08 Příprava na 1_kompozici

OPAKOVACÍ PÍSEMNÁ PRÁCE – ZÁKLADNÍ POZNATKY Z MATEMATIKY
TÉMATA
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
Racionální čísla
Druhá odmocnina
Množiny
Intervaly
Výroky
Mocniny s přirozeným a celým exponentem
Nejmenší spol. násobek, největší spol. dělitel
Mnohočleny
Lomené výrazy
PŘÍKLADY NA PROCVIČENÍ
1) Vypočítejte a výsledek vyjádřete jako desetinné číslo:
 3
5 1
a)  2 :  ⋅ 0,75 − 0,6 ⋅  − 
 2
6 2
 5
1 
 8
b) 0,4 ⋅  − 1,5  :  − 3 
2 
 3
 3
2) Vypočítejte:
3 7
−
 5 3   1 2  8 12
a)  −  :  +  ⋅
 6 4   4 3  3 − 7
4 8
1 3
−
 2 1   1 7  6 4
b)  −  :  +  ⋅
 3 4   2 6  5 − 11
8 12
7 8
3) Čísla , − znázorněte na číselné ose (přesná konstrukce).
3 3
4) Částečně odmocněte:
120 , 50 , 72 , 90 , 300 , 180
5) Usměrněte zlomky:
27 − 1
a)
2+4 3
6 −2 2
15 − 2 5
6) Vypočítejte:
b)
c)
d)
-0,08
5
33
1
2
2 30 , 5 2 , 6 2 , 3 10 , 10 3 , 6 5
19 − 5 3
22
10
5
b)
a)
0,8
(3 12 − 2 6 )
(2 18 − 3 6 )
( 50 − 5 )⋅ ( 8 + 18 − 20 )
( 75 + 24 − 18 − 6)⋅ ( 18 +
2
132 − 72 2
2
126 − 72 3
12
7) B = {x ∈ R , x < 6}, C = {x ∈ R , x ≥ −3}
a) Zapište množiny B, C intervalem
b) Určete průnik intervalů B ∩ C
c) Určete sjednocení intervalů B ∪ C
)
60 − 15 10
9 6 − 6 2 + 12
B = (− 6,6 ), C = − 3, ∞ )
− 3, 6)
(− 6, ∞ )
8) A = Z, B = {x ∈ Z, x > 2}
{− 2,−1,0,1,2}
Určete doplněk množiny B v množině A.
9) A = {x ∈ Z, x ≤ −6}, B = {x ∈ Z, x < −10}
Určete A – B
{− 10,−9,−8,−7,−6}
10) A = Z , B = {x ∈ Z, x − 1 < 3}
−
{x ∈ Z, x < −1}
Určete A – B.
11) A = R , B = {x ∈ R , x − 3 ≥ 2}
(1,5)
Určete doplněk množiny B v množině A
12) Vypočtěte:
a) (− 6,2) ∩ (2,9)
b)
c)
{}
(− 50, ∞ )
− 8,12)
1, 2)
4, ∞ ) ∪ (− 50,6)
− 8,12 ) ∪ (− 6,6)
d) (− ∞,2) ∩ 1, 7 )
13) Znegujte dané výroky:
a) Pravidelný dvacetiúhelník má aspoň 100 úhlopříček.
[Pravidelný dvacetiúhelník má nejvýše 99 úhlopříček.]
b) Daný trojúhelník je pravoúhlý a aspoň jeden jeho vnitřní úhel má velikost menší než 30 stupňů.
[Daný trojúhelník není pravoúhlý nebo žádný jeho vnitřní úhel nemá velikost menší než 30 stupňů.]
c) Je-li ciferný součet čísla 377 dělitelný třemi, je toto číslo dělitelné třemi.
[Ciferný součet čísla 377 je dělitelný třemi a toto číslo není dělitelné třemi.]
d) Existuje aspoň jedno reálné číslo x, pro něž je x > 0 .
[Pro každé reálné číslo x platí: x ≤ 0 ]
e) Žádné přirozené číslo není menší než (-50).
[Aspoň jedno přirozené číslo je menší než (-50).]
f) V této přihrádce je právě (n + 5) předmětů.
[V této přihrádce je nejvýše n+4 nebo aspoň n+6 předmětů.]
g) Poslední cifra dekadického zápisu čísla 377 není nula ani pětka.
[Poslední cifra dekadického zápisu čísla 377 je nula nebo pětka.]
14) Pomocí tabulky ověřte, zda jde o tautologii:
a) (a ⇒ b ) ⇒ (¬a ⇒ ¬b )
b) (a ∧ b ) ⇔ (¬a ∨ ¬b )
c) (a ⇔ b ) ⇔ (¬a ⇔ ¬b )
15) Utvořte negace výroků:
16) Utvořte negace výroků:
a) a ∨ ¬b
b) (a ∧ b ) ⇒ c
c) a ⇔ (b ⇒ c )
není tautologie
není tautologie
je tautologie
¬a ∧ b
(a ∧ b ) ∧ ¬c
¬a ⇔ (b ⇒ c )
a ⇔ (b ∧ ¬c )
17) Vypočítejte:
−2
−3
−2
2
4
2  3
−2  1 
−3
3 
−2
−1
  ,  −  , (− 5) , 1  , (0,2 ) , (− 4 ) ,  −  , (0,05) , (0,25) ,
 6
 5
3  4
16
 9 64 1 36

