HISTORIE ROVNIC Historie matematiky nám poskytuje velké

HISTORIE ROVNIC
Historie matematiky nám poskytuje velké množstvı́ zajı́mavých úloh, které dnes řešı́me pomocı́ rovnic.
Tento text chápejme hlavně jako sbı́rku takovýchto úloh, které můžeme využı́t při výuce matematiky na
základnı́ nebo střednı́ škole k motivaci žáků, k oživenı́ výuky nebo prostě k procvičenı́ učiva o rovnicı́ch. V
textu se omezı́me na úlohy vedoucı́ na lineárnı́ a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Nejsou zde zařazeny
úlohy na diofantovské rovnice, ty jsou sice zajı́mavé, ale nejsou běžnou součástı́ výuky matematiky ani na
střednı́ch školách. Musı́me si uvědomit, že v minulosti byly úlohy o rovnicı́ch řešeny často úplně jinými
postupy než dnes, někde tyto postupy naznačı́me. Dále si musı́me uvědomit, že se v minulosti bud’ užı́vala
zcela jiná matematická symbolika, obvykle těžkopádnějšı́ než dnes, nebo se kromě symbolů pro čı́sla neužı́vala
žádná symbolika, takže se veškeré úvahy při řešenı́ rovnic často zapisovaly slovně.
1. ROVNICE VE STAROEGYPTSKÉ MATEMATICE
Nejdůležitějšı́m zdrojem našich poznatků o matematice ve starém Egyptě jsou dva dochované čistě
matematické papyry. Prvnı́m z nich je Rhindův papyrus, někdy se také nazývá Londýnský nebo Ahmosův
papyrus. Je to sbı́rka 87 úloh s návody a řešenı́mi, dochovaný opis tohoto papyru pocházı́ zřejmě z 16. stoletı́
př. n. l. Druhým z nich je Moskevský papyrus, který obsahuje 25 úloh a pocházı́ patrně ze 17. stoletı́ př. n. l.
V těchto dvou papyrech se objevujı́ úlohy, které můžeme řešit lineárnı́mi rovnicemi. Jsou to většinou úlohy
požadujı́cı́ určit neznámé množstvı́, které splňuje nějaké dané podmı́nky. Řešenı́ těchto úloh lze považovat
za počátky algebry. V papyrech jsou obvykle řešeny metodou chybného předpokladu nebo přı́mým dělenı́m.
V Rhindově papyru nalézáme napřı́klad úlohu:
Hromada a jejı́ čtvrtina dávajı́ dohromady 15.
V našı́ symbolice můžeme tuto úlohu zapsat jednoduchou lineárnı́ rovnicı́
1
x + x = 15.
4
V papyru je úloha řešena metodou chybného předpokladu. Řešitel nejprve předpokládá, že hledané množstvı́
je rovno čtyřem, protože jednu čtvrtinu ze čtyř vypočı́tá snadno. Dosazenı́m čı́sla 4 za x do levé strany rovnice
dostane čı́slo 5, na pravé straně rovnice je ovšem čı́slo 15, to je čı́slo třikrát většı́ než 5. Tudı́ž musı́ chybný
předpoklad 4 násobit třemi. Potom zı́ská x = 12.
Rhindův papyrus obsahuje dalšı́ tři podobné úlohy, které můžeme zapsat lineárnı́mi rovnicemi:
x + 17 x = 19, kde x = 16 21 18 ,
x + 21 x = 16, kde x = 10 32 ,
x + 15 x = 21, kde x = 17 21 .
Metodou přı́mého dělenı́ je v Rhindově papyru řešena úloha, kterou můžeme zapsat rovnicı́
2
1
( + ) · x = 10.
3 10
1
1
a dostane x = 13 23
. Stejnou metodou jsou řešeny
Zde řešitel výsledek zı́ská tak, že čı́slo 10 dělı́ čı́slem 23 + 10
také dalšı́ úlohy Rhindova papyru, které bychom my zapsali rovnicemi:
1
x + ( 23 +
1
1
1 1 1 1 1 1 1
2 + 7 ) · x = 33, kde x = 14 4 56 97 194 388 679 776 ,
1 1 1
x + ( 31 + 14 ) · x = 2, kde x = 1 16 12
114 228 ,
1 1 1
x + ( 23 + 12 + 17 ) · x = 37, kde x = 16 56
679 776 ,
1
x + ( 21 + 14 ) · x = 10, kde x = 5 21 17 14
,
1
3x + 31 x = 1, kde x = 51 10
,
1 1 1
3x + ( 31 + 15 ) · x = 1, kde x = 14 53
106 212 ,
1
,
3x + ( 31 + 13 · 13 + 91 ) · x = 1, kde x = 41 32
1
1 1 1 1
3x + 7 x = 1, kde x = 6 11 22 66 .
