02. Mocniny a odmocniny

2. MOCNINY A ODMOCNINY
Dovednosti:
1. Ovládat pravidla pro počítání s mocninami s celým a s racionálním
mocnitelem. Definovat mocninu.
2. Provádět operace s výrazy obsahujícími mocniny s celým a s racionálním
mocnitelem. Umět uvést podmínky.
3. Ovládat pravidla pro odmocniny.
4. Umět používat dekadický zápis čísel a zápisy ve tvaru a .10n, kde
a∈ 1;10), n ∈ Z .
Úlohy:
1. Zjednodušte:


d) (− 1) + 4.4
−4
−2
−2
2
214.14 −3.2 7
=
a)
42 2.7 −1
 54.183 
b) 
 =
2
 3.30 
7
c) (6.2 − 3.2 ) :   =
 10 
−2
−1
1
−1 
+ 2 .(− 3) .(43.4 −3 − 1) =
4

−2
0
−2
−2
−2
9
 2
 3
6
e)   − (− 2 ) +  −  −  −  +   =
 12 
 5
 4
7
[a) 32.22 ; b) 54.36.22 ; c) 0 ; d) 0 ; e) 6
7
]
12
2. Zjednodušte, předpokládejte přípustné hodnoty proměnných:
−2
 c 0 .c −2 .c 8 
a) 
 =
4
−3 
 (2c ) .c 
b)
(x
y ) .2 z  y x 
:
 =
−1
4(x −4 y 3 )
 (− 2 )xz 
2
− 2 −3
16a −5 (bc) 4 (− 2 ) (a −7 b 8 )
=
d)
:
a −1bc −4
(a 3b −3 )2
3
−1
4
3
3
−2
−3
−2
 0,2 x 2 y −1  −1 
c) 
  =
−2
 0,3 x y  
−3
 a −3b   c − 2 d 3 
e)  −1 2  . −1 5  =
c d   a b 
1
[a)
4 x8
256
− 4z 7
− 2b19
a 6b12 c 3
;
b)
;
c)
;
d)
;
e)
;]
9 y4
c10
x
a19
d3
3. Vypočtěte pomocí mocnin (zpaměti):
0,000 005
.39 000 000 =
0,00015
0,008.2 700 1,2.10 −4.0,004
b)
=
.
0,081.160
8.10 −6
[1,3.106]
a)
[0,1]
2
 2 700.2.10 −9 
c) 
 =
−5
9
.
10


−3
4.10 .500 000 2 000.0,01
d)
=
:
45 000.2.10 −5 90 000.0,7
[3,6.10-3]
[7.107]
4. Vypočtěte:
(
) (
(
)
) (
[4 3 ]
)
a) 5 2 + 3 − 4 3 − 2 − 3 2 − 3 .3 =
〉
〉


2
b
a
;
a
=
0
∧
b
=
0


b) a a + b − a (a − b ) − a b + b a =
3+ 2
3− 2
+
=
3− 2
3+ 2
c)
(
) + (1 + 5 ) − (2 5 − 1) =
2( 3 + 6 )
3( 2 + 6 )
6(
+
−
d) 3 − 5
e)
h)
2
2
3
[− 1]
2
6
)
2+ 3
=
3
4
 24 3 〉 
3a . 9a ; a = 0
3a 7 .4 9a 3 .4 27a =
( 2 xy .
3
3x 2 y 5
 6 − 2


2


〉
〉


2
ab
;
a
=
0
∧
b
=
0


2a . 2b . ab =
f)
g)
[10]
)=
〉
 3 8 〉

6
x
y
;
x
=
0
∧
y
=
0


2
2
i)
 3a 5 a 〉

 5 . ; a = 0 ∧ b〉 0 
b
 5b

27 a11
b6
=
.
5b 8
15b 9
ch)
3
2m
n 3 4m 2 3 n 3
.3
.
.
=
n
3m
n
9m
2 3

2
 3 . mn ; m〉 0 ∧ n〉 0
[
j) 4 x 3 .6 x 5 : 12 x13 =
6
k)
4
x9 y5
2
x y
3
[x
=
2
l)
3
]
y ; x〉 0 ∧ y 〉 0
]
 a −b

 3 a + b ; a ≠ −b 


 a−b 
a − b .3 
 =
a+b
2
12
x ; x〉 0
2
5. Zjednodušte:
a)
3
3=
b)
e)
3 3
2=
f)
2 4
=
3 9
4 3
512 =
3
 3;
c)
3 4
g)
3
2
;
3
12
x3 =
9x
d)
4
83 16 =
x2
81x 4 =
16
x 3 ; 2.12 2 ;
9
2;
8
8;
3 3 
x 16 
4

