5. Funkce

5 Funkce
Moji nepřátelé jsou hloupí pseudovědci, kteří se slepě
drží Aristotela a které věda zajímá jen proto, aby dobře
vypadali v talárech a měli za to dobrý plat. Kdyby žil
Aristoteles dnes, byl by první, kdo by se obrátil proti
zaslepencům, kteří stojí na jeho slovech.
(Galileo Galilei)
5.1 Základní pojmy
V kpt. 1. jsme mluvili o zobrazení mezi množinami A, B . Připomeňme, že se jedná
o libovolný předpis, který každému prvku a ∈ A přiřadí nejvýše jeden prvek b ∈ B .
Jsou-li A, B číselné množiny, nazýváme toto zobrazení funkcí (zobrazení jsme v 1. kapitole
označovali velkým F , funkci označujeme většinou malými písmeny f , g , h,... ). Ve
středoškolské matematice přitom pracujeme s tzv. reálnou funkcí jedné reálné proměnné (tj.
A ⊆ ,B ⊆
– jde o zobrazení v množině všech reálných čísel, čísla komplexní
neuvažujeme). Je-li číslu x ∈ A funkcí f přiřazeno číslo y ∈ B , píšeme [ x, y ] ∈ f nebo
častěji y = f ( x) . Číslo x nazýváme vzor – proměnná (podrobněji nezávisle proměnná),
číslo y obraz – funkční hodnota (popř. závisle proměnná). Množinu všech vzorů nazýváme
definičním oborem – ozn. D( f ) , množinu všech obrazů oborem hodnot funkce f – ozn.
H ( f ) . Dvě funkce f1 ; f 2 jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich
definiční obory [tj. D ( f1 ) = D ( f 2 ) ] a pro každé x ∈ D ( f1 ) = D ( f 2 ) je f1 ( x) = f 2 ( x) .
Funkce slouží k matematickému vyjádření závislosti dvou veličin. Tyto závislosti (funkce)
můžeme vyjádřit tabulkou, rovnicí nebo grafem. Dříve než přejdeme k některým příkladům,
zopakujme některé důležité pojmy:
Pravoúhlou soustavou souřadnic v rovině rozumíme dvojici navzájem kolmých číselných
os. Jejich průsečík nazýváme počátkem souřadné soustavy (značíme obvykle O). Číselné osy
nazýváme souřadnými osami a značíme obvykle x, y , přičemž osa x je obvykle vodorovná
orientovaná zleva doprava, osa y svislá orientovaná zdola
nahoru. Souřadnou soustavu, kde velikost jednotek na
obou osách bude stejná, budeme značit O, x, y a nazývat
kartézskou souřadnou soustavou (podle francouzského
filozofa a matematika René Descarta – lat. Cartesianus).
Souřadné osy rozdělí rovinu na čtyři pravé úhly –
kvadranty. Ty číslujeme většinou římskými číslicemi.
První kvadrant je ohraničen kladnými poloosami, další
následují v kladném směru – proti směru chodu
hodinových ručiček.
Souřadnice bodu v rovině: Každému bodu L v rovině
s kartézskou soustavou O, x, y přiřaďme uspořádanou
dvojici čísel [ x0 , y0 ] takto: číslo x0 je souřadnice paty
L1 kolmice spuštěné z bodu L na osu x , číslo y0 je
souřadnice paty L2 kolmice spuštěné z bodu L na osu
80
y (souřadnice bodu na přímce – viz kpt. 2.4.). Naopak každé uspořádané dvojici [ x0 , y0 ]
reálných čísel přiřadíme bod L takto: Sestrojíme body L1 = [ x0 ] ∈ x , L2 = [ y0 ] ∈ y , z bodu
L1 vztyčíme kolmici l1 na osu x , z L2 kolmici l2 na osu y . Bod L najdeme pak jako
průsečík těchto kolmic, tj. L ∈ l1 ∩ l2 . Říkáme, že bod L má v soustavě O, x, y souřadnice
[ x0 , y0 ] , píšeme L = [ x0 , y0 ] .
1. Příklad: Automobil má v nádrži 40 litrů benzínu a spotřebuje 8 litrů na 100 km.
Vyjádřete množství benzínu v nádrži jako funkci ujeté vzdálenosti.
Řešení: Zde množství benzínu v nádrži závisí na ujeté vzdálenosti, proto je ujetá vzdálenost
nezávisle proměnná ( x ), množství benzínu v nádrži je pak závisle proměnná ( y ). S daným
množstvím paliva ujedeme maximálně 500 km, definičním oborem je tedy množina
D( f ) = 0;500 , množství paliva v nádrži může nabýt hodnot H ( f ) = 0; 40 .
Tabulka zachycuje některé hodnoty nezávisle a závisle proměnné, např:
x
y
Rovnice
0
40
100
32
200
24
300
16
400
8
500
0
y = 40 − 0, 08 x
Graf: Grafem funkce rozumíme množinu všech bodů roviny, jejichž souřadnice vyhovují její
rovnici
81
5.2 Vlastnosti funkcí
Lichá funkce – ∀x ∈ D( f ): f ( − x ) = − f ( x )
graf je souměrný podle počátku soustavy
souřadnic, například:
Sudá funkce – ∀x ∈ D( f ): f ( − x ) = f ( x )
graf je souměrný podle osy y , například:
2
x
f :y= ;
2
D( f ) = ;
3
x
f :y= ;
4
D( f ) = ;
H( f ) = ;
H ( f ) = 0; ∞ ) .
K tomu, aby pro každé x ∈ D( f ) mohlo platit f (− x) = − f ( x) , resp. f (− x) = f ( x) , musí obě
funkční hodnoty f (− x); f ( x) existovat. Pro lichou i sudou funkci musí tedy být
[ x ∈ D( f )] ⇔ [ − x ∈ D( f )] . Samotný definiční obor liché resp. sudé funkce je souměrný
podle počátku, resp. podle osy y .
Je-li I ⊆ D( f ) interval, pak funkce f (x) je na tomto intervalu klesající – pokud s rostou2
x
je
2
na I = (− ∞; 0 klesající, na I = 0; ∞ ) rostoucí), monotonní – je funkce, která je buď ros-
cím x klesá y , rostoucí – pokud s rostoucím x roste také y (např. funkce g : y =
toucí nebo klesající, nerostoucí – pokud s rostoucím x neroste y , neklesající – pokud
s rostoucím x neklesá y .
nerostoucí :
f :y=
(
1 3
x − x3
4
neklesající :
)
f :y=
82
(
1 3
x − x3
4
)
5.3 Elementární funkce
Přímá úměrnost:
Je každá funkce na
definovaná rovnicí
f : y = k ⋅ x ; k ∈ − {0} . Grafem přímé
úměrnosti je přímka procházející
počátkem.
Lineární funkce:
Je každá funkce na
daná rovnicí
f : y = k ⋅ x + q ; k ; q ∈ . V případě k = 0
dostaneme funkci konstantní.
Grafem lineární funkce je přímka, která je
různoběžná s osou y.
Nepřímá úměrnost:
Je každá funkce definována rovnicí
k
f : y = ; k ∈ ; D( f ) = H ( f ) = − {0} .
x
Grafem je rovnoosá hyperbola (připojen
graf pro k = 1 ).
Kvadratická funkce:
Je každá funkce definována rovnicí
f : y = x 2 . Grafem je parabola. D( f ) =
H ( f ) = 0; ∞ )
83
;
1. Příklad: Z pole o výměře 16 hektarů se sklidilo 368 t cukrovky. Kolik tun by se sklidilo
z 22 hektarů, předpokládáme-li stejný hektarový výnos?
Řešení:
a) Čím větší plochu osejeme, tím více cukrovky sklidíme. Množství cukrovky y je tedy
přímo úměrné oseté ploše x , tedy y = k ⋅ x . Víme, že pro x = 16 je y = 368 , pro konstantu
y 368
k úměrnosti dostáváme k = =
= 23 . Pro x = 22 dostáváme y = k ⋅ x = 23 ⋅ 22 = 506 .
x 16
Z 22 hektarů by se sklidilo tedy 506 tun cukrovky.
Toto řešení je tzv. řešení přechodem přes jednotku (konstanta úměrnosti zde má význam
hektarového výnosu, tj. množství cukrovky sklizeného z jednoho hektaru). Úlohu však
můžeme řešit také trojčlenkou, tj. rovností dvou poměrů:
b)
16 ha .................................368 t
22 ha ................................. x t
x
22
22 ⋅ 368
=
⇒x=
= 506 .
368 16
16
2. Příklad: Kniha má 126 stran po 40 řádcích. Kolik stran bude mít v novém vydání, bude-li
na stránce 36 stejně dlouhých řádků?
Řešení:
a) Čím kratší budou stránky, tím jich bude více. Počet stran y je tedy nepřímo úměrný
k
jejich délce x , tedy y = . Víme, že pro x = 40 je y = 126 , pro konstantu k úměrnosti
x
k 5 040
dostáváme k = x ⋅ y = 40 ⋅ 126 = 5 040 . Pro x = 36 dostáváme y = =
= 140 .
x
36
Nové vydání bude tedy mít 140 stran.
I toto řešení je přechodem přes jednotku. Konstanta úměrnosti v tomto případě vyjadřuje
počet řádků knihy, tedy počet stran v případě, že na každé z nich by byl jediný řádek. Také
nepřímou úměrnost můžeme řešit trojčlenkou:
b)
40 řádků ........................... 126 stran
36 řádků ........................... x stran
x
40
40 ⋅ 126
=
⇒x=
= 140
126 36
36
Procenta a promile:
Speciální úlohy na přímou úměrnost jsou úlohy na procenta a promile. Procento je jedna
setina, promile pak jedna tisícina celku (základu). V těchto úlohách se volí reálné číslo z jako
základ (100%, popř. 1000‰), počet procent, popř. promile p a příslušná část základu č .
Na nižších stupních jsme rozlišovali tři typy úloh na procenta: určování základu, určování
počtu procent a určování části základu (procentové části). Všechny tyto úlohy jsou však
úlohami na přímou úměrnost – čím větší je počet procent, tím větší je procentová část.
84
3. Příklad: Chceme získat 150 g pětiprocentího roztoku soli ve vodě. Kolik vody a kolik soli
potřebujeme?
Řešení: Určíme např. množství vody, množství soli pak snadno dopočítáme. Pětiprocentní
roztok obsahuje 95% vody a 5% soli: Pro vodu tedy máme:
100 % ..................................150 g
95 % .................................. x g
x
95
95 ⋅150
=
⇒x=
= 142,5
150 100
100
K získání předepsaného roztoku budeme potřebovat 142,5 g vody a 7,5 g soli.
4. Příklad: V kolika gramech vody je třeba rozpustit 18 g soli, máme-li získat devítiprocentní
roztok?
Řešení: 18 g soli tvoří 9% roztoku, hledané množství vody pak zbylých 91%:
9 % ..................................18 g
91 % .................................. x g
x 91
91 ⋅ 18
=
⇒x=
= 182
18 9
9
K získání předepsaného roztoku budeme potřebovat 182 g vody.
5.4 Funkce prostá a inverzní
V kpt. 1 jsme hovořili o prostém zobrazení. Pojmem funkce označujeme speciální zobrazení,
kde definičním oborem i oborem hodnot jsou číselné množiny. Tedy: Zobrazení F (funkce
f ) je prosté (prostá) právě
tehdy, když každý prvek y jeho
(jejího) oboru hodnot H ( F )
[ H( f )]
je obrazem právě
jednoho prvku x jeho (jejího)
definičního
oboru
D( F )
[ D( f ) ]. U funkcí používáne
většinou následující ekvivalentní
(rovnocennou) definici:
Funkce f je prostá právě tehdy,
když pro každé x1 ; x2 ∈ D( f ) ;
x1 ≠ x2 platí f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) .
Funkce prostá a monotonní:
Často se setkáváme s názorem,
že funkce monotonní a prostá je
jedno a totéž. To ovšem není
pravda, jak se přesvědčíme
následujícím příkladem:
85
1. Příklad: Sestrojme graf funkce definované takto:
4
 x 3 pro x < 0
f :y= 3
 x pro x ≥ 0
 4
Tato funkce je prostá, neboť každá dvě různá x1 ; x2 mají skutečně dvě různé funkční
hodnoty f ( x1 ); f ( x2 ) . Není však monotonní, neboť na intervalu (−∞;0) klesá, kdežto na
intervalu 〈0; ∞) roste (viz graf na předchozí straně).
Každá monotonní funkce je prostá, ale tuto větu nelze obrátit – ne každá prostá funkce je
monotonní. Monotonnost funkce je podmínka dostačující k tomu, aby funkce byla prostá, ale
není to podmínka nutná.
Inverzní funkce: Mějme funkci f : y = f ( x) s definičním oborem D( f ) a oborem hodnot
H ( f ) . Tato funkce přiřazuje každému vzoru x ∈ D( f ) právě jeden obraz y ∈ H ( f ) , pro
který je y = f ( x) . Sestrojme předpis (označme ho f −1 ), který naopak každému obrazu
y ∈ H ( f ) přiřadí vzor x ∈ D( f ) tak, že x = f −1 ( y ) . Jestliže je původní funkce f prostá,
pak předpis f −1 je opět funkcí, tj. každému y ∈ H ( f ) přiřazuje právě jedno x ∈ D( f ) . Tuto
funkci pak nazýváme funkcí inverzní k funkci f . Mějme v kartézské soustavě O, x, y
sestrojen graf prosté funkce y = f ( x) . Uvažujme kartézskou souřadnou soustavu O, y ', x '
týmž počátkem, kde kladná poloosa x ' splyne s kladnou poloosou y a kladná poloosa y '
splyne s kladnou poloosou x . Pak graf funkce y = f ( x) v soustavě O, x, y
splyne s
grafem funkce x = f −1 ( y ) v soustavě O, y ', x ' . Většinou však sestrojujeme graf funkce f −1
v původní soustavě O, x, y , což odpovídá vzájemné záměně proměnných x; y . Funkční
předpis x = f
−1
( y ) pak přejde na tvar y = f −1 ( x) . Pro funkci f −1 inverzní k funkci
f pak
platí:
Definiční obor funkce f se rovná oboru hodnot funkce f −1 , tj. D( f ) = H ( f −1 ) .
Obor hodnot funkce f se rovná definičnímu oboru funkce f −1 , tj. H ( f ) = D( f −1 ) .
Pro každé x ∈ D( f ) = H ( f −1 ) a každé y ∈ H ( f ) = D( f −1 ) je y = f ( x) ⇔ f −1 : x = f −1 ( y ) .
Grafy funkcí f ; f −1 sestrojené v téže kartézské souřadné soustavě jsou souměrně sdružené
podle přímky y = x (osy I. a III. kvadrantu).
2. Příklad: Sestrojme funkci inverzní k funkci z předchozího příkladu.
Řešení: Protože funkce f je prostá, můžeme inverzní funkci sestrojit. Funkce je definovaná
na množině D( f ) = (−∞;0) ∪ 〈 0; ∞) = . Pro x ∈ (−∞;0) je 4 x −3 ∈ (−∞;0) , pro x ∈ 〈0; ∞)
x3
∈ 〈 0; ∞) . Oborem hodnot funkce f je množina H ( f ) = (−∞;0) ∪ 〈 0; ∞) =
4
inverzní funkci f −1 tak máme: D( f −1 ) = H ( f ) = , H ( f −1 ) = D( f ) = .
je
. Pro
Funkční předpis funkce f −1 získáme záměnou proměnných ve funkčním předpisu funkce f .
Pro x ∈ (−∞;0) tedy máme
86
4
4
⇒ y3 = ⇒ y =
3
x
y
pro x ∈ 〈0; ∞) je
f −1 : x =
3
4
x
y3
⇒ y3 = 4 x ⇒ y = 3 4 x
4
Graf funkce f −1 je souměrný s grafem funkce f podle přímky y = x
(na obrázku vlevo je graf funkce f
sestrojen světlejší barvou).
f −1 : x =
Zřejmě pod dojmem představy, že u
inverzní funkce je „všechno naopak“,
studenti často tvrdí, že pokud funkce
f klesá, funkce f −1 roste a naopak.
Ovšem tak tomu není. Jak je patrné už
z pohledu na připojený obrázek, na
intervalu
(−∞;0)
obě
funkce
současně klesají a na 〈0; ∞) obě
současně rostou. Platí věty:
Funkce f −1 klesá právě tehdy, když klesá funkce f .
Funkce f −1 roste právě tehdy, když roste funkce f .
3. Příklad: Sestrojme inverzní funkci k funkci f : y = x 2 .
Řešení: Daná funkce je definována na celé množině , na celém definičním oboru však není
prostá, neboť např. f (−2) = f (2) = 4 . Pokud tedy chceme inverzní funkci sestrojit, je třeba
definiční obor zúžit tak, aby na tomto zúženém oboru funkce byla prostá. Funkce f : y = x 2
na intervalu (−∞;0〉 klesá, na 〈0; ∞) roste, na těchto intervalech je tedy prostá. Lze tedy
sestrojit inverzní funkci ke dvěma různým funkcím, a to k funkci f1 : y = x 2 ; D( f1 ) = (−∞;0〉
a k funkci f 2 : y = x 2 ; D( f 2 ) = 〈 0; ∞) .
87
Pro funkci f1 : y = x 2 ; D( f1 ) = (−∞;0〉 máme H ( f1 ) = 〈 0; ∞) . Funkční předpis funkce k ní
inverzní je f1−1 : x = y 2 a je třeba vyjádřit y . Pro číslo y řešíme tedy kvadratickou rovnici
s parametrem x , která má obecně dva různé reálné kořeny y = ± x . Musíme si ovšem
uvědomit, že x ∈ D( f1−1 ) = H ( f1 ) = 〈 0; ∞) , tj. číslo x je nezáporné); y ∈ H ( f1−1 ) = D( f1 ) =
= (−∞;0〉 – číslo y je ovšem záporné (rovnici y 2 = x řešíme na intervalu y ∈ (−∞;0〉 ). V
tom případě ovšem vyhovuje pouze jedno řešení, a to y = − x . Je tedy f1−1 : y = − x .
Pro funkci f 2 : y = x 2 ; D( f 2 ) = 〈 0; ∞) je opět H ( f 2 ) = 〈 0; ∞) . Funkční předpis funkce f 2−1
opět vychází z předpisu f 2−1 : x = y 2 , tentokrát ovšem je x ∈ D( f 2−1 ) = H ( f 2 ) = 〈 0; ∞) ( x je
opět kladné), ale y ∈ H ( f 2−1 ) = D( f 2 ) = 〈 0; ∞) ( y je tentokrát kladné), je tedy f 2−1 : y = x .
5.5 Funkce exponenciální a logaritmická
Exponenciální funkce: Je funkce určená rovnicí f : y = a x ; kde a > 0 ; a ≠ 1 . Podmínka
a > 0 je nutná k tomu, aby mocnina byla definována pro každé reálné x , tj. D( f ) = . Pro
a = 1 by se jednalo o konstantní funkci f : y = 1 . Oborem hodnot je H ( f ) = ( 0; ∞ ) .
x
1
1. Příklad: Sestrojme grafy funkcí f1 : y = 2 ; f 2 : y =   .
2
x
f1 : y = 2 :
x
x
–5
y
2−5 =
1
f2 : y =  
2
–3
1
8
–2
1
4
–1
1
2
0
1
2
3
20 = 1
2
4
8
1
1
2
2
1
4
x
x
y
1
32
–4
1
16
–5
1
 