V Rhindově papyru se vyskytuje také jedna obtı́žnějšı́ úloha, která vede na rovnici
1
2
2
(x + x) − · (x + x) = 10.
3
3
3
I když je papyrus na tomto mı́stě poškozený, zdá se, že počtář upravil levou stranu rovnice a zı́skal
odkud x = 9.
10
9 ·x
= 10,
Dalšı́ papyry obsahujı́ ještě několik podobných úloh vedoucı́ch na jednoduché lineárnı́ rovnice.
V dochovaných papyrech se nikde neobjevujı́ úlohy, které by vedly na úplnou kvadratickou rovnici. Pouze
se v nich objevujı́ dvě úlohy vedoucı́ na ryze kvadratickou rovnici. Jsou to úlohy, které bychom dnes zapsali
takto:
x2 + y 2 = 100, y = ( 21 + 14 ) · x, kde x = 8, y = 6,
10x · ( 21 + 14 ) · x = 120, kde x = 4.
2. ROVNICE VE STARÉ MEZOPOTÁMII
Již v 18. stoletı́ př. n. l. se v Mezopotámii řešily úlohy, které dnes řešı́me pomocı́ lineárnı́ch rovnic a
jejich soustav. V té době téměř úplně chyběla matematická symbolika a mı́sto algebraické terminologie se
většinou použı́vala geometrická terminologie, protože původ většiny úloh je geometrický. Neznámé veličiny
byly označovány jako délka, šı́řka, výška nebo hloubka, součin dvou neznámých jako plocha, obsah nebo
čtverec délky nebo čtverec šı́řky, součin třı́ neznámých byl obvykle označován jako objem. I přes geometrický
původ úloh nenı́ dodržován princip homogenity a v úlohách se často sčı́tajı́ délky, šı́řky, obsahy, objemy
a bezrozměrné konstanty. Algoritmus řešenı́ nelze u řady úloh určit, protože tabulky obsahujı́ jen zadánı́
a někdy výsledek. Úlohy byly patrně řešeny postupnou eliminacı́ neznámých, substitucı́ nebo metodou
chybného předpokladu.
V Mezopotámii se užı́vala k zápisu čı́sel šedesátková pozičnı́ soustava. Dnešnı́ záznam mezopotámských
čı́sel v této soustavě užı́vá konvence, kdy jsou jednotlivé řády od sebe odděleny čárkou a celá část čı́sla je
od šedesátinných zlomků oddělena střednı́kem. Napřı́klad zápis (1, 2, 3; 4, 5) označuje čı́slo 1 · 602 + 2 · 60 +
4
+ 6052 .
3 + 60
2
Jedna z klı́nopisných tabulek obsahuje úlohu:
Nalezl jsem kámen, ale neznám jeho hmotnost. Poté, co jsem přidal
mina. Jaká byla původnı́ hmotnost kamene? (viz [2], str. 258)
1
7
a ještě
1
11
toho všeho, je to (1)
Vezmeme-li v úvahu, že 1 mina se rovnala 60 gin, pak můžeme úlohu v našı́ symbolice zapsat rovnicı́
1
1
1
· (x + x) = 60.
(x + x) +
7
11
7
Řešenı́m je x = 48 81 = (48; 7, 30) gin.
Stejná tabulka obsahuje dalšı́ úlohy, které můžeme vyjádřit v dnešnı́ symbolice rovnicemi:
1
13
1
(x − 71 x) + 11
(6x + 2) + 31 ·
(8x + 3) + 13 ·
(x − 71 x) −
· (x − 17 x) = 60, kde x = 75 56 ,
· (x − 17 x) −
1
13
· [(x − 17 x) +
1
11
· (x − 71 x)] = 60, kde x = 69 37
72 ,
1
1
7 · 24 · (6x + 2) = 60, kde x = 4 3 ,
1
1
13 · 21 · (8x + 3) = 60, kde x = 4 2 .
Na soustavu lineárnı́ch rovnic vede napřı́klad úloha, kterou lze formulovat takto: Máme dvě pole. Z plošné
jednotky bur prvnı́ho pole se sklidı́ 4 gur obilı́, z plošné jednotky bur druhého pole se sklidı́ 3 gur obilı́. Sklizeň
z prvnı́ho pole převyšuje sklizeň z druhého pole o (8, 20) = 500 sı́la. Součet ploch obou polı́ je (30, 0) = 1800
sar. Jaké jsou výměry obou polı́? Platı́ 1 bur = 1800 sar a 1 gur = 300 sı́la. Označı́me-li výměry polı́ x, y,
pak můžeme tuto úlohu vyjádřit soustavou lineárnı́ch rovnic
2
1
x − y = 500,
3
2
x + y = 1800.
Výměry polı́ jsou 1200 a 600 sar. V klı́nopisné tabulce je úloha řešena metodou chybného předpokladu, kdy
se uvažuje stejná výměra obou polı́, tj. 900 sar.
