Příklady a cvičení k výkladu deduktivní metody, axiomatizace a

Příklady a cvičení k výkladu deduktivní metody,
axiomatizace a formálních vlastností teorií
na humanitních oborech
Ludmila Dostálová
Západočeská Univerzita v Plzni
září 2003
Můj příspěvek se týká poměrně úzkého problému - jak studentům humanitních oborů co
nejpřesněji přiblížit, jakým způsobem funguje axiomatizovaná deduktivní teorie, jak se s takovou
teorií pracuje a co to znamená, že taková teorie je korektní nebo úplná. Toto téma je velmi náročné,
tvoří vlastně hlavní náplň soustavného (oborového) studia logiky, a mohlo by se tedy zdát, že na
humanitní obory nepatří. V případě některých humanitních oborů však velkou část jejich studijního
plánu představují analytická filosofie a filosofie vědy. V těchto kurzech se pak studenti poměrně
často setkávají s pojmy jako axiomatizace, dedukce nebo teorie stejně jako s pojmy úplnost a
korektnost. Domnívám se, že by s těmito pojmy měli mít spojenou přesnější představu, než jen
vágní přiblížení, že "úplná teorie je taková teorie, ve které se dá dokázat všechno, co platí". Hlavní
problém tohoto úkolu pak tkví v tom, že tito studenti jsou předem zaujatí proti matematice, která je
s touto tematikou tradičně spojena. Na jedné straně na ni pohlížejí jako na něco, co do jejich oboru
nepatří, na straně druhé jsou přesvědčeni, že cokoliv, co souvisí s matematikou, nemohou pochopit.
Většinou jsou tyto názory neopodstatněné, nicméně prostor jednosemestrálního kurzu je příliš
omezený, než aby bylo možno ztrácet čas vyvracením těchto předsudků. Stála jsem tedy před
úkolem jak vyložit tuto čistě logickou tematiku, aniž bych se musela odvolávat na matematiku, a
domnívám se, že jsem našla příklad, který tuto podmínku splňuje. Jedná se o jakousi
axiomatizovanou teorii příbuzenských vztahů. Její výhoda je v tom, že každý rozumí tomu, o co
v ní jde, a soustředí se tedy pouze na logickou (formální) stránku věci, aniž by se příliš zabýval tím,
co jednotlivé výrazy a tvrzení teorie říkají (tj. obsahem teorie).
Předem také zdůrazňuji, že mnohdy se ukázalo jako nutné slevit z přísně formálního postupu
výkladu, protože studenti na tento styl nejsou zvyklí a způsobovalo by to opět zdržení. Jsem si tedy
plně vědoma toho, že následující výklad obsahuje některé formální nedůslednosti a často se
odvolává jen na intuitivní chápání nějakého pojmu, který není formálně zaveden. Snažila jsem
se však omezit tyto nepřesnosti na minimum a domnívám se, že na celkový výsledek nemají vliv.
Celý příklad je teprve v počátcích a jistě je na něm možné ledacos vylepšit, a proto jsou vítány
jakékoliv poznámky a připomínky.
Předmět, ve kterém s touto úlohou pracuji, se jmenuje Seminář z logiky, pracuji tedy
s menšími skupinami o 20 až 30 studentech a výuka má spíše seminární než přednáškový charakter.
Jedná se o studenty druhého semestru navazujícího magisterského studia Teorie a filosofie
komunikace, který je orientován především právě na analytickou filosofii a filosofii vědy. V lepším
případě tito studenti za sebou mají tři roky starý úvodní kurz do logiky, ze kterého si však pamatují
nejvýše, jaké jsou logické spojky a tabulkovou metodu. Nicméně část z nich nikdy neprošla žádným
úvodním kurzem. Paralelně s tímto Seminářem z logiky běží ještě kurz Moderní logiky zaměřený
především na různé metody odvozování. Oba kurzy jsou povinné. Obsah Semináře z logiky je
rozdělen následujícím způsobem:
1.
ÚVOD – Co je logika. Vyplývání.
2.
OPAKOVÁNÍ – Výroková logika.
3.
OPAKOVÁNÍ – Predikátová logika. (Aristotelská logika).
4.
5.
FORMALIZACE – Výroková i predikátová logika.
PLATNOST ÚSUDKŮ – Co to je platný argument a metody rozpoznání jeho platnosti:
Tabulková metoda. Sylogistika. Vennovy diagramy. Protipříklady.
TURINGOVY STROJE
ODVOZOVÁNÍ – Kalkul přirozené dedukce.
AXIOMATOZACE – Teorie, axiomy, modely, interpretace.
DEFINICE A DEFINOVÁNÍ
DOKAZOVÁNÍ – Důkaz a odvození. Teorémy.
SÉMANTIKA AXIOMATIZOVANÝCH TEORIÍ – Splňování a platnost formulí.
VLASTNOSTI AXIOMATIZOVANÝCH TEORIÍ – Bezespornost, korektnost a úplnost.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Kurz má tedy 13 hodin, z nichž prvních sedm je vlastně přípravných (seminář o Turingových
strojích je zařazen kvůli potřebě zcela jiného předmětu a může být vypuštěn, na druhou stranu se
tento seminář ukázal být docela dobrou průpravou k tomu, co to je kalkul). Problematika
axiomatizace, dedukce a vlastností teorií je tedy probrána během pěti hodin, třináctá hodina je
ponechána volná jako případná rezerva. Aby se s teorií dalo pracovat a nebylo třeba se zdržovat
podružnými technickými detaily, měli by studenti během úvodních hodin získat následující znalosti
a dovednosti:
 převádění logických spojek (hlavně převod implikace na konjunkci a disjunkci a De
Morganovy zákony pro konjunkci a disjunkci)
 De Morganovy zákony pro kvantifikátory, pravidla pro přejmenovávání proměnných, převod
formule predikátové logiky na prenexní tvar
 Číselné kvantifikátory (Pro aspoň n, právě n, nejvýše n individuí platí, že …)
(Číselné kvantifikátory budou totiž potřeba ke srozumitelné formulaci jednoho z axiomů teorie a kromě toho se
jedná o docela šikovné cvičení. Navíc v analytické filosofii v souvislosti s určitými deskripcemi potřebují tito
studenti rozumět zápisu, který vyjadřuje podmínku jedinečnosti)




Základní principy formalizace ve výrokové i predikátové logice
Vztah vyplývání, co to znamená, že argument je platný a metody rozpoznání platnosti
argumentu – tabulková metoda, vennovy diagramy, protipříklady, popř. sylogistika
Odvozování v kalkulu přirozené dedukce
Základní dokazovací postupy – modus ponens, modus tolens, hypotetický sylogismus, přímý
důkaz, důkaz sporem, odvozování po případech
1. téma
Axiomatizace, modely, interpretace
(1 dvouhodinový seminář)
Hlavním cílem tohoto semináře je, aby se studenti naučili rozumět formulím a uměli pak
rozpoznat nebo i vytvářet jejich modely. Měli by se naučit chápat formule jako popis určité
struktury. Během hodiny se teorie postupně buduje přibíráním nových a nových axiomů, které
postupně vylučují některé modely a interpretace.
