Vícekriteriální hodnocení variant

1
Část I
Vícekriteriální rozhodování za jistoty
Při řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musí
vyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou mít kvantitativní i kvalitativní
charakter (při koupi automobilu je rozhodující jak jeho cena, tak i vzhled), mohou být maximalizační i minimalizační (požadujeme, aby zakoupený automobil dosahoval co největší rychlosti a
byl co nejlacinější) a mohou být i navzájem konfliktní (nízká cena výrobku je zpravidla spojena
s jeho horší kvalitou). Úlohy vícekriteriálního rozhodování můžeme klasifikovat podle způsobu
zadání množiny variant, které pro optimální rozhodnutí připadají v úvahu (jde o tzv. přípustné
varianty). Je-li tato množina určena konečným seznamem variant, hovoříme o vícekriteriálním
hodnocení variant. Je-li množina přípustných variant zadána podmínkami, které musí být při
výběru optimální varianty splněny, jde o úlohy vícekriteriálního programování (též vícekriteriální nebo vektorové optimalizace). V těchto úlohách varianty rozhodnutí představují n-tice
nezáporných čísel, které vyhovují daným omezujícím podmínkám a kterých může být nekonečně
mnoho. Kritéria pro výběr nejvýhodnější varianty jsou vyjádřena účelovými funkcemi a musí
být tedy pouze kvantitativní. Jednoduchým příkladem vícekriteriálního hodnocení variant je
následující úloha, na které budou ilustrovány všechny používané pojmy a metody.
Příklad 1. Uchazeč o zaměstnání se rozhoduje mezi firmami A, B, C, přičemž tato pracoviště
posuzuje podle výše měsíčního platu (tis.Kč), doby strávené na cestě do zaměstnání (minuty),
možnosti dalšího odborného růstu (hodnocení 1, 2, 3 pro malou, střední a velkou možnost) a
začátku pracovní doby (hodiny:minuty). Potřebné údaje jsou uvedeny v tabulce
firma A
firma B
firma C
1
K1
30
22
26
K2
60
30
45
K3
2
1
3
K4
9:00
7:30
8:00
Základní pojmy
Rozhodnutí - výběr jedné nebo více variant z množiny všech přípustných variant. v našem
případu je to výběr firmy, u které se uchazeč nechá zaměstnat.
Rozhodovatel – subjekt, který má za úkol učinit rozhodnutí. Člověk, který vybírá vhodné
zaměstnání.
v úlohách vícekriteriální analýzy variant je dána konečná (diskrétní) množina m variant,
které jsou hodnoceny podle n kritérií. Cílem je učinit rozhodnutí, která varianta je podle daných
kritérií hodnocena nejlépe. Jedná se o tzv. optimální variantu. Varianty lze seřadit od nejlepší
po nejhorší nebo je rozdělit na efektivní a neefektivní varianty.
Varianty (alternativy) – konkrétní rozhodovací možnosti, které jsou realizovatelné. v následujícím textu je budeme značit Ai (pro i = 1, 2, . . . , m ). Varianty v příkladu 1 jsou firmy A, B, C.
Kritéria – hlediska, ze kterých jsou varianty posuzovány. Dále je budeme značit Kj (pro
j = 1, 2, ..., n). Kritéria v příkladu 1 jsou výše měsíčního platu, doba cesty do zaměstnání,
možnost dalšího odborného růstu, začátek pracovní směny.
2
1
ZÁKLADNÍ POJMY
Kriteriální matice – je-li hodnocení variant podle kritérií kvantifikováno, údaje uspořádáváme
do kriteriální matice Y = (yij ). Prvky této matice vyjadřují hodnocení i-té varianty podle j-tého
kritéria. Řádky odpovídají variantám, sloupce kritériím.
Klasifikace kritérií
dle povahy
• maximalizační – nejlepší hodnoty mají nejvyšší hodnoty (výše měsíčního platu, možnost
odborného růstu, začátek pracovní doby)
• minimalizační – nejlepší hodnoty mají nejmenší hodnoty (doba cesty do zaměstnání)
Vhodné je před hodnocením převést všechna kritéria na jeden typ. Pokud chceme převést
minimalizační kritérium na maximalizační, například vybereme ve sloupci příslušného kritéria
největší číslo a od tohoto čísla odečítáme ostatní kriteriální hodnoty v daném sloupci. Výsledkem je potom lineární vzdálenost skutečné hodnoty od hodnoty nejhorší, čím je tato vzdálenost
větší, tím lépe, kritérium je tedy maximalizační.
v našem příkladu je minimalizační K2 , pokud hodnoty budeme chtít převést na maximalizační,
vybereme největší číslo ve druhém sloupci (60), pro všechny prvky v druhém sloupci vypočteme
rozdíl mezi nejhorší hodnotou (60) a ostatními hodnotami a získáme čísla 0, 30, 15. Víme tedy
například, že při volbě varianty B budeme dojíždět do práce o 15 minut kratší dobu než u varianty A. Většina programů pro vícekriteriální hodnocení variant vyžaduje pouze zadání typu
kritéria a program provede standardizaci všech kritérií na výnosový typ sám.
dle kvantifikovatelnosti
• kvantitativní – objektivně měřitelné údaje (výše měsíčního platu, doba cesty do zaměstnání, začátek pracovní doby)
• kvalitativní – nelze objektivně měřit, varianty jsou hodnoceny slovně, proto je nutné užít
k převedení slovního hodnocení různé bodovací stupnice či relativní hodnocení variant
(možnost dalšího odborného růstu)
Preference kritéria – důležitost kritéria v porovnání s ostatními kritérii.
Vyjádření preference
• aspirační úroveň – hodnota kritéria, které má být dosaženo (například uchazeč požaduje
měsíční plat alespoň 25 tis. Kč, aby se nabídkou práce začal zabývat)
• pořadí kritérií (ordinální informace o kritériích) – posloupnost kritérií od nejdůležitějšího
po nejméně důležité
• váhy kritérií – kardinální informace o kritériích; váha je hodnota z intervalu h0, 1i a vyjadřuje relativní důležitost kritéria v porovnání s ostatními
• kompenzace kriteriálních hodnot – jsou vyjádřeny mírou substituce mezi kriteriálními hodnotami (možno vyrovnat špatné kriteriální hodnoty podle jednoho kritéria lepšími hodnotami podle jiného kritéria)
Varianty se speciálními vlastnostmi
Dominovaná varianta – pokud jsou všechna kritéria maximalizační, varianta Ai dominuje variantu Aj pokud existuje alespoň jedno kritérium Kl , že yil > yjl , přičemž pro ostatní kritéria
platí (yi1 , yi2 , . . . , yin ) ≥ (yj1 , yj2 , . . . , yjn ). v našem případě taková varianta neexistuje, ale byla
by to například taková, která by měla výši měsíčního platu 26 tisíc Kč, doba dojíždění by byla
60 minut, možnost odborného růstu by byla malá a začátek pracovní doby by byl v 7:30.
3
Paretovská varianta, nedominovaná varianta – varianta, která není dominovaná žádnou jinou
variantou.
Ideální varianta – hypotetická či reálná varianta, která dosahuje ve všech kritériích nejlepší
možné hodnoty. Taková varianta by dominovala všechny ostatní varianty. Ideální by bylo, kdyby
měsíční plat byl 30 tisíc Kč, doba dojíždění by byla 30 minut, u firmy by byla velká možnost
odborného růstu a začátek pracovní doby by byl v 9:00. Taková skutečná firma (varianta) v seznamu možných variant není, proto je tato varianta pouze hypotetická. Kdyby taková skutečně
existovala, uchazeč by si ji vybral a nemusel by hledat kompromisní řešení.
Bazální varianta – hypotetická či reálná varianta, jejíž ohodnocení je nejhorší podle všech kritérií. Taková varianta by byla dominovaná ostatními variantami. v našem případě by taková
varianta zahrnovala výši měsíčního platu 22 tisíc Kč, dojíždění by trvalo 60 minut, možnost
odborného růstu by byla malá a pracovní doba by začínala v 7:30. Taková varianta mezi skutečnými variantami není, uchazeč by ji jinak mohl rovnou vyřadit, byla by dominovaná.
Kompromisní varianta – jediná nedominovaná varianta doporučená k řešení, vybraná podle různých pravidel - viz dále.