Obdobná je úloha:
Součet výměr dvou polı́ dává 30 čtverečných jednotek. Z nich sklidili (18, 20) měřic zrna. Určete výměru
pole, když vı́te, že ze 30 čtverečných jednotek prvnı́ho pole sklı́zejı́ (20, 0) měřic zrna a ze 30 čtverečných
jednotek druhého pole sklı́zejı́ (15, 0) měřic zrna. (viz [5], str. 28)
Označı́me-li výměry polı́ x, y, pak můžeme tuto úlohu vyjádřit soustavou lineárnı́ch rovnic
40x + 30y = 1100,
x + y = 30.
Výměry polı́ jsou 20 a 10 čtverečných jednotek.
V matematice staré Mezopotámie se objevujı́ také úlohy vedoucı́ na úplné kvadratické rovnice nebo častěji
na soustavu lineárnı́ a kvadratické rovnice. Mezopotámštı́ matematici se nedopracovali k obecnému řešenı́
kvadratické rovnice ax2 + bx + c = 0, a 6= 0, které by odpovı́dalo dnes všeobecně užı́vanému vzorci. To bylo
dáno tı́m, že kořenem rovnice mohla být jen kladná čı́sla. Z tohoto omezenı́ vyplynulo, že rozpracovali řešenı́
jen některých typů kvadratických rovnic, kde byla zaručena existence kladného kořene. Rovněž nedospěli
k poznatku, že kvadratická rovnice může mı́t dva kořeny.
3
Řešili následujı́cı́ typy kvadratických rovnic:
x2 + q = px,
x2 = px + q,
x2 + px = q,
ax2 + bx = c,
kde p, q, a, b, c > 0.
Kromě toho řešili také úlohy, které vedou na některé speciálnı́ přı́pady rovnic třetı́ho a čtvrtého stupně.
3. ROVNICE V MATEMATICE STARÉHO ŘECKA
Po objevu nesouměřitelnosti a vzhledem ke geometrickému charakteru řecké matematiky se rovnice řešily
geometricky pomocı́ tzv. řecké geometrické algebry. Tı́mto způsobem Řekové řešili rovnice následujı́cı́ch typů:
ax = b2 ,
ax = bc,
x2 = ab,
ax − x2 = b2 , b <
a
,
2
ax + x2 = b2 ,
x2 − ax = b2 ,
kde vždy a, b, c > 0. Nebudeme řecké metody jejich řešenı́ nynı́ rozebı́rat.
Důležitým řeckým přı́spěvkem k řešenı́ rovnic je spis Aritmetika, jehož autorem je významný řecký
matematik Diofantos. Tento spis pocházı́ ze 3. stoletı́ n. l. Diofantos v tomto spise poprvé v historii zavádı́
algebraickou symboliku. Předevšı́m zavádı́ poprvé v historii matematiky symbol pro neznámou, který měl
přibližně podobu S 0 . Dále zavedl speciálnı́ symboly pro mocniny neznámé až do šesté mocniny a symbol pro
operaci odčı́tánı́. Také zde formuloval následujı́cı́ pravidla pro řešenı́ rovnic:
1) stejné odečı́st od stejného tak, aby na každé straně rovnice zůstal jen jeden člen jistého stupně,
2) přičı́st záporné členy k oběma stranám rovnice tak, aby na obou stranách rovnice zůstaly jen kladné
členy.
Z určitých rovnic se zabýval hlavně řešenı́m lineárnı́ch a kvadratických rovnic a jejich soustav. Velkou
část svého spisu věnoval řešenı́ neurčitých rovnic, které se také po něm nazývajı́ diofantovské rovnice.
Metrodoros
Metrodoros žil patrně ve 4. stol. n. l. (některé prameny kladou jeho život do 6. stoletı́). Je označován
za autora sbı́rky epigramů Anthologia Palatina, která obsahovala 46 matematických úloh, které vedou na
lineárnı́ rovnice nebo jejich soustavy. Uvedeme některé z těchto úloh.
4
Pythagore vznešený, helikónských múz potomku, na mou odpověz otázku, kolik věrných žáků máš ve svém
domě, kde jako borci na závodišti usilujı́ o prvenstvı́?
Rád povı́m Polykrate. Vidı́š, že polovina žáků pěstuje matematiku, a zatı́m čtvrtina na věčnou přı́rodu své
zkoumánı́ obracı́. Sedmina nedělá nic, jen mlčenı́ zachovává, jen své duše očišt’uje, vı́š, opakovánı́m učiva.
A přidej k nim tři ženy, které nevstávajı́ tak brzy, mezi nimi nejvýznamnějšı́ je má milovaná Teano.
Hle, a to jsou všichni, které vedu cestou moudrosti a snad i múz pierijských jim zjednám lásku božı́. (viz
[5], str. 75)
Označı́me x počet žáků. Úloha vede na rovnici
1
1
1
x + x + x + 3 = x,
2
4
7
ze které dostaneme, že žáků bylo 28.
