Doplňkový materiál 2 - Katedra ocelových a dřevěných konstrukcí

PŘÍKLAD VÝPOČTU RÁMU PODLE ČSN EN 1993-1-1
Jakub Dolejš*), Zdeněk Sokol**)
1.Zadání
Navrhněte sloup plnostěnného dvoukloubového rámu, jehož rozměry jsou patrné z obrázku.
Horní pásnice příčle je po celé délce zajištěna proti posunutí z roviny rámu. Použijte ocel
S 355. Zatížení na obrázku představuje charakteristické hodnoty, použijte součinitel
spolehlivosti zatížení γF = 1,4.
8 kN/m'
85 kN
85 kN
7,5 kN
9,5 m
16 m
2.Výpočet vnitřních sil
Vnitřní síly budou stanoveny pomocí metody A (rámové imperfekce s „ručním“ posouzením).
2.1. Stanovení rámových imperfekcí
Imperfekce rámu se vyjádří nakloněním stojek o úhel Φ. Součinitele zohledňující počet
svislých prvků v jedné řadě (m = 2) a výšku rámu (h = 9,5 m) jsou
2
2
αh =
=
= 0,65
2 3 ≤ α h ≤ 1 , proto α h = 0,667
h
9,5


α m = 0,5 1 +
1
 1
 = 0,5 ⋅ 1 +  = 0,866 .
m
 2
*) Dr. Ing. Jakub Dolejš, ČVUT v Praze, fakulta stavební, katedra ocelových a dřevěných konstrukcí, [email protected]
**) Ing. Zdeněk Sokol, Ph.D. ČVUT v Praze, fakulta stavební, katedra ocelových a dřevěných konstrukcí, [email protected]
Úhel natočení sloupů je
1
⋅ 0 ,667 ⋅ 0 ,866 = 2 ,888 ⋅10 −3 .
200
Pro výpočet vnitřních sil se účinek natočených stojek nahradí ekvivalentní vodorovnou silou
působící v rámovém rohu, viz obrázek,
φ = φ0 α h α m =
H eq ,k = φ ∑ F = 2,888 ⋅10 −3 ⋅ (2 ⋅ 85 + 8 ⋅16) = 0,86 kN
a celková vodorovná síla působící na rám je
H k = 7,5 + 0,86 = 8,36 kN .
85
8
∑F
85
85
0,86
8
85
Φ
2.2. Předběžný návrh průřezů
Průběhy vnitřních sil na staticky neurčité konstrukci jsou závislé na poměru tuhostí
jednotlivých prutů. Navrhneme stojku z profilu HE 360 A a příčel z IPE 450.
2.3. Klasifikace rámu
Před výpočtem vnitřních sil je třeba rám klasifikovat. Pokud platí, že
α cr =
Ncr
> 10 ,
NEd
může se provést analýza podle teorie 1. řádu.
Pro výpočet αcr byl použit stabilitní výpočet softwarem SCIA Engineer 2010. Pro výše
uvedené vstupní údaje (průřezy, rozměry, zatížení včetně imperfekcí) byly vypočteny
následující hodnoty αcr odpovídající prvním čtyřem vlastním tvarům vybočení:
První vlastní tvar: αcr,1 = 5,62
Druhý vlastní tvar: αcr,2 = 40,31
Pro doplnění uveďme αcr,3 = 52,56 a αcr,4 = 127,73. Pro klasifikaci rámu je podstatný první
vlastní tvar, tedy
α cr = 5,62 < 10
a výpočet vnitřních sil je třeba provést podle teorie 2. řádu. Pokud je αcr > 3, lze pro
konstrukce pozemních staveb použít zjednodušené řešení spočívající ve výpočtu podle 1.
řádu, ale se zvětšeným vodorovným zatížením (včetně ekvivalentní vodorovné síly
nahrazující imperfekce rámu). Vodorovná síla se zvětší součinitelem
1
1
=
= 1,22
1
1
1−
1−
α cr
5,62
a celková vodorovná síla je
H k = 8,36 ⋅1,22 = 10,2 kN
2.4. Výpočet vnitřních sil
Vnitřní síly se počítají pro návrhové hodnoty zatížení, které se získají přenásobením
charakteristických hodnot zatížení ze zadání dílčím součinitelem spolehlivosti zatížení
γF = 1,4. Vodorovná síla navíc zahrnuje ekvivalentní vodorovnou sílu (vliv rámových
imperfekcí) a účinky 2. řádu.
Vnitřní síly: vlevo normálové síly NEd v kN, vpravo momenty MEd v kNm
Vnitřní síly: vlevo posouvající síly VEd v kN, vpravo přetvoření v mm