Vlastnosti, které by měla mít kompromisní varianta:
• nedominovanost – varianta nesmí být dominovaná jinou variantou;
• invariance vzhledem k pořadí kritérií – pořadí kritérií neovlivňuje výběr kompromisní
varianty;
• invariance vzhledem k měřítku kriteriálních hodnot – pokud ke všem prvkům přičteme
stejné číslo (vynásobíme stejným číslem), množina vybraných variant nebo vybraná varianta se nesmí změnit;
• nezávislost na identických hodnotách téhož kritéria – vyskytne-li se kritérium, jehož hodnoty jsou pro všechny varianty zhruba stejné, nesmí se změnit množina vybraných variant;
• invariance vzhledem k přidaným dominovaným variantám – přidáme-li do množiny variant
dominovanou variantu, vybraná kompromisní varianta se nesmí změnit;
• determinovanost – podle každého přístupu nejméně jedna varianta musí být vybrána jako
kompromisní;
• jednoznačnost – zvolený postup dává jednoznačný výsledek, jednu variantu označí jako
kompromisní.
2
Metody stanovení vah kritérií
Většina metod vícekriteriálního rozhodování vyžaduje odlišení jednotlivých kritérií z hlediska
jejich významnosti. Jednou z možností je číselné vyjádření této významnosti pomocí tzv. vah
(čím je kritérium významnější, tím je jeho váha větší). Váhu kritéria Kj budeme značit vj ,
j = 1, 2, . . . , n, kde n je počet všech uvažovaných kritérií. Aby váhy kritérií, stanovené různými
metodami, popř. různými experty, byly srovnatelné, vyjadřujeme je v normovaných hodnotách
wj , které počítáme podle vztahu
vj
wj = n
, j = 1, 2, . . . , n
(1)
P
vk
k=1
Normované váhy představují nezáporná čísla, jejichž součet se rovná jedné.
Rozdělení metod pro stanovení vah kritérií
Metody na stanovení vah kritérií lze rozdělit podle informace, která je nutná ke stanovení vah.
4
2
METODY STANOVENÍ VAH KRITÉRIÍ
• rozhodovatel nemůže určit preference
v případě, že rozhodovatel není schopen rozlišit důležitost jednotlivých kritérií, všem kritériím je přiřazena stejná váha. Máme-li tedy například pět kritérií (n = 5), každému z nich
je přiřazena váha 0,2 (wj = n1 ).
• rozhodovatel má ordinální informaci o kritériích
v takovém případě je rozhodovatel schopen určit pořadí důležitosti kritérií. Mezi metody
vyžadující ordinální informaci o kritériích patří metoda pořadí a Fullerova metoda.
• rozhodovatel má kardinální informace o kritériích
Rozhodovatel zná nejen pořadí, ale i rozestupy v pořadí preferencí mezi jednotlivými kritérii. Mezi metody založené na tomto principu patří bodovací metoda a Saatyho metoda.
Poznámka. Pro vlastní hodnocení variant stačí, aby si rozhodovatel vybral jednu metodu, tou
spočítal váhy a s těmito vahami počítal dále.
Metoda pořadí
Rozhodovatel seřadí kritéria K1 , K2 , . . . , Kn od nejvýznamnějšího k nejméně významnému
a takto uspořádaným kritériím přiřadí váhy n, n − 1, . . . , 2, 1. Pro normovanou váhu kritéria Kj
s vahou vj pak platí vztah
wj =
vj
=
1 + 2 + ... + n
vj
,
n(n+1)
2
j = 1, 2, . . . , n
(2)
Řešený příklad I.1. Spočítejte váhy kritérií z příkladu 1 metodou pořadí, pokud víte, že uchazeč
preferuje kritéria v tomto pořadí: K1 , K3 , K2 , K4
Řešení. Například kritérium K1 je první v pořadí ze čtyř kritérií, proto přiřadíme tomuto
kritérii 4 body. Celkový počet bodů přidělený všem kritériím je 10 (4+3+2+1). Váha se pak
vypočte jako podíl bodů přiřazených tomuto kritériu na celkovém počtu přiřazených bodů, tedy
w1 = 4/10 = 0, 4. Stejně tak přiřazujeme body podle pořadí dalším kritériím a váhy jsou pak
následující: K3 = 0, 3, K2 = 0, 2 a K4 = 0, 1.
2
Fullerova metoda
Při větším počtu kritérií je výhodné srovnávat navzájem vždy pouze dvě kritéria, o kterých
snáze rozhodneme, které je důležitější. Jednu z možností pro vyhodnocení těchto srovnání poskytuje tzv. Fullerův trojúhelník. Za předpokladu, že jednotlivá kritéria jsou pevně očíslována
pořadovými čísly 1, 2, . . . , n, Fullerův trojúhelník je tvořen dvojřádky, v nichž každá dvojice kritérií se vyskytne právě jednou (viz schéma). U každé dvojice hodnotitel zakroužkuje nebo jinak
vyznačí číslo toho kritéria, které považuje za důležitější, takže pro kritérium Kj představuje počet zakroužkovaných čísel j počet jeho preferencí, který označíme
fj . Protože při počtu kritérií
n je počet párových srovnání roven kombinačnímu číslu n2 , tj. pro normovanou váhu kritéria
Kj platí
fj
(3)
wj = n(n−1) , j = 1, 2, . . . , n
2
Schéma Fullerova trojúhelníku
5
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
...
...
...
...
...
n-2
n-1
1
n
2
n
n-2
n
n-1
n
Řešený příklad I.2. Spočítejte váhy kritérií z příkladu 1 Fullerovou metodou, pokud víte, že
uchazečovy preference jsou následující: K1 K3 K2 K4 .
Řešení. Zapíšeme každou dvojici kritérií do Fullerova trojúhelníku a tučně označíme to kritérium, které je ve dvojici preferováno.
1
2
1
3
2
3
1
4
2
4
3
4
Pro každé kritérium spočítáme kolikrát je označené jako preferované před jiným kritériem. Počet
preferencí pro každé kritérium vydělíme počtem všech porovnávání. Tím získáme váhy.
Kritérium
K1
K2
K3
K4
Celkem
Počet preferencí
3
1
2
0
6
Váha
1/2
1/6
1/3
0
1
2
Nevýhodou metody párového srovnávání je skutečnost, že nejméně důležité kritérium má nulovou váhu, i když nemusí jít o zcela bezvýznamné kritérium. Tento nedostatek lze odstranit tak,
že četnost preferencí každého kritéria zvýšíme o 1 a jmenovatele zlomku ve vzorci (3) zvýšíme o n.
Řešený příklad I.3. Spočítejte váhy Fullerovou metodou tak, aby žádné z kritérií nemělo nulovou váhu. Preference jsou shodné se zadáním řešeného příkladu I.2.
Řešení. Vezmeme výsledky řešeného příkladu I.2, navýšíme počet preferencí o jednotku, tím
nám vzroste celkový počet porovnávání na 10 a váhy se pak počítají jako podíl počtu preferencí
daného kritéria a celkového počtu porovnávání.
Kritérium
K1
K2
K3
K4
Celkem
Počet preferencí
3
1
2
0
6
Váha
1/2
1/6
1/3
0
1
Navýšený počet preferencí
4
2
3
1
10
Upravená váha
0,4
0,2
0,3
0,1
1
6
2
METODY STANOVENÍ VAH KRITÉRIÍ
2
Existují modifikace metody párového srovnávání kritérií, které připouštějí stejnou důležitost
nebo nesrovnatelnost některých kritérií, ale těmi se v tomto kurzu nebudeme zabývat. Pokud
tedy budeme chtít použít Fullerovu metodu, musíme být schopni pomocí relace preference kritéria uspořádat.
Bodovací metoda
Na rozdíl od metody pořadí, která vychází pouze z porovnání významnosti jednotlivých kritérií,
při bodovací metodě se důležitost kritérií ohodnotí počtem bodů (čím je kritérium důležitější,
tím má větší počet bodů). Bodovací stupnice může mít větší či menší rozsah – např. 1 až 5,
1 až 10 apod. Přidělený počet bodů se převádí na normovanou váhu dle vzorce (1). Zvláštním
případem bodovací metody je alokace 100 bodů (zvaná též Metfesselova alokace), kdy mezi
jednotlivá kritéria se v souladu s jejich důležitostí rozděluje 100 bodů. Normované váhy jsou
potom stokrát menší než příslušný počet bodů.
Řešený příklad I.4. Předpokládejte, že vy sami jste uchazečem o zaměstnání z příkladu 1.
Spočítejte váhy kritérií z tohoto příkladu bodovací metodou.
Řešení. Nejprve si musíme nejen srovnat kritéria podle pořadí preferencí, ale i určit sílu těchto
preferencí. Jedno z možných bodových ohodnocení spolu s výslednými vahami pro takové bodové
ohodnocení je v následující tabulce.