Když Kyprida spatřila, že Erós pláče, zeptala se ho:
Co tě tak roztesknilo, mohu to vědět?
Šel jsem z Helikónu a nesl jsem mnoho jablek, řı́ká Erós, ale potom mne náhle přepadly Múzy a zmocnily
se sladké nůše. Dvanáctinu v mžiku popadla Euterpé, Kleió si oddělila pětinu, Thaleia osminu. Dvacátý
dı́l pro sebe zabrala Malpomené a čtvrtinu Terpsichoré. Sedminu uchvátila a jak přelud zmizela Erató.
Třicet plodů si vzala Polymnia. Sto dvacet se jich dostalo Uránii a tři sta Kalliopé. A tak se vracı́m domů
s prázdnýma rukama, zbylo mi jen půl stovky jablek. (viz [5], str. 76)
Označme x počet jablek. Úloha vede na rovnici
1
1
1
1
1
1
x + x + x + x + x + x + 30 + 120 + 300 = x − 50,
12
5
8
20
4
7
z nı́ž dostaneme, že Erós měl původně 3360 jablek.
Ukovej mi korunu a smı́chej dohromady zlato s mědı́, vezmi k tomu také ještě cı́n a namáhavě připravené
železo. At’ to vážı́ šedesát min. Zlato a měd’ at’ vážı́ dvě třetiny celku, zlata s cı́nem at’ jsou naopak tři čtvrtiny,
ale zlato a železo dohromady at’ vážı́ tři pětiny. Nuže nynı́ mi přesně řekni, kolik zlata musı́š vzı́t a mědi,
abys dosáhl oné směsi, jakou váhu cı́nu a jakou konečně železa, abys ukoval korunu přesně ze šedesáti min.
(viz [6], str. 46)
Označme a, b, c, d po řadě hmotnosti zlata, mědi, cı́nu a železa. Úloha vede k soustavě rovnic
a + b + c + d = 60
a + b = 40
a + c = 45
a + d = 36
ze které dostaneme, že k ukovánı́ koruny se použilo 30,5 miny zlata, 9,5 miny mědi, 14,5 miny cı́nu a 5,5
miny železa.
Vezmi si pětinu dědictvı́, můj synu, ale tobě, ó manželko, bude dvanáctina podı́lem. Pak synové zemřelého
dı́těte, čtyři do počtu, oba bratři, matka, každý at’ si z mých peněz odebere jedenáctinu. Dvanáct talentů majı́
milı́ bratranci obdržet a drahý přı́tel Eubolos at’ si vezme pět. Svobodu a náhradu at’ obdržı́ věrné služebnictvo,
mzdu za vykonané služby; dávám jim toto: pět a dvacet min at’ dědı́ Onesimos, ty, můj Daosi, můžeš se potěšit
z dvaceti, padesát at’ obdržı́ Syros, deset Synete, Tibios osm, Synetos, syn Syrosův, bude mı́t sedm jako podı́l.
5
Třicet talentů pak vezměte na ozdobenı́ hrobu a tı́m obětujte bohu podsvětı́; dva at’ jsou na hranici, jı́dlo
a plátno, a dva at’ jsou na ozdobenı́ těla. (1 talent = 60 min) (viz [6], str. 50)
Označme x hodnotu celého dědictvı́ v talentech. Úloha vede na rovnici
1
1
1
1
x + x + 7 · x + 12 + 5 +
· (25 + 20 + 50 + 10 + 8 + 7) + 30 + 2 + 2 = x,
5
12
11
60
ze které dostaneme, že celé dědictvı́ obnášelo 660 talentů.
Těžce naložena vı́nem šla oslice s mezkem. A oslice sténala velice silně pod tı́žı́ nákladu. Jejı́ společnı́k
to viděl a řekl vzdychajı́cı́mu zvı́řeti: Matko, pročpak nařı́káš jako plačı́cı́ holčička? Kdybys mi dala jednu
libru, nesl bych dvakrát tolik, jako ty neseš; když mi jednu vezmeš, poneseme oba stejně. Vypočı́tej mi, ó
matematiku, kolik každý nesl. (viz [6], str. 58)
Označme x počet liber, které nesl mezek a y počet liber, které nesla oslice. Úloha vede k soustavě rovnic
2(y − 1) = x + 1
x − 1 = y + 1,
z nı́ž dostaneme, že mezek nesl 7 liber a oslice 5 liber.
Jsou čtyři fontány. Prvnı́ naplnı́ nádrž za den, druhá za dva, třetı́ za tři a čtvrtá za čtyři dny. Jakpak
dlouho to trvá, jsou-li všechny otevřené? (viz [6], str. 52)
Odpověd’ je
12
25
dne.
