobenı́m maticı́ P . Stav po k týdnech bude:
xn+k
yn+k
]
[
=
Pk
·
]
xn
.
yn
Pokračovánı́ přı́kladu. K výše uvedeným údajům p = 0.998, q = 0.136 připravte přechodovou
matici P a jejı́ druhou mocninu P 2 . Pak pomocı́ maticového počtu určete x3 a y3 z uvedených
hodnot x1 = 5220 a y1 = 105. Jak by se vypočetlo x6 a y6 ?
Aplikace 1-2.3 [matice dominance - Lay, 2003] Ve volejbalové soutěži se utkalo mezi
sebou 5 týmů. Každý hrál s každým jednou a výsledky jsou v matici K - řádky odpovı́dajı́
po řadě týmům A,B,C,D,E a 1 je vı́tězstvı́. Dále vypočteme matice K 2 a K + K 2 .




K=


0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0




,






K2 = 


0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
2
0
1
1
1
3
0
0
2
0
0
0
1
0




,






K + K2 = 


0
2
0
1
1
1
0
1
1
1
1
3
0
1
2
2
3
1
0
3
0
1
0
1
0




.


K je matice jednostupňové dominance a K 2 matice dvojstupňové dominance (např.
v K 2 hodnota prvek24 = 3 znamená třikrát potvrzenou dvoustupňovou dominanci B nad D,
tj. B → A → D, B → C → D, B → E → D. Prvky matice K + K 2 vyjadřujı́ počet jednoi dvojstupňových dominancı́. Součty řádků matice K dajı́ počet vı́tězstvı́ - týmy B a E ho
majı́ stejný. Avšak sečteme-li prvky v řádcı́ch matice K + K 2 , dostaneme tyto hodnoty:
A - 4, B - 9, C - 2, D - 4, E -7. Nejsilnějšı́ byl tedy tým B. Který tým byl nejslabšı́?
Poznámka o aplikacı́ch. Vedle aplikacı́ vektorů v geometrii, fyzice a technice je na mı́stě
zmı́nit jejich využitı́ v počı́tačové grafice. Přı́kladem je vektorová počı́tačová grafika v programu CorelDRAW. Co se týče matic, neznámějšı́ je asi Microsoft Excel - data ve spreadsheetu jsou uspořádána do matice (tabulky) a také se s nimi pracuje jako s prvky matice.
7
TÉMA 3. Hodnost
Soubory vektorů ve Vn
S : v⃗1 , v⃗2 , . . . , v⃗k
soubor vektorů; záležı́ na pořadı́, vektory se mohou opakovat
Lineárnı́ kombinace . . .
lin. kombinace souboru S s koeficienty c1 , c2 , . . . , ck
je vektor ⃗v = c1 · v⃗1 + c2 · v⃗2 + . . . + ck · v⃗k
Triviálnı́ kombinace . . .
všechny koeficienty rovny 0 (výsledkem je nulový vektor ⃗o)
Netriviálnı́ kombinace
má aspoň jeden koeficient nenulový
≪ S ≫ ...
lineárnı́ obal souboru S, tj. množina všech lineárnı́ch kombinacı́ S
Závislý soubor S . . .
⃗o lze z něj zı́skat nějakou netriviálnı́ kombinacı́
Nezávislý soubor S . . .
⃗o lze z něj zı́skat pouze triviálnı́ kombinacı́
P =≪ G ≫ . . .
P je podprostor prostoru Vn , G je systém generátorů podprostoru P
Báze podprostoru P
každý nezávislý systém generátorů podprostoru P
Souřadnice vektoru ⃗v
v bázi B
jediný soubor koeficientů c1 , . . . , ck takový, že
⃗v = c1 · b⃗1 + . . . + ck · b⃗k , kde B : b⃗1 , . . . , b⃗k
h(S) . . .
hodnost souboru S = velikost jeho maximálnı́ho nezáv. podsouboru
h(A) . . .
hodnost matice A = hodnost souboru všech řádkových vektorů A
dim(P ) . . .
dimenze podprostoru P = počet vektorů libovolné jeho báze
Poznámky
• Prázdný soubor považujeme za nezávislý s hodnostı́ 0. V závislém souboru je jeden
z vektorů lin. kombinacı́ ostatnı́ch, v nezávislém souboru takový vektor neexistuje.
• S majı́cı́ k vektorů je závislý, právě když h(S) < k; je nezávislý, právě když h(S) = k.
• Vektor ⃗v patřı́ do lin. obalu souboru S, právě když nezvyšuje jeho hodnost.
• Hodnost souboru vektorů určujeme pomocı́ hodnosti matice. Dimenze podprostoru je
dána hodnostı́ jeho libovolného systému generárorů. Speciálně je dim(Vn ) = n.
• Bázi podprostoru P dostaneme odstraněnı́m závislých vektorů ze systému generátorů.
• Úloha na určenı́ souřadnic vektoru v bázi vede na soustavu lineárnách rovnic.
Určenı́ hodnosti matice
Matice je v Gaussově tvaru, jestliže neobsahuje nulový řádek a každý řádek má vı́ce levých nul
než řádek předchozı́ (např. E). Hodnost matice v Gaussově tvaru je rovna počtu jejı́ch řádků.
Každou nenulovou matici lze upravit na Gaussův tvar – hodnost zůstane stejná. Tak můžeme
určit hodnost každé matice.
Ekvivalentnı́ (řádkové)úpravy matice (operace (1) - (4) se mohou lze opakovat).
(1) Libovolně změnit pořadı́ řádků.
(4) Odstranit nebo připojit (nový) nulový řádek.
(2) Násobit libovolný řádek nenulovým čı́slem (tedy i dělit).
(3) K libovolnému řádku přičı́st (tedy i odečı́st) lineárnı́ kombinaci ostatnı́ch řádků.
Poznámky
• V matici v Gaussově tvaru se řádky po sobě jdoucı́ mohou lišit o vı́ce než jednu levou
nulu. Navı́c už jejı́ prvnı́ řádek může obsahovat jednu nebo vı́ce levých nul.
• Jedině nulové matice majı́ hodnost 0.
• Ekvivalentnı́ úpravy lze provádět i se sloupci matice (my to ale nikdy neděláme!).
• Pro každou matici h(A) = h(AT ), což souvisı́ s předchozı́ poznámkou.
8
ÚLOHY
Úloha 3.1 [lineárnı́ kombinace]
ve V2 byl zadán. Vypočtěte
Soubor vektorů S : ⃗v1 = (−1, 2), ⃗v2 = (2, −1), ⃗v3 = (3, 1)
(a) triviálnı́ lineárnı́ kombinaci vektorů souboru S,
(b) nějakou lineárnı́ kombinaci vektorů souboru S s nezápornými koeficienty,
(c) lineárnı́ kombinaci vektorů souboru S s koeficienty c1 = 2, c2 = 10, c3 = −3,
(d) lineárnı́ kombinaci vektorů souboru S s koeficienty c1 = ⃗v1 ·⃗v2 , c2 = ⃗v2 ·⃗v3 , c3 = ⃗v3 ·⃗v1 .
Úloha 3.2 [lineárnı́ závislost] Soubor dvou a vı́ce vektorů je lineárně závislý, právě když
některý z nich je lineárnı́ kombinacı́ ostatnı́ch. Všechny nı́že uložené soubory třı́ vektorů jsou
lineárně závislé. Vašı́m úkolem je to prokázat a to vždy tak, že uhodnete vektor, který je
lin. kombinacı́ ostatnı́ch a uhodnete potřebné koeficienty c1 , c2 pro takovou kombinaci.
(a) ⃗
u1 = (1, 2, 3), ⃗u2 = (4, 2, −1), ⃗u3 = (0, 0, 0),
(c) ⃗
u1 = (1, 2), ⃗u2 = (100, 100), ⃗u3 = (101, 102)
Úloha 3.3 [matice v Gaussově tvaru]
[
(a)
1 1
0 −1
]
[
(b)
01
00
]

(b) ⃗
u1 = (2, 1), ⃗u2 = (4, 1), ⃗u3 = (2, 1),
(d) ⃗
u1 = (−1, −1), ⃗u2 = (1, 1), ⃗u3 = (0, 1).
Které z následujı́cı́ch matic jsou v Gaussově tvaru?


100


(c)  0 3 0 
013

001


(d)  0 1 0 
100
[
(e)
0501
0030
]
[
(f )
0 0 −2 2 2
00 001
]
Úloha 3.4 [ekvivalentnı́ úpravy (1) a (4)] Pokuste se uvést danou matici do Gaussova
tvaru, přičemž jsou povoleny pouze ekvivalentnı́ úpravy (1) a (4), ale ne úpravy (2) a (3).
[
(a)
11
00
]
[
(b)
01
20
]


102


(c)  0 0 0 
113


550


(d)  0 0 3 
033
[
(e)
0001
1030
]


000000


(f )  1 0 0 0 1 1 
010011
Úloha 3.5 [ekvivalentnı́ úpravy (2) a (3)] Pokuste se uvést danou matici do Gaussova
tvaru, přičemž jsou povoleny pouze ekvivalentnı́ úpravy (2) a (3), ale ne úpravy (1) a (4).
[
(a)
11
13
]


01


(b)  2 0 
31


122


(c)  1 4 3 
103


550


(d)  0 0 3 
003


0130


(e)  1 1 0 1 
0030
[
(f )
0 0 0 −2 2 2
000 211
]
Úloha 3.6 [ekvivalentnı́ úpravy - určenı́ hodnosti] Každou matici lze uvést do Gaussova
tvaru, pokud jsou povoleny všechny ekvivalentnı́ úpravy (1),(2),(3) a (4). Každou matici nı́že
převed’te do Gaussova tvaru a tı́m určete jejı́ hodnost.
[
(a)
11
13
]

0
1

(b) 
3
2

1
1


1
1


122


(c)  2 4 3 
121

0
0

(d) 
0
0
0
0
0
0

0
3


3
4


0130


(e)  1 1 0 1 
0260


0 0 0 −2 2 2


(f )  0 0 0 2 1 1 
000 111
Úloha 3.7 [úlohy s neznámou] Najděte všechna reálná čı́sla x tak, aby zadaná matice byla
v Gaussově
tvaru: 







1 2 2


(a)  0 1 3 
0 x+2 1
1 2 2


(c)  0 0 3 
0 0 1+x2
1 2 2


(b)  0 4−x2 3 
0 0 1
9
1 2 3 2 4


(d)  0 0 2x2 1 5 
0 0 0 0 1
OTÁZKY
Otázky 3.1 [lineárnı́ kombinace]
(a) Jaký je rozdı́l mezi triviálnı́ a netriviálnı́ linárnı́ kombinacı́?
(b) Jaký je rozdı́l mezi tı́m, dělat lineárnı́ kombinaci s nezápornými koeficienty a tı́m,
dělat lineárnı́ kombinaci s kladnými koeficienty?
(c) Jak se dělá lineárnı́ kombinace jednoho vektoru?
(d) Jak by vypadal vektor, který je lineárnı́ kombinacı́ sebe sama?
(e) Je dán soubor dvou vektorů ve V2 a sice ⃗a = (1, −2), ⃗b = (0, 0). Kolik lineárnı́ch
kombinacı́ tohoto souboru lze vytvořit a proč nikdy nevznikne vektor ⃗c = (1, 2) ?
Otázky 3.2 [matice v Gaussově tvaru]
(a) Je nulová matice O maticı́ v Gaussově tvaru nebo ne? Proč?
(b) Je jednotková matice E maticı́ v Gaussově tvaru nebo ne? Proč?
(c) Matice M majı́cı́ jen jeden řádek je skoro vždy v Gaussově tvaru. Jak je to přesně?
(d) Mohou být v matici v Gaussově tvaru záporná čı́sla?
(e) Lze nějak snadno popsat všechny matice typu 2 × 2, které jsou v Gaussově tvaru?
(f ) Žádná matice typu 3 × 2 nenı́ v Gaussově tvaru. Proč?
[
]
[
]
1 2 4 −2
120 7
(g) A =
, B=
jsou dvě matice v Gaussově tvaru. Ale matice
0 0 −1 2
0 0 1 −2
A + B ani matice A − B nejsou v Gaussově tvaru. Je to tak vždycky?
(h) Zvolme si matici C, která je v Gaussově tvaru. Potom jejı́ matice transponovaná
může, ale nemusı́ být v Gaussově tvaru. Ukažte přı́klady.
Otázky 3.3 [ekvivalentnı́ úpravy]
(a) Můžeme při ekvivalentnı́ch úpravách přidat do matice nulový řádek?
(b) Je-li v matici nulový řádek, můžeme ho při ekvivalentnı́ch úpravách dělit nulou?
(c) Můžeme při ekvivalentnı́ch úpravách přidat do matice kopii kteréhokoliv řádku?
(d) Můžeme při ekvivalentnı́ch úpravách přičı́st k prvnı́mu řádku všechny ostatnı́?
[
(e) Zdůvodněte správnost:
]
[
]
[
32 42
21 14 28 14
21 14 28 14
∼
∼
7 0 −1 2
−21 0 3 −6
0 14 31 8