2
−5
= 32
–4
–3
–2
–1
0
16
8
4
2
1
3
1
8
Exponenciální funkci o základu a = 10 , tj. y = 10 x , nazýváme dekadickou exponenciální
funkcí. Zvláště důležitá je exponenciální funkce y = e x [ y = exp( x) ], jejímž základem je
číslo a = e = 2.718 281... (Eulerovo číslo).
Logaritmická funkce: Exponenciální funkce y = a x je monotonní na celém svém definičním
oboru, a to pro a ∈ ( 0;1) klesající, pro a ∈ (1; ∞ ) rostoucí. Je tedy možno k ní sestrojit funkci
kde a > 0 ; a ≠ 1 .
Protože D( f ) = ; H ( f ) = ( 0; ∞ ) , je
inverzní: f −1 : x = a y ;
−1
−1
D( f ) = H ( f ) = ( 0; ∞ ) ; H ( f ) = D( f ) = . Tato funkce přiřazuje každému x ∈ ( 0; ∞ )
číslo y ∈ , na které je třeba umocnit daný základ a , abychom obdrželi hodnotu nezávisle
88
proměnné x . Tato funkce se nazývá logaritmická funkce se základem a , značíme ji log a .
Místo f −1 : x = a y tedy píšeme f −1 : y = log a x . Pro a = 10 píšeme místo log10 x většinou jen
log x (dekadický logaritmus), pro a = e = 2, 718 281... píšeme místo log e x většinou ln x
nebo lg x (přirozený logaritmus).
Vlastnosti logaritmické funkce: je monotonní, tudíž prostá, tj. pro každé x1 ≠ x2 je
log a x1 ≠ log a x2 ; pro a ∈ (0;1) je klesající, pro a ∈ (1; ∞ ) je rostoucí .
89
log 5 5 = 1 ,
1
log 5 = −1 ,
5
log10 = 1 ,
1
log = −1 ,
10
Platí např.
log 5 25 = 2
1
log 5
= −2
25
log100 = 2
1
log
= −2
100
neboť 51 = 5 ;
1
neboť 5−1 = ;
5
1
neboť 10 = 10 ;
1
neboť 10−1 = ;
10
neboť 52 = 25 ;
1
neboť 5−2 =
;
25
neboť 102 = 100 ;
1
neboť 10−2 =
;
100
−1
−2
1
1
log 1 5 = −1 , neboť   = 5 ; log 1 25 = −2 neboť   = 25 ;
5
5
5
5
1
log 1
5
1
1
1 1
= 1 , neboť   = ; log 1
=2
5
5 5
5 25
2
1
1
neboť   =
;
 5  25
0
1
log 5 1 = log1 = log 1 1 = 0 , neboť 5 = 10 =   = 1 .
5
5
0
0
a každé A ∈ (0;1) ∪ (1; ∞ ) je
Pro každé X ∈
X = Alog A X .
Je-li tedy např. x = a log a x ; y = a loga y , pak x ⋅ y = a log a x ⋅ a log a y a podle pravidel o počítání
a = A;
x ⋅ y = a log a x + loga y . Položíme-li však nyní
x⋅ y = X ;
s mocninami je
log a x + log a y = Y , je podle předchozího rámečku:
X =A
x⋅ y = a
Y
log a x + log a y
⇔
= log
A
⇔ log a x + log a y = log
a
Y
X
( x ⋅ y)
⇒ log a x + log a y = log a (x ⋅ y )
Podobně bychom odvodili další vlastnosti:
Nechť a > 0 ; a ≠ 1 a x; y > 0 jsou libovolná kladná reálná čísla. Pak
x
log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y ; log a   = log a x − log a y ;
 y
Je-li r =
1
; kde n ∈
n
log a x r = r ⋅ log a x ( r ∈
− {0} , pak z posledního vzorce dostáváme log a n x =
1
⋅ log a x .
n
Příklady:
Pro přípustné hodnoty upravme pomocí výše uvedených pravidel:
1) log 2 2 x( x − 1) = log 2 2 + log 2 x + log 2 ( x − 1) = 1 + log 2 x + log 2 ( x − 1)
2) log 3
3) ln
27 x 5
= log 3 27 + 5log 3 x − 3log 3 ( x + 5) = 3 + 5log 3 x − 3log 3 ( x + 5)
( x + 5)3
( x + 1)( x −1)
= ( x − 1) ln( x + 1) − ln x
x
90
)
4