Pohled’, jak stojı́ tu bronzový Kyklop Polyfémos. Jak dovedně mu kovář zhotovil oko a ústa a ruku, ukryv
mu do nich trubky. Věru vypadá ten obr úplně jako by z něj lilo! Ještě ted’ mu proudı́ z úst pramen. Trubky
jsou takto uspořádané: nádrž se naplnı́ trubkou v ruce, když tři dny teče, jeden stačı́ oku, dvě pětiny stačı́
ústům. Kdo může řı́ci čas, který potřebujı́ ve třech? (viz [6], str. 52)
Odpověd’ je
6
23
dne.
4. ROVNICE V ČÍNSKÉ MATEMATICE
Nejstaršı́m dochovaným čı́nským matematickým pojednánı́m je spis Matematika v devı́ti knihách, který
vznikl patrně v prvnı́ch staletı́ch našeho letopočtu. Obsahuje 246 úloh a jejich řešenı́, mezi nimi jsou i úlohy
vedoucı́ na lineárnı́ a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Uved’me některé z nich.
Přı́kladem úlohy, kterou dnes řešı́me jednou lineárnı́ rovnicı́ je následujı́cı́ úloha:
Vodnı́ nádrž má pět přı́vodnı́ch struh. Jestliže otevřeme jen prvnı́ z nich, nádrž se naplnı́ za třetinu dne,
když jen druhou, naplnı́ se za den, když jen třetı́ - za dva a půl dne, když jen čtvrtou - za tři dny, když jen
pátou - za pět dnı́. Za kolik dnı́ se nádrž naplnı́, když otevřeme všechny přı́vodnı́ strouhy? (viz [5], str. 93-94)
Označı́me-li x hledaný časový úsek, pak tato úloha vede k řešenı́ rovnice (3 + 1 +
jejı́mž kořenem je x = 15
74 .
2
5
+
1
3
+ 15 ) · x = 1,
Dále uved’me tři úlohy, které dnes řešı́me soustavou dvou lineárnı́ch rovnic o dvou neznámých. Ve spise
Matematika v devı́ti knihách jsou řešeny metodou dvou falešných předpokladů.
6
Několik lidı́ společně kupuje berana. Když každý přispěje pěti penı́zi, bude chybět 45 penı́zů do ceny
berana. Když každý přispěje sedmi penı́zi, budou chybět tři penı́ze. Kolik je lidı́ a jakou cenu má beran? (viz
[5], str. 93)
Označı́me-li x počet lidı́ a y cenu berana, pak úloha vede k řešenı́ soustavy
5x + 45 = y
7x + 3 = y,
z nı́ž dostaneme, že lidı́ bylo 21 a beran stál 150 penı́zů.
Určete počet kupujı́cı́ch a cenu kupovaného předmětu. Jestliže každý kupujı́cı́ zaplatı́ 9 penı́zů, bude
přebývat 11 penı́zů, jestliže každý zaplatı́ 6 penı́zů, pak se nedostane 16 penı́zů. (viz [3], str. 34)
Označı́me-li x počet lidı́ a y cenu předmětu, pak úloha vede k řešenı́ soustavy
9x − 11 = y
6x + 16 = y,
z nı́ž dostaneme, že lidı́ bylo 9 a předmět stál 70 penı́zů.
Váha devı́ti zlatých prutů se rovná váze jedenácti střı́brných prutů. Při záměně zlatého a střı́brného prutu
bude zlato lehčı́ o 13 lang. Určete váhu zlatého a střı́brného prutu. (viz [3], str. 38-39)
Označme x váhu zlatého prutu a y váhu střı́brného prutu, pak úloha vede k řešenı́ soustavy
9x = 11y
8x + y + 13 = 10y + x,
odkud x = 35 34 , y = 29 41 .
Ve spise Matematika v devı́ti knihách se objevujı́ také úlohy vedoucı́ k řešenı́ soustav lineárnı́ch rovnic
o třech až pěti neznámých. Velice zajı́mavá je skutečnost, že takové úlohy jsou v tomto spise řešeny pomocı́
matic. Uvedeme na ukázku tři z těchto úloh.
Ze třı́ snopů dobré úrody, dvou snopů průměrné úrody a jednoho snopu špatné úrody zı́skali 39 měr zrna.
Ze dvou snopů dobré úrody, třı́ snopů průměrné úrody a jednoho snopu špatné úrody dostali 34 měr zrna. Z
jednoho snopu dobré úrody, dvou snopů průměrné úrody a třı́ snopů špatné úrody zı́skali 26 měr zrna. Kolik
měr zrna dostali z každého snopu dobré, průměrné a špatné úrody? (viz [3], str. 41)
Označme x, y, z po řadě hledané veličiny, pak dostaneme soustavu rovnic
3x + 2y + z = 39
2x + 3y + z = 34
x + 2y + 3z = 26
ze které dostaneme, x = 9 14 , y = 4 14 , z = 2 43 .