]

3247
−3 2 4 7
[
]

 

(f ) Zdůvodněte, proč je toto nesprávné:  1 2 5 2  ∼  0 0 0 0  ∼ −3 2 4 7
0000
1252
(g) Při ekvivalentnı́ch úpravách se může jeden ze dvou stejných řádků vyškrtnout. Proč?
Otázky 3.4 [hodnost matice]
(a) Jakou hodnost má matice nulová O a jakou hodnost má matice jednotková E?
(b) Jakou největšı́ hodnost může mı́t matice typu 4 × 2?
(c) Jak by vypadala matice M taková, že h(M ) ̸= h(M T )?
(d) Mám matici Q. Co se může stát s jejı́ hodnostı́, když k nı́ přičtu jinou matici téhož
typu? Může se změnit a to i hodně změnit?
10
APLIKACE
Aplikace 3.1 [závislost a nezávislost]
Testujte závislost či nezávislost daných souborů:
(a) (3, −1), (−3, 1), (12, −4),
(b) (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 1, 8), (−2, −2, −2),
(c) (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, −3, 1), (1, 1, 1, −4)
(d) (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1, 1),
(e) (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1).
Aplikace 3.2 [náleženı́ do lineárnı́ho obalu] V každé úloze zjistěte, který z vektorů p⃗, ⃗q, ⃗r, ⃗s
patřı́ do lineárnı́ho obalu souboru S.
(a) S : (1, −2), (−1, 2), (0, 0);
p⃗ = (8, 9), ⃗q = (8, −9), ⃗r = (1, 1), ⃗s = (−2, 4),
(b) S : (1, −2, 1), (−1, 2, 2), (0, 0, 3);
p⃗ = (1, 1, 1), ⃗q = (2, 8, 0), ⃗r = (1, 0, 1), ⃗s = (0, 0, 4),
(c) S : (1, −1, 1, 1), (0, 1, −1, 2), (0, 0, 0, 0);
p⃗ = (−2, 2, 2, 2), ⃗q = (0, −2, 2, −4), ⃗r = (1, 0, 0, 3), ⃗s = (1, 1, 1, 1),
(d) S : (1, 1, 1, 0, 1), (1, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 1, 0, 1);
p⃗ = (0, 0, 1, 8, 9), ⃗q = (2, 3, 3, 0, 0), ⃗r = (1, 1, 1, 1, 1), ⃗s = (2, 0, 0, 0, 0).
Aplikace 3.3 [testovánı́ kandidátů na bázi prostoru Vn ] Báze Vn musı́ mı́t právě n vektorů
a musı́ mı́t hodnost n. V každé úloze nı́že je zadán jeden kandidát na bázi prostoru Vn pro
nějaké n. U každého prověřte a zdůvodněte, proč to je anebo nenı́ báze Vn .
(a) V2 ; (1, −1), (−3, 1), (1, −4),
(b) V4 ; (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, −3, 1), (1, 1, 1, 0)
(c) V3 ; (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 1, 8), (0, 2, 1),
(d) V5 ; (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1, 1),
(e) V6 ; (1, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 1).
Aplikace 3.4 [určenı́ dimenze podprostoru zadaného generátory] Je-li podprostor P zadán
systémem generátorů G, tj. P = ⟨⟨G⟩⟩, pak jeho dimenze dimP se určı́ jako h(G). Určujte
dimenzi prostoru P v jednotlivých přı́padech zadánı́ systému jeho generátorů G:
(a) (3, −1), (−3, 1), (12, −4),
(b) (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 1, 8), (−2, −2, −2),
(c) (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, −3, 1), (1, 1, 1, −4)
(d) (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1, 1),
(e) (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 0, 0, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1).
Aplikace 3.5 [přeměna systému generátorů podprostoru na jeho bázi] Při ekvivalentnı́
úpravě systému generátorů G vypadnou nadbytečné vektory“ a zbude báze podprostoru
”
generovaného systémem G. Většinou je vı́ce možnostı́. Proved’te v jednotlivých přı́padech:
(a) (3, −1), (−3, 1), (6, −2),
(b) (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 3, 4), (−2, −2, −2),
(c) (0, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, −3, 1), (0, 1, 1, −4)
(d) (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (2, 2, 2, 0, 2),
(e) (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0), (1, 1, 2, 2, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1).
11
TÉMA 4. Čtvercové matice
je počet jejı́ch řádků (sloupců), tj. A je typu n × n
determinant čtvercové matice A,
algebraický doplněk prvku aij ve čtvercové matici A
matice adjungovaná k matici A
matice inverznı́ k matici A (platı́ A · A−1 = A−1 · A = E)
hodnost je rovna jejı́mu řádu, determinant nenı́ roven nule;
pouze regulárnı́ matice má matici inverznı́
hodnost je menšı́ než jejı́ řád, determinant se rovná nule
Řád čtvercové m. A ...
det(A) . . .
Aij . . .
A, adj(A) . . .
A−1 . . .
Regulárnı́ matice . . .
Singulárnı́ matice . . .
Poznámky
• Algebraický doplněk Aij v A se počı́tá jako Aij = (−1)i+j · det(SA,i,j ), kde SA,i,j je
submatice matice A, kterou z nı́ zı́skáme vyškrtnutı́m i-tého řádku a j-tého sloupce.
• Matici adjungovanou k A sestavujeme z doplňků a pak ještě transponujeme. Každá
čtvercová matice má matici adjungovanou.
• Determinanty vyššı́ch řádů počı́táme rozvojem (Laplaceův rozvoj).
Výpočet determinantu
[
Řád 2 (křı́žové pravidlo): det


a b
c d
]
= a · d − c · b,
řád 3 (Sarrusovo pravidlo):
a11 a12 a13


det  a21 a22 a23  = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − (a13 a22 a31 + a11 a23 a32 + a12 a21 a33 )
a31 a32 a33
Rozvoj podle řádku i:
Rozvoj podle sloupce j:
det(A) = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + . . . + ain Ain
det(A) = a1j A1j + a2j A2j + . . . + anj Anj
Poznámky
• Při přehazovánı́ řádků v A se může změnit znaménko det(A). Z řádku lze vytknout
čı́slo před celý determinant. Determinant se neměnı́, když k vybranému řádku přičteme
(odečteme) lineárnı́ kombinaci řádků ostatnı́ch.
• Pro libovolné matice řádu n platı́ det(A) = det(AT ), det(A · B) = det(A) · det(B).
Výpočet inverznı́ matice k matici regulárnı́
Pomocı́ matice adjungované: A−1 =
[
Eliminacı́:
]
1
det A
·A
[
−1
A | E ∼ ... ∼ ... ∼ E | A
[
]
[
Poznámky
a b
• Druhý řád: pro A =
je A =
c d
d −b
−c
a
]
[
]
a pak A−1 =
1
det A
·
d −b
−c
a
]
• V přı́padě většı́ch matic může být výpočet inverznı́ matice dosti časově náročný.
• Jsou-li A, C regulárnı́ matice, můžeme řešit různé maticové rovnice takto:
A · X = B −→ A−1 · A · X = A−1 · B −→ E · X = A−1 · B −→ X = A−1 · B.
X · A = B −→ X · A · A−1 = B · A−1 −→ X · E = B · A−1 −→ X = B · A−1 .
A · X · C = B −→ A−1 · A · X · C · C −1 = A−1 · B · C −1 −→ X = A−1 · B · C −1 .
12
ÚLOHY
Úloha 4.1 [singulárnı́ a regulárnı́ matice pomocı́ hodnosti] Určenı́m hodnosti zjistěte, která
ze zadaných čtvercových matic je singulárnı́ a která je regulárnı́:




[
(a)
1 −2
2 −1
]
[
−3 1
(b)
6 −2


]
211


(c)  4 2 5 
003


0501
1 0 3 2


(e) 

0 1 3 3
105


(d)  0 1 0 
110


(f ) 

0030
1 −1 2 0
1 1 1 2


1 0 3 0
−1 3 3 0


1 −3 1
Úloha 4.2 [algebaický doplněk] V matici M vpravo bude algebraický


M = 2 2 3
doplněk kteréhokoliv prvku mij označen symbolem Mij . Nynı́ vypočtěte
1 0 10
hodnoty zadaných výrazů:
(a) M11 + 2M22 + 3M33
(b) m11 M21 + m22 M23
(c) m12 M12 + m22 M22 + m32 M32
(d) M31 · M32 + M13
(e) m13 M12 − m21 M21
(f ) m31 M21 + m32 M22 + m33 M23
Úloha 4.3 [singulárnı́ a regulárnı́ matice pomocı́ determinantu] Počı́tejte determinanty
matic z úlohy 4.1 podle návodů nı́že. Po zjištěnı́ hodnoty determinantu vždy rozhodněte,
zda je zadaná matice regulárnı́:
(i) Určete determinanty matic z úloh 4.1 (c), (d) Sarrussovým pravidlem.
(ii) Určete determinanty matic z úloh 4.1 (c), (e) rozvojem podle poslednı́ho řádku.
(iii) Určete determinanty matic z úloh 4.1 (d), (f) rozvojem podle poslednı́ho sloupce.
Úloha 4.4 [determinant úpravou a následným rozvojem] Vypočtěte determinanty matic
4. a 5. řádu úpravou a rozvojem. Určete, které z nich jsou singulárnı́.

1
1

(a) 
0
0


2 01
0 −1 2 


1 3 3
2 36
2
 4

(b) 
 0
−1
5
0
1
4
0
3
3
3


2 5
1 0


(c)  0 2

3 5
4 −1
1
2


3
2
0
3
0
3
3


1 −1
0 1


0 0

0 −1 
2 1

1 −1 2 0 1
 1 1 1 1 1




(d)  1 0 3 −1 2 


 −1 3 3 −2 3 
1 23 12
[
Úloha 4.5 [inverznı́ matice 2. řádu pomocı́ adjungované matice] Vpravo
je zadána matice 2. řádu A. Pro nı́že uvedené matice B, C, D, F, G, H
určete pomocı́ matice adjungované jejich matice inverznı́ (pokud existujı́):
B = AT ,
D = A · A,
C = A + A,
Úloha 4.6 [inverznı́ matice eliminacı́]
[
(a)
1 −2
0 −1
]
[
(b)
31
11
]

[
(a) matice
−1 x
0 10

011


(d)  1 0 1 
110

0
1

(e) 
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1

0
0


1
0

1
 1

(f ) 
 1
−1
0
1
0
3

0 0
0 0


1 0
0 −2
Najděte všechna reálná čı́sla x tak, že:
]
[
nemá matici inverznı́,


]
H = det(A) · A.
Vypočtěte inverznı́ matice eliminacı́:

111


(c)  0 1 1 
001
Úloha 4.7 [úlohy s neznámou]
G = A−1 ,
F = A,
1 2
A=
0 −1
(b) matice