1. cvičení – axiomy:
A1: x y z  ( R(x,y)  R(y,z) )  R(x,z) 
Tranzitivní relace
A2: x  R(x,x)
Ireflexivní relace
A3: x y ( R(x,y)   R(y,x) )
Antisymetrická relace
Tyto tři axiomy jsou napsány na tabuli a studenti mají za úkol zjistit, co vlastně tyto axiomy
(formule) říkají, a o čem tedy bude celá následující teorie, jejíž to jsou axiomy. Postupně se lze
dopracovat k závěru že teorie bude pojednávat o nějaké relaci a tato relace, že bude mít příslušné
vlastnosti. Studenti pak obvykle sami dokáží najít příklady relací, které tyto vlastnosti mají.
2. cvičení – modely:
"Definice": Model teorie je taková struktura, ve které platí všechny axiomy této teorie.
Studenti mají za úkol rozhodnout, které z následujících struktur jsou modelem naší teorie a které
nikoliv.
1)
5)
a
d
b
e
c
d
a
2)
b
c
c
e
f
a
b
d
a
3)
a
b
c
e
6)
c
b
d
d
a
e
4)
d
e
7)
a
a
b
c
c
d
e
b


Je třeba učinit poznámku, že tranzitivita se kvůli přehlednosti nezakresluje.
V prvním kroku studenti zpravidla bez problému odhalí, že modely 1 a 2 porušují axiom A2 a


model 3 porušuje axiom A3. Po umazání příslušných šipek je možné tyto modely přijmout.
Ve druhém kroku studenti (s menší nápovědou, aby si doplnili šipky podle tranzitivity) vyloučí i
modely 4 a 5 a v důsledku toho všechny modely, které obsahují nějaký cyklus (což není případ
modelu 6). Je to jedna z prvních příležitostí zdůraznit fakt, že to, co všechno axiomy říkají,
nemusí být z jejich znění patrné na první pohled.
Je-li dostatek času měli by se studenti pokusit sami nějaký model této teorie vytvořit.
3. cvičení – interpretace:
Až dosud se jednalo o neinterpretovanou teorii, tj. nebylo řečeno, jakou relaci označuje R a která
individua jsou oborem pro proměnné x a y.
Při práci s axiomatizovanými teoriemi jsou dvě možnosti:
1) Pracovat s neinterpretovaným kalkulem, tj. v našem případě zkoumat obecně vlastnosti
libovolné (všech) relací, které jsou tranzitivní, antisymetrické a antireflexivní. Vše, co se
v takovéto teorii dokáže, bude platit o každé relaci, která má tyto vlastnosti.
2) Interpretovat relaci, tj. stanovit o jakou relaci jde a která individua jsou jejím oborem. Tím
vznikne axiomatizovaná teorie, která si klade za cíl popsat nějakou skutečnost. V ideálním
případě pak postupným zpřesňováním a doplňováním takovéto teorie lze dosáhnout toho, že
skutečnost, kterou chce taková teorie popsat, bude jejím jediným přípustným "modelem".
Dalším úkolem pro studenty tedy je vymyslet různé interpretace pro naši teorii. Zpravidla
zjednoduší situaci nadhodí-li se obor individuí, relaci pak studenti sami snadno vymyslí.
Např.: čísla
větší, menší
slova
před, po (ve slovníku, v abecedě)
lidé
předek, potomek
dny (časové okamžiky)
dříve, později
4. cvičení – doplňování teorie:
Máme tedy jednu teorii a různé její modely i interpretace. Přidávání dalších axiomů však některé
z těchto interpretací může vyloučit. Dalším úkolem pro studenty proto je zjistit, co říkají následující
axiomy a kterou interpretaci vylučují.
 A4: x y R(y,x)
Každý prvek má svého předchůdce
Tento axiom vylučuje interpretaci s řazením ve slovníku, protože slov je jen konečné množství.
V případě dnů (časových okamžiků) to závisí na tom, zda se studenti domnívají, že čas má
počátek (konec), či nikoliv. Zpravidla ale studenty tato úvaha nenapadne.
Pro interpretaci R = být potomkem je tento axiom přinejmenším problematický (říká totiž, že
každý má nějakého potomka), pozornost tomu však bude věnována až v další hodině. Pokud si
této nesrovnalosti studenti nevšimnou sami, je vhodné odložit tuto diskusi na pozdější dobu,
protože při tomto semináři na ní není čas.
Za upozornění stojí fakt, že tento axiom si vynucuje nekonečné modely.
 A5: x   M(x)  Z(x)     M(x)  Z(x)  
Rozdělení univerza na dvě komplementární množiny
Původně jsem měla za to, že tento axiom vyloučí interpretaci s dny, než mi studenti rozdělili
dny na pracovní a na svátky. V současné době nevím o žádné vhodné interpretaci, kterou by
tento axiom vylučoval.
Čísla bezproblémově rozdělíme na sudá a lichá, lidi na muže a ženy.
 Na závěr chci po studentech, aby našli sami axiom, který odliší zbývající dvě interpretace, totiž
čísla (uspořádání větší, menší) a lidi (relace být předkem, potomkem).
Výsledek – a sice axiom, že každý má právě dva rodiče, – ponechávám prozatím
v neformalizované podobě, protože jeho formalizace a definitivní podoba je poměrně
komplikovaná, jak se ukáže v následujících hodinách (dále upravován a zpřesňován bude ve
druhé a třetí hodině).
Zatím mi není známa žádná jiná interpretace, která by splňovala tyto axiomy. Troufám si říci, že
axiom o dvou bezprostředních předchůdcích skutečně odlišuje zamýšlenou interpretaci relace R od
všech ostatních. Nadále se tedy tato teorie bude pouze zpřesňovat tak, aby postihla i ostatní aspekty
příbuzenských vztahů.
2. téma
Definice a definování
(1 dvouhodinový seminář)
Cílem tohoto semináře je, aby studenti získali alespoň základní praxi v definování, tj. jak
stanovit podmínky, aby definice byla adekvátní (ani úzká ani široká). Zároveň se ale jedná i o
užitečné cvičení pokud jde o formalizaci, protože studenti nejprve zformulují definici neformálně
(slovně) a potom ji musí vyjádřit ve formalizované podobě. Vzhledem k povaze probírané teorie se
navíc poněkud "smíří" s vícemístnými predikáty a získají jistou zručnost v zacházení
s kvantifikátory.