7
Dvěma snopům z dobré úrody, třem snopům z průměrné úrody a čtyřem snopům ze špatné úrody se do
1 tou (měřice) nedostává v uvedeném pořadı́ 1 snop z průměrné úrody, 1 snop ze špatné úrody a 1 snop z
dobré úrody. Ptáme se kolik (zrnı́) zı́skáme z každého snopu z dobré, průměrné a špatné úrody? (viz [3], str.
45)
Úloha vede k soustavě
2x = 1 − y
3y = 1 − z
4z = 1 − x
ze které dostaneme, x =
9
25 ,
y=
7
25 ,
z=
4
25 .
Při prodeji 2 buvolů, 5 ovcı́ a koupi 13 vepřů zůstalo 1000 čchien, při prodeji 3 buvolů a 3 vepřů stačily
penı́ze přesně na koupi 9 ovcı́ a při prodeji 6 ovcı́ a 8 vepřů koupili 5 buvolů a nedostalo se 600 čchien.
Určete cenu buvola, ovce a vepře. (viz [3], str. 46)
Označme x cenu buvola, y cenu ovce, z cenu vepře, pak dostaneme soustavu rovnic
2x + 5y − 13z = 1000
3x − 9y + 3z = 0
−5x + 6y + 8z = −600
ze které dostaneme, x = 1200, y = 500, z = 300.
Ve spise Matematika v devı́ti knihách se objevujı́ také úlohy vedoucı́ na kvadratické rovnice. Většinou
majı́ původ v geometrii, v některých se použı́vá Pythagorova věta a jsou řešeny doplněnı́m na čtverec. Vždy
majı́ jediné kladné řešenı́, o existenci druhého kořene kvadratické rovnice se spis nezmiňuje. Uvedeme si dvě
z těchto úloh:
Určete strany obdélnı́ka, je-li jejich rozdı́l 6,8 a úhlopřı́čka je 10. (viz [3], str. 55)
Úloha vede k soustavě
x − y = 6, 8
p
x2 + y 2 = 10.
Strany obdélnı́ka jsou 2,8 a 9,6.
Uprostřed každé strany města čtvercového půdorysu je brána. Ve vzdálenosti 20 pu na sever od severnı́
brány stojı́ sloup. Jestliže se vzdálı́me od jižnı́ brány o 14 pu na jih a zabočı́me o 1775 pu na západ, dostaneme
se na mı́sto, z něhož sloup začı́ná být vidět. Jaká je délka strany čtverce? (viz [3], str. 57)
Je-li x délka strany čtverce, pak z podobnosti trojúhelnı́ků dostaneme rovnici
34 + x
20
= x,
1775
2
z nı́ž dostaneme kvadratickou rovnici
x2 + 34x − 71000 = 0.
Strana čtverce je 250 pu.
8
5. ROVNICE V INDICKÉ MATEMATICE
Několik zajı́mavých úloh, které se řešı́ pomocı́ rovnic, se dochovalo v dı́lech indického matematika, který
se jmenoval Bháskara II. (1114 - 1178). Uvedeme některé z nich.
Ze svazku čistých lotosů byly jedna třetina, pětina, resp. šestina postupně obětovány bohům Šivovi,
Višnovi či Šúrjovi a čtvrtina byla obětována Bhavanimu. Zbývajı́cı́ch šest bylo darováno vysoce váženému
hodnostáři. Rychle mi řekni, kolik bylo lotosů? (viz [3], str. 125)
Označı́me počet lotosů x, pak danou úlohu můžeme řešit rovnicı́
x x x x
+ + + + 6 = x,
3
5
6
4
odkud dostaneme x = 120. Bháskara tuto úlohu řešı́ metodou falešného předpokladu, kdy za počet lotosů
volı́ čı́slo 60, což je nejmenšı́ společný násobek jmenovatelů 3, 4, 5, 6. Po dosazenı́ tohoto čı́sla do zadánı́
zbývajı́ tři lotosy a ne 6, jak je požadováno v textu úlohy, proto je řešenı́m čı́slo 63 · 60 = 120.
V dalšı́ úloze se má určit majetek třı́ lidı́, jestliže součet majetků prvnı́ho a druhého je 13, druhého a
třetı́ho 14, prvnı́ho a třetı́ho 15. (viz [3], str. 125)
Označme x, y, z po řadě majetky třı́ osob, pak úlohu můžeme řešit soustavou rovnic
x + y = 13
y + z = 14
x + z = 15
ze které dostaneme, x = 7, y = 6, z = 8.
Jinde se má určit majetek dvou osob, jestliže vı́me, že kdyby prvnı́ osoba dostala od druhé 100, byla by
dvakrát bohatšı́ než druhá, a jestliže by druhá dostala od prvnı́ 10, byla by šestkrát bohatšı́ než prvnı́. (viz
[3], str. 135)
Úloha vede k soustavě
x + 100 = 2(y − 100)
y + 10 = 6(x − 10),
odkud x = 40, y = 170.