4) log 4  π r 3  = log 4 4 + log 4 π + 3log 4 r − log 4 3 = 1 + log 4 π + 3log 4 r − log 4 3
3

Naopak:
x2
16 x 2
= log 4
x+2
x+2
a
2
a (a − 1)
6) a ln a + ln(a 2 − 1) − ln(a + 1) − 6 ln a = ln 6
= ln  a a −6 (a − 1) 
a (a + 1)
5) 2 + 2 log 4 x − log 4 ( x + 2) = log 4 16 + log 4
7) 2 log 3r 2 + 3log 4r 3 − 4 log 2r 2 + 4 log 6r = log
(3r 2 ) 2 ⋅ (4r 3 )3 ⋅ (6r ) 4
=
(2r 2 ) 4
32 ⋅ 43 ⋅ 64 ⋅ r 4 ⋅ r 9 ⋅ r 4
32 ⋅ 26 ⋅ 34 ⋅ 24 ⋅ r17
=
log
= log(26 ⋅ 36 ⋅ r 9 ) = log 66 r 9
24 ⋅ r 8
24 ⋅ r 8
 cd E 
1
1
c⋅d ⋅ E
= log 
8) log c + log d + log E − log S − log ρ = log

2
2
S⋅ ρ
 S ρ
= log
Neřešené úlohy:
1) log(2 x 4 y 3 ) 2) log
x1 x22
xy
3) log 2
4
z
x3 x4
1
6) log 3 + log a + (2 log b + log c)
3
Výsledky
4) log 3 x x + y 5)
1
( log18 − 0.5log 3)
2
7) log 2π + 0.5(log l − log 2 − log g )
1
1
log x + log y − log z 4)
2
2

l 
6) log(3a 3 2bc ) 7) log  2π

2g 

1) log 2 + 4 log x + 3log y 2) log x1 + 2 log x2 − log x3 − 4 log x4 3)
1
1
18
log x + log( x + y ) 5) log
3
6
3
5.6 Exponenciální a logaritmické rovnice
Exponenciální rovnice je každá rovnice, ve které je neznámá x ∈ v exponentu nějaké
mocniny. Nejjednodušší exponenciální rovnice jsou rovnice tvaru a f ( x ) = a g ( x ) , kde a > 0 ;
a ≠ 1 . Rovnají-li se základy mocnin, musí se rovnat i jejich exponenty, tato rovnice je tedy
ekvivalentní s rovnicí f ( x) = g ( x) – viz př. 1. Dále jsou to rovnice nejrůznějších tvarů, které
však lze úpravami využívajícími vlastnosti mocnin převést na předchozí případ (viz př. 2 –5).
1. Příklad:
2
2. Příklad:
2
3x +10 x +10 = 3x + 4 x − 2
x 2 + 10 x + 10 = x 2 + 4 x − 2
6 x = −12
x = −2
2x
2
− 6 x − 2,5
= 16 2
2
2 x −6 x − 2,5 = 24,5
x 2 − 6 x − 2,5 = 4,5
x1 = 7; x2 = −1
91
3. Příklad:
33 ⋅ 27 2 x −3 = 813 x −5
33 ⋅ 33(2 x −3) = 34(3 x −5)
3 + 3(2 x − 3) = 4(3 x − 5)
7
x=
3
4. Příklad:
5
 
8
5. Příklad:
2 x +1
x −1
 512 
=

 125 
3− x
2 x +1
3− x
2 x +1
x −1
−3 3− x
3
 5  x −1  8 
= 3
 
8
5 
2 x + 3 ⋅ 3x + 2
67 − x ⋅ 8 x −1
2 x + 3 ⋅ 3x + 2
27 − x ⋅ 37 − x ⋅ 23( x −1)
2( x +3)−(7 − x )−3( x −1) ⋅ 3( x + 2)− (7 − x )
2− x −1 ⋅ 32 x −5
9
=
3
x−2
= 32( x − 2) −1
= 32 x −5
= 20 ⋅ 32 x −5 / : 32 x −5
 5  
5
=   
 
8
 8  
2− x −1 = 20
2x + 1
−x −1 = 0
= −3(3 − x)
x −1
x = −1
2
x1 = 4; x2 =
3
Dále jsou to rovnice tvaru a f ( x ) = b g ( x ) , a ≠ b . V některých případech je možno tuto rovnici
upravit na tvar a r ( x ) = a s ( x ) a řešit předchozím způsobem (viz př. 6). Pokud ne, je třeba řešit
logaritmováním (viz. př. 7). Následují opět rovnice nejrůznějších tvarů, které lze na tvar
a f ( x ) = b g ( x ) převést a řešit logaritmováním (viz př. 8). Pozor! Logaritmování rovnice nepatří
k ekvivalentním úpravám. Součástí tohoto řešení je tedy zkouška. Některé exponenciální
rovnice lze substitucí převést na rovnice algebraické (viz př. 9).
6. Příklad:
7. Příklad
51− x = 7 x −1 /⋅ 71− x
51− x ⋅ 71− x = 70
(5 ⋅ 7)1− x = 1
351− x = 350
1− x = 0
x =1
Zkouška:
33 x − 2 = 5x
log 3 33 x − 2 = log 3 5x
(3x − 2) log 3 3 = x log 3 5
(3x − 2) ⋅ 1 = x log 3 5
3x − x log 3 5 = 2
x(3 − log 3 5) = 2
2
x=
3 − log 3 5
log 3 L = 3x − 2 =
6
−2
3 − log 3 5
log 3 L =
6 − 6 + 2 log 3 5
3 − log 3 5
log 3 L =
2 log 3 5
3 − log 3 5
log 3 P = x log 3 5
log 3 P =
2
⋅ log 3 5
3 − log 3 5
log 3 L = log 3 P ⇒ L = P
8. Příklad:
4 x + 3 x + 4 = 4 x + 3 − 3x + 2
3x + 4 + 3 x + 2 = 4 x + 3 − 4 x
3x (34 + 32 ) = 4 x (43 − 1)
90 ⋅ 3x = 63 ⋅ 4 x
9. Příklad:
92 x − 12 ⋅ 9 x + 27 = 0
subst. 9 x = y
y 2 − 12 y + 27 = 0
( y − 3)( y − 9) = 0
y1 = 3; y2 = 9
x
63
3
  =
4
90
x
7
3
  =
 4  10
x(log 3 − log 4) = log 7 − log10
log 7 − 1
x=
log 3 − log 4
1
2
x2
x2
ze subst. 9 = y2 ⇒ 9 = 9 ⇒ x2 = 1
ze subst. 9 x1 = y1 ⇒ 9 x1 = 3 ⇒ x1 =
92
(chybějící zkoušky zde ponecháme čtenáři jako cvičení).
Logaritmické rovnice: jsou rovnice, v nichž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou
x ∈ . Nejjednodušší logaritmickou rovnicí je rovnice log a x = b , a > 0 , a ≠ 1 , b ∈ ,
která má řešení x = a b . Další rovnice řešíme obvykle úpravou na tvar log a f ( x) = log a g ( x) ,
a pak řešíme tzv. delogaritmováním, tj. úpravou na tvar f ( x) = g ( x) . Často lze vhodnou
substitucí převést logaritmickou rovnici na rovnici algebraickou. Pozor! Ani delogaritmování
rovnice není ekvivalentní úpravou. Součástí tohoto řešení je tedy zkouška.
Příklad 11:
Zkouška
2 log( x − 2) = log(14 − x)
log( x − 2) 2 = log(14 − x)
( x − 2) 2 = 14 − x
x 2 − 4 x + 4 = 14 − x
x 2 − 3x − 10 = 0
x1 = 5
x2 = −2
L(5) = 2 log(5 − 2) = 2 log 3 = log 32 = log 9
P (5) = log(14 − 5) = log 9
L(5) = P (5)
L ( −2 ) = 2 log(−2 − 2) = 2 log(−4)
L(−2) není definována
x2 = −2 není kořenem
množina řešení K = {5}
Příklad 12:
Zkouška
log ( x log x ) = 1
log x ⋅ log x = 1
log 2 x = 1
log x = ±1
x1 = 10; x2 = 10−1
L(10) = log (10log10 ) = log10 = 1
P (10) = 1
L(10) = P(10)
log10 
−1 −1
L (10−1 ) = log (10−1 )
 = log (10 ) = log10 = 1
−1
P (10−1 ) = 1
L(10−1 ) = P(10−1 )
množina řešení K = {10; −10}
Příklad 13:
(log x)log x = 1
log x ⋅ log(log x) = log1
log x ⋅ log(log x) = 0
log x1 = 0 ⇒ x1 = 1
log(log x2 ) = 0
log x2 = 1
x2 = 10
Zkouška
L(1) = (log1)log1 = 00
L(1) není definována
x1 = 1 není kořenem
L (10 ) = (log10)log10 = 11 = 1
P (1) = 1
L(10) = P(10)
množina řešení K = {10}
93
Příklad 14:
x log x + 10 x − log x = 11/⋅ x log x
x 2 log x + 10 x 0 = 11x log x
x 2 log x − 11x log x + 10 = 0
subst x log x = y
y 2 − 11y + 10 = 0
y1 = 1; y2 = 10
log x
subst x1 1
log x1 ⋅ log x1
log x1
x1
log x
subst x2 2
log x2 ⋅ log x2
log 2 x2
log x2
x2
Zkouška
L(1) = 1log1 + 10 ⋅1− log1 = 10 + 10 ⋅10 = 11
=1
= log1
=0
=1
P (1) = 11
L(1) = P (1)
L (10 ) = 10log10 + 10 ⋅10− log10 = 101 + 10 ⋅10−1 = 11
P (10) = 11
L(10) = P(10)
L (10−1 ) = (10−1 )log10 + 10 ⋅ (10−1 ) − log10
−1
−1
L (10−1 ) = 10( −1)⋅( −1) + 10 ⋅10( −1)⋅( +1) = 10 + 1 = 11
P (10−1 ) = 11
L (10−1 ) = P (10−1 )
= 10
= log10
=1
= ±1
= 10; x3 = 10−1
množina řešení K = {1;10;10−1}
Neřešené úlohy:
Vypočtěte:
5) log 4 162
1) log 2 16
9) log 1
8
13) log1
1
16
4
14) log −2
1
16
2
15) log log
2) log 5 125
6) log16 162
10) log 1
3) log 2 1024
7) log 256 162
11) log 1
4) log 2 162
8) log 1
3
1
3
12) log
1
16
1
8
5
1
5
1
8
1
10
1