3.Posouzení
3.1. Posouzení mezního stavu použitelnosti
Posoudí se deformace rámu ve dvou místech: svislý průhyb příčle uprostřed rozpětí a
vodorovný posun v rámovém rohu.
Doporučuje se, aby svislý průhyb byl menší než L/250:
16 000
L
δ V = 42,8 mm < 64 mm =
=
.
250
250
Vodorovný posun rámového rohu musí splňovat podmínku
9 500
h
δ H = 35,3 mm < 63,3 mm =
=
.
150 150
Obě podmínky jsou splněny, rám vyhovuje z hlediska mezního stavu použitelnosti.
3.2. Posouzení sloupu
Oba sloupy rámu jsou stejného průřezu, ale v pravém sloupu působí větší osová síla i
ohybový moment. Proto stačí posoudit pravý sloup. V rámovém rohu působí vnitřní síly
N Ed = 215,5 kN ,
M y , Ed = 225,3 kNm .
3.2.1. Zatřídění průřezu stojky namáhaného kombinací tlaku a ohybu
Pro zatřídění průřezu se určí poloha plastické neutrální osy při namáhání tlakem a ohybem.
Předpokládá se, že zatížení rámu se mění proporčně a tedy že plastický průběh napětí
v průřezu bude dosažen se stejnou excentricitou jako u působícího zatížení.
N
e
y
d= 261
z
t
αd
x= 95,5
fy
fy
e=
M Sd 225,3 ⋅10 6
=
= 1045 mm .
N Sd
215 500
Při působení tlakové osové síly se neutrální osa posune blíže k tažené pásnici. Tento posun se
určí z rovnováhy sil v průřezu, po úpravě rovnice vychází vztah pro posun neutrální osy
x =
=
− e tw +
(e t w )2 + t w W pl .y
tw
=
(1045 ⋅10,0)2 + 10,0 ⋅ 2 088 ⋅10 3
− 1045 ⋅10,0 +
10,0
= 95,5 mm.
Určí se součinitel α vyjadřující velikost tlačené části stěny
0,5 d + x 0,5 ⋅ 261 + 95,5
α=
=
= 0,866
d
261
a pro zatřídění stěny platí, že poměr
d
261
=
= 26,1
t w 10,0
musí být menší než
396 ε
396 ⋅ 0,81
=
= 31,3 ,
13 α − 1 13 ⋅ 0,866 − 1
aby byl průřez zařazen do 1. třídy, což je splněno.
y
tf
=
z
c
=
Pro tlačenou pásnici platí
c 118
=
= 6,74 < 9 ε = 7,29 ,
t f 17,5
kde
c=
300 − 2 ⋅ 27 − 10
= 118 mm
2
pásnice je 2. třídy a průřez celkově je 2. třídy.
3.2.2. Vzpěrné délky a vzpěrnostní součinitel
Pro vzpěr v rovině rámu (vybočení kolmo k ose y) se využije stabilitní výpočet.
N cr = α cr . N Ed = 5,62 . 215,5 = 1211 kN
Z kritické síly můžeme zpětně určit odpovídající poměrnou štíhlost
Af y
14 280 . 355
λy =
=
= 2,05
1 211 000
N cr
a následně vzpěrnostní součinitel χy (křivka b):
χ y = 0,200
Protože je deformacím z roviny rámu zabráněno pouze v patce a v rámovém rohu, vzpěrná
délka Lcr,z pro vybočení z roviny je rovna výšce rámu h. Štíhlost stojky pro vybočení z roviny
je
λz =
Lcr ,z
iz
=
9 500
= 127,8 ,
74,3
poměrná štíhlost
λz =
λ y 127,8
=
= 1,679 ,
λ1
76,1
kde
λ1 = 93,9
235
235
= 93,9 ⋅
= 76,1
fy
355
a vzpěrnostní součinitel χz (křivka c) je
χ z = 0,263 .
3.2.3. Vliv klopení
Deformacím z roviny rámu je zabráněno pouze v patce a v rámovém rohu, sloup se posoudí
s vlivem klopení se vzdáleností zajištěných bodů rovnou výšce rámu h.
Z průběhu momentů na koncích sloupu se určí poměr ψ, v našem případě je v patce nulový
moment a ψ = 0.
M=225,3
ψM=0
Podle součinitele ψ se určí součinitel C1 = 1,879.
Pro kloubové uložení obou konců sloupu (vzhledem k deformacím z roviny rámu) a volnou
deplanaci průřezu platí k = 1 a kw = 1 a kritický moment Mcr je roven
M cr = C1
= 1,879 ⋅
π 2 E Iz
(k h )2
Iw
Iz
 k