Vzhledem k tomu, že problematika definic je na přednáškách obvykle okrajová, je nutno na
začátku semináře stručně vyložit, co to je definice, a co to znamená, že definice je úzká nebo široká.
Důležité je zdůraznit, že definice je ekvivalence a tedy ověření její správnosti spočívá v ověření
obou směrů implikace. V okamžiku, kdy se studenti naučí automaticky definici rozkládat na dvě
implikace, dokáží obvykle sami snadno ověřit její správnost. Nejvýše pak vznikají diskuse o tom, co
považují za pravdivé. Např. u klasické definice že "Člověk je živočich rozumný" někteří studenti
považují tuto definici za úzkou, protože se domnívají, že ne všichni lidé jsou rozumní, zatímco jiní
ji mají za širokou, protože pokládají třeba psy za rozumné živočichy.
Dále je třeba předem zmínit, co to je slovník teorie, a fakt, že definice vlastně zbohacují
tento slovník.
Cvičení s definicemi začíná s úplně první verzí teorie, tj. s teorií o axiomech A1, A2 a A3.
Studenti se rozdělí na dvě části. jedna pracuje s interpretací, že R znamená být předkem, druhá
s interpretací, že relace R je být potomek. Připojíme-li nyní k teorii axiom A4, říká při první
interpretaci, že
Každý má alespoň jednoho předka.
zatímco při druhé interpretaci tvrdí, že
Každý má alespoň jednoho potomka.
což je pochopitelně nepřípustné. Při této interpretaci se tedy axiom musí upravit do podoby
A4': x y R(x,y)
Při formalizaci definic v této teorii dělá studentům zpravidla největší potíže pořadí
individuových proměnných uvnitř závorek příslušného (vícemístného) predikátu. To je proto třeba
neustále kontrolovat. Tato kontrola je velmi důležitá a vyžaduje od vyučujícího značnou pečlivost a
hlavně nepřetržitou pozornost.
Následující přehled definic pochopitelně nelze během jediného semináře celý zvládnout.
Z každé skupiny je proto třeba vybrat reprezentativní zástupce a zbývající využít v testu nebo zadat
jako domácí cvičení.
1. cvičení - Základní slovník = R – předek/potomek
Na začátku obsahuje slovník této teorie pouze jedno jediné slovo Předek, resp. Potomek. S jeho
pomocí však lze nadefinovat následující predikáty (pro stručnost budu psát pouze definice pro
interpretaci R = býti předkem):
 potomek
Inverzní relace k relaci R
x y  Potomek(x,y)  R(y,x) 
 příbuzný
Příbuzní mají společného předka
x y  Příbuzný(x,y)  z  R(z,x)  R(z,y)  
 rodič
Rodič je bezprostřední předek
x y  Rodič(x,y)   R(x,y)   z  R(x,z)  R(z,y)   
Tato definice je ze všech definic tohoto celku nejobtížnější a bohužel musí být vytvořena jako
jedna z prvních. Poměrně dlouho trvá, než si studenti ujasní, že rodič je bezprostřední předek, a
poté toto tvrzení nedokáží zformalizovat – podmínka že neexistuje žádné individuum, které by
v řetězu relace stálo mezi rodičem a jeho dítětem, není pro ně tak samozřejmá, jak by se mohlo
zdát. Patrně kvůli onomu "neexistuje".
V předchozím semináři byl axiom A6 (Každý má dva rodiče) zformulován jen slovně. To kvůli
tomu, že v první hodině není čas na hledání této komplikované definice. Aby mohl být axiom
napsán ve srozumitelné podobě, je třeba použít v něm slovo rodič (byť nepatří do základního
slovníku teorie) a použít číselné kvantifikátory. S výše uvedenou definiční formulí a se dvěma
podmínkami jedinečnosti je totiž axiom tak komplikovaný, že s ním studenti nedokáží pracovat
ani v případě, že jej akceptují.
A6: x !y !z  x  y  Rodič(y,x)  Rodič(z,x) 
kde ! je číselný kvantifikátor Existuje právě jedno x takové, že
Ani toto ale ještě stále není definitivní podoba tohoto axiomu, neboť neříká, že jeden rodič je
žena a druhý muž, jak bude ukázáno v následující hodině.
 V okamžiku, kdy je definován pojem Rodič, lze poměrně snadno nadefinovat i pojmy:
dítě
Inverzní relace k relaci Rodič
x y  Dítě(x,y)  Rodič(y,x) 
prarodič
Prarodič je rodič rodiče
x y  Prarodič(x,y)  z  Rodič(x,z)  Rodič(z,y)  
vnouče
alternativní definice – inverzní relace k relaci prarodič
Vnouče je dítě dítětě
sourozenec Sourozenci mají stejné rodiče (jsou dětmi stejných rodičů)
 Přirozeně mohou následovat definice jako pravnouče, praprarodič … a definice generací obecně.
 Všechny uvedené pojmy byly zatím definovány jako dvoumístné predikáty (relace). Nicméně
každé z těchto slov může vyjadřovat v přirozeném jazyce nejen vztah mezi individui, ale také
vlastnost, kterou některá individua mají a jiná ne. Všechny tyto pojmy tedy můžeme na základě
již definovaných dvoumístných predikátů nadefinovat také jako jednomístné predikáty
(projekce).
x  Rodič(x)  y Rodič(x,y) 
x  Dítě(x)  y Dítě(x,y) 
x  Prarodič(x)  y Prarodič(x,y) 
x  Sourozenec(x)  y Sourozenec(x,y) 
x  Vnouče(x)  y Vnouče(x,y) 
 Je možné definovat pojmy jako:
jedináček
Jedináček nemá sourozence
x  Jedináček(x)   y Sourozenec(x,y)
bezdětný
Bezdětný člověk nemá děti
x  Bezdětný(x)   y Dítě(y,x) 
Během definováni se (v rámci skupiny, která pracuje se stejnou interpretací) objevují různé
(správné) definice téhož. Je třeba zdůraznit, že všechny tyto definice jsou správné, jinak mohou
studenti začít ve své (správné) definici hledat chybu. Je to vhodná příležitost zmínit, že definice, je
do jisté míry otázkou konvence. Definice se nedokazuje a závisí na volbě, která z alternativních
definic bude přijata. Nicméně, od okamžiku přijetí některé z těchto formulací za definici jsou
ostatní alternativy tvrzením, jehož správnost se musí dokázat (viz příští hodina).
V této situaci nelze definovat pojmy jako Matka nebo Otec, protože dosavadní slovník
neobsahuje pojmy Muž a Žena. Proto se k teorii připojí ještě axiom A5 (pracujeme tedy v teorii
s axiomy A1 – A6).