16) log  − log 
10 

Řešte rovnice:
17) 25 x = 6252
18) 8 ⋅ 22− x = 16−3
29) log 2 x = −2
30) log x 16 = 4
19) 9 x −1 ⋅ 32 x −1 = 27
31) log 2 x 2 = 2
2 x − 12 x − 2 = 3x − 2
20)
21)
2 x −1
729 = 2 x +1 812
 5
22) 1 − 
 9
23) 4
x +1
2
3− 2 x
9
= 
4
= 64 ⋅ 2
x +1
32) log x x 2 = 2
33) 2 log x = 3 − log 5
3
x −5
34) 2 log 5 x = 4 − log 5
x
25
35) log(3x 2 + 1) − log(3 + x) = log(3 x + 2)
94
24) x
n
x
= (n x)
x
log( x 2 + 7)
=2
log( x + 7)
37) 31+ log x = 81
36)
25) 3 ⋅ 4 x + 9 x + 2 ⋅ 3−1 = 6 ⋅ 4 x +1 − 9 x +1 ⋅ 2−1
2
1

 x −1
26)  2 ⋅ ( 2 x +3 ) 2 x 
=4
27) 3x + 3x +1 + 3x + 2 = 5x + 5x +1 + 5x + 2
61
28) 5x ⋅ 4 x −1 − 4 x ⋅ 51− x =
20
38) log(3x − 1) − log(3x + 1) = log16
39) log x 4 + log x 2 = 1
40) 3eln x − 2eln 2 x + 4e = 0
Výsledky:
1) 4 2) 3 3) 10 4) 8 5) 4 6) 2 7) 1 8) 1 9) 1 10) 4 11) −2 12) 2
13) není definován 14) není definován 15) není definován 16) 0 17) 4 18) 17
19) 1.5
20) 2 21) 3.5
22) −0.25
23) 35 24) 1; n ⋅ n −1 n
28) 2 29) 0.25 30) 2 31) 2 32) x > 0; x ≠ 1
37) 1000 38) nemá řešení 39) 1 40) 4e
33)
25) −0.5
200
34) 25
26) 9 27) −1.7
35) 1 36) −3
5.7 Oblouková míra a orientovaný úhel
V kpt. 1.4 jsme stručně uvedli stupňovou míru úhlů, která však mnohdy nevyhovuje.
Uvedeme tedy i tzv. míru obloukovou. Její jednotkou je jeden radián (rad). Před jeho definicí
je však třeba uvést tzv. středový úhel:
Úhel ω = ASB , jehož vrcholem je střed kružnice a ramena procházejí krajními body
oblouku AB , nazýváme středový úhel příslušný tomuto oblouku.
Úhel má velikost jednoho radiánu právě tehdy, když je shodný se středovým úhlem
kružnice, jejíž poloměr je roven délce příslušného oblouku.
Má-li kružnice poloměr r = 1 (tzv. jednotková kružnice), pak velikost úhlu v radiánech je
číselně přímo rovna délce příslušného oblouku. Jednotka radián je ve „fyzikálním“ slova
smyslu jednotkou bezrozměrnou (vzniká jako „podíl dvou délek“). V matematice se většinou
vynechává a velikost úhlu se tak udává jen reálným číslem. Také my budeme tuto jednotku
výslovně zapisovat pouze výjimečně. Budeme-li chtít zdůraznit, že velikost úhlu α je zadána
v radiánech, budeme psát arc α („arcus alfa“).
Převod stupňů na radiány a naopak: Uvažujme jednotkovou kružnici. Ta má délku l = 2π .
Plný úhel má tedy velikost 2π radiánů. Zároveň je zřejmé, že tento plný úhel je součtem čtyř
pravých úhlů a ve stupňové míře má tedy velikost α 0 = 4 ⋅ 900 = 3600 . Je tedy
2π rad = 3600 . Velikost úhlu v radiánech (označme arc α ) je přímo úměrná velikosti úhlu
ve stupních (označme α 0 ):
3600 ................................ 2π
α 0 ................................... arc α

arc α
1800 ⋅ arc α
0
0
0
⋅ 360 ⇒ α =
⇒ α =
2π
π
α0
arc α 
=

0
360
2π 
α0
π ⋅α 0
2
⇒
=
⋅
⇒
=
α
π
α
arc
arc

3600
1800

95
Příklady:
1) arc 10 =
π ⋅10
180
0
=
π
180
≈ 0,017...rad
3) arc 142030 ' = arc 142,500 =
4) 1 rad =
1800 ⋅1
π
=
1800
π
2) arc 180 =
π ⋅142,500
1800
π ⋅180
180
0
=
π
10
≈ 0,314...rad
≈ 2, 487...rad
≈ 57, 295 780 = 57 017 '45''
Velikosti některých úhlů se ve výpočtech vyskytují velmi často, proto je dobré si je rychle
uvědomit:
stupně
00
radiány
0
300
450
600
900
π
π
π
π
6
4
3
2
1800
2700
3600
π
3π
2
2π
Orientovaný úhel: Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
se společným počátkem. První z polopřímek je počáteční rameno, druhá koncové rameno,
společný počátek polopřímek pak vrchol orientovaného úhlu. Orientovaný úhel AVB budeme
značit AVB .
Vzhledem k tomu, že rozlišujeme počáteční a koncové rameno orientovaného úhlu, je
AVB ≠ BVA .
Velikost orientovaného úhlu AVB nazýváme každé reálné číslo α + 2kπ ; k ∈
(v obloukové míře) popř. α 0 + k ⋅ 3600 ; k ∈ (ve stupňové míře), kde α (popř. α 0 ) určíme
takto:
a) Je-li VA = VB , je α = 0 (popř. α 0 = 00 )
b) Je-li VA ≠ VB , je α ( α 0 ) velikost neorientovaného úhlu, který vznikne otáčením
počátečního ramene VA do polohy koncového ramene VB , a to proti směru chodu
hodinových ručiček v obloukové (ve stupňové) míře. Směr proti směru chodu hodinových
ručiček považujeme za kladný.
Velikost α ( α 0 ) nazýváme základní velikostí orientovaného úhlu. Další velikosti α + 2kπ
( α 0 + k ⋅ 3600 ) si můžeme představit jako polohu koncového ramene VB po k otáčkách.
5.8 Goniometrické funkce
Uvažujme kartézskou souřadnou soustavu
O; x1 ; x2 s počátkem O . Označme J obraz
jedničky na ose x1 . Dále libovolný orientovaný
úhel s vrcholem O , počátečním ramenem OJ
(v obloukové míře).
a velikostí x ∈
Sestrojme jednotkovou kružnici k (tj. kružnici
o poloměru r = 1 ) se středem v bodě O .
Označme M = [ m1 ; m2 ] průsečík této kružnice
s koncovým ramenem orientovaného úhlu. Pro
každé x ∈ pak můžeme definovat funkci
96
; H ( f ) = 〈−1;1〉 ,
; H ( f ) = 〈−1;1〉 .
sin x = m2 pro každé x ∈
cos x = m1 pro každé x ∈
sinus:
kosinus:
Dále definujeme
sin x
cos x
tangens:
tg x =
pro každé x ∈
− ∪ (2k + 1)
{
π
2
cos x
cotg x =
sin x
{
}
− ∪ kπ ;
k∈
kotangens:
pro každé x ∈
}
; H( f ) =
,
H( f ) =
.
k∈
Přímo z definice pro každé x ∈
plyne:
sin 2 x + cos 2 x = 1 ,
sin x = 1 − cos 2 x ,
a tedy
cos x = 1 − sin 2 x .
Znaménka hodnot goniometrických funkcí
kvadrant
interval
sin x
cos x
tg x
cotg x
I
II
III
IV
 π   π   3π   3π

 0;   ;π   π ;   ; 2π 
 2 2   2   2

+
+
−
−
+
−
−
+
+
−
+
−
+
−
+
−
97
Důležité hodnoty goniometrických funkcí
x
0
sin x
0
cos x
1
tg x
0
cotg x nedef
Dále je
π
π
π
π
6
4
3
2
1
2
3
2
3
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
1
3
π
3π
2
2π
1
0
−1
0
0
−1
0
1
3
nedef
0
nedef
0
3
3
0
nedef
0
nedef
{ }
cos x
1
1
π
=
=
pro každé x ∈ − ∪ k
sin x sin x tgx
2
k∈
cos x
π
π


sin( x) = − cos  x +  ; cos( x) = sin  x + 


2
2
sinus je lichá
sin x = − sin(− x)
kosinus sudá
cos x = cos(− x)
tangens lichá
tg x = − tg(− x)
kotangens lichá
cot g x = − cot g(− x)
cotg x =
Funkce
V zápisu dalších vlastností budeme potřebovat dvě hodnoty nezávisle proměnné. Abychom
nemuseli používat indexy (např. při označení x1 ; x2 ) nebo aby nedocházelo k záměně se
98
závisle proměnnou (např. při značení x; y ), budeme argumenty goniometrických funkcí
označovat řeckými písmeny ( α , β ... ) tak, jak je to obvyklé v řadě aplikací.
Odvoďme některé další vlastnosti, které známe ze střední školy: V kapitole 7.2 zopakujeme,
že pro skalární součin dvou vektorů u = (u1 ; u2 ) ; v = (v1 ; v2 ) platí: u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos ϕ =
= u1v1 + u2 v2 . Speciálně pro vektory o souřadnicích u = (cos α ;sin α ) ; v = (cos β ;sin β ) ,
které mají jednotkovou velikost a které svírají úhel α − β , pak dostáváme
u ⋅ v = 1 ⋅ 1 ⋅ cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β ,
tedy
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
Dosadíme-li za β hodnotu − β , máme
cos[α − (− β )] = cos(α + β ) = cos α cos(− β ) + sin α sin(− β ) .
Protože cos(− β ) = cos β ; sin(− β ) = − sin(− β ) , máme
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β .
π

Dále využijeme vlastnosti sin( x) = − cos  x +  pro x = α + β :

2
π

π

π
π



sin(α + β ) = − cos  (α + β ) +  = − cos  α +  + β  = − cos  α +  cos β + sin  α +  sin β
2
2
2
2