Kritérium
K1
K2
K3
K4
Celkem
Počet bodů
50
20
25
5
100
Váha
0,5
0,2
0,25
0,05
1
2
Metoda kvantitativního párového srovnávání (Saatyho metoda)
Kromě výběru preferovaného kritéria se určuje pro každou dvojici kritérií také velikost této preference (SAATY, 1990). K vyjádření velikosti preferencí Saaty doporučuje bodovou stupnici:
číselné
1
3
5
7
9
Vyjádření preferencí
slovní
kritéria jsou stejně významná
první kritérium je slabě významnější než druhé
první kritérium je silně významnější než druhé
první kritérium je velmi silně významnější než druhé
první kritérium je absolutně významnější než druhé
Pro citlivější vyjádření preferencí je možné použít i mezistupně (2, 4, 6, 8).
Velikost preferencí i-tého kritéria proti j-tému můžeme uspořádat do Saatyho matice S, jejíž
prvky sij představují odhady podílů vah kritérií (kolikrát je jedno kritérium významnější než
druhé):
sij ≈
vi
, i, j = 1, 2, . . . , n
vj
(4)
Matice S je čtvercová řádu n × n a pro její prvky platí
sij =
1
, i, j = 1, 2, . . . , n
sji
(5)
7
tedy matice S je reciproční. Na diagonále matice S jsou vždy hodnoty jedna (každé kritérium
je samo sobě rovnocenné). Dříve než se počítají váhy jednotlivých kritérií, je nutné ověřit, zda
zadaná matice párových porovnávání je konzistentní. Uvažujme ideální matici S = (sij ), pro
jejíž prvky by platilo shj = shi sij pro i, j, h = 1, 2, . . . , n. Taková matice by byla dokonale konzistentní.
Příklad 2. Mějme matici párových srovnávání pro tři kritéria:
 K1 K 2
1
2
 1/2 1
1/6 1/3
K1
K2
K3
K3 
6
3 
1
Prvky této matice jsou plně konzistentní. Například platí
s13 = s12 s23
neboli 6 = 2 · 3.
Pokud je kritérií více, je téměř nemožné zadat odhady vah kritérií tak, aby matice byla
dokonale konzistentní. v takovém případě se počítá míra konzistence. v rámci našeho kurzu nebudeme míru konzistence počítat, konzistenci budeme sledovat pouze ve výsledcích, které budou
k dispozici díky užití softwaru. v případě zájmu o výpočet indexu konzistence doporučujeme literaturu [1].
Při stanovování vah můžeme vycházet z podmínky, že matice S by se měla od matice, jejímiž
wi
prvky jsou podíly vah w
, lišit co nejméně. Potom minimalizujeme součet odchylek stejnolehlých
j
prvků obou matic:
n X
n X
wi 2
F =
→ min
(6)
sij −
wj
i=1 j=1
za podmínky
n
P
wj = 1 a wj ≥ 0 pro j = 1, 2, . . . , n.
j=1
Další metoda, jak stanovit váhy je logaritmická metoda nejmenších čtverců. Řešíme
F =
n X
n
X
[ln sij − (ln wi − ln wj )]2 → min
(7)
i=1 j=1
za podmínky
n
P
wj = 1 a wj ≥ 0 pro j = 1, 2, . . . , n.
j=1
Saaty navrhl početně jednoduchý způsob, jak spočítat váhy. Řešením je normalizovaný geometrický průměr řádků matice S:
"
n
Q
#1
n
sij
j=1
wi =
n
P
k=1
"
n
Q
# 1 , i = 1, 2, . . . , n.
(8)
n
skj
j=1
Pokud je matice S plně konzistentní, popřípadě dostatečně konzistentní, váhy kritérií vypočítané podle vztahu (8) odpovídají požadavkům na jejich preferenci. Pokud matice S není
8
2
METODY STANOVENÍ VAH KRITÉRIÍ
konzistentní, je nutné upravit odhady důležitosti jednotlivých kritérií v původní matici S a tím
zlepšit jejich konzistenci.
Řešený příklad I.5. Nejprve provedeme u našeho příkladu 1 porovnání důležitosti mezi všemi
dvojicemi kritérií a tato porovnání uspořádáme do Saatyho matice párových srovnání.
K1
K2
K3
K4
 K1 K 2 K 3 K4
1
5
3 7
 1/5 1 1/2 4

 1/3 2
1 5
1/7 1/4 1/5 1




Řešení. Vzhledem k tomu, že matice je dostatečně konzistentní (zjistili jsme v softwaru Sanna),
nemusíme upravovat odhady preferencí mezi kritérii a přistoupíme k výpočtu vah podle vztahu
(8).
K1
K2
K3
K4
suma
Geometrický průměr
3.20109
0.79527
1.35120
0.29072
5.638272125
Vážený geometrický průměr (wi )
0.56774
0.14105
0.23965
0.05156
1
2
Metoda postupného rozvrhu vah
Při velkém počtu kritérií je vhodné seskupit kritéria do dílčích skupin podle příbuznosti jejich
věcné náplně. Váhy jednotlivých kritérií pak určíme tak, že
• stanovíme normované váhy jednotlivých skupin kritérií (pomocí některé z dříve uvedených
metod),
• stanovíme normované váhy každého kritéria v příslušné skupině,
• vynásobením vah skupin kritérií a vah jednotlivých kritérií v rámci každé skupiny zjistíme
výsledné normované váhy kritérií.
Příklad 3. Výrobní firma uvažující o vytvoření společného podniku hledá partnera, který by co
nejlépe vyhovoval těmto kritériím:
K1
K2
K3
K4
K5
K6
K7
K8
K9
...
...
...
...
...
...
...
...
...
možnost kooperace v klíčových výrobních programech firmy
kompatibilnost technologie
technická úroveň partnera
možnost dodávat zboží na trhy partnera
možnost samostatně vystupovat na zahraničních trzích
finanční výsledky hospodaření partnera v posledním roce
velikost finančního vkladu partnera do společného podniku
vzdálenost sídla partnera od sídla firmy
image firmy partnera
Uvedený soubor kritérií lze podle jejich obsahové příbuznosti rozdělit do čtyř skupin:
• kritéria výrobně-technologická (skupina S1 s kritérii K1 , K2 , K3 )
9
• kritéria obchodní (skupina S2 s kritérii K4 , K5 )
• kritéria finanční (skupina S3 s kritérii K6 , K7 )
• ostatní (skupina S4 s kritérii K8 , K9 )
Za předpokladu, že byly stanoveny váhy těchto skupin kritérií a váhy jednotlivých kritérií
v rámci uvažovaných skupin, výše popsaným postupem byly spočítány a do posledního řádku
následující tabulky zapsány výsledné váhy jednotlivých kritérií.
Skupina kritérií
Váhy skupin kritérií
Kritéria
Váhy kritérií
Výsledné váhy kritérií
K1
0,5
0,15
S1
0,3
K2
0,2
0,06
K3
0,3
0,09
S2
0,2
K4 K5
0,5 0,5
0,1 0,1
S3
0,4
K6
0,3
0,12
K7
0,7
0,28
S4
0,1
K8
0,4
0,04
K9
0,6
0,06
4
Váhy kritérií patří k údajům subjektivního charakteru, závisejícím jednak na použití metody,
jednak na hodnotiteli. Doporučuje se proto aplikovat více metod, zapojit více hodnotitelů a
získané hodnoty průměrovat.
Stejně jako lze kritéria rozdělit do skupin a každé skupině přidělit váhu, může hodnocení provádět
více hodnotitelů, každému hodnotiteli je pak přidělena váha, kterou hodnotitel dělí mezi kritéria.
3
Metody stanovení pořadí variant
Cílem metod vícekriteriálního hodnocení variant je stanovení pořadí výhodnosti jednotlivých
variant z hlediska zvolených kritérií, přičemž varianta s nejlepším umístěním představuje nejlepší kompromisní variantu. Metody pro výběr kompromisní varianty mezi nedominovanými
variantami se liší přístupem k pojmu ”kompromisní varianta”, náročností a použitelností pro
různé typy vícekriteriálních úloh. Výsledky získané různými metodami mají tedy subjektivní
charakter a mohou se navzájem lišit.
Metody je možné rozdělit podle toho, jaký typ informace vyžadují.
• Metody vyžadující znalost aspirační úrovně kriteriálních hodnot.