2. cvičení - Základní slovník = R – předek/potomek, M – muž, Z – žena
Lze definovat predikáty (dvoumístně i jednomístně):
 otec, matka, syn, dcera, dědeček, babička, vnuk, vnučka, bratr, sestra
Všechny tyto definice mají stejnou strukturu, kde se k již definovanému pojmu připojí
konjunkcí podmínka, že se jedná o muže nebo o ženu. Např.:
x y  Otec(x,y)   Rodič(x,y)  M(x)  
x  Otec(x)   Rodič(x)  M(x)  
nebo x  Otec(x)  y Otec(x,y) 
 neteř, synovec, bratranec, sestřenice
Tyto definice jsou komplikovanější, protože vyžadují existenci ještě dalších individuí. Studenti
si tak zvykají, že každý nový objekt vyžaduje zavedení nové proměnné prostřednictvím dalšího
kvantifikátoru.
neteř Neteř je dcera sourozence
x y  Neteř(x,y)   Z(x)  z  Sourozenec(z,y)  Rodič(z,x)   
x  Neteř(x)  y Neteř(x,y) 
synovec
Synovec je syn sourozence
x y  Synovec(x,y)   M(x)  z  Sourozenec(z,y)  Rodič(z,x)   
x  Synovec(x)  y Synovec(x,y) 
bratranec
Bratranec je syn sourozence některého z rodičů
x y  Bratranec(x,y) 
 M(x)  z w  Rodič(z,y)  Rodič(w,x)  Sourozenec(z,w)
x  Bratranec(x)  y Bratranec(x,y) 
sestřenice
Sestřenice je dcera sourozence některého z rodičů
x y  Sestřenice(x,y) 
 Z(x)  z w  Rodič(z,y)  Rodič(w,x)  Sourozenec(z,w)
x  Sestřenice(x)  y Sestřenice(x,y) 
V této situaci nelze nadefinovat pojmy jako třeba Teta nebo Strýc, protože naše teorie
neobsahuje statut Manželství. Je tedy potřeba doplnit další axiom:
A7: x y  Manželé(x,y)  A 
Na pravé straně ekvivalence v tomto axiomu je podmínka A, kterou musí dvě individua splnit, aby
mohla být prohlášena za manžele, např. x a y uzavřeli manželství podle zákona č.94/1963Sb.
Předpokládá se, že tento axiom (resp. podmínka A) v sobě obsahuje všechny běžné intuice spojené
s tímto stavem; jako, že jeden z manželů je muž a druhý žena; že se jedná o symetrickou relaci atd.
3. cvičení - Základní slovník = R – předek/potomek, M – muž, Z – žena, Manželé
Lze definovat predikáty (dvoumístně i jednomístně):
 manžel
Manžel je ten z manželů, který je muž
x y  Manžel(x,y)   Manželé(x,y)  M(x) 
x  Manžel(x)  y Manžel(x,y)
manželka Manželka je ten z manželů, který je ženou
x y  Manželka(x,y)   Manželé(x,y)  Z(x) 
x  Manželka(x)  y Manželka(x,y)
 (jen jednomístné predikáty)
svobodný
Svobodný člověk nemá manželku, resp. manžela
x  Svobodný(x)   y Manželé(x,y) 
ženatý
Ženatý (muž) má manželku
x  Ženatý(x)  y Manželka(x,y) 
vdaná
Vdaná (žena) má manžela
x  Vdaná(x)  y Manžel(x,y) 



Ostatní stavy, tj. být rozvedený a vdovec, resp. vdova nadefinovat nelze, leda by se teorie
rozšířila dalšími axiomy týkajícími se smrti a rozvodu, a axiomy zachycujícími časovou
strukturu.
tchán, tchýně, snacha, zeť
jednoduché definice se stejnou strukturou jako definice neteře či synovce.
švagr, švagrová, teta, strýc
Tyto definice jsou komplikovanější, protože všechny tyto pojmy zahrnují vždy dva případy.
Studenti zpravidla při definování uvažují jen jeden z nich a sice ten jednodušší (v níže
uvedených definicích na prvním místě).
švagr Švagr je manžel sestry nebo bratr manžela/manželky
x y  Švagr(x,y) 
 z  Sestra(z,y)  Manžel(x,z)   z  Manželé(y,z)  Bratr(x,z)   
x  Švagr(x)  y Švagr(x,y) 
švagrová
teta
Teta je sestra některého z rodičů nebo manželka bratra některého z rodičů
x y  Teta(x,y)   z  Rodič(z,y)  Sestra(x,z)
 z w  Rodič(z,y)  Bratr(w,z)  Manželka(x,w)   
x  Teta(x)  y Teta(x,y) 
strýc
Všechny dosavadní definice jsou vlastně definicemi pokrevních příbuzenských vztahů. Při
zavedení pojmu manželství je možné nadefinovat i nevlastní příbuzenské vztahy. Čeština na
rozdíl od angličtiny neuvažuje rozdíl např. mezi nevlastními sourozenci, kteří mají jen jednoho
společného rodiče (angl. half-), a těmi, kdo se stali nevlastními sourozenci (ač nemají žádného
společného rodiče), protože jejich rodiče uzavřeli manželství (angl. step-). To znamená, že
definice velké části nevlastních příbuzenských vztahů budou disjunktivní, aby zahrnuly obě dvě
možnosti.
4. cvičení – konzervativnost rozšíření teorie o definice
Na závěr tohoto semináře považuji za důležité zmínit, co to znamená, že definice jsou
konzervativním rozšířením teorie, tj. že zbohacují slovník (a tím zjednodušují vyjadřování), nijak
však nerozšiřují množinu toho, co lze v teorii vyjádřit a dokázat. Probíraná teorie má v současné
době axiomy A1 – A7 a základní slovník R, M, Z, Manželé. Tato teorie byla během tohoto
semináře rozšířena o celou řadu definic, ale tím se nijak nezvětšil rozsah toho, o čem tato teorie
pojednává. Respektive, každé tvrzení s definovanými pojmy lze převést na tvrzení, které popisuje tu
samou skutečnost, ale obsahuje pouze základní pojmy.
Studenti tedy mají za úkol převést tvrzení s definovanými pojmy na tvrzení, které obsahuje pouze
výrazy základního slovníku. Např.:
Teta(x)
y  z  Rodič(x,y)  u ( Rodič(u,z)  Rodič(u,x)  Z(x) ) 
 z w  Rodič(z,y)  v (Rodič(v,w)  Rodič(v,z)  M(w) )
 Manželé(x,w)  Z(x)  
Toto tvrzení je výsledkem prostého nahrazení podle definic a pochopitelně by šlo o něco
zjednodušit.
Pojem Rodič není již dále nerozepisován, protože tím by se zápis tohoto výrazu prodloužil o dalších
asi pět řádků.
Úmyslně jako příklad volím nejkomplikovanější z definovaných pojmů, aby bylo dobře vidět, že
definice sice teorii nerozšiřují, ale (výrazně) zjednodušují vyjadřování; jsou jakousi zkratkou za
mnohem komplikovanější výraz. Výraz na levé straně je určitě srozumitelnější, než výraz napravo.