−2 2 x


(c) determinat matice  1 0 −3  je záporný,
1 x −7
13
2 1
4−x2 0
]
je regulárnı́,


1 2 3


(d) determinat matice  x 1 x  se nerovná 5.
1 1 4
OTÁZKY
Otázky 4.1 [regulárnı́ a singulárnı́ matice]
(a) Je nulová matice O regulárnı́ nebo singulárnı́?
(b) Je jednotková matice E regulárnı́ nebo singulárnı́?
(c) O matici 3. řádu M vı́me, že je v Gaussově tvaru. Je M regulárnı́ nebo singulárnı́?
(d) Vı́me, že matice U je regulárnı́ a matice V je singulárnı́. Která má většı́ determinant?
(e) Čeho je vı́ce - regulárnı́ch matic nebo singulárnı́ch matic?
Otázky 4.2 [determinant]
(a) V jednotkové matici E pro každé i, j platı́ Eij = eij . Vysvětlete blı́že u 4. řádu.
(b) Pro matici 4. řádu M platı́ det M = 0. Co můžeme řı́ci o jejı́ hodnosti h (M ) ?
(c) Pro čtvercovou matici M platı́ det M = 54. Co můžeme řı́ci o jejı́ hodnosti h (M ) ?
(d) Dokážete za 1 minutu sestavit 2 různé matice 2. řádu B1 , B2 takové, že bude platit
det B1 = det B2 = 120 ?
(e) Vpravo je zadána matice Q. Snadno zjistı́me, že platı́ rovnost
det(Q + Q) = det Q + det Q. Platı́ to pro každou matici Q?
[
[
(f ) Vı́me, že vztah det(A · B) = det(A) · det(B) platı́ pro každé dvě ma-
tice stejného řádu. Za jak dlouho spočtete hodnotu det(W 19 ) pro matici W
zadanou vpravo?
(g) V zadané matici vpravo najděte čı́slo x tak, aby tato matice měla
(i) co nejmenšı́ determinant,
(ii) co největšı́ determinant.
−1 2
3 −6
[
1 1
1 0
x −1
4
x
]
]
]
Otázky 4.3 [inverznı́ matice]
(a) V zadané matici vpravo najděte všechna čı́sla x taková, že tato matice
(i) má matici adjungovanou,
(ii) nemá matici adjungovanou.
(b) V zadané matici vpravo najděte všechna čı́sla x taková, že tato matice
(i) má matici inverznı́,
[
(ii) nemá matici inverznı́.
[
x −x
4
x
2 −1
4
x
(c) Pro jednotkovou matici E platı́ vztah E · E = E. To znamená, že E −1 = E. Matice
M , pro kterou platı́ M −1 = M se nazývá samoinverznı́. Najděte ve 2. řádu jinou matici než
E, která je samoinverznı́.
(d) Ve 2. řádu umı́me rychle vyrobit matici adjungovanou, takže snadno vidı́me, že
jednotková matice 2. řádu E je samoadjungovaná, tj. E = E. Tuto vlastnost má i nulová
matice 2. řádu O, ale ta nenı́ samoinverznı́ (proč?). Najděte matici 2. řádu F , která:
(i) je samoinverznı́, ale nenı́ samoadjungovaná,
(ii) nenı́ samoinverznı́ a nenı́ to O, ale je samoadjungovaná.
(e) Vı́me, že vztah det(A · B) = det(A) · det(B) platı́ pro každé dvě matice stejného
řádu. Tedy i pro matice C a C −1 . Je-li např. det C = 4, pak vı́me, kolik je det C −1 . Kolik?
(f ) Je-li G čtvercová matice v Gaussově tvaru, pak det G je roven součinu prvků v hlavnı́
diagonále. Předved’te na přı́kladu matice 4. řádu.
14
]
]
APLIKACE


u1 u2 u3


Z =  v1 v2 v3 
z31 z32 z33
Aplikace 4.1 [vektorový součin] ⃗u = (u1 , u2 , u3 ), ⃗v = (v1 , v2 , v3 )
jsou dva vektory ve V3 . Sestavı́me matici 3. řádu Z (vpravo) tak,
že do 1. řádky dáme vektor ⃗u, do druhé vektor ⃗v a do třetı́ názvy
prvků z31 , z32 , z33 . Pak dostaneme (pomocı́ algebraických doplňků)
⃗u × ⃗v = (Z31 , Z32 , Z33 ). Prověřte pro ⃗u = (1, 2, −1), ⃗v = (3, 4, 1).


a1 a2 1


S =  b1 b2 1 
c1 c2 1
Aplikace 4.2 [determinant v geometrii] A = [a1 , a2 ], B = [b1 , b2 ], C =
[c1 , c2 ] jsou tři body v rovině. Připravı́me
matici 3. řádu S vpravo.
1
Potom obsah △ABC je roven 2 det(S).
(a) Dány trojúhelnı́ky △A1 B1 C1 : [1, 1], [4, 3], [−2, −5], △A2 B2 C2 : [1, 0], [−4, 1], [−5, 3].
Který trojúhelnı́k má většı́ obsah?
(b) Najděte čı́slo x tak, aby trojúhelnı́k o vrcholech [x, 4], [2, 1], [−1, 2] měl obsah roven 5.
Aplikace 4.3 [testovánı́ bázı́ prostorů Vn ] Vektory každé báze prostoru Vn tvořı́ regulárnı́
matici řádu n. Testujte determinantem, zda daný systém vektorů je bázı́ přı́slušného Vn :
(a) (1, −1), (−3, 1), (b) (1, 0, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 0, 1), (1, 2, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 1, 0), (1, 0, 1, 1, 1),
(c) (1, 2, 3), (1, 1, 1), (2, 1, 8),
(d) (1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, −3, 1), (1, 1, 1, 0),
(e) (1, 0, 1, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0, 0, 1), (0, 0, 1, 1, 0, 1), (1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0, 0, 1).
[
]
[
12
1 2
Aplikace 4.4 [řešenı́ maticových rovnic užitı́m inverznı́ch matic] P =
, Q=
11
−1 0
]
jsou regulárnı́ matice, které vystupujı́ maticových rovnicı́ch nı́že. Řešte jednotlivé rovnice.
Pomůcka: V úloze (d) je třeba začı́t takto: X · Q + X · P = X · (Q + P ) = . . .; v úloze (f)
je třeba začı́t takto: Q · X − X = Q · X − E · X = (Q − E) · X = . . ..
[
(a) P · X =
1 2 1 2
−1 0 −3 0
[
]
(d) X · Q + X · P = 20 −12
[
(b) X · Q = 10 −2
]
[
(e) Q · X · P =
[
]
(c) P · X + 2Q =
2 −1
0 4
]
[
(f ) Q · X − X =
3 −6
12 1
31
32
]
]
Aplikace 4.5 [vstupně-výstupnı́ makroekonomická analýza] Farmář vyrábı́ ve své biofarmě
kukuřici a organické hnojivo. Na produkci 1 tuny kukuřice spotřebuje 0.1 tuny kukuřice
(výsev) a 0.8 tuny hnojiva (hnojenı́). Na produkci 1 tuny hnojiva potřebuje 0.5 tuny kukuřice
(krmenı́ krav) a žádné hnojivo. Označme ještě d1 a d2 množstvı́ v tunách kukuřice a hnojiva,
které chce prodat. Musı́ vyrobit celkem x1 tun kukuřice (pro vlastnı́ spotřebu + na prodej)
a x2 tun hnojiva (pro vlastnı́ spotřebu a na prodej). Hodnotové rovnice (v tunách) jsou:
[
]
[
]
[
]
kukuřice: x1 = 0.1x1 + 0.5x2 + d1
0.1 0.5
x
d
maticově X =
·X+D, kde X= 1 , D= 1 .
0.8 0.0
x2
d2
hnojivo: x2 = 0.8x1 + 0.0x2 + d2
[
]
[
]
0.1 0.5
0.1 0.5
Dále X =
· X + D −→ E · X −
· X = D −→
0.8 0.0
0.8 0.0
[
−→
]
[
0.9 −0.5
0.9 −0.5
· X = D −→ X =
−0.8 1.0
−0.8 1.0
]−1
· D.
([
]
[
10
0.1 0.5
−
01
0.8 0.0
])
·X = D
Zbývá určit inverznı́ matici.
Jesliže chce farmář prodat 4 tuny kukuřice a 2 tuny hnojiva (tj. d1 =4, d2 =2), kolik musı́
vyrobit těchto produktů (tj. x1 , x2 )? Je tedy známa matice D a snadno určı́me matici X.
Dokončete výpočet.
15
TÉMA 5. Soustavy lineárnı́ch rovnic
a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
...
...
...
am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm


a11 a12 . . . a1n


A =  ... ... ... ...  ,
am1 am2 . . . amn
A a A∗ . . .
m, n . . . . . .
⃗b. . .
⃗x . . .
Řešenı́ . . .
h(A) = h(A∗ )
Regulárnı́ soustava