Do této skupiny metod patří například konjunktivní metoda, disjunktivní metoda
a metoda PRIAM. Informace o důležitosti kritérií je vyjádřena aspirační úrovní kritérií.
Porovnávají se kriteriální hodnoty všech variant s aspiračními úrovněmi všech kritérií.
Obvykle se rozdělí skupina variant na dvě skupiny. Varianty, které mají horší kriteriální
hodnoty, než je nastavená aspirační úroveň (neakceptovatelné, neefektivní), a varianty,
které mají lepší nebo stejné kriteriální hodnoty, než je aspirační úroveň (akceptovatelné,
efektivní). Při dostatečném zpřísnění aspiračních úrovní může v množině akceptovatelných
variant zůstat varianta jediná, kterou označíme jako kompromisní.
• Metody vyžadující ordinální informace o variantách podle každého kritéria.
Jsou to například metoda pořadí, lexikografická metoda, permutační metoda,
metoda ORESTE.
• Metody vyžadující kardinální informace o variantách podle každého kritéria.
Tato skupina metod se dále rozděluje na dílčí podskupiny podle principu, na kterém jsou
hodnocení založena. Existují tyto základní přístupy:
– maximalizace užitku (metoda váženého součtu, metoda bázické varianty, metoda AHP, metoda bodovací)
10
3
METODY STANOVENÍ POŘADÍ VARIANT
– minimalizace vzdálenosti od ideální varianty, popř. maximalizace vzdálenosti od bazální varianty (TOPSIS)
– preferenční relace (ELECTRE, PROMETHEE)
– metody založené na mezní míře substituce (metoda postupné substituce).
Některé zmíněné metody budou vysvětleny dále, jiné popisují např. [2] nebo [1].
Konjunktivní a disjunktivní metoda
Při aplikaci těchto metod je nutné, aby byly známé aspirační úrovně všech kritérií a kardinální
ohodnocení variant podle jednotlivých kritérií. Podle aspirační úrovně rozdělíme varianty na
akceptovatelné a neakceptovatelné.
v případě konjunktivní metody připustíme pouze varianty, které splňují všechny aspirační
úrovně.
Nejprve předpokládejme, že všechna kritéria jsou maximalizační. Ze všech možných variant
– alternativ Ai budou pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které podle
všech posuzovaných hledisek mají alespoň hodnotu předem stanovené aspirační úrovně zj nebo
hodnotu větší. Matematicky můžeme zapsat
M = { Ai |yij ≥ zj , ∀j ∈ 1, 2, . . . , n}.
(9)
Nyní předpokládejme, že jsou všechna kritéria minimalizační. Ze všech možných variant
– alternativ Ai budou pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které podle
všech posuzovaných hledisek mají nejvýše hodnotu předem stanovené aspirační úrovně zj nebo
hodnotu menší. Matematicky můžeme zapsat
M = { Ai |yij ≤ zj , ∀j ∈ 1, 2, . . . , n}.
(10)
Běžně se v úlohách vyskytují jak maximalizační, tak minimalizační kritéria. Potom můžeme říci,
že do množiny M (množiny akceptovatelných variant) patří pouze varianty, které podle všech
kritérií dosahují předem stanovenou aspirační úroveň nebo jsou ještě lepší.
v případě disjunktivní metody připustíme varianty, které splňují alespoň jeden požadavek.
v případě maximalizačních kritérií platí, že ze všech možných variant – alternativ Ai budou
pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které alespoň podle jednoho posuzovaného hlediska mají alespoň hodnotu předem stanovené aspirační úrovně zj nebo hodnotu větší.
Matematicky můžeme zapsat
M = { Ai |∃j ∈ 1, 2, . . . , n, yij ≥ zj },
(11)
v případě minimalizačních kritérií platí, že ze všech možných variant – alternativ Ai budou
pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které alespoň podle jednoho posuzovaného hlediska mají nejvýše hodnotu předem stanovené aspirační úrovně zj nebo hodnotu menší.
Matematicky můžeme zapsat
M = {Ai |∃j ∈ 1, 2, . . . , n, yij ≤ zj },
(12)
Pokud jsou požadavky vyjádřené aspiračními úrovněmi příliš přísné, je množina akceptovatelných variant prázdná. v takovém případě je nutno zadat nové, mírnější aspirační úrovně. A
naopak, budou-li požadavky mírné, množina variant bude příliš velká. Pak je nutné aspirační
úrovně zpřísnit.
Řešený příklad I.6. Vezměme u našeho příkladu 1 tyto aspirační úrovně: z1 = 25, z2 = 45, z3 =
2, z4 = 8. Určete, které varianty jsou akceptovatelné a které nikoliv.
11
Řešení. Pokud problém budeme řešit konjunktivní metodou, jediná varianta, která vyhovuje
všem aspiračním úrovním, je varianta C. Pokud k řešení přistoupíme metodou disjunktivní, pak
alespoň z jednoho hlediska vyhovují všechny varianty.
2
Poznámka. Metody konjunktivní a disjunktivní jsou doporučovány zejména k ”předvýběru” variant, které se pak dále hodnotí jinými metodami. Znamená to, že aspirační úrovně se nenastaví
tak přísné, aby vyhovovalo pouze jediné řešení. Hledá se skupina variant, která vyhovuje aspiračním úrovním. Dalo by se říci, že se těmito metodami odstraní vyloženě špatné a nevyhovující
varianty a ostatní se pak dále vyhodnocují jinými metodami.
Metoda PRIAM (Programme utilisant lIntelligence Artificiele en Multicritere)
Tato metoda je založena na postupném prohledávání množiny variant v s krocích, aby bylo
nalezeno jediné nedominované řešení.
Každá varianta Ai je zobrazena vektorem kriteriálních hodnot yi ∈ Y (jeden z řádků kriteriální matice). Aspirační úroveň j-tého kritéria v s-tém kroku je označena zjs a změny aspirační
úrovně j-tého kritéria v s-tém kroku ∆zjs . Změna může být kladná nebo záporná, podle toho, zda
se jedná o minimalizační či maximalizační typ kritéria. Rozhodovatel navrhne první aspirační
úroveň kritérií
(0) (0)
z(0) = (z1 , z2 , . . . , zn(0) ).
(13)
Zpravidla se aspirační úroveň v nultém kroku stanoví jako nejhorší hodnota podle každého
kritéria. Tímto ”sítem” projdou všechny varianty, neboli pro všechny varianty (jejich kriteriální
hodnoty) platí
yi ≥ z(0) .
(14)
Vztah 14 čtěte ”kriteriální hodnoty varianty vyhovují požadovaným aspiračním úrovním”. Obecně
do dalšího kola projdou varianty, které splňují požadované aspirační úrovně. Počet variant splňující tyto aspirační úrovně udává číslo d. Vzhledem k hodnotě d rozhodovatel mění aspirační
úroveň kritérií pro krok s + 1
z(s+1) = z(s) + ∆z(s) .
(15)
Podle hodnoty čísla d (počet variant, které splňují požadavky) nastávají tři případy:
• d > 1 - rozhodovatel mění aspirační úroveň tak, aby snížil počet akceptovatelných variant,
• d = 1 – je nalezena kompromisní varianta,
• d = 0 – neexistuje žádná přijatelná varianta, hledá se nejbližší varianta k zadaným aspiračním úrovním; v takovém případě se pro každou variantu vypočte odchylka od aspirační
úrovně podle vztahu
(s)
n
X
|zj − yij |
j=1
yj∗
,
(16)
kde yj∗ pro j = 1, 2, . . . , n jsou ideální kriteriální hodnoty. Tento vztah nelze použít v případě,
že ideální kriteriální hodnota je nula. Jako přijatelnou variantu vybereme variantu s nejmenším
podílem odchylky od aspiračních úrovní kritérií na ideální kriteriální hodnotě.
Řešený příklad I.7. Vyberte kompromisní variantu v příkladu 1 metodou PRIAM.
12
3
METODY STANOVENÍ POŘADÍ VARIANT
Řešení. Výchozí aspirační úroveň u našeho příkladu je z(0) = (22; 60; 1; 7.5). Této aspirační
úrovni vyhovují všechny varianty. Zpřísníme tedy aspirační úroveň nejprve u nejdůležitějšího kritéria o 3. Potom ∆z(1) = (3; 0; 0; 0) a aspirační úrovně jsou z(1) = (25; 60; 1; 7.5). Tím je vyřazena
varianta B, zbývají stále dvě varianty. Zpřísníme aspirační úroveň například u kritéria odborný
růst o 1, tedy ∆z(2) = (0; 0; 1; 0). Aspirační úroveň bude po této úpravě z(2) = (25; 60; 2; 7.5).