Na předvedení tohoto faktu už ale bohatě stačí např. definice Rodičů.
5. cvičení – pojmová výstavba teorie
Je-li dostatek času je možné se při této příležitosti možné zmínit se i o pojmové výstavbě teorie.
Každá teorie má základní slovník výrazů definovaných v axiomech a potom celou řadu
definovaných pojmů vytvořených definicemi ze základního slovníku. Tatáž množina pojmů však
může být nadefinována z různých základních slovníků.
Např. probíraná teorie má základní slovník:
R – předek/potomek, M – muž, Z – žena, Manželé
Z tohoto slovníku ale můžeme vyřadit jeden z pojmů Muž – Žena a nadefinovat jej jako doplněk
druhého pojmu. Stejně tak můžeme za základní pojem místo relace R vzít pojem Rodič a pojem
Předka pak nadefinovat:
Předek(x,y) Předek je rodič nebo předek rodiče
x y  Předek(x,y)   Rodič(x,y)  z  Rodič(z,y)  Předek(x,z)   
Jedná se o induktivní definici, tedy o zvláštní případ definice, který opět stojí za
pozornost.
3. téma
Dokazování
(1 – 2 dvouhodinové semináře)
Cílem této hodiny je, aby studenti získali představu o tom, co to znamená dokazování ve
formalizované teorii. Z úvodních hodin již mají zkušenost se základními metodami odvozování
(modus ponens, modus tolens, přímý důkaz, důkaz sporem, odvozování po případech, kalkul
přirozené dedukce) stejně jako vyvrácení (odvození sporu, nalezení protipříkladu např. pomocí
Vennových nebo jiných diagramů). Rozdíl je pouze v tom, že při dokazování jsou premisami
axiomy a definice dané teorie a z nich se musí vybrat ty, které jsou potřeba k příslušnému odvození.
Protože obsah této teorie je velmi jednoduchý, nemají studenti zpravidla problém s rozhodnutím,
zda dané tvrzení mají dokázat nebo vyvrátit, a soustředí se proto jen na vlastní proces logického
odvozování. Z hlediska logiky jsou důkazy tvrzení "Každé sudé číslo je dělitelné dvěma" a "Každá
matka je žena" strukturálně naprosto stejné – jedná se jen o jednoduché rozepsání definice. Přesto se
studentům druhé tvrzení dokazuje snáz.
Následující přehled možných důkazů představuje příklady různých odvození, které je možné na
semináři se studenty provádět. Jsou rozděleny do skupin podle obtížnosti. Přirozeně není možné
všechny projít během jediného semináře. Zpravidla jsou z každé kategorie zvládnuty jeden, dva,
nejvýše tři důkazy. Nicméně i tak toto téma nelze za jeden seminář stihnout a poslední, šestá
skupina důkazů zahajuje další hodinu, protože na ní organicky navazuje následující téma. Obvykle
jsou příklady voleny tak, aby se lišily i metody důkazu. V přehledu nejsou uváděny jen metody
důkazu a nikoliv celé důkazy, protože se jedná o odvození velmi jednoduchá. Náměty na další
zajímavé důkazy jsou vítány.
1. cvičení – Důkazy ekvivalentních definic
Na předchozím semináři byli studenti při definování rozděleni do dvou skupin, jedna pracovala se
základním pojmem Předek, druhá s pojmem Potomek. Podle toho byly také jednotlivé pojmy různě
definovány. Lze však ukázat, že tyto definice (a tedy i obě teorie) říkají totéž a sice tak, že oba
základní pojmy mohu navzájem na sebe převádět jako inverzní pojmy a po příslušných úpravách
budou oba systémy stejné. Je to i příležitost zmínit, co to je interpretace jedné teorie uvnitř teorie
jiné.
Stejně tak se ale objevovaly různé definice téhož pojmu i uvnitř jedné skupiny (tj. při stejné
interpretaci relace R). Tyto alternativní definice si pokaždé zaznamenávám a ekvivalenci těch
nejzajímavějších z nich studenti dokazují.
2. cvičení – Důkazy z definic
Následující tvrzení lze dokázat prostým rozepsáním definic:
 Každá matka je žena. – přímý důkaz
 Každý ženatý (člověk) je muž. – důkaz sporem
Každá tchýně má dítě. – důkaz sporem
 Každý strýc má synovce nebo neteř. – odvozování po případech
Každá teta má sourozence nebo manžela. – odvozování po případech
3. cvičení – Důkazy z axiomů
Následující tvrzení lze poměrně jednoduchým způsobem odvodit nebo
vyvrátit z axiomů.
 Každá teta má rodiče. – důkaz sporem
 x y R(x,y) – důkaz sporem
 Každý má (právě) čtyři prarodiče. – přímý důkaz



x y R(x,y) – vyvrácení – x y R(x,y)  R(a,a)
Každý má dítě. – protipříklad
Nikdo nemá dítě. – protipříklad
Každý má otce a matku.
Toto tvrzení je natolik samozřejmé, že studenti mají dojem, že musí být možné jej dokázat.
Teprve až po nějaké době si uvědomí, že to možné není, protože v axiomu A6 není řečeno, že
jeden z rodičů je muž a druhý žena. Aby toto tvrzení mohlo být dokázáno, musí tedy být tento
axiom opět doplněn:
z A6: x !y !z  x  y  Rodič(y,x)  Rodič(z,x) 
na A6: x !y !z  M(x)  Z(y)  Rodič(y,x)  Rodič(z,x) 
Po doplnění podmínky, že jeden z rodičů je muž a druhý žena, je původní podmínka x  y
zbytečná.
4. cvičení – Důkazy z definic i axiomů
Důkazy této kategorie jsou komplikovanější, protože vycházejí z více axiomů a definic. Jde
především o důkazy toho, které z definovaných relací jsou tranzitivní, symetrické, reflexivní atd.
Např.:
sourozenec, příbuzný – symetrická, reflexivní i tranzitivní relace
rodič – antisymetrická, ireflexivní, netranzitivní relace
bratr, sestra – reflexivní, není symetrická, není tranzitivní relace
Symetrická relace: x y ( R(x,y)  R(y,x) )
Antisymetrická relace:
x y ( R(x,y)   R(y,x) )
Relace není symetrická:
 x y ( R(x,y)  R(y,x) ), tj. x y ( R(x,y)   R(y,x) )
Možností je ale pochopitelně daleko více.
Z metodických důvodů se osvědčily následující důkazy, které opět studentům cosi napovídají o
budování a povaze axiomatizovaných teorií:
 x Sourozenec(x,x)
Každý je svým vlastním sourozencem.