a11 a12 . . . a1n

A∗ =  . . . . . . . . . . . .
am1 am2 . . . amn

b1

... 
bm
matice soustavy a rozšı́řená matice soustavy
počet rovnic, počet neznámých (proměnných)
= (b1 , b2 , . . . , bm ), vektor pravých stran
= (x1 , x2 , . . . , xn ), vektor neznámých
jakýkoliv vektor ⃗x, který splňuje všechny rovnice
Frobeniova podmı́nka; soustava je řešitelná ⇔ F. p. je splněna
tj. h(A) = h(A∗ ) = n = m; taková soustava má jediné řešenı́
Poznámky
• Je-li h(A) = h(A∗ ) < n, soustava má nekonečně mnoho řešenı́.
• Je-li h(A) = h(A∗ ) = n, soustava má jediné řešenı́.
Metody řešenı́ regulárnı́ soustavy rovnic
Cramerovo pravidlo. Označı́me Aj matici, která vznikne, když v A nahradı́me j-tý
sloupec sloupcem pravých stran. Potom je
xj = det(Aj )/ det(A).
Gaussova eliminace. Rozšı́řenou matici soustavy upravı́me na Gaussův tvar. Pak
z nových rovnic postupně vypočı́táváme xn , xn−1 až x1 .
[
]
[
]
′
T
⃗T
A | b
∼ . . . ∼ . . . ∼ A | ⃗c
Jordanova eliminace. Rozšı́řenou matici soustavy upravujeme, až na mı́stě matice A
dostaneme matici E. Pak na mı́stě vektoru pravých stran ⃗bT je přı́mo řešenı́ ⃗xT .
[
]
[
]
⃗ T ∼ . . . ∼ . . . ∼ E | ⃗xT
A | b
Užitı́ inverznı́ matice. Řešı́me matic. rov. A · ⃗xT = ⃗bT vynásobenı́m obou stran zleva A−1 .
A · ⃗xT = ⃗bT −→ A−1 · A · ⃗xT = A−1 · ⃗bT −→ E · ⃗xT = A−1 · ⃗bT −→ ⃗xT = A−1 · ⃗bT .
Homogennı́ soustava, tj. ⃗b = ⃗o
Množina všech řešenı́ je podprostor H ve Vn a dim (H)=k=n−h(A). Po úpravě Gaussovou
eliminacı́ rozlišı́me bázické a nebázické (volné) proměnné. Vhodnou volbou volných
proměnných postupně zı́skáme vektory h⃗1 , . . . , h⃗k tvořı́cı́ bázi podprostoru H.
Obecné řešenı́ je ⃗h = c1 · ⃗h1 + . . . + ck · ⃗hk , kde c1 , . . . , ck jsou libovolné konstanty.
Nehomogennı́ soustava, tj. ⃗b ̸= ⃗o
Je třeba zı́skat jakékoliv jedno (tzv. částečné) řešenı́ p⃗ = (p1 , . . . , pn ) této soustavy (např.
Gaussovou eliminacı́ a volbou nebázických proměných rovných nule).
Dále je třeba vyřešit přı́slušnou homogennı́ soustavu - najı́t jejı́ obecné řešenı́ ⃗h.
Pak platı́ schéma Obecné řeš. = částečné řeš. + homogennı́ řeš. což znamená, že obecné
řešenı́ je ⃗x = p⃗ + ⃗h = p⃗ + c1 · ⃗h1 + . . . + ck · ⃗hk (c1 , . . . , ck jsou libovolné konstanty).
16
ÚLOHY
Úloha 5.1 [regulárnı́ soustava rovnic]
(a) Které z daných čtyřech soustav o neznámých x1 , x2 jsou regulárnı́?
2x1 − x2 = 1
6x1 + 3x2 = 2
2x1 − x2 = 2
6x1 − 3x2 = 4
2x1 + 2x2 = 2
3x1 + 3x2 = 6
2x1 − 5x2 = 0
1x1 − 3x2 = 0
(b) Řešte Cramerovým pravidlem ty soustavy z 5.1 (a), pro které to lze.
(c) Řešte pomocı́ inverznı́ matice ty soustavy z 5.1 (a), pro které to lze.
(d) Řešte Gauss-Jordanovou eliminacı́ ty soustavy z 5.1 (a), pro které to lze.
Úloha 5.2 [Frobeniova podmı́nka] Pro každou ze zadaných soustav rovnic o neznámých
z1 , z2 , z3 , z4 prověřte Frobeniovu podmı́nku a určete počet řešenı́.
−
+
−
+
(a)
z1 + 2 z2 + z3 + z4 = 1
3 z1 − z2 − 2 z3 + z4 = 0
2z1 + 4z2 + 2 z3 + z3 = 2
z1
−3 z1
(b)
2 z1
−2 z1
2 z2
6 z2
z2
4 z2
+
−
+
+
2 z3
2 z3
3 z3
z3
+
+
+
+
z4
z4
z4
z4
= 2
= −6
= 3
= −4
(c)
z1 − 2 z2 + 2 z3 + z4 = 2
3 z1 + 6 z2 − 2 z3 + z4 = −6
(d) −4z1 − 2 z2 + 2 z3 + z4 = 2
Úloha 5.3 [homogennı́ soustavy] Najděte jednu možnou bázi prostoru všech řešenı́ homogennı́ soustavy o neznámých t1 , t2 , t3 , t4 :
t1 + 2t2 + t3 + t4 = 0
(a) 2t1 + 5t2 + 2t3 − t4 = 0
t1 + 3t2 + t3 − 2t4 = 0
t1 + t2 + t3 + t4 = 0
(b) 2t1 + 2t2 + t3 + t4 = 0
3t1 + 3t2
+ 2t4 = 0
Úloha 5.4 [nehomogennı́ soustavy]
neznámých x1 , x2 , x3 :
(a)
x1 + 2x2 + x3 = 6
2x1
+ x3 = 1
Úloha 5.5 [úlohy s neznámou]
(b)
t1 + t2 − t3 − t4 = 0
(c) −t1 − t2 + t3 + t4 = 0
2t1 + 2t2 − 2t3 − 2t4 = 0
Napište obecné řešenı́ nehomogennı́ soustavy o třech
x1 + 2x2 − x3 = −6
2x1 + 4x2 − 2x3 = 0
(c)
x1 + 2x2 + x3 = 6
2x1 + 4x2 − x3 = 6
Najděte všechna reálná čı́sla p tak, že
(a) soustavu
px1 + 3x2 = 5
o neznámých x1 , x2 nelze řešit Cramerovým pravidlem;
−6x1 − 2px2 = 1
(b) soustava
2y1 + 4y2 − 2y3 = 3
o neznámých y1 , y2 , y3 splňuje Frobeniovu podmı́nku;
y1 + 2y2 + 5y3 = p
(c) prostor všech řešenı́ homogennı́ soustavy
y1 + 2y2 − 2y3 = 0
o neznámých y1 , y2 , y3
2y1 + 4y2 + py3 = 0
má dimenzi 2;
(d) soustava
py1 + 2y2 − 2y3 = 1
y1 − 4y2 + y3 = 2
2y1 + 4y2
=3
o neznámých y1 , y2 , y3 má jediné řešenı́.
17
OTÁZKY
Otázky 5.1 [souřadnice vektoru v bázi]
(a) Úloha na určenı́ souřadnic vektoru v bázi vede na regulárnı́ soustavu rovnic. Petr a
Pavel řešili stejnou úlohu: určete souřadnice c1 , c2 vektoru (−4, 8) v bázi (1, 2), (1, 3). Oba
sestavili regulárnı́ soustavu dvou rovnic o neznámých c1 , c2 a to takto
Petr:
c1 + 2c2 = −4
c1 + 3c2 = 8
Pavel:
c1 + c2 = −4
.
2c1 + 3x2 = 8
Petr to má špatně a Pavel dobře. Proč?
Linda řešı́ úlohu: určit souřadnice c1 , c2 vektoru (4, −8) v bázi (−1, 2), (3, −6).
Sestavı́ soustavu dvou rovnic o neznámých c1 , c2 a řešı́ Cramerovým pravidlem. To však
selže. To je opravdu divné, nebot’ (4, −8) = (−1) · (−1, 2) + 1 · (3, −6). Vysvětlenı́?
(b)
(c) Je zadána báze B : ⃗b1 =(−1, 10), ⃗b2 =(3, 5) prostoru V2 . Vysvětlete, která z úloh (i)
nebo (ii) nı́že je jednoduššı́ než ta druhá a proč.
(i) Určit souřadnice vektoru (2, 1) v B. (ii) Určit vektor, jehož souřadnice v B jsou 2, 1.
Otázky 5.2 [Cramerovo pravidlo]
(a) Kdy je možno řešit homogennı́ soustavu lineárnı́ch rovnic Cramerovým pravidlem?
(b) Výpočet souřadnic zadaného vektoru v zadané bázi prostoru Vn je možno vždycky
provést Cramerovým pravidlem. Proč?
(c) Máme zadánu soustavu lineárnı́ch rovnic, kterou nelze vyřešit pomocı́ inverznı́ matice.
Potom ji nutně nelze vyřešit ani Cramerovým pravidlem. Proč?
(d) Kolik řešenı́ má soustava, kterou lze vyřešit Cramerovým pravidlem?
Otázky 5.3 [Frobeniova podmı́nka, soustava lineárnı́ch rovnic]
(a) Homogennı́ soustava lineárnı́ch rovnic vždy splňuje Frobeniovu podmı́nku? Proč?
(b) Jan si nevšimnul, že ve druhé rovnici soustavy o třech
x1 + 2x2 + 5x3 = 14
neznámých x1 , x2 , x3 napravo bylo (záměrně) zaměněno pořadı́ x2 a
x1 + 2x3 + 5x2 = 15
x3 . Postupoval jak vidı́me nı́že. Jak to mělo být správně?
[
]
[
]
x1 + 2x2 + 5x3 = 14
1 2 5 14
1 2 5 14
→
∼
→ h(A)=1, h(A∗ )=2 → soustava nemá řešenı́.
x1 + 2x3 + 5x2 = 15
1 2 5 25
0 0 0 11
(c) Kolik řešenı́ může mı́t soustava 2 rovnic o 3 neznámých? Ukažte přı́klady.
(d) Kolik řešenı́ může mı́t soustava 3 rovnic o 2 neznámých? Ukažte přı́klady.
Kdy nehomogennı́ soustava jedné rovnice o 4 neznámých nesplňuje Frobeniovu
podmı́nku?
(e)
(f ) Napravo je soustava dvou rovnic o neznámých t1 , t2 , t3 , kde
čı́slo p je parametr. Proč hodnota p nemá vliv na počet řešenı́?
(g) Napravo je soustava dvou rovnic o neznámých u1 , u2 , u3 , kde
čı́slo p je parametr. Proč hodnota p nemá vliv na počet řešenı́?
(h) Napravo je soustava dvou rovnic o neznámých v1 , v2 , v3 , kde
čı́slo p je parametr. Proč hodnota p má vliv na počet řešenı́?
(i) Napravo je homogennı́ soustava dvou rovnic o neznámých
w1 , w2 , w3 . Jejı́ prostor všech řešenı́ P má dimenzi 1, tj. jeho bázi tvořı́
jediný vektor. Proč vektor ⃗v = (1, 1, 1) nemůže být bázı́ prostoru P ?
18
t1 − 2t2 + 2t3 = 3
2t1 − 4t2 + 5t3 = p
u1 − 2u2 + 2u3 = 3
2u1 − 4u2 + pu3 = 6
v1 − 2v2 + 2v3 = 3
2v1 − 4v2 + pv3 = 5
w1 − 2w2 + 2w3 = 0
2w1 − 4w2 + 5w3 = 0
APLIKACE
Aplikace 5.1 [souřadnice vektoru v bázi] Určenı́ souřadnic vektoru
c1 + c2 + c3 = −4
v bázi vede na regulárnı́ soustavu rovnic. Např. určujeme-li souřadnice 2c1 + 3c2 − 3c3 = 8
c1 + 2c2 + 2c3 = 2
c1 , c2 , c3 vektoru (−4, 8, 2) v bázi (1, 2, 1), (1, 3, 2), (1, −3, 2), vede to na
soustavu třı́ rovnic o třech neznámých napravo.
Vyřešte soustavu (i) Cramerovým pravidlem, (ii) Gaussovou eliminacı́. Co bylo rychlejšı́?
Aplikace 5.2 [regresnı́ přı́mka] Data tvořı́ N dvojic
∑
∑
N · q + xi · k = xi
souřadnic [xi , yi ] bodů v rovině. Napřı́klad N = 5 a body jsou
∑
∑
∑
xi · q + x2i · k = xi yi
[1, 2], [0, 0], [−1, −1], [4, 2], [4, 3]. Tato data chceme proložit regresnı́ přı́mkou y = k · x + q, jejı́ž parametry jsou k, q.
Metoda nejmenšı́ch čtverců dává přı́mo soustavu dvou rovnic k výpočtu hodnot k, q, viz
∑
∑
vpravo. V našem přı́padě je
xi = 1+0+(−1)+4+4 = 8,
yi = 2+0+(−1)+2+3 = 6,
∑ 2
∑
xi = 1+0+1+16+16 = 34,
xi yi = 2+0+1+8+12 = 23. Dosad’te do soustavy a určete
Cramerovým pravidlem hodnoty q, k.
Aplikace 5.3 [alternativnı́ rozhodovánı́] Zásilka červeného křı́že bude vypravena země postižené zemětřesenı́m. Hodnota zásilky je 155 000 USD, kapacita nákladnı́ho letadla je 6 000
krychlových stop úložného prostoru při maximálnı́ hmotnosti nákladu 40 000 liber. Zásilka
je složena ze 4 druhů kontejnerů: kontejneru krevnı́ch konzerv (objem 20 krychlových stop,
váha 150 liber, cena 1 000 USD za kontejner), kontejneru lékařských potřeb (objem 30, váha
100, cena 300), kontejneru potravin (objem 8, váha 55, cena 400) a kontejneru pitné vody
(objem 6, váha 70, cena 200). Označı́me-li x1 , x2 , x3 , x4 po řadě počty kontejnerů jednotlivých
druhů, můžeme napsat uvedené podmı́nky ve tvaru soustavy třı́ rovnic (rovnice pro objem,
rovnice pro váhu, rovnice pro cenu) o 4 neznámých. Tu pak zapı́šeme do rozšı́řené matice
soustavy a dále uvážı́me, že jedna z proměnných je volná - zvolı́me si za ni x4 a převedeme
na druhou stranu. Pak provedeme Gauuss-Jordanovu eliminaci. Výsledek vidı́te nı́že:
20x1 + 30x2 + 8x3 + 6x4 = 6 000
150x1 + 100x2 + 55x3 + 70x4 = 40 000
1 000x1 + 300x2 + 400x3 + 200x4 = 155 000