π
π


Protože však − cos  α +  = sin α a sin  α +  = cos α , je


2
2
sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β .
Dosadíme-li za β hodnotu − β , máme
sin(α − β ) = sin α cos(− β ) + cos α sin(− β ) ,
tedy
sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
Sečtěme vzorce pro sin(α + β ) a sin(α − β )
sin(α + β ) + sin(α − β ) = 2sin α cos β
α+β
α−β
za α a
za β :
a dosaďme
2
2
α+β
α−β
α + β α − β 
α + β α − β 
+
−
sin 
cos
,
 + sin 
 = 2sin
 2
 2
2 
2 
2
2
sin α + sin β = 2sin
α+β
α−β
.
2
2
Podobně odečtením těchto vzorců dostaneme
α+β
α−β
.
sin α − sin β = 2 cos
sin
2
2
Ze vzorců pro cos(α + β ) a cos(α − β ) podobně dostaneme:
tedy
cos α + cos β = 2 cos
cos
α+β
cos α − cos β = −2sin
2
cos
α+β
α−β
2
α−β
;
.
2
2
Položíme-li α = β , dostáváme ze vzorce pro sin(α + β ) :
sin(α + α ) = sin α cos α + cos α sin α ,
sin
99
tedy
sin 2α = 2sin α cos α .
Podobně ze vzorce pro cos(α + β )
cos(α + α ) = cos α cos α − sin α sin α
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α .
α
Dosadíme-li do vzorce pro cos 2α za α hodnotu
2
, dostaneme
α
α
α
 α
cos  2 ⋅  = cos α = cos 2 − sin 2 = 1 − 2sin 2 ,
 2
2
2
2
1−sin 2
cos α = 1 − 2sin 2
tedy
Konečně
cos 2
α
2
α
= 1 − sin 2
2
α
2
α
2
⇒ sin 2
= 1−
α
2
=
1 − cos α
α
1 − cos α
⇒ sin =
.
2
2
2
1 − cos α 1 + cos α
α
1 + cos α
=
⇒ cos =
.
2
2
2
2
Shrňme tedy nejdůležitější vztahy mezi funkcemi sinus a kosinus:
sin
sin 2α = 2sin α cos α
α
2
α
=
1 − cos α
2
=
1 + cos α
2
cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
cos
sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β
sin α + sin β = 2sin
2
α+β
sin α − sin β = 2 cos
2
α+β
cos
α−β
2
α−β
sin
2
2
α+β
α−β
cos α + cos β = 2 cos
cos
2
2
α+β
α−β
cos α − cos β = −2sin
sin
2
2
Příklady: Upravme výrazy
1) cos 2 v sin 2 (−v) − 2sin(−v) cos(−v) + 1 = cos 2 v sin(−v) sin(−v) + 2sin v cos v + 1 =
= cos 2 v(− sin v)(− sin v) + 2sin v cos v + 1 = cos 2 v sin 2 v + 2sin v cos v + 1 = (sin v cos v + 1) 2

sin 2 z  2
cos 2 z + sin 2 z
1 ⋅ cos 2 z
2
2) (1 + tg 2 z ) cos 2 z = 1 +
cos
cos
z
z
=
=
=1

cos 2 z
cos 2 z
 cos 2 z 
3)
2
+1 =
tg x + cotg x
2
+1 =
sin x cos x
+
cos x sin x
2
+ 1 = 2sin x cos x + 1 =
sin x + cos 2 x
sin x cos x
2
= 2sin x cos x + sin 2 x + cos 2 x = (sin x + cos x) 2 = sin x + cos x
100
4) (sin b + cos b) 2 + (sin b − cos b) 2 =
= sin 2 b + 2sin b cos b + cos 2 b + sin 2 b − 2sin b cos b + cos 2 b = 2sin 2 b + 2 cos 2 b = 2
5)
6)
7)
sin d
sin d
sin d (1 + cos d ) + sin d (1 − cos d )
+
=
=
1 − cos d 1 + cos d
(1 − cos d )(1 + cos d )
sin d (1 + cos d + 1 − cos d ) 2sin d
2
=
=
=
2
2
1 − cos d
sin d sin d
sin 2v
2sin v cos v
2sin v cos v sin v
=
=
=
= tg v
2
2
2
2
1 + cos 2v sin v + cos v + cos v − sin v
cos v
2 cos 2 v
sin z + sin 2 z
sin z + 2sin z cos z
sin z (1 + 2 cos z )
=
=
=
2
2
2
2
1 + cos z + cos 2 z sin z + cos z + cos z + cos z − sin z cos z + 2 cos 2 z
sin z (1 + 2 cos z ) sin z
=
=
= tg z
cos z (1 + 2 cos z ) cos z
 1 − cos α 1 + cos α
1 − cos 2 α
1 − cos 2 α

α
α
1 sin α 1
2
2
4
2

sin cos
=
=
=
= tgα

2 cos α
2
2 = 1 + cos α 1 − cos α
cos α
2 cos α 2
8)
−
α
α 
2
2
2
cos 2 − sin 2
2
2 
α
sin x cos x
1 sin 2 x 1
1
= x:
=
= tg2 x = tgα
 lépe : subst
2
2
2
2
cos x − sin x 2 cos 2 x 2

9)
cos(α + β ) + cos(α − β ) cos α cos β − sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β
=
=
cos(α + β ) − cos(α − β ) cos α cos β − sin α sin β − cos α cos β − sin α sin β
2 cos α cos β
=
= −cotgα cotgβ
−2sin α sin β
cos(α + β ) + cos(α − β ) cos x + cos y
Nebo: subst. α + β = x ; α − β = y :
=
=
cos(α + β ) − cos(α − β ) cos x − cos y
x+ y
x− y
2 cos
cos
2
2 = cos α cos β = −cotgα cotgβ
=
x+ y
x − y − sin α sin β
sin
−2sin
2
2
10)
sin x + sin 3 x + sin 5 x + sin 7 x
(sin 7 x + sin x) + (sin 5 x + sin 3 x)
=
=
cos x + cos 3 x + cos 5 x + cos 7 x (cos 7 x + cos x) + (cos 5 x + cos 3x)
 7x + x 
 7x − x 
 5x + 3x 
 5 x − 3x 
2sin 
 cos 
 + 2sin 
 cos 

2
2
2
2







 =
=
 7x + x 
 7x − x 
 5x + 3x 
 5 x − 3x 
2 cos 
 cos 
 + 2 cos 
 cos 

 2 
 2 
 2 
 2 
sin 4 x cos 3 x + sin 4 x cos x sin 4 x(cos 3x + cos x)
=
=
= tg4 x
cos 4 x cos 3 x + cos 4 x cos x cos 4 x(cos 3x + cos x)
 3π 
Bez výpočtu t určeme hodnoty zbývajících goniometrických funkcí, víme-li, že t ∈  π ;  :
 2 
101
2

2
4
5
5

2
 cos t = − 1 − sin t = − 1 −  −  = − 1 − = −
=−
9
9
3
 3


2

−
2
sin t
2
2 5

= 3 =
=
11) sin t = − ⇒  tgt =
3
cos t
5
5
5

−

3

cotgt = 1 = 5

tg t
2
12) tg t = 0,8 : Je zřejmě
Dále je tedy:
cotgt =
1
1
5
 3π 
=
= . Připomeňme, že t ∈  π ;  .
tg t 0,8 4
 2 
tg t = 0,8
sin t
= 0,8
cos t
sin t
= 0,8
1 − sin 2 t
sin 2 t
= 0, 64
1 − sin 2 t
sin 2 t = 0, 64 − 0, 64sin 2 t
1, 64sin 2 t = 0, 64
0, 64
sin 2 t =
1, 64
16
sin 2 t =
41
16
4
4 41
=−
=−
sin t = −
41
41
41
cos t = − 1 − sin 2 t
 4 41 
cos t = − 1 −  −


41 
cos t = − 1 −
16 ⋅ 41
412
cos t = − 1 −
16
41
cos t = −
cos t = −
cos t = −
cos t = −
2
41 − 16
41
25
41
5
41
5 41
41
Neřešené úlohy:
Upravte:
1) cos(−u ) cos u − sin u sin(−u )
2
sin p
1 + cos p
1
1
3)
+
2
1+tg x 1+cotg 2 x
7)
cos 2u
sin u + cos u
8)
1 + cos 2t
1 − sin 2t
2)
4) sin a − sin a cos 2 a
1
1
5)
+
1 − sin c 1 + sin c
sin 2 f − sin 2 g
6)
cos 2 f − cos 2 g
cos
9)
sin
102
α
4
α
2
+ cos
α
4
(návod: subst.
α
2
= 2x )
sin(α + β ) + sin(α − β )
sin(α + β ) − sin(α − β )
sin 2 x + sin 4 x + sin 6 x + sin 8 x
11)
cos 2 x + cos 4 x + cos 6 x + cos8 x
3π
 3π
 π
+ cos 
+ z  sin
2
2
 2

12)
3π
 3π

− z  cos π − sin sin(π + z )
sin 
2
 2

cos(π + z ) sin
10)
13) Bez výpočtu r určete hodnoty zbývajících goniometrických funkcí, víte-li, že
8
 3π

r ∈  ; 2π  : a) sin r = −0.4 b) cos r = 0.25 c) tg r = −1.2 d) cotg r = −
15
 2

Výsledky:
2
1) 1 2) 1 − cos p 3) 1 4) sin 3 a 5)
6) −1 7) cos u − sin u 8) cotg 2 t 9)
2
cos c
α
α
21
2 21
sin + cos
10) tgα cotgβ 11) tg5x 12) 1
13) a) cos r =
; tg r = −
;
4
4
5
21
21
15
15
6 61
b) sin r = −
; tg r = − 15 ; cotg r = −
c) sin r = −
;
cotg r = −
2
4
15
61
5 61
5
15
8
15
; cotg r = − d) sin r = − ; cos r = ; tg r = −
cos r = −
61
6
17
17
8
5.9. Goniometrické rovnice
Goniometrická rovnice je každá rovnice, v níž se neznámá vyskytuje v goniometrických
výrazech. Nejjednodušší jsou rovnice tvaru sin x = a ; cos x = a ; tg x = a ; cot g x = a .
Perioda sinu a kosinu je 2π . Určíme tedy nejdříve všechna řešení na intervalu 0; 2π ) a ke
každému řešení připojíme periodu 2kπ ; k ∈ . Perioda funkcí tangens a kotangens je π . U
těchto funkcí určíme všechna řešení na intervalu 0; π ) a ke každému řešení připojíme
periodu kπ ; k ∈ .
1
1. Příklad: Řešme goniometrickou rovnici sin x =
2
Řešení: Určíme kořeny v intervalu 0; 2π ) , a to buď
pomocí jednotkové kružnice (viz připojený obrázek)
nebo pomocí grafu funkce sinus. Funkce sinus je
kladná
v
I.
a
x2 = π − x1 = π −
π
6
připojit periodu, tj.
II.
=
kvadrantu,
tj.
x1 =
π
6
;
5π
. K oběma řešením je třeba
6
π
+ 2kπ ; k ∈ ,
6
5π
+ 2kπ ; k ∈ .
x2 =
6
x1 =
1
2. Příklad: Řešme goniometrickou rovnici cos x = − .
2
Řešení: Opět určíme nejprve kořeny v intervalu 0; 2π ) . Hodnota funkce kosinus má být
záporná. V tom případě je výhodné vyjít z řešení rovnice
103
1
π
⇒α = ,
2
3
které zakreslíme buď do jednotkové kružnice
nebo do grafu kosinu. Funkce kosinus je záporná
ve II. a III. kvadrantu,
π 2π
(II. kvadrant)
x1 = π − α = π − =
tj.
3
3
π 4π
a
(III. kvadrant).
x2 = π + α = π + =
3
3
K oběma řešením opět připojíme periodu, tj.
2π
+ 2kπ ; k ∈ ,
x1 =
3
4π
+ 2kπ ; k ∈ .
x2 =
3
cos α =
Pozor! V přijímacích testech se občas objevují rovnice typu sin x =
apod. Tyto rovnice studenti často zaměňují s rovnicemi sin
π
a uvádějí řešení x = 1 , resp. x = −1 ( popř. x =
funkce sinus i kosinus je H ( f ) = 〈−1;1〉 a
cos x = −π proto nemají řešení.
2
π
π
2
π
2
, resp. cos x = −π
= x , resp. cos(−π ) = x
+ 2kπ , resp. x = −π + 2kπ ). Obor hodnot
∉ 〈−1;1〉 ; −π ∉ 〈−1;1〉 . Rovnice
2
sin x =
π
2
;
sin f ( x) = a ; cos f ( x) = a ; tg f ( x) = a ; cot g f ( x) = a zavádíme
V rovnicích typu
substituci f ( x) = z , čímž tyto rovnice převedeme na předchozí případ.
π