Stále zbývají dvě varianty, které stanovené aspirační úrovně splňují. Proto zpřísníme aspirační úroveň u druhého kritéria ∆z(3) = (0; −10; 0; 0). Po této úpravě je aspirační úroveň
z(3) = (25; 50; 2; 7.5) a tomu vyhovuje už jen varianta C.
2
Metoda pořadí
Metoda pořadí je založena na převedení kriteriální matice na matici pořadí. To znamená, že
postupně se podle všech kritérií přiřadí variantám jejich pořadí. Pokud nejsou známé preference
kritérií, pouze se sečtou pro každou variantu všechna pořadí. Nejlepší varianta má tento součet
nejnižší. Pokud jsou známé preference kritérií (váhy), lze vypočítat vážené pořadí variant, opět
nejlepší varianta má tento součet nejnižší.
Řešený příklad I.8. Pro náš příklad 1 vyhodnoťte pořadí pracovních míst.
Řešení. Matice pořadí bez vah je následující:
A
B
C
K1
1
3
2
K2
3
1
2
K3
2
3
1
K4
1
3
2
Součet pořadí
7
10
7
Pořadí
1.
2.
1.
S vahami pak:
A
B
C
Váhy
K1
0.5
1.5
1
0.5
K2
0.6
0.2
0.4
0.2
K3
0.5
0.75
0.25
0.25
K4
0.05
0.15
0.1
0.05
Vážený součet pořadí
1.65
2.6
1.75
Pořadí
1.
3.
2.
Poznámka. Váhy, které jsme použili, jsou vypočítané bodovací metodou (viz subkapitola 2).
2
v případě, že by více variant mělo stejné hodnoty podle některého z kritérií, potom se bere
průměrné pořadí. Například dvě varianty dosahují druhé nejlepší hodnoty podle některého kritéria, (jsou na druhém místě), bereme to tak, že tyto dvě varianty obsadí dvě místa, a to druhé
a třetí a výsledné pořadí je pak 2,5 (průměrné pořadí).
Metoda lexikografická
Tato metoda vychází z předpokladu, že největší vliv na výběr kompromisní varianty má nejdůležitější kritérium. v případě, že existuje více variant se stejným hodnocením podle nejdůležitějšího
kritéria, přichází v úvahu druhé nejdůležitější kritérium. Algoritmus se zastaví ve chvíli, kdy je
vybraná jediná varianta, nebo když jsou vyčerpána všechna uvažovaná kritéria. Kompromisní
varianty jsou potom všechny ty, které zůstaly stejně hodnoceny po zařazení posledního kritéria.
Tato metoda by se dala přirovnat k vyhledávání ve slovníku.
13
Příklad 4. v našem příkladu 1 si zvolíme jako nejdůležitější např. kritérium mzda. Z tohoto
hlediska je nejlepší varianta A, proto bychom doporučili vybrat tuto variantu. v případě, že by
mzda byla stejná u více variant, pak bychom přistoupili k druhému nejdůležitějšímu kritériu a
podle něj bychom rozhodli o výběru vhodné varianty.
4
Metoda bodovací
Při této metodě rozhodovatel přiřadí každému prvku rozhodovací matice určitý počet bodů ze
zvolené stupnice, a to tak, že lepší hodnotě kritéria přiřadí větší počet bodů. Maximálně (minimálně) možný počet bodů přiřazený nejlepší (nejhorší) hodnotě kritéria musí být pro všechna
kritéria stejný, přičemž může jít o hypoteticky stanovená čísla, která se v žádné variantě nevyskytují. Výhodné je opatřit bodovou stupnici pro každé kritérium slovním popisem.
Řešený příklad I.9. Vyhodnoťte varianty z příkladu 1 bodovací metodou.
Řešení. Bodovací stupnice, kterou jsme navrhli pro náš příklad, je následující:
Body
1
2
3
K1
méně než 25 tis. Kč
h25; 28)
28 tis. Kč a více
K2
nad 50 minut
(40; 50i
40 minut a méně
K3
malá možnost
střední možnost
velká možnost
K4
do 8 hodin včetně
(8; 9i
po 9. hodině
Na základě bodovací stupnice jsme každé kriteriální hodnotě přiřadili příslušný počet bodů a
potom jsme opět (po pronásobení vahami) sečetli pro každou variantu body. Nejlepší je varianta
s nejvyšším součtem.
A
B
C
Váhy
K1
3
1
2
0.5
K2
1
3
2
0.2
K3
2
1
3
0.25
K4
2
1
1
0.05
Body
2.3
1.4
2.2
Pořadí
1.
3.
2.
Poznámka. Váhy, které jsme použili, jsou vypočítané bodovací metodou (viz subkapitola 2).
2
Poznámka. Čím širší si zvolíme bodovací stupnici, tím přesnější můžeme získat výsledky.
Metoda váženého součtu (Weighted sum product - WSA
Při vícekriteriálním hodnocení variant můžeme každé hodnotě kritéria Kj přiřadit její užitek,
tedy můžeme vytvořit dílčí užitkovou funkci uj , která pro variantu Ai nabývá hodnoty
uj (Ai ) = uij ; i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
(17)
Definičním oborem této funkce je interval mezi nejlepší a nejhorší hodnotou příslušného kritéria.
Oborem funkčních hodnot je interval h0, 1i.
Tato metoda je vhodná především pro kvantitativní kritéria. Předpokládá lineární závislost
užitku na hodnotách kritéria, přičemž nejhorší hodnotě j -tého kritéria (budeme značit dj ) přiřadíme hodnotu 0 a nejlepší hodnotě (budeme značit hj ) užitek 1. Pro dílčí užitek uij hodnoty
yij platí
yij − dj
; i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
(18)
uij =
hj − d j
14
3
METODY STANOVENÍ POŘADÍ VARIANT
Pro jednotlivé varianty vypočteme agregovanou funkci užitku podle vztahu
u(Ai ) =
n
X
wj uij ,
(19)
j=1
kde wj jsou normované váhy jednotlivých kritérií.
Varianty pak seřadíme podle hodnot u(Ai ). Nejlepší varianta má tuto hodnotu největší.
Řešený příklad I.10. Vyhodnoťte metodou váženého součtu varianty z příkladu 1.
Řešení. Nejprve tedy vybereme pro každé kritérium nejlepší (hj ) a nejhorší (dj ) hodnotu.
Varianty
A
B
C
hj
dj
K1
30
22
26
30
22
K2
60
30
45
30
60
K3
2
1
3
3
1
K4
9
7.5
8
9
7.5
Nyní přepočteme kriteriální hodnoty podle vztahu (18), potom vypočteme agregovanou
funkci užitku pro každou variantu podle vztahu (19) a varianty seřadíme podle této hodnoty od
nejlepší po nejhorší. Použité váhy jsou váhy získané bodovací metodou.
A
B
C
váhy
K1
1
0
0.5
0.5
K2
0
1
0.5
0.2
K3
0.5
0
1
0.25
K4
1
0
0.333
0.05
u(Ai )
0.675
0.2
0.616666667
pořadí
1.
3.
2.
Poznámka. Váhy, které jsme použili, jsou vypočítané bodovací metodou (viz subkapitola 2).
2
Metoda bázické varianty
Za bázickou variantu je považována varianta, která dosahuje nejlepších či předem stanovených
hodnot z hlediska všech kritérií. Vytvoření užitkové funkce s využitím bázické varianty spočívá
v porovnávání hodnot důsledků jednotlivých variant s odpovídajícími hodnotami v bázické vari(b)
antě. Označíme-li yj hodnotu j-tého kritéria v bázické variantě, pro užitek kritéria výnosového
typu při volbě i-té varianty platí
uij =
yij
(b)
; i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
(20)
yj
a u kritéria nákladového typu je dílčí užitek dán vztahem
(b)
uij =
yj
yij
; i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
(21)
Pro jednotlivé varianty opět spočítáme agregované funkce užitku a podle jejich hodnot varianty
seřadíme.
Poznámka. Pozor na nulové kriteriální hodnoty u bázické varianty! v případě, že by bázická
varianta měla nulovou hodnotu, tato metoda nelze použít.
15
Řešený příklad I.11. Vyhodnoťte varianty z příkladu 1 metodou bázické varianty. Předpokládejte, že bázická varianta je varianta ideální, to znamená, že podle každého kritéria dosahuje
nejlepšího možného výsledku.