−→

20 30
8
6

 150 100 55 70
1 000 300 400 200

6 000

40 000  −→
155 000

20 30
8 6 000 − 6x4
1 0 0 927.1 − 3.008x4
x1 = 927.1 − 3.008x4




120.8 − 0.083x4  −→ x2 = 120.8 − 0.083x4
 150 100 55 40 000 − 70x4  −→  0 1 0
1 000 300 400 155 000 − 200x4
0 0 1 −2021 + 7.083x4
x3 = −2021 + 7.083x4
Např. pro volbu x4 = 290 je x1 = 54.8, x2 = 96.7, x3 = 33, tj. možné složenı́ zásilky by bylo
54, 96, 33, 290. Jaké by bylo složenı́ zásilky odpovı́dajı́cı́ požadavku 30 kontejnerů krve?
Aplikace 5.4 [ekonomická optimalizace] Firma vyrábı́ 3 podobné produkty:
produkt A - spotřeba na jednotku produktu: práce 5 hodin, materiál 15 kg,
produkt B - spotřeba na jednotku produktu: práce 2 hodiny, materiál 10 kg,
produkt C - spotřeba na jednotku produktu: práce 4 hodiny, materiál 12 kg.
Naplánujte měsı́čnı́ výrobu tak, aby celkový objem byl 400 jednotek produkce, přičemž je
k dispozici 1 300 pracovnı́ch hodin a 4 700 kg materiálu. Řešenı́ spočı́vá v sestavenı́ a vyřešenı́
soustavy rovnic o neznámých n1 , n2 , n3 - po řadě počtů jednotek produktů A, B, C):
5n1 + 2n2 + 4n3 = 1 300
15n1 + 10n2 + 12n3 = 4 700
n1 + n2 + n3 = 400
Vyřešte ji.
19
TÉMA 6. Relace, zobrazenı́, funkce
Pro konečnou množinu X značı́me |X| počet jejı́ch prvků. Prázdná množina ∅ má 0 prvků.
r : X −→ Y
relace s def. oborem D(r) = X a oborem hodnot Y ; takových relacı́ je
(
)
|
2|X|·|Y | a počet takových k-šipkových relacı́ je |X|·|Y
; pro P ⊆ X, Q ⊆ Y
k
−1
jsou r(P ) obraz a r (Q) vzor při r; Ar je matice sousednosti relace r
r| P, Q . . .
r−1 , s ◦ r
f : D −→ H
injekce
zápis restrikce relace na P ⊆ X, Q ⊆ Y ; z Ar se vyškrtnou některé
řádky a sloupce; počet takových možných restrikcı́ je 2|X|+|Y |
zápis inverznı́ relace a relace složené; při inverzi se Ar transponuje;
b
s ◦ r je zapsáno v obráceném pořadı́, booleovské násobenı́ Ar · As už nenı́.
zobrazenı́; D ̸= ∅ a každý prvek x ∈ D má jediný obraz f (x) ∈ H;
počet je |H||D| ; jsou-li D, H ⊆ R mluvı́me o funkci
je zobrazenı́ takové, že pro každé y ∈ H je |f −1 (y)| ≤ 1;
počet je
surjekce
bijekce
y = f (x) . . .
graf funkce
y = |x|
y = sign(x)
y = chM (x)
y = ex . . .
y = ln x . . .
|Y |!
(|Y |−|X|)!
pokud |X| ≤ |Y |, jinak 0 (pro bijekce =|Y |! nebo 0)
je zobrazenı́, pro něž f (D) = H; naopak pro konstantu |f (D)| = 1
injekce ∧ surjekce; f je bijekce, právě když f i f −1 jsou zobrazenı́,
zadánı́ funkce; f (x) je funkčnı́ hodnota v lib. bodě x def. oboru; také
pı́šeme y = y(x); x . . . nezávisle proměnná, y . . . závisle proměnná
všechny body roviny tvaru [x, f (x)], pro x ∈ D(f ),
funkce ”absolutnı́ hodnota”; |x|=x pro x ≥ 0, . . . = − x pro x ≤ 0
funkce ”signum”; sign(0)=0, sign(x) = 1 pro x > 0, . . . = −1 pro x < 0
charakteristická funkce množ. M , chM (x)=1 pro x∈M , . . . =0 pro x∈M
/
.
exponenciálnı́ funkce (e = 2.71... základ přirozených logaritmů),
D = R, H = (0, +∞); e0 = 1; funkce roste na D;
pro x < 0 je ex ∈ (0, 1) a pro x > 0 je ex ∈ (1, +∞)
přirozený logaritmus; D = (0, +∞), H = R; ln 1 = 0; roste na D,
pro x ∈ (0, 1) je ln x ∈ (−∞, 0) a pro x > 1 je ln x ∈ (0, +∞)
Poznámky
• Inverznı́ funkce ke goniometrickým funkcı́m sin, cos, tg, cotg se označujı́ symboly
arcsin, arccos, arctg, arccotg a nazývajı́ se funkce cyklometrické.
• y = ex a y = ln x jsou navzájem inverznı́ funkce, tj. eln x = x, ln(ex ) = x, a dále:
ea+b = ea · eb ; ea−b = ea /eb ; (ea )b = ea·b , ln(a · b) = ln(a)+ ln(b); ln(a/b) = ln(a)− ln(b);
ln(ab ) = b · ln(a);
definice obecné mocniny: AB = eB·ln A pro A > 0.
Sestavenı́ předpisu pro inverznı́ a složenou funkci
Inverznı́ funkce y = f −1 (x): je-li f : D −→ H bijekce, pak f −1 : H −→ D je funkce, pro
nı́ž platı́: f −1 (b) = a, právě když f (a) = b. Při sestavovánı́ předpisu pro f −1 postupujeme
tak, že ve funkčnı́m předpisu y = f (x) zaměnı́me symboly x a y, tj. dostaneme x = f (y),
a pak z této rovnice vyjádřı́me y pomocı́ x.
Složená funkce y = g(f (x)): je-li a ∈ D(f ) a je-li b = f (a) ∈ D(g), pak definujeme
g(f (a)) = g(b); f se nazývá vnitřnı́ a g vnějšı́ funkce. Při sestavenı́ předpisu pro složenou
funkci postupujeme tak, že zavedeme pomocné značenı́, např. w = f (x), y = g(w); nynı́
ve funkčnı́m předpisu g(w) nahradı́me všechny symboly w předpisem pro f (x).
20
ÚLOHY
Úloha 6.1 [operace s relacemi] U = {α, β, γ}, V = {a, b, c}, W = {1, 2, 3, 4, 5} jsou tři
množiny. Dále dvě relace p : U −→ V, q : V −→ W jsou zadány pomocı́ jejich matic
[
sousednosti Ap =
(i) q|{b,c},{1,3,5}
1 0 1
1 1 0
0 1 1
]
[
,
Aq =
(ii) p−1
1 0 1 1 1
0 1 0 1 0
1 0 0 1 1
]
. Sestavte matice sousednosti daných relacı́:
(iv) p−1 ◦ q −1
(iii) q ◦ p
Úloha 6.2 [počı́tánı́ relacı́ a zobrazenı́ ] Užijte množiny
(i) relacı́ z W do V
(ii) relacı́ z V do W
(iv) zobrazenı́ z W do V
(v) zobrazenı́ z U do W
(vii) injekcı́ z U do W
(viii) konstant z W do U
Úloha 6.3 [funkce absolutnı́ hodnota, signum a ”ch”]
(a) Vypočtěte hodnoty výrazů:
(i) (−2) · sign (4)
(ii) | − 8| − |5|
(iv) sign (4 − |5|)
(v) 1 − sign (2) − | − 2|
(v) q −1 ◦ q.
z Úlohy 6.1. a určete počet:
(iii) 3-šipkových relacı́ z W do V
(vi) injekcı́ z W do V
(ix) konstant z U do V
(iii) 5 − ch(−2,3⟩ (3)
(vi) ch(−4,3) (| − 3|) − 3 · ch(−2,3) (1).
(b Vypočtěte hodnoty výrazů, jestliže je zvoleno x = −3:
(i) (−2) · sign (x + 3)
(iv) sign (x − |5|)
(ii) |x − 8| − |5 + 2x|
(v) x · sign (2x) − |x + 4|
(iii) 5 − ch⟨−3,3) (x − 3)
(vi) ch(−4,3) (|x − 3|) − ch{−1} (x + 2).
Úloha 6.4 [funkce exponeciálnı́ a logaritmická] S použitı́m kalkulačky vypočtěte hodnoty
daných výrazů pro x = −1 a výsledek zaokrouhlete na 2 desetinná mı́sta:
2
(i) e2x − e−x
(ii) ln 2x − ln(2 − x)
(iii) ex −3x−2
(iv) ln(x2 − 3x + 2)
(
(v) e + sign ln(− x2 )
)
(vi) esign (x) + ch(−2,3) (ln(−x)).
Úloha 6.5 [definičnı́ obory] Určete definičnı́ obory zadaných funkcı́:
√
2
(i) y = x2 −3x−4
(ii) y = x2 + 2
(iii) y = ln(2 − x)
√
√
3
4
2
(iv) y = ln(x − 3x + 2) (v) y = 1−sign (x) − x
(vi) y = x + 2 + 4 − 2x
Úloha 6.6 [grafy funkcı́] Načrtněte grafy:
(i) y = −x2 + 3x + 4
(ii) y = 1 + sign (x)
(iv) y = |x2 − 3x|
(v) y = sign (x2 − 1)
(vii) y = sign ex
(viii) y = |x2 + 1|
(iii) y = 1 − ch⟨−3,3) (x)
(vi) y = ch(−3,3) (x) + ch⟨−1,1⟩ (x)
(ix) y = 3ch(−3,+∞) (x2 + 1)
Úloha 6.7 [složená a inverznı́ funkce]
(a) Sestavte předpis pro funkci inverznı́:
2
(i) y = x+2
(ii) y = 4 − e2x
√
x+1
(iv) y = x − 3
(v) y = x+2
(iii) y = 1 + ln(2 − x)
(vi) y = ex3+2
(b) Dáno f (x) = x + 2, g(x) = x2 + 2, h(x) = e2x . Sestavte předpis pro složenou funkci:
(i) y = f (g(x)) = . . .
(iv) y = f (h(x)) = . . .
(ii) y = g(f (x)) = . . .
(v) y = g(h(x)) = . . .
21
(iii) y = h(g(x)) = . . .
(vi) y = f (f (x)) = . . .
OTÁZKY
Otázky 6.1 [operace s relacemi a zobrazenı́mi - POZOR u zobrazenı́ požadujeme VŽDY
neprázdný definičnı́ obor]
(a) Jak by vypadala relace, která nenı́ zobrazenı́m?
(b) Jak by vypadalo zobrazenı́, které nenı́ relacı́?
(c) Najděte relace r, s takové, že matice Ar i As jsou typu 3 × 3, ale s ◦ r nelze provést.
(d) Najděte relaci r takovou, že r nenı́ zobrazenı́, ale r−1 je zobrazenı́.
(e) Najděte relaci r takovou, že r nenı́ zobrazenı́ a r−1 také nenı́ zobrazenı́.
(f ) Najděte dvě relace r : X → Y and s : Y → Z, takové, že s ◦ r je zobrazenı́, a přitom
(i) r je, ale s nenı́ zobrazenı́,
(ii) r nenı́, ale s je zobrazenı́,
(iii) r ani s nenı́ zobrazenı́.
Otázky 6.2 [počı́tánı́ relacı́ a zobrazenı́]
(a) Určete počet relacı́ z množiny P do množiny Q v následujı́cı́ch přı́padech:
(i) |P | = 2, |Q| = 5 ,
(ii) |P | = 0, |Q| = 5,
(iii) |P | < |Q| < 2.
(b) Určete počet zobrazenı́ z množiny P do množiny Q v následujı́cı́ch přı́padech:
(i) |P | = 2, |Q| = 5 , (ii) |P | = 0, |Q| = 5, (iii) |P | < |Q| < 2.
(c) Je-li počet relacı́ z A do B roven 16, kolik je zobrazenı́ z A do B (jsou 3 možnosti)?
Otázky 6.3 [funkce absolutnı́ hodnota, signum a charakteristické funkce]
(a) U každé ze zadaných třech funkcı́ určete funkčnı́ hodnotu pro x = −3:
(i) y = |3 − x|
(ii) y = sign (2x + 3)
(iii) y = ch⟨−4,0⟩ (x + 4).
(b) Pro funkci y = ch(−6,7) (x2 − 4) + ch{−6,7} (x + 1) určete funkčnı́ hodnotu pro dané
čtyři volby proměnné x:
(i) x = 2
(ii) x = 6
(iii) x = −7
(iv) x = 1.
Otázky 6.4 [funkce y = ex a y = ln x] Bez kalkulačky určete hodnoty zadaných výrazů:
0
(i) 5e0 − 4 ln 1
(ii) 5eln 4 + ln e5
(iii) ln(ln e) + ee − e
(iv) ln(sign 5) + sign (ln 5)
(v) ln(sign 12 ) + sign (ln 0.5)
1
(vi) esign 5 · esign (− 2 )
Otázky 6.5 [definičnı́ obory]
(a) Může vzniknout při určovánı́ definičnı́ho oboru prázdná množina? Uved’te přı́klad.
(b) Může mı́t funkce za definičnı́ obor jednoprvkovou množinu? Uved’te přı́klad.
(c) Může mı́t funkce za definičnı́ obor množinu všech reálných čı́sel? Uved’te přı́klad.
√
(d) Která funkce má většı́ definičnı́ obor y = 3 ln(x − 1) nebo y = 2 x − 1?
3
(e) Která funkce má většı́ definičnı́ obor y = 2 ln(x − 1) nebo y = √
?
x−1
Otázky 6.6 [složená a inverznı́ funkce]
(a) U každé ze zadaných třı́ funkcı́ určete funkčnı́ hodnotu pro x = 5:
|x − 6|
(i) y =
(ii) y = sign (sign (sign (x)))
(iii) y = ch(−1,0⟩ (ch(−1,0⟩ (ch(−1,0⟩ (x))).
|6 − x|
(b) Funkce f se nazve samoinverznı́, jestliže f a f −1 majı́ stejný vzorec. Která z daných