3. Příklad: Řešme rovnici tg  4 x −  = − 3 .
5

Řešení: Zavedeme substituci
4x −
π
5
tg α = 3 , pak v I. kvadrantu je α =
= z a řešíme nejdříve rovnici tg z = − 3 . Je-li
π
3
. Funkce tangens má periodu π a je záporná ve
druhém kvadrantu. „Převodem“ hodnoty α =
příkladů a připojením periody je z =
π
3
do II. kvadrantu po vzoru předchozích
2π
+ kπ . V použité substituci tedy je
3
2π
+ kπ
5
3
2π π
+ + kπ
4x =
3 5
13π
+ kπ
4x =
15
13π kπ
x=
+
.
30
4
4x −
π
=
104
Složitější rovnice lze často vhodnou substitucí převést na rovnice algebraické. Pokud se
v rovnici vyskytuje více goniometrických funkcí, převádíme je na funkci jedinou.
4. Příklad: Řešme rovnici
sin 2 x − cos 2 x + sin x = 0
Řešení:
sin 2 x − cos 2 x + sin x = 0
sin 2 x − 1 + sin 2 x + sin x = 0
2sin 2 x + sin x − 1 = 0
subst. sin x = y
2 y2 + y −1 = 0
1
y1 = −1; y2 = .
2
Návratem k použité substituci se
řešení rozpadne na dva případy:
3π
+ 2kπ ,
sin x1 = −1 ⇒ x1 =
2
1
π
sin x2 = ⇒ x2 = + 2kπ
2
6
5π
x3 =
+ 2kπ .
6
5. Příklad: Řešme rovnici
4sin 2 x cos 2 x
+
=2
sin 2 x cos 2 x
Řešení:
4sin 2 x cos 2 x
+
=2
sin 2 x cos 2 x
4sin 2 x
cos 2 x − sin 2 x
+
=2
2sin x cos x
cos 2 x
2sin 2 x
cos 2 x sin 2 x
+
−
=2
sin x cos x cos 2 x cos 2 x
2sin 2 x cos x − sin 3 x
=1
sin x cos 2 x
2sin 2 x cos x − sin 3 x = sin x cos 2 x
2sin x cos x − sin 2 x = cos 2 x
sin 2 x = cos 2 x + sin 2 x
sin 2 x = 1
2x =
x=
π
2
π
4
+ 2 kπ
+ kπ .
Neřešené úlohy:
Řešte rovnice:
5 + sin x
=3
1 − sin x
tg x + 1
8)
= 2+ 3
tg x − 1
1 − cos x 1
9)
=
1 + cos x 3
10) 4 cos 2 x + 4 cos x − 3 = 0
11) 2sin 2 x + sin x − 1 = 0
12) cotg 2 x + 4 cos 2 x − 3 = 0
13) sin x + sin 2 x = tg x
7)
3
1) cos x = −
2
2) tg x = − 3
3
3
π

4) sin  2 x −  = 1
3

3) cot g x =
5) sin x = sin
π
6
2π
 2x π 
6) cos 
−  = cos
5
 3 15 
14) 2sin 2 x + 2sin x − 3 sin x = 3
Výsledky:
5π
7π
2π
π
5π
1) x1 =
+ 2kπ ; x2 =
+ 2kπ 2) x =
+ kπ
3) x = + kπ
4) x =
+ kπ
6
6
3
12
3
π
5π
3π
π
7π
5) x1 = + 2kπ ; x2 =
+ 2kπ 6) x1 =
+ 3kπ ; x2 = + 3kπ 7) x1 =
+ 2 kπ ;
6
2
6
10
6
11π
π
1
5π
π
x2 =
+ 2kπ 8) x = + kπ 9) x1 = + 2kπ ; x2 =
+ 2kπ 10) x1 = + 2kπ ;
3
6
3
3
3
105
5π
π
3π
π kπ
π
13) x1 = + 2kπ ;
+ 2kπ 11) x1 = + 2kπ ; x2 =
+ 2kπ 12) x = +
6
3
3
2
4 2
5π
π
2π
3π
x2 =
+ 2kπ ; x3 = kπ 14) x1 = + 2kπ ; x2 =
+ 2kπ ; x3 =
+ 2 kπ
3
3
3
2
x2 =
5.10 Goniometrický tvar komplexních čísel
V kpt. 2.5 jsme komplexní čísla zapisovali v tzv.
algebraickém tvaru, tj. ve tvaru z = a + bi .
Označme nyní ϕ orientovaný úhel v Gaussově
rovině, jehož počáteční rameno tvoří kladná
poloosa Re , koncové rameno pak spojnice
obrazu čísla s počátkem. Pak je a = z cos ϕ ;
b = z sin ϕ a číslo z můžeme psát ve tvaru
z = a + bi = z cos ϕ + i z sin ϕ ,
tj.
z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) .
Tomuto zápisu říkáme goniometrický tvar komplexního čísla. Argument ϕ nazýváme
amplitudou komplexního čísla z .
1. Příklad: Převeďme na goniometrický tvar: a) z = 3 + i b) z = 3 − i c) z = 1 d) z = −i
a) z = 3 + i :
a
3
=

2  ⇒ ϕ = π ⇒ z = 2  cos π + i sin π 
z
z = ( 3) 2 + 12 = 2 ;



6
6
6

b 1 
b = z sin ϕ ⇒ sin ϕ = =
z 2 
a = z cos ϕ ⇒ cos ϕ =
b) z = 3 − i :
a
3
=

z
2  ⇒ ϕ = 11π ⇒ z = 2  cos 11π + i sin 11π 
z = ( 3) 2 + 12 = 2 ;



6
6
6 

b
1
sin ϕ = = −
z
2 
a

cos ϕ = = 1 
z

c) z = 1 : z = 1 ;
 ⇒ ϕ = 0 ⇒ z = cos 0 + i sin 0
b
sin ϕ = = 0 

z
a

cos ϕ = = 0 
3π
3π
3π
z

⇒ z = cos
+ i sin
d) z = −i : z = 1 ;
⇒ϕ =
b
2
2
2
sin ϕ = = −1

z
7π
7π 

2. Příklad: Převeďme na algebraický tvar: a) z = 2 2  cos
+ i sin

4
4 

b) z = 3 ⋅ ( cos 210○ + i sin 210○ )
cos ϕ =
106
 2
7π
7π 
2

+ i sin
−i
a) z = 2 2  cos
 = 2 − 2i
 = 2 2

 2
4
4 
2 

3
1
3 3 3
+i  = −
+ i
b) z = 3 ⋅ ( cos 210○ + i sin 210○ ) = 3 ⋅  −
 2
2
2
2
Součin dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru:
z1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ⋅ z2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) = z1 ⋅ z2 ⋅ (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ⋅ (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) =
= z1 ⋅ z2 ⋅ (cos ϕ1 cos ϕ 2 + i sin ϕ1 cos ϕ 2 + i cos ϕ1 sin ϕ 2 + i 2 sin ϕ1 sin ϕ 2 ) =
= z1 ⋅ z2 ⋅ [(cos ϕ1 cos ϕ 2 − sin ϕ1 sin ϕ 2 ) + i (sin ϕ1 cos ϕ 2 + cos ϕ1 sin ϕ 2 )] =
= z1 ⋅ z2 ⋅ [cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )] .
Podíl dvou komplexních čísel v goniometrickém tvaru:
z1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 )
z (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) ⋅ (cos ϕ 2 − i sin ϕ 2 )
= 1 ⋅
=
z2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) z2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) ⋅ (cos ϕ 2 − i sin ϕ 2 )
=
=
z1
z2
⋅
cos ϕ1 cos ϕ 2 + i sin ϕ1 cos ϕ 2 − i cos ϕ1 sin ϕ 2 − i 2 sin ϕ1 sin ϕ 2
=
cos 2 ϕ 2 − i 2 sin 2 ϕ 2
z1 (cos ϕ1 cos ϕ2 + sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i (sin ϕ1 cos ϕ2 − cos ϕ1 sin ϕ2 )
⋅
=
cos 2 ϕ 2 + sin 2 ϕ2
z2
=
z1
z2
⋅ [cos(ϕ1 − ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ 2 )] .
Speciálním případem součinu dvou komplexních čísel je druhá mocnina komplexního čísla:
z 2 = { z (cos ϕ + i sin ϕ )} = z (cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) .
Součin dvou komplexních čísel je možno zobecnit na součin n činitelů, podobně druhou
mocninu lze zobecnit na mocninu n - tou. Dostaneme tak tzv. Moiverovu větu:
2
2
z n = { z (cos ϕ + i sin ϕ )} = z (cos nϕ + i sin nϕ ) .
n
n
n-tá komplexní odmocnina: n - tou odmocninu z komplexního čísla a ∈
(n a)
budeme značit
, abychom ji odlišili od odmocniny z čísla reálného.
Pro každé a ∈ , a = a (cos α + i sin α ) ; n ∈ je z = ( n a ) , kde z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) ,
právě tehdy, když z n = a , tedy:
n
z (cos nϕ + i sin nϕ ) = a (cos α + i sin α ) = a [cos(α + 2kπ ) + i sin(α + 2kπ )]
Tato dvě komplexní čísla jsou si rovna právě tehdy, rovnají-li se jejich absolutní hodnoty
a amplitudy, tj.:
α + 2 k π α 2 kπ
n
z = a ⇒ z = ( n a ) ; nϕ = α + 2kπ ⇒ ϕ =
= +
; k∈ ;
n
n
n
přičemž pro k2 = k1 + n je
 α 2k π 
 α 2(k1 + n)π 
 α 2k1π

 α 2k π 
sin  + 2  = sin  +
+ 2π  = sin  + 1 
 = sin  +
n 
n
n
n 
n
n

n

n
(totéž pro kosinus). Pro k > n − 1 tedy dostáváme tatáž čísla, proto stačí uvažovat
k = 0,1,..., n − 1 .
107
Tedy:
(
n
a (cos α + i sin α )
)
=
n
  α 2kπ
a cos  +
n
 n

 α 2 kπ
 + i sin  +
n

n

  ; k = 0,1,.., n − 1

n -tá komplexní odmocnina má tedy n hodnot. Absolutní hodnoty komplexních odmocnin
2π
. Je-li n = 2 ,
z téhož komplexního čísla jsou si tedy rovny a amplitudy se postupně liší o
n
jsou komplexnímui odmocninami dvě opačná komplexní čísla, pro n > 2 tvoří obrazy
odmocnin v Gauusově rovině vrcholy pravidelného n -úhelníka vepsaného do kružnice
o poloměru
n
a .
3. Příklad: Řešme rovnici x 4 = −1 v množině
Řešení:
.
 π 2kπ
x = ( 4 −1 ) = ( 4 1 ⋅ (cos π + i sin π ) ) ⇒ x = cos  +
4
4
tedy:
π
π
2
2
x1 = cos + i sin
x1 =
+
i,
4
4
2
2
3π
3π
2
2
+ i sin
x2 = −
+
i,
x2 = cos
2
2
4
4
5π
5π
2
2
+ i sin
x3 = −
−
i,
x3 = cos
2
2
4
4
7π
7π
2
2
+ i sin
x4 =
−
i.
x4 = cos
4
4
2
2