Relace být sourozencem tak, jak je definována je reflexivní. Sourozenci jsou totiž ti, kdo mají
stejné rodiče, a každý má ty samé rodiče jako on sám a tedy je svým vlastním sourozencem.
Každý muž pak je svým vlastním bratrem a každá žena je svou vlastní sestrou. Tento fakt se dá
jednoduše odstranit doplněním podmínky x  y do definice sourozenců. I když by se na první
pohled mohlo zdát, že reflexivita relace být sourozencem zase tolik nevadí, následující příklad
ukazuje, že z této vlastnosti plyne celá řada neintuitivních a již nepřijatelných důsledků.
 x ( M(x)  Bratranec(x,x) )
Každý muž je svým vlastním bratrancem.
x y ( Bratr(x,y)  Bratranec(x,y) )
Každý bratr je bratrancem.
Oba důkazy reflektují tutéž skutečnost – jestliže relace být sourozencem je symetrická, jsou i
rodiče vlastními sourozenci a tedy mezi bratrance (resp. sestřenice) patří i bratři (resp. sestry) a
také každý sám za sebe. Na odstranění tohoto problému nestačí pouhá podmínka nerovnosti
mezi x a y. Ta vyloučí pouze první tvrzení. Je tedy třeba doplnit podmínku nerovnosti také mezi
rodiče a jeho sourozence.
Nicméně daleko lepší je doplnit podmínku nerovnosti už do definice sourozenců. Z reflexivity
relace být sourozencem totiž plyne také, že moje matka je zároveň i mojí tetou atd. Studenti by
proto měli jako další cvičení umět najít některý z těchto dalších neintuitivních závěrů.
Tyto dva příklady mají ukázat, že i rozumně zvolené (intuitivní) axiomy a definice mohou vést
k neintuitivním důsledkům, které na první pohled nejsou vůbec patrné. Byly-li přijaty axiomy, nelze
tyto neintuitivní závěry odmítnout. To znamená, že každý neintuitivní důsledek teorie znamená
revizi jejích axiomů a definic.
5. cvičení – Závislé a nezávislé axiomy
Nejprve je třeba studentům vysvětlit, co to znamená, že nějaká tvrzení (axiomy) jsou na sobě
závislá, respektive nezávislá. Pak je možné provést následující cvičení.
Axiomy naší teorie nejsou nezávislé. Je možné odvodit následující závislosti:
 A6  A4
Tuto závislost studenti většinou dokáží odhalit sami.
 A1, A2  A3
 A1, A3  A2
Zvláště druhé dva důkazy jsou poměrně komplikované, protože za nimi není skrytá žádná intuice
tak, jako tomu bylo u dosavadních důkazů. Jedná se totiž o čistě formální vlastnosti relací. U
předchozích důkazů studenti totiž zpravidla snadno najdou neformální zdůvodnění a na jeho
základě pak zkonstruují formální důkaz. Tentokrát se však jedná o čistě formální důkaz v kalkulu
přirozené dedukce, za kterým nestojí žádná intuice. S většinou seminářů je možné bez problémů
zvládnout jen první z těchto důkazů.
6. cvičení – Vyplývání a důkaz
Tento příklad má ukázat rozdíl mezi prostým vztahem vyplývání mezi tvrzeními a důkazem
nějakého tvrzení v (nějaké) teorii. Studenti totiž mají neustále tendenci prohlašovat závěr, který
vyplývá, za pravdivý.
Premisy:
x ( Teta(x)  Sestra(x) )
x ( Babička(x)  Tchýně(x) )
 x ( Sestra(x)  Tchýně(x) )
Závěr:
 x ( Teta(x)  Babička(x) )
Tento závěr z premis vyplývá, jak lze snadno ukázat pomocí Vennových diagramů. To ale ještě
neznamená, že je tento závěr pravdivý, resp. platný (dokazatelný) v naší teorii. Platil by, pokud by
v dané teorii platily i všechny premisy. Ale ona dokonce neplatí žádná z nich – lze najít protipříklad
(model), ve kterém platí všechny axiomy, ale premisy nikoliv. Aby nějaké tvrzení v teorii platilo,
nestačí odvodit jej z jakýchkoliv premis. Musí být odvozeno přímo z axiomů této teorie, resp.
z premis, které z těchto axiomů vyplývají.
7. cvičení – Dodatečný axiom A8
Toto cvičení zpravidla zahajuje další hodinu. Je vhodné udělat jej v jednom semináři s následujícím
tématem, protože spolu souvisí. Na začátek se na tabuli napíše následující dodatečný axiom:
A8: x  x  A  R(A,x) 
 Tentokrát již studenti nemají problém určit, že tento axiom říká, že existuje první prvek; někdo,
kdo je předkem všech (ostatních). Přirozeně se nabízí interpretace, že tímto individuem A je
Adam.
 Studenti snadno většinou odhalí i to, že tento axiom je ve sporu s axiomem A4, zvlášť, když ve
3. cvičení dokazovali, že neexistuje prvek, který je předkem všech.
 Jejich dalším úkolem tedy je upravit tuto teorii tak, aby odpovídala tomuto pojetí. Znamená to
upravit axiom A4 a A6 do podmíněného tvaru:
A4: x  xA  y R(x,y) 
A6: x  xA  !y !z  M(x)  Z(y)  Rodič(y,x)  Rodič(z,x)  
Jenže tato úprava nestačí, protože dítě (bezprostřední potomek) Adama prostě dva rodiče mít
nemůže. Je tedy vhodné doplnit ještě axiom o Evě, například v této podobě:
A8': R(A,E)  x  ( xA  xE )  ( R(A,x)  R(E,x) ) 
Axiomy A4 a A6 by potom vypadaly takto:
A4: x  xA  y R(x,y)  Eva je potomkem Adama a proto není uvedena v úvodní
podmínce.
A6: x   xA  xE   !y !z  M(x)  Z(y)  Rodič(y,x)  Rodič(z,x)  
Obdobné podmínky pak je třeba doplnit i do většiny definic.
 V této situaci lze celkem triviálně dokázat následující tvrzení
Adam nemá předka. – důkaz sporem
Všichni lidé jsou příbuzní. – přímý důkaz z definice příbuzného
4. téma
Sémantika axiomatizované teorie
(necelý dvouhodinový seminář)
Tato hodina je jakýmsi úvodem do teorie modelů a sémantiky axiomatizovaných teorií. Jejím
cílem je především, aby studenti pochopili následující pojmy a uvědomili si rozdíly mezi nimi:
Ohodnocení  Interpretace  Model
Vázaná proměnná  Volná proměnná  Konstanta
Otevřená formule  Uzavřená formule (sentence)
Splnitelná formule  Platná formule  Teorém
1. cvičení – Teoretická příprava
Nejprve je potřeba, aby studenti získali určité povědomí, co to je interpretace, ohodnocení a model.