 kw

(k h )2 G It
 +
π 2 E Iz

2
π 2 ⋅ 210 000 ⋅ 7 887 ⋅ 10 4
(1⋅ 9 500 )
2
⋅
2
=
2 177 ⋅ 10 9
7 887 ⋅ 10 4
(1⋅ 9 500 ) ⋅ 81000 ⋅ 1488 ⋅ 10 3 =
 1
  +
π 2 ⋅ 210 000 ⋅ 7 887 ⋅ 10 4
 1
2
2
= 1043 kNm .
Poměrná štíhlost pro klopení je
λ LT =
W pl ,y f y
M cr
=
2 088 ⋅ 10 3 ⋅ 355
= 0,843 .
1043 ⋅ 10 6
Součinitel příčné a torzní stability (křivka a) je
χ LT = 0,772 .
Poznámka: Norma EN 1993-1-1 neuvádí postup pro výpočet kritického momentu, uživatel
musí vhodný postup najít v odborné literatuře. Zde je uveden postup převzatý z ČSN P ENV
1993-1-1 Přílohy F. Podobný postup uvádí ČSN EN 1993-1-1 v národní příloze NB.3.
3.2.4. Posouzení sloupu na kombinaci tlaku s ohybem
Pro posouzení sloupu na kombinaci tlaku s ohybem se vypočtou součinitele kyy a kzy.
Součinitele ekvivalentního momentu Cmy a CmLT jsou rovny 0,9, pokud nastává vybočení prutu
s vodorovným posunem horního konce.
Charakteristické hodnoty únosnosti v tlaku a ohybu jsou
N Rk = A f y = 14 280 ⋅ 355 = 5 069 ,4 kN
,
M y ,Rk = W pl ,y f y = 2 088 ⋅ 10 ⋅ 355 = 741,24 kNm .
3
Součinitele kyy a kzy jsou




 C 1 + λ − 0,2 N Ed
y
 my 
N
χ y Rk


γ M1

k yy = min 






 C my 1 + 0,8 N Ed 

N 

χ y Rk 


γ M1 


(
)





 =












215 500
 0,9 ⋅ 1 + (2,05 − 0,2 ) ⋅


5 069 400  

0,200 ⋅



1,0

  = min  1,25  = 1,053
= min 
1,053 










215
500

0,9 ⋅ 1 + 0,8 ⋅


5
069
400




⋅
0
,
200




1,0





N Ed 
0,1 λ z
1 −

 (C mLT − 0,25) χ N Rk 
z

γ M1  =
k zy = max 
N Ed 
0,1

1 −
 (C mLT − 0,25) χ N Rk 
z

γ M 1 

0,1 ⋅1,679
215 500


⋅
1 −

 (0,9 − 0,25) 0,263 ⋅ 5 069 400 
 0,958 


1,0

 = 0,975
= max 
=
max

0,1
215 500
0
,
975


⋅
1 −

5
069
400
(
0
,
9
−
0
,
25
)


0,263 ⋅
1
,
0


Sloup musí vyhovět následujícím podmínkám:
N Ed
+ k yy
N Rk
χy
γ M1
M Ed
≤ 1,
M y ,Rk
χ LT
γ M1
po dosazení vychází
215 500
225,3 ⋅10 6
+ 1,053 ⋅
≤ 1,
5 069 400
741,24 ⋅10 6
0,200 ⋅
0,772 ⋅
1,0
1,0
0,21 + 0,41 ≤ 1,
0,62 ≤ 1,
a
N Ed
+ k zy
N Rk
χz
γ M1
M Ed
≤ 1,
M y ,Rk
χ LT
γ M1
215 500
225,3 ⋅10 6
+ 0,975 ⋅
≤ 1,
5 069 400
741,24 ⋅10 6
0,263 ⋅
0,772 ⋅
1,0
1,0
0,16 + 0,38 ≤ 1,
0,54 ≤ 1.
Stojka na kombinaci tlaku a ohybu vyhovuje.
3.2.5. Posouzení smykové únosnosti stojky
Smyková únosnost sloupu je dána výrazem
Av , z f y 4 896 ⋅ 355
V pl , Rd =
=
= 1003,5 kN > 24 kN = VEd .
3 γ M0
3 ⋅1,0
Smyková únosnost vyhovuje s velkou rezervou, a protože se jedná o malý smyk
(VEd < 0,5 Vpl,Rd), není třeba zohlednit vliv smykové síly na únosnost průřezu v ohybu.
PODĚKOVÁNÍ
Tento materiál vznikl v rámci řešení projektu MŠMT 2010 č. 4/58 programu 6b. Autoři tuto
podporu vysoce oceňují.
LITERATURA
[1]
ČSN EN 1993-1-1 – Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí - Část 1-1: Obecná
pravidla a pravidla pro pozemní stavby, ČNI 2006, vč. Změny NA ed. A, ČNI 2007,
Opravy Opr. 1, ÚNMZ 2010, Změny Z1, ÚNMZ, 2010.