Stádo opic bavı́cı́ch se v háji se rozdělilo na dvě části. Čtverec osminy jejich počtu se bavil skákánı́m ve
větvı́ch. Dvanáct opic vı́talo radostným křikem tichý rozbřesk dne. Kolik opic je celkem? (viz [3], str. 141)
Označı́me-li x počet opic, vede úloha k rovnici
x
( )2 + 12 = x,
8
odkud dostaneme dvě hodnoty x, a to 48 a 16, obě vyhovujı́ zadánı́.
Jedna pětina stáda opic bez třı́ opic umocněná na druhou se schovává v jeskyni a je vidět jednu zbylou
opici, která vylezla na strom. (viz [3], str. 141-142)
Úloha vede k rovnici
(
x
− 3)2 + 1 = x.
5
9
která má dva kořeny, a to 50 a 5, ale Bháskara uvažuje jen kořen 50, protože pro x = 5 je čı́slo
záporné, což podle něj nevyhovuje zadánı́.
x
5
−3
Dalšı́ úlohy o rovnicı́ch se objevujı́ ve spisech indického matematika, jehož jméno bylo Mahávı́ra a který
žil v 9. stoletı́ n. l.
1
hejna se nacházı́ na mangovnı́kovém stromě, dvojmoc
Určete počet pávů, vı́me-li, že dvojmoc 16
sedı́ ještě se 14 pávy na tamalovém stromě. (viz [3], str. 140)
1
9
zbytku
Úloha vede k rovnici
1 2
1 15
x) + ( · x)2 + 14 = x,
16
9 16
která má dva kořeny. Zadánı́ úlohy vyhovuje jen prvnı́ z nich, to je x = 48. Druhý kořen nenı́ celočı́selný.
(
Během souboje kohoutů se jeden z diváků dohodl s jejich majiteli. Prvnı́mu řekl: ”Když zvı́tězı́ tvůj kohout,
dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatı́m ti dvě třetiny možné výhry.” Druhému soupeři řekl: ”Když zvı́tězı́
tvůj kohout, dáš mi svou výhru, když prohraješ, zaplatı́m ti tři čtvrtiny možné výhry.” V obou přı́padech zı́ská
divák 12 penı́zů. Jakou výhru hohl zı́skat každý majitel kohouta? (viz [5], str. 84)
Označme x, y výhry obou majitelů kohoutů, pak dostaneme soustavu
3
x − y = 12
4
2
y − x = 12
3
odkud x = 42, y = 40.
Plody granátových jablek, manga a obyčejných jablek se prodávajı́ po řadě: 3 kusy za 2 penı́ze, 5 kusů za
3 penı́ze, 7 kusů za 5 penı́zů. Jak lze za 76 penı́zů koupit takový počet plodů, že je v něm třikrát vı́ce plodů
manga než obyčejných jablek a šestkrát vı́ce granátových jablek než obyčejných jablek? (viz [5], str. 84)
Počty plodů granátových jablek, manga a obyčejných jablek označme po řadě x, y, z a sestavı́me soustavu
rovnic
2
3
5
x + y + z = 76, y = 3z, x = 6z.
3
5
7
Hledané počty jsou 70 granátových jablek, 35 kusů manga a 11 23 obyčejných jablek. Zde nás jistě zarazı́
necelý počet kusů obyčejných jablek.
6. ROVNICE VE STŘEDOVĚKÉ EVROPĚ
V 7. stoletı́ žil arménský matematik Anania Širakaci. V jeho spisech se objevujı́ i následujı́cı́ úlohy, které
se řešı́ rovnicemi.
Jeden kupec projel třemi městy. V prvnı́m městě utratil polovinu a třetinu majetku, ve druhém polovinu
a třetinu toho, co mu zbylo, ve třetı́m polovinu a třetinu toho, co ještě měl. Když se vrátil domů, zbývalo
mu 11 grošů. Kolik grošů celkem měl na počátku? (viz [5], str. 195)
10
Označı́me x počet grošů, které měl kupec na počátku, pak v prvnı́m městě utratil celkem ( 12 + 31 )x = 56 x
5
5
1
x a zbylo mu x − 56 x − 36
x = 36
x. Ve
a zbylo mu x6 . Ve druhém městě utratil ( 12 + 31 ) · 16 x = 56 · 16 x = 36
5
1
5
třetı́m městě utratil 6 · 36 x = 216 x. Dostaneme pak rovnici
5
5
5
x+ x+
x + 11 = x,
6
36
216
odkud x = 2376.
V Aténách byl vodojem s třemi rourami. Prvnı́ mohla naplnit vodojem za hodinu, druhá za dvě hodiny,
třetı́ za tři hodiny. Za jakou část hodiny mohly naplnit vodojem všechny tři roury společně? (viz [5], str. 196)
Všechny tři roury naplnı́ vodojem za
6
11
hodiny.