funkcı́ je samoinverznı́?
f1 (x) = x − 2
f2 (x) = 2 − x
22
f3 (x) =
2
x
f4 (x) =
2
.
x2
APLIKACE
Aplikace 6.1 [teplotnı́ škály]
(i) Vzorec f = 32 + 95 c vyjadřuje funkci, která přepočte údaje o teplotě c ve stupnı́ch
Celsia na stupně f Fahrenheita. Např. tedy f (20) = 32 + 59 · 20 = 68 přepočte 200 C na 680
F. Sestavı́me předpis pro inverznı́ funkci: f = 32 + 59 c → f − 32 = 95 c → c = 59 (f − 32).
Tato funkce přepočte údaje o teplotě ve stupnı́ch Fahrenheita F na stupně Celsia C; tedy
např. c(68) = 59 (68 − 32) = 200 C.
(ii) Při pozorovánı́ určitého druhu cvrčka v přı́rodě bylo zjištěno, že počet n cvrknutı́
vydaných za jednu minutu závisı́ na teplotě f (ve 0 F) podle funkce n = 4 · f − 40, např.
n(59) = 4 · 59 − 40 = 196 vypočte, že teplotě 590 F odpovı́dá frekvence 196 cvrknutı́/min.
Sestavı́me předpis pro inverznı́ funkci: n = 4 · f − 40 → n + 40 = 4 · f → f = 10 + n4 ;
tato funkce přepočte frekvenci cvrkánı́ (za min) na teplotu ve stupnı́ch Fahrenheita f ; tedy
např. f (196) = 10 + 196
= 590 F.
4
(iii) Pomocı́ funkcı́ zı́skaných výše můžeme sestavit složenou funkci c(f (n)) = c(10 + n4 ),
která přepočte frekvenci cvrkánı́ (za min) na teplotu ve stupnı́ch Celsia c. Dokončete.
Aplikace 6.2 [finančnı́ matematika]
(a) Ve finančnı́ matematice se použı́vá také tzv. spojité úročenı́. Např. při úrokové mı́ře
4% p.a. se užije vzorec y = 800 · e0.04x , kde x je čas v letech a y budoucı́ hodnota investice
800 EUR po uplynutı́ x let. Použijte tento vzorec a:
(i) určete budoucı́ hodnotu y investice 800 EUR po uplynutı́ 6 a 3/4 roku,
(ii) určete dobu potřebnou ke zdvojnásobenı́ investice 800 EUR,
(iii) sestavte vzorec inverznı́ funkce k uvedené funkci a vysvětlete, co vypočı́tává.
(b) Pro určitý výrobnı́ stroj se jeho účetnı́ hodnota y (v USD) po x letech provozu určuje
pomocı́ funkce y = 4400 · e−0.2·x + 900. Sestavte funkci inverznı́ a vysvětlete, co vyjadřuje.
Aplikace 6.3 [zdravotnictvı́]
(a) Matematický model vyjadřujı́cı́ vztah mezi věkem a normálnı́ úrovnı́ klidového systolického krevnı́ho tlaku dospělého pacienta má tvar funkce y = 40 + 25 ln(x + 1), kde x je stářı́
v letech a y odpovı́dajı́cı́ tlak v mm Hg. Sestavte inverznı́ funkci a vysvětlete, co vyjadřuje.
(b) Podle zdravotnı́ch záznamů bylo v jednom velkém městě x týdnů po vypuknutı́
epidemie chřipky přibližně y = 4+76e80−1.2x tisı́c nakažených. Odvod’te vzorec pro inverznı́
funkci a vysvětlete, co vyjadřuje.
Aplikace 6.4 [ekonomické modely]
(a) Pro určitou komoditu se odhaduje, že po investici x tisı́c EUR do reklamy bude
prodáno y = 50 − 41e−0.15x tisı́c jednotek. Udejte x jako funkci y. Kolik by se mělo
investovat do reklamy, abychom dosáhli prodeje 40 000 jednotek?
(b) Nadnárodnı́ kosmetická firma plánuje uvedenı́ nové linie rtěnky na trh. Oddělenı́
marketingu testovalo ve velkém tuto novou linii a zjistilo, že poptávka odpovı́dala přibližně
funkci p(x) = 10e−1.1x , kde x tisı́c kusů rtěnky bylo týdně prodáno za cenu p dolarů za
kus. Odvod’te vzorec pro inverznı́ funkci a vysvětlete, co vyjadřuje.
(c) Při mezinárodnı́m turné jedné rockové skupiny je poptávka po jejı́ch tričkách vyjádřena
funkcı́ p(x) = 15 − 4 ln x, kde x je počet triček (v tisı́cı́ch), která mohou být prodána v době
jednoho koncertu za cenu p EUR / kus. Odvod’te vzorec pro inverznı́ funkci a vysvětlete, co
vyjadřuje.
23
TÉMA 7. Posloupnosti a řady
{an }∞
n=1 . . .
lim an = L
n→∞
n
∑
sn =
∞
∑
an
i=1
an
i=1
nebo jednoduše {an } je posloupnost, an jejı́ n-tý člen, n jeho index
limita posloupnosti {an }, když n se blı́žı́ k nekonečnu, je rovna L;
pro L ∈ R řı́káme, že posloupnost konverguje; pro L = ±∞ řı́káme,
že posloupnost diverguje k ±∞; jinak posloupnost diverguje
= a1 + a2 + . . . + an se nazývá n-tý částečný součet posloupnosti {an }
= a1 +a2 +. . .+an +. . . se nazývá nekonečná řada; pokud existuje limita
posloupnosti částečných součtů s∞ = lim sn = S ∈ R, řekneme, že
n→∞
∑
∑
řada an konverguje a jejı́ součet je S; jinak řada an diverguje
Platı́-li v posloupnosti {an }∞
n=1 pro každé n ∈ N vztah
(1) an < an+1 , je posloupnost rostoucı́,
(2) an > an+1 , je posloupnost klesajı́cı́,
(3) an ≤ an+1 , je posloupnost neklesajı́cı́,
(4) an ≥ an+1 , je posloupnost nerostoucı́.
Jestliže existuje M ∈ R tak, že pro každé n platı́ an ≤ M , nazýváme {an } shora omezenou.
Jestliže existuje m ∈ R tak, že pro každé n platı́ an ≥ m, nazýváme {an } zdola omezenou.
Posloupnost majı́cı́ jak hornı́ mez, tak dolnı́ mez se nazývá omezená.
Aritmetická posloupnost - rekurentnı́ vztah: an+1 = an + d, d je diference,
an = a1 + (n − 1) · d, nebo an = am + (n − m) · d; sn =
a1 +an
2
· n = n · a1 + d ·
n(n−1)
.
2
Geometrická posloupnost - rekurentnı́ vztah: an+1 = an · r, r je kvocient (též ozn. q),
an = a1 · rn−1 nebo an = am · rn−m ; sn =
an+1 −a1
r−1
= a1 ·
rn −1
,
r−1
s∞ =
a1
1−r
pro |r| < 1.
Důležité limity a řady; formálnı́ ”kalkul”s čı́sly (r ∈ R) a symboly ∞
1
n→∞ n
lim n = +∞, lim
n→∞
lim
n→∞
∞
∑
i=1
= 0;
√
n
A = 1 pro A > 0;
1
=1+ 11p + 21p + 31p + . . .
ip
lim rn = 0 pro |r| < 1 a = +∞ pro r > 1;
n→∞
(
lim 1 +
n→∞
1
n
)n
=e=
i=0
1
i!
= 1+
konverguje pro p > 1; harmonická ř.
1
1!
+
∞
∑
i=1
r + ∞ = ∞ + r = ∞;
r − ∞ = −∞ + r = −∞;
(±∞) · (∓∞) = −∞;
(±∞) · (±∞) = +∞;
r · (±∞) =
∞
∑
±∞ pro r>0
;
∓∞ pro r<0
1
±∞
1
0
= 0;
=
Neurčité výrazy - jejich hodnotu
nelze obecně
určit
0
∞
1
0 ,
∞ ,
∥∞ − ∞∥,
∥0 · (±∞)∥,
0 ,
1
2!
+
1
3!
lim
n→∞
+...+
√
n
n = 1,
1
n!
1 1 1 1
=1+2+3+ . . .
i
+...
= +∞,
+∞ + ∞ = +∞; −∞ − ∞ = −∞;
√
+∞ = ln(+∞) = log(+∞) = +∞.
+∞ pokud jsou všechny členy kladné
−∞ pokud jsou všechny členy záporné.
∥1±∞ ∥,
∥0±∞ ∥,
∥(±∞)0 ∥.
Limitnı́ kritéria konvergence - pro řady s nezápornými členy
Srovnávacı́ kritérium: Necht’
∑
an a
∑
an
=L>0, L∈R.
n→∞ bn
bn jsou takové řady, že lim
Potom obě řady jsou bud’to konvergentnı́ nebo jsou obě divergentnı́.
√
Podı́lové a odmocninové kritérium: Určı́me lim an+1
= L nebo lim an = L. Potom
an
(1) L < 1 ⇒
∑
n→∞
an je konvergentnı́,
(2) L > 1 ⇒
24
∑
n→∞
an je divergentnı́.
ÚLOHY
Úloha 7.1 [rekurentnı́ vztahy]
(a) Pro posloupnosti popsané nı́že vždy sepište seznam a1 , a2 , a3 , a4 .
(i) a1 = 1, an+1 = (−1)n · an
(ii) a6 = 43, an+1 = 2an − 1
(iii) a1 = 5, a2 = 6, an+2 = an+1 + an + 3
(iv) a5 = 120, an−1 = ann .
(b) Pro posloupnosti popsané nı́že určete vždy dvojici hodnot b4 , c4 .
(i) b1 = 1, c1 = 2, bn+1 = bn + cn , cn+1 = bn · cn ,
(ii) b5 = c5 = 2, bn+1 = bn + 2cn − 1, cn+1 = 3bn − cn + 2.
Úloha 7.2 [aritmetická a geometrická posloupnost]
(a) Určete součty zadaných konečných posloupnostı́
(i) 2+4+6+8+ . . . +600,
(ii) 400+401+402+403+ . . . +600,
10
10
(iii) 2+4+8+16+ . . . +2048+4096,
(iv) 10+ 10
+ 10
+ 27
+ . . . + 6561
.
3
9
(b) Ve finančnı́ matematice se použı́vá tzv. složené úročenı́. Např. při úrokové mı́ře 4%
p.a. se užije vzorec An = 800 · 1.04n , kde n je počet let a An budoucı́ hodnota investice 800
EUR po uplynutı́ n let (geometrická posloupnost). Použijte tento vzorec a:
(i) určete budoucı́ hodnotu investice 800 EUR po uplynutı́ 8 let.
(ii) určete dobu (v celých letech) potřebnou ke zdvonásobenı́ investice 800 EUR.
Úloha 7.3 [výpočet limit]
(a) Určujte zadané limity bez užitı́ kalkulu s nekonečny:
[(
]
( √
)
(
)k
√
√ )
m
m
(i) lim 3 2 + 2 3
(ii) lim 2 − n n
(iii) lim 1 + k1 + 99 · 0.999k .
m→∞
n→∞
k→∞
(b) Určujte limity neurčitých výrazů typu ∥∞
Ukázkou:
( −2 ∞∥ inspirováni
)
(
)
3n −4n+7
n2
2
2
2
2 · 3n2 − 4n + 7
lim (3n −4n+7) = lim n2 (3n −4n+7) = lim n ·
=
lim
n
=
2
2
2
2
n
n
n
n
n→∞
(
= lim n2 · 3 −
n→∞
n→∞
4
n
+
7
n2
)
(i) lim (3n−4n2 +5)
n→∞
(
= (+∞)2 · 3 −
n→∞
4
+∞
+
7
(+∞)2
)
n→∞
= (+∞) · (3 − 0 + 0) = +∞.
(ii) lim (2 · 3m − 3 · 2m )
(√
(iii) lim
m→∞
k→∞
√
4k + 1 −
)
k+4 .
(c) Určujte limity neurčitých výrazů typu ∥ ∞
∥ inspirováni Ukázkou: ∞ 4
3n
4
4
3− +∞
−
3−
3−0
3 lim 3n−4
= lim (3n−4)/n
= lim nn2 n2 = lim n+ n2 = +∞+ 2 = +∞+0 = +∞ = 0.
n2 +2
(n2 +2)/n
n→∞
n→∞
3n2 − 4n + 2
n→∞ n2 + n + 2
(i) lim
n→∞
n
n→∞
+n
n
6 · 2m + 4
m→∞ 2m + 5
n4 + 2
n→∞ n2 + 8
(ii) lim
lim p+2
(d) Určete: (i) p→∞
q+3
+∞
6 · 3k + 4k
.
k→∞ 2k + 5k
(iii) lim
p+2
q→∞ q+3
(ii) lim
(iii) lim
(√
p→∞
6
−
p
(iv) lim
√ )
4
q
(iv) lim
(√
q→∞
√ )
6
−
p
q
4
.
Úloha 7.4 [nekonečná geometrická řada] Určete součty nekonečných geometrických řad:
( )2 ( )3 ( )4
5
51
51
(i) 9+0.09+0.0009+ . . ., (ii) 5 − 52 + 54 − 58 + 16
− . . ., (iii) 50
+ 50
+ 51
+ 51
+ . . ..
50
50
Úloha 7.5 [konvergenčnı́ kritéria]
(a) podı́lového: (i)
∞
∑
1.1n ,
n=1
(b) odmocninového: (i)
Testujte konvergenci řad užitı́m limitnı́ho kritéria
(ii)
∞
∑
n=1
∞
∑
n=1
0.8n ,
(ii)
1
,
n+8
∞
∑
n=1
25
(iii)
∞
∑
m=1
1
,
(n+8)n
1
2m +3
(iii)
,
∞
∑
m=1
(iv)
∞
∑
m=1
√1 ,
m
(iv)
1
,
m!
∞
∑
m=1
1
.
0.5m
OTÁZKY
Otázky 7.1 [rekurentnı́ vztahy]
(a) Proč nestačı́ k zadánı́ posloupnosti rekurentnı́ vztah, např. an+1 = 2 · an ?
(b) Rekurentnı́ popis b1 = 14, bn+2 = bn+1 + bn nestačı́ k zadánı́ posloupnosti. Proč?
(c) Je-li známo, že c1 = 5, c2 = 7, dá se určit, kolik bude c3 ?
(d) Jak vypadá posloupnost zadaná jako: d1 = 23, dn+1 = dn ?