Lze navázat na první hodinu, kdy s těmito pojmy, byť na intuitivní úrovni, již pracovali. Nyní tyto
pojmy budou definovány formálněji. Studenti dostanou k dispozici následující formální definice a
jejich prvním úkolem je porozumět jim:
Nechť L je jazyk a  je slovník tohoto jazyka
Struktura D pro jazyk L se skládá z neprázdné množiny D a funkce I:   D.
Množina D se nazývá nosič struktury (doména) a funkce I se nazývá interpretace.
Intepretace je funkce I:   D taková, že:
jestliže c je konstanta jazyka L, pak hodnotou I(c) je některý prvek z D
jestliže P je n-místný predikát jazyka L, pak hodnotou I(P) je n-místná relace na D.
Model je interpretace splňující axiomy.
Jsem si vědoma toho, že tato definice není přesná, protože chybí definice splňování jako
takového, resp. podmínky pro to, jak určit, že interpretace splňuje nějakou formuli (axiom).
Přesná definice splňování je však natolik zdlouhavá, že by v semináři nezbyl čas na ostatní
témata. Její přesné pochopení vyžaduje nejméně půl hodiny, což je třetina celého času.
Spoléhám proto pouze na intuitivní chápání toho, co to znamená, že formule je při dané
interpretaci (v daném modelu) pravdivá. Kromě toho, tato definice je součástí přednášek
v hlavním kurzu logiky.
Ohodnocení (valuace, udělení hodnot proměnným) je funkce V:   D taková, že:
každé volné proměnné ze slovníku  přiřadí některý prvek z množiny D.
2. cvičení - Interpretace
Dalším úkolem studentů je vytvořit různé interpretace naší teorie, s tím, že množina D má pouze
sedm prvků a1 – a7. K teorii jsou navíc přidány další dvě konstanty K (Kain) a B (Abel), pro které
ale v axiomech nejsou stanoveny žádné zvláštní podmínky. Je vhodné jako příklad nejprve nějakou
interpretaci ukázat, např.:
A = a1 E = a2 K = a3 B = a4
M =  a1, a3, a4, a7 Z = a2, a5, a6
R =  a1,a2, a1,a3, a1,a4, a1,a5, a1,a6, a1,a7,
a2,a3, a2,a4, a2,a5, a2,a6, a2,a7, a5,a7, a6,a7 
a3
a1
a2
a4
a5
a6
a7
Je třeba studenty přimět k tomu, aby si uvědomili, že interpretace je libovolné takovéto přiřazení,
nejenom to "správné". Proto mají nejprve za úkol vytvářet interpretace, které nesplňují některý
z axiomů a teprve potom ty, které splňují všechny axiomy a jsou tedy modelem naší teorie.
Každou interpretaci by měli zapsat ve výše uvedené podobě a k ní potom nakreslit příslušný strom,
kvůli přehlednosti. Zakreslené struktury se potom využijí v následujícím cvičení.
3. cvičení – Splnitelné a platné formule
V tomto cvičení by se studenti měli naučit pracovat s ohodnocováním a uvědomit si rozdíl mezi
splnitelnými a platnými formulemi. K dispozici dostanou následující definice:
Formule je splnitelná, pokud existuje taková interpretace (model) a takové ohodnocení, při
kterém tato formule nabývá pravdivostní hodnotu 1.
Formule je platná při dané interpretaci (v daném modelu), pokud ji při této interpretaci
(v tomto modelu) splňují všechna ohodnocení.
Formule je platná v dané teorii pokud je platnou formulí ve všech jejích modelech.
Studenti by si měli ujasnit, co přesně tyto definice říkají a vytvořit jejich negace, resp. určit, co to
znamená, že formule je nesplnitelná nebo že formule není platná při dané interpretaci, v daném
modelu, v dané teorii.
Na základě těchto definic mají studenti určit, které z následujících formulí jsou splnitelné a které
jsou platné v některém modelu teorie a které jsou platné v teorii. Pomoci by jim měly interpretace a
modely z předchozího cvičení.
Předek (A,x)
x Předek (A,x)
x Předek (A,x)
Předek (x,A)
x Předek (x,A)
x Předek (x,A)
Předek (x,y) 
x Předek (x,y)
x Předek (x,y)

x y Předek (x,y)
x y Předek (x,y)

x y Předek (x,y)
x y Předek (x,y)

y x Předek (x,y)
y x Předek (x,y)
Předek (A,K)
Předek (K,A) 
x Předek (K,x)
Předek (K,x) 
x Předek (K,x)
x Předek (x,K)
Předek (x, K)
x Předek (x,K)

4. hodina
Vlastnosti axiomatizovaných teorií
(1 dvouhodinový seminář)
Tato závěrečná hodina je spíše teoretická. Jejím hlavním cílem je, aby si studenti uvědomili,
co to znamená, že teorie je bezesporná, korektní a úplná a některé další souvislosti. Výhodou je, že
za většinou těchto teoretických pojmů po absolvování předchozích cvičení stojí nějaká konkrétní
činnost, kterou studenti v minulých seminářích prováděli. To znamená, že již si s nimi mohou spojit
nějakou praktickou zkušenost a nejsou to tedy pro ně jen prázdné pojmy. Dalším cílem tohoto
semináře je, aby se studenti naučili pracovat i s formálnějším způsobem výkladu.
Nejprve je třeba zopakovat následující pojmy a zdůraznit rozdíly mezi nimi. Až dosud byly tyto
pojmy používány spíše intuitivně a proto by studenti mohli mít dojem, že jsou synonymní:
Odvození  Důkaz
Odvoditelná  Dokazatelná formule
Vyvratitelná formule
Vyplývání ( )  Odvození (δ)
Platná formule (platí ve všech modelech)  Teorém (dokazatelná formule)
Syntax  Sémantika
Především je třeba přesně definovat a zdůraznit rozdíl mezi vyplýváním a odvozením a mezi
platnou formulí a teorémem.
V dalším kroku dostanou studenti k dispozici následující definice a měli by si ujasnit, co přesně
znamenají:
 Syntaktický důsledek množiny formulí je formule, která je z této množiny odvoditelná.
Sémantický důsledek množiny formulí je formule, která z této množiny vyplývá.
 Deduktivní uzávěr množiny formulí – Cn(M) – je množina všech jejích důsledků.
 Teorie je taková množina formulí, která obsahuje všechny své důsledky (Cn(T) = T).
 Axiomatizovaná teorie T je teorie, že pro některou její podmnožinu A platí, že Cn(A) = T.
Množina A se nazývá množinou axiomů.
 Model teorie je taková interpretace (struktura), ve které platí všechny axiomy této teorie.
 Bezesporná teorie je teorie, ve které není odvoditelný spor, tj. formule tvaru (φ  φ).
 Konzistentní teorie je teorie, která má model.