Řešení. Nejprve opět přepočteme podle vztahů (20) a (21) kriteriální matici, a stejně jako
u metody WSA spočítáme hodnoty agregovaného užitku a varianty seřadíme podle těchto hodnot
sestupně.
A
B
C
Váhy
K1
1
0.733
0.867
0.5
K2
0.5
1
0.667
0.2
K3
0.0.667
0.333
1
0.25
K4
1
0.833
0.889
0.05
u(Ai )
0.817
0.692
0.861
pořadí
2.
3.
1.
Poznámka. Váhy, které jsme použili, jsou vypočítané bodovací metodou (viz subkapitola 2).
2
AHP
Metoda AHP (Analytic Hierarchy Process) byla navržena prof. Saatym v roce 1980. Při řešení
rozhodovacích problémů je třeba brát v úvahu všechny prvky, které ovlivňují výsledek analýzy,
vazby mezi nimi a intenzitu, s jakou na sebe vzájemně působí. Rozhodovací problém lze znázornit jako hierarchickou strukturu. Je to lineární struktura obsahující s-úrovní, přičemž každá
z těchto úrovní zahrnuje několik prvků. Uspořádání jednotlivých úrovní je vždy od obecného ke
konkrétnímu. Pro obecnou úlohu vícekriteriálního hodnocení variant může být hierarchie následující: 1. úroveň – cíl vyjednávání; 2. úroveň – experti, kteří se na hodnocení podílí; 3. úroveň –
kritéria vyhodnocování; 4. úroveň – posuzované varianty, viz obrázek 1.
Obrázek 1: Hierarchická struktura úlohy vícekriteriálního rozhodování
Obdobným způsobem, jako mezi kritérii při určování vah kritérií Saatyho metodou, lze určit
vztahy mezi všemi komponenty na každé úrovni hierarchie. Pokud máme čtyřúrovňovou hierarchii, tzn. jeden cíl, h expertů, n kritérií a m variant, bude na druhé úrovni hierarchie jedna
matice párového srovnávání o rozměrech h × h. Na třetí úrovni bude h matic o rozměrech n × n
a na čtvrté úrovni n matic o rozměrech m × m . Pomocí propočtů (viz Saatyho metoda pro
výpočet vah kritérií) v těchto maticích si varianty ”rozdělují” hodnotu váhy příslušného kritéria
(kritéria si pak ”rozdělují” váhy příslušného experta). Hodnoty, které získáme, se nazývají preferenční indexy variant z hlediska všech kritérií. Pokud tedy sečteme tyto preferenční indexy z
hlediska všech kritérií, získáme hodnocení varianty z pohledu všech expertů a z hlediska všech
16
3
METODY STANOVENÍ POŘADÍ VARIANT
kritérií.
Řešený příklad I.12. Seřaďte varianty z příkladu 1 s využitím metody AHP.
Řešení. Pro ilustraci této metody použijeme váhy získané Saatyho metodou. Předpokládáme,
že do hodnocení je zapojen pouze jeden expert, neboli jeden hodnotitel porovnává kritéria mezi
sebou (tím získá váhy) a potom porovnává jednotlivé varianty mezi sebou podle jednotlivých
kritérií. Všechna porovnání postupně pro plat, dojíždění, odborný růst a začátek pracovní doby
jsou zaznamenána v následujících tabulkách:
Kritéria
K1
K2
K3
K4
K1
1
1/5
1/3
1/7
Plat
A
B
C
K2
5
1
2
1/4
K3
3
1/2
1
1/5
K4
7
4
5
1
B
7
1
2
C
5
1/2
1
Geometrický průměr
3.27107
0.41491
0.73681
A
1
1/7
1/5
Geometrický průměr
3.20109
0.79527
1.35120
0.29072
Vážený geometrický průměr
0.56774
0.14105
0.23965
0.05156
Vážený geometrický průměr
0.73959
0.09381
0.16659
2
Dojíždění
A
B
C
Růst
A
B
C
Začátek
A
B
C
A
1
7
3
A
1
7
3
A
1
7
3
B
1/7
1
1/3
B
1/7
1
1/3
C
1/3
3
1
C
1/3
3
1
B
1/7
1
1/3
Geometrický průměr
0.36246
2.75892
1
Geometrický průměr
1
0.38157
2.62074
C
1/3
3
1
Geometrický průměr
2.62074
0.38157
1
Vážený geometrický průměr
0.08795
0.66942
0.24264
Vážený geometrický průměr
0.24986
0.09534
0.65481
Vážený geometrický průměr
0.65481
0.09534
0.24986
Kritéria jsou celkem čtyři a každé z nich má svou váhu. Tato váha musí být dále rozdělena mezi
jednotlivé varianty. My známe váhy jednotlivých kritérií a známe také váhy variant podle těchto
kritérií. Výsledné váhy každé varianty podle každého kritéria jsou v další tabulce.
A
B
C
Váhy kritérií
K1
0.73959
0.09381
0.16659
0.56774
K2
0.08795
0.66942
0.24264
0.14105
K3
0.24986
0.09534
0.65481
0.23965
K4
0.6548
0.09534
0.24986
0.05156
Součet hodnocení
0.525943481
0.175444971
0.298611548
Pořadí
1.
3.
2.
17
Pro každou variantu sčítáme hodnocení podle kritéria, vynásobená váhou tohoto kritéria. Součty
dílčích hodnocení jsou seřazeny sestupně. Varianty jsou seřazeny A C B.
TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution)
Metoda TOPSIS je založena na výběru varianty, která je nejblíže k ideální variantě a nejdále od
bazální varianty. Předpokládá se maximalizační charakter všech kritérií. Pokud nejsou všechna
kritéria maximalizační, je nutné je na maximalizační převést.
Postup při metodě TOPSIS lze popsat v následujících krocích:
• převedení všech kritérií na maximalizační,
• vytvoření normalizované kriteriální matice R = (rij ) podle vztahu
yij
rij = s
m
P
i=1
; i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
(22)
2
yij
Sloupce v matici R představují vektory jednotkové normy.
• Dále se převede kriteriální matice R na normalizovanou kriteriální matici Z tak, že každý
sloupec matice R vynásobíme váhou odpovídajícího kritéria podle vztahu
zij = wj rij .
(23)
• Pomocí prvků matice Z se vytvoří ideální varianta (h1 , h2 , . . . , hn ) a bazální varianta
(d1 , d2 , . . . , dn ), kde
hj = max zij ; j = 1, 2, . . . , n
(24)
i
dj = min zij ; j = 1, 2, . . . , n
i
• Vzdálenost od ideální varianty se počítá podle vztahu
v
uX
u n
+
di = t (zij − hj )2 ; i = 1, 2, . . . , m
(25)
(26)
j=1
• Vzdálenost od bazální varianty se počítá podle vztahu
v
uX
u n
−
di = t (zij − dj )2 ; i = 1, 2, . . . , m
(27)
j=1
• Relativní ukazatel vzdálenosti variant od bazální varianty se vypočte podle vztahu
ci =
d−
i
; i = 1, 2, . . . , m
d+
+
d−
i
i
Varianty jsou uspořádány podle nerostoucích hodnot ci .
Řešený příklad I.13. Vyhodnoťte metodou TOPSIS varianty z příkladu 1.
Řešení. Všechna kritéria převedeme na maximalizační typ:
(28)
18
3
A
B
C
K1
30
22
26
METODY STANOVENÍ POŘADÍ VARIANT
K2
0
30
15
K3
2
1
3
K4
9
7.5
8
Vytvoříme normalizovanou kriteriální matici podle vztahu (22):
A
B
C
K1
0.660978974
0.484717914
0.572848444
K2
0
0.894427191
0.447213595
K3
0.534522484
0.267261242
0.801783726
K4
0.634416639
0.528680533
0.563925901
Kriteriální matici znormujeme váhami získanými bodovací metodou podle vztahu (23), a pak
vybereme pro každé kritérium nejvyšší (ideální) a nejnižší (bazální) hodnotu:
K1
0.330489487
0.242358957
0.286424222
0.330489487
0.242358957
A
B
C
hj
dj
K2
0
0.178885438
0.089442719
0.178885438
0
K3
0.133630621
0.06681531
0.200445931
0.200445931
0.06681531
K4
0.031720832
0.026434027
0.028196295
0.031720832
0.026434027
Podle vztahu (26) vypočteme vzdálenost od ideální varianty, podle (27) vzdálenost od bazální
varianty a podle (28) relativní vzdálenosti od bazální varianty. Varianty se řadí sestupně podle
relativní vzdálenosti od bazální varianty.