 π 2 kπ
 + i sin  +

4
4

 ; k = 0,1, 2,3 ,

Neřešené úlohy:
Převeďte na goniometrický tvar:
1) a) i b) 1 − i c) −0,5 ⋅ (1 + i 3)
Převeďte na algebraický tvar:
1 
7π
7π 
π
π 

0
0
+ i sin
2) a)
 cos
 b) 3 ⋅ (cos136 + i sin136 ) c) 4  cos + i sin  .
12
12 
4
4 
2

V oboru
3) x 2 = i
řešte rovnice
4) x3 = −1
Výsledky
5) x 2 = 7 − 24i
6) x 6 = 64 .
5π
5π 
11π
11π

+ i sin
2  cos
+ i sin
2) a) 0.5 − 0.5i
 c) cos
2
2
4
4 
6
6

2
2
2
2
+
i ; x2 = −
−
i
b) −2.157 + 2.085i c) 6 + 2 + i ( 6 − 2) 3) x1 =
2
2
2
2
1
3
1
3
i ; x3 = −
i 5) x1,2 = ±(4 − 3i )
4) x1 = −1 ; x2 = +
2 2
2 2
  π kπ 
 π kπ  
6) x1,2,3,4,5,6 = 2  cos  +
 + i cos  +
 ; k = 0,1, 2,3, 4,5 .
3 
3  
3
 3
1) a) cos
π
+ i sin
π
b)
108
5.11 Konstrukce grafů funkcí
Znalost práce s grafem funkce patří k základní výbavě budoucího strojního inženýra.
Uvažujme obecně funkci y = f ( x) , jejíž graf je sestrojen na připojeném obrázku (konkrétní
funkční předpis v tuto chvíli není důležitý). V technických aplikacích je třeba funkční předpis
často modifikovat několika málo úpravami a sestrojovat grafy takto modifikovaných funkcí.
K nejčastějším úpravám patří:
a) změna znaménka
b) aplikace absolutní hodnoty
c) přičtení konstanty
d) násobení konstantou
Všechny tyto modifikace lze aplikovat
α) na funkci
β) na argument funkce
a) změna znaménka
α) u funkce y = f ( x) → y = − f ( x) : má za následek záměnu kladné a záporné
poloosy y – graf funkce − f ( x) je souměrný s grafem funkce f ( x) podle osy x ,
β) u argumentu funkce y = f ( x) → y = f (− x) : má za následek záměnu kladné a záporné
poloosy x – graf funkce f (− x) je souměrný s grafem funkce f ( x) podle osy y ,
b) aplikace absolutní hodnoty
α) na funkci y = f ( x) → y = f ( x) : má za následek změnu znaménka záporných
funkčních hodnot – v záporných hodnotách se graf funkce překlápí kolem osy x
β) na argument funkce y = f ( x) → y = f ( x ) : má za následek „ztrátu“ informace o
hodnotách původní funkce v záporné poloose x – graf je souměrný podle osy y ,
109
c) přičtení konstanty (posouvání grafu)
α) k funkci f ( x) → f ( x) + c : posouvá graf po ose y „souhlasně“ – pro c > 0
nahoru (ve směru kladných hodnot), pro c < 0 dolů (ve směru záporných hodnot),
β) k argumentu f ( x) → f ( x + c) : posouvá graf po ose x „nesouhlasně“ – pro c < 0
doprava (ve směru kladných hodnot), pro c > 0 doleva (ve směru záporných hodnot),
d) násobení nenulovou konstantou (prodlužování, resp. zkracování grafu)
α) funkce f ( x) → c ⋅ f ( x) , c > 0 : po ose y „souhlasně“ – pro c > 1
prodlužuje, pro c < 1 zkracuje,
β) argumentu f ( x) → f (c ⋅ x) , c > 0 : po ose x „nesouhlasně“ – pro c > 1
zkracuje, pro c < 1 prodlužuje.
110
Příklady 1 – 6: V těchto příkladech je silnější křivkou sestrojen „základní“ graf, slabšími pak
grafy vzniklé aplikací pravidel připojených u příslušného funkčního předpisu
(inv zde značí použití grafu inverzní funkce).
Příklad 7: Sestrojme graf funkce y = x 2 − 2 x − 3 .
Řešení: „Základní“ křivkou bude parabola. Abychom mohli uplatnit výše uvedená pravidla,
doplníme funkční předpis na čtverec:
y = x2 − 2 x − 3
y = x2 − 2 x + 1 − 4
y = ( x − 1) 2 − 4
Nyní je zřejmé, že graf sestrojíme pomocí paraboly y = x 2 aplikací pravidel c) α);
c) β).
111
Poznámka: Dosadíme-li do zadaného
funkčního předpisu y = 0 , dostaneme
rovnici x 2 − 2 x − 3 = 0 . Jestliže ji vyřešíme,
určíme body, ve kterých graf protíná osu x :
2 ± 4 + 12
⇒ x1 = −1; x2 = 3 .
2
Tento výsledek skutečně odpovídá grafu
sestrojeného vpravo nahoře.
x1,2 =
Příklad 8: Sestrojme graf funkce y =
Řešení: Graf funkce y =
1
2x
1
sestrojíme
2x
1
. Můžeme použít pravidlo
x
1
1
=
: argument je
d) β) tj. y =
2 x (2 x)
násoben dvojkou a až poté použijeme
funkci „jedna lomeno…“ ⇒ graf se dvakrát
zkrátí ve směru osy x . Je ovšem možné
1 1 1
použít i pravidlo d) α) – y =
= ⋅ :
2x 2 x
nejdříve
použijeme
funkci
„jedna
lomeno…“, poté následuje násobení
polovinou ⇒ graf se dvakrát zkrátí ve
směru osy y . Výsledek je v obou případech
stejný.
z grafu y =
112
x
1
Příklad 9: Sestrojme grafy funkcí y = 2 ; y =   ; y = 2 ⋅ 2 x ; y = 2 x +1 .
2
−x
Řešení: Graf funkce y = 2 je souměrný s grafem funkce y = 2 x podle osy y – pravidlo a)
−x
x
1
β). Funkce y =   je rovna funkci y = 2− x , neboť jsou obě definovány pro každé x ∈
2
x
1
je   = 2− x . Graf funkce y = 2 ⋅ 2 x vznikne dvojnásobným protažením
2
x
grafu y = 2 ve směru osy y – viz pravidlo d) α); graf y = 2 x +1 posunutím grafu y = 2 x po
ose x doleva – viz pravidlo c) β). Také funkce y = 2 ⋅ 2 x ; y = 2 x +1 jsou si rovny.
a pro každé x ∈
1
.
2x − 4
Řešení: V konstrukci podobných grafů se
studenti dopouštějí velmi často následující
chyby: „Základním“ předpisem bude zřejmě
nepřímá úměrnost. Sestrojíme graf funkce
1
y = a dvojnásobným zkrácením ve směru
x
osy x – pravidlo d) β) (viz. př. 8) . Následuje
posunutí grafu ve směru osy x o čtyři
jednotky doprava – pravidlo c) β). Výsledný
graf vidíme na obrázku vpravo. Tento graf je
však chybný, jak se snadno přesvědčíme:
1
y=
x=2
není funkce
Pro
2x − 4
definována, kdežto na našem grafu funkční
hodnotu snadno najdeme: y = −0.25 . Naopak
pro x = 4 má být y = 0.25 , na nesprávném
grafu však pro x = 4 funkční hodnota chybí.
Graf je zřejmě špatně posunut ve směru osy x .
Pravidlo c) β) je totiž nutno aplikovat výhradně
na „samostatné“ x (tj. x = 1 ⋅ x ), kdežto my
jsme čtverku odčítali od 2 x . Proto je třeba před
posouváním funkční předpis upravit:
Příklad 10: Sestrojme graf funkce y =
y=
1
1
=
2 x − 4 2( x − 2)
a ve směru osy x tedy posouvat nikoli o čtyři,
ale pouze o dvě jednotky.
Příklad 11: Sestrojme graf funkce y =
4x − 7
.
2x − 4
Řešení: Funkční předpis musíme opět upravit, „základním“ předpisem bude opět nepřímá
úměrnost:
113
4x − 7
2x − 4
4x − 8 + 1
y=
2x − 4
4x − 8
1
y=
+
2x − 4 2x − 4
1
y = 2+
2x − 4
1
1 1
y=
+2= ⋅
+2
2( x − 2)
2 x−2
1
1 1
= ⋅
jsme
Graf funkce y =
2( x − 2) 2 x − 2
sestrojili v předchozím příkladu. Tento graf je
třeba nyní posunout po ose y o dvě jednotky
nahoru.
y=
Užití kvadratické funkce při řešení kvadratických nerovnic: Víme, že grafem funkce
y = ax 2 + bx + c
je parabola. Tohoto faktu lze použít při řešení nerovnic tvaru
2
ax + bx + c > 0 (popř. s jinými typy nerovností).
12. Příklad: Řešme kvadratickou nerovnici
x 2 + 11x + 24 < 0 .
Řešení: Určíme nulové body kvadratického
trojčlenu: protože
y = x 2 + 11x + 24 = ( x + 8)( x + 3) ,
jsou nulové body x1 = −3; x2 = −8 Grafem
funkce y = x 2 + 11x + 24 je parabola, která
protíná osu
x
v nulových bodech
kvadratického trojčlenu. Z hlediska našeho
řešení jsou pouze dvě možnosti, jak tato
parabola vypadá – vidíme je na připojeném
obrázku. Z těchto dvou možností vybereme
jednu dosazením libovolného nenulového
bodu. Např. pro x = 0 je
y (0) = 02 + 0 ⋅ x + 24 = 24 > 0 ,
grafem našeho trojčlenu je tedy „horní” parabola, která má záporné hodnoty v intervalu
( −8; −3) . Znamená to, že právě tento interval je řešením naší nerovnice (srovnej s kpt. 4.6. př.
4.).
5.12 Posloupnosti
Posloupností rozumíme zobrazení P : →
z množiny všech přirozených čísel do
množiny všech reálných čísel, tj. funkci, která přirozeným číslům přiřazuje čísla reálná.
1
Příklady: Zobrazení P1 : n → přiřazuje všem přirozeným číslům s výjimkou nuly jejich
n
n
přiřazuje každému přirozenému číslu kromě
převrácenou hodnotu. Zobrazení P2 : n →
n −1
114
jedničky zlomek, jehož čitatel je roven tomuto číslu a jmenovatel je o jedničku menší.
Zobrazení P3 : n → n3 přiřazuje každému přirozenému číslu jeho třetí mocninu.
Tyto posloupnosti lze zapsat jako množiny s „naznačeným výčtem prvků“, tj. např.
{
{ }
}
{
}
1 1 1
3 2 3
P1 = 1; ; ; ;.... ; P2 = 0; 2; ; ; ;.... ; P3 = {0;1;8; 27;64;....} , popř. stručně
2 3 4
2 3 4
n
; {n3 }n∈ .
n − 1 n∈ −{1}
{}
1
n
∞
;
n =1
n
.
n −1
Posloupnost racionálních čísel může být také zadána také rekurentně. Znamená to, že je
znám první její člen a dále způsob, jak se z členu předchozího získá člen následující.