,
−
,
,
,
125
,
−
64
,
, 400, 4
 4 27 25 49
25

18) Vypočítejte:
2
−2
3
−3


791
(0,25)−1 ⋅ 1 1  + 24  3  :  4   +  − 3  ⋅ 3
9
 6
 4   5    2 
19) Vypočítejte:
a)
b)
2 −2 + 50
−2
1
2
−2
  − 5 ⋅ (− 2 ) +  
2
3
(0,6)0 − (0,1)−1
−1
3
3  3  1
  ⋅  + − 
8  2  3
−3
 a −3 b   c −2 d 3 
c)  −1 2  ⋅  −1 5 
c d  a b 
1
4
−2
−
−1
−3
−3
a 6 b12c3
d3
−2
 a 5 b −4   a −2 b −3 
d)  −3 2  :  4 −5 
c d   c d 
20) Převeďte nejprve všechna čísla na mocniny prvočísel a pak vypočtěte:
3
(
3
2
b 6 d16
a19 c17
)
2
 128 ⋅ 35  16 ⋅ 35
 :
a) 
48
94
 81 ⋅ 8 
95 ⋅ 2 7 36
b)
⋅
18
27 2 ⋅ 96 63
21) Obdélník o rozměrech 56 cm a 98 cm se má rozdělit příčkami, které jsou rovnoběžné se stranami
obdélníků tak, aby vznikly stejné čtverce maximálního obsahu. Kolik bude těchto čtverců a jaké je
strana jednoho čtverce ?
počet čtverců = 28, strana čtverce = 14 cm
22) Ze dvou ozubených kol, která do sebe zapadají, má jedno kolo 48 zubů a druhé 80 zubů. Po kolika
otáčkách budou kola opět ve stejné vzájemné poloze ?
po 5 otáčkách (menší kolo)
po 3 otáčkách (větší kolo)
23) Na stole leží tužky. Víme, že je jich více než 200 a méně než 300 a že se dají svázat do svazků po 10 a
12 kusech. Kolik je tužek ?
240 tužek
24) Určete nejmenší možný počet cvičenců, o nichž víte, že nastoupí-li do dvojstupu, trojstupu, čtyřstupu,
pětistupu, šestistupu, bude vždy jeden cvičenec chybět do úplného (obdélníkového) tvaru.
59
25) Rozložte na součin:
a) a 2 + b 2 − ac + 2ab − bc
(a + b) ⋅ (a + b − c)
(x − y ) ⋅ (a − x + y )
(− 6x + 37 y ) ⋅ (14x − 13y )
b) xa + 2 xy − x 2 − ya − y 2
c) 16(x + 3y ) − 25(2 x − 5 y )
26) Vypočtěte:
2
2
a) − (3 + x ) + 5(1 − x ) − 3(1 − x ) ⋅ (1 + x )
2
2
(
2
)
3
1

b)  x 2 y +  − 2 x 2 y − 1
2

27) Vypočtěte:
a)
(− 3x − 5x
b)
(a
7
3
13x 4 y 2 − 5x 2 y − 8x 6 y 3 +
)(
+ 2 + 2 x 4 + 16 x 2 : 2 x 2 − x
)
+ 2 : (a + 1)
28) Doplňte na „úplný čtverec“:
a) 5x 2 + 50 x − 12
b) 3x 2 − 18x − 4
7 x 2 − 16 x − 7
)
x 2 − 2x + 7 +
5
4
4x + 2
2x 2 − x
a6 − a5 + a4 − a3 + a2 − a +1+
5(x + 5) − 137
2
3(x − 3) − 31
2
1
a +1
29) Upravte a uveďte podmínky:
a  1 − a 2 1 − b2

a) 1 +
⋅
⋅
2
 1− a  1+ b a + a
3 + 2 x 2 − 3x x ⋅ (16 − x )
b)
−
+
2−x
2+x
x2 − 4
1
 1

c) x 2 − 1 ⋅ 
−
− 1
 x −1 x +1 
a − 2 b 2a − b
2a 2
d)
−
− 2
a+b
b − a a − b2
xy − y − x 2 + x
e)
xy + y − x 2 − x
x
x +1
−
x
f) x − 1
x
x −1
−
x +1
x
2
x −4
g)
xy + 2 y − x − 2
x −1
x−
x +1
h)
x ⋅ (x − 1)
1+
x +1
30) Upravte:
u−v  
u−v 

a)  v +
⋅ v
 : 1 −
1 + uv   1 + uv 

a 2 + b2
−a 2
a − b2
b
b)
⋅ 3
1 1
a + b3
−
b a
x +1  x
x −1
 x
c) 
−
−
:

x   x +1
x 
 x −1
x2 +1


−x 

2

d) x2− 1
⋅ 1 −
x −1
 1+ 1 
−1 


x
x2 +1
x  1 − x 2 1 − y2

e) 1 +
⋅
⋅
2
 1− x  1+ y x + x
2x   1 
 1
f) 
− 2  ⋅  − 1
 x +1 x −1  x 
a 
4a
 a
g) 6a + 
−
: 4
3
 a − 2 a + 2  a − 2a + 8a − 16
(
)
1− b
, podmínky : a ≠ ±1, a ≠ 0, b ≠ −1
a
1
, podmínky : x ≠ ±2
x+2
3 − x 2 , podmínky : x ≠ ±1
a−b
, podmínky : a ≠ ± b
a+b
x −1
, podmínky : x ≠ −1, x ≠ y
x +1
x +1
, podmínky : x ≠ 0, x ≠ ±1
x −1
x−2
, podmínky : x ≠ −2, y ≠ 1
y −1
1, podmínky : x ≠ −1
u
a
x +1
x −1
x2 +1
2
1− y
x
1
x
(a + 2)2