A
B
C
d+
i
0.19095624
0.160162678
0.099770587
d−
i
0.110721391
0.178885438
0.166739306
ci
0.367018894
0.527610771
0.625640213
Pořadí
3.
2.
1.
Poznámka. Váhy, které jsme použili, jsou vypočítané bodovací metodou (viz subkapitola 2).
2
Metoda ELECTRE I
Cílem této metody je rozdělit množinu variant na dvě skupiny, na efektivní a neefektivní varianty.
Předpokladem pro využití této metody je znalost kriteriální matice, vektoru normalizovaných
vah a stanovení dvou prahových hodnot, a to prahu preference a prahu dispreference. Ohodnocení
varianty Ai podle kritéria j značíme symbolem yij ; i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n. Pro každou
dvojici variant (Ai , Ah ); i, h = 1, 2, . . . , m pak určíme množinu
Cih = { j|yij ≥ yhj ; j = 1, 2, . . . , n}; i, h = 1, 2, . . . , m
(29)
obsahující indexy kritérií, z jejichž hlediska je varianta Ai ohodnocena alespoň tak dobře, jako
varianta Ah , a množinu
Dih = { j|yij < yhj ; j = 1, 2, . . . , n}; i, h = 1, 2, . . . , m,
která obsahuje indexy zbývajících kritérií, ve kterých je varianta Ai horší než varianta Ah .
(30)
19
Na základě množiny Cih a normalizovaného vektoru vah pro každou dvojici variant Ai , Ah
určíme číslo cih představující součet vah kritérií, z jejichž hlediska je varianta Ai stejně tak dobrá
nebo lepší než varianta Ah . v případě, že Cih není prázdná množina,
cih =
X
wj ; i, h = 1, 2, . . . , m,
(31)
j∈Cih
pokud je Cih prázdná množina, pak
cih = 0.
(32)
Hodnota cih představuje stupeň preference varianty Ai před variantou Ah . Protože cih je
součet vybraných vah, platí, že cih ∈ h0; 1i.
Dále je nutné vypočítat pro každou dvojici (Ai , Ah ) stupeň dispreference dij . Pokud je Dih
prázdná množina, pak dih = 0, v opačném případě
max (yij − yhj )
dih =
j∈Dih
max(yij − yhj )
; i, h = 1, 2, . . . , m.
(33)
h
Rovněž dih ∈ h0; 1i.
Pro určení celkové preference P mezi dvojicí variant musí rozhodovatel zadat práh preference c∗
a práh dispreference d∗ . Platí, že varianta Ai je preferována před variantou Ah tehdy, když platí
cih ≥ c∗ ∧ dih ≤ d∗ .
(34)
Párové preference jsou pak zapsány v matici P = (pih ), kde pih = 1, pokud Ai je preferována
před Ah , v opačném případě je pih = 0. Varianty jsou rozděleny na efektivní a neefektivní.
Za efektivní jsou považovány varianty, které jsou preferovány alespoň před jednou variantou a
neexistuje k nim žádná preferující varianta. Výsledek závisí na stanovených hodnotách prahů
preference a dispreference. Doporučuje se vycházet z průměrných hodnot v maticích preference
a dispreference a potom je postupně buď zpřísňovat (v případě mnoha efektivních variant), nebo
zmírňovat (v případě žádné efektivní varianty).
Poznámka. Ve výše popsaném postupu vyhodnocování variant metodou ELECTRE porovnáváme mezi sebou kriteriální hodnoty v různých měřítkách (peníze, vzdálenost, body, atd.), což
není úplně v pořádku, protože měřítko má vliv na výsledky. Lepší by bylo nejprve kriteriální
matici znormovat a teprve potom dělat párové srovnávání. Postup výpočtu s nenormovanou maticí jsme použili proto, že software, který používáme při výuce, rovněž počítá s nenormovanou
maticí.
Řešený příklad I.14. Pro příklad 1 zjistěte, které varianty jsou efektivní pomocí metody
ELECTRE.
Řešení. Nejprve je nutné pro každou dvojici zjistit množinu C (viz (29))a množinu D (viz
(30)), například pro dvojici A, B je množina CA,B = {1, 3, 4}, množina DA,B ={2}. Varianta A
je lepší podle kritérií 1, 3 a 4, horší je podle kritéria 2. Naopak budeme-li porovnávat B, A,
pak CB,A ={2}, množina DB,A ={1, 3, 4}. Varianta B je lepší než A podle kritéria 2 a horší podle
kritérií 1, 3, 4.
Dále podle vztahů (31) a (33) sestavíme matici preferencí C a dispreferencí D.


− 0.8 0.55
C =  0.2 − 0.2 
0.45 0.8 −
20
4
ANALÝZA CITLIVOSTI PREFERENČNÍHO POŘADÍ VARIANT
Matice je v našem příkladu typu 3 × 3, protože mezi sebou porovnáváme tři varianty. Výsledek porovnání zapisujeme v matici na pozici: první z dvojice porovnávaných variant je uvedena
v řádku, druhá z dvojice ve sloupci. Předpokládáme pořadí variant A, B, C. Proto například
pro dvojici A, B píšeme výsledek porovnávání na pozici c12 (1. řádek, 2. sloupec). Pro dvojici
A, B je pak cA,B = 0.5 + 0.25 + 0.05 = 0.8, pro dvojici B, A je cB,A = 0.2


−
1
1
D =  0.267 − 0.267 
0.267 1
−
Pro dvojici A, B je pak dA,B = 30
30 = 1. v čitateli je maximální rozdíl v kriteriálních hodnotách variant A a B, z jejichž hlediska je varianta A horší než B. Ve jmenovateli pak maximální
rozdíl v kriteriálních hodnotách variant A a B z hlediska všech kritérií. Pro dvojici B, A je
8
dB,A = 30
= 0.267.
Nyní můžeme zadat práh preference (např. c∗ = 0.4), práh dispreference (např. d∗ = 0.6) a na
základě vztahu (34) sestavit matici preferencí:


− 0 0
P= 0 − 0 
1 0 −
Z matice můžeme vyčíst, že pouze varianta C je efektivní, je preferována alespoň před jednou
variantou a neexistuje k ní žádná preferující varianta.V matici P je pouze u varianty C v řádku
jednička a zároveň ve sloupci samé nuly.
2
4
Analýza citlivosti preferenčního pořadí variant
Pořadí výhodnosti daných variant rozhodování, stanovené některou z metod vícekriteriálního
hodnocení variant, závisí především na vahách jednotlivých kritérií a na použité metodě.
Zkoumání citlivosti preferenčního pořadí variant na stanovení důležitosti jednotlivých kritérií
spadá do oblasti experimentování na modelech, kdy vícekriteriální hodnocení variant provádíme
při měnících se vahách kritérií. Jedině tehdy, kdy při těchto změnách se preferenční pořadí variant (nebo aspoň varianta s nejvyšším oceněním) nemění, není toto pořadí citlivé na nepřesnost
stanovených vah a lze říci, že význam jednotlivých kritérií byl rozhodovatelem správně oceněn. Jestliže preferenční pořadí variant je značně citlivé na změny vah kritérií, je nutné jejich
spolehlivost zvýšit.
Závislost preferenčního pořadí variant na použité metodě jejich vícekriteriálního hodnocení
je dána tím, že jednotlivé metody vycházejí z různých, zpravidla zjednodušujících předpokladů
a že v důsledku různého přístupu k pojmu „kompromisní variantaÿ využívají různé výpočetní
postupy. Doporučuje se proto při vícekriteriálním hodnocení variant uplatnit více metod a ověřit
citlivost preferenčního pořadí variant vzhledem k použitým metodám. Jedině tu variantu, která
zůstává stále na 1. místě při použití libovolné metody, lze považovat za nejvýhodnější.
Vliv použití metody vícekriteriálního hodnocení variant na jejich preferenční pořadí lze dokumentovat na příkladu 1. v následující tabulce je uvedeno pořadí jednotlivých pracovišť z hlediska
daných kritérií, stanovené různými metodami:
Metoda
A
B
C
Pořadí
1.
3.
2.
Bodovací
1.
3.
2.
WSA
1.
3.
2.
Bázická
2.
3.
1.
AHP
1.
3.
2.
TOPSIS
3.
2.
1.
21
Z uvedené tabulky je patrná značná citlivost preferenčního pořadí variant na aplikované
metodě. Nicméně varianta A je na prvním místě nejčastěji, na třetím místě je pouze při použití
metody TOPSIS, proto bychom ji označili jako kompromisní variantu. Jiná možnost využití
výsledků získaných různými metodami spočívá v tom, že se na pořadí pracovišť můžeme dívat
jako na prvky kriteriální matice a znovu můžeme použít některou z metod vícekriteriálního
hodnocení variant.