Dále uvedeme několik úloh ze sbı́rky Úlohy k bystřenı́ mladı́ků. Tato sbı́rka pravděpodobně vznikla na
dvoře Karla Velikého, který panoval v letech 768 - 814. Za autora sbı́rky je považován anglosaský mnich
Alkuin z Yorku (asi 735 - 804). Tato sbı́rka obsahuje také všeobecně známou úlohu o převoznı́kovi, který
má přes řeku přepravit vlka, kozu a zelı́. My z této sbı́rky uvedeme úlohy, které vedou na lineárnı́ rovnici
o jedné neznámé.
Nějaký muž procházejı́cı́ se po cestě viděl jiné lidi jdoucı́ proti němu a řekl jim: Chtěl jsem, aby vás bylo
bývalo ještě jednou tolik, kolik vás je, a polovina z poloviny (onoho dvojnásobku), a opět polovina poloviny
(z poloviny onoho dvojnásobku), pak by vás bylo bývalo i se mnousto. At’ řekne, kdo chce, kolik jich bylo,
které muž viděl. (viz [6], str. 28)
Úloha vede na rovnici
2x +
1 1
1 1 1
· · 2x + · · · 2x + 1 = 100,
2 2
2 2 2
odkud x = 36.
Dva muži procházejı́cı́ po cestě viděli čápy a řı́kali si mezi sebou: Kolik jich je? Když se o jejich počtu
poradili, řekli: Kdyby jich bylo ještě jednou tolik a ještě potřetı́ tolik a polovina třetiny (onoho trojnásobku),
po přidánı́ dvou by jich bylo sto. At’ řekne, kdo může, kolik jich bylo, které pocestnı́ pozorovali. (viz [6], str.
28)
Úloha vede na rovnici
3x +
1 1
· · 3x + 2 = 100,
2 3
odkud x = 28.
Nějaký muž potkal žáky a řekl jim: ”Kolik vás je ve škole?” Jeden z nich mu odpověděl řka: ”Nechci ti
to řı́ci. Ty nás spočı́tej dvakrát, vynásob třemi, pak rozděl na čtyři části. Čtvrtina počtu, když přidáš mě
samého, naplnı́ čı́slo sto.” At’ řekne, kdo může, kolik jich bylo, které muž potkal na procházce. (viz [6], str.
29)
Úloha vede na rovnici
2x · 3 ·
1
+ 1 = 100,
4
odkud x = 66.
11
Významným matematikem evropského středověku byl Leonardo Pisánský zvaný Fibonacci. Žil na
přelomu 12. a 13. stoletı́. Mezi jeho dı́la patřı́ také spis Liber abaci (Kniha o abaku), v něm se vyskytuje velké množstvı́ úloh vedoucı́ch na lineárnı́ a kvadratické rovnice a jejich soustavy. Uvedeme z nich tři
jednoduššı́ úlohy.
Lev sežere ovci za čtyři hodiny, leopard za pět hodin a medvěd za šest hodin. Za jak dlouho ji sežerou
společně? (viz [1], str. 283)
Z rovnice ( 14 +
11
5 6)
23
· x = 1 dostaneme čas x = 1 37
hodiny.
Dá-li prvnı́ druhému denár, budou mı́t stejně. Dá-li druhý prvnı́mu denár, bude mı́t prvnı́ desetkrát tolik.
(viz [1], str. 283)
Úloha vede na soustavu rovnic
x − 1 = y + 1,
x + 1 = 10(y − 1),
odkud x = 3 49 , y = 1 49 .
Jestliže jeden člověk dostane od druhého 7 denárů, bude mı́t pětkrát vı́ce než druhý. Jestliže druhý člověk
dostane od prvnı́ho 5 denárů, bude mı́t sedmkrát vı́ce než prvnı́. Kolik majı́ nynı́? (viz [1], str. 284)
Úloha vede na soustavu rovnic
x + 7 = 5(y − 7),
7(x − 5) = y + 5,
2
odkud x = 7 17
, y = 9 14
17 .
Použitá a doporučená literatura:
[1] Bečvář, J. a kol.: Matematika ve středověké Evropě, edice Dějiny matematiky, 19. svazek, Prometheus,
Praha 2001.
[2] Bečvář, J., Bečvářová, M., Vymazalová, H.: Matematika ve starověku. Egypt a Mezopotámie, edice
Dějiny matematiky, 23. svazek, Prometheus, Praha 2003.
[3] Juškevič, A. P.: Dějiny matematiky ve středověku, Academia, Praha 1978.
[4] Kolman, A.: Dějiny matematiky ve starověku, Academia, Praha 1969.
[5] Konforovič, A. G.: Významné matematické úlohy, SPN, Praha 1989.
[6] Mačák, K.: Tři středověké sbı́rky matematických úloh, edice Dějiny matematiky, 15. svazek, Prometheus, Praha 2001.
12