Otázky 7.2 [aritmetická a geometrická posloupnost]
(a) Jak by vypadala posloupnost, která je zároveň aritmetická i geometrická?
bn
bn+1
(b) Posloupnost zadaná vztahy b2 = 3,
= 3 je geometrická. Vysvětete proč.
(c) V geometrické posloupnosti je c1 = 5, c5 = 80. Potom je hodnota c3 určena jedno-
značně, zatı́mco hodnota c4 nenı́ určena jednoznačně. Vysvětlete podrobněji.
(d) Pro součet S = 200+201+202+ . . . +498+499+500 jsou navrženy dva vzorce.
Který je správný a proč? (i) S =
200+500
2
× 300,
(ii) S =
200+500
2
× 301.
(e) K 1.1.2015 byla cena vzácného obrazu odhadnuta na 45 000 EUR. Máme odhadnout
jeho cenu za 5 let, jestliže předpokládáme jejı́ každoročnı́ nárůst o 2%. Který z navržených 3
vzorců je správný a proč?
(i) a5 = a0 · 1.025 , (ii) a6 = a1 · 1.025 , (iii) a5 = a1 · 1.024 .
Otázky 7.3 [výpočty limit]
(a) Petr a Jan počı́tali stejnou limitu a oba špatně. Proč? Jak to je správně?
2·(+∞) +∞ +∞
/
2
1
1
2x
Petr: lim 2n
=
=
=
=
=
·
(+∞)
·
=(+∞)
·
0
=
1,
Jan:
lim
= 0.
3·(+∞) +∞ +∞
3n
/
1
3x
3
+∞
n→∞
n→∞
(b) Petra a Jana počı́taly stejnou limitu a obě špatně. Proč? Jak to je správně?
[
Petra: lim
k→∞
[
Jana: lim
k→∞
(
)+∞
3+∞
1
+∞
+∞
+
= 2+∞ + 1+ +∞
= +∞ + 1
= 1 + 1 = 2.
(
)k ] (
)+∞
(+∞)+∞
+∞
1
=1.
+ 1+ k1
= 2+∞ · 3+∞
+ +∞+1
=
(+∞)·0
+
=
0+
=
0+1
+∞
(+∞)+∞
+∞
3k
2k
2k
3k
(
1+ k1
)k ]
(c) Dan pokazil výpočet 2 limit (n, k jsou přirozená čı́sla). Proč? Jak to je správně?
Prvnı́ limita:
lim 2n+1
n→∞ 3k+1
2n+1
k→∞ 3k+1
Druhá limita: lim
=
2+ 1
=
= 3+ +∞
=
1
+∞
+∞
/
+∞
1
= +∞
= +∞
=
= 1.
/
1
lim (2n+1)/n
n→∞ (3k+1)/k
= 2·∞+1
3·∞+1
2+ 1
lim 3+ n1
n→∞
k
2+0 3+0 = 23 .
Otázky 7.4 [nekonečné řady]
n
(a) Posloupnost 1, 12 , 13 , 14 , . . . , n1 , . . . lze popsat rekurentně jako a1 = 1, an+1 = an · n+1
.
n
Použijeme vzorec pro součet nekonečné geometrické řady s kvocientem r = n+1 a máme:
1+ 21 + 31 + 14 + . . . = s∞ =
a1
1−r
=
1
n
1− n+1
=
1
(n+1)−n
n+1
=
1
1
n+1
= n + 1 = ∥(+∞) + 1∥ = ∞, což je
správný součet harmonické řady. Postup výpočtu ale nebyl správný. Proč?
(b) Zvolte si reálné čı́slo x. Bude řada
∞ (
∑
n=1
1
x+5
)n
konvergovat?
(c) Petr a Jiřı́ sčı́tali nekonečnou řadu 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . .. Kdo má pravdu?
Petr: 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . . = 0,
Jiřı́: 1−1+1−1+1−1+. . . = 1+(−1+1)+(−1+1)+(−1+1)+. . . = 1+0+0+0+. . . = 1.
26
APLIKACE
Aplikace 7.1 [finance] Ve finančnı́ matematice se použı́vá tzv. složené úročenı́. Např. při
úrokové mı́ře 4% p.a. se užije vzorec An = 800 · 1.04n , kde n je počet let a An budoucı́
hodnota investice 800 EUR po uplynutı́ n let (geometrická posloupnost). Určete:
(i) budoucı́ hodnotu po uplynutı́ 8 let, (ii) dobu potřebnou ke zdvonásobenı́ investice.
Aplikace 7.2 [život v přı́rodě] Při sledovánı́ populace rysa v určité oblasti Kanady bylo
zjištěno, že: rys je dospělý za rok a rozmnožuje se; polovina rysů jsou samice a v červnu rodı́
vždy průměrně 3 mlád’ata. Do přı́štı́ho roku přežije 50% mlád’at a 70% dospělých. Označme
An počet rysů dospělých v červnu roku n a Kn počet mlád’at narozených v červnu roku n.
Z uvedeného vyplývá, že platı́ rekurentnı́ vztahy: Kn = A2n · 3, An+1 = 0.7An + 0.5Kn .
Jestliže A1987 bylo 400, pak z toho určete (a) počet samic, které rodily v červnu 1986,
(b) počet zvı́řat dospělých již roce 1988, která budou žı́t ještě v červnu 1989,
(c) počet mlád’at narozených v roce 1988, která již nebudou žı́t v červnu 1989.
Aplikace 7.3 [rovnováha na trhu] Při užitı́ pavučinového modelu na studium rovnováhy
trhu vztahujeme posloupnost cen p1 , p2 , p3 , . . . za jednotku vybraného produktu pro řadu
obdobı́ k odpovı́dajı́cı́m hodnotám nabı́dky S1 , S2 , S3 , . . . a poptávky D1 , D2 , D3 , . . .
Uvažme jednoduchý lineárnı́ model, kde Dn = 4800−50pn (poptávková rovnice) a Sn+1 =
4000+25pn (nabı́dka reaguje na cenu v předchozı́m obdobı́). Podmı́nka pro rovnováhu (poptávka
= nabı́dka) dá: Dn+1 = Sn+1 −→ 4800 − 50pn+1 = 4000 + 25pn −→ pn+1 = 16 − 0.5pn .
Určete hodnoty p2 , p3 , p4 , S2 , S3 , S4 , D2 , D3 , D4 , je-li počátečnı́ jednotková cena p1 = 65 Kč.
Nynı́ uvažujeme dál: za určitou dobu se jednotková cena ustálı́ na hodnotě p = n→∞
lim pn .
Limitnı́m přechodem rovnice pn+1 = 16 − 0.5pn dostaneme lim pn+1 = lim (16 − 0.5pn ) −→
n→∞
n→∞
.
p = 16 − 0.5p −→ 1.5p = 16 −→ p = 10.67 Kč. To je konečná rovnovážná cena. Podobně
určı́me S = lim Sn+1 = lim (4000 + 25pn ) = . . . a dále D = lim Dn = lim (4800 − 50pn ) =
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞
. . ., tj. konečnou rovnovážnou nabı́dku a poptávku. Dokončete naznačené výpočty.
Aplikace 7.4 [ekologie] Mnohaletým sledovánı́m ptačı́ populace na třech ostrovech P, Q,
R (označı́me pn , qn , rn velikosti populacı́ na nich v roce n) zjistili ornitologové, že velikost
populace na celém souostrovı́ je dlouhodobě stabilnı́ (asi 40000 jedinců), ale každoročně
docházı́ k migraci mezi ostrovy podle modelu:
10% populace z P se přestěhuje na Q, 20% populace z Q se přestěhuje na R,
5% populace z R se přestěhuje na P.
Platı́ tedy rekurentnı́ vztahy:
pn+1 = 0.05rn + 0.9pn
qn+1 = 0.1pn + 0.8qn ,
rn+1 = 0.2qn + 0.95rn .
Jaký je podle tohoto modelu odhad velikostı́ populace na ostrovech P, Q, R na rok 1988,
jestliže p1986 = 8200, q1986 = 10400, r1986 = 21400?
Aplikace 7.5 [finančnı́ matematika] Firma si založila spořı́cı́ fond na budoucı́ investici.
Do fondu se uložı́ na vždy začátku čtvrtletı́ 4 000 EUR, přičemž se vždy na konci čtvrtletı́
se připı́še 0.8% aktuálně naspořené částky (úrok). Po pěti letech (20 čtvrtletı́) se vložı́ ještě
21. částka a v tomto okamžiku bude potřeba mı́t naspořenou sumu S ≥ 90 000 EUR.
Rozbor celého procesu spořenı́: 1. částka se bude úročit 20-krát, druhá 19-krát, . . . , předposlednı́
jedenkrát a poslednı́ vůbec; tj. S = 4 000 ·1.00820 +4 000 ·1.00819 +. . . +4 000 ·1.0081 +4 000.
Stačı́ nasadit vzorec pro součet geometrické posloupnosti (sčı́tance uspořádáme v opačném
pořadı́), kde a1 = 4 000, r = 1.008, n = 21 a dostaneme S = s21 = . . .. Dokončete výpočet
a zjistěte, zda bude dosaženo potřebné částky.
27
VÝSLEDKY
TÉMA 1-2
Úloha 1-2.1
(a) (3, 4), (b) ⟨−2, 2⟩, (c) (−1, 3⟩, (d) ∅, (e) (−1, +∞), (f) ⟨−3, 3⟩, (g) ⟨−3, +∞), (h) ⟨−3, 4).
√
√
Úloha 1-2.2 (A) √
(a) (−4, 4), 2 110, (b) (−11,
11,
33),
11
11, (c) (22, 0), 22, (d) nenı́
√
√ def.
(e) (−20, −2, −6), 2 110, (f) (−20, −2, −6), 2 110, (g) nenı́ def. (h) (−20, −2, −6), 2 110.
(B) (a) 116.56◦ , (b) 136.36◦ , (c) nenı́ def.
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
−99
5 8 −62
12 −6
6 −29 −7
Úloha 1-2.3 (A) (a) 36 −30 −20 , (b) 980
, (c)
, (d)
, (e)
,
99 −10
1 1 −6
9 12
−2 −8 −11
[
(f) nelze provést, (g)
2 2 −3
2 20
6
−3 6
9
]
,
(h) nelze provést.
(B) (a) 3 × 3, (b) neex., (c) 3 × 3.
Úloha 1-2.4 (a) např. (0, 4, 0, 0), (1, 13, 1, 1), (−2, 2, 0, 0), (b) např.
[
]
[
−1 −1
,
2
2
]
[
]
[
]
1
,
−2
nebo
[
]
5
,
0
(c2 ) např. −21 11 , (c3 ) např. −12 12 ,
√
√
√
Úloha 1-2.5 (A) (a) y = ± 11, (b) y = 2, (c) y = ±0.8, (c) y ∈ (2 − 7, 2 + 7).
(B) (a) (2, 1, −7), (b) (−8/5, −8/5), (c) (−5/2, x2 ), x2 lib.
[
]
[
]
[
]
5 −2
−9 −7/2
3 9 4
(C) (a) −1
, (b)
, (c)
, (D) (a) 3×3, (b) neex., (c) 2×n, n lib.
−3 2 4
1 1/2
−4 4 6
.
.
.
.
.
.
Aplikace 1-2.1 (a) α = 89.3◦ , β = 52.4◦ , γ = 38.3◦ , (a) α = 71.8◦ , β = 52.3◦ , γ = 55.9◦ .
[
]
0.996 0.253
Apl. 1-2.2 P 2 = 0.004
, x3 =5226, y3 =99, na x6 , y6 je třeba P 5 . Apl. 1-2.3 C.
0.747
(c1 ) např.
TÉMA 3
Úloha 3.1 (a) (0, 0), (b) (4, 2), (c) (9, −9), (d) (11, −14).
Úloha 3.2 (a) ⃗u3 = 0 · ⃗u1 + 0 · ⃗u2 , (b) ⃗u1 = 0 · ⃗u2 + 1 · ⃗u3 , (c) ⃗u2 = (−1) · ⃗u1 + 1 · ⃗u3 ,
(d) ⃗u1 = (−1)·⃗u2 +0·⃗u3 . Úloha 3.3 a,e,f. Úloha 3.4 (a) vyškrtnout 2. ř., (b) prohodit
1. ř. a 2. ř., (c) nelze, (d) prohodit 2. ř. a 3. ř., (e) prohod. 1. ř. a 2. ř., (f) vyškrt. 1. ř.
Úloha 3.5 (a) od 2. ř. odečı́st 1. ř., (b) nelze, (c) od 2. ř. odeč. 1. ř., od 3. ř. odeč. 1. ř.,
ke 3. ř. přičı́st 2. ř., (d) nelze, (e) k 1. ř. přič. 2. ř., od 2. ř. odeč. 1. ř., (f) ke 2. ř. přič. 1. ř.
Úloha 3.6 (a) 2, (b) 2, (c) 2, (d) 1, (e) 2, (f) 2. Úl. 3.7 (a) −2, (b) R−{±2}, (c) ∅, (d) R.
Aplikace 3.1 (a)(b) záv., (c)(d)(e) nezáv. Aplikace 3.2 (a) ⃗s, (b) ⃗s, (c) ⃗q, ⃗r, (d) ⃗s.
Aplikace 3.3 (a) nenı́ - moc vektorů, (b) ano - n=k=h=4, (c) nenı́ - moc vekt., (d) nenı́ málo vekt., (e) nenı́ - některé vekt. 5-složkové. Apl. 3.4 (a) 1, (b) 3, (c) 4, (d) 3, (e) 4.
Apl. 3.5 (a) např. (3, −1), (b) př. (1, 2, 3), (0, 1, 2), (c) př. (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, −1),
(d) př. (1, 0, 2, 0, 1), (0, 2, −2, 0, 0), (e) př. (1, 0, 1, 1, 1, 1, 1), (0, 1, 1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1).
TÉMA 4
Úloha 4.1 (a) reg., (b) sing., (c) sing., (d) reg., (e) reg., (f) reg.
Úloha 4.2 (a) 68, (b) 24, (c) 69, (d) 9, (e) −77, (f) 0.
Úloha 4.3 (i) 0, sing.; −5, reg., (ii) 0, sing.; 42, reg. (iii) −5, reg.; 6 reg.
Úloha 4.4 (a) −21, reg. (b) 132, reg. (c) 12, reg. (d) −6, reg.
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
Úloha 4.5 B −1 = 12 −10 , C −1 = 1/20 −1/21 , D−1 = 10 01 , F −1 = −10 −21 , G−1 = 10 −12 , F −1 = −10
Úloha 4.6 (a)