Platí, že: Teorie T je bezesporná právě tehdy, když je konzistentní.
 Korektní teorie je teorie, ve které platí, že každá dokazatelná formule z ní také vyplývá
( T δ φ  T φ ).
Teorie T je korektní vzhledem k modelu M, jestliže každá formule φ dokazatelná v teorii T je
platnou formulí v modelu M ( T δ φ  M φ ).
 Úplná teorie je teorie, ve které platí, že každá formule, která z ní vyplývá, v ní je také
dokazatelná ( T φ  T δ φ ).
Teorie T je úplná vzhledem k modelu M, jestliže každá sentence φ, která platí v modelu M, je
dokazatelná v teorii T (M φ  T δ φ ).
 Formule φ je nezávislá na teorii T, jestliže v ní není ani dokazatelná ani vyvratitelná.
 Rozhodnutelná teorie je teorie, pro kterou existuje efektivní procedura, která umožňuje každou
formuli buď dokázat nebo vyvrátit.
Na základě těchto definic pak mají studenti za úkol dokázat (zdůvodnit) následující tvrzení.
Víceméně se jedná o jednoduchá (neformální) zdůvodnění na základě definic. Zpravidla lze během
semináře projít všechny.
 Teorie T je bezesporná právě tehdy, když má model.




Teorie T je bezesporná právě tehdy, když neexistuje formule, která by byla v T zároveň
dokazatelná i vyvratitelná.
Teorie T je bezesporná právě tehdy, když není pravda, že každá formule je v T dokazatelná.
Teorie T je bezesporná, pokud existuje formule, která je v teorii T nedokazatelná.

Jestliže je T bezesporná teorie, pak pro každou sentenci  platí, že  je v T dokazatelná právě
tehdy, když T   je sporná teorie.
Teorie T je sporná právě tehdy, když je v ní každá formule dokazatelná.
Teorie T je sporná, když neexistuje nedokazatelná formule.
Teorie T je sporná, pokud nemá model.
Teorie T je bezesporná právě tehdy, když Cn(T) neobsahuje všechny formule.
Teorie je úplná, pokud neexistuje na ní nezávislá formule.
Každá sporná teorie je úplná.
Každá rozhodnutelná teorie je úplná.
Každá neúplná teorie obsahuje nezávislou sentenci.
Teorie je úplná, jestliže pro každou sentenci φ platí, že je v T dokazatelná nebo vyvratitelná.
Teorie T je úplná vzhledem k modelu M, jestliže pro každou sentenci φ platnou v modelu M
platí, že je teorémem teorie T.
Nechť T je bezesporná teorie a   T.

Pak T je úplná teorie právě tehdy, když T   je sporná teorie.










Závěr
Jak již bylo řečeno, tento příklad je určen pro studenty humanitních oborů, ale pochopitelně
jen pro pokročilé kurzy logiky, protože vyžaduje poměrně široké zázemí v logice. Do nižších kurzů
logiky z něj lze převzít jen dílčí příklady k procvičení definování a dokazování. Studenti by se na
tomto příkladu měli naučit pracovat s formalizovanými axiomatizovanými teoriemi, aniž by bylo
třeba se odvolávat na matematiku, ve které se podobné příklady hledají nejsnadněji, ale která odvádí
pozornost studentů od čistě logických otázek k otázkám matematickým, které pro ně často
představují daleko větší problém než vlastní logická problematika.
Třebaže některé dílčí úlohy jsem používala na různých cvičeních již dříve, především
v souvislosti s definicemi (proto je také téma definic z celého příkladu nejpropracovanější), původní
záměr, který stál na počátku tohoto příkladu, souvisel výhradně s vlastnostmi formalizovaných
teorií. Chtěla jsem, aby si studenti postupně sami vybudovali vlastní teorii a tím, jak ji neustále
vylepšují a nacházejí v ní chyby, ji dovedli k úplnosti. Na závěr pak měl být proveden přímo důkaz
korektnosti a úplnosti této teorie. Postupně se ale ukazovalo, že tento úkol je prakticky
nedosažitelný. Samozřejmě, že tuto teorii lze zúplnit a sice doplněním axiomů, které by
pojmenovaly všechny prvky a stanovily relaci mezi nimi (tj. beze zbytku by popsaly příslušnou
strukturu), ale vlastní důkaz úplnosti by byl tak technicky náročný, že by byl se studenty prakticky
neproveditelný, hlavně proto, že by vyžadoval poměrně náročné znalosti z oblasti teorie modelů. Je
to především vzhledem k axiomu A6 (každý má dva rodiče), díky kterému se stává struktura
modelu této teorie tak složitou. Pokud bych někdy v budoucnu chtěla se studenty tohoto oboru
provádět důkazy korektnosti a úplnosti, bylo by asi jednodušší obrátit se k modální logice, kde
důkazy úplnosti a korektnosti pro základní systémy K, D, T, S4 a S5 jsou skutečně poměrně
jednoduché a dají se i s těmito studenty zvládnout, jak jsem si již ověřila ve výběrovém kurzu
modálních logik, i když v tomto případě šlo o studenty, kteří si tento předmět (tj. logiku) sami
vybrali.
Kromě zásad a metod práce s formalizovanými axiomatizovanými teoriemi, vlastností těchto
teorií, si studenti na příkladu axiomatizované teorie příbuzenských vztahů získají jistou zručnost
v definování a dokazování a osvojí si alespoň základy teorie modelů. Navíc se naučí poměrně dobře
formalizovat, odvozovat a pracovat s kvantifikátory. Je-li to potřeba, může být tento příklad i
dobrou průpravou ke studiu relací, ale prozatím si nejsem vědoma žádné oblasti, ve které by
studenti humanitních oborů mohli znalosti teorie relací využít.
Dále se v případě této teorie otevírá poměrně velký prostor i pro zkoumání vlastností modelů
této teorie a pro úvod do teorie modelů vůbec. Nicméně se domnívám, že pro studenty humanitních
oborů jsou takovéto znalosti již příliš odborné a nikdy je nevyužijí, proto jsem se této problematice
nevěnovala, kromě několika málo opravdu základních poznámek vedoucích k vytvoření té
nejjednodušší představy, co to je model teorie. A na odbornější úrovni zase nemá smysl vykládat
teorii modelů na příkladu této teorie, protože na takovéto úrovni již studenti musí zvládat
matematické pozadí.
Tento příklad se ještě stále vyvíjí, takže v něm je jistě celá řada neintuitivních důsledků, jako
například výše uvedená reflexivita relace být sourozencem, které jsem dosud neodhalila. Studenti
dokonce mají každý rok slíben zápočet, pokud nějaký takový důsledek najdou, ale zatím bez
úspěchu. Veškeré náměty k tomuto tématu proto beze zbytku vítám.