Číslo, které přiřazujeme číslu n , nazýváme n -tý člen a zapisujeme např. an =
Příklad: Určeme několik prvních členů posloupnosti zadané rekurentně: a1 = 3 ;
1
∀n ∈ : an +1 =
.
2an
Řešení: Máme a1 = 3 ;
1
1
1
1
1
1
1
1
6
=
= ;…..
a2 =
=
= ; a3 =
=
= = 3 ; a4 =
1 2
2a1 2 ⋅ 3 6
2a3 2 ⋅ 3 6
2 a2
2⋅
6
1 1
Jde o posloupnost P = 3; ;3; ;... , tj. každý lichý člen je roven třem, každý sudý pak jedné
6 6
šestině.
{
}
Aritmetická posloupnost: je každá posloupnost, kterou lze určit rekurentně vztahy
a1 = a ; ∀n ∈
: n > 1 ⇒ an +1 = an + d ,
kde a, d jsou daná čísla. Číslo d se nazývá diference aritmetické posloupnosti.
Pro každé n > 2 platí: an = an +1 − d ; an = an −1 + d . Sečtením těchto rovností dostaneme
a + an +1
. Každý člen aritmetické posloupnosti počínaje druhým
2an = an −1 + an +1 , tedy an = n −1
2
je tedy aritmetickým průměrem dvou sousedních členů – odtud název aritmetická
posloupnost.
Příklady: posloupnost všech lichých přirozených čísel je aritmetická posloupnost, kde
a1 = 1 ; d = 2 . Posloupnost všech sudých přirozených čísel je aritmetická posloupnost, kde
a1 = 2 ; d = 2 . Posloupnost všech přirozených čísel dávajících po vydělení sedmi zbytek
čtyři je aritmetická poslopnost, kde a1 = 4 ; d = 7 .
Geometrická posloupnost je každá posloupnost, kterou lze určit rekurentně vztahy
a1 = a ; ∀n ∈
: n > 0 ⇒ an +1 = q ⋅ an ,
kde a, q ≠ 0 jsou daná čísla. Číslo q se nazývá kvocient geometrické posloupnosti.
115
Pro každé
n>2
platí:
dostaneme an2 = an −1 ⋅ an +1 ,
an =
an +1
;
q
tedy an =
an = q ⋅ an +1 . Vynásobením těchto rovností
an −1 ⋅ an +1 .
Absolutní
hodnota
každého
členu
geometrické posloupnosti počínaje druhým je tedy geometrickým průměrem absolutních
hodnot dvou sousedních členů – odtud název geometrická posloupnost.
Příklady: Posloupnost {2n }∞n =1 je geometrická posloupnost, kde a1 = 2 ; q = 2 . Posloupnost
1
1
{3− n }∞n =1 je geometrická posloupnost, kde a1 = ; q = .
3
3
Určeme n -tý člen aritmetické a geometrické posloupnosti:
aritmetická posloupnost: Víme, že ∀n ∈ : n > 1 ⇒ an +1 = an + d
(1)
platí tedy: a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d ) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d ) + d = a1 + 3d
atd.
Vyslovme hypotézu, že an = a1 + (n − 1)d , a dokažme ji matematickou indukcí.
Pro nejmenší n (v našem případě n = 2 ) vztah platí. Předpokládejme, že vztah platí pro
n = k , tj. ak = a1 + (k − 1)d , a dokažme, že pak platí i pro n = k + 1 , tj platí ak +1 = a1 + kd :
Je-li tedy ak = a1 + (k − 1)d , je podle (1):
ak +1 = ak + d = [a1 + (k − 1)d ] + d = a1 + kd − d + d = a1 + kd .
Víme tedy, že hypotéza platí pro n = 2 a dále pro každé k > 1 : jestliže hypotéza platí pro k ,
platí i pro k + 1 . Podle principu matematické indukce tak hypotéza platí pro každé n > 1 , tj.
pro každé n > 1 platí an = a1 + (n − 1)d . Podobně bychom ukázali, že pro n -tý člen
geometrické posloupnosti platí: an = a1 q n −1 .
1. Příklad: Na konci roku připisuje spořitelna 5% z částky na účtu. Na jakou částku vzroste
vklad 1000,– Kč po pěti letech?
Řešení: Na konci prvního roku připíše spořitelna 5% z 1000,– Kč, tj. 50,– Kč, takže po
prvním roce je na účtu 1050,– Kč. Po druhém roce připíše 5% z částky 1050,– Kč atd.
Částky na účtu tvoří geometrickou posloupnost, kde a1 = 1000 Kč ; q = 1, 05 . Částka na účtu
po pěti letech tedy bude a6 = a1 ⋅ q 5 = 1 000 ⋅1, 055 ≈ 1 276 Kč .
2. Příklad: Poločas rozpadu radia je přibližně 20 minut. Kolik nepřeměněného radia zbude ve
vzorku o hmotnosti 1 mg po dvou hodinách?
Řešení: Poločas rozpadu je doba, za kterou se rozpadne polovina atomů ve vzorku. Ve vzorku
rádia klesne počet nerozpadených atomů každých dvacet minut na polovinu. Tento děj je
popsán geometrickou posloupností, kde a1 = 1 mg ; q = 0,5 . Doba dvou hodin je šestkrát
delší, než poločas rozpadu, hledáme tedy sedmý člen: a´7 = a1 ⋅ q 7 = 0.57 ≈ 0, 008 mg .
Určeme součet prvních n členů aritmetické a geometrické posloupnosti. Pro aritmetickou
poslopnost je:
sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an −1 + an
116
a1 + an = 2 a1 + nd
sn = a1 + (a1 + d ) + ( a1 + 2d ) + ..... + [a1 + ( n − 2)d ] + [a1 + ( n − 1)d ]
a2 + an −1 = 2 a1 + nd
Je vidět, že součet prvního a posledního členu posloupnosti je roven součtu druhého
n
. Je tedy
a předposledního členu atd. Je-li celkový počet členů n , těchto součtů je
2
n
sn = ( a1 + an ) . Protože an = a1 + (n − 1)d , je možné také psát
2
n
n
n
n( n − 1)
sn = ( a1 + an ) = [ a1 + a1 + ( n − 1)d ] = [ 2a1 + (n − 1)d ] = na1 +
d
2
2
2
2
3. Příklad: První člen aritmetické posloupnosti je a´1 = 6 , součet deseti členů pak s10 = 195 .
Určeme desátý člen a10 a diferenci d .
Řešení:
10
s10 = ( a1 + a10 )
2
s10 = 5a1 + 5a10
s10 − 5a1
195 − 5 ⋅ 6
⇒ a10 =
= 33
5
5
a − a1 33 − 6
a10 = a1 + 9d ⇒ d = 10
=
=3
9
9
a10 =
4. Příklad: Spodní vrstva dvanácti vrstev srovnaných trubek obsahuje 120 kusů trubek. Kolik
trubek je celkem na hromadě, obsahuje-li každá následující vrstva o jednu trubku méně?
Řešení: Jedná se o součet dvanácti členů aritmetické posloupnosti, kde a1 = 120 ; d = −1 . Je
tedy
n( n − 1)
12 ⋅ 11
132
s12 = na1 +
d = 12 ⋅ 120 +
⋅ ( −1) = 1440 −
= 1440 − 66 = 1374
2
2
2
Pro součet n členů geometrické posloupnosti máme:
sn = a1 + a2 + a3 + ..... + an −1 + an
sn = a1 + a1q + a1q 2 + ..... + a1q n −2 + a1q n −1
sn = a1 (1 + q + q 2 + ..... + q n −2 + q n −1 )
sn = a1 (1 + q + q 2 + ..... + q n −2 + q n −1 ) ⋅
1− q
1− q
(1 + q + q 2 + ..... + q n −2 + q n −1 )(1 − q)
.
1− q
Roznásobením se můžeme přesvědčit o tom, že výraz v čitateli posledního zlomku je roven
1 − qn
n
1 − q , je tedy sn = a1 ⋅
.
1− q
8
5. Příklad: Určeme první člen a kvocient geometrické posloupnosti, jestliže a4 = − ;
3
32
a6 = − .
3
sn = a1
117
Řešení: Protože a6 = q 2 a4 , je
q=
a6
=
a4
32
8
−
a
3 = 4 = 2 ; a = a q3 ⇒ a = 4 = 3 = − 1 .
4
1
1
8
q3
23
3
−
3
−
6. Příklad: Na konci roku připisuje spořitelna 5% z částky na účtu, na který pravidelně ročně
ukládáme 1000,– Kč. Jaká částka bude na účtu po uplynutí pátého roku?
Řešení: K tisícikoruně vložené v roce výběru připíše spořitelna 5%, tj. 50,– Kč. Z této
tisícikoruny tedy dostaneme 1000 ⋅1, 05 Kč. Z tisícikoruny vložené rok předtím obdržíme
1000 ⋅1, 052 atd. Částky získané z vkladů v jednotlivých letech tedy tvoří geometrickou
posloupnost, kde a1 = 1 000 ⋅ q = 1000 ⋅1, 05 = 1 050 ; q = 1, 05 . Celkovou částku dostaneme
jako součet pěti členů této posloupnosti, tj.
1 − q5
1 − 1, 055
s5 = a1
= 1 050 ⋅
≈ 5 802 Kč.
1− q
1 − 1, 05
Neřešené úlohy:
1) Určete a1 ; n v aritmetické posloupnosti, jestliže an = 80 ; d = 8 ; sn = 416 .
70
28
; a1 − a2 + a3 =
.
2) Určete a1 ; q v geometrické posloupnosti, je-li a1 + a4 =
9
9
3) Určete teplotu v dole 1 015 m pod povrchem, víte-li, že v hloubce 25 m je teplota 9ºC
a každých 33 m teplota stoupne o 1ºC.
4) Po průchodu skleněnou deskou ztrácí světelný paprsek pětinu své energie. Kolik procent
původní energie mu zůstane po průchodu pěti takovými deskami?
5) Předpokládejme, že již ve středověku existovala banka, která přijímala současnou měnu
a která funguje dodnes. Při založení Karlovy univerzity v r. 1348 jí její zakladatel Karel IV.
věnoval 1,--Kč, kterou uložil na tříprocentní úrok. Jakou částku by univerzita inkasovala
v r. 2 000?
6) Podle staroperské legendy si vynálezce šachové hry řekl o odměnu ve formě pšeničných
zrn, a to tak, že za první políčko šachovnice chtěl jedno zrnko, za druhé dvě, za každé
následující pak vždy dvojnásobek. Tehdejší perský král Balhir udiven jeho skromností
přikázal zrna spočítat a pytlík pšenice přinést. Kolik zrn by musel tento „pytlík“ obsahovat?
Výsledky:
1) a1 = −16 ; n = 13 2) a1 =
16
3
;q =
3) 39ºC 4) asi 33% 5) 1.032000−1348 = 23 435 2995 Kč
9
2
1 − 264
=18 446 744 073 709 551 615 zrn (několik desítek plně naložených
1− 2
nákladních vlaků pšenice)
6)
s64 = 1 ⋅
118