Příklad 5. Vezměme pořadí variant, získaná různými metodami jako prvky kriteriální matice a
vyhodnoťme je metodou pořadí. Nebudeme uvažovat váhy, takže pouze sečteme pořadí v řádcích.
Nejlépe vyjde varianta A, u které je součet pořadí 9, potom je varianta C se součtem 10 a
nejhůře dopadla varianta B se součtem 17.
4
Před volbou varianty určené k realizaci je nutné vzít v úvahu také možný vliv rizika a nejistoty na výsledky vícekriteriálního hodnocení variant. Dosud jsme předpokládali, že důsledky
variant vzhledem k jednotlivým kritériím, tj. prvky kriteriální matice, jsou jednoznačně určeny.
Jestliže tyto důsledky mají náhodný charakter, buď opět pomocí analýzy citlivosti zkoumáme
vliv možných změn prvků kriteriální matice na preferenční pořadí variant, nebo použijeme některou z metod vícekriteriálního hodnocení variant za rizika a nejistoty. Tyto metody popisuje
např. [3].
22
5
5
PŘÍKLADY
Příklady
Cvičení 5.1. Majitel nemovitosti uvažuje o pronájmu nebytového prostoru pro výrobní účely.
Po vyhlášení výběrového řízení na projekt výroby v tomto prostoru dostal nabídky firem A, B,
C, ze kterých potřebuje vybrat tu nejvýhodnější. Pro toto rozhodnutí zvolil následující hodnotící
kritéria:
K1 . . . cena, kterou je firma ochotna zaplatit za 1 m2 za měsíc
K2 . . . předpokládaná výše investic do nemovitosti firmou
K3 . . . vliv provozu výroby na životní prostředí
K4 . . . image firmy
Ocenění těchto kritérií pro návrhy jednotlivých firem jsou uvedena v následující tabulce, v níž
kritérium K1 je ohodnoceno v Kč a K2 v tisících Kč. Kvalitativní kritéria K3 (minimalizační) a
K4 (maximalizační) jsou ohodnocena pomocí tříbodové stupnice.
Firma
A
B
C
K1
30
35
40
K2
40
10
80
K3
1
3
2
K4
3
2
3
Jaké firmě má majitel nebytového prostoru dát přednost?
Cvičení 5.2. Zemědělský podnikatel se rozhoduje mezi těmito navzájem se vylučujícími způsoby
hospodaření:
V1 . . . produkce sadbových brambor
V2 . . . produkce osiva krmného obilí
V3 . . . běžná produkce v oblasti
V4 . . . chov masného skotu
Při rozhodování přihlíží pedevším k těmto hlediskům:
K1 . . . dosažitelný zisk
K2 . . . vstupní náklady na produkci
K3 . . . náročnost na práci
K4 . . . rizikovost produkce
Ocenění těchto kritérií pro jednotlivé varianty hospodaření jsou uvedena v následující tabulce, v níž ukazatele K1 a K2 jsou vyjádřeny v mil. Kč. Kvalitativní kritérium K3 je ohodnoceno
pomocí tříbodové stupnice. Rizikovost produkce je dána v procentech vyjádřenou maximální
možnou odchylkou od očekávaného zisku.
Varianta
V1
V2
V3
V4
K1
0,9
0,69
0,58
0,5
K2
1,9
1,84
1,74
1,4
K3
3
2
2
1
K4
17
11
5
7
Jaký způsob hospodaření by byl pro zemědělce nejvýhodnější?
Cvičení 5.3. Turista, který často s přítelkyní v létě cestuje pěšky po České republice, se rozhoduje, jaký typ stanu si má zakoupit. v úvahu pro něj připadají následující varianty:
V1 . . . Coleman Celsius 3
V2 . . . Jurek S+R Tramp 2
V3 . . . Hannah Serak S3
V4 . . . Kalahari
V5 . . . Coleman Avior X2
V6 . . . Jurek Atack 2
Při rozhodování přihlíží především k těmto hlediskům:
23
K1 . . . cena (v Kč)
K2 . . . hmotnost (v kg)
K3 . . . materiál tyček
K4 . . . objem zbaleného stanu (v cm3 )
K5 . . . vodní sloupec - tropiko (v mm)
Ocenění těchto kritérií pro jednotlivé stany jsou uvedena v následující tabulce:
Varianta
V1
V2
V3
V4
V5
V6
K1
3490,4025,3620,3399,3680,4101,-
K2
4,4
2,75
2,6
3,5
2,5
2,8
K3
mix
dural
laminát
laminát
dural
dural
K4
900
867
585
900
630
867
K5
3000
3000
4000
2500
4000
5000
Který ze stanů byste turistovi doporučili, vzhledem k podmínkám, ve kterých stan hodlá používat?
Cvičení 5.4. Domácí kutil potřebuje vybrat vhodnou motorovou pilu. v úvahu pro něj přicházejí
tyto typy:
V1 . . . HQ 136
V2 . . . HQ 142
V3 . . . Stihl MS 180
V4 . . . Stihl MS 280
V5 . . .Oleo-Mac 937
V6 . . . Oleo-Mac 962
V7 . . . HQ 365
V8 . . . HQ 350
Při rozhodování přihlíží především k těmto hlediskům:
K1 . . . výkon (kW)
K2 . . . hmotnost (kg)
K3 . . . délka lišty (cm)
K4 . . . cena (Kč)
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
K1
1,6
1,9
1,5
2,8
1,7
3,5
3,4
2,3
K2
4,6
4,6
3,9
5,3
4,1
5,5
6,0
4,8
K3
35
35
35
40
35
47
50
45
K4
6990,7990,6990,9990,7950,16730,21590,13570,-
Kutilův požadavek je, aby cena nepřekročila 15000 Kč a výkon byl alespoň 1,7 kW. Poraďte
kutilovi, který typ pily si má zakoupit.
Cvičení 5.5. Teenager si hodlá pořídit nový mobilní telefon v ceně přibližně 5000 Kč. Uvažuje
o těchto typech telefonů:
V1 . . . Motorola Razer v 3 i
V2 . . . Nokia 6234
V3 . . . Sony Ericson v 630
V4 . . . Samsung E 570 V
V5 . . . Nokia 6131
24
REFERENCE
V6 . . . Nokia N 70
Při výběru vhodného telefonu se zaměřil na tato kritéria:
K1 . . . cena (Kč)
K2 . . . kapacita baterie (mAh)
K3 . . . fotoaparát – rozlišení (MPix)
K4 . . . přidaná paměť (MB)
K5 . . . display – rozlišení (tis. Pix)
K6 . . . hmotnost (g)
Kriteriální hodnoty jsou zaznamenány v následující tabulce:
V1
V2
V3
V4
V5
V6
K1
4577,4977,4977,4977,5577,5977,-
K2
710
1110
900
800
760
900
K3
1,22
1,92
1,92
1,31
1,22
1,92
K4
64
64
256
0
0
64
K5
38,7
76,8
38,7
38,7
76,8
36,6
K6
96
110
91
80
102
126
Jaký typ telefonu byste teenegerovi doporučili?
6
Otázky
• Jak je obecně zadána úloha vícekriteriálního hodnocení variant?
• Jaký je rozdíl mezi úlohou vícekriteriálního hodnocení variant a úlohou vícekriteriálního
programování?
• Popište obecně postup při hodnocení variant za jistoty.
• Vysvětlete rozdíl mezi dominovanou a dominující variantou.
• Vysvětlete rozdíl mezi optimální a kompromisní variantou.
• Co to je aspirační úroveň?
• K čemu jsou v úlohách vícekriteriálního hodnocení váhy? Lze řešit tyto úlohy i bez nich?
• Jaké znáte metody pro stanovení vah kritérií? Které z nich jsou založeny na ordinální a
jaké na kardinální informaci?
• Jaké znáte metody pro vlastní hodnocení variant? Vysvětlete, na jakých principech jsou
metody založené.
Reference
[1] Brožová, H., Houška, M., Šubrt, T. (2003): Modely pro vícekriteriální rozhodování. ČZU,
Praha.
[2] Fiala, P., Jablonský, J., Maňas, M. (1997): Vícekriteriální rozhodování. VŠE, Praha.
[3] Fotr J., Dědina, J. (1997): Manažerské rozhodování. Ekopress, Praha.