(f)
1 0
−1
1

−1 0
−2 1.5
[
]
1 −2
,
0 −1
(b)
[
]
1/2 −1/2
,
−1/2 3/2
[
(c)

0
0
0
0
.
1
0
0 −0.5
]
1 −1 0
0 1 −1 ,
0 0 1
[
(d)

]
−1/2 1/2 1/2
1/2 −1/2 1/2 ,
1/2 1/2 −1/2
(e)
0
1
0
0
1
0
0
0
]
−2
.
1

0 0
0 0
,
0 1
1 −1
Úloha 4.7 (a) x ∈ R, (b) x ̸= ±2, (c) x ∈ (2, 4), (d) x ̸= −1.
Aplikace 4.2 (a) prvnı́ 6, druhý 2, (b) x1 = −17, x2 = 3.
[
]
[
]
Aplikace 4.3 všechny jsou báze přı́sl. Vn . Aplikace 4.4 (a) −32 −22 −74 −22 , (b) −1 −11 ,
(c)
[
]
27 12
,
−13 −11
(d)
[
]
10 −52 ,
(e)
[
]
−4
4
,
1/2 1/2
(f)
[
28
]
−95/2
,
31/2
Aplikace 4.5 x1 = 10, x2 = 10
TÉMA 5
Úloha 5.1 (a) ano, ne, ne, ano, (b, c, d) prvnı́: x1 =5/12, x2 = − 1/6; třetı́: x1 =0, x2 =0.
Úloha 5.2 (a) F.p. ano; ∞ ř., (b) F.p. ano; ∞ ř., (c) F.p. ano; 1 ř., (d) F.p. ano; ∞ ř.
Úloha 5.3 (a) např. ⃗b1 =(−1, 0, 1, 0), ⃗b2 =(−7, 3, 0, 1), (b) např. ⃗b1 =(−1, 1, 0, 0), (c) např.
⃗b1 =(−1, 1, 0, 0), ⃗b2 =(1, 0, 1, 0), ⃗b3 =(1, 0, 0, 1).
Úloha 5.4 (a) např. c1 ·(−0.5, −0.25, 1)+(0.5, 2.75, 0), (b) N.Ř., (c) např. c1 ·(−2, 1, 0)+(4, 0, 2).
Úloha 5.5 (a) p = ±3, (b) p ∈ R, (c) p = −4, (d) p ̸= 5.
20
67
Aplikace 5.1 c1 =−10, c2 = 23
, c3 =− 53 ; Gauss 3 min., Cramer 5 min., Apl. 5.2 q= 106
, k= 106
,
3
Apl. 5.3 x1 =30, x2 =96, x3 =91, x4 =298, Apl. 5.4 n1 =100, n2 =200, n3 =100.
TÉMA 6
[
]
Úloha 6.1 (i) 01 00 01 ,
[
(ii)
]
110
011 ,
101
[
(iii)

]
10111
11111 ,
11011
(iv)

[
111
0 1 1
 1 1 0 ,
1 1 1
111
(v)
]
111
111 .
111
Úl. 6.2 (i) 32768, (ii) 32768, (iii) 455, (iv) 243, (v) 125, (vi) 0, (vii) 60, (viii) 3, (ix) 3.
Úloha 6.3 (a) (i) −2, (ii) 3, (iii) 4, (iv) −1, (v) −2, (vi) −3. (b) (i) 0, (ii) 10,
.
(iii) 5, (iv) −1, (v) 2, (vi) −1.
Úloha 6.4 ) (i) = −2.58, (ii) mimo def. obor, (iii)
.
.
.
.
= 7.39, (iv) = 1.79, (v) = 1.72, (vi) = 1.37.
Úloha 6.5 (i) R − {−1, 4}, (ii) R, (iii)
(−∞, 2), (iv) (−∞, 1) ∪ (2, +∞), (v) (−∞, 0), (vi) ⟨−2, 2⟩.
Úloha 6.6 6
-
(i)
(v)
b
r
b
6
b
r b
(vi)
6
b
r
b
-
(ii)
b
r
r
b
6
r
b
b
r-
b
r
(iii)
6
6
r
b6
6
(vii)
-
(viii)
-
(iv)
6
- (ix)
-
Úloha 6.7 (a) (i) y = (x2 − 2,) (ii) y = 12 ln(4 − x), (iii) y = 2 − ex−1 , (iv) y = (x + 3)2 ,
2
(v) y = 1−2x
, (i) y = ln x3 − 2 .
(b) (i) = x2 + 4, (ii) = x2 + 2x + 6, (iii) = e2x +4 ,
x−1
(iv) = e2x + 2, (v) = e4x + 2, (vi) = x + 4.
[(
)
]
.
Aplikace 6.1 (iii) . . . = 59 · 10 + n4 − 32 = 5n−440
. Aplik. 6.2 (a) (i) = 1048 EUR,
36
.
y
; čas x v letech potřebný na zhodnocenı́ investice na úroveň
(ii) = 27.47 let, (iii) x = 25 ln 800
y EUR. (b) x = −5 ln y−900
;
počet
let provozu, známe-li účetnı́ hodnotu stroje.
4400
y−40
Aplikace 6.3( (a) x =) e 25 − 1; z hodnoty tlaku pacienta y určit jeho stářı́ x.
80
4
(b) x = − 56 ln 76y
− 76
; z počtu nemocných y v tis. určit počet týdnů x od počátku epidemie.
p
Aplikace 6.4 (a) x = − 20
ln 50−y
; 9.41 tis. EUR, (b) x = − 10
ln 10
; poptávka x v tis. kusů
3
41
11
15−p
v záv. na jedn. ceně p, (c) x = e 4 ; poptávka x v tis. triček v záv. na jedn. ceně p.
37 29 25 23
TÉMA 7 Úloha 7.1 (a) (i) 1, −1, 1, −1, (ii) 16
, 8 , 4 , 2 , (iii) 5, 6, 14, 23, (iii) 1, 2, 6, 24.
3 9
800
(b) (i) 11, 30, (ii) 7 , 7 .
Úloha 7.2 (a) (i) 90 300, (ii) 100 500, (iii) 8190, (iv) 352187
,
(b) (i) 1094.86, (ii) 18 let. Úloha 7.3 (a) (i) 5, (ii) 1, (iii) e. (b) (i) √
−∞, (ii)+∞,
(iii) +∞. (c) (i) 3, (ii) +∞, (iii) 6, (iv) 0. (d) (i) +∞, (ii) 0, (iii) − 4q , (iv) −∞.
Úl. 7.4 (i) 100
, (ii) 10
, (iii) +∞. Úl. 7.5 (a) (i) diverg., (ii) tı́mto krit. nelze rozhodnout,
11
3
(iii) konv., (iv) konv., (b) (i) konv., (ii) konv., (iii) tı́mto krit. nelze rozh., (iv) diverg.
Aplikace 7.1 (a) 1094.86 EUR, (b) 18 let. Aplikace 7.2 (a) 138, (b) 406, (c) 435.
Aplikace 7.3 p2 = 12, p3 = 10, p4 = 11; D2 = S2 = 4200, D3 = S3 = 4300, D4 = S4 = 4250,
.
p = 10.67 EUR, D = S = 4267. Aplikace 7.4 p1988 = 8725.5, q1988 = 8157, r1988 =
.
23117.5 . Aplikace 7.5 Ano, vyjde = 91 093 EUR.
29