6. Usměrněte zlomky:
a)
i)
y2
3m
3x
4
−6
1
6x
9
6r 2
; b)
; c)
; d)
; e)
; f)
; g)
; h)
; ch)
;
3
5
5
6 y
5
6
2 2
x
5 3
x2
32
r8
6 − 12
1− a
c
; j)
; k)
; l)
3
1− a
c+ c
4 5
; − 6;

5

m5 27 ;
6
2 3+ 2
; m)
;
13 + 11
2 2− 3
2
; 6 x ; x〉 0; 35 x 3 ; x ≠ 0;
4
(
)
63 r
; r ≠ 0; 2 3 − 1 ; 1 + a ;
r
3
y 6 y 5 ; y〉 0;
(
3 3
; m5 27 ;
5
)
c− c
; 3 13 − 11 ;
c −1
6 + 2;
]
7. Částečně odmocněte:
a) 104 ; b) 180 ; c)
ch)
a 6 ; i)
4
[2
3
40m 3 n 5 p 7 ; j)
3
3
5000 ; d)
3
80 ; e)
512 p 4 r ; k)
27 a 5 ; h) 3 16 x 2 y 3 ;
540 ; f) 3 288 ; g)
10
a13b10
;
1024
26 ; 6 5 ; 103 5 ; 23 10 ; 6 15 ; 23 36 ; 3a 2 3a ; a ≥ 0;2 y 3 2 x 2 ; x ≥ 0 y ≥ 0;
a a ; a ≥ 0; 2mnp 2 3 5n 2 p ; m, n, p ≥ 0; 8 p 3 pr ; p, r ≥ 0;
ab 10 3
. a ; a, b ≥ 0;
2
]
8. Upravte, zapište podmínky:
 m .m −2 
 ;
b) 5  3
m


1
k .8 l 5
3
e)
(l ) .k
−1 4
− 12
.
k
;
l
uv −1
f) 4
u
h)
(
3
[
8
a .a
−2
)
2
a5 . 3 b
; ch)
x 5 ; x ≠ 0, x〉 0;
3
4
.
v
u
2
v
−5
3
4
1
2
g)
;
( )
1
a3a
(a .b )
c)
(a .b )
−2
3
 x3 4
 ;
a)  1
 x 2 x −1 


−2
1; u 〉 0, v〉 0;
− 23
− 12
− 34
;
5
x 3 3 y −1 :
− 16
m11 ; m〉 0; b ; a〉 0, b〉 0;
x +1
; x, y〉 0;
5
6
y
5
a.3 a 2 ; a〉 0;
x x
d)
3
 p. p
i)  3
:
 p −2

a . a .3 b
15
− 23
:
x4 3 x2
x . x −1
;
3
x
y 2 x 3 + 6 y : y;
−1
p −3 . p  p −3 . p
.
3
p 2 
p2
x 7 ; x〉 0; k l 4 3 k 8 l ; k 〉 0, l 〉 0;
a
; a〉 0, b〉 0;
6
5
b
p
−
79
12

; p〉 0

9. Vypočtěte:
a)
5
4 3 2
: 5 =
3
2
8
1
3
2
1
 2 1    1 2  3 
b)  2 .   :  .3   =
 3    2  
2
2
1+ 2
2 
 =
c) 
−
2
1
−
2


5
 2;

4
4
;
9
9(3 + 2 2 ) 

2

10. Jakou gravitační silou na sebe navzájem působí Země a Měsíc, jestliže hmotnost Země je
6.1024 kg, hmotnost Měsíce je 7,4.1022 kg, vzdálenost obou těles je 385 000 km a
−11
gravitační konstanta κ = 6,7.10 Nm2kg-2. (použijte Newtonův grav.zákon)
[F = 2.1020N]
11. Hmotnost protonu je 1,67.10-27 kg, hmotnost elektronu je 9,11.10-31 kg. Kolikrát má
proton větší hmotnost než elektron?
[1 833,15 krát]
12. Hustota hmoty v jádru atomu je řádově 1019 kg.m-3. Jakou hmotnost by měla koule o
poloměru 1 cm při této hustotě?
[m =
&4,2.1013 kg]
13. Vypočtěte pomocí Coulombova zákona sílu, kterou se jádro atomu vodíku přitahuje
s elektronem, mají-li stejný náboj Q1 = Q2 = 1,6.10-19 C, jejich vzdálenost je 10-10 m
a konstanta k =
&9.109 N.m2.C-2 .
[F =
&2,3.10-8 N]
5